автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Исследование алгоритмов уравнивания геодезических сетей с включением в них пунктов, определенных различными видами засечек

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ

РГО С,!1 Напрзвах "У™

О ■■ ГГ:^ ■ О ! I

ДЕГТЯРЕВ АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ

УДК 528.181:528.412

Исследование алгоритмов уравнивания геодезических сетей с включением в них пунктов, определенных различными видами засечек

05.24.01 - Геодезия

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА 1993

Работа выполнена на кафедре геодезии-Московского Государственного Университета геодезии и картографии

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор МАРКУЗЕ Ю.И.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Матвеев С.И.

кандидат технических наук, доцент Подшивалов В.П.

ь

Ведущая организация: Московское аэрогеодезическое

предприятие

Защита диссертации состоится в fV часов на заседании Специализированного Совета К. 063.01.01 в Московском Государственном Университете геодезии и картографии по адресу: 1030G4, Москва, Гороховский пер., 4, МосГУГиК (МИИГАиК), ауд. 321. .

С диосертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разделан lgg^r.

Ученый се1фетарь Специализированного Совета, к.т.н.

ö,L~J-

В.А. Монахов

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. При производстве топографо-геодезичес-ких работ часто возникает необходимость в оценивании пункта, определенного каким-либо видом засечек. Подобные задачи имеют место, например, в привязочных работах.геодезии, геофизики, некоторых видах работ космической и прикладной геодезии, при создании съемочного планово-высотного обоснования и многих других. При математической обработке подобных построений возникают проблемы, на которые ранее практически не обращалось внимание. Во-первых, можно ли удалить вставку, и обрабатывать ее отдельно. Как это повлияет на опорные и не опорные для точки определенной засечкой пункты. Этот вопрос важен с двух сторон: вычислительной - стоит ли усложнять алгоритм оценивания, используя совместное уравнивание сети и вставки или уравнивание с учетом ошибок исходных данных; корректирующий - возможность постоянной корректировки оцениваемых элементов сети, находящихся в базе данных ЭВМ не прямыми, направленными на это работами. Динамические базы геодезических данных находят все большее применение в геодезическом производстве разных стран. Во-вторых, как использовать имеющуюся информацию при совместном уравнивании или уравнивании с учетом ошибок исходных данных, если эти ошибки практически не известны, или известны в минимальной отепени, в пределах допустимых отклонений при сравнении со строгими способами.

Цель работы. Практическое исследование выявленных проблем при оценивании сети и вставки; .возможностт применения машинного моделирования при репении некоторых вопросов математической обработки результатов геодезических измерений; программная реализация полученных вычислительных схем.

- 4 -

Научная новизна работы определяется следующим.

1.Получены и исследованы зоны влияния пункта определенного каким-либо видом засечки при вставке его в сеть.

2.Предложен и исследован ряд формул и критериев, позволяющих как оценивать вставку при дефиците исходной информации, так и степень ее влияния на окружающие пункты.

3.Разработаны и исследованы схемы упрощений (вплоть до отдельной обработки вставки) различных алгоритмов уравнивания на основе предложенных условий, как то, конфигурация и (или) набор измерений во вставке, соотношение весов, специфика используемых матриц и др.

4.Рассмотрена возможность, и получены для практического использования вычислительные схемы для оптимального проектирования вставок по точности измерений и конфигурации, уравниваемых с учетом погрешностей опорных точек.

Проведенные в работе исследования и формулярно обоснованные рекомендации позволяют ответить на вопрос о целесообразности усложнения алгоритма оценивания сети и вставки; необходимости учета меры искажения окружающих засечку пунктов, если использу-.ется динамическая база геодезических данных.

Методика исследований. Принципиальные вопросы уравнивания с учетом ошибок исходных данных основательно разработаны такими учеными-геодезистами К.Л. Проворов, A.C. Чеботарев, Ю.И., Марку-зе, В.А- Коугия, В.К. Христов и др., но не получили широкого практического применения.

