автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Исследование асимптотического поведения многокомпонентных систем с помощью методов спектрального анализа

На правах рукописи

Жижина Елена Анатольевна

Исследование асимптотического поведения многокомпонентных систем с помощью методов спектрального анализа

05.13.17 - Теоретические основы информатики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005

>

Работа выполнена в Институте проблем передачи информации Российской академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Б. М. Гуревич доктор физико-математических наук, профессор Ф. С. Джепаров доктор физико-математических наук, профессор В. М. Миллер

Ведущая организация: Объединенный институт ядерных

исследований

Защита состоится " я ИЮНЯ 2005 г. в Ц ч.мин. на заседания Диссертационного совета Д 002.077.01 при Институте проблем передачи информации РАН по адресу: 127994, г. Москва, ГСП-4, В. Каретный пер., 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации РАН

Автореферат разослан" " 2005 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002.077.01 доктор физико-математических наук И.И. Цитович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системы, состоящие из большого числа взаимодействующих компонент, являются основным классом моделей, с помощью которых удается изучить поведение больших (бесконечных) физических или информационных систем. Такие системы проявляют коллективное поведение, в котором детали изменения каждой компоненты становятся несущественными. Вместо этого основной характеристикой такой системы является вероятностное описание доли компонент, которые обладают некоторым определенным свойством. Общая структура ( таких многокомпонентных моделей требовала новой концепции, которая

была разработана на рубеже 19-20 веков JI. Больцманом и затем Дж.У. Гиббсом. Возникла новая наука, которую назвали статистической механикой. Первоначально статистическая механика была предназначена для решения физических проблем, однако разработанные новые методы и подходы оказались настолько универсальными, что стали применяться к различным ситуациям, далеко выходящим за рамки физических задач. Основы математической статистической механики били заложены в 40-50х годах JI. Ван Ховом, Л. Онзагером, H.H. Боголюбовым и Б.И. Хацетом, Т. Ли и К. Янгом, и позднее в 60-70е годы были развиты Р. Л. Добрушиным, О. Лэнфордом, Д. Рюэллем, Г. Галлавотти, Р. Гриффитсом, Ж. Жинибром, Д. Робинсоном, Ф. Спитцером, Ж. Ле-бовицем, С. Миракль-Солем, Ф. А. Березиным, Р. А. Минлосом, Я. Г. Синаем, когда на математическом уровне строгости были введены понятия гиббсовского случайного поля (ДЛР-состояния), построены предельные гиббсовские распределения, исследованы корреляционные функции непрерывных и решетчатых систем, построена теория фазовых перехо-i дов, введены неравновесные модели и изучена их связь с гиббсовскими

состояниями.

Математический аппарат статистической механики включает в себя разнообразные методы из различных областей математики: теории ' вероятностей и теории случайных процессов, функционального анализа

я теории дифференциальных уравнений. Данная работа посвящена результатам, полученным главным образом при помощи техники функционального анализа, и в частности, операторных методов. Основы такого функционального подхода к анализу многокомпонентных систем были ' заложены в 70-80х годов в работах P.A. Минлоса, Я.Г. Синая, В.А. Малышева и их учеников. Дело в том, что изучение систем с близкодействующим взаимодействием между ее компонентами можно свести к изучению соответствующих марковских процессов с локальным взаимодействием и их переходных операторов. Все модели, рассмотренные в данной рабо-

1

РОС. Jt*U ЗОНАЛЬНАЯ БИГ> i Ь Л XJIeir-po>:jf 2в® \РК

те, характеризуются локальным взаимодействием, и изучение поведения этих моделей во многом сводится к исследованию спектральных свойств операторов, описывающих их эволюцию: "трансфер-матриц гиббсовских случайных полей, генераторов стохастических динамик, стохастических операторов марковских цепей. Эти операторы действуют в специально построенных бесконечномерных пространствах и во многих случаях можно установить, что операторы имеют специфическую, так называемую многочастичную или " корпускулярную" структуру. Это означает, что гильбертово пространство, в котором действуют эти операторы, может быть разложено в прямую ортогональную сумму подпространств, инвариантных относительно соответствующего оператора, и при этом ограничение оператора на каждое из этих* подпространств, или по крайней мере, на несколько первых подпространств, будет иметь вид оператора, описывающего систему ровно п взаимодействующих между собой "частиц". "Частицы"этой конструкции можно интерпретировать как квазичастицы, т.е. "коллективные"элементарные возбуждения исходной системы.

Помимо общей структуры спектра, важна также более детальная информация о спёктрадьных характеристиках этих операторов, таких как величина спектральной щели, интегральная плотность состоянйй, наличие дискретного спектра и т.д. Эта информация позволяет найти оценки, а во многих случаях даже асимптотики, убывания корреляций (для равновесных моделей), или убывания временных корреляционных функций (для стохастических моделей). Свойство быстрого убывания корреляций эквивалентно так называемому свойству перемешивания. Это означает, что поведение системы в объемах, далеких друг от друга, (статистически) почти независимо. Для стохастических динамик асимптотика убывания временных (автокорреляционных) функций определяет скорость сходимости к равновесному состоянию, что особенно важно для приложений. Таким образом, спектральный анализ многочастичных операторов, описывающих поведение многокомпонентных систем, и в особенности, информация о старших ветвях спектра позволяет получить детальное и очень точное описание асимптотических характеристик этих сложных многокомпонентных систем, что и будет продемонстрировано в данной работе.

Отдельная глава работы посвящена приложению методов теории гиббсовских полей и соответствующих решетчатых стохастических моделей к задачам обработки изображений. При этом подходе изображение рассматривается как конфигурация случайного гиббсовского поля, определенного на двумерной решетке, со значениями спинов ("пикселей") на некотором конечном или компактном подмножестве вещественной пря-

мой. В качестве восстановленного (или результирующего) изображения принимается конфигурация, на которой достигается минимум полной энергии системы Сложность задачи заключается в том, что энергия является функцией огромного числа переменных и имеет очень много локальных минимумов Поэтому детерминистические алгоритмы, такие как, например, метод градиентного спуска, в такой ситуации бесполезен, так как приводит систему к ближайшему локальному минимуму. Стохастические же алгоритмы решают задачи глобальной оптимизации с помощью стохастической динамики, но при этом требуют выполнения достаточно большого числа итераций. Поэтому одной из основных задач в теории стохастических алгоритмов является выбор такой стохастической динамики, которая бы обеспечивала более качественные результаты и достаточно быструю сходимость соответствующих алгоритмов.

Цель работы. В работе рассматриваются следующие системы:

- гиббсовские поля статистической физики,

- марковские процессы с локальным взаимодействием, в том числе, стохастические динамики,

- спиновые системы в теории обработки изображений,

- неоднородные случайные блуждания.

Основной целью работы является изучение асимптотических характеристик этих систем (асимптотика убывания корреляций локальных функционалов от поля, асимптотика убывания автокорреляционных функций, асимптотика убывания корреляций при одновременном сдвиге по времени и по пространству), и лежащий в основе этого исследования спектральный анализ соответствующих операторов. Для анализа стохастических систем со случайным взаимодействием разработаны новые специальные методы, позволяющие изучить асимптотическое поведение усредненной автокорреляционной функции. Особое место в работе уделяется разработке и обоснованию новых алгоритмов для задач обработки изображений, которые основываются на эргодических свойствах диффузионных динамик и аппроксимационяой технике.

Методы исследования. В наших исследованиях мы существенно используем методы функционального анализа, и в частности, преобразование Фурье, спектральное разложение для самосопряженного оператора, спектральный анализ стохастических операторов соответствующих марковских процессов и исследование их резольвент в комплексной плоскости, метод перевала для вычисления асимптотики корреляционных функций.

При исследовании поведения классических решетчатых систем в вы-

сокотемпературном режиме используется подход, который базируется на так называемом "московском методе "изучения гиббсовских полей с локальным взаимодействием Основная идея этого подхода заключается во введении некоторой марковской цепи со сложным пространством состояний, ассоциированной с гиббсовским полем, и последующим спектральным анализом стохастического оператора этой марковской цепи, который называется трансфер матрицей гиббсовского поля Если взаимодействие достаточно мало, то удается построить старшие инвариантные подпространства трансфер матрицы, изучить структуру соответствующих ветвей спектра, и далее по этой информации найти асимптотику корреляций значений поля в далеко отстоящих друг от друга точках. При использовании этого метода мы существенно опираемся на технику кластерных разложений и принцип сжимающих отображений

Главным методом исследования стохастических систем остается детальный спектральный анализ генераторов стохастических динамик, которые имеют многочастичную структуру, аналогичную структуре трансфер матриц гиббсовских полей. Для изучения трансляционно-инвариантных моделей используется некоторая модификация схемы, применяемой при анализе трансфер матриц, которая также основывается на технике кластерных разложений и принципе сжимающих отображений. Для изучения стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием разработаны новые методы, основанные на построении старшего инвариантного подпространства генератора с последующим применением методов спектрального анализа случайных операторов, и в особенности, случайных матриц Якоби с зависимыми элементами. Здесь особое значение имеет техника осцилляционной теоремы, применяемая для вычисления интегральной плотности состояний генератора на краю спектра

Разработка новых алгоритмов для задач обработки изображений основывается на общей теории стохастических динамик (марковских процессов на пространстве состояний системы) и их генераторов При этом информация о спектральных свойствах генераторов играет решающую роль при изучении' эргодических свойств стохастических процессов Существенно используются также методы аппроксимационной техники, базирующиеся на формуле ТроттерагКуртца.

Наиболее существенные научные результаты и их новизна. В

диссертационной работе разработан новый метод для вычисления асимптотики убывания корреляций, основанный на применении волновых операторов а также метода стационарной фазы. Получены результаты для ферромагнитной модели Изинга при высоких температурах, обобщающие известные ранее оценки экспоненциального убывания корреля-

дий. На математическом уровне строгости выведены аномальные асимптотики в случае малых размерностей решетки (<1 — 2,3) для четных функционалов от поля, к которым в частности относятся так называемые четырехточечные корреляционные функции Найдены асимптотические формулы для корреляций как четных, так и нечетных функционалов от поля при сдвиге по некоторому направлению решетки, не совпадающему с направлением оси. При этом установлена явная зависимость показателя экспоненты от направления решетки и вычислен предэкспоненциальный множитель.

Рассмотрена также более общая модель решетчатого спинового поля с произвольным конечным или компактным спиновым пространством. Впервые проанализирован спектр трансфер матрицы на соответствующих инвариантных подпространствах и показано, что для этих моделей характерна более сложим иерархическая структура за счет существоваг ния квазичастиц различного вида.

В стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах найдена асимптотическая формула для убывания корреляций в случае одновременного сдвига по времени и по пространству. Впервые для этой модели исследован также спектр генератора на двучастичном инвариантном подпространстве, включая изучение связанных состояний.

Для обобщенной стохастической модели Изинга при высоких температурах построены два одночастичных инвариантное подпространства генератора, описывающих состояния квазичастиц различных видов, и с помощью методов, развитых в диссертационной работе, сравниваются эргодические свойства этих квазичастиц.

В диссертации представлен новый метод, разработанный для изучения стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием С помощью этого метода найдено точное местоположение спектра генератора с вероятностью 1 и проанализирован спектр генератора на одноча-стичном инвариантном подпространстве, где генератор унитарно эквивалентен случайной якобиевой матрице. Используя эту связь с теорией случайных операторов, в зависимости от вида распределения случайного взаимодействия удалось либо установить асимптотику, либо получить точные двусторонние оценки на усредненную автокорреляционную функцию. Показано, что усредненная автокорреляционная функция модели со случайным парным взаимодействием убывает быстрее, чем временная корреляционная функция трансляционно-инвариантной модели, за счет дополнительного убывающего субэкспоненциального множителя. Тем самым, на теоретическом уровне строгости доказано, что присутствие случайности может существенно улучшить эргодические свойства стохастических динамик. Разработанный нами метод, основанный

на исследовании генератора на инвариантном подпространстве достаточно простой структуры, позволяет получить очень тонкие оценки на асимптотическое поведение усредненной автокорреляционной функции также в случае неограниченного взаимодействия, когда отсутствует спектральная щель.

