автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное интегрирование некоторых классов функционально-дифференциальных уравнений

Введение

1 О методах численного интегрирования некоторых классов функционально-дифференциальных уравнений

1.1 Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

1.2 Смешанные дифференциально-разностные уравнения

2 Численное интегрирование задачи Коши для дифференциальных уравнений с запаздыванием

2.1 Задача Коши для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа как задача продолжения решения по параметру.

2.2 Влияние преобразования к наилучшему аргументу на эффективность некоторых методов численного интегрирования задачи Коши для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

2.3 Влияние преобразования к наилучшему аргументу на устойчивость некоторых методов численного интегрирования задачи Коши для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

3 Численное интегрирование начальной и краевой задач для смешанного дифференциально-разностного уравнения

3.1 Начальная задача для смешанного дифференциально- разностного уравнения.

3.2 Постановка краевой задачи для смешанного дифференциально-разностного уравнения.

3.3 Обозначения и вспомогательные предложения.

3.4 Разностная схема

Детальное изучение реального мира вынуждает нас принимать в расчет, хотя и с неохотой, тот факт, что скорость изменения физических систем зависит не только от их состояния в настоящий момент, но также и от их истории в прошлом." (Беллман и Кук [1]).

Важнейшей характеристикой математических моделей является степень их адекватности своим прототипам, повышение которой требует учета таких в них происходящих процессов, характерной чертой которых является непосредственная зависимость описывающих текущее состояние величин от значений этих же величин в предшествовавшие текущему моменты наблюдения. Подобная ситуация возникает при моделировании систем автоматического управления, в эпидемиологии, кинетике ферментативных реакций, иммунологии, электродинамике и других областях современной прикладной математики.

В подавляющем большинстве случаев возникающие при математическом моделировании начальные и краевые задачи для систем функционально-дифференциальных уравнений не удается проинтегрировать аналитически. В этом заключается причина постоянного интереса к методам приближенного решения таких задач.

В данной работе рассматривается два класса функционально-дифференциальных уравнений: функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа и дифференциально-разностные уравнения смешанного типа. Для задач обоих классов исследуется применение нового подхода к численному интегрированию задачи Коши. Этот подход основан на использовании метода продолжения решения задачи по наилучшему в некотором смысле параметру. Для второго класса уравнений на базе метода конечных разностей конструируется и изучается алгоритм численного решения краевой задачи. 5

Неотъемлемой частью проведенных исследований являются разработанные вычислительные алгоритмы и программы численного интегрирования описанных задач, применение которых для исследования конкретных тестовых примеров позволяет проиллюстрировать полученные теоретические результаты.

В первой главе данной работы дается обзор как приводящих к задачам рассматриваемых типов приложений, так и доступных алгоритмов и методов, применявшихся при их численном интегрировании.

Во второй главе формулируется и решается проблема выбора наилучшего параметра продолжения решения задач Коши для системы функционально-дифференциальныхуравнений нейтрального типа, проводится анализ вычислительных аспектов применения такого преобразования при численном интегрировании, а именно для функционально-дифференциальных уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений исследуется его влияние на точность и устойчивость вычислительного процесса. Полученные результаты иллюстрируются на тестовых примерах.

В третьей главе рассматривается проблема наилучшей параметризации по дифференциальной переменной решения начальной задачи и конструируется разностная схема численного интегрирования краевой задачи для смешанного дифференциально-разностного уравнения в прямоугольной области. Доказывается однозначная разрешимость краевой задачи, устойчивость построенной для ее приближенного решения разностной схемы и сходимость восполнений решений системы разностных уравнений к обобщенному решению краевой задачи.

Заключение

В настоящей работе рассмотрены методы численного интегрирования двух классов функционально-дифференциальных уравнений: начальных задач для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом нейтрального типа и краевых задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа.

В ходе исследований получены следующие результаты:

1. Проведен обзор приложений в которых возникают начальные и краевые задачи для уравнений указанных типов, дана сравнительная характеристика встречающихся в литературе алгоритмов и методов, используемых при численном интегрировании начальных задач для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и некоторых интегро-дифференциальных уравнений, а также сформулированы основные проблемы, возникающие при численном интегрировании таких задач.

2. Доказаны необходимые и достаточные условия выбора наилучшего аргумента задачи Коши для системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом нейтрального типа. Задача Коши формулируется относительно этого аргумента.

3. Изучено влияние преобразования задачи Коши к наилучшему аргументу на вычислительную эффективность процедуры численного интегрирования начальных задач посредством явных методов Эйлера и Рунге-Кутта второго порядка. Доказаны теоремы содержащие сравнительные оценки локальных погрешностей этих методов, полученные результаты проиллюстрированы на тестовых примерах для приближенного решения которых были специально разработаны алгоритм и программа.

