автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамических процессов в дискретно-континуальных системах с упруговязкими стержнями

На правах рукописи

ПЕТРОВА Татьяна Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С УПРУГОВЯЗКИМИ СТЕРЖНЯМИ

Специальность 05.13.18-Математическоемоделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2005

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Андрейченко Дмитрий Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Клинаев Юрий Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент Кондратов Дмитрий Вячеславович

Ведущая организация Институт проблем точной механики

и управления РАН, г. Саратов

Защита состоится 23 декабря 2005 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу:

410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. I, ауд.

3*?

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Автореферат разослан ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Большаков А.А.

Z149Ш

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для проведения оценки устойчивости и динамических характеристик различных технических систем часто требуется проводить построение и анализ математических моделей управляемых деформируемых конструкций. Математические модели таких конструкций, построенные на приближенных решениях уравнений с частными производными по методу конечных элементов либо по методу разложения по первым собственным формам, являются конечномерными. Спроектированное на основе таких приближенных моделей управляющее устройство может вызвать дестабилизацию неучтенных форм колебаний. Этот эффект, называемый излишним управлением, экспериментально наблюдаемый в больших космических конструкциях, был описан в работах Г.С. Нура, P.C. Рай-ана, Х.М. Скофилда, Д.Л. Симса. Данный эффект был математически смоделирован в упругом звене манипулятора в работах К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, А.Б. Смаруня. Поэтому проблема динамического моделирования управляемых деформируемых конструкций без априорных конечномерных аппроксимаций весьма актуальна.

Физические модели многочисленных современных робототехнических систем, искусственных спутников Земли и орбитальных космических конструкций содержат дискретные элементы с сосредоточенными по пространству параметрами (абсолютно жесткие тела, датчики первичной информации, двигатели и т.д.) и континуальные элементы с распределенными по пространству параметрами (упругие панели, упруговязкие стержни, мембраны и т.д.), динамически связанные через границы раздела, и в этом смысле являющиеся дискретно-континуальными. Предназначенные для моделирования их динамического поведения математические модели, содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения, связанные с ними через граничные условия уравнения с частными производными, условия связи и начальные условия, для краткости также называют дискретно-континуальными системами (ДКС).

С начала шестидесятых годов известна неконсервативная задача о поведении упруговязкого стержня постоянного сечения под действием следящей силы, которая рассматривалась многими авторами (Л.И. Николаи,

B.В. Болотин, Г.Ю. Джанелидзе, Н. Ziegler, К.С. Дейнеко, М.Я. Леонов,

C.А. Агафонов). Также типичной в рассматриваемой предметной области задачей о поведении упруговязких стержней является задача о стабилизации угловых положений спутников и орбитальных конструкций с упруго-вязкими стержнями (В.Ю. Рутковский, В.М. Суханов, С.И. Злочевский, Е.П. Кубышкин), а также задача о стабилизации упругого звена манипулятора (Э.К. Лавровский, А.М. Формальский, К.А. Моррис, М. Видьясагар).

Решение такого рода задач методом раз™^"1""0 пп явствен-

ным формам (как это делалось в работах вь приво-

дит к дестабилизации неучтенных форм колебаний и, как следствие, к заниженному значению критической силы при определении границ области устойчивости. Поэтому при анализе устойчивости и моделировании динамических процессов в ДКС с упруговязкими стержнями особую значимость приобретают методы теории комбинированных динамических систем (КДС) (Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко), позволяющие выполнять моделирование динамики и устойчивости ДКС вышеописанных моделей без каких-либо ограничений по числу учитываемых форм колебаний, то есть учитывающие не только низшие (основные), но и высшие формы колебаний, что приводит к более точному определению границ областей устойчивости рассматриваемых систем.

Целью настоящей работы является развитие методов теории КДС, применимых к задачам моделирования ДКС, содержащих абсолютно жесткие тела, датчики первичной информации, двигатели и т.д. и динамически связанные с ними через границы раздела континуальные элементы -упруговязкие стержни, создание соответствующих алгоритмов и программ, а также исследование их возможностей применительно к указанным выше задачам.

Научная новизна работы:

• Исследованы специальные вопросы теории устойчивости ДКС, основанные на геометрических методах теории функций комплексных переменных. В частности, применение обобщения известного критерия Михайлова-Эрмита позволяет выполнить исследование устойчивости ДКС на основе анализа расположения относительно небольшого числа точек частотного годографа системы вместо нахождения счетного множества корней характеристического уравнения.

• Разработан эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа применительно к исследованию реакций на малые возмущения ДКС, превосходящий известные методы по точности и устойчивости вычислений. В частности, применение свертки известного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала позволяет выполнить регуляризацию процедуры численного обращения посредством указания временного отрезка, на котором необходимо восстановить искомый оригинал.

• Разработаны математические модели ДКС и соответствующие алгоритмы их численного анализа, позволяющие выполнять моделирование динамики и устойчивости ДКС без какого-либо ограничения по числу учитываемых форм колебаний.

• Построена математическая модель ДКС нагруженного следящей силой упруговязкого стержня с абсолютно жестким телом на конце. Исследованы границы областей устойчивости и импульсные переходные функций и установлено существенное влияние коэффициента внутреннего

трения в стержне и параметров абсолютно жесткого тела на области устойчивости. Показано, что пренебрежение внутренним трением и высшими формами колебаний приводит к заниженному значению критической силы.

• Проведено математическое моделирование системы стабилизации спутника с упруговязким стержнем типа Оеоз2 и установлено влияние коэффициентов обратных связей на протяженность области устойчивости.

• Разработана математическая модель орбитальной конструкции с двумя упруговязкими стержнями и показано существенное влияние количества стержней, а также масс и моментов абсолютно жестких тел, закрепленных на концах стержней, на области устойчивости.

• Созданы соответствующие комплексы программ и исследованы их возможности применительно к анализу устойчивости и вычислению импульсных переходных и переходных функций рассматриваемых ДКС с упруговязкими стержнями.

Методы исследований. Математические модели ДКС построены на основе методов теории дифференциальных уравнений и механики упруго-вязких стержней. Использован аппарат интегральных преобразований (Лапласа и Фурье), методы теории функций комплексной переменной.

Достоверность результатов обеспечивалась корректностью математической постановки задачи, использованием методов теории дифференциальных уравнений, механики упруговязких стержней, интегральных преобразований; сравнением с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов, тщательностью отладки и тестирования программ на ЭВМ.

