автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Математическая обработка и анализ точности наземных пространственных геодезических сетей методами нелинейного программирования и линейной алгебры



чс#

На правах рукописи

АБУ ДАКА Имад

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ НАЗЕМНЫХ ПРОСТРАНСТВЕНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ МЕТОДАМИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Специальность 05.24.01 Геодезия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону, 1998

Работа выполнена на кафедре прикладной геодезии и фотограмметрии Полоцкого государственного университета

Научный руководитель:

и.о. профессора, кандидат технических наук, Мицкевич В.И. Официальные оппоненты:

профессор, доктор технических наук Добрынин Н.Ф. доцент, кандидат технических наук Туполев О.В.

Ведущая организация: Южное аэрогеодезическое предприятие

Защита диссертации состоится « » Ноября 1998 г. в часов на заседании Специализированного Совета К 043.64.06 Ростовского государственного строительного университета по адресу: 344022, г.Ростов-на-Дону, ул.Социалистическая, 162. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГСУ.

Автореферат разослан « 49 » ОНТЯбРЯ 1998г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета

Г.К.Туполева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Благодаря современным научным достижениям в области радиоэлектроники, автоматики, точного приборостроения и электронно-вычислительной техники на геодезическом производстве стали применяться точные приборы, позволяющие развивать наземные пространственные геодезические сети. Составной частью этих сетей служат наземные пространственные геодезические засечки, которые широко используются на производстве. При этом разновидность применяемых пространственных засечек весьма ограничена. В основном используют прямые и обратные пространственные засечки, засечки по вертикальным углам и линейные засечки. Комбинированные линейно-угловые пространственные засечки практически не применяются, несмотря на их пригодность для производства геодезических работ разнообразных по точности конечных результатов. Основные причины этого заключаются в отсутствии универсального алгоритма и надежного программного обеспечения для решения, уравнивания и оценки точности любых пространственных геодезических засечек, отсутствии априорных характеристик их точности и главное - в установившейся традиции на топографо-геодезическом производстве, согласно которой' геодезические наземные пространственные сети, как правило, обрабатывают раздельно в плане и по высоте. В этих условиях, например, при развитии наземной пространственной городской полигонометрии с большими углами наклона линий между пунктами, традиционно редуцируют измеренные наклонные дальности на поверхность относимости и на плоскость проекции, теряя тем самым ценную информацию, пригодную для определения высот пунктов, благодаря современной высокой точности дальномерных измерений.

Диссертация посвящена актуальным вопросам математической обработки наземных пространственных геодезических сетей в пространственной системе координат методами нелинейного программирования и линейной алгебры.

Цель исследований - разработка универсального алгоритма решения любых наземных пространственных засечек, уравнивания и оценки точности наземных пространственных геодезических сетей на основе теории математического программирования.

Методика исследований. Алгоритмы решения, уравнивания и оценки точности наземных пространственных геодезических засечек без применения математического программирования разрабатывались многими учеными - геодезистами. Хорошо известны работы П.И. Барана, A.B. Буткевича, Л. Градиле-ка, В.Ф. Еремеева, В.В. Котова, Б.И. Никифорова, В.А. Падве, М.П. Пятницкой, Н.С. Чирятьева и многих других ученых. Обработке наземных пространственных геодезических сетей без применения нелинейного программирования посвящены работы Е.Г. Бойко, Г.Д. Курошева, Ю.И. Маркузе, В.А. Полевого.

И.П. Ярмоловича и других ученых. Хорошо известны труды по применению наземных пространственных геодезических сетей для решения задач геодинамики. Решению пространственных засечек методами нелинейного программирования посвящены работы 3. Адамчевского, В.И. Мицкевича и др.

Научная новизна работы определяется следующим.

1. Разработана методика предрасчета точности различных наземных пространственных засечек по изоповерхностям ошибок положения.

2. Создана методика определения параметров эллипсоида ошибок методами нелинейного программирования по изоповерхностям целевой функции.

3. Получены новые формулы по предрасчету чисел обусловленности для наземных пространственных симметричных геодезических сетей.

Реализация результатов исследований. Разработаны палетки, позволяющие предрасчитывать точность разнообразных пространственных засечек. Создана программа для персональной ЭВМ серии ШМ PC/AT, выполняющая решение, уравнивание и оценку точности любых пространственных засечек по единому алгоритму. Также для персональных ЭВМ разработана программа, выполняющая предрасчет точности любых наземных пространственных геодезических сетей, содержащих до 50 определяемых пунктов. Разработанные программы внедрены на производстве и в учебном процессе по дисциплине «Геодезия» в Полоцком государственном университете.

Апробация работы выполнялась на научных конференциях и семинарах кафедры прикладной геодезии Полоцкого государственного университета.

Публикации. Результаты выполненных исследований опубликованы в четырех научных работах.

