автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное решение однопараметрических задач, преобразованных к наилучшему аргументу

од

,!] 182^ На правах рукописи

КУЗНЕЦОВ Евгений Борисович

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ, ПРЕОБРАЗОВАННЫХ К НАИЛУЧШЕМУ АРГУМЕНТУ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в области авиационной и космической

техники)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Москва - 1990г.

Работа выполнена в Московском государственном авиационном институте (техническом университете)

Научный консультант - доктор фиэико - математических наук, профессор Шалашилин В.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор ПОСПЕЛОВ В.В.

доктор физико - математических наук, профессор

СОКОЛЬСКИЙ А.Г.

доктор физико - математических наук, профессор

ТРЕНОГИН В.А.

Ведущая организация - Вычислительный центр Российской Академии Наук, г. Москва

Защита диссертации состоится

"......." .............;...... 1996г. в............ часов на заседании диссертационного совета ДР 053.04.11 при Московском государственном авиационном институте (техническом университете) по адресу:

125871, г. Москва, А-80, Волоколамское шоссе, дом 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ Автореферат разослан....1996г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико - математических

наук, профессор Аржененко АЛО.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Большинство проблем, возникающих в научно - исследовательской деятельности, моделируется или может быть сведено в результате дискретизации к однопараметрическим задачам, т.е. задачам, решение которых определяется функциями, зависящими от одного аргумента. Эти решения задают однопараметриче-ские множества (кривые) в евклидовом пространстве. К проблемам такого типа относятся, например, задачи, описываемые

— системами нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, содержащих Параметр;

— системами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

— системами дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), т.е. системами, состоящими из ОДУ и нелинейных алгебраических или трансцендентных соотношений;

— системами функционально-дифференциальных уравнений. В частности уравнениями с запаздывающим аргументом и интегро-дифференциальныму уравнениями.

К проблемам данного вида следует отнести задачи параметрического приближения кривых, а также проблемы, моделируемые уравнениями в частных производных, решение которых сводится к задачам вышеописанных типов.

В настоящее время существует большое число алгоритмов и методов, позволяющих успешно решать отмеченные задачи. Однако, решение этих задач при помощи традиционных численных методов часто приводит к вычислительным трудностям в промежутках резкого изменения решения и в окрестностях предельных точек кривой, определяющей решение задачи. В частности такие проблемы возникают при решении жестких систем уравнений, а также при решении задачи Кошн для ОДУ или ДАУ, имеющей замкнутую интегральную кривую.

В этой связи весьма актуальными представляются исследования, позволяющие ослабить или даже устранить вышеописанные трудности.

Целью данной работы является "

— создание на базе единой концепции, в основе которой лежит метод продолжения решения по параметру, подхода, позволяющего преобразовать одиопараметрическую задачу к наилучшему в некотором смысле аргументу, обеспечивающему системе уравнений продолжения решения наилучшую обусловленность, что смягчает или устраняет трудности, возникающие на участках резкого изменения решения и в предельных точках задачи;

— разработка численных методов, алгоритмов, пакетов прикладных программ, реализующих данный подход и обеспечивающих эффективное решение однопараметрических задач.

"Научную новизну представляемой работы составляют:

1. Единый подход, позволяющий взглянуть на задачу построения однопараметрических множеств с точки зрения метода продолжения решения по параметру и поставить вопрос о выборе наилучшего параметра продолжения решения, обеспечивающего наилучшую обусловленность соответствующей системы уравнений продолжения;

- 2. Доказательство необходимых и достаточных'условий выбора наилучшего параметра продолжения решения нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, содержащих параметр;

3. Преобразование задачи Коши для ОДУ к наилучшему аргументу и анализ свойств этого преобразования;

4. Преобразование задачи Коши для ДАУ, уравнений с запаздыванием и интегро-дифференциальных уравнений к наилучшему аргу-

! менту. Алгоритмы и программы численного решения задач;

; 5. Доказательство необходимых и достаточных условий .выбора - наилучшего параметра в задаче параметрической интерполяции и аппроксимации;

6. Разработанная математическая модель движения упруго-пластического заряда дроби вдоль ствола ружья с изменяемой геометрией поперечного сечения. Нелинейная модель, описывающая прощелки-вание упругой тонкой оболочки двоякой кривизны, прямоугольной в плане;

7. Критерий динамического прощелкивания механических систем типа пологой фермы, арки, оболочки под действием нагрузки, изменя-

ющейся по ступенчатому закону. Требование к наименьшему времени интегрирования уравнений движения прощелкнвающей системы.

Достоверность проведенных исследований основана на изложении всего материала диссертации в виде последовательности теорем, тщательном анализе результатов численного эксперимента, хорошем совпадении решений модельных задач с известными аналитическими и численными решениями, полученными другими авторами и несколькими различными методами.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы, отраженные в математических моделях, методах, алгоритмах и оформленные в виде программ для ПЭВМ, используются в практике научно-исследовательских и проектно-конструкторских организаций при разработке и проектировании конструкций современной техники.

