автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Использование треугольных кососимметричных разностных схем в математическом моделировании транспортно-химических процессов в стратосфере

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТНО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СТРАТОСФЕРЕ.

1.1. Общая постановка задачи.

1.1.1. Характеристика математических моделей эволюции слабоконцентрированных веществ.

1.1.2. Обзор методов решения задач конвекции-диффузии-реакции.

1.1.3. Выводы, цель и задачи исследования.

1.2. Аппроксимация краевой задачи.

1.2.1. Некоторые сведения из теории матриц.:'.

1.2.2. Центрально-разностные схемы.

1.2.3. Противопотоковые схемы.

1.2.4. Аппроксимация краевых условий.

1.3. Сравнение конечно-разностных схем на модельных задачах.

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

КОВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОГО ПЕРЕНОСА

2.1. Некоторые результаты по теории устойчивости разностных схем и операторных неравенств.

2.2. Базовый алгоритм и его свойства.

2.2.1. Условно устойчивые треугольные кососимметричные схемы.

2.2.2. Абсолютно устойчивые треугольные кососимметричные схемы.

2.3. Сравнение треугольных кососимметричных схем на модельных примерах.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ХИМИЧЕСКИХ И

ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СТРАТОСФЕРЕ НА

ПРИМЕРЕ ОЗОНА.

3.1. Пакет прикладных программ.

3.1.1. Структура и описание пакета.

3.1.2. Описание интерфейса с пользователем.

3.2. Вычислительный эксперимент.

3.2.1. Особенности расчетов стратосферного озона.

3.2.2. Результаты расчетов и их описание.

Математическое моделирование присутствует почти во всех видах творческой активности людей с разными сферами деятельности. Окружающий мир един, и исследователи эффективно используют это свойство, выражающееся в универсальности математических моделей, т.е. применимости к объектам принципиально различной природы.

Различным аспектам математического моделирования посвящено немало книг [16,78,115]. В наши дни экономические, экологические, технические и другие системы с трудом поддаются исследованию обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент зачастую дорог, занимает много времени или вообще невозможен из-за уникальности системы или опасности для жизни исследователя. Поэтому математическое моделирование стало неотъемлемой составляющей научно-технического прогресса.

Постановка вопроса о математическом моделировании связана с необходимостью выполнения следующих действий [34]: создание модели, разработка алгоритма и его программирование. Каждый из этих этапов должен быть адекватен моделируемому объекту, поэтому процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.

Можно условно разделить процесс построения моделей на следующие этапы [16, 31, 130]:

• Формулировка предмодели - словесно-смысловое описание объекта или некоторые предположения о его свойствах.

• Завершение идеализации объекта - отбрасываются факторы и эффекты, не существенно влияющие на поведение объекта.

• Формулировка закона, которому подчиняется объект, и его запись в математической форме.

• Оснащение модели дополнительными сведениями (например, сведениями о начальном состоянии объекта).

• Формулировка цели исследования.

• Изучение построенной модели всеми доступными исследователю методами (теоретический анализ, вычислительный эксперимент и т.д.).

• Установление адекватности модели - ее соответствие объекту и сформулированным предположениям путем сравнения с практикой, сопоставлением с другими подходами и т.д. Неадекватная модель может дать результат, отличающийся от истинного, и должна быть либо отброшена, либо модифицирована.

Одной из таких сфер исследования являются процессы, происходящие в средних слоях атмосферы. В отличие от других атмосферных составляющих озон появился в атмосфере исключительно химическим путём и является самой молодой атмосферной компонентой. С экологической точки зрения наиболее ценным свойством озона является его способность поглощать биологически опасное ультрафиолетовое излучение Солнца; в то же время как химическое соединение озон является сильнейшим окислителем (попросту ядом), способным при непосредственном контакте отравить ту самую флору и фауну, которую он защищает в качестве стратосферного озонового слоя. Помимо этого озон является эффективным парниковым газом. И, наконец, озон оказывает заметное влияние на малые активные составляющие атмосферы, а через них - и на стабильные компоненты, которые, как и сам озон, поглощают и ультрафиолетовое и инфракрасное излучение. Тем самым озон оказывает не только прямое, но и косвенное влияние на парниковый эффект и уровень ультрафиолетового (УФ) излучения на поверхности Земли [22].

Эти свойства делают озон одной из наиболее важных малых атмосферных составляющих, сохранение которой на современном уровне обеспечивает те экологические и биологические условия, в которых земная фауна и флора существует уже многие миллионы лет.

При изучении стратосферы большое значение имеют расчеты процессов образования и конвективно-диффузионного переноса озона в экваториальной области над поверхностью Земли между 20° северной и южной широт, где происходят наиболее интенсивные химические процессы. Именно эти процессы обеспечивают поступление озона в средние слои атмосферы и его циркуляцию в меридиональном направлении от экватора к полюсам.

В настоящее время при разработке программ по восстановлению озонового слоя или проектировании соглашений, регламентирующих сокращение выбросов озоноразрушающих веществ, невозможно обойтись без научно обоснованной экологической экспертизы. Полученные в диссертации результаты расчета образования и распространения озона над экватором дают возможность представить картину развития процессов в стратосфере в случае осуществления проекта отказа от промышленного использования хлорфто-руглеродов, бромсодержащих и других веществ, оказывающих влияние на концентрацию озона.