Объем и структура. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений, содержит 142 страницы машинописного текста. Список литературы включает 37 наименований.

В первой главе разработаны на основе методов нелинейного программирования общие методики решения, уравнивания, оценки точности и предрасчета точности наземных пространственных геодезических засечек.

Во второй главе изложены вопросы уравнивания наземных пространственных геодезических сетей методами нелинейного программирования и линейной алгебры с применением рекуррентного способа.

Третья глава посвящена анализу точности наземных пространственных геодезических сетей.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определено ее место в решаемой проблеме и поставлены задачи исследований.

В первой главе основное внимание уделено методам решения, уравнивания, оценки точности и анализу точности наземных пространственных геодезических засечек.

Методика анализа точности засечек разработана на примерах однократных пространственных засечек, показанных на рис. I - 9, где [3 - горизонтальные углы; V - вертикальные углы; Б - наклонные дальности.

Рис.1. Прямая угловая пространственная засечка

Рис.2. Засечка с использованием двух вертикальных и одного горизонтального угла

V.

(3 /У2/

/ у

/

/

Рис.3. Обратная угловая пространственная засечка

Рис.4. Три вертикальных угла

V,

\ / V /

Р

У

82

Рис.5. Три наклонных дальности

Рис.6. Комбинированная засечка

Рис.7. Комбинированная засечка Рис.8. Комбинированная засечка

Рис .9. Комбинированная засечка

Для каждой засечки вычислялись значения характеристик точности положения в 1000 узлах регулярной сетки, показанной на рис.10 для пространственной засечки, изображенной на рис.3. При расчетах принята следующая точность результатов измерений: стр = 2": = 5" и а, = 0,02 м. Чтобы воспользоваться изолиниями для предрасчета точности засечки, на прозрачной бумаге (кальке) строят сетку, показанную на рис.10 для плоскости 11. Эту сетку перемещают на нужную плоскость, номер которой указан на изолиниях.

X

Рис.10. Регулярная сетка Расчеты показали, что отношение погрешности определения ошибки положения к средней длине стороны засечки составляет 1/5000, что вполне улов-

летворительно для анализа точности засечек. В диссертации приведены 27 палеток (для каждой засечки три палетки: для полной ошибки положения; для ошибки положения в плане и по высоте). Для каждой засечки выполнятся на ЭВМ поиск точки, для которой полная ошибка положения будет минимальной. Так, для пространственной засечки, показанной на рис.3, наилучший вертикальный угол засечки составляет 31,8°; для засечки (см. рис.4) - 42,0°; для засечки (см. рис. 5) - 37,8°; для засечки (см. рис.6) - 48,9°. Экспериментально установлено, что наиболее точное определение высоты точки осуществляется засечками, показанными на рис.7 и 8.

Отметим, что для засечек, представленных на рис.1 - 5, существуют формулы для их аналитического решения. Для остальных засечек формул нет. В диссертации предлагается любые наземные пространственные засечки решать по единому алгоритму путем минимизации методами нелинейного программирования целевой функции

Ф (Х)=±С-Ц(Х\ (1)

где к - число измерений;

Г, - нормирующие множители, вычисляемые под условием СДЦУр, (Л"| = 1: (Л") = <р,(Л")-Г,; <р,{Х)- нелинейная функция, выражающая измеренные величины через параметры; Г, - результат измерения.

После получения предварительных координат определяемого пункта путем минимизации критериальной функции (1) приступают к минимизации функции

Ф(Х)=<ГР,1.;{Х\ (2)

где Рг веса результатов измерений, и получают уравненные координаты.

Поскольку при вычислении и уравнивании пространственных засечек предлагается не использовать уравнения поправок, не составлять нормальные уравнения и следовательно, не вычислять обратную матрицу нормальных уравнений, которую обычно используют для оценки точности функций уравненных величин, в диссертации предлагается выполнять оценку точности положения пункта новым методом по изоповерхности целевой функции (2). Этим методом находятся параметры эллипсоида погрешностей, соответствующего изоповерхности целевой функции, отстоящей от точки минимума на величину, равную

ДФ = ¿г. где /г - средняя квадратическая ошибка единицы веса. Обоснование правильности выбора изоповерхности базируется на теореме, доказанной X. Вольфом.

Методика поиска эллипсоида ошибок, показанного на рис.11, заключается в следующем.

Рис.11. Эллипсоид ошибок

1. Найдем с точностью к/А направление большой полуоси а. Для этого на полусфере единичного радиуса вычислим значения функции (2) в 17 симметрично расположенных точках и выделим из них ту, в которой приращение функции (2) будет минимальным. Допустим, что это точка Р на рис 11.

