автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Использование метода продолжения по параметру при численном решении задач, моделирующих сильное нелинейное деформирование в координатах Эйлера

На правах рукописи

Агапов Максим Сергеевич

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ, МОДЕЛИРУЮЩИХ СИЛЬНОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ В КООРДИНАТАХ ЭЙЛЕРА

Специальность 05.13.18 - "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математичеких наук

00346427 1

МОСКВА 2009

003464271

Работа выполнена на кафедре "Диференциальные уравнения" Московского авиационного института (государственного технического университета).

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор Кузнецов Евгений Борисович

Офицальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

в.н.с. Данилин Александр Николаевич

Кандидат физико-математических наук, доцент Костриченко Аркадий Борисович

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН.

Зашита состоится "20" марта 2000 г. в 10 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д212.125.04 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125993 Москва, Волоколамское шоссе, д. 4, главный административный корпус, зал заседаний Ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета).

Автореферат разослан февраля 2009 г.

Ученый секретать Диссертационного совета,

кандидат физико-математичеких наук Тотадина М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Интерес исследователей к более точным нелинейным моделям механики твёрдого деформируемого тела (МТДТ) продолжает активно расти. Особенно актуален вопрос исследования больших деформаций. Сложности, связанные с расчётом материалов, возникают на производстве, где широко применяются материалы по физико-механическим свойствам сходные с резиной.

При описании конечных деформаций в механике деформируемого твердого тела используют обычно координаты Лагранжа. Но ввиду того, что в процессе деформирования лагранжевы координаты являются криволинейными неортогональными и следящими во времени за физическими частицами, они приводят к довольно сложным выражениям и уравнениям для тензоров напряжений и деформаций. Кроме того, практика численного решения задач механики деформируемого твердого тела показывает, что в процессе вычислений конечно-элементная сетка, построенная в координатах Лагранжа, может сильно исказиться. При этом возникает плохая обусловленность линеаризованных в окрестности такого состояния систем уравнений, что приводит к неустойчивости вычислительного процесса.

Координаты Эйлера лишены этого недостатка, поскольку их пространственная сетка не деформируется, в неё только добавляются или убираются узлы в процессе деформирования, тем самым сохраняя заданную в начале вычислений точность. Поэтому использование координат Эйлера выглядит заманчиво для решения проблем МТДТ, особенно при больших деформациях. Подобный подход применяется, например, в гидромеханике, газодинамике и др. областях. Особенностью в использовании координат Эйлера совместно с методом продолжения решения по параметру является то, что искомыми величинами являются не перемещения частиц, а их скорости. В скоростях также формулируются и граничные условия.

В связи с этим наиболее часто встречающиеся подходы можно разделить на три грушш: первая предполагает использование принципа виртуальных перемещений, в котором все величины отнесены к исходному неде-формированному состоянию (глобальная лагранжева постановка); вторая группа основана на том же вариационном уравнении, но в качестве базовой используется текущая метрика (модернизированная лагранжева постановка), встречающаяся у Баженова В.Г., Голованова А.И., Коробейни-кова С.Н., Бате К.Д. и др; третья группа представляет собой комбинированную лагранжево-эйлерову постановку, согласно которой отслеживается поведение материальной точки (элементарного объема) в соответствии с лагранжевым методом описания среды, но в текущем состоянии ставится задача о течении среды в соответствии с эйлеровым подходом. Такой подход реализован в работах Баженова В.Г., Голованова А.И., Коробей-никова С.Н., Кузнецова С.А., Султанова Л.У. и других. В данной работе описан подход в виде глобальной эйлеровой постановки, где твердое тело рассматривается как сплошная среда с подвижными границами. Подоб-

(РЛ

ным представлением в гидромеханике и смежных областях занимались Голованов А.И., Колдоба A.B., Попов Ю.П., Самарский A.A. и другие.

Решение системы уравнений, полученной в ходе какого-либо представления, можно получить, используя два самых распространёных метода: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Принцип конечных разностей используется достаточно давно, и область его использования постоянно растет. Впервые конечно-разностные аппроксимации в механике ввел Исаак Ньютон (1726 г.), хотя Л. Эйлер в своих работах по дифференциальному исчислению (1755 г.) использовал предельные переходы в конечных разностях. Основы современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж.Лагранжем (1797 г.) и П.Лапласом (1825 г.). Один из самых больших толчков в развитии МКР и сфер его применения состоялся в начале 50-х гг. XX века в связи с появлением электронно-вычислительных машин и распространением численных методов анализа. Здесь особо следует отметить Гельфонда А.О., Годунова С.К., Головина В.М., Давыдова Ю.М., Маркова A.A. и других. Наиболее серьёзный вклад в развитие МКЭ сделали Баженов В.Г., Галлагер Р., Голованов А.И., Зенкевич (Zienlciewicz) О.С., Сахаров A.C. и другие.

' Одним из первых ввел параметр для численного решения уравнения М. Лаэй (Lahaye). Он применял дискретное продолжение для численного решения нелинейного уравнения. Д.Ф. Давиденко же использует непрерывное продолжение. Далее этот подход развивался в работах Е. Рякса, Власова В.З., Григолюка Э.И., Шалашклина В,И., Кузнецова Е.Б., Гаврю-шина С.С. и других авторов.

В своих работах авторы Бате К. Д. (Bathe K.J.), Клейбер М.( Kleiber М.), МакМикинг Р. М. (McMeeking R.M.), Шалашилин В.И. исследовали различные деформации в эйлеровой и лагранжевой формулировках, где показывали, что при определенных физических соотношениях оба подхода приводят к одинаковому результату.

Исследованиями геометрической нелинейности занимались Григолюк Э.И., Шалашилин В.И., Голдманис М.В., Горлач Б.А., Капустин С.А., Данилин А.Н., Костриченко А.Б., Лопаницын Е.А., Оден Д. Клейбер М.( Kleiber М.) и др.

Следующие авторы внесли весомый вклад в исследование теории больших деформаций: Голованов А.И., Черных К.Ф., Шалашилин В.И., Грин А., Паймушин В.Н., Мореси Л.(МогезН L.), Дефур Ф. (Defour F.), Ариф A. (Arif А.), Первез Т. (Pervez Т), Первез М.М. (Pervez М.М.) и другие.

Методы иследования

Известно, что конечное напряженно деформированное состояние тела во многих случаях определяется процессом, в результате которого оно было достигнуто. Для того чтобы восстановить процесс деформирования, достаточно знать начальное состояние тела и поле скоростей его точек в каждый момент времени. Такую возможность предоставляет изучение процесса деформирования как процесса продолжения решения по параметру, в качестве которого может быть выбран параметр нагрузки или

характерные смещения в статических задачах, а время - в динамических задачах или наилучший параметр продолжения решения в тех и других случаях.

Этот подход характерен тем, что в каждый момент продолжения решения требуется определять поле производных от неизвестных величин по параметру, которое можно понимать как поле скоростей этих величин. Задача определения таких величин является линейной и по существу принципиально ничем не отличается от задачи определения скоростей в гидромеханике. Ее удобнее решать в координатах Эйлера, т.е. с использованием сеток, которые не изменяются в процессе продолжения решения (в процессе деформирования). Изменяются же положения частиц тела и его границы по отношению к выбранной сетке.

Научная новизна

К новым научным результутам относятся:

- использование метода продолжения решения по параметру в рамках эйлерового описания деформации твердого тела;

- использование экстраполяции для вычисления границ деформируемого тела в рамках эйлерового описания деформации твердого тела;

- вывод соответствующих уравнений для задач МТДТ относительно производных по введенноме параметру;

- использование различных переменных в виде параметра для более точного и удобного достижения требуемого результата;

- численное исследование и тестирование предложенного алгоритма.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов обосновывается корректной постановкой математических задач, сравнением полученных результатов с аналитическими решениями или численными результатами, получеными в ходе других достоверных расчетов.

