автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Приложение теории двойственности к моделям потокораспределения

На правах рукописи ЕПИФАНОВ Сергей Петрович

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ К МОДЕЛЯМ ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ

05.13.1S — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 2006

Работа выполнена в Институте систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Зоркальцев Валерий Иванович.

доктор физико-математических наук, профессор Попов Леонид Денисович,

кандидат физико-математических наук, доцент Веников Анатолий Исаакович.

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН.

Защита состоится 22 декабря 2006 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д.212.074.01 в Иркутском государственном университете по адресу: 664003, г. Иркутск, ул. К.Маркса, д.1, ИМЭИИГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного университета (г. Иркутск, бульвар Гагарина, 24).

Автореферат разослан " 0.4 " ноября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, ^

канд. физ.-мат.наук, доцент Аргучинцева МА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена актуальной проблеме математического моделирования систем централизованного снабжения рассредоточенных потребителей целевым продуктом (водой, тепловой энергией, газом и т.д.), которые в последнее время существенно усложняются. Указанные математические модели служат основой для формулирования разнообразных задач, в том числе задач потокораспределения, связанных с применением таких систем. В работе обосновываются условия, при которых'решение задачи потокораспределения с различными граничными условиями существуют и имеют единственное решение. Для обоснования данных постановок задач необходимо исследование свойств различных форм модели потокораспределения. Полученные разработки используются при развитии комплексов программ для решения задач анализа, синтеза и развития таких систем.

Многие природные, технические и социально-экономические процессы описываются оптимизационными моделями па поиск экстремума некоторой целевой функции при ограничениях в виде равенств, неравенств и включений на переменные. Существует точка зрения, восходящая к П.Ферма и Л.Эйлеру, что все физические процессы могут быть описаны экстремальными моделями. Особенно интенсивное развитие теории и методов конечномерной оптимизации началось после создания ЭВМ во второй половине XX века, в том числе в работах крупных российских математиков (КН. Моисеева, И.И. Еремина, Ф.П. Васильева, В А. Булавского, Б.Т. Поляка, Д.Б. Юдина, В.П. Булатова, Ю.Г. Евтушенко и др.).

Важной составляющей исследований в области оптимизации является теория двойственности. Для широкого класса задач оптимизации, в том числе выпуклого программирования, применяются

специальные конструкции - двойственные задачи оптимизации. Они используются для доказательства оптимальности полученного ре-шепия, для анализа его устойчивости к варьированию исходных данных, при физической или экономической интерпретации задач, для теоретического обоснования и разработки новых алгоритмов решения задач математического программирования.

Начало формирования теории двойственности для задач оптимизации с ограничениями-равенствами восходит к Ж.Л. Лагранжу. Важным этапом было создание теории двойственности для задач линейного программирования Л.В. Канторовичем, Дж.фон Нейманом, Дж.Данцигом и затем для задач нелинейного программирования ГЛ. Куном, А.У. Таккером, Е.Г. Голыитейном и рядом других зарубежных и российских математиков. Идейной основой теории двойственности линейного (и на базе этого нелинейного) программирования можно рассматривать свойства ортогональных подпространств, порождаемых матрицей ограничений (ядро и область значений транспонированной матрицы), а также теоремы об альтернативных системах линейных неравенств, развиваемые с конца XIX века в работах П.Гордана, Г.Минковского, И. Фаркаша, Н.Н. Черникова, И.И. Еремина, Н.Н. Астафьева. Интересные новые результаты по практическому приложению теорем об альтернативных системах линейных неравенств получены в последнее время А.И. Голиковым и Ю.Г. Евтушенко.

Вид двойственной задачи оптимизации зависит от вида исходной задачи и правил формирования двойственной задачи. Возможен случай, когда двойственная задача к двойственной совпадает с исходной задачей оптимизации. Этот случай будем называть симметричной двойственностью. Известно, что симметричная двойственность имеет место для задач линейного программирования и, в неко-

торых случаях, для задач квадратичного программирования. Симметричная двойственность для задач оптимизации дифференцируемых выпуклых функций при линейных ограничениях исследовалась в работах В Л. Зоркальцева, в том числе совместных с автором данной диссертации.

Основная задача настоящей диссертационной работы состоит в изучении возможности использования свойств ортогональных линейных подпространств и симметрнчпой двойственности для развития теории и методов гидравлических цепей.

Во многих отраслях народного хозяйства применяются системы, обеспечивающие транспортировку и подачу потребителям воды, тепла, газа, нефти и нефтепродуктов. Элементами таких систем могут быть трубопроводы, каналы, насосные и компрессорные станции, аккумулирующие емкости и разнообразные регулирующие устройства. Создание, развитие, реконструкция таких систем и управление ими, имеющими десятки тысяч элементов, предполагают проведение многократных расчетов - решение задач потокораспределения.

Математическое моделирование потокораспределения в трубопроводных системах основано на аналогах физических законов для электрических цепей. Поэтому при расчетах трубопроводных систем и электрических цепей используются общие методы их расчета.

Первые публикации по отдельным вопросам расчета гидравлических систем стали появляться уже в конце XIX века. Методика расчета потокораспределения в системах, которые содержат контуры, основанная на решении системы нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона, была предложена в 1930-х годах прак-

тически одновременно и независимо в работах М.М. Андриашева, В,Г. Лобачева и Х.Кросса.

Основными направлениями исследований в период 1940-1970 гг. были разработка и совершенствование эффективных и надежных алгоритмов решения задач потокораспределения. Значительное место в исследованиях занимало изучение свойств существующих методов и алгоритмов. Большой вклад в разработку этих вопросов внесли: H.H. Абрамов, ВЛ. Хасилев, А.П, Мерепков, Е.Р. Ставровский, М.Г. Сухарев, А.Г. Евдокимов, А.Д. Тевяшев, Б.Н. Пшеничный, В.Г. Сидлер, H.H. Новицкий, А.Г. Коваленко и другие исследователи.

В середине 60-х годов XX века были сформированы основы теории гидравлических цепей, в которой изучаются задачи, общие для произвольных трубопроводных и гидравлических систем. Выделено два подхода к описанию потокораспределения в системах, каждый из которых имеет свои методы и многочисленные алгоритмы. В теории гидравлических цепей эти подходы принято называть алгебраическим (в виде системы уравнений) и экстремальным (в виде задач оптимизации). Отличительной особенностью рассматриваемых оптимизационных задач является их выпуклость, что обусловливает возможность описания задач потокораспределения в виде двух взаимно двойственных задач оптимизации. Одна из оптимизационных задач (исходная) исследовалась ранее, в то время как четкий выход на двойственную задачу не был осуществлен.

Цели работы:

1. Изучение свойств модели и методов расчета потокораспределения, связанных с ортогональными подпространствами, порождаемыми матрицей инцидентности узлов и ветвей схемы гидравлической цепи.

