автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.18, диссертация на тему:Разработка алгоритмов восстановления изображений на основе применения гиббсовского описания

1. ВВЕДЕНИЕ.

1.1. Задача восстановления изображений.

1.2. Цели и задачи работы.

2. РАЗРАБОТКА ГИББСОВСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОЛУТОНОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ, ПОДЛЕЖАЩИХ ВОССТАНОВЛЕНИЮ.

2.1. Распределение Гиббса и стохастическая релаксация.

2.2. Разработка гиббсовской модели фрагмента стационарного поля.

2.3. Разработка приближенного гиббсовского описания фрагмента стационарного поля.

2.4. Разработка двухуровневой гиббсовской модели изображения.

2.5. Анализ потенциальной точности алгоритмов компенсации линейных однородных искажений.

Выводы по разделу 2.

3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ, ОПИСЫВАЕМЫХ ГИББСОВСКИМИ МОДЕЛЯМИ.

3.1. Алгоритм компенсации линейных однородных искажений.

3.2. Алгоритм компенсации линейных неоднородных искажений.

3.3. Алгоритм компенсации линейных и нелинейных однородных искажений.

3.4. Алгоритм компенсации шума зернистости фотопленки.

3.5. Алгоритм компенсации размытия цветных изображений.

3.6. Алгоритм компенсации линейных искажений, основанный на двухуровневой гиббсовской модели изображения.

Выводы по разделу 3.

1.1. Задача восстановления изображений

Возрастающая сложность задач, решаемых современными информационными системами, требует поиска и разработки новых подходов для их решения. Это в первую очередь относится к системам сбора и обработки информации. Основная задача таких систем заключается в выделении из поступающего потока информации полезной составляющей. Как правило, обрабатываемая информация представлена в виде одномерных или многомерных сигналов или последовательностей. Выбор способа их описания имеет решающее значение при проектировании информационных систем, поскольку в конечном итоге определяет структуру информационной системы и ее качественные показатели.

Развитие средств регистрации, хранения и отображения информации привело в настоящее время к широкому распространению представления данных в виде дискретных изображений. Такое представление часто оказывается более предпочтительным для восприятия человеком вследствие его большой информативности. Как правило, процесс получения изображений связан с потерей качества. Потери возникают вследствие недоступности непосредственному наблюдению регистрируемых величин, а также из-за несовершенства измерительной аппаратуры. Поэтому актуальной является задача построения алгоритмов, извлекающих полезную информацию из наблюдения, а также алгоритмов, обеспечивающих улучшение качества восприятия поступающей информации.

Общая схема процесса формирования изображения показана на рис. 1.1. Исходное изображение X, называемое также идеальным изображением, содержит в себе ту полезную информацию о некотором явлении или процессе, которую необходимо извлечь из наблюдения [3]. Наблюдаемое 5 изображение Y может быть представлено как результат взаимодействия исходного изображения X и помехи 5 где ¥{•} - оператор, описывающий процесс формирования наблюдаемого изображения. Задача построения оптимальной системы восстановления изображений заключается в нахождении такого оператора Ф{-}, чтобы результат его воздействия на наблюдение

Х = Ф {7} был как можно ближе в смысле некоторого выбранного критерия качества к исходному изображению. ь-< t Y

Рис. 1.1. Схема процесса формирования изображения

Основными видами искажений, возникающих в процессе формирования изображений, являются линейные искажения, приводящие к сужению полосы частот регистрируемых изображений, нелинейные искажения, учитывающие нелинейность регистрирующей среды, а также различного рода шумы, возникающие при проведении измерений [3,42,54]. Сужение полосы частот изображения при его регистрации приводит к визуальному эффекту размытия. Размытие может быть вызвано движением камеры по отношению к регистрируемому объекту [41], несфокусированностью или несовершенством оптической системы [39]. Турбулентность атмосферы также приводит к эффекту размытия при аэрофотосъемке или фотографировании космических объектов в астрономии [32]. Используемые 6 в настоящее время фотохимический и фотоэлектронный методы записи имеют нелинейные зависимости выходного эффекта от интенсивности падающего света, что приводит к возникновению нелинейных искажений [54]. Кроме того, датчики изображения неизбежно вносят в наблюдение шумовую составляющую.

Достаточно общая модель формирования наблюдаемого изображения описывается следующим выражением [4,32,38] у(и,у) = ф( JJ/?(M,v,M1,v1)x(M1,v1)Jw1Jv1j + ^(w,v), (1.1) где x(mj,Vj) - исходное изображение, y(u,v) - регистрируемое изображение.