Используемая в диссертации модель - частный случай модели динамики и превращений слабоконцентрирорванных газов в атмосфере - позволяет наблюдать суточные колебания концентрации озона в экваториальной области в зависимости от воздействия многих факторов внешней среды (интенсивность солнечного излучения в разное время суток, изменение диффузионных свойств атмосферы с увеличением высоты над поверхностью Земли и

ДРО

Но точные расчеты процессов конвективно-диффузионного переноса в пространстве и во времени и химических реакций консервативных и неконсервативных веществ в большинстве случаев невозможны из-за громоздкости или отсутствия аналитического решения уравнения, описывающего распределение концентрации веществ в атмосфере. Поэтому возникает необходимость изучения существующих и разработки новых приближенных методов расчета.

Предложенные в диссертации численные методы решения моделей переноса и химического взаимодействия веществ являются актуальными задачами, представляющими научный и практический интерес.

Целью данной работы является разработка методики численных расчетов задач конвекции-диффузии-реакции и с ее помощью моделирование процессов образования и переноса озона в различных слоях стратосферы в экваториальной области Земли при отсутствии озоноразрушающих в еществ.

Объектом исследования являются модели, описывающие процессы химических реакций, которые приводят к образованию озона, и конвективно-диффузионные процессы в стратосфере; методы решения нестационарных уравнений со смешанными краевыми условиями, входящих в выбранную модель.

Предметом исследования являются количественные взаимосвязи атомарного кислорода, двухатомного кислорода и озона, проявляющиеся при синтезе и диссоциации молекул озона; движение среды при слабой вертикальной конвекции и при существенном преобладании горизонтальной конвекции над диффузионными процессами; разработка методов решения динамических задач переноса вещества с преобладающей конвекцией и сочетание их с методами решения нелинейных задач химического взаимодействия нескольких веществ.

Методы исследования основаны на понятиях и методах матричного анализа и теории операторно-разностных схем, в частности, на теории устойчивости схем и операторных неравенствах.

В работе рассмотрены математические модели стратосферных процессов и выбрана двумерная модель, позволяющая учитывать специфику задачи и закономерности физико-химических процессов в экваториальной области стратосферы.

Представленные в работе два способа конечно-разностной аппроксимации пространственных членов уравнения в частных производных протестированы на четырех задачах и для задач конвекции-диффузии выбран наиболее точный из способов - центрально-разностная аппроксимация.

Научная новизна состоит в том, что предложен новый класс неявных треугольных кососимметричных схем решения нестационарных задач конвективно-диффузионного переноса с преобладающей конвекцией. Матрица оператора, обращаемого при нахождении решения на очередном шаге по времени, для схем данного класса имеет треугольную структуру, поэтому отпадает необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений. Это позволяет решать нестационарные задачи при вычислительных затратах, сравнимых с затратами явной схемы, и при отсутствии ограничения на шаг по времени. В работе проведено теоретическое исследование треугольных кососимметричных схем, найдены условия устойчивости для одних и доказана абсолютная устойчивость других треугольных схем. Предложенные схемы численно исследовались на модельных задачах.

Достоверность полученных результатов заключается в том, что представленные в диссертации теоремы и следствия имеют строгое математическое обоснование, предложенные методы теоретически исследованы и численно проверенны.

Практическая значимость работы. Созданные программные продукты, входящие в виде отдельных модулей в ППП PROMIS, позволяют осуществлять мониторинг воздействия озоноразрушающих веществ на озоновый слой путем сравнения данных, полученных в результате расчетов, и спутниковых наблюдений. Помимо этого с помощью выбранной для данной задачи модели можно решать задачи другой физической природы, описываемые теми же уравнениями.

Алгоритм, программно реализованный в диссертации, позволяет решать нестационарные задачи конвективно-диффузионного переноса с дискретным пространственным оператором, соответствующая матрица которого диссипативна (т.е. симметричная часть матрицы положительно опр еделена).

Основные результаты диссертации докладывались на VIII и IX Всероссийских школах-семинарах молодых ученых «Современные проблемы математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 1999г., 2001г.); на Всероссийской конференции «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности» (п. Абрау-Дюрсо, 2000г.); на VIII и IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики (г. Пущино, 2000г.; п. Абрау-Дюрсо, 2002г.); на Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач» (г. Казань, 2001г.); на международной конференции «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике» (г. Ростов-на-Дону, 2001г.); на международной конференции 1ММС-2002 «Итерационные методы и матричные вычисления» (г. Ростов-на-Дону, 2002г); на IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (№>1Ч.Г-2002) / XIX Международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (г. Санкт-Петербург, 2002г.); на Международной конференции по вычислительной математике 1ССМ-2002 (г. Новосибирск, 2002г.).

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и одного приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана методика решения задачи двумерного математического моделирования конвективно-диффузионного переноса и химического взаимодействия двух слабоконцентрированных веществ в атмосфере.

Разработаны алгоритмы численной реализации моделей и с их помощью рассчитаны процессы образования и переноса озона в различных слоях стратосферы в экваториальной области Земли в условиях отсутствия озоно-разрушающих веществ.

К защите представлены следующие результаты.