На защиту выносятся:

• частотный критерий устойчивости ДКС, основанный на ранее известных теоремах об устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых обобщенных передаточных функциях, и обобщающий известный критерий Михайлова-Эрмита;

• алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа, основанный на свертывании исходного изображения и быстро убывающего изображения вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала;

• математическая модель ДКС нагруженного следящей силой упруговяз-кого стержня с абсолютно жестким телом на конце, а также влияние коэффициента внутреннего трения в стержне, величины следящей силы и параметров абсолютно жесткого тела на расположение границ области устойчивости и импульсные переходные функции;

• математическая модель системы стабилизации спутника с упруговязким стержнем типа Сеов2 и влияние коэффициентов обратных связей на расположение границ области устойчивости;

• математическая модель орбитальной конструкции с двумя упруговяз-кими стержнями и абсолютно жесткими телами на концах, и влияние количества стержней, а также масс и моментов абсолютно жестких тел, закрепленных на концах стержней, на области устойчивости. Практическая ценность диссертации состоит в решении конкретных задач, представляющих интерес для практики. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы в инженерных расчетах. Работа выполнена в рамках основного научного направления СГТУ 1В «Математическое моделирование в естественных науках». На основе ранее известных теорем получен критерий, позволяющий определять устойчивость ДКС с упруговязкими стержнями без априорного представления решения уравнений с частными производными конечномерными аппроксимациями. Применяемая методика исследования устойчивости и импульсных переходных функций может быть использована для различных моделей управляемых деформируемых конструкций.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на: -Международной научно-технической конференции "Проблемы управления и связи" (Саратов, 2000);

-Международной научно-технической конференции "Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении". (Саратов, 2002);

-Международной конференции "Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании" (Саратов, 2002); -Международной конференции "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2001,2002,2003,2004).

В целом работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Прикладная математика и теория навигационных приборов» под руководством д.т.н К.П. Андрейченко (2005 г.)

Публикации. По результатам исследований опубликовано 13 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений и содержит 137 страниц машинописного текста, 22 рисунка, 5 таблиц и список использованной литературы из 82 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор известных работ по представленной тематике, сформулированы цели и обоснована актуальность исследования.

В первой главе рассматриваются безразмерные нелинейные уравнения движения ДКС, состоящей из динамически связанных через границы раздела дискретных (абсолютно жестких тел и т.д.) и континуальных (упру-говязких стержней и т.д.) элементов, которые представляются в виде

щту«),ттм()]=о, (1)

СЧМ) = и(и,х,у,у,у), (2)

Уг е $ : <3,(7,у,>*(г,0) = О, Vг е 52 : <}2(2,у,«г(2,0) = 0, (3)

Уг е 53 : Р3(г,у,у,М|(7,/)>(г,0,»1(х,0,м'1(2,0) = О,

, 0, (г, 0, (г, ^ (4)

( = О: у(0) = у0, у(0) = 0, w(z,0) = *(«,0) = 0 . (5) Здесь (1) - обыкновенные дифференциальные уравнения движения абсолютно жестких тел, (2) - уравнения с частными производными движения деформируемых твердых тел, (3) - граничные условия, (4) - условия связи, (5) - начальные условия, х(() - кх -мерная входная вектор-функция, у(/) -ку -мерная выходная вектор-функция, г - -мерный вектор индивидуальных Лагранжевых пространственных координат, / - время, -ку, -мерная вектор-функция упругих смещений деформируемых тел, С7 = 0(г,д/д1,д/дг,...,уг,...) - блочно-диагональная матрица дифференциальных операторов (для упруго деформируемых тел), ^ - совокупность многообразий (в координатах х), соответствующих границам раздела абсолютно жестких и деформируемых твердых тел, £2 - совокупность многообразий, соответствующих границам раздела деформируемых твердых тел, 53 - свободные поверхности деформируемых твердых тел, п(/)- к„ -мерная вектор-функция сосредоточенных на абсолютно жестких телах граничных сил и моментов (от упругих тел), gl - к„-мерная вектор-функция, ¥-ку-мерная вектор-функция,и-мерная вектор-функция, <21,<}2, Р2,Рз-некоторые вектор- функции, размерности которых определяются числом и расположением границ раздела; ()=Э()/Э1, ()г=Э()/Зг. Вектор-функции

Р,и,СЬ.....Р3,g, дифференцируемы.

Полагая х(/) = х0 + (<) + »•; У(0 = У0 + *У1(0 + -;

w(z,/) = w0(z) + еУГ1(х,0 + -»; п(/) = п0+ Я1](0+-• ;е-*0 находим из(1)-(5) уравнения относительно х0,у0, н,0(2),п0 описывающие равновесное состояние (они получаются из (1)-(4) в предположении ()=0, д()/ск = 0), и линеаризованные уравнения возмущенного движения, которые после применения к ним интегрального преобразования Лапласа по времени

/(Я) = /(/)е_л<й?/, Я = а + Ш е 91, представим в виде

\_МЛ2+КЛ + С']у1+АПа=В±1, (6)

= [и1+и2Я + и3Я2 ]у, + и4х,, (7)

Vz € Sj : Afyx + Af w, = О, у = 1,2, (8)

Vz e S, + ßfU]y, + [ßf + ßj4U]w, + Bf a]3w,/5z = 0,

j = 2,3.

ñ, = J([c,(1) + C,(2U]y, + [ci3> + C|(4)aJwj +[c,(5) + CfUjSw,/di)dS (9) s,

Здесь M, К, С, А, B, UJtj=WA, Af,Af, j=\,2, Bf,...,Bf\

j-2,3, C¡J\j= 1,...,6 - некоторые матрицы, зависящие от равновесного состояния х0, у<), w0(z), й0, а линейный оператор имеет следующий вид íc(.) = G(z,3/3z,Л,...,w0,...)(.) + (-)dG(z,d/3z,0,...,w0,...)/dw +.... Решая краевую задачу (7)-(9), находим

Ащ{Л) = Си{ЛШЛ) + Ви{Л)%. (10)

Далее, используя (10), из (6) получаем изображение выходной вектор-функции исследуемой системы:

9iW = [Ф^&ШХ), м = * = l,...,*„

[Ф^(Л)] = [Qm{X)ID{X)\ = [МЛ2 +КЛ+С+ Си(Л)Г'[В + Ви(Л)] (11) D(Á) = det[MA2 +КЛ + С + Си(Л)] = Ао(Л)Л" + А^Л)Лп~х +... + А„(Л), Q„W = Во„ + В\т +... + \ (Х),ц = 1 ,...,k,,z = 1 ,...,*„/« < И,

где [Ф^(Л.)]- матрица обобщенных передаточных функций, О(Л)- характеристический квазимногочлен, QPZ(Ä) - возмущающие квазимногочлены.

Приведем далее известные определения и теоремы из теории КДС Д.К. Андрейченко и К.П. Андрейченко.

Если для квазимногочлена D(Ä) существует такое действительное число х>4X0 ПРИ ^ 0>

lim = са, с0 * 0, \е„ | < оо, (12)

Я-мо

то числом называют приращением степени квазимногочлена D(Ä).

Аналогично, если для квазимногочленов QMZ(A) существуют такие действительные числа ßßX, что при Re Я > 0

= с™, с™ Ф 0, |с? | < (13)

го числа ßßx называют приращением степени квазимногочленов QMZ (А).