Эта модель учитывает все основные виды искажений: линейные искажения, описываемые пространственно-зависимой функцией рассеяния точки ФРТ /z^v,^,^); нелинейность отклика регистрирующей среды, описываемую нелинейной функцией ; шум измерений .

Если условия измерений позволяют считать размытие изображения стационарным, то ФРТ линейной искажающей системы h(yu,v,ux,v]) в (1.1) превращается в функцию разности аргументов, а интеграл суперпозиции в свертку

Часто при решении задачи восстановления нелинейностью датчика пренебрегают, что приводит к наиболее простой схеме формирования наблюдаемого изображения \^h(u -ux,v-v1)x(w1,v1)<iM1<iv1 +£(w,v). (1.2)

Кроме перечисленных видов искажений при синтезе алгоритмов восстановления изображений необходимо учитывать ограниченность размеров поля зрения регистрирующих устройств. Вследствие ограниченности поля зрения наблюдению оказывается доступным не все изображение y(u,v), а только его часть.

На основании непрерывной модели формирования изображения (1.1) формулируется дискретная модель наблюдения [32,38] у{т,п) — ф h(m,n,p,q)x(m-p,n-q) p,q)eQh %{т,п). (1.3)

Структурная схема процесса формирования изображения показана на рис. 1.2. х{т,п) h(m,n,p,q) Н-) у(т,п)

Рис. 1.2.Структурная схема процесса формирования изображения

Дискретная ФРТ h[m,n,p,q) линейной искажающей системы в общем случае может иметь бесконечную протяженность, однако в дальнейшем будем предполагать, что ФРТ задана на симметричном прямоугольном носителе Qh размерами (2Ph +1) х (2Qh +1)

Q h = {{p,q):-Ph<p<Ph-Qh<q<Qh}.

Такое ограничение является допустимым для большинства встречающихся на практике видов размытия [3,4]. Учитывая конечные размеры носителя ФРТ, а также то, что реальные регистрируемые изображения также имеют конечные размеры, считаем, что носитель исходного изображения х[т,п) ограничен и его размеры определяются выражением

L = {(т, п): 0 < т < М, 0 < п < .

Соответственно носитель наблюдаемого изображения у(т,п) имеет меньшие размеры и равен 8

Lh = {(m,nyPh<m<(M-Ph),Qh<n<(N-Qh)}.

Несовпадение размеров носителей исходного и искаженного изображения необходимо учитывать для корректного восстановления изображений.

Несмотря на то, что исследования по восстановлению изображений проводятся уже довольно давно и имеется множество публикаций по этой тематике, до сих пор остаются нерешенными или решенными частично многие задачи. Это связано с тем, что предложенные и исследованные в литературе алгоритмы в большинстве своем ориентированы на компенсацию искажений частного вида или построены с учетом упрощающих предположений. В частности, при решении задачи компенсации линейных пространственно-инвариантных искажений вида (1.2), часто предполагается, что наблюдению доступно все изображение у(т,п). Это приводит к возникновению краевых эффектов, резко ухудшающих качество восстановленного изображения [41]. Для компенсации краевых эффектов предложены различные эвристические методы [3,21,41,42,61], однако их применение либо не приводит к полному подавлению артефактов, либо вызывает уменьшение четкости восстановленного изображения. Следующая задача, не имеющая пока удовлетворительного решения, относится к компенсации линейных пространственно-зависимых искажений. Известные в настоящее время подходы к ее решению [22,33,34,63] построены эвристически или относятся к искажениям частного вида. Наименее исследованной в настоящее время остается задача восстановления изображений, подвергнутых не только линейным, но и нелинейным искажениям. Решение задачи нелинейного восстановления путем поиска максимума апостериорной вероятности методом наискорейшего градиентного спуска [54] практически нереализуемо из-за большой размерности задачи (число переменных равно числу точек восстанавливаемого изображения). Синтез линейных оптимальных винеровских фильтров, помимо очевидных потерь в качестве 9 восстановления, сопряжен со значительными трудностями, связанными с определением необходимых для синтеза корреляционных функций.