Диссертационная работа связана с рядом госбюджетных и хоздоговорных работ. Некоторые результаты включены в отчеты по грантам и научно-исследовательским программам Госкомвуза. Предлагаемый подход может служить основой для создания пакетов прикладных программ решения других классов однопараметрэтеских задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались

на Чтениях по механике деформируемого твердого тела и прикладной матаматике (Москва, МАМИ, 1981); на Международной конференции "Проблемы экологии предприятий текстильной и легкой промышленности" (Севастополь, 1993); на Всероссийской научно-технической конференции "Новые материалы и технологии машиностроения" (Москва, МАТИ, 1993); на Чсбышевских чтениях (Москва, МГУ, 1994); на Международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, МАИ, 1994); на Крымской осенней математической школе (Севастополь, 1994, 1995); на Всероссийском семинаре "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошной среды" (Москва, МАИ, 1995); на Российской конференции "Технологические проблемы производства летательных аппаратов и двигателей" (Казань, Казанский государственный технический университет, 1995); на научном семинаре под руководством член-корреспондента РАН Э.И.Григолюка (Москва, МАИ,

2С.02.1970, МЛМИ, 08.04.1993, 18.11.1993); на научном семинаро под руководством академика РАН И.И.Воровича (Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет, 17.05.1993); на научном семинаре под руководством академика РАН Н.С.Бахвалова (Москва, МГУ, 18.03.1993, 04.11.1993,15.12.1994, 11.05.1995); на научном семинаре под руководством профессора В.И.Лебедева (Москва, Институт вычислительной математики РАН, 17.05.1994); на научном семинаре под руководством профессоров А.Л.Скубачевского, Г.А.Каменского (Москва, МАИ, 01.03.1993, 22.11.1993); на научном семинаре под руководством профессора У.Г.Пирумова (Москва, МАИ, 15.06.1995); на научном семинаре под руководством профессора Б.А.Гребенникова (Москва, Институт высокопроизводительный: вычислительных систем РАН, 14.11.1995); на научном семинаре иод руководством член-корреспондента АНТ В.Н.Паймушина (Казан5., Казанский государственный технический университет, 24.11.1995); на научном семинаре Вычислительного Центра РАН (Москва, 19.12.1995).

Публикации результатов исследований. По теме диссертации опубликовано 25 работ.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 236 страниц машинописного текста и 43 рисунка. Она состоит из введения, семи глав; заключения, иллюстраций и библиографического списка, включающего 148 наименований.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному консультанту профессору Владимиру Ивановичу Шалашилину за постоянную поддержку работы и полезные обсуждения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы основные цели и задачи, рассматриваемые в диссертации. Излагается краткое содержание работы по главам.

В первой главе исследуется решение системы п нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с п неизвестными х = (х\,.т,,)7 и параметром р

F(z,p) = 0, а: € R", р £ R1, F : Rn+1 Rn (1)

Предполагается, что функция Р удовлетворяет условиям теоремы о неявных функциях, В действительности требуются более слабые условия: система функции (1) должна описывать единственную гладкую кривую, называемую кривой множества решений системы (1), начинающуюся в точке

х = х0, Р = Ро (2)

При численном изучении задач, решениями которых являются од-нопараметрические множества, т.е. кривые в евклидовом пространстве, эти кривые, как правило, строятся при помощи некоторых шаговых процессов, которые могут быть рассмотрены с единых позиций метода продолжения решения по параметру.

Построение кривой множества решений задачи (1), (2) при помощи метода продолжения решения по параметру можно осуществить двумя способами. Первый был предложен в 1934 году М.Е.ЬаЬауе и сводится к решению на каждом шаге системы нелинейных уравнений (1) при помощи метода Ньютона, причем за начальное приближение в итерационном процессе принимается решение найденное на предыдущем шаге.

Второй подход был предложен в 1953 году Д.Ф.Давиденко. Полагая, что вектор неизвестных х является дифференцируемой функцией параметрар и дифференцируя соотношения (1) пор, задача (1),(2) сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Как при первом, так и при втором подходе успех метода продолжения определяется обусловленностью матрицы Якоби, получающейся на каждом шаге процесса продолжения решения. Очевидно, что наилучшие результаты будут в случае наилучшей обусловленности этой матрицы.

Параметр р задачи (1), (2) не всегда хорош для продолжения, так как при значении параметра, соответствующего предельной точке кривой множества решений задачи, матрица Якоби системы (1) вырождается и процесс продолжения решения по параметру р становится невозможным. Д.Ф.Давиденко предложил решать эту проблему с помощью смены параметра. Поскольку выбор параметра продолжения

неоднозначен, то можно поставить вопрос о выборе наилучшего параметра'Продолжения решения задачи (1), (2).

Запишем систему (1) в форме, реализующей равноправие неизвестных X), j = 1, п, и параметрар, для чего введем (гс+1)-мерное евклидово пространство Кп+1 : {гь ..., г„, гп+1 = р}. В этом пространстве система уравнений (1) может быть записана в виде

=0, г = (х,р)т в Г+1 (3)

Пусть величины г,-, г = 1, п + 1 являются функциями некоторого параметра /2, приращение которого в каждой точке кривой множества решений определяется линейной комбинацией вида

А[1 = «¿Д2;, I = 1, п + 1 (4)

Здесь и далее предполагается суммирование в указанных пределах в произведениях по повторяющимся индексам. Фиксируя различные наборы чисел а,-, мы можем рассмотреть все возможные параметры продолжения. Если в пространстве Нп+1 ввести единичный вектор о: = (ах, ... , а„+1)т, то приращение параметра ц, как это следует из формулы (4), можно понимать как скалярное произведение векторов аидя = (д21, ... , дг„+1)т 6 Е1П+1: д/и = адг.

Уравнения продолжения решения по параметру ц строятся, дифференцированием по этому параметру системы (3), в предположении, что 2; = 2,-(/г), и переходя к пределу, при ац —> 0 в равенстве (4), предварительно разделенном на а/л. Тогда для компонент вектора — ••• ) •гп+1,/|)Т получается следующая система линейных

уравнений

^ а! ач .. ап+1 ^ ( г^ \ ( 1 \

— 0

■ ) \ 2п+11/1 У

Здесь индекс после запятой в элементе Р}^ обозначает компоненту, по которой производится дифференцирование.

Таким образом, проблема сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5) с начальными условиями

2(0) = г0 = (х0,ра)т (6)

Здесь параметр ц отсчитывается от начальной точки задачи (1),(2).

Для осуществления процесса продолжения решения систему уравнений (5) следует представить в нормальной форме Коми, т.е. разрешить относительно производных.

