автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Основы исчислительно-конструктивной теории алгебраических соответствий многомерных пространств и ассоциированных с ними проекционных систем

РГ5 ОД

2 2 ДЕН ?т

ЮРКОВ ВИКТОР ЮРЬЕВИЧ

ОСНОВЫ ИСЧИСЛИТЕЛЬНО-КОНСТРУКТИВНОЙ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СООТВЕТСТВИЙ МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ И АССОЦИИРОВАННЫХ С НИМИ ПРОЕКЦИОННЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.01.01 «Прикладная геометрия и инженерная графика»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

УДК 514.144.25: 514.185: 512.7

ЮРКОВ ВИКТОР ЮРЬЕВИЧ

ОСНОВЫ ИСЧИСЛИТЕЛЫЮ-КОНСТРУКТИВНОЙ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СООТВЕТСТВИЙ МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ И АССОЦИИРОВАННЫХ С НИМИ ПРОЕКЦИОННЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.01.01 «Прикладная геометрия и инженерная графика»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Работа выполнена в Омском государственном техническом университете

Научный консультант - В.Я. Волков, доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты - Г.П. Кукин, доктор физико-математических наук,

профессор;

- Г.С. Иванов, доктор технических наук, профессор;

- В.А. Калинин, доктор технических наук, профессор

Ведущая организация - Омский филиал института математики

им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится » 2000 г. в на заседании

диссертационного Совета Д.063.51.07 по специальности 05.01.01 «Прикладная геометрия и инженерная графика» при Московском государственном университете пищевых производств (МГУПП) по адресу: Москва, Волоколамское шоссе, д. 11, МГУПП, корп. «А», ауд. 504.

Отзывы на автореферат диссертации, заверенные гербовой печатью организации, просим направ;1ять в двух экземплярах по адресу: 125080, Москва, Волоколамское шоссе, д. 11, МГУПП, отдел Ученого секретаря.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУПП.

Автореферат разослан « »р^Г-^р-Р 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета Д.063.51.07,

д. п. н., профессор И.Н. Акимова

ЭСЭ.-5-057о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Одной из характерных черт современных исследований в области фундаментальных наук, техники и технологии является интенсивное развитие метода математического (геометрического) моделирования. Его эффективность проявляется в том, что он позволяет находить требуемые решения разнообразных многопараметрических задач как теоретического, так и прикладного характера для все более усложняющихся физических, химических, механических, экономических, социологических и иных процессов. Описание структуры и поведения указанных процессов требует решать не проблему моделирования каждого процесса в отдельности, а создавать базу моделирования, т. е. набор моделей-модулей, из которых можно «собрать» необходимую в конкретном случае модель исследуемого процесса или объекта. Условием создания научной базы моделирования сложных многопараметрических объектов является накопление информации о задачах моделирования, методах их решения, результатах деятельности научных направлений в этой области. Вычислительная техника и информационные технологии, получившие в последние два десятилетия качественный скачок в развитии, стимулируют разработку этого подхода.

Создание научной базы моделирования сложных систем в области прикладной геометрии опирается на решение проблемы исследования множеств алгебраических соответствий (отображений, преобразований) многомерных пространств. Проблема заключается в том, что проведение таких исследований возможно только при наличии тесной взаимосвязи проекционных методов современной начертательной и проективной геометрий и методов классической алгебраической геометрии. Кроме того, изучение множеств соответствий в многомерных пространствах и смежных вопросов должно опираться на нестандартный, формализованный, достаточно легко алгоритмизируемый математический аппарат, позволяющий выявить наиболее общие их свойства и закономерности. Решение проблемы означает возможность разработки новых эффективных методов исследования и конструирования многомерных многообразий различной структуры как моделей указанных выше объектов и процессов, новых методов отображения их на пространства меньшей размерности, в частности, на плоскость, возможность создания новых методов геометрического характера решения задач многокритериальной матричной оптимизации, представляющей на сегодняшний день актуальную и не решенную проблему, возможность моделирования пространств параметров состояния многокомпонентных и многофазных термодинамических систем в физико-химическом анализе при создании материалов с требуемыми свойствами и др.

В настоящее время темпы развития методов геометрического моделирования многомерных пространств и многообразий в направлении конструктивного или аксиоматического отображения их на пространства меньших размер-

ностей уже не удовлетворяет в полной мере требованиям теории моделирования. Этот вывод касается прежде всего многомерных нелинейных многообразий и их систем, изучаемых с наиболее общих позиций в алгебраической геометрии. Начертательная геометрия пока еще не использует в своих целях достижения современной алгебраической геометрии и не располагает настолько развитой теорией методов отображения, чтобы эффективно решать указанную проблему. В связи с этим актуальной является проблема создания новых, нелинейных методов отображения.

Богатые возможности заключаются и в углублении принципов перенесения, интерпретирующих множества сложных геометрических объектов изоморфными множествами объектов иного характера. Таким образом, на первый план выдвигается задача развития существующих и разработка новых теоретических направлений начертательной геометрии и геометрического моделирования. К последним можно отнести перспективный принцип перенесения геометрии грассманианов на геометрию условий инцидентности.

Все вышесказанное определяет актуальность решения проблемы геометрического построения и исследования множеств соответствий многомерных пространств на качественно новом уровне и на основе единого объективного, функционально завершенного системного подхода.

Цель работы заключается в исследовании комплекса проблем, возникающих в результате объединения в единую, функционально завершенную теорию V операций проецирования, рассматриваемых в многомерном проективном пространстве в органической связи с теорией изображений и геометрическим моделированием, теории соответствий, изучающей конструктивные связи между пространствами, пространственными объектами и их образами, теории исчислительной геометрии, представляемой как геометрии условий с основным элементом - условием инцидентности. Выявление основных закономерностей строения алгебраических нелинейных соответствий между многомерными проективными пространствами, их систематизация и обобщение есть путь к цели построения общей характеристической теории соответствий

Основная задача формулируется следующим образом: создание исчислительно-конструктивной теории построения и исследования множеств алгебраических соответствий многомерных проективных пространств и ассоциированных с ними проекционных систем и на ее основе разработка общих методов моделирования пространств с различной структурой, которые могут быть применены в геометрическом моделировании сложных многопараметрических объектов и процессов.

Сформулированная комплексная проблема сводится к решению следующих теоретических и прикладных задач:

- создание теоретических основ синтеза и исследования виртуальных условий существования множеств точечных соответствий между подпространствами многомерного пространства, а также реализуемых на ЭВМ методов синтеза и исследования соответствий с заданными характеристиками;

- применение разработанных методов при синтезе и исследовании свойств бирациональных и многозначных соответствий, существующих на грас-смановых многообразиях многомерных проективных пространств;

- создание теоретических основ методов синтеза и исследования множеств неточечных соответствий, отвечающих условиям инцидентности Шуберта, и демонстрация возможностей исчислительно-конструктивного метода при изучении их свойств;

- изучение в рамках разработанных методов систем соответствий с особыми свойствами - несимметричностью характеристик, расслояемостью и др., а также систем соответствий между нелинейными многообразиями с особыми свойствами;

- создание исчислительных основ теории множеств условий инцидентности объектов многомерного проективного пространства, описывающих характеристики, свойства и способы задания алгебраических систем грассмановых и шубертовых многообразий;

- исследование множеств алгебраических систем шубертовых многообразий, отвечающих условиям полной и неполной инцидентности, и их систем эквивалентности на основе принципа перенесения их свойств на пространство условий;

- разработка методики проекционного моделирования многомерных пространств с различной структурой (точечных, линейчатых и др.) на множествах пространств меньшей размерности;

- разработка геометрических основ практически удобного и реализуемого на ЭВМ метода моделирования многопараметрических объектов и процессов

( в физико-химическом анализе многокомпонентных систем и других областях

^ техники и технологии.; ------ "

у Метод исследования. Требования к методу. Для решения указанных задач в работе используются, в основном, исчислительные и синтетические методы исследования. При этом применяются отдельные положения алгебраической, проективной, комбинаторной, вычислительной геометрий и топологии. Кроме этого частично используются методы конечных элементов, многокритериальной оптимизации, численные методы, методы моделирования сложных систем.

Метод, избранный в работе, должен отвечать следующим требованиям:

- независимость от размерности пространства и размерности его основного элемента, формализованность и алгоритмизируемость;

- возможность синтеза всего множества соответствий, существующих на грассмановых многообразиях, вычисления всех характеристик соответствий, исследования систем исключенных и инвариантных элементов;

- возможность решения обратной задачи, т. е. построения множеств соответствий с заданными характеристиками.

Теоретической базой исследования послужили:

- в области многомерной геометрии и геометрического моделирования

работы К.И. Валькова, Н.С. Гумена, И.С. Джапаридзе, Г.С. Иванова, И.И. Ко-това, В.Е. Михайленко, B.C. Обуховой, В.Н. Первиковой, A.JI. Подгорного, З.А. Скопеца, A.M. Тевлина, П.В. Филиппова, Н.Ф. Четверухина, В.И. Якунина и их учеников;

- в области теории параметризации и исчислительной геометрии работы H.H. Рыжова, В.Я. Волкова, A.A. Глаголева, ,Г. Кемпфа, C.JI. Клеймана, Д. Лаксоу, Г. Фроденталя и др.;

- классические труды К.А. Андреева, Г.Ф. Бейкера, А.К. Власова, JI. Кремоны, Б.К. Мподзиевского, Т. Рейе, Х.Г. Цейтена, М. Шаля, Л. Штейнера, Р. Штурма, Г. Шуберта и др.;

- в области физико-химического анализа и моделирования сложных систем труды Н.В. Агеева, В.Я. Аносова, С.Д. Громакова, О.С. Иванова, А.Г. Ивах-ненко, Н.С. Курнакова, Д.А. Петрова, В.И. Посыпайко, В.П. Радищева и др.

Научную новизну работы составляют:

- расширение класса геометрических объектов применительно к проблематике исчислительной геометрии за счет алгебраических систем грассмановых и шубертовых многообразий и представления их в виде условий инцидетности, для которых предложены теоретические основы классификации и исследования в зависимости от размерности их внутренних условий;

- метод определения форм эквивалентности для условий инцидентности алгебраических систем с различными внутренними условиями и метод получения основных уравнений связи условий, что является основой для создания общей характеристической теории систем шубертовых многообразий;

- основы исчислительно-конструктивной теории построения и исследования множеств алгебраических соответствий на грассмановых многообразиях многомерного проективного пространства и множеств проекционных систем;

- методы расчета и исследования неподвижных и слабоинвариантных систем алгебраических соответствий;

- методы построения и исследования алгебраических соответствий с . особыми свойствами;

- идея перенесения инцидентностных свойств систем шубертовых мношоб-, разий на свойства систем многообразий нелинейных пространств, обладающих определенными особенностями и бирационально изоморфных проективному пространству;

- методы построения исчислительно-конструктивных моделей многомерных проективных пространств с различной структурой;

- способ параметризации областей многофазного равновесия в фазовых диаграммах многокомпонентных систем;

- методы моделирования и структурной идентификации областей фазовых равновесий диаграмм состояния и сложных многопараметрических систем с множеством взаимно зависимых параметров.

Практическая ценность. Разработанная общая исчислительно-конструк-тивная теория построения и исследования множеств алгебраических соответст-

вий между подпространствами многомерного проективного пространства является почти полностью формализованной, вследствие чего может служить основой для создания автоматизированной базы геометрического моделирования сложных многопараметрических объектов и систем в различных природных и технологических процессах.

. На основе полученных теоретических результатов созданы алгоритмы и. программные модули, предназначенные для описания, прогнозирования и визуализации областей многофазного равновесия диаграмм состояния трехи четырехкомпонентных систем. Применение их в любой АСНИ в области физико-химического анализа позволит усовершенствовать процесс решения практических вопросов по диаграммам состояния, конструировать технологические объекты с комплексом заранее заданных свойств.

Разработаны алгоритмические и программные основы для создания АОС по многомерной начертательной геометрии и геометрическому моделированию, решающие проблему автоматизированного синтеза и исследования задач конструктивного характера. Программные модули реализованы на языках программирования Pascal и С++.

Реализация работы. Результаты теоретических исследований, выполненных в диссертационной работе, внедрены на ряде предприятий полиграфической промышленности гг. Омска и Перми в виде методик, методов, алгоритмов и рекомендаций построения геометрических моделей, оптимизирующих / . технологические процессы; Результаты исследований используются в учебном процессе Омского государственного технического университета на кафедрах «Технология полиграфического производства» и «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

- на 6-й Международной Конференции по инженерной компьютерной графике и начертательной геометрии (ICECGDG) 19-23 августа 1994 г. в Токио, Япония (на англ. языке);

- на Международной научной конференции «Информатизационные технологии в печати» 25 - 30 ноября 1994 г. в Москве;

- на Втором Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ - 96) в Новосибирске в 1996 г. (2 доклада);

- на 7-й Международной конференции по инженерной компьютерной графике и начертательной геометрии (ICECGDG) 18-22 июля 1996 г. в Кракове, Польша (на англ. языке);

- на Международной научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» в 1998 г. в Харькове, Украина;

- на 4-м Международном Симпозиуме по геотехнологии окружающей среды и обеспечении глобального развития 9-13 августа 1998 г. в Бостоне (Дэнвере), Массачусеттс, США (на англ. языке);

- на 8-й Международной конференции по инженерной компьютерной графике и начертательной геометрии (1СЕСОБО) 31 июля - 3 августа 1998 г. в Остине, Техас, США (на англ. языке);

- на 3-й Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» 26 - 28 октября 1999 г. в Омске (3 доклада);

- на научно-методическом межвузовском, семинаре «Компьютерная геометрия и графика в образовании» в Красноярском государственном техническом ун-те, Красноярск, 2000 г.;

- на научно-методической конференции «Современное образование: управление и новые технологии» 25 - 27 апреля 2000 г. в Омске;

- на научно-методических конференциях Омского государственного технического университета 1990 - 2000 гг.

На защиту выносятся:

- исчислительно-конструктивный метод синтеза и исследования множеств проекционных систем, существующих на грассмановых многообразиях многомерных проективных пространств;

- формализованный метод расчета характеристик множеств алгебраических соответствий многомерных пространств (прямая задача синтеза);

- метод синтеза соответствий и их проекционных систем с любыми заранее заданными характеристиками (обратная задача синтеза);

- метод исследования систем неподвижных элементов соответствий и систем исключенных элементов;

- методы синтеза и исследования множеств соответствий с особыми свойствами;

- метод представления алгебраических систем грассмановых и шубертовых многообразий многомерного пространства произведениями условий инцидентности;

- исчислительно-конструктивные методы отображения многомерных пространств различной структуры на пространства меньших размерностей;

- методы построения геометрических моделей сложных систем со множеством взаимно-зависимых параметров на примере моделирования областей многофазного равновесия диаграмм состояния;

- принцип построения алгоритмов и программного обеспечения блока генерации конструктивных задач для АОС.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 45 научных работ общим объемом более 20 печатных листов, среди которых одна монография. В них достаточно полно освещены как теоретические, так и прикладные вопросы исследования.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 385 страниц, в том числе 32 рисунка, 9 таблиц. Список литературы содержит 357 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

метода построения (синтеза; и иш " многомерного пространства

ветствий между о^ектшной связи между

Р Основная идея многообразиях

проекщюнными Показано, что пространства Р „,и ¿_тоскосттп X и Гесть частный случаи

соответствие/" Хк Г мйВДУ^™ грассмановыммногообразием декартова произведения Хх У, шщушГО^с> J _ ¿>плоскостей. Любое

G(n -k.(n-k+ l)k) (n-к + 1)к-"XfS x Г е^ли будет указан способ, по

соответствие/может быть построено из Хх Г е л^

которому для каждого произвольно взято™ прообраз е такую

О-параметрическое множество °^^п0Глш1гельные условия размер-

возможность на G должны быть наложен « многообразияS(n-к, к).

ности dim W, что привода к образованию шубертова мн= _ Р Доказано, чтоХх Г индуцируется G(n - к, 2к), a aim ,

Dim W

Рис. 1

И.—лшс-ко»^^ част Первая - разработанный „а

ими неприводимых соответствии.

Метод синтеза проекционных систем / заключается в следующем:

- формируется множество W всех простых условий инцидентности, которые могут быть наложены на проецирующие (п - ^-плоскости;

- формируется множество Wср всех сложных условий, которые могут быть наложены на проецирующие (п - ^-плоскости, по правилу

dim е = dim W, ее W ;

ср '

- формируется множество W условий, которые порождают Suf. Каждое условие из W/p задает в Р п неприводимое многообразие S и его определяющую фигуру - обобщенный аналог центра проецирования.

Формализованный метод исследования индуцируемых соответствий заключается в следующем:

- вычисление вектора алгебраических характеристик многообразий S и их геометрическая интерпретация;

- вычисление вектора алгебраических характеристик индуцируемых соответствий f.

Вычисление характеристик S основывается на том факте, что каждое сложное условие инцидентности имеет форму эквивалентности в виде суммы простых условий, т. е. П е = D g.e ,, е е Wр. Доказано, что порядок S, т. е. число (п - к)-плоскостей из S, инцидентных точке общего положения, числено равен значению gr стоящему перед условием полной инцидентности (п - к)-плоскости и виртуальной (п-к - /^-плоскости. Кроме этого доказано, что S будет обладать к} числовыми характеристиками, которые названы классами - j,j = 2, ..., кг Они числено равны g ., причем каждый g . занимает строго определенное место в Zg^..

В зависимости от значения g; получаются следующие случаи: g/ = 0 -соответствие не существует; g1 = 1 - индуцируются взаимно однозначные соответствия; g,> 1 - индуцируются многозначные соответствия. Поэтому множества {S} и (fj не изоморфны. Изоморфизм устанавливается только после исключения из {SJ тех S, у которых = 0.

Что касается алгебраических характеристик индуцируемых соответствий f, то доказано, что каждое соответствие обладает к - 1 характеристиками, названными порядком - i, i = 1,..., к -1. Порядок -i определяется порядком (п -к + /^-поверхности, принадлежащей S и имеющей (п - ^-мерные образующие. Доказано, что (gt, g^-соответствие / обладает (к - 1)/2 порядками, если к нечетное, и к/2 порядками, если к четное, причем, по принципу двойственности, порядок -i равен порядку-fA: - i). Зависимость между g i = 1,..., к, и характеристиками Ъ . соответствия следующая: b] = gt + g2, b2=g] +

S2 + Ss.....b k.2 = b2-b

Далее в этой главе описан метод синтеза соответствий с любыми заранее заданными характеристиками, которые представляют собой набор положи-

тельных целых чисел и ноль, не совпадающих с характеристиками соответствий из IV ^ . В основе метода лежит предложение, что любая сумма llg ¡е . порождает некоторое соответствие/ Как известно, каждый цикл Шуберта е имеет свою форму эквивалентности, представляющую собой многочлен, состоящий из специальных циклов вида е , где с —0,..., к-1. Для ее

нахождения используется формула Джамбелли, согласно которой е . представляется в виде определителя. После преобразований и приведения подобных членов получается многочлен, задающий определяющую фигуру (ОФ) искомого соответствия.

Разработанные методы решения прямой и обратной задачи синтеза проекционных систем и соответствий применены для исследования основных свойств бирациональных и многозначных соответствий. Наиболее простыми в конструктивном плане оказываются бирациональные соответствия при к - п - /, т. е. между гиперплоскостями. Индуцируются такие соответствия многообразиями п - 1), называемыми гиперсетями прямых. Кроме всех алгебраических характеристик подробно исследованы фундаментальные и принципиальные элементы таких соответствий.

Учитывая огромное значение, которое имеют соответствия /• Хг <-» У2, предложено решение проблемы конструктивного построения таких соответствий в Р Предложено решение такой же проблемы для/■ Xк У к.

Описанные методы не делают различий между (1, 1)- и ^, £у)-соответ-ствиями. Все этапы исследований и тех и других основываются на уравнениях циклов Шуберта и превращаются в формальную процедуру, достаточно легко реализуемую на ЭВМ. Показано, что все соответствия, индуцированные с помощью описанных методов, являются частными случаями или специализациями основного соответствия (ОС) для заданных значений пик, которое задается циклом вида (е п , к + , к.,) ОС можно определить как неприводимое соответствие, имеющее в заданном классе соответствий максимальные значения всех алгебраических характеристик. Поэтому, если исходные данные обратной задачи включают характеристики, превышающие характеристики ОС, то получающееся соответствие может быть приводимым. Подробно рассмотрена процедура специализации ОФ ОС, которая приводит к его распадению на более простые соответствия. Доказано, что ОС всегда разлагается на конечное число соответствий типа Т(1 - 1)' и Т(0 - 0)'. Разработана обратная процедура - процедура синтеза, которая позволяет получить соответствия с нелинейными ОФ. Основана она на выведенной формуле

Т(Я-&° + Т(с-с)ь = Т((с + - (с + ♦ ■ где gu с - значности, а а и Ь -порядки исходных соответствий. Выражение через циклы Шуберта имеет вид

Т((с+е)-(с+8))'*ь =

.....,д+(а + Ь-с^)еп_,п_к 0.

Свойства таких соответствий заключаются в том, что они, во-первых, могут быть приводимыми, а во-вторых, их ОФ могут иметь нелинейные компоненты. Их исследование осуществляется методом синтеза соответствий, описанным выше. В качестве примера подробно исследовано соответствие 7(2 - 2/ в Р.