4. На тестовых примерах, в качестве которых, в частности , рассматривались известные жесткие задачи, изучено влияние преобразования задачи Коши для на вычислительную устойчивость явного метода Эй

84 лера.

5. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости и возможности представления начальной задачи для смешанного дифференциально-разностного уравнения в прямоугольной области в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказаны необходимые и достаточные условия выбора наилучшего аргумента начальной задачи для смешанного дифференциально-разностного уравнения в прямоугольной области.

6. Построена разностная схема для приближенного решения краевой задачи для смешанного дифференциально-разностного уравнения в прямоугольной области, доказана устойчивость построенной разностной схемы и сильная сходимость последовательности восполнений, построенных по решениям систем разностных уравнений к обобщенному решению рассматриваемой краевой задачи.

1. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

2. Каменский Г.А., Скубачевский A.JI. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: МАИ, 1992.

3. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1968.

4. Bellman R. and Danskin J. М. A Survey of the Mathematical Theory of Time Lag, Retarded Control, and Hereditary Processes. The RAND Corporation, R-256, 1954.

5. Красовский H.H. Теория управления движением. M.: Наука, 1968.

6. Хайрер Э., Нерсет С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.

7. Okamoto М. and Hayashi К. Frequency conversion mechanism in enzymatic feedback systems // J. Theor. Biol. 1984. V.108. P.529-537.

8. Марчук Г.И. Математические модели в имунологии. М.: Наука, 1980.

9. Driver R.D. A Neutral System with State-Dependent Delay //J- Dif. Eq. 1984. V.54. P.73-86.

10. Driver R.D. Ordinary and delay differential equations. New York: Springer-Verlag, 1977.

11. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1972.

12. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

13. Newes K.W., Feldstein A. Characterization of jump discontinuities for state dependent delay equations //J. Math. Anal. Appl. 1976. V.56. P.689-707.

14. Wille D.R. and Baker C.T.H. The tracking of derivative discontinuities in systems of delay-differential equations // Appl. Num. Math. 1992. V.9. P.209-222.

15. Neves K.W., Thompson S. Software for the numerical solution of systems of functional differential equations with state-dependent delays // Appl. Num. Math. 1992. V.9. P.385-401.

16. Cryer C.W. Numerical methods for functional differential equations // in: ed., Schmitt К. Delay and functional differential equations and their applications. N.Y.: Acad. Press, 1972. P.17-102.

17. Cryer C.W., Tavernini L. The numerical solution of Volterra functional- differential equations by Euler's method // SIAM J. Nu-mer. Anal. 1972. V.9. P.105-129.

18. Bellen A. Constrained mesh methods for functional differential equations // in: Delay Equations, Approximation and Application. (Meinardus G., Nürnberger G., eds.) Intern. Ser. Numer. Math. V.74. P.52-70, Basel-Boston: Birkhauser Verlag, 1975.

19. Холл Дж., Уатт Дж.(ред.) Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979.

20. Jackiewicz Z., Kwapisz М. The numerical solution of functional differential equations, a survey // Rocz. PTM Ser.3. 1991. V.33. P.57-78.

21. Neves K.W. and Thompson S. Software for the numerical solution of systems of functional differential equations with state-dependent delays // Appl. Numer. Math. 1992. V.9. P.385-401.

22. Bellman R.E. On the computational solution of differential-difference equations // J. Math. Anal. Appl. 1961. V.2. P.108-110.

23. Feldstein A. Discretization methods for retarded ordnary differential equations. Ph.D. thesis. Univ. of California, LA, 1964.

24. Castleton R.N., Grimm L.J. A first order delay equations of neutral type // Math. Сотр. 1973. V.27. P.571-577.

25. Chartres B.A., Stepleman R.S. Actual order of convergence of Runge-Kutta methods on differential equations with discontinuities // SIAM J. Num. Anal. 1974. V.ll. P.1193-1206.

26. Chartres B.A., Stepleman R.S. Order of convergence of linear multistep methods for functional differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1975. V.12. P.876-886.

27. Feldstein A. and Goodman R. Numerical solutions of ordnary and retarded differential equations with discontinuous derivatives // Numer. Math. 1973. V.21. P. 1-13.

28. Goodman R. and Feldstein A. Round off error for retarded ordnary differential equations, a priori bounds and estimates // Numer. Math. 1973. V.21. P.275-283.

29. Зверкина Т.С. Модифицированная формула Адамса для интегрирования уравнений с запаздывающим аргументом // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом Ун-та Дружбы народов им. П.Лумумбы. 1965. Т.З. С.221-232.

