автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Гиббсовская модель гауссовских случайных полей. Математическая модель переноса излучения в случайной среде

На правах рукописи

АВЕТИСЯН МИША ГРАНТОВИЧ

ГИББСОВСКАЯ МОДЕЛЬ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сургут-2006

Работа выполнена по кафедре высшей математики Сургутского государственного университета ХМАО

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

кандидат физико-математических наук, доцент

Ведущая организация: г. Москва Институт проблем передачи информации РАН.

Защита состоится «22» сентября 2006 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета КМ 800.005.02 в Сургутском государственном университете по адресу: 628400, г. Сургут Тюменской обл., ул. Энергетиков, 14, зал заседаний ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сургутского государственного университета.

Автореферат разослан « 10 » июля 2006 г.

Назин

Георгий Иванович

Галкин

Валерий Алексеевич Мосягин

Вячеслав Евгеньевич

Ученый секретарь Диссертационного совета к.т.н., доцент

Ф.Ф. Иванов

I№1 = maxjt//í)| ■

Пусть Y{U) сХ множество функции х — í € Zv) такая, что х, е Л" и

tez"

Введем гиббсовскую плотность

pw(ijx) = Zv' (х)ехр {- (xv/x)}.

где

НЧи (xv/x) = £ (t/(f - ,х,) +1X)(f/(o)i„ ) +

(s.l)D>

SEV

E u(t-S)x,

tez" л

И

г»Сх)= / ехр{-я(,*У)(*,/*)}(К,.

(«" Г

Будем называть векторное случайное поле с распределением вероятностей Р(И, СУ) гиббсовским, если

Р(У(Ц)) = 1

и при любом V 6 существует условная плотность р\{/К) и для Р - почти всехх е Хи Рч{-/Х) - почти всех ху £ (л")"

Пусть СУ) с -А" множество всех функций а = (а,, г е е X таких, что

^U{t-s)a, = € Zv.

iezv

Будем называть сверткой Р = Р\ • Р2 двух распределений вероятностей случайных полей распределение вероятностей

Р(Л) = fp1•(A)p2(da),AeB.^

л

В § 2.5 дается формулировка и доказательство основной теоремы первой главы.

Теорема 2.3. Для того, чтобы совокупность (Л, £/)-гиббсовских полей была не пуста необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

§ оо

К «Г

и множество А(к, Ц) было не пусто. При этом распределении вероятностей Р будет (Л, Ц) — гиббсовским в том и только том случае, когда Р = Р^ • Р1, где распределение вероятностей Рх такое, что

В главе 3 рассматривается задача о рассеивании света в однородной среде. Пусть имеется одномерная среда [0, оо) и со стороны границы {0} на среду падает квант. Будем считать, что при элементарном акте рассеивания, происходящем в среде квант проходит расстояние т с вероятностью е~т. После поглощения кванта средой он с вероятностью Л, 0 < \ < 1 излучается обратно в среду. С вероятностью 1 квант излучается в сторону границы {0}.

2

В § 3.1 описывается пространство £2 всевозможных траекторий кванта, входящего в среду [0, со) через границу {0}. На пространстве £2 строится борелевская а-алгебра В и задается мера т(с1со). Каждой траектории сопоставляется некоторое вещественное число /(со), которое будем называть длиной траектории со, со £ Л.

В § 3.2 задается распределение вероятностей на пространстве £2. Доказывается (см. лемма 3.1), корректность такого введения. Плотность р\(со) этого распределения вероятностей относительно меры т(с1а>) задается формулой

л И =

. \Л/(ш>

2 J

ЛГ(ш)-1

при со € Г22

■'Им ,, _ 02

при Ш £ II

при N ( СО) = О

где X е (0.1), Л^со) число точек поглощения в траектории со.

N

т =

N

сое о.2 N(£0) = О

1-1

о

где N = N((0), Хо = 0, а X; е [0, со), 1 = 1,2, ..., N. точка поглощения в траектории со е П.

В § 3.3 доказывается следующая

Теорема. При X е (0-1) имеет место равенство Рх ^ = ;г] ¡2-Х - 2\1\ - X) ^де О1 — это множество всех траекторий, которые выходят из среды [0, со) через границу {0}.