ОФ

Рис.2

Метод исследования соответствий был бы неполным, если бы он не позволял изучать системы неподвижных элементов (СНЭ) и системы исключенных элементов (СИЭ). В связи с этим предложен метод исследования СНЭ, основная идея которого заключается в том, что вводится второе соответствие С: которое называется совмещающим и является

проективным С(1 - 1)'. Доказано, что число простых неподвижных точек соответствия Т равно числу прямых ассоциированного ¿-многообразия прямых, лежащих как в Бт , так и в 5с(рис. 2). Число таких прямых всегда будет конечным. Для доказательства использована идея наложения внутренних и внешних условий и представления Бт и 5С как многообразий прямых. В результате получены следующие выводы. Первый - о размерности п-2к+1, минимально необходимой для исследования соответствия Тв его самом общем виде При п<2к + 1 будут появляться кратные неподвижные элементы, а Т будет принимать частные виды. При п >2к + 1 никаких новых свойств не появляется. Следовательно, открывается возможность изучения частных типов соответствия Г путем понижения размерности объемлющего пространства. Второй вывод: любое соответствие, построенное в Р2к + 1, будет иметь СНЭ, состоящую только из простых неподвижных точек. Их число определяется из

уравнения

(I а (е /V (IЪ .е ()с- (е п к)2= Ы- е,0, где (Е а е '.) есть форма эквивалентности многообразия Б(1, 2п-к - 2)^, полученного из Б(п - к, к)т; (Е Ь . е ¡)с -то же самое для Б(1, 2п - к - 2)с; (е „ / -

цикл, описывающий многообразие прямых, пересекающих X и У и устанавливающего соответствие X х У; N - число простых неподвижных точек.

Выведена формула числа простых неподвижных точек для Т(р -р): Х<-> У общего вида и порядков т .в Р п, которая имеет вид

к! 2-1

тт +Р),

если к четное, и

2( ¿.Щ + р),

1=1

если к нечетное. Эти формулы обобщают известные принципы соответствия Шаля, Кели и Цейтена.

Далее исследованы слабоинвариантные элементы соответствий и закон изменения СНЭ в случае уменьшения размерности п. В частности доказано, что неподвижная (2к-я^-плоскость пересечения Хи Уэквивалентна простым неподвижным точкам:

2Л-П+1 Ч

/=1,к4 (=4

Здесь д = (2к -п+4)/2 для четных значений 2к-пиц = (2к -п+ 3)/2 для нечетных значений 2к-п .

Завершается глава описанием основ метода определения числа, кратности и размерности подпространств пространства X, в которых нарушается соответствие / Все фундаментальные элементы (Р-элементы) разделены на явные и неявные. Явные Р-элементы принадлежат множеству пересечений элементов ОФ с X (в /"' - с У). Для них необходим только расчет кратности, которая равна порядку 1 гиперповерхности с (п- 2^-мерными образующими, принадлежащей 3. Это осуществляется с помощью произведения

А ■ В ■ С - I- е , , ,„,

п - 2, п - 3,.... 1,07

где А - цикл инцидентности Р-точки; В - цикл, задающий Б; С- цикл пересечения с прямой общего положения.

Неявные Р-элементы определяются в следующем порядке:

- определение числа (п - 2)-плоскостей из Б, пересекающих У по прямой;

- определение числа пучков (п - 2^-плоскостей из Б, носители которых -(п - .^-плоскости пересекают X в точках;

- определение числа Р-точек высшей кратности;

- определение кратностей всех найденных Р-точек.

В этой главе сформулировано и доказано 19 предложений. Материалы главы опубликованы в работах [8, 9, 10, 13, 21,23, 24, 27, 30,34,37 - 39].

Во второй главе описан метод конструирования и исследования соответствий, основными элементами которых являются различные /-мерные подпространства, 1 <1< к -1, пространств А'и Y. Из множества Wp формируется W , каждый цикл которого состоит из произведений таких циклов, что dim Y\e -(к - 1)(п - к). Любой цикл из W с есть частный случай основного цикла А = (р Р < №-<)(''-Q

Простейшее соответствие, т. е. взаимно однозначное и линейное, индуцируется циклом

г- _ п-к+! ,п-к-1,...,0

или любым ему эквивалентным, число которых равно 2(п - к) - 4. Каждый цикл, эквивалентный Е, 0 < I £ к - 1, индуцирует к различными способами одну и ту же коллинеацию.

Знание свойств основного соответствия А позволяет исследовать любое соответствие как частный случай. Значность а, соответствия А определяется уравнением

л en,..„i+l,/....,0 — UI en-i+/,...,0'

Для определения порядков соответствия необходимо обусловить описание каждой /w-плоскости пространства X, 0 < т < к - 1, через множество I-плоскостей. Все описания /и-плоскости разделены на структуры: линейные и нелинейные. Структура m-плоскости определяется как число /-плоскостей, пересекающих одновременно (I + 1)(т - I) плоскостей размерности т-1 -1. Утверждается, что m-плоскость обладает линейной структурой, если ее цикл, умноженный на такое число циклов единичной размерности, чтобы в результате получилось конечное число /-плоскостей, дает в итоге коэффициент, равный единице, т. е. единственную /-плоскость. Таким образом, порядок соответствия будет определяться порядком образа той /и-плоскости, которая будет описана множеством /-плоскостей с линейной структурой.

Направление дальнейших исследований разделено на части:

- определение образов ли-плоскостей линейной структуры, / +1 <т<к - /;

- определение образов /«-плоскостей нелинейной структуры;

- определение образов m-плоскостей при 0 < т < 1-1.

В первом случае необходимо, во-первых, найти форму эквивалентности для произведения циклов, из которых первый индуцирует исследуемое соответствие, а второй выражает инцидентность проецирующей (п-к + /^-плоскости и /и-плоскости, находящейся в X. Во-вторых, необходимо найти пересечение цикла, полученного в результате редукции этого произведения, с ¿-плоскостью Y с учетом полученных коэффициентов. В качестве примера рассмотрено соответствие Т: Х3<->У3вР^п образы прямой, плоского пучка прямых, плоского поля прямых, связки прямых, линейной конгруэнции, линейного комплекса, линейчатой квадрики.

В результате обобщения на любые значения к и п сделаны выводы:

- указанные соответствия индуцируются многообразиями

S(l + 1, (1 +l)(n-l-1))\

- соответствия между гиперплоскостями являются взаимно однозначными, а порядок-1 равен п-1 -1;

- образом (I + ij-плоскости является (I + /j-поверхность (n-l-1)-го порядка;

- образы всех /и-плоскостей определяются из произведения

/ /+1,...,1,0 чп-/-1 /+1,/,/-1,...,0 \еп,...,п-1,п-1~2) ' еп,т,1-1,...,0 5

- соответствия между ¿-плоскостями индуцируются многообразиями

S(n - к + I, (I + 1)(к -1));

- образы всех «¡-плоскостей определяются из произведения

А■ е

п,и-1.....к+l.m.l-l.....О'

Во втором случае образом /м-поверхности а-го порядка с /-мерной образующей является m-поверхность порядка а• ат, где ат - порядок соответствия, определенный для т-плоскости. Если /-плоскость описывает в X (1 + 2)-поверхность, то кроме порядка необходимо определение класса образа. Для этого составляется уравнение

л( „n-k+l,,JJ-\,...fi n-k+l,...,l,l-l,I-2,...,0s

л\а\ 'en,..J+2,l-l,...,0 а2 ' еп,...,1+\,1,1-2,...,0 )> где а; - порядок прообраза; а2 - класс прообраза. Этот процесс можно обобщать до тех пор, пока т не станет равно к -1.

В третьем случае соответствие Т(1) с /-плоскостью в качестве основного элемента есть в то же время соответствие T(trt) с основным элементом т-плоскостью. Если Т(1) отлично от однозначного линейного соответствия, то Т(т) отличается от Т(1) значностью и порядком. Если Т(1) установлено в Р п, то Т(т) определяется однозначно. Обратное утверждение неверно. Если Т(т) установлено, то Т(1) в общем случае не существует. Если Т(1), установленное в Р , порождает Т(т), то Т(1) является расслаивающимся в многообразии /плоскостей на соответствия Т(т).

В данной главе предложен еще один метод конструирования неточечных соответствий пространства Рп. Пусть в Р задано множество точечных соответствий Т.: X к(0 . Y k(i) . (рис. 3). Используя их как основу, требуется построить соответствие с основным элементом /-плоскостью, t = ( х д ) -проекпшная оболочка i групп точек х д .е XкП) .. Можно сформулировать иначе. Задавая значение /, / > 7, построить и изучить множество соответствий с основным элементом i-плоскостыо, рассматриваемым как проективная оболочка определенной совокупности подпространств х .czXk(j) 0<1( i) <к(i) -1. Решение этой задачи опирается на результаты гл. 1. Из условия i < п следует условие линейной независимостиXl(j) . = {х 0).. Свойства и характеристики образа многообразия /-плоскостей в целом определяются характеристиками многообразийX!П) О < dim Xl(ij . < (l( i) + l)(k(i) -l(i))

и характеристиками многообразий 5.. Такие соответствия относятся к соответствиям с инвариантными подпространствами, которые появляются в случае 21=Хк(.) . п У . или 2.=Хк0) . = У кп) .. В 2! может существовать какое-нибудь преобразование Т1 ., которое может быть тождественным, неточечным, нелинейным и неоднозначным. Описанные соответствия иллюстрируются исследованием конкретных соответствий.

В конце главы описан метод исследования систем виртуальных неподвижных элементов (СНЭ). В нем путем расчета внутренних и внешних условий доказано, что число прямых, общих для многообразий 5 т и 5 с, определяет число виртуально неподвижных точек соответствия Т. Но, так как Г имеет в качестве основного элемента /-плоскость, то число виртуально неподвижных /-плоскостей равно числу сочетаний по / + / из числа неподвижных точек. Получающиеся неподвижные /-плоскости будут слабоинвариантными в точечном соответствии Т.

Для линейчатых соответствий, на основе рассмотрения ассоциированных многообразий 3-плоскостей, выведена следующая формула

3,2,1,0 .(е3'2Х0 }2-Е = Ы-е

где ¿-эквивалентная форма основного цикла 4 ) число

виртуально инвариантных прямых.

В данной главе доказано 4 предложения. Материалы главы опубликованы в работах [33,34, 39, 40].

Рис. 3 16

Третья глава посвящена конструированию и исследованию систем соответствий с особыми свойствами. В частности, метод построения соответствий, описанный в 1-й гл., получает дополнительные возможности, если в качестве индуцирующих многообразий использовать алгебраические системы шубертовых многообразий (АСШМ), описанные в гл. 4.

Пусть в Р выбраны две ¿-плоскости X и У. АСШМ размерности п - к определена условиями полной или неполной инцидентности и имеет вид V * к п к 1 ¡(к),} = 1, ...,п-к-1. Подмногообразие V можно назвать основным в У, так как именно оно определяет свойства соответствия, если ^определено условиями полной инцидентности, ¿-параметрическое подмногообразие У.(к) можно задать, воспользовавшись методами, описанными в гл. 1. Свяжем с ним многообразие V (0) таким образом, чтобы с каждой7-плоскостыо из V. была связана конкретная (] + ^-плоскость или конечное их число из V . Каждая (/" + /^-плоскость должна определяться условием полной инцидентности с у'-плоскостью и некоторым внешним условием, приводящим ^•+/(7+2)(п "У -1)) к V.¥!(0). С каждой (/ + /^-плоскостью из У.+/(0) свяжем или конкретную (у + ^-плоскость, или конечное их число. Эти (} + 2)-плоскости принадлежат У.+2(0). Они определяются внутренним условием полной инцидентности конкретной а + ^-плоскости и некоторым дополнительным условием. Процесс продолжается до (п - ^-плоскости подмногообразия Уп к(0). Эти (п - ¿^-плоскости из У и устанавливают соответствие/ Множество всех соответствий будет индуцироваться декартовыми произведениями {е п к} х

Числовые характеристики соответствий определяются иначе, чем в гл. 1. Здесь же приведены правила их определения.

Рис. 4

* &^(рис. 4).

Все описанные до сих пор методы решали задачи построения соответствий, у которых размерности образа и прообраза совпадали. Решается задача построения таких соответствий Т: Х<-> У, чтобы /-плоскость, / сЛ", соответствовала бы »2-шгоскости, m с У. Здесь I < к, m < к, Ы т. Идея решения этой задачи заключается в том, что У принимается входящим в ОФ многообразия, индуцирующего Т. Приводятся уравнения циклов для двойственных и не двойственных образов. Уравнения циклов соответствий J и Т~1 имеют разный вид.

Для решения общей задачи предполагается существование в Р некоторого многообразия (п - к + /^-плоскостей, пересекающих А'по /-плоскостям, а У-по«i-плоскостям. Цикл, индуцирующий соответствие Т:(х(сX)<r> (у mczY) имеет вид

n-¿+/,...,m+l,m,m-l,...,0 s п-к+1,...,0\а

где а = (к- l)(n -k)-(m- l)(m + 1).

Цикл многообразия, индуцирующего простейшее соответствие с двойственными образами и прообразами, имеет вид

n-k+t,...,m+l,m,m-l,...,0 п-к+1,...,п-2т-\,п-2т-2,...,0 n,...,k+m-l+\,k,к-\.....i-men,...,n-2m-l+í-/,n-2m-2,...,0 •

Д ля случая, когда /- и от-плоскости не являются двойственными в ¿-плоскости, необходимо вычислить значение айв цикле нулевой размерности последовательно уменьшить нижние индексы, начиная с правого, на величину, в сумме равную а, но каждый - не более, чем шк-1.

Далее в этой главе описан метод построения и исследования соответствий с несимметричной значностью. Решение этой проблемы заключается в использовании АСШМ в качестве ОФ. Рассмотрен случай к = 1, АСШМ Vt т состоит из ги-плоскости а и /-плоскости b, I < т , b с а, т + к = п. Для установления соответствия Г необходимо, чтобы выполнялось равенство (т + 1)(п -т) + (I + 1)(т -1) - dim a-b = 1, из которого необходимо исключить случаи, когда dim а - (т + 1)(п - т) (вырожденные соответствия) и dim b = (l + 1)(т -1) (приводимые соответствия).

Подробно исследовано соответствие Т(5 -5) и процедура его приведения к Т(4 - 5), Т(3 - 5), Т(2 - 5), Т(1 - 5), Т(4 - 4), Т(3 - 4), Т(2 - 4), Т(1 - 4), Т(3 - 3). Аналогичные выкладки приводятся для к = 2. Получены уравнения циклов для определения значности и порядка основного соответствия.

В этой же главе рассмотрено еще одно из свойств многообразия S- свойство расслаиваемое™ во множестве подпространств. Доказано предложение: чтобы многообразие S(n - к + /, (I + ])(к - 1) + 1) было расслояемым в пучке (р) гиперплоскостей необходимо и достаточно, чтобы каждая (п-к + /^-плоскость из S пересекалар по (п - к + / - /^-плоскости. Здесь Р с R. Значности соответствий ТаР нТ rdR совпадают. Порядок соответствия Т г будет равен коэффициенту, полученному в результате редукции циклов А В -C D, где А - цикл

многообразия (ti-k + /^-плоскостей, пересекающих выбранный прообраз; В -цикл многообразия S р с Р, записанный с учетом, что размерность каждой плоскости ОФ увеличивается на единицу; С- цикл (п - к + /^-плоскостей, пересекающих р; D - формальный цикл пересечения образа с двойственной ему плоскостью.

Доказано, что если для любого i > О существуют соответствия с циклом (е .. ,)"+i! и(е . п-i-2> 0, то это означает, что соответствие

с циклом (е п п)п~' является расслоенным в пучках (п - i - /^-плоскостей и порождает расслоенные соответствия в пучках (п + / - /^-плоскостей. Порядки-1 таких соответствий равны n-i-lnn+i-l.

Рассмотрено решение этой же задачи в предположении, что dimR - dimP = = i. Соответствие Т: Установится соответствием Тт: Xг о Fг, рассло-яемым в /-параметрическом многообразии n-плоскостей (р). Здесь X и Y -^-плоскости в Р, Xг и Yг - (к + /^-плоскости в R.

Чтобы многообразие S г(п - к + /, (I + 1)(к - I) + i) было расслояемым в /-параметрическом многообразии я-плоскостей (р) необходимо и достаточно, чтобы каждая (п-к +1)- плоскость из Sr пересекала (п - /j-плоскость - носитель многообразия (р) по (п - к + / - ^-плоскости. Это предложение справедливо для простейшего вида многообразия (р). На конкретных примерах рассмотрены случаи, когда ОФ многообразия (р) является не (п - /J-плоскость, а эквивалентная ей по параметрам, но другая ОФ. Для случая i> 0 и общих видов Г и (р) приведен метод определения порядка соответствия.

Изложенная в гл. 1 теория является частным случаем общей теории, касающейся проблемы исследования соответствий между системами подмногообразий коразмерности от 1 цок -1 на нелинейных многообразиях Хи Y степеней deg X и deg Y. Можно изучать рациональные отображения / : X <-» Y через соответствия линейных систем циклов f : Рк, f : Y<~>Pk с точностью до автоморфизмов пространства Р . В частности показано, что две гиперповерхности бирационально изоморфны, если на каждой из них лежит а . линейных подпространств размерности т. с кратностями u.., 0<j<a.. При этом а. и т. должны удовлетворять уравнению существования форм специализации цикла общего вида Zfn -1 - m Ja . = 2(п -1), где i = 1,..., р;р- число циклов в форме специализации, a deg X(deg Y) = 2 и .ос . + 1. Кроме этого их взаимные инциденции должны быть точно такими же, какими они являются в ОФ бирационального соответствия Т : X <->■ У (рис. 5).

Этот признак бирационального изоморфизма/: (X— Р к) Удействителен при п-к-1. Если и - к > 1, то признак имеет другую формулировку. Если ОФ бирационального соответствия представить в виде

, и-*,.../,,/НЛ-2,... чД f n-k,.JrJ,-U,-2,...

а среди р . (к + 1 - 2)-плоскостей с кратностями и .. найдутся такие, у которых dim Р > dim У (что возможно при п - к > 1), то ¿-мерные многообразия будут бирационально изоморфны в том случае, если они будут пересекать компоненты ОФ с dim р > dim Y(dim X) по плоскости размерности < dim Y (dim X), которая пересекает проецирующую (п - ¿^-плоскость многообразия S с нулевым условием (трансверсально).

Для соответствий f: Y<r>Pk порядок образа прямой определяется по формуле degy = deg s х deg Y- и .. P ., где _y - образ прямой; s - подмногообразие S, проецирующее прямую-прообраз; Z - вклад в определение порядка, обусловленный наличием ОФ соответствия. Последняя лежит на Кили имеет указанные выше инциденции с У и поэтому является исключенной системой отображения/: Рк.

Результаты этого подхода формулируются следующим образом. Структуры Р к и У изоморфны, если ОФ/: У<-> Р к и исключенная система многообразия Y в/: У Р к находятся в указанных выше отношениях. Если ({у} с Y) = f({l} ссPJ, то инцидентностные свойства {у} и {1} изоморфны. Кроме этого, dim ({1}с. Р к) = dim({y} c:Y) = (I + 1)(к -1). Исчисление циклов Шуберта на грассмановых многообразиях проективного и-мерного пространства есть исчисление нелинейных циклов тех же размерностей на «-мерном алгебраическом многообразии, имеющем указанные выше порядок и особые подмногообразия. Следовательно, запись , означающую инцидентность определенного вида I- и а(7)-флагов или условие определенного вида, наложенное на /-флаг, можно считать выражением инцидентности такого же вида /и а(1)-мериых сечений (подмногообразий) многообразия У подмногообрази-

Рис. 5

ями sczS. Поэтому множества соответствий между ¿-мерными проективными пространствами, свойства которых исследованы выше, есть множества соответствий между ¿-мерными многообразиями различных степеней, обладающими указанными особенностями.

В этой главе доказано 5 предложений. Материалы главы опубликованы в работах [35, 36, 39].

Четвертая глава посвящена проблеме расширения классов геометрических объектов пространства Р применительно к проблематике исчисли-тельной геометрии и представлению символических обозначений для АСШМ.

Условиями на АСШМ названы условия инцидентности, относящиеся к флагам разных размерностей, связанными внутренними условиями инцидентности. В основе исследования лежит предположение, что произведение двух и более условий может быть представлено в виде эквивалентной суммы произведений условий специального для данной АСШМ вида. Произведением двух условий

ea(m),a(m-l),...,o(l),a(0)eA(p),6(p-l),...,A(l),A(0) > т > Р> V1)

названо условие, которому одновременно удовлетворяют т- и ¿»-плоскости, связанные друг с другом каким-либо отношением инцидентности. С каждым ; произведением (1) связано определенная АСШМ. Если в Р п заданы ти /^-плоскости, то между ними всегда существует некоторое отношение инцидентности. Эта пара, обозначаемая V или V (V = V + V, V = V ),

г' т,р р,ту т,р т р' т,р р, /п/7

рассматривается как СШМ, определенная внутренними условиями инцидентности.

Каждое внутреннее условие инцидентности i(V) обладает своей размерностью и поэтому существует множество АСШМ, имеющих одинаковые размерности подпространств, но отличающиеся размерностью внутренних условий инцидентности. Понятие АСШМ обобщено на любое конечное число плоскостей различных размерностей. Если dim i(V) = 0, то АСШМ распадается на многообразия плоскостей, не связанных друг с другом. Такие многообразия можно изучать независимо от других. Здесь же вводится понятие полной АСШМ Vm т ! t д, состоящей из всех плоскостей размерности 0 < dim V< т.

Обязательным аспектом исследования условий для АСШМ является определение их размерности и совместности. Размерность произведения зависит от размерности условий, входящих в произведение, и не зависит от размерности внутренних условий для АСШМ. АСШМ классифицируются по внутренним условиям инцидентности. Различаются АСШМ с полной инцидентностью, которая означает, что V с Vn, и с неполной инцидентностью, т.е. Гл Vm = F, i = 0, ...,р-1. В дальнейшем предлагается изучать АСШМ, классифицированные по размерности внутренних условий - от полной до единичной. Показано, что критерии совместности произведений условий зависят от внутренних

условий инцидентности для АСШМ. Доказано, что произведение вида (1) будет совместно, если совместно произведение

р,р-1,_,1,0 р,р~ 1,...,1,0

Критерий совместности произведения любого числа условий заключается в том, что оно будет совместно, если совместны все парные произведения, составленные с учетом отношений инцидентности для данной АСШМ.

