автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Дискретные модели упругих стержней и численное моделирование динамики системы связанных тел

^ "а

г и

1 7

На правах рукописи

ЛЕОНТЬЕВ Виктор Анатольевич

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ СВЯЗАННЫХ ТЕЛ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

РаСхпа шлт.пк'ил о Санкт-Пе горбу ргском Государственном Техническом УНИВ<'|>< |1Т0ТС

Научным руководитель: кандидат физико-математических наук,

профессор Б.А.СМОЛЬНИКОВ

Официальные ошюжчггн: доктор фн»ик( »-математических наук

Д. А. ИНДЕЙЦЕВ

доктор технических нау* В. В. ЛАЛИН

Ведущая оргаииыипя : Государственное предприятие

Конструкторское бюро Специального Машиностроения (ГП КБСМ)

Защита состоится " " 199? г.

ВО

. часов на эа-

седании диссертационного ( (»пета Д 063.38.18 при Санкт-Петербургском ГосударгтрениомТехническом Университете гю адресу: 195251, г. Санкт* Петербург, П<мнтехническая ул.. 29 С диссертацией можно «адако-ыптыц и фундаментальной библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Т<'хнпп'-ткого Университета.

Автореферат ралосд

Ученый секретарь дмсссртацийц^оги совета Д 063.38.18. \

доктор биологических наук"'

А-В. ЗИНКОВСКИЙ

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Залам» прикладного характера, полни кающне при проектировании II анализе систем с распределенном уир> -гостью (например, робоготехннческих течем) часто требуют де-.талыюго математического моделирования динамики .них обьекюн.

Существует большой аре спал методов численного моделнрона-нин динамики деформируемых тел, п принципе позволяющих решать такие задачи. Однако стандартные методы рас чета част о недостаточно учитывают физический характер рассматриваемых :>адач, вследствие чего многие- задачи моделирования решаются либо с большими вычислительными затратами, лш'ш с m высоком точностью.

Подобные проблемы возникают, например, в следующих областях математического моделирования:

• Динамика стержневых систем с учетом распределенной изгиб Hoii податливости,

• Динамика систем связанных твердых тел с переменной кинематической и динамической структурой (наложение < вялен, обра зованне смешанных задач дннамнкн).

• Динамика механических систем с учетом сил сухого трения.

Каждая из этих областей имеет спою вычислительную специфику и представляет значительные трудности для компьютерного модели рования. Актуальным поэтому остается вопрос разработки, выбора п правильного использования методов численного моделирования, достаточно простых, но в то же время учитывающих згу специфику и обладающих пысок< ч эффективностью.

Цель и задачи исследования. В днсссртаншшнои работе с тавится задача разработать новые методы и приемы численного моделирования, позволяющие улучшить традиционные подходы к реше нню указанных проблем, развить содержательную сторону методов моделирования и повысить их точность. Ос новной целью является создание эффективных дискретных моделей изгиба стержневых систем, построенных в виде цепи упруго связанных твердых тел.

Кроме того, ui-лi.ki лшч г|>Тсиши «laiBi-Tcij разработки программных НЛГорптМои д.ш -IIK.Il-UIKtru Моделирования динамики упругих спржнеиых систем на бам- построенных дискретных моделей, причем как для гк pin)» uшорой (примой и обратной) задач динамики, так и для задач сметанного rima 11 задач г учетом сухого трения.

Методы исследования. Для решения поставленных задач т-пользуючч я мепии георетическт» механики, механики деформируемых тел, теории механических Ktiwóamiu, вычислигелыюй математики, программирование п численное мол»'.ти|мща[|це на ЭВМ.

Научная новизна.

1. Разработан новый метол конечномерной дискретизации распределенной изгпбнон упругости стержне» (балок). Дискретная упругая модель стержня строится в виде цепи упруго связанных абсолютно твердых тел так. чтобы для консольной балки Бернуллн-Энлера точно моделировались одновременно три характерных статических перемещения: а) угол поворота на копио; ó) прогиб на конце;

и) поперечное отклонение центра масс балки.