2. Найдем точное направление большой полуоси. Для этого вычислим направляющие косинусы отрезка ОР:

Х? - Л'п - Ур ~ Уо — 2л , >

С05<у = —--со$р = —-—; С05г = —--— р)

5 Я Я

Найдем минимум целевой функции (2) в секущей плоскости О, перпендикулярной к ОР, изменяя координаты с, ц. Зная с^ ц,, можно определить X,, У,, 2, по формулам:

х1 = Хг У1 =Ур + 2;=г?+а3£г

где / - номер приближения; коэффициенты ал равны

аи = совусов Л; а,,=-51лЛ; от,, = соБ/эт л;

а.:=со5Л; а31=-5т^; собЛ = со5со/$ту

В результате минимизации функции (2) в плоскости 0 найдем координаты точки М (см. рис.11) и по формулам (3), заменяя координаты точки Р на координаты точки М, получим направляющие косинусы отрезка ОМ, т.е. большой полуоси эллипсоида погрешностей.

3. Выполняя одномерную минимизацию целевой функции

по направлению ОМ найдем значение большой полуоси а.

4. Осуществляя поиск параметров эллипса в плоскости, проходящей через точку 0 перпендикулярно к ОМ, найдем полуоси в, с и их направляющие косинусы. Здесь также используются формулы (4), заменяя в них координаты точки Р на координаты точки О и вычисляя коэффициенты аи для отрезка ОМ.

Преимущества новой методики вычисления параметров эллипсоида погрешностей заключаются в следующем.

1. Методика поиска не зависит от вида целевой функции. Так, в диссертации впервые получен эллипсоид ошибок при использовании метода наименьших модулей.

2. Методика дает устойчивое решение при любом качестве засечек и не дает деления на ноль даже в вырожденном случае.

Если в первой главе диссертации рассматривались вопросы решения, уравнивания и оценки точности пространственных засечек, то вторая и третья главы посвящены методам математической обработки наземных пространственных геодезических сетей.

Во второй главе излагаются вопросы многогруппового итеративного метода уравнивания пространственных сетей. Предлагается находить каждую группу неизвестных методами нелинейного программирования, расчленяя любую по сложности геодезическую сеть на однократные или многократные пространственные засечки. Этот метод удобен для программирования на ЭВМ, но при большом числе определяемых пунктов медленно сходится, так как требует I итераций, где I - число параметров.

В противоположность многогрупповому итеративному способу быстро сходятся итерации, выполняемые методом Ньютона по формуле:

X1-'*" = X"' - Н"'(Х|',)7Ф(Х'}

(5)

где у - номер приближения; н(х"1) - матрица Гессе; Уф(х'-")- градиент целевой функции (2).

Если уравнивание геодезической сети проведено методом Ньютона с использованием целевой функции (2), то оценку точности результатов уравнивания можно выполнить, зная матрицу вторых частных производных (матрицу Гессе)и равенство

О = 2Н~',

где О - матрица весовых коэффициентов.

Но обратную матрицу О можно получить рекуррентным способом уравнивания, нашедшим широкое применение в геодезии благодаря трудам профессора Ю.И. Маркузе. В этом способе наиболее актуальным вопросом является выбор начальной обратной матрицы О0, когда еще не включено ни одно измерение. Заметное место в диссертации занял вопрос выбора матрицы 0„ по формуле

где т, - определяется по формулам, предложенным аспирантом Г.М. Дво-енко под руководством Ю.И. Маркузе. Данные формулы имеют вид:

\

10"'

10"=

10"''

т = —-—/7О7/О10;

21еС Р т = -приО,\ < С < 10;

2

(6)

т =

»[!§ С|

приС (0,1

2

где С = |>/Ра:| ;

Р - вес измерения;

а - коэффициент уравнения поправок; п- число знаков в разрядной сетке ЭВМ.

Анализ точности получения ^обратной матрицы О рекуррентным способом выполнялся на моделях наземных "пространственных геодезических сетей (триангуляции, трисферации, линейно-угловых сетей, пространственной поли-гонометрии, триконусции, когда для построения сети используются вертикальные углы) с использованием шести критериев для сравнения обратных матриц. Эталоном сравнения служили обратные матрицы, полученные по алгоритму Жордана. Исследования показали, что с применением формул (6) гарантировано получение обратной матрицы О рекуррентным способом до восьми верных значащих цифр с выполнением вычислений при 16 -и разрядной сетке ЭВМ. Это вполне удовлетворяет требования к успешному решению задач оценки точности и уравнивания геодезических сетей рекуррентным способом.

В третьей главе диссертации выполнен анализ точности наземных пространственных геодезических сетей. Для обработки использовались сплошные свободные наземные пространственные геодезические сети с длинами сторон 13000 м и перепадом высот 2000 м. Точность результатов измерений принималась такой: ар = 1"; сту = 3"; с^ = 0,05м.