Для АСШМ Vт с неполной инцидентностью, т. е. т + р = I + п, 0 < I <р, критерий совместности произведения любого числа условий вида (1) заключается в совместности всех сложных условий U-1.....1.0 м-\„ 1,о

составленных из данной АСШМ.

Подробно исследованы системы эквивалентности АСШМ с полной инцидентностью. В основе исследования лежит разработанный метод получения основных уравнений связи (ОУС) условий,"рассчитанный на использование ЭВМ и осуществимый для любых значений п. ОУС - это уравнение условии, удовлетворяющее двум принципам - принципу специализации и принципу сохранения размерности условий. В частности доказано, что произведение ^ условий размерности р, разложимое в эквивалентную сумму условий, существует для произведений вида е*-р + ' ек-р+2... ек, .... екек+!... ек+р~'.

Что касается систем эквивалентности для АСШМ с неполной инцидентностью, то в данной главе приведены некоторые типовые АСШМ и их системы эквивалентности, достаточные для понимания общего метода исследования АСШМ с любыми внутренними условиями. В частности получены ОУС для

V к ( = (Vt r V2 r V2 J в Р я. Например, ОУС для V, р состоящего из двух пересекающихся прямых, имеет вид

а , ,Ь , = а , ,Ь , + а , ,Ъ

п-1, п- 3 п.п-2 п-2,п-з п ,п -1 п- 1,п- 2 п ,п-3

ОУС для V2 2, состоящего из двух плоскостей, пересекающихся по прямой, имеет вид

я , , Ь , ,=<я , , b , +а , , ,Ь , ..

п -1, л -2, п- 4 п,п -1, п-3 п -/. п -З.п-4 п,п -I, п-2 п -I, п-2,п~ 3 п,п л -4

ОУС для V2 состоящего из плоскости и пересекающей ее прямой, имеет вид

а , Ъ а , Ъ ,+ а , ,Ь

п, и - 2, п - 4 л.л-5 п, л - 3. л - 4 л,п-2 л, и - 2, л - j n,n - 4

Выведены правила обобщения ОУС на пространства любой размерности и для любых значений к = 1> 1,1 = 1, к> l,k ~ I + 1. Результат достигается определенными изменениями индексов в уравнениях условий.

В данной главе утверждается, что существует полная система ОУС для любых АСШМ V а для которых dim V а - dim V ь = i, 1 < i< dim V а. В связи с этим рассмотрены ОУС для Vg ь, Vh с Vс. В частности выведены уравнения для dim V = к, г - 2, i = 3. В конце главы получены ОУС для АСШМ V т g

в пространстве минимальной возможной размерности. Что эти уравнения действительно являются ОУС доказывается тем, что они единственные и что все остальные условия размерности т + 2 не имеют форм эквивалентности. ОУС для Ут д обобщены на пространство Рп увеличением всех нижних индексов на одно и то же число п - т - 2. Далее они обобщены на АСШМ К пространстве минимально возможной размерности и на АСШМ к в ~Рп. Изложенная теория представляет собой реализацию принципа перенесения геометрии АСШМ на геометрию условий и исследования свойств первых через произведения вторых.

В этой же главе рассмотрена проблема моделирования многомерных пространств. Задача построения соответствий Т: Х<-> 7 формулируется как задача моделирования X на У, где X - связное множество, а У - АСШМ с нулевыми внутренними условиями. Если Х- точечное ¿-мерное пространство, а У-множество к прямых У.,; = 1,..., к, то соответствие устанавливается многообразиями 3(п - к, кг). Основная ОФ 5 представляет собой к(п - 2к + 1) (к - 1)-плоскостей. Доказано, что простейшее отображение ¿-плоскости на к прямых реализуется в (2к- /^-мерном пространстве без ОФ. В Рп это же отображение индуцируется многообразием (п - ¿^-плоскостей с ОФ в виде (п - 2к)-плоскости.

Кроме этого установлено, что если в (2к- /^-мерном пространстве задано ¿ прямых, пересекающих некоторую (к - /^-плоскость, а между точками этих прямых установлены проективные к !/ (2 ! (к - 2)1 ^-соответствия, то многообразие (к - /^-плоскостей, проходящих через соответственные точки, представляет собой ¿-поверхность ¿-го порядка.

Принимая У как совокупность г 2-плоскостей и к - 2г прямых, получим, что отображение ¿-плоскости на У реализуется к(к - /^-параметрическим многообразием (к - 1 - /-^-плоскостей в (2к - 1 - /-^-мерном пространстве. На примерах показано, что моделью со2 прямых в отображении Т: Х2 <-» (Уц, Уп) является со проективитетов рядов Уц и У2]. Образом кривой г-го порядка является г-значное соответствие между Уц и У2Г В отображении Т: Х} <-> (Уц, У}2) оо4 прямых соответствует °о2 проективитетов между Уи и со2 множеством прямых Уп. Моделью плоскости является проективитет между Уц и пучком прямых в Уи и т. д.

Рассмотрен случай, когда основным элементом пространства X является прямая. Сделан вывод, что если п < Зк - 4, то отобразить все многообразие прямых ¿-плоскости на (2к-1) точек множества К невозможно. Точки Убудут моделировать только некоторые линейчатые подмногообразия пространства X. Рассмотрен пример Т:Х3 У / = 1,..., 4, в котором показано моделирование специального комплекса прямых, конгруэнции Кг(1, 1), пучка, линейного комплекса, квадрики.

Аналогичная задача решается для отображения ¿-мерного линейчатого пространства на а полей точек и Ь полей прямых, а + Ъ = к - 1.

Рассмотрен случай, когда основным элементом пространства X является ш-плоскость, 0<т< к-1, а У со стоит из а плоских точечных полей, Ъ плоских полей прямых и с точечных рядов. Существование отображения обусловливается существованием решения системы уравнений

(Шт/) +а-сНт/2 +¿-(¡¡111/2 + = (п-к + т+\)(к-т)

\

/

где 11 - условие полной инцидентности (п-к + »^-плоскости и т-плоскости; 12 - условие пересечения (п - к + /и)-плоскости и 2-плоскости в точке; Г 2 -условие пересечения (п-к + ^-плоскости и 2-плоскости-по прямой; 1} - условие пересечения (п - к + »^-плоскости и прямой; ег еТ е2, е} -циклы, соответствующие этим условиям.

В этой главе предложен метод многоуровневого моделирования пространств с линейной структурой. В основу исследования положен результат, что гиперплоскость пространства Р п может быть отображена гиперсетью 5(1, п - 1) только на два подпространства с суммарной размерностью п - 1. Модель ¿-мерного пространства порождается отображением fí: Хк -> (Уг У^). Она названа моделью 1-го уровня. Отображения /21: У1 (Уц, У12) и /22: У 2 —> —> (Уп, У2} порождают модели 2-го уровня и т. д. Модель последнего уровня всегда будет представлять собой совокупность плоских точечных полей и точечных рядов. Подробно рассмотрена модель пятимерного пространства.

В заключении главы предложен метод моделирования многомерных проективных пространств с помощью АСШМ. Доказано, что множество полных АСШМ V| а ао на ¿-плоскости может служить моделью пространства с основным элементом т-плоскостью, размерность которого равна

1 1 —— (в4_, + 1)(*-в4_,) + —~ Xа + \) + т.

т + х т + I |=.0

Формула утверждает только возможность существования таких моделей, основанную на равенстве размерностей многообразий. Изоморфизм модели и пространства доказывается существованием конструктивной связи между ними.

В связи с этим доказано, что модель точечного нечетномерного пространства Р п на (п + /^/2-мерной плоскости в виде V, 0 порождается двумя многообразиями (а) и (Ь) (п - ./^/З-плоскостей, циклы которых имеют определенную форму эквивалентности. Изложенный метод иллюстрируется случаями: п - 5, к = 3, У2 д; п = 6, к = 3, У2, „■

В этой главе доказано 16 предложений. Материалы главы опубликованы в работах [14,20,25,26, 28,29, 32, 36, 43,44].

Пятая глава посвящена одному из вопросов математического моделирования сложных систем, связанному с проблемой описания областей многофазного равновесия в диаграммах состояния многокомпонентных систем (пДС).

Комплексная задача моделирования областей ¿-фазного равновесия изотермо-изобарических сечений (ИИС) (Т, Р = const) пДС заключается в следующем:

- построение моделей изотерм как образов отсеков (п - ¿^-плоскостей в нелинейных, взаимно однозначных в данной области пространства, изопара-метрических соответствиях;

- разработка методов определения ¿-фазной коноды, проходящей через заданную внутри ¿-фазной области точку и соединяющей к точек на ассоциированных изотермах;

- построение моделей границ многофазной области на интервале температур как (п - к +7)-поверхностей, представленных однопараметрическими множествами ассоциированных изотерм;

- построение соответствия между ассоциированными изотермами на интервале температур как соответствия, расслаивающегося в пучке изотермических гиперплоскостей на соответствия между ассоциированными изотермами.

Например, для области двухфазного равновесия систем с неограниченной растворимостью компонентов изотермы можно представить как сумму

* п

£/,( Ы,,...,И* )•/-,. + £ fJ(uktl,...,un)-rj -

i-1 J = k+I

ii n-k

-S/,(».,..-,«»)(Z /yK-i.•••>«„)-г)

/=1 j=k+l

где (f/.fj) = 1 при (и ., и .) = 1, (f,,fj) = 0 при (и ., и ) = 0, к- число вершин ИИС, находящихся в области жидкой фазы.

Доказано, что изопараметрическое отображение точек линейного «-симплекса на точки нелинейного л-симплекса без учета функций смешения осуществляется вектор-функциями вида

п W-j + lJ

где г - вектор-функция точек нелинейного симплекса, принадлежащих (п - химерной нелинейной грани.

Решение указанных задач осуществляется на основе объективного системного анализа, при котором априорная информация, необходимая для моделирования, сводится к минимуму. Способ реализации подхода заключается в переборе моделей-претендентов по двум основным алгоритмам: комбинаторному и итерационному. В комбинаторном алгоритме первоначально задается модель с линейными функциями смешения, т. е. предполагается аддитивность свойств компонентов. Описанный подход иллюстрирован примерами построения моделей ИИС систем солей редкоземельных элементов Ln'Cl3 • пН,0 - Ln"Cl3 • • mH20 - Н20 при 25°С, моделей линий предельной растворимости и направления конод в ИИС систем Ru - NbRu - HfRu и Ru - NbRu - ZrRu при 1050°C,

модели области трехфазного равновесия ИИС 4ДС, имеющей эвтектический разрыв растворимости в двух тройных подсистемах.

Альтернативный подход состоит в разбиении области многофазного равновесия на непересекающиеся подобласти (элементы) и построении моделей отдельно для каждой подобласти (рис. 6). Представлены модели линейных элементов и их объединение в кусочно-линейную модель области двух- и трехфазного равновесия ИЙС (рис 7), модели квадратичных элементов, модели элементов бивариантных областей ИИС (табл. 1). Нелинейность индуцирующего конодного многообразия порождает зависимость между положением параметризующего симплекса и сложностью структуры модели элемента. Для полного описания подобласти ¿-фазного равновесия необходимо найти зависимости* =f (и 0,..., и n_k),j — 1,.... к, минимальной сложности. Возникающая многокритериальная задача или задача векторной оптимизации bmJp> -» min решается на основе итерационного алгоритма, реализующего метод «идеальной точки» в к(п - к)-мерном пространстве критериев. Здесь Ътах - величина деформации нелинейного (п - ^-симплекса, который моделирует границу элемента подобласти.

Рис. 6. Параметризация конодного многообразия 2-хфазной области

Рис. 7. Коноды: а) двухфазные, Ь) трехфазные

Таблица 1

Структура элемента Графическое изображение Структурное уравнение

г10 линейная + (Г0 -^о- ^10- 2-хфазное равновесие. Элемент не ансамблируегся

'ХМ (/, +?2)«Хо + ('о + / /г10 / А10 / <~10 'о"Ю 2 10 * Iе-10 ' 2-хфазное равновесие. Элемент не ансамблируегся

Зе30+е21 Четвертой степени 2!. = 1. 2-хфазное равновесие. Основной элемент ансамблирования

210 ^410 2 ! К2" \ Ч ЪШ 0ао = 01 + (02 - 01)1о 1а, = 10 + (12 -10)1, 2а2 = 20 + (21 - 20)1г 3-хфазное равновесие. Основной элемент ансамблирования

ао у / А'А^ А"\ н \\А"

1 '¡¿Рс'

32 \ \ 0' \0" /1" 0"'

В этой главе описываются основы алгоритма автоматизированного синтеза задач по начертательной многомерной геометрии, предназначенного для использования в АОС. Программное обеспечение блока генерации задач состоит из следующих операций, реализующихся в пространстве, размерность которого задается предварительно.

1. Генерация множества виртуальных геометрических объектов (МГО), существующих в данном пространстве, в число которых входят объекты с линейной и нелинейной структурой.

2. Генерация множества виртуальных простых геометрических условий (МПУ) типа условий инцидентности, параллельности, перпендикулярности, касания, существующих в данном пространстве.

3. Выбор геометрического объекта (ГО) из МГО.

4. Генерация множества простых условий (ПУ) из МПУ, совместных с выбранным объектом.

5. Формирование множества сложных условий (МСУ), существующих в пространстве данной размерности.

6. Проверка сложных условий (СУ) на совместность в пространстве данной размерности.

7. Формирование МСУ, совместных с выбранным ГО.

8. Выбор конкретного СУ для выбранного ГО.

9. Преобразование выбранного СУ в формулировку задачи.

10. Анализ СУ для определения возможного числа решений задачи.

В этой главе доказаны 2 предложения. Материалы главы опубликованы в работах [1-7, И, 12,15-19,22, 31,40-42, 45].

ВЫВОДЫ

1. На основе анализа большого количества работ отечественных и зарубежных ученых, посвященных, с одной стороны, конструированию, исследованию и применению алгебраических соответствий (отображений, преобразований), а с другой стороны, развитию теории и методов исчислительной геометрии, сделан вывод о принципиальной возможности объединения этих теорий и о создании на их основе исчислительно-конструктивной теории алгебраических соответствий многомерных пространств. Показано, что созданная теория обладает своей методологией, целями, задачами, областью применимости и позволяет решать задачи многомерных пространств, не разрешимые синтетическими и аналитическими методами.

2. Расширен класс геометрических объектов многомерного проективного пространства применительно к проблематике исчислительной геометрии. Доказана возможность расчета характеристик алгебраических систем шубер-товых многообразий и исследования их свойств с помощью условий инцидент-

ности, для которых получены формулы расчета размерности произведения любого их числа и выведены критерии их совместности.

3. Разработан метод получения основных уравнений связи условий инцидентности, служащих основой для исследования форм эквивалентности алгебраических систем шубертовых многообразий с полной и неполной инцидентностью. Утверждается существование полной системы основных уравнений связи условий для алгебраических систем шубертовых многообразий, определенных любыми внутренними условиями, допустимыми на этих многообразиях, и характеристической теории таких систем. Последняя позволяет реализовать принцип перенесения на пространство условий свойств таких объектов многомерного пространства, как системы многообразий, фигуры, составленные из конечного числа подпространств, соответствия между подпространствами и др.

4. Разработан метод синтеза множеств проекционных систем многомерного проективного пространства, существующих на грассмановых многообразиях и отображающих друг на друга точки любых двух подпространств. Доказано, что любая такая проекционная система порождает проецирующее неприводимое шубертово многообразие, для которого разработан метод расчета всех его алгебраических характеристик. Доказано, что каждое проецирующее шубертово многообразие индуцирует неприводимое алгебраическое соответствие, для которого разработан метод расчета всех его числовых характеристик и их геометрические интерпретации.

5. Разработан метод решения обратной задачи, т. е. задачи синтеза соответствия с любыми предварительно заданными характеристиками, заключающийся в определении уравнения циклов Шуберта и его интерпретации, результатом которой является построение определяющей фигуры соответствия. Показано, что такие соответствия могут обладать свойством приводимости и иметь нелинейные компоненты определяющей фигуры.

6. Предложен метод исследования систем неподвижных элементов множеств индуцированных соответствий, заключающийся во введении совмещающего соответствия, составлении для него уравнения циклов Шуберта, исследовании ассоциированного многообразия прямых, соединяющих пары соответственных точек. Доказано, что система неподвижных элементов соответствия в пространстве, размерность которого такова, что соответствие имеет самый общий вид, состоит только из простых неподвижных точек, число которых равно числу прямых ассоциированного многообразия, общих для проецирующих многообразий исследуемого и совмещающего соответствий. Доказано, что число таких прямых всегда будет конечным. Выведена формула числа простых неподвижных точек в зависимости от размерности, порядка и знач-ности соответствия, обобщающая принцип соответствия Шаля. Исследованы изменения неподвижной системы соответствий, возникающие при понижении

размерности объемлющего пространства и появлении естественных пересечений плоскостей образов и прообразов. Выведена формула числа неподвижных точек соответствия, эквивалентных пространству пересечения.

7. Предложен метод исследования систем исключенных элементов соответствия, заключающийся в определения числа, кратности и размерности подпространств, в которых нарушается соответствие (фундаментальные и принципиальные элементы).

8. Разработан метод построения и исследования соответствий, основным элементом которых являются подпространства различных размерностей. Разработана методика определения образов подпространств пространства прообразов с различными структурами и уравнения циклов Шуберта для определения их числовых характеристик. Разработан метод определения систем неподвижных элементов таких соответствий, заключающийся в исследовании ассоциированного многообразия подпространств, размерности которых зависят от размерности основных элементов соответствий.

9. Доказана возможность построения и исчислительно-конструктивного исследования соответствий, индуцируемых алгебраическими системами шубертовыми многообразиями, соответствий с образами и прообразами разной размерности, соответствий с несимметричными характеристиками и расслоя-емых соответствий. Установлено, что все указанные свойства возникают в результате специализаций определяющей фигуры соответствия.

10. Предложена возможность и направление исследования соответствий между нелинейными многомерными многообразиями, основанные на перенесении инцидентностных свойств флагов (циклов и условий Шуберта) проективных пространств на инцидентностные свойства систем циклов тех же размерностей па нелинейных многообразиях с системами особенных подмногообразий. Сформулированы признаки бирационального изоморфизма таких многообразий, позволяющие трактовать условия Шуберта как условия, допустимые на таких многообразиях.

11. Получены множества проекционных систем, отображающих ¿-мерные пространства с ш-плоскостью в качестве основного элемента, 0<т<к~ 1, на множества точечных рядов и полей точек и прямых, а также на пространствах, меньшей размерности. Установлены условия существования таких отображений. Определены основные принципы их построения и исследования. Сделан вывод, что устанавливая между элементами модели то или иное соответствие, можно изучать свойства многообразий с образующими /«-плоскостями. Получены условия существования моделей, представляющих собой алгебраические системы шубертовых многообразий, и основные уравнения циклов для исследования свойств таких моделей.

12. Предложен способ построения геометрических моделей сложных систем со множествами взаимно зависимых параметров в виде л-мерных

поверхностей с (п- ¿^-мерными образующими и ¿-мерными направляющими и наоборот, 0<,к<п, в котором образующие и направляющие являются образами (п-к)- и ¿-мерных линейных симплексов в нелинейных изопарамет-рических соответствиях. Рассмотрена задача моделирования областей многофазного равновесия диаграмм состояния, в которых изотермы изотермических сечений представляют собой такие поверхности. Предложен способ моделирования области многофазного равновесия диаграмм состояния, заключающийся в разбиении ее на непересекающиеся подобласти и построении модели для каждой подобласти. Предложено решение многокритериальной задачи оптимального выбора изопараметрического соответствия.

13. Разработаны принципы построения программного обеспечения и алгоритмы блока генерации конструктивных задач по многомерной ч! начертательной геометрии, предназначенного для использования в АО С и основанного на параметрическом исчислении и анализе объектов и условий.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. А. с. 1413014 /СССР/. Кулисно-рычажный направляющий по окружности механизм / Омский политехи, ин-т. - Авт. изобрет. В.Ю. Юрков, A.A. Ляшков.

- Опубл. 07.03.88 в Б.И., 1988, № 9.

2. А. с. 1419935 /СССР/. Прибор для вычерчивания параболы / Омский политехи, ин-т. - Авт. изобрет. В.Ю. Юрков, О.Н. Балыкина. - Опубл. 30.08.88 в Б. И., 1988, №32.

3. А. с. 1432562 /СССР/. Множительно-делительное устройство / Омский политехнический ин-т. - Авт. изобрет. В.Ю. Юрков, О.Н. Балыкина. - Опубл. 23.10.88 в Б.И., 1988, №39.

4. А. с. 1463507 /СССР/. Устройство для построения проективно соответственных элементов / Омский политехи, ин-т. - Авт. изобрет. В.Ю. Юрков, A.A. Ляшков. - Опубл. 07.03.89 в Б.И., 1989, № 9.

5. Васильева A.A., Ганиев Д.Х., Юрков В.Ю. Геометрические преобразования для построения линейно-оптимального равноконтрастного цветового пространства / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.06.98, № 1848-В98.

6. Васильева A.A., Ганиев Д.Х., Юрков В.Ю. Геометрические преобразования для оптимизации величины цветового контраста // Динамика систем, механизмов и машин: Материалы III Международной науч. - техн. конф.

- Омск: ОмГТУ, 1999. - С. 365 - 366.

7. Васильева A.A., Ганиев Д.Х., Юрков В.Ю. Геометрические преобразования для построения линейно-оптимального равноконтрастного цветового пространства // Сборник научных трудов Омского музея изобразительных искусств им. М.А. Врубеля. - Омск, 1999. - С. 142 - 144.

8. Волков В.Я., Юрков В.Ю. Некоторые вопросы теории и приложения исчислительной геометрии // Геометрические модели и алгоритмы. - Л., 1988. -С. 31 -36.