Практическая и теоретическая ценность

Разработанные в диссертации математические модели, численные методы и программные комплексы могут быть использованы для расчётов тел, допускающих большие деформации, таких как резина, каучук и др. Предложенные методы могут быть использованы для решения статических задачи штамповки, вытяжки, где благодаря эйлеровому подходу нет привязки непосредственно к деформируемому телу.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм изучения деформирования упругих областей с учетом больших перемещений и конечных деформаций на основе метода продолжения решения по параметру в рамках эйлерового описания деформации твердого тела;

2. Разрешающие уравнения и алгоритм численного решения задачи механики деформируемого твердого тела, моделирующие физическую нели-

нейность, в том числе поиск границы деформированного тела с помощью экстрапляцни;

3. Исследование полученной системы при различных способах выбора параметра;

4. Численный алгоритм на основе конечно-разностного метода;

5. Программное обеспечение для решения указанного класса задач и результаты решения ряда тестовых статических задач деформирования.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на 2-й Международной научной школе "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ", г. Саранск, 2005 г.; на 21 и 22-й Международных конференциях "Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов", г. Санкт-Петербург 2006-2007г. ; на 11, 12, 13 и 14-м Международных симпозиумах "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред ", Ярополец, Моск. обл. 2005-2008г.; на 9-м Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, г. Нижний Новгород, 2006 г.; на 9-х Харитоновских тематических научных чтениях "Экстремальные состояния вещества, детонация, ударные волны", г. Саров, 2007 г.; на 17-й Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам, 2006 г.; на 7-й Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях, г. Алушта, 2008 г.; на научном семинаре в институте механики МГУ им. М.В. Ломоносова в 2008 г.

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в научных статьях [1-2], научных сборниках [3-4] и тезисах [5-13]. Степень участия автора в академических работах [1-2] - участие в математическом моделировании, разработке алгоритмов, программных комплексов и анализе результатов.

Структура и объём работы

Основная часть работы изложена на 112 страницах, состоит из введения, четырёх глав и заключения. Библиография содержит 126 наименования.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ:

№ 03-01-00071, 06-08-00371, 06-01-00239.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели, научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Дается обзор литературы и краткое содержание глав работы.

Первая глава посвящена описанию математической модели, выводу уравнений в координатах Эйлера и детальный разбор предлагаемого алгоритма в общем случае.

В первом параграфе рассматривается геометрия деформаций. Показывается, что при небольших деформациях подходы Эйлера и Лагранжа приводят к одинаковому результату.

Второй параграф посвящен выводу уравнений равновесия. Выписываются различные граничные условия.

Третий параграф описывает физические соотношения, расматривают-ся линейные соотношения в виде закона Гука. Выводится аналитическое решение для одномерного случая и показыается совпадение решений для эйлерова и лагранжева подходов.

В четвертом параграфе вводится некий параметр А, по которому дифференцируются неизвестные перемещения и, v, w, тензора деформации £ и напряжения а

dS ^ de du ^ .

~d\~а' d\ = £' TX = U- (1)

. Чтобы получить уравнения, определяющие поле скоростей изменения неизвестных, необходимо продифференцировать уравнения равновесия и соотношения Коши по параметру А. А физические соотношения разделить на dX, В результате получится следующая линейная, относительно производных по параметру, система дифференциальных уравнений:

+ = о. (2).

ox ду oz

. _ f ди\ дй dvdv dwdw .

£хх~[ fa) ( )

• — (i + —^ ^ dudu^ dvdv dwdw_dwdxb .

^— V dxj ду \ dy J дх дудх дхду ду дх дх ду'

а = Ате. (5)

Эти уравнения следует дополнить круговой перестановкой х —► у —► г -+ х.

Аналогично поступим и с граничными условиями, введенными во втором параграфе. Дополнив равенства (1) начальными условиями, обычно это недеформированое состояние, получим задачу Коши:

da _ ^ de _ ¿, du _ d\~a' d\~£' d\~U' (6) 5|a=O = 0, ё1л=о = 0, u|A=O = 0-

Пятый параграф содержит в себе подробное описание численного алгоритма в том числе алгоритм построения пошагового решения задачи и нахождения границы с помощью экстраполяции.

Зададим в исследуемой области £1 конечно-разностную сетку, удобную для вычисления частных производных, такого порядка, которого требу-дет поставленная задача. Как правило это равномерная и ортогональная сетка. Для границ области П, если они не попали на введёную сетку, приходится вводить дополнительные узлы. Узлы вводятся на пересечениях линия вседёной конечно-разнотной сетки и границы. Введём последовательность шагов ДА* по параметру Л, где к - номер шага. В общем случае шаг по параметру может вычисляться непосредственно в ходе алгоритма, основываясь, например, на оценке вычислительной погрешности задачи Коши.

На нулевом шаге по параметру рассматриваем недеформированное со. стоянине. Следовательно, величины а, е и и - известны. Переменные Ех, Еу, Е2, 'Уху, 7«г будем считать промежуточными и использовать только для удобства записи. Но даже не смотря на это вычислть их значения можно по преведенным выше формулам непосредственно через компоненты тензора деформации е. Аппроксимируя на введёной конечно-разностной сетке частные производные по координатам от переменных &, е и й, получим, вместо дифференцированной по введенному параметру системы (2)-(5), систему линейных алгебраических уравнений. Численное решение этой системы производится различными методами вычислтель-ной алгебры.

Полученные величины а, ё и й подставляются в правые части задачи Коши (6). Так как это первый шаг по параметру А, то приходится использовать менее точные методы интегрирования начальной задачи, например, метод Эйлера:

ст1 = + ДА°<7°, С1 = £° + ДА°£°, и1 = и0 + ДА°й°.

Теперь требуется определить положение границы, что можно сделать с помощью экстраполяции (см. Рис. 1а). Зная положение некоторой точки (х13) и близлежащих точек вдоль выбранной j-й координатной линии ...) на первом шаге, можно найти функцию соответствия между начальным, т.е. до начала процесса деформирования, положением этих точек (х^, ...) и найденным на первом шаге г-^ = <£>(яу)-

Экстраполируя начальные значения точек (см. Рис. 16), можно найти ту граничную точку (яро^), которая на первом шаге попала на пересечение у'-й координатной линии и границы (^гму),;)' где - это массив граничу ных индексов на ьм шаге. Для нахождения границы на .¡-й координатной линии нужно подставить точку в найденную функцию <р. Таким

образом, можно найти форму границы на первом шаге по А. Для поиска значений искомых величин сг, £ и и на границе можно поступить аналогично. Приведенный подход к поиску границы с помощью экстраполяции

_

а) А = 1

б) А = о

Рис. 1: Экстраполирование

легко обогцается и на трехменрый случай. В случае если граница уменьшилась, то требуется убрать регулярные ячейки в сетке. Для этого чтобы найти значение координат границы можно аналогично провести операцию аппроксимации, достаточно схожую с описанным выше алгоритмом экстраполяции.

После вычисления границы и значения искомых переменных ст, е, и в её узлах можно переходить к следующему шагу по параметру Л.

Во второй главе рассматривается одномерная задача.

В первом параграфе описываются постановка задачи и вывод аналитического решения.

Рассматривается деформирование одномерного стержня, один конец которого закреплен, а к другому приложена некая нагрузка а. Получается следующая краевая задача:

с граничными условиями и{0) = 0, ахх(хг) = о.

