автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Использование вероятностного потокораспределения для анализа неоднородностей в ЭЭС

На правах рукописи

Болоев Евгений Викторович

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА НЕОДНОРОДНОСТЕЙ В ЭЭС

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Специальность 05.14.02 «Электрические станции и электроэнергетические системы»

-8 НОЯ 2012

Иркутск —2012

005054520

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте систем энергетики им. Л.А. Мелентьева Сибирского отделения Российской академии наук (ИСЭМ СО РАН)

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор,

ведущий научный сотрудник ИСЭМ СО РАН Голуб Ирина Ивановна

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор,

главный научный сотрудник ИСЭМ СО РАН Новицкий Николай Николаевич

кандидат технических наук, доцент Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет» (ИрГТУ) Акишин Леонид Александрович

Ведущая организация — Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет» (НГТУ)

Защита состоится 6 ноября 2012 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.017.01 при ИСЭМ СО РАН по адресу: 664033, Иркутск-33, ул. Лермонтова, д. 130

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСЭМ СО РАН.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим направлять на имя ученого секретаря диссертационного совета по адресу: 664033, Иркутск-33, ул. Лермонтова, 130

Автореферат разослан 3 ОшЩаЛ 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003.017.01 доктор технических наук, профессор

А.М. Клер

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В процессе функционирования электроэнергетическая система (ЭЭС) подвергается большим и малым внешним возмущениям и реагирует на них изменением переменных режима. Реакция на возмущения зависит как от состава и величины возмущений, так и от таких инвариантных к режиму факторов, как топология и параметры элементов схемы сети.

Наличие инвариантных к режиму факторов, названных слабыми местами, является причиной того, что возмущения, локализуемые в разных местах ЭЭС, вызывают заметную реакцию модулей и фаз напряжений, перетоков мощности и потерь напряжений в одних и тех же узлах и связях. Элементы схемы сети, переменные режима которых в наибольшей степени изменяются при случайных внешних возмущениях, названы сенсорами.

Реакция сенсорных переменных на возмущения может привести к ухудшению таких критериев функционирования ЭЭС, как допустимость режима, статическая и динамическая устойчивость, оперативная надежность и экономичность. Сенсорные переменные часто определяют критические состояния ЭЭС, поэтому их знание необходимо для усиления сети при проектировании и управлении, определении наиболее ответственных точек контроля и ускорения процедуры оценки допустимости в реальном времени.

Прежде чем определять значимость реакций сенсоров на критерии управления, надо было найти способы выявления сенсорных переменных и порождающих сенсоры факторов не столь громоздкие, как метод Монте Карло, чтобы целенаправленно воздействовать на них при эксплуатации и развитии ЭЭС.

Для этой цели в ИСЭМ СО РАН была разработана технология выделения сенсорных переменных и слабых мест в ЭЭС, базирующаяся на использовании сингулярного анализа и позволяющая представить вектор расчетных возмущений в виде скалярной величины обобщенного возмущения. Однако такая технология не давала возможности одновременно с идентификацией сенсорных переменных оценить возможные диапазоны их изменения и вероятности нахождения переменных в допустимых границах, выбрать управляющие воздействия для получения требуемых вероятностей с учетом допустимых диапазонов изменения переменных.

Совместное решение всех перечисленных задач привело к необходимости поиска методов выделения сенсорных переменных и слабых мест в ЭЭС не менее эффективных, чем метод сингулярного анализа, какими являются аналитические методы вероятностного потокораспределения. В них внешние возмущения представляются случайными изменениями нагрузок, а реакция ЭЭС на возмущения определяется числовыми характеристиками и плотностями вероятности, позволяющими оценить возможные диапазоны изменения значений переменных и вероятности их нахождения в допустимых границах.

Этим определяется актуальность использования аналитических методов вероятностного потокораспределения для выделения сенсорных переменных в ЭЭС и оценки их вероятностных характеристик.

Цель работы заключается в разработке методов вероятностного пото-кораспределения для выделения сенсорных переменных в ЭЭС, определения их вероятностных характеристик, оценки вероятности нахождения переменных в допустимых границах и выборе управляющих воздействий, повышающих такую вероятность.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

• доказательство возможности использования методов вероятностного по-токораспределения для выявления в ЭЭС сенсорных переменных и слабых мест;

• изучение целесообразности применения в линейном аналитическом методе вероятностного потокораспределения одного или нескольких обобщенных возмущений для определения числовых характеристик сенсорных переменных в неоднородной сети;

• сравнение числовых характеристик сенсорных переменных, полученных известными и предложенными в работе методами, для выбора наиболее эффективного метода вероятностного потокораспределения;

• разработка экспериментальных программ линейного и нелинейного вероятностного потокораспределения, метода Монте Карло, построения функций распределения и плотностей вероятности на основе разложения Грама-Шарлье;

• разработка алгоритма и программы оценки вероятности нахождения контролируемых сенсорных переменных в допустимых границах и выбора управляющих воздействий, приводящих к смещению кривой плотности, для увеличения вероятности до требуемого значения.

Научная новизна работы:

1. Для выделения сенсорных переменных и слабых мест в ЭЭС предложено использовать числовые характеристики, полученные методами вероятностного потокораспределения.

2. Предложено использовать дисперсию одного или нескольких обобщенных возмущений, полученных в результате сочетания линейного аналитического метода вероятностного потокораспределения с методом сингулярного анализа, для оценки числовых характеристик сенсорных переменных.

3. Предложены новые нелинейные аналитические методы вероятностного потокораспределения двух моментов и трех моментов на основе кумулянтов, для метода трех моментов числовые характеристики переменных близки к характеристикам, полученным по методу Монте Карло.

4. Предложена модификация алгоритма нелинейного вероятностного потокораспределения X. Li, X. Chen, X. Yin, Т. Xiang, Н. Liu (2002), позволившая повысить точность оценок числовых характеристик переменных за счет включения в алгоритм итерационного уточнения решения.

5. Для достижения требуемой вероятности нахождения контролируемой переменной в допустимых границах предложен алгоритм выбора управляющих воздействий, обеспечивающих смещение математического ожидания

переменной к точке, являющейся медианой ее плотности распределения на допустимом интервале. ,

Практическая значимость выполненных исследований

Разработанные аналитические методы вероятностного потокораспреде-ления и реализующие их программы целесообразно использовать при решении задач оперативного диспетчерского управления, краткосрочном планировании режимов, проектировании ЭЭС, в том числе для повышения вероятности нахождения переменных в допустимых границах, для расстановки и выбора средств управления режимом и снижения трудоемкости анализа надежности с учетом структурных свойств ЭЭС.

Предложенные в работе оценки числовых характеристик переменных с использованием обобщенных возмущений обеспечивают возможность сокращения числа расчетных сценариев возмущений для оценки возможных последствий выхода переменных за допустимые пределы, ускорить такие процедуры реального времени, как контроль допустимости режима и оперативной надежности.

Выделение сенсорных переменных на основе среднекваратических отклонений и сопоставление последних с возможным диапазоном изменения позволяют оценить необходимость проведения технических мероприятий по усилению сети, и организационных мероприятий по обеспечению требуемой вероятности нахождения переменных в допустимой области, оценить достаточность располагаемых ресурсов управления и выбора конкретного состава управлений. В зависимости от задачи, для которой необходимо обеспечить допустимые значения переменных, могут использоваться предложенные в работе упрощенные или более точные методы вероятностного потокораспре-деления.

Разработанные автором экспериментальные программы линейных и нелинейных методов вероятностного потокораспределения, метода Монте Карло, построения функций распределения и плотностей вероятности на основе разложения Грама-Шарлье, определения вероятности нахождения сенсорных переменных в допустимых границах могут быть включены в состав существующих программных средств расчета потокораспределения в детерминированной постановке для получения вероятностных характеристик переменных. Эти программы могут быть использованы для имитации управления установившимися режимами и повышения обоснованности принимаемых решений при проектировании и управлении ЭЭС, а также в учебном процессе.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на 30, 31, 33 и 35 конференциях научной молодежи ИСЭМ СО РАН "Системные исследования в энергетике" (Иркутск 2000, 2001, 2003, 2005), на научно-технических конференциях "Современные технологии и научно-технический прогресс" (Ангарск, 2005, 2006), на конференции "Электрооборудование, электроснабжение и электросбережение" (Ижевск, 2004), международном научном семинаре им. Ю.Н. Руденко "Методические вопросы исследования надежности БСЭ" (Иваново, 2011), XVII Байкальской Все-

российской конференции "Информационные и математические технологии в науке и управлении" (Иркутск-Байкал, 2012), Российско-украинском научном семинаре "Стохастическое программирование и его приложения в энергетике" (Иркутск, 2012), 5-ой международной конференции "Либерализация и модернизация электроэнергетических систем: Smart-технологии для совместных операций в электрических сетях" (Иркутск, 2012).

Публикации: Основное содержание работы отражено в 14-ти публикациях, из них две статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК по специальности 05.14.02.

