автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Геометрически точные конечные элементы оболочки для моделирования нелинейного деформирования и контактного взаимодействия упругих и электроупругих тонкостенных конструкций

На правах рукописи

ПЛОТНИКОВА Светлана Валерьевна

ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ТОЧНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОБОЛОЧКИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО

ДЕФОРМИРОВАНИЯ И КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГИХ И ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

ТАМБОВ 2013

21 НОЯ 2013

005539408

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»).

Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор

Куликов Геннадий Михайлович

Официальные оппоненты: Лопаницын Евгений Анатольевич,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика» ФГБОУ ВПО «Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ)»

Наседкин Андрей Викторович,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического моделирования ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет»

Шешенин Сергей Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики композитов ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова»

Ведущая организация федеральное государственное бюджетное образова-

тельное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)»

Защита диссертации состоится 12 декабря в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.260.07 ФГБОУ ВПО «ТГТУ» по адресу: г. Тамбов, ул. Ленинградская, д. 1, ауд. 160.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направлять по адресу: 392000, г.Тамбов, ул. Советская, д. 106, ФГБОУ ВПО «ТГТУ», ученому секретарю диссертационного совета Д 212.260.07.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «ТГТУ». Автореферат диссертации размещен на официальном сайте Минобрнауки РФ: www.vak.ed.gov.ru.

Автореферат разослан «_»_2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Сергей Яковлевич Егоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время метод конечных элементов широко применяется в различных областях техники для расчета тонкостенных конструкций под действием механических, температурных, электрических нагрузок и т.п. Однако современное состояние теории конечных элементов нельзя считать удовлетворительным, поэтому число работ, посвященных разработке новых подходов к конечно-элементному моделированию конструкций, продолжает расти.

Одна из проблем состоит в том, что наиболее широко представленные в коммерческих пакетах программ изопараметрические вырожденные элементы, которые рассматривают оболочку как совокупность плоских элементов, в некоторых классах задач показывают невысокую производительность. Альтернативой вырожденным являются геометрически точные элементы, в которых отсчетная поверхность оболочки описывается аналитически заданными функциями, в частности, сплайнами, а векторы перемещений представляются в локальном базисе, связанном с отсчетной поверхностью. Другая проблема состоит в том, что традиционные элементы тонких пластин и оболочек, построенные на основе теории Тимошенко-Миндлина, используют упрощенные соотношения закона Гука, что в некоторых случаях, например, в задачах электроупругости или в контактных задачах, нередко приводит к неудовлетворительным результатам. Отсюда возникает задача разработки эффективных трехмерных элементов оболочки, позволяющих учесть полные уравнения состояния пространственной теории упругости и электроупругости.

Применение композитных материалов, в том числе текстильных композитов, делает актуальным расчет конструкций, подверженных большим перемещениям и поворотам. Традиционный подход к решению таких задач состоит в использовании большого числа шагов по нагрузке (инкрементов), что является вычислительно неэффективным. Таким образом, выбор адекватной математической модели, точно представляющей произвольно большие перемещения и повороты, вместе с эффективным вычислительным алгоритмом является крайне важным.

Другой аспект актуальности связан с применением конечно-элементного подхода к моделированию конструкций с пьезоэлектрическими актюаторами. Во многих практических приложениях, например, в задаче управления формой конструкции в режиме реального времени, решающее значение имеет быстрота программного кода, поэтому эффективность применяемого при расчетах конечно-элементного метода играет большую роль.

Целью диссертационной работы является построение эффективных конечных элементов упругих и электроупругих оболочек, позволяющих учитывать большие перемещения и повороты, в том числе под действием следящих нагрузок и при контакте оболочки с жестким основанием.

Задачи диссертационной работы. Достижение заявленной цели связано с выполнением следующих задач:

• разработка математической модели оболочки, точно описывающей большие перемещения и повороты оболочки как жесткого тела, и позволяющей учесть полные уравнения состояния пространственной теории упругости;

• разработка и обоснование конечных элементов слоистой композитной оболочки, свободных от запирания и позволяющих использование редких сеток;

• разработка эффективных алгоритмов, позволяющих при решении геометрически нелинейных задач использовать малое число шагов по нагрузке, в том числе при учете следящей нагрузки, а также при контактном взаимодействии с жестким телом;

• разработка эффективных методов расчета контакта геометрически нелинейной оболочки с жестким основанием;

• разработка эффективного конечного элемента пьезоэлектрической слоистой оболочки;

• применение пьезоэлектрического конечного элемента для решения задачи оптимизации формы оболочки.

Объектом исследования являются упругие и электроупругие слоистые композитные оболочки, подверженные действию механических (в том числе следящих) и электрических нагрузок.

Методы исследования. Базовым методом исследования является метод конечных элементов. Также используются методы вариационного исчисления, условной оптимизации, численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений, методы полиномиальной аппроксимации.

Научная новизна. Автором получены новые научные результаты, которые выносятся на защиту:

• 7-параметрическая модель слоистой оболочки, точно описывающая произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела в криволинейных конвективных координатах и позволяющая учитывать полные уравнения состояния пространственной теории упругости;

• геометрически точный гибридный элемент оболочки, использующий метод введенных деформаций, основанный на аналитическом интегрировании в пределах элемента, который позволяет решать задачи нелинейного деформирования за малое число шагов по нагрузке с существенным снижением числа итераций в методе Ньютона-Рафсона;

• модель контактного взаимодействия упругой оболочки с жестким выпуклым телом, в которой контактные ограничения оболочки, подверженной большим перемещениям и поворотам, записываются аналитически, что позволяет получать решение контактных задач за малое число шагов по нагрузке и с использованием редких конечно-элементных сеток;

• конечно-элементный подход к решению задачи деформирования оболочки под действием следящего нагружения, основанный на новом вариационном уравнении типа Ху-Васидзу, позволяющий решать задачи в геометрически нелинейной постановке за малое число итераций;

• 7-параметрическая модель пьезоэлектрической оболочки, использующая полные уравнения состояния пространственной теории электроупругости;

• геометрически точный гибридный элемент пьезоэлектрической оболочки, предназначенный для решения связанных актюаторных задач при больших перемещениях и поворотах;

• метод нахождения напряжения, подаваемого на электроды пьезоэлектрических актюаторов, который позволяет приблизить форму оболочки к требуемой за счет минимизации аналитически заданной функции погрешности.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается применением общих уравнений пространственной теории упругости и электроупругости. Результаты расчетов сравниваются с результатами экспериментов, известными аналитическими решениями и численными решениями, полученными с помощью других методов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в разработке методов расчета тонкостенных слоистых упругих и электроупругих конструкций, которые позволяют эффективно моделировать поведение конструкций при больших деформациях с учетом контактного взаимодействия с жестким основанием. Практическая значимость заключается в появлении новых возможностей при проектировании и эксплуатации тонкостенных адаптивных конструкций

из композитных материалов. Разработанный конечно-элементный код позволяет применять его для программирования микропроцессоров адаптивных систем. На основе разработанных в диссертации алгоритмов созданы пакеты программ для ЭВМ, зарегистрированные в Государственном реестре программ для ЭВМ. Исследования, проводимые в рамках диссертации, поддерживались грантами INTAS N 95-0525 (1997 - 1999 гг.); РФФИ/DFG № 98-01-04076; РФФИ № 04-01-00070, № 08-01-00373, № 13-01-00155; АВЦП Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2011 гг.)» № 2.1.1/660, № 2.1.1/10003; государственное задание Министерства образования и науки РФ № 1.472/2011 (2012-2013 гг.). Под руководством автора по тематике исследования защищена кандидатская диссертация по специальности 05.13.18. Разработанный пакет программ используется в учебном процессе на Архитектурно-строительном факультете ФГБОУ ВПО «ТГТУ».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на IX, XI симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов», 1998, 2000 (Москва); Международном симпозиуме «60 лет воссоздания МАМИ», 1999 (Москва); Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», 2002 (Тамбов); International Conference on Computational & Experimental Engineering and Sciences, 2004 (Madeira, Portugal), 2009 (Phuket, Thailand), 2011 (Nanjing, China); International Conference on Computational Structures Technology, 2004 (Lisbon, Portugal), 2010 (Valencia, Spain); Международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», 2004 (Казань); IX Международной научно-технической конференции по динамике и прочности автомобиля, 2005 (Москва); International Symposium on Design Modelling and Experiments of Adaptive Structures and Smart Systems, 2006 (Bardonecchia, Italy), 2007 (Bad Herrenalb, Germany), 2011 (Urspelt, Luxembourg); 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, 2009 (Lisbon, Portugal); II Международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела», 2009 (Казань); 9th Conference «Shell Structures: Theory and Applications», 2009 (Jurata, Poland); International Symposium of Aircraft Materials, 2010 (Marrakech, Morocco); EUROMECH Colloquium «Shell-like Structures - Non-classical Theories and Applications», 2011 (Wittenberg, Germany); International Conference on Mechanics of Nano, Micro and Macro Composite Structures, 2012 (Turin, Italy); IV Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы прикладной механики и прочности конструкций», 2012 (Запорожье, Украина), XIX Международном симпозиуме им. А. Г. Горшкова «Механические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», 2013 (Ярополец, Московская обл.).

Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано 56 работ, из них

39 статей в научных периодических изданиях из Перечня ВАК и международных реферируемых журналах, 9 докладов в материалах всероссийских и международных конференций, получены 7 свидетельств о регистрации программ в Государственном реестре программ для ЭВМ.

Выносимые на защиту результаты получены соискателем лично. В публикациях, написанных в соавторстве, личный вклад автора заключается в; [5, 7, 8, 12, 40, 41, 44] -постановка и формализация задачи исследования; [12, 14, 15, 42, 43] - разработка аналитической модели оболочки, [2 - 4, 6, 9 - 11, 14 - 28, 34, 38,42-43,45 - 49] — построение конечно-элементной модели оболочки; [11, 17, 25 - 28, 45, 47, 49] - формулировка модели контактного взаимодействия оболочки с твердым телом; [3, 7, 8, 10, 12, 13,

40 - 42] - разработка 7-параметрической модели пьезоэлектрической оболочки; [2 - 4, 6, 9-11,14 — 39,42,43,45 - 49] - разработка алгоритмов и их программная реализация.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 265 наименований. Объем диссертационной работы составляет 306 страниц, включая 108 рисунков и 62 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика научного направления, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и основные задачи исследования, раскрывается научная новизна и практическая значимость результатов, дается краткое описание работы по главам.

В первой главе дается анализ современного состояния исследуемых в диссертации проблем. Представлен обзор работ, посвященных пространственным математическим моделям геометрически нелинейных оболочек. Отмечаются работы А. Н. Андреева, В. В. Болотина, К. 3. Галимова, Э. И. Григолюка, Я. М. Григоренко, Г. М. Куликова, Ю. В. Немировского, Ю. Н. Новичкова, В. Н. Паймушина, Р. Б. Рикардса, П. П. Чулко-ва, Койтера, Рейсснера, Сандерса и других ученых.

Проанализированы работы, связанные с построением изопараметрических конечных элементов оболочки в геометрически нелинейной постановке. Существенный вклад в развитие изопараметрических элементов оболочки внесли зарубежные ученые Бате, Же, Зенкевич, Ли, Париш, Рамм, Сансур, Тейлор, Хьюз. Отмечено, что наиболее распространенными являются вырожденные конечные элементы, которые представляют оболочку как совокупность плоских элементов. При расчете нелинейного деформирования оболочки эти конечные элементы обладают существенными дефектами, известными в литературе как сдвиговое и мембранное запирания. Эти дефекты преодолеваются с помощью сокращенного интегрирования в пределах конечного элемента или метода введенных деформаций. Также отмечено, что стандартная конечно-элементная формулировка в форме метода перемещений является слишком жесткой. В связи с этим активно развиваются гибридные конечные элементы геометрически нелинейных оболочек на основе вариационных принципов Ху-Васидзу или Хеллингера-Рейсснера. Особенность гибридных конечных элементов состоит в использовании независимых аппроксимаций деформаций и результирующих напряжений в пределах конечного элемента с последующим исключением дополнительных степеней свободы на элементном уровне.

