автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Экспериментально-теоретическое исследование колебаний поверхности грунта при движении поездов метрополитена в тоннелях неглубокого заложения

На правах рукописи

Антонов Никита Александрович

Экспериментально-теоретическое исследование

колебаний поверхности грунта при движении поездов метрополитена в тоннелях неглубокого

заложения

Специальность 05.23.17 - «Строительная механика»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Мондрус Владимир Львович.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Белостоцкий Александр Михайлович;

кандидат физико-математических наук Сергеев Михаил Владимирович.

Ведущая организация: ООО «Вибросейсмозащита».

Защита состоится 17 октября 2006 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 113114, г. Москва, Шлюзовая наб., д. 8, ауд. № 608.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

Общая характеристика диссертационной работы

Актуальность темы. Практически в каждом крупном городе существуют долгосрочные планы развития сети метрополитена, являющегося на сегодняшний день наиболее надежным видом транспорта. Расширение сети метрополитена кроме очевидных преимуществ, имеет также и ряд недостатков, основным из которых является вибрационное воздействие, распространяющееся от тоннелей, вызывая в зданиях и сооружениях, расположенных вблизи трасс метрополитена, недопустимые вибрацию и структурный шум. Для решения данной проблемы как на Западе, так затем и в России возникло целое направление -виброзащита зданий и сооружений от техногенных, в первую очередь, транспортных, воздействий. Решение о необходимости устройства виброзащиты принимается на основе сравнения прогнозируемых уровней вибрации и структурного шума в помещениях возводимого здания с уровнями, приведенными в нормативных документах. Для получения прогнозируемых уровней вибрации и структурного шума в помещениях здания, как правило, используются данные об уровнях вибрации поверхности грунта на предполагаемой площадке строительства. В том случае, когда линия метрополитена еще только проектируется, определение прогнозируемых уровней вибрации в здании является весьма сложной задачей, основой решения которой служит предварительный расчетный прогноз уровней вибрации поверхности грунта. Таким образом, вопрос прогноза уровней вибрации поверхности грунта при расчетном динамическом воздействии поездов метрополитена на тоннель напрямую связан с общегородскими строительными проблемами и весьма актуален.

Целью диссертационной работы является разработка методики прогноза уровней вибрации поверхности грунта, которая, с одной стороны, не требовала бы от проектировщика проведения сложных математических расчетов, а с другой — позволяла бы на основе волновых представлений дать как качествен-

ную, так и количественную оценку уровней вибрации поверхности грунта при прохождении поездов метрополитена.

Научная новизна работы.

1) Предложена расчетная модель, позволяющая раздельно рассматривать элементы цепочки «тоннель-грунт», то есть, рассматривать раздельно расчетные модели тоннеля и грунта. Такой подход не только значительно облегчает расчеты, но позволяет попутно и независимо вносить требуемые усложнения либо упрощения в любой из элементов расчетной цепочки.

2) Расчет колебаний тоннельных обделок проводится по полумоментной теории, что позволяет получать более простые (по сравнению с расчетом оболочки по моментной теории) аналитические решения.

3) Для определения колебаний точек на свободной поверхности грунта используются решения в виде поверхностных волн, позволяющие достаточно просто описать процесс отражения цилиндрических волн от свободной поверхности грунта.

Практическая значимость. Разработанная в диссертации методика позволяет определять прогнозируемые уровни вибрации поверхности грунта, которые являются исходными данными для прогноза уровней как вибрации, так и структурного шума в зданиях и сооружениях. Получаемый таким способом прогноз позволяет решать вопрос о необходимости устройства виброзащиты для зданий, возводимых в полосах отчуждения метрополитена.

Достоверность и обоснованность научных гипотез и полученных результатов определяются корректностью постановки задач, обоснованностью всех этапов расчета и использованием апробированных методов теории колебаний и динамики сооружений. Кроме того, подтверждением достоверности предлагаемых подходов к решению заявленной задачи служит сопоставление теоретических результатов и имеющихся данных экспериментальных исследований.

Апробация работы. Результаты работы были доложены:

— на II международном симпозиуме по строительным материалам КНАУФ для СНГ 11 октября 2005 г.;

— на научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава института Строительства и Архитектуры Московского Государственного Строительного Университета 19 апреля 2006 г.;

— на заседании кафедры «Строительная механика» Московского Государственного Строительного университета 26 апреля 2006 г.

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в трех печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение и изложена на 168 страницах машинописного текста, включая список литературы из 72 наименований, 40 рисунков, 4 таблицы.

Основное содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертации, определена цель работы, ее научная новизна и практическая значимость.

В первой главе приведен обзор современных теоретических и эмпирических методов определения колебаний поверхности грунта, вызванных движением поездов метрополитена в тоннелях неглубокого заложения.

В настоящий момент все существующие методы теоретического определения перемещений свободной поверхности грунта при прохождении поездов метрополитена в системе «подвижной состав — тоннель — грунт» можно условно разделить на две группы:

— к первой группе относятся различные методы, использующие решения либо плоской, либо пространственной задач динамической теории упругости;

- ко второй группе относятся методы, в которых рассматриваются задачи о колебаниях стержней или оболочек, подкрепляющих цилиндрическую полость в упругом или вязкоупругом пространстве.

Для методов первой группы характерно построение решения задачи либо о воздействии сосредоточенной силы, приложенной в упругой полуплоскости или упругом пространстве с последующим интегрированием по области, занимаемой тоннелем, либо о колебаниях недеформируемой круглой шайбы внутри упругой полуплоскости. Разработкой методов первой группы занимались В.А. Ильичев, О.Я. Шехтер, М.А. Дашевский, E.H. Курбацкий, С.А. Курнавин, Е.Ю. Титов.

Для методов второй группы характерно рассмотрение колебаний бесконечных замкнутых цилиндрических оболочек, подчиняющимся гипотезам Кирхгофа-Лява или Тимошенко, подкрепляющих цилиндрическую полость в сплошном упругом или вязко-упругом пространстве. В этом случае нагрузка, моделирующая воздействие от поездов метрополитена, представляется либо сосредоточенной силой, движущейся с постоянной скоростью, либо движущейся нагрузкой, гармонически изменяющейся во времени. Разработка методов этой группы связана с именами М.А. Дашевского, А.Г. Горшкова, В.И. Пожуева,

B.И. Заборова, М.С. Рабиновича, JI.A. Алексеевой, В.Н. Украинца, С.А. Рыбака,

C, А. Махортых, С.А. Костарева.