Успех процесса разрешения зависит от обусловленности системы (5), которая определяется компонентами вектора а, а значит выбором параметра продолжения решения ц.

Наилучшим параметром продолжения решения называется параметр, доставляющий линейной системе (5) наилучшую обусловленность, в том смысле, что малые изменения элементов матрицы и правой части этой системы уравнений будут приводить к наименьшим изменениям ее решения, В качестве меры обусловленности системы (5) принимается величина се определителя, деленная на произведение квадратичных норм его строк, которая обозначается через И. В силу неравенства Адамара для определителей, |£)| € [0,1] и большему значению |£>| соответствует лучшая обусловленность системы уравнений. Основным результатом первой главы является следующая

Теорема 1. Для того, чтобы система уравнений продолжения решения (5) была наилучшим образом обусловленной, необходимо и достаточно в качестве параметра продолжения решения системы нелинейных уравнений (1) принять длину дуги Л, вычисляемую вдоль кривой множества решений этой системы уравнений.

При этом вектор а = г}\ и система уравнений (5), разрешенная относительно производных, примет вид

-мтт,

где Д,- - определитель, получающейся после вычеркивания в матрице Якоби системы (3) г - го столбца; Д - определитель системы (5), удовлетворяющий условию

Д2 = ДА-, г = 1,п+ 1

Доказательство теоремы проводится двумя способами. При первом способе отыскивается параметр продолжения, обеспечивающий наибольшее абсолютное значение меры обусловленности Р. При втором способе доказательства определяется параметр продолжения, при котором малое изменение элементов матрицы системы (5) или ее правой части приводит к наименьшему значению квадратичной погрешности решения системы. Оба способа доказательства приводят к одному и тому же результату.

Заметим, что впервые, по-видимому, И.И.Ворович и В.Ф.Зипалова предложили использовать в качестве параметра продолжения длину кривой множества решений системы уравнений (1). В.И.Шалашилин разработал алгоритм использования этого параметра и широко его применял при решении задач вида (1),(2).

В данной работе при разработке алгоритмов и программ решения задачи (1), (2), реализующих выбор наилучшего параметра продолжения Л, система уравнений (5) представлялась в форме

7 ' 0 '

? т 1

(Г)

где 3 - матрица Якоби системы уравнений (1).

Как видно, для сведения задачи (7), (6) к нормальной форме Ко-ши необходимо решить систему нелинейных уравнений. Разрешение этих трудностей в рамках шагового процесса продолжения предложено В.И.Шалашилиным. Оно основано на том, что последняя строка матрицы уравнений (7) определяет мгновенное положение вектора, вдоль которого отсчитывается параметр продолжения Л. Замена в этой матрице вектора г,\ на другой вектор а означает замену наилучшего параметра продолжения А на параметр ц, который отсчитывается вдоль а. И чем ближе вектор а будет к вектору тем ближе окажется параметр ¡.I к наилучшему параметру продолжения А. Обозначим этот вектор через г,\. Тогда задача 'Коши для продолжения кривой множества решений от к-й точки к (/с-Ы)-ой запишется в виде

0 '

1

¿(А к) =

(8)

А* < А < Хк+Ък = 0, 1, ...

Заметим, что если после решения системы уравнений (8) вектор

преобразовать к единичному, то получается решение системы (7).

Б работе рассматриваются способы формироиыаиня лектора ¿*Л для некоторых разностных схем (явный, неявный метод Эйлера; явный модифицированный метод Эйлера; неявный метод прогноза и кор-ррекции второго порядка, основанный на использовании формул дифференцирования назад).

Преимущество подхода демонстрируется при решении тестовых задач (лемниската Бернулли, деформация трехстержневой фермы).

Во второй главе работы построение интегральной кривой задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = НУ, УМ = уо, (9)

у : К1 К", / : Кп+1 -» Еп, £ € К1

рассматривается с точки зрения метода продолжения решения по параметру. Предполагается, что задача (9) имеет единственную гладкую интегральную кривую, которая задается соотношениями

= 0, (10)

Эти соотношения можно рассматривать как систему нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, содержащих параметр £ , который, очевидно, является аргументом задачи (9). Если проблему построения кривой, определяемой уравнениями (10), изучать при помощи метода продолжения решения по параметру, то можно поставить вопрос о выборе наилучшего параметра продолжения решения системы (10), а значит и наилучшего аргумента задачи (9).

Пусть величины г = 1, тг, являются функциями некоторого аргумента р., отсчитываемого от начальной точки задачи (9), приращение которого в каждой точке интегральной кривой этой задачи представим в виде

Ар = <1;Д у,- + an+1At, г — 1, п

(И)

Здесь Ду(,Д£ - приращения соответствующих функций, =

1,п + 1) - компоненты единичного вектора о; = (с^, ...,ап+1)т, задающего направление, в котором отсчитывается аргумент ц.

Поскольку задача (9) имеет единственную интегральную кривую, то системы уравнений (9) и (10) задают одну и ту же интегральную кривую и, следовательно, уравнения продолжения решения системы (10) получим преобразовав систему (9), к аргументу ц с учетом равенства ^ = ^г") и разделив равенство (11) на А/л, стремящееся к нулю

= 0

_ (12)

Для нахождения интегральной кривой систему (12) следует разрешить относительно производных. Успех такой операции зависит от обусловленности этой системы. Обусловленность же зависит от выбора параметра-аргумента ц, который определяется вектором а.

Назовем наилучшим такой параметр или такой аргумент, который доставляет системе уравнений продолжения (12) наилучшую обусловленность. Имеет место следующая

Теорема 2. Для того, чтобы задачу Коши для нормальной системы ОДУ (9) преобразовать к наилучшему аргументу, необходимо и достаточно в качестве такого аргумента выбрать длину дуги А, отсчитываемую вдоль интегральной кривой этой задачи. При этом задача (9) преобразуется в задачу

& = 1гЫт = ш

+ (13)

^ = *(0)=='°' ^

где аргуменнт Л отсчитывается от начальной точки задачи (9).