Альтернативой вырожденным изопараметрическим элементам являются геометрически точные конечные элементы оболочки, основанные на точном описании геометрии оболочки в криволинейных конвективных координатах и способные корректно описать ее мембранно-изгибные связи. Термин «геометрически точный» означает, что коэффициенты первой и второй фундаментальных форм отсчетной поверхности и символы Кристоффеля вычисляются точно в каждом узле. Проанализирована возможность использования метода введенных деформаций для преодоления не только сдвигового, но и мембранного запирания геометрически точного конечного элемента оболочки. Отмечено преимущество использования метода независимых аппроксимаций деформаций и результирующих напряжений для решения геометрически нелинейных задач статики тонкостенных конструкций. Указано, что геометрически точные конечные элементы оболочки, подверженной большим перемещениям и поворотам, построены сравнительно недавно в работах Г. М. Куликова и автора диссертации.

Представлена классификация конечных элементов оболочки с условным разделением их на классы в зависимости от вида используемой теории. Простейшей является 5-параметрическая модель оболочки на основе теории Тимошенко-Миндлина. В этой модели пренебрегают поперечными нормальными деформациями и напряжениями и используют пять степеней свободы в узлах элемента. Это могут быть три перемещения срединной поверхности оболочки и два угла поворота нормали, либо пять перемещений (тангенциальные перемещения лицевых поверхностей и поперечное перемещение срединной поверхности). Хотя построенные на основе 5-парамегрической модели конечные элементы показывают хорошие результаты при расчете тонких оболочек, они не свободны от ряда недостатков. Во-первых, при решении геометрически нелинейных задач с помощью этих элементов

приходится вводить вращательную степень свободы, что не дает возможности точно описать смещение оболочки как жесткого тела. Во-вторых, использование упрощенных соотношений обобщенного закона Гука не позволяет получить корректных решений для некоторых важных задач, например, для пьезоэлектрических оболочек. К лучшим результатам приводит 6-параметрическая модель оболочки, в которой вводится шесть перемещений лицевых поверхностей. Эта модель позволяет точно описать произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела в криволинейных конвективных координатах, однако все еще не позволяет использовать полные уравнения состояния пространственной теории упругости. Причиной является то, что поперечная нормальная деформация распределена равномерно по толщине оболочки. Пространственная 7-параметрическая модель оболочки, в которой наряду с шестью перемещениями лицевых поверхностей дополнительно вводится поперечное перемещение срединной поверхности, является свободной от всех отмеченных выше недостатков. Это достигается за счет линейного изменения поперечной нормальной деформации по толщине оболочки.

Задачи контактного взаимодействия тонкостенных конструкций в трехмерной постановке рассматривались В. М. Александровым, Ю. П. Артюхиным, Л. А. Галиным, Э. И. Григолюком, В. М. Толкачевым, Белычко, Вригерсом, Симо, Тейлором, Штайном и многими другими учеными. С приложением к задачам механики пневматических шин эти задачи изучались А. Е. Белкиным, В. Л. Бидерманом, Э. И. Григолюком, Г. М. Куликовым, С. Л. Соколовым, С. В. Шешениным, Нуром, Ротертом. При этом последний автор ошибочно считал нецелесообразным использование геометрически нелинейной теории оболочек для решения задачи контактного взаимодействия пневматической шины с жестким основанием. Отмечается также, что при решении контактных задач на основе 5-параметрической модели оболочки не удается выполнить условие нулевого контактного давления на границе контактной зоны. Этого недостатка лишена 6-параметрическая модель, однако при ненулевых коэффициентах Пуассона она приводит к завышенной жесткости оболочки в поперечном направлении. На основе анализа литературных источников сделан вывод о том, что 7-параметрическая модель оболочки является оптимальной с точки зрения решения исследуемых в диссертации задач. Она имеет минимальное число степеней свободы, при которых теория оболочек позволяет корректно описывать большие перемещения и произвольно большие повороты, позволяет использовать пространственные соотношения упругости и электроупругости, а также корректно решать задачи контактного взаимодействия оболочки с жесткими выпуклыми телами. Отмечается возможность построения на ее основе принципиально новых геометрически точных элементов оболочки, свободных от всех видов запирания.

Представлен обзор работ, посвященных решению связанной задачи электроупругости для пьезоэлектрических оболочек в пространственной постановке. Важные результаты в этой области получены А. В. Белоконем, А. О. Ватульяном, В. А. Еремеевым, Б. А. Кудрявцевым, Г. М. Куликовым, Г. И. Михасевым, А. В. Наседкиным, В. 3. Партоном, Н. Н. Рогачевой, А. Н. Соловьевым, Бенджеду, Вагнером, Ву-Куоком, Же, Каррерой, Клинкелем и другими учеными. В заключении главы дан анализ работ, посвященных решению задачи оптимизации формы адаптивных тонкостенных конструкций с непрерывно или дискретно распределенными по их лицевым поверхностям пьезоэлектрическими актюаторами.

Во второй главе построена 7-параметрическая модель оболочки. Вначале приведено геометрическое описание недеформированной оболочки. Оболочка толщины И может быть определена как трехмерное тело объема V, ограниченное двумя лицевыми поверхностями П~ и £2+ , а также граничной поверхностью X (рис. 1). Отсчетная поверхность описывается с помощью ортогональных криволинейных координат и 02 , направленных вдоль линий главных кривизн, координата 03 направлена вдоль единич-

ного вектора я3, перпендикулярного отсчетной поверхности. Здесь и в дальнейшем

изложении греческие индексы а, |3 принимают значения 1, 2; латинские индексы /, ], т, п принимают значения 1, 2, 3; индексы /, У означают принадлежность величины к нижней или верхней поверхностям и принимают значения - или +.

Введем следующие обозначения: г = г(61,02) - радиус-вектор произвольной точки отсчетной поверхности; К7 =г + г'а3 — радиус-векторы лицевых поверхностей; аа=га - ковариантные базисные векторы отсчетной поверхности, г' - поперечные координаты лицевых поверхностей. Перейдем к ортонормированному базису еа , е3 , так что аа = Ааеа, а3=е3, где Аа - коэффициенты первой фундаментальной формы отсчетной поверхности. Векторы перемещений и их производные по 93 на лицевых и срединной поверхностях также представим в ортонормированном базисе:

иА=2>,Ае,, рА=иА=2>,Ае,., (А = —,+,М). (1)

Далее обоснованы деформационные соотношения 9-парметрической модели оболочки, а на их базе построены деформационные соотношения 7-параметрической модели. Введены основные допущения 7-параметрической модели оболочки.

П. 1. Полагаем, что тангенциальные перемещения распределены по толщине оболочки линейно, тогда как поперечное перемещение распределено по квадратичному закону, т.е.

«3=2>Х (А =-,+, М; / = -,+);

1 А

А И

17 =ЛГ(ЛГ--ЛГ+), Г =ЛГ+(Л?+-Лг). (2)

П. 2. Полагаем, что тангенциальные и поперечная нормальная компоненты тензора деформаций распределены по толщине оболочки линейно, а поперечные касательные компоненты являются постоянными по толщине:

= 2Х е«Р • £зз = X Н' £зз. ес<з = (е«з + )/2. (3)

I 1

Деформации на лицевых поверхностях вычисляются точно из известных соотношений теории упругости:

2е«р = соДоф + ср^ра + X ^сЛ'р> 2еаЗ = соРа + ^За + X Р/

/ /

2е3/з=2Р^+ХЭ-Р,/; (4)

А/аа = —-и'а а + 5рмр + къи'ъ, Я,ра = г/р_а - , (а * Р),

^■За.-~7~иЗ,а~ка1<а> ^р = . . 4«, р> Ла и р

С(' = 1 + Сг=1 + ЬУ. (5)

Здесь с^ - компоненты геометрического тензора сдвига, - главные кривизны отсчетной поверхности, производные перемещений по поперечной координате находятся из закона (2). Достоинством полученных деформационных соотношений является то, что они точно представляют произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела.

Для получения смешанного вариационного уравнения вводим независимые деформации и полагаем, что они имеют такое же распределение по толщине оболочки, как и зависящие от перемещений деформации:

Ё«Р=1Х^Р, £зЗ=1^'£з'з, ёаЗ=£«3, (6)

I I

Вводим результирующие напряжений для слоистой оболочки по закону

Я«Р =Е КР'Л^з, Наз

" г„_, я 2„ч

"з7з=1 К^'^з, (7)

где О:"' - напряжения на п-м слое (п = \, N),zn - координаты лицевых поверхностей слоев, N - число слоев. Подставляя распределения (3), (6) в пространственный функционал Ху-Васидзу и интегрируя по 03 с учетом (7), получим функционал для

7-параметрической оболочки. Варьируя полученный функционал по независимым переменным, получим смешанное вариационное уравнение типа Ху-Васидзу:

||[бЕт(Н - ОЕ)+ §НТ(Е - е) - 5етН+ Ьгтр\А1А2сВ1еЮ2+ 5Гех1= 0, (8)

а

где v - вектор перемещений; р - вектор поверхностных нагрузок; е и Е - зависящий от перемещений и независимый векторы деформаций; Н - вектор результирующих напряжений; О - материальная матрица жесткости, РГек1 - работа внешних сил на граничной поверхности Указанные здесь векторы имеют следующую структуру:

V = [и, иг Щ И,+ И2 «Г, Р = \р\ Р2 Ръ Р\ Р2 Ръ > Е = [£11 £П е22 Ё22 езз езз 2е12 2е12 2е13 2е23] , Е = [£и £,+[ £22 ^ £33 Е33 2Еи 2Е*2 2Е13 2£23] , Н = [яг, ЯГ, Я2-2 Я22 Я3-3 Я3+3 ЯГ2 Я,2 я,3 я23]т. (9)

В третьей главе на основе 7-параметрической модели построен геометрически точный четырехузловой элемент оболочки. Разбиваем отсчетную поверхность оболочки на прямоугольные элементы в плоскости (0,,02). Отображение элемента на квадрат в плоскости (!;,, представлено на рис. 2. Зададим векторы перемещений и зависимых деформаций в г-м узле элемента ( г = 1, 4 ) V,. и ег. Полагаем, что поле перемещений внутри элемента распределено по билинейному закону

^ = (Ю)

г

где - стандартная билинейная функция формы, которая принимает значение, равное 1, в г-м узле, а в остальных узлах элемента равна 0.

на геометрически точный элемент оболочки в пространстве (дс1, х2, х3).

Учитывая деформационные соотношения (4), зависящие от перемещений деформации в узлах элемента можно записать в виде

ег=ВД1 + (А,.и)и, и = [у[ у] у] у}]Т, (11)

где Вг - аналитически заданные матрицы; А,.- постоянный трехмерный массив

10x28x28 , соответствующий нелинейной части деформационных соотношений (4); Аги - симметричные матрицы порядка 10x28 . Для описания зависимых деформаций внутри элемента применяем билинейну ю аппроксимацию 8

ЕА = X Кгг = X Й, У & Г (г, = О, 1, г2 = О, 1); (12)

Г 1,1

г™ =ВГ1Г2и + (АГ1'2и)и, (13)

где массивы ВПГ2, Хпп выражаются через Вг и Аг.

