автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Экстремальные задачи излучения звука в регулярных волноводах

РГ6 од

^ 2 »^д^^®^?!?0™0 И^М 15 ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ " ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ХАБАРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ■ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОМАРОВ ЕВГЕНИЙ ГЕННАДЬЕВИЧ

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗВУКА В РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДАХ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ХАБАРОВСК - 1994

Работа выполнена в лаборатории вычислительной аэрогидродинамики Института прикладной математики Дальневосточного отделения РАН.

. Научный руководитель - доктор физико-математических ;ваук;' 1 Г.В. Алексеев

Официальные оппононти- доктор физико-математических 'наук, профессор С,И. Смагин кандидат технических наук, Ю.В:. Мальцев

Ведущая организация - Вычислительный центр Сибирского отделения РАН (г. Красноярск)'*

Защита соотоится " /2 " м.аЯ 1994 года в 10~ часов на заседании специализированного совета К 064.62.01 при Хабарове-) ком ') государственном техмческом университете по 1 адресу г 68003^, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136, ХГТУ

С дисертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университете. '

Автореферат разослан " 994 года.

Ученый секретарь специали- ___ ц

зированного совета у), ^ч /

кандидат физико-математических наук Т^РЛ^у К.А.Чехонин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Математическое моделирование динамических процессов в океане с целью получения дополнительной информации о его структуре, приводит к необходимости решения обратных задач акустики океана. Важным представителем указанных обратных задач является класс обратных экстремальных задач излучения звука в акустическом волноводе, моделирующем океан. Указанные задачи заключаются в максимизации мощности, излучаемой источником в дальнюю зону волновода при ограничении на подводимую к нему мощность, а также в активном подавлении (минимизации) первичного звукового поля в волноводе с помощью вспомогательной антенной решетки. -

Решение волноводкых обратных задач излучения звука связано со значительными трудностями из-за необходимости учета ряда эффектов, отсутствующих в "классическом" случае, когда излучатель, находится в неограниченном пространстве. К числу таких эффектов следует прежде всего отнести эффекты дифракции звуковых волн, вызываемые присутствием отражающих границ, например, дна и свободной поверхности, в также эффекты рефракции. Последние вызываются стратификацией распределения основных параметров среды океана, главным образом, по его глубине.

Исследование указанных проблем акустики1' океана математическими методами приводит к новому классу обратных экстремальных задач для волнового уравнения Гельмгольца с переменными коэффициентами в неограниченных областях. Указанные задачи представляют собой интерес как в теоретическом плане (с точки зрения исследования их корректности), так и в практическом плане в связи с возможными приложениями полученных результатов при исследовании динамических процессов в океане. Поэтому актуальной является разработка таких методов решения указанных обратных задач для волнового уравнения Гельмгольца которые, с одной стороны, допускают строгое теоретическс-■ обоснование, а с другой стороны, могут быть эффективно реализованы на ЭВМ.

Цель работы. Цель работы заключается в построении теории обратных вкстремальннх задач излучения звука в регулярных

акустических волноводах и разработке эффективных численных алгоритмов их решения. Исходя из поставленной цели, в работе сформулированы следующие задачи исследований:

1 I) Разработка экономичного метода решения с гарантированной точностью несамосопряженной (в общем случае) несингулярной спектральной задачи для оператора Гельмгольца с разрывными коэффициентами, отвечающей рассматриваемому слоисто-неоднородному волноводу конечной глубины.

2) Разработка экономичного метода нахождения с гарантированной точностью собственных значений и собственных функций дискретного спектра несамосопряженной сингулярной спектральной задачи, отвечающей регулярному волноводу бесконечной глубины.

3) Разработка устойчивого численного алгоритма решения экстремальных обратных задач излучения звука дискретными источниками, расположенными в регулярном акустическом волноводе, моделирующем океан.

Метод исследований. При получении результатов настоящей диссертации в гл. I использовались разностные метода дискретизации несингулярных дифференциальных спектральных задач, современные аффекта вше численные методы решения сеточных спектральных задач и многосеточные метода повышения точности решений разностных задач. В гл. 2 использовались методы условной квадратичной оптимизации и методы регуляризации некорректных задач.