Вновь сформулированнная задача Коши (13) обладает рядом достоинств по сравнению с задачей Коши (9). Так, правые части каждого уравнения (13) не превосходят единицы. Более того, квадратичная норма правой части системы всегда равна единице. Это снимает многие проблемы, связанные с неограниченным ростом правых

частей системы (9), что позволяет интегрировать дифференциальные уравнения, интегральные кривые которых содержат предельные точки, производные в которых обращаются в бесконечность. Появляется возможность решать задачи, имеющие замкнутые интегральные кривые. Предложенное преобразование ослабляет также трудности, характерные для жестких систем.

Заметим, что достоинства преобразования не ограничиваются только вычислительным аспектом. Оно может с успехом использоваться и в качественной теории дифференциальных уравнений, осуществляя переход из пространства с неограниченными в пространство с ограниченными функциями, стоящими в правой части системы уравнений.

.На примере известного тестового уравнения

!=■>», (Н>

где а — некоторая, вообще говоря, комплексная константа, изучалось влияние предложенного преобразования на область абсолютной устойчивости метода Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений. Оказалось, что преобразование увеличивает область устойчивости явного метода Эйлера и область неустойчивости неявного метода, причем это увеличение тем сильнее, чем больше функция, стоящая в правой части уравнения (14).

На примере тестовой системы

dy\ dy2

_ = аШ, -1Г = а2Уъ (15)

где cij, а2 - некоторые, вообще говоря, комплексные числа, изучалось влияние преобразования на спектральные характеристики.

Рассматривается характерный для жестких систем дифференциальных уравнений случай |ai| >> |a2|. Показано, что предложенное преобразование сужает размах спектра и уменьшает, вообще говоря, спектральное число обусловленности системы (15).

Показано, что если уравнения (16), (17) интегрировать при номо щи явного метода Эйлера, то двигаясь по наилучшему аргументу Л можно придти из начальной в коночную точку интегральной кривой

за меньшее число шагов и меньшей ошибкой аппроксимации на шаге, чем'при интегрировании по аргументу t.

В конце главы приводится решение модельных задач, демонстрирующих преимущество предложенного преобразования.

В третьей главе изучается использование преобразования задачи Коши к наилучшему аргументу при решении жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Термин "жесткая система", по - видимому, был впервые введен в 1952г, C.F.Curtiss и J.O.Hirschfelder. G.A.Dahlquist указал на численную неустойчивость, как на причину затруднений. Большой вклад в развитие численных методов решения жестких систем внесли C.W.Gear, A.C.Hindmarsh, E.Hairer, G.Wanner, О.Б.Арушаяян, В.В.Воеводин, С.Ф.Залеткин, В.И.Лебедев, Ю.В.Ракитский, С.М.Устинов, Р.П.Федоренко, И.Г.Чер-норуцкий и другие.

Изучение влияния предложенного преобразования на спектральные характеристики тестовой системы уравнений (15) и исследование влияния преобразования на использование линейных многошаговых методов, рассмотренное в данной главе, позволяет сделать выводы о его эффективном применении при решении жестких систем уравнений, что подтверждается численным решением множества модельных жестких задач.

Так, при исследовании горизонтального прямолинейного установившегося полета самолета без скольжения с небольшим отклонением параметров от начальных в процессе возмущенного движения применение предложенного преобразования позволило при той же точности вычислений почти в. двое уменьшить время счета. Задача интегрировалась при помощи программы РС1, реализующей метод прогноза (явный метод Эйлера) - коррекции (неявный метод Эйлера). Ошибка вычислений контролировалась сравнением численного решения с точным решением, полученным аналитически.

Серьезным испытанием для программы численного решения жестких систем является задача, которая называется "орегонатор". Она описывает знаменитую химическую реакцию с предельным циклом в

трехмерном случае

^ = 77.27(т/2 -+-2/1(1 — 8.375 • 1- у3))

^ = 0.161(У1

2/1(0) = 3, Уг(0) = 1, 2/з (0) = 2

ф.

Ж

Это пример жесткой системы уравнений, решение которой быстро изменяется по величине на много порядков. Попытка решить задачу (16) при помощи программы РС1 не привела к успеху, однако после применения к этой задаче предложенного преобразования решение было получено на интервале, равном одному циклу орегонатора, то есть для £ Е [0, 303]. Но это потребовало очень большого времени счета на РС АТ (около одного часа). Поэтому была предпринята попытка, находясь в рамках процесса простой итерации, модернизировать его таким образом, чтобы добиться приемлемого времени счета. Модернизация заключалась в том, что итерационный процесс решения нелинейной системы уравнений

к которой сводится интегрирование задачи Коши для системы дифференциальных уравнении (9) неявным методом Эйлера, строится на основе метода Ньютона, в котором учитываются только элементы, стоящие на главной диагонали матрицы Якоби. В этом случае итерационный процесс описывается формулой

Ут+1 = Ут + Л/(ут+1, *т+1), Т71 = 0, 1, 2, ..

,(«••+1) _ (к) _ 2/,',т+1 ~ 2А',т ~ ЬМУт+и*т+0

(17)

т = 0, 1, 2, ...; к = 0, 1, 2, ...; г = 1, п,

а начальное приближение вектор-функщш у, вычисленное на т + 1 шаге интегрирования, определяется явным методом Эйлера. Согласно вышеописанному алгоритму была разработана программа РС1М.

При помощи этой программы один цикл поведения орегенатора при точности вычислений Ю-"1 просчитывался на 1ВМ РС АТ за 90 сек.