Для независимых деформаций и результирующих напряжений предложена следующая аппроксимация:

Е=1(У'1Й2)'2<Зг"1Е'1Г2, Н^У^РСГ2^, (14)

1,1 1.1

Еи=кзи£з+зП]\

г-00 гс-оо г-+00 тр-00 г.+00 е--00 77+°° тс-00 1е-+00 ог°0 тс001т ь =[¿11 ¿11 ¿22 ¿22 ¿33 ¿33 ¿¿12 "¿¿12 13 ¿¿23 1 >

Е01 = [Е^ е™ Е$1 г^з1]7, Е10 = [Е£° Е£° Е£° 2^23 ]т,

ттоо ггг-оо гг+оо ТТ-00 гг+оо гг-00 гг+00 тт-00 тг+00 ггоо г/001т н -["ц "11 22 22 "33 33 "12 "12 "13 "23 1 ■

Н01 = [я,Г Я+01 Яз^1 Я3Т Я»1 ]Т, Н10 = [я2-210 Я2+2Ш Яз"з10 Я3+310 Я'«]Т,

Н'^кГЯз-'1]7, (15)

где <2°°- единичная матрица порядка 10x10 , <3°' и О"1 - проективные матрицы порядка 10x5, С}11 — проективная матрица порядка 10x2. Заметим, что из (15) следует, что на элементе вводятся 22 независимые деформационные моды. Учитывая, что неизвестными на элементе являются 28 узловых перемещений, получаем, что элемент обладает шестью степенями свободы, необходимыми для корректного описания перемещения элемента как жесткого целого. Подставляя интерполяции (10) - (14) в вариационное уравнение (8) и интегрируя аналитически, для чего полагаем метрический коэффициент А1А2 постоянным на элементе, получим нелинейную систему уравнений равновесия для элемента

+2АпГ2(и)]Т<3'1''2Н'^ = Р, (16)

где Р - вектор нагрузок, приведенный к узлам элемента.

Для решения нелинейной системы уравнений (16) введем инкрементальные значения перемещений, независимых деформаций и результирующих напряжений. В дальнейшем изложении левый верхний индекс / и / + Л/ означает положение величины в конфигурации / или / + Л/ (можно эти конфигурации рассматривать как состояния деформирования в различные моменты времени). В соответствии с этим обозначением запишем

'+Д,и='и+ди, '+ЛТ='Р+ДР, '+а'Е'1'5='Е'1'5+ДЕ'1':2,

где Ди, ДР, ДЕ'1" и Д НГ,Г2 - приращения соответствующих величин на текущем шаге по нагрузке. Подставляя (17) в систему уравнений (16) и учитывая, что в каждой

конфигурации t внешние силы уравновешиваются компонентами второго тензора напряжений Пиола-Кирхгофа, получим систему нелинейных уравнений на текущем шаге

ДЕ™ = (<31 '2 )Т [' + Агл (ди)]ди, Д1Г''2 = ТУ1''2 ДЕГ|Г2, X ~ТТг{2[а-^2 (Ди)]1^г,г2 ' НГ|,Ч ['М'1'2 +2А^(Аи)]>^ДН^}=ДР, (18)

где

'Мгл =ВГЛ +2АГ1Г2('и), Б'1'2 =(д'1''2)ТВО'5'5. (19)

Решаем полученную систему уравнений методом Ньютона-Рафсона. В качестве начального приближения берется решение линейной задачи. Для улучшения скорости сходимости итерационного процесса используется метод несовместимых мод, согласно которому сначала уравнения (18) линеаризуются, а затем из линеаризованной системы исключаются ДЕГ,Г2 и А ¡Г1'2 . В итоге, приходим к системе линейных уравнений для

приращения вектора узловых перемещений элемента Ди^' на к-Й итерации метода Ньютона-Рафсона:

КтДиМ=ДРМ, (20)

где Кт = Кс + Кн - тангенциальная матрица жесткости; др'*' - правая часть системы, которые находится по правилу

К0 =

п,^'1 2

кн ('н™ +ДНглИ)] А™,

1,1 3 1 ^

'Ьт2[*:]=В1'5 +2А'1'5('и + Ди[*1), Б'1''2 = <3'1Г21)'1''2 ((У2 )Т. (21)

Уравнения равновесия (20) для каждого элемента затем собираются в ансамбль с помощью стандартной процедуры. Полученное глобальное уравнение равновесия решается на каждой итерации методом Холецкого. Для окончания итерационного процесса используется условие

||дй£+11-дй£]||<е„||дй£]|, (22)

где ||.|| означает Евклидову норму; \]а - глобальный вектор узловых перемещений; бд, - заданная точность.

Сравнение расчетов по 7-параметрической модели с известными аналитическими решениями задач линейной теории упругости Власова для пластин и Варадана и Баска-ра для цилиндрических оболочек показывает, что для тонких пластин и оболочек, когда отношение линейных размеров к толщине оболочки 5> 50, погрешность модели составляет менее 2%.

10

Рассмотрена оболочка, представляющая собой полусферу, в верхней части которой вырезано отверстие 18°. Оболочка нагружается на экваторе двумя парами противоположно направленных сил, как показано на рис. 3, там же приведены геометрические и механические параметры задачи. Этот один из наиболее распространенных нелинейных тестов характерен тем, что в нем оболочка подвергается большим перемещениям и поворотам, но при этом ее растяжения малы. Таким образом, этот тест проверяет способность элемента, описывать большие перемещения оболочки как жесткого целого. В таблице 1 приведены перемещения срединной поверхности в точках приложения силы, полученные с помощью разработанного в диссертации геометрически точного элемента GEX7P4 и с помощью изопараметрического элемента S4R, используемого в пакете ABAQUS. Как видим, они отличаются менее чем на 1%, но если геометрически точный элемент позволяет рассчитать деформированную конфигурацию, изображенную на рис. 3, за 1 шаг по нагрузке (NStep) и 7 итераций метода Ньютона-Рафсона (Niter), то элементу S4R для этого требуется 27 неравномерных шагов по нагрузке и 136 итераций метода Ньютона-Рафсона.

Free

Р/2 й= 10,^ = 0,04,£=8,625xl07,v = 0,3, Р = 100/ /= 4

Рис. 3. Сферическая оболочка с под действием сосредоточенных сил; геометрия и деформированное состояние

1. Перемещения точек А и В сферической оболочки при en = 1(Г

GEX7P4 4x4 GEX7P4 8x8 GEX7P4 16x16 S4R (ABAQUS) 16x16

"з(В) 3,2690 3,9599 4,0608 4,067

-из(А) 7,0480 8,098 8,1312 8,178

NStep/NIter 1/7 1/7 1/7 27/136

Далее рассмотрена разрезанная по радиусу кольцевая пластина, геометрия которой изображена рис. 4, а. Один край разреза жестко закреплен, а к другому приложена нагрузка Р. На рис. 4, б приведена деформированная конфигурация пластины. Перемещения в точках А и В приведены в табл. 2 и на рис. 4, в. При расчетах использовалась равномерная сетка геометрически точных элементов. Также приведено сравнение с расчетами с помощью изопараметрического элемента 8114 из пакета АВЛриЗ. Как видим, при расчете на экстремально редкой сетке 2x4 с помощью элемента ОЕХ7Р4 получаем 91% от эталонного решения, полученного с помощью элемента 8Я4.

а) б) в)

Рис. 4. Разрезанная кольцевая пластина:

а - геометрия; б — деформированная конфигурация; в - перемещения срединной поверхности

В четвертой главе строится геометрически точный элемент оболочки, подверженной действию следящих нагрузок при больших перемещениях и поворотах. Полагаем, что действующие на оболочку нагрузки имеют следящий характер, т.е. направление действия нагрузки зависит от деформированной конфигурации оболочки. В практически значимых задачах, а именно при моделировании поведения оболочки под действием ветровых нагрузок, под действием внутреннего давления и т.п., вектор нагрузки направлен по нормали к деформированной нижней или верхней поверхности оболочки. Следовательно, для моделирования поведения оболочки под действием следящих нагрузок требуется получить уравнение нормали к деформированным лицевым поверхностям оболочки.

2. Перемещения точек А и В кольцевой пластины при Ю^1

вЕХ7Р4 2x4 вЕХ7Р4 4x8 СЕХ7Р4 16x32 вЕХ7Р4 10x80 Б4Я (АВАОШ) 10x80

и3(А) 12,742 12,578 13,670 13,765 13,891

и3(В) 16,029 16,096 17,307 17,402 17,528

№1ер/МПег 1/6 1/7 1/10 1/13 67/346

Точные значения вектора нормали к деформированным лицевым поверхностям оболочки в скалярной форме запишем в виде

Л Т

=^Лз2Л2 = -Х'М +Х'п),

+Ы22)-\[2\'21, V =<1{г\1?+Ш+Ш, (23)

где А/ар, Х'3а, с'а вычисляются по формулам (5). Для определенности полагаем, что следящая нагрузка действует на верхней поверхности оболочки и что вектор нагрузки имеет фиксированную длину р и направлен по нормали к поверхности :

р +=/£>,Ч, „;= ЛГ/Т1+. (24)

Учитывая, что компоненты вектора нормали к лицевым поверхностям являются функциями от перемещений, получим смешанное вариационное уравнение для оболочки под действием следящей нагрузки

Ц[бЕт (Н - БЕ)+ 5НТ (Е - е) - 5ЕтН + +5^ех1=0, (25)

п

где вектор зависящих от перемещения нагрузок имеет вид

£р = р[о 0 0 «2 "з °]Т- (26)

Переходим к построению геометрически точного конечного элемента оболочки, подверженной действию следящих нагрузок. Используя формулы (5), вычисляем компоненты векторов нормали к лицевым поверхностям в узлах элемента:

лГди)

»и и> = ^> (27)

Тогда значение вектора р в узлах элемента

рди) = -[о о 0 «Гди) и^ди) «з+ди) о]Т. (28)

Внутри элемента вводим билинейную аппроксимацию вектора нагрузок:

р(и) = £^рДи). (29)

г

Подставляя соотношения (10), (12) - (14), (29) в вариационное уравнение (25), получим систему нелинейных уравнений

Е1<-2 ^^[в-к +А^(и)]и, Н'1'5 ,

[вГ1Г2 + 2А™ (и)]Тд1'5Н^'1 = ?Г(и). (30)

Применяем для решения полученной системы инкрементальный поход в Лагран-жевой формулировке. Наряду с перемещениями U, модами независимых деформаций EV2 и результирующих напряжений НГ,Г2, приращения которых определяются формулами (17), введем также приращения длины вектора следящей нагрузки: 1+А'р—р + &р . Получив систему уравнений равновесия на текущем шаге по нагрузке, линеаризуем полученные уравнения и исключаем на элементном уровне независимые деформации и результирующие напряжения. В итоге получаем систему линейных уравнений вида (20), где тангенциальная матрица жесткости находится по правилу KT=KD+KH+KL. Матрица KL, отвечающая действию следящего нагружения, и правая часть системы находятся по формулам:

дрМ = _£_!_!< LV2[*1)T Dvi [/ LV2 W_A<w (дим 2rV5 V2, +

пл ^ П

+ ('p + Ap)F('U + AU[tl)-'pF('u). (31)

Для верификации модели рассмотрено изображенное на рис. 5, а изотропное кольцо под действием неравномерно распределенного следящего давления р(<р) = р0(1 — ecos2tp). Вследствие симметрии четверть кольца моделировалась с помощью равномерных 18x1 сеток. Расчеты выполнены с помощью разработанных геометрически точных элементов оболочки GEX7P4F и GEX7P4 с учетом и без учета следящего нагружения.

r= 100, h= 1,6= 1,£ = 2,1x107,v = 0,3 a)

Рис. 5. Кольцо под действием следящей нагрузки:

а - геометрия; б - перемещения срединной поверхности

с учетом следящего нагружения (-) и без учета (-----)

В таблице 3 приведены значения поперечного перемещения и^1 в точках А и В, полученные путем использования разного числа шагов по нагрузке NStep, и показано полное число итераций Niter, необходимых для достижения заданной точности eN =Ю~6 согласно критерию сходимости (22). На рисунке 5, б показано, что найденные значения перемещений хорошо согласуются с аналитическими решениями, полученными Сейдом и Джамджумом. Отметим, что, во-первых, решение задач изгиба кольца под действием следящего давления возможно без привлечения инкрементального подхода (NStep = 1) и, во-вторых, число шагов по нагрузке не оказывает влияния на расчетные значения перемещений.

