автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Геометрический алгоритм разложения условий инцидентности и его применение при исследовании многофакторных процессов

На правах рукописи

ЯКОВЕНКО КИРИЛЛ СЕРГЕЕВИЧ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ РАЗЛОЖЕНИЯ УСЛОВИЙ

ИНЦИДЕНТНОСТИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Специальность 05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная графика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

3 МАЗ 2012

Омск 2012

005016581

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Волков Владимир Яковлевич, заведующий кафедрой «Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика» ФГБОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)»

доктор физико-математических наук, профессор, Гуц Александр Константинович, декан факультета компьютерных наук ФГБОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского»

кандидат технических наук, доцент Куликов Леонид Константинович, доцент кафедры «Инженерная геометрия и САПР» ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования «ВосточноСибирский государственный технологический университет», г. Улан-Удэ

Защита диссертации состоится 11 мая 2012 г. в 1630 ч. на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 212.250.03 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия» по адресу: 644080, г. Омск, пр. Мира, 5, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия» по адресу: 644080, г. Омск, пр. Мира, 5.

Отзывы на автореферат направлять по адресу: 644080, г. Омск, пр. Мира 5, тел., факс: (3812) 65-03-23, e-mail: Arkhipenko_m@sibadi.org

Автореферат разослан 11 апреля 2012 г.

Официальные оппоненты:

Ученый секретарь объединенного диссертационного совета ДМ 212.250.03 кандидат технических наук

М.Ю. Архипенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В современных исследованиях в области многофакторных технологических процессов и решения задач их оптимизации часто, наряду с традиционными математическими методами планирования эксперимента, применяют методы математического (геометрического) моделирования. Такое моделирование проводится методами инженерной геометрии, практическая ценность которых заключается в графическом представлении функциональных зависимостей показателей качества от факторов и параметров, определяющих процесс с числом переменных более трех.

Анализ традиционных экспериментальных методов исследования многокомпонентных систем показывает, что с увеличением числа компонентов значительно возрастает объем экспериментальной работы, требующей привлечения большого количества квалифицированных кадров и, зачастую, связанной с эксплуатацией уникального оборудования и значительными расходами дефицитных и дорогостоящих материалов. А для процессов, в которых присутствуют опасные и токсичные вещества, их применение связано еще и с большими экспериментальными трудностями. В то же время применение математических (геометрических) методов моделирования позволяет сократить для двойных и тройных систем объем выполняемых экспериментов в 2-3 раза, а для систем с числом компонентов более трех — в 3-5 раз.

Поэтому наиболее актуальными вопросами в этой области становятся вопросы анализа и синтеза геометрических условий при построении моделей конечномерного геометрического множества, теории построения конструктивных моделей конечномерных аффинных и проективных пространств и теории построения аналитических моделей линейчатых и циклических гиперповерхностей.

Современная инженерная геометрия использует широкий спектр средств, методов и теории смежных наук, таких как классическая алгебраическая геометрия, исчислительная геометрия, многомерная геометрия и др. И на сегодняшний день уже существует широкий набор методов и подходов геометрического моделирования. Вместе с тем, продолжает оставаться актуальной проблема разработки новых методов геометрического моделирования, которые бы позволяли находить требуемые решения различных многопараметрических задач, где основную роль играет возможность моделировать процессы по заранее заданным параметрам.

Оперирование геометрическими условиями, одним из которых является обобщенное условие инцидентности, при математическом (геометрическом) моделировании позволяет заранее определить алгебраические и структурные характеристики моделирующего многообразия. В связи с этим задачи алгоритмизации методов разложения и редукции таких геометрических условий, являются на сегодняшний день актуальными.

Объектом диссертационного исследования является процесс конструирования многообразий с применением редукции условий инцидентности.

Предметом исследования являются алгоритмы редукции произведений условий инцидентностей.

Цели и задачи работы. Разработать алгоритм разложения условий инцидентности исчислительной геометрии и рассмотреть его применение при исследовании многофакторных процессов путем построения оптимальных многомерных поверхностей с заданными параметрами.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие основные задачи:

- систематизировать сведения о современном символьном представлении геометрических условий инцидентности и вычислении их структурных характеристик;

- разработать и формализовать алгоритм редукции произведения условий инцидентности общего вида;

- разработать элементы программного обеспечения для редукции произведения условий инцидентности и оформить их в виде библиотеки или программного модуля;

- рассмотреть возможность анализа и планирования экспериментов при исследовании многофакторных процессов с помощью математического (геометрического) моделирования;

- разработать метод исследования многофакторных процессов путем построения оптимальных многомерных поверхностей с заданными параметрами.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались элементы теории многомерной геометрии, проективной геометрии, многомерной начертательной геометрии, многомерной исчислительной геометрии, инженерной геометрии, вычислительной математики и компьютерной графики, а так же элементы геометрического моделирования с использованием современных ЭВМ для визуализации полученных результатов.

Научная новизна. К новым результатам, полученным в диссертации можно отнести:

- доказательства методами современной исчислительной геометрии формул определения структурных характеристик основных видов инцидентности, являющихся в исчислительной геометрии основополагающими;

- формализация и компьютеризация основных алгоритмов редукции произведения условий инцидентности;

- разработанный подход математического (геометрического) моделирования многофакторных процессов с использованием условий инцидентности для поверхностей с предварительно заданными геометрическими условиями и параметрами.

Подтверждением степени достоверности и научной новизны так же является то, что диссертационная работа выполнялась в рамках мероприятия 2 Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала научной школы (2008-2012), проект № 2.1-5433 "Синтетическое моделирование технических изделий и многокомпонентных, многофакторных

процессов", в ходе которого использовались теоретические и прикладные результаты проведенных исследований.