Такая постановка позволяет найти точное решение при ¡х = 0. Уравнения (2)-(5) для одномерной задачи можно свести к одному дифференциальному уравнению с граничными условиями. Выражая последовательно напряжение и тензор деформаций, получим следующую краевую задачу относительно перемещения и

1-

с граничными условиями

¿и

а

где и находится из начальной задачи

§ = «и-о = *<«>. (7)

Второй параграф посвящен построению численного алгоритма.

Пусть параметр будет равен нагрузке А = а, это скажется только на краевых условиях а — 1.

Для решения будем использовать конечно-разностный метод. Производные, входящие в краевую задачу, аппроксимируются на трехточечном шаблоне, следовательно, задача сводится к решению алгебраической системы уравнений с трехдаагональной матрицей, решение которой можно найти методом прогонки.

По найденным скоростям V из начальной задачи (7) находятся сами перемещения и. Решение начальной задачи на конечно-разностной сетке можно найти, например, методом Эйлера. Поскольку задача ставилась в координатах Эйлера, то при удлинении исследуемый образец вышел за пределы введённой в начале вычислений сетки, поэтому требуется ввести дополнительную эйлерову координату, соответствующую правому краю стержня. Для её вычисления приходится пользоваться экстраполяцией. Функцию, по которой приходится экстраполировать, можно составить, например, линейной аппроксимацией по нескольким найденным точкам. Тогда можно вычислить перемещение граничной точки. При линейной аппроксимации нахождение граничной точки будет выглядеть так:

I ■ьг I «Г = ГГ-%0.

где верхний индекс - номер шага по параметру, а нижний - позиция точки.

Вычисляется перемещение граничной точки, при необходимости сетка равномерно дополняется новыми ячейками с шагом /г. Заметим, что по сути этот процесс является аппроксимацией.

Далее процесс повторяется: решается краевая задача уже на следующем шаге по параметру.

В третьем параграфе анализируются численные результаты.

На рис. 2. демонстрируется зависимость относительной ошибки ^ от нагрузки, приложенной к правому концу стержня. Также там продемонстрировано, как влияет шаг по параметру на точность вычислений, из рисунка можно оценить точность вычислений по параметру Л - 0(ДА) Для получения одного и того же удлинения было просчитано 10, 25, 50 и 100 шагов по параметру. Заметим, что при этом сетка не перестраивалась, точки сетки только добавлялись по мере надобности. В конце вычислений во всех случаях в сетке было одинаковое количество ячеек.

В ходе алгоритма в конце каждого шага приходится экстраполировать. Было рассмотрено несколько алгоритмов экстраполяции, в том числе линейная, кубическая, метод наименьших квадратов (линейное и квадратичное усреднение) и др. Численные эксперименты показали, что выбор

Х=1.„25

Рис. -2: Относительная ошибка

метода не принципиален. Линейное усреднение показало немного лучший результат, чем остальные. Отличие между ними было не более чем 0(к2), где Ь - шаг сетки. Это можно объяснить тем, что точное решение является линейной зависимостью перемещения от лагранжевой координаты.

Аппроксимация для добавления новой ячейки в сетку была реализована различными подходами: линейная и кубическая аппросимации и метод наименьших квадратов. Все они показали одинаковые результаты с точностью 0(Ь,2).

В третьей главе решается несколько двумерных задач.

Первый параграф описывает постановку задачи равномерного деформирования в плосконапряжённом состоянии (т. е. агг = 0, ехх ф 0). Это модельная задача, допускающая точное решение. Исследуется напряженно деформированное состояние двумерной прямоугольной упругой области П, два смежных края которой закреплены по нормальным перемещениям и свободны по тангенциальным. Два других края свободны (, Ш2), причём к 5П] приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью а (См. Рис- 3): ^

х — 0, и=0;

М € Шь ихх = а;

У— О, V - 0; (

М € дп2, (Туу = 0; где М - точка границы области.

-ху ■

= 0,

= 0,

= 0,

Аналитическое решение для такой задачи, при учете геометрически нелинейных соотношений, будет выглядеть следующим образом

где Ьх и Ьу - начальные длины пластины по соответствующим осям.

Во втором параграфе описывается численная реализация поставленной задачи. Алгоритм крайне схож с одномерной задачей, но с некоторыми особенностями. Полученная система линейных дифференциальных уравнений в ходе дискретизации производных описывается матрицей общего типа. Для поиска границы приходится использовать описанный выше алгоритм экстраполяции.

На рис. 3 можно видеть последовательные состояния деформирования пластины с увеличением нагрузки сг. Как видно из иллюстрации, в конечном состоянии пластина увеличилась более чем в два раза по оси, к которой приложена нагрузка. Заметим, что достигнуть таких больших перемещений позволяет использование точных геометрических соотношений. Начальное разбиение пластины состояло из 6 элементов по каждой из осей. В начальную сетку было добавлено 7 элементов по оси х. При подходе Лагранжа в этом случае начальная сетка сильно вытянулась бы по одной из осей, а по другой наоборот, сильно сжалась, тем самым вместо введённой начальной ячейки получился бы сильно деформированный прямоугольник. В такой задаче лагранжевый подход без перестроения сетки может в разы уменьшить вычислительную устойчивость. Поскольку суще-

Рис. 3: Последовательность состояний при равномерном деформировании

ствует точное решение, можно сравнить с ним найденное численное. Рис.4 Показывает отличие численного решения отностилеьно аналитического. Рис. 5 демонстрирует изменение относительной ошибки в ходе вычислений. Сильное увеличение погрешности в начале процесса демонстрирует сложность решения задачи Коши на начальном этапе и использование недостаточно точных методов вычислений для "разгона" пошагового ал-

Третий параграф описывает задачу деформирования прямоугольной

Рассматривается напряженно деформированное состояние прямоугольной области П, у которой одна сторона закреплена, а к противоположной

горитма.

---- Численное решение

Рис. 4: Зависимось перемещения ох приложенной нагрузки

0.15 «1т., . • ♦

0.1

•

0.05- •

0 5 10 20 Л

-0.05- *

43.1

Рис. 5: Изменение относительной ошибки

(¿Ю1) приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью а. И на обеих этих сторонах закреплены поперечные перемещения. Другие же две стороны Ш2 и Ш3 остаются свободными. В такой постановке в ходе процесса деформирования незакреплённые стороны пластины будут изгибаться, проявляя эффект, впервые замеченный Пуассоном. В такой постановке граничные условия будут выглядеть следующим образом:

х — 0, ¿1 = 0; щ = 0, М € <9ПЬ = сг; у~ 0.

М € дП^ НЕ* + (1 - р)Еу = 0; ъу = 0.

М£дП з, ЦЕХ + (1 - ц)Еу = 0; 7*5, = 0.

Численный алгоритм решения задачи с появлением эффекта Пуассона полностью повторяет задачу равномерного деформирования прямоугольной области. Несмотря на сложную и изменяющуюся форму границы, была успешно применена линейная экстраполяция для нахождения граничных точек деформируемой области.

Рис, б: Проявление эффекта Пуассона

Существует известный результат решения такой же задачи в координатах Лагранжа, там Дж. Оден1 находил силу, необходимую для удлинения прямоугольной области в два раза и исследовал это значение силы в зависимости от числа ячеек в конечно-разностной сетке. Полученный автором график приведен на рисунке 7. Пунктирная линия - это график, полученный с помощью предлагаемого подхода. Как и в первоисточнике, использовалась абсолютно упругая модель (д = 0.5) и минимальное количество промежуточных нагружений. В реализованном варианте было 2 шага по параметру. Полная нагрузка вычислялась как сумма нагрузок в каждом из узлов конечно-разностной сетки. Как видно из графика, достаточная точность для метода Лагранжа достигается только на более чем 16-ти элементах. Пунктирная линия, т.е. метод Эйлера, уже начиная с 4-х элементной сетки, показывает результат аналогичной точности. А на 16-ти узлах точность предлагаемого алгоритма соизмерима с Лагранже-вой сеткой с 32-мя узлами. В общем, как и следовало ожидать, в случае использования координат Эйлера требуется менее насыщенная сетка для достижения требуемой точности.