1) Предложен новый класс треугольных кососимметричных разностных схем решения нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции с преобладающей конвекцией. Проведено теоретическое исследование схем этого класса, доказаны условия у стойчивости.

2) Проведено численное сравнение нового класса треугольных разностных схем с ранее изученными схемами на тестовых примерах.

3) Создано программное обеспечение для решения задач конвекциидиффузии-реакции двух веществ. С его помощью проведены расчеты задачи моделирования процессов образования и переноса озона в экваториальной части стратосферы Земли в условиях отсутствия озоноразрушающих веществ

1. Арделян Н.В. Об устойчивости разностных схем для многомерных уравнений акустики. // Вестник МГУ. Сер. 15 Выч. мат. и киберн. — 1979.— №2. — С.65-69.

2. Арделян Н.В. Устойчивость двухслойных операторно-разностных схем с кососимметричными и симметричными операторами. // Фундамент, и приклад. матем. — 1999. — Т.5. — №7. — С.979-991.

3. Арделян Н.В., Черниговский C.B. Сходимость разностных схем для двумерных уравнений газовой динамики в акустическом приближении с учетом гравитации. // Дифференц. уравн.— 1984.— Т.20.— №7.— С.1119-1127.

4. Багриновский К.А., Годунов С.К. Разностные методы для многомерных задач // ДАН СССР. — 1957. — Т. 115. — №.3.

5. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. — М.: Изд. МГУ, 1993. — 152 с.

6. Ильин В. П., Карначук В. И. Некоторые проблемы разработки пакетов программ математической физики. // Комплексы программ математической физики и архитектура ЭВМ. Труды школы-семинара п.Шушенское. — Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1988. — С. 143-158.

7. Ильин В.П. О расщеплении разностных уравнений параболического и эллиптического типов // Сиб. матем. ж. — 1965. — Т.VI. — №.1.

8. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей.— М.: Изд. МГУ, 1983. —264с.

9. Крукиер JI,A., Муратова Г.В. Николаев И.А. Использование многосеточного метода в качестве ускоряющей процедуры при решении СЛАУ с дис-сипативной матрицей. // Математическое моделирование. — М.: Изд. МГУ, 1993. — Т.1. — С.45-52.

10. Крукиер Л.А. Математическое моделирование гидродинамики Азовского моря при реализации проектов реконструкции его экосистемы. // Матем. моделирование. — 1991. — Т.З. — №9. — С.3-20.

11. Крукиер JI.A. Математическое моделирование гидрофизических процессов в мелких водоемах. — Дис. д-ра ф.-м. наук. — Ростов-на-Дону, 1994. —245л.

12. Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класса систем квазилинейных уравнений. // Изв. ВУЗов, Матем. — 1979. — №7. — С.41-52.

13. Ларин И.К. Химия озонового слоя и жизнь на Земле // Химия и жизнь. — 2000. —№.7.

14. Легоньков В.И. О построении программного обеспечения вычислительного эксперимента. // Алгоритмы и алгоритмические языки. Пакеты прикладных программ. Вычислительный эксперимент. — М.: Наука, 1983. — С.86-101.

15. Логофет Д.О. Существуют ли диагонально устойчивые матрицы без доминирующей диагонали? — ДАН СССР. — 1988. — Т.301. — №3.

16. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричным неравенствам. — М.: Наука, 1972. — 232с.

17. Марчук Г.И. Математическое моделирование и проблемы окружающей среды. — М.: Наука, 1982. — 320с.

18. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989. — 608 с.

19. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. — Л.: Гидрометиздат, 1967.

20. Математическое моделирование / Под ред Эндрюса. Дж., Мак-Лоурена Р.; пер. с англ. — М.: Мир, 1979. — 278с.

21. Муратова Г.В. Многосеточный метод решения стационарного уравнения конвекции-диффузии. // Мат. моделирование. — 1997. — Т.9. — №2. — С.77-80.

22. Попов Ю.П., Самарский A.A. Вычислительный эксперимент.— М.: Знание, 1983. — 64с.

23. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972.—418с.

24. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980. — 616с.

25. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. // Вестник АН СССР. — 1979. — №5. — С.38-49.

26. Самарский A.A. Теория разностных схем. — М.: Наук, 1989. — 616с.

27. Самарский A.A. Экономические разностные схемы для гиперболической системы уравнений со смешанными производными и их применение для уравнений теории упругости. // ЖВМ и МФ. — 1965. — Т.5. — №.1.

28. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. — М.: Наука, 1976.

29. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. — М.: Изд. УРСС, 1998. — 272с.

30. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. — Минск: ЦОТЖ, 1998. — 442с.

31. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973. — 415с.

32. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 592с.

33. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. — М.: Наука, 1975.

34. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972. — 736с.

35. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512с.

36. Andrews D.G., Holton J.R., Leovy C.B. Middle Atmosphere Dynamics. — Chapter 2. — Florida: Academic Press, 1987.

37. Atkinson R.D., Baulch D.L., Cox R.A., Crutzen P.J., Hampson R.F. Jr., Kerr J.A., Troe J.T. Evaluated kinetic and photochemical data for atmospheric chemistry//J. of Chemical Kinetics. — 1989.— Vol.21. — P.l 15-190.