Исследования по. теме диссертации выполнялись с учетом современных достижений в области теории оптимизации, прикладной статистики, математическом аппарате теории матриц. Экспериментальные вычисления выполнялись по программам составленным авто-

ром, на основе стандартных подпрограмм составленных на кафедре геодезии МосГУГиК (МИИГАиК) для персональных компьютеров.

Реализация результатов исследований. Результаты исследований по теме диссертации внедрены автором в производство в 1993г. Они использовались Новополоцким филиалом БелГИИЗа при переопределении некоторых пунктов геодезической сети, уничтоженных в процессе реконструкции нефтеперерабатывающего комплекса.

Апробация работы. Результаты выполненной работы докладывались и обсуждались на техническом Совете филиала БелГИИЗа; на 22 и 23 научно-технической конференции молодых ученых и специалистов Полоцкого Государственного университета.

Публикации. Результаты выполненных исследований опубликованы в 4 научных статьях.

Объем и структура. Диссертационная работа состоит из введения, 3-х глав и содержит 146 страниц машинописного текста (в том числе 112 страниц основного текста, 8 таблиц, 6 рисунков и 4 приложения. Список литературы включает 94 наименования, из них 17 - на иностранных языках.

Содержание работы. Вовведении обоснован выбор темы и ее актуальность. Сформулированы цель и задачи исследований.

В первой главе "Теоретические аспекты совместного уравнивания и оценки точности сети и вставки" кратко освещены работы других авторов по предложенной тематике. Показана некоторая односторонность и упрощенность подхода к проблеме.

На основе деления системы уравнений поправок, составленной для случая совместного уравнивания геодезической сети и вставки

v = А • Дх + I n-1 t-n n-1 t-1

на блоки следующим образом

VI /ц 0 0 Дх1 н

Уг - /21 /22 о • Дх2 + 1г (2)

УЗ 0 . /32 А33 Дхз 1з

и обобщенного алгоритма Гаусса решения систем линейных уравнений представлены известные формулы в развернутом виде: - для обратной матрицы весов определяемых параметров в блочной форме

а- К

■-1.

№ в

Щ[Язз-2] №зз-2]

-1

-1

-1

(3)

где использованы известные символы Гаусса [/?22-1]=/?22-Л!21Я1Г1Я12; 11?ЗЗ-21=1?ЗЭ-1?32-№22-и-1/?2з; [¿2-1]= ¿2- [¿3-2]=Ьз-/г32-С?22-1]-1^2.

и обозначения

У^Х/ггг-И'^гз: Яи-1^; б-С/ггг-И^+^ЕЯзз-гг1«!1; - самого вектора неизвестных параметров с использованием "обратного хода"

Дх - ДХ2 я

Дхз

(4)

Яп-1 Ц.1-Я12ЛХ2) №22 • 13-1 ([¿г • 13 -/?2зАх3) [/?зз-2]-1и-з-2]

где /?и - соответствующие блоки матрицы нормальных уравнений. Получены также различные виды вектора поправок в измерения, его ковариационной матрицы и квадратичной формы. При этом, диагональные блоки представленных матриц относятся к пункту опреде-

ленному засечкой, исходным и не исходным для вставки точкам соответственно. Такое разбиение позволяет проследить как процесс формирования, так и степень влияния матриц друг на друга для рассматриваемых групп пунктов при уравнивании и оценке точности соответствующих элементов.