Состояние вопроса. В начале семидесятых годов началось использование вероятностных методов для решения проблем электроэнергетики. Разработкой моделей решения вероятностных задач анализа и управления установившимися режимами занимались известные советские ученые: Д.А. Абдулов, M.J1. Аберсов, Д.А. Арзамасцев, И.И. Арсамахов, Л.С. Беляев, В.В. Бу-шуев, М.Х. Валдма, В.А. Веников, Н.И. Воропай, А.З. Гамм, С.К. Гурский, В.И. Идельчик, В.А. Игуменцев, Ю.В. Жабинский, В.Г. Журавлев, А.Д. Коренева, В.А. Коростышевский, Я.Ф. Кузьмин, Ю.Н. Кучеров, М.К. Круг, JI.A. Крумм, Э.А. Кээл, А.В. Липес, Ю.А. Луне, А.В. Лыкин, А.Д. Макаревич, О.С. Мамедяров, В.З. Манусов, В.В. Медведков, М.В. Мельдорф, Н.А. Мурашко, Ю.М. Никитин, Н.Л. Новиков, И.Л. Обоскалов, В.П. Озерных, В.Я. Ольховский, Ю.А. Охорзин, С.И. Паламарчук, П.А. Пашичев, И.С. Пономаренко, Е.В. Путятин, М.Г. Портной, П.Х. Рабинович, М.А. Раэссаар, О.О. Романис, И.С. Рокотян, Ю.Н. Руденко, М.Н. Розанов, И.А. Саламатов, Г.А. Сейер, Ю.М. Сидоркин, Ю.С. Скляров, С.А. Совалов, В.А. Строев, Л.П. Сысоев, Э.А. Тийгимяги, Д.В. Тимофеев, В.Ф. Тимченко, А.М. Тришечкин, В.И. Ушаков, П.А. Черненко, Д.А. Федоров, Т.А. Филиппова, Ю.А. Фокин, А.С. Фролов, Л.В. Цукерник, В.М. Чебан, П.А. Черненко, О.Н. Шепилов, Л.В. Яр-ных и многие другие.

В далеко не полный список иностранных ученых, сделавших большой вклад в изучение проблемы вероятностного потокораспределения, следует включить следующие фамилии: R.N. Allan, M.R.G. Al-Shakarchi, V.L. Arienti, В. Bak-Jensen, R. Billinton, В. Borkowska, M. Brucoli, R.C. Burchett, M.C. Ca-ramanis, P. Caramia, G. Carpinelli, G. Celli, P. Chen, X. Chen, Z. Chen, X.Y. Chao, J.S. Christensen, R. Cicoria, G.J. Cokkinides, M.B. Do Coutto Filho, J.F. Dopazo, M.A. El-Kady, W. El-Khattam, T. Esposito, M. Flam, C.H. Grigg, N.D. Hatziargyriou, Y.G. Hegazy, G.T. Heydt, Z. Hu, P. Jarventausta, P. Jorgensen, T.S. Karakatsanis, K. Kinsner, O.A. Klitin, H. Laaksonen, A.M. Leite da Silva, S.T. Lee, M.I. Lorentzou, M. Madrigal, J.W. Marangon Lima, A.P.S. Meliopoulos, S. Mocci, V. Muzek, R. Napoli, D.A. Newey, K. S. Nochur, M. Pagano, K. Ponnam-balam, F. Pilo, V.H. Quintana, S. Repo, S.M.P. Ribeiro, M.M.A. Salama, A. Sas-son, P.W. Sauer, A. Serwin, S.M. Soares, M. Sobierajski, M.T. Schilling, F.C. Schweppe, R.F. Simmons, G. Skerbinek, S.M. Soares, C.L. Su, R.D. Tabors, J.O. Tande, F. Torelli, P. Varilone, P. Verde, X. Vieira Filho, J. Vorsic, X. Wang, P. Zhang.

Основные российские работы, связанные с методами расчета вероятностного потокораспределения, исследованию которых посвящена диссертационная работа, содержат численные методы, методы функциональных преобразований, линейной и нелинейной аппроксимации. На рис. 1 эти методы введены в перечень методов вероятностного потокораспределения, с которыми автор ознакомился в процессе выполнения работы.

Методы вероятностного потокораспределения

Численные методы Аналитические методы Методы функциональных

^ \ у/ преобразований

Монте Карло

Точечные Линейные Нелинейные-^итерационный

методы У / мет°я

Метод М^год Метод МетОД

свертки моментов статистическои моментов

линеаризация В.З. Манусова

Рис. 1. Классификация методов вероятностного потокораспределения

Теоретические основы методов линейной и нелинейной аппроксимации представлены в учебниках советских математиков Е.С. Вентцель, B.C. Пугачева, И.Е. Казакова. Эффективное их практическое применение для решения проблемы вероятностного потокораспределения в ЭЭС осуществлено в многочисленных работах В.З. Манусова, его коллег и учеников, первая из которых появилась в 1973 г., к ним относятся метод статистической линеаризации, линейный и нелинейный методы моментов.

Метод функциональных преобразований является точным аналитическим методом, базирующимся на общем принципе сравнения вероятностей. Ограниченность применения этого метода, вызванная многомерностью совместной плотности распределения искомых переменных, показана автором работы в [9].

Использование для расчета вероятностного потокораспределения линейного аналитического метода свертки предложено В. Borkowska (1974), точечный метод C.L. Su (2005) является аналогом численного метода, бези-терационный нелинейный аналитический метод предложен X. Li, X. Chen, X. Yin, Т. Xiang, Н. Liu (2002).

Метод Монте Карло признан наиболее точным численным методом вероятностного потокораспределения и используется в качестве тестового метода при анализе упрощенных подходов. Он содержит генерацию случайных чисел, формирование случайной выборки и заключается в многократном выполнении детерминированного потокораспределения для различных комбинаций значений узловых мощностей с последующей статистической обработкой результатов потокораспределений. Главной проблемой метода является необходимость выполнения большого количества экспериментов.

В числе первых российских работ, в которых решалась проблема учета ограничений при расчете вероятностного потокораспределения, следует отметить работы М.Х. Валдмы, А.З. Гамма, JI.A. Крумма, Ю.А. Охорзина.

С тех пор, когда были разработаны первые методы вероятностного по-токораспределения, существенно возросли возможности вычислительной техники и с точки зрения объемов оперативной памяти, и быстродействия, и способов программирования сложных процессов, что позволило автору предложить и реализовать модификации линейного и нелинейных методов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Общий объем 149 страниц основного текста, 49 рисунков и 19 таблиц. Список литературы содержит 59 наименований.

БЛАГОДАРНОСТЬ

Автор диссертационной работы выражает глубокую благодарность Александру Зельмановичу Гамму, передавшему ему свои глубокие знания в области анализа режимов ЭЭС в вероятностной постановке. Работы автора [3]-[8] выполнены под руководством и с участием А.З. Гамма.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется актуальность темы диссертационной работы, связанной с использованием методов вероятностного потокораспределе-ния для выявления в ЭЭС сенсорных переменных, оценки возможных диапазонов изменения этих переменных и выбора управляющих воздействий для снижения вероятности выхода значений переменных за допустимые пределы. Перечислены задачи, которые необходимо было решить для достижения поставленной цели, отмечена научная новизна полученных результатов и их практическая ценность. Дается характеристика работ российских и зарубежных ученых, посвященных применению вероятностных методов для решения большого перечня задач электроэнергетики. Особое внимание в обзоре уделено методам вероятностного потокораспределения, исследование и совершенствование которых представляет одну из важнейших задач работы.

В первой главе анализируется возможность использования линейного аналитического метода для выделения сенсорных переменных и слабых мест в ЭЭС, а также оценки вероятности выхода сенсорных переменных за допустимые пределы.

Определение среднеквадратических отклонений (СКО) фаз и модулей узловых напряжений по заданным СКО узловых мощностей в методе, который будем называть линейным, может быть получено с использованием выражения, связывающего в системе линеаризованных уравнений изменения фаз АЗ и модулей А и узловых напряжений с изменениями активных АР и реактивных А<2 мощностей:

( ЭР ЭР У1

Ав)'

где J 1 - обратная матрица Якоби.

Математические ожидания fiAS.AU и ковариации M2as.au изменений фаз и модулей напряжений определятся через математические ожидания и

дисперсии нагрузок ц2ар дд в точке решения нелинейной системы уравнений установившегося режима ЭЭС

mas.au = ^ мар,а2 ' (2)

М2А8.А Аглр.де!^ ) ■ Аналогично могут быть записаны выражения для математических ожиданий и ковариаций изменений перетоков активной и реактивной мощностей, а также разностей фаз и модулей напряжений. В частности, для ковариаций они будут иметь вид:

' МАР.АО (/¡X ')Г' ^

м2а(г,-6, л м2ар,а0 (/"') т м > (5)

где Jij — матрица частных производных от перетоков активной и реактивной мощностей в связи гу по фазам и модулям напряжений, а М - матрица ин-циденций, строки и столбцы которой соответствуют узлам и связям графа сети.

Приближенные числовые характеристики переменных могут быть определены для диагональных блоков матрицы Якоби 3Р 3 и

•¡О и = (дО/ди), что позволяет анализировать активную и реактивную модели электрической сети независимо, например, ковариации изменений фаз и модулей напряжений определятся как

М2АЬ=ГР.ВМА р{ГР,еУ > (6)

/'где/ Мао '

Числовые характеристики нагрузок могут быть получены по статистической информации, а при известной функции распределения нагрузок разложением ее характеристической функции в ряд Маклорена. Предположение о нормальном законе распределения нагрузок позволяет определить их дисперсии с использованием функции Лапласа, называемой также функцией ошибок. Для заданной вероятности Р отклонения нормально распределенной случайной величины X от математического ожидания т на величину, не большую заданной точности Ае,

р(|Лг-ж|<Аг)=ф(Лг/<т). (8)

могут быть найдены значения СКО - а и дисперсии нагрузок, при этом &£ определяется погрешностью прогноза или оценок нагрузок. Дисперсии изме-

(<гР. V

нений активных и реактивных нагрузок определяются как: /*2д/>;Н I '

<"2Д 0 =

100

, где g, и aPi, erg.- значения активных и реактивных

нагрузок в узле / и их СКО в процентах.

