автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Построение двусторонних оценок на решения интегральных моделей некоторых саморегулируемых систем

На правах рукописи

Карелина Раиса Олеговна

ПОСТРОЕНИЕ ДВУСТОРОННИХ ОЦЕНОК НА РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕКОТОРЫХ САМОРЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2007

003056867

Работа выполнена на кафедре математического моделирования ГОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского:

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Пердев Николай Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Голубятников Владимир Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Романовский Рэм Константинович

Ведущая организация: Институт вычислительной математики РАН

Защита состоится 17 мая 2007 года в 1300 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.179.03 при ГОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского» по адресу: 644077, г. Омск, ул. Неф-тезаводская, И.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского.

Автореферат разослан « 40* апреля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук А. М. Семенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из приложений метода математического моделирования является прогнозирование и количественная оценка динамики процессов и систем в биологии, экологии, демографии, экономике и технике. Важнейшим применением моделей является поиск условий, гарантирующих стабильную динамику изучаемых процессов и систем. Такие условия позволяют найти границы изменения переменных, отражающих состояние объектов моделирования, а также оценить характер динамики этих переменных. Многие о(>ъекты моделирования характеризуются наличием положительных и отрицательных обратных связей, которые регулируют динамику указанных переменных и обеспечивают саморегулирование объектов в целом. Характерной особенностью обратных связей является высокая размерность вектора используемых переменных, большое число параметров, наличие различных запаздываний, отражающих определенные закономерности функционирования объектов моделирования. Указанные особенности вызывают существенные трудности как на этапе построения моделей, так и на этапе аналитического и численного исследования свойств решений используемых классов уравнений.

Во многих случаях правые части уравнений моделей содержат монотонные функции или операторы, отражающие определенные закономерности изучаемых процессов и систем. Наличие таких функций или операторов позволяет использовать монотонный метод для получения двусторонних оценок на решения моделей. Построение этих оценок опирается на теорему о «вилке» для решения операторных уравнений и ее различные варианты (Л. Коллатц, 1969 г., М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутиц-кий, В. Я. Стеценко, 1969 г., Дж. Ортега, В. Рейнболт, 1975 г., Н. С. Курпель, Б. А. Шувар, 1980 г., А. Ю. Оболенский, 1983 г., Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина, 1991 г., 2002 г.), теоремы сравнения с использованием функций Ляпунова (Л. Т. Груйич, А. А. Мартынюк, М. Риббенс-Павела, 1984 г., Р. И. Козлов, 2001 г., Н. В. Азбелев, П. М. Симонов, 2001 г.) и другие методы. Применение двусторонних оценок к исследованию асимптотического поведения решений при I —» +оо моделей конкретных процессов

и систем описано в работах В. И. Опойцева, 1977 г., D. J. Allwright, 1977 г., Н. Т. Baaks, 1978 г., И. Дьери, Н. В. Перцева, 1986 г., 1987 г., I. Gyori, 1989 г., 1990 г., Н. В. Перцева, 1994 г., 1999 г., 2001 г., 2002 г., M. Е. Семенова, 2002 г. и др. авторов.

Настоящая работа посвящена исследованию решений дифференциальных и интегральных уравнений с последействием, моделирующих динамику многокомпонентных систем, в которых скорости производства и гибели отдельных элементов задаются с помощью положительных и отрицательных обратных связей.

Целью диссертационной работы является построение границ изменения решений и исследование асимптотического поведения решений при t —> +оо для рассматриваемого класса моделей.

Основные задачи работы состоят в следующем:

1. формализация динамики некоторых саморегулируемых систем с помощью дифференциальных и интегральных уравнений с последействием;

2. построение двусторонних оценок на решения определенного класса систем интегральных уравнений с последействием, нахождение достаточных условий существований предела решений при t —> +оо с использованием монотонного метода и М-матриц;

3. исследование условий существования ограниченных решений и их предела при t —» +оо дифференциальных и интегральных уравнений, моделирующих динамику многокомпонентных саморегулируемых систем в задачах биологии и экологии.

Научная новизна. Рассмотрен класс интегральных и дифференциальных уравнений с последействием, моделирующих динамику сложных систем с положительными и отрицательными обратными связями. Решена задача нахождения двусторонних оценок на решения x(t) указанных систем уравнений в форме параллелепипедов и° < x(t) < w°, t е [0, +оо). Получены оценки и* < lim infx(f) < lim supx(i) < w* и установлены условия ра-

t—»+oo t—»+oo

венства и* = w*, обеспечивающие существование lim x{t). Разработан спо-

t—*-f 00

соб нахождения и0, w°, и', w* с использованием невырожденных М-матриц и монотонного метода.

Основные положения, выносимые на защиту:

- формализация динамики некоторых сложных систем с положительными и отрицательными обратными связями;

- метод решения систем уравнений и неравенств с изотонными и антитонными функциями с использованием невырожденных М-матриц и специального итерационного процесса;

- способ построения двусторонних оценок на решения x(t) изучаемого класса систем интегральных и дифференциальных уравнений, критерий существования предела x(t) при t -+ +00 и асимптотической устойчивости стационарных решений;

- результаты исследования моделей, используемых в ряде задач биологии и экологии.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись аппарат функционального анализа, качественная теория дифференциальных и интегральных уравнений, свойства невырожденных М-матриц, численные расчеты в пакетах прикладных программ MATLAB и Maple.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для изучения качественного поведения решений систем интегральных и дифференциальных уравнений с последействием, содержащих изотопные и антитонные функции и операторы. Разработан способ для аналитического и численного построения оценок областей притяжения асимптотически устойчивых стационарных решений указанных систем уравнений. Предложенный подход позволяет существенно упростить исследование решений моделей некоторых саморегулируемых систем для случая высокой размерности, большого числа параметров и запаздываний.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались на 6 всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Кемерово, 2005 г.), международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2005 г.), 44 международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2006 г.). Материалы диссертации обсуждались на се-

минаре в Институте вычислительных технологий СО РАН (г. Новосибирск, 2006 г.), семинаре кафедры дифференциальных уравнений НГУ (г. Новосибирск, 2006 г.), семинарах «Математическое моделирование и численные методы» кафедры математического моделирования ОмГУ и Омского филиала института математики СО РАН им. С. Л. Соболева (г. Омск, 2004 - 2006 гг.).

Публикации. Результаты по теме диссертации опубликованы в 7 работах.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 71 наименование, и приложения. Материал изложен на 146 страницах текста, включая 21 рисунок и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается цель и задачи исследования по моделированию саморегулируемых систем.

Первая глава «Описание объекта моделирования» посвящена формализации объекта исследования - саморегулируемым системам, моделируемым с помощью интегральных и дифференциальных уравнений с последействием.

Одно из направлений математического моделирования связано с анализом сложных систем, возникающих в разнообразных задачах биологии, экологии, демографии, эпидемиологии, медицины, экономики и техники. Основной особенностью этих систем является наличие большого числа взаимосвязей между отдельными подсистемами и элементами, положительных и отрицательных обратных связей, различных запаздываний и высокой размерности вектора переменных, отражающих состояние системы. Общий подход и методология построения математических моделей описаны в ряде фундаментальных работ, среди которых можно выделить монографии Н. П. Бусленко, 1978 г., Н. Н. Моисеева, 1983 г., П. С. Краснощекова, А. А. Петрова, 1983 г., А А. Самарского, А. П. Михайлова, 1997 г. Вопросам построения и исследования детерминированных моделей сложных систем в форме дифференциальных и интегральных уравнений различного вида посвящены работы Г. И. Марчу-ка, 1980 г., 1991 г., Р. А. Полуэктова, Ю. А. Пыха, И. А. Швытова, 1980 г., В. Г. Бабского, А. Д. Мышкиса, 1983 г., Дж. Марри, 1983 г., В. М. Глуш-

кова, Ei. В. Иванова, В. М. Яненко, 1983 г., Ю. И. Хмелевского, 1991 г., А. В. Нахушева, 1995 г., В.-Б. Занга, 1999 г., G. Bocharov, К. Р. Hadder, 2000 г., G. Bocharov, F. A. Rihan, 2000 г., Р. Мэя, Р. Андерсона, 2004 г. и др. Во многих задачах рассматриваются сложные системы, состоящие из элементов различного типа, скорости производства и гибели которых задаются с помощью положительных и отрицательных обратных связей. Такие системы будем называть саморегулируемыми системами. Для формализации этих систем следует задать вектор переменных, отражающих состояние систем, и функции, описывающие скорости производства и гибели элементов. В настоящей работе изучается определенный класс саморегулируемых систем, которые могут быть формализованы с помощью дифференциальных и интегральных уравнений специального вида.