Вероятность Р\ (О1) будем называть вероятностью выхода кванта из среды [0, со).

В § 3.4 рассматривается неоднородный случай, т.е. предполагается, что вероятность выживания кванта является случайной функцией Х(х), х е (0, оо), такой, что при любом х0 е [0, оо) случайная величина Х(ха) имеет плотность /(X) и среднее значение не зависит от х0 е [0, оо).

■

5С =

Вводится обобщенное пространство траекторий (О, В) и с помощью плотности распределения

р(со):

-ЛК^ при со € Я1

«Р» «ей2

о

при 7/(ш) = О

вводится распределение вероятностей на (О.,В) Здесь ф(Х.Д,_] ... -

условные плотности случайной величины Х(х,) при условии Цх, _ 0 =

= Л.,_1,/= 1.....1.

При некоторых дополнительных условиях для вероятности выхода кванта Р\(Ь}) получается следующий результат:

где

О(в')

соли/ при е —+ 0.

Здесь е — это радиус корреляции случайного процесса Л(х), 6 [0, со).

В § 3.5 получаем формулу для среднего числа рассеяния кванта в однородной среде:

дк

ю

Актуальность темы. Теория гиббсовских случайных полей с непрерывным множеством значений вызывает большой интерес. Некомпактность пространств состояний требует вообще говоря введения потенциалов с весьма экзотическими свойствами. Получить полное описание гиббсовских полей с таким потенциалом, приводит к существенным трудностям. Поэтому представляется интересным рассмотреть частный случай линейно-квадратичного потенциала, приводящий к гауссовским случайным полям. Такие поля могут быть исследованы довольно полно. Метод построения гиббсовских полей дает пример математического моделирования задач в других областях физики.

Теория переноса лучистой энергии представляет собой важнейший раздел теоретической астрофизики. С проблемой переноса излучения мы встречаемся также в геофизике (при изучении земной атмосферы и водных бассейнов).

В теории переноса излучения широко применяются вероятностные методы исследования. Математическое обоснование вероятностных методов теории переноса излучения представляет не только чисто математический интерес, но и может способствовать адекватному математическому описанию новых, более сложных задач переноса (например, задач переноса в случайно неоднородных средах).

Цель работы.

1. Показать, что векторные гауссовские поля являются гиб-бсовскими случайными полями с линейно-квадратичным потенциалом, при некоторых дополнительных условиях.

2. Математическая постановка и решение одной задачи теории переноса, а именно диффузное отражение кванта от одномерной полубесконечной среды [0, оо).

Метод исследования. Здесь применены методы линейной теории случайных процессов и теории меры.

Научная новизна

1. Сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие линейной-регулярности векторного случайного поля в терминах его спектральной меры.

2. Сформулировано и доказать необходимое и достаточное условие, когда гауссовские случайные поля являются гиббсовскими полями.

3. Разработан новый метод решения задач случайного блуждания в непрерывной среде, т.е. диффузное отражение кванта от одномерной непрерывной среды [0, со).

4. При некоторых дополнительных условиях решена задача диффузного отражения кванта от случайной среды.

На публичную защиту выносится:

1. Формулировка и доказательство необходимого и достаточного условия линейной-регулярности векторного случайного поля в терминах его спектральной меры.

2. Формулировка и доказательство необходимого и достаточного условия когда векторные гауссовские случайные поля являются гиббсовскими полями.

3. Разработка нового метода решения задач случайного блуждания в непрерывной среде, т.е. диффузное отражение кванта от одномерной непрерывной среды [0, со).

4. Решение одной задачи диффузного отражения кванта от случайной среды.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научно-исследовательском семинаре Бюраканской обсерватории под руководством В.А. Амбарцумяна и Добрушин-ской математической лаборатории (Институт проблем передачи информации РАН).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы. Одна из которых — в соавторстве с Р.Л. Добрушиным. В совместной работе [2] автору принадлежат пункты 1, 2, 3, 4, 5.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав, которые делятся на 10 параграфов. Нумерация утверждений двойная: например теорема 2.1. является первой теоремой главы 2. Нумерация формул в каждой главе отдельна. Общий объем диссертации 65 страниц, список литературы содержит 30 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель исследования, излагаются тезисы, характеризующие научную новизну и практическую значимость работы, формулируются основные положения, выносимые на публичную защиту. В первой главе дается краткий обзор литературы, которая была использована при написании диссертации.