2. Исследование на базе симметричной двойственности в оптимизации различных постановок задач потокораспределения.

Методы исследования. Диссертация базируется на теории математического программирования, выпуклом анализе, линейной алгебре и численных методах решения систем нелинейных уравнений.

Научной новизной диссертационной работы является новый подход к моделированию потокораспределения в произвольных системах на основе применения теории двойственности (симметричной) в конечномерной оптимизации.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые иа защиту:

1. Установлена симметрия двух основных, к настоящему времени, методов решения задач потокораспределения — контурных расходов и узловых давлений. Показано, что эта симметрия является следствием ортогональности подпространств, связанных с матрицей инцидентности узлов и ветвей, которая участвует в описании модели потокораспределения,

2. Расширены возможности описания потокораспределения в виде системы уравнений. Показано, что вместо матрицы инцидентности контуров и ветвей, использующейся при описании аналога второго закона Кирхгофа, можно использовать любую матрицу полного paîtra, произведение которой на транспонированную матрицу инцидентности ветвей и узлов равно нулевой матрице.

3. .Доказаны существование и единственность решения задач потокораспределения в различных постановках для класса функций (задающих зависимость потери давления от расхода по ветви), который существенно шире ранее использовавшегося в работах по теории гидравлических цепей.

4. На основе теории двойственности приведены новые формулировки классической задачи потокораспределения в виде двойственной и самосопряженной задач оптимизации. На базе самосопряженной задачи оптимизации дана энергетическая интерпретация потокораспределения для общего случая.

5. На оспове оптимизационных задач дано теоретическое обоснование задач потокораспределения при смешанных граничных условиях.

Личный вклад автора. Указанные результаты диссертационной работы являются новыми и получены лично автором.

В совместных публикациях [2-3] с Дикиным И.И, Поповой О.М. и Новицким H.H. дня решения задач потокораспределения соавторами диссертанта рассматриваются алгоритм метода вспомогательных функций и вариант метода внутренних точек. Кроме того, в работах [1,4-5,7] соавторами Новицким H.H. и Алексеевым A.B. дается общая схема решения задач расчета технологически допустимых и оптимальных режимов трубопроводных сетей. Указанные результаты соавторов в диссертационную работу пе включепы.

Публикации [8-9] выполнены в нераздельном соавторстве с научным руководителем - д-ром техн. наук, профессором Зоркальце-вым В .И,

Теоретическая и практическая значимость I. В диссертации расширены возможности использования модели потокораспределения в классической постановке. Введен и теоретически обоснован класс функций, использование которых гарантирует существование и единственность решения задачи потокораспределения. Введенный класс функций существенно шире ранее известного.

2. Полученные в диссертации результаты теоретических исследований позволяют значительно расширить набор алгоритмов, которые могут применяться для решения классических задач потокораспределения. При этом показана возможность редукции исходной и двойственной задач оптимизации к проблеме безусловной оптимизации выпуклых функций. Это позволяет решать классическую задачу потокораспределения любым из имеющихся методов безусловной оптимизации.

3. Разработана теоретическая база для использования повых постановок задач потокораспределения со смешанными граничными условиями.

4. Предложен метод квазиквадратичной аппроксимации для отыскания решений системы нелинейных уравнений, позволяющий эффективно решать задачи потокораспределения.

5. Разработанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ в вычислительной среде Maple 10. Данный комплекс программ используется в научных исследованиях ИСЭМ СО РАН г. Иркутск.

Исследования по теме диссертации выполнялись в рамках интеграционного проекта СО РАН № 6 (2000 г.) и поддержаны грантом РФФИ 05-01-00587 «Развитие теории и методов решения систем линейных и квадратичных неравенств с приложением к моделям энергетики».

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: VIII всероссийском научном семинаре «Математические модели и методы анализа и оптимального синтеза развивающихся трубопроводных н гидравлических систем» (Вышний Волочек, 2002), всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004), Ш всероссийской кон-

ференции «Математика, информатика, управление» {Иркутск, 2004), IX всероссийском семинаре «Математические модели и методы анализа и оптимального синтеза развивающихся трубопроводных и гидравлических систем» (Минск, 2004), XIII Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2005), Щ всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения» {Омск, 2006), математическом семинаре ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 2004,2005).

Публикации. Результаты диссертации изложены в 9 работах [1-9] (из них: I статья в журнале из "Перечня ведущих научных журналов и изданий" ВАК РФ, 1 препринт, 3 статьи в научных сборниках, 4 полных текста докладов в материалах международных и всероссийских конференций и симпозиумов).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий обьем диссертации составляет 94 страницы, включая 5 таблиц и один рисунок. Список литературы содержит 73 наименования.

Осиовное содержание работы Во введении обоснована актуальность темы диссертации, описана структура работы и кратко изложено ее содержание.

В главе 1 приводится обзор истории развития методов решения задачи пстокораспределения. Отмечено основополагающее значение задач пстокораспределения при решении большинства задач, связашплх с созданием, развитием, реконструкцией и синтезом трубопроводных систем.

В диссертации исследуются модели потокораспределевия с сосредоточенными параметрами для установившегося течения среды. Классическая постановка задачи потокораспределения состоит в следующем: необходимо найти расходы и потери давления (напора)

на всех ветвях гидравлической цепи. Заданными являются: действующие напоры па ветвях и узловые расходы, а также зависимость потери давления от расхода на каждой ветви. Эта задача представляется в виде системы уравнений

Здесь А — тхп матрица инцидентности ориентированного графа, имеющего т узлов и п ветвей, у которой на месте (]Л) находится: 1 — если ветвь / выходит из узла ], -1 — если ветвь I входит в узел у, О — в остальных случаях;

В — матрица инцидентности контуров и ветвей, у которой на месте (г,г) стоит: 1(—1) - если ¡-я ветвь принадлежит г-му контуру и ее ориентация совпадает (противоположна) с направлением обхода контура и 0, если 1-я ветвь не принадлежит г-му контуру; ЬеЯт-вектор узловых расходов иееЛ'-вектор приращений давления на ветвях;

/(*)- «-мерная вектор-функция с компонентами /,(*,), выражающими зависимость потери напора от расхода xi на ветви I.

Искомые переменные задачи составляют векторы х,у 6 Л* расходов и потерь напора на ветвях.

Уравнение (1) является математической записью первого закона Кирхгофа. Уравнение (2) является записью в матричной форме второго закона Кирхгофа и устанавливает связь между перепадами давления на ветвях контуров некоторой выбранной полной системы независимых контуров (ранг матрицы В равен + 1 — Соотношение (3) в теории гидравлических цепей принято называть замы-

Ах = Ь, Ву=Вс,

(1) (2) (3)

п

кагощнм соотношением. Распространенным случаем является зависимость потери напора от расхода по ветви:

где'0,>О,у(е[1,2],/ = 1.....п.