Четвертая глава посвящена решению трехмерной задачи.

В первом параграфе описывается постановка задачи.

Рассмотрим напряженно деформированное состояние трехмерной области (см. рис. 8). Опишем модельную задачу, допускающую точное решение и которая схожа с задачей равномерного деформирования в двумерном случае. Пусть грани лежащие в плоскостях ХОЪ, ХОУ и УОЪ будут закреплены по отношению к нормальным перемещениям и свободны относительно тангенсальных. Остальные грани [дУъ дУ2; <9Уз) пусть будут свободные кроме дУ\, лежащей в плоскости х = а до начала процессе деформирования, к которой приложена равномерно распределенная нагрузка а.

1Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976. - 464 с.

Рис. 7: Зависимость полной нагрузки от числа элементов при растяжении квадратного листа

Запишем эти граничные условия

2 = 0, и ~ 0; &ху — = 0,

М € дУи Охх — с; = 0; =

у = 0, и = 0; £ху " 0, £у2 = 0,

М € Щ, стуу = 0; Сху — 0; = (

2 = 0, ад = 0; = 0; = о,

М € дУ3, с« = 0; = 0; е = С

где и, V и и/ - перемещения по осям х, у иг, соответственно.

Аналогично предыдущим модельным задачам, используются уравнения (2)~(5). Для данных краевых условий существует аналитическое решение задачи

'а рхг цсг

иг = ^Ьх, иг = ---^Ьу, 2г = —~Е

где Ьх, Ьу и Ьх - начальные длины трехмерной области по соответствующим осям.

Второй параграф посвещён численным исследованиям.

Численный алгоритм строится следующим образом: сперва решается краевая задача. Решение краевой задачи, так же как и в двумерной задаче, основано на конечно-разностном методе. Производные первого порядка аппроксимируются на трехточечном шаблоне. Производные второго порядка определяются через производные первого порядка. Дискретизация

Рис. 8: Последовательное равномерное деформирование трехмерной области.

производных, входящих в краевую задачу, позволяет свести линейную систему дифференциальных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений.

Далее по найденным значениям производных от неизвестных по параметру находятся значения непосредственно искомых величин. Для этого решается начальная задача. Решение начальной задачи производится методом Эйлера и модифицированным методом Эйлера-Конш. По найденным перемещениям находится граница занимаемой области после деформирования, для этого добавляются или убираются элементы у конечно-разностной сетки.

Рис. 9 демонстрирует изменение относительной ошибки с каждым шагом по параметру А.

' Г" 3 ' 5 ¡с ' 12~

Рис. 9: Относительная ошибка вычислений

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты можно сформулировать следующим образом:

1. Разработан алгоритм, позволяющий решать статические задачи механики твердого деформированого тела в координатах Эйлера с помощью метода продолжения решения по параметру.

2. Разработан алгоритм моделирования больших перемещений и деформирования упругих тел в переменных Эйлера.

3. Разработан алгоритм вычислений границы деформированной области в координатах Эйлера с помощью экстраполяции.

4. Исследованы различные варианты выбора параметра и показана их эффективность.

5. Разработан программный комплекс для представленного алгоритма.

6. Результаты, полученные в ходе численных расчётов, согласуются с аналитическими с наперёд заданной точностью.

Соискатель выражает глубокую и исреннюю благодарность консультанту - профессору Шалапшлину Владимиру Ивановичу за его идеи, сильно. повлиявшие на ход исследования, и за активное обсуждение работы, а так же научного руководителя - Кузнецова Евгения Борисовича за увлекательный многолетний совместный труд.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашшшн В.И. Численное моделирование задачи сильного нелинейного деформирования в координатах Эйлера // Математическое моделирование Т.20. № 3. 2008. с. 17-28.

2. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашшшн В.И. Численное решение задачи сильного нелинейного деформирования в координатах Эйлера // Ученые записки Казанского государственного университета том 149. кн. 4. 2007. с 45-57.

Публикации в других изданиях

3. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Об использовании координат Эйлера при численном решении задач нелинейного деформирования // Труды Средневолжского математического общества. 2005 Т.7 №1. с. 239-245.

4. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Применение метода продолжения решения по параметру при численном решение плоской задачи сильного нелинейного деформирования в координатах Эйлера // Избранные проблемы прочности современного машиностроения. Сборник научных статей, посвященный 85-летию член-корр. РАН Э.И. Григолюка. Москва. Физматлит 2008 с. 24-32.

5. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. О применении метода продолжения решения по параметру в координатах Эйлера // Материалы

XI Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". Изд-во МАИ. 2005 с 42.

6. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Решение задач сильного нелинейного деформирования в эйлеровых координатах // Тезисы докладов XXI Международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов", СПб.: ВВМ. Изд-во СПб. гос. ун-та, 2005. С.7-8.

7. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Использование координат Эйлера при больших деформациях твердых тел // Материалы XII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций а сплошных сред". М.: Изд-во МАИ,2006 с. 16.

8. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Решение задач нелинейного деформирования с использованием эйлеровых координат // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. III. Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Лобачевского. 2006. с. 9.

9. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача сильного деформирования в плоском" случае // Материалы XIII международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Изд-во МАИ. 2007. с. 16-17.

10. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Использование координат Эйлера в численном решении краевых задач сильного нелинейного деформирования // Тезисы XXII международной конференции "Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов". Изд-во НИЦ "Моринтех". 2007. с. 12-14.

11. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Большие перемещения и деформации материалов со сложной реологией // Сборник тезисов докладов международной конференции IX Харитоновские тематические научные чтения "Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны". Саров: ФГУП "РФЯЦ - ВНИИЭФ 2007. с.219 - 220.

12. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Численное решение задачи сильного нелинейного деформирования в переменных Эйлера //Материалы VII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. М.: Изд-во МГУ, 2008. с.29-30.

13. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задачи сального деформирования в плоском случае // Материалы XIV Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Т.1. М.: "ИД МЕДПРАКТИКА-М", 2008. с. 5-6.

18

Множительный центр МАИ (ГТУ) Заказ от /7 01200 в г. Тираж/£?6 зга.

Содежание.

Введение.

1. Описание физико-математической модели.

1.1. Геометрия деформаций.

1.2. Уравнения равновесия.

1.3. Физические соотношения.

1.4. Уравнения продолжения решения.

1.5. Описание численного алгоритма.

2. Одномерная задача.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Построение численного алгоритма.

2.3. Анализ численных результатов.

2.4. Использование наилучшего параметра.

2.5. Выводы ко второй главе.

3. Двумерная задача.

3.1. Постановка задачи равномерного деформирования.

3.2. Численная реализация равномерного деформирования.

3.3. Задача деформирования с появление эффекта Пуассона.

3.4. Выводы к третьей главе.

4. Трехмерная задача.

4.1. Постановка задачи равномерного деформирования.

4.2. Численные исследования.

4.3. Выводы к четвертой главе.

Интерес исследователей к более точным нелинейным моделям механики твёрдого деформированного тела продолжает активно расти. Особенно актуален вопрос исследования больших деформаций. Сложности, связанные с расчётом материалов, возникают на производстве, где широко применяются материалы по физико-механическим свойствам сходными с резиной. Расчёт возникающих деформаций и распределения напряжения усложняется тем, что при больших деформациях начальная лагранжева сетка сильно искажается. Это не может не сказаться на вычислительном процессе. Поэтому многие исследователи серьёзно изучают эту проблему и предлагают различные варианты разрешения трудностей, с которыми сталкиваются на практике.