Кроме того, для решения непреобразованной задачи (16) была использована программа БЬЭСШЕ, предназначенная для интегрирования жестких систем уравнений. С ее помощью задача была решена за 13 с. Большое отличие во времени счета программ РС1М и БЬБСШЕ объясняется тем, что последняя использует формулы интегрирования до 5-го порядка точности, имеет алгоритм выбора оптимального порядка В Б Г-формул и оптимального шага интегрирования. Поэтому были разработаны еще три программы РС2М, РСЗМ, РС4М, использующие многошаговые формулы дифференцирования назад второго, третьего и четвертого порядка точности, соответственно. Прогноз вычислялся по экстраполяционным формулам, использующим только значения самого вектора решения в предыдущих точках. Программы РС2М, РСЗМ, РС4М, построены по принципу программы РС1М, описанной выше. Итерационный процесс организуется на основе метода Ньютона, в котором учитываются только элементы, стоящие на главной диагонали матрицы Якоби, т.е. используются формулы типа (17).

Преобразованная задача (16) была решена при помощи программ РС2М за 70 сек., РСЗМ за 20 сек., РС4М за 17 сек. счета на РС АТ.

Анализируя численные результаты можно сделать выводы:

— программа РС1М, конечно, значительно уступает по времени счета программе БЬЗОБЕ, но она не требует хранения информации, полученной на предыдущих шагах. Это может оказаться решающим при изучении многомерных задач механики сплошной среды, которые приводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка;

— программа РС4М по времени счета уже незначительно отличается от своего зарубежного аналога, однако, несомненным ее преимуществом является то, что при ее помощи могут быть проинтегрированы задачи, имеющие замкнутую интегральную кривую или интегральную кривую, содержащую предельные точки.

В качестве еще одной проблемы рассмотривается численное реше-

ние задачи Коши для уравнения Ван-дер-Поля

2/1 (0) = 2, 2/2(0) = —0.66

Здесь малый параметр е = 10~г',

Это хорошо известный пример для проверки эффективности работы вычислительных программ решения жестких систем. Для решения задачи использовалась программа РС1. Точность вычислений контролировалась сравнением с "точными" результатами, численно полученными E.Hairer, G.Wanner и не превосходила 10~3. Решение задачи Вал-дер-Поля при t € [0,0.01] потребовало в десять раз большего времени счета и в двадцать раз большего числа вычислений правой части системы, чем решение той же задачи после применения преобразования.

Предложенное преобразование применяется также при решении жестких задач, описываемых уравнениями в частных производных, моделирующих движение заряда дроби в стволе ружья и движение четырехколесного автомобиля по прямоугольной упругой пластине, шарнирно опертой по краям.

Разработанная математическая модель движения заряда дроби позволяет учитывать упруго-пластические характеристики .дробинок, нелинейные характеристики пыжа и изменение геометрии поперечного сечения ствола ружья. Это позволяет оптимизировать одну из важнейших характеристик стрелкового оружия при стрельбе дробью - кучность выстрела.

В четвертой главе с позиций метода продолжения решения по параметру рассматривается численное решение задачи Коши для системы дифференциально - алгебраических уравнений

F(y,y,x,t) = 0 y{t0)=y0

(18)

G(y,x,t) = 0 x{t„)=x о y(t) : R1 R"; x{t) : R1 Rm; F = (Fu ... Fri)T;

G = (GU ... Gm)T; iGR1

Система (18) состоит из обыкновенных дифференциальных уравнений Г с невырожденной матрицей = дР/ду и недифференциальных соотношений (?, в качестве которых обычно рассматриваются нелинейные алгебраические или трансцендентные ураинения.

13 работе изучается численное решение задачи Коши системы дифференциально-алгебраических уравнений, имеющей индекс нуль или единицу. Однако, допускается, что в некоторых точках единственной гладкой интегральной кривой задачи (18) производные Р,у, С?,* могут вырождаться.

По - видимому, впервые численное решение дифференциально -алгебраических уравнений рассмотрел в 1971г. С.\У.Сеаг. Позднее данную проблему исследовали следующие авторы Б.Ь.СатрЬеП, Е.Сперег^!^, II.Маг/, К.Е.Вгепап, Ь.П.РеЬгоЫ, Е.На1гег, С.ЬиЫсЬ, М.ИосЬе, С.\Уаппег, Ю.Е.Бояринцев, Б.П.Герасимов, В.А.Данилов, Г.Ю.Куликов, И.А.Кульчицкая, А.А.Логинов, В.Ф.Чистяков и другие.

Пусть интеграл задачи (18)

!{у,х,1) = 0, Л!/о,*о,*о)=0 (19)

/ = (/ь •• • , /п+т)Т

задает в (п + т + 1)-мерном евклидовом пространстве Кп+Гп+1 интегральную кривую, процесс построения которой может быть представлен как процесс продолжения решения у — $/(£), х — ж(£) по параметру t. Такой подход позволяет поставить вопрос о выборе наилучшего параметра продолжения решения системы (19), а значит и наилучшего аргумента задачи (18).

Для того чтобы выяснить, какой аргумент называется наилучшим, полагаем, что величины у, х, £ являются функциями некоторого аргумента ц, приращение которого в каждой точке интегральной кривой задачи (18} примем в виде

а/£ = а,дт/, + (3;+ 7Д<; г = 1, п; ] = 1, т, (20)

где ду;, дх,-, д£ — приращения функций у;, х^ ¿; а{, ()], 7 — компоненты единичного вектора а = («ь ... , а„, /З1, ... , /Зт, гу)Т, задающего направление в котором выбирается аргумент /¿.

Уравнения продолжения решения задачи (19) получаются принимая во внимание то обстоятельство, что уравнения (18) и соотношения (19) задают одну и ту же интегральную кривую задачи (18). Если равенство (20) разделить на ьц, стремящееся к нулю, вектор - функцию (7 продифференцировать по ц, а вектор-функцию Г линеаризовать относительно производных у; в окрестности некоторых значений хц = у*, полученных, например, на предыдущем шаге итерационного процесса, то принимал во внимание равенства у,- =

= г/^/г,*, получаем следующий вид представления уравнений продолжения

К Ъ'у, + -Ч У1,>) ^ = 0 (21)

У>> + + С* = 0

Здесь вектор-функции Е* и Е,^. вычисляются при у,- = у*.