30. Зверкина Т.С. Численное решение систем с временным запаздыванием // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом Ун-та Дружбы народов им. П.Лумумбы. 1967. Т.4. С.164-172.

31. Зверкина Т.С. Однопараметрический аналог формул Адамса // ЖВМ и МФ. 1968. Т.8. N4. С.797-807.

32. Feldstein A. and Sopka J. Numerical methods for nonlinear Volterra integro- differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1974. V.ll. P.826-846.

33. Linz P. Linear multistep methods for Volterra functional differential equations // J. ACM. 1969. V.16. P.295-301.

34. Kemper G.A. Linear multistep methods for a class of functional differential equations // Numer. Math. 1972. V.19. P.361-372.

35. Tavernini L. One step methods for the numerical solution of Volterra functional differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1971. V.8. P. 786-795.

36. Tavernini L. Linear multistep methods for numerical solution of Volterra functional differential equations // J.Applicable Anal. 1972. V.l. P.169-185.

37. Tavernini L. The approximate solution of Volterra differential equations with state dependent lags // SIAM J. Numer. Anal. 1978. V.15. P.1039-1052.

38. Jackiewicz Z. Convergence of multistep methods for Volterra functional differential equations // Numer. Math. 1979. V.32. P.307-332.

39. Jackiewicz Z. The numerical solution of Volterra functional differential equations of neutral type // SIAM J. Numer. Anal. 1981. V.18. P.615-626.

40. Jackiewicz Z. One step methods for numerical solutions of Volterra functional differential equations of neutral type //J. Applicable Anal. 1981. V.12. P.l-11.

41. Jackiewitz Z. One step methods of any order for neutral functional differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1984. V.21. P.486-511.

42. Jackiewicz Z. Adams methods for neutral differential equations // Numer. Math. 1982. V.39. P.221-230.

43. Jackiewicz Z. Quasilinear multistep methods and variable step predictor- corrector for neutral functional differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1986. V.23. P.423-452.

44. Oberle H.J., Pesch H.J. Numerical treatment of differential-difference equations by Hermite interpolation // Numer. Math. 1981. V.37. P.235-255.

45. Al-Mutib A.N. An explicit one-step methods of Runge-Kutta type for solving delay differential equations // Utilitas Math. 1987. V.31. P.67-80.

46. Neves K.W. Automatic integration of functional differential equations: an approach // ACM Trans. Math. Software 1975. V.l. P.421-444.

47. Neves K.W. Algorithm 497. Automatic integration of functional differential equations D2] // ACM Trans. Math. Software. 1975. V.l. P.369-371.

48. Oppelstrup J. The RKFHB4 method for delay differential equations. In: Numerical Treatment of Differential Equations, ed. Bulirsch R. Lecture Notes in Mathematics 631.

49. Kapel F. and Kunisch K. Spline approximations for neutral functional differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1981. V.18. P.1058-1060.

50. Kemper G.A. Spline function approximation for solutions of functional differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1975. V.12. P.73-88.

51. Guzek J., Kemper G.A. A new error analysis for a cubic spline approximate solution of a class of Volterra integral-differential equations // Math. Comp. 1973. V.27. N123. P.563-570.

52. Arndt H. The influence of interpolation on the global error in retarded functional differential equations // in: Differential-difference equations, Collatz L., ed. 1985. V.62.

53. Bellen A. One step collocation for delay differential equations // J. Сотр. Appl. Math. 1984. V.10. P.275-283.

54. Бочаров Г.А., Романюха А.А. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на основе методов Рунге-Кутта-Фельберга // Препринт ОВМ АН СССР. N99. 1985.

55. Бочаров Г.А., Романюха А.А. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на основе линейных многошаговых методов. Аппроксимация, сходимость и устойчивость // Препринт ОВМ АН СССР. N116. 1986.

56. Бочаров Г.А., Романюха А.А. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздыванием на основе линейных многошаговых методов. Алгоритм и программа // Препринт ОВМ АН СССР. N117. 1986.

57. Bellen A., Zennaro М. Numerical solution of delay differential equations by uniform correction to an implicit Runge-Kutta method // Nu-mer. Math. 1985. V.47. P.301-316.

58. Zennaro M. Natural continuous extentions of Runge-Kutta methods // Math. Сотр. 1986. P.119-133.

59. Jackiewicz Z. Variable-step variable order algorithm for the numerical solution of functional differential equations // Appl. Numer. Math. 1987. V.3. P.317-329.

60. Feldstein A., Newes K.W. High order methods for state dependent delay equations with nonsmooth solutions // SIAM Num. Anal. 1984. V.21. P.844-863.