Научно-практическая значимость работы. Основным практическим результатом работы является реализованный комплекс алгоритмов редукции произведения условий инцидентности (получено свидетельство о регистрации программы в РОСПАТЕНТ №2012611801 от 17 февраля 2012 г.). Полученный комплекс алгоритмов может быть использован при автоматизации исследований характеристик многообразий и пространств.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на кафедре компьютерных технологий и сетей ФГБОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского» к лекционному курсу по дисциплине «Инженерная графика» для специальности 230100 «Информатика и вычислительная техника», а так же на предприятии по автоматизации бизнес-процессов ООО «Кристаллникс». Основные положения, выносимые на защиту:

- доказательства методами исчислительной геометрии формул определения структурных характеристик основных видов условий инцидентности, являющихся в исчислительной геометрии основополагающими;

- формализация и компьютеризация алгоритмов редукции произведения условий инцидентности;

- способ конструирования конгруэнций пятимерного пространства;

- метод первичного анализа и дальнейшего планирования экспериментов исследования многофакторных и многопараметрических процессов с применением конструктивных моделей (чертежа Радищева);

- способ определения оптимальной области параметров в зависимости от значений факторов. ■

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих международных семинарах и научно-технических конференциях:

1. «Развитие дорожно-транспортного комплекса и строительной инфраструктуры на основе рационального природопользования» (И Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, Омск, СибАДИ, 2007)

2. 13th International Conference on Geometry and Graphics (Dresden, Germany, 4th-8th August, 2008).

3. VIft Conference Geometry and Graphics (Ustron, Poland, 24th - 26th June, 2009).

4. «Креативные подходы в образовательной, научной и производственной деятельности» (64-ая научно-техническая конференция ГОУ «СибАДИ», Омск, 2010).

5. Vil"1 Conference Geometry and Graphics (Ustron, Poland, 27th - 29th June, 2011).

6. «Ориентированные фундаментальные и прикладные исследования - основа модернизации и инновационного развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплексов России» (Всероссийская 65-ая научно-техническая конференция ФГБОУ ВПО «СибАДИ», Омск, 2011).

Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах, в том числе 3 отчета по проекту № 2.1-5433 «Синтетическое моделирование технических изделий и многокомпонентных, многофакторных процессов» аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2008-2012г.)" [7-9], 2 статьи [1, 2] в журналах из списка, рекомендованного ВАК, получено Свидетельство о регистрации электронного ресурса [10] N° 16311 от 01.11.2011, а так же Свидетельство о регистрации программ для ЭВМ в Роспатенте № 2012611801 от 17.02.2012 [И] и прочих [3-6,12,13].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 107 страницах, содержит 16 рисунков, 1 таблицу, 3 приложения, 2 акта внедрения. Библиографический список содержит 84 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследований, отмечена научная новизна и практическая значимость результатов работы, кратко изложена структура диссертации.

Первая глава посвящена исчислительной геометрии. В рамках исследований проблем исчислительной геометрии многомерных пространств Волковым В. Я. было введено символьное представление геометрических условий, которое эквивалентно Шубертовым условиям.

Для задания условий инцидентности и соответствующих им многообразий используется буква е и обобщенное виртуальное условие инцидентности представляется как:

т, »1-1, т-2, ..., 1, 0

ат • ат~ 1 > ат-2 > «1 > а0 ' ^ '

Значения верхних и нижних индексов определяют соответственно полный и неполный флаг. Индексы т,т-1,...,0 определяют размерность линейного многообразия и всех его подмногообразий, а индексы a¡ - размерности многообразий, в которых находятся линейные подмногообразия искомого многообразия.

Г.Ф. Бейкер в своем сборнике трудов «Principles of Geometry» приводит формулы расчета степени свободы (размерности многообразия) и количества условий, которые необходимо задать, что бы получить данное многообразие для трех основных видов инцидентности, которые являются основополагающими в исчислительной геометрии. Ссылаясь на то, что приведенные формулы легко выводимы методами алгебры, Бейкер не доказывает приводимые им формулы.

Далее используя новое символьное представление условий инцидентности, выведем и подтвердим формулы размерностей условий и многообразий для фундаментальных условий инцидентности:

6

1. Поле объектов.

Пространство К размерности к, находящееся в пространстве Я, имеет степень свободы (г-к)(к+1). Соответствующее данному условию виртуальное

„к, к-1..... О _

условие инцидентности имеет следующий вид _ г_к. Данное условие

инцидентности является нулевым условием, т.к. размерность условия равна:

(2-г-к)-(к + \) , , ,ч (2-г-к)-(к + 1) \ к-(к + \) . -^-¿-(г + г-1+... + #•-*)= ^-2 . '-/••(* + 1)+ у2 у =

Размерность данного фундаментального условия инцидентности равна О, потому что каждое из простых условий является естественным и размерность каждого из таких условий имеет нулевую размерность. Размерность многообразия будет составлять:

вк=(г + г-1+... + г-к)Лк.(к-1)=г.(к+1)-±^-±±±1) =.(* + 1).(,_ 4

2. Пересечение объектов.

Пространство М, являющееся пересечением двух пространств Н и К находящихся в пространстве Я, имеет степень свободы (к-т)(г-к)+(т+1)(И-т) и должно удовлетворять (т+1)(т—к—к+г) условиям, а соответствующее вирту-

_ к, к-1..... т+1, т,т-1,.... О

альное условие инцидентности будет иметь вид г_,.....г-к+т+\, и, и-\,..., и-т ■

В терминологии исчислительной геометрии данное условие инцидентности означает, что ¿-плоскость пересекается с

й-плоскостью по т-плоскости. Размерность данного условия равна:

0,6 = --^—~-(г + ... + г-к + т + 1 + Н + ... + Н-т) =

= {2-г-кУ{к + 0_,..^_И>) + 1^_|>,).^_<Я_1)+1.<И.(И, + 1)_Й.(<В + 1)В5

= {т+^)-{г-И + т-к).

Действительно, все простые условия до т-то и после естественные и их размерности равны 0, а размерность т-то условия равна Q0e. Размерность многообразия будет:

дт = (г + ... + г~к + т + \+/1 + ... + к-т)-~-к(к + 1) =

= г-(к-т)-~(к-т)-(к-т-1)---т-(т + \) + И-{т + \)-~к-(к + 1) = 2 =(к-т){г-$+{т + 1)-{И-т) 2

3. Связка геометрических объектов.