Перспективным в настоящее время направлением является построение адаптивных алгоритмов обработки, учитывающих локальную неоднородность восстанавливаемых изображений [43,50,55,56,58,62,65,71]. Учет локальной неоднородности позволяет повысить качество восстановления. В работах [43,56,58] для адаптивной обработки предлагается использовать пространственно-зависимый фильтр, параметры которого меняются в зависимости от значения некоторой локальной статистики изображения. Такими локальными статистиками являются среднее значение или дисперсия [56], изотропный и анизотропные градиенты [43,58], а также их комбинации. Недостатком такого подхода является эвристический характер выбора способа построения пространственно-зависимого фильтра. Более предпочтительным с этой точки зрения является подход, основанный на построении пространственно-зависимых моделей изображения, с последующим использованием этих моделей при синтезе оптимальных процедур обработки. Этот подход, получивший развитие в работах [50,55,65,71], основан на использовании составной (двухуровневой) модели изображения. Составное случайное поле содержит два уровня - верхний и нижний. Верхний, или управляемый уровень описывает отсчеты наблюдаемого изображения. Нижний, или управляющий уровень, недоступный наблюдению, осуществляет управление параметрами модели верхнего уровня. Управляющее поле в упомянутых работах используется для описания контурных линий, образованных перепадами яркости обрабатываемых изображений. Определяющим при построении составной модели изображения является выбор способа связи между управляющим и управляемым полями. В работе С. Гемана и Д. Гемана [50] эта связь устанавливается посредством определения отношения соседства между точками изображения. Разработанная авторами модель рассчитана на описание изображений с небольшим числом уровней квантования (3-5

10 уровней) и не подходит для описания полутоновых изображений. Напротив, двухуровневая модель изображения, предложенная в работах Дж. Вудса и др. [55,65,71], ориентирована на описание полутоновых изображений. В ней используется пять линейных пространственно-инвариантных авторегрессионных моделей. Одна модель описывает однородные участки изображения. Остальные описывают участки изображения, имеющие ярко выраженные перепады яркости. Четыре модели соответствуют четырем направлениям перепада яркости. Выбор конкретной модели для каждой точки изображения осуществляется на основании соответствующего значения управляющего поля. Недостаток данного подхода заключается в необходимости проведения предварительного разбиения изображения на участки, которое затем используется для идентификации авторегрессионных моделей.

Одним из наиболее перспективных подходов к построению алгоритмов восстановления изображений является подход, основанный на описании оцениваемых изображений с помощью распределения Гиббса [2,46-48,4952,55]. Использование гиббсовского описания позволяет с единых позиций подойти к построению алгоритмов компенсации линейных и нелинейных искажений, включая неоднородные искажения. Гиббсовское описание применимо также для построения адаптивных алгоритмов восстановления изображений.

Впервые распределение Гиббса стало использоваться в статистической физике для описания состояния системы взаимодействующих частиц [29]. Интерес к применению распределения Гиббса в задачах обработки сигналов и изображений заключается во взаимно-однозначном соответствии гиббсовского и марковского описания, устанавливаемом теоремой Хэммерсли-Клиффорда [1,24]. Суть этой теоремы состоит в том, что случайная последовательность, описываемая распределением Гиббса, является марковской. И наоборот, совместная плотность распределения вероятностей любой марковской последовательности является гиббсовской.

11

Детальное обсуждение гиббсовско-марковской эквивалентности дано в работах [1,44,64].

Несмотря на универсальность гиббсовского описания, имеется небольшое число работ, посвященных применению распределения Гиббса в задачах обработки сигналов и изображений. Среди имеющихся можно выделить работы по моделированию текстур [46,49,51,52,60,17], выделению контуров [2], сегментации [47,48] и восстановлению изображений [50,55]. В большинстве из них распределение Гиббса используется для описания дискретных по амплитуде (яркости) последовательностей, причем применяемые для этого модели ориентированны на небольшое число уровней квантования. Типичное число уровней квантования - от 2 до 8. Этого явно недостаточно для решения практических задач обработки полутоновых изображений. Адекватное описание этом случае может быть основано на представлении изображений в виде непрерывнозначных случайных последовательностей.

Также пока открытым остается вопрос описания с помощью распределения Гиббса конечного фрагмента поля, определенного на бесконечной решетке. Примером может служить задача построения описания конечного фрагмента стационарного случайного поля. Гиббсовское описание в общем случае позволяет получить только условную вероятность фрагмента поля при заданных значениях на границе фрагмента. Переход к безусловному распределению удается осуществить только для некоторых частных моделей. Определенные результаты в этом направлении получены в работах [8,9], но они применимы только в одномерном случае для марковской цепи конечного порядка. В некоторых случаях указанную проблему удается обойти, если считать решетку, на которой определена случайная последовательность, тороидальной. Однако такое решение далеко не всегда допустимо. В частности, оно неприменимо в задаче восстановления изображений, поскольку приводит к возникновению артефактов на границах восстановленного изображения.

