автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование автоколебаний в неидеальной гетерогенной системе

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Ы.В.ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

Шабухов Андрей Вадимович

УДК 517.9:541.128

ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ ГЕТЕРОГЕННОЙ СИСТЕМЕ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (01.01.00 - математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Москва - 1990

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: действительный: член АН СССР профессор А.А.Самарский кандидат физ.-мат.наук Г.Г.Елентш

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат.наук В.А.Треногин кандидат физ.-мат.наук Н.Н.Нефедов

Ведущая организация: ИПМ АН СССР им М.В.Келдыша Защита диссертации состоится 1990 г.

б час. ДО шн. в а уд. 685" на заседании специализированного Совета К 053.05.8Т при МГУ им.М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики.

С диссертацией мошо ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "'К" а?*с-уг7Яб^>Р 1990 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доцент

/ В.М.Говоров /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

В течение последних пятнадцати лет проявляется большой интерес к математическому моделированию химических каталитических реакций *). Активно ведется разработка моделей, все более полно отражающих изучаемые явления, и совершенствование математических методов их анализа: как аналитических, так и численных, в соответствии с методологией вычислительного эксперимента **). При современном подходе модели задаются системами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных по временной и пространственным координатам. В изучении этих систем важную роль играет поиск периодических по времени решений при определенных краевых и неопределенных начальных условиях, а такке нахождение условий их устойчивости, возможности приближения в результате численного решения смешанной задачи.

В литературе, посвященной вопросам химической кинетики, предлагается следующая модель реакции каталитического окисления окиси углерода на платине, выводимая - как и для многих других реакций - из закона действующих масс:

*) Слинько М.Г. Некоторые проблемы математического моделирования химических процессов и реакторов. - Хим.пром-сть. 1987. *1. С .3-7.

**) Самарский A.A. О математическом моделировании и вычислительном эксперименте в физике. - Вестник АН СССР. 1979. J65. С.38-49.

л ¿л рта; и;:

_ 4 -

¿ц/<и = (1-и-т-да)2- к4иу - ,

ФгЛК = ^И-и-т-я) - к^иу - У^г - к^те , ( 1 )

(йт/сН; = к^О-я) - кбтя ,

к^ > 0, 1=1,...,6. Здесь и,т,и означают концентрации адсорбированных 02, СО и растворенного в приповерхностном слое катализатора 02 соответственно. Эта модель описывает процессы адсорбции и десорбции молекул 02 и СО, реакции С0+0-»С02 на поверхности платины, растворения О в приповерхностном слое, восстановления слоя адсорбированным СО.

Обобщение этой модели достигается введением в правую часть членов, учитывающих диффузию реагентов по поверхности:

911 .Г.. ,<эги в2у et

дт г д2ч а2и д2ч

- = Цп-и-*)^ + у(-2 + ^^ (1 -и-у-») -к4иу-кз Т-^У«, Эя

— = ь3 аг 3

(аги a2v s2w г

(l-V-W)^ + + (1-u-v-w) -^uv-l^ud-w).

f Ô^W ecU Ôc7 -1

ôu dix

—<t,0) = — (t.l) =0, ( 2 ) ax ex

0T ÔV

—(t,0) = —(t,1) = 0, ôx ax

a* aw

—(t,o> = —(t,i ) =o; , i=i.....6.

ax ax 1

Диффузионные члены как в ( 2 ), описывающие т.н. "прыжковую диффузию", были предложены в *).

*) Горбань А.Н. .Саркисян Г.П., Быков В.И. Описание нелинейной диффузии по поверхности катализатора на основе формализма химической кинетики // Химическая кинетика в катализе. Черноголовка. 1987. С.15-21.

- 5 -

В экспериментах с реакцией 2С0 + 02 - 2С02 при различных условиях неоднократно наблюдались периодические изменения скорости реакции и концентрации реагентов на поверхности катализатора. Для теоретического изучения этого явления представляет интерес анализ решений описанных выше моделей на периодичность по времени. Темой настоящей диссертации является проведение такого анализа.