Пространство К, содержащее заданное пространство М и находящееся в пространстве /?, должно иметь степень свободы (г-к)(к-т). Соответствующее виртуальное условие для этого выражения будет задаваться виртуальным усЛ, к-1,..., /и+1, т, т-1.....О

ловием для многомерной СВЯЗКИ, И иметь ВИД ег<г-\.....г-*+т+1, т, т-\.....о > 4X0

интерпретируется как связка «¡-плоскостей с центральной ¿-плоскостью. Размерность данного условия будет:

во6 =(-2шГ-к^к + 1)-(г + ... + г-к + т + 1 + т + ... + 0) =

= (2^-к)2(к + Х)-г-(к-т) + ±.{к-т).(к-т-\)-±-т.(т + \) = = к-(г-т) + (г-к)-г-(к-т) = {г-к)-{т + \).

Размерность многообразия в свою очередь будет:

йт = {г +•■• + г ~ к + т +1 + /« + ... + 0) - ^ -к- (к +1) =

= г -(А - т)~-(к-т)-(к - + ~ т-{т+\)---к -(к + 1) = = г-(к-т)-к-(к + т) = (г-к)-{к-т).

Все полученные результаты можно легко проверить с помощью теории исчисления параметров и теории пересечений. Дня более детального понимания полученных результатов приведем примеры простых шубертовых условий, которым может удовлетворять многообразие 3-плоскостей пятимерного проективного пространства:

1 „3,2,1,0

е5,4,з,2 — синтетическая форма условия инцидентности означает отсутствие условия. Применяя полученные формулы получим, что Qoб=0, а дт=(3+1)(5-3)=8.

е5,3,2,1 — синтетическая форма условия инцидентности означает пересечение данной 3-плоскости по плоскости. Параметры данного условия инцидентности будут до6=(2+1)(5-3+2-3)=3, а £)т=(3-2)(5-3)+(2+1)(3-2) =5.

1 о3-2-1-0 л.

5,2,1,0 — синтетическая форма условия инцидентности означает, что

3-плоскость инцидентна данной плоскости. Применяя полученные формулы получим, что @об=(5-3)(2+1)=6, а <2т=(5-3)(3-2)=2.

Полученные нами формулы полностью соответствуют формулам, приведенным Бейкером. Это подтверждает их правильность и дает нам возможность сделать следующее утверждение.

Утверждение. В общем случае каждый геометрический объект, для которого можно задать условия его существования, определяется значениями определённого количества параметров. А класс этих геометрических объектов, того же описания, в общем случае можно задать определенным виртуальным условием инцидентности е, которое зависит от значений Qm параметров или агрегируется членами класса оое™ в терминологии теории исчисления параметров.

Порядок линейчатых многообразий гиперповерхности.

Пусть многообразие Ш является однопараметрическим многообразием ¿-плоскостей и задается, каким либо, условием Е, размерность которого

dim E = (к + l)(n - к) — 1. Исходя из наложенного условия на размерность Е, многообразие будет представлять собой гиперповерхность. Будем считать, что Е есть любое совместное произведение условий инцидентности. Тогда порядок многообразия W будет определяться числом его точек пересечения с подпространством дополнительной размерности, т.к. dim W= к + 1, то дополнительное пространство будет иметь размерность п — к— 1.

Теорема. Порядок гиперповерхности заданной совместным условием инцидентности Е вычисляется по следующей формуле

г 1, о _ к,к-1.....0

Я ' en,...,n-k+\,n-k-l ' 8 ' ек,к-1.....0

где g — искомый порядок.

Действительно, единственно возможной формой эквивалентности для Е может быть только

к, к-1.....О

Е ' к+\, к-1.....О'

что представляет собой систему из g различных (к+1)-мерных подпространств.

Перемножая данную эквивалентную форму условия Е с условием пересечения в точке с подпространством размерности п — к— 1, получим следующее произведение

_ к, к-1.....0 к..... 1, 0

S ■ ек+\, к-1.....О ' еп,..., п-к+\,п-к-\ •

Данное произведение условий инцидентности является произведением 3 вида, если поменять второй и третий сомножитель местами. Редукция данного произведения выглядит следующим образом

¿с, =(<г + 1) + (*-1) + ... + 1 + 0-я + * + я-*-1= +

/=о 2

Разложим условие ек'+\, ¿1!', Г,о:

к-1 <ст<к+ 1 к+1, к

к—2 < ст <к— 1 к-1

0 <ст<1 1

0 <ст< 0 0

Из разложения видно, что существуют два набора чисел к+1,к-1,...,0 и к,к-к

1.....0, но удовлетворяет только второй набор, отсюда следует, что ре-

1=0

зультатом произведения (2) будет

р. в*.*-1.....о

Теоретические изыскания, приведенные в первой главе, показывают, каким образом условия инцидентности задаются в символьной форме, какие на них можно наложить дополнительные геометрические условия и рассматриваются вопросы вычисления их алгебраических характеристик.

Во второй главе рассматривается формализация алгоритмов редукции произведений основных видов условий инцидентности и на их основе выводится алгоритм редукции общего вида, представленный в виде блок схемы на рисунке 1. Данный алгоритм основывается на том, что любое условие инцидентности общего вида можно представить в виде определителя:

т-1.....1, о

• ат~\. —. . а0

-О..),*«

(3)

где (,..)=п,п-1, ...,п - т+1, кц=а, -1+] (и)=(0,1, ...,т).

