автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Имитационное моделирование дифракции света на мультифрактальных объектах

004613816

Музыченко Яна Борисовна

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ СВЕТА НА МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ОБЪЕКТАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 3 ЛЕН

Санкт-Петербург - 2010

004618816

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Стафеев Сергей Константинович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, доцент

Торшина Ирина Павловна

доктор технических наук, профессор Тарлыков Владимир Алексеевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Защита состоится 25 декабря 2010 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д.212.227.06 в Санкт-Петербургском университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского университета информационных технологий, механики и оптики.

Автореферат разослан 24 ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В связи с усложнением функциональных характеристик современных оптических систем и появлением дифракционных оптических элементов (ДОЭ) с фрактальной структурой возникает необходимость развития систем имитационного моделирования дифракционных задач на новом классе объектов. Имитационное моделирование, являясь дополнительным инструментарием исследования задач дифракционной оптики, позволяет снять ограничения, возникающие при проведении натурного эксперимента (например, приборные ограничения регистрации высоких пространственных частот дифракционного спектра), сохраняя возможность учета стохастических факторов и неидеальностей изучаемых структур.

Исследование взаимодействия электромагнитного излучения видимого диапазона с объектами, обладающими фрактальной структурой, имеет важное практическое значение с двух точек зрения. Во-первых, исследование дифракционных полей от фрактальных объектов позволяет выявлять структурные особенности и характерные свойства этих объектов. Во-вторых, дифракция на фрактальных объектах может привести к созданию новых типов волновых фронтов, которые могут стать основой разработки новых оптических элементов. Таким образом, интеграция теории фракталов в оптическую науку позволяет расширить класс существующих ДОЭ, качество которых во многом зависит от результатов предварительного моделирования, как одного из этапов их разработки.

Первые работы по математическому описанию и моделированию дифракции на фрактальных объектах появились в 1990-х гг. Основные результаты исследований по данной тематике изложены в работах С. Allain, J. Uozumi, Т. Alieva, О. Angelsky, W. Furlan, В. Hou. Было продемонстрировано, что дифракталы1 обладают свойствами, которые существенно отличаются от свойств волн, рассеянных на простых геометрических объектах, и их математическое описание имеет ряд особенностей, существенных для традиционного моделирования подобных задач. В отечественной литературе такого рода исследования представлены немногочисленными работами2, хотя это направление является актуальным и перспективным для практического применения. Большинство работ связано с дифракцией Фраунгофера, и основное внимание в них уделено метрологическому аспекту данной темы, т.е. оцениванию характеристик фрактального объекта при помощи дифракционн ых распределений.

В последние годы появились работы по моделированию дифракции

Дифрактал - волновой фронт, дифрагировавший на фрактальном объекте.

1 Зимняков Д.А. (1997). Мельников Г.С. (2004), Нелепей A.B. (2007), Боголюбов А.Н.,

Шапкина Н.Е. (2008).

Френеля от фрактальных структур, что привело к разработке фрактальных зонных пластинок (ФЗП3), обладающих свойствами мудьтифокальноети.

Целый ряд важных фундаментальных вопросов оказался неизученным, либо изученным не в полной мере. Среди них особым образом следует выделить вопросы границ применимости математических моделей дифракции на контурных и поверхностных фракталах. Не исследованы математические модели дифракции на фазовых фрактальных объектах, которые для задач дифракции представляют значительно больший интерес по сравнению с амплитудными объектами, рассматриваемыми исследователями. Не изучены дифракционные поля от фазовых фрактальных объектов с переменной величиной фазового сдвига. Нуждаются также в дополнении алгоритмы расчета характеристик фрактального объекта и их влияние на результирующий волновой фронт.

Перечисленные утверждения дали основание продолжить исследования в данной области с целью применения численных методов расчета дифракционных полей от фрактальных структур и разработки имитационных моделей дифракции на мультифрактштьных4 структурах (МФС). Эти исследования являются актуальными для разработки мультифрактальных ДОЭ, обладающих новыми свойствами и имеющих практическую ценность для оптических приборов нового поколения.

Целью работы является разработка имитационных моделей дифракции на фрактальных и мультифрактальных объектах; проверка адекватности разработанных моделей на основе результатов их применения к фрактальным тест-объектам и данных аналитических приближений и натурного эксперимента.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Модификация существующих математических моделей дифракции применительно к МФС, учитывая корреляционную взаимосвязь между амплитудно-фазовыми и пространственными характеристиками.

2. Разработка и программная реализация алгоритмов генерации регулярных и рандомизированных конструктивных МФС.

3. Разработка эффективных алгоритмов расчета фрактальной размерности регулярных и рандомизированных фракталов на основе разработанных моделей.

3ФЗП - зонная пластинка, построенная па основе зонной пластинки Френеля, у которой отсутствуют некоторые зоны согласно итерационному процессу построения полос Кантора.

4Мультифрактал в данной работе - самоподобный объект с переменной величиной амплитудного коэффициента пропускания и/или фазового сдвига, задаваемыми итерационными процедурами, согласованными с масштабирующим множителем подобия.

4. Разработка информационного, математического и программного инструментария имитационного моделирования.

5. Проверка адекватности имитационных моделей путем сопоставления с результатами натурного эксперимента и аналитическими приближениями.

Методы и средства исследований. В работе использовались численные методы решения задач волновой оптики, математические методы цифровой и оптической обработки сигналов и теории фракталов, элементы теории алгоритмов и программ, численные методы математического анализа.

Научная новизна работы:

1. Предложены имитационные модели, применимые для оптимизации коэффициента и типа корреляционной связи пространственных и амплитудно-фазовых характеристик МФС; на их основе предложены ДОЭ с улучшенными характеристиками.

2. Численно исследованы свойства дифракционных полей от фазовых МФС, Фурье-образ которых характеризуется преобладанием высоких пространст венных частот5.

3. Обоснована потенциальная эффективность исследуемых МФС для целей выявления фазовых неоднородностей оптических элементов методами просвечивания через фрактапьную маску.

На защиту выносятся:

1. Метод имитационного моделирования, позволяющий исследовать широкий класс дифракционных эффектов на мультифрактапьных объектах, включая модель генерации мультифрактального объекта с заданными свойствами.

2. Метод расчета фрактальной размерности подобия регулярных конструктивных фракталов оптическими методами.

3. Количественные оценки эффективности функциональных характеристик ДОЭ с МФС по критериям мультифокальности и мощности высоких пространственных частот.

Практическая значимость и внедрение результатов.

1. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программных модулей, позволяющий генерировать конструктивные МФС с различными параметрами, производить расчет фрактальной размерности изображений оптическим и сеточным методами, рассчитывать дифракционные поля от МФС.

2. Созданы имитационные модели дифракции оптического излучения, которые могут быть использованы в рамках изучения курса «Волновая оптика».

3 по сравнению с фрактальными объектами и традиционно используемыми

двумерными периодическими структурами.

3. На основании апробации имитационных моделей предложены ДОЭ с МФС, имеющие преимущества в сравнении с традиционно используемыми.

