автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование автоколебаний в неидеальной гетерогенной системе

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА. ЛЕНИНА, ОРДЕН! ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

Шобухов Андрей Вадимович

УДК 517.9:541.128

ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НБЗДЕЙЛЫЮЙ ГЕТЕРОГЕННОЙ СИСТЕМЕ

Специальность 05.13.16 - применение вычислите,)., техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (01.01.00 - математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имена Ы.В.Ломоносова.

Научные руководители: действительный член АН СССР профессор A.A.Самарский кандидат физ.-мат.наук Р.Г.Еленш

Официальные оппоненты: доктор фзз.-мат.наук В.А.Треногин кандидат физ.-мат.наук Н.Н.Нефедов

Ведущая организация: ИПМ АН СССР им М.В.Келдаша

Защита диссертации состоится "_" _ 1991 г.

в_час._мин. в ауд._на заседании специализированного Совета К 053.05.87 при МГУ км.М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "_"_.1991 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доцент ^

/ В.М.Говоров /

msrs"«. З;:8ТЕУ u P Я, :!ши 'ТДвл ертдций

В течение последних пятнадцати лет проявляется большой интерес к математическому моделированию химических каталитических реакций *). Активно ведется разработка моделей, всс более полно а трансакция изучаемые явления, и совершенствование математических методов их анализа: кац аналитических, так и численных, в соответствии с методологией вычислительного эксперимента **). При современном подходе модели задаются системами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных по временной и пространственным координатам. В изучении этих систем важную роль играет поиск периодических по времени решений при определенных краевых и неопределенных начальных условиях, а также нахождение условий их устойчивости, возможности приближения в результате численного решения смешанной задачи.

В литературе, посвященной вопросам химической кинетики, предлагается следующая модель реакции каталитического окисления окиси углерода на платине, выводимая - как и для многих других реакций - из закона действующих масс:

*) Слинько М.Г. Некоторые проблемы математического моделирования химических процессов и реакторов. - Хим.пром-сть. 1987. *1. С.3-7.

**) Самарский A.A. О математическом моделировании и вычислительном эксперименте в физике. - Вестник АН СССР. 1979. JS5. С.38-49.

- 3 -ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

- к -

йи/И = к, (1 -и-у-и)2~ к^иу - ^иИ-я) ,

<17/(11 = 1^(1 -и-т-и) - к^иу - Цу - , ( 1 )

= к^иП-чт) - ,

к^ ^ 0, 1=1.,6. Здесь и.у.и означают концентрации адсорбированных 02, СО и растворенного в приповерхностном слое катализатора 02 соответственно. Эта модель описывает процессы адсорбции и десорбции молекул С>2 и СО, реакции С00-.С02 на поверхности платины, растворения О в приповерхностном слое, восстановления слоя адсорбированным СО.

Обобщение этой модели достигается введением в правую часть членов, учитывающих диффузию реагентов по поверхности:

ей ( а2и а27 -г

( б^и сг-ч сгт 1 2

= Ь1 I 2 + и(—2 + 1+Ц (1-и-7-И) Ч^Ш-к^О-Я),

г з2у з2и зЧг 1

Г дгт Э2и дг7 1

ац ди

—<ио) = —=о, ( г )

дх ах

зт ау

—(г,о> = —(1,1) = о,

ах дх

дч а?г

—(г.О) = —(г»1) = о; ъ. ^ с , 1=1.....6.

ах дх х

Диффузионные члены как в ( 2 )., ошсньавдие т.н. "прыжковую диффузию", были предложены в *>.

*) Горбань А.Н. .Саркисян Г.П., Быков В.И. "Описание нелинейной диффузии по поверхности катализатора на основе формализма химической кинетики // Химическая кинетика в катализе. Черноголовка. 1987. С.15-21.

- 5 -

В экспериментах с реакцией 2С0 + 02 - 2С02 при различных условиях неоднократно наблюдались периодические изменения скорости реакции и концентрации реагентов на поверхности катализатора. Для теоретического изучения этого явления представляет интерес анализ решений описанных вше моделей на периодичность по времени. Темой настоящей: диссертации является проведение такого анализа.

Актуальность темы. Тема диссертации охватывает вопросы, связанные с исследованием современных математических моделей ( 1 ) и ( 2 ) одной реакции гетерогенного катализа, в ходе которой наблюдается периодическое по времени повторение явлений. Она имеет своей направленностью расширение возможностей подключения математического аппарата и средств вычислительной техники к исследованию различных вариантов моделируемой реакции в зависимости от значений параметров. Раскрытие данной темы предполагает теоретические продвижения в развитии методов анализа на периодичность систем, обобщающих ( 1 ) и ( 2 ).