9. Волков В.Я., Юрков В.Ю. Шубертовы многообразия, их свойства и применение // Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1990. -Вып. 50. - С. 23 - 25.

10. Волков В.Я., Юрков В.Ю. Конструирование шубертовых многообразий и их применение // Геометрическое моделирование и компьютерная графика.

- С. Пб., 1992. - С. 45 - 50.

11. Волков В.Я., Юрков В.Ю., Чигрик H.H. Алгоритм автоматизированного синтеза геометрических задач для обучающих систем / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1995. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.02.95, №554-В95.

12. Волков В.Я., Юрков В.Ю. Геометрическое моделирование в физико-химическом анализе // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ - 96). - Новосибирск, 1996. - С. 56.

13. Волков В.Я., Юрков В.Ю. Исчисление Шуберта и проблема многозначных соответствий // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ - 96). - Новосибирск, 1996. - С. 70.

14. Волков В.Я., Юрков В.Ю. Конструктивно-исчислительный принцип построения моделей многомерных пространств // Сучасш проблеми гео-метричного моделювания: 36. праць М1жнародно1 науково-практично1 конференцп.- Частина 1,- Харюв: Х1ПБ МВС Украши, 1998.- С. 63-68.

15. Волков В.Я., Юрков В.Ю. Геометрическое моделирование как современный курс начертательной геометрии // Омский научный вестник. -Омск, 1999. - Вып. 6. - С. 92 - 93.

16. Волков В.Я., Ляшков A.A., Юрков В.Ю. Основы алгоритма синтеза конструктивных задач для систем автоматизированного обучения // Компьютерная геометрия и графика в образовании. - Красноярск: КГТУ, 2000. -С. 166- 170.

17. Волков В.Я., Ляшков A.A., Юрков В.Ю. Блок генерации конструктивных задач для автоматизированных обучающих систем // Современное образование: управление и новые технологии. - Омск: ОмГТУ, 2000. - С. 111 - 112.

18. Лабзин С.М., Юрков В.Ю. Градационное отображение для моделирования автотипного синтеза цвета // Тез. докл. междунар. науч. метод, конф. 25-30 ноября. - М., 1994. - С. 54.

19. Создание графо-аналитических методов идентификации, оптимизации, прогнозирования и управления применительно к многофакторным процессам технологических многокомпонентных систем: Рекламно - техн. описание о НИР / ОмГТУ; Рук. работы В.Я. Волков, отв. исполнитель В.Ю. Юрков.

- № ГР 01960005657; Инв. № 02960005419. - Омск, 1995. - 10 с.

20. Теория построения графических моделей многомерных пространств: Рекламно-техн. описание о НИР / ОмГТУ; Рук. работы В.Я. Волков, отв. исполнитель В.Ю. Юрков. - № ГР 01990007191; Инв. № 02990004631. - Омск, 1999. - 16 с.

21. Юрков В.Ю. Конструктивные отображения многомерных пространств в моделировании эмпирических многофакторных объектов: Дисс.... канд. техн. наук. - 05.01.01. - Омск, 1987. - 174 с.

22. Юрков В.Ю., Угрюмова М.А., Лабзин С.М. Инженерная графика и геометрия: Учеб. пособие. - Омск: ОМПИ, 1991. - 72 с.

23. Юрков В.Ю. Построение одного вида кремоновых соответствий в многомерных пространствах // Геометрическое моделирование инженерных объектов и технологических процессов. - Омск: ОмПИ, 1989. - С. 70 - 72.

24. Юрков В.Ю. Фундаментальные системы соответствий, порождаемых гиперсетями // Геометрическое моделирование в практике решения инженерных задач. - Омск: ОмПИ, 1991. - С. 93 - 96.

25. Юрков В.Ю. Конечные множества линейных объектов и условия инцидентности / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1995. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.02.95, № 553 -В95.

26. Юрков В.Ю. Линеаризация исчислительных задач для коник / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1995. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.06.95, № 1733 - В95.

27. Юрков В.Ю. К вопросу о неподвижных элементах многозначных соответствий/Омский гос. техн. ун-т.-Омск, 1997.-7 с.-Деп. в ВИНИТИ 18.01.97, № 139-В97.

28. Юрков В.Ю. О произведении неоднотипных условий Шуберта / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1997. -1с.- Деп. в ВИНИТИ 17.02.97, № 507 -В97.

29. Юрков В.Ю. Основные уравнения связи неоднотипных условий в многомерных пространствах / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 6 с. - Деп в ВИНИТИ 20.07.98, № 2258 - В98.

30. Юрков В.Ю. Конструктивно-исчислительный принцип построения многозначных соответствий / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.98, № 2259 - В98.

31. Юрков В.Ю. Алгоритм поиска оптимального отображения конечных точечных множеств / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 5 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.98, № 2265 - В98.

32. Юрков В.Ю. Плоские модели пятимерного проективного пространства / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.98, № 2266 - В98.

33. Юрков В.Ю. Неточечные квадратичные соответствия между гиперплоскостями / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.10.98, № 2996-В98.

34. Юрков В.Ю. О построении квадратичных соответствий в многомерных пространствах / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.10.98, № 2995 -В98.

35. Юрков В.Ю. Соответствия точечных рядов в пятимерном проективном пространстве / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ

12.10.98, № 2997-В98.

36. Юрков В.Ю. О смешанных многообразиях и соответствиях между точечными рядами / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.10.98, № 2993 - В98.

37. Юрков В.Ю. Построение определяющих фигур для соответствий с заданными характеристиками / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 11 с.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.98, № 2994 - В98.

38. Юрков В.Ю. Исчисление Шуберта и многозначные соответствия // Омский научный вестник. - Омск, 1998. - Вып. 2. - С. 57 - 59.

39. Юрков В.Ю. Основы исчислительного синтеза и анализа многомерных соответствий / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1999. -123 с. - Деп. в ВИНИТИ

11.10.99, №3031 -В99.

40. Юрков В.Ю. Моделирование непрерывных сред с многофазной структурой неточечными пространствами // Динамика систем, механизмов и машин: Тез. докл. Ш Международной науч. - техн. конф. /Омск, 26 - 28 октября 1999 г./. - Омск, 1999. - С. 117 -118.

41. Юрков В.Ю. Геометрическая модель принятия решения в условиях оптимального состояния динамической системы // Динамика систем, механизмов и машин: Тез. докл. III Международной науч. - техн. конф. /Омск, 26 - 28 октября 1999 г./. - Омск, 1999. - С. 118 - 119.

42. Юрков В.Ю. Об одном методе моделирования изотермических сечений диаграмм состояния / Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1999. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.12.99, № 3968 - В99.

43. Volkov V.Y., Yurkov V.Y. An Axiomatic Theory of Graphic Models of Polydimensional Spaces // Proceedings of 6th ICECGDG. / Tokyo, Japan, 19-23 August 1994./ - Tokyo, Japan, 1994. - P. 84 - 88.

44. Volkov V.Y., Yurkov V.Y., Liashkov A.A., Kulikov L.K. Linear graphic models of extended multidimensional Euclidean spaces // Proceeding of T ICECGDG. / Cracow, Poland, 23-27 August 1996./ - Cracow, Poland, 1996. -P. 241 -244.

45. Volkov V.Y., Yurkov V.Y., Liashkov. A.A., Volkov O.V. Construction of optimizing graphic models of ecological systems // Book of abstracts and Final program: 4-th International symposium on environmental geotechnology and global sustainable development. /Boston (Danvers), Massachusetts, USA, August 9 - 13, 1998./ - Boston (Danvers), Massachusetts, USA, 1998. - P. 153.

Компьютерная верстка М.В. Карнажицкой

ЛР№ 020321 от 28.11.96 г.

Подписано к печати 26.09.2000. Формат 60x84 '/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 2,25. Уч.-изд. л. 2,25. Тираж 100. Заказ 155

Издательство ОмГТУ. 644050, Омск, пр. Мира, 11

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ИСЧИСЛИТЕ ЛЬНО-КОНСТРУКТИВНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА И ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧЕЧНЫХ СООТВЕТСТВИЙ И ИХ

ПРОЕКЦИОННЫХ СИСТЕМ.,.

1.1. Синтез виртуальных условий существования множеств точечных соответствий.

1.1.1. Грассмановы многообразия, индуцирующие множества соответствий.

1.1.2. Алгоритм синтеза соответствий и их проекционных систем

1.1.3. Характеристики индуцирующих многообразий

1.1 А. Характеристики индуцируемых соответствий

1.2. Синтез соответствий с заданными характеристиками.

1.3. Бирациональные соответствия между линейными многообразиями

1.4. Многозначные соответствия между линейными многообразиями.

1.4.1. Распадение и синтез соответствий.

1.4.2. Соответствия между 2-плоскостями.

1.5. Системы неподвижных и исключённых элементов соответствий

1.5.1. Системы неподвижных элементов

1.5.2. Системы исключённых элементов соответствий.

Выводы.

Глава 2. МНОЖЕСТВА НЕТОЧЕЧНЫХ СООТВЕТСТВИЙ И ИХ

ПРОЕКЦИОННЫХ СИСТЕМ.

2.1. Основной метод синтеза неточечных соответствий.

2.2. Определение образов подпространств для неточечных соответствий

2.3. Соответствия с инвариантными и слабоинвариантными подпространствами.

2.4. Системы виртуальных неподвижных элементов.

Выводы.

Глава 3. СИСТЕМЫ СООТВЕТСТВИЙ С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ

3.1. Соответствия, порождаемые алгебраическими системами многообразий Шуберта.

3.2. Соответствия с образами и прообразами, отличающимися размерностью.

3.3. Построение и исследование несимметричных соответствий.

3.4. Системы расслоённых соответствий.

3.5. Соответствия между нелинейными многообразиями.

Выводы.

Глава 4. ИСЧИСЖТЕЛЬНО-КОНСТРУКТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

МНОГОМЕРНЫХ ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВ И ИХ

МНОГООБРАЗИЙ.

4.1. Исчисжтельные модели алгебраических систем грассмановых многообразий.

4.1.1. Основные свойства алгебраических систем грассмановых многообразий.

4.1.2. Эквивалентность алгебраических систем с полной инцидентностью

4.1.3. Эквивалентность систем с неполной инцидентностью.

4.1.4. Эквивалентность систем с подмногообразиями коразмерности >1.

4.1.5. Общий метод построения множества основных уравнений связи условий для данной системы.

4.2. Исчислительно-конструктивные модели пространств на множествах прямых и плоскостей.

4.2.1. Построение моделей точечных пространств.

4.2.2. Построение моделей линейчатых пространств.

4.3. Многоуровневое исчислительно-конструктивное моделирование пространств с линейной структурой.

4.4. Алгебраические системы многообразий как модели многомерных пространств.:.

Выводы.

Глава 5. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СООТВЕТСТВИЙ В СИСТЕМАХ СО МНОЖЕСТВАМИ ВЗАИМНО ЗАВИСИМЫХ ПАРАМЕТРОВ.

5.1. Параметризация областей многофазного равновесия в диаграммах состояния многокомпонентных систем.

5.2. Моделирование областей диаграмм фазовых равновесий многокомпонентных систем на основе ОСА.

5.3. Структурная идентификация области многофазного равновесия.

5.4. Принципы построения программного обеспечения блока генерации конструктивных задач для автоматизированных обучающих систем.

Выводы.

Любые фундаментальные исследования непременно должны приводить к результатам, повышающим эффективность производительных сил общества. В условиях динамичности общественно-экономических процессов особую актуальность приобретает необходимость формирования решений на базе моделей. В науке такими моделями являются математические модели сложных систем, объектов и процессов [147]. Важным элементом процесса формирования решения является информатизация науки на основе внедрения вычислительной техники и новых информационных технологий, производство универсальных и проблемно ориентированных программных средств и алгоритмов для ЭВМ различного назначения, автоматизированных систем управления и систем научных исследований (АСНИ).

Одной из характерных черт современных исследований в области фундаментальных наук, техники и технологии является интенсивное развитие метода математического (геометрического) моделирования [28, 86, 151, 159, 294]. Эффективность этого метода проявляется в том, что он позволяет найти требуемые решения разнообразных многопараметрических задач как теоретического, так и прикладного характера для всё более усложняющихся физических, химических, механических, экономических, социологических и иных процессов. Получившая в последние два десятилетия качественный скачок в развитии, вычислительная техника стимулировала развитие этого метода.

Упомянутые многопараметрические объекты являются, как правило, сложными и поэтому описание их структуры и поведения требует решать не проблему моделирования каждого объекта в отдельности, а создавать базу моделирования, т. е. набор моделей-модулей, из которых специалисты могут «собрать» необходимую в каждом конкретном случае модель исследуемого объекта. Анализируя с этой точки зрения геометрическое моделирование, можно сделать вывод, что усилиями специалистов по прикладной геометрии такая база создана для моделирования одно- и двухпараметрических объектов. Результатом является возможность автоматизированного конструирования, управления формой и воспроизведения кривых линий, поверхностей и обводов любой сложности для любых задач науки и техники [72,103,249].

Условием создания научной базы моделирования многопараметрических объектов является прежде всего накопление информации о задачах геометрического моделирования, методах их решения, результатах деятельности научных направлений в этой области, результатах воздействия на главные, основополагающие вопросы геометрического моделирования. Создание научной базы моделирования сложных систем в области прикладной геометрии опирается на решение проблемы исследования множеств алгебраических соответствий (отображений, преобразований) многомерных пространств. Проблема заключается в том, что проведение таких исследований возможно только при наличии тесной взаимосвязи проекционных методов современной начертательной и проективной геометрий и методов классической алгебраической геометрии. Кроме того, изучение множеств соответствий в многомерных пространствах и смежных вопросов должно опираться на нестандартный, формализованный, достаточно легко алгоритмизируемый математический аппарат, позволяющий выявить наиболее общие их свойства и закономерности. Решение проблемы означает возможность разработки новых эффективных методов исследования и конструирования многомерных многообразий различной структуры как моделей указанных выше объектов и процессов, новых методов отображения их на пространства меньшей размерности, в частности, на плоскость, возможность создания новых методов геометрического характера решения задач многокритериальной матричной оптимизации, представляющей на сегодняшний день актуальную и не решённую проблему, возможность моделирования пространств параметров состояния многокомпонентных и многофазных термодинамических систем в физико-химическом анализе при создании материалов с требуемыми свойствами и др.

В настоящее время темпы развития методов геометрического моделирования многомерных пространств и многообразий в направлении конструктивного или аксиоматического отображения их на пространства меньших размерностей уже не удовлетворяет в полной мере требованиям теории моделирования. Этот вывод касается прежде всего многомерных нелинейных многообразий и их систем, изучаемых с наиболее общих позиций в алгебраической геометрии. Начертательная геометрия пока ещё не использует в своих целях достижения современной алгебраической геометрии и не располагает настолько развитой теорией методов отображения, чтобы эффективно решать указанную проблему. В связи с этим актуальной является проблема создания новых, нелинейных методов отображения.

Богатые возможности заключаются и в углублении принципов перенесения, интерпретирующих множества сложных геометрических объектов изоморфными множествами объектов иного характера. Таким образом, на первый план выдвигается задача развития существующих и разработка новых теоретических направлений начертательной геометрии и геометрического моделирования. К последним можно отнести перспективный принцип перенесения геометрии грассманианов на геометрию условий инцидентности.

Современная начертательная геометрия, являясь математической наукой, пользуется широчайшим арсеналом средств и методов, разработанных тем разделом математики, который в настоящее время имеет название классической алгебраической геометрии [77, 117, 144, 254, 256, 269, 298, 315, 316, 319, 331, 333, 338]. К таким методам, основные положения которых легли в основу настоящей работы, относятся:

1. Операция проецирования, рассматриваемая в многомерном проективном пространстве и в органической связи с теорией изображений и геометрическим моделированием [296,299,301,337,342];

2. Теория соответствий, особенно та её часть, которая изучает конструктивные связи между пространствами, пространственными объектами и их образами [12, 44, 111, 115, 116, 118, 300, 304, 306 - 309, 327, 332, 340, 341, 345, 347-349, 354, 355];

3. Теория исчислительной геометрии, представляемая как геометрия условий с основным элементом - условием инцидентности [74, 303, 311, 330, 335, 336, 339, 356, 357].

Каждая из этих теорий в настоящее время интенсивно совершенствуется и на данном этапе развития прикладной геометрии продолжает играть значительную роль [45, 85, 87, 101, 155,166,211,250, 257, 310, 317, 320 - 324]. Однако отдельные разделы указанных теорий уже можно считать теоретически полностью исследованными и их развитие продолжается в сфере практических приложений [31, 81, 183, 267, 268]. Классическими примерами теоретически изученных в алгебраической геометрии операций проецирования являются проецирование точек «-мерного проективного пространства на (п - d - 1)-плоскость из ¿/-мерного центра и проецирование лучами конгруэнций Кг(1, 1) в трёхмерном пространстве. Первое проецирование послужило основой для разработки комплексного чертежа «-мерного пространства, выполненной В.Н. Первиковой [177 - 180]. Второе было обобщено B.C. Обуховой в проецирование лучами конгруэнций Кг(1, т) с последующим выделением из них линейчатых поверхностей [166 -170].

Оба метода неразрывно связаны с соответствиями, которые порождаются указанными операциями. В первом случае индуцируется проективное соответствие между любыми двумя (п - d - ^-пространствами, а во втором - известное нелинейное бирациональное соответствие Жонкьера между любыми двумя плоскостями [68, 122 - 124, 318]. Понятно, что их тоже можно считать теоретически полностью изученными.

Современная теория моделирования требует рассматривать каждый моде. лируемый объект или процесс как многомерный [106, 107,197,220]. Учитывая, что абсолютное большинство объектов моделирования в природе, науке и технике имеет нелинейный характер, оба указанные метода проецирования имеют в настоящее время тенденцию к обобщению. Первый - в сторону нелинейного проецирования, второй - в многомерные пространства. Таким образом, в этом направлении они объединяются в один метод - метод многомерного нелинейного проецирования. Другое, наиболее часто встречающее в литературе название - метод конструктивного нелинейного моделирования.

Операция проецирования как инструмент метода получила своё развитие в трудах К.И. Валькова, И.С. Джапаридзе, З.А. Скопеца, А.М. Тевлина и их учеников [28 - 34, 85 - 88, 212, 233]. Задачи, решаемые ярославской школой геометров, касались разработок конструктивных методов отображения многомерных пространств на плоскость. Для этих целей привлекались нелинейные объекты, например, норм-кривые n-мерного пространства [20, 95, 138, 213, 260 -262], многообразия, порождаемые коллинеацией моделируемого пространства [175].

Для этого периода характерен синтетический метод исследования, заключающийся в полном или частичном отказе от аналитических выкладок или использования их иногда для подтверждения полученных результатов. Во-первых, это вероятно, следование традициям классической алгебраической геометрии, развиваемой итальянской школой XIX в. (Кремона и др.) [117, 307, 308], а во-вторых, этот метод вполне соответствовал поставленным задачам.

Недостатки, присущие синтетическому методу, а именно: обращение к пространственному воображению и интуиции исследователя, абсолютная неформализуемость, необходимость построения больших логических конструкций для доказательства незначительных промежуточных лемм и теорем, не позволили, за редкими исключениями, выйти за пределы четырёхмерных пространств.

Теоретической основой метода конструктивного нелинейного моделирования является теория кремоновых преобразований (бирациональных соответствий) и теория многозначных соответствий [14, 101 - 103, 139, 211, 221, 222, 225, 243, 318]. Первую можно считать теоретически завершённой для плоскоста (одна из форм второй ступени), а вторую - только для прямой и форм первой ступени. Отдельные результаты получены для кривых [77,224,297].

Существует неразрывная связь между свойствами аппаратов проецирования одного пространства на другое и свойствами соответствий между пространствами. Зная свойства одного, можно определить свойства другого. И обратно, если задаться каким-либо соответствием, то можно утверждать, что существует проецирующий аппарат, индуцирующий данное соответствие. Такого рода задачи решены, например; для расслояемых кремоновых инволюций трёхмерного пространства [101 - 103], для бимоноидальных преобразований п-го порядка в многомерном пространстве [164, 165], для линейных преобразований многомерного пространства [31, 180]. Более частные вопросы рассмотрены в работах [41 - 43,109,114,130].

Теория многозначных соответствий освещена в научной литературе гораздо скромнее. Основную роль в научных исследованиях по-прежнему играет принцип соответствия Шаля для форм первой ступени [74, 243]. На его основе решены ряд задач теоретического плана, например, проекционный способ задания конгруэнций. Доказано, что (q, ^-значное соответствие g-ro порядка задаёт конгруэнцию Кг(д + g, g) и наоборот [183]. Принцип Шаля непосредственно использован для разработки методов конструирования алгебраических кривых и поверхностей высших порядков [185,224].

Работ, посвященных исследованию многозначных соответствий форм высших ступеней, чрезвычайно мало. К таковым можно отнести [129, 130, 149, 221, 222, 225, 239]. Они в основном заключались в исследовании свойств конкретных, а именно, некоторых видов (2, 2)-значных соответствий. Одна основополагающая идея исследования свойств многозначных соответствий плоскости предложена Г.С. Ивановым в его докторской диссертации [109].

Таким образом, теория многозначных соответствий значительно отстаёт в своём развитии. И это не смотря на то, что все ведущие учёные - специалисты в области прикладной геометрии признают важность и необходимость исследований в этом направлении. Так, К.А. Андреев писал «. учение о многозначных соответствиях составляет обширное поле для создания совершенно новых отделов науки, отделов, может быть, более пространных, чем все достояние чистой геометрии в её настоящем развитии» [14].

К областям науки, в которых методы прикладной многомерной геометрии играют наиболее значимую роль, следует отнести исследование многокомпонентных систем и учение о диаграмме состояния (фазовой диаграмме) как геометрической модели системы [16, 73, 135, 152, 172, 199]. Развитие этого направления физико-химического анализа продолжается в традициях школы академика Н.С. Курнакова и его последователей - В.П. Радищева, А.Т. Бергмана, Н.С. Домбровской [91,180,181,198,230].