Известно, что многие источники ошибок при обработке геодезических сетей тесно взаимосвязаны с числами обусловленности, и чем больше эти числа, тем больше влияние ошибок. Для анализа точности пространственных геодезических сетей вычислялись четыре числа обусловленности, из которых укажем два основных:

где используются первые нормы матрицы нормальных уравнений Я и обратной матрицы О;

Кроме чисел обусловленности укажем следующие величины (в метрах): М - наибольшая ср. кв. ошибка положения определяемого пункта; Мг - наибольшая ср. кв. ошибка по высоте; т - наибольшая ср. кв. ошибка взаимного положения.

Результаты вычислений разместим в табл.1 - 4, где К - число определяемых пунктов.

с, =И, -И,

(7)

(8)

Таблица ]

Пространственная триангуляция

К С, С2 М,м М2,м т,м

5 179 226 0,151 0,128 0,077 :

17 664 1152 0,182 0,125 0,087

35 2184 4441 0,216 0,126 0,089 |

59 4364 11280 0,238 0,126 0,090 |

89 6280 20389 0,247 0,127 0,088 *

По данным табл.1 можно сделать следующие выводы:

1) числа обусловленности зависят от К и могут быть предвычислены по формулам С, = 70К; С2* 24Ки;

2) значение М возрастает с увеличением К, с затуханием;

3) значение Мг не зависит от увеличения К;

4) значение т остается неизменным при любом К, поскольку сеть свободная.

Таблица 2

Линейно-угловая пространственная триангуляция

К С, с2 М,м М2,м т,м

5 146 218 0,126 0,113 0,057 ;

17 523 978 0,139 0,112 0,054

35 1613 3237 0,151 0,112 0,052

59 3235 7996 0,157 0,112 ; 0,052

89 4744 14321 0,158 0,112 | 0,051

По данным табл.2 видно, что С: « 54К; С2 « 17К1'3. Сравнивая данные табл.1 и 2 видно, что линейно-угловая сеть точнее триангуляции и выводы к табл.1 справедливы и для табл.2.

Таблица 3

Линейно-угловая пространственная триангуляция без измерения горизонтальных узлов (измерены наклонные дальности и углы наклона)

К с, с2 М,м М2,м т,м

5 70 103 0,167 0,125 0,109

17 648 794 0,194 0,122 0,097

35 1535 2730 0,206 0,122 0,097

59 2215 5278 0,203 0,122 0,094

89 2567 7769 0,196 0,122 0,093

По данным табл.3 видно, что С| » ЗЗК; С2 = ЮК1'3. Эти результаты свидетельствуют о том, что избыточные измерения могут ухудшить обусловленность матрицы нормальных уравнений. Сравнивая данные табл.1 - 3, можно сделать следующие выводы:

1) сеть 3 (см. табл.3) по сравнению с сетью 2 (см. табл.2) более устойчива к накоплению ошибок на результаты уравнивания (Миш уменьшаются с увеличением К):

2) для сети 1 (см. табл.1) получена наихудшая ошибка положения пунктов в слабом месте;

3) для сети 3 (см. табл.З) получена наихудшая ошибка взаимного положения пунктов.

Таблица 4

Пространственная полигонометрия (измерены горизонтальные углы, наклонные дальности и вертикальные углы)

! к С, с2 М,м Мг,м га,м

1 ю 339 707 0,171 0,152 0,065

28 1122 2896 0,192 0,153 0,066

; 54 3108 9273 0,210 0,153 0,065

1 88 5457 20240 0,218 0,153 0,062

По данным табл.4 видно, что точностные характеристики сети пространственной полигонометрии практически совпадают с результатами, приведенными в табл. 1.

Зависимость числа обусловленности (8) от числа определяемых пунктов в виде формулы СГ=0,6К2'5

впервые была установлена Н.В. Синякиной. Наши исследования показали, что данное число обусловленности при любом построении геодезической пространственной сети и углах наклона у= 8,7° будет таким С„ ~ 0,3 К2'5

что меньше, чем для геодезических сетей на плоскости.

Исследования, выполненные в диссертации, показали, что, зная Сг и

средний наклон сторон V, можно предвычислить С„ по эмпирической формуле (\ 55

откуда видно, что при любых углах наклона, отличных от нуля, С„<СГ. Следовательно, обусловленность матрицы нормальных уравнений для пространст-

венных геодезических сетей всегда меньше, чем для плановых геодезических сетей. При V == 0° числа обусловленности Сг и Св будут одинаковыми.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты выполненных исследований состоят в следующем.

1. На основе теории нелинейного программирования создан универсальный алгоритм вычисления координат для обработки любых наземных пространственных засечек. Составлена программа для персонального компьютера геМ РС/АТ на языке ФОРТРАН 77.

2. Разработана методика вычисления параметров эллипсоида погрешностей методами нелинейного программирования, не зависящая от вида целевой функции.