12

Одна из задач, которую необходимо решить при построении гиббсовских моделей полутоновых изображений, заключается в необходимости оценивания параметров моделей по имеющимся реализациям. Известный в настоящее время подход к оцениванию параметров распределения Гиббса, так называемый метод кодирования, предложен Безагом [44]. Метод кодирования в сущности представляет собой метод оценивания по критерию максимального правдоподобия [5], который дает оценки, максимизирующие условное совместное распределение некоторого подмножества случайных величин в последовательности, при фиксированном остатке. Метод кодирования требует решения системы нелинейных уравнений. Данный метод применим только для простых дискретнозначных гиббсовских последовательностей, непосредственно доступных наблюдению. Для более сложных моделей и при искаженных (например, зашумленных) данных метод кодирования становится неадекватным [50].

В настоящее время получили развитие альтернативные подходы к оцениванию параметров распределения Гиббса, основанные на использовании метода условных моментов [6], а также на основе использования достаточных статистик [7]. Оба подхода позволяют получать оценки неизвестных параметров на основе решения системы линейных уравнений. Однако по-прежнему указанные методы применимы только для полей с дискретным множеством значений.

Основные результаты исследований заключаются в следующем:

1. Впервые найдено точное описание конечного фрагмента гиббсовского поля, имеющего авторегрессионное представление. Установлена форма граничных клик и получены выражения для наведенных потенциалов, обеспечивающих сохранение стационарности поля в пределах конечного фрагмента. Предложены способы идентификации параметров гиббсовской модели поля, основанные на использовании связи между гиббсовским и авторегрессионным представлениями поля.

2. Предложена новая гиббсовская модель полутонового изображения, пригодная для построения алгоритмов восстановления

126 изображений. Предложенная модель основана на авторегрессионном представлении поля на бесконечной плоскости, однако в ней используется приближенное описание фрагмента поля вблизи его границ, необходимое для сохранения локального характера обработки изображений вдоль границ. Проведен сравнительный анализ влияния точного и приближенного описаний на качество работы алгоритмов компенсации линейных однородных искажений для набора типичных параметров моделей изображения и искажений, который показал, что приближенный характер описания практически не оказывает влияния на качество работы алгоритмов восстановления изображений.

3. Разработана новая двухуровневая гиббсовская модель изображения, основанная на управлении связями между элементами изображения путем изменения конфигурации клик. Разработанная модель позволяет учитывать локальную неоднородность восстанавливаемых изображений.

4. На основе предложенных моделей разработаны и реализованы новые алгоритмы компенсации линейных и нелинейных искажений, включая линейные однородные искажения, линейные неоднородные искажения, линейные и нелинейные однородные искажения, а также алгоритм подавления шума зернистости фотопленки. Приведены результаты применения синтезированных алгоритмов к изображениям, содержащим искусственные искажения, а также результаты обработки отсканированных фотографий.

Разработанные в диссертации алгоритмы восстановления изображений реализованы в виде прикладной программы, работающей в среде Windows, внедрены и используются в следующих организациях:

127

- в Сибирском Региональном центре судебной экспертизы Министерства Юстиции Российской Федерации (г. Новосибирск) при производстве судебных экспертиз;

- в Новосибирском государственном техническом университете в учебном процессе кафедры Теоретических основ радиотехники в курсах «Цифровая обработка сигналов», «Цифровая обработка изображений» при проведении практических и лабораторных занятий.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Гиббсовские модели полутоновых изображений:

- гиббсовские модели ограниченного фрагмента стационарного поля, имеющего авторегрессионное представление;

- двухуровневая гиббсовская модель полутонового изображения, основанная на управлении связями между элементами изображения посредством изменения конфигурации клик.

2. Итерационные алгоритмы восстановления изображений:

- алгоритмы компенсации линейных однородных и неоднородных искажений, линейных и нелинейных однородных искажений, алгоритм компенсации шума зернистости фотопленки, алгоритм компенсации размытия цветных изображений;

- адаптивный алгоритм компенсации линейных однородных искажений, учитывающий локальную неоднородность восстанавливаемых изображений и основанный на двухуровневой гиббсовской модели изображения.