Математическая модель динамики некоторой многокомпонентной системы

в форме интегральных уравнений с последействием имеет следующий вид:

00 t

x{t) = J R°(a)<p{t-a)da +J R{a)f{xt_a)da, t^ 0, (1)

t о

00

x(t) = j B°(a)ip{t — a) da, tel = [-w, 0]. (2)

о

Здесь x(t) — (xi(t),...,xm(t))T - искомая функция, отображение f(xt) = Ui{xt), • • •, /m(zt))r, функция <p{s) = (<MS)> • ■ •. (Pm(s))T, диагональные матрицы й°(а) = diag{I^(a),..., й£,(а))> R{a) = diag(Ri(a),..., Rm(a)) и параметр 0 < ш < оо считаются заданными. Для конкретного 1 ^ г < m переменная xx(t) отражает количество элементов г - го вида, входящих в изучаемую систему. Символ xt при фиксированном 0 < t < оо определяет функцию xt(ö) = х(t+в), в е I, которая учитывает влияние на x(t) не только текущих, но и предшествующих значений х, распределенных по промежутку [t — u),t]. Неотрицательные функции ip,(t — a), fi{xt) задают скорости производства элементов г - го вида на промежутках времени t — а ^ 0 и t ^ 0 соответственно. Функции 0 < Я,(а) ^ 1 описывают процессы

естественного старения элементов г - го вида и интерпретируются как доли элементов, доживших до возраста a ^ 0 после своего появления в системе.

В соотношениях (1) первое слагаемое отражает количество первоначально существующих элементов, доживших до момента t ^ 0, второе слагаемое

- количество элементов, появившихся после t = 0 и доживших до момента t > 0. Соотношения (2) указывают на количество элементов при t < 0.

Математическая модель, описывающая динамику некоторой многокомпонентной системы с использованием дифференциальных уравнений с последействием, имеет следующий вид:

¿(t) = /(ït)-Aï(t), t > 0, (3)

x(t)=il>{t), te/=[-w, 0]. (4)

В уравнениях (3), (4) x(t) = (xi(t),X2(t),..., xm(t))T - вектор-столбец переменных, описывающих численность элементов системы, f{xt) = 6(х<) — d(xt)

- некоторое отображение. Отображение b(xt) = (bi(xt),b2{xt),..., bm(xt))T с неотрицательными компонентами задает скорость производства элементов системы. Отображение d(xt) = (di(xt), ¿2(х{),..., dm(xt))T имеет неотрицательные компоненты и задает скорость уменьшения количества элементов системы. Полагаем, что b(xt) и d(xt) зависят как от текущего, так и от предшествующего количества элементов системы xt- Диагональная матрица Л = diag(Ai, А2,..., Am) имеет неотрицательные элементы. Слагаемые вида —Atx,(i) описывают скорости уменьшения численности г-х элементов системы, вызванные их естественным старением или переходом в состояния, явно не рассматриваемые в модели, 1 < г ^ т. Неотрицательная функция ip(t) задает начальное количество элементов системы на промежутке времени tel, где параметр 0 < и < оо учитывает продолжительность предыстории состояния системы. Обозначив K(t) = e-At = diag(e~Xle_Ajt,.. . ,e_Amt), 0 ^ t < 00, систему (3), (4) можно записать в следующем виде:

t

x(t) = K(t) ф{0) + J K{t- s) f(xt) ds, t ^ 0, (5)

0

x(t) = ii{t), tel = [-о/, 0]. (6)

Системы интегральных уравнений (1), (2) и (5), (6) рассматриваются при следующем основном предположении: отображение f{xt) таково, что по части

аргументов оно не убывает (положительная обратная связь), а по оставшейся части аргументов - не возрастает (отрицательная обратная связь).

Приведенная формализация не претендует на полноту и выделяет некоторый класс саморегулируемых систем, описываемых с помощью указанных интегральных уравнений. В качестве примеров в работе представлен набор различных моделей в интегральной и дифференциальной форме, возникающих в задачах биологии, экологии, демографии и экономики.

Вторая глава «Применение монотонного метода к исследованию решений некоторых систем интегральных уравнений» посвящена исследованию решений систем нелинейных интегральных уравнений, правые части которых содержат изотопные и антитонные функции и операторы.

Рассматривается следующая система интегральных уравнений:

В формулах (7), (8) х{Ь) = (ж^), х2(£),. • •, хт&))т - искомая вектор-функция, 1р(Ь) = (ф^), ..., ^т(£))г ~ начальная вектор-функция, (¿>°(£) == (<£?(£)> рШ)> ■ ■ ■ > Ч>т{1))Т ~ заданная вектор-функция, причем <р°(0) = ■0(0), КЦ, в) - ядро уравнения, f(xt) = (Л(а;4), /2(х4), • ■ •, 1т{хь))Т - заданное отображение. Для фиксированного з ^ ¿о полагаем, что х,(в) — х(в + 0), в е /о, /(г) : С(/о, Г>) —> Д™, С(10, £>) - множество непрерывных функций г : /о —> £> с нормой ||г||с = тах|.г(0)|, где В - выпуклое

/р

подмножество Лт, | • | - одна из норм векторов из Дт. Считаем, что <р, ф являются непрерывными функциями, / - непрерывным отображением. Кроме того, э), 1 < г, з ^ тп, также непрерывны. Неравенства между век-

торами из Ят понимаем как неравенства между их компонентами. Запись £ € Ят, £ > 0, эквивалентна тому, что все компоненты вектора £ положительны. Если г1, г2 € С (¡о, В), то неравенство г1 < г2 (г2 ^ г1) означает, что 2'((?) ^ г2(0) (г1^) ^ г2(в)) для всех 0 € /0. Решением системы (7), (8) называется такая функция х, что 6 С(/0,£>), £о(5) = ^(я), в е /о, и х(<) удовлетворяет (7) на некотором промежутке [0, <5), 6 > 0.

«о

х(*) = « 6 /0 = [«о ~ ш, ¿о]-

(8)

В качестве основной задачи рассматривается проблема нахождения двусторонних оценок tt° ^ x(t) ^ и;0, i е [t0, +00) на решения x{t) и существования (lim x(t) системы (7), (8).