61. Bock H.G. and Schloder J. Numerical solution of retarded differential equations with state dependent time lags // ZAMM. 1981. V.61. P.262-265.

62. Neves K.W. Control of interpolatory error in retarded differential equations // ACM Trans. Math. Software 1981. V.7. P.421-444.

63. Butcher J.C., Sharp P.W. Comparison of some Runge-Kutta integrators for delay differential equations // Univ. of Aucland Dep. Math.Report Ser. N309. 1994.

64. Baker C.T.H.,Butcher J.C., Paul C.A.H. Experience of STRIDE applied to delay differential equations // Department of Math. Univ. of Manchester. Numer. Anal. Rep. N208. 1992.

65. Kamenskii G.A. & Myshkis A.D. On the mixed type functional differential equations //Nonlinear Analysis, TMA. 1997. V.30. N5. P.2577-2584.

66. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: Изд. Иностр. лит. 1961.

67. Kamenskii G.A. A review of the theory of mixed functional differential equations //Problems of Nonlinear Analysis in Engineering Systems. 1998. V.2. N8. P.l-16.

68. Thieme H.R. A differential-integral equation modelling the dynamics of population with a rank structure //Lect. Notes Biomath. 1986. V.68. P.496-511.

69. Hadeler K.P. The hypercycle, travelling waves and Wright's equation // J. Math. Biol. 1986. V.24. N5, P.473-477.

70. Buerger R. On the maintainance of genetic variation:global analysis of Kimura's continuum of alleles model // J. Math. Biol. 1986. V.24. N3. P.341-351.

71. Britton N.F. Travelling wave front solutions of differential-difference equation arising in the modelling of myelinated nerve axon // Lect. Notes Math. 1985. V.1151. P.77-89.

72. Иванова Е.П., Каменский Г.А. Начальные задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: МАИ. 1995.

73. Kamenskii G.A. Boundary value problems for difference-differential equations arising from variational problems //Nonlinear Analysis, TMA. 1992. V.18. N8. P.801-813.

74. Иванова Е.П., Каменский Г.А. Вариационные и краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: МАИ. 1993.

75. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М.: Наука, 1969.

76. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988.

77. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация (в прикладной математике и механике). М.: Эдиториал УРСС, 1999.

78. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений //ДАН СССР. 1953. Т.88. N4. С.601-602.

79. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982.

80. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

81. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Наилучший параметр продолжения решения // Докл. РАН 1994. Т.334. N 5. С. 566-568.

82. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши как задача продолжения по наилучшему параметру // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. N6. С. 964-971.

83. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для механических систем с конечным числом степеней свободы как задача продолжения по наилучшему параметру // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. С. 14-21.

84. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Задача Коши для нелинейных деформируемых систем как задача продолжения по наилучшему параметру // Докл. РАН 1993. Т.329. N 4. С. 426-428.

85. Кузнецов Е.Б. Об одном подходе к интегрированию кинематических уравнений Эйлера при малых углах нутации // Журнал выч. математ. и математич. физики. 1998. Т.38. № 11. С. 1806-1813.

86. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Решение дифференциально алгебраических уравнений с выбором наилучшего аргумента/ / Журнал выч. математ. и математич. физики. 1997. Т.37. № 6. С.711-722.

87. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Решение дифференциально алгебраических уравнений методом продолжения по наилучшему параметру // Дифференц. уравнения. 1999. Т.35. № 3. С.379-387.

88. Кузнецов Е.Б. Наилучший параметр параметрического интерполирования // Успехи матем. наук. 1996. Т.51. Вып. 2.(308). С. 167168.

89. Кузнецов Е.Б. Преобразование уравнений с запаздывающим аргументом к наилучшему аргументу // Мат. заметки. 1998. Т. 63. Вып. 1. С. 62-68.

90. Kopylov A.V. Comparison of some Rimge-Kutta Integrators for delay differential equations // Abs. Int. Conf. on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, 1999.

91. Копылов A.B., Кузнецов Е.Б. Об одном подходе к численному интегрированию задачи Коши для дифференциального уравнения с запаздыванием // Журнал выч. математ. и математич. физики, (принята к печати N8, 2001).

92. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. M.: Наука, 1973.

93. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

94. Копылов А.В. О численном решении смешанных дифференциально-разностных уравнений //Тезисы Воронежской зимней математической школы 2000 "Современный анализ и его приложения". Воронеж. 2000. С. 93-94.

95. Копылов А.В. Метод конечных разностей численного решения краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа // Сиб. журн. вычисл. математики. 2000. Т.З. N4. С. 345-355.1. Рис.3.•Ч,