Данный алгоритм позволяет упростить и формализовать произведение условий редукции. Рассмотрим применение алгоритма на примере конструирования конгруэнций пятимерного пространства. Допустим, что нам необходима конгруэнция, образующая которой будет 2-плоскостю, а искомые структурные характеристики конгруэнции будут третьего порядка и второго класса. Перечислим всевозможные шубертовы многообразия 2-плоскостей пятимерного пространства и укажем их размерность:

-2,1,0 е5,4,2 -1; 2,1,0 5,4,1 -2; р2,1,0 5,4,0 -3; 2,1,0 5,3,2 — 2

-2,1,0 ^5,3,1 -3; 2,1,0 5,3,0 -4; -2,1,0 5,2,1 -4; 2,1,0 5,2,0 — 5

-2.1.0 65,1,0 -6; 2,1,0 64,3,2 -3; «2.1.0 4,3,1 -4; -2,1,0 4,3,0 -5

2,1,0 64,2,1 -5; е 2,1,0 4,2,0 -6; -2,1,0 4,1,0 -7; 2,1,0 3,2,1 -6

- 2,1,0 3,2,0 -7; 2,1,0 63,1,0 -8; 2,1,0 2,1,0 -9;

В соответствии с этим, существует 53 различных варианта конгруэнции, где сИтЕ = 7. Остается только составить их условия инцидентности и выполнить их редукцию, затем выбрать те из них, которые удовлетворяют искомым характеристикам. Для одной из таких конгруэнций сформулируем теорему:

Теорема. Конгруэнция пятимерного пространства Е5, образующая которой 2-плоскость, удовлетворяющая обобщенному условию инцидентности

2,1,0 / 2,1,0 \2 2,1,0 е5,4,2 ' \е5,4,1) ' е5,з,2 > есть конгруэнция третьего порядка второго класса.

Вход - алгоритм

/ Ввод е; /

/ ВводТг 7

Рис. 1. Блок-схема обобщенного алгоритма произведения двух виртуальных условий инцидентности 11

Как было изначально задано размерность dim Е = 7, а соответственно дополнительная размерность должна быть равна 2.

^ „ 2,1,0 / 2,1,0 V 2,1,0 _

Так как редукция условии данной конгруэнции e5 4j2 ■ ^5,4,1 / ' е5,з,2 бу-

1 2,1,0 . О 2,1,0

дет равна J'e4,i,o +^'ез,2,о> структурные характеристики конгруэнции вычисляются по следующим формулам:

U. + 2. i»2-1-0 V е2-1-0 - 3 • е2'1'0

V3 4,1,0 ^ е3,2,0) е5,4,1 _ J 2,1,0 >

где 3 является порядком конгруэнции и означает, что конгруэнции принадлежат три 2-плоскости, которые пересекают прямую общего положения в точке.

fc л. о о2-1-0! о2'1-0-о а2'1'0

у ' 4,1,0 Z " е3,2,0 / е5,3,2 — ' е2,1,0 >

где 2 - класс заданной конгруэнции 2-плоскостей, означающий, что существует две 2-плоскости, пересекающие по прямой 3-плоскость общего положения.

Описанный в данной главе комплекс алгоритмов редукции произведения условий инцидентности позволяет максимально упростить, производимые ранее вручную, вычисления структурных и алгебраических характеристик многообразий, удовлетворяющих заданным условиям инцидентности.

В третьей главе на двух конкретных примерах рассмотрены вопросы математического (геометрического) моделирования многофакторных процессов методами исчислительной геометрии и построением поверхностей с заранее заданными параметрами.

Первый пример рассматривает процесс создания графическо-аналитичес-кой модели эксперимента исследования повышения активности золоцемент-ного вяжущего. Анализ данной модели показал динамику изменения значения активности золоцементного вяжущего в зависимости от изменения параметров эксперимента, а так же позволил дать качественные рекомендации для дальнейшего планирования эксперимента.

В качестве второго примера рассматривается прикладная задача швейного производства - исследование и оптимизация процесса ниточного соединения тканей, путем определения области оптимальных значений основных параметров соединения тканей в зависимости от показателей качества.

На рисунке 2 в виде чертежа Радищева представлены экспериментальные данные, которые были полученные к.т.н. Чижик М.А.

В качестве параметров процесса образования ниточного шва выбраны: х; - длина стежка, мм; хг — натяжение игольной нитки, Н; х3 — толщина швейной нитки, текс. В качестве оптимизируемых факторов выступают: /; — разрывная нагрузка ниточного шва в поперечном направлении, 1: 20 Н; f2 - жесткость ниточного шва, 1:1000 мкНсм ; f3 - разрывная нагрузка ниточного шва в продольном направлении, 1: ЮН.

Рис. 2. Чертеж Радищева, отражающий зависимость трех оптимизационных факторов от трех параметров процесса ниточного соединения ткани Джинс-стрейч челночным стежком под углом 30° к нити основы

Как видно, полученные графики для оптимизирующих факторов на некоторых участках незначительно отличаются от прямых линий. Исходя из этого, в качестве уравнения регрессии можно принять уравнение линейчатой поверхности. Таким образом, рассмотрим построение линейчатой поверхности как оптимизационной модели трёх параметров процесса ниточного соединения текстильного материала в 4-х мерном пространстве.

Исходя из экспериментальных данных и построенных нами графиков, заданье /1,0 V

дим общее условие инцидентности искомои поверхности: ■ \е42) , где

64® означает, что прямая пересекает прямую в бесконечно удалённой точке, т.е. - „1.0

параллельна ей; е4 2 в свою очередь означает, что прямая пересекает плоскость

в точке. Оба условия заданы для 4-х мерного пространства.

Раскладывая полученное условие инцидентности, получаем:

Далее найдём параметрические числа полученного выражения, для этого необходимо найти все условия инцидентности, размерность которых равна 4. Данное условие получено из формулы: Q = D£ - dim е, где D"m - размерность линейчатого объекта по формуле Грассмана, a dime — размерность многообразия, задаваемого условием инцидентности. Такие условия инцидентности, имеющие данную размерность, являются образующими условию е и, перемножив их, получим либо несовместное условие, либо условие инцидентности вида к • ei0, что в свою очередь означает, что к является параметрическим числом условия инцидентности.