Пусть а = consí - некоторый кх -мерный вектор, S(t) - дельта-функция Дирака. Реакция системы на входное возмущение x¡(t) = a5(t) может бьггь представлена в виде У|(0 = [ЦиХ (01a ^ причем элементы матрицы импульс-

ных переходных функций qMX(i) связаны с элементами матрицы передаточных функций соотношениями

ФmzW = ГqMX(t) = ¿ (14)

где er > сг0, <т - абсцисса абсолютной сходимости интеграла Лапласа. Как следует из (14), для того, чтобы функции qMX(t) были действительными функциями времени t, достаточно потребовать, чтобы выполнялось условие ФМХ(Л) = Ф/iZ W, то есть

£>(Х) = Щ), Qm(I) = в^Щ . (15)

Квазирациональные дроби ФМХ(Л) = (?рХ(Л)/0(Л), где ц = \,...,ку, X = \,...,kx называют физически возможными, если выполняются условия (12), (13), (15) и при этом

n + x>bm + ßK+1 (16)

Квазимногочлен D(Ä) называют устойчивым, если все его корни расположены на комплексной плоскости (Л) левее мнимой оси.

Теорема 1. Пусть коэффициенты квазимногочлена D(Ä) аналитичны при Re Л > 0, и выполняются условия (12), (15). Тогда, если при монотонном возрастании параметра аз от 0 до оо вектор D{iw) = u + iv повернется на комплексной плоскости (u,iv) на угол (п + %)тг/2 в положительном направлении, то квазимногочлен И(Л) устойчив.

Теорема 2. Всякая ДКС с матрицей передаточных функций в форме физически возможных квазирациональных дробей (16) [Фмх(Л)] = [0,МХ{Л)\1 й{Л) является асимптотически устойчивой, если квазимногочлены -D(A) и QMX(^) аналитичны при Re Л > 0, а квазимногочлен й(Л) устойчив.

Теорема 3. Если в матрице передаточных функций [$>МХ{Л)\ = [6те(Я)]/1)(Я) квазимногочлен D(Ä) имеет в правой полуплоскости (Л) хотя бы один корень, не совпадающий с корнями по крайней мере одного из квазимногочленов 0РХ(Л), ц = 1,2,...,ку, % ~ 1,2,...,А:Х,

то соответствующая ДКС неустойчива.

Применительно к линейным ДКС с упруговязкими стержнями в главах 3, 4, 5 показано, что передаточные функции системы представляются физически возможными квазирациональными дробями, а характеристический квазимногочлен £>(А) и возмущающие квазимногочлены £>МХ{Л) являются

аналитическими функциями Л при Re Я > 0. Поэтому согласно приведенным выше теоремам для рассматриваемых далее линейных ДКС справедлив следующий обобщенный частотный критерий :

Пусть коэффициенты квазимногочлена О(Л) аналитичны при ЯеА > О, и выполняются условия (12), (15). Если при монотонном возрастании параметра а от 0 до оо вектор Щ}со) получит приращение аргумента

Л Аг^О'й») = (и + ^)яг/2, (17)

О £а>«о

где х~ приращение степени характеристического квазимногочлена Р(Я),то линейная ДКС с упруговязкими стержнями асимптотически устойчива.

Еслиже Л Аг^О'а>) = (и+ЗГ)^-Мг, (18)

0£й><о° 2

то N корней характеристического квазимногочлена £>(Л) расположены в правой полуплоскости (Л) и рассматриваемая ДКС неустойчива.

Данный частотный критерий используется далее для построения областей устойчивости ДКС с упруговязкими стержнями.

Во второй главе применительно к исследованию переходных процессов предлагается использовать метод численного обращения интегрального преобразования Лапласа, основанный на свертке исходного изображения с изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала, тем самым выполняется регуляризация процедуры численного обращения посредством указания конечного отрезка, на котором необходимо восстановить искомый оригинал.

Пусть т~^+_У(р)е"'с1р ,ст>а0 (19)

есть изображение Лапласа Р(р) и искомый оригинал^*) соответственно. Здесь /е\7,/7е9?, Яе р>а0, где а0<<х> - абсцисса абсолютной сходимости интеграла Лапласа (19), при (<0 ./(0=0

При 0 < /0 < / < /0 + 7" искомый оригинал восстанавливается по следующим формулам: при при /0-а Т>0

т=1(20) 4(1 + 2а)Т)

при ¿о~а Т<0

а0С) V1 М кя*

—сое-

/«- 1

(1 + 2а)Т 1

2 (1+а)Г+*0

^ (1 + 2а)Т

'(с) 2 &

(с) • кл!

1 'вш-

,а<"=21тй;,/(0)=0,

, (1+2а)Г Г ¡Ы г (1+2а)г1 «= 2/3.

(1+а)Г+/0 \(1+а)Г+/0'° J

о . . ч

Здесь Fe(p,t0,T) = T-.\ \_F(s)G(T(ps))e-^')ds , а>а0, (22)

•"Г? J О-

g(t)=

100, 7 а-—In— 621 2

'—г

G(P)= Igitydt + g(t), [ехр(~а(Г2 + (1 - ty2 - 8)), t e [0,1] [О, /i[0,l]

-вспомогательный финитный бесконечно дифференцируемый оригинал. Интеграл (22) сходится гораздо быстрее интеграла Меллина (19), так как Gip^CH^Pl*0) при |р|->оо, Rep>-oo. Специальные квадратурные формулы и соответствующие специальные функции, позволяющие при вычислении контурного интеграла (22) минимизировать число точек, где вычисляется F(p), подробно описаны в работе. Радикальное улучшение сходимости рядов (20), (21) достигалось их преобразованием в непрерывные дроби, обобщающим известное преобразование Шенкса. Приведенные в работе примеры восстановления гладких и разрывных оригиналов позволяют судить о высокой эффективности метода, превосходящего известные методы численного обращения интегрального преобразования Лапласа по точности и устойчивости вычислений.

В третьей главе проводится построение математической модели ДКС, нагруженного следящей силой стержня с абсолютно жестким телом на конце. Упруговязкий стержень длиной внутреннее трение в котором учитывается по Фойгту, консольно закреплен в неподвижном основании и нагружен следящей силой Р (рис.1). На конце стержня закреплено в центре масс абсолютно жесткое тело с массой Ми моментом инерции А.

Линейные в окрестности нулевого состояния Y (Z,T) = Ф (Г) = 0 уравнения движения рассматриваемой ДКС под дейст- ' / / / / '///// вием малой силы F(T), Г-время, в безразмерных переменных имеют вид

А2

d2y(z,t) e2y(z,t) dz1 dt2

z = 0: y(0,t) = dy(0,t)/dz = 0, z = 1: y(U) = yt{t), dy(\,t)ldz = <p{t) ,

Рис. 1

m-

dt2

ат-ъи.

, d}d*y(z,t)

Ur*nrL+p-

(23)

■да*- ^-ыт

t = о : у,(0) = dy, (0)/dt = <р(0) = d<p(0)/dt - y(z,0) = dy(z,0)/dt = 0.