38. Avula X.J.R. Mathematical Modeling // Encyclopedia of Physical Science. — 1987. — Vol.7. — P.719-728.

39. Baldwin M.P., Cheng X., Dunkerton T J. Observed correlations between winter-mean tropospheric and stratospheric circulation anomalies. // Geo-phys.Res.Lett. — 1995. — Vol.21. — P.l 141-1144.

40. Barret J.W., Morton K.W. Approximate symmetrization and Petrov-Galerkin methods for diffusion-convection problems. // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. — 1984. — Vol.45. — P.97-122.

41. Benedick R. Ozone Diplomacy. — Harvard, 1991.

42. Berman A., Plemmons R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. — N.Y.: Academic Press, 1979.

43. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport I, SHASTA, a fluid transport algorithm that works. // J. Comput. Phys. — 1973. — Vol.11. — P.38-69.

44. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport III, Minimal-error FCT algorithms. // J. Comput. Phys. — 1973. — Vol.11. — P.38-69.

45. Bouloutas E.T., Celia M.A. An improved cubic Petrov-Galerkin method for simulation of transient advection-diffusion processes in rectangularly decomposable domains. // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng.— 1991.—-Vol.91. — P.289-308.

46. Boville B.A. Middle atmosphere version of CCM2 (MACCM2): annual cycle and interannual variability. // J. Geophys. Res. — 1995. — Vol.100. — P.9017-9039.

47. Brandt J. Combining a Lagrangian puff-model with an Eulerian model for tracer simulations. At Universität zu Köln, Institut fur Geophysik und Meteorologie, Atmosphärische Umweltforshung, EURAD Projekt, Cologne, Germany, Juli 21, 1995.

48. Brasseur G., Solomon S. Aeronomy of the Middle Atmosphere. — 2nd. Edition—D.Reidel, 1986.

49. Caya D., Laprise R. A semi-Lagrangian semi-implicit regional climate model: The Canadian RCM. // Mom. Wea. Rev. — 1999.— Vol.127. — No.3.— P.341-362.

50. Celia M.A., Herrera I., Bouloutas E.T., Kindred J.S. A new numerical approach for the advective-diffusive transport equation. // Numer. Meth. PDEs.— 1989. — Vol.5. — P.203-226.

51. Chamberlain J.W., Hunten D.M. Theory of Planetary Atmospheres. — 2nd Edition — NY: Academic Press, 1987.

52. Chan F., Van der Vorst H.A. Approximate and Incomplete Factorizations. Preprint 871, University of Utrecht, Dept. Of Math. — 1994. — P. 1-24.

53. Chang T.S., Carmichael G.R., Kurita H., Ueda H. The transport and Formation of Photochemical Oxidants in Central Japan. // Atmos. Environ.— 1989.— Vol.23. —P.363-393.

54. Chen Y. Notes in FO-matrices. // Linear Alg. and Appl. Math. — 1990.— Vol.142. —P.167-172.

55. Chipperfield M.P., Cariolle D., Simon P. A three-dimensional modelling study of trace species in the Arctic lower stratosphere during winter 1989-1990. // J. Geophys. Res. — 1993. — Vol.98. — P.7199-7218.

56. Christie I., Griffiths D.F., Mitchell A.R. Finite element methods for second order differential equations with significant first derivatives. // Int. J. Nu mer. Eng. — 1976. — Vol. 10. — P. 1389-1396.

57. Colella P. A direct Eulerian MUSCL scheme for gas dynamics. // SIAM J. Sci. Statist. Comput. — 1985. — Vol.6. — P. 104-117.

58. Colella P., Woodward P. The piecewise-parabolic method (PPM) for gasdy-namical simulations. // J. Comput. Phys. — 1984. — Vol.54. — P. 174-201.

59. Courant R., Friedrichs K.O., Lewy H. Uber die partiellen differenzengleichungen der mathematisches physik. // Math. Ann. — 1928. — Vol.100. — P.32-74.

60. Courant R., Isaacson E., Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Comm. Pure Appl. Math. — 1952. — Vol.5. — P.243-255.

61. Cross M., Moscardini A.O. Learning the Art of Mathematical Modelling. — N.Y.: Wiley, 1985. — 154p.

62. Crutzen P. J., Arnold F. Nitric acid cloud formation in the cold Antarctic stratosphere: a major c ause f or t he s pringtime ' ozone h ole'. / / Na ture — 1 986 — Vol.324.— P.651.

63. Dekker K., Verwer J.G. Stability of Runge-Kutta methods for stiff non-linear differential equations. — Amsterdam: North-Holland, 1984.

64. DeMore W.B., et al. Chemical kinetics and photochemical data for use in stratospheric modeling, in Evaluation 9, JPL Publ. 90-1, Jet Popul. Lab.— Pasadena, Calif., 1990.

65. Dobson G.M. Exploring the Atmosphere. — 2nd Edition — Oxford, 1968.

66. Dobson G.M. Forty Years' research on atmospheric ozone at Oxford. // Applied Optics, — 1968 — Vol.7 — N.387.

67. Douglas J. Jr. On the numerical integration of $ul¿k2+c?uldy1=duldt by implicit methods//J. Soc. Ind. Appl. Math. — 1955. — Vol.3. — No.l. — P.42-65.

68. Dunkerton T.J. The role of gravity waves in the quasi-biennial oscillation. // J. Geophys. Res. — 1997. — Vol.102. — P.26053-26076.