Для (4) таковыми условиями являются e4>i и :

Как видно параметрическими числами условия являются 2 и 1, где 2 - порядок многообразия, а 1 — класс. Исходя из того, что порядок равен 2, получаем, что полином конструируемой поверхности будет так же второго порядка.

Так как эксперимент для каждого измерения проводился только один раз, экспериментальные данные получены с некоторой погрешностью и использование, в этом случае, интерполяции может дать приближение плохого качества. Поэтому целесообразно строить приближающую функцию таким образом, чтобы сгладить влияние погрешности измерения и числа точек эксперимента. Такое сглаживание реализуется при построении приближающей функции по методу наименьших квадратов.

2 ■ ез'о + б-

•2,1 •

(4)

Исходя из того, что степень полинома конструируемой поверхности равна 2, вид приближающей функции будет

Р(х1>х2>хз) ~ ао +а1 +а2 •х2 +аъ -х3 + д4 ■х1 • х2 + + а5 ■ Ху ■ х3 + а6 ■ х2 ■ х3.+ а7 ■ х2 + аъ ■ х\ + а9 ■ х\

Для фактора выражающего разрывную нагрузку ниточного шва в поперечном направлении /}:

Ъ(х1,х2,х3) = 136.212424 - 21.864007 • х, -4.53982917 • х2 + + 0.000322989 х3 -0.0663415936 -х, -х2 + 0.96392269 ■ х, х3 + + 0.399499733-х2-х3 + 2.45332926 • х2 +0.0767241393 -х2 -32.1191737-х32

с относительной погрешностью моделирования 5ср = 4.4%

Для фактора выражающего жесткость ниточного шва/.:

Г2 (ж,, х2, х3) = 1267.88362 + 70.4037547 ■ х, - 75.6641721 ■ х2 --0.0325119704 -х3 -2.94852364 •*, -х2 +6.57078668 -х, -х3 + + 1.26945668 -х2 -х3 -1.59208047 -х,2 +1.32568092 -х2 -85.2505823-х32

с относительной погрешностью моделирования 8ср = 5.9%

Для фактора выражающего разрывную нагрузку ниточного шва в продольном направлении /3:

^3(х„х2,х3) = 1267.88362 + 70.4037547 -х, -75.6641721 -х2 -- 0.0325119704 • х3 - 2.94852364 ■ х, • х2 + 6.57078668 ■ х, ■ х3 + + 1.26945668 -х2 -х3 -1.59208047 -х2 +1.32568092 -х2 -85.2505823-х3,

с относительной погрешностью моделирования 5ср = 67.7% Большая погрешность моделирования свидетельствует о том, что данные полученные для фак-тора/з слишком неоднородны и данная модель плохо подходит для них.

На рисунке 2 так же изображены уровни оптимальных значений (линия отмеченная Опт). Значение оптимального уровня разрывной нагрузки принято 20 1:10 Н как в продольном, так и в поперечном направлении. Значение оптимального уровня жесткости принято 170 1:1000 мкНсм2.

Таким образом, оптимачьные значения параметров, которые удовлетворяют одновременно всем трем оптимальным параметрам, вычисляются из системы уравнений:

^](х1,х2,х3) = 20 ■ ^(х1,х2,х3) = 170 (5)

^3(х1,х2,х3) = 20

Решением нелинейной системы уравнений (5) будет 8 точек, 4 из которых являются комплексными числами. Действительными решениями являются точки:

1. (3.298479568, 26.2641142, 0.211488273)

2. (5.979488286, 24.422750244,0.2768183045)

3. (3.516237233, 37.17329594, 0.3904889354)

4. (6.212758639, 24.93187949, 0.4187903262)

В допустимые интервалы изменений параметров попадает только точка 3 (рисунок 3), поэтому можно рекомендовать провести дополнительные испытания, используя длину стежка 3.5 мм, толщину швейной нитки 37 текс и натяжение игольной нитки 0.4 Н.

Так же необходимо отметить, что рекомендуется сосредоточить дальнейшие исследования процесса на области У (рисунок 3), которая ограничена поверхностями, описываемыми уравнениями Р^х^ Х2, ..., х„) = /, оптим, Для более полного понимания исследуемого процесса и нахождения области изменения оптимизируемых факторов вблизи выбранного оптимального значения.

Рис. 3. Изображение области У, ограниченной поверхностями

оптим

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Проанализированы сведения о современном символьном представлении геометрических условий инцидентности и вычислении их структурных характеристик методами современной исчислительной геометрии.

2. При помощи рассматриваемого в работе символьного представления геометрических условий были доказаны формулы вычисления алгебраических и структурных характеристик многообразий, приводимые Г.Ф. Бейкером в его сборнике трудов «Principles of Geometry», задаваемых основными видами ин-цидентностей, а именно формулы для размерности поля объектов, размерности пересечения объектов и размерности связки геометрических объектов.

3. Разработан и формализован алгоритм редукции произведения условий инцидентности общего вида.

4. В виде модуля реализован комплекс алгоритмов редукции произведения условий инцидентности на языке программирования Python (получено свидетельство о регистрации программы в РОСПАТЕНТ №2012611801 от 17 февраля 2012 г.).

5. Рассмотрены и приведены приемы анализа и дальнейшего планирования эксперимента при исследовании многофакторных процессов с помощью математического (геометрического) моделирования применительно к исследованию зависимостей рецептурно-технологических факторов повышения активности золоцементного вяжущего.

6. Разработан метод исследования многофакторных процессов путем построения оптимальных многомерных поверхностей с заданными параметрами. Данный метод был применен для вычисления оптимальных значений трех параметров в зависимости от значений факторов на примере процесса ниточного соединения тканей.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

1 .Яковенко, К.С. Алгоритмы конструирования графических оптимизационных моделей многофакторных процессов / К.С. Яковенко, М.А. Чижик,

B.Я. Волков. Омский научный вестник. - Омск: ОмГТУ, 2012. -№1 (107) -

C. 17-20.

2.Яковенко, КС. Современный метод доказательства формул Бейкера / К.С. Яковенко, В.Н. Тарасов // Вестник СибАДИ. - Омск: СибАДИ 2012 -№2 (24) - С. 94-99.