3. Создана методика предрасчета точности различных типовых наземных пространственных геодезических засечек по изоповерхностям положения. Относительная погрешность определения ошибки положения по данной методике составляет 1/5000.

4. На основе методов нелинейного программирования разработан алгоритм уравнивания наземных пространственных геодезических сетей. Здесь применен имеющий теоретическую сходимость многогрупповой итеративный способ уравнивания и метод Ньютона.

5. Исследована новая методика выбора начальной обратной матрицы при рекуррентном способе уравнивания наземных пространственных геодезических сетей.

6. Получены формулы предрасчета чисел обусловленности для пространственной триангуляции, комбинированных пространственных геодезических сетей трисферации, триконусции и пространственной полигонометрии.

7. Выполнен анализ точности наземных пространственных геодезических сетей. Впервые установлено, что обусловленность матриц нормальных уравнений меньше для пространственных сетей, чем для плановых сетей.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах.

1. Абу Дака Имад. Предрасчет точности различных пространственных засечек по изоповерхностям положения. //Полоцкий гос. ун-т: Новополоцк, 1993. - 43 с. - Деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 12.04.94, № 573 - гд.94.

2. Абу Дака Имад, Двоенко Г.М. О выборе начальной обратной матрицы при рекуррентном способе уравнивания наземных пространственных геодезических сетей //Полоцкий гос. ун-т: Новополоцк, 1993. -42 с. - Деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 12.04.94, № 570 - гд.94.

3. Абу Дака Имад, Мицкевич В. И. Оценка точности пространственных засечек методами нелинейного программирования //Геодезия и картография. -1994.-№ 1,-с. 22-24.

4. Абу Дака Имад, Мицкевич В.И., Маковский C.B. Анализ точности наземных пространственных геодезических сетей //Полоцкий гос. ун-т, - Новопо-лоцк, 1993. -40 с. - Дел. в ОНИПР ЦНИИГАиК 12.04.94, № 571 - гд. 94.

полоцкии государственный университет

удк 528 -063

На правах рукописи

абу дака Имад

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ НАЗЕМНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ МЕТОДАМИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Специальность 05.24.01 - геодезия

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель кандидат технических наук,

и.о. профессора Мицкевич В.И.

Новополоцк 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4 ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАСЕЧЕК 6

1.1. Виды пространственных засечек и методы их решения 6

1.2. Решение любых пространственных засечек методами нелинейного программирования 9

1.3. Оценка точности засечек по изоповерхностям целевой функции 13

1.4. Анализ точности пространственных засечек 17

1.4.1. Постановка задачи 17

1.4.2. Анализ результатов вычислений 24

1.4.2.1. Прямые угловые засечки 25

1.4.2.2. Обратная угловая засечка 26

1.4.2.3. Засечка по вертикальным углам 26

1.4.2.4. Линейная засечка 27

1.4.2.5. Комбинированные засечки 27 ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА НАЗЕМНЫХ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 29

2.1. Основные этапы математической обработки геодезических сетей 29

2.2. Уравнительные вычисления методами нелинейного программирования 30

2.3. Уравнительные вычисления методами линейной алгебры параметрическим способом 34

2.3.1. Алгоритм параметрического способа 34

2.3.2. Виды линейных параметрических уравнений 35

2.3.3. Применение рекуррентного способа 36

2.3.3.1. Постановка задачи 36

2.3.3.2. Обработка пространственной триангуляции 38

2.3.3.3. Обработка трисферации 45

2.3.3.4. Обработка комбинированной сети 50

2.3.3.5. Обработка пространственной полигонометрии 53

2.3.3.6. Обработка трикоснуции 57

2.3.3.7. Обработка пространственных засечек 57 ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ НАЗЕМНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 69

3.1. Постановка задачи 69

3.2. Пространственная триангуляция 72

3.3. Комбинированные сети 74

3.4. Трисферация 76

3.5. Трикоснуция 77

3.6. Пространственная полигонометрия 78 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 80 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 81 ПРИЛОЖЕНИЯ 84

ВВЕДЕНИЕ

Наземные пространственные геодезические засечки широко используются на производстве: при выверке крановых путей, гидрометрических работах, исполнительной съемке сооружений, измерении деформаций вантовых покрытий и проведении других работ. При этом разновидность применяемых пространственных засечек весьма ограничена. В основном используют прямые и обратные пространственные засечки, засечки по вертикальным углам и линейные засечки. Комбинированные линейно-угловые пространственные засечки практически не применяются, несмотря на их пригодность для производства геодезических работ разнообразных по точности конечных результатов. Основные причины этого заключаются в отсутствии универсального алгоритма и надежного программного обеспечения для решения, уравнивания и оценки точности любых пространственных геодезических засечек, отсутствии априорных характеристик их точности и, главное, - в установившейся традиции на топографо-геодезическом производстве, согласно которой геодезические наземные пространственные сети, как правило, обрабатывают раздельно в плане и по высоте. В этих условиях, например, при развитии наземной пространственной городской полигонометрии с большими углами наклона линий между пунктами, традиционно редуцируют измеренные наклонные дальности на поверхность относимости и на плоскость проекции, теряя тем самым ценную информацию, пригодную для определения высот пунктов, благодаря современной высокой точности дальномерных измерений.