Здесь t = T

С (* \'Уг ( t* \'Уг РЫ

, y-h

' ty1 Y Yx Z S . p— , у — —, у, = —, z = —, — «1, v { EI J ' S 1 8 I i

i. e _ , ез _ м А , e D t*,

m = —ф p =—p / =-/г = —, a = —r, b =-В, n =-iV,

5 y El EIS pt pi3 EIS EIS

EI- жесткость сечения стержня при изгибе, р - погонная плотность стержня, у- коэффициент внутреннего трения по Фойгту, S - характерный размер поперечного сечения стержня.

Производя интегральное преобразование Лапласа в соотношениях (23), получаем безразмерные уравнения движения в изображениях. На основе точного решения находим изображение сосредоточенных и распределенной реакций системы:

у(г,А) = Щг,Л)/(Л), = (24)

Р(Я) = таЛ4 + [а^ + т^уЛ3 + ^¿ъ Jnbx ^

Л2 +

л о ^11^22 .Л . 1^22

д2 ГЛ д2

0(z,A) = (z, + /^(z,A)v21]A:

2 +

- V22<?22 ) - th )(v„&, + V2!<«2 + 1) ,

in =-v22(l3c0S'i + rrf ch r2) - v21 (-Г,3 sin r{ + rl sh r2), £u = V, ,(-r,3 sin rt + rl sh r2) - V12 (r3 cos rx + rf ch r2), = v22(r,2 sin/; + r{r2 sh r2) + v21 (r,2 cos rx + r22 ch r2), =-vn(r2 cosr; + r22 ch r2) + vI2 (r2 sin rx + r,r2shr2),

v,, =sin?i —Lsh r2, v12 =cosr, -chr2, v21 =r,v12, v22 = rx sinr, + r2shr2, h

(z, Я) = sin/jz -—shr2z, //j (z, Я) = cosr,z - ch r2z.

Здесь £)(Л)-характеристический квазимногочлен, 6, (Я), (2г(А) и 0 (г, Я) -соответственно сосредоточенные и распределенный возмущающие квазимногочлены; Щ (А), №2(А) и \¥ (г, А) -соответственно сосредоточенные и распределенная передаточные функции в форме квазирациональных дробей.

На рис.2 приведены частотные годографы вектора£>(/о), 0 < &> < оо на плоскости (и, п>) в зависимости от величины следящей силы р для случая упруговязкого стержня с абсолютно жестким телом на конце при / = 0.1, т-1, а = 0.4, п = 4,% = 0. При р = ЗЛЗ<р, (кривая 1) согласно выражению (17) имеем ф = 2ж и система асимптотически устойчива. При

5

IV 0

-5

----з

II ч

-5

О 5 и Рис.2

р = р. = 4.13 (кривая 2) линия годографа проходит через точку (0,0) и система находится на границе устойчивости. При р = 5.13 > р, (кривая 3) имеем ф = 0, т.е. согласно выражению (18) два корня характеристического квазимногочлена £>(Л) перешли в правую половину комплексной плоскости (Я), и система стала неустойчивой.

На рис.3 приведены линии границ областей устойчивости при / = 0.01; 0.1; 0.2; 0.3 для стержня с массой т на конце при а = 0 на плоскости параметров (т, р). Увеличение т и уменьшение / снижает значение критической силы р, и существенно уменьшает область устойчивости.

Однако при / = 0.01 область устойчивости достигает своего асимптотического наименьшего значения и при дальнейшем уменьшении у до ис-чезающе малого значения / = 0.0001 линия границы области устойчивости остается практически неизменной. Заметим, что при аи = 0 и 7 = 0.0001 критическая сила имеет значение р, = 10.96, которое на 17.5% превосходит критическую силур, = 9.328, вычисленную на основе приближенной модели с аппроксимацией по двум первым собственным формам (С.А. Агафонов).

Для стержня с закрепленным на конце грузом массой т = 1 и моментом инерции а е [ОД] на плоскости параметров (а, р) приведены границы об-

20

д=0

\ 02

01 0 01

05

ластей устойчивости при различных значениях коэффициента у. Показано, что уменьшение у и увеличение а, существенно уменьшает значение критической следящей силы.

На основе предложенного в главе 2 алгоритма численного обращения интегрального преобразования Лапласа были исследованы сосредоточенные и распределенные импульсные переходные функции в зависимости от коэффициента внутреннего трения в стержне при ^ = 0.001; 0.01; 0.1 в случаях асимптотически устойчивой системы (р<р*) и системы на границе устойчивости (р- р*) без груза на конце стержня, а также с грузом.

Показано, что увеличение коэффициента внутреннего трения у сглаживает высокочастотные формы колебаний, а увеличение следящей силы р приводит к некоторому увеличению частоты и амплитуды основной (низшей) формы колебаний. Введение сосредоточенной массы или абсолютно жесткого тела на конце стержня приводит к уменьшению частоты и амплитуды колебаний и к значительному увеличению времени переходного процесса. На рис.4 приведены графики распределенных импульсных переходных функций в случае асимптотически устойчивой системы без груза на конце стержня ш=0, а=0, р=8, у =0.0001 (1), /=0.1 (2). Данную задачу можно рассматривать и для случая стержня с двумя и более сосредоточенными массами.

В четвертой главе исследуется задача стабилизации углового положения спутника типа Оеоз2 с упруговязким стержнем (модель Фойгта). Рассмотрим плоское движение абсолютно жесткого спутника с моментом

инерции Уд и массой т'0 под действием возмущающего момента £0*. В точке 0\ на расстоянии а от его центра массы Оо жестко заделан упруго-вязкий стержень длиной & Система координат О0у'г' жестко связана с

корпусом спутника, у'(г', прогиб стержня.

ч

ОИМЯЮИВ

2

Рис.4

Линейные уравнения движения рассматриваемой ДКС в безразмерной

форме: J0ax + кхах + к2ах + к3 \ах(¿;)з14 = Ц- aNyX + L0, m0fVy<J = NуХ,

о

y(2,t)+^ + riy"'(z,t) = {a + z)d1 -Wy0, (25)

y(0,t) = y'{0,t) = y"(l,t) = y"'(\,t)=0,

t = 0:ai (0) = d, (0) = >'(z,0) = y(z,0) = 0. Здесь у =sSy,z' =Sz,t' =Tt,T = {pS* /Ejf1,a' = sax,e«\,a =Sa,

r-ш, *;-(f),

к=[jf)KJi=№)'„< -ffrj'vv.