В работе предложен линейный метод обобщенного возмущения, заключающийся в сочетании линейного аналитического метода (2),(3) с методом сингулярного анализа, в основе которого лежит сингулярное разложение несимметричной матрицы Якоби:

,т _ г

J=WLVT ^WJCTjv] ,

(9)

AÖ AU

где РГ=(н'1,-и'2,..;Уі'„) и К=(у,,у2,...,уя) - ортогональные матрицы, столбцы которых являются левым и правым сингулярными векторами, а I - диагональная матрица упорядоченных по возрастанию сингулярных значений

<7, <а2<ст3<...«тп.

С учетом разложения (9) выражение (1) может быть представлено в виде:

' <1о>

Если первое сингулярное значение ст, =сттіп существенно меньше остальных сингулярных значений, то наибольший вклад в изменения фаз и модулей узловых напряжений вносит первое слагаемое суммы (10)

где V, - компоненты первого правого сингулярного вектора распределяют скалярную величину

Д5« первого обобщенного возмущения между узлами

сети.

Выражение для ковариаций изменений фаз и модулей напряжений, с учетом первого обобщенного возмущения может быть представлено через скалярную величину дисперсии этого возмущения

„(О

и2 as.w ■

vlap.aq

-\т

а при наличии к близких по величине сингулярных значений в виде:

К

М)

/=і '

(12)

(13)

Количество вариантов возмущений бесконечно, они могут отличаться и по составу, и по величине. Линейный метод обобщенного возмущения не требует задания сценариев изменений узловых мощностей, а позволяет по заданной величине дисперсии обобщенного возмущения оценить множество сценариев возмущений по одному критерию, для чего необходимо только определить диапазон изменения дисперсии обобщенного возмущения.

Наиболее значимыми являются обобщенные возмущения, соответствующие одному минимальному или нескольким близким между собой минимальным сингулярным значениям.

Выражения, аналогичные (12), (13), получены также для числовых характеристик изменений перетоков мощностей, разностей фаз и модулей узловых напряжений, в том числе для активной и реактивной моделей ЭЭС.

В качестве тестовой схемы при сравнении методов вероятностного по-токораспределения использовалась приведенная на рис. 2. схема ЭЭС, содержащая 14 узлов и 15 связей.

Исходная информация о математических ожиданиях, дисперсиях и моментах более высоких порядков для нагрузок, которые задавались во всех узлах расчетной схемы, была определена на основе датчика случайных чисел для нормального распределения.

-1---2-«-3-о-4-•-5-х-6-о-7

-•-8-=-100-о-200-•-201-л-202-•-203

Рис. 3. Кривые плотностей вероятности для изменений активных а) и реактивных б) узловых мощностей в узлах тестовой схемы, полученные по четырем моментам с использованием разложения Грама-Шарлье

Для получения закона распределения нагрузок, не совпадающего с нормальным законом, было проведено ограниченное число испытаний. В качестве исходной информации при формировании случайных чисел выступали математические ожидания и СКО узловых мощностей, которые полагались равными 12 % от их математических ожиданий, что соответствует 20 % погрешности прогноза нагрузок для вероятности отклонения случайной величины от математического ожидания, равной 0.9. На рис. 3 приведены кривые

Рис. 4. Графики СКО изменений переменных режима, для линейных моделей, использующих полную матрицу Якоби J, ее диагональные блоки Jpg и Jqц, в том числе в сочетании с первым обобщенным возмущением JAS], Jp ¿AS), Jq ¡/AS,, и методу Монте Карло (МК)

плотностей вероятности, построенные по четырем моментам с использованием разложения Грама-Шарлье, для нагрузок в узлах расчетной схемы.

Аппроксимируемая плотность распределения /(х) переменной х рядом Грама-Шарлье имеет вид:

/(■*)=!>, Hj{x)cp{x),

где функция (р(х)=—^=е * /2 является функцией нормального распределе-

л/2 п

ния, // , (л) - ортогональные полиномы Эрмита, а с — коэффициенты, полу-

ченные на основе моментов.

□ /■ JUS. иМК

На рис. 4 приведены графики СКО изменений фаз, модулей узловых напряжений, их разностей, перетоков активной и реактивной мощности, полученные для линейных моделей, использующих полную матрицу Якоби, ее диагональные блоки, в том числе в сочетании с первым обобщенным возмущением и методом Монте Карло.

Анализ графиков, рис. 4, показал, что СКО переменных выделяют:

• те же самые сенсорные переменные, что и сингулярный анализ;

• те же самые, что и сингулярный анализ, слабые связи, к каким относятся связи, неудачный выбор параметров которых является причиной существования в ЭЭС сенсорных переменных.

В качестве критерия при выделении слабых связей использовались максимальные значения СКО изменений разностей фаз и модулей напряжений.

Подтверждением тому, что выделенные связи действительно слабые, является показанное на рис. 5 существенное снижение СКО изменений модулей напряжений тестовой схемы, которое происходит при увеличении продольной проводимости слабых связей.

номера узлов

Рис. 5. СКО изменений модулей узловых напряжений, найденных из выражения (2) при увеличении продольных проводимостей слабых связей 2 - 100-202, 3 - 5-8, 4 - 8-200, по сравнению с исходной схемой 1

Сравнение СКО переменных, полученных различными модификациями линейного аналитического метода с СКО, найденных по методу Монте Карло, рис. 4, позволило разделить линейные модели, на модели, которые могут использоваться: только для оценки СКО, только для выделения сенсорных переменных или одновременного решения обеих задач.

Такая классификация моделей приведена в виде таблицы, показанной на рис. 6, из которой, например, следует, что оценки СКО переменных (черные треугольники), наиболее близкие к оценкам по методу Монте Карло, и выделение переменных, как сенсорных, (серые треугольники) может быть поучено на основе полной матрицы Якоби.

Активная модель JpS и сочетание активной модели с первым обобщенным возмущением JpSASl могут использоваться как для вычисления СКО изменений фаз напряжений, их разностей, перетоков активной мощности, так и выделения этих переменных как сенсорных.

Реактивная модель JQU дает большие ошибки при определении СКО

изменений модулей напряжений, их разностей, перетоков реактивной мощности, но может использоваться для выделения сенсорных модулей напряжений и их разностей, а, следовательно, и слабых связей.

Рис. 6. Классификация моделей линейного вероятностного потокораспределения по способности определять СКО переменных, близкие к СКО по методу Монте Карло (черные треугольники), и/или выделять сенсорные переменные (серые треугольники)

Для доказательства возможности использования дисперсии первого обобщенного возмущения (12) для определения СКО переменных на графике, рис. 7, для изменений модулей напряжений, показано, что СКО первого обобщенного возмущения практически совпадает со значением СКО, полученным для полной матрицы Якоби. Последнее может быть вычислено в соответствии с выражением (13) по двадцати одному обобщенным возмущениям, соответствующих числу сингулярных значений матрицы Якоби для тестовой схемы.

-♦-1 —■—2 -*-3 -*-4 —*—5 -»-6 —I— 7 —8-9——10—■— 11

Рис. 7. СКО модулей напряжений при увеличении числа используемых обобщенных возмущений, соответствующих упорядоченным по величине сингулярным значениям матрицы Якоби

Сравнение СКО переменных режима, полученных на основе линейного аналитического подхода и метода Монте Карло показало, что во многих случаях метод Монте Карло дает большие значения СКО, чем линейные аналитические методы, что может привести к ошибочной оценке вероятности нахождения контролируемых переменных в допустимых границах. Сниже-

ние ошибки, связанной с линеаризацией уравнений потокораспределения может быть получено с использованием методов нелинейного вероятностного потокораспределения.

Во второй главе анализируются известные и предложенные автором работы аналитические методы вероятностного нелинейного потокораспределения. Для оценки эффективности этих методов найденные для них вероятностные характеристики, сравниваются с характеристиками, полученными методом Монте Карло.

Квадратичная аппроксимация Тейлора системы уравнений установившегося режима в общем виде может быть представлена как

чГ ҐДсГ

я

АР

А в.

(а54

+ Н

, А и

(15)

где кубическая матрица Я, размера к , называется матрицей Гессе и состоит из к слоев. Формирование матрицы Гессе в виде прямоугольной матрицы с к строками и к2 столбцами

Н =

ґ д2р д5дд д20 Кд8д5

позволяет записать (15) в виде:

д2Р

д2Р

д2Р л

дбди дидЗ

диди дёди дидЗ диди

а26

э2е

ДГ = УДХ + -НАХ ® АХ, 2

(16)

(17)

Д7 =

'ДІМ (АЗ

ДЄ/ ^" АС/

Связь математических ожиданий и дисперсий узловых мощностей с математическими ожиданиями и ковариациями параметров состояния на основе (17) может быть выражена как

+ Мах® Мах),

Рих

М2АЇ = -1м2АХ^ + ~-}Мх\хпТ + \нм1^Т + -Ь

VI АХ АХ

У.