Можно говорить о существовании двух задач изучения многокомпонентных систем с помощью фазовых диаграмм. Первая (прямая) - комплексное, экспериментально-расчётное построение фазовой диаграммы «-компонентной системы, включающее изучение её топологического строения, аналитическое описание фазовых границ, построение моделей областей многофазного равновесия и извлечения из неё фазовых диаграмм её подсистем меньшей размерности. Вторая (обратная) - построение фазовых диаграмм систем с малым числом компонентов и конструирование из них диаграммы и-компонентной системы. Обратная задача является неоднозначной, т. к. всегда имеются такие специфические параметры н-компонентной системы (параметры взаимодействия), которые обращаются в ноль во всех её подсистемах [60,194,241].

С позиций геометрического моделирования анализ обеих задач показывает, что в основе их решения лежит принцип отображения фазового комплекса диаграммы на симплекс составов [188, 264]. Поэтому задача моделирования фазовой диаграммы любой сложности распадается на задачи построения диаграмм состав-свойство, а последние являются простейшими задачами в указанном классе. Построение математических моделей диаграмм состав-свойство на основе алгебраических функций, как полиномиальных, так и не полиномиальных не меняет сути дела [161,193,258]. Таким образом, из множества способов отображения, существующих в многомерных пространствах, активно используется только один - центральное проецирование с несобственным центром. Другие способы за некоторыми исключениями, просто не известны [79-81, 196, 233].

Упомянутые выше комплексные задачи естественно не могут быть решены в рамках одной работы, но изучение отдельных вопросов готовит базу для их решения. Наименее изученными на сегодняшний день являются вопросы построения моделей областей многофазного равновесия [108, 182, 240, 246, 265]. Концепция их решения может быть следующей. Во-первых, требуется иметь модель многофазной области изотермического гиперсечения фазовой диаграммы «-компонентной системы. Из геометрической термодинамики известно, что (п - /^-мерная область ¿-фазного равновесия состоит из (п - ^-мерных кривых поверхностей, между которыми существует замкнутое взаимно однозначное к-соответствие. Следовательно, модель такой области должна строиться как криволинейный отсек гиперплоскости, основным элементом которой являются (к - ÍJ-плоскости, положение каждой из которых зависит от п-к параметров.

Во-вторых, необходимо иметь модель многофазной области на интервале температур. Из геометрической термодинамики известно, что каждая (к - 1)-мерная образующая гиперплоскости параллельна гиперплоскости составов. Следовательно, полная модель ^-фазной области должна строиться как криволинейный отсек расслояемого (п - к + ^-параметрического многообразия (к - i)-плоскостей. Простейшими объектами этого типа являются области двухфазного равновесия. Для них существуют наиболее полно разработанные методики термодинамического расчёта и математического моделирования [61, 113, 127]. Однако почти всегда реализуется подход, согласно которому границы двухфазной области рассматриваются как две диаграммы состав-свойство: свойство начала кристаллизации - поверхность ликвидуса и свойство конца кристаллизации - поверхность солидуса. Понятно, что при таком подходе точки ликвидуса и солидуса оказываются связанными между собой только одним ассоциированным многообразием - многообразием прямых, ортогональных гиперплоскости составов. Вторая связь, устанавливаемая многообразием прямых, параллельных гиперплоскости составов, совершенно упускается из виду. Всё сказанное справедливо и для областей ¿-фазного равновесия с той лишь разницей, что удовлетворительных методик термодинамических расчётов таких областей пока не существует, как не существует феноменологических моделей, которые могут лечь в основу таких методик [242].

Между тем в электронике и в оптоэлектронике широко используются многокомпонентные твёрдые растворы, обычно получаемые методом ориентированного наращивания (эпитаксии) из жидкой фазы. Для управляемой кристаллизации таких твёрдых растворов необходима информация о составах жидкой фазы, равновесной с кристаллами при рассматриваемой температуре, т. е. требуется исследовать положение конод, характеризующих двухфазное равновесие расплав-кристалл [ 107].

На основании изложенного выше основная задача настоящей работы формулируется следующим образом: создание алгоритмической исчислительно-конструктивной теории построения и исследования алгебраических соответствий многомерных проективных пространств и ассоциированных с ними проецирующих многообразий на её основе разработка общих способов моделирования пространств с различной структурой, которые могут быть применены в геометрическом моделировании различных многопараметрических объектов и процессов.

Сформулированная проблема потребовала решения следующих теоретических и прикладных задач:

1. Создать теоретические основы синтеза и исследования виртуальных условий существования различных точечных соответствий между подпространствами многомерного пространства, а также реализуемые на ЭВМ алгоритмы синтеза и исследования различных соответствий с заданными характеристиками.

2. Продемонстрировать эффективность разработанных алгоритмов при синтезе и исследовании свойств бирадиональных и многозначных соответствий, существующих в многомерных проективных пространствах.

3. Создать теоретические основы алгоритмов синтеза и исследования различных неточечных соответствий, отвечающих условиям инцидентности Шуберта. Показать возможности исчислительно-конструктивного метода при изучении их свойств.

4. Рассмотреть в рамках предложенного метода системы соответствий с особыми свойствами - несимметричностью, расслояемостью, Изучить специфические особенности синтеза соответствий с неравноразмерностными характеристиками образов и прообразов, соответствий порождаемых алгебраическими системами Шубертовых многообразий.

5. Создать исчислительные основы теории множества условий инцидентности алгебраических систем грассмановых и шубертовых многообразий многомерного пространства, описывающие характеристики, свойства и способы их задания.

6. Исследовать различные множества алгебраических систем шубертовых многообразий, отвечающие условиям полной и неполной инцидентности, и их системы эквивалентности. Разработать методику вывода всех основных уравнений связи сложных условий, применимых к алгебраическим системам шубертовых многообразий.

7. Разработать методику геометрического моделирования многомерных пространств с различной структурой (точечных, линейчатых и др.) на множествах прямых и плоскостей, на множествах пространств меньшей размерности, а также на множествах алгебраических систем многообразий.

8. Разработать геометрические основы практически удобного и реализуемого на ЭВМ способа моделирования многопараметрических объектов и процессов в физико-химическом анализе многокомпонентных систем и других областях техники и технологии.

Все сформулированные задачи определили структуру работы. Она состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Первая глава посвящена проблемам конструирования и исследования точечных соответствий между подпространствами многомерного проективного пространства, а также созданию алгоритмов синтеза виртуальных условий существования соответствий. Эта задача имеет глубокие исторические корни. Идейную основу содержания данной главы составили принцип соответствия М.Шаля, впервые опубликованный им в 1864 г., и работы А.Кели, И.Г.Цейтена, Ф.Севери и др., ообщившие и развившие этот принцип. Все выкладки, предложения и выводы этой и последующих глав полностью соответствуют идее Цей-тена, который утверждал, что «при помощи числовых методов можно достигнуть тех же общих результатов, которые мы получаем с помощью аналитической геометрии, но лишь гораздо быстрее» [357].

Метод, избранный для изучения многомерных соответствий, назван ис-числительно-конструктивным. Хорошо известна связь между алгебраическими многообразиями различных размерностей и характеристик и соответствиями между подпространствами, в общем случае, проективного многомерного пространства. Это направление в том аспекте, в каком оно является содержанием настоящей главы, возникло в работах Я. Штейнера (1832) и Де Жонкьера (1859). Заключается оно в изучении соответствий методом косого проецирования. В настоящее время этой проблеме были посвящены работы З.А. Скопеца и его учеников [6,64 - 68,123,124,173,174,189 -191,214,217,232].

Как показал анализ литературы чисто конструктивный метод не получил своего развития в целом, хотя отдельные вопросы были проработаны достаточно глубоко [5, 122,175,235,236,252,259].

Метод, избранный в данной работе, должен отвечать следующим требованиям:

- метод не должен зависеть от размерности пространства, в котором индуцируется исследуемое или конструируемое соответствие. Единственное ограничение по размерности должно быть связано не с теорией, а с возможностями вычислительных машин, использование которых предполагает разработанный метод;

- метод должен заключать в себе возможности синтеза множества соответствий на грассмановых многообразиях, вычисления всех алгебраических характеристик каждого соответствия, исследования систем исключённых и инвариантных элементов соответствий;

- метод должен заключать в себе возможность решения обратной задачи, т. е. построения и исследования соответствия с заранее заданными характеристиками.

Все эти требования удовлетворены путём соединения на единой алгоритмической основе конструктивного и исчислительного методов. В результате разработан основной метод (ОМ) синтеза циклов Шуберта, которые выражают виртуальные условия существования соответствий. Исходными данными ОМ являются размерность объемлющего пространства и размерности плоскостей -носителей образов и прообразов соответствия. Отличительной особенностью ОМ является то, что определяющие фигуры всех синтезированных соответствий представляют собой совокупность линейных многообразий.

В данной главе разработаны алгоритмы вычисления всех алгебраических характеристик индуцирующих многообразий и индуцированных соответствий, алгоритмы определения исключённых и инвариантных элементов соответствий. В качестве примеров приведено исследование наиболее важных типов соответствий: бирациональных и многозначных, построенных в многомерных пространствах. Приведённые исследования не исчерпывают всей глубины проблемы, а призваны продемонстрировать эффективность метода. В то же время они представляют самостоятельный теоретический интерес.

На основе ОМ разработан алгоритм решения обратной задачи - синтеза соответствия, для которого заранее заданы его характеристики. Понятно, что такое соответствие не входит во множество, синтезированное ОМ. Следовательно, его определяющая фигура будет включать в себя нелинейные многообразия.

Особое внимание уделено применению разработанных алгоритмов к исследованию проблемы многозначных соответствий. Как известно, до сих пор нет единой цельной разработанной теории таких соответствий. Результаты полученные в главе тоже не претендуют на исчерпывающую полноту, но намечают пути дальнейшего исследования. Особенно это касается проблемы исключённых элементов, которые в отличие от бирациональных соответствий не поддаются пока систематизации. Так показано, что исключённые элементы многозначных соответствий плоскостей включают в себя не только множества точек различных кратностей, но и кривые касания и кривые кратных точек.

Бирациональные соответствия в этом отношении позволяют на основе ОМ разработать формализованные алгоритмы определения исключённых элементов.

В конце главы получены формулы, непосредственно обобщающие упомянутый выше принцип соответствия М. Шаля. Полученные формулы позволяют привести любое соответствие к такой форме, при которой оно будет иметь инвариантную систему, состоящую только из точек. Другими словами, любое соответствие в своём самом общем виде имеет только инвариантные (неподвижные) точки, число которых поддаётся точному расчёту по выведенным формулам. Число таких точек зависит от размерности, порядка и значно-сти соответствия. Приведение соответствия к частному виду (специализация) вызывает появление инвариантных образов большей размерности.

Во второй главе рассматриваются соответствия, получающиеся по ОМ, в котором изменены исходные данные. Изменения касаются размерности основного элемента пространства. Показано, что незначительные с вычислительной точки зрения изменения ОМ приводят к качественно другим геометрическим результатам.

Известны геометрии, в которых вместо точки основным элементом пространства является прямая [104, 115-117, 119,120, 163, 236, 252]. Однако для ОМ такое обобщение не является окончательным. Поэтому изложение материала осуществляется в предположении, что основным элементом ¿-мерного пространства является /-плоскость, 1 < I < к -1. Доказывается, что /-плоскость может быть описана к различными способами. Чтобы устранить многовариантность в определении образов, все «i-плоскости предлагается рассматривать вместе с их структурой - линейной и нелинейной. Приведены их определения. Показано, как работа ОМ по определению образов ш-плоскости зависит от её структуры.

Далее предлагается ещё один метод синтеза неточечных соответствий, которые имеют инвариантные или слабоинвариантные подпространства. Метод примыкает к работам Е. JI. Тефовой и В. А. Пеклича [175, 176, 235], но основан на ОМ и обобщён на пространство любой размерности. Ещё одно его отличие заключается в том, что соответствия, устанавливаемые в инвариантном (слабоинвариантном) подпространстве, тоже могут быть неточечными. Такой случай рассмотрен подробно.

В конце главы описан метод определения виртуальной неподвижной системы таких соответствий и показано её изменение при изменении размерности объемлющего пространства. Показано, что в самом общем виде любое соответствие имеет только конечное число простых неподвижных /-плоскостей.

Соответствия, рассматриваемые с позиций ОМ, могут иметь специфические свойства, такие как несимметричность, расслояемость и др. Рассмотрению этих вопросов посвящена третья глава. В ней предлагается построение соответствий на основе смешанных многообразий и описываются отличия, которые претерпевает ОМ, решающий данную задачу. Основное отличие заключается в следующем. Ранее предполагалось, что каждое проецирующее пространство индуцирующего многообразия имеет заданные инциденции с определяющей фигурой соответствия. Эти инциденции представляют собой совокупность линейных подпространств различной размерности, на которые не накладывались никакие условия. В настоящей главе предполагается, что заданные инциденции должны удовлетворять некоторому дополнительному условию, например, условию принадлежности подпространству указанной размерности. Такой подход расширяет возможности ОМ.

Далее снимается ещё одно ограничение ОМ. Предполагается, что образы и прообразы могут иметь разные размерности. Такая идея является естественной, когда речь идёт о коллинеациях между двойственными образами. Однако в главе рассматриваются соответствия, во-первых, нелинейные, а во-вторых, между образами, не являющимися двойственными.

Другое ответвление от ОМ, связанное с алгебраическими системами циклов Шуберта и с системами многообразий, позволяет получать соответствия с несимметричной значностью. Результат достигается применением принципа специализации к определяющей фшуре соответствия. Приведён подробный пример последовательного понижения значности пяти-пятизначного соответствия до одно-пятизначного. Подобные результаты обобщены на «-мерные пространства.

Рассмотрены системы расслоёных соответствий. Эта проблема достаточно широко освещена в научной литературе и имеются значительные результаты в теории и приложении таких соответствий, полученные Г. С. Ивановым и его учениками, В.Л. Виноградовым и др. [8, 41 - 43, 101 - 103]. Исследуемый в данной главе аспект теории основывается на работах, в которых рассмотрены соответствия, расслояемые на преобразования на прямых конгруэнции в трёхмерном пространстве, и соответствия, расслояемые на преобразования в гиперплоскостях и 2-плоскостях четырёхмерного пространства. Обобщение этого направления на «-мерные пространства исчислительно-конструкшвным методом позволило получить ряд предложений, формулирующих необходимые и достаточные условия существования таких соответствий.

Завершается глава обсуждением некоторых вопросов связанных с рациональными отображениями нелинейных особых многообразий на проективные пространства и с вопросами бирациональной эквивалентности многообразий. Обосновывается вывод, что исчисление условий и циклов Шуберта, допустимое на грассмановых многообразиях, допустимо и на системах нелинейных циклов особых многообразий, бирационально изоморфных проективному пространству.

Четвёртая глава посвящена исследованию множества условий инцидентности для алгебраических систем грассмановых и шубертовых многообразий в многомерных проективных пространствах. В основе исследования лежит предположение, что произведение двух и более условий, относящихся к флагам разных размерностей, может быть представлено в виде эквивалентной суммы произведений условий. С каждым произведением связана определённая алгебраическая система шубертовых многообразие, связанная некоторым отношением инцидентности. Если в «-мерном проективном пространстве заданы грассма-нианы т- и р-плоскостей, то между ними может существовать некоторое отношение инцидентности. Эту пару, обозначаемую V т (р или V р, т , можно рассматривать как алгебраическую систему (АС), определённую внутренними условиями инцидентности (ВУИ). Доказано, что V т р = V Р г № Каждое ВУИ обладает размерностью и поэтому существует множество АС, имеющих одинаковые размерности плоскостей, но отличающихся друг от друга размерностью ВУИ. Понятие АС обобщено на любое конечное число плоскостей различных размерностей. Если ВУИ имеет нулевую размерность, то АС распадается на многообразия флагов, не связанные друг с другом. Такие многообразия можно изучать независимо от других. Именно этому направлению посвящены работы ВЛ.Волкова [45, 46]. В этом заключается главное отличие работ В.Я.Волкова от настоящей работы.

Особое внимание уделено выводу критериев совместности произведений условий и намечены пути дальнейшего изучения АС, путём классификации их по размерности ВУИ - от полной до единичной. Показано, что в зависимости от размерности ВУИ меняются критерии совместности произведений условий.

В этом направлении исследованы системы эквивалентности АС с полной инцидентностью. В основе исследования лежит разработанный алгоритм получения основных уравнений связи условий, рассчитанный на использование ЭВМ и осуществимый для любых значений размерности пространства. Основное уравнение связи (ОУС) - это уравнение условий, удовлетворяющее двум правилам - правилу специализации условий и правилу сохранения размерности условий. В частности доказано, что произведение р условий размерности р, разложимое в эквивалентную сумму условий, существует для условий вида ек-р + 1ек-р + 2^ 0к ек-р + 2ек~р + 3екек + 1 к к+1 к+р-1 0 0 0 Г

V V ••• V •

Что касается систем эквивалентности для АС с неполной инцидентностью, то в данной главе приведены некоторые типовые многообразия и их системы эквивалентности, достаточные для понимания общего принципа исследования АС с любыми ВУИ. В частности получены ОУС для АС вида V % i = F;>lt V2,2, У2, i = Vi, 2 в Р „. На их основе исследованы наиболее общие закономерности построения ОУС для любых АС с любыми ВУИ.

Рассмотренные АС имеют подмногообразия коразмерности единица. Утверждается, что существует полная система ОУС для любых AC Vа,ь , для которых dim V a" dim V ъ = h * <dim Va. Получены ОУС и методика их вывода для случаев i — 2, i = 3. Получены ОУС для CM Vт, о в пространстве минимальной размерности. Что эти уравнения действительно являются ОУС доказывается тем, что они единственные и что все остальные условия размерности т + 2 не имеют форм эквивалентности. ОУС для V т, о обобщены на и-мерное пространство.

Рассмотрены вопросы моделирования проективных пространств на пространствах меньшей размерности и на плоскости. Оценить обширность этой проблемы позволяет анализ существующей литературы и в первую очередь основополагающие работы К.А. Андреева, К.И. Балькова, И.С. Джапаридзе, Г.С. Иванова, И.Й. Котова, B.C. Обуховой, В.Н. Первиковой, А.Л. Подгорного, З.А. Скопеца, П.В. Филиппова, Н.Ф. Четверухина [13, 31, 87, 102, 125, 126, 166, 180,183,212,215,216,247,248,266 - 268].

В данной главе предполагается, что пространства образов и прообразов могут обладать различной структурой и не обязательно являться связными множествами. В результате исследований сделан вывод, что линейные многообразия моделируются проективными соответствиями между подпространствами пространства образов, а нелинейные - многозначными соответствиями, методики изучения которых описаны в предыдущих главах. Особое внимание уделено условиям, при которых возможно моделирование заданного пространства без исключений.

Рассмотрено решение задачи конструктивного отображения точечного многомерного пространства на его подпространство, а затем построение модели этого подпространства на заданной совокупности прямых и плоскостей. Тем самым решается задача построения модели модели или задача многоуровневого моделирования. Подробно описан пример многоуровневого моделирования пятимерного пространства.

Учитывая, что множество алгебраических систем многообразий, существующих в ¿-плоскости, может служить моделью некоторого пространства, решена задача конструктивного отображения »-мерного пространства с основным элементом - m-плоскостъю на множество систем многообразий ¿-плоскости.

Определена размерность пространств с различной структурой, которые могут иметь такие модели. Адекватность модели и моделируемого пространства доказывается исчислительно-конструктивным методом.

Пятая глава посвящена одной из проблем моделирования сложных, плохо организованных систем со множествами взаимно связанных параметров, а также проблеме структурной и параметрической идентификации соответствий, описывающих некоторые свойства таких систем. В специальной литературе эта проблема называется проблемой корреляции конод [16, 76, 98, 131, 132, 199, 218]. Она заключается в разработке математических способов связи величин концентраций компонентов физико-химической системы в равновесных фазах. Одной из причин необходимости определения таких способов является возможность предсказания неизвестных составов равновесных фаз путём интерполяции в пределах изучаемой многофазной области или путём экстраполяции за её пределы.

Выбранный в работе подход к моделированию областей многофазных равновесий в системах из многих компонентов характеризуется ивдуктивно-стыо метода и прогнозированием количественных характеристик на основе объективного системного анализа. Последний в общих чертах заключается в поиске оптимальной модели структуры области многофазного равновесия и поиске оптимальной аналитической модели. Возможность реализации указанного подхода обусловлена вычислительными характеристиками современных ЭВМ и их программного обеспечения. В главе приводятся примеры использования указанного подхода для конкретных систем.

Разработан метод количественного моделирования областей многофазных равновесий для систем с любым числом компонентов как в пределах изотермического гиперсечения, так и на интервале температур. Его можно в некотором смысле считать обобщением на многомерные области, ограниченные симпло-топами и политопами, методов, называемых в конечно-элементном анализе составным процессом [100]. Количественные модели, записанные в параметри

24 ческом виде, являются аналогами тех конструктивных соответствий, которые изучены в предыдущих главах.

Описан альтернативный подход количественного моделирования областей сложной формы, заключающийся в разбиении области на не перекрывающиеся подобласти и построении моделей для каждой подобласти. При этом модель каждой такой подобласти принадлежит к множеству некоторых базисных соответствий. Простейшим базисным соответствием является проективное соответствие между точками двух симплотопов. Оно порождает кусочно-проективное конодное соответствие и кусочно-линейное представление границ раздела фазовых областей. Разработанные алгоритмы позволяют использовать кусочно-полиномиальные модели как для конодного соответствия, так и для границ облаете.