Результаты, полученные в ходе диссертационной работы, были внедрены в учебный процесс на кафедре Физики СПбГУ ИТМО по дисциплинам «Физика» и «Специальные разделы физики», а также были использованы в рамках программы развития НИУ ИТМО в мероприятиях «Создание и организация деятельности инновационного комплекса в области информационных и оптических технологий в России» и «Разработка и методическое обеспечение образовательных стандартов университета и образовательных программ по приоритетным направлениям развития, обеспечивающих актуальные компетенции выпускников».

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на XXXVII, XXXVIII, XXXIX конференциях Г1ПС СПбГУ ИТМО (г. Санкт-Петербург, 200S-2010 гг.), на VII Всероссийском молодежном Самарском конкурсе-конференции научных работ по оптике и лазерной физике (г. Самара, 2009 г.) и на международной конференции SPIE/COS Photonics Asia (Пекин, 2010 г.) Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, в том числе 4 статьи в изданиях из перечня изданий ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Содержит 135 страниц основного текста, 49 иллюстраций, 3 таблицы. Список литературы содержит 120 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цель и основные задачи исследований, указаны научная новизна и практическая значимость результатов работы. Представлена структура диссертации и основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава содержит аналитический обзор существующих методов генерации фрактальных объектов и математических моделей дифракции оптического излучения на фрактальных структурах.

Представлен математический аппарат теории фракталов, дана классификация фракталов, введены понятия самоподобия и фрактальной размерности подобия. Рассмотрены основные существующие алгоритмы генерации конструктивных фрактальных объектов: L-системы, системы итерируемых функций (СИФ), методы переписывания строк (String Rewriting System), матрицы Адамара, произведения Кронекера. Представлено описание формализованного языка L-систем для

графического представления контурного фрактала на плоскости или в пространстве, позволяющего генерировать широкий класс контурных фракталов. Рассмотрены особенности построения фракталов с использованием СИФ как совокупности сжимающих аффинных преобразований.

В результате аналитического обзора существующих математических моделей и результатов экспериментальных исследований дифракции Френеля и Фраунгофера от объектов, обладающих свойствами самоподобия, выявлено, что модели дифракции построены только для ограниченного числа простых в генерации фрактальных объектов, таких как полосы Кантора, Н-фрактал, снежинка Коха. Рассмотрены особенности дифракционных полей от фрактальных объектов, которые были обнаружены в проведенных ранее исследованиях: дифракционные картины обладают свойствами самоподобия; интенсивность высоких пространственных частот, отвечающих мельчайшим деталям маски, вносит существенный вклад в суммарную интенсивность; обработка дифракционной картины Фраунгофера позволяет оценить фрактапьную размерность подобия исходного объекта. Существующие методы оценки фрактальной размерности по дифракционной картине основаны на степенном законе, согласно которому пространственное распределение интенсивности от рандомизированных фракталов определяется как:

(1(г))*г-°, (1)

где / - интенсивность, г - радиальная координата. Следовательно, фрактальная размерность объекта может быть рассчитана по формуле:

1п(1(г))

В =--(2)

1п (г)

В выводах по первой главе указаны вопросы, которые в существующих исследованиях остались без достаточного внимания, рассмотрены границы применимости существующих математических моделей дифракции к контурным и поверхностным фрактальным объектам, указаны недостатки существующих алгоритмов расчета фрактальной размерности. Приведено обоснование актуальности разработки моделей дифракции на МФС.

Вторая глава посвящена разработке имитационных моделей дифракции света. На основе теории моделирования систем определены этапы разработки моделей, требования, предъявляемые к современным системам моделирования и особенности имитационного моделирования. Рассмотрены возможности модернизации одной из современных систем оптического моделирования - программного обеспечения УйиаШаЬ компании Ь!§Ьйгап5, объединяющего концепции проектирования оптических систем и теории электромагнитного поля. В главе приведено описание разработанных оригинальных проблемно-ориентированных

программных модулей дифракции оптического излучения на МФО, интегрируемых в данную программу.

На рис. 1 представлена схема разработанной имитационной модели дифракции света на МФС, состоящая из трех структурных блоков с задаваемыми пользователем параметрами. В качестве параметров источника излучения выступают: тип волнового фронта, форма и размеры светового пучка, пространственные (поперечные) координаты, длина волны, спектральный диапазон (в случае моделирования полихроматического источника), а также тип частотного спектра. К параметрам МФС, являющейся исследуемым объектом доя имитационной модели дифракции, относятся пространственные (продольные и поперечные) координаты, тип МФС, степень рандомизации, коэффициент корреляции между пространственными и амплитудно-фазовыми характеристиками МФС. Для приемной матрицы определены параметры регистрации выходного волнового фронта: тип регистрируемого распределения (интенсивности, фазы, амплитуды, реальной и мнимой частей комплексной амплитуды). Список параметров структурных блоков является открытым и может быть оптимизирован для определенного класса задач.

Источник Исследуемый Приемная

излучения объект матрица

t ___ t т

Параметры I Параметры

формирования Алгоритм регистрации

входного генерации МФС выходного

волнового фронта волнового фронта

Рис. 1. Структурные блоки имитационной модели дифракции света на МФС и определение их параметров.

Тргтья глава посвящена разработанному комплексу проблемно-ориентироваиных программных модулей, предназначенному для построения моделей контурных, поверхностных фракталов и МФС, задания корреляционной связи между пространственными и амплитудно-фазовыми характеристиками МФС, В этой главе описаны также разработка математических моделей дифракции на фрактальных структурах и проверка адекватности разработанных имитационных моделей дифракции на основе их применения к фрактальным тест-объектам.

При генерации конструктивных фрактальных объектов были использованы существующие и модифицированные алгоритмы, основанные на применении L-систем, систем итерируемых функций (СИФ), итерационных алгоритмов, методов переписывания строк (String Rewriting System), матриц Адамара, произведений Кронекера. В качестве входных параметров фрактальной структуры задается ее тип, порядок

генерации фрактала (кроме СИФ), степень рандомизации, дополнительным параметром для ФЗП является лакунарность6. На рис. 2 представлены типы генерируемых фрактальных объектов, в отдельный блок вынесены МФС.

Математически построение конструктивного фрактала порядка генерации 5 было представлено с помощью обобщенной формулы в полярных координатах:

( I5

с5(р)= -С0(р), (3)

I №

где г[(1^(р)=С(р-Л7), %]с(р) = с(р;ф-еу); -

операторы переноса, поворота и масштабирования соответственно; Оо(р) - инициатор фрактала; т - число элементов генератора фрактала, р=(р, ф)=(ду)> с!=(с!/,ау). Задавая различные коэффициенты, (3) позволяет генерировать фракталы широкого класса.

Контурный фрактал

Построенный с использованием I .-систем

Криволинейный

ФЗП

Бинарный

Планарный

Амплитудный

Многослойный

Фазовый

Поверхностный фрактал

Полутоновой

Амплитудный

Фазовый

Амплитудно-фазовый

МФС

Рис. 2. Классификация генерируемых фрактальных и мультифрактальных

объектов.

При построении контурных фракталов были использованы модифицированные алгоритмы на основе Ь-систем, в которые были добавлены параметры степени рандомизации фрактала. Для генерации криволинейных контурных фракталов был выбран метод СИФ

Результатом работы модуля являлось двумерное распределение действительных и/или комплексных значений, которое в дальнейшем преобразовывалось в амплитудные, фазовые или амплитудно-фазовые

^Лакунарность - параметр фрактального объекта, характеризующий его текстуру.