(18) (19)

где //здд. и /14АХ - матрицы совместных центральных моментов третьего и четвертого порядков, размеров (к2хк) и (к2хк2) соответственно, Ь^ — вектор, составленный из к столбцов, матрицы Цгьх .

Система уравнений (18), (19) недоопределенная, поскольку содержит два уравнения, в которые входят четыре неизвестные матрицы моментов. Для получения единственного решения можно использовать различные формы записи уравнения (19). В методе статистической линеаризации в (19)

включается только первое его слагаемое, а в методе моментов Манусова -первое и четвертое слагаемые.

Для получения единственного решения системы (18), (19) в работе предложено принять предположение о близости закона распределения переменных режима к нормальному закону и выразить моменты третьего и четвертого порядков через кумулянты, которые в этом случае принимаются равными нулю.

Такой подход назван методом двух моментов, уравнение (19) в нем имеет вид:

М2ЬТ = ~ )нт. (20)

Итерационный процесс получения решения системы (18), (20) в общем виде может быть представлен следующим образом.

Задаются математические ожидания, дисперсии нагрузок, исходные приближения параметров состояния X и формируется матрицы Якоби. Выражения (2), (3) используются для вычисления вектора /л^ и матрицы цгьх, на основе которой определяются вектор Ь и матрица //4ЛХ. На следующем шаге матрицы Якоби и Гессе формируются в точке X + ц^. Далее из системы (18), (20) определяются ^ и /.¡2АХ. Итерационный процесс повторяется до тех пор, пока небаланс в (18) не станет меньше заданного значения.

Для повышения точности решения задачи вероятностного нелинейного потокораспределения, получаемого методом двух моментов, в работе предлагается метод трех моментов, в котором система (18), (19) дополняется уравнением для центральных моментов третьего порядка:

+ ® я(ни- - ® И4Д.Г - в ь^ Ь1Ш + Ь М2„ ® Ь ^ 6 ^)ят. (21) где /и'4АХ, /и5АХ, ¡и'5ХХ, ¡и'6хх - матрицы совместных центральных моментов четвертого, пятого и шестого порядков, имеющие размеры (а3ха), (&3хА:2),

— векторы, составленные из элементов столбцов матриц центральных моментов /лЗАХ и //4ДД.. Матрицы ц'4еа, И$ах' МбАХ и /.14&х, > ¡-'блх содержат одинаковые элементы, расположенные по-

разному.

Система из трех уравнений (18), (19), (21) является недоопределенной из-за наличия в ней неизвестных матриц моментов четвертого, пятого и шестого порядков. Для получения единственного решения неизвестные матрицы моментов вычисляются через кумулянты, равные нулю. Алгоритм итера-

ционного решения задачи вероятностного потокораспределения методом трех моментов аналогичен алгоритму для метода двух моментов.

В работе предложено также усовершенствование безитерационного метода - наименее трудоемкого из рассматриваемых нелинейных методов расчета вероятностного потокораспределения, который не предполагает проведения итерационного уточнения решения, а позволяет с использованием матрицы Гессе только уточнить математические ожидания и моменты второго порядка, полученные линейным методом. Слои матрицы Гессе в этом методе записываются один под другим, что позволяет представить выражение (15) в виде:

' АХГН,АХ "

АУ=JАХ+

АХ' Н,АХ

АХН кАХ

(22)

а решение относительно вектора АХ как

ҐАГТ{/-')ТН^'1АГ АГт(і-і)ТН2 •/"'ДГ

дф-;

Нк у-'ду

= ДА' -ДЛ-.

(23)

где второе слагаемое АЛ'" корректирует переменные АХ', полученные на основе линейной аппроксимации. На основе (23) могут быть получены выражения для математических ожиданий Цах и ковариаций .

Предложенное в работе усовершенствование безитерационного метода заключается в использовании процедуры итерационного уточнения решения. В таком методе, названном модифицированным, матрица Гессе представляется в форме (16), а выражение (23) записывается как

ДЛ> У-'ДГ-^У-'Я^"1 ®УЧ)(ДГ®ДУ). (24)

Полученная на основе (24) математическая формулировка модифицированного метода вероятностного потокораспределения будет иметь вид:

Мах = АМаг + + Маг ® Маг ) > (25)

хА + АМЪ,

Вт + В(мЗАу)тАг+В^АГВт

лТ

Мі ах = ЛМ2а г

Мім = А® А^ЗАГ

+ В® АцъьхВт + В® В/./5АуЛт + В®В/л'6 1

(26)

Ат + А ® Ди4 ЛГАГ + А® В^аїА' +В®Ам'4

'4ДГ 6АУВТ)

Ат + А® В/и5АЇВг +

(27)

где A=J В = —Гхн{г'1®гЛ.

2 4 '

Точность вероятностных характеристик на основе линейного и нелинейных методов может быть оценена при их сравнении с характеристиками, полученными методом Монте Карло. Сравнение методов вероятностного потокораспределения для тестовой схемы проиллюстрировано на примере модулей узловых напряжений.

На рис. 8 а приведены СКО изменений модулей напряжений в узлах тестовой схемы для двух линейных методов на основе полной матрицы Якоби, пяти нелинейных методов и метода Монте Карло. Все методы выделили узлы 8, 5 и 200 как узлы с сенсорными модулями напряжений, а узел 8, как наиболее сенсорный.

номерауэлов

Рис. 8. СКО изменений модулей узловых напряжений полученные а) на основе методов: 1 — обобщенного возмущения, 2 - линейного, 3 - безитерационного, 4 - двух моментов, 5 — статистической линеаризации, 6- модифицированного, 7 - трех моментов, 8 - Монте Карло; б) разность СКО для метода 8 и методов 1-7

1.5

(О

5 1

и

О 0.5 <1

о

а 1гэ2вЗш4а5В6Я7

б 8 номераузлов

3102ВЗШ405В6

На рис. 8 б показаны разности СКО изменений модулей напряжений, полученных методом Монте Карло, линейными и нелинейными методами, позволившие сделать следующие выводы:

• для всех методов максимальная разность СКО по отношению к методу Монте Карло отмечается в узле 8 с сенсорным модулем напряжения;

• СКО изменений модулей напряжений, полученные линейным методом и методом обобщенного возмущения на основе полной матрицы Якоби, а также безитерационным методом близки между собой;

• СКО для метода трех моментов максимально приближаются к СКО по методу Монте Карло, но в отличие от других методов, превышают последние;

• следующими после метода трех моментов, по близости найденных на их основе СКО изменений модулей напряжений к СКО по методу Монте Карло, являются метод статистической линеаризации, модифицированный метод и метод двух моментов.

Преимущество метода трех моментов подтверждается и сравнением кривых плотностей вероятности для изменения модуля напряжения в сенсорном узле 8, построенных для шести аналитических методов и метода Монте Карло, рис. 9. Сравнение показало, что кривая плотности вероятности для

метода трех моментов наиболее близка к кривой плотности, полученной для метода Монте Карло, по сравнению с кривыми плотности для других методов.

Рис. 9. Кривые плотностей вероятности изменения модуля напряжения в сенсорном узле 8, построенные на основе разложения 1'рама-Шарлье для методов'. 1 - линейного, 2 - бе-зитерационного, 3 - двух моментов, 4 - статистической линеаризации, 5 - модифицированного, 6 — трех моментов, 7 — Монте Карло

основе разложения Грама-Шарлье для метода трех моментов (сплошная линия) и метода Монте Карло (пунктирная линия)

Вывод о преимуществе метода трех моментов получен и при сравнении графиков функций распределения изменения модуля напряжения в узле 8 для всех аналитических методов с графиком распределения для метода Монте Карло. Сравнение показало, что наиболее близки между собой функции распределения для метода трех моментов и метода Монте Карло, рис. 10.

Аппроксимации функции распределения случайной переменной /•'(х) с использованием разложения Грама-Шарлье была получена автором работы в результате интегрирования по частям выражения для плотности вероятности (14)

X X со 1 00

Р{Х)= \/х(хУк = \ Н, (х)ср(х)ск=- + Ф(х)+ я; (х)ср{х), (28)

—со -со 7=0 £ ]=0

где ф{х) - функция Лапласа; Н^ (л) - производные от полиномов Эрмита.

В третьей главе решается проблема вероятностного потокораспределе-ния с учетом ограничений на переменные режима.

Если в результате расчета вероятностного потокораспределения окажет-

ся, что вероятность нахождения в допустимых границах контролируемых переменных, к которым в первую очередь относятся сенсорные переменные, ниже требуемой, то для увеличения такой вероятности осуществляется выбор управляющих воздействий.

Для решения указанной проблемы предлагается использовать метод, аналогичный методу детерминированного эквивалента, заключающийся в последовательном итерационном решении детерминированной и вероятностной задач. Однако процедура ввода контролируемых переменных в допустимую область отличается от процедуры, используемой в методе детерминированного эквивалента, и заключается не в сужении допустимого интервала для случайной контролируемой переменной, а в смещении математического ожидания переменной к точке, являющейся медианой ее плотности распределения на допустимом интервале.