Производя интегральное преобразование Лапласа в соотношениях (25), получаем безразмерные уравнения движения в изображениях. На основе точного решения находим

а1{Л) = Ф(Л)Ь0{Х), уд(Л) = Ф,(Л)10(Л), у(г,Л)=К(2,Л)ф), (26)

К ' D(A) Л ' D{X)' v ' D{A)

DW = [(Л + + ~ tt) ~ + i,)]Я3 + К + 4х)Аг +

k2(m0 + 4x)A + k3, д(А) = (т0+ЫА, Qx(A)=(afx+f2)A,

e(z,A) = A(m0+4x)((-aS(b)-^ + F(kz)(aMl + u)k2 +

V(kz)(af, + 4г)к + (a + z)) + (afi + ЬЩЪ) - U(b)^k2 - V(kz)4xk -1), TS-UV US-V2 US-T2 VS-UT

k(S2-rr)' *2~k2[S2-TV)'- k2[s2 -w)'Иг" e{s2 -w)'

S = S(k), T = T(k), U = U(k), V = V(k), * = (-Л2/1 + мГ'

S(fa) = |(ch(fa) + cos(fa)), T(fa) = |(sh(fe) + sin(fa)),

U(fa) = — (ch(fe) - cos(fa)), V(fa) = — (sh(fa) - sin(fo)). 2 2

100 200 300 400 Рис.5

Здесь Ф(Л), Ф,(Я), К (г, Л) -передаточные функции в форме квазирациональных дробей; 5,Г,ЦК-функции А.Н. Крылова; а,(Я)- изображение ошибки угловой стабилизации спутника, обусловленное внешним возмущающим моментом.

Исследованы переходные процессы в системе стабилизации спутника с использованием алгоритма численного обращения, предложенного в главе 2. На рис.5 приведены границы областей устойчивости на плоскости параметров(¿2,Л3) для фиксированных значений параметра ¿,=0.5 (1), ¿, = 1 (2), ¿, =10 (3), к, =20 (4). Области устойчивости находятся выше указанных на рис.5 границ устойчивости. При фиксированных значениях параметра к, и изменении параметра к3 в диапазоне 1 й к3 < 500 были найдены координаты {к1,к'г) точки с максимальной ординатой к[ = тах£2 на границе области устойчивости: ¿,= 0.5, £¿=66.317, Аз=229 (1), ¿,=1, ^ =66.317, ¿3* =235 (2), ¿,=10, ¿2=66.3141, ¿з=347 (3), ¿,=20, ¿2*=66.313, ¿з'=468 (4). При увеличении ¿] значение ¿2 практически не меняется, а границы областей устойчивости растягиваются вдоль оси ¿з, что качественно согласуется с выводами полученными Злочев-ским С.И.и Кубышкиным Б.П.

В пятой главе исследованы вопросы стабилизации орбитальной конструкции с двумя упруговязкими стержнями и абсолютно жесткими телами на концах стержней. Центральная часть конструкции (рис.6) есть абсолютно жесткое тело с моментом инерции Уд- Упругие стержни длиной 0Х02 = 5 жестко заделаны в точках О, абсолютно жесткого тела 1. При этом Орг - а «Б. На других концах стержней

Рис.6

в точках Ог закреплены абсолютно жесткие

тела 2 с массами т2 и моментами инерции 3\.

Уравнения движения рассматриваемой ДКС в безразмерных переменных имеют вид

Л а, = -кА - кЛ ~ К + 2£, +10, У2 (а, + а2) = I;,,

<Р\\ <Рп Я <Р|! <Рп

<¡>21 <Рп 0 II <Рг\ <Рп <Ргъ

<Ря 0 <Ръ\ <Рп <Рп

2 = 0:^(0,/)=0, /(0,0=0, 2 = 1:^(1,/ ) = >>,(; ),/(1,/) = -а2(0,

Г=0 : а, (0) = (0) = а2 (0) = я2 (0) = 0, у, (0) = у, (0) = у{г, 0) = у(г, 0) = 0.

Производя интегральное преобразование Лапласа в соотношениях (27), получаем безразмерные уравнения движения в изображениях. На основе точного решения находим

а1(А) = Ф1(АК(А),ф1(Л)=Ш0(Я) =

<Р\ 1 = "2М10 + ?*), <Рп= 2/Цг 0 + М), (28)

0>13 = У0Я3 + ¿,Я2 + &2Я + + 213/Лз >

р21 =/2Я2 +/¿21(1 + уХ),(2*22 = //22(1 + уЛ) ,(р1ъ={Зг~ цгъ)Л2 ,

9ъ\ = Иъ\(\ + Г%)><Ръг =т2Л2 + //32(1 + М), <Ръъ = -(»2 + )Л2,

-"п =/и^> /*12 =/и^2' Мз 3>^21 М22 = /и^ >

=/гз^ 3>Аз1 =/зД2' Иъг = /з2^3> //зз=/зз^ > /„ = К/А, /12 = ^/ Д, /13 = (£/(* - Г) - К(1 - 5))/Д,

/21 = (С/Г - га)/А,/22 = (Г2 - £Д) / А,/3, = (С® - К2)/А,/32 = (ТБ - Ш)! А,

/23 = К - (КУ(1 - 5) - -Т) + Т2(к -Т)-ЦТ{ 1 - 5))/А,

/33 = I/ - (К2 (1 - 5) - - Т) + ЩА - 7") -1/5(1 - 5))/А,

А = и2 -ТУ, 5 = 5(А:), Г = Г(*:), гу = С/(Аг), К = к = (-хг1\ + гх)'\ Здесь £>(л) -характеристический квазимногочлен, (д)-возмущающий квазимногочлен; Ф, (Я )-пере даточная функция системы стабилизации; 5,Т,ЦК-функции А.Н. Крылова; ах(Я)-изображение ошибки угловой стабилизации спутника.

В работе проведены исследования устойчивости и импульсных переходных функций системы стабилизации при р=0.01. Для орбитальной конструкции с закрепленными на концах стержней абсолютно жесткими те-

лами массой т2 и моментом инерции У2 на плоскости параметров (к2, кг) при ¿,=0.5 построены границы областей устойчивости системы стабилизации с центральным телом, имеющим характеристики 70 =0.0744, »г0=34.75. На рис.7 приведены границы области устойчивости для моделей с одним и двумя стержнями без грузов на конце, кривые (1) и (2) соответственно. Области устойчивости находятся выше линий границ. При увеличении числа стержней область устойчивости уменьшается.

На рис.8 приведены границы областей устойчивости для системы с двумя стержнями. Кривая (2) соответствует случаю то=34.75, /г='«2=0. Кривые (3-6) соответствуют случаям с абсолютно жесткими телами на концах стержней: (3) при .//=0.0074, т2 =3.475; (4) при /г=0.0223, т2 =10.425; (5) при 0.0447, »»2=20.85; (6) при №<г0.074, от2=»го=34.75. Закрепление абсолютно жестких тел 2 на концах стержней значительно изменяет области устойчивости. Увеличение массы т2 и момента инерции ./;? существенно уменьшает области устойчивости рассматриваемой дискретно-континуальной модели орбитальной конструкции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

• Развит эффективный метод численного обращения интегральных преобразований, основанный на свертке исходного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала, и реализован соответствующий алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа.

• Впервые проведено математическое моделирование динамических процессов в неконсервативной дискретно-континуальной системы на примере нагруженного следящей силой упруговязкого стержня с абсолютно жестким телом на конце. Получены сосредоточенные и распределенные передаточные функции системы. Исследованы импульсные переходные функции и показано, что увеличение коэффициента внутреннего трения у сглаживает высокочастотные формы колебаний. Введение сосредоточенной массы или абсолютно жесткого тела на конце стержня и уменьшение коэффициента внутреннего трения у приводит к значительному уменьшению областей устойчивости.