Достоверность. Обоснованность выносимых на защиту положений следует из теорем о сходимости предложенных разностных методов решения несингулярных спектральных задач, сопоставления полученных результатов с соответствующими результатами, полученными другими методами, а также из результатов проведенных численных экспериментов.

Научная новизна. Предложен и обоснован надежный высокоэффективный численный алгоритм решения общей нэсамосопряженной сингулярной спектральной задачи для оператора Гельмгольца и на его основе развит эффективный алгоритм нахождения собственных значений и ( собственных функций •дискретного спектра соответствующей сингулярной спектральной задачи, рассматриваемой на ' полубесконечном интервале. Разработаны устойчивые численные алгоритмы . решения

эт-с"?ре:лал?-нух обратных гад.эч излучет-н звука дискретными источниками, расположенными s слоисто-моднородасм акустическом двухмерно?/ (тик трвгшрнсм) йольсноде.

Пряктшоскяя пвкнокть работа. Практическая ценность работы ггроистокевт 713 возможных приложений гюлучон:-аи я диссертации posyjiiготов ггри исследовании динэмичэских процессов в океане. Б частости, разработанный алгоритм реаения несауосопряжбкьой сингулярной (в общем случае) спектральной задачи для опэратора Гелшгольца, исзеоипиеий к&хсдить coOcteohhew значения и функции практически с любой степенью точносги, можно использовать как непосредственно ггри расчете звуковых яслей в етратифгщирозаняом волноводе, тик п при peirGmra спектральных задсч, возникающих, например, в квантовой механика. Разработанный члолэышй алгоритм решения сйратных.

экстремальных задач излучзнил звука в регулярных золксзодех позволяет рассчитывать Ентчняае гидроакустические комплексы с учьтом реальных характеристик морской среда: наличия верзаеЛ и нижчэй границ, стротификащш ш глубине н т.д.).

Мат&ргаш дисеертшз» ¡¡треке ислольговалпсь в преподавании курса матсдалпеской фазлки и спэциа^ьншс курсов' для студентов математического факультета Далъкевосточнсго госуша&рсктета.

Апробация работы. Результаты дчссортация докладывались ни oobstcko-wiohckom симпозиуме ш зы-яелктэльней аэрогидродинамике в г. Хабзрзрске {1 Ж:), на Всесоюзной чонЗ«оэкцик по интегральном уравнениям и краевом задача».*, математической {жзкки во Владивостоке (1990), на Всесоюзной Акустической конфоре^'д-иях в г. Москве (1991), на совчтско-ксройексм симпозиуме ;ю математическому моделировании в г. Владивостоке Л957), на советско-японском, отояюзиумэ не обратннм гаьгчгм математической физик* в г. Новосибирске (1Э91), на совотскл-яиочыгом симпозиуме по интегральным уравнениям в ХаЯпрогокв '199-'?). на научных семинарах (в Вычислительном центр« ДЕО I'AH ir. Хабарою*), Хабаровском государственном TexiurjSpCitov университете (г. Хабаровск), на городском семинара ; ио математической физике при Института приялмднсЯ математикс РАК (г. Владивосток) к другял бель* узю»х кон&^яшцку, мминерах я соеещзталх.

- Б -

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованн в работах tl-II].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из птдвпия, трек глав и списка литературы ия ПО наименований, '•пЛ'Ч'тат ?А таблицы, 29 рисунков и изложена на 184 страницах машинописного текста, выполненого текстовым редактором Cb-iwlter на персональной ЭВМ.

ОСНОВНОЕ СОДЕГЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор работ по теме диссертации п о'чюпнне результаты, полученные в диссертации.