В детерминированной задаче расчета потокораспределения с учетом ограничений для обеспечения требуемой вероятности нахождения контролируемых переменных в допустимых границах должны быть выработаны соответствующие управляющие воздействия. Для каждой контролируемой переменной с низкой вероятностью нахождения в допустимых границах, надо найти управления, к которым эта переменная является наиболее чувствительной.

Другими словами, минимальное изменение управляющего параметра должно привести к максимальному изменению контролируемой переменной, позволяющему увеличить вероятность ее нахождения в допустимых границах. Такая задача успешно решается при сочетании методов приведенного градиента и задачи квадратичного программирования, решаемой на каждом шаге последовательной линеаризации.

Проанализируем проблему определения требуемых вероятностных характеристик контролируемых переменных, обеспечивающих необходимую вероятность их нахождения в допустимых границах. Будем считать, что в результате расчета вероятностного потокораспределения для контролируемой сенсорной переменной g найдены ее математическое ожидание СКО

o^g,и известен допустимый интервал >£Гтах) ее изменения.

Вероятность попадания переменной в допустимый интервал может быть определена либо по информации о математическом ожидании и СКО, либо на основе разложения Грама-Шарлье.

Если вероятность нахождения переменной в заданном интервале ниже, чем требуемое значение вероятности, то существует две возможности ее увеличения. Первая заключается в поиске подходов к снижению СКО, что может быть достигнуто, например усилением слабых мест.

Вторая возможность заключается в выборе управлений, обеспечивающих смещение математического ожидания переменной к точке, являющейся медианой тс ее плотности распределения на допустимом интервале. Наиболее просто эта возможность реализуема для нормального распределения, для которого максимальная вероятность попадания контролируемой переменной

в интервал будет при совмещении ее математического ожидания с медианой, расположенной в центре допустимего интервала:

^с=(^п+&тах)/2. (29)

В результате реализации управляющего воздействия, связанного со смещением математического ожидания контролируемой переменной, происходит изменение и других переменных, что может привести к увеличению СКО контролируемой переменной, а, следовательно, к снижению вероятности ее попадания в допустимый интервал. Кроме того, могут увеличиться вероятности выхода и других контролируемых переменных за допустимые границы.

Рассмотрим алгоритм повышения вероятности нахождения контролируемых переменных режима в допустимых границах, который состоит в последовательном решении задач детерминированного и вероятностного потоко-распределений с учетом ограничений на контролируемые переменные. Основные этапы алгоритма заключаются в следующем.

1. Расчет детерминированного установившегося режима ЭЭС. Индекс итерации к = 0.

2. Расчет вероятностного потокораспределения, включающий определение числовых характеристик контролируемых переменных, выделение сенсорных контролируемых переменных, в частности, цк , г е 1С, где 1С - множество индексов сенсорных переменных.

3. Вычисление вероятности нахождения сенсорных переменных в допустимых границах. Завершение работы алгоритма, если требуемая вероятность для всех сенсоров обеспечена. Если нет, то определение для каждого сенсора j е /с„, где /„ с-1С - множество индексов сенсорных переменных, для которого заданная вероятность соблюдения ограничения gjmax) не выполняется, и смещения его математического ожидания А* = тс] — цкК. .

4. Определение из решения детерминированной задачи вектора управляющего воздействия ЛУ = У — Ук, при котором сенсорные переменные } б /с>1 принимают значения /4 . + А*.. Если такое решение не может быть найдено, то

ищется решение, при котором вероятность нахождения в допустимых границах будет наибольшей.

Целевая функция детерминированной оптимизационной задачи может быть записана в виде выражения:

которое должно быть дополнено ограничениями на контролируемые переменные и параметры управления.

Для тестовой схемы, рис. 1, в табл. 1 приведены математические ожидания и СКО изменений модулей напряжений в узлах тестовой сети, полученные линейным методом, записаны принятые допустимые диапазоны из-

менения напряжений и вероятности попадания модулей напряжения в допустимые интервалы.

Таблица 1

Вероятностные характеристики модулей напряжений в узлах тестовой схемы для __ исходного режима___

Узлы Ии> кВ СГу,кВ Д£/,кВ Д[/,кВ Р

2 522.340 3.482 -30 30 0.9861

4 231.497 1.201 -25 25 1.0000

5 512.056 6.972 -30 30 0.9950

6 225.172 1.874 -25 20 1.0000

8 508.447 17.203 -30 30 0.8822

100 229.241 2.054 -25 25 1.0000

200 528.159 4.935 -30 30 0.6454

202 233.627 2.082 -25 25 1.0000

Таблица 2

Вероятности нахождения модулей напряжений в допустимых границах, полученные различными методами для исходного режима на основе методов: 1 - линейного, 2 -безитерационного, 3 - двух моментов, 4 - статистической линеаризации, 5 - модифи-

цированного, 6 - трех моментов, 7 - Монте Карло

Узлы Методы вероятностного потокораспределения

1 2 3 4 5 6 7

2 0.991 0.991 0.995 0.994 0.994 0.99 0.991

4,6,100,202 1 1 1 1 1 1 1

5 0.995 0.995 0.997 0.996 0.996 0.994 0.994

8 0.882 0.882 0.901 0.893 0.893 0.868 0.87

200 0.645 0.645 0.708 0.705 0.704 0.697 0.691

Таблица 3

Вероятности нахождения модулей напряжений в допустимых границах, полученные различными методами для конечного режима на основе методов: 1 - линейного, 2 -безитерационного, 3 - двух моментов, 4 - статистической линеаризации, 5 - модифи-

цированиого, б — трех моментов, 7 — Монте Карло

узлы Методы вероятностного потокораспределения"

1 2 3 4 5 6 7

2, 4, 6, 200, 202 1 1 1 1 1 1 1

5 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.998 0.998

8 0.928 0.928 0.92 0.913 0.913 0.889 0.89

100 0.987 0.987 0.993 0.991 0.991 0.987 0.988

Из сравнения СКО изменений модулей напряжений, приведенных в табл. 1, следует, что модуль напряжения 8-го узла в большей степени реагирует на изменения нагрузок, чем модуль напряжения 200-го узла, а разность математического ожидания и номинального напряжения, равного 500 кВ, для 200-го узла существенно выше, чем такая разность для 8-го узла. Близость математического ожидания модуля напряжения 200-го узла к граничному значению является причиной того, что вероятность нахождения напряжения

этого узла в допустимых границах, ниже вероятности для 8-го узла с сенсорным напряжением. <

Такие же низкие вероятности нахождения модуля напряжения 200-го узла в допустимых границах для исходного режима получены для аналитических методов, номера которых указаны в табл. 2, и метода Монте Карло.

В табл. 3 приведены значения вероятностей, полученные в результате применения управляющих воздействий. Значение вероятности нахождения модуля напряжения 8-го сенсорного узла в допустимых границах для всех методов составило в среднем 0.9.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе.

В приложениях представлены: числовые характеристики нагрузок и переменных режима, полученные на основе метода Монте Карло и линейного аналитического метода; свойства операции прямого произведения матриц; правила формирования матриц для числовых характеристик случайных величин; выражения для связи моментов изменений узловых напряжений и мощностей.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В результате проведенного исследования показана возможность использования линейных и нелинейных методов вероятностного потокораспределе-ния для выявления в ЭЭС сенсорных переменных, определения их вероятностных характеристик и вероятности нахождения переменных в допустимых границах, предложен алгоритм выбора управляющих воздействий для увеличения такой вероятности.

Были получены следующие основные результаты.

1. Показано, что аналитические методы вероятностного потокораспреде-ления, позволяют выделить те же сенсорные переменные, которые могут быть определены на основе сингулярного разложения полной матрицы Яко-би или ее диагональных блоков.

2. Для оценки математических ожиданий и среднеквадратических отклонений переменных в неоднородной сети, признаком которой является наличие сингулярного значения матрицы Якоби, существенно отличающегося от других сингулярных значений, предложено использовать дисперсию одного или нескольких обобщенных возмущений, полученных в результате сочетания линейного аналитического метода вероятностного потокораспределения с методом сингулярного анализа.

3. Проведено экспериментальное подтверждение возможности определения слабых связей по максимальной величине среднеквадратических отклонений разностей модулей и фаз напряжений, показавшее также, что усиление слабых связей позволяет уменьшить влияние возмущений на среднеквадра-тические отклонения сенсорных переменных и увеличить вероятность нахождения переменных в допустимых пределах.

4. Разработаны методы вероятностного нелинейного потокораспределения, включающие методы двух и трех моментов с использованием кумулян-

тов, и предложена модификация безитерационного метода, заключающаяся в коррекции матриц Якоби и Гессе в процессе итерационного решения задачи. Показано, что метод трех моментов по сравнению с другими аналитическими методами позволяет определить числовые характеристики переменных, близкие к характеристикам, получаемым методом Монте Карло.

5. Разработаны экспериментальные программы вероятностного потоко-распределения методом Монте Карло, линейным аналитическим методом, в том числе и в сочетании с методом сингулярного анализа, методом статистической линеаризации, методами двух и трех моментов на основе кумулянтов, модифицированным методом, программы построения для случайной переменной функций плотности вероятности и распределения на основе разложения Грама-Шарлье.

