автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Динамическая устойчивость прямого трубопровода с протекающей жидкостью под действием двух параметрических возбуждений

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э. БАУМАНА

На правах рукописи

ЩЕГЛОВ Георгий Александрович

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОГО ТРУБОПРОВОДА

С ПРОТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВУХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВОЗБУЖДЕНИЙ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники,

математического моделирования, и математических методов в научных исследованиях

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф-м. н., проф.

Челомей С.В Научный консультант д. т. н., проф. Тушев О.Н.

Москва 1999

Стр.

Содержание

Введение......................................................................................................4

1. Исследование динамической устойчивости прямого трубопровода,

нагруженного переменной осевой силой

при протекании через него пульсирующей жидкости...................15

1.1. Основные дифференциальные уравнения.................................15

1.2. Параметрические резонансы системы и их классификация 17

1.3. Аддитивные резонансы...............................................................23

1.3.1. Аддитивные резонансы при р = t,.........................................23

1.3.2. Аддитивные резонансы при 2 р = £......................................32

1.4.Особые двухчастотные резонансы.,.,. .,.......................................38

1.4.1. Основные-комбинационные резонансы............................38

1.4.2. Комбинационные-комбинационные резонансы...............82

1.5.Особые трехчастотные резонансы...............................................92

2. Проверка полученных теоретических результатов на ЭВМ..................118

2.1. Описание расчетной схемы и способа решения.......................118

2.2. Численное определение областей неустойчивости...................124

2.2.1. Классические резонансы системы.....................................124

2.2.2. Исследование аддитивных резонансов..............................124

2.2.3. Исследование особых резонансов.....................................137

2.3. Численная проверка частных случаев

и особых свойств аддитивных и особых резонансов...................155

2.3.1. Подавление неустойчивости в системе

с аддитивным резонансом......................................................155

2.3.2. Расширение области неустойчивости аддитивных резонансов при введении демпфирования в систему...........156

2.3.3. Сужение области неустойчивости при увеличении амплитуды одного из возбуждений в особых резонансах .... 157

2.4. Основные результаты численных экспериментов.....................160

Стр.

Заключение............................................................................................161

Литература.............................................................................................163

Приложение. Описание программы РРКТ...............................................170

Введение

В современной науке и технике большое внимание уделяется динамическим явлениям и прежде всего колебаниям. Круг вопросов, связанных с колебаниями, непрерывно расширяется. Современная механика, радиотехника, электроника, акустика и многие другие области науки и техники немыслимы без глубокого теоретического и экспериментального исследования колебательных процессов и, в частности, решения проблем динамической устойчивости различных физических систем. С математической точки зрения изучение таких колебательных процессов сводится прежде всего к изучению обыкновенных дифференциальных уравнений или систем таких уравнений.

Сложность решаемых задач требует от исследователей рассмотрения все более сложных уравнений, описывающих колебательные процессы. Так, если в начале двадцатого века считалось, что описываемая линейными дифференциальными уравнениями теория механических колебаний окончательно построена и пригодна для решения любых практических приложений, то уже спустя несколько десятилетий рождение авиационной, а затем и ракетной техники потребовало применения уравнений динамики, содержащих нелинейные, изменяющиеся во времени коэффициенты [4,6,7,28,29,32,55,57]. Описываемые такими нелинейными уравнениями колебательные режимы - параметрические колебания -возникают, например, в механических системах с переменными параметрами: массой, жесткостью, демпфированием.

К настоящему времени наука значительно продвинула наши знания в области изучения параметрических колебаний. В научной литературе описаны результаты исследований параметрических колебаний, возникающие в различных упругих системах (стержнях, балках, пластинах, оболочках) и механизмах (коленчатые валы, подшипники, ленточные транспортеры, ременные передачи и др.). Подробное изложение истории изучения параметрических колебаний и обобщение достигнутых

результатов приводится в обзорной статье К.В. Фролова [48] и учебной литературе и монографиях [1,3,5,8-11,27,31,35,36,44,49,50,62,81].

Проделанные в области изучения параметрических колебаний исследования сводятся, как правило, к изучению динамической устойчивости систем, находящихся под действием параметрических возбуждений.

Подавляющее большинство исследователей рассматривает действие на систему только одного такого возбуждения, например, изменения по гармоническому закону длины математического маятника [35] или положения его точки подвеса [16], изменения осевой сжимающей силы, действующей на стержень [2], изменения изгибной жесткости вращающегося вала [13]. Исследованиями систем с одним параметрическим возбуждением занималось и занимается большое количество исследователей. Следует отметить, в частности, работы В.В. Болотина [5], П.Л. Капицы [16], H.H. Боголюбова и Н.М. Крылова [24], H.H. Боголюбова и Ю.Н. Митропольского [4], Г. Шмидта [55], Я.Г. Пановко [35,36,37], В.Н. Челомея [49,50,51], C.B. Челомея [52,53,54], В.А. Светлицкого [43] и др.

Указанные исследования охватывают время, равное трем четвертям века, и можно считать, что действие на систему одного параметрического возбуждения изучено достаточно подробно.