3. Поперечное перемещение и3=н3 /г в точках А и В кольца при е = 1 и р0 = 3

NStep = 1 NStep ~ 5 NStep = 10

Элемент й3(А) -"з(В) Niter а3(А) -"з(В) Niter и3( А) -и, (В) Niter

GEX7P4F 0,3660 0,8407 7 0,3660 0,8407 25 0,3660 0,8407 50

GEX7P4 0,3554 0,8220 6 0,3554 0,8220 18 0,3554 0,8220 30

В пятой главе диссертации построен геометрически точный конечный элемент для моделирования контактного взаимодействия оболочки с жестким выпуклым основанием при больших перемещениях и поворотах. Полагаем, что граница выпуклого жесткого тела £1Ь (рис. 6) является достаточно гладкой, и описываем ее уравнением

¥(х) = 0, (32)

где х = — радиус-вектор точек поверхности 0,ь. Полагаем, что для внешних

I

точек твердого тела выполняется неравенство

Ч'(х)>0. (33)

Уравнения (32) и (33) можно рассматривать как условия непроникания. В точках, контактирующих с твердым телом, выполняется равенство (32), а в точках, где оболочка не вступает в контакт с твердым телом, неравенство (33). Условия непроникания являются нелинейными и могут быть выражены аналитически при произвольно больших

деформациях оболочки через перемещения точек поверхности Поверхность £2+ можно представить в виде объединения двух различных частей С2+ = и ,

где - часть верхней поверхности оболочки, вступающая в контакт с жестким телом, - свободная от контакта часть

поверхности, на которой возможно действие внешних сил. В случае, когда между поверхностями контакта нет трения и

сцепления, контактное давление р* действует по нормали к поверхности контакта, так что можно записать

Рс = -Р>6 2 0, (34)

Рис. 6. Контакт оболочки с твердым телом

где пй - вектор единичной нормали к поверхности твердого тела С1Ь .

Из условий (32) и (34) следует выполнение уравнения

рс+(я+)ч,(й+) = 0, Й+=Я++и+, и+=м,+ к;, (35)

где Л+ и И* - радиус-векторы поверхности , соответствующие начальной и деформированной состояниям оболочки; и+ - вектор перемещений поверхности .

Для того чтобы ввести контактные ограничения в вариационную формулировку (8), воспользуемся методом множителей Лагранжа с регуляризацией, добавив отвечающее за контактное взаимодействие слагаемое к функционалу Ху-Васидзу J^m:

J рт — 'Л I

11

£2С

2е

(18,

где Л.(к+)<0 - множитель Лагранжа; е>0 - параметр регуляризации. Используя условие стационарности функционала J?L по отношению к независимым переменным, получим вариационное уравнение

Ц[бЕт(Н -БЕ^6НТ(Е-е)-5етН+ 5утр] А1А2сЮ1сЮ2-* 1 А^еЮ 1М2+81Ге'" =0,

(36)

где вариация функции непроникания имеет вид

5Ч'(к+)=^гас1Ч'(й+)5и+,

причем существует следующая зависимость между контактным давлением и множителем Лагранжа:

/^ф+^гас!^)!. (37)

При построении уравнения равновесия элемента применяем билинейные интерполяции (10), (12) и (14), которые позволяют аналитически вычислить интегралы в вариационном уравнении (36). Исключая на элементном уровне узловые значения множителя Лагранжа Хг и приравнивая к нулю множители при вариациях перемещений, независимых деформаций и результирующих напряжений, получим систему нелинейных уравнений

1.13'1

(38)

где А, - вектор значений множителя Лагранжа и 2 - матрица градиентов функции непроникания в узлах элемента имеют вид

X — [Л.| Х-2 Х4

Г, *,=

ООО

дЧ'

ди*г Э«2Г Эм

0

"4х, о7х, о7„ о7х1

1 07Х1 07х1 о7х1 (39)

4 о7х1 о7х1 о7х,

»7X1 о7х1 о7х1 .

Дополнительно приравнивая к нулю множитель при 8ХГ в вариационном уравнении (36), получим с учетом (32), (33) и (37) следующие соотношения:

= -Хг, Хг<0 при ге /с,

е

4>г >0, Хг =0 при г£/с, (40)

где 1С сг {1, 2, 3, 4 } - множество узлов элемента, находящихся в контакте с твердым телом.

Для решения системы уравнений и неравенств (38), (40) применяем инкрементальный подход. К введенным ранее инкрементальным соотношениям (17) добавим

следующее: . По алгоритму, описанному выше, получаем систему урав-

нений равновесия на текущем шаге по нагрузке, линеаризуем полученные уравнения и исключаем на элементном уровне независимые деформации и результирующие напряжений. В итоге получаем систему линейных уравнений вида (20), где тангенциальная матрица жесткости находится по правилу Кх = Кп +КН +еКс . Правая часть системы

и матрица Кс , отвечающая действию контактного давления, находятся по формулам:

ДР

м _

др- 3_{('ь'№1*1)ТВ1'5 ['ь^-А'1'2 (дим)]+

+21Г1Г2 (о'1''2 'Н^2)}дим -е(30)|,и+ди

"ж, о7х7 о7х7 о7х7"

Кс = 07х7 ае2 о7х7 о7х7

С о7х7 о7х7 ае3 о7х7

о7х7 о7х7 о7х7 ае4

(41)

Здесь 0- вектор вида 0 = [0, 02 03 04] т, компоненты которого вычисляются по правилу

-г-пр" ге:пс: (43,

1+&1 т

'I

[О, при г<£,+а'1с,

где жг - матрицы порядка 7x7, которые задаются следующим образом: аег =07х7 при г г '+Л//С, а ненулевые компоненты остальных матриц вычисляются как

(авг)з+;,з+; -

' Э2Ч> Э¥ ЭТ

хр * г 1

при г б '+Л7С. (44)

'и+ди[*1

При формировании матрицы Кс мы полагали, что для каждого элемента известно множество узлов ,+Л,/с, входящих в контакт на текущем инкременте. Однако в общем случае множество таких узлов заранее не известно и его требуется определить. Для решения этой задачи используется метод проб и ошибок. На начальной итерации этого метода выбирается пробная зона контакта, т.е. задается множество узлов, входящих в контакт с{1, 2,..., ЛГпос1е}. Для заданной зоны контакта находится глобальный вектор узловых перемещений на текущем шаге по нагрузке '+Л,ие. Если зона контакта найдено верно, то для каждого узла должны выполняться неравенства:

,+ДГио > 0, при (45)

<0, при (46)

Если в каком-либо узле неравенство (45) не выполняется, то этот узел исключается из множества '+Л'/<? , если же не выполняется неравенство (46), то соответствующий

узел включается в множество '+Л'/® . Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока во всех узлах не будут выполнены неравенства (45), (46).

Для верификации построенной модели рассмотрена круговая арка, обжимаемая на жесткое основание сосредоточенной силой Р, приложенной в верхнем сечении А, как показано на рис. 7. Эта задача исследовалась в ряде работ с целью изучения проблемы контактного взаимодействия тонкостенных конструкций, подверженных большим перемещениям и произвольно большим поворотам. Однако в указанных работах рассматривался только частный случай контакта с плоским основанием при Яь = <*>. В силу симметрии задачи моделировалась половина арки с помощью равномерной сетки из 30 или 60 элементов СЕХ7Р4С. В таблице 4 приведено исследование сходимости в случае контактного взаимодействия арки и цилиндра радиуса Яь =1000 . Как видим, расчетное

значение для безразмерной результирующей контактного давления Рс при уменьшении шага сетки приближается к точному значением безразмерного усилия Р = 120РИ2/ЕЪъЬ , приложенного к арке. При удачном выборе начальной зоны контакта решение задачи можно получить за один шаг по нагрузке. Результаты расчета по разработанной модели хорошо согласуются с результатами Нура и Кима.

= 104, v = О, /г = 100, 6 = 1, А = 1

/?6 = оо,Р = 88,4,е = 104

Ль = 1000, ? = 88Д е = 104 Д6 =100, Р = 83,2, е = 102

Рис. 7. Контакт круговом арки с жестким цилиндром:

я - геометрия; деформированная конфигурация: б-Я» = со; е-Яь = 1000; г-Яь = 100

4. Исследование сходимости для круговой арки под воздействием безразмерного усилия Р = 88,5 в контакте с жестким цилиндром радиуса Яь = 1000, где <р0 = тс/60, </, = [10ф„, 12<р0] и (1г = [11 фо, 12ф0]

Начальная зона контакта Сетка е ^ер ИТЕ Шсг Расчетная зона контакта Рс -»зМ (А)

{0} 30x1 ю1 2 22 132 {0}Щ 88,95 198,4

{0} 30x1 ю4 4 28 70 {0}Щ 88,95 198,4

{0} 60x1 ю1 2 38 231 [0,Фо]и^2 88,61 198,8

{0} 60x1 ю4 5 57 277 [0, (р0 ] и с/2 88,61 198,8

{0}Щ 30x1 101 1 1 10 {0}Щ 88,95 198,4

{0} и ¿/, 60x1 ю1 1 10 90 [0,Фо]и^2 88,61 198,8

Совместив рассмотренный подход к моделированию контактного взаимодействия с методом учета следящего характера внешних нагрузок, изложенным в четвертой главе, получим конечно-элементную модель контакта оболочки с жестким выпуклым телом под действием следящих нагрузок.

В шестой главе построена конечно-элементная модель слоистой пьезоэлектрической оболочки, подверженной большим перемещениям и поворотам. Рассмотрим оболочку, состоящую из N тонких слоев постоянной толщины /;„ = х„ , включая пьезоэлектрические слои, где 2п - поперечная координата поверхности £2„ . Полагаем, что электрический потенциал распределен по толщине пакета слоев согласно гипотезе ломаной линии

„ [о, е3еи„-1,2„]

К -е3), К = ±(е3-г^), е3е [г„_!, *„], (49)

К К

где (0,, 02), ф,, (в 1, 02) - значения электрического потенциала на нижней и верхней поверхностях п-го слоя.

Связь между вектором напряженности электрического поля Е и электрическим потенциалом ф определяется посредством известного в электростатике уравнения Ё = —Уф. Таким образом, вектор напряженности электрического поля имеет следующее распределение по толщине /1-го слоя:

4") Е\=-±(ф(1-ф„;1),

К

=~ф„.«. (50)

Аа а

где - тангенциальные и поперечная компоненты вектора напряженности электрического поля л-го слоя.