В работе предложены, обоснованы и изучены алгоритмы для восстал новления изображений, которые основываются на применении гиббсов-ских полей и стохастических динамик в задачах обработки изображений. Отметим, что характерной особенностью предложенных алгоритмов является тот факт, что в качестве начального изображения для итерационной схемы можно использовать произвольную конфигурацию. Изучены эргодические свойства новых алгоритмов. С помощью численных вычислений для задач восстановления изображений показано, что преимущество новых алгоритмов особенно заметно на первой стадии вычислений, когда новые алгоритмы показывают заметно более быструю сходимость по сравнению с используемыми ранее алгоритмами.

В работе изучается асимптотическое поведение неоднородного случайного блуждания частицы по решетке, у которого переходные вероятности отличаются от переходных вероятностей однородного симметричного блуждания лишь в конечной окрестности начала координат. Основным методом исследования является спектральный анализ стохастического оператора соответствующей марковской цепи. Впервые получены локальные предельные теоремы, определяющие главный член асимптотики для положения частицы за большое время. Доказано, что в размерности два и три имеет место локальная предельная теорема, а в одномерном случае найдена поправка к гауссовскому члену, которая имеет тот же порядок, что и главный член. Для одномерного случайного блуждания построен предельный диффузионный процесс на прямой, который оказывается не винеровским процессом, а принадлежит классу обобщенных диффузионных процессов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В диссертации разработаны новые подходы, которые в сочетании с известными методами исследований, позволили получить новые результаты и доказать утверждения, существующие ранее в виде гипотез. Результаты и методы работы могут быть использованы в статистической физике, в теории вероятностей, и кроме того, имеют приложение для практических задач обработки информации. Изучение свойств стохастических динамик легло в основу исследований по разработке алгоритмов для задач восстановления изображений. Сравнение с ранее используемыми алгоритмами и анализ предложенных схем по-

зволяют рассматривать разработанные нами алгоритмы-в качестве достойного кандидата для реализации оптимизационной схемы в задачах обработки изображений.

Апробация результатов и публикации. Результаты работы докладывались на научных семинарах в ИППИ РАН под руководством P.A. Минлоса и М.С. Пинскера (1996-2005), на спецсеминаре по математической физике в МГУ под руководством P.A. Минлоса (1990-2005), а также обсуждались и докладывались в 1995-2005 годах на многочисленных российских и зарубежных научных семинарах, в том числе на семинарах в ИТЭФ под руководством Ф С. Джепарова и В.Е. Шестопала, семинарах Технического Университета г. Мюнхена под руководством Г. Шпона, семинарах Университета г. Билифельда под руководством Ю.Г. Кондратьева и М. Рёкнера, семинарах Университета г. Бонна под руководством С Альбеверио, семинаров Университетов I и III г. Рима (Ла Сапиенца) под руководством Э. Скаччиателли и С. Пелегринноти, семинарах Университета г. Камерино под руководством К. Болдригини, на семинаре Университета г. Цюриха под руководством Э. Бодьтхаузена, на семинаре Эколь Нормаль, г. Лозанны под руководством Ш. Пфистера, на семинаре Университета г. Ралей (Северная Каролина, США) под руководством Х.Крима. Кроме того, прочитан мини-курс по спектральному анализу решетчатых моделей статистической физике в Университете г. Пекина (2000).

Результаты докладывались на многочисленных международных конференциях, среди которых отметим конференции в Воронеже (1997), Киеве (1997,1999), Ереване (1996,1999, 2001, 2003), Праге (1998), Оберволь-фахе (2000) и Камерино (2004).

Основные материалы диссертации изложены в 20 работах, из них 17 представляют собой статьи в ведущих Российских и международных журналах. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и пяти глав. Текст работы изложен на 292 страницах. Список литературы содержит 76 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В первой главе вводятся модели, которые изучаются в диссертации, даются необходимые определения и формулируются все основные результаты.

Вторая глава посвящена исследованию свойств классических спиновых решетчатых систем. В первом разделе сформулирован результат, расширяющий наше представление о корпускулярной структуре для спиновых систем на решетке. Л именно, мы показываем, что дня спиновых решетчатых систем с более "богатым"спиновым пространством по сравнению с моделью Изинга общая корпускулярная структура сохраняется, но при этом становится более сложной за счет появления частиц различных видов.

Напомним некоторые определения, принятые в теории гиббсовских случайных полей на решетке. Обозначим через (Я, I/) спиновое пространство, ассоциированное с состояниями поля в одной точке. Здесь Я С И -некоторое компактное подмножество вещественной прямой, V - априорное распределение на 5. Мы предполагаем, что

вирр V = Б, и #5 > 2.

Далее, обозначим через П = пространство конфигураций

о = {о{х),х а г**1}, о(х)£3,

а через цъ = и2**1 - "свободную"меру на П. Формальный гамильтониан, описывающий взаимодействие между компонентами спиновой системы, имеет вид

Я(а) = - £ а{х)-а(х'). х^ег'*1

Тогда при всех достаточно высоких температурах Т, или что то же самое, при всех достаточно малых 0 = Т~1, существует единственная гиббсов-ская мера цр на П, которая определяется плотностью относи-

тельно свободной меры /¿о, где Яр - нормирующий множитель. Поскольку гамильтониан задается с помощью взаимодействия двух ближайших спинов, случайное гиббсовское поле является марковским, и мы можем, выбрав некоторое направление решетки в качестве направления "времени", скажем ё. + 1-ое направление, рассматривать случайное поле как марковскую цепь, состояниями которой служат конфигурации поля на нулевом "пространствениом"слое

у0={х = ,¿#4): *<«+') =0},

изоморфном решетке Z*. Стохастическая полугруппа операторов 7* (t = 0,1,...) этой цепи действует в подпространстве !К С 1/2 (П, функционалов от поля, зависящих от его сужения <tq = (т|у0 на слой Y0. Образующую этой полугруппы 7 называют трансфер-матрицей. В силу инвариантности поля относительно "обращения"времени оператор Т самосопряжен в И. В пространстве К действует также унитарная группа операторов {Ux, х € Ко}< порожденная сдвигами поля вдоль решетки на J вектор х € 1о:

Ш)Ыу)) = 1ЫУ~*))-

Введем следующие моменты, вычисленные по априорному распределе-I иию v на S:

h = - mi)2)„ = mi -h = {(a2 - тг)2)„ = mi-m^, ha = {{" ~ "»iHa* - mi))* = m3 - mi тг, где m* = (ff*)», и обозначим через di = Д, = — ^ > 0. Теорема 1.1. Пусть /9 > 0 достаточно мало, и

Тогда пространство !К разлагается в прямую ортогональную сумму Ji ~ 1Ко ф

®541)Ф?42)®?{3,

подпространств, инвариантных относительно трансфер -матрицы 7 и унитарной группы пространственных сдвигов {Ux, х € Zd}. Спектры оператора 7 на этих подпространствах не пересекаются, и при этом лежат внутри соответствующих интервалов:

spec {7\хо) = {0},

Ч** (ТЫ,) с (dj - dtf + <ър),

spec (ТЦ.,) С (\<hfP - ар*, + cjj83) ,

spec (Т|и?)) С (d?/32 - c,p3, -(- c3p3), spec(7\K,) с 9

Здесь Лп = {1} С И - пространство констант, с, > 0, г = 1,2,3,4 -некоторые абсолютные константы.

При этом инвариантные подпространства 5(1 и ¡К^ имеют следующую структуру. В подпространстве существует ортонормированный базис {«х, х € 2*}, помеченный точками решетки, и при этом И^ = и1+1 для любых 1,5 6 2Л, т.е. пространство является циклическим относительно унитарной группы пространственных сдвигов {И,,, а е 2Л}. Таким образом, имеет ту же структуру, что и пространство состояний частицы в физике. Кроме того, существует унитарное отображение

V,, :?{!-> ¿2 (Г4, ¿Л)

пространства Их в гильбертово пространство ¿А), где Т^ - ¿-мерный тор, а - нормированная мера Хаара, при котором операторы 71 = Т^ и V]. = 11x1^ переходят в операторы умножения на функции

ът = о(А)/(Л), ЦМ/( А) = е,(т'л'/(А),

где / б ^(Т^А), А = (А««.....А») , (х, А) = £х(*>А<*>.

Аналогичную структуру имеет подпространство ¡К^. При этом трансфер-матрица на этом подпространстве унитарно эквивалентна оператору умножения на другую функцию Ь(А), что позволяет нам интерпретировать подпространства 3{1 и как пространства состояний частиц различных видов.

Во втором разделе сформулирован результат об асимптотике корреляций значений поля в далеко отстоящих друг от друга точках для ферромагнитной модели Изинга при высоких температурах в любой размерности. При этом по-отдельности изучается случай четных и нечетных функционалов. Наша цель - найти асимптотику корреляций

<0л+,„ <тв), (1)

где А, В - два конечных множества, о а = ЦХ£Аа(х)< а У ~ ?/М — [УоА и г -» оо. Здесь [•] - целая часть числа, а у0 = (уо\-- -,УоМ)) € К1Й"1 -некоторый вектор, удовлетворяющий условию

¿+1

>1 = £ЦЧ=1- (2)

*=1

При этом без ограничения общности мы можем считать координату у^1' положительной и наибольшей по абсолкггной величине

|Г,)>|лЙЧ|. к = 1,...,<1. (3)

Заметим, что в силу симметрии модели асимптотик» корреляций (1) не зависит от знака пространственных координат вектора уо, поэтому в дальнейшем мы можем считать, что все координаты вектора уо положительны.

В силу инвариантости поля относительно инволюции

3 : а{х) —► -а(х), х е 2*+х

корреляции (1) равны нулю для множеств А я В, числа элементов которых имеют различную четность. При этом оказывается, что вид асимптотики для корреляций (1) четных и нечетных мономов различен.

Теорема 1.2. Пусть \А\ и |В| нечетны. Тогда для любого вектора уо, удовлетворяющего условиям (2), (3) и условию

Уо >3, при t —V оо верна асимптотика

(оА+т,ав) = (1 + о(1)),

ЫЩ1

где т^уа) 6 Я|'+1 - некоторый вектор, такой что

(™Л1Л>), уо) > О, иСл = Сл (Л, В, у0) - некоторая константа, не зависящая от <.

Теорема 1.3. Пусть <1 — 1 и \А\, |В| - четны. Тогда для любого вектора у0, удовлетворяющего условию

,.00 ъ I

Уо >2.

справедлива следующая асимптотическая формула " '

I

Здесь т1 (у0) - тот же вектор, что и в теореме 1.8, С\ = В) -некоторая абсолютная константа.

Теорема 1.4. Пусть \А\ и |В| четны, и уо = «¿+ь Тогда имеет место следующая асимптотическая формула

^(с,+о(1)), <г = 1,

(ол+у(0,°в) = ■{ + о(1)), <1 = 2,

ё(С„ + о(1)), <¡>3.

Здесь s - некоторая константа порядка ¡3, a Ct — С ¿(А, В) - абсолютные константы.

В третьей главе диссертации изучаются некоторые стохастические динамики:

- одномерная стохастическая модель Изинга со случайным взаимодействием;

- стохастическая модель плоских ротаторов при высоких температурах;

- обобщенная стохастическая модель Изинга со спином, принимающим три значения: -1, 0,1.