Разработкой методов численного анализа поведения системы «подвижной состав — тоннель — грунт — здание» занимались Шапошников H.H., Белостоцкий A.M., Cloteau D., Aubry D., Chua K.H., Balendra Т. и др.

Также были рассмотрены внесенные в нормативные документы эмпирические методы, широко применяемые в практике проектирования.

Существующие в настоящее время эмпирические методы прогноза уровней вибрации поверхности грунта имеют весьма ограниченную область действия, а теоретические методы зачастую весьма сложны и требуют от проектировщика обширных специальных знаний.

Во второй главе, в соответствии с предложенным в работе принципом разделения расчетных моделей, определяются амплитуды вынужденных колебаний тоннельных обделок под действием динамической нагрузки от поезда метрополитена.

При расчете колебаний обделок перегонных тоннелей метрополитена, возникающих под действием движущейся пульсирующей нагрузки от поездов, перегонный тоннель рассматривается как бесконечная замкнутая цилиндрическая оболочка, подчиняющаяся гипотезам Кирхгофа-Лява. При такой постановке задачи принимается, что можно пренебречь влиянием лотковой части тоннеля на собственные формы и значения собственных частот; при этом реальная форма поперечного сечения тоннеля учитывается при передаче нагрузки от поезда метрополитена к тоннельной обделке. Кроме того, при разделении расчетных моделей принимается, что инерционными свойствами грунта, окружающего тоннель, можно пренебречь. Для оценки влияния окружающего грунта на тоннель в расчетную модель тоннеля как оболочки дополнительно вводится упругое основание, подчиняющееся модели Винклера, реакция которого направлена по нормали к срединной поверхности оболочки.

С целью обхода вычислительных трудностей, возникающих при расчете колебаний оболочки по моментной теории, в работе исследуется возможность применения к расчету колебаний тоннельных обделок полумоментной теории В.З. Власова. Такое упрощение оправдано, если предположить, что каждое кольцо тоннеля метрополитена в окружном направлении нерастяжимо, а между смежными кольцами передаются только нормальные усилия.

В работе рассмотрен расчет установившихся колебаний тоннельных обделок. Искомые перемещения и внешняя нагрузка раскладываются в двойные ряды Фурье. Сначала определяются частоты собственных колебаний тоннельных обделок, которые необходимы при определении вынужденных колебаний тоннельных обделок под воздействием внешней нагрузки. Расчет производится в подвижной системе безразмерных координат:

иг = р =

Л я

о

к

Уравнения равновесия оболочки в перемещениях для моментной и полу-моментной теорий имеют следующий вид:

д2и 1 -V д2и 1 + V Э2у дм Л2(1-у2)

— +--- +--+ V — =-->-ч

да2 ' 2 а/32 ' 2 дадр+У8а

1 + у д2и 1— V а2у 52у А2

+ --_ + —_ + .

2 ЭаЭр 2 Эа2 а/32

12Д'

а3н>

а3п>

+ (2-у)-а/З3 да2др

\2Я

„,, ч а2у а2у 2(1 -V)-5- +-5-

аа2 а/?2

дю др'

ЕИ

42

(2)

ди ау у-+---

да др 12В2

д\

1др3 да др

+ +

12Я2

а и? „ й № а и>

—Т+2—^——г

аа4 да2др2 др\

Л

а3« м3 (1 -у2)? а«3 12Л3

35.

<73

а7у „ а3у а^ а^7 а/?5 др3]

= 0

ддх дд2 д2д3 ^да др др2}

1 ( д$и | а3» | 1

(3)

а5у

а3у

да2дръ да2др)

= 0

Уравнения собственных колебаний при рассмотрении модели свободной оболочки, получаются из (2) и (3) приложением к оболочке в качестве внешней нагрузки инерционных сил:

, а2м , а2у . д2ю

ы*

81'

При учете упругого основания, действующего но нормали к срединной поверхности оболочки, выражения для внешней нагрузки принимают следующий вид:

, д2и д2у д2ус

у, = -р!г~, = -рА—у, <?з = -рЛ—т - (5)

Э< дг дг

где /Г — коэффициент постели, Н/м3.

Решение систем уравнений (2), (3) с учетом нагрузки (4) или (5) строится

методом разложения искомых перемещений в двойные ряды Фурье. Решение

системы (2) ищется в виде

оо оо ¡тка

—оо —оо

00 оэ ¡тка

* = 1 (6)

—00—00

00 00

.тка

•ц/ = е "" у у УУтпе ь е —00 —00

а решение системы (3) — в виде

оо 00 ¡тпа

—оо—оо оо оо

ОО ОО ¡т"а

у = Утпе * етК

(7)

-00 —со

Подставляя (6) и (7) в системы уравнений (2) и (3) соответственно, получаем системы однородных алгебраических уравнений для определения частот собственных колебаний оболочки, которые определяются из условия равенства нулю определителей систем алгебраических уравнений. Численный анализ этих уравнений показывает, что для моментной теории три из шести значений частот собственных колебаний удовлетворяют физическому смыслу задачи. Для полу-моментной теории физический смысл имеет только одно значение частоты собственных колебаний. В таблицах 1 и 2 приведены значения наименьшего корня

частотного уравнения момснтпой теории и корня частотного уравнения полу-момеитной теории (выделено курсивом) в подвижной системе координат (при с0 =20 м/с) с учетом и без учета упругого основания для следующих физических и геометрических характеристик оболочки: £ = 3-Ю10 Па, р = 2500 кг, у = 0,2, Я = 2,65 м, И = 0,2 м, ¿ = 232,8/2,65, К = \06 Н/м3 при т = 1...5, п = 1...3.