Цель работы. Диссертация имеет своей целью:

1) подытоживание известных результатов, относящихся к поиску периодических решений в моделях (1 ) и ( 2 );

2) распространение теории Андронова-Хопфа на бифуркацию стационарных решений систем у.ч.п. типа "реакция-диффузия", включающих в себя ( 2 ), вывод условий существования, единственности и устойчивости бифуркационных периодических репений;

3) наховденне достаточных условий возникновения лространственно--неоднородных периодических решений в модели, получаемой при возмущении малыми диффузионными членами системы ( 1 ), имеющей периодическое решение;

- б -

4) вывод асимптотических формул для установления условий применимости теории релаксационных колебаний к системам вида

( 1 ) и проверка условий их применимости;

5) численное решение примеров, иллюстрирующих практическое применение теоретических положений к системам ( 1 ) и ( 2 ) при реальных значениях параметров.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты примыкают- в части исследования бифуркаций для систем у.ч.п. к результатам Д.Сэттинкера *), представляя собой их уточнение с везависи-.мымш доказательствами для параболических систем вида { 2 ), обладающих, как устанавливается, фрздгольмовым свойством. Условия, при которых исследуется бифуркация на периодическом решении сяс-теш ( 1 ) отличается от изученных Д.Дкозефом и Ж.Иоссом ^ порядком возмущающего диффузионного члена; при этом впервые дается приближение пространственной неоднородности рапання с помощью эллиптических функций Якоби. Новщ! в сравнении с пояском бифуркационных решений является развитый в диссертации подход к внделенив периодических решений релаксационного характера; выявлены соотношения швду коэффициентами шюгопвраметрической .система (1 ), при которых к ней применима соответствующая теория ***). Численно построен пример зависящего от пространственной координата периодического решения ( 2 ) - ранее таких примеров не приводилось.

*) Sattinger D.H. Topics in Stability and Bifurcation Theory.

lecture Notes In Mathematics^ 1973. У.309. 191p.

**) Джозеф Д., Иосс S. Элементарная теория" устойчивости и

бифуркаций М., töip, 1983, ЗОЮ.

***) Мшценко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. И., Наука, 1975, 248с.

Практическая ценность. Исследования по теме диссертации проводились в рамках хоздоговорной НИР, выполнявшейся в лаборатории математического моделирования в физике на кафедре вычислительных методов факультета ВМиК МГУ. Результаты диссертанта вошли в отчет лаборатории, принятый заказчиком. Описанное в совместной работе диссертанта с М.М.Слинько [ 1 ) получение автоколебаний скорости рассматриваемой каталитической реакции проводилось в соответствии с направлением работ Института химической.физики АН СССР, признанным перспективным для решения задач химической кинетики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались в 1988-1989 гг. на заседаниях семинаров кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ под руководством А.А.Самарского, семинара кафедры дифференциальных уравнений мех.мат.факультета МГУ под руководством М.И.Вишика, семинара кафедры математики.физического факультета МГУ под руководством А.Б.Васильевой. По отдельным задачам, рассматриваемым в диссертации, делались сообщения на школах "Актуальные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Звенигород, 1987; Черноголовка, 1988), на конференции молодых ученик факультета ВМиК МГУ (1988). По материалам диссертации опубликованы 2 печатные работы, 4 работа находятся в печати.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав (по три параграфа в каждой), списка литературы и приложения. Общий объем диссертации 120 страниц, включая 10 рисунков и 8 таблиц. Библиография насчитывает 56 наименования.

- 8 -СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Введение. Обосновывается актуальность исследуемой проблемы; описываются изучаемые математические модели; определяются цели работы и кратко излагается ее содержание.

Глава Хь Посвящается изучении бифуркационного ровдения цикла в краевой задаче для параболической системы у.ч.п. типа "реакция - диффузия" /[ 3 ]/.