128

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе на основании выполненных автором исследований предложен и развит подход к построению алгоритмов восстановления полутоновых изображений, основу которого составляет использование распределения Гиббса для описания обрабатываемых изображений. Разработанные в диссертации алгоритмы позволяют восстанавливать изображения с высоким качеством. Получаемые в результате обработки изображения, в отличие от известных результатов, характеризуются практически полным отсутствием краевых эффектов благодаря использованию предложенной гиббсовской модели, учитывающей конечные размеры обрабатываемых изображений. Предложенный подход к синтезу алгоритмов обработки расширяет область применения методов восстановления изображений, позволяя решать задачи компенсации линейных неоднородных искажений, а также комбинации линейных и нелинейных искажений. Отличительной чертой получаемых в результате синтеза итерационных алгоритмов восстановления является потенциально высокая степень их параллелизма, что позволяет использовать для их реализации параллельные вычислительные структуры.

1. Аверинцев М.Б. Описание марковских случайных полей при помощи гиббсовских условных вероятностей. // Теория вероятностей и ее применения.- 1972.-Т. 17.-№ 1.-С. 21-35.

2. Безрук А.А, Лебедев Д.С. Выделение контуров на основе иерархической двухуровневой вероятностной модели ансамбля изображений. / В кн.: Иконика. Цифровая обработка видеоинформации. М.: Наука, 1989. С. 518

3. Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений. -М.: Мир, 1989.-336 с.

4. Бьемон Ж., Лагендейк Л., Мерсеро P.M. Итерационные методы улучшения изображений. // ТИИЭР. 1990. - Т. 78. - №5. - С. 58 - 84.

5. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции, Т. 1. М.: Советское радио, 1972. - 744 с.

6. Васюков В.Н. Оценивание параметров гиббсовских полей методом условных моментов. // Доклады СО АН ВШ. 2001. - № 1(3). - С. 36 - 47.

7. Васюков В.Н. Оценивание параметров конечнозначных гиббсовских полей с использованием достаточных статистик. // Автометрия. 2001. -№4,- С. 110-118.

8. Васюков В.Н. Стационаризация гиббсовской модели конечнозначной марковской последовательности. // Труды 5-й Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-2000, т. 7,-С. 3-6.

9. Васюков В.Н. Стационаризация гиббсовской модели конечной марковской цепи. // Сибирский журнал индустриальной математики. -2001.-Т. IV. № 1 (7). - С. 14-21.

10. Васюков В.Н., Голещихин Д.В. Восстановление и сегментация изображений, описываемых гиббсовскими моделями. // Научный вестник НГТУ. 2001. - № 2 (11). - С. 9 - 22.129

11. П.Васюков В.Н., Голещихин Д.В. Восстановление искаженных изображений, представляемых гиббсовскими моделями. // Доклады СО АН ВШ. 2000. - № 2. - С. 36 - 47.

12. Васюков В.Н., Голещихин Д.В. Восстановление полутоновых изображений на основе гиббсовского описания. // Автометрия. 2002. - № 2.-С. 58-66.

13. Васюков В.Н., Голещихин Д.В. Гиббсовская модель фрагмента стационарного случайного поля, определяемого авторегрессионным уравнением. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. -Т. 5. - № 1 (9), январь-март. - С. 20 - 28.

14. Васюков В.Н., Голещихин Д.В. Применение гиббсовской модели для описания квазипериодических случайных последовательностей. // Сборник научных трудов НГТУ. 2000. - № 1 (18). - С. 3 - 8.

15. Васюков В.Н., Спектор А.А. Гиббсовское описание гауссовских последовательностей. // Сибирский журнал индустриальной математики. -1999.-Т. II.-№ 1.-С. 25-30.

16. Грузман И.С. Двухэтапная фильтрация бинарных изображений. // Автометрия. 1999. -№3.

17. Грузман И.С. Компенсация краевых эффектов при коррекции линейных искажений изображений. // Автометрия. 1995. - №2. - С. 29-32.

18. Грузман И.С. Рекуррентная фильтрация некаузальных марковских процессов. // Научный вестник НГТУ. 1999. - №2. - С. 1 - 8.

19. Грузман И.С., Микерин В.И., Спектор А.А. Двухэтапная фильтрация изображений на основе использования ограниченных данных. // Радиотехника и электроника. 1995. - № 5. - С. 817 - 822.