Актуальность темы. Тема диссертации охватывает вопросы, связанные с исследованием современных математических моделей (1 ) и ( 2 ) одной реакции гетерогенного катализа, в ходе которой наблюдается периодическое по времени повторение явлений. Она имеет своей направленностью расширение возможностей подключения математического аппарата и средств вычислительной техники к исследованию различных вариантов моделируемой реакции в зависимости от значений параметров. Раскрытие данной тема предполагает теоретические продвижения в развитии методов анализа на периодичность систем, обобщающих ( 1 ) и ( 2 ).

Цель работы. Диссертация имеет своей целью:

1) подытоживание известных результатов, относящихся к поиску периодических решений в моделях (1 ) и ( 2 );

2) распространение теории Андронова-Хопфа на бифуркацию стационарных решений систем у.ч.п. типа "реакция-диффузия", включающих в себя ( 2 ), вывод условий существования, единственности и устойчивости бифуркационных периодических решений;

3) наховдение достаточных условий возникновения пространственно-неоднородных периодических решений в модели, получаемой при возмущении малыми диффузионными членами системы ( 1 ), имеющей периодическое решение;

- 6 -

4) вывод асимптотических формул для установления условий применимости теории релаксационных колебаний к системам вида

( 1 ) и проверка условий их применимости;

5) численное решение примеров, иллюстрирукщих практическое применение теоретических положений к системам (1 ) и ( 2 ) при реальных значениях параметров.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты примыкают в части исследования бифуркаций для систем у.ч.п. к результатам Д.Сэттинжера *), представляя собой их уточнение с независимыми доказательствами для параболических систем вида < 2 ), обладающих, как устанавливается, фредгольмовым свойством. Условия, при которых исследуется бифуркация на периодическом решении системы ( 1 ) отличается от изученных Д.Джозефом и К.Иоссом **) порядком возмущающего диффузионного члена; при этом впервые дается приближение пространственной неоднородности решения с помощью эллиптических функций Якоби. Новым в сравнении с поиском бифуркационных решений является развитый в диссертации подход к выделению периодических решений релаксационного характера; выявлены соотношения меаду коэффициентами многопараметрической системы ( 1 ), при которых к ней применима соответствующая

ftjfclc

теория ). Численно построен пример зависящего от пространственной координаты периодического решения ( 2 ) - ранее таких примеров не приводилось.

*) Satttager D.H. Topics 1Л Stability and Bifurcation Theory.

lecture Notes in Mathematics. 19T3. V.309. 191р.

**) Дкозеф Д., Иосс К. Элементарная теория устойчивости и

бифуркаций М., Мир, 1983, 301с.

***) Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М., Наука, 19Т5 , 248с.

Практическая ценность. Исследования по теме диссертации проводились в рамках хоздоговорной НИР, выполнявшейся в лаборатории математического моделирования в физике на кафедре вычислительных методов факультета ВМиК МРУ. Результаты диссертанта вошли в отчет лаборатории, принятый заказчиком. Описанное в совместной работе диссертанта с М.М.Слинько С 1 1 получение автоколебаний скорости рассматриваемой каталитической реакции проводилось в соответствии с направлением работ Института химической физики АН СССР, признанным перспективным для решения задач химической кинетики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались в 1988-1989 гг. на заседаниях семинаров кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ под руководством A.A.Самарского, семинара кафедры дифференциальных уравнений мех.мат.факультега МГУ под руководством М.И.Вишика, семинара кафедры математики физического факультета МГУ под руководством А.Б.Васильевой. По отдельным задачам, рассматриваемым в диссертации, делались сообщения на школах "Актуальные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Звенигород, 1987; Черноголовка, 1988), на конференции молодых ученых факультета ШиК МГУ (1988). По материалам диссертации опубликованы 2 печатные работы, 4 работы находятся в печати.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав (по три параграфа в каждой), списка литературы и приложения. Общий объем диссертации 120 страниц, включая 10 рисунков и 8 таблиц. Библиография насчитывает 56 наименований.

- 8 -СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Введение. Обосновывается актуальность исследуемой проблемы; описываются изучаемые математические модели; определяются цели работы и кратко излагается ее содержание.