Интегральная кривая задачи (18) может быть построена в результате интегрирования системы дифференциальных уравнений, полученной после разрешения уравнений продолжения (21) относительно производных. Погрешность, возникающая при таком разрешении определяется обусловленностью системы (21). Аргумент, обеспечивающий системе уравнений продолжения (21) наилучшую обусловленность, называется наилучшим. Тогда имеет место следующая

Теорема 3. Для того чтобы задачу Коши для системы дифференциально-алгебраических уравнений (18) преобразовать к наилучшему аргументу, необходимо и достаточно выбрать в качестве такого аргумента длину дуги Л, отсчитываемую вдоль интегральной кривой задачи.

Используя полученное преобразование, разрабатывается несколько алгоритмов и программ, эффективность которых оценивается при решении модельных задач. Проведенные исследования показали, что предложенное преобразование уменьшает трудности характерные для систем ДАУ', так система линейных алгебраических уравнений, получающаяся на каждом шаге процесса интегрирования является наилучшим образом обусловленной, а в силу выбора аргумента задачи

ошибка менее чувствительна к резкому изменению решения.

В качестве одного из примеров рассматривается численное решение кинематических уравнений Эйлера

(wi \ / sin 0 sin <£> О cos<¿3 Y / t¡j,t \

u>2 J = sin0cosip 0 —sinv'J I tp,t I, (22)

/ V cos0 1 0 )\вл)

определяющих связь между компонентами вектора угловой скорости i (f), w2(t), w3(t)) в подвижной системе координат, связанной с объектом, и производными по времени от углов Эйлера ф, <р, в, где ф — это угол прецессии, <-р — угол собственного вращения и 9 — угол нутации. Для определения закона нзмеиеия углов Эйлера систему (22) следует разрешить относительно производных. Матрица этой системы вырождается вблизи значения угла в = 0 и решение системы при помощи традиционных подходов приводит к неудаче.

После преобразования системы (22) к наилучшему аргументу она успешно интегрируется как при малых углах 0, так и при 0 = 0;

Преобразование задачи Коши к наилучшему аргументу использовалось также при численном решении ■задачи о динамическом раскрытии осесимметричного парашюта и задачи о движении нейтронов в атомном реакторе. Эти задачи описываются уравнениями в частных производных, но в результате решения их при помощи метода прямых проблема сводится к интегрированию системы ДАУ, которое эффективно осуществлялось при помощи полученного преобразования.

В пятой главе с точки зрения метода продолжения решения по параметру рассматривается численное решение задачи Коши для функционально - дифференциальных уравнений, преобразованных к наилучшему аргументу.

Рассматривается задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с запазд ывающим аргументом

^ = f(t,y(t)Mt-T)), у(к + О) = <р(0), -т < 0 < 0 (23)

Здесь т > 0, y(t) : R -> R", / : R2n+l R", t GR, <p : [-т,0] R", to G R.

По-видимому, вг.ервые качественные основы применения метода Эйлера для численного интегрирования задачи (23) рассмотрены Л.Э.Эльсгольцем, а первую вычислительную программу, использующую метод Эйлера и кусочно постоянную или кусочно линейную интерполяцию, разработал A.Feldstein. Достаточно подробные обзоры численных методов решения уравнений с запаздывающим аргументом приводятся в работах Л.Э.Эльсгольца, С.Б.Норкина, C.W.Cryer, C.T.H.Baker.

Если аргумент, доставляющий системе уравнений продолжения наилучшую обусловленность назвать наилучшим то имеет место

Теорема 4. Для того чтобы задачу Körini (23) преобразовать к наилучшему аргументу, необходимо и достаточно выбрать в качестве такого аргумента длину дуги Л, вычисляемую вдоль интегральной кривой этой задачи. При этом преобразованная задача будет иметь вид

dy _ ЗА ~

dt

М\)ММ\)-т))

! + £/?(*(*),У(А),у(*(А)-г)) ¡=i

1

^

l + £/?(f(A),y(AMt(A )-т))

i=i

у(о) = уо = р(о), t(o) = f0, y{to + e) = (p(e)t -т <в < о

Рассматривается численное решение задачи Коши для системы нн-тегро - дифференциальных уравнений Вольтерра

Fi U y(t), y(t), JК&ШМ) = 0, y(t0) =

Уо

(24)

у : R1 -4

i GR1, у =

dy dt'

1, п

Значительные результаты в этой области получили С.Т.Н.Вакег, А.Рек^ет, Л.Эорка, М.А.Красносельскпй и другие.

Изучая задачу (24) с точки зрения метода продолжения решения по параметру, приходим к теореме.

Теорема 5. Для того чтобы задачу Коши для системы интсгро-дифференциальных уравнений (24) преобразовать к наилучшему аргументу, необходимо и достаточно выбрать в качестве такого длину дуги А, отсчитываемую вдоль интегральной кривой задачи (24).

Преимущество предложенного подхода демонстрируется при решении ряда модельных задач.

-В шестой главе исследуется задача параметрического приближения кривых.

Данную проблему изучали Ю.С.Завьялов, Б.И.Квасов, В.Л.Мирошниченко, Б.Сендов, Н.Н.Павлов, В.А.Скороспелов, Н.А.Назаренко, С.Б.Вакарчук, J.Alberg, E.Nielson, J.Ulan, I.D.Faux, M.J.Pratt и другие исследователи.

Построение приближаемой кривой рассматривается с точки зрения метода продолжения решения по параметру. При этом получены следующие результаты.