Вторая глава посвящена гауссовским-гиббсовским векторным случайным полям. Третья глава — диффузному отражению кванта от одномерной среды, параметры которого либо постоянны, либо случайны.

В § 2.1 дается описание векторных случайных полей ^ = = = ../'Л* е 2"}на целочисленной решетке Zv.

В § 2.2 приводятся некоторые результаты из теории векторных стационарных случайных полей, необходимые для дальнейшего изложения. Строятся гильбертовы пространства Hv, порожденные случайными величинами t е v, v с: 2?.

В § 2.3 рассматриваются линейно-регулярные векторные случайные поля, т.е. поля, для которых выполняется условие

П Нг\, = 0.

VCZV у-конечно

Доказывается теорема о необходимом и достаточном условии регулярности векторных случайных полей в терминах спектральной меры. Для того, чтобы векторное случайное поле ^ = (В, = со спектральной мерой F(-) было линейно-регулярным необходимо и достаточно совместное выполнение следующих трех условий:

1. Мера F(-) абсолютно непрерывна;

2. При почти всех X е (-71, 7t]v ранг матрицы ДА.) принимает некоторое постоянное значение т, где ДА.) спектральная плотность поля

3. Существует т тригонометрических вектор-полиномов Tj(X) = {Tjic, k= 1, ..., n},j = 1, 2, ... m таких, что для почти всех А. е (-7i,7t]v ранг матрицы Т(Х) = \Tjk (X)}y-i.....„ равен m и сходятся

интегралы

f ((Tj(X)/-1 (X))', Tj (X)) dk, j = 1,2,..., m,

где (Tj(X) /"'(A.))* = bj{X) — единственный вектор из FR" такой, что 6/А.) F(X) = T/k)j = 1.....m.

В § 2.3 рассматривается и линейно-сингулярные случайные поля. Поле t е называется линейно-сингулярным, если

П #2-1,,= Я,

п € иУ

где Н = НГ.

В этом параграфе доказывается теорема об условиях сингулярности векторного случайного поля:

Для того чтобы векторное случайное поле 2, было линейно-сингулярным необходимо и достаточно, чтобы для любого не равного тождественно нулю тригонометрического вектор-полинома Т(Х) такого, что Т(Х) е К(к) для почти всех по мере Лебега X б (-л, и]4' выполнялось условие

/ {т<мгЩ'т<№к,=оо,

(-«.»Г

где ЛХ) плотность абсолютно непрерывной компоненты спектральной меры

В конце параграфа рассматривается стационарное в широком смысле векторное обобщенное случайное поле \ = ф е определенное на пространстве Щ1С) быстро убывающих функций. Поле называется линейно-регулярным если

П ЯЛЛу = О,

V - компактно

где Ну, V с 1С - пространство, порожденное величинами у = = 1,2, ..., и для которых носитель лежит в V.

Спектральной мерой такого поля является мера умеренного роста со значениями в Г„ на ст-алгебре В борелевских подмножеств множества 1С.

Формулировки и построение в этом случае в основном параллельны соответствующим формулировкам и построениям для дискретного случая.

В § 2.4 дается описание гиббсовских полей с линейно квадратичным потенциалом. Пусть И е 1С, а (7(0, / е / матричная функция размерность п ■ п такая, что Щг) = Щ-с) и

ЕИ'>||<оо, »ег*

где норма матрицы определяется как

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Аветисян М.Г. Векторные гауссовские гиббсовские случайные поля // Известия. АН Арм. ССР. - 1983. - XVIII, № 5. - С. 5-23.

2. Аветисян М.Г., Добрушин P.JI. Условие линейной регулярности векторных случайных полей // Проблемы передачи информации. - 1985. - I. XXI, вып. 4. — С. 76-82.