В §1 вводится система, обобщающая ( 2 ) с линеаризованными в

окрестности стационара диффузионными членами: dz a2z

— = В(ц)—5 + А(ц)г + Щи.х.ц)

at ах2 ( з J

dz dz

— (t,0) = — (t,1) = 0 дх dx

где: z(t,x) = ( z.,(t,x).....2m(t,x) ); А(ц) и В(ц) - матрицы

размерности mxm, элементы которых аналитически зависят от вещественного параметра ц, принадлежащего малой окрестности 0; N<z,x,n) - нелинейная вектор-функция размерности т, аналитическая по всем своим аргументам и имеющая при z = О нуль порядка выше первого, независимо от i к ц. Правая часть линеаризуется на стационарном по t и однородном по х решении z в О: Ь(|х) = Ъ(]х)дг/д^ + A((i); А(ц) = А0 + А^ + А2Ц2 + ... В(ц) = В0 + В^ + В2|х2 + ... ь0 = в0а2 /ах2 + а0 Делается предположение о бифуркационности:

оператор Ь0 имеет ровно два (простых) чисто мнимых собственных значения ±1ш0; ( 4 )

и предположение о невырожденности:

если 7(ц) есть собственное значение 1(ц) такое,

что 7(0) = iü>0, то Rey'íO) * 0. ( 5 )

- 13 -

Тогда при всех достаточно больших к^ система ( 1 ) имеет периодическое решение релаксационного типа.

Отмечается (лемма 11), что система ( 1 ) имеет не менее двух стационаров;, поетому, в частности, затруднено применение теории положительных операторов *) к поиску периодических решений этой системы. В третьем параграфе с точки зрения периодических решений оценивается эффект возмущения автономной системы о.д.у. малыми диффузионными членами. В первой части параграфа утверждение о том, что при определенных условиях периодавеское решение исходной системы о.д.у. трансформируется в периодическое решение возмущенной системы, аргументируется ссылкой на теорему о сингулярных возмущениях **).

Во второй части параграфа изучается случай, когда возмущенная система имеет вид:

дъ а2г 2

— = бВ—2 + (А0 + С А.)2 + Щг.й) ( 10 )

дтг

Э2 дг,

— (1,0) = —(1,1) = О ах ах

При этом предполагается, что автономная система о.д.у., полученная при 5 = 0, имеет решение и0 с периодом Т, а ядро оператора J = д/дХ - А0 - Щг , •) - К(-) состоит исключитель--но из функций вида с(х)г;0(1;), где с(х) - произвольная функция из С4[0,13, причем с'(О) = с*<1) =

*) Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы

нелинейного анализа. М., Наука,. 1975, 511с.

**) Кащенко С.А. Исследование асимптотически периодических решений автономных параболических уравнений с малой диффузией. Деп. ВИНИТИ 26.06.1934, Ä388 - 85 Дел. - 26с.

- и -

С помощью теоремы о неявном аналитическом операторе и леммы 12, давдей явное шраяение через эллиптические функции Якоби решения краевой задачи для некоторого нелинейного дифференциального уравнения второго порядка доказывается

ТЕОРЕМА 5. При достаточно малых значениях С существует Т-перио-даческое по t ревение ( 9 ), зависящее от х и представимое в виде: г(г.х.е) = и0(г) +■ еа0(1;)р(х) +

б(е) = е2аг + ... , где р(х) - решение краевой задачи из леммы 12: р(х)= о^ + (с^ - а3)вх12( К(а1 - а^/Ьй х) Здесь а,, а^, а^ - действительные корни многочлена р3 - Зр - (рэ(0) - 3р(0)). а, > с^ > с^ ,

такие, что: ЩКСс^ - а3)/(а1 - с^) ) = К(а1 - а^/бй; К(к) - полный эллиптический интеграл Лекандра 1 рода, эллиптическая фувкцдя ап(а) - синус амплитуды, величина с1 определяется как 1 = <Вг0, Ид > / <А1г0,2д >. При применении теоремы 5 к поиску периодических решений в системах у.ч.п. периодическими решениями исходных' автономных систем о.д.у. могут служить бифуркационные или релаксационные циклы, обнаруженные описанными выше методами.

Глава Посвящается изучению решений систем (1 ) и ( 2 ) численными методами /[ 2 3/. Это изучение имеет своею целью

. уточнение границ допустимых значений параметров Ц.....кб, при

которых теоретические положения глав 1 и 2 гарантируют существование периодических решений, а также построение решений.

В §1 строятся асимптотические приближения координат стационаров С 1 ) и ( 2 ) при а>, которые затем сравниваются с результатами их численного нахождения методом продолжения по параметру.