Используя известную лемму о обращении композиции матриц

{Х±ЦУУ)~1=Х'1-Х~'1и{У~1±УХ^1иУ1УХ~г (5)

и полученные развернутые формулы, показана общность совместного оценивания сети и вставки и известных способов уравнивания с учетом ошибок исходных данных как для пункта, определенного каким-либо видом засечек, так и для опорных и не опорных для нее точек. Например, из блока обратной матрицы для пункта вставки из формулы (3)

033=(/?33-/?Э2№22-%1;?11"1^12)^23)"1, (6)

получим формулу, предложенную Ю.И. Маркузе (1972г)

Чзз=Язз-1+МЗгУ. (7)

где #зз_1Я23=и, а - обратная матрица весов ошибок исходных данных после преобразования; формулу Коугия-Христова (1966г) «зз=МЗЗтОф"1^ЗЗГ1, (8)

где

0ф~1=Р2-Р2Аз'2(А22ТР1А22+А32ТР2А32-А22ТР1А21>?11~1А21ТР1А22У1* *ЛгзР2 - матрица весов "фиктивных" измерений, (9)

или некоторые другие виды использующие обобщенный перенос ошибок.

Получены различные представления используемых матриц (обратных матриц) весов ошибок исходных данных, например, вида

Ш®= (Р2-Р2Л32 №22 • 1 ] _1/2зР2) .

02ф= (Рг-РгЛзгСЯгг^+Ягг-1^ №11 • Ц-^^гг'^/гзРг)-1.

<ЗЗф=(Я2-1+^3202>123). (10)

где 0г=М22Р1'422-'?21'?11~1Я12)~1 -обратная матрица весов ошибок исходных данных. Такие представления необходимы для возможности замены этой матрицы на какие-либо ее части без существенной потери строгости обработки. Эта сторона вопроса особо важна, т.к. в процессе производства топографо-геодезических работ очень редки случаи, когда известна точная матрица весов (обратных весов) погрешностей опорных пунктов.

Применяя известный принцип ничтожных • влияний, например,

типа

*

ШХ |бр;|- бЫ < ебр

или

I бел- бклI

шах-< е, (11)

1 бР

*

где бра независимые стандарты двух величин; для частных случаев получены критерии на основе общей формы вида

Ои - О*/ < к-Ои (12)

позволяющие оценить меры следующих влияний: возможно ли уравнивание вставки без учета ошибок исходных

данных;

- как изменяет внесение пункта определенного засечкой оцениваемые элементы опорных и не опорных для нее точек;

- при каких условиях возможна замена точной обратной матрицы весов ошибок исходных данных на один из предложенных аналогов, в которых изменены или отсутствуют.один или несколько блоков. Например, считая за (3 в неравенстве (12) матрицу полученную по способу Христова В.К. после учета ошибок исходных данных, а за О* матрицу /?ц-1 вычисленную с безошибочными данными, некоторые виды критериев можно представить как

(Л&Г^ЬГЧЯи-1)^ <

(Лг®-1^/ > №+1)-(/?цЬ;|. (13)

Получены и исследованы также критерии для обобщенных относительной и абсолютной ошибки, а также о мере влияния одного измерения, вида

иа+р^Ъ-^а^) < к+1.

или

(1-Ю/(1+Ю < (14)

Для получения альтернативных критериев использовались элементы теории информации, как то, количество информации и мера неопределенности (энтропия). Если у сравниваемых матриц одина-

ковые размеры и точность измерений из которых они были получены. то изменение энтропии вектора определяемых параметров при переходе от одного варианта к другому равна логарифму отношения их определителей

Мх= 1о?(с1еШ)/аеШ')). (15)

Используя неравенство критерия ничтожных погрешностей можно получить его связь с изменением энтропии

-¡о^а+Ю < ДЯХ. (16)

В работе получены и другие приближенные неравенства этого типа.

На основе выведенных формул в заключение главы рассмотрены критерии для опорных и не опорных для вставки пунктов, а также правомерность замены точной матрицы в вычислительной схеме на какой-либо ее аналог, и возможность применения различных коэффициентов к в критериях где он используется.