Настоящая диссертация посвящена решению вопросов математической обработки наземных пространственных геодезических сетей в пространственной системе координат методами нелинейного программирования и анализу точности этих сетей. Цель работы заключается в создании универсальных алгоритмов решения любых наземных пространственных засечек, уравнивания и оценки точности различных наземных пространственных геодезических сетей на основе теории математического программирования.

Методы решения, уравнивания и оценки точности наземных пространственных засечек без применения математического программирования разрабатывались многими учеными-геодезистами. Хорошо известны работы В.В. Котова [17], В.Ф. Еремеева [15], A.B. Буткевича [11], М.П. Пятницкой [28, 29], Б.И. Никифорова [25], П.И. Барана [5], В.А. Падве, Н.С. Чи-рятьева [31], JL Градилека и многих других. Обработке наземных пространственных геодезических сетей без применения теории оптимизации посвящены работы Г.Д. Курошева [18], В.А.Полевого [27], И.П. Ярмоло-вича [34], Ю.И. Маркузе [20], Е.Г. Бойко [9,37] и других ученых. Хорошо

известны работы по применению наземных пространственных геодезических сетей для решения задач геодинамики.

Решению пространственных засечек методами нелинейного программирования посвящены работы 3. Адамческого [35], В.И. Мицкевича [24] и др.

Научная новизна диссертации определяется следующим:

1. разработана методика предрасчета точности различных наземных пространственных засечек по изоповерхностям ошибок положения;

2. создана методика определения параметров эллипсоида ошибок методами нелинейного программирования по изоповерхностям целевой функции;

3. получены новые формулы по предрасчету чисел обусловленности для наземных пространственных симметричных геодезических сетей;

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

В первой главе на основе методов нелинейного программирования разработаны общие методики решения, уравнивания, оценки точности и предрасчета точности наземных пространственных геодезических засечек.

Во второй главе изложены вопросы уравнивания наземных пространственных геодезических сетей методами нелинейного программирования и линейной алгебры с применением рекуррентного способа.

Третья глава посвящена анализу точности наземных пространственных геодезических сетей.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАСЕЧЕК

1.1. Виды пространственных засечек и методы их решения

При построении на местности различных пространственных засечек используются следующие измеренные величины: горизонтальные углы, вертикальные углы и наклонные дальности. Горизонтальные углы измеряют между двумя направлениями. Поверхностью положения в системе пространственных координат для одного направления будет отвесная плоскость С> (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Поверхность положения для одного направления

Для случая двух пересекающихся направлений будем иметь две пересекающиеся плоскости и в любой точке их пересечения - отвесную линию, по которой видно, что пространственные координаты только по горизонтальным углам получить невозможно. Необходимы другие измеренные величины.

На рис. 1.2 показана поверхность положения для угла наклона. Это конус, вершина которого совпадает с точкой наблюдения.

Рис. 1.2. Поверхность положения для одного вертикального угла

На рис. 1.3 приведена поверхность положения для наклонной дальности. Это сфера с центром в точка наблюдения.

Рис. 1.3. Поверхность положения для наклонной дальности

Указанных выше трех измеренных величин вполне достаточно для построения любой наземной пространственной засечки.

Решения любых пространственных засечек и их классификацию рассмотрим одновременно.

Согласно принятой в [6] классификации рассмотрим прямую пространственную засечку (рис. 1.4).

Р /

/

/

/

У

X

Рис. 1.4. Прямая пространственная засечка

Пусть даны исходные пункты 1,2. На определяемые пункт Р измерено два горизонтальных угла и Рг, по которым можно вычислить плановые координаты точки Р и измерен угол наклона VI, позволяющий определить координату Ъ точки Р. Соответствующие формулы решения засечки и оценка ее точности опубликованы в [6]. С позиций поверхностей положения однозначность прямой пространственной засечки не вызывает сомнений: две отвесные плоскости по направлениям 1 - Р и 2 - Р, пересекаясь, дают отвесную линию в точке Р, а конус пересекает эту отвесную линию в точке Р.

Обратная пространственная засечка (рис. 1.5) позволяет определить пункт Р по двум вертикальным углам VI и V?. и одному горизонтальному углу, измеренному в точке Р.