Функции /¡(х,), 1 = 1,,,.,«, согласно аксиоматике, принятой в теории гидравлических целей, должлы удовлетворять на вещественной прямой условиям: 1) непрерывной дифференцируемое™; 2) нечетности; 3) монотонного возрастания; 4) /(0) = 0, ( = !,...,«.

В разделе 1.4 рассматривается метод контурных расходов, который представляет собой метод Ньютона для решения системы нелинейных уравнений. На всех итерациях выполняются равенства (1), (3) и итеративно уменьшаются невязки в (2). Окончание итерационного процесса осуществляется при выполнении неравенства |5(/(х*)-с)|£г, где е— заданное положительное число, а к— номер итерации.

Далее описывается метод узловых давлений. Традиционно при изложении метода узловых давлений используется система уравнений, состоящая из ограничений (1), (3) и условия

Лти = у-с, (5)

где и - вектор давления в узлах, меЛ".

Система уравнений (1), (3) и (5), в отличие от системы (1) — (3), позволяет определить не только расходы и потери давления на ветвях, пои давление во всех узлах.

Метод узловых давлений представляет собой также метод Ньютона для решения системы нелинейных уравнений, где на всех итерациях выполняются (5), (3), и минимизируются невязки в (1).

.Далее показана симметрия методов контурных расходов и узловых давлений.

Если левую и правую части уравнения (5) умножить слева на любую/х»матрицу В, тапк(В)=1, такую, что

ВА'= 0, (6)

то уравнение (5) перейдет в уравнение, эквивалентное (2). Известно, что матрица инцидентности контуров и ветвей обладает свойством (6). Указанный переход от (5) к (2) позволяет расширить множество матриц, которые могут использоваться в системе уравнений (1)-{3). Кроме матриц инцидентности контуров и ветвей могут использоваться и другие матрицы В, удовлетворяющие условию (6). Таким образом, равенство (6) может служить определением для выбора матрицы В, т.е. в (2) можно использовать любую матрицу В, ядро которой совпадает с ортогональным дополнением ядра матрицы А.

Задачу нотокораспределения можно представить в виде задачи нелинейного программирования с ограничениями типа равенства

(7)

Ах=Ь, (8)

где

о

А.П. Мерецковым доказана единственность решения задачи оптимизации (7), (8) (если оно существует) для функций вида (4).

В главе 2 исследуются формы представления модели нотокораспределения в виде оптимизационных задач, решения которых характеризуют потокораспредеяение в системе. Затем определяется класс функций, принадлежность которому целевых функций рассматриваемых оптимизационных задач обеспечивает существование и единственность их решения.

Обозначим Z - множество непрерывно дифференцируемых функций 5(аг) действительного аргумента, а е R, таких, что

5(0) = 0. (9)

Для производной s(a) = dS(a)/da предполагаются выполненными условия

s(ä)>s(ß), если a>ß; (10)

s(a) —>-оо при а —> —оо, j(a) —> +оо при от-* -ко; (11) *(0) = 0. (12) Функции S{a) и \У(а) из Z называются сопряженными, если их производные s(a) и w(a) являются взаимно обратными функциями, т.е. для любого а е R:

w(s(a)) = a, £(><«)) = а. (13)

Функции из Z обладают следующими важными свойствами. Лемма 1. Любая функция S(a) из Z является строго выпуклой, имеющей минимум, который достигается в нуле. Функция

S(a)~S(a)+ka, k-const, к* О, имеет минимум, который достигается не в нуле.

Лемма 2. Для функций s(a) и w(a), обладающих свойствами (10)-(12), условия (1$) равносильны: из выполнения одного из них следует выполнение другого.

Лемма 3. Дня любой функции s(a), обладающей свойствами (10)—(12), существует единственная обратная к ней функция w(e), причем и>(а) также обладает свойствами (10)-(12).

Лемма 4. Для любой функции S(a) иэ Z существует единственная сопряженная к ней функция W(a) из Z.

Отметим, что введенные здесь сопряженные функции являются частным случаем сопряженных функций Фенхеля.

Далее рассматривается связь между алгебраическими системами уравнений и задачами оптимизации, которые моделируют ло-токораспределение. Пусть заданы: тхлматрица А, векторы b<~R",

cgR" и сепарабеяьные функции векторов х,уе Rn

t-t >=) где F,(x,% ~ пары сопряженных функций из Z,

Рассмотрим три задачи.

1. Минимизировать строго выпуклую функцию

F(x) - (с,х) min (И)

при линейных ограничениях

Ах=Ь. (15)

Переменные составляют вектор jre-ß".

2. Минимизировать выпуклую функцию

ФОО - (Ъ,и) min (16)

при линейных ограничениях

у-АТи = с. (17)

Перемешше составляют векторы у е R", и е R".

3. Найти решение системы уравнений

Ах = Ь, у - АТи = с, >> = /(*) (18)

относительно x^R", ysR", и е R" при f(x) = Vf(jc),

Задачу (14), (15) назовем исходной задачей оптимизации, задачу (16), (17) — двойственной задачей оптимизации, а систему уравнений (18) - условиями оптимальности для приведенных задач оптимизации. Справедлива

Теорема 1. Для рассматриваемых трех задач возможны только два случая.

1. Все они не имеют решения. В этом случае ограничения (15) исходной задачи оптимизации несовместны, целевая функция (16) двойственной задачи не ограничена снизу на допустимом множестве,. В этом, и только в этом случае, существует вектор уеЛ", такой, что

Лту = 0, (6,у)> 0.

2. Все три задачи имеют решение. Если х,у,й—решение системы уравнений (18), то вектор х— решение исходной задачи оптимизации и вектор множителей Лагранжа ограничений двойственной задачи оптимизации; векторы у,й-решение двойственной задачи оптимизации, при этом « — вектор множителей Лагранжа ограничений исходной задачи оптимизации.

Для всех решений рассматриваемых трех задач векторы х, у определяются однозначно, вектор и может быть не единственным, если гапЫ < т.

Рассмотренные задачи содержат как частный случай задачи потокораспределения.

Аксиоматика, принятая в теории гидравлических цепей для функций замыкающего соотношения (3), не гарантирует существования решения - необходимо свойство (11). В то же время требования нечетности и непрерывной дифференцируемое™ для этих функций избыточны.

Задачи (14), (15) и (16), (17) имеют одни и те же условия оптимальности (18) и двойственная задача к двойственной совпадает с исходной. Такая ситуация наблюдается в задачах линейного программирования. В задачах выпуклого программирования такая ситуация названа В.И. Зоркальцевым симметричной двойственностью.

1б

С

Затем рассматривается самосопряженная оптимизационная задача (двойственная задача совпадает с исходной)

F(x)+Ф(у) - (с.х)-(М) min, (19)

Ах^Ь, у-Ати = с. (20)

Теорема 2. Векторы х,у,и —решение задачи (19), (20) тогда и только тогда, когда х,у,й —решение системы уравнений (18).