Во второй главе " Практическая реализация способов совместного оценивания сети и вставки" рассмотрены некоторые нетрадиционные возможности получения коэффициентов уравнений поправок и приближенных координат, учитывающих специфику используемых при обработке V ириц. Такой подход при определенных условиях, например для полярной .(как плановой так и пространственной) засечки позволяет получить очень компактную схему обработки с использованием ортогональных матриц:

В практические -исследования были включены четыре плоских, и три пространственных вида засечек, четыре альтернативных вида точной матрицы ошибок исходных данных. Отдельно рассматривался

способ совместного уравнивания зоны определенных размеров и вставки, позволяющий как показали вычисления, провести корректное с точ! л зрения критерия ничтожных погрешностей оценивание. При этом, в зависимости от соотношения точности измерений в сети и вставке модно, уменьшить эту зону за счет уравнивания с учетом неточности опорных пунктов, используя в качестве обратной матрицы весов погрешностей диагональную, с элементами вида

<7^=^2/2-бо2, (17)

где Мрз~ ошибка определения ,7-го пункта из каталога, бо- априорная или апостериорная среднеквадратическая ошибка единицы веса сети.

С этой точки зрения хорошие практические результаты дает применение рекуррентного уравнивания, и в том числе с учетом ошибок исходных данных с начальной матрицей

Оо =

<3ис*. О О £-10ш

(18)

■ Вычисления производились при различном расположении вставки относительно исходных пунктов, с различным числом избыточных измерений и разными как точностью самих измерений в засечке, так и соотношением точностей измерений в сети и вставке.

В результате исследований были получены зоны влияния'различного вида вставок на окружающие пункты сети при изменении перечисленных выше параметров; выявлены условия, при которых возможно уравнивание засечки без учета ошибок исходных данных; получены пригодные для практического применения вычислительные

схемы уравнивания и оценки точности сети и пункта, определенного каким-либо видом засечек при различных ограничениях информации об ошибках исходных данных.

Последняя часть главы посвящена возможности при определенных условиях и для класса не выше третьего получать точки определенные засечкой как пункты государственной геодезической сети. При этом, недостаток контролируемости и потери точности из-за использования односторонних измерений предложено в какой-то мере компенсировать увеличением точности основных измерений примерно в 1.41 раз и увеличением жесткости построения,

В третьей главе "Использование дополнительных возможностей при уравнивании засечек" рассмотрен подход, трактующий рекуррентное и регуляризованное уравнивание как задачу оценивания с приближенными весами измерений путем добавления к матрице нормальных уравнений другой матрицы, с очень малыми элементами

Ох-ижЛг1«-1. (19)

В зависимости от того, равна матрица О нулевой или нет мы получим известные способы уравнивания с учетом ошибок исходных данных. или рекуррентный и регуляризацию.

Для возможности отбраковки грубых измерений при крайне ограниченном числе измерений рассмотрено применение известных в математической статистике робастных процедур. В качестве основной вычислительной схемы применялись часто используемые в математической обработке геодезических измерений метод ¿Р-оценок. который переходит в классический метод наименьших квадратов при р=2.

- 13 -

Кроме того, проведенные вычисления показывают, что для исследованных засечек, уравниваемых с учетом ошибок исходных данных, существенное отличие как в следе, определителе, изменении энтроп) 1, так и в величине суммы квадратов уклонений от какой* либо фиксированной оценки при использовании Lp-оценок наиболее существенно проявляется для р>2. Наименьшие значения перечисленных выше величин наблюдаются в диапазоне 1.9<р<2.1. Это говорит о том, что для.стандартных геодезических измерений (линейные, угловые) как их разнородность (например, полярная засечка), так и малость выборки не мешают использовать в качестве наиболее эффективных оценок при уравнивании вставок с учетом ошибок исходных данных оценки, полученные по методу наименьших квадратов. При этом изменение энтропии, например, для линейной засечки .на величину в 1.4 bit говорит также как и критерий ничтожных погрешностей - 0.15<0.И, о существенных различиях результатов уравнивания при р=1 и р=2. Но т.к. величина суммы квадратов уклонений от оценки полученной при р=1 (Ai=1.722) больше чем при р=2 (Дг=1.б41), то можно сказать, что МНК-оценка для данного случая предпочтительнее.