объекты. Для генерации МФС задавался корреляционный коэффициент связи между пространственными и амплитудно-фазовыми характеристиками МФС.

В качестве примеров генерируемых фракталов на рис. 3 и 4 представлены контурные фракталы, поверхностные фракталы и МФС с различными параметрами.

г\а

I

ш

ЩР?

а)

т.. >|®Й|-. \т ФШ

а = 0°

Ч б)

а - 10°

Рис. 3. Примеры генерируемых контурных планарных фрактальных структур а) квадрическая снежинка Коха, порядок генерации 5=5, фрактальная размерность 0= 1.365, а - угол рандомизации; б) Множество Аполлона, 0=1.631.

1 шёщЯI - ;

а) 6) в)

Рис. 4. Полутоновые поверхностные фрактальные объекты: а) ФЗП с 0=0.631, 2; б) ковер Серпинского, 0=1.893, 5=5; в) снежинка Коха, 0=1.262, 8=5. (Справа от ковра Серпинского показан профиль фазового

объекта).

В случае дифракции Френеля амплитуда в плоскости наблюдения Е(х',у') может быть записана с помощью параксиального приближения Френеля:

„.2 ,,,?. 1

Е(х',у') = —ехр(г'Мг)ехр[ ——{хи +у"') I V 2Дг

Р

Е(х,у)ех р

'к I 2 2

-\х + у

к , к

-х,-у

2лАг 2жАг

(4)

2л

где к = — - волновой вектор, X - длина волны, х,у - координаты в а

плоскости объекта, х',у' - координаты в плоскости наблюдения, Аг -

расстояние между плоскостями, /-1

\lnbz 2кАг'

преобразование Фурье. В случае дифракции Фрауигофера:

дискретное

Е(х\у') = Техр(/Мг)ех]

¡к 2Лг

(.х'2+уа)

Ш.у^^у]. (5)

£ ехр^зп ■ -а.;))• /фу] . (6)

Для расчета распределения дифрактапов является целесообразным представить исходный фрактал как совокупность геометрических фигур, дифракционное распределение от которых считается известным, а далее найти распределение амплитуды от всего объекта.

На основании (3) и (5) для обобщенных фракталов Коха, построенных при помощи Ь-систем, были найдены распределения амплитуды дифракционной картины Фраунгофера в зависимости от параметров объекта в полярных координатах:

- ъ ехризи ■ I. - ,

где \у'), ЯС0(р)) - Фурье-преобразование от инициатора.

На основе формулы (2), позволяющей оценить фрактальную размерность рандомизированных фракталов, в работе предложен эффективный алгоритм расчета фрактальной размерности регулярных конструктивных фракталов, отличающийся от существующих применимостью ко всем типам регулярных фракталов и относительно высокой точностью.

Для нахождения фрактальной размерности объектов дня рассчитанных дифракционных картин (рис. 5) определялась зависимость интенсивности от расстояния до центра картины. Средняя интенсивность для каждого радиуса вычислялась как сумма интенсивности точек, расположенных в пределах некоторого кольца, и нормировалась на площадь этого кольца. При этом толщина колец в пределе минимизировалась, что позволяло получать одномерные функции 1(г).

6):: • : в; ' : * ' Рис. 5. Расчетные картины дифракции на фрактальных структурах (негатив): а) ковер Серпинского; 6) фрактал Вишека; в; снежинка Коха. Порядок генерации 5 = 6.

Далее строились графики зависимостей усредненной интенсивности от координаты в двойном логарифмическом масштабе. Зависимость

усредненной интенсивности от радиуса в двойном логарифмическом масштабе для фрактала Вишека с известной размерностью £>=1.465 показана на рис. 6. Сильно осциллирующая кривая отчетливо демонстрирует повторяющуюся структуру, форма которой становится все более детальной по мере удаления от центра дифракционной картины, причем количество повторений данной структуры определяется порядком генерации фрактала.

Рис. 6. График зависимости усредненной интенсивности от радиальной координаты в двойном логарифмическом масштабе для фрактала Вишека с 0=1.465.

Далее происходили поиск области дифракционного спектра, в которую укладывается целое число порядков генерации фрактала, и расчет интервалов усреднения интенсивности. В каждом из интервалов была найдена средняя интенсивность, по значениям которой проводилась аппроксимирующая прямая, коэффициент наклона которой равен значению фрактальной размерности исходного объекта.

Показано, что наибольшее соответствие между теоретическим значением фрактальной размерности и наклоном усредненной кривой получается при выборе числа интервалов на единицу меньше чем порядок генерации фрактала 5 (рис. 7).

'£■ 3 4 5 6 а 3 Ж и

Рис. 7. Зависимость расчетного значения фрактальной размерности от числа интервалов.

Количественные результаты расчета фрактальной размерности от известных геометрических фракталов на основе анализа их дифракционных распределений приведены в таблице 1.

Таблица 1. Сравнение расчетных и теоретических фрактальных

размерностей геометрических фракталов.

Тип фрактала Теоретическое значение D Расчетное значение D Отн. погр.

Снежинка Коха 1.262 1.258 0.3%

Пыль Серпинского 1.262 1.270 0.6%

Фрактал Вишска 1.465 1.472 0.4%

Треугольник Серпинского 1.585 1.590 0.3%

Ковер Серпинского 1.893 1.879 0.7%

Н-фрактал 2 1.989 0.6%

Предложенный алгоритм расчета фрактальной размерности позволяет рассчитывать фрактальную размерность объекта с относительной погрешностью менее 1%. Расчет коэффициента корреляции между теоретическими и расчетными значениями дает величину К=0.998. При этом для расчета размерности нет необходимости выявления фактора структуры (или фрактальной области дифракционной картины) и масштабирующего множителя. Последнее указывает на преимущество предложенного метода расчета фрактальной размерности относительно существующих.

Четвертая глава посвящена описанию проверки адекватности имитационных моделей по результатам данных аналитических приближений и натурного эксперимента, а также апробации разработанных моделей на МФС. Приведены количественные оценки эффективности использования ДОЭ с МФС, приведено обоснование применимости МФС для обнаружения фазовых неоднородностей прозрачных объектов.

Для проверки адекватности имитационной модели дифракции было проведено сопоставление результатов аналитических приближений и моделирования дифракции Френеля от ФЗП.

Используя (5) свойства самоподобия ФЗП и свойства Фурье-преобразования, распределение интенсивности вдоль оптической оси может быть записано как:

^ бит2 [мУк /(2/У —1)']

l(Q,u.N, S) - 4sin2

яг/

(2N-l)S

,=1 sin |2яи/(2М -1) J

а2

где и =-, а - радиус внешнего кольца ФЗП, X - длина волны падающего

2кг

излучения. N — число сегментов, остающихся после итерации при построении ФЗП, порядок генерации.

Расчет согласно (7) был реализован для трех порядков генерации амплитудной ФЗП с фрактальной размерностью £> = 1п2/1пЗ = 0,631, после чего было проведено сравнение с результатами имитационного моделирования. Результаты показаны на рис. 8.