- 15 -

В §2 совокупность алгебраически! уравнений для определения стационаров дополняется еще одним, задающим условие наличия пары чисто мнимых собственных чисел у матрицы Якоби зтой системы в рассматриваемом стационаре; при этом в определяемые величины включается параметр 1ц или к^. Для расширенной системы также строится асимптотика решений при к^-»» и сравнивается с численным решением методом Ньютона. Сравнение показывает, что при реальных значениях коэффициентов асимптотические формулы достаточно точны для определения координат стационара и значения параметра ^ или к2, при котором происходит бифуркация Андронова-Хопфа в системе ( 1 ). Далее для обнаруженных бифуркаций определяются величины М-2, ш2» огшс1гва1а31е отклонение бифуркационного параметра, поправку к величине периода и устойчивость возникающего цикла; результаты вычислений сведены в таблицы. Численным решением задачи Коши для (1 ) с начальными данными, выбирав или вблизи от бифуркирукщего стационара, методом Гира 4 порядка Или неявным шгодом Эйлера с переменным шагом по времени строится приближение устойчивых циклов, сравниваемое затем с первым аналитическим приближением периодического решения *). Ставятся эксперименты по определению наибольшего отклонения параметра от бифуркационного значения, при котором цикл еще существует. Приводятся графики построенных траекторий.

Затем рассматривается случай бифуркации Андронова-Хопфа для системы ( 3 ).Для этой системы подобрана матрица В, положительно определенная, имеющая неотрицательные элементы, и при этом обеспечивающая для ( 3 ) выполнение всех условий теорем 1-3 из глэеы

*) Хэссард В., Казаринов Н., Вэя И. Теория и приложения бифуркации, рождения цикла. М., Мир, 1985, 279с.

- 16 -

1 в окрестности некоторого стационара. Величины (i2, ш2, ß2, вычисляемые в соответствии с теорией главы 1, описывают форму возникающего периодического решения и определяют его устойчивость. Численное решение смешанной задачи для системы ( 2 ) ведется по чисто -неявной схеме на сетках из 30 и 59 точек на отрезке [0,1 ]. Для сокращения времени счета при решении нелинейных уравнений на каждом временном слое используется модифицированный метод Ньютона *). Счет проводится на ЭВМ БЗСМ-6 и ЕС-1045 с двойной точностью. Производится сравнение полученных результатов с первым аналитическим приближением, находимым с помощью теоремы 1.

В §3 к системе ( 2 ) применяется теория релаксационных колебаний. С этой целью сопоставляются асимптотические выражения для кривой быстрых движений, стационаров на ней и условий их би-фуркационностн. Выясняется, что как сама S-образность этой кривой, так и отсутствие стационаров, препятствующих развитию колебаний, имеют место в значительном диапазоне значений коэффициентов. Нулевое приближение релаксационного цикла, состоящее из кривой быстрых движений и двух участков срыва, сравнивается с численным решением задачи Кош для ( 1 ) при выбранном наборе параметров.

Результаты отображаются графически. С помощью серии численных экспериментов подтверждается предположение о том, что в системе ( 1 ) возможно одновременное существование бифуркационного и релаксационного циклов; однако построенный в соответствующем примере бифуркационный цикл оказывается неустойчивым. Выявлена ситуация, когда бифуркирующий стационар сдвигается с неустойчивой

*) Самарский A.A., Гулин A.B. Численные метода.

М.. Наука, 1989, 432с.

- 17 -

ветви на устойчивую и срывает релаксационные колебания. Неустойчивые циклы изучаются методом А.И.Хибнина. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Распространение-бифуркационной теории Андронова-Хопфа на некоторый класс систем дифференциальных уравнений в частных производных, охватывающий модель ( 2 ), с доказательствами фредгольмовости оператора J, существования, единственности и устойчивости периодического решения, роздаюцегося из стационара, и построением соответствующих численных примеров.

2. Вывод и практическая проверка условий применимости теории релаксационных колебаний к поиску периодических решений в модели ( 1 ) при достаточно больших значениях к^.

3. Исследование (с доказательствами и построением примера) явления ответвления от периодического решения системы ( 1 ) периодического решения системы типа ( 10 ), получащейся при возмущении ( 1 ) малыми диффузионными членами определенного вида.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: 1. Шобухов A.B..Слинько М.М. Изучение математической модели автоколебаний скорости реакции окисления СО с учетом окисления и восстановления поверхности платины // Кинетика и катализ. 1989. Г.ЗО.вып.б. С.1474-1480. 2.. Шобухов A.B. Численное исследование периодических решений одной математической модели гетерогенного катализа // Вестник МГУ, сер.15 "Вычислительная математика и кибернетика". 1989. Ш. С.24-28 . 3. Шобухов A.B. Бифуркация Андронова-Хопфа в краевой задаче для параболической системы у.ч.п. на отрезке. // Сборник трудов<;ф-та ВМиК ШГУ. 1991 (в печати).