3.Яковенко, КС. Машинный метод построения алгебраических кривых / К.С. Яковенко // Материалы II Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. - Омск: СиБАДИ, 2007 -Кн. 1.- С. 290-295.

4. Волков, В.Я. Курс современной начертательной геометрии и его мультимедийное представление / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук,

17

Н.В. Кайгородцева, К.С. Яковенко // Материалы 64-й научно-технической конференции ГОУ «СиБАДИ». - Омск, 2010. - Кн. 2. - С. 274.

5.Яковенко, К.С. Автоматизация редукций произведений условий / К.С. Яковенко, В.Я. Волков // Материалы 64-й научно-технической конференции ГОУ «СиБАДИ». - Омск, 2010. - Кн. 2. - С. 306-309.

6.Яковенко, К.С. Алгоритмы перемножения виртуальных условий инцидентности / К.С. Яковенко // Материалы 65-й научно-технической конференции ГОУ «СиБАДИ». - Омск, 2011. - Кн. 2. - С. 279-283.

7. Синтетическое моделирование технических изделий и многокомпонентных, многофакторных процессов: отчет о НИОКР (промежуточ. (2-й этап)): 2.1.2-3/5433 / СибАДИ; рук. Волков В. Я,- Омск, 2009. - 30 с. -Исполн.: Волков В.Я., Панчук К.Л., Кайгородцева Н.В., Юрков В.Ю., Воронцова М.И., Курышева Е.А., Ильясова О.Б., Яковенко К.С., Лазутина Д.В. -№ И091224074825. - Инв. № 02201050133. - Per. № 01200955821.

8. Синтетическое моделирование технических изделий и многокомпонентных, многофакторных процессов: отчет о НИР (промежуточ.(1-й этап 2010 года)): 2.1.2-3/5433 / СибАДИ; рук. Волков В. Я. - Омск, 2010. - 54 с. -Исполн.: Волков В.Я., Панчук К.Л., Кайгородцева Н.В., Юрков В.Ю., Яковенко К.С., Воронцова М.И., Курышева Е.А., Ильясова О.Б., Лазутина Д.В. -№ И100616085355. - Инв. № 02201054900. - Per. № 01200955821.

9. Синтетическое моделирование технических изделий и многокомпонентных, многофакторных процессов: отчет о НИР: 2.1.2-3/5433 / СибАДИ; рук. Волков В.Я. - Омск, 2011. - 21 с. - Исполн.: Волков В.Я., Панчук К.Л., Кайгородцева Н.В., Юрков В.Ю., Яковенко К.С., Воронцова М.И., Курышева Е.А., Ильясова О.Б., Лазутина Д.В. - № И101229115325. - Инв. № 02201150685. - Per. № 01200955821.

10.Яковенко, К.С. Электронный учебник «Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования» / К.С. Яковенко и др. - М.: ИНИМРАО, ОФЭРНиО, 2010. -№ 50201050042.

И.Яковенко, КС. Модуль «Виртуальные условия инцидентности» на языке программирования Python: заявл. 28.12.2011; опубл. 17.02.2012. - Реестр программ для ЭВМ, регистрационный номер № 2012611801. - С. 1.

12. Ilyasova, О. Constructive - analytical representation of ruled manifold of multidimensional space / O. Ilyasova, V. Volkov, K. Yakovenko // Geometry and graphics : Proceeding of 6th conference. - Ustron, Poland, 2009. - P. 69-73.

13. Yakovenko K. Construction of multidimensional ruled surface / K. Yakovenko, V. Volkov // Geometry and graphics : Proceeding of 7th conference. - Ustron, Poland, 2011. - P. 63-65.

Подписано в печать 06.04.2012. Формат бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 1,1. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 128.

Отпечатано на полиграфической базе ОмГУ 644077, г. Омск 77, пр. Мира, 55а

61 12-5/2414

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского»

На правах рукописи

Яковенко Кирилл Сергеевич

Геометрический алгоритм разложения условий инцидентности и его применение при исследовании многофакторных процессов

Специальность 05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная графика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: д. т. н., профессор Волков В. Я.

Омск 2012

Содержание

Перечень терминов.................................................................................................4

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................5

Глава 1. Современные аспекты многомерной исчислительной геометрии. ...11

1.1 Символьное представление геометрических условий..........................12

1.2 Параметры трех основных виртуальных условий инцидентности.....13

1.2.1 Поле объектов.....................................................................................14

1.2.2 Пересечение объектов........................................................................14

1.2.3 Связка геометрических объектов.....................................................15

1.3 Дополнительные геометрические условия............................................17

1.4 Структурные характеристики виртуальных многообразий.................19

1.5 Алгебраические характеристики линейчатых многообразий и их геометрическая интерпретация........................................................................21

1.5.1 Порядок линейчатых многообразий гиперповерхности................23

1.5.2 Основные характеристики линейчатых многообразий конгруэнции.....................................................................................................25

1.6 Выводы по главе 1....................................................................................27

Глава 2. Автоматизация редукции произведения виртуальных условий инцидентности.......................................................................................................28

2.1 Организация хранения данных в памяти ЭВМ.....................................28

2.2 Алгоритм редукции произведения первого вида..................................30

2.3 Алгоритм редукции произведения второго вида..................................34

2.4 Алгоритм редукции произведения третьего вида.................................37

2.5 Алгоритм редукции произведения общего вида...................................41

2.6 Обобщенный алгоритм редукции произведения виртуальных условий инцидентности....................................................................................................48

2.7 Построение линий пересечения поверхностей (общий случай)..........54

2.8 Оптимизация метода секущих плоскостей............................................56

2.9 Выводы по главе 2....................................................................................61