Глава Посвящается изучению бифуркационного рождения цикла в краевой задаче для параболической системы у.ч.п. типа "реакция - диффузия" /С 3 3/.

В §1 вводится система, обобщающая ( 2 ) с линеаризованными в окрестности стационара диффузионными членами:

дz а2я

— = В(ц)—2 + А((1)г + Щг.х.ц)

ег эх' ( з )

32 дъ

— <1;,0) = — (4,1) = о ах ах

где: z{\,x) = ( ); А(|х) и В(ц) - матрицы

размерности шш, элементы которых аналитически зависят от вещественного параметра |л, принадлежащего малой окрестности 0; Щг.х.ц) - нелинейная вектор-функция размерности и, аналитическая по всем своим аргументам и вмещая при г = О нуль порядка выше первого, независимо от х и ц. Правая часть линеаризуется на стационарном по Ь и однородном по х решении г^О: Ь(ц) = В(|а)аг/ах2 + А(ц); А(|1) = А0 + А^ + А^2 + ... В(ц) = В0 + В^ц ■+ В2ц2 + ... Ь0 « в0а2 /ах2 4 А0 Делается предположение о бифуркационности:

оператор Ь0 имеет ровно два (простых) чисто мнимых собственных значения ±1ы0; ( 4 )

и предположение о невырожденности:

если -|г{ц) есть собственное значение Ь(ц) такое,

что 7(0) = 1ш0, то Бе^ЧО) * 0. ( 5 )

- 9 -

В некоторых случаях также дополнительно предполагается:

функция N = H(z,a) - билинейна по координатам z. ( б ) В леммах 1 и 2 устанавливается фредгольмовость оператора J = a/at - L0. Затем доказывается теорема о существовании бифуркационного решения.

ТЕОРЕМА 1. Если для системы ( 3 ) верны предполокения ( 4 ) и ( 5 ), то существует отрезок [О.етах] изменения параметра е такой, что при любом б.« [О.етахЗ имеются функции s{t,x,s), ш(е) и ц(е), обладающие свойствами:

1) z(t,x,e) есть решение ( 3 ) с периодом 2%/w{e) при значении бифуркационного параметра ц(е);

2) функции z,w,\i раскладываются на отрезке [Q.emaxJ в сходящиеся ряда по степеням s:

z(s) = z1e + z2e2 + ...,

Ш(в) = £0,6 4 ш2е2 + ..( 7 ) |i.(e) = (л,е + ц2ег + причем, если верно предположение ( б ), то ш1 = 0 и ^ = О. В доказательстве центральное место занимает обоснование сходимости рядов ( 7 ), что достигается применением теоремы о неявном аналитическом операторе *). Показывается связь разложений ( 7 ) с разложениями z и ш по (дробным) степеням ц, встречавшимися в ряде работ других авторов.

В §2 показывается, что бифуркационное решение, построенное в §1, единственно среди периодических; при этом единственность понимается в следующем смысле. Пусть существует некоторая последовательность пар (Zjj.Uft). удовлетворяющих при неком системе

*) Вайнберг М.М. .Тренопш В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., Наука, 1969, 527с.

соп«гп/^ " В(1Ап)Эг2п/й£2 - А(|лп)ап - Жг^.*.^) = 0 , QzJ:L/дx(%,Q) = 0гп/дх(г,1) = 0 , % = (21С/ып)1 .

Здесь гп рассматриваются как элементы пространства т-мерных вектор-функций с периодом 2тс по г, непрерывно дифференцируемых два раза по т и три раза по х и удовлетворявших на отрезке [0,1] однородным краевым условиям второго рода. В С^3 вводится норма :

г 0*2 з в^г

«г» = шх |г(т,х)|+ х шах |—с(1,х)| + Е пах |—т:(ч:,х)| т,х к=1 г,х бтг к=1 т,х

Полагаем, что «гп« -» 0 и 0 при п 0. Будем говорить, что

бифуркационное периодическое решение не единственно в юфестнос-ти г = 0, ц = О, тогда и только тогда, когда члены последовательности (гп,цп) ни при каком е = еп не принадлежат бифуркационному семейству решений Сгп(г,х,е), (^(е)). Леммы 3-7 приводят к