В этой же главе описан принцип построения и алгоритм программного обеспечения блока генерации конструктивных задач для автоматизированных систем обучения. Алгоритм реализован для двух-, трёх- и четырёхмерного пространства и заключается в формализованном описании виртуальных геометрических объектов, виртуальных геометрических условий и операций с ними. Результатом работы алгоритма является словесная формулировка задачи, формальный анализ её решения и определение одного из возможных решений ме-том последовательных приближений.

ВЫВОДЫ

В этой главе, посвящённой вопросам геометрического моделирования сложных систем со множествами взаимно-зависимых параметров, к которым, в частности, относятся области многофазного равновесия диаграмм состояния, получены следующие основные результаты.

Предложен способ описания изотерм изотермических сечений п-компонентных диаграмм состояния как (п - 2)-мерных поверхностей с (п -к - /^-мерными образующими и (к - /^-мерными направляющими, 1 < к <п - 1, являющимися нелинейными изопараметрическими образами линейных (п - 2)-симплексов.

2, Предложен способ реализации индуктивного подхода к моделированию и прогнозированию изотермических сечений диаграмм состояния, заключающийся в переборе и объективном системном анализе моделей-претендентов с законом постепенного усложнения структуры модели в рамках заданного класса функций.

3. Предложен способ моделирования областей многофазного равновесия диаграмм состояния, заключающийся в разбиении области на неперекрывающиеся подобласти и построении модели для каждой подобласти. Использованы модели линейных и квадратичных элементов для одно- и бивариантных областей.

4. Предложено решение многокритериальной задачи оптимального выбора изопараметрического соответствия для описания области многофазного равновесия с целью получения модели минимальной сложности.

5. Разработаны принципы построения программного обеспечения и алгоритмы блока генерации конструктивных задач по начертательной и многомерной геометрии, предназначенные для использования в АОС и основанные на изопараметрическом исчислении объектов и условий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе анализа большого количества работ отечественных и зарубежных учёных, посвященных, с одной стороны, конструированию, исследованию и применению алгебраических соответствий (отображений, преобразований), а с другой стороны, развитию теории и методов исчислительной геометрии, сделан вывод о принципиальной возможности объединения этих теорий и о создании на их основе исчислительно-копструктивной теории алгебраических соответствий многомерных пространств. Показано, что созданная теория обладает своей методологией, целями, задачами, областью применимости и позволяет решать задачи многомерных пространств, не разрешимые синтетическими и аналитическими методами.

2. Расширен класс геометрических объектов многомерного проективного пространства применительно к проблематике исчислительной геометрии. Доказана возможность расчёта характеристик алгебраических систем шубертовых многообразий и исследования их свойств с помощью соответствующих условий инцидентности, для которых получены формулы расчёта размерности произведения любого их числа и выведены критерии их совместности.

3. Разработан метод получения множеств основных уравнений связи условий инцидентности, служащих основой для исследования форм эквивалентности алгебраических систем шубертовых многообразий с полной и неполной инцидентностью. Утверждается существование полной системы основных уравнений связи для любых алгебраических систем шубертовых многообразий.

4. Разработан метод синтеза множеств проекционных систем многомерного проективного пространства, существующих на грассмановых многообразиях и отображающих друг на друга точки любых двух подпространств грассманова многообразия дополнительной размерности. Доказано, что любая такая проекционная система является изопараметричной с системами центрального проецирования и порождает проецирующее шубертово многообразие, для которого разработан метод расчёта множества его алгебраических характеристик. Доказано, что каждое проецирующее шубертово многообразие индуцирует алгебраическое соответствие, для которого разработан метод расчёта множества его числовых характеристик и их геометрические интерпретации.

5. Разработан метод решения обратной задачи, т. е. задачи синтеза соответствия с любым предварительно заданным вектором характеристик, заключающийся в определении уравнения циклов Шуберта и его интерпретации, результатом которой является построение определяющей фигуры соответствия. Показано, что такие соответствия могут обладать свойством приводимости и иметь нелинейные компоненты определяющей фигуры.

6. Предложен метод исследования систем неподвижных элементов множеств индуцированных соответствий, заключающийся во введении совмещающего соответствия, составлении его уравнения циклов Шуберта и исследовании ассоциированного многообразия прямых, соединяющих пары соответственных точек. Доказано, что система неподвижных элементов любого индуцированного соответствия в пространстве, размерность которого такова, что соответствие имеет самый общий вид, состоит только из простых неподвижных точек, число которых равно числу прямых, общих для проецирующих многообразий исследуемого и совмещающего соответствий. Доказано, что число таких прямых всегда будет конечным. Выведена формула числа простых неподвижных точек в зависимости от алгебраических характеристик соответствия, обобщающая принципы соответствия Шаля, Кели и Цейтена. Исследованы изменения неподвижной системы соответствий, возникающие при понижении размерности объемлющего пространства и появлении естественных пересечений плоскостей образов и прообразов. Выведена формула числа неподвижных точек соответствия, эквивалентных пространству пересечения.

7. Предложен метод определения систем исключённых элементов соответствий, заключающийся в расчёте алгебраических характеристик подпространств, в которых нарушается соответствие (фундаментальные и принципиальные элементы).

8. Разработан метод построения и исследования множеств соответствий, основным элементом которых являются подпространства различных размерностей. Разработана методика определения образов подпространств пространства прообразов с различными структурами и уравнения циклов Шуберта для определения их числовых характеристик.

9. Доказана возможность построения и исчислительно-конструктивного исследования множеств соответствий, индуцируемых алгебраическими системами шубертовых многообразий, множеств соответствий с образами и прообразами разной размерности, множеств соответствий с несимметричными характеристиками и расслояемых соответствий. Установлено, что все указанные свойства возникают в результате специализаций определяющей фигуры соответствия,

10. Предложена возможность и направление исследования соответствий между нелинейными многомерными многообразиями, основанные на перенесении инцидентноетных свойств флагов (циклов и условий Шуберта) проективных пространств на инцидентностные свойства систем циклов тех же размерностей на нелинейных многообразиях с системами особенных подмногообразий. Сформулированы признаки класса нелинейных особых алгебраических многообразий, которые могут быть рационально отображены на проективное пространство. Сформулированы признаки бирационального изоморфизма нелинейных алгебраических многообразий одной и той же размерности, но различных степеней. Высказано и обосновано предположение об изоморфизме систем циклов (структур) на нелинейном многообразии и систем грассмановых и шу-бертовых многообразий проективного пространства той же размерности. Предложена возможность исследования систем нелинейных многообразий на особом многообразии на основе изоморфизма геометрии условий, допустимой на множествах линейных подпространств проективного пространства, и геометрии условий на системах особых циклов нелинейного многообразия,

11. Получены множества проекционных систем, отображающих ¿-мерные пространства с »«-плоскостью в качестве основного элемента, 0 <т < к - 1, на множества точечных рядов и полей точек и прямых, а также на множества пространств, меньшей размерности. Установлены условия существования таких отображений. Определены основные принципы их построения и исследования. Сделан вывод, что устанавливая между элементами модели то или иное соответствие, можно изучать свойства нелинейных многообразий с образующими т-плоскостями. Получены условия существования множеств моделей, представляющих собой алгебраические системы Шубертов ых многообразий, и основные уравнения циклов для исследования свойств множеств таких моделей.

12. Предложен способ построения геометрических моделей сложных систем со множествами взаимно зависимых параметров в виде «-мерных поверх

352 ностей с (п - ^-мерными образующими и ¿-мерными направляющими и наоборот, 0 <к в котором образующие и направляющие являются образами (п - к)- и ¿-мерных линейных симплексов в нелинейных изопараметрических соответствиях. Рассмотрена задача моделирования областей многофазного равновесия диаграмм состояния, в которых изотермы изотермических сечений представляют собой такие поверхности. Предложен способ моделирования области многофазного равновесия диаграмм состояния, заключающийся в разбиении её на непересекающиеся подобласти и построении модели для каждой подобласти. Предложено решение многокритериальной задачи оптимального выбора изопараметрического соответствия.

13. Разработаны принципы построения программного обеспечения и алгоритмы блока генерации конструктивных задач по многомерной начертательной геометрии, предназначенного для использования в АОС и основанного на параметрическом исчислении и анализе объектов и условий.

1. А. с. 1413014 /СССР/. Кулисно-рычажный направляющий по окружности механизм / Омский политехи, ин-т. - Авт. изобрет. В.Ю. Юрков, А.А. Ляш-ков. - Опубл. 07.03.88 в Б.И., 1988, № 9.

2. А. с. 1419935 /СССР/. Прибор для вычерчивания параболы / Омский политехи. ин-т. Авт. изобрет. В.Ю. Юрков, О.Н. Балыкина. - Опубл. 30.08.88 в Б. И., 1988, №32.

3. А. с. 1432562 /СССР/. Множительно-делительное устройство / Омский политехнический ин-т. Авт. изобрет. В.Ю. Юрков, О.Н. Балыкина. - Опубл. 23.10.88 в Б.И., 1988, №39.

4. А. с. 1463507 /СССР/. Устройство для построения проективно соответственных элементов / Омский политехи, ин-т. Авт. изобрет. В.Ю. Юрков, А.А. Ляшков. - Опубл. 07.03.89 в Б.И., 1989, №9.

5. Агафонов Г.Л. Основы теории косого проектирования в п-мерном проективном пространстве: Дисс. канд. физ. мат. наук. -Ярославль, 1968.-120 с.

6. Агафонов Г.Л. О косых проектирования в Р„ и их порядках// Геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1970. - Вып. 64. - Ч. 1. - С. 14 - 23.

7. Агафонова Т.Л. О некоторой двумерной три-ткани проективного пространства И Конструктивная алгебраическая геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1982. -Вып. 200. -С. 3-8.

8. Агафонова Т.Л., Хасин Г.Б. Некоторые случаи расслояемых двупарамет-рических семейств двумерных плоскостей в Р4 // Вопросы геометрии й её преподавания. Ярославль: ЯГПИ, 1971. - Вып. 92. - С. 5 -11.

9. Агеев Н.В., Петрова Л.А., Оленичева В.Г. Новые данные в области исследования фазового равновесия // Диаграммы состояния металлических систем. М.: Наука, 1981. - С. 4 - 10.

10. Азарова Л.А. Физико-химическое исследование фазовых равновесий в водно-солевых системах из иодатов щелочных и щелочноземельных металлов и йодноватой кислоты: Дисс. канд. хим. наук. М., 1978. -147 с.

11. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. -М.: Наука, 1977.-366 с.

12. Алексеев В.Г. Соответствие, устанавливаемое пучком кривых третьего порядка // Математический сборник. 1891. - Вып. 16. - С. 256 - 258.

13. Андреев К.А. Избранные работы. Харьков: Изд-во Харьковского унта, 1955. - 91 с.

14. Андреев К.А. О геометрических соответствиях в применении к вопросу о построении кривых линий. М., 1879.

15. Андреев П.П. Элементы алгебраической геометрии на плоскости в геометрическом изложении. М.: Изд-во ВПАЛИ им В.М. Молотова, 1936. - 37 с.

16. Аносов В.Я., Озерова М.И., Фиалков Ю.Я. Основы физико-химического анализа. М.: Наука, 1976. - 504 с.

17. Аптекарь И.Л. Современное состояние проблемы термодинамического расчёта и анализа диаграмм фазовых равновесий // Диаграммы состояния металлических систем. М.: Наука, 1981. - С. 10 -16.

18. Артемьева З.Л., Василькова И.В., Сусарев М.П. Оценка концентрационной области расположения тройной перитектики по данным о бинарных системах // Журн. прикл. химии. -1971. Т. 44. - С. 1538 -1543.

19. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969. - 283 с.

20. Асекритов У.М. Отображение пространства на плоскость посредством кубической окружности: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Серпухов, 1966.-12 с.

21. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

22. Берендеев Ю.К. Исследование гиперквадрик применительно к установлению возможных типов диаграмм состояния многокомпонентных систем: Ав-гореф, дисс. канд. техн. наук. 05.150. - М., 1971. -18 с.

23. Берже М. Геометрия. М.: Мир, 1984. - Т.1. - 560 с. - Т.2. - 368 с.

24. Бермант А.Ф. Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. М.: Физматгиз, 1958. - 250 с.

25. Бирациональная геометрия алгебраических многообразий: Сб. статей. -Ярославль: ЯГПИ, 1985. 96 с.

26. Болотов В.В. Моделирование многокритериальных задач средствами начертательной геометрии многомерного пространства: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. 05.01.01.- Киев: КИСИ, 1988.

27. Брахман Т.Р. Многокритериальность и выбор альтернативы в технике. М.: Радио и связь, 1984. - 288 с.

28. Вальков К.И. Геометрическое моделирование. Итоги и перспективы // Вопросы геометрического моделирования. JL, 1970. - Вып. 64. - С. 7 - 36.

29. Вальков К.И. Лекции по основам геометрического моделирования. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975.-180 с.

30. Вальков К.И. Линейные преобразования в системе линейных отображений четырёхмерного пространства // Исследование в области начертательной геометрии. Л., 1962. - Вып. 36. - С. 76 - 86.

31. Вальков К.И. Линейные преобразования многомерного пространства как средство геометрического моделирования в науке и технике: Дисс. . докт. техн. наук. 05.01.01, - Л.: ЛИСИ, 1964. - 388 с.

32. Вальков К.И. Введение в теорию моделирования. Л.: ЛИСИ, 1974. -152 с.

33. Вальков К.И. Многосвязные отношения и принцип соответствия в начертательной геометрии многомерного пространства // Докл. XXI науч. конф. -Л.: ЛИСИ, 1963.-С. 7-13.

34. Вальков К.И. Основы геометрического моделирования.- Л., 1986. 80 с.

35. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979. - 623 с.

36. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. - 552 с.

37. Васильева A.A., Ганиев Д.Х., Юрков В.Ю. Геометрические преобразования для построения линейно-оптимального равноконтрастного цветового пространства / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1998. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.06.98, Ш1848-В98.

38. Васильева A.A., Ганиев Д.Х., Юрков В.Ю. Геометрические преобразования для оптимизации величины цветового контраста // Динамика систем, механизмов и машин: Материалы III Международной науч. техн. конф. - Омск: ОмГТУ, 1999. - С. 365 - 366.

39. Винарский М.С., Лурье М.В. Планирование эксперимента в технологических исследованиях. Киев: Техника, 1975. -168 с.

40. Виноградов В.Л. Расслояемые кремоновы преобразования пространств Р3 и Р4: Дисс. канд. физ. мат. наук. - Ярославль, 1971 .-119с.

41. Виноградов В.Л. Некоторые общие свойства расслаивающихся бира-циональных преобразований пространства Р8 // Конструктивная алгебраическая геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1982. - Вып. 200. - С. 31 - 36.

42. Виноградов В.Л. Расслояемое инволюционное рсремоново преобразование типа 1 де // Геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1971. - С. 22 - 26.

43. Власов А. К. Полярные системы высших порядков в формах первой ступени. М., 1909. -186 с.

44. Волков В.Я. Теория параметризации и моделирования геометрических объектов многомерных пространств и её приложения: Автореф. дисс. . докт. техн. наук. 05.01.01. - М., 1983. - 28 с.

45. Вожов В.Я. Алгоритмы разложения сложных условий в исчислитель-ной геометрии // Автоматизация анализа и синтеза структур ЭВМ и вычислительных алгоритмов. Новосибирск, 1977. - С. 108 -110.

46. Вожов В.Я., Юрков В.Ю. Некоторые вопросы теории и приложения исчислительной геометрии // Геометрические модели и алгоритмы. Л., 1988. -С. 31-36.

47. Вожов В.Я., Юрков В.Ю. Шубертовы многообразия, их свойства и применение // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, 1990. -Вып. 50.-С. 23-25.

48. Вожов В.Я., Юрков В.Ю. Конструирование нгубертовых многообразий и их применение // Геометрическое моделирование и компьютерная графика. -С. Пб., 1992.-С.45-50.

49. Вожов В.Я., Юрков В.Ю., Чигрик H.H. Алгоритм автоматизированного синтеза геометрических задач для обучающих систем / Омский гос. техн. унт. Омск, 1995. -17 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.02.95, № 554-В95.

50. Вожов В.Я., Юрков В.Ю. Геометрическое моделирование в физико-химическом анализе // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ 96). - Новосибирск, 1996. - С. 56.

51. Вожов В.Я., Юрков В.Ю. Исчисление Шуберта и проблема многозначных соответствий // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ 96). - Новосибирск, 1996. - С. 70.

52. Волков В .Я., Юрков В.Ю. Геометрическое моделирование как современный курс начертательной геометрии // Омский научный вестник. Омск, 1999.-Вып. 6.-С. 92 - 93.

53. Волков В.Я., Ляшков А.А., Юрков В.Ю. Основы алгоритма синтеза конструктивных задач для систем автоматизированного обучения // Компьютерная геометрия и графика в образовании. Красноярск: КГТУ, 2000. - С. 166 -170.

54. Волков В.Я., Ляшков А.А., Юрков В.Ю. Блок генерации конструктивных задач для автоматизированных обучающих систем // Современное образование: управление и новые технологии. Омск: ОмГТУ, 2000. - С. 111 -112.

55. Волошинов В.А. Синтез модели пространства R5 при однородном и равносвязном проекционном аппарате // Геометрическое моделирование многомерных объектов и технологических процессов.-Омск;ОмПИ,1989.- С. 12-17.

56. Волошинов В.А. Некоторые вопросы моделирования линейных образов многомерного пространства // Вопросы геометрического моделирования. Л., 1972.-С. 56-69.

57. Волошинов В.А. Об особенностях моделирования линейных образов на плоской модели пространства R6 // Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск: ОмПИ, 1986. - С. 61 - 66.

58. Воронин Г.Ф. Возможности использования диаграмм фазовых состояний для расчёта термодинамических свойств сплавов // Расчёты и экспериментальные методы построения диаграмм состояния. М.: Наука, 1985. - С. 13 -17.

59. Гайдуков А.М., Удовский А.Л., Иванов О.С. Векторная форма условий фазового равновесия и вариационное соотношение для коннод Т-Р-х диаграммы q-компонентной системы // ДАН СССР. 1975. - Т. 225. - № 5. - С. 1093 -1095.

60. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.: Мир, 1984,- 428 с.

61. Гейдельман P.M. К проективной теории пар конгруэнций прямых // Изв. Вузов. 1971.-№ 2(105)

62. Герасимова И.С., Скопец З.А. Косое проектирование двумерными плоскостями в четырёхмерном проективном пространстве // Геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1970. - Вып. 64. - С. 24 - 33.

63. Герасимова И.С. Отображение одного трёхмерного проективного пространства на другое путём проектирования в четырёхмерном гиперсетью прямых // Геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1967. - Вып. 61. - С. 29 - 33.

64. Герасимова И.С. Получение кремоновых преобразований типа Тзз в трёхмерном проективном пространстве путём косого проектирования в четырёхмерном // Геометрия: ЯШИ, 1967. Вып. 61. - С. 18 - 28.

65. Герасимова И.С. Об одном методе получения кубических преобразований вР3//Геометрия:ЯГПИ, 1971.-Вып. 83.-С. 31 -34.

66. Герасимова И.С. Получение специальных кремоновых преобразований типа Жонкьера методом косого проектирования в Р4 // Вопросы геометрии и её преподавания. Ярославль: ЯГПИ, 1971. - Вып. 92. - С. 35 - 40.

67. Герасимова И.С. Об одной параболической гиперсети прямых в Р4 // Геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1973. - Вып. 109. - С. 45 - 49.

68. Герасимова И.С. Отображение Р4 на плоскость посредством линейной конгруэнции двумерных плоскостей // Конструктивная алгебраическая геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1979. - Вып. 180. - С. 14 -16.

69. Герасимова И.С. Плоская модель линейчатого четырёхмерного пространства // Вопросы геометрии и её преподавания. Ярославль: ЯГПИ, 1971. -Вып. 92.-С.41-44.

70. Геронимус Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов. М.: Гос. изд-во физ. - мат. лит-ры, 1962. - 400 с.

71. Гиббс Д.В. Термодинамические работы. М.: ОНТИ, 1950. - 492 с.

72. Глаголев А.А., Глаголева А.А. Числовая геометрия. М.: ВПАЛИ, 1936.

73. Глаголев Н.А. Проективная геометрия. -М.: Высшая школа, 1963.-344 с.-72 с.

74. Глазов В.М., Павлова JI.M. Химическая термодинамика и фазовые равновесия. М.: Металлургия, 1981.- 336 с.

75. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982. - Т. 1. - 496 с. - Т. %. - 366 с.

76. Громаков С.Д. О некоторых закономерностях равновесных систем. -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1961. 601 с.

77. Гумен Н.С. Графоаналитическое исследование многопараметрических систем со взаимно зависимыми параметрами // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, 1971. - Вып. 12. - С. 97 -102.

78. Гумен Н.С. Геометрические основы теории многообразий евклидового n-пространства применительно к геометрическому моделированию многопараметрических систем: Автореф. дисс. докт. техн. наук. 05.01.01. - Киев, 1992. -53 с.

79. Гушель Н.П. О трёхмерных алгебраических системах прямых // Конструктивная алгебраическая геометрия. Ярославль: ЯШИ, 1979. - Вып. 180. - С. 25-33.

80. Гушель Н.П. Представление алгебраических двумерных систем lt-плоскостей на грассмановых многообразиях // Конструктивная алгебраическая геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1979. - Вып. 180. - С. 16 -25.

81. Давиденко В.А. Геометрическое моделирование многомерных пространств для целей алгоритмизации многопараметрических задач конструирования: Автореф. дисс. кавд. техн. наук. 05.01.01. - Киев: КИСИ, 1989.

82. Джапаридзе И.С. Конструктивные отображения проективных преобразований пространства. Тбилиси: Ганатлеба, 1964. -126 с.

83. Джапаридзе И.С. О некоторых направлениях исследований в области геометрического моделирования // Начертательная геометрия и её приложения. Саратов, 1976. - Вып. 1.- С. 71 -80.