ш

— 1/3 _______:/3 х Ал... -----

ж V..... :' \ «! А Д4л.х______1..............^ ?>кг / V*4*

о.:

— .......1 г— ¡»пиитическое приб.п. моделирований

д

.А

о.:-

0.7

с". 9

1.1

0.5 0.« 0.7 0.« 0.5

1

0.8

а) 2, м 6) г. м

Рис. 8. Зависимость нормированного значения интенсивности 1п от осевой координаты т. а) результаты аналитических приближений (7) для 5=0,1,2; б) сравнение результатов аналитических приближений с результатами имитационного моделирования для Б=1.

Еще одним способом проверки адекватности разработанной имитационной модели явился натурный эксперимент по наблюдению дифракционных картин Фраунгофера от контурных криволинейных многослойных фракталов. В качестве источника излучения был использован Не-Ые лазер с длиной волны 632.8 нм. Объектами исследования являлись плоскопараллельные пластины, изготовленные из оптического стекла марки К8, на одной стороне которых методами фотолитографии нанесено криволинейное фрактальное изображение высокой плотности из пленки хрома с характерной толщиной линий 2 мкм.

Плоскость объекта Плоскость наблюдения

ПФ Л1 Л 2 • 4 ,, лз

Но-Ые лазер / / -ч;

Рис. 9. Экспериментальная установка наблюдения дифракции Фраунгофера. (ПФ - поляризационный фильтр; Л1,2,3 - линзы с фокусными расстояниями А=1.5 см, /2,3=12 см; К - цифровая камера; ПК -персональный компьютер).

На рис. 10 представлены изображения исследуемых фрактальных структур (а), экспериментальные (о) и расчетные (в) дифракционные картины, приведено значение коэффициента корреляции.

Рис. 10. Контурный многослойный фрактал (а), экспериментальная (б) и расчетная (в) дифракционная картины. Коэффициент корреляции

К=0,896.

После подтверждения адекватности имитационной модели было проведено комплексное исследование фокусных свойств ФЗП с различными размерностями. В состав модели входил программный модуль реализации итерационного алгоритма управления фрактальной размерностью, порядком генерации и коэффициентом корреляции между пространст венными и амплитудно-фазовыми характеристиками.

На рис. 11 показаны зависимости распределения нормированного значения интенсивности от осевой координаты в окрестности главного фокуса ФЗП (5=2) с различными фрактальными размерностями. Показано, что с увеличением порядка генерации в распределении интенсивности возникают дополнительные максимумы излучения, внутренняя структура которых является самоподобной.

Л = 1пЗ/1п5 = 0,683 = 1п 2/1п 3 = 0,631 £> = 1п2/1п5 = 0,431

Рис. 11. Осевое распределение интенсивности в окрестности главного фокуса для ФЗП с различными фрактальными размерностями.

Исходя из проведенных исследований, был сделан вывод, что с уменьшением значения фрактальной размерности распределение интенсивности становится более сложным, число дополнительных максимумов и их относительная интенсивность увеличиваются.

Обнаружение дополнительных фокусов в осевом распределении интенсивности от ФЗП позволяет выдвинуть гипотезу об уменьшении хроматических аберраций при освещении яластннок белым светом. Дня проверки данной гипотезы с помощью разработанной имитационной модели было проведено моделирование дифракции от фазовой ФЗП с

размерностью £> = 1п2/1пЗ = 0,631 триплета длин волн 635 нм, 532 нм и 473 нм. с удельным весом 1.05, 0.62 и 0.80 соответственно. Результаты моделирования для обычной зонной пластинки и второго порядка генерации ФЗП представлены на рис. 12.

1г

0-в

С.4

02

...........-I

д' -..Л —

и "и

ол

о.б о:? 1. о.4 м о.|

а) г, м б) 2, м

Рис. 12. Осевое распределение интенсивности для обычной (а) и фрактальной (б) зонной пластинки при их освещении белым светом.

Комплексное исследование осевых распределений от мультифрактальных ФЗП показало, что на положение главного фокуса ФЗП влияет корреляционный коэффициент амплитудно-фазовых характеристик ФЗП; варьируя значение коэффициента можно менять абсолютное значение результирующей интенсивности.

Исследование дифракционных полей от фрактальных структур показало, что Фурье-спектр фрактальных объектов характеризуется преобладанием высоких пространственных частот по сравнению с двумерными периодическими структурами. В данной работе продемонстрировано, что дифракционный спектр МФС обладает еще большей мощностью высоких пространственных частот. Это иллюстрирует рис. 13, на котором изображены графики сечения усредненных индикатрис рассеяния для двумерной периодической решетки, бинарного фрактала Вишека и МФС.

а.! и

0Л75

шв

0 025

Рис. 13. Сечения усредненных индикатрис рассеяния от двумерной решетки, бинарного фрактала Вишека и МФС.

В работе предлагается применять фрактальные и мультифрактальные маски с преобладающей мощностью высоких пространственных частот для визуализации фазовых неоднородностей прозрачных объектов методами оптической обработки искаженного изображения двумерной маски. Для этого в дифракционных спектрах исследуемого Я(к)Н(к) и эталонного изображений Я(к) с помощью согласованных пространственных фильтров выделяются волны, дифрагировавшие в двух ортогональных направлениях, и визуализируются углы отклонения лучей объектом, на основе которых строятся топограммы распределения величин и ориентации градиента показателя преломления.

Использование для этих целей масок в виде двумерных периодических структур не является оптимальным в связи с быстрым радиальным убыванием мощности их пространственного спектра Б(к).

В результате апробации разработанной имитационной модели показано, что восстановленные изображения фрактальных и мультифрактальных масок имеют модуляцию интенсивности, период которой связан с величиной вносимых фазовых искажений (рис. 14). На спектре фрактальной маски эффект фиксируется при вдвое меньшей координате обратного пространства, а модуляция амплитуды гармоник для них на порядок больше, чем для регулярной маски.

250 ■.....

гоз - ~

а 133 л

103

5а ■

1 10 13 28 ЗГ « М « '3 В2 31 103 199 ! 13 ИГ

Рис. 14. Сечение искаженных спектров регулярной (жирная линия) и фрактальной масок.

В заключении сформулированы основные результаты проведенных исследований.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1) Разработаны имитационные модели, позволяющие исследовать широкий класс дифракционных эффектов на фрактальных и мультифрактальных объектах.

2) На основании разработанных моделей и исследования их статистических свойств представлены новые амплитудно-фазовые мультифрактальные структуры и на их основе предложены ДОЭ с

улучшенными характеристиками (мультифрактальные

дифракционные решетки и мультифрактальные зонные пластинки).

3) Разработан комплекс проблемно-ориентированных модулей, позволяющий генерировать конструктивные фракталы и МФС с различными параметрами, производить расчет фрактальной размерности изображений оптическим и сеточным методами.

4) Проведено комплексное исследование методами математического моделирования дифракционных световых полей от фрактальных и мультифрактальиых объектов, которое позволило выявить новые свойства МФС.