Статческпе шнипшг нагрузки при згом могут быть любой комбинацией мом(Ч1та на конце, поперечной силы На конце II непрерывна распределенной поперечной нагрузки,'имеющей вид произвольного полипома н функции от продольной координаты сечения.стсржня.

2. Построены высокоточные дискретные упругие модели стержней, работающие На изгиб, которые обладают внутренней структурой. учитывающей нн.Ч внешних нагрузок и которые могут служить "дискретными конечными элементами" (ДКЭ) при моделировании более сложных упругих систем.

Три указанных статических' условия а)-б)-п) приводят к высокоточному моделированию не только статики, но и динамики изгиба упругой стержневой системы. На бале разработанного подход-i построены также модели стержней переменного сечении и предложен.» методика сокращении размерности упругой дискретной системы.

3. Доказано, что построенные дискретные модели стержней- (ДКЭ модели) обладают вращательной симметрией" ш» упомянутым rptwt условиям, и что наиболее аффективными окалываются дискретные модели с внутренне)! игратммгрнои дискретизацией упругости.

4. Разработана компьютерная программа РКМ-1 дли Mite.н и ного р.н-чета дннамиы: многотемной цеми снизанных твердых тел с вращательными п поступательными т'мпи'шшми, Кроме блоков, предназначенных для решения ooi.Piin.ix задач динамики, npoipaM.ua РКМ-1 имеет блок решения .пшенных смешанных задач динамики па основе разрабо танных алгоритме»! их описании.

5. Предложена классификация смешанных задач динамики дли использования н Компьютерном моделировании динамики систем ( писанных тел. Предложено проводить численное моделнропаине задач с сухим трением посредством образования смешанных задач динамики в компьютерных программах расче та.

6. Построены алгоритмы формирования линейных смешанных .чадач с помощью одной или двух специальных одномерных мат]>пц.

Личный вклад. lice научные результаты и методологические подходы, приведенные и диссертационном работе, получены п сформулированы соискателем самостоятельно. Разработка компьютер них программ для расчета п численного моделирования динамики многозвенных упругих систем произведена также самостоятельно.

Практическая ценность. С номскнмо («« ¡роенных дискрет ных моделей упругих стержней и разработанном компьютерной программы расчета динамики системы снизанных тел РКМ-1 решен ряд задач численного моделирования динамики некоторых технических устройств, созданных в Центральном научно исследовательском и опытно конструкторс ком институте робототехники и технической кибернетики (ЦНИИ РТК) при СПбГТУ, п.) которых н диссертационную работу включены следующие:

, I. Численное моде.и.роцанне динамики и рабочего цикла промышленного робота - стеклонаборшнка с упругими звеньями.

2. Моделирование режима "пассивного торможения" крупногабаритного космического манипулятора па свободном осиоианпи, за счет моментов с ухого трения в шарнирах.

3. Проверка точности численного моделирования цикла равноускоренного движения (разгон, постоянная скорость, торможение) оращакццегося упругого стержня с грузом на копне (рис:. 2).

;t

Комплекс разработанных и лнсссртяцин методов. моделей н программных ;>.и 4j>iri-.M<>n численного моделирования может нснользо-пап.ея как состамиан часть современных компьютерных технологии для исследований п таких областях, как динамика многозвенных упругих стержневых систем большой размерности. идентификация Параметров системы и модели, оптимизация конструкции и алгорит-моп управления гибкими механическими системами, н.т.д.

Методологический подход, заложенный в оснону разработки дискретных моделей упругих стержневых систем на изгиб, допускает дальнейшее развитие при необходимости учета распределенных упру;-I их деформации сдвига. кручения и растяжсння-сжатня стержне» в соответствующем круге практических задач.

Апробация работы. Результаты работы докладывались н обсуждались на 1-й научно-технической конференции "Роботы н манипуляторы и экстремальных условиях" (Санкт-Петербург, 1992), Международной конференции но крупногабаритным космическим конструкциям (Новгород, ICOLASS-1993), 5-н научно-технической конференции "Роботы н автоматизированные системы управления технологическими процессами " (С.-Петербург, 1994). 6-i'i научно-технической кош]>ерен1цш "Робототехника для экстремальных условий" (С.-Петербург. 1995), 7-й научно-технической конференции "Экстремальная робототехника" (С.-Петербург. 1996). на семинаре кафедры "Механика п процессы управления" Санкт-Петербургского государственного технического университета (С.-Петербург, 1996).