2

Глава 3. Конструирование и анализ многомерных поверхностей...................62

3.1 Изображение элементов на чертеже Радищева пространства Еп.........64

3.2 Анализ и планирование эксперимента исследования рецептурно-технологических факторов повышения активности золоцементного вяжущего с помощью математического и геометрического моделирования....................................................................................................68

3.3 Алгоритм определения оптимизирующей области параметров в зависимости от значений независимых оптимизирующих факторов...........81

3.4 Интерполяция многомерных поверхностей, заданных узловыми точками................................................................................................................83

3.5 Выбор оптимальных значений трех параметров в зависимости от значений оптимизирующих факторов на примере процесса ниточного соединения тканей..............................................................................................87

3.6 Выводы по главе 3....................................................................................97

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................98

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ЛИТЕРАТУРЫ................99

Приложение 1. Различные виды кривых второго порядка, образованные пересечение поверхностей вращения, основания которых лежат на одной

плоскости..............................................................................................................108

Приложение 2. Свидетельство о регистрации электронного ресурса...........111

Приложение 3. Свидетельство о государственной регистрации программы

для ЭВМ................................................................................................................112

Приложение 4. Акт о внедрении результатов работы в

ООО "Кристаллникс"..........................................................................................113

Приложение 5. Акт о внедрении результатов работы в учебный процесс.... 114

Перечень терминов

В данной работе линейные объекты будут называться плоскостью с указанием размерности, например: 0-плоскость, 2-плоскость или плоскость, 3-плоскость, (п-1)-мерная плоскость - гиперплоскость.

Нелинейные объекты будут называться поверхностью с указанием размерности, например: 1-поверхность, (п-1)-мерная поверхность -гиперповерхность.

Фактор - главный параметр процесса или существенное свойство изучаемого многофакторного процесса;

Параметр - независимая переменная величина, характеризующая состав системы, явления, процесса и т. д.;

Компонент - составная часть, элемент чего-либо.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования.

В современных исследованиях в области многофакторных технологических процессов и решения задач их оптимизации часто, наряду с традиционными математическими методами планирования эксперимента, применяют методы математического (геометрического) моделирования [21]. Такое моделирование проводится методами инженерной геометрии, практическая ценность которых заключается в графическом представлении функциональных зависимостей показателей качества от факторов и параметров, определяющих процесс с числом переменных более трех.

Анализ традиционных экспериментальных методов исследования многокомпонентных систем показывает, что с увеличением числа компонентов значительно возрастает объем экспериментальной работы, требующей привлечения большого количества квалифицированных кадров и, зачастую, связанной с эксплуатацией уникального оборудования и значительными расходами дефицитных и дорогостоящих материалов. А для процессов, в которых присутствуют опасные и токсичные вещества, их применение связано еще и с большими экспериментальными трудностями. В то же время применение математических (геометрических) методов моделирования позволяет сократить для двойных и тройных систем объем выполняемых экспериментов в 2-3 раза, а для систем с числом компонентов более трех - в 3-5 раз.

Поэтому наиболее актуальными вопросами в этой области становятся вопросы анализа и синтеза геометрических условий при построении моделей конечномерного геометрического множества, теории построения конструктивных моделей конечномерных аффинных и проективных пространств и теории построения аналитических моделей линейчатых и циклических гиперповерхностей.

Современная инженерная геометрия использует широкий спектр средств, методов и теории смежных наук, таких как классическая алгебраическая геометрия, исчислительная геометрия, многомерная геометрия и др. И на сегодняшний день уже существует широкий набор методов и подходов геометрического моделирования. Вместе с тем, продолжает оставаться актуальной проблема разработки новых методов геометрического моделирования, которые бы позволяли находить требуемые решения различных многопараметрических задач, где основную роль играет возможность моделировать процессы по заранее заданным параметрам.

Оперирование геометрическими условиями, одним из которых является обобщенное условие инцидентности, при математическом (геометрическом) моделировании позволяет заранее определить алгебраические и структурные характеристики моделирующего многообразия. В связи с этим, задачи алгоритмизации методов разложения и редукции таких геометрических условий являются на сегодняшний день актуальными.

Объектом диссертационного исследования является процесс конструирования многообразий с применением редукции условий инцидентности.

Предметом исследования являются алгоритмы редукции произведений условий инцидентностей.

Цели и задачи работы.

Разработать алгоритм разложения условий инцидентности исчислительной геометрии и рассмотреть его применение при исследовании многофакторных процессов путем построения оптимальных многомерных поверхностей с заданными параметрами.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие основные задачи:

- систематизировать сведения о современном символьном представлении геометрических условий инцидентности и вычислении их структурных характеристик;

- разработать и формализовать алгоритм редукции произведения условий инцидентности общего вида;

- разработать элементы программного обеспечения для редукции произведения условий инцидентности и оформить их в виде библиотеки или программного модуля;

- рассмотреть возможность анализа и планирования экспериментов при исследовании многофакторных процессов с помощью математического (геометрического) моделирования;

разработать метод исследования многофакторных процессов путем построения оптимальных многомерных поверхностей с заданными параметрами.

Методы исследования.

При решении поставленных задач использовались элементы теории многомерной геометрии, проективной геометрии, многомерной начертательной геометрии, многомерной исчислительной геометрии, инженерной геометрии, вычислительной математики и компьютерной графики, а так же элементы геометрического моделирования с использованием современных ЭВМ для визуализации полученных результатов.

Теоретической базой проведенных исследований стали труды по вопросам геометрического моделирования многомерных пространств, а так же теории начертательной геометрии и ее приложений [1 - 15, 20 - 23, 48 - 55, 62 - 69, 84]: Н.Ф. Четверухина, И.С. Джапаридзе, К.И. Валькова, П.В. Филиппова, В.Н. Первиковой, Н.С. Гумена, В.Я. Волкова, В.Ю. Юркова, Н.В. Наумович и других;

Научная новизна.