В процессе вычислений была получена эмпирическая формула связи изменения энтропии исследуемого объекта, и критерия ничтожных погрешностей, которую можно использовать для предварительного анализа значимости изменения вычислительной схемы

Л/НДО-O.ll-Ql-Ю, (20)

где ДО - величина изменения ковариационном матрицы результата оценивания после замены точной матрицы Q на альтернативную.

В заключение главы рассмотрена возможность оптимального

проектирования пунктов определенных каким-либо видом засечек и оцениваемой с учетом ошибок исходных данных. За основные приняты следующие виды

1.Проектирование первого порядка, решающее задачу определения конфигурации сети, т.е., при заданных матрицах весов измерений Р и ковариационной матрицы определяемых параметров. £2*, требуется определить матрицу А.

2.Проектирование второго.порядка, служащее для определения оптимального плана измерений Р при заданных матрицах А и £2Х.

Отмечено, что для проектирования даже таких построений с минимальным числом измерений как засечки уравниваемые с учетом ошибок исходных данных прямыми методами (использование псевдообратных матриц, произведений Кронекера, Катри-Рао и др.) сопряжено с определенными вычислительными трудностями. Задача как известно сводится к отысканию или матрицы плана Р, или матрицы конфигурации А из матричного уравнения известного в теории матриц как уравнение Сильвестра второго рода

А7РА = Ох-1 (21)

при оценивании без учета погрешностей априорной информации. При уравнивании с учетом ошибок исходных даннйх, как показали исследования для этих целей наиболее целесообразно использовать алгоритмом Христова-Коугия в развернутом виде

С2х= (Р_1+Ва2Вт>4)=(У5т£2ф_14)(22)

При наличии хороших вычислительных средств вопросы оптимального проектирования возможно решить с помощью средств ма-

шинного моделирования, введя предварительно некоторые правда поиска решения. Этот подход лишен всех недостатков выявленных выше для строгих способов, чрезвычайно прост в реализации и дает хорошие результаты. Для оптимального плана измерений возможно использовать метод половинного деления. Тогда вычислительная схема сведется к следующим шагам:

- задать точность конечных вычислений £;

- выбрать максимальную и минимальную точность измерений между которыми должны находиться искомые значения. Например, для угловых измерений это может быть 0.7"<щ<7.0". Точность измерений (групп измерений) принимается одинаковой;

- используя какой-либо алгоритм уравнивания с учетом ошибок исходных данных получить три значения обратных к ковариационной матриц, и три их следа по максимальной, минимальной и средней точности измерений;

- сравнив след заданной матрицы с полученными, выбрать один из двух интервалов, й которое попадает вычисленное значение;

- вычислить среднее значение точности в интервале и используя ее, получить новое значение обратной ковариационной' матрицы;

- найти новый интервал в котором находится след заданной матри-

I

цы и вычислить для него среднюю точность измерений.

- если расхождение между заданной и вычисленной величиной меньше е, то считать точностью измеренных величин последнее среднее, а иначе вернуться на пункт 5.

Проведенныё вычисления для проектирования, линейных, линейно-угловых и угловых встагок (как плановых так и пространственных) обрабатываемых с учетом ошибок исходных данных показали хорошее качество приведенной схемы при достаточно малом числе итераций.

- 16 -

Основные результаты выполненных исследований заключаются в следующем:

1.Показана целесообразность индивидуального подхода к каждому случаю оценивания пункта, определенного каким-либо видим засечки. При этом были рассмотрены такие аспекты как усложнение алгоритмов для получения максимальной (заданной) для данного построения точности искомых параметров и возможность упрощения вычислительной схемы без существенной потери точности при сравнении со строгим алгоритмом.

2.Используя наиболее общий алгоритм совместного Уравнивания сети и вставки, основанный на обобщенном алгоритме Гаусса получены упрощенные формулы оценивания пункта определенного засечкой с учетом ошибок исходных данных и критерии, позволяющие их использовать.