Теорема 6. Для того чтобы задачу параметрического интерполирования кривой сформулировать относительно наилупиего параметра, доставляющего наилучшую обусловленность соответствующей системе уравнений продолжения, необходимо и достаточно выбрать в качестве такого параметра длину дуги А интерполируемой кривой.

Теорема 7. Для того, чтобы многочлены, определяющие параметрическую аппроксимацию по методу наименьших квадратов, наилучшим о (¡ралом приближали аппроксимируемые точки, необходимо и достаточно в этих многочленах в качестве параметра принять длину ломаной, соединяющей эти точки.

Пусть гладкая приближаемая кривая АВ на плоскости (х, у) задана неявно посредством выражения

F(x,y) = 0, (25)

а аппроксимирующие функции параметрическими соотношениями

* = *(/«), у = (26)

тогда имеет место

Теорема 8. Для того, чтобы интеграл / /' [А (/«)> ^ (/<)] <'/' достн-

--AU

гал наименьшего значения необходимо и достаточно в аппроксимирующих выражениях (2G) в качество параметра нршпгп. длину A кршнш (25).

Приводятся примеры, демонстрирующие достоинства предложенной параметризации.

В седьмой главе обсуждаются критерии динамического прощел-кивания упругих механических систем типа фермы, арки, оболочки. Такие критерии, которые без интегрирования уравнений движения механической системы позволяют определять критическую динамическую нагрузку, т.е. наименьшую динамическую нагрузку, вызывающую прощелкивание, предложили J.J.Stoker, N.J.Hoff, V.G.Bruce, B.Budiansky, R.S.Roth, J.N.Goodier, I.K.McIvor, C.S.Hsu, G.J.Simitses, M.C.Cheung, C.D.Babcock, В.В.Болотин, Л.И.Шкутин, А.В.Погорелов, В.М.Даревский.

Предлагается критерий динамического прощелкивания упругой механической системы, позволяющий по статической диаграмме нагрузка - прогиб определить критическую внезапно приложенную динамическую нагрузку постоянной интенсивности. Критерий проверяется при исследовании прощелкивания фермы Мпзеса, арки, пологой оболочки. Установлено правило, позволяющее определить наименьшее время интегрирования уравнений движения, необходимое для ответа на вопрос о прощелкивании. Согласно этому правилу, если в момент t = t, совпали экстремумы прямой и обратносимметричных форм колебаний, а прощелкивание не наступило, то оно уже не наступит и при t > t,.

Предлагается упрощенная нелинейная модель упругой пологой оболочки двоякой кривизны прямоугольной в плане. Упрощение состоит в осреднении по площади панели тангенциальных усилий и пренебрежении влиянием сдвиговых усилий. При этом уравнение, Описывающее прогиб оболочки, получается линейным относительно функции прогиба и ее производных, однако коэффициенты, входящие в уравнение, удовлетворяют нелинейным соотношениям. Такой подход можно трактовать как обобщение подхода И.Г.Бубнова на пластины и оболочки.

При исследовании поведения оболочки под действием равномерной статической нагрузки, диаграмма нагрузка - прогиб центра панели строилась на основании алгоритма метода продолжения решения по параметру, рассмотренного в первой главе, обеспечивающего выбор наилучшего параметра продолжения решения. Анализируются симметричные и несимметричные формы прощелкивания.

Рассматривается динамическое поведение оболочки под действием равномерного впезапно приложенного давления, изменяющегося во времени по закону ступенчатой функции Хевисайда. Уравнения движения оболочки интегрировались с использованием представления в рядах по тригонометрическим функциям и преобразования задачи Коши к наилучшему аргументу, предложенному во второй главе. Результаты, полученные при помощи критериального подхода, хорошо согласуются с результатами численного интегрирования уравнений движения оболочки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Доказаны необходимые и достаточные условия выбора наилучшего параметра при решении методом продолжения системы нелинейных алгебраических ил и трансцендентных уравнений, содержащих параметр. Разработан алгоритм выбора наилучшего параметра. Составлены вычислительные программы, реализующие такой подход. Численное решение модельных задач демонстрирует его эффективность.

2. Доказаны необходимые и достаточные условия выбора наилучшего аргумента задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши формулируется относительно этого аргумента. Преимущество такой постановки задачи показано при решении тестовых примеров. Изучено влияние преобразования на область устойчивости явного и неявного методов Эйлера, на ошибку метода, на спектральные характеристики линеаризованной системы уравнений.

3. Исследовано использование преобразования при решении сингу-

лярно возмущённых и жёстких систем дифференциальных уравнений. На примере решения известных жёстких систем проведено сравнение с численными результатами, полученными при помощи других апробированных методов.

4. Доказаны необходимые и достаточные условия выбора наилучшего аргумента задачи Коши для системы дифференциально-алгебраических уравнений. Разработан алгоритм, реализующий такой подход и программы, позволяющие эффективно находить численное решение модельных задач, причём решение некоторых таких задач не может быть получено при помощи традиционных методов.

5. Сформулированы относительно наилучшего аргумента задача Коши для системы дифференциальных уравнений с запаздываниями и задача Коши для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра. Разработаны алгоритмы и составлены вычислительные программы, реализующие такой подход, эффективность которого изучена на тестовых примерах.

6. Изучена задала параметрического приближения с точки зрения выбора наилучшего параметра. Для задачи параметрической аппроксимации я параметрического приближения кривой доказаны необходимые л достаточные условия выбора такого параметра. На тестовых задачах показана эффективность параметрического приближения с выбором наилучшего параметра.

7. Построена модель пологой упругой оболочки, позволяющая изучать её статическое и динамическое прощёлкиванпе. Предложен критерий, позволяющий определить критическую нагрузку динамического прощёлкивания по информации о диаграмме нагрузка-прогиб в статическом случае. Критические нагрузки, полученные при критериальном подходе, хорошо согласуются с нагрузками, полученными в результате интегрирования уравнений движения оболочки, которое осуществлялось при помощи разработанных алгоритмов и программ, использующих предложенное преобразование.