Гплва I содержит четыре параграфа. В 5 I изучается зцчк'трлиьнпя задача для одномерного оператора Гельмгольца с рпурнвннми коэффициентами. .Указанная задача, на которую ниже дня краткости будам ссылаться как на задачу I.I, отмывается ;!;'ОТПгчц9НН«МИ

4 I?r?(z) - е2](Р = 0в (0,tf,)U..U(HIi_f,H),(I)

■p<f| = о, (2)

i'fi/;sf.4p + ф (Н)созр = 0, р € ЕО,тс/2] (3)

, cfcp(ffT) , Лр(Н+) '(■•--77) - фi), -J----= —Ц---a/-, J-i.....L-I (4)

я^есь смысл всех обозначений указан в § 1 гл. I. В частности, vодарял (Я) и (3) моделируют краевые условия на верхней и шшгей границах г = 0 и z = H регулярного акустического ватшовода D. соответственно, условия (4) имеют смысл условий оопряжищга на границах раздела среды г = Hj, J = 1, 2, ...,

Отитам, что задача I.I является самосопряженной при х = jrJ:' - О, т.е. в отсутствие поглощения в рассматриваемом рс.л>г вся» Г), и нпозмосопряквнной в противном случае. В случае H - •>', 'отвечающем еолноводу D бесконечной глубины), условие (3) ьледу-тг заменить условием излучения типа Зоммэрфельда, которое ф^мчлип запишем в виде •

Ф f ЗН(0,я)) при г —» со. (За)

"ТР-. ¡гтвушая этому случал спектральная задача (1)-(За), (4), м-'i ч;п:е Зуде-ч ссылаться как на задачу 1.2, относится к

к.-.rrv гзргулдршх спектральчкх задач.

Предположим, что выполняются условия

р(г) 2 ро>0, с (г) ^ с.>0 на [О,Я]; р(г), с (г) а 1^(0,11). (Б) Хорошо известно , что при выполнении условий (б) СУЩЬОТЕУ«/' счетное множество собственных значений и функций ф самосопряженной спектральной задачи 1.1, причем ^ можно занумеровать так, что выполняется условна

эир кг{г) > > £? >...> & ^ О > ^ (6)

ге [о,В]

Здесь Ы > 0 - некоторое число, зависящее от исходны;; данных задачи 1.1. Для нахождения ^ и ср в гл.1 развивается быстрый численный алгоритм (Алгоритм 1) позволяющий ьиходать ик фактически с любой (в пределах возможностей ЭВМ) заданной степенью точности. Основу его составляют:

I) дискретизация дифференциальной спектральной задачи 1.1 (описанная в § 2 гл.1) на определенной последовательности, разностных сеток шп;, 1 = 1, 2,... методом конечных разностей с помощью наилучшей разностной схемы 2-го порядка.

'2) решение сеточной несамосопряженной спектральной задачи на основе ^Ь-алгоритма со сдвигом нахождения комплексных собственных значений неэрмитовой матрицы и эффективного метода нахождения собственных векторов фактически с машинной точностью (см. § 3 гл.1);

3) уточнение решений сеточных спектральных задач, построенных для указанной последовательности разностных сеток, путем применения процедуры экстраполяции но Ричардсону (см. 54 гл.1).

Приводятся две теоремы, которые при определенных условиях на коэффициенты уравнения (X) гарантируют в самосопряженном случае сходимость данного алгоритма с порядком 0(?1гз), где з -количество (вложенных) разностных сеток. Последнее позволяй 1 определять собственные значения и функции самосопряженной спектральной задачи 1.1 с достаточно высокой точностью, зависящей от количества а используемых разностных сеток. При этом уверенность в правильности их вычисления обеспечивается с одной стороны указанными теоремами, а с другой стороны сравнением найденных значений для нескольких соток. Данный алгоритм применим и в содоооир яжбшкм случаи, когда, в частности, собстьашши Функции яыыыч.-н комплексными. Однако

увэрьшогль в правильности решения спектральной задачи в этом случав может быть оэосдачвна лишь лутвм (многократного) оразкэния собственных значений и фуькциЯ, вычисленных для рвзшт разностных сеток.