Для решения поставленной проблемы используются монотонный метод и свойства невырожденных М-матриц. Предполагается, что выполнены следующие условия:

1) K(t, s) > 0, то есть Kt](t, s) ^ 0, to < s ^ t < 00, 1 ^ i, j < тп;

2) для любых 2 € C(Io,D) имеет место представление /(z) = g{z,z), где непрерывное отображение д(х,у) : C(Io,D) х C(I0,D) -> йт изотон-но по х и антитонно по у, то есть д(х1,у1) ^ д(х2,у2) для любых пар (х\у*) € С (/о, £>) X C(i0, D), i — 1,2, таких, что х1 < х2, у1 ^ у2;

3) существует lim <p°(t) = <¿>00;

£—» +-OO 5

4) для любых непрерывных функций x(t) е D, y(t) 6 D, t0 ^ t < 00, таких, что существуют lim x(t) = и € D, lim y(t) = w € D, существует

<->+00 t->+00

(

lim Г K(t, s)g(xs, ys)ds = Bg{u, w), где В = (bl}) ^ 0 - mxm матрица.

t-+oof o

t

Введем оператор HK{x, y)(t) = <p°{t)+f K(t, s) g{xs, ys)ds, t € [to, 00), где

to

x = x(t), у = y{t) принимают значения в D, определены и непрерывны при t € [to — ш, оо). Зададим функцию h(u, w) = ¡роо + Вд(и, w), (и, w) € D х D. Полагая, что х" - внутренняя точка D, определим матрицу А* = (a*k + Ь*к) и расширенную матрицу

Л*=(а\ Al = Wk),A* = (b;k),

где <4 = dhi(x*, x*)/Öufc ^ 0, 6** = -dh%{x\ х*)/дизк ^ О, 1 < г, к < т. ТЕОРЕМА 1. Пусть существуют и0, w° € D, такие, что

и0 -<$ ад0, и0 < Нк(и°, w°)(t), w° Z HK(w°, u°)(t), t0^t<oo, (9)

а решение x(t) системы (7), (8) удовлетворяет условию u° ^ x(t) ^ w° при to - а; ^ t < 00. Тогда: 1) справедлива оценка и* < lim inf x(t) ^

t-t+OO

lim supx(f) ^ w*, где пара (и*, w*) является решением системы <—♦+00

гг = h(u, w), w = и), и0 < u, w < го°; (10)

S) если, кроме того, решение (и*, w*) системы (10) единственно, то и* = w' и существует lim x(t) = х*, где х* - единственное решение уравнения

t-»+ оо

х — h(x, х), и0 < х < w°.

В общем случае нахождение и0, w° е D, удовлетворяющих (9), требует привлечения свойств функции <p°(i) и ядра K(t, s). Для отыскания подходящих решений и0, ги° неравенства (9) рассматриваются в пределе при t -> + оо. В этом t случае можно воспользоваться свойствами невырожденных М-матриц и тем, что h(u, w) является изотонной по и и антитонной по w.

ТЕОРЕМА 2. Пусть х* - внутренняя точка D, являющаяся решением

уравнения х = h(x, х), х 6 D. Предположим, что функция h(u,tv) имеет

%

непрерывные частные производные первого порядка в некоторой окрестности (х',х*), матрица А* такова, что (I — А*) является невырожденной М-матрицей. Тогда существует решение С системы неравенств

(I - > о, ç > о, £ € я2т, f = (Я, С2)Т, (11)

такое, что пара и0 — х* — w° = х* + удовлетворяет неравенствам (и°,ги°) е Dx D, и0 ^ w°, и0 ^ h(u°,w°), w° > h(w°,u°), и система (10) имеет единственное решение.

_ m

Для системы неравенств (11) найдено решение в виде £ = £ с,£„ где

с, € (0,1), = (I - Л*)_1ё,, ё, = (0,..., 0,1,0,..., 0)Г, единица стоит на 1-ом мeirre, 1 ^ г ^ т. Предложен итерационный алгоритм нахождения пары (и0, ги°) в форме и0 = х* — z1, w° = х* + z2, где вектор z = (zl, z2)T задается как z = qÇ,q> 0 - некоторое число. Этот алгоритм позволяет уточнить границы отрезка [u°,u>0], на котором система (10) имеет единственное решение.

Приведенный способ нахождения и0, w° € D используется для построения двусторонних оценок на решения моделей, изучаемых в главах 3 и 4.

Третья глава «Исследование решений интегральных моделей саморегулируемых систем» посвящена изучению интегральной модели (1), (2) в рамках следующих соглашений. Пусть C(I,D) - множество непрерывных функций z : I —» D С R™ с нормой ||z||c = max |г(0)|, где | • | - одна из норм векторов в Rm. Считаем, что f(z) : С(1, —> является непрерывным отображением. Для каждого 1 ^ i ^ m существует такая константа г, > 0, что

функция R,(a) не возрастает и положительна на [0,т,), -R,(0) = 1, Л,(а) = О при т, < а < оо. Аналогично, для каждого 1 ^ г < m существует такая константа тг° > 0, что функция iîf(a) не возрастает и положительна на [0, г,0), R°(0) = 1, R°(a) — 0 при г® < а < оо. Функция ip,(s) неотрицательна и непрерывна на [—г®, 0]. Для s е (—оо, —г®] <p,(s) доопределяются по правилу:

<p,(s) = ip,(—т°). Параметр ш выбран таким, что о» ^ min(7f,..., Обозна-00 00 чим: i/>°(t) = f R°(a)<p(t - a) da, t е I, Ат = diag(fh... ,fm), т; = f Rj{a) da,

о о

00

= ..., f? = f R°(a) da, l^j^m. Решением системы (1), (2)

о

называется такая функция х, что xt е C(I,D), го (s) = sel, и z(£)

удовлетворяет (1) на некотором промежутке [0, <5), S > 0.

Рассматривается несколько случаев, связанных с функциями Л°(о), R(a) и представлением f(xt) через g(xt, xt). Сформулированы и доказаны леммы и теоремы относительно свойств решений интегральной модели (1), (2).

Случай 1. Полагаем, что отображение f(xt) удовлетворяет условию: для любых z е C(I,D) имеет место представление /(z) = g(z,z), где непрерывное отображение д{х, у) : C{I,D) x C{I,D) —» R™ изотонно по а; и анти-тонно по у, D - выпуклое подмножество Д™. Введем оператор Я°(а:, y)(t) =

оо t

J R°(a) Ip(t — a) da + f R{a)g{xt-a, j/t-a) da, t ¿t 0, где x = x(t), y = y(t) при-t о

нимают значения в D, определены и непрерывны при —ш ^ i < оо, матрица К°(а) может совпадать с й(о).

ТЕОРЕМА 3. Пусть выполнены все предположения относительно R, К\ y, f, входящих в систему (1), (2), существует пара (иw°) е D x D, удовлетворяющая неравенствам 0 ^ и0 ^ w°, и0 ^ Н°(и°, w°)(i), ^ Я°(го°, u°)(i), 0 < t < оо. Тогда для любой начальной функции гг° ^ V;0M ^ w°, tel, существует решение x(t) задачи (1), (2), определенное на [0,оо). Для решения x(t) справедливы неравенства и0 < x(t) < w°, 0 ^ t < оо, и* < lim inf x(t) ^ lim supx(f) ^ w*, где (и", w*) - решение системы

t-»+oo t—»+oo 4

и = ATg(u, w), w = ATg(w, u), u° ^u,ui < w°. (12)

Если, кроме того, решение (и*, w*) системы (12) единственно на множестве и0 ^ и, w ^ w°, то и' = w' = x* и существует lim x(t) = x*.

Для нахождения u°, ги° используются различные оценки на оператор Н°(х, y)(t). В частности, если R°(a) = R(a), то w°) е D х D, обеспе-чиваюшце выполнение условий теоремы 3, могут быть найдены как решения любой уз группы неравенств:

A) и0 = О, IV0 = w = Атд(й>, 0), <p{s) ^ A~lwt s € (-00, 0];

B) (К и<4 я* < w°, и0 < Arg{u0, ti>°), w° > Атд{и°, ш°), (13) д(и°, w°) < ф) ^ g(w°, и0), s € (-00, 0]; (14)

C) 0 s: и0 ^ х* < и;0, и° < Ат д(и°, ги°) + Jv[t), w° ^ ATg(w°, u°) + Jv{t), 0 < t < 00,

00

где = f R(t + s) [y>(—s) — <p*(—s)]ds, x* - одно из решений уравнения о

х = ATf(x), xeD, <p*{s) = f(x*), s e (-oo, 0].