Таблица 1 — Значения собственных частот колебаний оболочки при расчете без

учета упругого основания, рад/с

т П N. 1 2 3 4 5

1 1,45 5,23 11,29 19,5 29,72

2 78,24 78,26 78,59 78,54 79,02 78,86 79,6 79,27 80,38 79,86

3 220,73 220,87 221,1 221,14 221,51 220,4 222 221,68 222,55 221,96

Таблица 2 — Значения собственных частот колебаний оболочки при расчете с

учетом упругого основания, рад/с

т

1 2 3 4 5

П ^ч

1 31,9 32,45 34 37,49 43,6

87,89 88,23 88,64 89,18 89,9

87,92 88,2 88,51 88,9

224,77 225,13 225,54 226,03 226,58

224,92 225,18 225,45 225,72 226

При расчете вынужденных колебаний бесконечных тоннельных обделок принимается, что нагрузка от поездов метрополитена является периодической с пе-

риодом ¿(где ¿—длина поезда плюс 80 м). Тогда, в пределах Ь нагрузка имеет следующий вид:

В работе принимается, что нагрузка от поезда может передаваться на тоннельные обделки по двум схемам: симметричной и кососимметричной относительно оси тоннеля. Первая схема возможна, когда поезд движется по абсолютно ровному участку, а вторая представляет собой «дополнительную» нагрузку, которая возникает в случае неравномерной передачи нагрузки от колесной пары на рельсы. В реальности нагрузка представляет собой сумму двух представленных нагрузок. Кроме того, предполагается, что в плоскости поперечного сечения нагрузка равномерно распределена на участке лотка шириной 2Ъ. Симметричная нагрузка вызывает нормальные напряжения в тоннельных обделках, а косо-симметричная — как нормальные, так и касательные: Схема 1:

Р, х е [- ас, ,-аг ], [- а-, ,-яб \ [- а5 ,-а4 \

р(а)=:\ '~а2 >[-"1.^1 [«2 . "з! к». а51 [а 6' а11 [«8 > «91 0, X е [- а8 ,-а7 ], [- а6 ,-а5 \ [- а4 ,-а3 ],[- а2 ,-а, ],

[а,, аг ], [а3, ал ], [я3, а6], [а7, ая \

а,

(9)

Схема 2:

^созр,ре[-р0,0\ о

0,| Р\*Р0.

(10)

(П)

Окончательно, действующая на оболочку нагрузка ) имеет сле-

дующий вид:

+ (12) Нагрузка также раскладывается в двойные ряды Фурье. Таким образом, выражения для внешней нагрузки на оболочку, в случае отсутствия воздействия со стороны окружающего тоннель грунта, принимают вид:

, д2и

2 оо оо . ю/г

+ (13)

СТ —оо -оо

VI «оо _<л

При учете упругого основания выражения для нагрузки имеют вид:

,д2и

2 оо о^ .МЛ

чг —(и)

-оо—оо

«."> ~~ —К . PI 71

^■¿у, со со , ч , s i-с

д?

В случае приложения нагрузки по первой схеме компонента q2 внешней нагрузки записывается в виде:

и?*

После подстановки в (2) и (3) решений в виде (6) и (7) (с заменой а>т„ на со), с учетом нагрузки (13) и (14), получаем системы неоднородных алгебраических уравнений, из которых определяются неизвестные коэффициенты U V W

В третьей главе определяются волновые поля в безграничной упругой среде и описывается метод определения колебаний поверхности упругого полупространства.

Для определения колебаний свободной поверхности фунта при движении поездов метрополитена рассматривается стационарная задача о распространении волнового пакета сложной формы в упругом изотропном полупространстве от подкрепленной цилиндрической полости. Решение данной задачи разбивается на два этапа:

— на первом строится решение задачи о распространении волнового пакета от цилиндрической полости в безграничном упругом пространстве,

— на втором этапе решается задача о взаимодействии волнового пакета со свободной поверхностью упругого полупространства.

При такой постановке задачи граничными условиями будут являться найденные в главе 2 амплитуды колебаний замкнутой цилиндрической оболочки, моделирующей тоннель метрополитена.

Дополнительно в главе 3 построено решение задачи о распространении волнового пакета в системе «тоннель — грунт» с помощью динамической теории упругости. В данной задаче граничные условия задачи состоят в равенстве напряжений на внутренней поверхности оболочки напряжениям от нагрузки, компоненты которой определены в главе 2.

Для решения поставленных задач используется известное представление искомых перемещений упругой среды через векторный и скалярный потенциалы. Решение задачи о распространении волнового пакета в безграничной среде строится в цилиндрических координатах, поэтому для того, чтобы получить систему уравнений с разделяемыми переменными, используется специальное представление векторного потенциала.

При решении задачи о взаимодействии волны, расходящейся от тоннеля метрополитена, со свободной поверхностью вводятся две поверхностные вол-

ны, характеристики которых определяются из условия равенства пулю напряжений на свободной поверхности упругого полупространства.

Для определения волнового поля в безграничной среде расчет производится в подвижной системе безразмерных координат, аналогичной использованной в главе 2:

В дальнейшем символ «штрих» в обозначении координаты м3 опускается.

Систему уравнений динамического равновесия в перемещениях можно записать в виде одного векторного уравнения:

Произвольное векторное поле представляется в виде суммы безвихревого и со-леноидального полей:

(15)

(Я + 2ц^гас!сНуп — /ггс>/ гог и - р —~ = 0.

(16)

и = ^ас!(р + гол|/. Подставляя (17) в (16) получим следующую систему уравнений:

(17)

(18)

где с, = /-— — скорость продольной волны в сплошной изотропной среде,

V Р

с2 = — скорость поперечной волны в сплошной изотропной среде.

Решение скалярного волнового уравнения, входящего в (18), п системе координат (15) для безграничной среды можно представить следующим образом:

» <» ¡ат^ ( ,-\

= ' е^Н^фс^-К2} (19)

Л тп

где Аг, = —-,

ь

Для решения входящего в (18) векторного волнового уравнения представим вектор у в виде суммы двух скалярных полей:

У = м + N = го((ула ) +—го(го((х\а ), (20)

*2

« « ( г—^-\

где¥(а,р,г,0 = е^^Втпе I е^Н^(ф22-К2),

—00 —О)

со =0 ,тто / --\

—оо —со

Л тп л

Л СО--с0

_ I ЯЬ °)

*2 = с2

Вектор N записан с множителем Я/к2, чтобы размерность у/ и х была одинаковой.

Окончательно вектор перемещений упругой среды через потенциалы X выражается следующим образом:

и=ёга<1<р + го{{чЛа)+Пк2х\а (21)

Для случая идеального контакта между оболочкой и упругой средой, граничные условия задачи примут следующий вид:

при/- = 1 на = а\иц — у\иг = и', (22)

где м,у,и>—компоненты перемещений оболочки.

Приравняв выражения для компонентов перемещении упругой среды соответствующим компонентам перемещений тоннельной обделки, получим систему неоднородных алгебраических уравнений, из которых определяются неизвестные коэффициенты Ат„,Вт„,Стп.

Для построения решения о взаимодействии системы «тоннель — грунт» с помощью динамической теории упругости, среда и оболочка описываются динамическими уравнениями теории упругости:

{Хк + 2яА)ягск/с&'уи(А) -уа-агоги(*} - Р^=

(23)

где к = 1 относится к оболочке, к = 2 — к среде.