3. Avetisian М.Н., A. Mathematicol model for one transfer problem // Integral Eg. Math. Phys. - 1992. - Vol. 1, № 1.

4. Аветисян М.Г. Об одной задаче переноса при случайных изменениях локальных свойств среды // Известия АН Арм. ССР. Физика. - 1989. - Т. 24, вып. 4. - С. 182-187.

Аветисян Миша Грантович

ГИББСОВСКАЯ МОДЕЛЬ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Оригинал-макет подготовлен в редакционном отделе издательского центра СурГУ. Тел. (3264) 23-25-75.

Подписано в печать 03.07.2006 г. Формат 60x84/16. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,7. Уч.-изд. л. 0,6. Тираж 100. Заказ № 67.

Отпечатано полиграфическим отделом издательского центра СурГУ. г. Сургут, ул. Лермонтова, 5. Тел. (3462) 32-33-06

Сургутский государственный университет 628400, Россия, Ханты-Мансийский автономный округ, г. Сургут, ул. Энергетиков, 14.

Введение 3стр.

Глава 1. Краткий обзор литературы 13стр.

Глава 2. Гиббсовская модель гауссовских случайных полей

2.1 Векторные случайные поля 20стр.

2.2 Гауссовские векторные поля 25стр.

2.3 Линейно регулярные векторные случайные поля 27стр.

2.4 Гиббсовские поля с линейно квадратичным потенциалом 39стр.

2.5 Основная теорема второй главы 43стр.

Глава 3. Математическая модель переноса излучения в случайной среде

3.1 Пространство траекторий 48стр.

3.2 Распределение вероятностей на пространстве траекторий 50стр.

3.3 Теорема о вероятности выхода кванта из среды 52стр.

3.4 Случай, когда вероятность выживания кванта является случайной функцией 56стр.

3.5 Среднее число точек рассеяния 62стр. Литература 63стр.

Теория гиббсовских случайных полей с непрерывным множеством значений вызывает большой интерес. Некомпактность пространств состояний приводит к дополнительным трудностям, и получить полное описание гиббсовских полей данным потенциалом здесь трудно. Поэтому представляется интересным рассмотреть частный случай линейно-квадратичного потенциала, приводящий к гауссовским случайным полям.

Марковские гауссовские случайные поля были рассмотрены еще в работе Розанова [4] (см. также работу Чея [7]). В статье Добрушина [1] был подробно изучен общий класс гиббсовских полей с линейно-квадратичным потенциалом, включающий гауссовские-гиббсовские поля и в частности марковские гиббсов-ские случайные поля. Эти исследования были продолжены в статье Кюнша [11]. Во всех цитируемых работах рассматривались случайные поля со скалярными значениями.

Вторая глава этой работы посвящена распространению этих результатов на векторный случай. Здесь применены традиционные методы линейной теории случайных процессов, а также был получен новый результат для линейно-регулярных векторных случайных полей. Сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие регулярности векторного случайного поля в терминах его спектральной меры. В скалярном случае эта задача была решена Розановым [4]. Оказалось, что рассматриваемая здесь задача существенно легче аналогичной задачи об условиях векторного процесса в обычной «одностроной >1 формулировке».

В диссертационной работе также приводится условие сингулярности векторных случайных полей. Эти результаты распространяются для обобщенных случайных полей.

Теория переноса лучистой энергии представляет собой важнейший раздел теоретической астрофизики. С проблемой переноса излучения мы встречаемся также в геофизике (при изучении земной атмосферы и водных бассейнов).

В теории переноса излучения широко применяются вероятностные методы исследования. К ним относятся известный метод Соболева [18], вероятностная трактовка операторов отражения и пропускания, применяемые в сочетании с принципом инвариантности Амбарцумяна [19].

Следует отметить, что до сих пор эти методы использовались на «физическом уровне строгости». Математическое обоснование вероятностных методов теории переноса излучения представляет не только чисто математический интерес, но и может способствовать адекватному математическому описанию новых, более сложных задач переноса (например, задач переноса в случайно неоднородных средах).

Задачи теории переноса соответствуют малоизученному классу задач теории вероятностей, а именно задач случайного блуждания в непрерывных средах.