Случай 2. Пусть D = {u G Ят : 0 < u < d} С R™ - некоторый параллелепипед. Полагаем, что относительно f(xt) выполнено следующее предположение: для всех t ^ 0, xt € C(I,D) справедлива оценка f{xt) < g{%t), где непрерывное отображение g{z) : C(I, D) —* R™ таково, что д(0) = 0, и для любых zï,z2 е C(I,D), z^s) ^ 22(s), s 6 I, верно д(гх) ^ g{z2). Введем

oo f

оператор G°(x)(t) = f R°(a)ip(t — a) da + f R(a)g(xt-a) da, t ^ 0, где a; = x(t)

t 0

принимает значения в D, определена и непрерывна при —ш < t < 00, матрицы R°(a) и R(à) могут совпадать.

ТЕОРЕМА 4■ Пусть выполнены все предположения относительно R, R0, tp, /, входящих в систему (1), (2), w° € D таков, что w° > 0, ATg(w°) ^ w°, функция <р удовлетворяет условиям: <p(s) ^ с, s £ (—00, 0], w0-ATg(w°) при R°{a) ф Я(а); ф) < g{w°), s € (-00, 0] при RP(a) = R(a). Тогда существует решение x{t) задачи (1), (2), определенное на [0, оо). Для решения x(t) справедливы неравенства 0 < x(t) < w;0, 0 < t < 00, 0 ^ lim infa:(i) ^ lim supz(i) ^ w*, где w* - решение уравнения

t—+oo i->+00

tu = ATg{w), 0 ^w (15)

Если, кроме того, решение w* уравнения (15) единственно на множестве О ^ w < ад0, то существует lim x(t) = 0.

Приведенные результаты приводят к необходимости нахождения решений систем неравенств и уравнений относительно векторов и0, гу°, и*, «;*, возникающих в условиях теорем 3 и 4. Эта задача сводится к решению линейных систем неравенств и уравнений, задаваемых с помощью матриц специального вида. Для решения этих систем используются результаты главы 2.

Далее рассматривается вопрос об асимптотической устойчивости стационарных решений х* системы (1), (2), которые с необходимостью являют ся корнями уравнения х = Aтf(x), х € Б. Исследуются случаи, когда х' = 0 (Я°(о) и Я(о) могут не совпадать) их* ^ 0 (В°(а) = Л (а)). Стационарному решению х* = 0 соответствует функция = 0, а решению х* ф 0 — функция <р*{в) = /(х*), в е (-оо, 0]. Степень отклонения функции ¡р от задается через величину ||(р — <р*|| = тах {Л<рЛ, где А<р} = тах - ¡р*|. Полагаем, что решение х* системы (1), (2) являет-

т3 ,0]

ся асимптотически (¿»-устойчивым, если для любого (малого) е > 0 найдется 6 > 0 такое, что из неравенства ||<р — <р*|| < <5 следует, что ¡х(<) — х*| < е при всех 0 < < < оо и существует Ит х(1) = х*.

4->+оо

ТЕОРЕМА 5. Пусть существуют и0, иР, удовлетворяющие (13), и система (12) имеет единственное решение. Тогда стационарное решение XV 0 системы (1), (2) является асимптотически <р-устойчивым.

ТЕОРЕМА 6. Пусть существует и)0 € И, > 0, АТд(ш°) ^ и уравнение (15) имеет единственное решение. Тогда стационарное решение х* = 0 системы (1), (2) является асимптотически ¡р~устойчивым.

ПРИМЕР 1. Рассматривается модель, возникающая при описании регуляции ряда физиологических процессов, протекающих в живых организмах: 00 <

— а>2 — а) (¿а,

« о

то г

х2(Ь) = I Д2(а)У2(г-аИа + J Д2(а)

г{х\{Ь — из\ - а))с1а, * ^ О,

г о

ОО 00

£!(*) = J ^(а) - а) йа, х2Ц) = J Д2(а) - а) йа, £ е [—а;,0].

Переменная xi = xi(t) означает концентрацию некоторого вещества в организме, которое вырабатывается со скоростью fi{xt) = 7x2(t - шг), 7 = const > 0. Переменная — х2(t) означает концентрацию гормонов, необходимых ,цля выработки рассматриваемого вещества. Гормоны вырабатываются со скоростью /2(2:t) = r(x\(t — ш\)). Запаздывания w„ i = 1,2, отражают определенные временные задержки, связанные с протеканием процессов, явно не учитываемых в модели, ш = шах(шь шг)- Предполагается, что r(xj) является неотрицательной, унимодальной, непрерывной при 0 ^ £i < 00 функцией и г(0) = 0. Принимается также, что r(xi) имеет непрерывную, ограниченную по модулю производную для всех 0 ^ х\ < оо. Функции Л,(а), i = 1,2, задаются в общем виде и удовлетворяют приведенным выше условиям.

Стационарные решения модели находятся из системы уравнений

Одно из стационарных решений модели - нулевое. Исследуем его на асимптотическую (^-устойчивость. Пусть Х\ - точка, в которой г(х[) достигает своего наибольшего значения. Зададим параллелепипед Ро = {и € : 0 < щ < XI, 0 < и2 < оо}. Для выбранного Д> отображение д(:с^) = (51(2^), дг^ь))7 имеет вид: д\(х() = "уяг^ — ^г), <?г(я«) — — На промежутке

х\ е [0, функция г(х!) возрастает, и для € А) исследуемый процесс регулируется с помощью положительных обратных связей Матрица I — А* имеет вид:

Нулевое решение модели асимптотически ^устойчиво, если I — А" будет невырожденной М-матрицей, то есть при Т1Т2 7г'(0) < 1.

Исследуем на асимптотическую ^устойчивость ненулевое решение системы (16). Пусть Б = Л.\. Используя унимодальность функции г(х1), запишем, что г(:Г1) = тт^^хх), ^(хО}, где

xi - ?ijx2, Х2 = т2г(х 1), ху ^ 0, х2 ^ 0.

(16)

о

\

у2(*1)

л \

\ ч

\

>

V ч

Рис. 1: Функция г(х1)

Тогда дх{хи уг) = - ш2), д2(х{, у,) = т!п{г1(2;1(£ - о^)), г2(у1 (Ь - и^))}. Рассмотрим решение системы (16), для которого х\ > х\. На промежутке х\ 6 (хь оо) функция г(х!) убывает, и для х(Ь) € Бг = {и € Я2 : х\ < г^ < оо, 0 ^ иг < оо} исследуемый процесс регулируется с помощью положительных и отрицательных обратных связей. Матрица I — А* имеет вид:

Выбранное стационарное решение модели будет асимптотически уэ-устойчивым при выполнении неравенства Т1Т2^\г'{х\)\ < 1.

Рис. 2: Границы изменения решений х(1;) в интегральной модели регуляции физиологических процессов

В приложении 1 вычислены двусторонние оценки на решения х(£) модели, построенные с учетом асимптотической ^устойчивости стационарных реше-

ний. В расчетах использована функция r(xj) = ах\ схр (—¿>х2 + cx-L). На рис. 2 приведены границы изменения x(t) для 7 = 2, f\ = 1/3, тг = 1/4, а — 2, b — 4.8, с = 5, при условии, что компоненты функции <р удовлетворяют неравенствам (14).