Публикации^ По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит ил введения, четырех глав, заключения и списка литературы ил 100 наименовании. Диссертационная работа изложена на 180 страницах, содержит 26 рисунков и И таблиц.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая гл.т.! представляет собой аналитический обзор основных методов моделирования динамики cncTeSi связанных тел. в том числе деформируемых тел с распределенной упругостью.

А

В главе анализируются способы описания динамики стержневых спетом с распределенной упругостью и отмечается, что системы урап-иений п частных производных (используемые, например, в работах В.Е. Бербюка, Ф.Л. Черноусько и других) возможно исследовать аналитически лишь для систем с небольшим числом дпеньеи.

Метод конечных разностей (МКР) производит сеточную конечно-разностную аппроксимацию уравнений задачи в частных производных. Для математического моделирования статики и динамики континуальной системы более разумным подходом является предварительное составление конечномерной модели системы, описываемой с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Первыми способами такого описания были методы Рэлея и Ритиа, использующие понятие координатных функций. Сюда же можно отнести метод собственных форм (работы С. Харти, С. Дубовского и др.) и методы расчета квазистатических прогибов звеньев от инерционных нагрузок (Воробьев Е.И., Вукобратович М.).

Наиболее эффективным современным методом конечномерной дискретизации является метод конечных элементов (MIO), в котором центральное внимание обращается на выполнение условий сопряжения на концах элементов.

В ряде работ получены алгоритмы моделирования динамики упру*" гих многозвенных систем, в частности, робототехнических, на основе упомянутой методики МКЭ (Лакота H.A., Слиеде П.В., Иткин В.М., Naganathan G., Soui А.Н. и др.). Однако, правильный учет нелинейного динамического взаимовлияния звеньев стержневой системы приводит здесь к неудобному и громоздкому алгоритму расчета, часто вынуждающему делать не вполне корректные упрощения.

Стандартная методика МКЭ дает точное решение задачи изгиба стержневой системы при действии сосредоточенных узловых сил, моментов, а также постоянной распределенной поперечной нагрузки q(х) = г/о. Так как в плоскости изгиба стержневого элемента имеются только две степени свободы (прогиб и угол попорота на конце), то учесть нагрузку q{x) здесь возможно лишь путем приведения ее к узловым силе и моменту. Для постоянной нагрузки qo известно ее приведение к силам Рй — <¡aL/2 и моментам М0 = ±q{)L'¿/]2 в узлах, которое является точным, но для других случаевг'распределе- '

пня- нагрузки q(.r) точных фо.рмуд ее приведения к уаюпмм силам и моментам пол\ шть не удается.

Между тем точный учет денсш« определенно.« нагрузки ц(х)

важен,' Например, для расчета fxVTUK На урругол! «еНОВЗДНИ

(в модели Винклсра) и ддч мадедчрлвдиич дццамнкц стер,<*;иев«НН-стсмы, где на *-е упругое эдс^Ь Децят^ует-W^W««« поперечная ццерщи>мца>4 ц;,г^улка = f + фи •• г).

Для динамических |W4VW» WWW WH4VWW faagftmw умуут модели стер/едец, % ц^Т^хНК JW^w^VW«« упругость, концеит|>ад-руетея в коцелулод* « WWVJWW- рдснредсдение массы

Длине c(>xih»uW¥V4 * «ГВД УЩ\\Т« ШЭДШХ- W|«W-4 Тел, модедщ»у-к>щей стереть ft дискретной модели. работа-

ющей на изгиб. дедатДО'клт УПрлтие мамонты М, = -С,<р, и зцтем в численном моде.-щми&ЛВДЩ МОЖНО цщадчш компьютерные npiv граммы расчета системы связанных твердых Тед.