В первом разделе описывается новый метод, специально разработанный для изучения спектральных свойств генераторов стохастических решетчатых систем со случайным взаимодействием. Детальный анализ генератора позволяет найти асимптотическое поведение автокорреляционной функции за большое время, что дает важную эргодическую характеристику стохастических систем. Доказано, что усредненная автокорреляционная функция модели Изинга со случайным взаимодействием убывает быстрее, чем автокорреляционная функция трансляционно-инвариантной модели, за счет дополнительного убывающего субэкспоненциального множителя. Тем самым доказано, что случайность может существенно улучшить эргодические свойства стохастических динамик.

Рассматривается одномерная модель Изинга со случайным взаимодействием, которая задается формальным гамильтонианом

Н{а,и)- = ±1-

Здесь конфгурации о е П = {+1, -I}2'; w„,n< = ип\„ = ш» е R - независимые одинаково распределенные случайные величины, заданные на ребрах 6 = (п,п') решетки Z1 и имеющие общее распределение р = р(и). Обозначим через В1 множество всех ребер решетки Z1. Тогда семейство случайных величин ui = {шь, b е В1} образует случайное поле на В1 с пространством реализаций Вв' и распределением вероятностей Р = р®1. Случайное поле ш — является эргодическим относительно группы {Tj, j е Z1} автоморфизмов вероятностного пространства (RB',P), порожденной группой пространственных сдвигов на решетке Z1:

(7»„,т = uin-jjn-], n,m,j е z\ \п - т\ = 1.

Предположим, что случайные величины ¡Jj положительны:

0<W6<7<OO, 7 = sup supp p(u).

Тогда из общих результатов следует, что для любой фиксированной реализации случайного ограниченного взаимодействия (7 < оо) и для почти всех реализаций случайного неограниченного взаимодействия (7 = оо) при любой температуре Т = j существует единственная гиббсовская мера (¿ß(w), заданная на П.

Определим далее для каждой фиксированной реализация случайного взаимодействия и> стационарный марковский процесс на Ü

<>"(*) = {<(0.«> о, « е Z1}, о"(t) е п,

с инвариантной мерой Pß(w), который обычно называется глауберовой динамикой. Этот процесс задается предположением, что спины оп в разных узлах решетки переворачиваются независимо, и интенсивность, с которой спин а„ в узле п меняет свой знак, определяется по следующей формуле:

где

Лп(<7,ш) = 0Н(ст(п\ш) - ßH(a, и) = -2^(cj„,„^i(Tna„_i +и)П)Л+г«т„ст„+1),

ст<"» е П - конфигурация, которая отличается от конфигурации а только в узле п:

ff(») _ Г он, кфп,

* \ -о*, к = п.

Пусть %и = С2(П, dpß{u>)), тогда генератор Ь(ш) глауберовой динамики действует в (Кш по формуле:

= £ <п< ы) (Я*00) - /М) - /е^- (4)

nez»

Оператор (4) задай на цилиндрических функциях

в ¡Кц, а замыкание

L(w) в является самосопряженным оператором, и мы сохраним обозначение Ь(ш) для замыкания этого оператора.

Наша задача - исследоваяъ спектральные свойства оператора ¿(ш). Мы доказываем, что спектр генератора L{w) неслучаен с вероятностью 1, и существует полное спектральное разложение генератора при любой фиксированной реализация случайного взаимодействия. В результате весь спектр генератора одномерной стохастической модели Изинга описывается через спектр генератора на одночастичном инвариантном подпространстве, где генератор унитарно эквивалентен случайной яко-биевой матрице. Ниже будут сформулированы эти результаты.

Теорема 1.5. I. Для каждой реализации случайного поля и) С О в случае ограниченного потенциала (у < оо) или для почти всех реализаций в случае неограниченного потенциала (г/ = оа) пространство Лы представляется в виде прямой суммы инвариантных относительно оператора Ь(ы) подпространств:

^-©¡цьм,

и при этом операторы

Lk(w) - 1(о;)||,(ш)

являются метрически транзитивными операторами в соответствующих пространствах h(u), и следовательно, каждый такой оператор имеет неслучайный спектр с вероятностью 1. II. Существует унитарное отображение

VH : К, 3v(l2(Z%

пространства в фоковское пространство антисимметрических функций ^"(^(Z1)), при котором каждое инвариантное подпространство i*(o>), к = 1,2,... (¡а(ы) = {const}) переходит в к-ую антисимметрическую тензорную степень пространства hiZ1)

V(u) : lk(u) [(isiZ1))®*]" С fihiZ1)), k = 1,2,...,

а оператор L(ш) преобразуется в оператор L(w), действующий в пространстве У* (/2(2')) по формуле:

Цы) = V(w)L(w)V* (и) = dT(11 (w)), (5)

где

Li(u) = VHLi(<j)V*(W).

В частности, представление (5) приводит к следующей аддитивной структуре спектра. Обозначим через

Е1(о;) = Е(11(ы))

спектр оператора Li(o>) на инвариантном подпространстве fi(w). Тогда спектр оператора Ь(ш) имеет следующую структуру:

ЩЦы)) = {0} U {EiM} U {£,(w) + Е!(Ь»)> .. .U

U{Si(o)) + Ei(g>) + --. + Si И} U~ к раз

Здесь 0 - собственное значение, соответствующее инвариантному подпространству констант to(w) = {const}, аА+В с R означает "арифметическую сумму "множеств А и В, т.е.

А + В = {х е R\x = y + z, у&А, z е В}.

Теорема 1.6. I. Спектр оператора L(w) для почти всех реализаций w представляет собой объединение следующих отрезков:

О U [-1 - с, -1 + с] U [-2 - 2с, -2 + 2с] U... U [-fc - кс, -к + fec]U...,

где с = tanh2/?7 и 7 = sup яирр р(и).

П. Для любой реализации й е П справедлива следующая оценка снизу на спектральную щель оператора Ь(й):

ga > 1 - tanh207.

Для вычисления асимптотики усредненной автокорреляционной функции, мы исследуем асимптотическое поведение интегральной плотности состояний генератора на верхнем краю спектра.

Теорема 1.8. Пусть Шъ,Ь 6 В1 - независимые, одинаково распределенные случайные величины, с общим распределением р(и), удовлетворяющие следующим условиям:

1) случайные величины иь положительны, ограничены и отделены от нуля:

0<70<WJ<7< оо, 7о < 7, 7 = inf{C : Pr(w» > С) = 0};

2) 7 является изолированным максимумом значений, принимаемых случайной величиной и)ь , т.е. Рг(ш» = 7) = ро > 0, и существует некоторое 7i: 70 < 7i < 7, для которого Pr(7i < < 7) = 0.

Тогда справедливо следующее представление для интегральной плотности состояний N(Li, dX) оператора L\(w) на краю спектра

In N(LU (А, А,)) = In ¿(1 + <>(1)), при А^Ао,

V2(Ae - А) Ро

и имеет место следующая асимптотическая формула для усредненной автокорреляционной функции

Щ = (Mt),a.(0)>^,)и = при t 00>

где (•)?(„) - среднее по процессу при фиксированной реализации случайного потенциала и, {-)ш - среднее по распределению Р случайного поля. Здесь з = 1- 2/?7 - спектральная щель генератора, и

\ Ро/ 2

В следующей теореме рассматривается общий случай положительного ограниченного взаимодействия. Здесь мы используем модифицированную технику для исследования спектральных свойств случайного оператора Ь\{ш) в более общей ситуации, но при этом мы получаем не асимптотику, а двусторонние оценки на интегральную плотность состояний, и как следствие, двусторонние оценки на усредненную автокорреляционную функцию

т =

за большое время

Теорема 1.10. Пусть иь, Ь е В1 - независимые, одинаково распределенные случайные величины, с общим распределением р(и), удовлетворяющие следующим условиям:

1) случайные величины шь положительны, ограничены и отделены от нуля:

0 < 7о < ьц < 7 < оо, 7о = тГ 8иррр(и), 7 = вир виррр(и);

2) для всех достаточно малых £ > 0

Рг(7-£ <"»<7)~£*

с некоторым вещественным Н е И. Тогда при всех достаточно больших < справедливы следующие оценки для усредненной автокорреляционной функции /(£):

где д — 1 — 1апЬ 267 - спектральная щель генератора, В„ г = 1,2 - некоторые абсолютные константы.

Рассмотрим случай положительного неограниченного взаимодействия, когда

Рг(шь > К) > 0 при любом К > 0.

В этом случае у генератора глауберовой динамики отсутствует спектральная щель: 5 = 0, поэтому убывание автокорреляционной функции будет иметь субэкспоненциальный вид.

Теорема 1.12. Пусть Рг(иь > К) >0 для любого К > 0, и

Тогда для усредненной автокорреляционной функции /(¿) справедливы следующие оценки при всех достаточно больших Ь

где СиС2 - положительные константы, не зависящие от I. Здесь

с некоторым с, 0 < с < 1, ¡1 € (0,1); есть преобразование Лежапдра от функции д}:

и /1}(1) - значения, в которых достигается минимум.

Основными результатами второго раздела являются асимптотические формулы для убывания временных корреляционных функций, характеризующие скорость сходимости в стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах. Найдеца асимптотическая формула для убывания корреляций в случае одновременного сдвига по времени и по пространству а также асимптотика двухточечной автокорреляционной функции. При этом главным методом наших исследований остается спектральный анализ генератора стохастической динамики, который имеет структуру, аналогичную структуре трансфер матриц гиббсовских полей. Заметим, что этот же метод применим для построения и изучения нижних ветвей спектра гамильтонианов бесконечных квантовых решетчатых систем со слабым взаимодействием и компактным спиновым пространством. В работе {7] предложен новый метод, который сводит исследование гамильтониана к анализу унитарно эквивалентного ему (с точностью до константы) оператора, являющегося генератором некоторого бесконечномерного марковского диффузионного процесса, аналогичного генератору стохастической модели планарных ротаторов.

1 < ((соеЬшб)4) < оо.

Сг

= тт Нц-д^)), О 0, ./ = 1,2,

Модель плоских ротаторов определяется с помощью формального гамильтониана

Н(х) = coefot — »m),

k,mtZd-.

где x = {z*, ke Z*} eil = Tz", xkeT (T - одномерный тор). Тогда прн малых ß, 0 < ß < ßo(d) на пространстве всех конфигураций П = Т2* существует единственное гиббсовское распределение щ.

Введем далее дифференциальный оператор Lß на пространстве финитных функций Do С Hß) по формуле:

kez' * kez* к

где

Ьк(х) = -ß sinfa-*m), f(x) £ Da.

m:|k-m|=l

Этот оператор является существенно самосопряженным оператором в •С2(П, ßß), мы будем использовать то же обозначение Lß для замыкания оператора (6). Обозначим через

x(t) = {xk(t), к в Z"}, xk(t) е Т, t> О

стационарную марковскую полугруппу на П с генератором (6).

Рассмотрим гладкие функции, зависящие от конечного числа переменных:

. f{x) = MXaix«J, Хц € Т,

где А = {ei, 02,..., От} С Z* - некоторое конечное подмножество решетки. Функции /л(х) можно разложить в ряд Фурье

/л(х)= fkl.....^ exp{i(fcij;ai + ... + kmX^),} (7)

и обозначим через

m

,4:i...,oexp{±iiay}.

1

Предположим, что функция /л(х) и дв(х) таковы, что

/А{1,х)-дв(1,х)?0, или /д(-1, х) • 1, х) Ф 0. (8)

Это условие необходимо для того, чтобы функции имели ненулевую проекцию на старшее, так называемое одночастичное, инвариантное подпространство генератора.