Для любых векторов х,у,и, удовлетворяющих условиям задачи (19), (20), справедливы неравенства

F(x) + ф(у) а (с,х) + (Ь, и), F(x) + Ф(х> а (х,у). Векторы х, у,й- решение задачи (19), (20) тогда и только тогда, когда

Г(х}+Ф(у) = (с,х)+(Ь,Щ, Г(х) + Ф(у) = (х,у)> (21) На основе равенств (21) можно дать энергетическую интерпретацию потокораспределения в произвольной системе при установившемся режиме течения среды. Мощность внутренних сил (сил трения) в системе (диссипированная мощность внутри системы) (л,у), равна сумме мощностей источников и стоков механической энергии (с,дг) + (Ь,и).

При этом F(x) будет интегральной средней мощностью внутренних сил, а Ф(у) ее дополнением до мощности внутренних сил.

Если из (17) выразить вектор у через вектор и и полученное выражение подставить в целевую функцию (16), то придем к задаче безусловной минимизации выпуклой функции

Ф(с+- (6, w) min, меЛ'. Ее решением будет вектор й, на основе которого можно определить векторы х, у.

На практике часто встречается задача потокораспределения, у которой искомыми переменными являются пе только давление, но и расходы в узлах. На базе оптимизационной задачи (14), (15) в работе доказаны существование и единственность решения задач потокораспределения со смешанными граничными условиями, т.е. когда искомыми могут быть не только компоненты вектора и, но и компоненты вектора Ь. Важно отметить, что число неизвестных компонент вектора Ъ должно совпадать с числом заданных компонент вектора и, В этом случае заданы: тхп матрица А и ее разбиение

(М

на блоки А- , где А1,А2~ матрицы размера /хн и (m-l)xn

соответственно; векторы б1 е R', р £ R"^' , ее J?" и вектор-функция

/(*) = где F(x) = iF,(xt) и ^ sZ,

м

Рассмотрим две задачи.

1. Минимизировать строго выпуклую функхщю

F(x) - (с,х) - (v,p) min (22)

при линейных ограничениях

Aix = b\ Ajx = v. (23)

Переменные составляют векторы: х е R", v е R"*~l .

2. Найти решение системы уравнений

Aix = bt,Alx = v, A?u-y = -c-Alp, у = /(х) (24)

относительно xeR", yeR", и еЛ1, v е . В диссертации доказана

Теорема 3. Для рассматриваемых двух задач возможны только два случая.

1. Задачи не имеют решения. В этом случае первое ограничение задачи оптимизации (22), (23) несовместно. В этом, и только в этом случае, существует ре К1, такой, что

ДгЛ = 0, (Ь\р)>0,

2. Задачи имеют решение. Векторы х,у,7,й1 тогда и только тогда являются решением системы уравнений (24), когда векторы х,у -решение, а векторы и1 ,р— множители Лагранжа ограничений задачи (22), (23).

В главе 3 рассматривается метод кваэнквадратнчпой аппроксимации отыскания решений системы нелинейных уравнений.

Пусть задано дважды непрерывно дифференцируемое отображение и:Я" Я". Требуется найти вектор который удовлетворяет уравнению

!/(*) = £>. (25)

Для решения поставленной задачи применим двухэтапный итерационный процесс. Если хк — найденный член последовательности приближений к решению х, то на первом этапе итерации определяется поправка методом Ньютона из уравнения

(7(;с') + У£/*Дх = 0, где 7!/*=У[/(х*) - матрица Якоби вектор-функции Щх) в хк. Предположим, что VI/* не вырождена. Тогда

Ь* ^-фи*)-^^*).

Затем используем квадратичную аппроксимацию V в окрестности точки **:

и(х'+Дх) = и(хк)+Чи*Лх + 1/2((Ах)Т17ги1)Ах.

Здесь (Ах)гУ2и*—матрица порядка и, строки которой определяются выражением (Дх)т , где У2и*— матрица Гессе для функции 1!1 в точке У, 1=1,,..,и.

В третьем слагаемом квадратичной аппроксимации подставим вместо одного Ах ранее найденную поправку Ахк. Затем найдем корень линейного уравнения относительно приращения Ах

+ +1/2(Дг*)гУ3У*)Дх=0, предполагая, что матрица {VII* +1/2{Дх*)гУг1/*) певырожденная. Обозначим Дг* решение данного уравнения. Найдя его, осуществим итеративный переход

х^ж'ЧдЛ

Критерии окончания итерационного процесса метода квазиквадратичной аппроксимации такие же, как и у итерационного процесса метода Ньютона.

Предложенный метод эффективен при решении систем уравнений типа (1)-(3) и (1), (3), (5), в которых матрицы вторых производных диагональные и легко находятся. На основании проведенных численных экспериментов можно отметить увеличение области сходимости и сокращение числа итераций при использовании метода квазиквадратичной аппроксимации по сравнению с методом Ньютона.

В последних разделах главы 3 исследуются свойства вектора расходов на ветвях гидравлической цепи (искомого в задачах пото-кораспределения), вытекающие из возможности разложения его на ортогональные составляющие, которые принадлежат образу ¡т(Лг)матрицы Ат и ядру матрицы А, совпадающему с образом матрицы Вт.

го

Свойство 1. Решение х системы уравнений (1)-(3) может быть единственным способам представлено в виде

где хА е 1т(Лг), xs € im(iK).

Разложение вектора * на составляющие можно осуществить проектированием его на соответствующие пространства. Тогда векторы х^к хв можно представить в виде:

Ъ = 1Т(ЛА'УЛх,

xt =[Е-ЛГШ'У2]Х=Вт(ввтУ Вх<

Следовательно, проекция определяется только

пространством столбцов матрицы Л7 и вектором Ь.

Свойство 2. При отсутствии контуров у гидравлической цепи

хА=>х.

Свойство 3. В случае отсутствия узловых расходов (замкнутая гидравлическая цепь, Ь = 0) вектор хЛ равен нулю, и х=хв.

Таким образом, проекция хЛ определяется только вектором узловых расходов, а проекция хв учитывает нелинейность замыкающего соотношения и вектор с.

Можно отметить, что рассмотренные свойства, связанные с разложением вектора х, симметрично переносятся и на вектор у.

В заключении приведены основные результаты, полученные в работе.

Основные публикации по теме диссертации

1. Новицкий Н.Н, Алексеев A.B., Епифанов С.П. Расчет технологически допустимых гидравлических режимов трубопроводных систем И Изв. РАН. Энергетика. - 2006. 6. - С. 128-138.

2. Дикин И.И., Попова О.М., Епифанов С.П. Применение методов вспомогательных функций и внутренних точек при расчетах по-токораспределения в гидравлических системах / Препринт ИСЭМ СО РАН.-Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999.-№10.-26 с.