Но чтобы. "WBi» модель щ\к "дискретный конеч-

ный .элемецт" (ДКЭ>), необходимо» что,6«, в ней точно модслщмш-лись прогцб. ц угод щшоротн конца, стержня ХОДЯ бы до* основных типов pwwHiix статических нагрузок. дакух цоперечиая еилд ц .момент (т.?.. адщхшялцеь бы условия сшцми$<'ШМ злементов,);-

Простейиьщ извес тная дискретная модель "Ср" имеет одинупру-гий шарнир, в цачаде звено е угловым, коэффициентом упругости С). = ZEJ/L ц правильно дает лцщь. статический прогиб на конце от поперечной силы Ру •

В равномерной модели. " Е„ " степень делится на п (»явных твердых тел длиной i—Lfn с л уг,ц>угц ми,шарнирамп, имеющими коэффициент упругости € = n EJi/i-. Дз^стно (Малиновский А.П..1978. Huang Y., 1989. Болграб^зд ЙД1.., 1996),, что эта модель становится -.»кшшаленгнои, у1щут<,едх V.TV^WUMi и со. При конечном модель Е„ пра,вцт!,ш ледйЬ. Х¥ОД поворота от момента на коиде н существенно менее эф^^тадна, чем конечнозлементные модедц.

Модель "Вп " (Вадедее Каде T.R..1989) есть модель, с измененной упругостью."Ci = (EJ/L) • 6п2/(3п - 1) Первого шр<-иира так, чтоЛы получился правильный прогиб на конце ОТ VtyTW fv ирн любом и (обобщение модели С'р). Модель Банерджц-Кэди« fh значительно точнее модели Е„ по собственны!! частотам

D главе проанализированы способы численного описании динамики системы связанных твердых тел с помощью компьютерных программ и сделан вывод, что для численного описания динамики такой системы особенно эффективны программы, основанные на рекуррентной записи уравнении Ньютона-Эйлера.

Отмечается, что для многих систем требуется их описание с помощью смешанных задач динамики, в том числе и для систем с сухим трением. Для них необходим не только корректный учет модулей сил нормальных реакций (как это показано, например, п работах .Не Суан Аня), но также и учет "эффекта прилипания". В момент "слипания" контактирующих поверхностей сила трения покоя может быть найдена путем проверки гипотезы о равенстве нулю их относительного ускорения. Здесь возникает задача алгоритмизации смешанных задач динамики, например с помощью простых одномерных матриц.

В конце главы рассматриваются известные методы численного интегрирования ОДУ динамики систем с упругостью, обладающие безусловной устойчивостью (неявные методы Хаболта, Иьюмарка, Вильсона, Хильбера-Хьюза н другие). Отмечается, что в задачах • динамики упругих конструкций (Structural Dynamics) эти методы следует применять с осторожностью, так как они имеют существенные недостатки. Это касается и так называемых оптнмшьных неявных Методов Рунге-Кутты, которые теоретически должны сохранить энергию консервативной системы в численном процессе.

Вторая глава посвящена разработке и анализу принципов построений дискретных моделей упругих стержней на изгиб.

В этой главе установлено, что, кроме точного моделирования статических прогиба И угла Испорота на конце изогнутого стержня, для ТОЧНОСТИ Модели по собс гвенным частотам важное значение имеет Tti'tHm1 Моделирование статического поперечного смещения центра Масс стержня Ус „, . По аналогии с известной формулой Рэлея, получена следующая формула для квадрата собственной частоты f поперечных колебаний стержни с массой ш и длиной L :

где Ру - главный пек-тор статических поперечных внешних сил, со-сгояпши из распределенной нагрузки д(х) п сосредоточенных гнл Рч , а у(х) есть соответствующая линия упругого прогиба стержня.

На основе формулы (1) показано, что Точность дискретных моделей но собственным частотам сильно зависит от того, для насколько высокой степени полинома будет точно моделироваться поперечное отклонение центра масс Уг ,„., когда распределенная нагрузка д(.г) понимается в виде произвольного полинома степени "А"'.

Затем формулируются требования к. дискретной ДКЭ модели в виде условий точного моделирования угла поворота на конце &1. прогиба на конце У/, н величины УСП1 при действии статических

нагрузок на конце А//, Ру п д(г) = 70, А?.г2.....АкХк.