20. Дерин X., Келли П. Случайные процессы марковского типа с дискретными аргументами. // ТИИЭР. 1989. - Т. 77. - № 10. - С. 42 - 71.

21. Джайн А.К. Успехи в области математических моделей для обработки изображений. // ТИИЭР. 1981. - Т. 69. - № 5. - С. 9 - 39.

22. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М. Мир, 1976.

23. Катомин Н.П. Синтез и анализ некоторых квазирптимальных двумерных дискретных линейных фильтров. // Радиотехника и электроника. -1981.-№2.-С. 326-333.

24. Катомин Н.П., Юфряков Б.А. Рекуррентная фильтрация марковского информационного параметра с двумерным дискретным аргументом. // Техническая кибернетика. 1978. - № 1. - С. 157 - 164.

25. Малышев В.А., Минлос Р.А. Гиббсовские случайные поля. М.: Наука, 1985.-288 с.

26. Марпл-мл. C.J1. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990-584 с.

27. Прэтт У. Цифровая обработка изображений, Т. 1. М.: Мир, 1982. - 312 с.131

28. Прэтт У. Цифровая обработка изображений, Т. 2. М.: Мир, 1982. - 480 с.

29. Роббинс Дж.М., Хуанг Т.С. Принципы обратной фильтрации для линейных пространственно-зависимых систем отображения. // ТИИЭР. -1972. Т. 60. - № 7. - С. 134 - 145.

30. Савчук А. А. Пространственно-зависимые искажения изображения, вызванные движением, и реставрация изображений. // ТИИЭР. 1972. - Т. 60.-№7. -С. 124- 133.

31. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976 - 496 с.

32. Террайен Ч.У., Куатьери Т.Ф., Даджон Д.Е. Алгоритмы анализа изображений, основанные на статистических моделях. // ТИИЭР. 1986. -Т. 74.-№ 4.-С. 4-25.

33. Террьен С.У. О связи между разложением на треугольные матрицы и линейным предсказанием. // ТИИЭР. 1983. - Т. 71. - № 12. - С. 158 — 159.

34. Хант Б.Р. Цифровая обработка изображений / В кн.: Применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1980. - 552 с.

35. Хант Б.Р. Цифровая обработка изображения. // ТИИЭР. 1975. - Т. 63. -№4.-С. 177- 195.

36. Хенсон К. Байесовские и другие аналогичные методы восстановления изображений по неполным данным / В кн.: Реконструкция изображений. -М.: Мир, 1992.-636 с.

37. Цифровая обработка изображений в информационных системах / И.С. Грузман и др. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. - 352 с.

38. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии: Введение в цифровую оптику. М.: Радио и связь, 1987. - 296 с.

39. Abramatic J.F., Silverman L.M. Nonlinear restoration of noisy images. // IEEE Trans. 1982. - Vol. PAMI-4. - Mar. - P. 141 - 149.

40. Besag J.E. Spatial interaction and the statistical analysis of lattice systems. // J. Royal Stat. Soc. London. - 1974. - Vol. B-36. - P. 192 - 236.132

41. Biemond J., Rieske J., Gerbrands J.J. A fast Kalman filter for images degraded by both blur and noise. // IEEE Trans. 1983. - Vol. ASSP-31. - P. 1248 -1256.

42. Cross G.R., Jain A.K. Markov random field texture models. // IEEE Trans. -1983.-Vol. PAMI-5. № l.-P. 25 -39.

43. Derin H., Cole W.S. Segmentation of textured images using Gibbs random fields. // IEEE Trans. Computer Vision, Graphics and Image Processing. -1986.-Vol. 35.-№ i.p. 72-98.

44. Derin H., Elliott H. Modeling and segmentation of noisy and textured images using Gibbs random fields. // IEEE Trans. 1987. - Vol. PAMI-9. - № 1. - P. 39-55.

45. Elfadel I.M., Picard R.W. Gibbs random fields, cooccurrences and texture modeling. // IEEE Trans. 1994. - Vol. PAMI-16. - № 1. - P. 24. - 37.

46. Geman S., Geman D. Stochastic relaxation, Gibbs distributions, and the bayesian restoration if images. // IEEE Trans. 1984. - Vol. PAMI-6. - № 6. -P. 721 -741.