К новым результатам, приведенным в диссертации можно отнести:

7

доказательства методами современной исчислительной геометрии формул определения структурных характеристик основных видов инцидентности, являющихся в исчислительной геометрии основополагающими;

формализация и компьютеризация основных алгоритмов редукции произведения условий инцидентности;

разработанный подход математического (геометрического) моделирования многофакторных процессов с использованием условий инцидентности для поверхностей с наперед заданными геометрическими условиями и параметрами.

Подтверждением степени достоверности и научной новизны так же является то, что диссертационная работа выполнялась в рамках мероприятия 2 Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала научной школы (2008-2012), проект № 2.1-5433 "Синтетическое моделирование технических изделий и многокомпонентных, многофакторных процессов", в ходе которого использовались теоретические и прикладные результаты проведенных исследований.

Внедрение результатов работы.

Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на кафедре компьютерных технологий и сетей ФГБОУ ВПО «ОмГУ им. Ф.М. Достоевского» к лекционному курсу по дисциплине «Инженерная графика» для специальности 230100 «Информатика и вычислительная техника», а так же на предприятии по автоматизации бизнес-процессов ООО «Кристалл никс».

Научно-практическая значимость работы.

Основным практическим результатом работы является реализованный комплекс алгоритмов редукции произведения условий инцидентности (получено свидетельство о регистрации программы в РОСПАТЕНТ №2012611801 от 17 февраля 2012 г.). Полученный комплекс алгоритмов

может быть использован в автоматизации исследований характеристик многообразий и пространств.

Основные положения, выносимые на защиту:

- доказательства методами исчислительной геометрии формул определения структурных характеристик основных видов условий инцидентности, являющихся в исчислительной геометрии основополагающими;

- формализация и компьютеризация алгоритмов редукции произведения условий инцидентности;

- способ конструирования конгруэнций пятимерного пространства;

- метод первичного анализа и дальнейшего планирования экспериментов исследования многофакторных и многопараметрических процессов с применением конструктивных моделей (чертежа Радищева);

- способ определения оптимальной области параметров в зависимости от значений факторов.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих международных семинарах и научно-технических конференциях:

1. «Развитие дорожно-транспортного комплекса и строительной инфраструктуры на основе рационального природопользования» (II Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, Омск, СибАДИ, 2007)

2. 13th International Conference on Geometry and Graphics (Dresden, Germany, 4th-8th August, 2008).

3. VIth Conference Geometry and Graphics (Ustron, Poland, 24th-26th June, 2009).

4. «Креативные подходы в образовательной, научной и производственной деятельности» (64-ая научно-техническая конференция ГОУ «СибАДИ», Омск, 2010).

5. VIIth Conference Geometry and Graphics (Ustron, Poland, 27th-29th June 2011).

6. «Ориентированные фундаментальные и прикладные исследования -основа модернизации и инновационного развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплексов России» (Всероссийская 65-ая научно-техническая конференция ФГБОУ ВПО «СибАДИ», Омск, 2011).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах, в том числе 3 отчета по проекту № 2.1-5433 «Синтетическое моделирование технических изделий и многокомпонентных,

многофакторных процессов» аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011г.)" [74-76], 3 статьи [18, 19] в журналах из списка, рекомендованного ВАК, получено Свидетельство о регистрации электронного ресурса [77] № 16311 от 01.11.2011, а так же Свидетельство о регистрации программ для ЭВМ в Роспатенте № 2012611801 от 17.02.2012 [78] и прочих [70-73, 79, 80].

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 107 страницах, содержит 16 рисунков, 1 таблица, 5 приложений, из которых 2 акта внедрения. Библиографический список содержит 84 наименования.

Глава 1. Современные аспекты многомерной исчислительной

геометрии.

Теория исчислительной геометрии является неотъемлемой частью современной конструктивной геометрии. Наиболее важным трудом по исчислительной геометрии считается книга Г. Шуберта «Kalkül der abzählenden Geometrie» (Teubner, 1879г.). Труды Шуберта и его последователей в свою очередь были объединены и систематизированы Г. Ф. Бейкером в шестом томе его сборника трудов «Principles of Geometry» [81], который регулярно переиздаётся зарубежными издательствами, что свидетельствует об актуальности и востребованности его трудов по сей день.

Многие проблемы исчисления, могут быть рассмотрены с помощью символьного исчисления так тщательно продуманного Г. Шубертом. Важность и мощь введённого им аппарата исчисления заключается в том, что в запутанных случаях, применяя данный аппарат можно получить решение, в то время как обычные методы не в состоянии его дать. Так же введенный аппарат позволяет исследовать наиболее важные свойства многомерных алгебраических многообразий, выражающиеся в их числовых характеристиках. Это исчисление основано на идее представления условий, в котором геометрический примитив должен быть предметом, т.е. алгебраическим символом, который легко может быть переведен в цифровой формат. Исходя из того, что на сегодняшний день, во времена цифровых технологий, вся информация, даже изображения и звук, представляется как символы и знаки, зашифрованные в двоичный формат, особенно актуален метод символического исчисления предложенный Г. Шубертом, который в настоящее время нашел свое дальнейшего развитие и обобщение в работах Волкова В. Я. и его последователей.

1.1 Символьное представление геометрических условий

В рамках исследований проблем исчислительной геометрии многомерных пространств Волковым В. Я. было введено символьное представление геометрических условий [1, 2], которое эквивалентно Шубертовым условиям.

Для задания условий инцидентности и соответствующих им многообразий используется буква е и обобщенное виртуальное условие инцидентности представляется как:

>т, т—1, т—2,1, О

ат ' ат-1' ат-2 > —' а1 > а0

ег " " " I. Г , (1.1)

где количество верхних и нижних индексов совпадает, а значения являются положительными натуральными числами. Значения верхних и нижних индексов определяют соответственно полный и неполный флаг. Индексы т,т-1,...,0 определяют размерность линейного многообразия и всех его подмногообразий, а индексы аг - размерности многообразий, в которых находятся линейные подмногообразия искомого многообразия.

Размерность основного виртуального условия инцидентности (1.1) определяется следующим образом [1]:

&б = (2-п-шУ(т +(12)

^ ¿=0

а размернос