В § & гл.1 рассматривается сингулярная спектральная задачи 1.2. Для е? решения Гфадварителькс осуиествляетоя переход от исходной лад&чи 1.2 к нвсищулярной задаче 1.1, р&ссматрлзеемой ну коночном иь'гврньле [О,Я]. Предположим. что

ро>0, со>0, ае=0 ш; №,<»]; р<//.), о(к){Х?ь(0,») (7)

00

7 (л ¿2(г) - п* < со. / |й;;(2) - гг;|о£ < со, ки - Ё-. (8) г-»« о оо

При выполнении условий (7) существует счетное множество собственных значений ^ = а® к функций нбсуштулярной задачи-1.1, причем мокно занумеровать так, что

,тр > **>...> я" » = ^ > А* >...— -».(&)

СО

Ьдеоь Л? - цакачорсе целое число, зависящее от Я. Если к тому ке выполняются условия (8), то, начиная с некоторого й, число И престает вьвисегъ ог Н, лричим шрвые У собственных значений Л.® несингулярной зед^чи 1..Т (при любом р е 10, ■ж/г]) стремятся при И —- со а соответстЕундйм собственным значениям Ап дискретного сшктрэ голодной сингулярной задачи 1,2, для которых ВДПОЛИЖЭТЗл условие

гСт.с-.») с-/«', -1 М

« ч

Аиздогиошй ф4кт справедлив и для собственных функций садачи Г.2.

Осноэыиа.чсь на приведенном свойстве дискретного спектра задачи 1.2, £ § 5 првдложэн следующий алгоритм (Алгоритм 2) его яахевдедая. Сип шла о поморья Алгоритма 1 вычисляются с достаточно ецсокой точностью перше I? собственных значений А^ и собственных функций <{^',2) васкнгулярюй зьдачи 1.1 для. различны* глубин Н и рнзнлг. типом крч&ього условия при 2 » Я, отаьчзкъуи., чеггримор, нэс-кой (0 - О), лиоо мягкой ф '-« тс/2) яша.еЗ етенпв г » Ч. Дзлее произносится сравнение найденных лнгчефЛ а". Еслл разность сраьтшемшг. значений А® rrf.ii! кзвдом Гк ъ II сьм-чвэ9"«': меььшей зедагно-ю уровня погрсшносту е, то их спюь&йглт иафм г. анояртл-ся ъ кзчеотьэ ьорякх ци|р

- э -

ссотштетвущих ообстамщцх савчедиЛ У.^ исходной скнхулярной ¡задач,! I.«. Е проащщоад случаэ шдазтсл информация о иевозивдкноет? нехотения собственны значений с ¡заданной

ТОЧ.ЧОСТ1В а. По аналогичной схеме ь.цчиа-.якгсл вер;".о цифры'

ЗК5Ч9КИЙ ОО0СТК6НЕНХ функций ф (3) П узла*. Грубой СУ'ГШ < 1)Ь1.

В глази 2 рассматриваются обратные экстремальна*» задачи излучений зяука в дг-умвркьх (ллсских либо ососиммэтричных) и граммеркых регулярных. волноводах. Указанное аадьчи зккшсчактся в активней минимизации в дальней ионе нолюаода зеукового пеля, создаваемого шумящим объектом, льбе в какоимизекии шедости, излучаемой дискретной антенной. Ясследуитвя вопросы, счязапннэ как с разрешимостью укалчнннх задач. 1иК и с разработкой эффектагяых методоь гх рошеяля.

В параграфах I я 2 главы 2 лркподктся формул« для звуг.озого поля. ИЕлучаемсго дискретной антенной з шюс.ком лясю осесимметрнчиом волноводе и: зыводдтся формулы чля мощности звукокого ПОЛЛ переносимой Е дальнюю зону ЬСЛНОВСДЕ. П£И2ЭД9М здесь соответствуйте формулы для плоского волновода. Пусть

О - { и - 0 < а < Я, - х < <»>

-регулярный вдосад® ролнозод о параметрами р(г) и с (г), удовлетворяющими условий (Б), Введен 2 » Л' - матрицу (решетку)

-К» '«'

4 обозначь через !?.()), q > • • •е С отвечьнцуи

реа.е\чш Ч диокретчу» антенну, состоицуг мв >" монополий с рлотроотьп

Я

Ч 2 q,31..Т - х , г - г.). 172)