69. Dym C.L., Ivey E.S. Principles of Mathematical Modelling. —N.Y.: Academic Press, 1980. — 256p.

70. Elkins J.W., Thompson T.M., Swanson T.H., Butler J.H., Hall B.D., Cummings S.O., Fisher D.A., Raffo A.G. Decrease in Growth Rates of Atmospheric Chlorofluorocarbons 11 and 12. // Nature. — 1993. — Vol.364. — N.780.

71. Environmental UV Photobiology / Ed. by Young A.R., Bjorn L.O., Mohan J., Nultsch W. — N.Y.: Plenum, 1993.

72. Ewing R.E. The Mathematics of Reservoir Simulation, Research Frontiers in Applied Mathematics. — Vol.1. — Philadelphia: SIAM, 1984.

73. Farman J.C., Gardiner B.G., Shanklin J. D. Large losses of total ozone in Antarctica reveal seasonal ClOx/NOx interaction. // Nature.— 1985 — Vol.315. —N.207.

74. Farmer C.L. A moving point method for arbitrary Peclet number multidimensional convection-diffusion equations. // IMA J. Numer. Anal. — 1980. — Vol.5. — P.465-480.

75. Finlayson B.A. Numerical Methods for Problems with Moving Fronts. — Seattle: Ravenna Park Publishing, 1992.

76. Frederick J.E., et al. Radiative proccesses: Solar terrestrial in Atmospheric Ozone 1985. In: WMO Rep. 16. — Geneva: World Meteorol. Organ., 1986. — P.349-392.

77. Garcia R.R. Causes of Ozone Depletion. // Physics World.— 1994.— Vol.4. — P.49-55.

78. Garcia R.R., Solomon S. A numerical model of the zonally averaged dynamical and chemical structure of the middle atmosphere. // J. Geophys. Res. — 1982. — Vol.87. — P.1379-1400.

79. Garder A.O., Peaceman D.W., Pozzi A.L. Numerical calculations of multidimensional miscible displacement by the method of characteristics. // Soc. Pet. Eng. J. — 1964. — Vol.4. — P.26-36.

80. Gidel L.T., Crutzen P.J., Fishman J. A two-dimensional photochemical model of the atmosphere. Chlorocarbon emissions and their effect on stratospheric ozone. // J. Geophys. Res. — 1983. — Vol.88. — P.6622-6640.

81. Godunov S.K. A difference scheme for numerical computation of discontinuous solution of fluid dynamics. // Mat. Sb. — 1959. — Vol.47. — P.271-306.

82. Goodman J.B., LeVeque R.J. A geometric approach to high-resolution TVD schemes. // SIAM J. Numer. Anal. — 1988. — Vol.25. — P.268-284.

83. Graedel T.E., Crutzen P.J. Atmospheric Change: an Earth System Perspective.— NY: Freeman, 1993.

84. Hackbush W. Multi-Method and Application.— Berlin: Springer Verl, 1985. —373p.

85. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff Differentail Algebraic Problems. — Berlin: Springer-Verlag, 1996.

86. Hamill P., Toon O. Polar stratospheric clouds and the ozone hole. // Physics Today — December 1991.

87. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. // J. Comput. Phys. — 1983. — Vol.49. — P.357-393.

88. Harten A., Hyman J.M., Lax P.D. On finite-difference approximations and entropy conditions for shocks. // Comm. Pure Appl. Math.— 1976.— Vol.29.— P.297-322.

89. Hedstrom G. Models of difference schemes for ut+ux=0 by partial differential equations. // Math. Comp. — 1975. — Vol.29. — P.969-977.

90. Hesstved E., Hov O., Isaksen I. Quasi-steady-state-approximation in air pollution modelling: comparison of two numerical schemes for oxidant prediction. // Int. J. Chem. Kinet. — 1978. — Vol.10. — P.971-994.

91. Holton J. An Introduction to Dynamic Meteorology. — San Diego: Academic Press, 1992. —5 lip.

92. Holton J., Lindzen R. An updated theory for the quasi-biennial cycle of the tropical stratosphere // J. Atmos. Science. — 1972. — Vol.29. — P. 1076-1080.

93. Holton J.R., Haynes P.H., Mclntyre M.E., Douglass A.R., Rood R.B., Pfister L. Stratosphere-troposphere exchange. // Reviews of Geophysics.— 1995.— Vol.33. —P.403-439.

94. Horinouchi T., Yoden S. Wave-mean flow interaction associated with a QBO like oscillation in a simplified GCM. // J. Atm. Sci.— 1998.— Vol.55.— P.502-526.

95. Jacoby S.L.S., Kowalik J.S. Mathematical Modelling with Computers.-— Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, Inc, 1980. — 292p.

96. Kaye J.A., Rood R.B. Chemistry and transport in a three-dimensional stratospheric model: Chlorine species during a simulated stratospheric warming. // J. Geophys. Res. — 1989. — Vol.94. — P.1057-1083.

97. Khalil M.A.K., Rasmussen R., Gunawardena R. Atmospheric Methyl Bromide: Trends and Global Mass Balance // J. Geophys. Res.— 1993 — Vol.98. — N.2887.

98. Krukier L.A., Chikina L.G., Belokon T.V. Triangular skew-symmetric iterative solvers for strongly nonsymmetric positive real linear system of equations // Appl. numer. math. — 2002. — Vol.41. — No.l. — P.89-105.