л

выводу о фундаментальности последовательности (2П>:

гп(1,х) = ^(Т+Тд.х) / < ИдСг+^.х), ф*> Здесь ф* - собственная функция оператора, сопряженного к Л, и отвечающая собственному значению 1ы0; тп - сдвиг по времени, обеспечивающий выполнение неравенства: <гп(1+тп,х), ф*> > О,

1 21С 1 2ТС

Основным результатом §2 является

ТЕОРЕМА 2. Если у рассматриваемой последовательности Сип> предел не равен нулю, то бифуркационное периодическое решение, полученное в теореме 1, единственно в окрестности z =,0, (а = 0.

где: < у,а > = — £ £ (у(1,х),2{т.х))йх<1г.

- 11 -

В §3 выводятся условия устойчивости бифуркационного периодического решения в предположении ( б ). Принимается следующий критерий устойчивости *) :

периодическое решение ( 3 ) устойчиво, если его мультипликатор. 71 имеет кратность 1, а все остальные мультипликаторы 7к по модулю меньше 1. Здесь 7к = ехр (2тсрк), - коэффициенты Флоке - собственные числа следующей задачи: дг дЧ

ш — = В(ц)—* + A(|i.)z + N(y,z) + N(z,y) - pwz д t дтг

dz dz,

—(тг,0) = — (x,1) = 0, z(t,x) = z(t+2%,x), ôx Эх

( 8 )

где y = у(т,х) - исследуемое периодическое решение ( 3 ). Равное нулю р1 , которому соответствует 71 = 1, всегда существует -ввиду автономности системы ( 3 ). В лемме 8 указывается структура множества чисел Флоке ф); в леммах 9 и 10 определяется вид собственной функции задачи ( 8 ), отвечающей ответвляющемуся от ik при е * 0 собственному значению p(s). С помощью этих вспомогательных предположений доказывается ТЕОРЕМА 3. Коэффициент Флоке (Э(е) раскладывается в сходящийся, степенной ряд по е в окрестности е = 0 :

Р(е) = ^е + р2е2 + .... причем устойчивость бифуркационного периодического решения ( 3 ) определяется величиной рг = 4(i2Re7' (0) при условии

х 0: устойчивому решению соответствует р2 < О, а неустойчивому р2 > О.

*)Вдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на-Дойу, РостГУ, 1984, 153с.

- 12 -

Глава 2. Посвящается изучению периодических решений систем у.ч.п. с малой диффузией. В §1 дан обзор известных методов поиска периодических решений в. автономных системах о.д.у.: А.Пуанкаре, А.А.Андронова-Э.Хопфа, Галеркина-М.Урабэ.М.А.Красносельского, А.Н.Самойлонко, Н.В.Ронто, П.Х.Ыийдла, А.И.Хибника и др. Поиск периодических решений систем о.д.у. имеет двоякое значение в раскрытии темы диссертации: во-первых, система о.д.у. вида ( 1 ) сама моют выступать как модель каталитической реакции; во-вторых, при определенных условиях периодические решения ( 3 ) могут возникать как следствия наличия циклов в системах о.д.у., получаемых при отбрасывании диффузионных членов. В §2 из предыдущего обзора вынесен поиск релаксационных колебаний в система (1 ). Показывается, что соответствующая теория применима, если коэффициент к4 значительно превосходит остальные. Выводятся асимптотические (при к^-®) формулы для кривой быстрых движений Г iUiU(w), v=v(w)}. определяемой первыми двумя уравнениями (1 ), в которых положено 4u/üt=0 и dT/üt=o. В широком диапазоне значений параметров данная 1фивая имеет S-образный вид, необходимый для релаксационных колебаний. На основании теоремы из *) показывается, что вид траектории ( 1 ) при ее выходах из малых окрестностей устойчивых ветвей Г удовлетворяет требованиям теории. Исследуются стационары ( 1 ) при к^-»® и доказывается ТЕОРЕМА 4. Пусть к^ > 0, i=i,2,3,4,5,6, и выполнены условия:

kjdCg-kg-kgHi^kg >0; .

(fc^kg) « Лк^к^; k, > kg;

*5 (k, (kg-kj-kg Hkgkg) > kg (k, ) (k, -k,).