Рис.8

• Проведено математическое моделирование системы стабилизации спутника с упруговязким стержнем типа Geos2 и построены границы областей устойчивости на плоскости коэффициентов обратных связей.

• Проведено математическое моделирование системы стабилизации орбитальной конструкции с упруговязкими стержнями и закрепленными на их концах абсолютно жесткими телами. Получены и исследованы на устойчивость передаточные функции системы. Показано, что увеличение числа стержней и закрепление абсолютно жестких тел на концах стержней значительно уменьшает области устойчивости.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Петрова Т.Ю. Динамическое моделирование неконсервативной дискретно-континуальной системы / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Т.Ю. Петрова // Прикладная математика и механика. - 2004. - Т. 68. - Вып.5. - С.776-783.

2. Петрова Т.Ю. Исследование влияния внутреннего трения на динамические процессы в упругом стержне, нагруженном тангенциальной силой / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Т.Ю. Петрова // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: межвуз. науч. сб. / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов: СГТУ, 2004. С.4-7.

3. Петрова Т.Ю. Исследование влияния тангенциальной силы, приложенной к упругому стержню, на динамические процессы / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Т.Ю. Петрова //Актуальные проблемы современной науки: материалы Междунар. науч. конф. молодых ученых. Сам. гос. техн. ун-т. - Самара: Сам-ГТУ, 2004. - С. 15-19.

4. Петрова Т.Ю. Динамическое моделирование неконсервативной дискретно-континуальной системы / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, Т.Ю. Петрова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - Саратов, 2003. -№ 1. - С.6-15.

5. Петрова Т.Ю. Динамическое моделирование спутника с двумя упругими стержнями в режиме стабилизации / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, Т.Ю. Петрова //Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2003. -С.4-7.

6. Петрова Т.Ю. Динамическое моделирование спутника с одним упругим стержнем в режиме стабилизации / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, Т.Ю. Петрова // Актуальные проблемы современной науки: материалы Междунар. науч. конф. молодых ученых / Сам. гос. техн. ун-т. - Самара: СамГТУ, 2003.-С.10-13.

7. Петрова Т.Ю. Распространение коротких возмущений в глубоководных транспортирующих трубопроводах / Д.К. Андрейченко, Т.Ю. Петрова, Е.В. Мозжилкина // Проблемы элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб./ Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов: СГТУ, 2003. -С.85-89.

8. Петрова Т.Ю. Дискретно-континуальная модель упругого стержня, нагруженного тангенциальной силой / Т.Ю. Петрова // Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании: материалы Междунар. науч. конф. Саратов: СГТУ, 2002. - С.396-399.

2006-4

л meo

8. Петрова Т.Ю. Дискретно-континуальная модель

ного тангенциальной силой / Т.Ю. Петрова // Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании: материалы Междунар. науч. конф. Саратов: СГТУ, 2002. - С.396-399.

9. Петрова Т.Ю. Динамическое моделирование упругого стержня, нагруженного тангенциальной силой / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, Т.Ю. Петрова // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: межвуз. науч. сб. / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов: СГТУ, 2002. - С.4-8.

10. Петрова Т.Ю. Об устойчивости нелинейных дискретно-континуальных систем, возмущенных относительно состояния равновесия / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, Т.Ю. Петрова // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: материалы Междунар. науч.-техн. конф. / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов: СГТУ, 2002. - С.147-149.

11. Петрова Т.Ю. Моделирование переходных процессов в линейных дискретно-континуальных системах/ К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, Т.Ю. Петрова//

Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: межвуз. науч. сб. / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов: СГТУ, 2001. - С.9-12.

12. Петрова Т Ю. Новый класс методов численного обращения интегрального преобразования Лапласа / Д.К. Андрейченко, Т.Ю. Петрова // Проблемы управления и связи: материалы междунар. науч.-техн. конф. / Сарат. гос. техн. ун-т. -Саратов: СГТУ, 2000. С. 82-87.

13. Петрова Т.Ю. Об одном классе алгоритмов численного обращения интегрального преобразования Лапласа / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, Т.Ю. Петрова // Доклады Академии военных наук. Саратов, 2000. - №5. - С.5-23.

ПЕТРОВА Татьяна Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С УПРУГОВЯЗКИМИ СТЕРЖНЯМИ

Автореферат Корректор Л.А. Скворцова

Лицензия ИД № 06268 от 14.11.01

Подписано в печать 14 11.05 Формат 60x84 1/16

Бум. тип. Усл. печ.л. 1,16 Уч.-изд.л. 1,0

Тираж (00 экз. Заказ 405 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

1.1 Уравнение движения ДКС. Линеаризация в окрестности состояния подвижного равновесия

1.2 Обобщенная передаточная функция ДКС.

1.3 Теоремы об устойчивости.Обобщенный частотный критерий устойчивости. Выводы.!.

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К ПОСТРОЕНИЮ ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ.

Математическое моделирование дискретно-континуальных механических систем.4 постановка задачи исследования.'•.5

ГЛАВА 1. КВАЗИМНОГОЧЛЕНЫ И КВАЗИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ.13

Введение.13

1.1 Уравнение движения ДКС. Линеаризация в окрестности состояния подвижного равновесия 14

1.2 Обобщенная передаточная функция ДКС.16

1.3 Теоремы об устойчивости.Обобщенный частотный критерий устойчивости.18

Выводы.!.23

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К ПОСТРОЕНИЮ ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. 24

•» в

Введение.24

2.1 , Регуляризация алгоритмов численного обращения интегральных преобразований.25

2.2 Специальные квадратурные формулы и связанные с ними специальные функции.33

2.3 выбор вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала.37

Выводы.46

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В УПРУГОВЯЗКОМ СТЕРЖНЕ, НАГРУЖЕННОМ СЛЕДЯЩЕЙ СИЛОЙ.48

Введение.48

3.1 Уравнения движения.50

3.2 Динамическая модель линеиной дискретно-континуальной системы.51

3.3 Устойчивость и импульсные переходные функции динамической модели неконсервативной ДКС.53

Выводы.66

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И УСТОЙЧИВОСТИ СПУТНИКА ТИПА СЕ082 С УПРУГОВЯЗКИМ СТЕРЖНЕМ.68

Введение.68

4.1 Уравнения движения спутника с упруговязким стержнем.69

4.2 Динамическая модель спутника типа Сео$2.71

4.3 Динамическая модель спутника типа Сеоз2 без учета ускорения, 1¥у0=0.73

4.4 Динамическая модель спутника с упруговязким стержнем с нулевым расстоянием от центра до места заделки стержня, а = 0.74

4.5 Устойчивость и импульсные переходные функции спутника с упруговязким стержнем 75 Выводы.83

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В

ОРБИТАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ С УПРУГОВЯЗКИМИ СТЕРЖНЯМИ.84

Введение.84

5.1 Уравнения движения орбитальной конструкции.84

5.2 Динамическая модель орбитальной конструкции с абсолютно жесткими телами на концах стержней.86

5.3 Устойчивость и импульсные переходные функции орбитальной конструкции с абсолютно жесткими телами на концах стержней.88

Выводы.100

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.101

ПРИЛОЖЕНИЯ.103

ЛИТЕРАТУРА.128

ВВЕДЕНИЕ. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Математическое моделирование дискретно-континуальных механических систем

Универсальность, алгоритмичность, а также низкая энергоемкость математического моделирования как метода исследования объектов и явлений реального мира привели к повышению его роли и значимости в различных отраслях науки и техники.