Рассмотрим вектор fc(í) £ Zd, k(t) -у оо при t -»• оо, который отвечает пространственному сдвигу конфигурации в момент времени t. Мы наложим ряд условий на рост вектора k(t) при t оо. Предположим, что

-ntj приг-юо, j = (9)

со скоростью

Ml_Uj = ej(t) = (,(^)it_h5о, (10)

и

W-¿W<¡¿¡ (И)

при данном 0 < р < A)(d). Заметим, что из условий (9)-(11) следует,^что при каждом Р, 0 < fi < , вектора k(t) лежат внутри некоторого конуса с осью, совпадающей с осью времени, и раствор этого конуса определяется величиной константы

Теперь мы готовы сформулировать результат об асимптотике убывания корреляций в случае одновременного сдвига по времени и по пространству.

Теорема 1.13. Пусть функции /л(х) и дв(х) удовлетворяют условию (8), а вектор k(t) удовлетворяет условиям (9)-(11). Тогда существует такой вектор q = q(u, 0) € что имеет место следующая асимптотическая формула:

</(*о(0)),g(xk(t)m? = щйеЧг(')л>(1 +

Здесь < ■ >? - среднее относительно распределения вероятностей 7 процесса x(t), r(t) — (i, k(t)) e Rx Z¿, Щл(и) - константа, зависящая от функций f(x),g{x) « вектора и б Z*.

Рассмотрим теперь гладкие функции /л(х), зависящие от конечного числа переменных, такие что

Y, Л»-*- e*p{t(*iXo, + • • • + *mO> = 0, (12)

гДе Ль Ат - коэффициенты разложения функции }а(х) в ряд Фурье (7), и при этом ряд Фурье содержит хотя бы одно слагаемое вида

exp{±ix„ ± ta;m}, п / т. (13)

Эти условия гарантируют, что функция /л(х) будет иметь нулевую проекцию на старшее одночастичное инвариантное подпространство, а проекция /л(х) на двучасгичное инвариантное подпространство будет ненулевой.

Теорема 1.14. Пусть функция }а{х) удовлетворяет условиям (12)-(13). Тогда справедлива следующая асимптотическая формула для автокорреляционной функции при t оо и k(t) — 0;

< /(2(0)), f(x(t)) >*=

(1 + о(1)), ¿=1, j^e-2^ (1 + о(1)), <f = 2, ^6-^(1 + 0(1)), d> 3,

Здесь Kid) - константы, которые зависят от функции f и от размерности решетки d, —mo, mo > 0 - максимум функции т(А), А е Тл, задающей спектр генератора на старшем одночастичном подпространстве.

В третьем разделе мы рассматриваем обобщенную стохастическую модель Изинга со спином, принимающим три значения: -1, 0,1, так называемую модель Блуме-Капел (the Blume-Capel model). Гамильтониан модели аналогичен гамильтониану модели Изинга и определяется через взаимодействие ближайших соседей:

£ ФНЛ <г(х) е 5 = {-1,0,1}. Здесь конфигурация а € Я =

и мы предполагаем, что априорное распределение р случайной величины а(х) является симметричным на 5 = {-1,0,1}. Данная спиновая система рассматривается при высоких температурах, так что существует единственная гиббсовская мера которая является инвариантной мерой соответствующей стохастической динамики. Стохастическая динамика строится с помощью генератора 1

им = Е Е - /и

который является самосопряженным оператором в соответствующем гильбертовом пространстве !К = £2(0, функций на ft = Sz*. Здесь

""«-{Ж

при уфх, при у = X

- конфигурация, отличная от конфигурации о только в точке х, а интенсивности изменения спина с(а, r¡(x)) имеют вид:

с(а, ф)) = р(ф)) • (l + tanh Ц (Я(сг) - Я(<^>))|) ,

что гарантирует выполнение условий детального баланса для данной динамики.

Оказывается, что в обобщенной стохастической модели Изинга при высоких температурах существуют два одночастичных инвариантных подпространства генератора, которые описывают состояния частиц различных видов. Аналогичный результат для стационарных спиновых моделей более общего вида был сформулирован нами выше в теореме 1.1. Здесь на примере модели Блуме-Капел мы изучаем и сравниваем эрго-дические свойства частиц различного вида.

Теорема 1.18. При всех достаточно малых 0 существуют два одночастичных подпространства !Ki С ¡H и ¡Кг d 5Í, инвариантные относительно генератора L и унитарной группы {Uy, у 6 Zd} сдвигов вдоль решетки. Оператор L на подпространствах % и 9£2 унитарно эквивалентен операторам умножения на аналитические функции a(fi) и Ь(ц), (i € Т* соответственно:

(¿k) /М = aW/M, (¿k) /(*») = b(p)f(p), m e JC

(14)

где

t

a(/í) = -l + 2m0/3^cosí<J+oj(/í), (15)

j=i

ЬЫ = - 1 + Ь,(/»), (16)

max Ы/í)! < CJ2, гш frfji)] < C2p\ (17)

i&T* i¡er*

константы Ci,C2 не зависят от fl, и т.о = (cr2),,.

Таким образом, спектр оператора L на j = 1,2, лежит в малых окрестностях точки — 1;

spec (1|я,) = Ran{a(t¿)}, spec (ЦЖг) = Двп{6(^)}.

Обозначим через

3í-L = 3íe({l}®JCx®at2)

- подпространство в 3f, ортогональное Uíi, ¡H2 и пространству констант {1}. Тогда спектр оператора L на !КХ лежит ниже точки — 2 +

Cs¡3, где C% - некоторая абсолютная константа.

Из представления (14)-(17) вытекают следующие асимптотические формулы для убывания автокорреляционных функций. Теорема 1.17. Пусть

Fi(a) е ЗГ", Fa(ff) G Я"""

где ЖаШ('Н'!т!П) подпространства, содержащие четные (соответственно, нечетные) функции от а, и пусть проекции на соответствующие инвариантные подпространства Jfi and !H¡:

h = P^Fi Ф 0, h = P*,F2 ф 0

отличны от нуля. Тогда справедливы следующие асимптотические формулы при t -у оо:

<F1(at),F1(o»)>-^(*l+e(l)),

(F2{ot),F2(o,)> = ^(fc2 + 0(l)).

Здесь

9i = -1ш(ф)) = 1 - 2mo¿/9 + 0(р2)

- спектральная щель оператора L\xt,

- спектральная щель оператора Lfa,; ki,k¡ - некоторые абсолютные константы.

Четвертая глава посвящена приложению методов теории гиббсов-ских случайных полей к задачам обработки изображений. В работе предложен, обоснован и изучен алгоритм для обработки изображений, который основывается на эргодических свойствах диффузионных динамик с последующим применением аппроксимацвошюй техники. В результате мы получаем некоторые стохастические итерационные алгоритмы, которые представляют собой аппроксимацию (по времени) диффузионной динамики и для которых доказана сходимость к диффузионному процессу. Отметим, что характерной особенностью предложенных алгоритмов является тот факт, что в качестве начального изображения для итерационной схемы можно использовать произвольную конфигурацию.

Опишем модель, которая используется для решения задач восстановления изображений. Обозначим через Л с ^ некоторое конечное подмножество двумерной решетки. Как правило, в качестве Л рассматривается часть решетки, попавшая внутрь некоторого достаточно большого квадрата, обозначим мощность множества Л через тп, |Л| = т. В качестве спинового пространства Я рассмотрим некоторое компактное подмножество вещественной прямой 8 С Я1, например, отрезок 5 = [—в, в]. Таким образом, пространство конфигураций есть А = 5"*, и каждая конфигурация

X е а, X = {*„ г е Л}, X, е 5,

соответствует некоторому изображению.

Наша цель - построить восстановленное изображение, т.е. найти конфигурацию, на которой бы присутствующие на данных дефекты были сведены к минимуму. При этом мы используем байесовский подход, из которого вытекает, что искомая конфигурация должна максимизировать апостериорное распределение на конфигурациях, т.е.

X является решением, если Р(Х|0) = шахР(Х|0), (18)

где в = {0,,г е Л} • исходный образ (данные). Апостериорное распределение задается в гиббсовской'форме с помощью некоторого потенциала, который определяет энергию спиновой системы

Р(Л10) =

¿Э

где 2ц - нормирующий множитель, 0 - параметр модели. Начальные данные в, соответствующие исходному изображению, вводятся в потенциал модели в виде внешнего магнитного поля, так называемой энергий самодействия. Полная энергия системы, или гамильтониан системы,' представляется в виде суммы двух слагаемых

Н(Х,в)=Ф1(Х) + Фг(Х,в),

отвечающих энергии взаимодействия и энергии самодействия. Здесь X = {Х,,г € А} - произвольная конфигурация, а в = {0„г е А} заданная конфигурация (данные). Энергии задаются с помощью потенциала:

#,(*) = Аг £ ВД-ХД

(м) ММ Ф2(Х,в) = \2

и зависят от параметров модели Ль Л2 > 0. Выбор потенциала и параметров модели обуславливается теми свойствами решения, которые мы хотели бы получить. Решение должно быть с одной стороны достаточно гладким в областях однородности, но с другой стороны, иметь четкие неразмытые границы внутренних объектов на изображении. Неплохо приспособлен для выделения границ объектов следующий потенциал

взаимодействия: ^

= -1 +

который мы и будем в дальнейшем использовать.

Таким образом, в гнббсовской трактовке, когда апостериорное распределение задается в гнббсовской форме, решением нашей проблемы (18) является конфигурация, на которой достигается минимум полной энергии системы.

X = агд тт Н(Х, 9).

Дня построения такой конфигурации мы будем использовать стохастические алгоритмы. Основная идея стохастических алгоритмов заключается в том, чтобы построить некоторую марковскую цепь и соответствующую ей случайную последовательность конфигураций, сходящуюся за большое число шагов к искомой конфигурации, на которой достигается глобальный минимум энергии. Построение этой марковской (нестационарной) цепи происходит в два этапа. Сначала выбирается некоторая равновесная динамика со стационарным температурным гиббсовским распределением, например, глауберова динамика, Метрополис-динамика, или диффузионная динамика. С помощью этой динамики далее строится нестационарный марковский процесс (марковская цепь), соответствующий некоторой процедуре понижения температуры до нуля. Этот алгоритм носит название анннлиига, или медленного охлаждения. Основная идея аннилинга заключается в том, что скорость уменьшения температуры должна быть очень медленной, чтобы дать возможность системе выйти из многочисленных локальных минимумов.

Рассмотрим гильбертово пространство функций £.2(П, на пространстве конфигураций П, суммируемых относительно гнббсовской меры

ё{1а(Х) = —--<*й>Р0.

где в качестве свободной меры на П берется произведение нормированных мер Хаара на 5: ¿й) = ^¡ел^г- Мы введем процесс на П, определив

его генератор по формуле

К, - - v.. г/ . £ gg - £ g ■ «, , е «да. ,„.,.

Оператор La является генератором обратимого относительно процесса X(t) на П. Этот процесс называется диффузионной, или ланжевеновой динамикой, и мозйет быть найден как решение стохастических дифференциальных уравнений

dX(t) = a{X{t))dt + ffdW(t), t> 0, (19)

где а > 0 - параметр, характеризующий температуру системы, коэффициент

a(X) = a(X,e) = -VxH(X,e)

определяет снос, который зависит от данных 0 и от текущей конфигурации X, dW(t) - диффузионный член, W = {W(t),t > 0} - это т-мерный винеровский процесс. Перепишем решение (19) в интегральном представлении:

JC,(i) = Xi{s) + £ a,(X(u),e)du + ст£ dW(u), t = l,...,m (20)

где m — |A|, 0 < s < t. Для реальных вычислений мы будем использовать две аппроксимации процесса (20) Аипроксимационная схема Эйлера. Обозначим через

!-(<*) = {т„, 1 = 0,1,2, ...,Пе}

разбиение интервала (0,t) при помощи интервальчиков &„ — тп+j — т„. Тогда аппроксимационный процесс Y(n) строится по итерационной схеме

К(0) = Х(0), У,(п + 1) = У, (п) + а,(У(п), в)6„+а (W(rn+1) - W(r„)).