Вводя распределения (2), (3), (6), (49), (50) в смешанное вариационное уравнение пространственной теории пьезоэлектричества, получим вариационное уравнение типа Ху-Васидзу для 7-параметрической пьезоэлектрической оболочки

д[5ет (н - бе + 0„фе> 5ёт (оф„е + бф9ё)+

п

+ 5нт(е-е)-5£тн + 5утр + 5хтч] а^^св2+5^ем=0, (51)

где Ож?, 1),?ф - пьезоэлектрическая и диэлектрическая матрицы; С] - вектор поверхностных зарядов на внешних поверхностях оболочки и поверхностях раздела слоев; % — вектор электрических потенциалов на внешних поверхностях оболочки и поверхностях раздела слоев; Е - вектор напряженности электрического поля

Х = [ф0 ф,... фууГ,

ё = [(ёо)т (ё'2')т ... (ё^')т]т, ё<"> = [£**- (52)

В следующем параграфе построена конечно-элементная модель пьезоэлектрической оболочки. Применяя билинейную аппроксимацию внутри элемента для векторов электрических потенциалов и напряженности электрического поля, и выражая моды напряженности электрического поля через значения электрического потенциала в узлах элемента

Ё™ =-В^Ф, Ф = xl x¡ xj]T, (53)

получим систему нелинейных уравнений равновесия для элемента Enr2 = (Q™)t[bví + A^íujü, н^ = (q™ )tdq'1'5EV2 + (q'1'5 )тбифв^ф,

e-^v''5 +2av2(u)]tq'lr2hri'i =f, l.'i3

x¿(bí,)tk)iqwew -dwb^a,]=f,. (54)

Применяем для решения системы нелинейных уравнений (54) метод Ньютона-Рафсона. При решении актюаторной задачи для оболочки, когда напряжение, подаваемое на электроды, известно, система линейных уравнений на к-й итерации метода Ньютона-Рафсона, имеет вид (20), где вектор правых частей системы вычисляется следующим образом:

afw = f- ^ —^(lv2w)t[drir2mv2wuw + q'1''2(qv2fn^2],

i. п ^

Min W = (Bin + Ani |j[4 )u[t]) nV2 = D^B^2 Ф. (55)

Для верификации построенной модели результаты расчетов сравнивались с экспериментальными данными, полученными Кроли и Лазарусом и аналитическими решениями, найденными Рэем, Pao и Саманта. Получено качественное совпадение результатов. Также была решена задача нелинейного деформирования анизотропной консольной пластины с сегментированными пьезокерамическими накладками, получено удовлетворительное совпадение с результатами Тана и Ву-Куока, причем если для нахождения деформированного состояния пластины под действием электрической нагрузки <рА = 1576 В указанным авторам потребовалось 10 шагов по нагрузке, то в диссертации задача решена за один шаг по нагрузке и 10 итераций метода Ньютона-Рафсона.

Также в шестой главе решается задача оптимизации формы оболочки, подверженной электромеханическим воздействиям. Разработанная модель позволяет определить напряжения на пьезоэлектрических актюаторах, приближающих форму конструкции к заранее заданной. Задача сводится к минимизации функции погрешности, которая задается как разность между деформированной формой оболочки и аналитически заданной функцией требуемой формы.

В седьмой главе приведены результаты численного моделирования нелинейного деформирования тонкостенных конструкций на основе разработанных геометрически точных конечных элементов оболочки.

Рассмотрена трехслойная композитная гиперболическая оболочка при различных направлениях армирования, которая уравновешивается двумя парами противоположно направленных сил (рис. 8, а). На рисунке 8, в приведены перемещения срединной поверхности в направлениях осей Ох и Оу, приведено сравнение с результатами, полученными в работах Басара при расчетах соответственно на сетке 28x28 вырожденных элементов с билинейной аппроксимацией перемещений. Для более жесткой гиперболической оболочки с углами армирования [0/90/0] конечный результат может быть получен с помощью элемента ОЕХ7Р4 всего за один шаг по нагрузке и 7 итераций метода Ньютона. Для более мягкой оболочки с направлениями укладки слоев [90/0/90], деформированное состояние которой приведено на рис. 8, б, для достижения конечного результата в зависимости от сетки требуется от 2 до 6 равномерных шагов по нагрузке.

г = 7,5, Я — 15, ¿ = 20, к = 0,04, Яь = 4х107, £т = Ю6,

вьт = Спт = 6х 105, Уьт = Утт = 0,25, Р = 80/, /= 5

-8 -6 -4 -2 0 2 4

а) 6) в)

Рис. 8. Трехслойная гиперболическая оболочка под действием сосредоточенной нагрузки :

а - геометрия; б - деформированная конфигурация; в - перемещения срединной поверхности

Далее моделировались оболочки вращения сложной геометрии. Рассмотрены оболочки, отсчетная поверхность которых получена вращением кривой, причем эта кривая описана конечной совокупностью принадлежащих ей точек. В этом случае геометрические параметры отсчетной поверхности находились путем вычисления производных сглаживающих кубических сплайнов. Была решена задача деформирования секции полиуретановой шины под действием концентрированной силы.

Также рассмотрена торообразная изотропная оболочка под действием следящей нагрузки. Сравнение результатов расчетов с помощью элемента вЕХ7Р4Р и элемента ОЕХ7Р4 показало, что в этой задаче влияние следящего характера нагружения является существенным.

Далее моделировалось контактное взаимодействие цилиндрической оболочки, на которую действует сосредоточенная сила с абсолютно жестким цилиндром радиуса Яь, ось которого перпендикулярна оси цилиндрической оболочки (рис. 9, а). В силу симметрии задачи рассчитывается четвертая часть оболочки с помощью равномерной сетки 10x30 или 20x60. В таблице 5 приведены результаты исследования

сходимости при контакте с жестким цилиндром радиуса ^¿,=1000. Здесь и^(А) и

и™ (В) - поперечные перемещения в точках А и В оболочки, Р = 120(1 -У2)РЯ21Е^Ь -

безразмерное усилие, приложенное к оболочке, и Рс - безразмерная результирующая контактного давления. На рисунке 9, б показана деформированная конфигурация цилиндрической оболочки при Р = 87,5.

Д = 100, Яь= 100,1 = 200, А = 1, Е= 104, V = 0,3

а) б)

Рис. 9. Контакт цилиндрической оболочки с жестким цилиндром:

а - геометрия; б - деформированное состояние

5. Исследование сходимости для цилиндрической оболочки при Р = 87,5, Яь = 1000, = ЮЛ где фо = я/60, = {40}х[0; 14ф0] и йг = [0; 40]х{14ф0}

Начальная зона контакта Сетка е Жер ЖЕ Шег Рс -»зМ (А) -«зМ (В)

{0}х{0} 10x30 10° 5 42 231 87,90 194,3 193,5

{0} X {0} 10x30 102 5 45 259 87,90 194,3 193,5

{0} X {0} 20x60 10° 5 51 296 87,60 195,7 194,7

{0} х {0} 20x60 102 5 62 335 87,60 195,7 194,7

а^Шг 10x30 10° 1 4 35 87,90 194,3 193,5

10x30 ю2 1 6 53 87,90 194,3 193,5

11 с12 20x60 10° 1 5 43 87,60 195,7 194,7

с1х и а2 20x60 ю2 1 5 41 87,60 195,7 194,7

В следующем параграфе рассмотрена анизотропная перекрестно армированная резинокордная торообразная оболочка кругового поперечного сечения, нагруженная равномерно распределенным по внутренней поверхности давлением р0 (рис. 10, а). Оболочка состоит из четырех слоев толщины Ик = 1,2 мм каждый, направление укладки слоев [—45/45/—45/45]. Исходные характеристики элементарных резинокордных слоев выбираем так, чтобы с помощью этой оболочки можно было моделировать поведение диагональной шины. В качестве отсчетной поверхности примем срединную поверхность оболочки, которая образована вращением части окружности радиусом Л = 50 мм. Расстояние от оси вращения до экватора срединной поверхности Я0 = 250 мм, сечения оболочки с координатами ±120° жестко защемлены. Решение этой задачи может быть найдено за один шаг по нагрузке, точность Едг = 10_6 достигается за 5 итераций. Как показано на рис. 10, б, влияние следящего нагружения в данном случае незначительно.

Далее та же самая оболочка, нагруженная равномерно распределенным по внутренней поверхности давлением р0 = 0,5 МПа, обжимается на плоское или цилиндрическое основания путем перемещения последних на величину Д таким образом, что защемленные сечения оболочки с координатами ±120° остаются неподвижными. Результаты расчета с помощью нерегулярных конечно-элементных 48x36 сеток при е = 104 показаны на рис. 11. Здесь также решение может быть получено за один шаг по нагрузке, однако влияние следящего давления проявляется в большей степени. Так погрешность вычисления результирующей узловых контактных сил с учетом и без учета следящего нагружения составляет 17,8%. Дополнительно на рис. 10, в представлена зависимость контактного давления р* от координаты 0[ в центральном сечении оболочки при Я/, =1000 мм и Д = 17 мм. Полученные результаты подтверждаются экспериментальными данными о том, что максимальные значения контактного давления в шине смещаются к границе контактной области.

о

Еь = 510,45 МПа, Ет = 6,91 МПа, бит = 2,33 МПа, Стт = 2,33 МПа, п.т = 0,46,

а)

о

6)

2

3

4

Рис. 10. Перекрестно армированная торообразная оболочка:

а - геометрия и механические характеристики; 6 - кривые нагрузка-прогиб с учетом следящего нагружения (-) и без учета (-.....)

а) б) в)

Рис. П. Контакт торообразной оболочки с плоскостью:

а - деформированное состояние сечения; б - кривые нагрузка-прогиб

с учетом следящего нагружения (-) и без учета (-----■):

1 - Яь = 2 - = I ООО мм; в - распределение контактного давления

Также рассмотрена спиральная оболочка (рис. 12, а), изготовленная из пьезокера-мики Р2Т-5Н. Спиральная оболочка, выполняющая функции актюатора, состоит из четырех полных витков. Лицевые поверхности оболочки покрыты электродами, на которые подается напряжение фА = 100 В. Оболочка моделировалась регулярными конечно-элементными сетками. В таблице 6 дан анализ сходимости предложенного геометрически точного элемента оболочки. Приведено сравнение с результатами, полученными путем использования трехмерного изопараметрического элемента из коммерческого пакета программ АВАСЩЗ. Как видим, значения поперечного перемещения на свободном крае хорошо согласуются друг с другом. Эти данные также свидетельствуют о возможности использования достаточно редких конечно-элементных сеток. Дополнительно на рис. 12, б показана зависимость перемещений срединной поверхности оболочки от окружной координаты при (рА = 2000 В.

Далее была рассчитана трехслойная ортотропная гиперболическая оболочка с направлениями укладки слоев [90/0/90] с механическими характеристиками материала: Еь = 4><107 Н/см2, Ет = 106 Н/см2, бгт = Стт = 6хЮ5 Н/см2, = утт = 0,25.