Важнейшей проблемой создания современных технических систем, и выбора режимов их эксплуатации является проблема построения и анализа динамических моделей этих систем. При управлении движением облегченных быстродействующих манипуляционных роботов [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14], ракет, орбитальных космических конструкций, искусственных спутников Земли [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22] и некоторых других типов управляемых конструкций [23, 24, 25, 26, 27] необходимо изначально учитывать деформации конструкции.

Физические модели многочисленных современных робото-технических систем, искусственных спутников Земли и орбитальных космических конструкций содержат дискретные элементы с сосредоточенными по пространству параметрами (абсолютно жесткие тела, датчики первичной информации, двигатели и т.д.) и континуальные элементы с распределенными по пространству параметрами (упругие панели, упруговязкие стержни, мембраны и т.д.), динамически связанные через границы раздела, и в этом смысле являющиеся дискретно-континуальными. Соответствующие адекватные в смысле [28] математические модели, предназначенные для моделирования динамического поведения дискретно-континуальных систем, и содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), связанные с ними через граничные условия (ГУ) уравнения с частными производными (УЧП), условия связи (УС) и начальные условия (НУ), для краткости также назовем дискретноконтинуальными (ДКС). Моделирование динамического поведения подобных систем требует учитывать малую, но ненулевую диссипацию механической энергии в континуальных элементах. Это моделирование делает соответствующие краевые задачи несамосопряженными и требует специфических методов при их исследовании и решении.

Постановка задачи исследования

Актуальность темы

Проблема разработки и теоретического обоснования новых методов и алгоритмов, создания на их основе стандартных программных модулей для моделирования динамического поведения дискретно-континуальных систем с упруговязкими стержнями, предназначенных для использования в операционных средах современных компьютерных платформ, является актуальной и имеет фундаментальное значение для интенсивного внедрения методов математического моделирования в приоритетных отраслях современной техники.

При исследовании динамических свойств конструкции в первую очередь, как правило, выполняется исследование ее собственных частот и соответствующих им форм колебаний. Однако традиционные подходы требуют нетривиальных вычислений даже при нахождении низших собственных частот и форм колебаний достаточно сложных конструкций. По данным работ [29, 30, 31], при проектировании систем управления движением упругих конструкций использование моделей упругих распределенных элементов без учета демпфирования может привести к дестабилизации и потере устойчивости. Более того, при умеренных значениях характерного демпфирования необходимо исследовать высшие частоты и формы колебаний. С другой стороны, традиционная дискретизация по пространственным переменным описывающих поведение континуальных элементов уравнений в частных производных может привести к возникновению фиктивных «паразитных» частот, описывающих колебания с чрезвычайно быстро экспоненциально возрастающей амплитудой [32]. Таким образом, проблема разработки критерия устойчивости линейных в окрестности состояния подвижного равновесия дискретно-континуальных систем, основанного на геометрических методах теории функций комплексных переменных [33, 34, 35], в частности, на оценке взаимного расположения точек частотного годографа обобщенного детерминанта системы, является весьма актуальной. Данная проблема является тем более актуальной, поскольку методы теории комбинированно динамическийх систем (КДС), подобного типа не требуют повышенной точности при нахождении точек частотного годографа, и, следовательно, легко позволяют исследовать устойчивость большинства нетривиальных дискретно-континуальных систем, состояние подвижного равновесия которых может быть исследовано лишь численно.

Большинство классических алгоритмов обращения интегрального преобразования Лапласа [36] неэффективны, поскольку приводят к попыткам восстановить искомый оригинал (со всеми его особенностями) на полубесконечном интервале времени при помощи того или иного Фурье-разложения, плохо сходящегося по причине наличия особенностей. Ряд алгоритмов [36] приводит к необходимости деформировать контур интегрирования, что не всегда возможно, и требует информации о расположении особых точек изображения, что само по себе в большинстве ситуаций представляет нетривиальную проблему. Оригинальные алгоритмы, предложенные в [37, 38], основаны на вычислении функций в алгебре треугольных теплицевых матриц, представляющих собой конечно-разностные аппроксимации оператора дифференцирования. Однако размерность матрицы определяется числом равноотстоящих узлов, в которых необходимо восстановить искомый оригинал, а спектр теплицевых матриц содержит собственные значения, кратность которых пропорциональна размеру матрицы. Вычисление функций от матриц в этом случае требует нахождения производных изображения неограниченно высокого порядка, что не всегда приемлемо.

Таким образом, проблема разработки эффективных алгоритмов численного обращения интегральных преобразований, и в частности, преобразования Лапласа, является весьма актуальной.

Известна проблема излишнего управления [30] движением деформируемых конструкций, приводящего к возникновению интенсивных высокочастотных колебаний по неучтенной собственной форме. Следовательно, задача исследования устойчивости движения деформируемых конструкций без априорной дискретизации уравнений движения континуальных элементов является весьма актуальной.

Целью является развитие методов теории КДС применимых к задачам моделирования ДКС, содержащих абсолютно жесткие тела, датчики первичной информации, двигатели и т.д. и динамически связанные с ними через границы раздела континуальные элементы - упруговязкие стержни, создание соответствующих алгоритмов и программ, а также исследование их возможностей применительно к указанным выше задачам. Научная новизна

• Применительно к многомерным дискретно-континуальным механическим системам изложены элементы теории устойчивости, основанные на методах теории комбинированных динамических систем [39, 41]. В частности, применение обобщения известного критерия Михайлова-Эрмита позволяет выполнить исследование устойчивости ДКС на основе анализа расположения относительно небольшого числа точек частотного годографа системы вместо нахождения счетного множества корней характеристического уравнения.

• Предложен эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа применительно к исследованию реакций на малые возмущения ДКС, превосходящий известные методы по точности и устойчивости вычислений. В частности, применение свертки известного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала позволяет выполнить регуляризацию процедуры численного обращения посредством указания временного отрезка, на котором необходимо восстановить искомый оригинал.

Впервые методами теории комбинированных динамических систем разработаны математические модели ДКС и соответствующие алгоритмы их численного анализа, позволяющие выполнять моделирование динамики и устойчивости ДКС без какого-либо ограничения по числу учитываемых форм колебаний.

Проведено математическое моделирование неконсервативной дискретно-континуальной системы на примере нагруженного следящей силой упруговязкого стержня с абсолютно жестким телом, возмущенного 8-функцией Дирака. Получены сосредоточенные и распределенные передаточные функции системы в виде квазирациональных дробей. Исследованы границы областей устойчивости и импульсные переходные функций (ИПФ), и установлено существенное влияние коэффициента внутреннего трения в стержне и параметров абсолютно жесткого тела на области устойчивости. Показано, что пренебрежение внутренним трением и высшими формами колебаний приводит к заниженному значению критической силы.