*) Андронов A.A., Леонтович В.А., Гордон И.И., Майер А.Г.

Качественная теория динамических систем второго порядка.

Ы., Наука, 1966, 568с.

- 13 -

Тогда при всех достаточно больших к4 система ( 1 ) имеет периодическое решение релаксационного типа. Отмечается (лемма 11), что система ( 1 ) имеет не менее двух стационаров; поэтому, в частности, затруднено применение теории положительных операторов *) к поиску периодических решений этой системы. В третьем параграфе с точки зрения периодических решений оценивается эффект возмущения автономной системы о.д.у. - малыми диффузионными членами. В первой части параграфа утверждение о -том, что при определенных условиях периодическое решение исходной системы о.д.у. трансформируется в периодическое решение возмущенной системы, аргументируется ссылкой на теорему о сингулярных возмущениях **).

Во второй части параграфа изучается случай, когда возмущенная система имеет вид:

dz ö2z 2

— = SB—5 + (Ап + 5 V)z + H(z,z) ( 10 )

at ах2 0 1

dz dz

—(t,0) = —<t,1) = 0 3x <3x

При этом предполагается, что автономная система о.д.у., полученная при 3 = 0, имеет решение zQ с периодом Т, а ядро оператора J = a/at - А0 - N(z ,•) - N(-,z ) состоит исключительно из функций вида c(x)zQ(t), где с(х) - произвольная функция из Сэ[0,11, причем с* (0) = с' (1) = 0.

*) Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы

нелинейного анализа. М., Наука, 1975, 511с.

**) Кащенко С.А. Исследование асимптотически периодических решений автономных параболических уравнений с малой диффузией. Деп. ВИНИТИ 26.06.1984, J8388 - 85 Деп. - 26с.

- 14 -

С помощью теоремы о неявном аналитическом операторе и леммы 12, давдей явное выражение через эллиптические функции Якоби решения краевой задачи для некоторого нелинейного дифференциального уравнения второго порядка доказывается

ТЕОРЕМА 5. При достаточно малых значениях б существует Т-перио-дическое по t решение < 9 ), зависящее от х и цредставимое в виде: г(1,х,е) = + ег0(1;)р(х) + ...;

6(е) = егС2 + ... , где р(х) - решение краевой задачи из леммы 12:

р(х)= а3 + (о^ - аэ)8п2(/ (а1 - а^/бй х) Здесь а1, о^, а^ - действительные корни многочлена

р3 - Зр - (р3(0) - 3р(0)), а, > <*2 > 03 , такие, что: ТЦЦа^ - а^/(а, - о^) ) =

К(к) - полный эллиптический интеграл Лежандра 1 рода, эллиптическая функция зп(г) - синус амплитуда, величина Л определяется как й = <В20, > / <А1>. При применении теоремы 5 к поиску периодических решений в системах у.ч.п. периодическими решениями исходных автономных систем о.д.у. могут служить бифуркационные или релаксационные циклы, обнаруженные описанными выше методами.

Глава 3. Посвящается изучению решений систем (1 ) и ( 2 ) численными методами Л 2 1/. Это изучение имеет своею целью

уточнение границ допустимых,значений параметров Ц.....при

которых теоретические положения глав 1 и 2 гарантируют существование периодических решений, а также построение решений.

В §1 строятся асимптотические приближения координат стационаров (1 ) и ( 2 ) при к^ со, которые затем сравниваются с результатами их численного нахождения методом продолжения по параметру.