99. Laasonen P. Uber eine Methode zur Losung der Warmeleitungsgleichung. // Acta Math. — 1949. — Vol.91. — P.309-315.

100. Lanser D., Verwer J.G. Analysis of operator splitting for advection-diffusion-reaction problems from air pollution modelling. // J. Comp. Appl. Math. — 1999. — Vol. 111. — P.201 -206.

101. Larkin B.K. Some stable explicit difference approximations to the diffusion equation // Math. Comp. — 1964. — Vol.18. — P. 196-202.

102. Lary D.J., Pyle J.A., Carver G. A three-dimensional model study of nitrogen oxides in the stratosphere // Q. J. R. Meteorol. Soc.— 1994.— Vol.120.— P.453-482.

103. Lax P.D. Nonlinear hyperbolic equations // Communs Pure and Appl. Math. — 1953. —Vol.6.

104. Lax P.D., Wendroff B. Systems of conservation laws. // Comm. Pure Appl. Math. —I960. —Vol.13. —P.217-237.

105. Lefevre F, Brasseur G.P., Folkins I., Smith A.k., Simon P. Chemistry of the 1991-1992 stratospheric winter: Three-dimensional model simulations // J. Geophys. Res. — 1994. — Vol.99. — P.8183-8195.

106. Leffell D.J., Brash D. E. Sunlight and Skin Cancer. // Scientific American — 1996. —Vol.6. —N.52.

107. Lehman R.S. Computer, Simulation and Modelling: An Introduction. — N.Y.: Wiley, 1977.

108. Lenschow D.H. Fluctuations in trace gas concentrations generated by en-trainment in the boundary layer and free troposphere. // 14th Symposium on Boundary Layers and Turbulence. Aspen, CO. 7-11 August 2000.

109. LeVeque R.J. Numerical Methods for conservation Laws. — Basel: Birk-hauser, 1992.

110. Liley J.B. Analytic solution of a one-dimensional equation for aerosol and gas dispersion in the stratosphere. // J. Atmos. Sci.— 1995.— Vol.52.— P.3283-3288.

111. Lilly D.K. On the computational stability of numerical solutions of time-depent non-linear geografical fluid dynamics problems. // U.S. Weather Bur. Mon. Weat. Rev. — 1965. — Vol.93. — N.l. — P. 11-26.

112. Litvin K.T. Ozone Discourses. — Columbia, 1994.

113. London J., Park J.H. The interaction of ozone photochemistry and dynamics in the stratosphere. A three-dimensional atmospheric model. // Can. J. Chem. — 1974. — Vol.52. — P. 1599-1609.

114. Mano S., Andreae M.O. Emission of Methyl Bromide from Biomass Burning. // Science. — 1994. — Vol.263. — N.l255.

115. Manzini E., Bengtsson L. Stratospheric climate and variability from a general circulation model and observations. // Clim. Dyn.— 1996.—- Vol.12.— P.615-639.

116. Marchuk G.I. Mathematical modeling for the problem of the environment. — Amsterdam: North-Holland, 1985.

117. Massie S.T., Hunten D.M. Stratospheric eddy diffusion coefficients from tracer data. // J. Geophys. Res. — 1981. — Vol.86. — No.9. — P.859-868.

118. McCormick M.P., Thomason L.W., Trepte C. R. Atmospheric effects of the Mt Pinatubo eruption. // Nature. — 1995. — Vol.373. — N.399.

119. McRae G.J., Goodin W.R., Seinfeld J.H. Numerical solution of the atmospheric diffusion equations for chemically reacting flows. // J. Comput. Phys.— 1982. — Vol.45. — P. 1-42.

120. Meijerink J.A., Van der Vorst H.A. An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is symmetric M-matrix. // Math. Comp. — 1977. — Vol.31. — P. 148-162.

121. Molina M.J., Rowland F.S. Stratospheric sink for chlorofluoromethanes: chlorine atom-catalyzed destruction of ozone // Na ture. — 1 974. — Vo 1.249. — N.810.

122. Mote P.W., Dunkerton T.J., Mclntyre M.E., Ray E.A., Haynes P.H., Russell J.M.I. Vertical velocity, vertical diffusion, and dilution by midlatitude air in the tropical lower stratosphere // J. Geophys. Res.— 1998.— Vol.103.— P.8651-8666.

123. Neuman S.P. Adaptive Eulerian-Lagrangian finite element method for advec-tion-dispersion equation. // Int. J. Numer. Methods Eng. — 1984. — Vol.20. — P.321-337.

124. Neuman S.P. An Eulerian-Lagrangian numerical scheme for the dispersion-convection equation using conjugate space-time grids. // J. Comput. Phys. — 1981. — Vol.41. — P.270-294.

125. Patankar S.V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. — Washington, DC: Hemisphere, 1980.

126. Patel M.K., Marcatos N.C. An evaluation of eight discretization schemes for two-dimensional convection-diffusion equation. // Int. J. Numer. Methods Fluids. — 1986. — Vol.6. — P.129-154.

127. Peaceman D.W., Rachford H.H. The Numerical Solution of Parabolic and Elliptic differential equations. // SIAM J. — 1955. — Vol.3. — P.28-41.