6. Разработан алгоритм вероятностного потокораспределения с учетом ограничений, заключающийся в последовательном итерационном решении детерминированной и вероятностной задач. Алгоритм включает выбор управляющих воздействий, обеспечивающих смещение математического ожидания переменной к точке, являющейся медианой ее плотности распределения на допустимом интервале. Алгоритм вероятностного потокораспределения с учетом ограничений реализован в виде экспериментальной программы. С помощью этой программы для тестовой сети была проиллюстрирована возможность достижения требуемой вероятности нахождения переменных в допустимых границах для всех исследовавшихся в работе методов вероятностного потокораспределения.

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях:

1. Болоев, Е.В. Проверка математических моделей электроэнергетических систем, предназначенных для выполнения расчетов установившихся режимов в вероятностно-определенных условиях [текст] /Е.В. Болоев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. - № 3 (27). -С. 202-208.*

2. Болоев, Е.В. Использование методов вероятностного потокораспределения для решения задач в электроэнергетике [текст] / Е.В. Болоев, И.И. Голуб // Вестник СГТУ. - 2012. - № 1 (64). Выпуск 2. - С. 96-106.*

3. Болоев, Е.В. Вероятностная постановка задачи расчета установившихся режимов ЭЭС с учетом ее структурных особенностей [текст] / Е.В. Болоев // Системные исследования в электроэнергетике: труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН, вып. 30. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2000. - С. 2-9.

4. Болоев, Е.В. Новые показатели надежности при оперативном управлении электроэнергетическими системами [текст] / Е.В. Болоев // Системные исследования в электроэнергетике: труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН, вып. 31. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2001. - С. 14-20.

5. Болоев, Е.В. Вероятностный расчет допустимого режима ЭЭС [текст] / Е.В. Болоев // Системные исследования в электроэнергетике: труды молодых

Работы, опубликованные в рекомендованных ВАК изданиях.

ученых ИСЭМ СО РАН, вып. 33. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2003. - С. 1521.

6. Болоев, Е.В. Вероятностный расчет установившихся режимов ЭЭС заменой переменных [текст] / Е.В. Болоев // Системные исследования в электроэнергетике: труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН, вып. 35. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. - С. 8-14.

7. Болоев, Е.В. Вероятностные методы расчета потокораспределения электроэнергетических систем [текст] / Е.В. Болоев // Сборник научных трудов в двух томах. Т. 1.-Ангарск: АГТА, 2005. - С. 212-221.

8. Болоев, Е.В. Вероятностный расчет установившихся режимов ЭЭС заменой переменных [текст] / Е.В. Болоев, А.З. Гамм, Г.Г. Константинов // Сборник научных трудов в двух томах. Т.1. - Ангарск: АГТА, 2005. - С. 212-221.

9. Болоев, Е.В. Вероятностный расчет потокораспределения с использованием процедуры статистической линеаризации [текст] / Болоев Е.В. // Вестник АГТА. - 2009. - № 1. - С. 77-82.

10. Болоев, Е.В. Применение метода наименьших квадратов при расчете установившихся режимов электроэнергетических систем [текст] / Болоев Е.В. // Винеровские чтения. Труды IV Всероссийской конференции. Часть I. -Иркутск: ИрГТУ, 2011. - С. 23-32.

11. Болоев, Е.В. Сравнение методов вероятностного потокораспределения в ЭЭС [текст] / Е.В. Болоев, И.И. Голуб // Информационные и математические технологии в науке и управлении. Труды XVII Байкальской Всероссийской конференции. Часть III - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2012. - С. 209-217.

12. Болоев, Е.В. Сравнение методов анализа неоднородностей в ЭЭС [текст] / Е.В. Болоев, И.И. Голуб // Методические вопросы исследования больших систем энергетики: Вып. 62. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2011. - С. 421-430.

13. Болоев, Е.В. Оценка переменных режима ЭЭС методами вероятностного потокораспределения [текст] / Е.В. Болоев, И.И. Голуб // Стохастическое программирование и его приложения. - Иркутск: Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 2012. - С. 242-264.

14. Boloev E.V. Estimation of Probability of Sensor Variables Lying Within the Feasible Region [text] / E.V. Boloev, I.I. Golub // The 5th International Conference on Liberalization and Modernization of Power Systems: Smart Technologies for Joint Operation Of Power Grids - Irkutsk: ESI SB RAS, 2012. - P. 177-186.

Лицензия ИД N0 00639 от 05.01.2000. Лицензия ПЛД N0 40-61 от 31.05.1999

Бумага писчая формат 60x84 1/16 Офсетная печать Печ. л. 1,33 Тираж 100 экз. Заказ N0 95.

Отпечатано полиграфическим участком ИСЭМ СО РАН 664033, г. Иркутск, улЛермонтова, 130.

Введение.

Общая характеристика работы.

Основные проблемы состояния вопроса исследования.

Содержание работы.

Глава 1. Использование линейного аналитического подхода к вероятностному потокораспределению для определения сенсорных и слабых мест в ЭЭС.

1.1. Использование метода сингулярного анализа для определения сенсоров в ЭЭС.

1.2. Линейный аналитический подход к вероятностному потокораспределению.

1.3. Определение числовых характеристик нагрузок.

1.4. Влияние несимметричности предельных значений изменения случайной переменной относительно математического ожидания на вероятность ее нахождения в допустимых границах.

1.5. Сочетание линейного аналитического подхода к вероятностному потокораспределению с методом сингулярного анализа.

1.6. Представление плотности вероятности случайной переменной рядом Грама-Шарлье.

1.7. Иллюстрация использования линейного вероятностного метода для определения сенсорных переменных и их числовых характеристик.

1.7.1. Выделение сенсорных переменных и слабых связей методом сингулярного анализа матрицы Якоби.

1.7.2. Фазы узловых напряжений.

1.7.3. Разность фаз узловых напряжений.

1.7.4. Модули узловых напряжений.

1.7.5. Разность модулей напряжений в связях.

1.7.6. Перетоки активной и реактивной мощности.

1.7.7. Использование обобщенных возмущений.

Общая характеристика работы

Актуальность. В процессе функционирования электроэнергетическая система (ЭЭС) подвергается большим и малым внешним возмущениям и реагирует на них изменением переменных режима. Такая реакция зависит как от набора и величины возмущения, так и от таких инвариантных к режиму факторов, как топология и параметры элементов схемы сети. Возмущения, локализуемые в разных местах ЭЭС, как правило, вызывают заметную реакцию модулей и фаз напряжения, перетоков мощности, потерь напряжения в одних и тех же узлах и связях. Такие элементы схемы сети, переменные режима которых в наибольшей степени изменяются при случайных внешних возмущениях, названы сенсорами

Реакция сенсорных переменных на возмущения может привести к ухудшению таких критериев функционирования ЭЭС, как допустимость режима, статическая и динамическая устойчивость, оперативная надежность и экономичность. Сенсорные переменные часто определяют критические состояния ЭЭС, их знание необходимо для усиления сети при проектировании и управлении, определении наиболее ответственных точек контроля и ускорения процедуры оценки их допустимости в реальном времени, синтезе законов управления.

Прежде, чем определять значимость реакций с точки зрения упомянутых критериев управления, надо было найти простые способы выявления сенсорных элементов не столь громоздкие, как методом Монте Карло, а также способы выявления порождающих сенсоры факторов, названных слабыми местами [1], чтобы целенаправленно воздействовать на них как при эксплуатации, так и при развитии ЭЭС.

Для этой цели в ИСЭМ СО РАН была разработана технология выделения сенсорных переменных и слабых мест в ЭЭС [1], базирующаяся на использовании сингулярного анализа и позволяющая представить вектор расчетных возмущений в виде скалярной величины, названной обобщенным возмущением. Однако данная технология не позволяла одновременно с идентификацией сенсорных переменных оценить возможные диапазоны их изменения и вероятности нахождения переменных в допустимых границах, выбрать управляющие воздействия для получения требуемых вероятностей с учетом допустимых диапазонов изменения переменных.

Совместное решение всех перечисленных задач привело к необходимости поиска методов выделения сенсорных переменных и слабых мест в ЭЭС не менее эффективных, чем метод сингулярного анализа. Такими являются аналитические методы вероятностного потокораспределения. В них внешние возмущения представляются случайными изменениями нагрузок, а реакция ЭЭС на возмущения определяется числовыми характеристиками и плотностями вероятности, позволяющими оценить возможные диапазоны изменения значений переменных и вероятности их нахождения в допустимых границах.

Этим определяется актуальность использования аналитических методов вероятностного потокораспределения для выделения сенсорных переменных в ЭЭС и учета вероятностных ограничений.

Цель работы заключается в разработке методов вероятностного потокораспределения, которые предполагается использовать для выделения сенсорных переменных в ЭЭС, определения их вероятностных характеристик, оценки вероятности нахождения переменных в допустимых границах и выборе управляющих воздействий, повышающих такую вероятность.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

• доказательство возможности использования методов вероятностного потокораспределения для выявления в ЭЭС сенсорных переменных и слабых мест;

• изучение целесообразности использования в линейном аналитическом методе вероятностного потокораспределения одного или нескольких обобщенных возмущений для определения числовых характеристик сенсорных переменных в неоднородной сети;

• сравнение числовых характеристик сенсорных переменных, полученных известными и предложенными в работе методами, для выбора наиболее эффективного метода вероятностного потокораспределения;

• разработка экспериментальных программ линейного и нелинейного вероятностного потокораспределения, метода Монте Карло, построения функций распределения и плотностей вероятности на основе разложения Грама-Шарлье;

• разработка алгоритма и программы оценки вероятности нахождения контролируемых сенсорных переменных в допустимых границах и выбора управляющих воздействий, приводящих к смещению кривой плотности, для увеличения вероятности до требуемого значения.