Потенциалы, описывающие перемещения упругой среды имеют вид (19) и (20), а потенциалы, описывающие перемещения оболочки, запишутся следующим образом:

—00 —00 \ у

.тла ( п-гг-

+ А'тпе * е^У„ г^[к,'[ -

v

СО X !тП<Х

(24)

-К

А^Т-

—оо —со ,тка

к2 |+

1,

(25)

00 00 I— ^ /7-Тй-

Х{[\а,Р^) = е>°»^С'тпе I Н{к21-К2

—оо —оо .тка

+ С"пте'~е-

Ы'Ш

■К2

. тк R ш — с,, , l RL

где /г, =

r>\ тл

/? со--с0

l RL 0 2 <

г

с, — скорость продольной волны в оболочке,

г

с2 — скорость поперечной волны в оболочке.

Граничные условия задачи состоят в равенстве напряжений на внутренней поверхности оболочки напряжениям от нагрузки, компоненты которой определены в главе 2, и имеют следующий вид:

зз I -Q^3\a9p);

\r-b \r=b i r=b

„0)1 _„(2)| .„0)1 __(2)| (1)1 (2)1 . (27)

"11 ~ "11 '"22 — "22 '°33 — °33 > У*-')

I r-a lr=a i r=a lr=a l r=a I r-a

„(1)1 _„(2)| 0)1 _„(2)| . 0)1 (2)1 "o ~ua \ '"в ~UB \ ,ur ~ ur \

Ir=a 'r-a и >r=a ^ < r-a >r-a Ir-a

Подставляя в (27) напряжения, выраженные через потенциалы с помощью известных соотношений теории упругости, так же получим систему алгебраических уравнений, из которой определяются неизвестные коэффициенты

A R С ^тпг^тп'^-та •

Колебания точек поверхности грунта при движении поездов в тоннелях метрополитена определяются как колебания точек на плоскости, являющейся границей упругого полупространства, при падении на нее волнового пакета, излучаемого цилиндрической оболочкой. В работе предлагается инженерный подход, позволяющий для каждой точки поверхности полупространства строить решение в виде суммы волн, расходящихся от цилиндрической полости и записанных в цилиндрической системе координат, и одной из двух поверхностных волн, записанных в декартовой системе координат. Первая поверхностная волна используется для описания колебаний, распространяющихся в положи-

тельном направлении оси у, вторая — в отрицательном. Для волны, распространяющейся в положительном направлении оси у, угол падения будет равен О = п — ¡i ; для волны распространяющейся в отрицательном направлении оси у, угол падения будет равен 0 = р — tz . Для описания поверхностных волн используется следующая система координат, согласованная с (15):

, л: н

и,=х = — н--,

1 R R

= (28) „3=Z' = £_£е£.

3 R R

В дальнейшем символ «штрих» в обозначении координат опускается.

При определении параметров поверхностных волн для каждой из них решаются уравнения (18) в системе координат (28). Для сокращения изложения покажем это на примере волны, распространяющейся в положительном направлении оси у. Будем искать решение скалярного волнового уравнения, входящего в (18), в следующем виде:

( -тЛ 00 °° I—— / ч

<Р{ Х,УА = едХЕ* £ sinft'), (29)

Ч. / —оо —со

, V. sin в

где t = —--разница между временем прохождения цилиндрическои вол-

с

ной участка от тоннеля до поверхности с координатой у = 0, и временем прохождения цилиндрической волной участка от тоннеля до точки с координатой у = Ух, в которой определяются перемещения.

Таким образом, выражение (29) можно преобразовать следующим образом:

( »о I 2 \

<г\х,у,1] = Х{х)?Хе 1 «е^™ °>. (30)

Подставляя (30) в скалярное уравнение в системе (18), получим дифференциальное уравнение для определения неизвестной функции Х(х) :

сУЛ' ах-2

+ Яг А' = О,

(3!)

где А, =

п( тк \

Щ со--с0

-* 1

Отбрасывая из физических соображений возрастающую часть решения (31), искомый потенциал примет следующий вид:

00 00 I , \ ¡НЕ.

(32)

Для решения векторного волнового уравнения в системе (18) воспользуемся тем же приемом представления векторного потенциала в виде суммы двух скалярных, использованном для определения волнового поля в безграничной упругой среде. Тогда в системе координат (28) потенциалы у/ и % запишутся следующим образом:

» "> I ■> \ /—

и\у-у^т2в) ' I

—00 —00

(33)

(34)

где А;,

Щ со

^^2 тк 1

_/2

На свободной поверхности полупространства напряжения равны нулю, поэтому граничным условием задачи будет являться равенство нулю суммарных напряжений, вызванных поверхностной волной и волной, распространяющейся от тоннеля, в каждой из точек поверхности полупространства:

cr

A'l.v=0

o\

Г

// cos20 + it sin 20-

\

-r,.,)|r_ н sin 2 в

RcosO

RcosO

и sin2 0 +

+ (Tn\r= H cos2 9

RcosO

н sin2Q

RcosO

Подставляя в (35) напряжения, выраженные через потенциалы, получим систему алгебраических уравнений, из которой определяются неизвестные коэффициенты АмI, В„,1, Ст1.

Окончательно, колебания точек свободной поверхности полупространства определяются следующим образом:

В четвертой главе описывается эксперимент, проведенный с целью определения закономерностей распределения вибраций на поверхности грунта и проверки теоретических положений диссертационной работы.

В процессе исследований определялись вертикальные и горизонтальные (поперек оси тоннеля) колебания поверхности грунта, вызванные прохождением поездов действующей линии Московского метрополитена.

Для определения закономерностей распределения вибраций измерения проводились одновременно в шести точках, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга (см. рисунок 1). Глубина заложения тоннеля (по своду) составляла 10,6 м. Для измерений использовался виброизмерительный комплект, состоящий из переносного персонального компьютера, многоканальной измерительной системы Orchestra с двумя модулями IEPE/DIRECT фирмы OldB, шести пьезоэлектрических акселерометров АР-98-100-01 и калибратора

(36)

uf =и2 +иа.

'а

АТ01 ООО «ГлобалТест».

ГI ю

Для определения расчетных значений перемещений были приняты следующие характеристики грунтового массива: С] = 750 м/с, с2 = 420 м/с,

А =3,78-108 Н/м2, ^ = 3,18 ■ 108 Н/м2 (что соответствует суглинкам или супесям).