128. Perlwitz J., Graf H.-F. The statistical connection between tropospheric and stratospheric circulation of the Nothern Hemisphere in winter // J. Clim. — 1995. — Vol.8. — P.2281-2295.

129. Phillips N.A. A coordinate system having some special advantages for numerical forecasting // J. Meteorol. — 1957. — Vol.14. — P.184-185.

130. Pierce R.B., Blackshear W.T., Fairlie T.D., Grose W.L., Turner R.E. The interaction of radiative and dynamical processes during a simulated sudden stratospheric warming // J. Atmos. Sei. — 1993. — Vol.50. — P.3829-3851.

131. Plumb A. Mixing and Matching. (News and Views column.) // Nature.— 1993. — Vol.365. — P.489-490.

132. Prather M.J., Midgley P., Rowland F.S., Stolarski R. The ozone layer: the road not taken // Nature. — 1996. — Vol.381. — N.551.

133. Price H.S., Varga R.S., Warren J.E. Applications of oscillation matrices to diffusion-convection equations. // J. Math. Phys.— 1966.— Vol.45.— P.301-311.

134. Randel W. Ideas flow on Antarctic vortex. (News and Views column) // Nature. — 1993. — Vol.364. — N. 105.

135. Reithmeier C., Sausen R. ATTILA — Atmospheric Tracer Transport in a La-grangian Model, Report No. 141, Institut fur Physik der Atmosphäre, DLR. — Wessiling, Germany. — 2000.

136. Richtmmyer R.D., Morton K.W. Difference methods for initial-value problems. — Second edition. — N.Y.: Wiley, 1972.

137. Roe P.L. Some contributions to the modelling of discontinuous flows. In: Lecture Notes in Mathematics.— Vol.22.— Berlin: Springer, 1985.— P.163-193.

138. Rosenbrock H.H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations. // Comput. J. — 1963. — Vol.5. — P.329-330.

139. Rosenlof K.H. Seasonal cycle of the residual mean meridional circulation in the stratosphere // J. Geophys. Res. — 1995. — Vol.100. — P.5173-5191.

140. Rowland F.S. Chlorofluorocarbons and the depletion of stratospheric ozone. // American Scientist. — 1989. — Vol.77. — N.36.

141. Rowland F.S. Stratospheric Ozone Depletion. // Ann. Rev. Phys. Chem. — 1991. —Vol.42. —N. 731.

142. Rowland F.S., Molina M.J. Chlorofluoromethanes in the Environment // Rev. Geophys. & Space Phys. — 1975. —Vol.13. — N.l.

143. Ruhnke R., Roth E.P. Ein Box-Trajektorien-Modell zur Ananlyse atmosphärischer Reaktianssysteme, Berichte des Forschungszentrums Jülich GmbH, JUL-Report 3131, November 1995.

144. Salby M.L. Fundamentals o f At mospheric C hemistry. — S an D iego: Ac a -demic Press, 1996. — 627 p.

145. Salby M.L., Garcia R.R. Dynamical Perturbations to the Ozone Layer. // Physics Today. — 1990. — Vol.43. — N.38.

146. Sandu A., Verwer J.G., Blom J.G., Spee E.J., Carmichael G.R. Benchmarking stiff ODE solvers for atmospheric chemistry problems II: Rosenbrock solvers. // Atm. Env. — 1997. — Vol.31. — P.3459-3472.

147. Sandu A., Verwer J.G., van Loon M., Carmichael G.R., Porta F.A., Dabdug D., Seinfeld J.H. Benchmarking stiff ODE solvers for atmospheric chemistry problems I: implicit versus explicit. // Atm. Env.— 1997.— Vol.31.— P.3151-3166.

148. Schneider H.R., Ko M.K.W., Sze N.D., Shi G.-Y, Wang W.-C. An evaluation of the role of eddy diffusion in stratospheric interactive 2-D models. // J. At-mos. Sci. — 1989. — Vol.46. — P.2079-2093.

149. Schoeberl M., Hartmann D. The dynamics of the stratospheric polar vortex and its relation to springtime ozone depletions. // Science.— 1991.— Vol.251. — N.46.

150. Sheldon J.W. On the spectral norms of several iterative processes. // J. Ass. Comp. Mach. — 1959. — Vol.6. — P.494.

151. Shepherd T.G., Semeniuk K., Koshyn J.N. Sponge layer feedbacks in middle atmosphere models // J. Geophys. Res.— 1996.— Vol.101. — P.23447-23464.

152. Shere K.L., Demerjian K.L. User's guide for the photochemical box model (PBM). EPA-600/8-84-022A. (NTIS Accession Number PB 85-137 164).— NC: U.S. Environmental Protection Agency, Research Triangle Park, November 1984.

153. Shyy W. A study of finite difference approximations to steady-state, convection-dominated flowproblems/ /J. Computer. Phys. — 1985. — Vol.57. — P.415-438.

154. Solomon S. Progress towards a quantitative understanding of Antarctic ozone depletion // Nature. — 1990. — Vol.347.

155. Stohl A., Wotawa G., Kromb-Kolb H., Winiwarter W., Zueger J., Baumann R., Spangl W. Ozone modelling in Eastern Austria // Proceedings of the 10th Clean Air Congress. Finland. 28.5.1995-2.6.1995. — Espoo, 1995. — Vol.2.