\

/

\

\

/

\

\

/

/

\

/

/

Р

Рис. 1.5. Обратная пространственная засечка

Решение этой засечки дано В.В. Котовым [17] и дополнительно рассмотрено в работах [6, 32]. В общем случае засечка решается методом приближений. С позиций поверхностей положения получаем два конуса с вершинами в исходных пунктах 1 и 2 (так как безразлично, берется прямой или обратный угол наклона) и две отвесные плоскости в точке Р.

Наиболее интересной пространственной засечкой является засечка по измеренным вертикальным углам. Аналитическое ее решение дано М.П. Пятницкой [29]. Преимущество такой засечки состоит в том, что не требуется видимости между исходными пунктами. Формулы по предрасче-ту точности этой засечки отсутствуют. Поскольку для нахождения координат одного определяемого пункта необходимо три вертикальных угла или три конуса в качестве поверхностей положения, то в дальнейшем будем называть такие геодезические сети «триконусцией».

Пространственная линейная засечка рассматривалась во многих литературных источниках [11, 26, 16]. Наиболее простое и оригинальное ее решение дано В.А. Падве [11]. Здесь для нахождения пространственных координат определяемого пункта по трем наклонным дальностям используются три сферы, имеющие две общие точки их пересечения. Это приводит к неоднозначности решения. Только исполнитель может выбрать из двух решений то, которое соответствует действительности.

Поскольку применяются три сферы, то пространственную трила-терацию называют «трисферацией».

Кроме указанных пространственных засечек можно предложить и другие засечки, для которых еще нет формул решения.

1.2. Решение любых пространственных засечек методами нелинейного программирования

При математической обработке геодезических сетей в трехмерном пространстве используют различные пространственные системы координат: декартовые прямоугольные (Х,У,7), которые в зависимости от начала отсчета могут быть геоцентрическими, топоцентрическими или условными; криволинейные геодезические координаты (В,Ь,Н); координаты х, у, Н7, где х, у - плоские прямоугольные координаты в проекции Гаусса-Крюгера; Н7 - высота в системе нормальных высот. В дальнейшем для обработки геодезических сетей специального назначения примем местную пространственную систему прямоугольных координат Х,У^ при среднем расстоянии между пунктами до 100 м. Эта система координат не требует учета кривизны Земли и удобна при развитии геодезических сетей в городах и на промышленных площадках. В ней можно успешно решать задачи прикладной геодезии.

Здесь мы предлагаем использовать общий алгоритм решения любых пространственных засечек на основе методов нелинейного программирования.

Пусть дана система нелинейных параметрических уравнений. Каждое уравнение соответствует одному измерению. Систему уравнений можно записать в общем виде

Ь(Х) = 7*ыч.. р™-, (1.1)

где X - вектор неизвестных координат; Ь(Х) - вектор свободных членов нелинейных параметрических уравнений; Т*ыч- вектор вычисленных значений измеренных величин по приближенным координатам; Т*™- - вектор измерений.

В подразделе 1.1 указаны виды измеренных величин, для которых уравнения (1.1) примут вид: если используется горизонтальный угол (31;1+1,

ЦХ. Y= arctg ^

-

Y- Y arCtg'

(1.2)

где ] - номер приближения; если используется угол наклона V!,

L(X¡,Y,ZJ) = arctg

Zj-Z-a^; (1-A).v„.

i J

Reos' V,-

V. .

(1.3)

где ац - разность между высотой прибора и высотой визирной цели; к - коэффициент рефракции; Я - средний радиус кривизны Земли на район работ;

если используется наклонная дальность з, ,

.2 /- \2

S:

(1.4)

Решение системы (1.1) выполним путем минимизации целевой функ-

ции

/ = 1

где с\ - нормирующие множители, вычисляемые при условии

(1.5)

с S

1

5 - среднее расстояние между пунктами; VI™' (х0,)| - норма градиен

та для измерения, вычисленного по координатам.

Коэффициенты с; - впервые применены В.И. Мицкевичем для ускорения минимизации функции (1.5) и расширения области сходимости итераций. Формулы для вычисления множителей сг будут такими [6]:

для горизонтального угла q =- ;

2

для угла наклона ci =- ;

sin2v,

1

для наклонной дальности ci = — .

§

Уравнения (1.2) - (1.4) являются основными при составлении системы (1.1) для решения различных пространственных засечек.

После нахождения предварительных координат определяемого пункта путем минимизации критериальной функции (1.5), приступают к минимизации функции

Ф(х) = ^Р,Ц(Х) , (1.6)

j=i

где Pi - веса результатов измерений, и получают уравненные координаты.

Для минимизации целевых функций (1.5) и (1.6) применим метод релаксации, по которому порядок решения в трехмерном пространстве следующий [24].

1. Определяемому пункту присваивают начальные координаты Х(1), Y(I), Z(V> в области притяжения глобального минимума, и по ним вычисляют значения целевой функции. Благодаря применению коэффициентов Ci область сходимости итераций становится настолько большой, что эти координаты можно получать алгоритмически как среднее арифметическое из координат исходных пунктов.