4=\ ■■■>■>

Полодам

Г+ = {(г,г) € 0: х = г* х., J

= г.'х,г) <-: V: х > х*). Известно, что поле, создаваемое парой , вм

р(х,г) -- | 2 у?- (? (г)вхр[1Ц), (¡3-

где ^ к 1, г * 1,2,..- - чэбстпошмс лначбда.я м

собственные функьда спектральной ээдьчк 1.1, >» 1

« - -ггу 2 <?.<р т;"; - а-и

■ п1 п *

- 10 -

В соответствии с физическим смыслом назовем мощностью, переносимой произвольной звуковой волной р через Г+, число

(15) 1ткг = О,

(16)

(IV) справедлива

Теорема 2. В условиях теоре.ш I ряд (13) абсолютно и равномерно блеете с производной по х сходится в V* и справедлива формула

Х(Р) = 2/(Рп) = Ш 2 т^Iап12• (18)

11= 1 п= I

Введем в рассмотрение комплексные пространства I, и С со скалярными произведениями и нормами (р^), |р| и ((Ь,с)), |[Ы| соответственно. Обозначим через А : с" — С1' прямоугольную ¡1 » # - матрицу с компонентами

%= (19)

^п 'п

и учетом обозначений (14), (19) формулу (18) можно переписать в виде

-*<Р> = ¿Д- Е !(^)п12 - Еш <20>

п= 1

Если в правой зоне О, кроме поля (13).излучаемого антенной (X,ц), присутствует также поле

. а> .

рь(х,2) = - | 2 Л- Рп '4>п(2)елр(1Ех), (21)

11— 1 Ъ»1

создаваемое некоторым шумящим объектом, то мощность Л = Л(р + рь) суммарного поля (р + рь) равна

мр * рь) = ^ т, |ап-Р«'1г7п = У1АЧ " <22>

п. I

Л«Л(Р) = §1я е[1| .

г1,

Рассматривая здесь для конкретности случай, когда введем гг-ю нормальную моду

Рп = п(2).ехрщпх).

' п

Пусть В ДОПОЛаНИй к (6)

4 >

Тогда имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. При выполнении условий (6), (17) формула

'^"ЯГГ О, п > Л.

Здесь b = (bj,...,Ьм)еСм - заданный вектор с компонентами Ь 7 Р ■

'п' п

Аналогичные формулы для мощности выводятся в § 2 для осесимметричного волновода.

Считая фиксированной решетку Z, перепишем соотношения (2П) и (22) в виде

М (р) = OJJ q), Л(р + рь) - СУ (q), С - (23)

где

Jo(q) = | [Aq] |2 = (U%,q)), J(q) - \\Aq-b]\?-. (24). Обозначим через В шар. в (Ея, состоящий из векторов q, удовлетворяющих условию

=> и в я •

lq|2 - Г |9,1Е « 0Во- (25)

В § 3 гл. 2 рассматриваются следующие две экстремальные задачи.

Задача 2.1. Для заданных решетки Z и поля ръ найти решение задачи минимизации

J(q) -* inf. q ( Я. Задача 2.2. Для заданной решетки Z найти решение задачи максимизации

iTo(q) - mar, q е В. Для решения задач 2.1 и 2.2 предлагается численный метод, основанный на методах условной квадратичной оптимизации и методах регуляризации некорректных задач. Ладим краткое описание этого метода. .

Пусть г = rank A i mtn(M,W), (X^.q^b^) - сингулярная система матрицы А с нормировкой

I4J - Q0, п = 1,2.,,,.?/; |tbn)| - Qo, п - 1,2.....И.