3. Дикин ИЛ, Попова О.М., Епифанов С.П, Новицкий Н.Н. Применение методов внутренних точек при расчетах потокораспре-деления в гидравлических системах // Трубопроводные системы энергетики: модели, приложения, информационные технологии. — М.: Изд-во "Нефть и газ" РГУ нефти и газа им. ИМ.Губкина, 2000.— С.105-114.

4. Епифанов С.П., Новицкий Н.Н. Алгебраический анализ свойств потокораспределения б гидравлических цепях с сосредоточенными параметрами // Методы исследования и моделирования технических, социальных и природных систем: Сб.науч.тр. -Новосибирск: Наука, 2003. -С. 221-240.

5. Епифанов СЛ., Новицкий НЛ. Анализ свойств потокораспределения в гидравлических цепях // Материалы всерос. конф. "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г.) — Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2004. - С. 337338.

6. Епифанов С.П. Экстремальный подход к задачам потокораспределения с использованием проектирования // Труды Ш Всероссийской конференции «Математика, информатика, управление» (CD-Proceedings, Epifanov.pdf). - Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2004. -6 с.

7. Епифанов С.П., Новицкий Н.Н., Алексеев A3. Применение методов теории гидравлических цепей для расчета и оптимизации режимов работы систем поддержания пластового давления // Трубо-

проводные системы энергетики: Управление развитием и функционированием. - Новосибирск: Наука, 2004. - С. 64-73.

8. Еггафанов С. П., Зоркальцев В Л. Симметричная двойственность и гидравлические цепи // Труды ХП1 Байкальской международной школы-семииара «Методы оптимизации и их приложения». - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. - Том 5. - С. 125-136.

9. Епифанов С.П., Зоркальцев В.И., Медвежонков Д.С. Симметричная двойственность в оптимизации и модели потокораспределения // Труды III всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения». — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006, — С. 26-27.

Подписано к печати 13.11.2006. Формат 60 х 84 / 16 Усл.печ.л. 1. Заказ № 272. Тираж ЮОэкз.

Отпечатано полиграфическим участком ИСЭМ СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 130

Введение.

Глава 1. Модели и методы решения задач потокораспределения.

Краткий обзор истории создания и развития теории и методов решения задачи потокораспределения

1.2. Терминология и основные понятия в ТГЦ.

1.3. Модель потокораспределения в виде «контурной» системы

1.4. Метод контурных расходов.

1.5. Метод узловых давлений.

1.6. Симметрия методов контурных расходов и узловых давлений

1.7. Формы модели потокораспределения в виде оптимизационных задач.

Глава 2. Представление модели потокораспределения в виде задач оптимизации

2.1. Класс функций, обеспечивающий существование и единственность решения задач потокораспределения.

2.2. Взаимно двойственные задачи оптимизации и эквивалентная им система уравнений.

2.3. Самосопряженная задача оптимизации.

2.4. Связь исходной и двойственной задач оптимизации с методами контурных расходов и узловых давлений.

2.5. Модификации системы уравнений.

2.6. Задачи безусловной оптимизации.

2.7. Задачи потокораспределения со смешанными исходными данными.

Глава 3. Метод решения задач потокораспределения в форме системы уравнений

3.1. Метод квазиквадратичной аппроксимации для отыскания решений системы нелинейных уравнений.

3.2. Применение метода квазиквадратичной аппроксимации для решения задач потокораспределения.'

3.3. Анализ свойств решения задачи потокораспределения.

3.4. Определение ортогональных составляющих вектора расходов задачи потокораспределения.

3.5. Проекция решения задачи потокораспределения хЁ.

Актуальность проблемы

Многие природные, технические и социально-экономические процессы описываются оптимизационными моделями на поиск экстремума некоторой целевой функции при ограничениях в виде равенств, неравенств и включений на переменные. Существует даже точка зрения, восходящая к П.Ферма и Л.Эйлеру, что все физические процессы могут быть описаны экстремальными моделями. Особенно интенсивное развитие теории и методов оптимизации началось после создания ЭВМ во второй половине XX века, в том числе в работах крупных российских математиков (Н.Н. Моисеева [47], И.И. Еремина [23, 24], Ф.П. Васильева [7], В.А. Булавского [5], Б.Т. Поляка [51], Д.Б. Юдина [68], В.П. Булатова [6], Ю.Г. Евтушенко [19] и др.).

Важной составляющей исследований в области оптимизации является теория двойственности. Для широкого класса задач оптимизации, в том числе выпуклого программирования, применяются специальные конструкции - двойственные задачи оптимизации. Они используются для доказательства оптимальности полученного решения, для анализа его устойчивости к варьированию исходных данных, при физической или экономической интерпретации задач, для теоретического обоснования и разработки новых алгоритмов решения задач математического программирования.

Начало формирования теории двойственности для задач оптимизации с ограничениями-равенствами восходит к Ж.Л. Лагранжу. Важным этапом было создание теории двойственности для задач линейного программирования Л.В. Канторовичем [32], Дж.фон Нейманом [73], Дж. Данцигом [12] и затем для задач нелинейного программирования Г.В. Куном, А.У. Таккером [38], Е.Г. Гольштейном [11] и рядом других зарубежных и российских математиков. Идейной основой теории двойственности линейного (и на базе этого нелинейного) программирования можно рассматривать свойства ортогональных подпространств, порождаемых матрицей ограничений (ядро и область значений транспонированной матрицы), а также теоремы об альтернативных системах линейных неравенств, развиваемые с конца XIX века в работах П. Гордана, Г. Минковского [72], И. Фаркаша [71], Н.Н. Черникова [65], И.И. Еремина и Н.Н. Астафьева [23]. Интересные новые результаты по практическому приложению теорем об альтернативных системах линейных неравенств получены в последнее время А.И. Голиковым и Ю.Г. Евтушенко [9, Ю].

Вид двойственной задачи зависит от вида исходной задачи и правил формирования двойственной задачи. Возможен случай, когда двойственная задача к двойственной совпадает с исходной задачей оптимизации. Этот случай будем называть симметричной двойственностью. Известно, что симметричная двойственность имеет место для задач линейного программирования и, в некоторых случаях, для задач квадратичного программирования. Симметричная двойственность для задач оптимизации дифференцируемых выпуклых функций при линейных ограничениях исследовалась в работах В.И. Зоркальцева, в том числе совместных с автором данной диссертации.

Основная задача данной диссертационной работы состоит в изучении возможности использования свойств симметричной двойственности для развития теории и методов гидравлических цепей.

Во многих отраслях народного хозяйства, в том числе энергетике и коммунальном хозяйстве, применяются трубопроводные и гидравлические системы, обеспечивающие транспортировку и подачу потребителям воды, тепла, газа, нефти и пр. Элементами таких систем могут быть трубопроводы, каналы, насосные, компрессорные и дросселирующие станции, аккумулирующие емкости и разнообразные регулирующие устройства. Создание, развитие, реконструкция таких систем и управление ими, имеющими десятки тысяч элементов, предполагают проведение многократных расчетов - решения задач потокораспределения, для определения гидравлических параметров, характеризующих распределение расходов и давления во всех элементах системы.