84. Джапаридзе И.С. Построение конструктивных моделей пространства, их систематизация и связь с методами изображений, применяемых в технике: Дисс. докт. техн. наук. Тбилиси: ГПИ, 1965. - 348 с.

85. Джапаридзе И.С. Начертательная геометрия в свете геометрического моделирования. Тбилиси: Ганатлеба, 1983. - 208 с.

86. Джоффрион А., Дайер Дж., Файнберг А, Решение задач оптимизации при многих критериях на основе человеко-машинных процедур // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976. - С. 116 -127.

87. Дмитренко Г.Е. Многомерные геометрические комплексы в применении к исследованию многокомпонентных взаимных систем // Тез. докл. II Все-союзн. конф. по многомерной геометрии. Харьков: ХГУ, 1964. - С. 77.

88. Домбровская Н.С. Топологические свойства равновесной химической диаграммы // Изв. СФХА. -1949. Т. 17. - С. 18 - 20.

89. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. - 296 с.

90. Есмуханов Ж.М. Графо-геометрическое моделирование в САПР технических устройств: Дисс. докт. техн. наук. 05.13.12,05.01.01. - Алматы, 1995. -84 с.

91. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970. - 528 с.

92. Жаров C.B. Отображение многомерного проективного пространства на плоскость посредством линейчатых многообразий, порождённых нормкривой: Дисс. канд. физ. мат. наук. - 01.01.04.- Ярославль, 1982. -116 с.

93. Жидков Н.П., Потапова И.Н., Щедрин Б.М. Решение задачи сопоставления точечных фрагментов атомных структур // Математические вопросы структурного анализа. М.: МГУ, 1980. - С. 20 - 34.

94. Жидков Н.П., Потапова H.H., Щедрин Б.М. К вопросу о построении среднеквадратичной прямой и плоскости по заданной системе опорных точек // Математические вопросы структурного анализа. М.: МГУ, 1981. - С. 16 - 24.

95. Закс И.А. О закономерностях диаграмм равновесий между жидкими фазами тройных систем: Дисс. . канд. хим. наук. 02.00.04 - Калинин, 1979.158 с.

96. Зедгенидзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. М.: Наука, 1976. -120 с.

97. Зенкевич О., Морган К Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

98. Иванов Г.С. Теоретические и конструктивно-прикладные вопросы квадратичных кремоновых инволюций: Дисс. . канд. техн. наук. М., 1968. -149 с.

99. Иванов Г.С. Поверхности и кривые расслояемых нелинейных преобразований в начертательной геометрии и технике: Дисс. . докт. техн. наук. -М., 1977.-321 с.

100. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). М.: Машиностроение, 1987,-192 с.

101. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии. М.: Машиностроение, 1998. - 157 с.

102. Иванов О.С., Удовский A.JI. Современное состояние и перспективы термодинамического расчёта диаграмм состояния металлических систем // Сплавы для атомной энергетики. М.: Наука, 1979. - С. 5 -17.

103. Ивахненко А.Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем. Киев: Наук, думка, 1981. - 296 с.

104. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. М.: Радио и связь, 1987. -120 с.

105. Исследование положения конод в системах с многокомпонентным твёрдым раствором / М.Г. Васильев, В.Н. Вигдорович, А.А. Селин, В.А. Ханин // Расчёты и экспериментальные методы построения диаграмм состояния. М.: Наука, 1985.-С. 127-130.

106. Каландадзе К.Н. Исследование конструктивных свойств нелинейных геометрических преобразований с применением к начертательной геометрии: Дисс. канд. техн. наук. Тбилиси, 1966. - 121 с.

107. Канаев Б.Г. К вопросу о классификации четырёхмерных систем двумерных плоскостей в Р4 // Конструктивная алгебраическая геометрия. Яро-славль:ЯГПИ, 1979.-Вып. 180.-С. 55-61.

108. Карган Э. Геометрия групп преобразований // Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М.: ИЛ, 1949. - С. 7 -111.

109. Катковник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных: метод локальной аппроксимации. М.: Наука, 1985. - 336 с.

110. Кауфман Л., Бернстейн X. Расчёт диаграмм состояния с помощью ЭВМ. М.: Мир, 1972. - 326 с.

111. Кикабидзе Г.И. Биаксиальное отображение четырёхмерного пространства на плоскость и его практическое применение: Автореф. дисс. канд. техн. наук. Тбилиси, 1971. - 22 с.

112. Клейн Ф. Высшая геометрия. М. - Л.: ГОНТИ, 1939. - 399 с.

113. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2. Геометрия. - М.: Наука, 1987. - 416 с.

114. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии: В 2-х томах. Т. 1. - М.: Наука, 1989. - 456 с.

115. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований // Об основаниях геометрии. М.: Гостехиздат, 1956. - С. 399 - 434.

116. Кованцов Н.И. Проективная геометрия. К.: Вища школа, 1985.-368 с.

117. Кованцов Н.И. Теория комплексов. Киев: Изд-во киевского ун-та, 1963.-292 с.

118. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. -352 с.

119. Котий O.A. Алгебраические конгруэнции прямых и кривых второго порядка и порождаемые ими бирациональные соответствия: Дисс. канд. физ. мат. наук. - Ярославль, 1963. - 99 с.

120. Когий O.A. Классификация кремоновых преобразований Т3 и алгебраические конгруэнции прямых // Изв. Вузов. Математика. Казань, 1958. - № 5(7). -С. 156.

121. Котий O.A. Применение конгруэнций первого порядка для получения кремоновых соответствий между двумя плоскостями // Доклады на науч. конф. ЯГПИ. Ярославль, 1964. - Т. 2. - Вып. 3. - С. 53 - 60.

122. Котов И.й. Параметрическое исчисление фигур и полнота графического задания поверхностей // Труды московского науч. метод, семинара по начертательной геометрии и инж. графике. - М., 1963. - Вып. 2. - С. 82 - 91.

123. Котов И.И, Мгновенные алгебраические преобразования и их возможные приложения // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей. М.: МАИ, 1969. - Вып. 3. - С. 27 - 33.

124. Краева А.Г. Дискретное описание фазовых превращений в многокомпонентных системах // Вопросы геохимии и алгоритмы качественной теории фазовых превращений в многокомпонентных системах. Новосибирск: Ин-т геологии и геофизики СОАН СССР, 1975. - С. 10 -14.

125. Красильникова Г.А. Методы геометрического моделирования многофакторных процессов на базе проекционных алгоритмов: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. 05.01.01. - М., 1995. - 23 с.

126. Краснова Л.М. Геометрические преобразования плоских полей // Геометрические преобразования и их технические приложения. М.: МАИ, 1972. -Вып. 250.-С. 30 - 34.

127. Краснова Л.М. Об одном аппарате, осуществляющем многозначное соответствие двух плоских полей // Вопросы прикладной геометрии. М.: МАИ, 1972.-Вып. 246.-С. 23-26.

128. Кузнецов Г.М., Ротенберг В.А., Цурган Л.С. О направлении конод в двухфазных областях изотермических разрезов тройных систем // Изв. Вузов. Цветная металлургия. -1972. № 4. - С. 99 -104.

129. Кузнецов Г.М., Смагулов Д.У. Расчёт изотерм ликвидуса и солидуса и определение направления конод в двухфазных областях тройных систем // Изв. Вузов. Цветная металлургия. -1974.- № 5. С. 117 -122.

130. Кулагин Ю.А. Моделирование пространства парой конгруэнций: Дисс. канд. физ. мат. наук. - 01.01.04. - М., 1972. -123 с.

131. Кулагин Ю.А. К вопросу о «полунулевой системе» // Вопросы прикладной геометрии. М.: МАИ, 1972. - Вып. 246. - С. 91 - 95.

132. Курнаков И.О. Введение в физико-химический анализ. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1940.-562 с.

133. Куценко Л.Н. Теоретические основы и геометрические приложения метода А-отображений: Дисс. докт. техн. наук. Киев: КИСИ, 1992. - 580 с.

134. Лабзин С.М., Юрков В.Ю. Градационное отображение для моделирования автотипного синтеза цвета // Тез. докл. междунар. науч. метод, конф 25 -30 ноября. М., 1994. - С, 54.

135. Лангов АС. Конструктивное отображений проективных пространств посредством нормкривых: Дисс. . канд физ. мат. наук. - 01.006. - М., 1968. -122 с.

136. Линичук P.C. Многозначные отображения и пространства подмножеств: Дисс. канд. физ. мат. наук. - Киев, 1975.

137. Луцык В.И. О моделировании поверхности ликвидуса в тройных системах// V Всесоюзн. Совещ. по физ.-хим. анализу.-М.: Наука, 1976. С. 24 - 30.

138. Луцык В.И. Метод расчёта состава тройной эвтектики по аналитическим моделям ликвидусов компонентов // Тез. докл. 2-го Укр. респ. совещ. по физ. хим. анализу. - Симферополь, 1978. - С. 63.

139. Львовский Н.Е. Статистические методы построения эмпирических формул. М.: Высш. шк., 1988. - 239 с.

140. Малеев Ю.А. Поверхности Каталана применительно к изучению диаграмм состояний многокомпонентных систем: Автореф. дисс. канд. техн. наук. 05.150. - М., 1972. - 22 с.

141. Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Т. 1. Комплексные проективные многообразия. - М.: Мир, 1979. - 256 с.

142. Маневич В.Е., Чернова Н.А Применение математических методов дли исследования многокомпонентных систем. М.: Металлургия, 1974. - 154 с.

143. Мартынова Н.С., Сусарев М.П., Василькова И.В. Выявление концентрационной области расположения тройной эвтектики в простых эвтектических системах по данным о бинарных эвтектиках и компонентах // Жури, прикл. химии. -1968. Т. 41. - С. 2039 - 2050.

144. Математическая энциклопедия. В 5-ти томах. М.: Сов. Энциклопедия, 1977 -1984.

145. Медведева Л.Б. Специальные гиперсети прямых многомерного проективного пространства и их применение для построения его моделей: Дисс. . канд. физ. мат. наук. - Ярославль, 1974. - 121 с.

146. Мелик-Саргсян Г.С. Дву-двузначные квадратичные преобразования и их использование для конструирования поверхностей и сжатия графической информации: Автореф. дисс. канд. техн. наук. 05.01.01. - Киев, 1985.

147. Михайленко В.Е., Обухова B.C., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. Киев: Будовельник, 1972. - 208 с.

148. Михайленко В.Е. О некоторых итогах и перспективах научных исследований в области графических дисциплин // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Будавельник, 1985. - Вып.40. - С. 3 - 6.

149. Млодзеевский А.Б. Геометрическая термодинамика. М.: МГУ, 1956. -91с.

150. Мордухай-Болтовской Д.Д. Косые проекции в четырехмерном пространстве // Учёные записки Пятигорского гос. пед. ин-та,1950.- Т. 7.- С.25 31.

151. Муран К.В. Отображение пространства Р4 на гиперплоскость специальной гиперсетью прямых // Конструктивная алгебраическая геометрия. Ярославль, 1979. - Вып. 180. - С. 70 -75.

152. Мчедлишвили Е.А. Методы изображений. Тбилиси, 1974. - 208 с.

153. Нагель Э,, Ньюмен Д. Теорема Геделя. М.: Знание, 1970. - 62 с.

154. Надолинный В.А. Основы теории проективных рациональных поверхностей: Автореф. дисс. докт. техн. наук. 05.01.01. - Киев, 1989. - 30 с.

155. Найдыш В.М. Перспективы развития геометрического моделирования // Прикладна геометр!я та шженерна графика. К.: КДТУБА, 1996. - С. 15 - 19.

156. Научные исследования по прикладной геометрии: итоги, задачи, перспективы / Михайленко В.Е., Подгорный А.Л., Павлов А.В., Ковалёв С.Н. // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Буд1вельник, 1990. -Вып. 50.-С. 3-6.

157. Николаева А.В., Сорокина А.А., Лубкова В.Н., Юдина Н.Г. Основы взаимодействия солей редкоземельных элементов в воде. Новосибирск: Наука, 1977. -176 с.

158. Новик Ф.С., Цейтлин Н.А. Кусочно-гладкая аппроксимация элементов диаграмм состояния // Изв. АН СССР. Металлы. -1982. -№ 4. С. 175 -178.

159. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 248 с.

160. Норден А.М. Обобщённая геометрия двумерного линейчатого пространства // Математический сборник. -1946. -18(60). С. 139 -152.

161. Нурмаханов Б.Н. Разработка алгоритмов моделирования нелинейных точечных соответствий плоскости, порождаемых установлением бинарных моделей поверхностей, h их практическое приложение: Дисе. канд. техн. наук. -05.01.01. Мелитополь, 1977. - 210 с.

162. Нурмаханов Б.Н. Теоретические и прикладные основы проектирования кривых, поверхностей и гиперповерхностей методом моноцдальных преобразований: Дисс. докт. техн. наук. 05.01.01. - Челябинск, 1992. -482 с.

163. Обухова B.C. Конструктивно-прикладная теория нелинейных осевых отображений и ассоциированных с ними алгебраических поверхностей: Дисс. докт. техн. наук. Киев, 1991.- 573 с.

164. Обухова B.C. Нелинейные модели на основе проектирования лучами Кг(2, m) // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Буд^вельник,1969.-Вып. 9.-С.

165. Обухова B.C. Обобщение нелинейных систем проекций и одноосевые системы // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Бущвельник,1970.-Вып. 10.-С. 17-27.

166. Обухова B.C. Нелинейные модели высших порядков // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Бущвельник, 1970. - Вып. 11. - С.

167. Обухова B.C. Проецирование комплексами прямых различных степеней // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Будавельник, 1973. -Вып. 17.-С. 66 - 72.171.0ден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

168. Палатник Л.С., Ландау А.И. Фазовые равновесия в многокомпонентных системах. Харьков: ХГУ, 1961. - 405 с.

169. Пеклич В.А. Об одной гиперсети прямых в Р4 // Кремоновы преобразования и их приложения. М.: МЛТИ, 1971. - Вып. 39. - С. 22 - 26.

170. Пеклич В.А. Об одной косой 3-перспективе в четырёхмерном пространстве // Вопросы геометрии и её преподавания. Ярославль: ЯГПИ, 1971, -Вып. 92.-С. 149-154.

171. Пеклич В.А. Нелинейные отображения пространств посредством кол-линеаций: Дисс. канд. физ. мат. наук. - 01.006. - Москва, 1970. - 143 с.

172. Пеклич В.А. О некоторых инволюциях линейчатого пространства // Украинский геометрический сборник. Харьков, 1976. - Вып. 19. - С.130 -140.

173. Первикова В.Н. Основы многомерной начертательной геометрии. -М.: МАИ, 1976. Ч. 1. - 34 с.

174. Первикова В.Н. Геометрические основы чертежей многомерных фигур. М.: МАИ, 1982.-44 с.

175. Первикова В.Н. Комплексный чертёж n-мерного евклидова пространства на k-мерной плоскости // Труды московского науч. метод, семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. - М., 1963. - Вып. 2. - С. 172 -179.

176. Первикова В.Н. Теоретические основы построения чертежей многомерных фигур в синтетическом и векторном изложении с применением для исследования многокомпонентных систем: Дисс. . докт. техн. наук. М., 1972. -324 с.

177. Петров Д.А. Четверные системы (новый подход к построению и анализу). М.: Металлургия, 1991. - 284 с.

178. Пилипченко В.Н. Гетерогенные равновесия в характеристике твёрдых фаз в водных системах сульфатных солей натрия, калия, аммония, магния и цинка: Дисс. канд. хим. наук. Полтава, 1969. - 213 с.

179. Подгорный A.JÏ. Геометрическое моделирование пространственных конструкций: Дисс. докт. техн. наук. Киев, 1975. - 371 с.

180. Понтрягин Л.С. Основы комбинаторной топологии. М.: Наука, 1986. -120с.

181. Попов И.А. Об одном способе построения алгебраических кривых // Сборник статей по алгебраической геометрии: Труды науч. техн. конф. Военно-транспортной Академии. - Л., 1938.- № 2. - С. 33 - 44.

182. Попов И.А. Принцип сохранения числа // Сборник статей по алгебраической геометрии: Труды науч. техн. конф. Военно-транспортной Академии. - Л., 1938.- Кй 2. - С. 73 - 77.

183. Построение линий предельной растворимости и определение направления конод в системах Яи - НШи и Ыи - ЫЬКи - ZrR.ii / Новик Ф.С., Ломоносов М.В., Татаркина А.Л., Раевская М.В., Соколовская Е.М // ДАН СССР. -1972. - Т. 207. - № 5. - С. 1129 -1132.

184. Посыпайко В.И. Методы исследования многокомпонентных солевых систем. М.: Наука, 1978. - 255 с.

185. Потоскуев Е.В. Об одном методе построения плоской модели трёхмерного проективного пространства // Геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1967. -Вып. 61.-С. 86-96.

186. Потоскуев Е.В. Отображение трёхмерного проективного пространства на плоскость посредством прямых одной специальной гиперсети // Геометрия. -Ярославль: ЯГПИ, 1967. Вып. 61. - С. 76 - 85.

187. Потоскуев Е.В. Косое проектирование и его применение для построения нелинейных моделей многомерных проективных пространств: Дисс. . канд. физ. мат. наук. - 01.006. - Ярославль, 1967. -123 с.

188. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. М.: Мир, 1989.-478 с.

189. Применение математических методов при исследовании многокомпонентных систем. М,: Металлургия, 1974. -176 с.

190. Прогнозирование химического взаимодействия в системах из многих компонентов / В.И. Посыпайко, С.А. Тарасевич, Е.А. Алексеева и др. М.: Наука, 1984.-216 с.

191. Проекционно-термографический метод исследования тройных и тройных взаимных систем / Посыпайко В.И., Трунин А.С., Космынин А.С. и др. // ДАН СССР. -1976. Т. 228. - С. 1101 -1107.

192. Пуйческу Ф.И. Проекционные методы геометрического моделирования линейчатых систем и их практические приложения: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. 05.150. - М., 1972. -14 с.

193. Пухов Г.Е., Хатиашвили Ц.С. Модели технологических процессов. -Киев: Техника, 1974. 224 с.

194. Радищев В.П. Многокомпонентные системы. -М.: ИОНХ СССР.-502 с.

195. Райнз Ф. Диаграммы фазового равновесия в металлурги. М: Метал-лургиздат, 1960. - 376 с.

196. Рогозина Е.С. Отображение пространства Р5 на плоскость посредством конгруэнции плоскостей К(1, 2, 1) // Конструктивная алгебраическая геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1982. - Вып. 200. - С. 107 -113.

197. Рогозина Е.С. Отображение пространства Р4 на плоскость посредством конгруэнции плоскостей (1, 2, 1) в Pj // Конструктивная алгебраическая геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1979. - Вып. 180. - С. 84 - 88.

198. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. -М.: Наука, 1969. 547 с.

199. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. -М.: Наука, 1966.- 647 с.

200. Розенфельд Б.А., Семёнова И.Н. Проектирование и отражение в проективном пространстве // Учёные записки МГЗПИ. Серия математическая. М., 1962.-Вып. 8.-С. 78-83.

201. Рыжов Н.Н. Параметрическая геометрия. М.: МАДИ, 1988. - 56 с.

202. Саакян Г.С. Преобразования пространства на базе однопараметриче-ских множеств плоскостных преобразований и их применение: Дисс. . канд. техн. наук. 05.150. - Тбилиси, 1975. -153 с.

203. Салуквадзе М.Е. О задаче линейного программирования с векторным критерием качества И Автоматика и телемеханика. 1972. - № 5. - С. 99 -105.

204. Сарнацкая Е.В. Графоаналитическое конструирование рациональных многообразий применительно к решению многопараметрических задач технологии: Автореф. дисс. канд. техн. наук. 05.01.01. - Киев, 1986. -14 с.

205. Себер Дж, Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. - 456 с.

206. Скобло Л.И. Аппроксимация диаграммы состояния двойных и тройных конденсированных эвтектических систем // Изв. АН СССР. Неорганические материалы. -1973. Т. 9. - С. 60 - 62.

207. Скопец З.А. Некоторые методы получения специальных кремоновых преобразований: Дисс. канд. физ. мат. наук. - М., 1945. -129 с.

208. Скопец З.А. Отображение пространства на плоскость посредством пространственных кривых// Известия вузов. Математика. Казань, 1961. - № 6. -С. 97 -107.

209. Скопец З.А., Асекритов У.М. Отображение пространства на плоскость посредством кубической окружности // Изв. Вузов. Математика. Казань, 1963. -№5.-С. 113-116.

210. Скопец З.А., Кузнецова В.А Отображение пространства Р4 на плоскость посредством прямых линейной гиперсети второго класса // Геометрия. -Ярославль: ЯГПИ, 1973. Вып. 109. - С. 161 -166.

211. Скопец З.А. Модель трёхмерного проективного пространства на евклидовой плоскости//Вопросы геометрии и её преподавания. Ярославль: ЯГПИ, 1971.-Вып. 92.-С. 173-179.

212. Скопец З.А. Отображение прямых проективного пространства на плоскость посредством моноидов // Изв. Вузов. Математика. Казань, 1958. -№1.-С. 152-157.

213. Скопец 3А, Тихомиров A.C. Плоская модель многообразия прямых n-мерного проективного пространства // Конструктивная алгебраическая геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1979. - С. 101 -105.

214. Смагулов Д.У. Исследование двухфазных равновесий в многокомпонентных сплавах на основе алюминия: Дисс. . канд. техн. наук. М., 1974. -106 с.

215. Соболев H.A. Геометрические основания теории изображений. М.: Наука, 1986. -106 с.

216. Современные методы идентификации систем. М.: Мир, 1983. - 397 с.

217. Согомонян К.А. Линейно-конструктивная теория построения нелинейных геометрических форм и математическое моделирование объектов: Дисс. . докт. техн. наук. Ереван: ЕрПИ, 1990. - 307 с.