Публикации по теме диссертационной работы

1. О принципах амплитудной и амплитудно-фазовой пространственной фильтрации / A.A. Зинчик, Я.Б Музыченко, С.К. Стафеев // Известия вузов. Приборостроение. - 2007. - Т. 50, № 7. - С. 46-52. (согласно перечню ВАК)

2. Расчет фрактальной размерности регулярных фракталов по картине дифракции в дальней зоне / A.A. Зинчик, Я.Б Музыченко, A.B. Смирнов, С.К. Стафеев // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2009. - №2. - С. 17-24. (согласно перечню ВАК)

3. Моделирование оптических явлений при помощи программного обеспечения VirtualLab/ Я.Б. Музыченко // Компьютерные инструменты в образовании. - 2010. - №3. - С. 45-52. (согласно перечню ВАК)

4. Фокусирующие свойства фрактальных зонных пластинок / Я.Б Музыченко, A.A. Зинчик, С.К. Стафеев // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2010. - №6. - С. 22-27. (согласно перечню ВАК)

5. Разработка программных учебно-методических комплексов (УМК) на примере образовательного курса «Волновая и квантовая оптика». / К.А. Колмогоров, Я.Б. Музыченко, С.К. Стафеев // Компьютерные инструменты в образовании. - 2004. - №2. - С. 34-38.

6. Явление формирования дискретных капель в тонких слоях нематического жидкого кристалла под действием модулированного излучения / Я.Б. Музыченко, М.Г. Томилин // Сборник конкурсных докладов VII Всероссийского молодежного Самарского конкурса-конференции научных работ по оптике и лазерной физике. - Самара: Изд-во «Самарский университет», 2010. - С. 166-172.

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении

«Университетские телекоммуникации»

197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14

Тел. (812) 233 4669 объем 1 пл.

Тираж 100 экз.

Введение.

Глава 1. Аналитический обзор методов генерации фрактальных структур и математических моделей дифракции света на фракталах.

1.1 Элементы теории фракталов применительно к задачам дифракции.

1.2 Теоретические и прикладные вопросы дифракции света на фрактальных. структурах

Выводы по первой главе.

Глава 2. Разработка имитационных моделей дифракции света на МФС.

2.1 Основные этапы и особенности имитационного моделирования дифракции света на МФС.'.

2.2 Разработка интерактивных имитационных моделей дифракции Френеля и Фраунгофера от апертур различной формы.

2.3 Разработка оригинальных проблемно-ориентированных программных модулей дифракции на МФС, интегрируемых в Уи1лда1ЬаЬ.

Выводы по второй главе.

Глава 3. Реализация эффективных алгоритмов генерации фрактальных объектов и расчета фрактальной размерности.

3.1 Разработка и тестирование алгоритмов генерации фрактальных объектов.

3.2 Расчет фрактальной размерности регулярных фракталов по картине дифракции в дальней зоне.

3.3 Дифракционные картины от рандомизированных фракталов и расчет их фрактальной размерности.

Выводы по третьей главе.

Глава 4. Результаты имитационного моделирования дифракции на МФС и их верификация по данным натурных экспериментов и аналитических приближений.

4.1 Экспериментальное исследование дифракционных полей от фрактальных объектов.

4.2Результаты имитационного моделирования дифракции света от фрактальных и мультифрактальных зонных пластинок.

4.3 Использование фрактальных масок для визуализации фазовых неоднородностей прозрачных объектов.

Выводы по четвертой главе.

В связи с усложнением функциональных характеристик современных оптических систем и появлением дифракционных оптических элементов (ДОЭ) с фрактальной структурой возникает необходимость развития систем имитационного моделирования дифракционных задач на новом классе объектов. Имитационное моделирование, являясь дополнительным инструментарием исследования задач дифракционной оптики, позволяет снять ограничения, возникающие при проведении натурного эксперимента (например, приборные ограничения регистрации высоких пространственных частот дифракционного спектра), сохраняя возможность учета стохастических факторов и неидеальностей изучаемых структур.

Исследование взаимодействия электромагнитного излучения видимого диапазона с объектами, обладающими фрактальной структурой, имеет важное практическое значение с двух точек зрения. Во-первых, исследование дифракционных полей от фрактальных объектов позволяет выявлять структурные особенности и характерные свойства этих объектов. Во-вторых, дифракция на фрактальных объектах может привести к созданию новых типов волновых фронтов, которые могут стать основой разработки новых оптических элементов. Таким образом, интеграция теории фракталов в оптическую науку позволяет расширить класс существующих ДОЭ, качество которых во многом зависит от результатов предварительного моделирования, как одного из этапов их разработки.

Первые работы по математическому описанию и моделированию дифракции на фрактальных объектах появились в 1990-х гг. Было продемонстрировано, что дифракталы обладают свойствами, которые существенно отличаются от свойств волн, рассеянных на простых геометрических объектах, и их математическое описание имеет ряд особенностей, существенных для традиционного моделирования подобных 4 задач. Большинство работ связано с дифракцией Фраунгофера, и основное внимание в них уделено метрологическому аспекту данной темы, т.е. оцениванию характеристик фрактального объекта при помощи дифракционных распределений. В последние годы появились работы по моделированию дифракции Френеля от фрактальных структур, что привело к разработке фрактальных зонных пластинок (ФЗП), обладающих свойствами мультифокальности.

Целью работы является разработка имитационных моделей дифракции на фрактальных и мультифрактальных структурах (МФС); проверка адекватности разработанных моделей на основе результатов их применения к фрактальным тест-объектам и данных аналитических приближений и натурного эксперимента. Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Модификация существующих математических моделей дифракции применительно к МФС, учитывая корреляционную взаимосвязь между амплитудно-фазовыми и пространственными характеристиками.

2. Разработка и программная реализация алгоритмов генерации регулярных и рандомизированных конструктивных МФС.

3. Разработка эффективных алгоритмов расчета фрактальной размерности регулярных и рандомизированных фракталов на основе разработанных моделей.

4. Разработка информационного, математического и программного инструментария имитационного моделирования.

5. Проверка адекватности имитационных моделей путем сопоставления результатов моделирования с результатами натурного эксперимента и аналитических приближений.

Научная новизна работы диссертационной работы заключается в следующем:

1. Предложены имитационные модели, применимые для оптимизации коэффициента и типа корреляционной связи пространственных и 5 амплитудно-фазовых характеристик МФС; на их основе предложены ДОЭ с улучшенными характеристиками.

2. Численно исследованы свойства дифракционных полей от фазовых МФС, Фурье-образ которых характеризуется преобладанием высоких пространственных частот.

3. Обоснована потенциальная эффективность исследуемых МФС для целей выявления фазовых неоднородностей оптических элементов методами просвечивания через фрактальную маску.

На защиту выносятся:

1. Метод имитационного моделирования, позволяющий исследовать широкий класс дифракционных эффектов на мультифрактальных объектах, включая модель генерации мультифрактального объекта с заданными свойствами.

2. Метод расчета фрактальной размерности подобия регулярных конструктивных фракталов оптическими методами.

3. Количественные оценки эффективности функциональных характеристик ДОЭ с МФС по критериям мультифокальности и мощности высоких пространственных частот.

Структура диссертационной работы отражает весь круг задач, решенных в ходе данного исследования:

Первая глава содержит аналитический обзор существующих методов генерации фрактальных объектов и математических моделей дифракции оптического излучения на фрактальных структурах. Представлен математический аппарат теории фракталов, дана классификация фракталов, введены понятия самоподобия и фрактальной размерности подобия. Рассмотрены основные существующие алгоритмы генерации конструктивных фрактальных объектов: L-системы, системы итерируемых функций (СИФ), методы переписывания строк (String Rewriting System), матрицы Адамара, произведения Кронекера.