Математическое моделирование потокораспределения в трубопроводных системах основано на аналогах физических законов для электрических цепей, и имеет с ними много общих методов и алгоритмов решения задач потокораспределения. Изучение распределения тока (постоянного) в электрических цепях начиналось с работ Г. Ома, Г. Кирхгофа [34, 35], Д.К. Максвелла [42], Г. Гельм-гольца.

Задачи потокораспределения имеют более чем 100-летнюю историю. Первые публикации по отдельным вопросам расчета систем стали появляться уже в конце XIX века. Методика расчета потокораспределения (отличная от ранее применявшегося метода перебора), которая основана на решении системы нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона, впервые была предложена, практически одновременно и независимо, в работах М.М. Андриа-шева [1], В.Г. Лобачева [39] и X. Кросса [69]. В последующем появилось много работ, посвященных усовершенствованию и обоснованию предложенных методов.

Основными направлениями исследований в период 1940 -1970 гг. были разработка и совершенствование эффективных и надежных алгоритмов решения задач потокораспределения. Значительное место в исследованиях занимало изучение свойств существующих методов и алгоритмов. Большой вклад в разработку этих вопросов внесли: Н.Н. Абрамов [2], В.Я. Хасилев [61-63], А.П. Ме-ренков [43-45], С.В. Сумароков [58],Е.Р. Ставровский, М.Г. Сухарев [58, 59], А.Г. Евдокимов, А.Д. Тевяшев [16, 17], Б.Н. Пшеничный [53-55], Б.М. Каганович [31], Е.В. Сеннова, В.Г. Сидлер [57], Н.Н. Новицкий [50], А.Г. Коваленко [36] и многие другие.

Важной особенностью задач потокораспределения является то, что они являются неотъемлемой частью практически всех задач, связанных с проектированием, развитием и функционированием трубопроводных систем. Так, в одних задачах они являются начальным этапом дальнейших исследований, в других - промежуточным этапом, к которому по ходу решения задачи обращаются многократно, а в задачах третьего типа решением задачи потокораспределения завершаются исследования.

В средине 60-х годов XX века в работах В.Я. Хасилева и А.П. Меренкова [46, 62] были сформированы основы теории гидравлических цепей (ТГЦ), в которой изучаются задачи, общие для произвольных трубопроводных и гидравлических систем. За этот период было предложено два подхода к описанию потокораспределения в системах, каждый из которых имеет свои методы и многочисленные алгоритмы. В теории гидравлических цепей эти подходы принято называть алгебраическим (в виде системы уравнений) и экстремальным (в виде задач оптимизации). Отличительной особенностью рассматриваемых оптимизационных задач является их выпуклость, что обуславливает возможности описания задач потокораспределения в виде взаимно двойственных задач оптимизации. Одна из оптимизационных задач (исходная) исследовалась ранее в нескольких работах [17, 46], в то время как другая (двойственная) задача практически не исследовалась до недавнего времени.

Хотя задачи потокораспределения изучались на протяжении длительного времени, но некоторые свойства этих задач до настоящего времени глубоко не изучались и не использовались в полной мере. Так, давно известное равенство нулевой матрице произведения матриц инцидентности узлов и ветвей ориентированного графа и транспонированной матрицы инцидентности контуров и ветвей этого же графа, использовалось только для получения «контурного» преобразования переменных. Изучению свойств решения задач потокораспределения - вектора расходов и потерь давления на ветвях, связанных с разложением их на ортогональные составляющие, внимания не уделялось.

Важным является исследование свойств задачи потокораспределения, таких как условия существования и единственности решения, исследование устойчивости решения к возмущению входных данных. В работе проводится математически строгое исследование основных (к настоящему времени) методов, а также математических свойств решения задачи потокораспределения. Кроме того, исследуется связь и свойства различных постановок задачи потокораспределения.

Цели работы заключаются в следующем.

1. Изучение свойств модели и методов расчета потокораспределения, связанных с ортогональными подпространствами, порождаемыми матрицей инцидентности узлов и ветвей гидравлической цепи.

2. Исследование на базе симметричной двойственности в оптимизации различных постановок задач потокораспределения.

Основные результаты, составляющие научную новизну и выносимые на защиту.

1. Установлена симметрия двух основных, к настоящему времени, методов решения задач потокораспределения - контурных расходов и узловых давлений. Показано, что эта симметрия является следствием ортогональности подпространств, связанных с матрицей инцидентности узлов и ветвей, которая участвует в описании модели потокораспределения.

2. Расширены возможности описания модели потокораспределения в виде системы уравнений. Показано, что вместо матрицы инцидентности контуров и ветвей, использующейся при описании аналога II закона Кирхгофа, можно использовать любую матрицу полного ранга, произведение которой на транспонированную матрицу инцидентности ветвей и узлов равно нулевой матрице.

3. Доказаны существование и единственность решения задач потокораспределения в различных постановках для класса функций (задающих зависимость потери давления от расхода по ветви), который существенно шире ранее использовавшегося в работах по теории гидравлических цепей.

4. На основе теории двойственности приведены новые формулировки классической задачи потокораспределения в виде двойственной и самосопряженной задач оптимизации. На базе самосопряженной задачи оптимизации дана энергетическая интерпретация потокораспределения для общего случая.

5. На основе оптимизационных задач дано теоретическое обоснование задач потокораспределения при смешанных граничных условиях.

Теоретическая и практическая значимость

1. Расширены возможности использования модели потокораспределения в классической постановке. В диссертации введен и теоретически обоснован класс функций, использование которых гарантирует существование и единственность решения задачи потокораспределения. Введенный класс функций существенно шире ранее известного класса функций.

2. Полученные в диссертации результаты теоретических исследований позволяют значительно расширить набор алгоритмов, которые могут применяться для решения классической задачи потокораспределения. При этом показана возможность редукции исходной и двойственной задач оптимизации к проблеме безусловной оптимизации выпуклых функций. Это позволяет решать классическую задачу потокораспределения любым из имеющихся методов безусловной оптимизации.

3. Разработана теоретическая база для использования новых постановок задач потокораспределения со смешанными граничными условиями.

4. Предложен метод квазиквадратичной аппроксимации для отыскания решений системы нелинейных уравнений, позволяющий эффективно решать задачи потокораспределения.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: VIII всероссийском научном семинаре «Математические модели и методы анализа и оптимального синтеза развивающихся трубопроводных и гидравлических систем» (Вышний Волочек, 2002), всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004), III всероссийской конференции «Математика, информатика, управление» (Иркутск, 2004), IX всероссийском семинаре «Математические модели и методы анализа и оптимального синтеза развивающихся трубопроводных и гидравлических систем» (Минск, 2004), XIII Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобай-кальск, 2005), III всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения» (Омск, 2006), математическом семинаре ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 2004, 2005).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем кратко основные результаты диссертационной работы.