2. Вычисляют шаг релаксации в плане по формуле

(1.7)

где Sep. - среднее расстояние между пунктами; к - число измерений. Шаг релаксации по высоте находят по формуле

= Iм Я'х\у 0-8)

где 1 определяют из выражения [6]

-С)

.'=1 J 1_/=1

/=1

где - значения вектора Ь(Х) в л-ой точке релаксации. В первом приближении полагают ^ = 1.

3. Вычисляют координаты шести симметрично расположенных точек

релаксации

Р]2{х± Р4(Х{1), У<'> ± Л",?'*);

и определяют в каждой из них значение целевой функции.

4. Выполняют анализ значений целевой функции в шести точках и находят наименьшее из них. Если наименьшее значение оказалось большим, чем в центральной точке, то шаг Лхг уменьшают вдвое и продолжают вычисления с п.З.

5. От точки /5(х(;),У(/),2(;))переходят к той точке, где значение целевой функции минимально, продолжая итерации с п.2. Итерации продолжают до тех пор, пока Л^у, или приращение целевой функции не будет меньше ранее заданных величин.

Решим пространственную засечку по четырем измеренным вертикальным углам (см. табл. 1.1 и 1.2).

Таблица 1.1

Координаты исходных пунктов и результаты измерений

Номер пункта Х„ м Уъм Ъъ м Вертикальный угол

1 100,000 100,000 0,386 -2° 55 30

2 100,000 130,000 3,000 1 35 30

3 98,641 104,788 0,220 -3 30 00

4 90,000 120,000 0,500 -3 50 00

13

Таблица 1.2

Траектория минимизации целевых функций (1.5) и (1.6) по методу релаксации

Номер итерации XG),M Y0),m Zp\ м XG), м Я(ху,М 0(X,Y,Z)

1 93,052 113,697 1,026 4,108 0,0307 0,007305

2 88,945 113,697 1,026 4,108 0,274 0,005646

3 88,945 109,590 1,026 4,108 0,645 0,003764

10 80,730 105,482 1,378 4,108 0,00912 0,000854

20 76,623 105,482 1,698 2,054 0,0186 0,000200

30 74,569 107,536 1,770 1,027 0,0196 0,000089

40 72,515 108,536 1,842 0,513 0,0147 0,000037

50 72,002 109,076 1,888 0,513 0,0094 0,000018

60 71,488 109,076 1,919 0,257 0,0079 0,000009

70 70,718 109,333 1,458 0,257 0,6568 0,000002

85 70,204 109,846 1,990 0,126 0,0432 0,000001

Кроме рассмотренного выше метода релаксации решение системы нелинейных уравнений можно выполнить другими методами нелинейного программирования: наискорейшим спуском; методом Хука и Дживса; методом Ньютона; методом Пауэлла и другими методами, рассмотренными в [30].

1.3. Оценка точности засечек по изоповерхностям целевой функции

Если известна обратная матрица нормальных уравнений, то эллипс ошибок для засечек на плоскости определяется достаточно просто по известным формулам. Методика вычисления параметров эллипсоида ошибок средствами линейной алгебры резко усложняется и заключается в следующем [8, с. 142].

1. По элементам обратной матрицы вычисляются коэффициенты кубического характеристического уравнения, из решения которого находят собственные числа.

2. По собственным числам при известной средней квадратической ошибке единицы веса ц вычисляют длины полуосей эллипсоида ошибок а, Ь, с.

3. Из трехкратного решения системы однородных уравнений третьего порядка находят направляющие косинусы полуосей:

cos ах; cos ау; cos a,; cos bx cos by cos bz;

cos cx; cos с ; cos cz.

Поиск эллипса ошибок методами нелинейного программирования по изолинии целевой функции опубликован в [23]. Последовательность поиска элементов эллипсоида ошибок остается аналогичной двухмерному случаю.

Допустим, выполнена минимизация целевой функции (1.6). В результате минимизации получим уравненные координаты определяемого пункта О (1.6), вычислена ц, и требуется найти параметры эллипсоида ошибок по такой методике.

1. Найдем с точностью тс/4 направление большой полуоси а. Для этого на полусфере единичного радиуса вычислим значения функции (1.6) в 17 симметрично расположенных точках и выделим из них ту, в которой приращение функции (1.6) будет минимальным. Допустим, это будет точка Р (см. рис. 1.6).

С_—---

У

Рис. 1.6. Эллипсоид погрешности

2. Определим точное направление большой полуоси. Для этого вычислим направляющие косинусы отрезка ОР

У„ — У« У — У 2„ — 2,

= --; соб(3 = —-= -; (1.9)

5 Л1 5

Найдем минимум целевой функции (1