В примере 2 рассмотрена интегральная модель двуполой популяции, развивающейся в условиях ограниченности ресурсов. Изучено поведение решений модели в зависимости от репродуктивного потенциала популяции Вг. Показано, что неравенство Вт < 1 приводит к вырождению популяции при любых начальных данных. Установлено, что неравенство Br > 1 обеспечивает условие существования устойчивой стационарной динамики популяции. Получены границы возможного изменения численностей особей. В приложении 2 приведены эти границы для конкретного набора параметров модели.

Четвертая глава «Исследование решений дифференциальных моделей саморегулируемых систем» посвящена изучению дифференциальной модели (3), (4) при следующих основных предположениях. Пусть C(I,D) - множество непрерывных функций г : I —» D с нормой |И|с = max\z(d)\, где D - выпуклое подмножество Rm, j - | — одна из норм векторов из Rm, f(z) : С (I, D) —» Rm является непрерывным отображением, ф - непрерывной функцией, все диагональные элементы матрицы Л положительны. Кроме того, полагаем, что для любых z € C(I, D) имеет место представление f(z) = g(z, z), где непрерывное отображение д(х, у) : С{1, D) х C(I, D) -> Rm изотопно по х и антитонно по у. Решением задачи (3), (4) назовем такую функцию х, что xt 6 C(I,D), xq = ф и x(t) удовлетворяет (3) на некотором промежутке [0,(5), 6 > 0.

Систему (3), (4) запишем в эквивалентном виде (5), (6). Введем оператор t

Я(х, y)(t) = K(t) ф(0) + J K(t- s) g{xs, уя) ds, t Z 0, где x = x{t), y = y(t) о

со значениями в D, определены и непрерывны при — ш ^ t < оо. Определим функцию h(u, w) — Л-1 g(u, w), (u, w) € DxD. Используя h(u,w), построим матрицы A*, Â* (см. главу 2).

ТЕОРЕМА 7. Предположим, что существует пара (uw°) € D х D, такая, что и0 ^ w°, и0 ^ h(u°, w°), w° ^ h{w°, и0). Тогда для любой

начальной функции и0 ^ ip{t) ^ui°,te I, существует решение х(4) задачи

(3), (4), определенное на [0,оо). Для решения x(t) справедливы неравенства

и0 < x(t) 4 иР, 0 < t < оо, и° К и* < lim infx(i) ^ lim supx(i) <

/—»+00 t-*+00

w* ^ w°, где пара (u',w*) является решением системы и = h(u, ui), w = h(w, и), u° ^ u, w < w°. Если и* = w*, то x(t) —► x* при 4 +00, где x* - единственное решение уравнения x = h(x, x), u° < x ^ являющееся положением равновесия системы (3).

ТЕОРЕМА 8. Пусть х* € D - внутреннее положение равновесия системы (3), для которого выполнены следующие условия: 1) функция h(u, w) имеет непрерывные частные производные первого порядка в некоторой окрестности пары (х*, х*); 2) матрица А*, такова, что (I — А*) является невырожденной М-матрицей. Тогда существуют вектор 6 R2m, £* = (С.?2)Г> Г > ~ Ä*) Г > 0, и пара и0 = х* - w° = х" + такие, что: 1) u°,w° удовлетворяют неравенствам из теоремы 7; 2) для любой начальной функции i>(t) 6 Ф0 = {ф € Rm : и0 < V ^ w0}, t € I, система (3), (4) имеет решение и0 < x(t) ^ го°, £ € [0, с»), и x(t) —► х* при t -+ +00; 3) положение равновесия х* € D является асимптотически устойчивым.

Задача нахождения пары (и0, w°) и векторов £2, используемых в теоремах 7 и 8, решается с помощью способа, изложенного в главе 2.

ПРИМЕР 3. Рассматривается система дифференциальных уравнений с запаздыванием, описывающая процесс регуляции синтеза белка:

¿i(4) = 1 , 7!.-г - Aixi(t),

1 + x5'(t -Wi)

¿з(4) = 2:2(4) - A3 х3(4), x4(i) = x3(f) - A4 x4(t),

x5(t) = x4(t) - A5 x5(4), 4 > 0, (17)

®i(0) = ®5>0, х2(0)=х^0, хз(0) = x° ^ 0,

X4(4) = 4>i{t) > 0, x5(t) = $¡(4) > 0, - max{wi, ш2} ^ t < 0. (18)

В системе (17) принято, что все А,- > 0, параметры 7 > 0, р > 0, к2 > к4 > О, запаздывания ш2 положительны и конечны. В начальных условиях (18)

= = сотгвЬ, 1 ^ г < 3, - тах{о;1, и>2} < £ ^ О, т/^М - заданные непрерывные функции.

Построим границы изменения решений х(Ь) модели (17), (18), опираясь на асимптотическую устойчивость ее положений равновесия. Пусть £> = Л®. Отображение д{х1,уь) имеет вид:

, ч _1 , , 1 + к2э?/1{Ь-ш2)

ЗгЫ, У г) = х2(Ь), д4(хи у г) = х3Ц), дь(хи у() =

Используя конкретный вид зОс^у«), можно показать, что любое решение системы (17), (18) является неотрицательным и ограниченным сверху. Система уравнений (17) имеет несколько положений равновесия х", для которых установлены достаточные условия их асимптотической устойчивости. Эти условия формулируются в терминах матрицы А*. В приложении 3.1 вычислены границы областей притяжения для х* при следующих значениях параметров модели: А! = Аг = А5 = 5, А3 = 0.2, А4 = 7, 7 = 2, к2 = 100, к^ = 1, р = 2. При этом наборе параметров существует три положения равновесия:

!(!) = (0.1731; 2.7605; 13.8027; 1.9718; 0.3944)г, х\2) = (0.1989; 0.5246; 2.6229; 0.3747; 0.0749)г, гг*3) = (0.2000,0.0439; 0.2194; 0.0313; 0.0063)т.

Показано, что х^ является асимптотически устойчивым. В качестве оценки области притяжения можно выбрать любой из параллелепипедов, границы которых приведены в следующей таблице:

г

Ф4 трь

1 0.1417; 0.2045 0.8985; 4.0141 4.4923; 23.1131 0.6418; 3.3019 0.1284; 0 6604

2 0.1412; 0.2049 1.4908; 4.0303 4.3720; 20.1515 0.6246; 3.3190 0.1249, 0.6638

3 0.2409; 0.2053 1.4769; 4.0442 7.3844; 20.2209 0.6098; 2.8887 0.1220; 0.6668

4 0.1107; 0.2355 1.0907; 4.4304 5.4533; 22 1520 0.7790, 3.1646 0.1558; 0.9225

Строки таблицы задают границы изменения компонент начальной функции — ОМг),..., фь{1))т- В качестве искомой области притяжения Фо можно

выбрать семейство найденных множеств Ф0 = {Ф^ • • ■ Тогда, если начальная функция ?/>(<) е Фц с *о, - тах{ш!, ш2} <t < 0, то решение модели (17), (18) таково, что х(£) € Фц, 0 < £ < оо, и х(() -» х*^ при г —> +оо. Численные эксперименты с использованием пакета МАТЬАВ (функция dde23) показывают, что если трЦ) & Ф<>, то решение хЦ) с течением времени может попасть в область притяжения асимптотически устойчивого положения равновесия х^, и тогда х(Ь) —» при £ —» +оо.

В примере 4 рассмотрена модель динамики популяции, развивающейся в условиях воздействия вредных веществ, входящих в состав ресурсов питания. Получены условия существования ненулевых положений равновесия и найдены достаточные условия их асимптотической устойчивости. Установлены границы изменения численности популяции, гарантирующие ее невырождение. Показано, что стационарный уровень популяции существенно ниже ее уровня при отсутствии воздействия вредных веществ. В приложении 4.1 приведены границы изменения переменных модели для конкретного набора ее параметров. Результаты вычислительного эксперимента с использованием пакета МАТЬАВ (функция с1(1е23) указывают на то, что для этих параметров областью притяжения асимптотически устойчивого положения равновесия может являться множество К\.