1. Рассмотрены различные формы представления модели потокораспределения, в том числе и ранее не рассматривавшиеся -как в виде систем нелинейных уравнений, так и виде задач оптимизации; показана их связь между собой, а также возможность сведения одной задачи в другую. Из возможности сведения одной задачи в другую не вытекает, что достаточно рассматривать только одну из них. Важно определить условия, при выполнении которых эффективно решать каждую из них.

2. Показано, что два основных, к настоящему времени, метода решения задач потокораспределения - контурных расходов и узловых давлений, имеют в точности совпадающую структуру. Они отличаются только физическими величинами, которые используются при реализации методов. Иначе, симметрия этих методов понимается в том смысле, что оба метода имеют одну и туже последовательность одинаковых операций, но «величины» (матрицы и векторы), участвующие при описании этих методов имеют разный физический и геометрический смысл. Эта симметрия является следствием ортогональности подпространств, порождаемых матрицей инцидентности узлов и ветвей, участвующей в описании модели потокораспределения.

3. Расширены возможности описания потокораспределения в виде системы уравнений. Показано, что вместо матрицы инцидентности контуров и ветвей, использующейся при описании аналога второго закона Кирхгофа, можно использовать любую матрицу полного ранга, произведение которой на транспонированную матрицу инцидентности узлов и ветвей равно нулевой матрице.

4. Продемонстрирована возможность описания модели потокораспределения без использования матрицы инцидентности узлов и ветвей гидравлической цепи, с применением только матрицы инцидентности контуров и ветвей. Такая модель эффективна при моделировании систем, имеющих число контуров значительно меньше числа узлов графа гидравлической цепи.

5. Введен класс функций, задающих зависимость потери давления от расхода, принадлежность которому обеспечивает существование и единственность решения задачи потокораспределения. Этот класс функций шире ранее использовавшегося класса функций при описании моделей потокораспределения.

6. Для введенного класса функций доказаны теоремы существования и единственности решения задач в виде систем нелинейных уравнений и задач оптимизации. Частным случаем этих задач являются задачи потокораспределсн ия.

7. На базе самосопряженной задачи оптимизации дана энергетическая интерпретация потокораспределения в системе.

8. Продемонстрирована возможность сведения задач потокораспределения в форме оптимизационных задач с ограничениями к задачам безусловной оптимизации.

9. Предложен метод квазиквадратичной аппроксимации для решения систем нелинейных уравнений. Рассмотрены модификации методов контурных расходов ь узловых давлений, которые в указанном выше смысле симметрии им, т.е. структура этих методов совпадает. Обе рассмотренные модификации метода квазиквадратичной аппроксимации эффективны п.; и решении задач потокораспределения. Объем вычислений при использовании этих модификаций при решении задач потокораспределения меньше чем при использовании методов контурных расходов и узловых давлений.

10. Рассмотрено разложение решения задачи потокораспределения (вектора расходов) на ортогональные составляющие и изучены их основные свойства каждом составляющей этого разложения.

Возможные направление дальнейших исследований.

На основе полученных в диссертационной работе результатов представляется важным во пер;;их доказать теоремы существования и единственности задач потокораспределения, в которых исходными данными могут быть не только расходы и давление в узлах, но и расходы на ветвях гидравлической цепи. При этом необходимо получить условия формирован,. : исходных данных, при выполнении которых задача потокораспределения будет разрешима.

Вторым направлением дальнейших исследований может быть доказательство теоремы локальной сходимости предложенного в работе метода квазиквадратичной аппроксимации решения системы нелинейных уравнений. Кроме того, целесообразно исследовать различные модификации этого метода с теоретическим обоснованием, а также выполнить широкое тестирование метода на различных классах задач.

Третье возможное направление исследований - распространить полученные теоретические результаты на более сложные классы моделей потокораспределения е неременными и распределенными параметрами.

Представляется важным гчзести класс функций замыкающего соотношения, функции которого не являются монотонно возрастающими (такие зависимости иегречаются на практике), и провести, аналогично проведенному в работе, исследование по обоснованию существования решения задами потокораспределения.

1. Андриашев М.М. Техника расчета водопроводной сети. М.: Сов. Законодательство, 1932. - 62 с.

2. Абрамов Н.Н. Теория и методика расчета систем подачи и распределения воды. М.: Стройиздат, 1972. - 288 с.

3. Арутюнов А.В. Выпуклые свойства преобразования Лежандра // Матем. заметки. 1980.-Т. 28. - № 2.

4. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 416 с.

5. Булавский В.А., Рубинштейн Г.Ш. О решении задачи выпуклого программирования с линейными ограничениями методом последовательного улучшения допустимого вектора, ДАН СССР 150.-№2 (1963).-С. 231.

6. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск: Наука, 1977. - 158 с.

7. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. - 824 с.

8. Васильченко М.П. Расчет кольцевых водопроводных сетей с учетом взаимного влияния колец. // Водоснабжение и санитарная техника. 1965. - № 5. - С. 21 - 24.

9. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Двойственный подход к решению систем линейных неравенств // Труды XII Байкальской ме-ждунар. конф. «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск: ИГУ, 2001.-С. 91-99.

10. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Теоремы об альтернативах и их применения в численных методах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. - Т. 43. - № 3. - С. 354 - 376.

11. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971 - 351 с.

12. Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966. - 600 с.

13. Деннис Дж. мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ. -М.: Мир, 1988.-440 е., ил.

14. Дикин И.И., Попова О.М., Епифанов С.П. Применение методов вспомогательных функций и внутренних точек при расчетах потокораспределения в гидравлических системах. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999. 26 е.- Препринт № 10.

15. Евдокимов А.Г. Оптимальные задачи на инженерных сетях-Харьков: Вища шк., 1976,- 153 с.

16. Евдокимов А.Г., Тевяшев А.Д., Дубровский В.В. Моделирование и оптимизация потокораспределения в инженерных сетях. -М.: Стройиздат, 1990.-368 с.

17. Евдокимов А.Г., Тевяшев А.Д. Оперативное управление пото-кораспределением в инженерных сетях. Харьков: Вища шк., 1980.- 144 с.

18. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

19. Епифанов С.П. Экстремальный подход к задачам потокораспределения с использованием проектирования.// III Всероссийскаяконференция «Математика, информатика, управление», Иркутск, 29 июня -1 июля 2004г. С. 6,

20. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. -М.: Наука, 1976. 192 с.

21. Еремин И.И. Теория линейной оптимизации. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1998. - 247 с.

22. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967.

23. Зоркальцев В.И. Симметричная двойственность в оптимизации при сепарабельных целевых функциях. // Оптимизация, управление, интеллект 2005: - 1 (9). - С. 72 - 83.