С учетом свойств сингулярной системы (\п^,Ъп) в § 3 показывается, в частности, что

•yqj - IMIJI*« мХ'Чп> = '26)

и

КК s Jo(1> « VqcdB,

зир JJq) = \??fo. q£B

Далее с использованием аппарата сингулярного разложения прямоугольной матрицы проводится теоретическое исслег.озэгшэ

сада'С! 2.1, включая игучыше чэ разрешимости, . 8 о существования, едиютввгс-гмта и ноздалстлашюстк решения. Последнее свлзгно с чаличизм н&кзлучэиаих (ь дальнюю зону) дкскретаыг. антекг. Показыза&'/сй, чтс, рененке q.. задачи 2.1 олгрб-.ДАЛявтея фэрму.лоЛ

" £ :ттУ V <27)

н-1 /, +<V

Б.ресь ап -- ((Ь,Ьп) а параметр (регуляризации) Л

спроделлетсл ян условия

, г- А2 ¡и ¡2 . ,

Ц X - 1 *= (22)

При ЭТО)'

Inf Jiq) ) - Я ¡UJ2^ + 2

СОВ . n*rt" ' п=

р - |>-игА.л

! С.

,-,Ъ ' о -*, ос,]!;/

С^^^» , . я*хч" п=1 (лп+Л. /

Озновываьзь яа нркв&двит. формулах, к § 4 главы 2 развиааотся числокный алгоритм (Алгоритм Л) решения задач 2.1 I* 2.2 приводится его теоретическое обоснование. Он вклшаот ь оеСя четыре отапа.

1. Вычисление собственных знач&ний ^ и собственкш; функций спектральной задачи 1.1 с помощью Алгоритма 1

(тмПо симгу.чясной задачи X.2 с помоек Алгоритма 2, если рслровод С - 1>ю жо&т ¡Звсг.онечнук глубину;.

'¿. Формирование прямоугольной 1"» 2«' -матрицы Л = () с ксмподант&ми 1.1 (и вектора Ъ = ¡Ъ^ ,Ъ£,.. ,"ом)) с г;омо;яыо фо;;мул (19) для плоского 5? соответствующих. формул в случае осеиииметрячнэго волновода. Нахождение ошгуляриой системы

ймгудлрнкэ чксяз Кп, п - эф$>.«ктаексго ринга г

мктрицн л отасетна.глсь иутег* приведения не с помощью преобразо-явшгР, озуеи^ккй Хлуаходдера к днухдаагсв&льпой Я»^-матрице Л : Л = [й 0? кр?. И'.Сю Л « В При * - Л\ лв$0 А =-• ^ при ¥>/?.

Зде'-ь В - квздраткйя я»я-д?ухдкеговальная камрада вида

| 0

; о с.„ ъ,...: о

I -

ъ \...... - . . .

! О (1 . ъ

{ -Л?— I в

I а

где а = т1п(И,Я). Из вида матрицы Л вытекает, что ее первые а сингулярных чисел совпадают с первыми а сингулярными числами матрицы В. Для нахождения последних применялся метод бисекции, а соответствующие сингулярные векторы отыскивались с помощью алгоритма сингулярного исчерпывания двухдиагональных матриц.

3. Нахождение параметра регуляризации Д.. Последний выбирается либо как положительный корень нелинейного уравнения

г Хг1ц |г

2 2 2 а = 1 (30)

п=( (А. +А. )

п

либо полагается равным нулю в отсутствие вещественных корней уравнения (30).

4. Нахождение решения задачи 2.2 по формулам

и решения задачи 2.1 по формулам (27), (29).

Далее, в § 5 главы 2 развивается численный алгоритм (Алгоритм 4) решения обратных экстремальных задач излучения звука в трехмерном регулярном волноводе. Алгоритм 4 по своему содержанию аналогичен Алгоритму 3 и имеет сходные с ним этапы. Имеющиеся в Алгоритме 4 отличия обусловлены только тем, что рассматриваемый волновод является трехмерным, а не плоским, как в Алгоритма 3.

Глава 3 посвящена обсуждению результатов проведенных численных расчетов. Она состоит из трех параграфов. В § I приводятся результаты численных экспериментов па нахождению собственных значений и собственных функций спектральной задачи 1.1 (либо 1.2) для некоторых профилей скорости звука с(а) и плотности р(г), взятых из акустики океана. Анализ этих экспериментов наглядно подтверждает широкие возможности разработанных Алгоритмов I и 2 с точки зрения их быстродействия, точности и универсальности.