В результате аналитического обзора существующих математических моделей и результатов экспериментальных исследований дифракции Френеля и Фраунгофера от объектов, обладающих свойствами самоподобия, представленного в первой главе, выявлено, что модели дифракции построены только для ограниченного числа простых в генерации фрактальных объектов. Рассмотрены особенности дифракционных полей от фрактальных объектов, которые были обнаружены в проведенных ранее исследованиях. Рассмотрены существующие методы оценки фрактальной размерности по дифракционной картине Фраунгофера.

Вторая глава посвящена разработке имитационных моделей дифракции света. На основе теории моделирования систем определены этапы разработки моделей, требования, предъявляемые к современным системам моделирования и особенности имитационного моделирования. Рассмотрены возможности модернизации одной из современных систем оптического моделирования - программного обеспечения У]гШа1ЬаЬ компании 1^ЬИгап8, объединяющего концепции проектирования оптических систем и теории электромагнитного поля. В главе приведено описание разработанных оригинальных проблемно-ориентированных программных модулей дифракции оптического излучения на МФС, интегрируемых в данную программу.

Третья глава посвящена разработанному комплексу проблемно-ориентированных программных модулей, предназначенному для построения моделей контурных, поверхностных фракталов и МФС, задания корреляционной связи между пространственными и амплитудно-фазовыми характеристиками МФС. Также, в этой главе описаны разработка математических моделей дифракции на фрактальных структурах и проверка адекватности разработанных имитационных моделей дифракции на основе их применения к фрактальным тест-объектам.

Четвертая глава посвящена описанию проверки адекватности имитационных моделей по результатам данных аналитических приближений и натурного эксперимента, а также апробации разработанных моделей на МФС. Приведены количественные оценки эффективности использования ДОЭ с МФС, приведено обоснование применимости МФС для обнаружения фазовых неоднородностей прозрачных объектов.

В заключении сформулированы основные результаты проведенных исследований.

Выводы по четвертой главе

1. Проведена проверка адекватности разработанных моделей на основе верификации данных натурного эксперимента и результатов аналитических приближений.

2. Проведено комплексное исследование дифракционных световых полей от фрактальных и мультифрактальных объектов.

3. Моделирование дифракции Френеля от ФЗП позволило выявить, что использование ФЗП позволяет минимизировать хроматические аберрации при их освещении белым светом.

4. Значение коэффициента корреляции амплитудно-фазовых и пространственных характеристик ФЗП влияет на положение главного фокуса.

5. Показано, что дифракционный спектр фрактала обладает большей мощностью высоких пространственных частот по сравнению с двумерным периодическим объектом; в свою очередь, спектр МФС обладает большей мощностью высоких пространственных частот по сравнению с фрактальным объектом.

6. Предложено использовать фрактальные и мультифрактальные объекты для визуализации фазовых неоднородностей прозрачных объектов.

Заключение

В данной диссертационной работе были разработаны имитационные модели дифракции света на фрактальных и мультифрактальных объектах, а также выполнена проверка адекватности разработанных моделей на основе результатов их применения к фрактальным тест-объектам и данных аналитических приближений и натурного эксперимента. Комплексное исследование дифракционных световых полей от МФС с помощью разработанных имитационных моделей позволили выявить новые свойства и особенности ДОЭ, обладающих фрактальной и мультифрактальной структурой.

В ходе работы получены следующие результаты:

1. Разработан метод имитационного моделирования, позволяющий исследовать широкий класс дифракционных эффектов на мультифрактальных объектах.

2. Впервые разработаны модели и исследованы свойства амплитудно-фазовых мультифрактальных структур и на их основе предложены ДОЭ с улучшенными характеристиками (мультифрактальные дифракционные решетки и мультифрактальные зонные пластинки);

3. Разработан комплекс проблемно-ориентированных модулей, позволяющий генерировать конструктивные мультифракталы с различными параметрами, производить расчет фрактальной размерности изображений оптическим и сеточным методами;

4. Разработанный алгоритм расчета фрактальной размерности регулярных фракталов не требует априорного знания фактора структуры дифракционной картины.

5. Проведено комплексное исследование дифракционных световых полей от фрактальных и мультифрактальных объектов.

6. Показано, что ФЗП обладают свойством мультифокальности, а их использование позволяет уменьшить хроматические аберрации, возникающие при их освещении белым светом. Продемонстрировано, что на положение главного фокуса мультфрактальной зонной пластинки влияет амплитудно-фазовый коэффициент корреляции МФС.

7. Приведены количественные оценки эффективности функциональных характеристик ДОЭ с МФС по критериям мультифокальности и мощности высоких пространственных частот. Предложено использовать мультифрактальные объекты для визуализации фазовых неоднородностей прозрачных объектов.

Полученные в ходе работы результаты дают основание определить дальнейшее направление исследований по данной тематике:

1. Экспериментальное подтверждение полученных результатов моделирования.

2. Поиск эффективных значений коэффициентов корреляции амплитудно-фазовых и пространственных характеристик МФС с целью создания ДОЭ нового типа.

Полученные в ходе работы результаты опубликованы в шести работах, четыре из которых входят в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

1. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Красота фракталов. М.: Мир, 1993. 206 с.

2. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М.: Логос, 2002. 664 с.

3. Cohen N. Fractal Antennas // Communications Quarterly. 1995. P. 7-22.

4. Мандельброт Б. Фракталы в физике. М.:Мир, 1988. 672 с.

5. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. М.: Мир, 1991. 254 с.

6. Berry M.V. Diffractals //J. Phys. A: Math. Gen. 1979. №12. P. 781-797.

7. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: «Институт компьютерных исследований», 2002. 500 с.

8. Lauwerier Н. Fractals, images of chaos. London: Penguin Books, 1991. 209 p.

9. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 160 с.

10. Жиков В.В. Фракталы // Соросовский образовательный журнал. 1996. №12. С.109-117.

11. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 128 с.

12. Statistical physics and physiology: monofractal and multifractal approaches / H.E. Stanley et al. // Physica A. 1999. V. 270. P. 309.

13. Harte D. Multifractals: theory and application. Chapman, 2001. 248 p.

14. Яблоков М.Ю. Определение фрактальной размерности на основе анализа изображений//Журнал физической химии. 1999. №2. Т. 73. С. 214-218.

15. Rozenberg G., Salomaa A. Lindenmayer Systems: Impacts on Theoretical Computer Science, 2002. 514 p.

16. Barnsley M.F. Fractal Image Compression //Notices of the AMS. 1996. P. 657-662.

17. П.Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979. 512 с.

18. Lacunarity definition for ramified data sets based on optimal cover / C.R. Tolle et al. //PhysicaD. 2003. V. 179. Issues 3-4. P. 129-152.

19. Monsoriu J., Saavedra G., Furlan W. D. Fractal zone plates with variable lacunarity// Optics express. 2004. V. 12. № 18. P. 4227-4234.

20. Allain C., Cloitre M. Optical diffraction on fractals // Phys. Rev. 1983. V. 33 №5. P. 3566-3569.

21. Uozumi J., Kimura H., Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals // Journal of modern optics. 1990. V.37. № 6. P.1011-1031.