(21)

При этом случайная величина £„ = W(rn+1) - W(t„), равная приращению винеровского процесса, имеет нормальное распределена N(0, i„) со средним 0 и дисперсией <S„.

Сильная тейлоровская аппроксимация. Учитывая прежнее обозначение для разбиения тп временного интервала, мы рассмотрим процесс Z(n), называемый сильной тейлоровской аппроксимацией:

г<(0) = х,(0),

Z,(n + 1) = 7H{n) + a,(Z(n), в) 5Я + itt,(Z(n), в) a',(Z(n),») (22)

\<'(Z(n), в) <т2 81 + a',(Z(n), в) а Q(Sn) +

Здесь

где & - независимые одинаково распределенные гауееовские случайные величины со средним 0 и дисперсией 1, &(бп) = \/<5п-

В работе доказывается сильная сходимость аппроксимационных схем (21) - (22) к диффузионному процессу при 5 0: для любого V.

тахЯа^М-ХЫ!)^1'2,

где С - некоторая положительная константа, которая не зависит от 5 (но зависит от ¿).

Кроме того, сформулированы условия на выбор параметров аппроксимации, гарантирующие эргодичность аппроксимациоиной схемы, которая определяется по аналогии с (21):

У,(г. +1) = У,(п) + о,(У( п), в)8п + <т„£п. (23)

Здесь сг„ —► 0, ¿„ —> 0 - некоторые последовательности положительных чисел, которые стремятся к 0, а случайная величина а„£„ распределена на [-8, в] с помощью плотности

Теорема 1.20. Если о^л/й» -> 0 так, что

то марковская цепь (23) является эргодической.

В работе представлены также результаты численных вычислений, проделанных Кс. Декомбом (ИНРИА) для задач восстановления изображений, в которых были использованы предложенные нами алгоритмы. Эти вычисления показали, что подходы с использованием Метрополис-алгоритма, применяемого ранее, и новых диффузионных алгоритмов дают очень близкие результаты при выполнении большого числа итераций. С другой стороны, схема, использующая диффузионный алгоритм, показывает быструю сходимость уже на первой стадии вычислений (примерно после 300-500 итераций).

В пятой главе изучается асимптотическое поведение неоднородного случайного блуждания частицы по решетке, у которого переходные вероятности отличаются от переходных вероятностей однородного симметричного блуждания лишь в конечной окрестности начала координат. Доказано, что в размерности два и три имеет место локальная предельная теорема, а в одномерном случае найдена поправка к гауссовскому члену, которая имеет тот же порядок, что и главный член. Для одномерного случайного блуждания построен предельный диффузионный процесс на прямой, который оказывается не винеровским процессом, а принадлежит классу обобщенных диффузионных процессов (так называемый процесс с эластичным экраном в нуле, обобщающий понятие процесса с поглощающим или отражающим экраном в нуле).

Теорема 1.21. Предположим, что характеристическая функция распределения вероятностей однородного блуждания

*г(А)=2>(и)е*^,

и

где А е Т" (Т" - и-мерный тор), удовлетворяет условию

|*(А)|<1, А ^ 0.

Предположим также, что у неоднородного случайного блуждания нет ловушек, т.е. нет таких конечных подмножеств решетки, которые частица с вероятностью 1 никогда не покинет.

Тогда 'при условии, что тах{|х|, |*/|} < ел/Пп7, где е - некоторая достаточно малая константа, справедливы следующие асимптотические формулы при 4 —юо

1) при и — 1

2) при и = 2,3 _ , , , у/А&А

Рг(х£ = фо = !/) = ^р2ехр

£ - г- к,)|

где

при </ = 3,

|у>(ж'у)| < (|*1 + 1)1/2 и = г Здесь а - дисперсия скачка за один шаг для однородного блуждания (и = 1):

и

к, < 1 - некоторая константа, зависящая от параметров блуждания: к = к(7Г,У), А = {а^} = В~1 - матрица, обратная матрице ковариаций одородного блуждания В = {Ъ^ = щи .¡ж (и)}, а,^ -некоторые абсолютные константы.

Заметим, что функция

совпадает с плотностью переходных вероятностей некоторого случайного марковского стационарного процесса {£» (*), * > 0} на прямой (так называемый процесс с эластичным экраном в нуле). Применяя аппроксима-ционную теорему Троттера-Курца, мы доказываем, что для одномерного неоднородного случайного блуждания выполняется так называемый принцип инвариантности, в котором предельным процессом оказывается не броуновское движение, а упомянутый выше диффузионный процесс на прямой с эластичным экраном в нуле.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

В диссертации проведено детальное исследование операторов, описывающих эволюцию сложных многокомпонентных систем: трансфер-матриц гиббсовских случайных полей, генераторов стохастических динамик, стохастических операторов марковских цепей. Анализ этих операторов позволил получить точное описание асимптотического поведения соответствующих систем. Основными результатами диссертации можно считать следующее:

1) Показано, что для многих как равновесных, так и стохастических моделей классической статистической физики присуща корпускулярная

структура, когда можно построить несколько первых инвариантных подпространств трансфер-матрицы или, соответственно, генератора стохастической динамики и детально изучить спектральные свойства этих операторов на инвариантных подпространствах.

2) Разработан метод вычисления асимптотики убывания корреляционных функций, основанный на детальном исследовании соответствующих операторов на старших инвариантных подпространствах, а также на применении волновых операторов. С помощью этого метода найдены асимптотики убывания корреляций для локальных функционалов от поля в равновесных моделях и асимптотика убывания авто-корреляционных функций в стохастических моделях, определяющая скорость сходимости к равновесному состоянию. Выведены аномальные асимптотики в случае малых размерностей решетки {й = 2,3) для четных функционалов от поля в модели Изинга, к которым в частности относятся так называемые четырехточечные корреляционные функции.

3) Для анализа стохастических систем со случайным взаимодействием разработаны специальные методы, позволяющие изучить асимптотическое поведение усредненной автокорреляционной функции. Новые подходы основаны на построении старшего инвариантного подпространства генератора стохастической динамики с последующим применением методов спектрального анализа случайных операторов, и в особенности, случайных матриц Якоби. Доказано, что усредненная автокорреляционная функция модели со случайным парным взаимодействием убывает быстрее, чем временная корреляционная функция трансляционно-инвариантной модели, за счет дополнительного убывающего субэкспоненциального множителя. Тем самым, на теоретическом уровне строгости доказано, что присутствие случайности может существенно улучшить эргодические свойства стохастических динамик. Разработанный метод позволяет получить очень тонкие оценки на асимптотическое поведение усредненной автокорреляционной функции также в случае неограниченного взаимодействия, когда отсутствует спектральная щель.

4) Разработан, обоснован и изучен новый алгоритм для задач обрат ботки изображений, который основывается на эргоднческих свойствах диффузионных динамик с последующим применением аппроксимацион-ной техники. В результате предложены стохастические итерационны? алгоритмы, которые представляют собой аппроксимацию (по времени) диффузионной динамики и для которых доказана эргодичность и сходимость к диффузионному процессу. Характерной особенностью предложенных алгоритмов является тот факт, что в качестве начального изображения для итерационной схемы можно использовать произвольную конфигурацию. С помощью результатов численных вычислений для за^

дач восстановления изображений выполнен анализ и сравнение предложенных алгоритмов с алгоритмами, применяемыми ранее.

5) Получены локальные предельные теоремы, определяющие главный член асимптотики за большое время для неоднородного случайного блуждания частицы по решетке, у которого переходные вероятности отличаются от переходных вероятностей однородного симметричного блуждания лишь в конечной окрестности начала координат. Доказано, что в размерности два и три имеет место локальная предельная теорема, а в одномерном случае найдена поправка к гауссовскому члену, которая имеет тог же порядок, что и главный член. Для одномерного неоднородного случайного блуждания построен предельный диффузионный процесс на прямой, который оказывается не винеровским процессом, а принадлежит классу обобщенных диффузионных процессов.

Основные результаты диссертации отражены в следующих опубликованных работах:

1. Кс. Декомб, Е. А. Жижина, Применение методов теории гиббсов-ских случайных полей к задачам обработки изображений, Проблемы передачи информации, 40 (3), 2004, стр. 108 - 125.

2. Е.А. Жижина, P.A. Минлос, Асимптотика убывания корреляций для гиббсовских спиновых полей, Теоретич. и математич. физика, том 77(1), 3-12, 1988.

3- Е. А. Жижина, P.A. Минлос, Локальная предельная теорема для неоднородного случайного блуждания по решетке, Теор. вер. и ее прим. том 39, N 3,1994, р. 513-529.

4. Е. А. Жижина, P.A. Минлос, Предельный диффузионный процесс для неодородного случайного блуждания на одномерной решетке, Успехи матем. наук, 52 (2), 87-100,1997

5. Е. А. Жижина, Асимптотическая формула для убывания корреляций в стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах, Теоретич. и математич. физика, том 112 (1), стр. 67-80, 1997

6. Жижина, Е. А., Двучастичные подпростраства в стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах, Стохастический и глобальный анализ, Воронеж, 1997, 73-75.

7. Е.А. Жижина, Ю.Г. Кондратьев, P.A. Минлос, Нижние ветви спектра гамильтонианов бесконечных квантовых систем с компактным

пространством "спинов", Труды Московского Математического Общества, 1998, т. 60, стр. 259-302.

8. Е. А. Жижина, Спектральный анализ одномерной стохастической модели Изинга со случайным потенциалом: асимптотика автокорреляционной функции, Труды Московского Математич. Общества, т. 64, стр. 141-158, 2003

9. Albeverio S., Minlos R. A., Scacciatelli Е., Zhizhina Е., Spectral analysis of the disordered stochastic 1-D Ising model, Commun. Math. Phys. 204, 651-668 (1999)

10. Albeverio S., Minlos R. A., Scacciatelli E., Zhizhina E., Spectral analysis of the disordered stochastic 1-D Ising model, Preprint 811/6/98, BiBoS Center, Bielefeld, 1998, 23 p.

11. Descombes X., Zerubia J., Pechersky E.A., Zhizhina E., Stable and unstable statistical physics in image processing, Transaction of French-Russian A.M. Liapunov Institute for Applied Mathematics and Computer Science, v.4, 2003,136-157

12. Descombes, X., Zhizhina E., Image Denoising using Stochastic Differential Equations, Research Report 4814, INRIA, mai 2003

13. Kondratiev Yu., Minlos R., Zhizhina E., One-particle subspace of the Glauber dynamics generator for continuous particle systems, Reviews in Math. Phys. 16 (9), 2004, p. 1-42.

14. R.A. Minlos, and E. A. Zhizhina, Asymptotics of decay of correlations for lattice spin fields at high temperatures. I. The Ising model, J. of Stat. Phys., 1996, vol. 84, No 1/2, 85-118.

15. R.A. Minlos, and E. A. Zhizhina, The limiting theorems for a random walk of two particles on the lattice, Potential Analysis, vol. 5,139-172, 1996, Kluwer Acad. Publ.

16. R.A. Minlos, E. A. Zhizhina, Leading branches of the transfer- matrix spectrum for lattice spin systems (quasi-particles of different species), Journal of Stat. Phys., 108 (5/6), p. 885-904, 2002.

17. H. Spohn, E. Zhizhina, Long-time behavior for the 1-D stochastic Ising model with unbounded random couplings, Journal of Statistical Physics, Vol. Ill, No 1/2, 419-431, 2003.