- 15 -

В §2 совокупность алгебраических уравнений для определения стационаров дополняется еще одним, задающим условие наличия пары чисто мнимых собственных чисел у матрицы Якоби этой системы в рассматриваемом стационаре; при этом в определяемые величины включается параметр к1 или Для расширенной системы также строится асимптотика решений при и сравнивается с численным решением методом Ньютона. Сравнение показывает, что при реальных значениях коэффициентов асимптотические формулы достаточно точны для определения координат стационара и значения параметра к1 или при котором происходит бифуркация Андронова-Хопфа в системе (1 ). Далее для обнаруженных бифуркаций определяются величины ц2, ш2, Р2, описывающие отклонение бифуркационного параметра, поправку к величине периода и устойчивость возникающего цикла; результаты вычислений сведены в таблицы. Численным решением задачи Коши для ( 1 ) с начальными данными, выбираемыми вблизи от бифуркирумцего стационара, методом Гира 4 порядка или неявным методом Эйлера с переменным шагом по времени строится приближение устойчивых циклов, сравниваемое затем с первым аналитическим приближением периодического решения *). Ставятся эксперименты по определению наибольшего отклонения параметра от бифуркационного значения, при котором цикл еще существует. Приводятся графики построенных траекторий.

Затем рассматривается случай бифуркации Андронова-Хопфа для системы ( 3 ).Для этой системы подобрана матрица В, положительно определенная, имеющая неотрицательные элементы, и при этом обеспечивающая для ( 3 ) выполнение всех условий теорем 1-3 из главы

*) Хзссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации ровдения цикла. М., Мир, 1985, 2?9с.

- 16 -

'1 в окрестности некоторого стационара. Величины ы2, ß2, вычисляемые в соответствии с теорией главы 1, описывают форму воз-никапцего периодического решения и определяют его устойчивость. Численное решение смешанной задачи для системы ( 2 ) ведется по чисто неявной схеме на сетках из 30 и 59 точек на отрезке [0,1].' Для сокращения времени счета при решении нелинейных уравнений на кавдом временном слое используется модифицированный метод Ньютона *). Счет проводится на ЭВМ БЭСМ-6 и ЕС-1045 с двойной точностью. Производится сравнение полученных результатов с первым аналитическим приближением, находимым с помощью теоремы 1.

В §3 к системе ( 2 ) применяется теория релаксационных колебаний. С этой целью сопоставляются асимптотические выражения для кривой быстрых движений, стационаров на ней и условий их би-фуркационности. Выясняется, что как сама S-образность этой кривой, так и отсутствие стационаров, препятствующих развитию колебаний, имеют место в значительном диапазоне значений коэффициентов. Нулевое приближение релаксационного цикла, состоящее из кривой быстрых движений и двух участков срыва, сравнивается с численным решением задачи Коши для ( 1 ) при выбранном наборе параметров.

Результаты отображаются графически. С помощью серии численных ■экспериментов подтверждается предположение о том, что в системе ( 1 ) возможно одновременное существование бифуркационного и релаксационного циклов; однако построенный в соответствующем примере бифуркационный цикл оказывается неустойчивым. Выявлена ситуация, когда бифуркирующий стационар сдвигается с неустойчивой

*) Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы.

М., Наука, 1989, 432с.

- 17 -

ветви на устойчивую и срывает релаксационные колебания. Неустойчивые циклы изучаются методом А.И.Хибника. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Распространение бифуркационной теории Андронова-Хопфа на некоторый класс систем дифференциальных уравнений в частных производных, охватывающий модель ( Е ), с доказательствами фредгольмовости оператора J, существования, единственности и устойчивости периодического решения, роадащегося из стационара, и построением соответствующих численных цримеров.

2. Вывод и практическая проверка условий применимости теории релаксационных колебаний к поиску периодических решений в модели ( 1 ) при достаточно больших значениях 1с4.

3. Исследование (с доказательствами и построением примера) явления ответвления от периодического решения системы ( 1 ) периодического решения системы типа ( 10 ), получащейся при возмущении ( 1 ) малыш диффузионными членами определенного вида.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Шобухов A.B..Слинько М.М. Изучение математической модели автоколебаний скорости реакции окисления СО с учетом окисления и восстановления поверхности платины // Кинетика и катализ. 1989. Т.ЗО.вып.б. С.1474-1480.

2. Шобухов A.B. Численное исследование периодических решений одной математической модели гетерогенного катализа // Вестник МГУ, сер.15 "Вычислительная математика и кибернетика". 1989. HZ. С.24-28 .

3. Шобухов A.B. Бифуркация Андронова-Хопфа в краевой задаче для параболической системы у.ч.п. на отрезке. // Сборник трудов ф-та ВМиК МГУ. 1991 (в печати).