В процессе измерений было сделано по четыре записи ускорений вертикальных и горизонтальных колебаний поверхности грунта при прохождении поездов метрополитена. В процессе обработки с помощью программного комплекса <1ВРа для каждой из записей был получен максимальный спектр ускорений, после чего проведено интегрирование для определения максимальных перемещений на каждой из частот. После этого значения перемещений усреднялись по числу поездов. Таким образом, был получен спектр перемещений поверхности грунта за все время измерений.

На рисунках 2 и 3 приведены графики вертикальных и горизонтальных перемещений поверхности грунта, полученные экспериментальным и расчетным путями.

Момсипюя юория сугегомупрутт оа юти п 1Я--Океперпмет"

Рисунок 2 — Амплитуды вертикальных колебаний поверхности грунта при частоте воздействия /" = 36 Гц (ось абсцисс — № датчика; ось ординат — амплитуда, 0,! мкм)

-М^менп 1ая '1есрия с учетом упругого осношния--Эксперимент

1-21 1.0

0.8 0.6 0.40.2 -

0.0-1-,-,-1-г--.

1 2 3 4 5 6

Рисунок 3 — Амплитуды горизонтальных колебаний поверхности грунта при частоте воздействия / = 36 Гц (ось абсцисс — № датчика; ось ординат - амплитуда, 0,1 мкм)

В заключении приведены основные выводы, полученные в диссертационной работе:

1. Расчет частот собственных колебаний бесконечных замкнутых цилиндрических оболочек, моделирующих тоннель метрополитена, можно вести как по моментной, так и по полумоментной теориям. При этом расчет по полумоментной теории является менее сложным и, как следствие, более удобным. Однако, в том случае, когда наибольший интерес представляют низшие (< 12 Гц для железобетонных обделок) формы колебаний, полумоментная теория неприменима, т.к. диапазон значений частот собственных колебаний, охватываемый этой теорией ограничен снизу.

2. Пренебрежение в расчетах влиянием воздействия окружающего тоннель грунта может приводить к ошибочным результатам. Так, значения наименьших частот собственных колебаний, полученных по моментной теории с учетом и без учета упругого основания, отличаются на порядок. Однако, в случае, когда интерес представляют колебания на более высоких частотах, разница в значениях частот собственных колебаний уменьшается до 1-10 %. Кроме того, амплитуды вынужденных колебаний, полученных по моментной и полумоментной теориям с учетом упругого основания, также отличаются меньше, чем амплитуды, полученные по этим теориям без учета упругого основания,

3. Картина распределения амплитудных значений перемещений поверхности грунта находится в прямой зависимости от того, какая расчетная модель оболочки используется. На основании проведенных расчетов можно сделать вывод, что только в случае расчета тоннельных обделок по моментной теории с учетом упругого основания распределение перемещений на поверхности грунта будет соответствовать реальному.

4. Пропсдепиый эксперимент показал, что предложенная расчетная модель системы «подвижной состав — тоннель - грунт» дает адекватные результаты, хорошо корреспондирующиеся с экспериментальными данными. Таким образом, предложенную модель можно использовать для определения прогнозируемых уровней вибрации поверхности грунта при прохождении поездов метрополитена. Основные положения диссертации и результаты исследований изложены в следующих работах:

1. Дашевский М.А., Мондрус В Л., Антонов H.A., Глазков Д. А. Защита высотных зданий от вибрации, возбуждаемой движением поездов метрополитена // II Международный симпозиум по строительным материалам КНАУФ: сб. докл. - М.: МГСУ, 2005 г. - с. 112-123.

2. Антонов H.A. Определение собственных частот бесконечной замкнутой цилиндрической оболочки по моментной и полумоментной теориям в подвижной системе координат // Юбилейная научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава института строительства и архитектуры: сб. докл. / Моск. гос. строит, ун-т. — М.: МГСУ, 2006 г.-с. 10-20.

3. Антонов H.A. Определение перемещений поверхности полупространства при воздействии на него волнового пакета, излучаемого цилиндрической полостью // Городская научно-практическая конференция-выставка, посвященная 85-летию МГСУ-МИСИ «Современные технологии в строительстве. Образование, наука, практика»: сб. секц. науч. тр. / Моск. гос. строит, ун-т. - М.: МГСУ, 2006 г. - с. 30-36.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7: 07: 10429 Тираж 100 экз. Тел. 185-79-54 г. Москва, ул. Енисейская д. 36

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗА КОЛЕБАНИЙ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ГРУНТА, ВЫЗВАННЫХ ДВИЖЕНИЕМ ПОЕЗДОВ МЕТРОПОЛИТЕНА.

1.1 Состояние вопроса.

1.2 Обзор существующих теоретических методов прогноза колебаний поверхности грунта, вызванных движением поездов метрополитена.

1.3 Обзор существующих эмпирических методов прогноза колебаний поверхности грунта, вызванных движением поездов метрополитена.

Актуальность проблемы. В настоящее время практически во всех крупных мегаполисах наиболее актуальными являются проблемы развития транспортной системы и поиска новых участков под застройку. Существующие автомобильные дороги не справляются с ежегодно возрастающим потоком машин, а плотность застройки вдоль магистралей не позволяет их расширять. Поэтому основную роль в транспортировке пассажиров играет метрополитен. На данный момент, существующие линии метрополитена уже чрезвычайно перегружены, поэтому возникает необходимость в резком увеличении их количества.

Практически в каждом крупном городе существуют долгосрочные планы развития сети метрополитена. В Москве планируется пустить в эксплуатацию два новых участка метрополитена: от станции «Парк Победы» в Митино и от станции «Чкаловская» в Марьину Рощу, а также обсуждаются планы создания второй кольцевой линии. В Казани, после пуска в 2005 г. первой линии метрополитена, планируется устройство еще двух линий. В Екатеринбурге также планируется пустить в эксплуатацию новую линию метрополитена. В Минске каждые несколько лет вводятся в эксплуатацию новые перегоны на существующих линиях метрополитена.