Настоящая работа посвящена разработке и численной реализации методики исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) упругих тел с учётом больших перемещений и конечных деформаций в статических задачах. Используется метод продолжения решения по параметру совместно с методом Эйлера описания деформированной среды. Возможность его использования вытекает из введения параметра, тем самым сводя задачу к поиску производных по параметру. Численные вычисления на сетке Эйлера в исследуемой области основаны на методе конечных разностей (МКР).

Для решения нелинейных задач наиболее распространенными явлются два численных метода: МКР и метод конечных элементов (МКЭ).

Принцип конечных разностей используется достаточно давно, pi область его использования постоянно растет. Впервые конечно-разностные аппроксимации в механике ввел Исаак Ньютон в своём фундаментальном труде [115]. Хотя Л. Эйлер в своих работах по дифференциальному исчислению использовал предельные переходы в конечных разностях, основания современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж. Лагранжем и П. Лапласом. Одним из самых больших толчков в развитии МКР и сфер его применения произошёл в начале 50-х гг. XX века в связи с появлением электронно-вычислительных машин и распространением численных методов. Из самых выдающихся трудов по этой тематике следует отметить [15, 20, 21, 23, 28, 29, 36, 37, 45, 53, 56, 57, 67, 76, 79]

МКЭ, в настоящее время, приобрел широкую популярность при решении практических задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). С его помощью проводят расчеты по определению НДС и несущей способности конструкций разнообразных форм в самых различных отраслях техники и строительства. При этом эффективно решаются задачи как общей, так и локальной проблематики. Практически все задачи МДТТ получили постановку и алгоритмы решения в рамках конечно-элементных методик. Существует множество публикаций, в которых обсуждаются теоретические и практические аспекты применения МКЭ. Среди них можно отметить работы [17, 18, 19, 27, 32, 34, 35, 47, 48, 51, 60, 61, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 87, 88, 89, 126]. В работе [75] разработан и применен математический аппарат по решению различных задач в геометрически нелинейной постановке, с условием пластичности. Расчеты проводились методом конечных элементов.

Для решения задач МДТТ с учетом физической и геометрической нелинейностей используются численные методы, которые можно разделить на две группы. Первая предполагает использование итерационных методов (метод простой итерации, метод Ньютона и т.д.) для решения системы нелинейных трансцендентных или алгеброических уравнений. Но в рамках современных численных методов наиболее популярными являются шаговые методы (методы последовательных нагруже-иий), в соответствии с которыми процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки изменением граничных условий, области определения и т.д.). Эти методы условно можно разделить на три широко используемые подгруппы [66]: первая - предполагает использование принципа виртуальных перемещений, в котором все величины отнесены к исходному недеформи-рованному состоянию (глобальная лагранжева постановка); вторая - основана на том же вариационном уравнении, но в качестве базовой используется текущая метрика (модернизированная лагранжева постановка) [17, 18, 34, 14, 41, 49, 54, 71, 70, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 122]; третья - представляет собой комбинированную лагранжево-эйлерову постановку, согласно которой отслеживается поведение материальной точки (элементарного объема) в соответствии с лагранжевым методом описания среды, но в текущем состоянии ставится задача о течении среды в соответствии с эйлеровым подходом [33, 97, 113, 121]. В данной работе рассматривается новый метод в глобальной эйлеровой постановке, где твердое тело рассматривается как сплошная среда, с подвижными границами. По аналогии, с задачами гидромеханики из краевой задачи находятся не сами неизвестные, а их производные по некому введенному параметру.

Традиционно в механике деформируемого твердого тела для решения геометрически нелинейных задач получило распространение лагранже-во описание среды, согласно которому состояние элементарного объема описывается в компонентах вектора перемещений из иедеформированно-го в деформированное состояние и второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, также отнесенного к недеформированному объему. В этом случае хорошо формулируется краевая задача в дифференциальной или вариационной форме, для решения которой возможно использование различных численных методов. Однако подобный подход имеет существенный недостаток в задачах с конечными деформациями. Он связан со сложностью построения определяющих соотношений между используемыми тензорами напряжений и деформаций, который особенно сильно проявляется при постулировании определяющих соотношений в дифференциальной скоростной) форме. Однако, если течение среды описывать в эйлеровой постановке, то эти трудности можно обойти. Для введения скоростной формы предлагается использовать некий параметр, выбор которого обусловлен частично искомыми величинами и граничными условиями. Тогда решение задачи можно поулчить, используя как метод продолжения решения по параметру.

Численный варинат метода продолжения решения по параметру впервые был сформулирован М. Лаэем (М. Lahaye)[lll], В трансцендентное уравнение Н(Х) = 0 он ввел параметр Р таким образом, что исследуемое уравнение преобразовывалось к виду F(X, Р) = 0. Параметр был введён так, что при Р — Р0 — 0 уравнение F(X, 0) = 0 можно было легко решить, а при Р = Рп = 1 имеет место F(X,1) = Н(Х), т.е. уравнение обращается в исходное. М. Лаэй предложил при продвижении по последовательному ряду значений параметра Pq < Рг < • ■ ■ < Рп строить решение уравнения F(X, Р) = 0, на каждом шаге значения параметра методом Ньютона-Рафсона, используя предыдущие решение в качестве начального. Позже в статье [112] он обобщил этот подход на систему уравнений. Данный М. Лаэем пример шагового процесса итерационного построения решения уравнения явился истоком целого ряда работ, в которых идея продолжения решения по параметру использована для построения начального приближения и дальнейшего итерационного его уточнения. Отметим работы [22, 26, 44, 55, 77, 62]. В дальнейшем такой вид продолжения решения по параметру получил название дискретное продолжение.

Дифференцирование уравнения F(X) = 0 по параметру для исследования поведения его корней при изменении параметра впервые применил В.А. Фок в работе [78] в одной из задач дифракции волн.

Другую формулировку метода продолжения решения по параметру дал Д.Ф. Давиденко [42, 43]. Он предложил с помощью дифференцирования по параметру перейти от уравнения F(x) — 0 к уравнению J^p + Цр = 0, J = Щг, где под J подразумевается матрица Якоби. И если якобиан не равен нулю, то решение начального уравнения заменяется эквивалентной ему задачей Коши. Такая система позволяет использовать при решении хорошие известные методы интегрирования начальных задач, как-то схемы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и другие. В дальнейшем такой подход стал называться непрерывным продолжением.

Так же Д. Давиденко отметил, что в качестве параметра продолжения решения можно использовать не только параметр задачи, но и любую из неизвестных. В [40, 98] было показано, что наилучшие вычислительные свойства обеспечиваются, если в качестве параметра продолжения используется длина вдоль кривой множества решений. На этой основе сформулирован метод продолжения по наилучшему параметру или наилучшая параметризация [40, 98]. В книге [85] показано, что метод продолжения по наилучшему параметру применим в любой математической задаче, решением которой является кривая или другое однопараметриче-ское множество. В [85] рассмотрены задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, интерполяция и аппроксимация кривых и др. Численная реализация метода, осуществляемая в виде шагового процесса по параметру нагрузки и получившая название метода последовательных нагружений В.З. Власова, нашла применение в работах [58, 64]. Являясь, по существу, аналогом метода Эйлера, этот метод характерен тем, что в нем не предусмотрена компенсация погрешности вычислений, вызванной линеаризацией нелинейных уравнений на каждом шаге. Поэтому достижение требуемой точности может быть получено путем, уменьшения величины приращения нагрузки. Имеются такие варианты неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру с применением различных способов улучшения сходимости итерационных процессов типа метода Ныотона-Рафсона [24, 25, 39, 84].