47. Gimel'farb G.L. Texture modelling by multiple pairwise pixel interactions. // IEEE Trans. 1996.-Vol. PAMI-18.-№ 11.-P. 25 -39.

48. Hassner M., Sklansky J. The use of Markov random fields as models of textures. // Computer Graphics and Image Processing. 1980. - Vol. 12. - № 4. -P. 357.-370.

49. Hastings W.K. Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications. // Biometrica. 1970. - Vol. 57. - P. 97 - 109.

50. Hunt B.R. Bayesian methods in nonlinear digital image restoration. // IEEE Trans. 1977. - Vol. C-26. - № 3. - P. 219 - 229.

51. Jeng F.C., Woods J.W. Compound Gauss-Markov random fields for image estimation. // IEEE Trans, on Signal Processing. 1991. - Vol. 39. - № 3. -March. - P. 683 - 697.133

52. Jeng F.C., Woods J.W. Inhomogeneous gaussian image models for estimation and restoration. // IEEE Trans. 1988. - Vol. ASSP-36. - № 8. - August. - P. 1305 - 1312.

53. Jeng F.C., Woods J.W. Simulated annealing in compound Gauss-Markov random fields. // IEEE Trans. 1990. - Vol. IT-36. - Jan. - P. 94 - 107.

54. Knutsson H.E., Wilson R., Granlund G.H. Anisotropic nonstationary image estimation and its applications: Part I Restoration of noisy images. // IEEE Trans. - 1983. - Vol. COM-31. - Mar. - P. 388 - 397.

55. Metropolis N., Rosenbluth A.W., Rosenbluth M.N., Teller A.H., Teller E. Equations of state calculations by fast computing machines. // J. Chem. Phys. -1953.-Vol. 21.-№6.-P. 1087- 1091.

56. Picard R.W., Elfadel I.M. Structure of aura and cooccurrence matrices for the Gibbs texture model. // J. of Mathematical Imaging and Vision. 1992. - Vol. 2. -№ 1.-P. 5-25.

57. Pratt W.K., Davarian F. Fast computational techniques for pseudoinverse and Wiener image restoration. // IEEE Trans. 1977. - Vol. C-26. - № 6. - P. 571 -580.

58. Rajala S., DeFigueiredo R.J.P. Adaptive nonlinear image restoration by a modified Kalman filtering approach. // IEEE Trans. 1981. - Vol. ASSP-29. -Oct.-P. 1033- 1042.

59. Sawchuk A.A. Space-variant image restoration by coordinate transformations. //J. Opt. Soc. Am. 1974. - Vol. 64. -№ 2. - P. 138 - 144.

60. Spitzer F. Markov random fields and Gibbs ensembles. // Amer. Math. Mon. -1971.-Vol. 78.-P. 142-154.

61. Tekalp A.M., Kaufman H., Woods J.W. Edge-adaptive Kalman filtering for image restoration with ringing suppression. // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1989. - Vol. ASSP-37. - № 6. - June. - P. 892 - 899.

62. Vasyukov V.N., Goleshchikhin D.V. Gibbs random sequences Bayes estimation based on stochastic relaxation. // Proceedings of 4-rd Russian134

63. Korean International Symposium on Science and Technology KORUS'2000. -P. 167-169.

64. Vasyukov V.N., Goleshchikhin D.V. Nonlinear reconstruction of images described by Gibbs models. // Proceedings of 5-rd Russian-Korean International Symposium on Science and Technology KORUS'2001. Vol. 1, - P. 91 - 95.

65. Vasyukov V.N., Goleshchikhin D.V. Use of Gibbs model for quasiperiodic random processes description. // Abstracts of 3-rd Russian-Korean International Symposium on Science and Technology KORUS'99. P. 204.

66. Walkup J.F., Choens R.C. Image processing in signal dependent noise. // Opt. Eng. 1974. - Vol. 13. - № 3. - P. 258 - 266.

67. Woods J.W. Correction to "Kalman filtering in two dimensions". // IEEE Trans. 1979. - Vol. IT-25. - № 5. - P. 628 - 629.

68. Woods J.W., Dravida S., Mediavilla R. Image estimation using doubly stochastic gaussian random field models. // IEEE Trans. 1987. - Vol. PAMI-9. - №. 2. - March. - P. 245 - 253.

69. Woods J.W., Radewan C.H. Kalman filtering in two dimensions. // IEEE Trans. 1977. - Vol. IT-23. - № 4. - P. 473 - 482.135