156. Stolarski R., Bojkov R., Bishop L., Zerefos C., Staehelin J., Zawodny J. Measured Trends in Stratospheric Ozone // Science.— 17 April 1992.— P.256-342.

157. Stordal F., Isaksen I.S.A., Horntveth E. A diabatic circulation two-dimensional model with photo-chemistry. Simulation of ozone and long-lived tracers with surface sources // J. Geophys. Res. — 1985. — Vol.90. — P.5757-5776.

158. Strikwerda J.C. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, Wadsworth and Brooks/Cole. — CA: Pacific Grove, 1989.

159. Subbotina T.N. The solution of dynamic convection-diffusion-reaction problems with dominant convection // Iterative methods and matrix computations. The International Summer School. —Rostov-on-Don, 2002. —P.456-460.

160. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. // SI AM J. Numer. Anal. — 1991. — Vol.28. — P.891-906.

161. Takahashi M. Simulation of the stratospheric quasi-biennial oscillation using a general circulation model // Geophys. Res. Lett.— 1996.— Vol.23.— P.661-664.

162. Taussky O. Positive-definite Matrices and Their Role in the Study of the Characteristic Roots of General Matrices. // Adv. Math. — 1968. — Vol.2. — P.175-186.

163. Taylor J.-S. Unraveling the Molecular Pathway from Sunlight to Skin Cancer. // Acc. Chem. Res. — 1994. — Vol.27. — P.76-82.

164. Tevini M., editor: UV-B Radiation and Ozone Depletion: Effects on humans, animals, plants, microorganisms, and materials. — Boca Raton: Lewis Publishers, 1993.

165. Thomaidis G., Zygourakis K., Wheeler M.F. An explicit finite difference scheme based on the modified method of characteristics for solving diffusion-convection problem in one space dimension. // Numer. Methods PDEs.—1988. —Vol.4. —P.l 19-138.

166. Thomsen P.G., Bjurstrom N.H. Krylov subspace methods for the solution of large systems of ODE's. In: Large Scale Computations in Air Pollution Modelling. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. — P.325-338.

167. Toon O., Turco R. Polar Stratospheric Clouds and Ozone Depletion. // Sci. American — June 1991.

168. Verwer J.G. Gauss-Seidel iteration for stiff ODE from chemical kinetics // SIAM J. Sci. Comput. — 1994. — Vol.15. — P.1243-1250.

169. Verwer J.G., Simpson D. Explicit methods for stiff ODEs from atmospheric chemistry. // Appl. Numer. Math. — 1995. — Vol.18. — P.413-430.

170. Von Neumann J., Richtmyer R.D. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks. // J. Appl. Phys. — 1950. — Vol.21. — P.232-237.

171. Walker G.T., Bliss E.W. World weather // Mem. Roy. Meteor. Soc.— 1932. —Vol.4. —P.53-84.

172. Wallace J.M., Hobbs P. V. Atmospheric Science: an Introductory Survey. — NY: Academic Press, 1977.

173. Wang H., Ewing R.E., Qin G., Lyons S.L., Al-Lawatia M., Man S. A family of Eulerian-Lagrangian localized adjoint methods for multi-dimensional advec-tion-reaction equations. // J. Coput. Phys. — 1999. — Vol.152. — P.120-163.

174. Warming R., Hyett B.J. The modified equation approach to the stability and accuracy analysis of finite difference methods // J. Comput. Phys. — 1974. — Vol.14. —P.159-179.

175. Waugh D.W. Subtropical stratospheric mixing linked to disturbances in the polar vortices. // Nature. — 1993. — Vol.365. — N.535.

176. Wayne R.P. Chemistry of Atmospheres — 2nd. Ed. — N.Y.: Oxford Press, 1991. —404p.

177. Westerink J.J., Shea D. Consider higher degree Petrov-Galerkin methods for the solution of the transient convection-diffusion equation. // Int. J. Numer. Methods Eng. — 1989. — Vol.28. — P. 1077-1101.

178. Wieland H. On the Eigenvalue of A+B and AB. // J. Res. Nat. Burear Stand., B, Math Sci. — 1973. — Vol.77B, 1/2. — P.61-63.

179. World Meteorological Organization (WMO). Report of the International Ozone Trends Panel 1988. In: WMO Rep. 18. — Geneva: World Meteorol. Organ., 1988.

180. Young D. I terative S olution o f L arge L inear Systems. — N.Y.: Academic Press, 1971. —589p.

181. Young T.R., Boris J.P. A numerical technique for solving stiff ordinary differential equations associated with the chemical kinetics of reactive flow problems. // J. Phys. Chem. — 1977. — Vol.81. — P.2424-2427.

182. Zalesak S.T. A preliminary comparison of modern shock-capturin schemes: linear advection equation. In: Advances in Computer Methods for PDEs. /Ed. by Vichnevetsky R., Stepleman R.S. — Vol.6. — Amsterdam: SIAM, 1987. — P.15-22.

183. Zalesak S.T. Fully Multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids. // J. Comput. Phys. — 1978. — Vol.31. — P.335-362.

184. Zlatev Z., Dimov I., Georgiev K. Three-dimensional version of the Danish Eulerian Model // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1996. — Vol.76. — S.4. — P.473-476.157