Более общая задача воздействия на механическую систему нескольких (в частном случае - двух) параметрических возбуждений изучена слабо, что объясняется значительными математическими трудностями при решении получаемых систем дифференциальных уравнений. Насколько известно автору, существует лишь несколько работ в данной области [16,26,52,79]. В этих работах рассматриваются частные случаи воздействия нескольких параметрических возбуждений на систему, позволяющие либо свести все действующие возбуждения к одному полигармоническому возбуждению [16], или же рассматривать только

параметрические возбуждения, частота которых много выше собственных частот системы [52]. Отдельные исследования других случаев воздействия нескольких параметрических возбуждений на колебательную систему появились в литературе только в последние пять лет [26,79].

Таким образом, насколько известно автору, в настоящей работе, возможно, впервые ставится и решается задача исследования динамической устойчивости колебательной системы, находящейся под действием двух независимых моногармонических параметрических возбуждений, частоты которых имеют одинаковый порядок с собственными частотами системы.

В качестве примера колебательной системы с двумя независимыми параметрическими возбуждениями был выбран трубопровод с протекающей жидкостью. Особенность данной механической системы состоит в том, что в ней содержатся две взаимодействующих между собой подсистемы: механическая - упругая труба и гидравлическая - поток жидкости в трубе. Особенности взаимодействия этих подсистем подробно изучались многими исследователями.

Первая работа, связанная с постановкой проблемы, относится к 1876г. [58]. Следует прежде всего отметить работы В.И. Феодосьева [46,47], Эшли и Хевиленда [60] и других авторов [65,66,69]. Наиболее подробным на сегодняшний день исследованием динамики трубопроводов следует считать монографию В.А. Светлицкого [43], где рассмотрены практически все основные вопросы динамической устойчивости такой механической системы. В диссертации Ю.А. Куликова [25] дан систематический обзор состояния исследований по динамике и устойчивости труб, начиная с 1950г. по настоящее время. В указанных работах приводятся уравнения, описывающие собственные и вынужденные колебания трубопроводов с протекающей жидкостью с учетом демпфирования и воздействия разнообразных нагрузок. Эти уравнения были использованы нами в работе при построении математической модели трубопровода.

При построении модели, для упрощения математических выкладок, была использована наиболее простая расчетная схема, представленная на рисунке В.1: прямой, закрепленный на концах трубопровод постоянного поперечного сечения, нагруженный осевой сжимающей силой, содержащий неразрывный поток невязкой несжимаемой жидкости.

2е ВОЗБУЖДЕНИЕ 1е ВОЗБУЖДЕНИЕ

Рис. В.1. Расчетная схема трубопровода, находящегося под действием двух параметрических возбуждений

В расчетной схеме было принято, что колебания трубопровода происходят в вязкой среде, демпфирующей колебания. Также учитывалось демпфирование колебаний за счет внутреннего трения в материале трубы. Уравнение собственных поперечных колебаний такого трубопровода было взято из работ [43,47,54,61] и записано в наиболее общем виде для малых поперечных перемещений элемента трубопровода м(х,/):

^тдАи 1 т , ди д2и Л д2и дуди . ч д2и Л

Здесь первый член является погонной силой упругости, второй и третий - погонной силой внутреннего и внешнего демпфирования, четвертый - суммой погонной центробежной силы и осевого сжимающего усилия, пятый - погонной силой Кориолиса, шестой - погонной силой от

продольных колебаний жидкости, а седьмой - погонной силой инерции поперечных колебаний.

Наличие двух подсистем позволяет просто и наглядно ввести в систему два независимых возбуждения (рис. В.1). В качестве первого параметрического возбуждения выступает приложенная к трубе осевая сжимающая сила (0, имеющая небольшую переменную составляющую, изменяющуюся по гармоническому закону с частотой £ Вторым параметрическим возбуждением является пульсация скорости (у) протекающей жидкости, имеющая гармонический закон изменения с частотой р. В силу разной физической природы рассматриваемых возбуждений их нельзя сводить к одному полигармоническому возбуждению и, таким образом, они должны рассматриваться как два независимых возбуждения. Далее в нашей работе мы будем дополнительно предполагать, что частоты возбуждений р и сопоставимы по величине с собственными частотами системы.

Практическая ценность решаемой в работе задачи обусловлена важностью правильного расчета трубопроводов, являющихся одним из наиболее ответственных элементов конструкций в современной технике. Большой процент аварий в авиационной и космической технике, а также в других отраслях машиностроения происходит из-за неисправностей именно этих элементов. Причиной неисправностей чаще всего оказываются сильные резонансные поперечные колебания трубопровода, возникающие от знакопеременных нагрузок, передаваемых трубе в результате пульсаций движущейся жидкости, работы механизмов подачи и колебаний конструкции летательных аппаратов.

Примером реальной конструкции, в которой может возникать два параметрических возбуждения, служит описанный в работе [20] магистральный трубопровод системы подачи топлива в двигательную установку, представленный на рисунке В.2. Данный прямой трубопровод

служит для подачи одного из компонентов топлива к турбонасосному агрегату через бак, заполненный другим компонентом.