Расширение сети метрополитена кроме очевидных преимуществ, имеет также и ряд недостатков, основным из которых является вибрационное воздействие, распространяющееся от тоннелей метрополитена, вызывая в зданиях и сооружениях, расположенных вблизи трасс метрополитена, недопустимые вибрацию и структурный шум. До недавнего времени проблема вибрационной безопасности жителей решалась путем удаления застройки от тоннелей метрополитена. Таким образом, из застройки исключалась полоса шириной 40 м с каждой стороны тоннеля, что приводило к потере до 1 га на каждые 100 м трассы. В современных условиях, ни один крупный город не может позволить себе терять такие площади, особенно когда плотность застройки достигла своего максимума. Для решения данной проблемы как на Западе, так затем и в России возникло целое направление - виброзащита зданий и сооружений от техногенных, в первую очередь, транспортных, воздействий (железнодорожные поезда, поезда метрополитена, автотранспорт и др.). В настоящее время разработано несколько эффективных способов виброзащиты, которые отличаются друг от друга как сложностью исполнения, так и степенью снижения вибрационного воздействия. Решение о необходимости виброзащиты принимается на основе сравнения прогнозируемых уровней вибрации и структурного шума в помещениях возводимого здания с уровнями, приведенными в нормативных документах. В России основным документом, определяющим допустимые уровни вибрации в помещениях жилых и общественных зданий, является СН РФ 2.2.4/2.1.8.566-96 [63]. Кроме того, некоторые регионы вводят свои нормативные документы, регламентирующие допустимые уровни вибрации, так, в Москве такими нормами являются МГСН 2.04-97 [43]. Для получения прогнозируемых уровней вибрации и структурного шума в помещениях здания, как правило, используются данные об уровнях вибрации поверхности фунта на предполагаемой площадке строительства. Очевидно, что непосредственное измерение уровня вибрации возможно только в том случае, когда линия метрополитена является действующей. В том случае, когда линия метрополитена еще только проектируется, определение прогнозируемых уровней вибрации в здании является весьма сложной задачей, основой решения которой служит предварительный расчётный прогноз уровней вибрации поверхности грунта. К счастью, в Москве есть возможность использовать результаты измерений уровней вибрации на участках действующих линий метрополитена, аналогичных проектируемому. Это связано с тем, что число линий достаточно велико, и нахождение аналогичного участка как по типу и глубине заложения тоннеля метрополитена, так и по геологическим условиям на участке строительства не представляет значительных трудностей. Однако, в тех городах, где данные о вибрационной обстановке вблизи линий метрополитена не являются столь полными, как в Москве, проблема прогноза уровней вибрации поверхности грунта при расчетном динамическом воздействии поезда метрополитена на тоннель является ключевой.

Существующие на данный момент аналитические методы определения волнового поля на поверхности грунта являются либо приблизительными, т.е. позволяют оценить вибрационную обстановку качественно, но не количественно, либо требуют от проектировщика обширных знаний в области математики и волновой механики, что существенно затрудняет их применение в проектной практике.

Таким образом, вопрос прогноза уровней вибрации поверхности грунта при расчетном динамическом воздействии поездов метрополитена на тоннель напрямую связан с общегородскими строительными проблемами и весьма актуален.

Целью диссертационной работы является разработка методики прогноза уровней вибрации поверхности грунта, которая, с одной стороны, не требовала бы от проектировщика проведения сложных математических расчетов, а с другой - позволяла бы на основе волновых представлений дать как качественную, так и количественную оценку уровней вибрации поверхности грунта при прохождении поездов метрополитена. Работа содержит экспериментально-теоретические исследования в области разработки инженерного метода прогноза уровня вибрации поверхности грунта при движении поездов метрополитена.

Научная новизна работы.

1) Предложена расчетная модель, позволяющая раздельно рассматривать элементы цепочки «тоннель-грунт», то есть, рассматривать раздельно расчетные модели тоннеля и грунта. Такой подход не только значительно облегчает расчеты, но позволяет попутно и независимо вносить требуемые усложнения либо упрощения в любой из элементов расчетной цепочки.

2) Расчет колебаний тоннельных обделок проводится по полумоментной теории, что позволяет получать более простые (по сравнению с расчетом оболочки по моментной теории) аналитические решения.

3) Для определения колебаний точек на свободной поверхности грунта используются решения в виде поверхностных волн, позволяющие достаточно просто описать процесс отражения цилиндрических волн от свободной поверхности грунта.

Достоверность и обоснованность научных гипотез и полученных результатов определяются корректностью постановки задач, обоснованностью всех этапов расчета и использованием апробированных методов теории колебаний и динамики сооружений. Кроме того, подтверждением достоверности предлагаемых подходов к решению заявленной задачи служит сопоставление теоретических результатов и имеющихся данных экспериментальных исследований.

Практическая значимость. Разработанная в диссертации методика позволяет определять прогнозируемые уровни вибрации поверхности грунта, которые являются исходными данными для прогноза уровней как вибрации, так и структурного шума в зданиях и сооружениях. Получаемый таким способом прогноз позволяет решать вопрос о необходимости устройства виброзащиты для зданий, возводимых в полосах отчуждения метрополитена.

Апробация работы. Результаты работы были доложены:

- на II международном симпозиуме по строительным материалам КНАУФ для СНГ 11 октября 2005 г.;

- на научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава института Строительства и Архитектуры Московского Государственного Строительного Университета 19 апреля 2006 г.;

- на заседании кафедры «Строительная механика» Московского Государственного Строительного университета 26 апреля 2006 г.

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в трех печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение и изложена на 168 страницах машинописного текста, включая список литературы из 72 наименований, 40 рисунков, 4 таблицы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассмотрены вопросы определения колебаний поверхности грунта при прохождении поездов метрополитена в тоннелях неглубокого заложения, на основании которых можно сделать следующие выводы:

1. Расчет частот собственных колебаний бесконечных замкнутых цилиндрических оболочек, моделирующих тоннель метрополитена можно вести как по моментной, так и по полумоментной теориям. При этом расчет по полумоментной теории является менее сложным и, как следствие, более удобным. Однако, в том случае, когда наибольший интерес представляют низшие (< 12 Гц для железобетонных обделок) формы колебаний, полумоментная теория неприменима, т.к. диапазон значений частот собственных колебаний, охватываемый этой теории ограничен снизу.

2. Пренебрежение в расчетах влиянием воздействия окружающего тоннель грунта может приводить к ошибочным результатам. Так, значения наименьших частот собственных колебаний, полученных по моментной теории с учетом и без учета упругого основания, отличаются на порядок. Однако, в случае, когда интерес представляют колебания на более высоких частотах, разница в значениях частот собственных колебаний уменьшается до 1-10 %. Кроме того, амплитуды вынужденных колебаний, полученных по моментной и полумоментной теориям с учетом упругого основания, также отличаются меньше, чем амплитуды, полученные по этим теориям без учета упругого основания.

3. Картина распределения амплитудных значений перемещений поверхности грунта находится в прямой зависимости от того, какая расчетная модель оболочки используется. На основании проведенных расчетов можно сделать вывод, что только в случае расчета тоннельных обделок по моментной теории с учетом упругого основания распределение перемещений на поверхности грунта будет соответствовать реальному.