а) б)

Рис. 12. Спиральный актюатор под действием электрической нагрузки:

а - геометрия; б - перемещения срединной поверхности: нелинейное решение (—е—) и линейное решение (—$—)

6. Окружное перемещение граничной точки

Элемент ОЕХ7Р4Е С308Е

Сетка 1x16 2x16 4X16 1x32 2x32 4x32 1x64 1x128 (АВА<Зи8)

- и™, |Л.м 2,109 2,102 2,100 2,625 2,620 2,619 2,503 2,460 2,59

м и г , Цм 58,18 58,16 58,15 59,95 59,88 59,87 60,55 60,72 41,47

В центральной части оболочки на ее лицевых сторонах размещены восемь пьезоэлектрических накладок из материала, ненулевые механические и пьезоэлектрические константы которого Е = 20 ГПа, б = 7,7 ГПа, v = 0,3, <я?3] = й?32 = 2* 10~9 м/В. Геометрия оболочки и конечно-элементная сетка 16x16, использованная при вычислениях, показаны на рис. 13, а. В плоскости г = 0 гиперболоид симметрично нагружается двумя парами растягивающих и сжимающих сил величиной Р = 200 Н. Пьезоэлектричекие накладки на внутренней и внешней поверхностях оболочки поляризованы в противоположных направлениях, параллельных поперечной координате 03. К электродам, расположенным на внешних поверхностях пьезоэлектриков, прикладываются электрические потенциалы разных знаков (рА и - (рА , что приводит к устранению механической деформации оболочки. Таким образом, возникает возможность управления процессом деформирования тонкостенных композитных конструкций за счет использования обратного пьезоэлектрического эффекта (рис. 14). На рисунках 13, б и в показаны перемещения срединной поверхности оболочки их и иу в точках А, В, С, Б, где их , иу - перемещения в направлении осей ох и оу, соответственно. Как видим, приложенное к электродам напряжение величиной 1960 В практически возвращает оболочку к ее недефор-мированному состоянию.

а) б) в)

Рис. 13. Гиперболическая оболочка с сегментированными РгТ-актюаторами:

а - геометрия; перемещения срединной поверхности гиперболической оболочки в точках А, В, С, Д; б-при фА = 0; в - при 200 Н

Рис. 14. Конфигурация оболочки при:

а~/? = 0,фА = 0;б^ = 200Н, фА = 0; 200 Н, фА= 1000 В;

г—Р— 200 Н, фА = 1960 В

В следующем параграфе обсуждаются результаты решения задач оптимизации формы пластин и оболочек при электромеханическом воздействии. Рассмотрена жестко закрепленная при х = 0 пластина со стороной а = 0,2 м, геометрия которой приведена на рис. 15. Основу пластины составляет четырехслойный углепластик А84/3501 с укладкой слоев [90/0]8. На лицевых поверхностях пластины имеется по 25 квадратных накладок из пьезокерамики 195. Пластина моделируется сеткой 10x10 элементов, так что каждая накладка занимает 4 элемента.

6,1

ф. ф|() ф:() ф.. ф. Ф4) Ф]4 ■ <(>;;:

0,254 мм

Рис. 15. Пластина с 50 пьезокерамическими накладками

Ставилась задача привести пластину к форме, задаваемой уравнением г = 0,1х(у — а/2) (рис. 16, а). На рисунке 16, б приведена деформированная форма пластины, полученная в результате решения задачи оптимизации формы. Оптимальные напряжения на накладках, расположенных на поверхности , приведены в табл. 7. Напряжения на накладках, расположенных на поверхности С2~ , по абсолютной величине совпадают с приведенными в табл. 7, но имеют противоположный знак.

7. Напряжения на пьезокерамических накладках (В)

ф> Ф2 Фз Ф4 Ф5 Фб Ф7 Ф8 Ф<, Фю Фц ф|2 Ф[3

-252 -181 0 181 252 -147 -4 0 4 147 -137 1 0

Ф14 Ф15 <¡>16 Ф17 Ф18 Ф19 Ф20 Ф21 ф22 ф23 Ф24 ф25

-1 137 -70 -2 0 2 70 45 29 0 -29 -45

а) б)

Рис. 16. Деформированная прямоугольная пластина:

а - заданная форма; б - расчетная форма

В последнем параграфе диссертации моделируется деформирование тонкостенных конструкций при термоэлектромеханическом нагружении.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы:

1. Предложен принципиально новый подход к моделированию нелинейного деформирования и контактного взаимодействия тонкостенных упругих и электроупругих конструкций, использующий 7-параметрическую модель оболочек и геометрически точные конечные элементы.

2. Построена 7-параметрическая модель слоистой оболочки в конвективных криволинейных координатах. Предложенная модель позволяет корректно описывать произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела и использовать полные уравнения состояния трехмерной теории упругости и электроупругости.

3. На основе разработанной 7-параметрической модели построена конечно-элементная модель оболочки. Предложенный в работе подход к построению гибридного конечного элемента с использованием метода введенных деформаций позволяет записывать матрицу жесткости элемента в явном виде, без использования численного интегрирования, и получать результаты с высокой точностью на редких сетках. Деформационные соотношения разработанной модели позволяют решать задачи нелинейного деформирования тонкостенных конструкций за малое число итераций.

4. Разработана модель оболочки, подверженной действию следящего нагруже-ния, в которой аналитически выражается нормаль к отсчетной поверхности в деформированном состоянии, за счет чего удается получать решение задач нелинейного деформирования за малое число итераций.

5. Разработана модель контактного взаимодействия оболочки с жестким выпуклым основанием, в которой контактные ограничения для деформированной оболочки записываются аналитически. Построенная на ее основе конечно-элементная модель позволяет получать решение задач контактного взаимодействия за малое число итераций даже при больших перемещениях и поворотах.

6. Разработана аналитическая модель нелинейного деформирования электроупругих конструкций. Построенная на ее основе конечно-элементная модель позволяет получать решение актюаторных задач нелинейного деформирования, как правило, за один шаг по нагрузке и за малое число итераций в методе Ньюгона-Рафсона.

7. Адекватность и эффективность предложенных моделей подтверждена сравнением результатов расчета по разработанным в диссертации моделям с экспериментальными данными, аналитическими решениями, результатами расчетов с помощью трехмерных конечных элементов и других классов конечных элементов оболочки.

8. Решены задачи моделирования и оптимизации формы тонкостенных конструкций за счет обратного пьезоэлектрического эффекта.

9. Разработанные численные алгоритмы реализованы в пакете программ для ЭВМ, написанных на языке программирования Delphi и предназначенных для моделирования в пространственной постановке слоистых композитных оболочек. Точность расчета тонкостенных конструкций с помощью разработанного пакета программ сопоставима с точностью расчета по коммерческим конечно-элементным программам с применением трехмерных конечных элементов, однако существенно превосходит их в скорости расчета, что достигается за счет использования редких конечно-элементных сеток и малого числа итераций метода Ньютона-Рафсона, а также построением матрицы жесткости элемента в аналитическом виде, без использования численного интегрирования.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских диссертаций

1. Плотникова, С. В. Управление формой слоистых композитных оболочек с пьезоэлектрическими актюаторами / С. В. Плотникова // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2011. - Т. 17, № 3. - С. 735 - 743.

2. Куликов, Г. М. Решение задачи статики для упругой оболочки в пространственной постановке / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Доклады Академии наук. - 2011. -Т. 439, №5.-С. 613-616.

3. Kulikov, G. М. Exact geometry piezoelectric solid-shell element based on 7-parameter model / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures.-20U.-V. 18.N2.-P. 133- 146.

4. Kulikov, G. M. Non-linear Exact Geometry 12-node Solid-shell Element with Three Translational Degrees of Freedom Per Node / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2011. - V. 88, N 13. - P. 1363 - 1389.

5. Плотникова, С. В. Управление формой композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками, подверженных термомеханическому воздействию / С. В. Плотникова, М. Г. Куликов // Вестник Университета им. Вернадского. - 2011. — № 3(34). - С. 72 - 80.

6. Kulikov, G. M. Finite Rotation Piezoelectric Exact Geometry Solid-shell Element with Nine Degrees of Freedom Per Node / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Computers, Materials & Continua. - 2011. - V. 23, N 3. - P. 233 - 264.

7. Плотникова, С. В. Применение трехмерного элемента оболочки для расчета композитных конструкций с пьезоэлектрическими накладками / С. В. Плотникова, М. Г. Куликов // Вестник Тамбовского государственного технического университета. -2010. - Т. 16, № 2. - С. 375 - 386.

8. Куликов, М. Г. Расчет адаптивных многослойных тонкостенных конструкций, подверженных температурному воздействию / М. Г. Куликов, С. В. Плотникова // Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Строительство и архитектура. - 2010. - № 2(18). - С. 7 - 17.

9. Kulikov, G. М. A family of ANS Four-node Exact Geometry Shell Elements in General Convected Curvilinear Coordinates / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // International Journal for Numerical Methods in Engineering.-2010,-V. 83, N 10.-P. 1376- 1406.

10. Куликов, Г. M. Решение связанной задачи термопьезоэлектричества на основе геометрически точного элемента оболочки / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Механика композитных материалов1. - 2010. - Т. 46, № 4. - С. 513 - 534.

11. Куликов, Г. М. Контактное взаимодействие композитных оболочек под действием следящих нагрузок с жестким выпуклым основанием / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Механика композитных материалов. - 2010. - Т. 46, № 1. - С. 61 - 78.

12. Плотникова, С. В Расчет композитных оболочек с пьезоэлектрическими накладками / С. В. Плотникова, М. Г. Куликов // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2009. - Т. 15, № 2. - С. 380 - 391.

13. Куликов, Г. М. Вариационные уравнения термоэлектроупругости для многослойной композитной оболочки / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова, В. П. Ярцев // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2009. - Т. 15, № 3. — С. 628 - 637.

14. Куликов, Г. М. Расчет композитных конструкций под действием следящих нагрузок с использованием геометрически точного элемента оболочки / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Механика композитных материалов. - 2009. - Т. 45, № 6. - С. 789 - 804.

15. Kulikov, G. М. Finite Rotation Geometrically Exact Four-node Solid-shell Element with Seven Displacement Degrees of Freedom / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Computer Modeling in Engineering & Sciences. - 2008. - V. 28, N 1. - P. 15 - 38.

16. Kulikov, G. M. Geometrically Exact Four-node Piezoelectric Solid-shell Element / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2008. -V. 15, N34-P. 199-207.

17. Kulikov, G. M. Non-linear Strain-displacement Equations Exactly Representing Large Rigid-body Motions. Part III. Analysis of TM Shells with Constraints / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2007. -V. 196, N7.-P. 1203- 1215.

18. Kulikov, G. M. Non-linear Geometrically Exact Assumed Stress-strain Four-node Solid-shell Element with High Coarse-mesh Accuracy / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Finite Elements in Analysis and Design. - 2007. - V. 43, N 6-7. - P. 425 - 443.

19. Kulikov, G. M. Non-linear Strain-displacement Equations Exactly Representing Large Rigid-body Motions. Part II. Enhanced Finite Element Technique / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2006. -V. 195, N 19 - 22. - P. 2209 - 2230.

1 Переводная версия: Mechanics of Composite Materials. Изд-во Springer, ISSN 0191-5665.

20. Kulikov, G. M. Geometrically Exact Assumed Stress-strain Multilayered Solidshell Elements Based on the 3D-Analytical Integration / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Computers & Structures. - 2006. - V. 84, N 19-20. - P. 1275 - 1287.

21. Kulikov, G. M. Equivalent Single-layer and Layer-wise Shell Theories and Rigid-body Motions - Part II: Computational Aspects / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2005. - V. 12. - P. 331 - 340.

22. Kulikov, G. M. Equivalent Single-layer and Layer-wise Shell Theories and Rigid-body Motions - Part I: Foundations / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2005. - V. 12. - P. 275 - 283.

23. Kulikov, G. M. Non-conventional Non-linear Two-node Hybrid Stress-strain Curved Beam Elements / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Finite Elements in Analysis and Design. - 2004. - V. 40, N 11. - P. 1333 - 1359.

24. Kulikov, G. M. Finite Deformation Plate Theory and Large Rigid Body Motions / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2004. -V. 39, N 7.— P.1093 - 1109.

25. Куликов, Г. M. Контактное взаимодействие упругой пластины с жестким телом. 2. Геометрически нелинейная постановка / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2004. - Т. 10, №2.-С. 519-534.