Работа насосного агрегата сопровождается вибрациями, которые могут передаваться трубопроводу и создавать одно параметрическое возбуждение. Кроме этого, работа насосного агрегата создает, помимо постоянной составляющей скорости жидкости, также небольшую переменную составляющую, которая также оказывает воздействие на трубопровод, являясь вторым параметрическим возбуждением. Исследованиям колебаний, возникающих в такой конструкции, посвящено большое количество работ, например, [20,39,45,56,64,68], однако одновременное воздействие двух параметрических возбуждений, насколько известно автору, еще ни разу не учитывалось.

Другим примером может служить трубопровод промышленного предприятия, представленный на рисунке В.З. Здесь пульсации скорости жидкости могут возникать не только при работе насоса, но и при работе клапана в режиме регулятора расхода. Вибрации насоса и регулятора, возникающие при работе, составляют второе параметрическое

ТРУБОПРОВОД

Бак

Вибрации ТНА,

передаваемые

трубопроводу

Рис.В.2. Пример воздействия двух параметрических возбуждений на трубопровод ЛА

возбуждение. Исследования [17,18,38,59,80] систем «насос-трубопровод», «насос-трубопровод-клапан» проводились, насколько известно автору, также без учета двух параметрических возбуждений.

Рис.В.З. Пример воздействия двух параметрических

возбуждений на промышленный трубопровод

При расчете параметрических колебаний в описанных примерах конструкций в современной механике, как правило, ставятся и решаются раздельно две задачи, связанные с каждым из возбуждений.

С одной стороны, все известные работы по исследованию параметрических колебаний трубопроводов до настоящего времени посвящены изучению поперечных колебаний только под действием пульсирующего потока жидкости. Различные аспекты взаимодействия прямолинейных труб с пульсирующим потоком жидкости рассматриваются в работах М.С. Натанзона [34], Н.С. Кондрашева [21,22], М. Пайдусисса [63,74-77], C.B. Челомея [54], В.А. Светлицкого [43], Ю.А. Куликова [25] и других авторов [12,14,30,37,40,70,73,82]. Исследования проводились как численными, так и приближенными аналитическими методами. В ходе этих работ были получены основные теоретические результаты, касающиеся определения областей неустойчивости, форм, амплитуд и фаз колебаний, и проведены экспериментальные исследования.

С другой стороны, воздействие на стержень, которым по сути

является труба, переменной осевой силы также достаточно хорошо изучено. Начиная с известной работы Н.М. Беляева [2], советскими и иностранными исследователями было проделано большое количество работ, среди которых следует отметить труды Н.М. Крылова и H.H. Боголюбова [24], Е. Меттлера [7], В.Н. Челомея [51], C.B. Челомея [52,53], В.В. Болотина [5] и других авторов [15,19,67,72,78].

Целью настоящего исследования является объединение двух задач в одну общую задачу. Изучение одновременного воздействия на трубопровод двух параметрических возбуждений, проделанное в работе, позволяет, как кажется автору, более полно и точно оценить динамику реальных трубопроводов и получить неизвестные ранее важные результаты. Укажем на некоторые из них.

Так, при исследовании динамической устойчивости трубопровода, содержащего пульсирующий поток жидкости, нагруженного переменной осевой силой, получена общая система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, из которой как частные случаи могут быть получены системы дифференциальных уравнений, используемые в настоящее время для исследования динамической устойчивости трубопровода с пульсирующей жидкостью и исследования динамической устойчивости стержня, нагруженного переменной осевой силой. Особенностью полученной общей системы дифференциальных уравнений является наличие двух независимых частот изменения ее коэффициентов: р и Возникновение неустойчивости, характеризующейся неограниченным ростом амплитуды колебаний с течением времени, зависит в такой системе от значения, которое принимает пара частот (р ; £), и, таким образом, число возможных резонансных случаев в системе резко возрастает.

Проделанные нами исследования с использованием асимптотических приближенных методов [4] позволили найти в первом приближении все пары частот (р ; при которых в системе возможна неустойчивость. Следует отметить, что исследования, в которых рассматриваются подобные

резонансы, автору в литературе обнаружить не удалось. В силу этого, при анализе и классификации резонансных случаев были введены новые термины, обозначающие отдельные группы пар частот (р ;

Так, пары частот (р ; вызывающие резонанс на различных собственных частотах системы, названы классическими резонансами, поскольку возникающие резонансы являются известными основными и комбинационными параметрическими резонансами, достаточно хорошо изученными к настоящему времени.

Отличительной особенностью рассматриваемой системы с двумя параметрическими возбуждениями являются случаи, когда обе частоты р и одновременно вызывают в системе резонанс на общих собственных частотах. Для данного случая была введена дополнительная классификация.

Так, пары частот возбуждений (р ; в которых

тр= \ (т =1,2),

названы аддитивными резонансами. В ходе исследования установлено, что аддитивные резонансы являются общим случаем основных и комбинационных резонансов, возникающих в системах с одним параметрическим возбуждением.

Другие пары частот возбуждений (р ; для которых р ф при которых в системе возможна неустойчивость, названы особыми резонансами. Особые и аддитивные резонансы могут