вплоть до некоторого заданного значения "Я"', которое можно назвать тарами ристипсским индексом ДКЭ модели стержня и ввести обозначение такой модели как . Стержень при этом рассматривается как консольная балка Бернулли - Эйлера постоянного сечения (рис. 1). Дополнительным условием моделирования яа1яется условие либо полной минимизации количества шарниров модели, (п). либо частичной (тогда "лишние" степени свободы могут использоваться для повышения точности моделирования верхних собственных частот).

Я(х)=АкУ+ + е.

Р

У

•Балка Бернулли- | - Эйлера \

с2= г _ 5 ЕЛ сз-2 Т

х2= L 3 5

1С1 ^ С3 С« «5 . св'

Тх, к, Х3 *4 хв:

■ ■ Рис. I. Дискретные у|1|>\1 ие модели кпжшъмой балкп.

Угол попорота конца дискретной модели в', , п|>огиГ> конца У,* П смещение центра масс УГ*1П ость соответствующие суммы вида н х,)2/2Ь. При этом относ итель-

ный угол поворота в упругом шарнире есть в1 = Л/;, где Л? = 1 /С\ - угловая податливость, а Л/| - статический момент в точке .т,-, одни П тот же для стержня и его дискретной модели:

Л/, = Мг + ЫЬ ~ *,•) + ¡/1(№ ~ г,) (2)

Вводятся безразмерные параметры a¡ = <5? • Е.1/1, и А, — 1 — х,/Ь дискретно!! модели. Точные величины Ол , У/. » Уст есть функционалы вида /цу"(г)(1х, /„';/(х) (1г и у/¿-у(х) гЬ от линии прогиб«! у(х) моделируемого стержня. В главе показано, что после приравнивания друг другу соответствующих функционалов и сумм образуется нелинейная определяющая система уравнений относительно 2п безразмерных параметров ДКЭ модели: " ■ . 1

£а,АГ1 = -1 л = 1,2.....ЛГ. Л'<2д (3)

.= ! 1

Система (3) имеет смысл уравнении для определения параметров точного квадратурного представления интегралов , У/., , и поэтому многие условия моделирования для нагрузок различного типа приводят к одним п тем же уравнениям из-(З), если образуются одинаковые степенп подпнтегрального полинома в этих интегралах. Величины a¡, А,- при этом есть веса и узлы соответствующих квадратур на промежутке [0,1] дм функции Г{А) = А-1"1:

/>(А) ¿А = £о4Г(А4) ' (4)

¡=1

В главе доказана ТЕОРЕМА 1 о том, что если безразмерные параметры (а,-, А,-) ДКЭ модели удовлетворяют системе N уравнений (3), то такая модель осуществляет точное моделирование трех интегралов ©£, 1*1, Ус т. при действии произвольной комбинации статических нагрузок Мг, Л', = % + + • - • + Акхк, причем для выполнения этих условий при действии Мг, Рг необходимо, чтобы Л' > 4, а индекс модели К = N ~ 5 (при N > 5).

Для дискретной цоделп с несимметричным расположением упругих шарниров очень важным является требование ее вращательной

симметрии, то сеть сохраните ее свойств при повороте вокруг « ttowi центральной оси на 180° относительно системы нагрузок Mz , fV t ¡¡(.г). Доказана ТЕОРЕМА 2 о том, что если пары параметров ,Декретной модели (о, , А,) являются решением системы {3), to решением се являются и пары («,, 1 - А, ), то есть ДКЭ модель обладает вращательной симметрией, сохраняя при повороте свои ИИДекс '"if".

МОДЕЛИ Относительные погрешности £(/, по Части-гам, ь Ж

i = 1 2 3 4 5 6

СР -14.7

-•25.1 -21.8 -24.9

в3 -1.44 -12.6 -23.5

Сг -1.01 62.6

G!, 0.05 -8.3 97.0

СЯ3 -0.28 6.7 39.3

Я 0.04 -5.0 9.5

мл -0.12 2.4 -2.0

2хМя 0.002 0.6 -2.2 8.2 -19 -44

я* -14 -13 -12 -12 -15 -24

Д» -0.4 -3.4 -6.1 -9.1 -14 -24

ЯЗ -0,002 -0.2 -2,1 -10 23 206

М,! ЧШН -0.5 1,0 0,2 9,5 -0,2

МКЭ-1 0.4? 58.0

3 х МКЭ2 0.01 0.3 1,2 16 32 It

Таблица 1. 'ГочьогТь Фиделей по Частотам.