4. Проведенный эксперимент показал, что предложенная расчетная модель системы «подвижной состав - тоннель - грунт» дает адекватные результаты, хорошо корреспондирующиеся с экспериментальными данными. Таким образом, предложенную модель можно использовать для определения прогнозируемых уровней вибрации поверхности грунта при прохождении поездов метрополитена.

1. Айталиев Ш.А., Алексеева JI.B., Украинец В.Н. Влияние свободной поверхности на тоннель мелкого заложения при действии подвижных нагрузок // Изв. АН Каз. ССР., серия физ.-мат. Алма-Ата, 1986.-№5.-с. 75-80.

2. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974. - 296 с.

3. Белостоцкий A.M. Моделирование взаимодействия сооружения с основанием и жидкой средой в рамках трехмерного динамического расчета методом конечных элементов. Сб. научных трудов Гидропроекта. - 1987.-Вып. 123.-с. 108-119.

4. Бычков Н.В. и др. Исследование смещений поверхности грунта при колебаниях тоннельной обделки // Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений: Тезисы VI всесоюз. конф., Нарва, 1-3 октября 1985 г. Ленинград. - 1985.-е. 111-113.

5. Бычков Н.В. и др. Экспериментальные исследования колебаний тоннельных обделок // Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений: Тезисы VI всесоюз. конф., Нарва, 1-3 октября 1985 г. -Ленинград.- 1985.-с. 109-111.

6. Варданян Г.С. и др. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Изд-во АСВ, 1995. - 568 с.

7. ВСН 211-91. Прогнозирование уровней вибраций в жилых домах, расположенных вблизи линий метрополитена, и проектирование виброзащитных мероприятий. Введ. 01.01.92. - М.:Минтрансстрой, 1992.-38 с.

8. Гольденвейзер A.J1. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1953. - 544 с

9. Горшков А.Г. и др. Волны в сплошных средах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 472 с.

10. Горшков А.Г., Пожуев В.И. Пластины и оболочки на инерционном основании при действии подвижных нагрузок. М.:Изд-во МАИ, 1992.-136 с.

11. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика: 9-е изд. С.-Пб.:2004. - 656 с.

12. Дашевский М.А. Дифракция упругих волн на полости, подкрепленной кольцом жесткости // Строительная механика и расчет сооружений. 1967. - №2. - с. 33-36.

13. Дашевский М.А. Защита зданий от вибрации, возбуждаемых движением поездов метрополитена: дисс. . д-ра. техн. наук: 05.23.17 / М.А. Дашевский. М.: 1991. - 456 с.

14. Дашевский М.А. Излучение и отражение упругих волн подкрепленными полостями в сплошной упругой среде при движении пульсирующей нагрузки // Труды ин-та / ЦНИИСК им. Кучеренко. -Исследования по динамике сооружений. М.: ЦНИИСК, 1971. - с.91-115.

15. Дашевский М.А. Излучение упругих волн при движении пульсирующей нагрузки вдоль тоннеля кругового очертания, проложенного в грунте // Труды ин-та / ЦНИИСК им. Кучеренко. -Динамика сооружений.-М.: Стройиздат, 1968.-с. 123-132.

16. Дашевский М.А. Излучение упругих волн при движении пульсирующей нагрузки вдоль тоннеля, проложенного в фунте // Строительная механика и расчет сооружений. 1971. - №5. - с. 10-13.

17. Дашевский М.А. Излучение упругих и упруго-вязких волн при движении произвольной пульсирующей нагрузки вдоль тоннеля кругового очертания, проложенного в грунте // III Всесоюзный съезд по прикладной механике АН СССР: Тезисы докладов. М., 1968. - с.112.

18. Дашевский М.А. Колебания грунта вблизи тоннелей метро мелкого заложения // Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений: Тезисы IV Всесоюз. конф. Ташкент, 1977. - т.1. - с. 111— 114.

19. Дашевский М.А. Прогноз динамических воздействий на сооружения, расположенные вблизи трасс метро // Строительная механика и расчет сооружений. 1982. - №4. - с.36-40.

20. Дашевский М.А. Прогнозирование колебаний грунта при движении поездов метро // Труды ин-та / ЦНИИСК им. Кучеренко. -Исследования по динамике сооружений. М.: ЦНИИСК, 1985. - с.33-51.

21. Дашевский М.А. Распространение волн при колебаниях тоннелей метро // Строительная механика и расчет сооружений. 1974. - №6. - с. 29-34.

22. Дашевский М.А., Кремер B.C., Кузьмин А.В. Колебания поверхности грунта при движении поездов метрополитена // Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений: Тезисы VI всесоюз. конф., Нарва, 1-3 октября 1985 г. Ленинград. - 1985.-е. 115-118.

23. Дорман И.Я. Борьба с вибрацией и шумом, создаваемыми поездами метрополитена: обзор зарубежного опыта. М: Оргтрансстрой, 1973. - 30 с.

24. Заборов В.И., Рабинович М.С. О колебаниях тоннельной обделки в грунте // Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений: Тезисы VI Всесоюз. конф., Нарва, 1-3 октября 1985 г. Ленинград. -1985.-с. 123-126.

25. Заборов В.И., Рабинович М.С. О колебаниях цилиндрической оболочки в твердой среде // Докл. АН БССР. Минск, 1985. - т. 29, №11. -с. 987-990.

26. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н. Полуаналитические подходы в строительной механике // Юбилейный сборник докладов, посвященный 100-летию со дня рождения В.З. Власова и 85-летию кафедры «Строительная механика». М.: МГСУ, 2006. - с. 69-78.

27. Ильичев В.А. Расчет параметров колебаний грунта и зданий, вызванных движением поездов метрополитена // Динамический расчет сооружений на специальные воздействия: Справочник проектировщика. М.: Стройиздат, 1981.-е. 136-143.

28. Ильичев В.А., Поляков B.C. К вопросу о расчете уровня вибраций в грунте от воздействия метропоездов в тоннелях мелкого заложения // Труды ин-та / НИИОСП. 1983. - Вып. 80, с. 33-42.

29. Ильичев В.А., Уколов В.Н., Шехтер О.Я. Распространение колебаний внутри полупространства от гармонической нагрузки, приложенной к его поверхности // Труды ин-та / НИИОСП. 1976. -Вып. 67, с. 27-42.

30. Ильичев В.А., Шехтер О.Я. Определение динамических напряжений и перемещений в упругой полуплоскости от внутреннего источника, имитирующего воздействие тоннеля метрополитена мелкого заложения // Труды ин-та / НИИОСП. 1976. - Вып. 67, с. 42-64.

31. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. 3-ье изд. -М.: Высшая школа, 1987. - 256 с.

32. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в Бесселевых функциях. М.: Физматгиз, 1960.-458 с.

33. Костарев С.А. Анализ вибраций, генерируемых линиями метрополитена, и разработка мероприятий по их снижению: дисс. . д-ра техн. наук: 01.02.06. М., 2004.- 270 с.

34. Костарев С.А., Махортых С.А. Модовая структура акустического поля, возбуждаемого колебаниями цилиндрической оболочки в сплошной среде // Техническая акустика. 1996. -№12. - с. 1-153

35. Костарев С.А., Махортых С.А. О контроле экологической обстановки вблизи излучающих звуковые волны упругих цилиндрических оболочек // Контроль и диагностика. 2001. - №1. -с.20-25.

36. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962.-767 с.

37. Курбацкий Е.Н. Использование теоремы взаимности для оценки уровней вибрации поверхности упругого полупространства от точечного источника, расположенного внутри полупространства // Вестник МИИТа. М.:МИИТ, 2004 - Вып. 11.-е. 93-104.

38. Курнавин С.А. Колебания обделок тоннелей метрополитенов и окружающего грунтового массива: автореф. дисс. . канд. техн. наук: 05.23.17.-М., 1985.- 19 с.

39. Махортых С.А., Рыбак С.А. О модуляции нормальной звуковой волны в адиабатическом приближении // Акустический журнал. 1988. -т.34.-№5.-с.898.

40. МГСН 2.04-97. Допустимые уровни шума, вибрации и требования к звукоизоляции в жилых и общественных зданиях. Введ. 06.05.97.-М.:ГУП«НИАЦ», 1997.- 19 с.

41. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы математической физики. М.: Изд-во иностран. лит-ры, 1960. - 2 т.

42. Новожилов В.В. Теория упругости. J1.: Судпромгиз, 1958. - 366 с.

43. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. - 695 с.

44. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости.-М.:Наука, 1981.-688 с.

45. Пожуев В.И. Движущиеся пульсирующие нагрузки в цилиндрической оболочке в упругой среде // Устойчивость и прочность элементов конструкций: сб. науч. тр. / ДГУ. Днепропетровск: Изд-во ДГУ, 1975.-с. 187-197.

46. Пожуев В.И. Действие подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде // Строительная механика и расчет сооружений. 1978. - №1. - с. 44-48.

47. Пожуев В.И. Действие подвижной скручивающей нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде // Строительная механика и расчет сооружений. 1984.-№6.-с. 58-61.

48. Пожуев В.И. Колебания трехслойной цилиндрической оболочки в упругой среде при действии подвижной нагрузки // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1979. - Вып. 35. - с. 42-47.

49. Пожуев В.И. Реакция системы «цилиндрическая оболочка -упругая среда» на действие подвижной нагрузки // Строительная механика и расчет сооружений. 1981. -№6. - с. 61-64.

50. Пожуев В.И. Реакция цилиндрической оболочки, находящейся в трансверсально-изотропной среде, на действие подвижной нагрузки // Прикладная механика. 1980.-т.16.-№11.-е. 28-35.

51. Пожуев В.И., Львовский В.М. Пространственная задача о вынужденных колебаниях цилиндрической оболочки в упругой среде // Динамика и прочность машин. Харьков, 1976. - Вып. 23 - с.39-44.

52. Пожуев В.И., Львовский В.М. Реакция цилиндрической оболочки в упругой среде на действие подвижной нагрузки // Изв. вузов. Стр-во и архитектура, 1976.-№2-с.61-66.

53. Поляков B.C. Колебания поверхности грунта вблизи тоннеля мелкого заложения // Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений: Материалы V всесоюз. конф., Ташкент, 8-10 декабря 1981 г. Москва. - 1981. - с. 298-300.

54. Поляков B.C., Грановский А.Н. Влияние параметров рельсового основания пути метрополитенов на уровень колебания обделки тоннелей // Строительная механика и расчет сооружений. 1984. -№1. - с. 58-61.

55. Прочность, устойчивость, колебания: в 3 т. / под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - Т.1. - 831 с.

56. Сагомонян А .Я. Волны напряжения в сплошных средах. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. - 416 с.

57. Скучик Е. Основы акустики: пер. с англ.. М.:Мир, 1976. - 2 т.

58. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972.-376 с.

59. СН РФ 2.2.4/2.1.8.566-96. Производственная вибрация, вибрация в помещениях жилых и общественных зданий. Введ. 31.10.96. - М.: Информационно-издательский центр Минздрава России, 1997. - 30 с.

60. СП 23-105-2004. Оценка вибрации при проектировании, строительстве и эксплуатации объектов метрополитена. Введ. 09.03.04.- М.: ФГУП ЦПП, 2004. 43 с.

61. Титов Е.Ю. Разработка методов оценки и способов снижения уровней вибраций сооружений вблизи метрополитенов и железнодорожных трасс: автореф. дисс. . канд. техн. наук: 05.23.17. -М., 2006.-24 с.

62. Украинец В.Н. Воздействие подвижной нагрузки в тоннеле на многослойную обделку и окружающий массив: автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.04. Алма-Ата, 1986. - 22 с.

63. Шум на транспорте: пер. с англ. К.Г. Бомштейна / под ред. В.Е. Тольского, Г.В. Бутакова, Б.К. Мельникова. М.: Транспорт. - 368 с.

64. Chua К.Н., Balendra Т., Lo K.W. Ground borne vibrations due to trains in tunnels // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. 1992.- Vol.21. No. 5. - pp. 445-460.

65. Cloteau D., Elhabre M.L., Aubiy D. Periodic BEM and FEM-BEM coupling: application to seismic behavior of very long structures // Computational Mechanics. 2000. - Vol. 25. - pp. 567-577.

66. Gardien W., Stuit H.G. Modelling of soil vibrations from railway tunnels // J. of Sound and Vibration. 2003. - Vol. 267. - pp.605-619.

67. Jones C.J.C., Thompson D.J., Petyt M. A model for ground vibration from railway tunnels // Proceedings of the Institution of Civil Engineers-Transport. 2002. - Vol. 153. - pp. 121 -129.

68. Ruecker W., Said S. Einwirkung von U-Bahnerschueterrungen auf Gebaeude: Anregung, Ausbreitung und Abshirmung // in Workshop Wave'94, Wave propagation and Reduction of Vibrations, N. Chouw and G. Schmid. Bochum. - 1994. - pp. 59-78.