24. Зоркальцев В.И. Симметричная двойственность. Приложения к моделям электрических и гидравлических цепей. Иркутск: ИСЭМ СО РАН 2004. 41 с. - Препринт. - № 6.

25. Зоркальцев В.И., Хамисов О.В. Равновесные модели в экономике и энергетике. Новосибирск: Наука, 2006. - 221 с.

26. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации: Учеб. пособие. ФИЗМАТ ЛИТ, 2005. - 304 с.

27. Ильин В.Г. Расчет совместной работы насосов, водопроводных сетей и резервуаров. Стройиздат УССР, Киев, 1963. -136 с.

28. Каганович Б.М., Меренков А.П., Балышев О.А. Элементы теории гетерогенных гидравлических цепей. Новосибирск: Наука. Сиб. Предприятие РАН, 1997. - 120 с.

29. Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

30. Кирсанов М.В. Экономический расчет водопроводных сетей. -М.: Минкомхоз РСФСР, 1949. 148 с.

31. Кирхгоф Г. О прохождении электрического тока через плоскую пластину, например, круглой формы // Избр. труды. М.: Наука, 1948.-С. 155-165.

32. Кирхгоф Г. О применении формул для силы гальванического тока в системе линейных проводников к системе, частично состоящей из нелинейных проводников // Избр. труды. М.: Наука, 1948.-С. 178-189.

33. Коваленко А.Г. О математическом моделировании рассредоточенного рынка // Экономика и математические методы 1999. -Т. 35. -№ 3 - С. 108-115.

34. Кузьмин B.C. Новый метод расчета гидравлических сетей с применением электронно-вычислительных машин. В сб.: «Труды АКХК», вып. XXXIV. ОНТИ АКХ МКХ РСФСР, 1965.

35. Линейные неравенства и смежные вопросы. Сб. статей под ред. Г.У. Куна и А.У. Таккера. М., ИЛ, 1959. 469 с.

36. Лобачев В.Г. Вопросы рационализации расчетов водопроводных сетей. М.: ОНТИ, 1936.- 148 с.

37. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 2-е, исправл. -М.: Едитториал УРСС, 2003. -176 с.

38. Магнус Я.Р., Нейдеккер X. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике: Пер. с англ./ Под ред. С.А. Айвазяна. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 496 с.

39. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. / Под ред. П.С. Кудрявцева. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. -688 с.

40. Меренков А.П. Дифференциация методов расчета гидравлических цепей // Журн. вычисл. математики и мат. физики 1973. -Т. 13,-№5.-С. 1237-1248.

41. Меренков А.П. Математические модели и методы для анализа и оптимального проектирования трубопроводных систем: Авто-реф. Дис.д-ра физ.-мат. наук-Новосибирск: Секция кибернетики Объединенного ученого совета СО РАН СССР, 1974- 34 с.

42. Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, водо-, нефте- и газоснабжения / Меренков А.П., Сеннова Е.В. и др. Новосибирск : Наука, 1992. - 407 с.

43. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей-М.: Наука, 1985.-278 с.

44. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. -М.: Наука, 1971.-424 с.

45. Монахов Г.В., Войтинская Ю.А. Моделирование управления режимами тепловых сетей. -М.:Энергоатомиздат, 1995.-224 с.

46. Мошнин Л.Ф. Применение метода фиктивных расходов при проектировании СПРВ // Водоснабжение и санитарная техника. 1986.-№ 1.-С. 6-8.

47. Новицкий Н.Н. Оценивание параметров гидравлических цепей-Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1998. 214 с.

48. Новицкий Н.Н, Алексеев А.В., Епифанов С.П. Расчет технологически допустимых гидравлических режимов трубопроводных систем //Изв. РАН. Энергетика. 2006. - № 6. - С. 128-138.

49. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию М.: Наука, 1983 - 384 с.

50. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. -М.: Наука, 1975.

51. Пшеничный Б.Н. Расчет электрических сетей на ЭВМ // Журн. вычисл. математики и мат. физики 1962. - № 5. - С. 942-947.

52. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

53. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973 - 469 с.

54. Сеннова Е.В., Сидлер В.Г. Математическое моделирование и оптимизация развивающихся теплоснабжающих систем. -Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1987. 221с.

55. Сумароков С.В. Математическое моделирование систем водоснабжения. -Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1983.

56. Сухарев М.Г. Методы анализа и оптимизации режимов транспорта и распределения целевого продукта в трубопроводных системах энергетики// Трубопроводные системы энергетики: Управление развитием и функционированием. Новосибирск: Наука, 2004.-С. 15-24.

57. Сухарев М. Г., Ставровский Е.Р. Расчеты систем транспорта газа с помощью вычислительных машин. М.: Недра, 1987. -168 с.

58. Трубопроводные системы энергетики: Управление развитием и функционированием/ Н.Н. Новицкий, Е.В. Сеннова, М.Г. Сухарев и др. Новосибирск: Наука, 2004. - 461 с.

59. Хасилев В.Я. Элементы теории гидравлических цепей: Автореф. Дис. .д-ра техн. Наук. Новосибирск: Секция техн. Наук Объединенного ученого совета СО АН СССР, 1966. - 98 с.

60. Хасилев В.Я., Светлов К.С., Такайшвили М.К. Метод контурных расходов для расчета гидравлических цепей. Иркутск; М.: СЭИ СО АН СССР. - Деп. В ВИНИТИ АН СССР, 1968. -№339-68,- 110 с.

61. Хасилев В.Я. Элементы теории гидравлических цепей // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1964. -№ 1. - С. 69-88.

62. Черников С. Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968. - 400 с.

63. Черри Е., Миллар У. Некоторые новые понятия и теоремы в области нелинейных систем// Автоматическое регулирование: Сб. материалов конф. в Кренфилде, 1951/ Под ред. М.З. Литвина-Седого. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. - С. 261-273.

64. Шевяков Л.Д. Вывод формул естественного распределения воздуха в горных выработках из начала наименьшей работы // Горный журнал. 1929. - № 1. - С. 3-6.

65. Юдин Д.Б., Голыптейн Е.Г. Линейное программирование. Теория, методы и приложения. М.: Наука, 1969.

66. Cross Н/ Analysis of flow in networks of conduits or conductors // Urbana Illinois: Eng. Exp. Station of Univ. of Illinois. 1936. -November. - Bull. N 286. - 29 p.

67. Dubin Ch. Calcul des reseaux mailles par des calculateur digital. IV Congres AIDE/ Stockholm, vol. 1, 1964.

68. Farcas J. Uber die Theorie einfachen Ungleichungen //Journ. Reine und Angewandte Mathematik. 1902. - Vol. 124. -P. 1-23.

69. Minkovski H. Geometrie der Zahlen. Teubner, Leipzig, 1896.

70. Фон Нейман On a maximization problem (manuscripter), Institute for Advanced Study. Princeton, 1947.