3.Предложены и исследованы упрощенные' алгоритмы при условиях наличия точной информации об ошибках исходных данных, наличия какого-либо ее аналога или отсутствия вообще. Произведено сравнение с известными строгими способами как с точки зрения известного в метрологии критерия ничтожных погрешностей, так и с точки зрения теории информации.

4.Выявлены и исследованы условия, при которых возможно оценивание засечки без учета неточности опорных пунктов, как то, соотношение весов в исходной сети и вставке, изменение конфигурации 'и набора измерений в засечке и др.

5.Получены*критерии, позволяющие оценить значимость величины изменения конечного результата при изменении (уничтожении) какой-либо части вычислительной схемы. Выявлена связь их коэффициентов № или е) с изменением меры неопределенности, величины, известной в теории информации как энтропия.

6.Был выполнен сравнительный анализ предложенных упрощенных формул 1 отношении к строгим как со стороны потери точности, так и со стороны вычислительных затрат.

7.Показана возможность при определенных условиях оценивания пунктов государственной- геодезической сети с использованием разного рода засечек, которые обрабатываются с учетом ошибок исходных данных и при заранее рассчитанной точности измерений, а также отбраковки грубых измерений в этих условиях.

8.Осуществлено исследование негауссовских оценок определяемых параметров с точки зрения применения их как альтернативных методу наименьших квадратов при уравнивании вставок с учетом ошбок исходных данных.

9. Анализ результатов исследования негауссовских алгоритмов показал, что как по изменению энтропии, так и по величине квадрата уклонения от какой-либо фиксированной оценки, наилучшими (и наиболее просто реализуемыми с вычислительной точки зрения) являются результаты полученные при показателе р=1.9+2.1 при наборе стандартных для геодезии измерений (направление, длина, угол наклона! азимут). Можно сделать вывод, что при отсутствии сильно разнородных измерений (включение в обработку астрономичес- ■ ких, гравиметрических и др. наблюдений) при уравнивании вставки с учетом ошибок исходных данных наиболее рационально й целесообразно использовать стандартную минимизацию суммы -квадратов уклонений (ШК-оценки). Также установлено, что при минимальном числе избыточных измерений (£=1+2) это правило иногда нарушается (в основном при засечках-с разнородными измерениями).

10.С использованием машинного моделирования показана возможность оптимального, проектирования вставок уравниваемых с учетом ошибок исходных данных как по точности измерений, так и по кон-

фигурации. Вычислительные схемы эффективны только при наличии хороших вычислительных средств.

11.Получены и исследованы формулы, позволяющие оценить вклад, вносимый в конечный результат отдельным измерением в засечке оцениваемой с учетом ошибок исходных данных.

12.Произведено детальное исследование возможности и целесообразности как усложнения алгоритмов оценивания (уравнивание с учетом ошибок исходных данных, разные виды совместного уравнивания сети и вставки), так и упрощения в виде раздельного оценивания сети и пункта, определенного разными видами засечек.

13.Получены и исследованы зоны влияния различных видов засечек на все пункты сети с точки зрения возможности уточнения каталога координат» находящегося в базе данных.

14.На основе стандартных подпрограмм и собственных разработок на языке Quick-Basic 7.0 написана комплексная программа исследования вставок PGIV. Программа включает в себя возможность машинного моделирования по в§еденным правилам, редактирования, корреляционного и информационного анализов, использования нега-уссовских итерационных процедур и др., и кроме исследовательских разработок может применяться для практических целей уравнивания.

■Основное содержание диссертационной работы опубликовано в следующих статьях:

1.Дегтярев A.M. Исследование возможности уравнивания вставок с учетом ошибок исходных данных //Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1993, -N 1, -с.4-8.

2.Дегтярев A.M. Надежность алгоритмов совместного уравнивания сети и вставки. //Рукопись деп. в ОНШР ДНИИГАиК. -10.04.93. -N 246-гдЭЗ, -16с. '