18. E. A. Zhizhina, Two-particle spectrum of the generator for stochastic model of planar rotators at high temperatures, J. of Stat. Physics, 1998, Vol. 91, No 1/2, 343-368.

19. E. Zhizhina, The Lifehitz tail and relaxation to equilibrium in the 1-D disordered Ising model, Journal of Stat. Phys. 98 (3/4) 2000, 701-721.

20. E. Zhizhina, Convergence properties of quasi-particles of various species in the stochastic Blume-Capel model, Markov Processes and Related Fields, Vol. 10 (2), 2004, p. 307-326.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25.06.2000 г. Подписано в печать 05.04.2005 Тираж 60 экз. Усл. печ. л. 2

Печать авторефератов 730-47-74,778-45-60

РНБ Русский фонд

2005-4 42944

1 g г ¡ /fis

*

У

251

Введение

1. Основные результаты.

2. Решетчатые спиновые модели поля в высокотемпературной области.

2.1. Корпускулярная структура, возникающая в спиновых решетчатых моделях.

2.1.1. Основные конструкции.

2.1.2. Инвариантное подпространство Oii.

2.1.3. Разложение подпространства

2.2. Асимптотика убывания корреляций в решетчатых моделях поля.

2.2.1. Спектральные свойства операторов Т и Ux на подпространстве 'Ki.

2.2.2. Вычисление асимптотики убывания корреляций нечетных мономов.

2.2.3. Спектральные свойства операторов Т и Ux на подпространстве IK2.

2.2.4. Вычисление асимптотики убывания корреляций четных мономов.

3. Спектральный анализ стохастических динамик.

3.1. Спектральный анализ одномерной стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием.

3.1.1. Полное спектральное разложение одномерной стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием.

3.1.2. Асимптотическое поведение автокорреляционной функции. Случай ограниченного взаимодействия, имеющего изолированный максимум.

3.1.3. Общий случай положительного ограниченного взаимодействия.

3.1.4. Асимптотическое поведение автокорреляционной функции. Случай неограниченного взаимодействия.

3.2. Спектральный анализ стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах.

3.2.1. Асимптотика убывания корреляций в случае одновременного сдвига по времени и по пространству.

3.2.2. Конструкция двучастичного инвариантного подпространства.

3.2.3. Спектральный анализ генератора на двучастич-ном инвариантном подпространстве.

3.3. Эволюция квазичастиц различных видов на примере стохастической модели Блуме-Капел (the Blume-Capel model) при высоких температурах.

3.3.1. Основные построения для модели Блуме-Капел.

3.3.2. Построение инвариантного подпространства !Hi С 0iodd.

3.3.3. Инвариантное подпространство Л2 С J{evenQ{ 1}.

3.3.4. Спектральный анализ оператора L на подпространствах и %2.

3.3.5. Генератор L на инвариантных подпространствах ftX с %оМ и с eleven.

4. Применение методов теории гиббсовских случайных полей к задачам обработки изображений.

4.1. Байесовский подход в задачах восстановления изображений.

4.2. Алгоритмы на основе стохастических динамик.

4.3. Сходимость аппроксимационных схем.

4.4. Эргодические свойства аппроксимационных схем.

4.5. Результаты вычислений.

5. Предельные теоремы и предельный диффузионный процесс для неоднородного случайного блуждания на решетке.

5.1. Локальная предельная теорема для неоднородного случайного блуждания на решетке.

5.2. Предельный диффузионный процесс для неоднородного случайного блуждания на одномерной решетке.

Актуальность темы. Системы, состоящие из большого числа взаимодействующих компонент, являются основным классом моделей, с помощью которых удается изучить поведение больших (бесконечных) физических или информационных систем. Такие системы проявляют коллективное поведение, в котором детали изменения каждой компоненты становятся несущественными. Вместо этого основной характеристикой такой системы является вероятностное описание доли компонент, которые обладают некоторым определенным свойством. Общая структура таких многокомпонентных моделей требовала новой концепции, которая была разработана на рубеже 19-20 веков JL Больцманом и затем Дж.У. Гиббсом. Возникла новая наука, которую назвали статистической механикой. Первоначально статистическая механика была предназначена для решения физических проблем, однако разработанные новые методы и подходы оказались настолько универсальными, что стали применяться к различным ситуациям, далеко выходящим за рамки физических задач. Основы математической статистической механики были заложены в 40-50х годах JI. Ван Ховом, JI. Онзагером, Н.Н. Боголюбовым и Б.И. Хаце-том, Т. Ли и К. Янгом, и позднее в 60-70е годы были развиты Р. Л. Добрушиным, О. Лэнфордом, Д. Рюэллем, Г. Галлавотти, Р. Гриф-фитсом, Ж. Жинибром, Д. Робинсоном, Ф. Спитцером, Ж. Лебо-вицем, С. Миракль-Солем, Ф. А. Березиным, Р. А. Минлосом, Я. Г. Синаем, когда на математическом уровне строгости были введены понятия гиббсовского случайного поля (ДЛР-состояния), построены предельные гиббсовские распределения, исследованы корреляционные функции непрерывных и решетчатых систем, построена теория фазовых переходов, введены неравновесные модели и изучена их связь с гиббсовскими состояниями.

Математический аппарат статистической механики включает в себя разнообразные методы из различных областей математики: теории вероятностей и теории случайных процессов, функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. Данная работа посвящена результатам, полученным главным образом при помощи техники функционального анализа, и в частности, операторных методов. Основы такого функционального подхода к анализу многокомпонентных систем были заложены в 70-80х годов в par ботах Р.А. Минлоса, Я.Г. Синая, В.А. Малышева и их учеников [29, 23, 24, 27, 56, 25, 26]. Дело в том, что изучение систем с близкодействующим взаимодействием между ее компонентами можно свести к изучению соответствующих марковских процессов с локальным взаимодействием и их переходных операторов. Все модели, рассмотренные в данной работе, характеризуются локальным взаимодействием, и изучение поведения этих моделей во многом сводится к исследованию спектральных свойств операторов, описывающих их эволюцию: трансфер-матриц гиббсовских случайных полей, генераторов стохастических динамик, стохастических операторов марковских цепей. Эти операторы действуют в специально построенных бесконечномерных пространствах и имеют специфическую, так называемую многочастичную или "корпускулярную"структуру. Это означает, что гильбертово пространство, в котором действуют эти операторы, может быть разложено в прямую ортогональную сумму подпространств, инвариантных относительно соответствующего оператора, и при этом ограничение оператора на каждое из этих подпространств, или по крайней мере, на несколько первых подпространств, будет иметь вид оператора, описывающего систему ровно п взаимодействующих между собой "частиц". Мы будем называть такие операторы n-частичными операторами. "Частицы"этой конструкции можно интерпретировать как квазичастицы, т.е. "коллек-тивные"элементарные возбуждения исходной системы.

Помимо общей структуры спектра, важна также более детальная информация о спектральных характеристиках, таких как величина спектральной щели, интегральная плотность состояний, внутренняя структура спектра, наличие дискретного спектра и т.д. Эта информация позволяет найти оценки, а во многих случаях даже асимптотики, убывания корреляций (для равновесных моделей), или убывания временных корреляционных функций (для стохастических моделей). Свойство быстрого убывания корреляций эквивалентно так называемому свойству перемешивания. Это означает, что поведение системы в объемах, далеких друг от друга, (статистически) почти независимо. Для стохастических динамик асимптотика убывания временных (автокорреляционных) функций определяет скорость сходимости к равновесному состоянию, что особенно важно для приложений. Таким образом, спектральный анализ многочастичных операторов, описывающих поведение многокомпонентных систем, и в особенности, информация о старших ветвях спектра позволяет получить детальное и очень точное описание асимптотических характеристик этих сложных многокомпонентных систем, что и будет продемонстрировано в данной работе.

Отдельная глава работы посвящена приложению методов теории гиббсовских полей и соответствующих решетчатых стохастических моделей к задачам обработки изображений. Идея такого подхода, когда изображение моделируется с помощью некоторого гиббсовского распределения, а решение задачи глобальной оптимизации строится с помощью стохастической динамики, была предложена в 80х годах и восходит к работам С. Гемана, Д. Гемана и К. Хванга [47,48]. При этом подходе изображение рассматривается как конфигурация случайного гиббсовского поля, определенного на двумерной решетке, со значениями спинов ("пикселей") на некотором конечном или компактном подмножестве вещественной прямой. В качестве восстановленного (или результирующего) изображения принимается конфигурация, на которой достигается минимум полной энергии системы. Сложность задачи заключается в том, что энергия является функцией огромного числа переменных и имеет очень много локальных минимумов. Поэтому детерминистские алгоритмы, такие как, например, метод градиентного спуска, в такой ситуации бесполезен, так как приводит систему к ближайшему локальному минимуму. В отличие от детерминистских, стохастические алгоритмы, базирующиеся на эргодических свойствах стохастических динамик, позволяют построить конфигурацию, глобально минимизирующую энергию, но при этом требуют выполнения достаточно большого числа итераций.

Основная идея стохастических алгоритмов заключается в том, чтобы построить некоторую марковскую цепь и соответствующую ей случайную последовательность конфигураций, сходящуюся за большое число шагов к искомой конфигурации, на которой достигается глобальный минимум энергии. Построение этой марковской (нестационарной) цепи происходит в два этапа. Сначала выбирается некоторая равновесная динамика со стационарным температурным гибб-совским распределением, например, глауберова динамика, Метрополис-динамика, или диффузионная динамика. С помощью этой динамики далее строится нестационарный марковский процесс (марковская цепь), соответствующий некоторой процедуре понижения температуры до нуля. Этот алгоритм, который носит название аннилинга, или медленного охлаждения, был введен в работах С. Киркпатри-ка, К. Гелатта, М. Вечи [53] и Б. Хаека [51]. Их эвристические рассуждения были основаны на формальной аналогии с физическими процессами, когда очень медленное охлаждение приводит реальные физические системы в устойчивые низкоэнергетические состояния. В дальнейшем процедура аннилинга была изучена на математическом уровне, см., например, [47, 49, 43, 72]. Основная идея аннилинга заключается в том, что скорость уменьшения температуры должна быть очень медленной, чтобы дать возможность системе выйти из многочисленных локальных минимумов.

В настоящее время эти идеи и конструкции получили широкое применение в задачах обработки изображений благодаря тем блестящим практическим результатам, которые получаются в результате численных вычислений на основе этой методики.

Цель работы. В работе рассматриваются следующие системы:

- гиббсовские поля статистической физики,

- марковские процессы с локальным взаимодействием, в том числе, стохастические динамики,

- спиновые системы в теории обработки изображений,

- неоднородные случайные блуждания.

Основной целью работы является изучение асимптотических характеристик этих систем (асимптотика убывания корреляций локальных функционалов от поля, асимптотика убывания автокорреляционных функций, асимптотика убывания корреляций при одновременном сдвиге по времени и по пространству), и лежащий в основе этого исследования спектральный анализ соответствующих операторов. Для анализа стохастических систем со случайным взаимодействием разработаны новые специальные методы, позволяющие изучить асимптотическое поведение усредненной автокорреляционной функции. Особое место в работе уделяется разработке и обоснованию новых алгоритмов для задач обработки изображений, которые основываются на эргодических свойствах диффузионных динамик и апроксимационной технике.

Методика исследования. В наших исследованиях мы существенно используем методы функционального анализа, и в частности, преобразование Фурье, спектральное разложение для самосопряженного оператора, спектральный анализ стохастических операторов соответствующих марковских процессов и исследование их резольвент в комплексной плоскости, метод перевала для вычисления асимптотики корреляционных функций.