Научная новизна работы:

1. Для выделения сенсорных переменных и слабых мест в ЭЭС предложено использовать числовые характеристики, полученные методами вероятностного потокораспределения.

2. Предложено использовать дисперсию одного или нескольких обобщенных возмущений, полученных в результате сочетания линейного аналитического метода вероятностного потокораспределения с методом сингулярного анализа, для оценки числовых характеристик сенсорных переменных.

3. Предложены новые нелинейные аналитические методы вероятностного потокораспределения «двух моментов» и «трех моментов» на основе кумулянтов, для последнего метода числовые характеристики переменных близки к характеристикам, полученным по методу Монте Карло.

4. Предложена модификация, заключающаяся в итерационном уточнении решения, алгоритма нелинейного вероятностного потокораспределения X. Li, X. Chen, X. Yin, Т. Xiang, Н. Liu (2002) [46], позволившая повысить точность оценок числовых характеристики переменных, по сравнению с исходным алгоритмом.

5. Для достижения требуемой вероятности нахождения контролируемой переменной в допустимых границах предложен алгоритм выбора управляющих воздействий, обеспечивающих смещение математического ожидания переменной к точке, являющейся медианой ее плотности распределения на допустимом интервале.

Практическая значимость выполненных исследовании. Разработанные аналитические методы вероятностного потокораспределения и реализующие их программы целесообразно использовать при решении задач оперативного диспетчерского управления, краткосрочном планировании режимов, проектировании, в том числе для повышения вероятности нахождения переменных в допустимой области, для расстановки и выбора средств управления режимом и снижения трудоемкости анализа надежности с учетом структурных свойств ЭЭС.

Предложенные в работе оценки числовых характеристик переменных с использованием обобщенных возмущений обеспечивают возможность сокращения числа расчетных сценариев возмущений для оценки всех возможных последствий выхода переменных за допустимые пределы, ускорить такие процедуры реального времени, как контроль допустимости, оперативной надежности.

Выделение сенсорных переменных на основе среднеквадратических отклонений и сопоставление отклонений с возможным диапазоном изменения переменных, позволяет оценить необходимость проведения технических мероприятий по усилению сети, и организационных мероприятий по обеспечению требуемой вероятности нахождения переменных в допустимой области, оценить достаточность располагаемых ресурсов управления для обеспечения требуемой вероятности и выбора конкретного состава управлений. В зависимости от задачи, для которой необходимо обеспечить допустимые значения переменных, могут использоваться предложенные в работе упрощенные или более точные методы вероятностного потокораспределения.

Разработанные автором экспериментальные программы линейных и нелинейных методов вероятностного потокораспределения, метода Монте Карло, 8 включающего процедуру детерминированного потокораспределения, построения функций распределения и плотностей вероятности на основе разложения Грама-Шарлье, определения вероятности нахождения сенсорных переменных в допустимых границах могут быть включены в состав существующих программных средств расчета потокораспределения в детерминированной постановке, для получения вероятностных характеристик переменных. Эти программы могут быть использованы для имитации управления установившимися режимами и повышения обоснованности принимаемых решений при проектировании и управлении ЭЭС, а также в учебном процессе.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на 30, 31, 33 и 35 конференциях научной молодежи ИСЭМ СО РАН "Системные исследования в энергетике" (Иркутск 2000, 2001, 2003, 2005); на научно-технических конференциях "Современные технологии и научно-технический прогресс" (Ангарск, 2005, 2006), на конференции "Электрооборудование, электроснабжение и электросбережение" (Ижевск, 2004), международном научном семинаре им. Ю.Н. Руденко "Методические вопросы исследования надежности БСЭ" (Иваново, 2011), XVII Байкальской Всероссийской конференции "Информационные и математические технологии в науке и управлении" (Иркутск-Байкал, 2012), Российско-украинском научном семинаре "Стохастическое программирование и его приложения в энергетике" (Иркутск, 2012), 5-ой международной конференции "Либерализация и модернизация электроэнергетических систем: ЗтаЛ-технологии для совместных операций в электрических сетях" (Иркутск, 2012).

Публикации. Основное содержание работы отражено в 14-ти публикациях, из них две статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК по специальности 05.14.02.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Общий объем 149

Выводы

1. Предложен алгоритм решения задачи расчета вероятностного потокораспре-деления с учетом ограничений, заключающийся в последовательном итерационном решении детерминированной и вероятностной задач. Алгоритм включает выбор управляющих воздействий, обеспечивающих смещение математического ожидания переменной к точке, являющейся медианой ее плотности распределения на допустимом интервале.

2. Разработан алгоритм выбора управлений, позволяющих реализовать смещение математического ожидания переменной к точке, являющейся медианой плотности распределения на допустимом интервале.

3. Реализован алгоритм решения задачи расчета вероятностного потокораспре-деления с учетом ограничений в виде экспериментальной программы в системе Майгсас!.

4. Проиллюстрирована возможность достижения требуемой вероятности нахождения переменных в допустимых границах на примере тестовой сети для всех рассмотренных аналитических методов вероятностного потокораспреде-ления и метода Монте Карло

Заключение

В результате проведенного исследования показана возможность использования линейных и нелинейных методов вероятностного потокораспределения для выявления в ЭЭС сенсорных переменных, определения их вероятностных характеристик и вероятности нахождения переменных в допустимых границах, предложен алгоритм выбора управляющих воздействий для увеличения такой вероятности.

Были получены следующие основные результаты.

1. Показано, что аналитические методы вероятностного потокораспределения, позволяют выделить те же сенсорные переменные, которые могут быть определены на основе сингулярного разложения полной матрицы Якоби или ее диагональных блоков.

2. Для оценки математических ожиданий и среднеквадратических отклонений переменных в неоднородной сети, признаком которой является наличие сингулярного значения матрицы Якоби, существенно отличающегося от других сингулярных значений, предложено использовать дисперсию одного или нескольких обобщенных возмущений, полученных в результате сочетания линейного аналитического метода вероятностного потокораспределения с методом сингулярного анализа.

3. Проведено экспериментальное подтверждение возможности определения слабых связей по максимальной величине среднеквадратических отклонений разностей модулей и фаз напряжений, показавшее также, что усиление слабых связей позволяет уменьшить влияние возмущений на среднеквадратические отклонения сенсорных переменных и, увеличить вероятность нахождения переменных в допустимых пределах.

4. Разработаны методы вероятностного нелинейного потокораспределения, включающие методы двух и трех моментов с использованием кумулянтов, модификацию безитерационного метода, заключающуся в коррекции матриц Якоби и Гессе в процессе итерационного решения задачи. Показано, что метод трех моментов по сравнению с другими аналитическими методами позволяет определить числовые характеристики переменных, близкие к характеристикам, получаемым методом Монте Карло.

5. Разработаны экспериментальные программы вероятностного потокорас-пределения методом Монте Карло, линейным аналитическим методом, в том числе и в сочетании с методом сингулярного анализа, методом статистической линеаризации, методами двух и трех моментов на основе кумулянтов, модифицированным методом, программы построения для случайной переменной функций плотности вероятности и распределения на основе разложения Грама-Шарлье.

6. Разработан алгоритм вероятностного потокораспределения с учетом ограничений, заключающийся в последовательном итерационном решении детерминированной и вероятностной задач. Алгоритм включает выбор управляющих воздействий, обеспечивающих смещение математического ожидания переменной к точке, являющейся медианой ее плотности распределения на допустимом интервале. Алгоритм метода реализован в виде экспериментальной программы. Возможность достижения требуемой вероятности нахождения переменных в допустимых границах проиллюстрирована для всех исследовавшихся методов вероятностного потокораспределения на примере тестовой сети.

1. Войтов О.Н., Воропай Н.И., Гамм А.З. и др. Анализ неоднородноетей электроэнергетических систем Текст. / О.Н. Войтов, Н.И. Воропай, А.З. Гамм [и др.] - Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1999. - 256с.

2. Болоев, Е.В. Новые показатели надежности при оперативном управлении электроэнергетическими системами текст. / Е.В. Болоев // Системные исследования в электроэнергетике: труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН, вып. 31. — Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2001. С. 14-20.

3. Болоев, Е.В. Вероятностный расчет допустимого режима ЭЭС текст. / Е.В. Болоев // Системные исследования в электроэнергетике: труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН, вып. 33. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2003. - С. 15-21.

4. Болоев, Е.В. Вероятностный расчет установившихся режимов ЭЭС заменой переменных текст. / Е.В. Болоев // Системные исследования в электроэнергетике: труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН, вып. 35. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005.-С. 8-14.

5. Болоев, Е.В. Вероятностные методы расчета потокораспределения электроэнергетических систем текст. / Е.В. Болоев // Сборник научных трудов в двух томах. Т.1.- Ангарск: АГТА, 2005.-С. 212-221.

6. Болоев, Е.В. Вероятностный расчет установившихся режимов ЭЭС заменой переменных текст. / Е.В. Болоев, А.З. Гамм, Г.Г. Константинов // Сборник научных трудов в двух томах. Т.1. Ангарск: ATTA, 2005. - С. 212-221.