26. Куликов, Г. М. Контактное взаимодействие упругой пластины с жестким телом. 1. Геометрически линейная постановка / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова, Д. В. Казаков // Вестник Тамбовского государственного технического университета. -2004. - Т. 10, № 1Б. - С. 180 - 194.

27. Григолюк, Э. И. Контактная задача для пневматической шины, взаимодействующей с жестким основанием / Э. И. Григолюк, Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2004. - № 5. - С. 55 - 63.

28. Куликов, Г. М. Контактная задача для геометрически нелинейной оболочки типа Тимошенко / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Прикладная математика и механика. - 2003. - Т. 67, № 6. - С. 940 - 953.

29. Kulikov, G. М. Non-linear Strain-displacement Equations Exactly Representing Large Rigid-body Motions. Part I. Timoshenko-Mindlin Shell theory / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2003. -V. 192, № 7-8. - C. 851 - 875.

30. Kulikov, G. M. Efficient Mixed Timoshenko-Mindlin Shell Elements / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2002. -V. 55, №10.-P. 1167-1183.

31. Kulikov, G. M. Simple and Effective Elements Based Upon Timoshenko-Mindlin shell theory / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2002. - V. 191, № 11-12. - P. 1173 - 1187.

32. Куликов, Г. M. Исследование локально нагруженных многослойных оболочек смешанным методом конечных элементов. 2. Геометрически нелинейная постановка / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Механика композитных материалов. - 2002. - Т. 38, №6.-С. 815-826.

33. Kulikov, G. М. Zur Inneren Mechanik des Radialreifens. Teil 2: Geschichtete Kompositschale Mit Diskreten Verschiebungsansatzen fur Die Einzelnen Schichten / G. M. Kulikov, F. Bohm, A. Duda, R. Wille, S. V. Plotnikova // Technische Mechanik. -2000. - Bd. 20, N 1. - S. 81 - 90.

34. Куликов, Г. M. Исследование локально нагруженных многослойных оболочек смешанным методом конечных элементов. 1. Геометрически линейная постановка /

Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Механика композитных материалов. - 2002. - Т. 38, № 5. - С. 607 - 620.

35. Куликов, Г. М. Об использовании смешанных конечноэлементных аппроксимаций в механике оболочек / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Вестник 11 У. Серия: Естественные и технические науки. - 2000. - Т. 5, № 4. - С. 471 — 472.

36. Григолюк, Э. И. Влияние граничных условий в точке обода на напряженно-деформированное состояние радиальных шин / Э. И. Григолюк, Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Каучук и резина. - 2000. - № 3. - С. 32 - 35.

37. Куликов, Г. М. Сравнительный анализ двух алгоритмов численного решения нелинейных задач статики многослойных анизотропных оболочек вращения. II. Учет поперечного обжатия / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Механика композитных материалов. - 1999. - Т. 35, № 4. - С. 435 - 446.

38. Куликов, Г. М. Сравнительный анализ двух алгоритмов численного решения нелинейных задач статики многослойных анизотропных оболочек вращения. I. Учет поперечных сдвигов / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Механика композитных материалов. - 1999. - Т. 35, № з. _ с. 347 - 358.

39. Куликов, Г. М. Численное решение контактной задачи для многослойных композитных пластин / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 1998. - Т. 4, № 4. - С. 526 - 538.

Другие публикации

40. Плотникова, С. В. Построение трехмерного элемента для расчета композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками / С. В. Плотникова, М. Г. Куликов // Математические методы в технике и технологиях : сб. тр. ХХП1 Междунар. науч. конф., Саратов, 2010. - Саратов : Саратовский гос. техн. ун-т, 2010. - Т. 5. - С. 43 - 47.

41. Куликов, М. Г. Моделирование слоистых пластин с пьезоэлектрическими накладками при температурном воздействии / С. В. Плотникова, М. Г. Куликов // Математические методы в технике и технологиях : сб. тр. XXIII Междунар. науч. конф., Саратов, 2010. - Саратов : Саратовский гос. техн. ун-т, 2010. - Т. 5. - С. 55 - 57.

42. Плотникова, С. В. Применение МКЭ для расчета композитных оболочек с пьезоэлектрическими накладками при температурном воздействии / С. В. Плотникова, Г. М. Куликов // Тр. второй междунар. конф. «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела», Казань, 8-11 декабря 2009 г. - Казань : Казанский гос. ун-т, 2009.-С. 288-291.

43. Kulikov, G. М. Non-linear Geometrically Exact Solid-shell Element under Follower Loads / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Proceedings of the 9th Conference «Shell Structures: Theory and Applications», 14-16 October 2009, Gdansk-Jurata, Poland. - CRC Press, Taylor & Francis, 2009. - P. 257 - 260.

44. Plotnikova, S. V. Piezoelectric Four-node Geometrically Exact Solid-shell Element with Seven Displacement Degrees of Freedom / S. V. Plotnikova, M. G. Kulikov // Proceedings of the International Conference on Computational & Experimental Engineering and Sciences, 8-13 April 2009, Phuket, Thailand. - Tech Science Press. - P. 84 - 86.

45. Куликов, Г. M. Контактное взаимодействие многослойной композитной оболочки вращения с жестким выпуклым основанием / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Избранные проблемы прочности современного машиностроения. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2008. - С. 157 - 167.

46. Kulikov, G. М. Geometrically Exact Assumed Stress-Strain Four-Node Element Based on the 9-Parameter Shell Model / G. M. Kulikov, E. Carrera, S. V. Plotnikova, S. Bri-schetto // Proceedings of the International Conference on Computational & Experimental Engineering and Sciences, Tech Science Press. - 2008. - V. 5, N. 3. — P. 187 - 192.

47. Григолюк, Э. И. Численное решение геометрически нелинейной контактной задачи для шины / Э. И. Григолюк, Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Девятая между-нар. науч.-техн. конф. по динамике и прочности автомобиля. — Москва, 15-17 марта, 2005. - Москва : МГТУ «МАМИ», 2005. - С. 86 - 90.

48. Kulikov, G. М. Assumed Stress-strain Four-node Elements Based on the Finite Deformation First-order Theory of Multilayered Shells / G. M. Kulikov, S. V. Plotnikova // Proceedings of the 2004 International Conference on Computational & Experimental Engineering and Sciences, 26 - 29 July 2004, Madeira, Portugal. - Tech Science Press, 2004. -P. 2041 - 2046.

49. Григолюк, Э. И. Контактная задача для многослойной анизотропной оболочки вращения / Э. И. Григолюк, Г. М. Куликов, С. В. Плотникова // Проблемы шин и резинокордных композитов. Труды одиннадцатого симпозиума. Т. 1. - Москва : НИИШП, 2000. - С. 189 - 197.

50. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611939 «TMS3D - программа расчета нелинейных композитных тонкостенных конструкций в трехмерной постановке на основе геометрически точных четырех-узловых конечных элементов» / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 14 мая 2007 г.

51. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009611797 «TMS3DE6 - программа расчета многослойных композитных тонкостенных конструкций, подверженных электромеханическим воздействиям, на основе геометрически точных билинейных элементов оболочки» / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 6 апреля 2009 г.

52. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009613342 «TMS3DTE6 - программа расчета многослойных композитных тонкостенных конструкций, подверженных термоэлектромеханическим воздействиям, на основе геометрически точных билинейных элементов оболочки» / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 26 июня 2009 г.

53. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010613022 «TMS3DE7 - программа расчета слоистых композитных оболочек, подверженных электромеханическим воздействиям, на основе геометрически точного 7-параметрического билинейного конечного элемента» / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 6 мая 2010 г.

54. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010615621 «TMS3DTE7 - программа расчета слоистых композитных оболочек, подверженных термоэлектромеханическим воздействиям, на основе геометрически точного 7-параметрического билинейного конечного элемента» / Г. М. Куликов, С. В. Плотникова ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 31 августа 2010 г.

55. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615098 «Геометрически точный трехмерный конечный элемент пьезоэлектрической композитной оболочки TMS3DE9 для решения связанной задачи электроупругости» / С. В. Плотникова, М. Г. Куликов ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 29 июня 2011г.

56. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614436 «Геометрически точный трехмерный пьезоэлектрический конечный элемент оболочки TMS3DTE9 для управления формой тонкостенных слоистых композитных конструкций под действием термоэлектромеханического нагружения» / М. Г. Куликов, С. В. Плотникова ; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 10 августа 2011 г.

Подписано в печать 30.10.2013. Формат 60x84/16. 1,86 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 482

Издательско-полиграфический центр ФГБОУ ВПО «ТГТУ» 392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106, к. 14 Телефон (4752) 63-81-08 e-mail: izdatelstvo@admin.tstu.ru

На правах рукописи

05201450122

ПЛОТНИКОВА Светлана Валерьевна

ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ТОЧНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОБОЛОЧКИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГИХ И ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора технических наук

Тамбов

- 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение...........................................................................................6

Глава 1. Анализ конечных элементов оболочки и их применение к моделированию нелинейного деформирования тонкостенных конструкций....................13

1.1 Конечные элементы оболочки и основные подходы к конечно-элементному решению задачи деформирования оболочки в геометрически нелинейной постановке...............................................................................................13

1.2 Конечные элементы оболочки для решения задачи контактного взаимодействия упругих I он кос I енных консфукций................................................21

1.3 Конечные элсмешы пьезоэлекфических оболочек и их применение к задачам моделирования нелинейного деформирования и оптимизации формы тонкостенных конструкций...................................................................................23

Глава 2. 7-парамсфичсская модель оболочки, подверженной произвольно большим перемещениям и поворотам................................................................30

2.1 Геометрическое описание недеформированной оболочки..........................30

2.2 Деформационные соотношения 9-параметрической модели оболочки........32

2.3 Деформационные соотношения 7-параметрической модели оболочки.........39

2.4 Уравнения состояния слоистой анизотропной оболочки..........................42

2.5 Смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для слоистой анизотропной оболочки..................................................................................................45

Глава 3. Геометрически точный че1ырехузловой конечный элемент оболочки на основе 7-нарамефической модели.........................................................................48

3.1 Геометрически точный конечный элемеш оболочки с использованием модифицированного меюда введенных деформаций.............................................48

3.2 Гибридный геометрически точный элемент оболочки па основе метода независимых аппроксимаций напряжений и деформаций.......................................54

3.3 Проверка адекватности конечно-)лементной модели. Исследование сходимости конечного элемента оболочки...........................................................56

3.4 Инкрементальный подход при лагранжевом описании геометрически нелинейной оболочки........................................................................................64

3.5 Исследование поведения разрабо1анно1 о 1 еомефически точного элемента оболочки на редких сетках и оценка сходимости итерационного процесса Нью-

тона-Рафсона.......................................................................................68

Глава 4 Геометрически точный элемент оболочки, подверженной действию следящих нагрузок, при больших перемещениях и поворотах..........................77

4.1 Смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для слоистой анизотропной оболочки, подверженной следящему нагружению.....................................77

4.2 Матрица жесгкосш 1 ибридного геомефически точного элемента оболочки под действием следящих нагрузок...........................................................79

4.3 Верификация и исследование сходимосж разрабо1 энного геометрически

точного элемеша оболочки..........................................................................84

Глава 5. Геометрически ючный конечный элемент для моделирования контактного взаимодействия оболочки с жеспсим выпуклым основанием при больших перемещениях и поворотах..............................................................................92

5.1 Постановка задачи контакта оболочки с жеаким выпуклым телом под действием консервативных нагрузок.............................................................92

5.2 Конечно-элементная модель контактного взаимодействия оболочки при консервативном нагружении..............................................................................96