В § 2 главы 3 приводятся и обсуждаются результаты некоторых вычислительных экспериментов по минимизации звуковых полей в плоских и осесимметричных регулярных волноводах. Наконец, в § 3 приводятся результаты вычислительных экспериментов по минимизации звуковых полей в трехмерных регулярных волноводах.. Число излучателей N во всех экспериментах менялось от I ди зи и выше, а целью проводамых

вычислительных экспериментов являлось, о одной стороны, изучение зависимости от if как сингулярных чисел A-n U*N матрицы А, так и решения задач 2.1 и 2.2, а с другой стороны -исследование влияния на точность решений возмущений (либо погрешностей исходных данных). Последние моделировались как погрешности, вызываемые неточностью вычисления с помощью Алгоритмов I и 2 собственных значений и собственных функций cpn(z) спектральной задачи I.I, входящих как в коэффициенты матрицы А, так и в вектор b в правой части (22).

Результаты численных экспериментов позволяют сделать вывод с» том, что точность решения задачи 2.1 существенным образом зависит от точности ре'шэния дифференциальной спектральной задачи, отвечающей рассматриваемому волноводу. Это связано о тем, что при.решении задачи 2.1 используется информация о всех ненулевых сингулярных числах эффективного ранга матрицы А, в том1числе и Слизких к нулю, которые очень чувствительны к малым возмущениям данных, вызываемым погрешностями при вычислении ообственных значений и функций волновода. Следовательно, для получения надежного решения задачи 2.1 необходимо использовать высокоточные алгоритмы нахождения собственных значений и собственных функций соответствующей спектральной задачи и, в частности, те алгоритмы, разработанные в первой главе диссертации, которые Позволяют вычислять их фактически с машинной точностью.

Публикации по теме диссертации

1. Finite element method tor ocean.waveguides. Proc. of Soviet-Japan Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics. Khabarovsk. 1988. Comput. Center. Moscow. 1989. (Co-authors Alekseev G.V., Shaidurov V.V.).

2. Быстрое вычисление звуковых полей в многослойных поглощающих волноводах. Владивосток. 1990. 45с. ( Препринт / ИПМ ДВО АН СССР). (Соавтор Алексеев Г.В.).

3. Быстрый алгоритм вычисления собственных значений для многослойного поглощающего волновода // Акуст. ж. 1990. Т.зб. Вып.6. С. 965-972. (Соавтор Алексеев Г.В.).

4. Модифицированный метод Гауссова исключения для речения

системы сеточных уравнений с ленточной матрицей. Тезисы докл.; Всесоюзн. конф. "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики". Владивосток. 1990. С. 104. б. Об одной модификации Гауссова исключения решения системы сеточных уравнений для двумерного уравнения Гельмгольца // Математическая физика и математическое моделирование ■ в ; экологии. Владивосток. Изд-во ДВО АН СССР', 1990. С. 85-9Г.

6. Быстрое вычисление нормальных волн в многослойных поглощающих волноводах. Тезисы 11-ой Всесоюзн. Акуст. Конф. Москва.

1991. Ак. ИН АН СССР. 1991J Т.1. С.44-47. (Соавтор Алексиев Г.В.).

7. Численное исследование экстремальных задач теории излучения звука в плоском волноводе // Математическое моделирование. 19Э1. Т.З. ¡6 12. С. 52-63. (Соавтор Алексеев Г.В.)..

8. Несамосопряженная сингулярная спектральная задача для оператора Гельмгольца с разрывным}! коэффициентами !// Я 4 вычисл. матем. и матем. физ. 19921 Т.32. № 4. С.587-Б97. (Соавтор Алексеев Г.В.).

9. Численное исследование задач теории излг^ягтя звука в регулярных волноводах: Препринт. Владивосток. ИПМ ДВО РАН.

1992. 40с. (Соавтор Алексеев Г.В.).

10. Об активном гашении звуковых полей в слоисто-неоднородных волноводах // Акуст. к. 1993. Т.39. Вып.1. С. 5-12. (Соавтор Алексеев Г.В.).

11. Perturbative Inversión method tor obtalnlng bottom geo-acouatlc parametera In shallow sea // Abstracta oí Intern. Symposlum on Computerlzád Tomography. Novoalbirsk. August

1993. Р. 7T.