7. Болоев, Е.В. Вероятностный расчет потокораспределения с использованием процедуры статистической линеаризации текст. / Болоев Е.В. // Вестник АГТА. 2009. - № 1. - С. 77-82.

8. Болоев, Е.В. Применение метода наименьших квадратов при расчете установившихся режимов электроэнергетических систем текст. / Болоев Е.В. // Вине-ровские чтения. Труды IV Всероссийской конференции. Часть I. Иркутск: ИрГТУ, 2011.-С. 23-32.

9. Болоев, Е.В. Сравнение методов анализа неоднородностей в ЭЭС текст. / Е.В. Болоев, И.И. Голуб // Методические вопросы исследования больших систем энергетики: Вып. 62. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2011. - С. 421-430.

10. Болоев, Е.В. Использование методов вероятностного потокораспределения для решения задач в электроэнергетике текст. / Е.В. Болоев, И.И. Голуб // Вестник СГТУ. 2012. - № 1 (64). Выпуск 2. - С. 96-106.

11. Schilling М. Th., Leite da Silva A. M., Billiton R. Bibliography on power system probabilistic.//IEEE Trans. PAS 1990. - Vol. 5.No.l.-P. 1-11.

12. Крумм, JI.A. Методы оптимизации при управлении электроэнергетическими системами текст. / JI.A. Крумм. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1981. -317с.

13. Беляев, J1.C. О целесообразных областях применения вероятностных методов при изучении больших систем энергетики текст. / JI.C. Беляев, J1.A. Крумм. Иркутск: СЭИ СО РАН СССР, 1982. - 51 с.

14. Манусов, В.З. Вероятностные задачи в электроэнергетике текст. / В.З. Ма-нусов. -Новисибирск: НЭТИ, 1982. 118 с.

15. Вентцель Е.С. Теория вероятностей текст. / Е.С. Вентцель. М.: Наука, 1969.-576 с

16. Пугачев, B.C. Теория вероятностей и математическая статистика текст. / B.C. Пугачев. М.: Наука, 1979. - 496 с

17. Казаков И.Е., Доступов Б.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем текст. / И.Е. Казаков, Б.Г. Доступов. М.: Физматгиз, 1962. -332 с.

18. Пугачев, B.C. Основы статистической теории автоматических систем текст. / B.C. Пугачев, И.Е. Казаков, Л.Г. Евланов М.: Машиностроение, 1974. - 400 с.

19. Библиографический указатель публикаций профессора Манусова Вадима Зиновьева http://rudocs.exdat.com/docs/index-163024.html

20. Манусов, В.З. Расчёт установившихся режимов электрических систем с учётом вероятностного характера нагрузок текст. / В.З. Манусов, A.B. Лыкин // Изв. Сиб. отд-ния акад. наук СССР. Техн. науки. 1973. - Вып. 1, № 3. - С. 8891.

21. Манусов, В.З. Анализ режимов электрических систем методом статической линеаризации текст. / В.З. Манусов, A.B. Лыкин // Изв. Сиб. отд-ния акад. наук СССР. Техн. науки. 1974. -№ 8, Вып. 2. - С. 137-144.

22. Манусов, В.З. Вероятностный анализ установившихся режимов электрических систем текст. / В.З. Манусов, A.B. Лыкин // Электричество. 1981. - № 4. -С. 7-13.

23. Манусов, В.З. Расчет интегральных показателей режимов работы электрических систем вероятностными методами текст. / В.З. Манусов, Ю.Н. Кучеров, О.Н. Шепилов // Изв. Сиб. отд-ния акад. наук. Техн. науки. 1981. - Вып. 3, № 13.-С. 130-136.

24. Манусов, В.З. Расчет вероятностного потокораспределения тяжёлых режимов электроэнергетических систем текст. / В.З. Манусов, О.Н. Шепилов // Изв. ВУЗов. Энергетика. 1982.-№ 8.-С. 6-10.

25. Манусов, В.З. Использование вероятностных свойств ретроспективной диспетчерской информации для планирования нормальных режимов ЭЭС текст. / В.З. Манусов, О.Н. Шепилов // Алгоритмы обработки данных в электроэнергетике. Иркутск: 1982. С. 163- 170.

26. Манусов, В.З. Математическая модель вероятностного анализа электрических систем текст. / В.З. Манусов, О.Н. Шепилов //дИзв. акад. наук СССР. Энергетика и транспорт. 1983. -№ 1. - С. 31-39.

27. Манусов, В.З. Исследование режимов ЕЭС СССР с учётом случайного характера исходной информации текст. / В.З. Манусов, В.В. Могирев, О.Н. Шепилов // Электричество. 1983. -№ 10. - С. 3-6.

28. Кучеров, Ю.Н. Аналитический метод уточненного вероятностного анализа предельных по мощности режимов электрических систем текст. / Ю.Н. Кучеров // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. Наук. 1985. - №10. - вып.2.

29. Кучеров, Ю.Н. Усовершенствование аналитических методов вероятностного анализа установившихся режимов электрических систем в предельных условиях текст. / Ю.Н. Кучеров // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. Наук. 1986. -Вып. 2№ 10.-С. 111-117.

30. Iwamoto, S. A load flow calculation method for IEE-condition power system text. / S. Iwamoto, Tamure Y.A. // IEEE Trans. PAS-101. 1981. - Vol. 101. No.4. - P.3261-3268.

31. Vorsic, J. Stochastic load flow analysis text. / J. Vorsic, V. Muzek, G. Skerbinek // Proceedings of the Electrotechnical Conference. Vol. 2, May 22-24, 1991. - pp. 1445- 1448.

32. Chen, P. Probabilistic Load Flow: A Review / P. Chen, Z. Chen http://vbn.aau.dk/files/16272096/Probabilistic

33. Borkowska, B. Probabilistic Load Flow text. / B. Borkowska // IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. Vol. PAS-93, No. 3, May-June 1974 - pp. 752-755.

34. Allan, R. N. Numerical Techniques in Probabilistic Load Flow Problems text. / R. N. Allan, С. H. Grigg, M. R. G. Al-Shakarchi // International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 10, No. 4, March 1976. - pp. 853-860.

35. Allan, R. N. Probabilistic Analysis of Power Flows text. / R. N. Allan, B. Borkowska and С. H. Grigg, // Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, London.-Vol. 121, No. 12, December 1974.-pp. 1551-1556.

36. Dopazo, J. Stochastic load flows text. / J. Dopazo, O. Klitin, A. Sasson // IEEE Trans, on Power Apparatus and Systems. PAS-94, No. 2, 1975. - pp. 299 - 309.

37. Sufana, A. R. A linearized technique and Monte Carlo simulation for Stochastic power flow studies of electric power systems text. / A. R. Sufana, G.L. Heydt, P.W Sauer // Pittsburgh conference of modeling and simulation. 1975.

38. Zhang, P. Probabilistic load flow computation using the method of combined cumulants and Gram-Charlier expansion text. / P. Zhang, S. T. Lee // IEEE Transactions on Power Systems. Vol. 19, No. 1, February 2004. - pp. 676 - 682.

39. Крамер, Г. Математические методы статистики текст. / Г. Крамер. М.: Мир, 1975.-648 с.

40. Федорчеико, В.А. Теория многомерных распределений текст. / В.А. Фе-дорченко. М.: Русь, 2003. - 576 с.

41. Su, C. L. Probabilistic load-flow computation using point estimate method text. / C. L. Su // IEEE Trans. Power Systems. Vol. 20, no. 4, , Nov. 2005. - pp. 18431851

42. Morales, J. M. Point Estimate Schemes to Solve the Probabilistic Power Flow text. / J. M. Morales, J Perez-Ruiz // НЕЕ TRANSACTIONS ON POWER SYSTEMS. VOL. 22, NO. 4, NOVEMBER, 2007. - pp. 1594-1601.

43. A.3., Гамм Эффективный метод определения слабых связей в электроэнергетической системе Текст./ А.З. Гамм, И.И. Голуб, Р.В. Бершанский // Электричество. 2010, №9.

44. Губарев, В.В. Вероятностные модели Текст.: Справочник. В. 2-х ч. 4.1./ В.В. Губарев. — Новосибирск: Новосибирский электротехнический ин-т, 1992. -198 с.

45. Кобзарь, А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников Текст. / А.И. Кобзарь. -М.: Физматлит, 2006. 816 с.

46. Бартоломей, П.И. Методы аппроксимации и решения уравнений установившегося режима электрической системы Текст. / П.И. Бартоломей // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1985, №1. - С. 160-165.

47. Brucoli, М. Quadratic probabilistic load flow with linearly modelled dispatch text. / M. Brucoli, F. Torelli, R. Napoli // Electrical Power & Energy Systems. vol. 7, no. 3, Jul. 1985. - pp. 138-146.

48. Sasson, A.M. Combinened use of the Powel and Fletcher-Powell nonlinear programming methods for optimal load flows text. / A.M. Sasson // IEEE Trans.Power Apparatus and systems. vol.PAS-88, No. 10, 1969. - pp. 1530-1537

49. Гамм, А.З. Методы оптимизации режима сложных электроэнергетических систем при случайном характере исходной информации Текст. / А.З. Гамм, JI.A. Крумм // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1972. с. 49-59.

50. Крумм, JI.A. Методы приведенного градиента при управлении электроэнергетическими системами Текст. / JI.A. Крумм. Новосибирск: Наука, 1977. — 368 с.