В заключении изложены основные результаты диссертационной работы, перечислены семинары и конференции, на которых докладывались отдельные результаты работы.

В приложении приведены результаты численных расчетов по нахождению векторов и0, ги°, и*, ги* для моделей, рассмотренных в главах 3 и 4.

Основной итог диссертации состоит в исследовании динамики многокомпонентных саморегулируемых систем с помощью интегральных и дифференциальных уравнений, построенных с учетом последействия и обратных связей.

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Описан класс интегральных и дифференциальных уравнений с после-

действием, моделирующих динамику некоторых саморегулируемых систем, скорости производства и гибели элементов которых задаются с помощью положительных и отрицательных обратных связей.

2. Разработан способ решения систем уравнений и неравенств с изотонны-ми и антитонными функциями, опирающийся на свойства невырожденных М-матриц и итерационный процесс, реализующий построение решений с помощью монотонного метода.

3. Решена задача нахождения двусторонних оценок на решения х(4) и существования их предела при £ -+ +оо для интегральных и дифференциальных моделей, содержащих изотонные и антитонные отображения, описывающие скорости производства и гибели элементов моделируемых систем; получен критерий асимптотической устойчивости стационарных решений этих моделей;

4. Исследован ряд моделей саморегулируемых систем, возникающих в задачах биологии и экологии, и указаны условия существования устойчивой стационарной динамики переменных моделей.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Карелина Р. О. Построение двусторонних оценок для решений некоторых систем дифференциальных уравнений с последействием / Р. О. Карелина, Н. В. Перцев // Сиб. журн. индустр. математики. — 2005. — Т. 8. - № 4(24). - С. 60-72.

В этой статье Р. О. Карелиной принадлежат способ построения областей притяжения устойчивых положений равновесия в форме объединения параллелепипедов и результаты исследования конкретных моделей; Н. В. Перцеву — постановка задачи.

2. Карелина Р. О. Устойчивость решений некоторых систем дифференциальных уравнений с последействием и оценка их областей притяжения / Р. О. Карелина //VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) : программа и тез. докл. 29-31 окт. 2005 г. - Кемерово, 2005. - С. 38.

3. Перцев Н. В. Устойчивость и оценка областей притяжения положений равновесия некоторых систем дифференциальных уравнений с последействием / Н. В. Перцев, Р. О. Карелина // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования : материалы междунар. науч. конф. 12-17 дек. 2005 г. — Воронеж, 2005. — С. 177.

1Ъзисы доклада содержат результаты совместных исследований по анализу решений некоторого класса систем дифференциальных уравнений с последействием.

4. Перцев Н. В. Об асимптотической устойчивости нулевого решения интегральных моделей некоторых самовоспроизводящихся систем / Н. В. Перцев, Р. О. Карелина // Системы упр. и информ. технологии. — 2006. - № 1(23). - С. 89-94.

В этой статье Н. В. Перцеву принадлежит постановка задачи для рассмотренного класса уравнений; Р О. Карелиной принадлежат исследование вопросов асимптотической устойчивости стационарных решений интегральных уравнений и результаты анализа устойчивости нулевых стационарных решений конкретных моделей.

5. Карелина Р. О. Применение М-матриц для решения систем нелинейных неравенств специального вида / Р. О. Карелина // Вестн. Ом. ун-^га. — 2006. - № 1(39). - С. 12-14.

6. Карелина Р. О. Анализ асимптотической устойчивости положений равновесия дифференциальных уравнений с помощью М-матриц / Р. О. Карелина // Студент и научно-технический прогресс. Математика : материалы ХЫУ междунар. науч. студ. конф. 11-13 апр. 2006 г. — Новосибирск, 2006. - С. 41-42.

7. Карелина Р. О. Двусторонние оценки на решения интегральных моделей некоторых систем с обратными связями / Р. О. Карелина // Вестн. Ом. ун-та. - 2007. - № 1. - С. 13-18.

Статьи [1], [4] напечатаны в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов кандидатских диссертаций.

Карелина Раиса Олеговна

ПОСТРОЕНИЕ ДВУСТОРОННИХ ОЦЕНОК НА РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕКОТОРЫХ САМОРЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 30.03.2007 г. Формат бумаги 60 х 84 1/16. Печ. л. 1,2. Уч.-изд. л 1,2. Тираж 110 экз. Заказ 57.

Издательство Омского государственного университета 644077, г. Омск, пр. Мира, 55А, госуниверситет

Введение

Глава 1. Описание объекта моделирования

1.1 Понятие саморегулируемой системы.

1.2 Формализация некоторых саморегулируемых систем.

1.2.1 Саморегулируемые системы, моделируемые с помощью интегральных уравнений .И

1.2.2 Саморегулируемые системы, моделируемые с помощью дифференциальных уравнений.

1.3 Примеры саморегулируемых систем.

1.4 Выводы по главе.

Глава 2. Применение монотонного метода к исследованию решений некоторых систем интегральных уравнений

2.1 Постановка задачи.

2.2 Системы нелинейных уравнений и неравенств специального вида и некоторые свойства их решений.

2.2.1 Оценки на решения вида и0 ^ х ^ w°.

2.2.2 Оценки на решения вида 0 ^ х ^ w°.

2.3 Двусторонние оценки на решения x(t) и предельное поведение x(t) при t —► +оо.

2.4 Выводы по главе.

Глава 3. Исследование решений интегральных моделей саморегулируемых систем

3.1 Интегральная модель саморегулируемых систем.

3.2 Асимптотическое поведение решений при t —► +оо.

3.2.1 Ненулевое предельное значение, случай R°(a) Ф R(a)

3.2.2 Ненулевое предельное значение, случай R°(a) = R(a)

3.2.3 Нулевое предельное значение.

3.2.4 Асимптотическая (^-устойчивость стационарных решений

3.3 Исследование модели регуляции физиологических процессов

3.4 Исследование модели двуполой популяции.

3.5 Выводы по главе.

Глава 4. Исследование решений дифференциальных моделей саморегулируемых систем

4.1 Дифференциальная модель саморегулируемых систем

4.2 Асимптотическая устойчивость положений равновесия и оценка их областей притяжения

4.3 Исследование модели процесса регуляции синтеза белка

4.4 Исследование модели динамики численности популяции в условиях воздействия вредных веществ.

4.5 Выводы по главе.

Одним из приложений метода математического моделирования является прогнозирование и количественная оценка динамики процессов и систем в биологии, экологии, демографии, экономике и технике. Важнейшим применением моделей является поиск условий, гарантирующих стабильную динамику изучаемых процессов и систем. Такие условия позволяют найти границы изменения переменных, отражающих состояние объектов моделирования, а также оценить характер динамики этих переменных. Многие объекты моделирования характеризуются наличием положительных и отрицательных обратных связей, которые регулируют динамику указанных переменных и обеспечивают саморегулирование объектов в целом. Характерной особенностью обратных связей является высокая размерность вектора используемых переменных, большое число параметров, наличие различных запаздываний, отражающих определенные закономерности функционирования объектов моделирования. Указанные особенности вызывают существенные трудности как на этапе построения моделей, так и на этапе аналитического и численного исследования свойств решений используемых классов уравнений.

Во многих случаях правые части уравнений моделей содержат монотонные функции или операторы, отражающие определенные закономерности изучаемых процессов и систем. Наличие таких функций или операторов позволяет использовать монотонный метод для получения двусторонних оценок на решения моделей. Построение этих оценок опирается на теорему о «вилке» для решения операторных уравнений и ее различные варианты ([1], [б], [27], [30], [40], [42], [52]), теоремы сравнения с использованием функций Ляпунова ([3], [13], [26]) и другие методы. Применение двусторонних оценок к исследованию асимптотического поведения решений при t —> +оо моделей конкретных процессов и систем описано в работах [15], [16], [41], [43], [45], [46], [47], [54], [60], [61], [66], [67], [68], [69] и др.