При исследовании поведения классических решетчатых систем в высокотемпературном режиме используется подход, который базируется на так называемом "московском методе "изучения гиббсов-ских полей с локальным взаимодействием. Основная идея этого подхода заключается во введении некоторой марковской цепи со сложным пространством состояний, ассоциированной с гиббсовским полем, и последующим спектральным анализом стохастического оператора этой марковской цепи, который называется трансфер матрицей гиббсовского поля. Если взаимодействие достаточно мало, то удается построить старшие инвариантные подпространства трансфер матрицы, изучить структуру соответствующих ветвей спектра, и далее по этой информации найти асимптотику корреляций значений поля в далеко отстоящих друг от друга точках. При использовании этого метода мы существенно опираемся на технику кластерных разложений и принцип сжимающих отображений.

Главным методом исследования стохастических систем остается детальный спектральный анализ генераторов стохастических динамик, которые имеют многочастичную структуру, аналогичную структуре трансфер матриц гиббсовских полей. Для изучения трансляционно-инвариантных моделей используется некоторая модификация схемы, применяемой при анализе трансфер матриц, которая также основывается на технике кластерных разложений и принципе сжимающих отображений. Для изучения стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием разработаны новые методы, основанные на построении старшего инвариантного подпространства генератора с последующим применением методов спектрального анализа случайных операторов, и в особенности, случайных матриц Якоби с зависимыми элементами. Здесь особое значение имеет техника ос-цилляционной теоремы, применяемая для вычисления интегральной плотности состояний генератора на краю спектра.

Разработка новых алгоритмов для задач обработки изображений основывается на общей теории стохастических динамик (марковских процессов на пространстве состояний системы) и их генераторов. При этом информация о спектральных свойствах генераторов играет решающую роль при изучении эргодических свойств стохастических процессов. Существенно используются также методы аппрок-симационной техники, базирующиеся на формуле Троттера-Куртца.

Содержание работы. В первой главе вводятся модели, которые изучаются в диссертации, и формулируются все основные результаты. Вторая глава посвящена исследованию свойств классических спиновых решетчатых систем. Найдена асимптотика убывания корреляций локальных функционалов от поля для ферромагнитной модели Изинга при высоких температурах в любой размерности. При этом по-отдельности изучается случай четных и нечетных функционалов.

Рассмотрена также более общая модель решетчатого спинового поля с произвольным конечным или компактным спиновым пространством. Показано, что для этих моделей характерна более сложная иерархическая структура спектра трансфер матрицы и соответствующих инвариантных подпространств, что доказывает существование квазичастиц различного вида.

Во третьей главе диссертации рассматривается несколько стохастических моделей:

- стохастическая модель плоских ротаторов при высоких температурах;

- обобщенная стохастическая модель Изинга со спином, принимающим три значения: -1, 0, 1;

- одномерная стохастическая модель Изинга со случайным взаимодействием.

В стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах найдена асимптотическая формула для убывания корреляций в случае одновременного сдвига по времени и по пространству. Для этой модели исследован также спектр генератора на двучастич-ном инвариантном подпространстве.

Для обобщенной стохастической модели Изинга при высоких температурах построены два одночастичных инвариантных подпространства генератора, описывающих состояния квазичастиц различных видов и сравниваются эргодические свойства этих квазичастиц.

В диссертации представлены результаты цикла работ, посвященных изучению одномерной стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием. Описано точное местоположение спектра генератора с вероятностью 1. Доказано, что в этой модели существует полное спектральное разложение генератора для любой фиксированной реализации случайного взаимодействия. В результате весь спектр генератора описывается через спектр генератора на одно-частичном инвариантном подпространстве, где генератор унитарно эквивалентен случайной якобиевой матрице. Используя эту связь с теорией случайных операторов, в зависимости от вида распределения случайного взаимодействия удалось либо установить асимптотику, либо получить точные двусторонние оценки на усредненную автокорреляционную функцию. Показано, что усредненная автокорреляционная функция модели со случайным парным взаимодействием убывает быстрее, чем временная корреляционная функция трансляционно-инвариантной модели, за счет дополнительного убывающего субэкспоненциального множителя. Тем самым, на теоретическом уровне строгости доказано, что присутствие случайности может существенно улучшить эргодические свойства стохастических динамик.

Четвертая глава посвящена приложению методов теории гибб-совских случайных полей к задачам обработки изображений. В работе предложен, обоснован и изучен алгоритм для обработки изображений, который основывается на эргодических свойствах диффузионных динамик (соответствующих классическим стохастическим моделям с непрерывным спиновым пространством) с последующим применением аппроксимационной техники. В результате мы получаем некоторые стохастические итерационные алгоритмы, которые представляют собой аппроксимацию (по времени) диффузионной динамики и для которых доказана сходимость к диффузионному процессу. Отметим, что характерной особенностью предложенных алгоритмов является тот факт, что в качестве начального изображения для итерационной схемы можно использовать произвольную конфигурацию.

В работе представлены также результаты численных вычислений, проделанных Кс. Декомбом (ИНРИА) для задач восстановления изображений, в которых были использованы предложенные нами алгоритмы. Эти вычисления показали, что подходы с использованием Метрополис-алгоритма, применяемого ранее, и новых диффузионных алгоритмов дают очень близкие результаты при выполнении большого числа итераций. С другой стороны, схема, использующая диффузионный алгоритм, показывает быструю сходимость уже на первой стадии вычислений (примерно после 300-500 итераций).

В пятой главе изучается асимптотическое поведение неоднородного случайного блуждания частицы по решетке, у которого переходные вероятности отличаются от переходных вероятностей однородного симметричного блуждания лишь в конечной окрестности начала координат. Доказано, что в размерности два и три имеет место локальная предельная теорема, а в одномерном случае найдена поправка к гауссовскому члену, которая имеет тот же порядок, что и главный член. Для одномерного случайного блуждания построен предельный диффузионный процесс на прямой, который оказывается не винеровским процессом, а принадлежит классу обобщенных диффузионных процессов (так называемый процесс с эластичным экраном в нуле, обобщающий понятие процесса с поглощающим или отражающим экраном в нуле).

Теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В диссертации разработаны новые подходы, которые в сочетании с известными методами исследований, позволили получить новые результаты и доказать утверждения, существующие ранее в виде гипотез. Результаты и методы работы могут быть использованы в статистической физике, в теории вероятностей, и кроме того, имеют приложение для практических задач обработки информации.

Практическая ценность. Изучение свойств стохастических динамик легло в основу исследований по разработке алгоритмов для задач восстановления изображений. Сравнение с ранее используемыми алгоритмами и анализ предложенных схем позволяют рассматривать разработанные нами алгоритмы в качестве достойного кандидата для реализации оптимизационной схемы в задачах обработки изображений.

Апробация результатов и публикации. Результаты работы докладывались на научных семинарах в ИППИ РАН под руководством Р.А. Минлоса и М.С. Пинскера (1996-2003), на спецсеминаре по математической физике в МГУ под руководством Р.А. Минлоса (1990-2003), а также обсуждались и докладывались в 1997-2003 годах на многочисленных российских и зарубежных научных семинарах, в том числе на семинарах в ИТЭФ под руководством Ф.С. Джапарова и В.Е. Шестопала, семинарах Технического Университета г. Мюнхена под руководством Г. Шпона, семинарах Университета г. Билифельда под руководством Ю.Г. Кондратьева и М. Рёкнера, семинарах Университета г. Бонна под руководством С. Альбеверио, семинаров Университетов I и III г. Рима (Ла Сапиенца) под руководством Э. Скаччиателли и С. Пелегринноти, семинарах Университета г. Камерино под руководством К. Болдригини, на семинаре Университета г. Цюриха под руководством Э. Больтхаузена, на семинаре Эколь Нормаль, г. Лозанны под руководством Ш. Пфистера, на семинаре Университета г. Ралей (Северная Каролина, США) под руководством Х.Крима. Кроме того, прочитан мини-курс по спектральному анализу решетчатых моделей статистической физике в Университете г. Пекина (2000).

Результаты докладывадись на многочисленных международных конференциях, среди которых отметим конференции в Воронеже

1997), Киеве (1997, 1999), Ереване (1996, 1999, 2001, 2003), Праге

1998), Обервольфахе (2000) и Камерино (2004).

Заключение

В диссертации проведено детальное исследование операторов, описывающих эволюцию сложных многокомпонентных систем: трансфер-матриц гиббсовских случайных полей, генераторов стохастических динамик, стохастических операторов марковских цепей. Анализ этих операторов позволил получить точное описание асимптотического поведения соответствующих систем. Основными результатами диссертации можно считать следующее:

1) Показано, что для многих как равновесных, так и стохастических моделей классической статистической физики присуща корпускулярная структура, когда можно построить несколько первых инвариантных подпространств трансфер-матрицы или, соответственно, генератора стохастической динамики и детально изучить спектральные свойства этих операторов на инвариантных подпространствах.

2) Разработан метод вычисления асимптотики убывания корреляционных функций, основанный на детальном исследовании соответствующих операторов на старших инвариантных подпространствах, а также на применении волновых операторов. С помощью этого метода найдены асимптотики убывания корреляций для локальных функционалов от поля в равновесных моделях и асимптотика убывания авто-корреляционных функций в стохастических моделях, определяющая скорость сходимости к равновесному состоянию. Выведены аномальные асимптотики в случае малых размерностей решетки d = 2,3) для четных функционалов от поля в модели Изинга, к которым в частности относятся так называемые четырехточечные корреляционные функции.

3) Для анализа стохастических систем со случайным взаимодействием разработаны специальные методы, позволяющие изучить асимптотическое поведение усредненной автокорреляционной функции. Новые подходы основаны на построении старшего инвариантного подпространства генератора стохастической динамики с последующим применением методов спектрального анализа случайных операторов, и в особенности, случайных матриц Якоби. Доказано, что усредненная автокорреляционная функция модели со случайным парным взаимодействием убывает быстрее, чем временная корреляционная функция трансляционно-инвариантной модели, за счет дополнительного убывающего субэкспоненциального множителя. Тем самым, на теоретическом уровне строгости доказано, что присутствие случайности может существенно улучшить эргодические свойства стохастических динамик. Разработанный метод позволяет получить очень тонкие оценки на асимптотическое поведение усредненной автокорреляционной функции также в случае неограниченного взаимодействия, когда отсутствует спектральная щель.

4) Разработан, обоснован и изучен новый алгоритм для задач обработки изображений, который основывается на эргодических свойствах диффузионных динамик с последующим применением аппрок-симационной техники. В результате предложены стохастические итерационные алгоритмы, которые представляют собой аппроксимацию (по времени) диффузионной динамики и для которых доказана эргодичность и сходимость к диффузионному процессу. Характерной особенностью предложенных алгоритмов является тот факт, что в качестве начального изображения для итерационной схемы можно использовать произвольную конфигурацию. С помощью результатов численных вычислений для задач восстановления изображений выполнен анализ и сравнение предложенных алгоритмов с алгоритмами, применяемыми ранее.

5) Получены локальные предельные теоремы, определяющие главный член асимптотики за большое время для неоднородного случайного блуждания частицы по решетке, у которого переходные вероятности отличаются от переходных вероятностей однородного симметричного блуждания лишь в конечной окрестности начала координат. Доказано, что в размерности два и три имеет место локальная предельная теорема, а в одномерном случае найдена поправка к гауссовскому члену, которая имеет тот же порядок, что и главный член. Для одномерного неоднородного случайного блуждания построен предельный диффузионный процесс на прямой, который оказывается не винеровским процессом, а принадлежит классу обобщенных диффузионных процессов.

1. П. Биллингслей, Сходимость вероятностных мер, Москва, Наука, 1977.

2. Ватанабэ С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: Наука, 1986.

3. Вентцель А.Д. Об асимптотике наибольшего собственного значения эллиптического дифференциального оператора второго порядка с малым параметром при старших производных // Докл. АН СССР. 1972. V. 202. №1. Р. 19-21.