218. Согомонян К.А. Линейно-конструктивные методы формообразования (геометрическое моделирование). Ереван: Айастан, 1990. -214 с.

219. Солнцева Т.В. Применение (3, 3)-значного и (6, 6>значного точечных соответствий к обобщению теоремы Бурместера // Учёные записки Московского обл. пед. ин-та. М., 1956. - Вып. 39. - С. 103 -114.

220. Солоненко М.П. Теоретические и конструктивные вопросы некоторых многозначных соответствий и их технические приложения: Автореф. . дисс. канд. техн. наук. 05.150. - М., 1971. - 22 с.

221. Сопоставление фрагментов молекулярных структур по характерным наборам плоскостей, прямых и точек / Н.П. Жидков, И.Н. Потапова, В.В. Чуми-на, Б.М. Щедрин // Математические вопросы структурного анализа. М.: МГУ, 1981.-С. 25-34.

222. Сусарев М.П., Мартынова Н.С. Расчёт состава четверной эвтектики по данным для тройных и бинарных систем // Жури, прикл. химии. -1974. Т. 47.-С. 526-530.

223. Стародетко Е.А. Элементы вычислительной геометрии. Минск: Наука и техника, 1986. - 240 с.

224. Степанов В.А. Разработка математических моделей и алгоритмов автоматизации исследований диаграмм состав-свойство: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. -05.13.16. Томск, 1989. -15 с.

225. Сторонкин A.B. Об условиях термодинамического равновесия многокомпонентных систем. Л.: ЛГУ, 1948. -120 с.

226. Сухарев Ю.П. О линейной интерпретации нелинейных преобразований // Вопросы геометрического моделирования. Л., 1980. - С. 84 - 88.

227. Сярова А.Б. Инволюционное пространственное преобразование I3-4-3, связанное с одной гиперсетью 2(2, 4) прямых в Р4 // Год. ВУЗ. Прилож. мат. -1981. 17. - № 1. - С. 189 - 200 (болг).

228. Тевлин А.М. Методы нелинейных отображений и их технические приложения. М.: МАИ, 1971. - 136 с.

229. Теория построения графических моделей многомерных пространств: Рекламно техн. описание о НИР / ОмГТУ; Рук. работы В.Я. Волков, отв. исполнитель В.Ю. Юрков. - № ГР 01990007191; Инв. № 02990004631. - Омск, 1999. - 16 с.

230. Тефова Е.Л. Косые отображения в проективных пространствах и их приложения в неевклидовой и линейчатой геометрии: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. 01.006. - Нальчик, 1967. - 123 с.

231. Тихомиров A.C. Вопросы линейчатой геометрии 4-хмернош проективного пространства и его истолкование на грассмановом многообразии: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. 01.01.04. - Ярославль, 1975. -117 с.

232. Тихомиров A.C. Моделирование четырёхмерного проективного пространства на плоскости с помощью пяти ассоциированных прямых // Геометрия и топология. Л., 1974. - Вып. 2. - С. 155 - 162.

233. Тихомиров" A.C. Конструктивное осуществление отображения к-плоскостей проективного пространства Рп на гиперповерхности проективного пространства Рк+1 // Современная геометрия. Вопросы дифференциальной геометрии. Л., 1980. - С. 84 - 91.

234. Торосян C.B. Квадратичные дву-двузначные преобразования пространства и их практические применения: Дисс. канд. техн. наук. М., 1975. -177 с.

235. Удовский А.Л., Гайдуков А.М., Иванов О.С. Представление векторных уравнений фазового равновесия двух фаз в многокомпонентной системе в координатах, естественных для вектора-коноды // ДАН СССР. -1976. Т. 231. -№3.-С. 671 -674.

236. Удовский А.Л. Современное состояние и перспективы термодинамического расчёта диаграмм состояния трёх и более компонентных металлических систем //Диаграммы состояния металлических систем.-М. :Наука, 1981 .-С.17 34.

237. Удовский А.Л. Развитие методов теоретического построения диаграмм состояния: Автореф. дисс. канд. физ. мат, наук. - 01.04.07. - М., 1974. -24 с.

238. Улановский В.П. Принцип Шаля и его применение в геометрии и механике // Сб. статей по алгебраической геометрии: Труды науч. техн. конф. Военно-Транспортной Академии. - Л., 1938. - № 2. - С. 7-25.

239. Уокер Р. Алгебраические кривые. М.: ИЛ, 1954. - 236 с.

240. Федорчук В.В., Филиппов В В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 252 с.

241. Филиппов В.В. Изучение гетерогенных равновесий в системе н.гексанол вода - нитрометан: Дисс. канд. хим. наук. - 02.00.04. - Л., 1978. -137 с.

242. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и её приложения. Л.: ЛГУ, 1979. - 280 с.

243. Филиппов П.В. и др. Начертательная геометрия многомерного пространства в линейном программировании. Л.: ЛГУ, 1986, -116 с.

244. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982. - 304 с.

245. Фултон У. Теория пересечений. М.: Мир, 1989. - 583 с.

246. Харафас Д.Н. Системы и моделирование. М.: Мир, 1967. - 418 с.

247. Халтурина С.А. Некоторые вопросы бирациональных отображений линейчатого пространства: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Ярославль, 1975.-13 с.

248. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. -М.: Мир, 1970. -157 с.

249. Харгсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981. - 600 с.

250. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1968. - 400 с.

251. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. В 3-х т. - М.: ИЛ, 1954. - Т. 1. - 461 с. - Т. 2. - 431 с. - Т. 3. - 374 с.

252. Цвицинский И.В. Конструктивное исследование однопараметриче-ских групп преобразований. Кишинёв: Штиинца, 1977. - 84 с.

253. Цыпылова Л.А. Поиск особых элементов эмпирических поверхностей пространств Е3, Е4 при помощи графоаналитических способов планирования эксперимента: Автореф. дисс. канд. техн. наук. 05.01.01. - М., 1978. -16 с.

254. Чегодаев А.И. Отображение некоторых алгебраических поверхностей прямыми конгруэнций первого порядка и порождаемые ими кремоновы преобразования: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Ярославль, 1966.

255. Чегодаев А.И. Получение бирационального соответствия Тб. в между гиперплоскостями в Р4 посредством отображений гиперквадрик // Конструктивная алгебраическая геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1979. - Вып. 180. - С.120 -123.

256. Чегодаев А.И. К получению классов кремоновых преобразований посредством отображений квадрик прямыми конгруэнции типа 1, п. // Конструктивная алгебраическая геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1982. - Вып. 200. - С. 134 -138.

257. Чегодаев А.И. Классы кремоновых преобразований, порождаемые стереографическим и косым отображениями поверхностей третьего и второго порядков // Геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1967. - Вып. 61. - С. 166 -182.

258. Челидзе М.Д. Преобразования прикосновения и их практические приложения: Автореф. дисс. канд. техн. наук. М., 1983. - 24 с.

259. Чередниченко Л.С., Гумен Н.С., Гумен B.C. Геометрическое моделирование некоторых многопараметрических систем химической технологии. -Киев: Вища школа, 1977. 108 с.

260. Чернышёва М.Ф. Равновесие жидких и твёрдых фаз в трёх- и четы-рёхкомпонентных водноорганических системах: Дисс. . канд хим. наук. -02.00.04. Куйбышев, 1981. -193 с.

261. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1969. -368 с.

262. Четверухин Н.Ф. О некоторых вопросах многомерной геометрии // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Будавельник, 1970. -Вып. 10.-С. 10-11.

263. Четверухин Н.Ф. Формы высших ступеней в многомерном расширенном евклидовом пространстве // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Бувдвельник, 1971. - Вып. 12. - С. 3 - 5.

264. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. В 2-х т. М.: Наука, 1988.-Т. 1.-352 с.-Т. 2.-304 с.

265. Эпштейн И.Ш. Линейчатые гиперповерхности и поверхности четырёхмерного пространства Р4, определяемые коллинеацией двух плоскостей // Геометрия. Ярославль: ЯГПИ, 1973. - Вып. 109. - С. 216 - 219.

266. Эпштейн И.Ш. Некоторые приложения одного метода отображения четырёхмерного проективного пространства Р4 на двумерную плоскость // Вопросы геометрии и её преподавания. Ярославль: ЯГПИ, 1971. - Вып. 92. - С. 233 -242.

267. Юрков В.Ю. Конструктивные отображения многомерных пространств в моделировании эмпирических многофакторных объектов: Дисс. канд. техн. наук. 05.01.01. - Омск, 1987. - 174 с.

268. Юрков В.Ю., Угрюмова М.А., Лабзин С.М. Инженерная графика и геометрия: Учеб. пособие. Омск: ОМПИ, 1991. -72 с.

269. Юрков В.Ю. Построение одного вида кремоновых соответствий в многомерных пространствах // Геометрическое моделирование инженерных объектов и технологических процессов. Омск: ОмПИ, 1989. - С. 70 - 72.

270. Юрков В.Ю. Фундаментальные системы соответствий, порождаемых гиперсетями // Геометрическое моделирование в практике решения инженерных задач. Омск: ОмПИ, 1991. - С. 93 - 96.

271. Юрков В.Ю. Конечные множества линейных объектов и условия инцидентности / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1995. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.02.95, № 553 - В95.

272. Юрков В.Ю. Линеаризация исчислительных задач для коник / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1995. -12 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.06.95, № 1733 - В95.

273. Юрков В.Ю. К вопросу о неподвижных элементах многозначных соответствий / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1997. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.01.97, № 139-В97.

274. Юрков В.Ю. О произведении неоднотипных условий Шуберта / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1997. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.02.97, № 507 -В97.

275. Юрков В.Ю. Основные уравнения связи неоднотипных условий в многомерных пространствах / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1998. - 6 с. - Деп в ВИНИТИ 20.07.98, № 2258 - В98.

276. Юрков В.Ю. Конструктивно-исчислительный принцип построения многозначных соответствий / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1998. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.98, № 2259 - В98.

277. Юрков В.Ю. Алгоритм поиска оптимального отображения конечных точечных множеств / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1998. - 5 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.98, № 2265 - В98.

278. Юрков В.Ю. Плоские модели пятимерного проективного пространства/Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1998. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.98, № 2266-В98.

279. Юрков В.Ю. Неточечные квадратичные соответствия между гиперплоскостями / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1998. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.10.98, № 2996-В98.

280. Юрков В.Ю. О построении квадратичных соответствий в многомерных пространствах / Омский шс. техн. ун-т. Омск, 1998. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.10.98, № 2995 - В98.

281. Юрков В.Ю. Соответствия точечных рядов в пятимерном проективном пространстве / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1998. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.10.98, №2997-В98.

282. Юрков В.Ю. О смешанных многообразиях и соответствиях между точечными рядами / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1998. -10 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.10.98, №2993-В98.

283. Юрков В.Ю. Построение определяющих фигур для соответствий с заданными характеристиками / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1998. -11 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.10.98, №2994 -В98.

284. Юрков В.Ю. Исчисление Шуберта и многозначные соответствия // Омский научный вестник. Омск, 1998. - Вып. 2. - С. 57 - 59.

285. Юрков В.Ю. Основы исчислительного синтеза и анализа многомерных соответствий / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1999. - 123 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.10.99, № 3031 - В99.'

286. Юрков В.Ю. Моделирование непрерывных сред с многофазной структурой неточечными пространствами // Динамика систем, механизмов и машин: Тез. докл. III Международной науч. техн. конф. /Омск, 26 - 28 октября 1999 г./. - Омск, 1999. - С. 117 -118.

287. Юрков В.Ю. Об одном методе моделирования изотермических сечений диаграмм состояния / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 1999. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.12.99, № 3968 - В99.

288. Якунин В.И. Современные проблемы и перспективы научных исследований в прикладной геометрии il Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск: ОмПИ,1986.-С. 12 -14.

289. Ященко В.П. Нелинейные дву-двузначные преобразования пространства и их применение к конструированию поверхностей: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. 05.01.01. - Киев, 1975.

290. Baker H.F. Principles of Geometry. Higher Geometry. New York: Frederick Ungar Publishing Co., 1963. - Vol. IV. - 250 p.

291. Baker H.F. Principles of Geometry. Analytical principles of the theory of curves. New York: Frederick Ungar Publishing Co., I960. - Vol. V. - 247 p.

292. Baker H.F. Principles of Geometry. Introduction to the theory of Algebraic Surfaces and Higher Loci. New York: Frederick Ungar Publishing Co., 1960. - Vol. VI. - 308 p.

293. Bertini E. Einfuhrung in die projective Geometrie mehrdimensionaler Räume. Wien, 1924. - 480 s.

294. Berzolary L. Algebraische Transformationen und Korrespondenzen // Encyclopédie der Mathematischen Wissenschaften III С 11. Leipzig: Teubner, 1933. -S. 1781 -2218.

295. Burau W. Mehrdimentionale Projektive und höhere Geometrie. Berlin, 1961.-436 s.

296. Castanet R., Bergmann C., Mathieu J.C. Experimental determination and computation of phase diagrams from their thermodynamics functions II Calphad. -1979. V. 3. - P. 205 - 222.

297. Cayley A. On the curves which satisfy given condition // Phil. Trans. Royal Soc. London 158, 1868. - P. 75 -172.

298. Cayley A. On a correspondence of paints in relation to two tetrahedra // Proceedings of the London Math. Soc. -1873. Vol. 4. - P. 396 - 404.

299. Ceresa G., Collino A. Some remarks on algebraic equivalence of cycles // Pacific J. Math. -1983. № 105. - P. 285 - 290.

300. Chasles M. Principle de correspondance entre deux variables, qui peut etre d'un grand usage en Geometrie // C. R. Acad. Sei. -1855. -№41. -P. 1097 -1107.

301. Cremona L. Sulle transformazione geometriche delle figure piane // Gior. d. Mat -1863. № 1. - P. 305 - 311 ; 1865. - № 3. - P. 269 - 280.

302. Gremona L. Ueber die Abbildung algebraischer Flachen // Mathematische Annalen, Leipzig, 1871. - 4 Band. - S. 213 - 230.

303. Duporcq Er. Sur la correspondance quadratique et rationnelle de deux figures planes, et sur un déplacement remarquable // Comptes rendus. Paris, 1898. -126.-P. 1405-1406.

304. Eisenbud D., Evance E.G. Eveiy algebraic set in n-space is the intersection of n hypersurfaces H Inventiones Math. -1973. 19. - P. 107 -112.

305. Freudenthal H. La geometrie enumerative // Topologie Algebrique: Coloques Intern. Du CNRS XII. Paris, 1947. - P. 17 - 33.

306. Fried I. Some aspects of the natural coordinate system in the finite element method // AIAA. -1969. Vol. 7. - P. 1366 - 1368.

307. Gerretsen I.C.H. Der Kalkül der Abzahlenden Geometrie // Nieun Archief voor Wiskunde. -1978. XXVI(3). - S. 142 -160.

308. Glenn O.E. The theory of degenerate algebraical curves and surfaces // Am. Journ. of Math. -1910. 32. - P. 75 - 100.

309. Grassmann H. Die lineare Ausdehnungslehre ein neuer Zaweig der Mathematik. Leipzig, 1844. - 279 s.

310. Grassmann H. Grundsatze der stereomatrischen Multiplikation // Crelle's Journal. -1855.-49. -l.-S. 10-20.

311. Hiller H. Combinatorics and intersections of Schubert varieties // Comm. Math. Helv. -1982. 57. - P. 41-59.

312. Hudson H.P. Cremona transformations in plane and space. Cambridge: University Press, 1927. - 455 p.

313. Iitaka Sh. Algebraic Geometry. An Introduction to Birational Geometry of Algebraic Varieties. New York: Springier, 1982. - X+357 p.

314. Kempf G., Laskov D. The determinantal formula of Schubert calculus // Acta Math. -1974. -132. P. 153 -162.

315. Kirby D. Isolated intersections of a set on n primals in n-space // J. London Math. Soc. London, 1958. - 33. - P. 185 -196.

316. Kleiman S.L. Chasles's enumerative theory of conics: a historical introduction in Studies in algebraic geometry // Math. Assoc. Amer. Stud. Math. 1980. - 20. -P. 117-138.

317. Kleiman S.L., Laskov D. Schubert calculus // Amer. Math. Monthly. -1972.-79.-P. 1061 -1082.

318. Klimcik J. Some problems of representation of multidimensional space // Zb.Ved.Pr. VST Kosiciach.-1978 (1981).-l.-C. 11 -42.

319. Kuchar L., Spindlerova V., Wozmakova B. Modelovani krivek solidu a likvidu pocitacem // Hutnicke listy. 1970. - T. 25. - X® 3. - S. 179 -185.

320. Maciejowski J.M. Model Discrimination Using an Algorithmic Information Criterion // Automatica. -1979. V. 15. - № 5. - P. 579 - 593.

321. Marietta G. Alcuni sistemi omaloidici nell'Sn // Rend. Circolo Matematico. -Palermo, 1925. 49 . - 252 - 262.

322. Pieri M. Formule di coincidenza per le serie algebriche qo" di coppie di panti dello spazio a n dimensioni // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1891. - 5. - 252 -268.

323. Reye Th. Die Geometrie der Lage. Leipzig, 1909 -1910. - Abt. 1.-254 s. -Abt. 2.-332 s.-Abt. 3.-251 s.

324. Reye Th. Geometrische Verwandtschaften zweiten Grades // Mathematik und Phisic. Leipzig, 1866. -11. - S. 280 - 310.

325. Room T.G. The Geometry of Determinants Loci. Cambridge: Univ. Press, 1938.-481 p.

326. Schubert H. Die n-dimensionalen Verallgemeinerungen der fundamentalen Anzahlen unseren Raumes // Math. Ann. -1986. 26. - S. 26 - 51.

327. Schubert H. Kalkül der abzahlenden Geometrie. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer Verlag, 1979. - 349 s.

328. Segre C. Sulla teoria e sulle classificazioni delle omografie in uno spazio lineare ad un numero qualunque di dimensioni // Mem. Accad. Lincei. 1884. - Fis.-mat. Ser. -19. - 127 -148.

329. Segre C. Mehrdimensionale Räume // Enzyklopädie der math. Wiss., 1921. - Bd. 3, H. 7. - S. 769 - 972.

330. Semple J.G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. Oxford: Clarendon Press, 1949. - 446 p.

331. Severi F. Grundlangen der abzahlenden Geometrie. Hannover, 1936. -126 s.

332. Severi F. Le coincidenze di una seria algebrica di coppie di spazi a k dimensioni, immersi nello spacio ad r dimensioni // Rend. Accad. Line. 1990. -9.-321-326.

333. Snyder. Problems in involutorial space transformations // Bull. Amer. Math. Soc. 1924. - P.101 - 124.

334. Sommervüi D.M.Y. An introduction to the Geometry of N dimensions. -London, 1929. 196 p.

335. Staudt K.G.C. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nürnberg: Verlag von Bauer und Raspe, 1860. - 386 s.m

336. Steiner J. Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander. Berlin: Fincke, 1832. - S. 253 - 271.

337. Sturm R. Die Lehre von den Geometrischen Verwandtschaften. Leipzig und Berlin, 1909. - Bd. 4. - 474 s.

338. Sturm R. Die Gebilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie in synthetischer Behandlung. Leipzig, 1892. - Bd. 1. - S. 38 - 47.

339. Tafani. Sülle correspondenze (1, n) tra varieta a tre dimensioni // Annali R. Scuola nor di Risa. 1913. - 1 - 44.

340. Todd J.A. Birational transformations with a fundamental surface // Proc. London Math. Soc. London, 1941. - 47. - P. 81 -100.

341. Tyrell J.A. Complete guadrics and collineations in Sn // Mathematica. -1956. -3. -P.69 -79.

342. Volkov V.Y., Yurkov V.Y. An Axiomatic Theory of Graphic Models of Polydimensional Spaces // Proceedings of 6th ICECGDG. / Tokyo, Japan, 19-23 August 1994./ Tokyo, Japan, 1994. - P. 84 - 88.

343. Volkov V.Y., Yurkov V.Y., Liashkov A.A., Kulikov L.K. Linear graphic models of extended multidimensional Euclidean spaces // Proceeding of 7th ICECGDG. / Cracow, Poland, 23 -27 August 1996./ Cracow, Poland, 1996. - P. 241 -244.

344. Weyr Ed. Analytische Untersuchung der quadratischen Verwandtschaft // Mathematic und Phisik. Leipzig, 1869. - 14. - S. 445 - 477.

345. Williams A.R. Correspondences connect with a pensil of n-ics // Bull. Of Am. Math. Soc.-1935. 41. - P. 868- 874.385

346. Young J.W., Morgan F.M. The geometries associated with a certain system of Cremona groups //Amer. M. Soc. Trans. New York, 1916. -17. - P. 233 - 244.

347. Zeuthen H G. Nouvelle demonstration de theoremes sur des series de points correspondants sur deux courves // Math. Ann. 1871. -3.-150-156.

348. Основы исчислительно-конструктивной теории алгебраическихсоответствий многомерных пространств и ассоциированных с нимипроекционных систем»

349. Частные вопросы проблемы решаются в курсовых и дипломных работах студентов указанной специальности, выполняемых под руководством преподавателей кафедры.

350. Зав. кафедрой технологии полиграфического / , ^ У производства, к.т.н., доцент •• I Д.Х. Г'аниев

351. ЗАО "ИЗДАТЕЛЬСТВО "ПОЛИГРАФИСТ-ПМ"1. ИНН 5904020440)4600, г. Пермь, ГСП-621, омсомольский пр., 93 ;лекс: 134115 ДОН акс: (3422) 45-13-20 гл.: 45-30-54, 90-48-23- ■ №а Ваш № .от.

352. Т.2000/134.21 10.08.2000 г.1. СПРАВКА

353. Р/с 40702810449090170595 Ленинское отделение № 22 в Пермском банке АК СБ РФ К/с 30101810900000000603 БИК 045773603 ОКПО 35207163 ОКОНХ 19400