Настоящая работа посвящена исследованию решений дифференциальных и интегральных уравнений с последействием, моделирующих динамику многокомпонентных систем, в которых скорость производства и гибели отдельных элементов задается с помощью положительных и отрицательных обратных связей.

Целью работы является построение границ изменения решений и исследование асимптотического поведения решений при t —► +оо для рассматриваемого класса моделей.

Основные задачи работы состоят в следующем:

1) формализация динамики некоторых саморегулируемых систем в форме дифференциальных и интегральных уравнений с последействием;

2) построение двусторонних оценок на решения определенного класса систем интегральных уравнений с последействием, нахождение достаточных условий существований предела решений при t —> +оо с помощью монотонного метода и М-матриц;

3) исследование условий существования ограниченных решений и их предела при t —► +00 дифференциальных и интегральных уравнений, моделирующих динамику многокомпонентных саморегулируемых систем в задачах биологии и экологии.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе описан объект исследования: саморегулируемые системы, моделируемые с помощью интегральных и дифференциальных уравнений с последействием. Приведены примеры саморегулируемых систем, для которых правые части уравнений моделей могут быть представлены в виде изотонных и антитонных функций и операторов.

Во второй главе рассмотрены системы нелинейных интегральных уравнений со смешанной монотонностью правых частей (изотонные и антитонные функции и операторы). Для решений x(t) этих систем уравнений получены оценки и* ^ lim inix(t) ^ lim suprc(i) ^ w* и и0 ^ x(t) ^ ги°, t—»+oo t—»+00 t € [0, +оо). Исследованы вопросы нахождения векторов и*, w* как решений нелинейных уравнений и неравенств специального вида.

Третья глава посвящена изучению интегральной модели саморегулируемых систем. Построены двусторонние оценки на решения модели. Исследовано асимптотическое поведение решений при t —»• +оо. Представлены результаты исследования модели регуляции физиологических процессов и модели двуполой популяции.

В четвертой главе рассмотрена дифференциальная модель саморегулируемых систем. Изучена асимптотическая устойчивость положений равновесия и получена оценка их областей притяжения. Представлены результаты исследования модели процесса регуляции синтеза белка и модели динамики численности популяции в условиях воздействия вредных веществ.

В Заключении изложены основные результаты диссертационной работы, перечислены семинары и конференции, на которых докладывались отдельные результаты работы.

В Приложении приведены результаты численных расчетов по нахождению векторов и0, и)0, и*, т* для моделей, рассмотренных в третьей и четвертой главах.

Автор благодарит своего научного руководителя Н. В. Перцева за постановку задач исследования и поддержку в работе, сотрудников кафедры математического моделирования Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского Д. Н. Горелова, А. И. Задорина, С. А. Терентьева, А. С. Толстуху, Б. Ю. Пичугина, А. Н. Пичугину за полезное обсуждение результатов диссертации, а также А. М. Блохина (Институт математики СО РАН им. С. Л. Соболева, г. Новосибирск) и С. П. Шарого (Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск) за внимание, проявленное к работе.

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Описан класс интегральных и дифференциальных уравнений с последействием, моделирующих динамику некоторых саморегулируемых систем, скорости производства и гибели элементов которых задаются с помощью положительных и отрицательных обратных связей.

2. Разработан способ решения систем уравнений и неравенств с изотон-ными и антитонными функциями, опирающийся на свойства невырожденных М-матриц и итерационный процесс, реализующий построение решений с помощью монотонного метода.

3. Решена задача нахождения двусторонних оценок на решения х({) и существования их предела при £ —> +оо для интегральных и дифференциальных моделей, содержащих изотонные и антитонные отображения, описывающие скорости производства и гибели элементов моделируемых систем; получен критерий асимптотической устойчивости стационарных решений этих моделей.

4. Исследован ряд моделей саморегулируемых систем, возникающих в задачах биологии и экологии, и указаны условия существования устойчивой стационарной динамики переменных моделей.

По теме диссертации опубликованы работы: [21, 22, 23, 24, 25, 44, 49]. Результаты работы докладывались:

- на б всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Кемерово, 2005 г.);

- на международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2005 г.);

- на 44 международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2006 г.);

- на семинаре в Институте вычислительных технологий СО РАН (г. Новосибирск, 2006 г.);

- на семинаре кафедры дифференциальных уравнений НГУ (г. Новосибирск, 2006 г.);

- на семинарах «Математическое моделирование и численные методы» кафедры математического моделирования ОмГУ и Омского филиала института математики СО РАН им. С. Л. Соболева (г. Омск, 2004 - 2006 гг.).

Заключение

Основной итог диссертации состоит в исследовании динамики многокомпонентных саморегулируемых систем с помощью интегральных и дифференциальных уравнений, построенных с учетом последействия и обратных связей.

1. Азбелев Н. В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. — М. : Наука, 1991. - 280 с.

2. Азбелев Н. В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с последействием / Н. В. Азбелев, В. В. Малыгина // Изв. вузов. Математика. -1994. № 6. - С. 20-27.

3. Азбелев Н. В. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными / Н. В. Азбелев, П. М. Симонов. — Пермь : Изд-во Перм. ун-та, 2001. 230 с.

4. Азбелев Н. В. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом / Н. В. Азбелев, П. М. Симонов // Изв. вузов. Математика. — 1997. — № 6. С. 3-16.

5. Азбелев Н. В. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II / Н. В. Азбелев, П. М. Симонов // Изв. вузов. Математика. — 2000. № 4. - С. 3-13.

6. Азбелев Н. В. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. — М.: Ин-т компьютер, исслед., 2002. 384 с.

7. Бабский В. Г. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия / В. Г. Бабский, А. Д. Мышкин // Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М. : Мир, 1983. - С. 383-394.

8. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем / Н. П. Бусленко. — М. : Наука, 1978. 399 с.

9. Власов В. В. Об оценках решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / В. В. Власов, Д. А. Медведев // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 6. - С. 21-29.

10. Воеводин В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. — М. : Наука, 1984. — 318 с.

11. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование / В. Вольтерра. М. : Наука, 1976. — 286 с.

12. Глушков В. М. Моделирование развивающихся систем / В. М. Глуш-ков, В. В. Иванов, В. М. Яненко. — М. : Наука, 1983. — 352 с.

13. Груйич Л. Т. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях / Л. Т. Груйич, А. А. Мартынюк, М. Риббенс-Павела. — Киев : Наук, думка, 1984. — 308 с.

14. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. М. : Наука, 1967. 472 с.

15. Дьери И. Об устойчивости положений равновесия функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа, обладающих свойством смешанной монотонности / И. Дьери, Н. В. Перцев // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 297. - № 1. - С. 23-25.

16. Занг В.-Б. Синергитическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. / В.-Б. Занг. — М.: Мир, 1999.- 335 с.

17. Заславский Б. Г. Стохастическая модель роста клеточной популяции / Б. Г. Заславский // Проблемы кибернетики. — М. : Наука, 1975. С. 139-151.

18. Искусственные иммунные системы и их применение: Пер. с англ. / ред. Д. Дасгупта. — М. : Физматлит, 2006. 343 с.

19. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. М. : Наука, 1984. 752 с.

20. Карелина Р. О. Применение М-матриц для решения систем нелинейных неравенств специального вида / Р. О. Карелина // Вестн. Ом. ун-та. 2006. - № 1(39). - С. 12-14.