Б таблице 1. приведены данные по точности отображения Частот изгибных колебании однородной консольной балки Для различных конечномерных моделей. Модели МКЭ2 и 3 х МКЭ^ есть Модели, построенные по МКЭ-методнке с использованием полиномов Эрмпта и размещенные на длине стержня в один и в три равных Конечных эле-

Мечта, Д-ЧЧ дискретных моделсц массы и моменты инерции звеньев длиной (, вычислялись как гщ = mi,/L и /, = rnfjYIL. На основе уравнении (3) построены ЛКЭ модели изгиба консольного стержня "типов Гаусса, Чебышева и Радо", с использованием узлов н весов соответствующих квадратур.

Дискретные модели (V* , основанные на оптимагьных квадратурах Гаусса, имеют индекс К = 2п- 5>. Модель (St точно выполняет 9 статических условий: по уму W нагруз.о* v И\ ,, q = од, q = А-г: пи прогибу Yt для нагрузок Мг , t\> , ; w>> «асс

Ус,п. д-w Мг » IV • Модель G^ вдвщнда-т уже tt ус.цшки моделирования: по углу длч нагрузок Мг, ¡\, ц = «¿о,, ц = A.s ,. q = /U2, <? = Лг3; до прогибу Vt Мг, /V , $ = ф», ц = A t , ^ — А?'2'; да» центру масг Уг ,„. для Mz^ f\ - = </«, ^ = 4 »',

Модели "типа Чебышева" С if* с равных*« жесткостчми С\ ~ V существует лить при п = 2,3,4*5»6,?,ft. Модель. Cih выполни те же условия, что н G-t. Модели "типа Радо" R* с первым щарн,и|¥к\^ выбранным в начате звена, имеют индекс К = 2а - 6,

В таблице }. приведены также данные по, "улучщенщ®» й» верхним частотах»" ДКЭ моделям консольной балки Мз в Ml-. Параметры я,тих .моделей выбирались так, чтобы удовлетворить, cwi». сТвенио, четыре ц шесть первых уравнении определяющей системы (3t), Добавочными условиях!» для определения параметров служили условия понижения ошибок по. известным верхним частотам коле6;v щщ консольной балки. Дискретная модель Мз (рис. 1) выполняет те же статцчеекце условия, что и модель Gi, а дискретная модель (табл. 2.) - те же, что ц G\ ,

Модель Mg i = J 2 3 4 5 6

С, • LIE J 18.2284 a so«« 7.0Ш7 6.4562 5.4630 4,95,6.6

Xi/L Q 0.180 0.3.95 0.37? 0.665 0.Э1&

Таблица 2. Параметры дискретной модели М} .

Третья глава посвящена допросам использования разработанных ДКЭ моделей простого консольного, стержня как элементов при численном моделирование утатйк« Ц динамики стержневых систем.

U

ф 1

1. » V .

-ф

1'ш. 2. Нршщ'нне упругого звена.

200.0-

100.0 т

.0.0-

-100.0 Н

-200.0 -

-300.0

1'ис. 3. Динамическая точность дискретных моделей.

Так как разработанные модели выполняют условия сопряжения на концах, то они могут служить конечными элементами при присоединении к их концам соответствующих сосредоточенных упругих элементов и твердых тел и при введении этой общей расчетной модели в компьютерные программы расчета динамики системы связанных твердых тел. Рассмотрены конкретные случаи вычисления с помощью моделей М3 и собственных частот колебаний для основных вариантов стержневых систем. Во всех случаях результаты демонстрируют быструю сходимость, то есть погрешности по собственным частотам не превышают нескольких процентов и быстро уменьшаются при увеличении числа ДКЭ элементов.

На основе описанного выше подхода к дискретизации получены параметры "моделей-сверток" с двумя и с тремя упругими шарни-

рамп, понижающих размерность прямолинейном системы (п) сосредоточенных упругих элементов. Кроме того, построены эффективные ДКЭ модели п для прямолинейных балок с переменным сечением.