Известный метод последовательных нагружений, сформулированный В.З. Власовым, и В.В. Петровым [65] независимо от метода продолжения решения по параметру, может быть понят как алгоритм интегрирования задачи Коши по параметру, методом Эйлера. Такое понимание метода последовательных нагружений впервые, по-видимому, было достигнуто в работе [52], что позволило модифицировать его на основе схемы Рунге-Кутта, существенно повысив тем самым его точность и избавив его в значительной мере от накопления погрешности, особенно свойственной методу Эйлера.

Работа [50] посвящена реализации метода продолжения по параметру в геометрически и физически нелинейных задачах. Уравнения продолжения записаны в недеформированной конфигурации тела, параметром продолжения служит параметр длины интегральной кривой множества решений. Приводятся результаты численных расчетов.

Работы [87, 109, 113] посвящены исследованиям конечных упругопла-стических деформациям в лагранжевой и эйлеровой формулировках. Обсуждаются недостатки и преимущества той или иной формулировок, показано, что при определенных физических соотношениях оба подхода приводят к одинаковому результату.

Книги [82, 83] посвящены изучению нелинейной теории упругости и применению этой теории в практических задачах. Автором проведены подробные исследованию в области механики твердого тела, в частности, приводятся примеры расчетов автомобильных шин.

Исследованию напряженно-деформированного состояния различных конструкций с учетом геометрической нелинейности посвящены работы [30, 31, 38, 51, 94, 99, 101, 108, 117, 119, 120, 122, 125]. В работе [46] рассматриваются различные варианты постановок геометрически нелинейных соотношений и на примере некоторых задач показаны плюсы и минусы каждого из подхода. Оценена погрешность вносимая каждой из рассмотренных постановок.

Работы [80, 81] посвящены выводу определяющих уравнений для упругих и упругопластических сред при конечных деформациях. При формулировке физических соотношений в рамках скоростной постановки возникает вопрос о выборе объективной производной тензора напряжений. В работах [87, 91, 92, 93, 96, 100, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 109, 113, 116, 122, 123, 124] в качестве скорости изменения напряжений используется производная Яуманна тензора напряжений Коши, в [118] используется производная Трузделла. В статье [95] рассмотрены как производная Яуманна так и Трузделла.

В [114] исследуются большие деформации геоматериалов. Используется модель Максвелла. В [86] рассматриваются задачи о больших деформациях гиперупругих твердых тел в модернизированной лагранжевой постановке.

Таким образом, исходя из анализа научных публикаций в данном направлении, перед автором была поставлена следующая задача: на основе метода продолжения решения по параметру в рамках эйлеровою описания сплошной среды разработать методику статического деформирования упругих областей с учетом больших перемещений и конечных деформаций; получить разрешающие уравнения и разработать алгоритм решения задачи механики твердого тела с учетом физической нелинейности; исследовать полученную систему при различных подходах выбора параметра; на основе метода конечных-разностей разработать алгоритм и создать программное обеспечение для решения указанного класса задач; решить ряд тестовых статических задач деформирования. Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 126 наименований.

4.3. Выводы к четвертой главе

Рассмотрена задача равномерного деформирования объемной области. К задаче был применен предлагаемый алгоритм. Рассматривалась задача на трехмерной эйлеровой сетке. С помощью введения параметра задача была сведена к системе линейных дифференциальных уравнений. Построенный численный алгоритм показал удовлетворительную точность z

Рис. 21: Последовательное равномерное деформирование трехмерной области. при больших перемещениях и конечных деформациях. г

О 004 D03

Q0D2 001а, Па

8 10 12 14

Рис. 22: Относительная ошибка вычислений в зависимости от приложенного усилия.

Заключение.

Настоящая работа посвящена разработке методики исследования упругих тел с учетом больших перемещений и конечных деформаций. Решение основано на методе продолжения решения по параметру в рамках эйлерова подхода.

Описаны разрешающие уравнения в переменных Эйлера для упругих тел. Рассматривались геометрические нелинейные соотношения. Для этой нелинейной системы дифференциальных уравнений был построен и опробован численный алгоритм с помощью введения параметра, позволяющий свести исследуемую систему уравнений к линейной.

Работоспособность алгоритма была показана на одномерной задаче. В одномерном случае были получены результаты с заданной точностью. Были рассмотрены различные алгоритмы экстраполяции для поиска границы и показано не значительность выбора их при достаточно не большом шаге. Так же на одномерной задаче была продемонстрирована возможность поиска точек соответствующих не равновесному состоянию благодаря использованию наилучшего параметра.

На двумерной задаче была показана эффективность алгоритма при сравнении с точным решением, если такое было возможно. Было проведено сравнение метода Эйлера и Лагранжа на примере удлинения прямоугольной пластины в два раза. Численные результаты показали эффективность предлагаемого подхода на менее насыщенной сетке. Так же на двумерной задаче алгоритм был успешно опробован на криволинейной границе.

В рассмотренной трехмерной задаче была продемонстрирована возможность использования предлагаемого подхода и в трехмерном случае. Численное решение задачи деформирования трехмерной области хорошо согласовывалось с существующем аналитическим решением.

Итого, для выявления пригодности предлагаемого метода, он был опробован на различных задачах механики твердого деформированного тела.

Показанные хорошие результаты подтвердили широкие возможности и эффективность настоящей методики решения нелинейных задач механики твердого деформированного тела.

В рамках предложенной теории был исследован вопрос определения границы в подходе Эйлера. Так же был разработан и успешно опробован алгоритм поиска границы с помощью экстраполяции.

Численное решение задач сравнивалось с численными результатами решения этих задач подходом Лагранжа. Предлагаемый алгоритм показал более быструю, при увеличении узлов сетки, сходимость к интересующему результату, чем численные реализации построенные на подходе Лагранжа.

Представленная в настоящей работе алгоритм решения задач механики деформируемого тела позволяет исследовать широкий класс материалов. В описанную методологию можно вписать разнообразные физические модели поведения сред. Описанная методика позволяет формулировать и решать задачи моделирования технологических процессов обработки материалов, движения многофазных сред и др. При этом нет никаких ограничений на величины деформаций.

1. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилнн В.И. Численное моделирование задачи сильного нелинейного деформирования в координатах Эйлера // Математическое моделирование Т.20. № 3. 2008. с. 17-28.

2. Агапов М.С., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Численное решение задачи сильного нелинейного деформирования в переменных Эйлера // Материалы VII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. М.: Изд-во МГУ, 2008. С.29-30.

3. Адкинс Д., Грин А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. // М.: Мир. 1965. 455 с.

4. Арделян И.В., Гулин А.В. К обоснованию устойчивости разностных схем для уравнений акустики.//Препринт. ИПМ АН СССР.-М. 1978 № 96

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. // М.: Бином. 2004.

6. Баженов В.А., Сахаров А.С., Цыхановский В.К. Моментная схема метода конечных элементов в задачах нелинейной механики сплошной среды // Прикл. механика. 2002. №6. с. 24-63.

7. Баженов В.А., Гуляр А.И., Сахаров А.С., Топор А.Г. Полуаналитический метод конечных элементов в механике деформируемых тел. К.: Изд-во НИИ Строймеханики. 1993. 376 с.

8. Баженов В.Г., Кибец А.И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечных элементов // Изв. РАН МТТ. 1994. № 1. с. 52-59.

9. Белорецкий О.М. Численное моделирование в механике слошных сред // М.: Наука 1984. 520 с.

10. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшие приближения фунции одной вещественной переменой // М.: ОНТИ 1937.

11. Бутенко В.Ю. Использование метода продолжения решения по параметру для решения нелинейных краевых задач теории топких пластин // Теория автоматизированного проектирования: Сб. Статей Харьков, 1980. №2. с. 97-100.

12. Волков Е.А. Численные методы // М.: Наука 1987. 248 с.

13. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // МТТ. 1965. №29. вып. 5. с. 894-901.

14. Ворович И.И., Минакова Н.И. Проблемы устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механика деформируемого твердого тела. 1973. №7. с.5-86.

15. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов // Изв. вузов. Математика. 1958. №5. с. 18-31.

16. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. // М.: Мир. 1984. 428с.

17. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. // М.: ИПМ АН СССР 1959.

18. Годунов В.А. Рябенький B.C. Разностные схемы // М.: Наука 1977.

19. Голдманис М.В., Тетере Г.А. Исследование устойчивости анизотропных композитных панелей при помощи вырожденного конечного элемента оболочек в геометрически нелинейной постановке. // Механика композитных материалов. 1989. №4. с. 664-670.

20. Голдманис М.В., Тетере Г.А. Исследование устойчивости оболочек вращения из волокнистых композитов в геометрически нелинейной конечно- элементной постановке // Механика композитных материалов. 1987. №2. с. 286-292.

21. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел // Казань. Изд-во "ДАС2001. 301 с.

22. Голованов А.И. Расчет однородных и многослойных оболочек произвольной геометрии методом конечных элементов // дис. докт. физ.-мат. Наук: 01.02.04 Казань, 1992.

23. Голованов А.И., Султанов Л.У. Численный расчет больших упруго-пластических деформаций трехмерных тел // Математ. моделир. и краевые задачи / Тр. Всерос. науч. конф. Ч. 1. Самара. 2004. с. 6062.

24. Головин В.М., Самарский А.А., Фаворитовский А.П. Вариационный подход к построению конечно-разностных моделей в гидромеханике. //ДАН СССР. 1977. Т 235 №6 с1285-1288

25. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций.// М. ГТТИ 1934.

26. Горлач Б.А., Орлов Н.Н. Исследование поведения цилиндрической в начальном состоянии оболочки при конечных осесимметричных деформациях // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань. 1982. с. 25-31.

27. Григолюк Э.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши // Прикл. проблемы прочности и пластичности: Методы решения задач упругости и пластичности. Горький. Изд-во горьк. ун-таю. 1979. с. 3-49.

28. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела // М: Наука. 1988. 232 с.

29. Гурьянова О.Н. Расчет слоистых оболочек в геометрически нелинейной постановке МКЭ// Дисс. канд. физ.-мат, наук: 01.04.02. Казань. 2000. 166 с.

30. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений// ДАН СССР 1953. Т.88. Ш с. 601-601.

31. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении решении систем нелинейных уравнений // укр. мат журнал 1955. Т.7. №1 с. 18-28.

32. Давиденко Д.Ф. О применении метода вариации параметра к по-стоению итерационных формул повышенной точности для определения численных решений нелинейных интегральных уравнений// ДАН СССР 1965 Т.162. № с. 499-502.

33. Давыдов Ю.М. Скотников В.П. Дифференциальные уравнения приближения разностных схем // М.: ВЦ АН СССР 1978.

34. Данилин А.Н., Зуев Н.Н., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. О различных вариантах геометрически нелинейных соотношениях при больших деформациях. // МТТ №3 2004 г. с. 53-62.

35. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел // Харьков. "Основа". 1991. 272 с.

36. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике // М.: Мир. 1975. -542с.

37. Зуданс 3. Исследование упруго-пластических деформаций сосудов давления методом конечных элементов// Тр. Амер. Об-ва ипж.-мех. Сер. В. Конструирование и технология машиностроения. Ч. 1. 1970. №2. с. 33-43.

38. Зуев Н.Н., Князев Э.Н., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 6. с. 136-147.

39. Капустин С.А. Численный анализ нелинейных квазистатических процессов деформирования составных конструкций // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Горький. 1979. Вып. 10. с. 68-80.

40. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек // Расчёт пространственных систем в строительной механике: Сб. Статей. Саратов. 1972. С.3-8.

41. Колдоба А.В. Попещенко Ю.А. Попов Ю.П. Двухслойный полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера // ЖВМ и МФ. 1987 Т.27 №5

42. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел // Новосибирск. 2000. 262 с.

43. Липовцев Ю.В. метод решения нелинейных краевых задач теории оболочек // Механика деформированного твердого тела Сб. Статей. Тула. 1983. с.87-95.

44. Марков А.А. Исчисления конечных разностей // Одесса. 1910 г.

45. Марчук Г.И. Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. // М. Наука 1979. 320 с.

46. Никиреев В.М. К решению нелинейных уравнений строительной механики методом последовательных нагружений // Строительная механика и расчет сооружений. 1970. № 3. с. 61-62.

47. Новожилов В.В. Теория упругости // Л.: Судпромгиз 1958. 370 с.

48. Норри Д., де Фриз. Введение в метод конечных элементов // М.: Мир. 1981. 304 с.

49. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред // М.: Мир. 1976. 464 с.

50. Оритега Д., Рейболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравненй со многоими неизвестными // М.:Мир, 1975 588 с.

51. Пановко Я.Г., ГубановаИ.И. Устойчивость и колебания упругих систем. // М.: Наука. 1964. 336 с.

52. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек // Саратов. Изд-во сарат. ун-та. 1975. 173 с.

53. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Науч. Докл. Высшей школы. Строительство. 1959. №1 с.27-35.

54. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритм, приложения // М.: Наука. 1986. 232 с.

55. Поттер Д. Вычислительные методы в физике // М.: Мир 1975.

56. Рикардс Р.В. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин // Рига: Зинатне. 1988. 284 с.

57. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам // М.: Стройиздат. 1977. 129 с.

58. Сахаров А.С., Кислоокий В.Н., Киричевский В.В., Альтенбах И., Габ-берт У., Данкерт Ю., Кепплер X., Кочык 3. Метод конечных элементов в механике твердых тел // Киев: Вища школа. 1982. 480 с.

59. Сахаров А.С. Моментная схема конечных элементов МСКЭ с учетом жестких смещений // Сопротивление материалов и теория сооружений. // Киев. 1974. Вып. 24. с. 147-156.

60. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов // М.: Мир. 1979. 392 с.

61. Султанов Л.У. Расчет больших деформаций упругих тел МКЭ // Студенты Зеленодольску: городская научн.-практ. конф. / сб. докл. Зе-ленодольск: 2003. с. 53-64.

62. Султанов Л.У. Исследование больших вязкоупругопластических деформаций в трехмерной постановке МКЭ // дис. канд. физ.- мат. Наук: 01.02.04 Казань, 2005.

63. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики // М. Наука 1990. 230 с.

64. Усюкин В.И. Коровайцев А.В. Об одном алгоритме решения деформирования мягких оболочек из высоко эластичных материалов //Механика эластомеров Сб. Статей 1981 с.60-65.

65. Фок В.А. Дифракция радио волн вокруг земной поверхности. // JL: АН СССР 1946 с. 42-44.

66. Халиков З.И. регцение задачи для уравнений смешенного типа методом сеток // ДАН СССР. IX. 4 1953. 189-194.

67. Чернышев А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях // Изв. РАН МТТ. 2000. № 1. С. 120-128.

68. Чернышов А.Д. Простые определяющие уравнения для упругой среды при конечных деформациях // Изв. АН МТТ. 1993. № 1. с. 75-81.

69. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах // JL: Машиностроение 1986 г.

70. Черных К.Ф. Теория больших упругих деформаций // Л.: Изд-во С.-Петерб. Ун-а 1988 г.

71. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задаче больших осесимметричных прогибов оболочек вращения // Тр. XII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во ереван. ун-та. 1980. Т. 3. с. 264-271.

72. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике // М.: Эдиториал УРСС. 1999. 224 с.