21. Карелина Р. О. Двусторонние оценки на решения интегральных моделей некоторых систем с обратными связями / Р. О. Карелина // Вестн. Ом. ун-та. 2007. - № 1. - С. 13-18.

22. Карелина Р. О. Построение двусторонних оценок для решений некоторых систем дифференциальных уравнений с последействием / Р. О. Карелина, Н. В. Перцев // Сиб. журн. индустр. математики. 2005. - Т. 8. - № 4(24). - С. 60-72.

23. Козлов Р. И. Теория систем сравнения в методе векторных функций Ляпунова / Р. И. Козлов. — Новосибирск : Наука, 2001. — 128 с.

24. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика / Л. Коллатц. М. : Мир, 1969. - 448 с.

25. Колмановский В. Б. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием / В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. — М. : Наука, 1981. 448 с.

26. Краснощеков П. С. Принципы построения моделей / П. С. Краснощекое, А. А. Петров. М. : Изд-во МГУ, 1983. - 264 с.

27. Курпель Н. С. Двусторонние операторные неравенства и их применения / Н. С. Курпель, Б. А. Шувар. — Киев : Наук, думка, 1980. — 267 с.

28. Майборода И. Н. О двустороннем методе решения нелинейных уравнений / И. Н. Майборода, Л. А. Островецкий // Изв. вузов. Математика.- 1998. № 4. - С. 53-59.

29. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях: Пер. с англ. / Дж. Марри. — М. : Мир, 1983. — 397 с.

30. Марчук Г. И. Математические модели в иммунологии / Г. И. Марчук.- М. : Наука, 1980. 264 с.

31. Марчук Г. И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты / Г. И. Марчук. —. М. : Наука, 1991. — 300 с.

32. Моисеев Н. Н. Модели экологии и эволюции / Н. Н. Моисеев. — М. : Знание, 1983. 64 с.

33. Мэй Р. Инфекционные болезни человека. Динамика и контроль: Пер. с англ. / Р. Мэй, Р. Андерсон. М. : Мир, 2004. — 784 с.

34. Нахушев А. В. Уравнения математической биологии / А. В. Нахушев.- М. : Высшая школа, 1995. — 301 с.

35. Недорезов Л. В. Курс лекций по математической экологии / Л. В. Недорезов. — Новосибирск : Сиб. хронограф, 1997. — 161 с.

36. Николис Г. Самоорганизация в неравновесных системах / Г. Николис, И. Пригожин. М. : Мир, 1979. - 512 с.

37. Оболенский А. Ю. Об устойчивости решений автономных систем Ва-жевского с запаздыванием / А. Ю. Оболенский // Укр. мат. журн. — 1983. Т. 35. - С. 574-579.

38. Опойцев В. И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения / В. И. Опойцев. — М. : Наука, 1977. — 245 с.

39. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболт. — М. : Мир, 1975. 558 с.

40. Перцев Н. В. Двусторонние оценки решений интегродифференциаль-ного уравнения, описывающего процесс кроветворения / Н. В. Перцев // Изв. вузов. Математика. 2001. - № 6. - С. 58-62.

41. Перцев Н. В. Об асимптотической устойчивости нулевого решения интегральных моделей некоторых самовоспроизводящихся систем / Н. В. Перцев, Р. О. Карелина // Системы упр. и информ. технологии. 2006. - № 1(23). - С. 89-94.

42. Перцев Н. В. Об ограниченных решениях одного класса систем интегральных уравнений, возникающих в моделях биологических процессов / Н. В. Перцев // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35. — X2 6. С. 831-836.

43. Перцев Н. В. Об устойчивости нулевого решения одной системы инте-гродифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамикипопуляций / Н. В. Перцев // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 8. С. 47-53.

44. Перцев Н. В. Применение монотонного метода и М-матриц к анализу поведения решений некоторых моделей биологических процессов / Н. В. Перцев // Сиб. журн. индустр. математики. — 2002. — Т. 5. — № 4(12). С. 110-112.

45. Перцев Н. В. Применение одного дифференциального уравнения с последействием в моделях динамики популяций / Н. В. Перцев // Фун-дам. и приклад, математика / Омск, ОмГУ. — 1994. — С. 119-129.

46. Пичугина А. Н. Интегродифференциальная модель популяции, подверженной воздействию вредных веществ / А. Н. Пичугина // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. - Т. 7. - № 4(20). - С. 130-140.

47. Полуэктов Р. А. Динамические модели экологических систем / Р. А. Полуэктов, Ю. А. Пых, И. А. Швытов. — JI. : Гидрометеоиз-дат, 1980. 288 с.

48. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский и др.]. М. : Наука, 1969. — 455 с.

49. Самарский А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. — М. : Наука, 1997. — 316 с.

50. Семенов М. Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М. Е. Семенов. — Воронеж : Гос. техн. акад., 2002. — 104 с.

51. Сравнение двух математических моделей для описания пространственной динамики процесса свертывания крови / А. И. Лобанов и др.] // Мат. моделирование. 2003. - Т. 15. - К°-1. - С. 14-28.

52. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. М. : Мир, 1984. - 421 с.

53. Хмелевский Ю. И. Самовоспроизводящиеся системы. Математическая теория / Ю. И. Хмелевский. — М. : Наука, 1991. — 220 с.

54. Чоудхури Д. Иммунная сеть как пример сложной адаптивной системы / Д. Чоудхури // Искусственные иммунные системы и их применение. М. : Физматлит, 2006. С. 117-134.

55. Эльсгольц JI. Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / JI. Э. Эльсгольц, С. Б. Норкин. — М. : Наука, 1971. 296 с.

56. Allwright D. J. A global stability criterion for simple control loops / D. J. Allwright // J. Math. Biol. 1977. - V. 4. - P. 363-373.

57. Banks H. T. Global asymptotic stability of certain models for protein synthesis and repression / H. T. Banks, J. M. Mahaffy // Quart. Appl. Math. 1978. - V. 36. - P. 209-221.

58. Berman A. Nonnegative matrices in the mathematical sciences / A. Berman, R. J. Plemmons. — New York : Acad, press, 1979. — 316 p.

59. Bocharov G. Numerical modelling in biosciences using delay differential equations / G. Bocharov, F. A. Rihan //J. Comput. Appl. Math. — 2000. V. 125. - P. 183-199.

60. Bocharov G. Structured population models, conservation laws and delay equations / G. Bocharov, K. P. Hadeler //J. Differential Equations. — 2000. V. 168. - P. 212-237.

61. Celada F. A computer model of cellular interactions in the immune system / F. Celada, P. E. Seiden // Immunol. Today. 1992. - V. 13. -№2.-P. 56-62.

62. Gyori I. Asymototic stability and oscillation of linear non-autonomous delay differential equations / I. Giory // Proceedings of International Conference on Theory and Applications of Differential Equations. March 21-25, 1988. Ohio, 1989. - P. 389-397.

63. Gyori I. Global attractivity in delay differential equations using mixed monotone technique / I. Gyori // J. of Math. Anal, and Appl. — 1990. — V. 152. № 1. - P. 131-155.

64. Gyori I. Interaction between oscillations and global asympototic stability in delay differential equations / I. Gyori // Differential and Integral Equations. 1990. - V. 3. - № 1. - P. 181-200.

65. Gyori I. Some mathematical aspects of modelling cell population dynamics / I. Gyori // Comput. Math. Appl. 1990. - V. 20. - № 4-6. - P. 127138.

66. Mahaffy J. M. Cellular control models with linked positive and negative feedback and delays. Linear analysis and local stability / J. M. Mahaffy // J. Theor. Biol. 1984. - V. 106. - P. 103-118.

67. Takahashi M. Theoretical basis for cell cycle analysis / M. Takahashi //J. Theor. Biol. 1968. - V. 18. - P. 195-209.