22. Шафаревич И.Р., Ремизов A.O. Линейная алгебра и геометрия. М.: Физматлит, 2009. 512с.

23. Weisstein E.W. String Rewriting System. URL: http://mathworld.wolfram.com/StringRewritingSystem.html (дата обращения 10.06.2010)

24. Melnikov G.S. Gnoseology of fractality fractal optics // Proc. SPIE. 1997. V. 3010. P. 58-68.

25. Нелепец A.B., Тарлыков В.А. Иследование дифракционного поля, формируемого фрактальными дифракционными структурами // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2007. №37. С.284-292.

26. Нелепец А.В., Тарлыков В.А. Формирование дифракционного поля в ближней зоне над поверхностью фрактального элемента // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2007. №43. С.242-247.

27. Пат. 2200968 РФ. Оптический фрактально-матричный фильтр и применение оптического фрактально-матричного фильтра для защиты глаз/И.Н. Серов; опубл. 2003.03.20

28. Jaggard A. D., Jaggard D. L. Scattering from Fractal Superlattices with Variable Lacunarity //J. Opt. Soc. Am. A15. 1998. P. 1626-1635.

29. Berry M.V. Difractals // J. Phys. A. 1979. V.12, № 6. P. 781 797.

30. Sakurada Y., Uozumi J., Asakura T. Scaling properties of Fresnel diffractionfield by regular fractals // Pure Applied Optics 3. 1994. P.371-380.128

31. Schmidt P. W., Dacai X. Calculation of the small-angle x-ray and neutron scattering from nonrandom fractals // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 560-566.

32. Uozumi J., Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals: the dimensionality//Journal of Modern Optics. 1999. V. 38. N. 7. P. 1335-1347.

33. Uozumi J., Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals // Journal of Modern Optics. 1995. V. 37. N. 6. P. 1011-1031.

34. Diffraction by an optical fractal grating / B. Hou et al. // Appl. Phys. Lett. 2004. V. 85. P. 6125-6127.

35. Koch fractals in physical optics and their Fraunhofer diffraction patterns / P. Horvath et al. // 2010. Optik. V. 121. P. 206-213.

36. Боголюбов A.H., Петухов A.A., Шапкина H.E. Оптическая дифракция на фрактальных дифракционных решетках // Вестник Московского университета. 2008. №2. С.11-14.

37. Alieva Т., Calvo M.L. Paraxial diffraction on structures generated by multiplicative iterative procedure // Journal of optics A. 2003. P.323-326.

38. Fresnel diffraction by deterministic fractal gratings: an experimental study/D. Rodriges Merlo et al. // Оптика и спектроскопия. 2003. T.95. С. 131-133.

39. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 856 с.

40. Cantor-like fractal photonic crystal waveguides / Monsoriu J.A. et al. // Optics Communications. 2005. №252. P. 46-51.

41. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 1997. 320 с.

42. Торшина И.П. Компьютерное моделирование оптико-электронных систем первичной обработки информации. М.: Логос, 2009. 248 с.

43. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие / под ред. П. В. Трусова. М.: Логос, 2004. 439 с.

44. Строгалев В. П., Толкачева И. О. Имитационное моделирование : учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. 276 с.

45. Дьяконов В.П. VisSim+Mathcad+Matlab. Визуальное математическое моделирование. М.: СОЛОН-Пресс, 2010. 384 с.

46. Дьяконов В.П. Энциклопедия Mathcad 2001i. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 832 с.

47. Матвеев А.Н. Оптика. М.: Высшая школа, 1985. 351 с.

48. Технология Java. URL: http://iava.com/ru/about/ дата обращения: 10.06.2010.

49. Колмогоров K.A., Музыченко Я.Б., Стафеев С.К.Разработка программных учебно-методических комплексов (УМК) на примере образовательного курса «Волновая и квантовая оптика» // Компьютерные инструменты в образовании. 2004. №2. С. 34-38.

50. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. М.: «Мир», 1970. 364 с.

51. Wyrowski F., Schimmel H.Electromagnetic optical engineering an introduction // Photonik. № 6.2006. P.50-55.

52. Optical modeling beyond ray tracing. URL: www,lighttrans.com дата обращения 1.9.2010.

53. Wyrowski F. Bryngdahl O. Digital holography as part of diffractive optics// Report on Progress in Physics. 1991. V. 54. Iss. 12. P. 1481-1571.

54. Музыченко Я.Б. Моделирование оптических явлений при помощи программного обеспечения VirtualLab // Компьютерные инструменты в образовании. 2010. №3. С. 45-52.

55. Сойфер В.А. Введение в дифракционную микрооптику. Самара. 1996. 94 с.

56. Расчет фрактальной размерности регулярных фракталов по картине дифракции в дальней зоне / Зинчик А.А., Музыченко Я.Б., Смирнов А.В., Стафеев С.К. // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2009. №2. С. 17-24.

57. Wang S., Zhang X. Terahertz tomographic imaging with a Fresnel lens // Opt.

58. Photon. News. 2002. № 13. P. 53-55.130

59. Wang S., Yucon W., Jacobsen C. Achromatic Fresnel optics for wideband extreme-ultraviolet and X-ray imaging // Nature. 2003. № 424. P. 50-53.

60. Quantum fractal superlattices / J. A. Monsoriu et al. // Am. J. Phys. 749. 2006. P. 831-836.

61. Saavedra G., Furlan W.D., Monsoriu J.A. Fractal zone plates // Opt. Lett. 28, 2003. P. 971-973.

62. Fractal generalized zone plates/ O. Mendoza-Yero et al. // J. Opt. Soc. Am. A. 2009. Vol. 26. No. 5. P. 1161-1166.

63. Diffraction by Cantor fractal zone plates / J. A. Rodrigo et al. //Journal of Modern Optics. 2005.Vol. 52. N. 18. P. 2771 2783.

64. Музыченко Я.Б, Зинчик А.А., Стафеев C.K. Фокусирующие свойства фрактальных зонных пластинок // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2010. №6. С. 22-27.

65. Multifractal zone plates / F. Giménez // JOSA A. 2010. V. 27. Iss. 8. P. 17641769.

66. Monsoriu J. A., Saavedra G., Furlan W. D. Fractal zone plates with variable lacunarity // Opt. Express. 2004. V.12. №18. P. 4227-4234.

67. Huang J. G., Christian J. M., McDonald G. S. Fresnel diffraction and fractal patterns from polygonal apertures// J. Opt. Soc. Am. A. 2006. V. 23. №.11. P. 2768-2774.

68. Gueriny C.-A., Holschneiderz M. Scattering on fractal measures// J. Phys. A: Math. Gen. 1996. V. 29. P. 7651-7667.

69. Uno K., Uozumi J., Asakura T., Stastical propereties of the Fraunhofer diffraction field produced by random fractals// Applied Optics. 1993. Vol. 32. № 15. P. 2722-2729.

70. Muzy J.F., Pouligny B. Optical-diffraction measurement of fractal dimensions and f(a) spectrum. Phys. Rew. A. 1992. V. 45. №.12.

71. Осин А. В., Смольский C.M., Шелухин О.И. Самоподобие и фракталы.

72. Телекоммуникационные приложения. М.: Физматлит, 2008. 368 с.131

73. Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. М.: ЛКИ, 2010. 282 с.