73. Arif A.F.M., Pervez Т., Pervez М.М. Performance or a finite element procedure ror hyperelasticviscoelastic large deformation problems // Int. J. of Solids and Structures. 2000. V. 34. p. 89-112.

74. Bathe К.J., Ozdemir H. Elastic-plastic large deformation static and dynamic analysis // Comput and Struct. 1976. V. 6. N 2. p. 81-92.

75. Bathe K.J., Ramm E., Wilso E.X. Finite element formation for large deformation dynamic analysis // In. J. for Numer. Meth. in Eng. 1975. V.9. p.353-386.

76. Bathe K. J. Finite element procedures in engineering analysis // Englewood Cliffs. NJ. USA: Prentice-Hall. 1982.

77. Capurso M. On the incremental solution of elasto:piastic continue in the rang on large displacements // Meccanica. 1970. V. 5. N2. p. 98-106.

78. Cheng J.H., Kikuchi N. An analysis of metal forming processes using large deformation elastic-plastic formulations // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1985. V. 49. N 1. p. 71-108.

79. Dems K., Kleiber M. Physically and geometrically nonlinear analysis finite elements // Pozpr. inz. 1976. V. 24. N 4. p. 771-786.

80. Dieterle K. Anwendung der Methode der finiten Eleniente zum naherung // sweisen Bcrechnen grosser Formanderungen beim Flanschstauchen. Industr. Anz. 1975. Bd. 97. N98. p. 2080-2081.

81. Dinis L.M.S., Owen D.R.J. Elasto-viscoplastic and elasto-plastic large-deformation analysis of thin plates and shells // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1982. V. 18. N 4. p. 591-606.

82. Gadala M.S., Wang J. Computational implementation of stress integration in FE analysis of elasto-plastic large deformation problems // Finite Elements in Analysis and Design. 2000. V. 35. p. 379-396.

83. Gadala M.S., Oravas G.A.E., Dokainish M.A. Geometric and material nonlinearity problems // In: Numer. meth. non-linear problems: Proc. Intern, conf. Swansea. 1980. V. 1. p. 317-331.

84. Gouveia В.P.P.A., Rodrigues J.M.C., Martins P.A.F. Finite element modeling of cold forward extrusion using updated Lagrangian and combined Eulerian-Lagrangian formulations // J. of Materials Processing Technology. 1998. 80-81. p. 647-652.

85. Grigolyuk E.I., Shalashilin V.I. Problems of Nonlinear Deformation // Dordrecht etal: Kluwer. 1991. 262 pp.

86. Gupta A.K., Mohraz В., Schnobrich W.C. Elasto-plastic analysis of three-dimensional structures using the isoparametric element // Nucl. Eng. andDes. 1972. V. 22. N2. p. 305-317.

87. Hibbit H.D., Marcal P.V., Rice J.R. A finite element formulation for problems of large strain and large displacement // Int. J. Solids Stuct. 1970. V. 6. p. 1069-1086.

88. Hofmeister L.D., Greenbaum G.A., Evensen D.A. Large strain, elasto plastic finite element analysis // AIAA J. 1971. V. 9. N7. p. 1248-1254.

89. Hughes TJ.R., Winget J. Finite rotation effects in numerical integration of rate constitutive equations arising in large-deformation analysis // Int. J. Numer. Methods Eng. 1980. V. 15. p. 1862-1867.

90. Kawahara M., Horii K. Large strain, elasto-plastic numerical analysis by means of finite element metbod // Trans. Jap. Soc. Civ. Eng. 1972. V. 3. N2. p. 154-155.

91. Kawahara M. Large strain, viscoelastic and elasto viscoplastic numerical analysis by means of the finite element method // Arch, mech. stosow. 1975. V. 27. N3. p. 417-443.

92. Kitagawa H., Tomita Y. An incremental finite element analysis of two-dimensional large strain and large displacement problems for elasto-plastic material // Proc. 21st Jap. nat. cougr. appl. mech. (Tokyo, 1971). Tokyo. 1973. V.21. p. 243-255.

93. Kitagawa H., Segnchi Y., Tomita Y. An incremental theory of large strain and large displacement problems and its finite-element formulation // Ing. Arch. 1972. Bd. 41. N3. p. 213-224.

94. Klee K.D., Paulun J. On numerical treatment of large elastic-visco-plastic defomiations // Arch. mech. stosow., 1980. V. 32. N 3. p. 333-345.

95. Kleiber M. Finite elements in nonlinear mechanics and large deformation elasto-plasticity // Probl. non-lineaires mech.: Symp. fr.-pol. (Cracovie, 1977). Varsovie. 1980. p. 273-296.

96. Kleiber M. Lagrangian and eulerian finite element formulation for large strain elasto-plasticity // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. teclm. 1975. V. 23 N3. p. 109-126.

97. Kobayashi S., Altan. Oh SI. T. Metal forming and the finite-element methods New York, Oxford: Oxford University Press. 1989.

98. Lahaye M.E. Une metode de resotion d'une categotie d'equations transcentes / / Computer Rendus hebdomataries des seances de L'Academie des scences. 1934. V. 198 N 21. p 1840-1842.

99. Lahaye M.E. Solution of sistem of transcendental equations // Acad. Roy. Belg. Bull. CI. Sci. 1948.

100. McMeeking R.M., Rice J.R. Finite-element formulations for problems of large elastic- plastic deformation // Int. J. Solids Stuct. 1975. V. 11. N 5. p. 601-616.

101. Moresi L., Dufour F., Muhlhaus H.-B. A Lagrangian integration point finite element method for large deformation modeling of viscoelastic geomaterials // J. of Comput. Physics. 2003. V. 184. p. 476-497.

102. Newton I. Philosophiae naturalis principia mathematica // 1726.

103. Oh S.I., Kobayashi S. Finite element analysis of plane-strain sheet bending // Intern. J. Mech. Sci. 1980. V. 22. N 9. p. 583-594.

104. Owen D.R.J., Figueiras J.A. Anisotropic elasto-plastic finite element analysis of thick and thin plates and shells // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1983. V. 19. N 4. p. 541-566.

105. Pinsky P.M., Ortiz M., Pister K.S. Numerical integration of rate constitutive equations in finite deformation analysis // Сотр. Methods Appl. Mech. Eng. 1983. V. 40. p. 137-158.

106. Reed K.W., Atluri S.N. Analysis of large quasistatic deformations of inelastic bodies by a new hybrid-stress finite element algorithm // Cormput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1983. V. 39. p. 245-295.

107. Rubin M.B., Attia A. Calculation of hyperelastic response, of finite deformed elastic viscoplastic materials // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1996. V. 395. N 2. p. 309-320.

108. Synka J., Kainz A. A novel mixed Eulerian-Lagrangian finite-element method for steady-state hot rolling processes // Int. J. of Mech. Sc. 2003. V. 45. p. 2043-2060.

109. Taylor L.M., Becker E.B. Some computational aspect of large deformation, rate-dependent plasticity problems // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1983. V. 41. N 3. p. 251-277.

110. Wifi A.S. An incremental complete solution of the stretch-forming and deepdrawing of a circular blank using a hemispherical punch // Int. J. Mech. Sci. 1976. V. 18. N 1. p. 23-31.

111. Yamada Y., Wifi A.S., Hirakawa T. Analysis of large deformation and stress in metal forming processes by the finite element method // In. metal, form, plast. symp. (Tutzing, 1978). 1979. p. 158-176.

112. Yamada Y. Nonlinear matrices, their implication and applications in inelastic large deformation analysis // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1982. V. 33. N 1-3. p. 417-437.

113. Zienkiewicz O.C., Valliapan S., King I. Elasto-plastic solution of engineering problems initial stress, finite element approach // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1969. V. 1. N 1. p. 75-100.