Если бы окапалась велика ошибка п описании продольно - поперечного изгиба стержня с помощью ДКЭ моделей (разработанных бел учета продольной силы Рх . рис. 1), то их нельзя было бы использовать как конечные элементы. Теоретический анализ показал, что эта ошибка мала и не превышает 5%.

В главе получены формулы для определения критических продольных сил сжатия для дискретных упругих моделей п смысле устойчивости нх по Эйлеру. Расчет показал, что ошибка по этой силе для модели Мд мала и равна —5%, а для М0' составляет всего — 1%.

После сравнения результатов численного моделирования дина-MiiKii упругой системы (рис. 2-3) с точным решением уравнении ее движения в частных производных, сделан вывод о том, что ДКЭ модели с очень высокой точностью описывают динамику упругой стержневой системы (даже при резком разгоне и торможении).

Четвертая глава диссертации посвяшена разработке и применению в типовых задачах численного моделирования компьютерной программы РКМ-1. предназначенной для численного формирования и решения уравнений динамики открытых цепей твердых тел с сочленениями вращательного и поступательного типа.

Для линейных смешанных задач динамики можно получить линейную систему уравнении относительно смешанного вектора /?[,vxi| компенсирующих сил Q* и неизвестных ускорений qH:

A[,v*,v] -i?[.vxi] = £[,vxi] • (5)

где А и В - преобразованные матрицы инерции и правых частей уравнении второй задачи динамики. Разработаны два алгоритма таких преобразований с помощью одномерных "матриц-индикаторов" (векторов) KMX(i) a KMQ(i). Элементы бинарного вектора - ии-. дикатора KMX(i) равны 1 для тех сочленений цепи, в которых заданы ускорения, и равны 0 для сочленений, в которых ускорения неизвестны. Вектор KMX достаточен для описания таких линейных смешанных задач, когда компенсирующие силы необходимо найти в тех же сочленениях, в которых заданы ускорения. Если же

«иди могут быть приложены в других (вообще произвольных) «»членениях, тогда вводи ген еще один бинарный вектор KMQ .

Парне. 4. показана ситуация в зоне "прилипания" скользящих поверхностей при « ухом трении. Сила трения г»сух ТРЕНИЯ покоя определяется в момент равенства 1

нулю скорости q,, после задания д, = 0 и R¡

проверки, не превышаются ли максималь- ф'Р«опьжен ные силы трения покоя . При модели- 1

q,=o

■QKOMnEHCHP

, тр скольжения

рованин момент fjj определяется из уело- (t*)' ®

вня t/i(ti)q,(/t+i) < 0, а сила трения покоя вычисляется как компенсирующая сила Qf —Rj

при задании q, = 0 н KMX(i) = 1. Рис. А.

В конце главы приведены примеры численного моделирования динамики для двух сложных робототехннческнх систем: а) моделирование процесс а пассивного торможения космического манипулятора, расположенного на свободном основании; б) моделирование динамики и рабочего цикла промышленного робота с упругими звеньями. Результаты показали высокую эффективность разработанных ДКЭ моделей н численных моделей динамики этих систем.

В заключении сделаны также общие выводы о том, что дискретные модели континуальных систем должны быть: 1) масштабно и симметрично инвариантными; 2) критерии моделирования должны быть "вложенными'' друг в друга, то есть каждый последующий сложный кри терии должен подразумевать выполнение всех предше-стоуюшнх более простых критериев моделирования. <.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан новый метод дискретизации распределенной изгибной упругости стержней на основе квадратурного представления трех интегралов: угла поворота конца , прогиба конца У/, и отклонения центра масс Yc m статически изогнутого стержня.

Дискретшш упругая модель стержня Бернулли-Эйлера строится в виде цепи упруго связанных твердых тел Таким образом, чтобы точно моделировать эти три интеграла при действии как момента М н поперечной силы Р на конце, так и непрерывно распределенной поперечной нагрузки q(х), имеющей вид произвольного полинома с

заданном макснматьной степенью К (индексом модели).