5.3 Тестирование модели контактною взаимодейс!вия и алгоритма поиска зоны контакт.........................................................................................102

5.4 Конечно-элеменшая модель кошаюа оболочки с жес1ким выпуклым телом

под действием следящих нагрузок..................................................................114

ГЛАВА 6. Гибридный геометрически точный че1 ырехузловой элемент слоистой пьезоэлектрической оболочки.........................................................118

6.1 7-параметрическая модель пьезоэлектрической оболочки.........................1 18

6.2 Конечно-элементная модель пьезоэлектрической оболочки, подверженной большим перемещениям и поворо1ам....................................................124

6.3 Конечно-элеменшая модель слоистой оболочки с пьезоэлектрическими накладками при больших перемещениях и поворотах...................................131

6.4 Верификация nocí роенных копечно-элемснгных моделей слоистой пьезоэлектрической оболочки.................................................................................137

6.5 Оптимизация формы оболочки, подверженной хлектромеханическим воздействиям.....................................................................................156

ГЛАВА 7. Численное моделирование нелинейного деформирования тонкостенных конструкций на основе разработнных геомефически точных конечных элементов оболочки......................................................................................164

7.1 Слоистая opio тронная гиперболическая оболочка под действием сосредоточенных сил..........................................................................................................164

7.2 Моделирование оболочек вращения сложной i еометрии........................169

7.3 Изотропная горообразная оболочка под действием следящего давления..............................................................................................................174

7.4 Кошактпое взаимодействие изофопной цилиндрической оболочки с жестким цилиндром..........................................................................................178

7.5 Слоистая перекрестно армированная торообразная оболочка, взаимодействующая с плоским и выпуклым основаниями, при консервативном и следящем нагружении.............................................................................182

7.6 Пьезокерамическая спиральная оболочка под действием электрического нагружения....................................................................................193

7.7 Моделирование нелинейного деформирования слоистой орютропной гиперболической оболочки с пьезоэлекфическими накладками.......................197

7.8 Оптимизация формы тонкое 1енных консфукций с пьезоэлектрическими накладками за счет использования обрагною пьезоэлектрического эффекта.................................................................................................203

7.9 Моделирование деформирования 1ермоэлекфоупругих тонкостенных кон-

струкцй.........................................................................................210

Заключение.....................................................................................231

Список использованных источников...................................................233

Приложение А. Программный код процедуры пое I роения матрицы жесткости геометрически точного конечного элемента 7-параметрической электроупругой

оболочки на языке программирования ОПЬРШ..........................................261

Приложение Б. Акт о внедрении результатов диссертации на ОАО «Опытный

завод Гидромонтаж»........................................................................304

Приложение В. Акт о внедрении результатов диссертации на ЗАО «Гидро-

стальконструкция»............................................................................305

Приложение Г. Акт о внедрении результатов диссертации в образовательный процесс............................................................................................306

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. В настоящее время метод конечных элементов широко применяется в различных областях техники для расчета тонкостенных конструкций под действием механических, температурных, электрических нагрузок и т.п. Однако современное состояние теории конечных элементов нельзя считать удовлетворительным, поэтому число работ, посвященных разработке новых подходов к конечно-элементному моделированию конструкций, продолжает расти.

Одна из проблем состоит в том, что наиболее широко представленные в коммерческих пакетах программ изопараметрические вырожденные элементы, которые рассматривают оболочку как совокупность плоских элементов, в некоторых классах задач показывают невысокую производительность. Альтернативой вырожденным являются геометрически точные элементы, в которых отсчетная поверхность оболочки описывается аналитически заданными функциями, в частности сплайнами, а векторы перемещений представляются в локальном базисе, связанном с отсчетной поверхностью. Другая проблема состоит в том, что традиционные элементы тонких пластин и оболочек, построенные на основе теории Тимошенко-Миндлина, используют упрощенные соотношения закона Гука, что в некоторых случаях, например, в задачах электроупругости или в контактных задачах, нередко приводит к неудовлетворительным результатам. Отсюда возникает задача разработки эффективных трехмерных элементов оболочки, позволяющих учесть полные уравнения состояния пространственной теории упругости и электроупругости.

Применение композитных материалов, в том числе текстильных композитов, делает актуальным расчет конструкций, подверженных большим перемещениям и поворотам. Традиционный подход к решению таких задач состоит в использовании большого числа шагов по нагрузке (инкрементов), что является вычислительно неэффективным. Таким образом, выбор адек-

ватной математической модели, точно представляющей произвольно большие перемещения и повороты, вместе с эффективным вычислительным алгоритмом являются крайне важными.

Другой аспект актуальности связан с применением конечно-элементного подхода к моделированию конструкций с пьезоэлектрическими актюаторами. Во многих практических приложениях, например в задаче управления формой конструкции в режиме реального времени, решающее значение имеет быстрота программного кода, поэтому эффективность применяемого при расчетах конечно-элементного метода играет большую роль.

Целью диссертационной работы является построение эффективных конечных элементов упругих и электроупругих оболочек, позволяющих учитывать большие перемещения и повороты, в том числе под действием следящих нагрузок и при контакте оболочки с жестким основанием.

Задачи диссертационной работы. Достижение заявленной цели связано с выполнением следующих задач:

• разработка математической модели оболочки, точно описывающей большие перемещения и повороты оболочки как жесткого тела, и позволяющей учесть полные уравнения состояния пространственной теории упругости;

• разработка и обоснование конечных элементов слоистой композитной оболочки, свободных от запирания и позволяющих использование редких сеток;

• разработка эффективных алгоритмов, позволяющих при решении геометрически нелинейных задач использовать малое число шагов по нагрузке, в том числе при учете следящей нагрузки, а также при контактном взаимодействии с жестким телом;

• разработка эффективных методов расчета контакта геометрически нелинейной оболочки с жестким основанием;

• разработка эффективною конечною элеметпа пьезоэлектрической слоистой оболочки;

• применение пьезоэлектрическою конечною элемента для решения задачи оптимизации формы оболочки.

Объектом исследования являются упругие и электроупругие слоистые композитные оболочки, подверженные действию механических (в том числе следящих) и электрических нагрузок.

Методы исследовании. Базовым меюдом исследования является метод конечных элементов. Также использую 1ся методы вариационного исчисления, условной оптимизации, численные меюды решения систем линейных и нелинейных уравнений, меюды полиномиальной аппроксимации.

Научная новизна. Авюром получены новые научные результаты, которые выносятся на защшу:

• 7-парамегрическая модель слоисюй оболочки, ючно описывающая произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела в криволинейных конвективных координатах и позволяющая учитывать полные уравнения cocí ояяия прос i ране i венной юории упруюсчи;

• геомефически i очный гибридный элемеш оболочки, использующий метод введенных деформаций, основанный па аналитическом интегрировании в пределах элемента, коюрый позволяет pcujaib задачи нелинейного деформирования за малое число шаюв по нафузке с существенным снижением числа итераций в методе Ныотона-Рафсона;

• модель контактного взаимодействия упругой оболочки с жестким выпуклым телом, в которой кошакшыс офаничения оболочки, подверженной большим перемещениям и поворотам, записываются аналитически, что позволяет получать решение контактных задач ш малое число шагов по нагрузке и с использованием редких конечно-элементных сеток;

• конечно-элементный подход к решению задачи деформирования оболочки под действием следящего нагружения, основанный на новом вариаци-

онном уравнении типа Ху-Васидзу, позволяющий решать задачи в геометрически нелинейной постановке за малое число июраций,

• 7-параметрическая модель пьезо >лектрической оболочки, использующая полные уравнения состояния пространственной теории электроупругости;

• геометрически точный гибридный злемеш пьезоэлектрической оболочки, предназначенный для решения связанных актюаторных задач при больших перемещениях и поворотх,

• метод нахождения напряжения, подаваемого на электроды пьезоэлектрических актюаюров, который позволяет приблизить форму оболочки к требуемой за сче1 минимизации аналшически заданной функции погрешности.

Обоснованноегь и досюверноси» резулыатв обеспечивайся применением общих уравнений прос!ране 1 венной 1еории упругости и электроупругости. Результат расчетов сравниваю1ся с результатами экспериментов, известными аналитическими решениями и численными решениями, полученными с помощью других меюдов

Теоретическая и практическая значимое!ь рабоп>1. Теоретическая значимое 1ь рабо1ы заключае1ся в разрабо1ке меюдов расчет юнкостенных слоистых упругих и электроупругих конструкций, которые позволяют эффективно моделировать поведение конструкций при больших деформациях с учетом контактного взаимодействия с жестким основанием. Практическая значимость заключается в появлении новых возможностей при проектировании и эксплуашции тонкостенных адашивных конструкций из композитных материалов. Разрабо1анный конечно-элеменжый код позволяет применять его для программирования микропроцессоров адашивных систем. На основе разрабо!анных в диссер1ации алюржмов созданы пакеты программ для ЭВМ, зарегисфированные в Государовенном реесмрс программ для ЭВМ. Исследования, проводимые в рамках диссертции, поддерживались грантами ШТАБ N 95-0525 (1997-1999); РФФИЮРС № 98-01-04076; РФФИ № 04-01-

00070, № 08-01-00373, № 13-01-00155; АВЦП Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» № 2.1.1/660, № 2.1.1/10003; государственное задание Министерства образования и науки РФ № 1.472/2011 (2012-2013). Под руководством автора по тематике исследования защищена кандидатская диссертация по специальности 05.13.18 [44J. Разработанный пакет программ используется в учебном процессе на Архитектурно-строительном факультете Тамбовского государственного технического университета.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

• IX, XI, симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов», 1998, 2000 (Москва);

• Международном симпозиуме «60 лет воссоздания МАМИ», 1999 (Москва);

• Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», 2002 (Тамбов);

• International Conference on Computational & Experimental Engineering and Sciences, 2004 (Madeira, Portugal), 2009 (Phuket, Thailand), 2011 (Nanjing, China);

• International Conference on Computational Structures Technology, 2004 (Lisbon, Portugal), 2010 (Valencia, Spain);

• Международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», 2004 (Казань);

• IX международной научно-технической конференция по динамике и прочности автомобиля, 2005 (Москва);

• International Symposium on Design Modelling and Experiments of Adaptive Structures and Smart Systems, 2006 (Bardonecchia, Italy), 2007 (Bad Herrenalb, Germany), 201 1 (Urspelt, Luxembourg);

• 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, 2009 (Lisbon, Portugal);

• II международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела», 2009 (Казань);

• 9th Conference «Shell Structures: Theory and Applications», 2009 (Jurata, Poland);

• International Symposium of Aircraft Materials, 2010 (Marrakech, Morocco);

• EUROMECH Colloquium "Shell-like Structures - Non-classical Theories and Applications", 2011 (Wittenberg, Germany);

• International Conference on Mechanics of Nano, Micro and Macro Composite Structures, 2012 (Turin, Italy);

• IV международной научно-технической конференции «Ак1уальные проблемы прикладной механики и прочное!и консфукций», 2012 (Запорожье, Украина).

• XIX международном симпозиуме им А.Г. Горшкова «Механические и технологические проблемы механики консфукций и сплошных сред», 2013 (Ярополец, Моск. обл.).

Публикации результатов. По теме диссер!ации опубликовано 55 работ, из них 38 ciaieñ в научных периодических изданиях из Перечня ВАК и международных реферируемых журналах, 9 докладов в материалах Всероссийских и международных конференций, получены 7 свидетельств о регистрации программ в Государственном реестре программ для ЭВМ [45, 55, 59, 60,63,64, 81].

Выносимые на защшу резулыаш получены соиска1елем лично. В публикациях, написанных в соавторс