Основное содержание диссертации опубликовано в открытой печати в следующих работах

1. Кузнецов Е.'Б., Кулаков H.A., Шалашнлин В.И. О некоторых

особенностях поведения фермы Мизеса и пологой арки при действии динамических нагрузок// Изв. АН СССР. МТТ. 1970. N 3. С. 183184.

2. Шалашилин В.И., Кулаков H.A., Кузнецов Е.Б., Ефанов В.В. О некоторых особенностях поведения упругих систем с прощелкивани-ем при действии динамических нагрузок // Прочность, конструирование, материалы. Труды МАИ. Вып. 237. М.:МАИ, 1971. С. 3-24.

3. Кузнецов Е.Б., Кулаков H.A., Шалашилин В.И. О действии динамических нагрузок на некоторые упругие системы с прощелкива-ниеы. //Избранные проблемы прикладной механики. М.: ВИНИТИ, 1974.С.439-443.

4. Григолюк Э.И., Кузнецов Е.Б. Исследование прощелкивания арки при помощи функции Ляпунова // Исследование задач устойчивости и колебаний и их приложения в динамике летательных аппаратов. М.: МАИ, 1980. С.80-84

5. Кузнецов Е.Б. Динамическое прощелкивание фермы Мизеса// Материалы чтений по механике деформируемого твердого тела и прикладной математике.М.:МАМИ,1981. С.127-132.

6. Кузнецов Е.Б. Применение теории катастроф к исследованию прощелкивания механических систем // Аналитические и численные методы исследования механических систем. М.: МАИ, 1989. С.17-20.

7. Кузнецов Е.Б. Об одном алгоритме интегрирования дифференциальных уравнений // Качественные методы теории дифференциальных уравнений и их приложения. М.: МАИ, 1991. С. 58-62.

8. Шалашилин В.И.,Кузнецов Е.Б.,Платоненко Е.П. Поведение взрывопредохранительных прощелкивающих мембран при взрыве пы-лсвоэдушной смеси в текстильной промышленности// Проблемы пылеулавливающего оборудования для текстильной и легкой промышленности. М.: ВНИИЛТЕКМАШ,1991. С. 19-27.

9. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Задача Коши для нелинейно деформируемых систем как задача продолжения решения по параметру // Докл. РАН. 1993. Т. 329. N 4. С. 426-428.

10. Шалашилин В.И.,Костриченко А.Б.,Кузнецов Е.Б. Сильно нелинейные задачи упруго пластического деформирования//Тезисы докладов российской научно-технической конференции "Новые матери-

алы и технологии машиностроения". М.:МАТИ,1993. С.6.

11. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для деформируемых систем как задача продолжения решения по параметру // Изв. РАН. МТТ. 1993, N 6. С. 145-152.

12. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши как задача продолжения решенная по параметру// Журнал выч.математ.и матема-тич. физики. 1993.T.33. N 12.С.1792-1805.

13. Кузнецов Е.Б.,Шалашилин В.И. Движение заряда дроби по стволу// Изв. PAH.MTT.1994.N 1.С.189-199.

14. Кузнецов Б.Б., Князев Э.Н., Пухлий В.А., Шалашилин В.И. Об одном подходе к анализу нелинейного деформирования прощелкиваю-щих пологих оболочек//Изв. РАН. МТТ. 1994. N 2. С. 109-115.

15. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Наилучший параметр продолжения решения//Докл. РАН. 1994. Т. 334. N 5. С. 566-568.

16. Кузнецов Б.Б.,Шалашилин В.И. Задача Коши как задача продолжения по наилучшему параметру// Дифференц. уравнения.1994. Т.ЗО. N 6. С.964-971.

17. Шалашилин В.И.,Кузнецов Е.Б. Об одной формулировке задачи Коши для систем с сосредоточенными параметрами// Проблемы машиностроения и надежности Mannra.l994.N З.С.120-121.

18. Kuznetsov Ye.B.jShalashilin V.l. Initial value problem for iutegro-differential equations formulated with respect to the best, argument// Abstracts of International Conf. on Functional DifForentional Equations and Applications.M.:MAI,1994.pp.51-52.

19. Кузнецов Е.Б.,Шалашилин В.И. Задача Коши для механических систем с конечным числом степеней свободы как задача продолжения по наилучшему параметру// ПММ.1994.Т.58. Вып.6. С. 14-21.

20. Кузнецов Е.Б.,Шалашилин В.И. Параметрическое приближение// Журнал выч. математ. и математич. физики.1994.Т.34. N 12. С.1757-1769.

21. Кузнецов Е.Б. Напряженно-деформированное состояние раскрывающегося парашюта//Тезисы докладов всероссийского симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.: РИЦ МГАТУ,1995.С.ЗО.

22. Кузнецов Е.Б.,Шалашилин В.И. Наилучшая параметриза-

ция однопараметрических задач механики твердого тела//Тезисы докладов всероссийского симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.:РИЦ МГАТУД995.С.30-31.

23. Кузнецов Е.Б. Об одной формулировке задачи Коти для интегро-дифференциальных уравнений// УМН.1995.Т.50.Вып.З(303). С.149-150.

Шалалшлин В.И., Костриченко A.B., Кузнецов Е.Б., Князев с>.. , Зуев H.H. Математическое моделирование технологических процессов сильного нелинейного деформирования// Тезисы докладов российской научно-технической конференции "Технологические проблемы производства летательных аппаратов и двигателей". Казань: Издательство КГТУ, 1955. С. 38.

25. Кузнецов Е.Б. Критериальный подход при исследовании динамического прощелкиванния панели// Изв.РАН. МТТ. 1996.N 1. С.150-160.