• В результате предложен нопый тип стержнепогоодномсрнм о "дискретного конечного элемента" (ДКЭ), который способен, за счет внутренней структуры, учитывать вид распределенном нагрузки.

2. Доказана теорема о величине индекса дискретной модели и получены дискретные модели типа Гаусса. ЧеОышепа и Радо.

3. Сделан вывод о более высокой эффективности дискретных моделей с неравномерной дискретизацией упругости.

4. Доказана теорема о том, что построенные ДКЭ модели (в отличие от известных дис кретных моделей) по основным своим свой-, ствам обладают оращммлмой пшмптрпкЛ. даже если они имеют несимметричную внутреннюю структуру.

5. Разработаны ДКЭ модели стержне« М% и М(\. существенно превосходящие по точности другие дискретные модели стержней.

6. Получены '"модели-свертки", понижающие число степеней свободы дискретной упругой системы большой размерности.

7. Построены два типа дискретных упругих моделей прямых стержней с переменным сечением.

8. Показано, что разработанные дискретные модели стержиеш с высокой точностью отражают свойства продольно-поперечного изгиба и устойчивости стержня по Эйлеру,

9. Разработана компьютерная программа РКМ-1 для численного формирования уравнений динамики системы связанных твердых тел, учитывающая все дннамнческне слагаемые уравнений движения, с ггомошью которой решено большое количество задач моделирования динамики робототехническнх систем с распределенной упругостью.

10. Предложены простые алгоритмы формирования линейных смешанных задач динамики для численного моделирования динамики систем связанных тел, в том числе с учетом сухого" трения.

Публикации по теме диссертации.

1. Леонтьев В.А. Оптимальная дискретизация распределенной упругости в расчетных моделях звеньев манипулятора // Материалы 1-й научно-технической конференции *Роботы и манипуляторы * экстремальных уг_лови*х"-СПб.: СПбДНТП, 1992. -с. 100-100.

2. Леонтьев В.А.. Прядко A.IL, Смольников Б.А., Юдин D.H., K)i»'Biri E.H. Вопросы динамик» крупногабаритного космического манипулятора // Мщцсриады конференции по крупногабаритным космическим конструкциям (¡COLASS-9'i). Новгород. 1993, < .39-40.

' 3. Бурдаков С.Ф., Вяххи Н.Э., Леонтьев В.А., Прядко А.П., Юдин В.II. Компьютерные технологии исследовании и математического моделирования при создании конкурентноспособных РТС // Научно-технические ведомости СПбГТУ СПб., 1995, .V2, г. 73-81.

4. Васеико Ю.М., Вяххн Н.Э., Леонтьев В.А., Прядко А.II., Юдин В.П., Яскевнч A.B. Моделирование динамики упругого манипулятора корабля "Буран" // Робототехника и техническая кибернетика. Сборник к 25 - летит ЦНИИ РТК, СПб., 1993, с. 85-Я0.

5. Вяххи Н.Э., Леонтьев В.А., Прядко А.И., Юдин B.II. К методике моделирования манипуляшюнных систем с учетом их упругости // Материалы V научно-технической конференции иРоботы и автоматизированные системы управления технологическими процессами. " , СПб., 1995, с. 105-109.

G. Леонтьев В.А., Орлов С.А. К вопросу оптимизации точности движения упругого манипулятора // Современная технология и подготовка аотоматмирооинного серийного производства машин и приборов Л.: изд. ВТУЗ ЛМЗ, 1990, с. 39-4С.

7. Леонтьев В.А. Основные схемы н методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и их применение к математическому моделированию осциллирующих механических с истем в задаче Коши. СПб., 1994, - 71с., - деп. в "ВИНИТИ 09.12.94, №2859-В94.

8. Леонтьев В.А. Особенности выбора методов численного интегрирования в задачах моделирования динамики робототехшпеских систем // Материалы 6-й научно-технической конференции "Робототехника для экстремальных условий" -СПб., 1996, с. 77-88.

9. Леонтьев В.А., Лальмов В.А., Смольников Б.А., Юдин В.И. Динамическая точность дискретных моделей упругих звеньев РТС. // Материалы 7-й научно-технической конференции "Экстремаль-нал робототехника" СПб:, 199G.