74. Fractal photon sieve / F. Giménez et al.// Optics Express. 2006. V.14 P. 11958-11963.

75. Angelsky O., Kovalchuk A., Maksimyak P. On the feasibility of diagnostics of one-dimensional amplitude fractals // Journal of optics A: Pure and Applied Optics. V. 3.2001. P.34-38.

76. Васильев JI.A. Теневые методы. М.: Наука, 1968. 400 с.

77. Саламандра Г.Д. Фотографические методы исследования быстропротекающих процессов. М.: Наука, 1974. 141 с.

78. Кирилловский В.К., Ле Зуй Туан. Разработка алгоритмического и программного обеспечения для аппаратуры контроля качества изображения оптических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т.50. №7. С. 52-56.

79. Кирилловский В.К. Оптические измерения. Часть 4. СПб.: изд. СПбГУ ИТМО, 2005. 88 с.

80. Ляликов A.M. Серенко М.Ю. Применение голографической интерферометрии при визуализации прозрачных неоднородностей методом расфокусированной решетки // Оптика и спектроскопия. 2004. Т. 76. С. 810-813.

81. Ляликов A.M. Серенко М.Ю. Визуализация сложных фазовых объектов системой расфокусированных решеток // Оптика и спектроскопия. 1995. Т.78. С. 144-147.

82. Ляликов A.M. Серенко М.Ю. Повышение чувствительности измерений голографическими методами за счет нелинейной регистрации расфокусированных решеток//Оптика и спектроскопия. 1995. С. 687-690.

83. Ляликов A.M. Буть А. И. Визуализация оптических неоднородностей при оптической обработке искаженного изображения периодической структуры с использованием пространственной фильтрации // Квантовая электроника. 1996. Т. 23. № 4. С. 365-376.

84. Кравченко В.Ф., Рвачев В. Л., Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. М.: Физматлит. 2006. 416 с.

85. Сойфер В.А. Компьютерная обработка изображений Ч. 2//Соровский образовательный журнал, № 3. 1996. С. 110-121.

86. Кольер А.К., Беркхард К., Лин Л. Оптическая голография //М.:, Мир, 1973. 450 с.

87. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. 192 с.

88. Суетин П.К. Методы фильтрации финитных дискретных сигналов. М.: Физматлит. 2008. 144 с.

89. Бекетова А.К., Белозеров А.Ф., Березкин А.Н. и др. Голографическая интерференция фазовых объектов. Л:, Наука, 1979. 232 с.

90. Антипов О.И., Неганов В.А., Потапов А.А. Детерминированный хаос и фракталы в дискретно-нелинейных системах. М.: Радиотехника. 2009. 240 с.

91. Ильяшенко Ю.С. Аттракторы и их фрактальная размерность. МЦНМО: 2005. 16 с.

92. High efficiency multilevel phase-type fractal zone plates / D. Wu et al. // OPTICS LETTERS. 2008. V. 33. №. 24. P.2913-2915.

93. Optical filters with fractal transmission spectra based on diffractive optics / Mendoza-Yero et al. // Optics Letters. 2009. V. 34. P. 560-562.

94. Шредер M. Фракталы, хаос, степенные законы. М.: 2001. 528 с.

95. Wada N., Uozumi J., Asakura T. Effects of random noise on bispectra of fractal objects //Pure Appl. Opt., 1995. № 4. P. 857-861.

96. Sequence of focused optical vortices generated by a spiral fractal zone plate / S. H. Tao et al.// Applied Physics Letters. V. 89. Issue 3. 2006. P.105-108.

97. Funamizu H., Uozumi J. Generation of fractal speckles by means of a spatial light modulator//Optics Express. 2007. V.15. No. 12. P. 7415-7422.

98. Ledesma S.A., Iemmi C.C., Brudny V.L. Scaling properties of the scattered field produced by fractal gratings // Optics Communications. 1997. P.292-298.

99. Alieva Т., Agullo-Lopez F. Optical wave propagation in fractal fields // Optics Communications. 1996. V. 125. P.267-274

100. Berger D., Chamaly S., Perreau M. Optical diffraction of fractal figures: random Serpinski carpets // J. Phys. I france. 1991. V. 1. P.1433-1450.

101. Кроневер P.M: Фракталы и хаос динамических систем. М.: Постмаркет, 2000. 464 с.

102. Furlan et al. White-light imaging with fractal zone plates// Optics Letters, 2007. V. 32. Issue 15. P.2109-2111

103. Ваврив Д.М., Рябов В.Б. Фрактальная, размерность: проблемы вычисления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989. Т.29. С.987-999.

104. Ducourtieux S. Percolation and Fractal Composites: Optical Studies// Journal of Nonlinear Optical Physics and Materials. 2000. V. 9. P. 105-116.

105. Стюард И.Г. Введение в Фурье оптику. М: Мир, 1985. 182 с.

106. Lehman М. Fractal diffraction gratings built through rectangular domains. // Optics Communications. 2001.V.195. P.ll-26.

107. Davis J., Sigarlaki S., Craven J., Calvo M.L. Fourier series analysis of fractal lenses: theory and experiments with a liquid-crystal display// Appl. Opt. 45,2006. P.l 187-1192.

108. Anselmo D., Dantas A. L. A multifractal analysis of optical phononexcitations in quasicrystals// Physica A. 2006. V. 362. Issue 2. P. 289-294.134

109. Zunino L. et al. Performance of encryption schemes in chaotic optical communication: A multifractal approach // Optics Communications. 2009. V.282. P. 4587-4594.

110. Trabocchi O., Granieri S., Furlan W., Optical propagation of fractal fields. Experimental analysis in a single display// Journal of Modern Optics. 2001. V. 48. P.1247-1253

111. Alieva T. Optical wave propagation of fractal fields// Optics Communications. 1996. V. 125.1. 4-6. P. 267-274

112. Dmitriev S. V., Kivshar Y. S., Shigenari T. Fractal structures and multiparticle effects in soliton scattering//Phys. Rev. E, 2001. V. 64.1. 5.

113. Anselmo D.et al. Localization and fractal spectra of optical phonon modes in quasiperiodic structures//Physica A. 2005. V. 349. Issue 1-2. P. 259-270.

114. Perminov S. V., Rautian S. G., Safonov V. P. On the theory of optical properties of fractal clusters// Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2004. V. 98.1. 4. P. 691-704.

115. Huang, J. G.; Christian, J. M.; McDonald, G. S. Fresnel diffraction and fractal patterns from polygonal apertures // Journal of the Optical Society of America A. 2006. V. 23. P. 2768-2774.

116. Chabassier G. et al. Optical wave diffraction on fractal objects// Pure and Applied Optics. 1992. V. 1. Issue 1. P. 41-54.

117. Giménez F. Fractal photon sieve// Optics Express. 2006. V. P. 11958-11963.

118. Sánchez N.et al. Fractal Dimension of Interstellar Clouds: Opacity and Noise Effects// The Astrophysical Journal. 2007. V. 656. Issue 1. P. 222-226

119. Wave propagation through Cantor-set media: Chaos, scaling, and fractal structures / Esaki Kenta et al.// Physical Review E. 2005. V. 79. P 226-255.

120. Зосимов B.B., Лямшев JI.M. Фракталы в волновых процессах // УФН,1995, №4, стр. 361-401.