4. Вентцель А.Д. Формулы для собственных функций и мер, связанных с марковским процессом // Теория вероятностей и ее применения. 1973. V. 18. № 1. Р. 3-29.

5. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

6. Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн, Осцилляционные матрицы и малые осцилляции механических систем, ОГИЗ, Москва-Ленинград, 1941

7. И.И. Гихман, А.В. Скороход, Теория случайных процессов, Москва, Наука, 1971.

8. С. А. Гредескул, JI. А. Пастур, О поведении плотности состояний в одномерных неупорядоченных системах вблизи границ спектра, Теоретич. и математич. физика, 23 (1), 132-139, 1975.

9. Кс. Декомб, Е. А. Жижина, Применение методов теории гибб-совских случайных полей к задачам обработки изображений, Проблемы передачи информации, 40 (3), 2004, стр. 108 125.

10. Добрушин P. JI. Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова. I. // Теория вероятностей и ее применения. 1956. V. 1. № 1. Р. 72-89.

11. Е.А. Жижина, Р.А. Минлос, Асимптотика убывания корреляций для гиббсовских спиновых полей, Теоретич. и математич. физика, том 77(1), 3-12, 1988.

12. Е. А. Жижина, Р.А. Минлос, Локальная предельная теорема для неоднородного случайного блуждания по решетке, Теор. вер. и ее прим. том 39, N 3, 1994, р. 513-529.

13. Е. А. Жижина, Р.А. Минлос, Предельный диффузионный процесс для неодородного случайного блуждания на одномерной решетке, Успехи матем. наук, 52 (2), 314, 1997

14. Е. А. Жижина, Асимптотическая формула для убывания корреляций в стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах, Теоретич. и математич. физика, том 112 (1), стр. 67-80, 1997

15. Жижина, Е. А., Двучастичные подпростраства в стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах, Стохастический и глобальный анализ, Воронеж, 1997, 73-75.

16. Е.А. Жижина, Ю.Г. Кондратьев, Р.А. Минлос, Нижние ветви спектра гамильтонианов бесконечных квантовых систем с компактным пространством "спинов", Труды Московского Математического Общества, 1998, т. 60, стр. 259-302.

17. Е. А. Жижина, Спектральный анализ одномерной стохастической модели Изинга со случайным потенциалом: асимптотика автокорреляционной функции, Труды Московского Мате-матич. Общества, т. 64, стр. 141-158, 2003

18. М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, Москва, Наука, 1985.

19. С.Н. Лакаев, Некоторые спектральные свойства обощенной модели Фридрихса, Труды семинара им. И.Г. Петровского, вып. 2, 210-238, 1981.

20. Лакштанов Е.Л., Минлос Р.А., Спектр двучастичных связанных состояний трансфер-матриц гиббсовских полей. I. Уединенное связанное состояние, Функц. анализ и его приложения, 38(3), 202-214, 2004.

21. Лакштанов Е.Л., Минлос Р.А., Спектр двучастичных связанных состояний трансфер-матриц гиббсовских полей. II. Поля на двумерной решетке, Функц. анализ и его приложения, принято в печать.

22. Т. Лиггетт, Марковские процессы с локальным взаимодействием, Москва, Мир, 1989

23. В.А. Малышев, Кластерные разложения в решетчатых моделях статистической физики и квантовой теории поля, УМН 35 (2), 3-53, 1980.

24. В. А. Малышев, Р. А. Минлос, Кластерные операторы, Труды семинара им. И.Г. Петровского, Вып.9, 63-80, 1983.

25. В. А. Малышев, Р. А. Минлос, Гиббсовские случайные поля, Москва, Наука, 1985

26. В. А. Малышев, Р. А. Минлос, Линейные операторы в беско-нечночастичных системах, Москва, Физматлит, 1994

27. Ш. С. Маматов, Р. А. Минлос, Связанные состояния двухчастичного кластерного оператора, Теоретич. и математич. физика, 79, 163-179, 1989.

28. С.П. Меркурьев, Л.Д. Фаддеев, Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, Москва, Наука, 1985

29. Р.А. Минлос, Я.Г. Синай, Изучение спектра стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа, Теоретич. и математич. физика, 2, 230-243, 1970.

30. Р.А. Минлос, А. Г. Трищ, Полное спектральной разложение генератора глауберовой динамики одномерной модели Изинга, Успехи математ. наук, 49, N 6, 209-210 (1994)

31. Л. А. Пастур, А. Л. Фиготин, Случайные и почти периодические самосопряженные операторы. Общие спектральные свойства и распределение собственных значений, Москва, Наука, 1991

32. A.M. Поляков, Микроскопическое описание критических явлений, ЖЭТФ 55, 1026-1038, 1968.

33. Н. И. Портенко, Обощенные диффузионные процессы, Киев, Наукова думка, 1982.

34. Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь, Лекции по функциональному анализу, Москва, Мир, 1979.

35. М.В. Федорюк, Метод перевала, Москва, Наука, 1977

36. П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах, НФМИ, 2000.

37. J. Abdullaev and R.A. Minlos, An extension of the Ising model, Advances in Soviet Mathematics, Vol. 20: 1-20 (1994)

38. Albeverio S., Kondratiev Yu. G., Roeckner M. Uniqueness of the Stochastic Dynamics for Continuous Spin Systems on a Lattice, J. Funct. Anal. 1995. V. 133. P. 10-20.

39. S. Albeverio, R.A. Minlos, E. Scacciatelli, E. Zhizhina, Spectral analysis of the disordered stochastic 1-D Ising model, Commun. Math. Phys. 204, 651-668 (1999)

40. J.Bricmont, J.Frohlich, Statistical mechanical methods in particle structure analysis of lattice field theories: Preprint CH-8093 (Zurich, ETH-Honggerberg, 1984).

41. W.J.Camp, M.Fischer, Behavior of two-point correlation functions at high temperatures, Phys.Rev.Lett. 26(2): 73-77, 1971.

42. R. Carmona, J. Lacroix, Spectral theory of random Schrodinger operators, Birkhauser, Berlin, 1990.

43. Chiang T.-S., Hwang C.-R., Sheu S.-J. Diffusion for Global Optimization in Rn// SIAM J. Control and Optimization. 1987. V. 25. Jfs 3. P. 737-753.

44. R. Delyon, B. Simon, B. Souillard, Localization for off-diagonal disorder and for continuous Schrodinger operators, Comm. Math. Phys., 109, 157-165, 1987.

45. Ethier S. N., Kurtz T. G. Markov processes. Characterization and convergence. NY: , 1986.

46. D.E. Evans, J.T. Lewis, The spectrum of the transfer matrix in the C-algebra of the Ising model at high temperatures, Commun.Math.Phys. 92: 309-327, 1984.

47. Geman S., Geman D. Stochastic Relaxation, Gibbs Distribution, and the Bayesian Restoration of Images // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intelligence. 1984. V. 6. Л* 6. P. 721-741.

48. Geman S., Hwang C. Diffusions for Global Optimization // SIAM J. Control and Optimization. 1986. V. 24. № 5. P. 1031-1043.

49. Geman S., Reynolds G. Constrained Restoration and Recovery of Discontinuities // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intelligence. 1992. V. 14. № 3. P. 367-383.

50. G. Gielis, C. Maes, The uniqueness regime of Gibbs fields with unbounded disorder, J. Stat. Phys. 81, 829-835 (1995).

51. Hajek B. Cooling schedules for optimal annealing: Preprints Math. Op. Research, 1987.

52. Holley R., Strook D. Diffusions on an Infinite Dimensional Torus, Journal Funct. Anal. 1981. V. 42. P. 29-63.

53. Kirkpatrick S., Gelatt C.D., Vecchi M.P. Optimization by Simulated Annealing, Science. 1983. V. 220. P. 671-680.

54. Kloeden P., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. NY.: Springer-Verlag, 1992

55. Kondratiev Yu., Minlos R., Zhizhina E., One-particle subspace of the Glauber dynamics generator for continuous particle systems, Reviews in Math. Phys. 16 (9), 2004, p. 1-42.

56. V.A. Malyshev, R.A. Minlos, Invariant subspaces of clustering operators. I. Journal of Stat. Phys. 21 (3), 231-242, 1979 // II. Commun. Math. Phys. 82, 211-226, 1981.

57. N. Minami, An extension of Kotani's theorem for random generalized Sturm-Liouville operators, Comm. Math. Phys., 103, 387-402, 1986.

58. R. A. Minlos, Invariant subspaces of Ising stochastic dynamics (for small P), Markov Processes and Related Fields, 2 (2): 263-284,1996).

59. R. A. Minlos and Yu. G. Kondratiev, One-particle subspaces in the stochastic XY model, Journal of Stat. Physics, 87(3/4): 613-6421997).

60. R.A.Minlos, E.A.Zhizhina, Asymptotics of decay of correlations in the ANNNI model at high temperatures, Journal of Stat.Phys. 56(5/6): 957-963, 1989.

61. R.A. Minlos, and E. A. Zhizhina, Asymptotics of decay of correlations for lattice spin fields at high temperatures. I. The Ising model, J. of Stat. Phys., 1996, vol. 84, No 1/2, 85-118.

62. R.A. Minlos, and E. A. Zhizhina, The limiting theorems for a random walk of two particles on the lattice, Potential Analysis, vol. 5, 139-172, 1996, Kluwer Acad. Publ.

63. R.A. Minlos, E. A. Zhizhina, Leading branches of the transfer-matrix spectrum for lattice spin systems (quasi-particles of different species), Journal of Stat. Phys., 108 (5/6), p. 885-904, 2002.

64. L. Onsager, Crystal statistics. I, A two-dimensional model with an order-disorder transition, Phys. Rev. 65: 117-149 (1944).

65. L. A. Pastur, Disordered spherical model, Journal of Stat. Physics, 27 (1): 119-151, (1982).

66. P.J.Paes-Leme, Ornstein-Zernike and analyticity properties for classical lattice spin systems, Annals of Phys. 115: 367-387, 1978.

67. R.S. Schor, M. O'Carroll, Excitations for lattice classical ferromagnetic classical spin systems at high temperature: noneven single-spin distributions, Phys. Rev. E, 61(6): 6156-6164 (2000)

68. R.S. Schor, M. O'Carroll, Transfer matrix spectrum for lattice classical (9(TV) ferromagnetic spin systems at high temperature, Journal of Stat. Phys., 109(1/2): 279-288 (2002)

69. T.D.Schultz, D.Mattis, E.Lieb, Two-dimensional Ising model as a soluble problem of many fermions, Rev. of Mod. Phys. 36, 856-868, 1964.

70. H. Spohn, E. Zhizhina, Long-time behavior for the 1-D stochastic Ising model with unbounded random couplings, Journal of Statistical Physics, Vol. Ill, No 1/2, 419-431, 2003.

71. Winkler G. Image Analysis, Random Fields and Markov Chain Monte Carlo Methods, A Mathematical Introduction. NY.: Springer, 2003.

72. B. Zegarlinski, Strong decay to equilibrium in one-dimensional random spin systems, J. Stat. Phys. 77, 717-732 (1994).

73. E. A. Zhizhina, Two-particle spectrum of the generator for stochastic model of planar rotators at high temperatures, J. of Stat. Physics, 1998, Vol. 91, No 1/2, 343-368.

74. E. Zhizhina, The Lifshitz tail and relaxation to equilibrium in the 1-D disordered Ising model, Journal of Stat. Phys. 98 (3/4) 2000, 701-721.

75. E. Zhizhina, Convergence properties of quasi-particles of various species in the stochastic Blume-Capel model, Markov Processes and Related Fields, Vol. 10 (2), 2004, p. 307-326.