В третьей главе этой работы дается математическая постановка и решение одного класса задач, хорошо известных и изученных в теории переноса. Случай, когда параметры среды постоянны, исследуются довольно полно. В случае, когда вероятность выживания кванта является случайной функцией от среды, ситуация определенно усложняется. Работы, посвященные этому случаю содержат принципиальную ошибку, (см. например [26], [23])

V; ■

В диссертации рассматривается случай, когда радиус корреляции е случайного процесса очень мал, по сравнению с длинной свободного пробега кван- ] та. С точностью е2 получается формула для вероятности выхода кванта.

В работе получена формула для вычисления среднего числа точек рассеяния кванта. По теме диссертационной работы опубликованы 3 печатных работы ([27] - [29]).

Диссертация состоит из трех глав, которые делятся на 10 параграфов. Нумерация утверждений двойная: например, теорема 3.1 является первой теоремой главы 3. Нумерация формул в каждой главе отдельна!* Список литерату- |/ ры содержит 30 наименований.

1. Розанов Ю.А. О Гауссовских нолях с заданными условными распределе- ниями. Теория вероятности и ее нрименение. XII, 3, 1967, 165-202.

2. Н. Helson, D. Loudenslager. Prediction theary and Tourier series in several variables, Acta Mall. 99,3-4,1958.

3. Яглом A.M. Введение в теорию стационарных случайных функций.// УМН 7(5), 1952, 3-168.

4. S.C. Chay. Н.Оп Qausi-Markov random Fields.// J of Multip. Anal 2 №1. 1972,14-76.

5. Дж. Л.Дуб. Вероятностные процессы. - М.: ИЛ, 1956.

6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Наука, 1976.

7. Preston. Random fields Lect. Notss. Math. №534. Springer, Berlin, 1976.

8. H. Kunsch. Termodynamice and statistical analysins of Gaussian random fields. Диссертация.

9. Май ер H.A. Вероятность и потенциалы. - М.: Мир, 1965. 64

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. - М.: Мир, 1965.

11. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1976.

12. Маркус М., Манк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. - М.: Наука, 1972.

13. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. Вып. 4. Некоторые примечания гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы про-странства. М.: Физматгаз, 1961.

14. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. - М.; Мир, 1978. - Т.2.

15. Соболев В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. - М.: ГИТТЛ, 1956.

16. Амбарцумян В.А. Научные труды. - Изд. АН Арм. ССР, 1960. - Т. 1.

17. Енгибарян Н.Б. Нестационарное рассеяние света. Астрофизики. - 1966.- Т.2.-№2.С18-25.

18. Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики. - М.: Наука, 1985.

19. Chandrasekhar S Radiative Transfer. Oxford, 1950.

20. Варданян P.B., Енгибарян Н.Б. Нрименение вероятностных методов в теории переноса со случайными параметрами.// Астрофизика, 1989. -Т.31.-.№31. 37-44

21. Минлос Р.А. Предельное распределение Гиббса. Функциональный анализ и его приложения. - 1967. - Вып.2. // Т.1.-С.60-73.65

22. Халмош П. Теория меры. - М.: ИЛ, 1953.

23. Енгибарян Н.Б., Никогосян А.Г. Диффузное рассеяние света в турбулен- той среде. // Ереван, Юб, конф. Бюриканской обсерватории, 1969. С72-76с.

24. Аветисян М.Г. Векторные гауссовские гиббсовские случайные по- ля/известия. АН Арм. ССР. -1983. - XVIII №5. СЗЗЗ-343.

25. Аветисян М.Г., Добрушин. Р.Л. Условие линейной регулярности вектор- ных случайных полей.// Проблемы передачи информации. -1985. - Вып.4.-XXI.C76-82.

26. М.Н. Avetisian, А. Mathematicol model for one transfer problem.// Integral Eg. Math. Phys. VI №1,1992.

27. Аветисян М.Г. Об одной задаче переноса при случайных изменениях ло- кальных свойств среды. // Известия. АН. Арм. ССР, Физика, 1989. - Т.24.-ВЫП.4.С182-187.