Проведено математическое моделирование системы стабилизации спутника с упруговязким стержнем типа Оеоз2. Получены сосредоточенные передаточные функции системы в виде квазирациональных дробей. Установлено влияние коэффициентов обратных связей на протяженность области устойчивости.

Разработана математическая модель возмущенного моментом внешних сил движения орбитальной конструкции с двумя упруговязкими стержнями и закрепленными на их концах абсолютно жесткими телами. Построены и исследованы на устойчивость передаточные функции в виде квазирациональных дробей. Показано существенное влияние количества стержней, а также масс и моментов абсолютно жестких тел, закрепленных на концах стержней, на области устойчивости. • Созданы соответствующие комплексы программ и исследованы их возможности применительно к анализу устойчивости и вычислению импульсных переходных и переходных функций рассматриваемых ДКС с упруговязкими стержнями.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивалась корректностью математических преобразований при выводе модельных уравнений, теоретическим обоснованием сходимости разработанных алгоритмов, сопоставлением результатов численного моделирования и аналитических результатов, полученных методами асимптотического интегрирования.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с моделированием динамического поведения многомерных дискретно-континуальных систем (ДКС), которые допускают линеаризацию в окрестности состояния подвижного равновесия. Предполагается, что математические модели континуальных элементов учитывают неизбежно возникающую в сплошной среде малую, но ненулевую диссипацию механической энергии (внутреннее трение, потоки энтропии и т.д.).

Применительно к задачам моделирования устойчивости управляемых деформируемых конструкций развит предложенный в [39, 40, 41] критерий устойчивости, либо неустойчивости достаточно сложных управляемых конструкций, обладающих малым, но конечным конструкционным демпфированием, и опирающийся на геометрические методы теории функций комплексных переменных [42, 43, 44, 45, 46, 47]. Обобщенная передаточная функция линеаризованной в окрестности состояния подвижного равновесия многомерной дискретно-континуальной системы представляется в виде матрицы, элементы которой являются квазирациональными дробями (отношениями квазимногочленов). При этом используется теорема об устойчивом характеристическом квазимногочлене дискретно-континуальной системы [39, 40, 41]. Сформулированы теоремы об устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых передаточных функциях.

Во второй главе предложен эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа, основанный на свертке исходного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала [48, 49, 50, 51, 52]. Тем самым, выполняется регуляризация процедуры численного обращения посредством указания конечного отрезка (области), на котором необходимо восстановить искомый оригинал. Детали реализации алгоритма и свойства необходимых для этого специальных функций [53] подробно описаны в этой главе.

В третьей-пятой главах проводится исследование устойчивости и переходных процессов для ряда дискретно-континуальных систем с упруговязкими стержнями.

В третьей главе рассматривается неконсервативная задача теории упругой устойчивости. Типичной задачей в рассматриваемой предметной области является задача о поведении упруго-вязкого стержня постоянного сечения под действием следящей силы. Возможно численное решению данной задачи, метод основан на построении численной динамической модели исследуемой системы и сводится к совместному численному решению системы или же аналитически возможно нахождение приближенного аналитического решения исследуемой математической модели.

Задача о поведении упругого стержня под действием следящей силы, рассматривалась многими авторами [54, 78, 79, 80, 81]. Один из распространенных подходов к решению этой задачи состоит в использовании метода разделения переменных (метода Фурье) для нахождения характеристического уравнения и последующего отыскания его корней. При использовании данного метода возникает большая погрешность численного нахождения корней характеристического уравнения [55, 56, 57]. Следует также отметить, что непосредственный поиск корней характеристического уравнения в достаточно протяженных областях комплексной плоскости (например, во и всей правой полуплоскости) представляет собой нетривиальную вычислительную задачу. Поэтому особую значимость приобретают методы исследования устойчивости комбинированных динамических систем (КДС), не требующие вычисления корней характеристического уравнения.

Для исследования поведении упругого стержня под действием следящей силы был использован аппарат теории КДС, позволяющий осуществить построение и анализ динамических моделей в виде матриц квазирациональных дробей, являющихся отношениями квазимногочленов [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67]. Далее, с использованием теорем об устойчивом квазимногочлене и об устойчивых и неустойчивых квазирациональных дробях [39-46], проводится анализ устойчивости КДС, после чего выполняется построение ИПФ на основе численного обращения интегрального преобразования Лапласа, описанного в главе 2.

В четвертой главе проводится исследование устойчивости и импульсных переходных функций спутника с упруговязким стержнем типа Оеоз2 [31, 68] с использованием методов [41] теории комбинированных динамических систем и описанного в главе 2 численного обращения интегрального преобразования Лапласа. Проведено исследование угловой стабилизации спутника с одним V упруговязким стержнем с учетом ускорения №у0 и расстояния от центра до места заделки стержня а и без этих параметров, методами теории комбинированных динамических систем [39, 41], показано что вышеописанные параметры не оказывают существенного влияния на систему стабилизации. Исследовано влияние коэффициентов обратной связи на систему стабилизации.

В пятой главе исследованы вопросы стабилизации орбитальной конструкции, на примере спутника с упруговязкими стержнями и закрепленными на концах абсолютно жесткими телами (грузами), методами комбинированных динамических систем [39, 41, 69]. Составлены системы дифференциальных уравнений возмущенного моментом внешних сил движения спутников с упруговязкими стержнями и закрепленными на концах абсолютно жесткими телами. На основе точного решения получены передаточные функции в виде отношения квазимногочленов. В пространстве коэффициентов обратных связей построены границы областей устойчивости и импульсные переходные функции. Показано, влияние увеличения числа стержней и грузов в орбитальных конструкцях на области устойчивости.

Апробация работы. Основные результаты докладывались: - на международной научно-технической конференции. "Проблемы управления и связи." (Саратов, 2000).

-на международной конференции "Актуальные проблемы современной науки.". (Самара, 2001-2004)

-на международной научно-технической конференции. "Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении." (Саратов, 2002).

-на международной конференции "Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании." (Саратов, 2002 ).

В целом работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Прикладная математика и теория навигационных приборов» под руководством заслуженной деятеля науки Российской Федерации д.т.н., проф. К.П. Андрейченко (2005 г.)

Выводы

В данной главе исследованы вопросы стабилизации орбитальной конструкции с упруговязкими стержнями и закрепленными на концах абсолютно жесткими телами, методами комбинированных динамических систем [41]. Данный метод позволяет выполнять моделирование динамики и устойчивости ДКС орбитальной конструкции с упруговязкими стержнями и закрепленными на концах абсолютно жесткими телами, без какого-либо ограничения по числу учитываемых форм колебаний и допускающий неоднородность граничных условий (то есть существует возможность повесить абсолютно жесткие тела на концах стержней).

На основе точного решения получены и исследованы на устойчивость передаточные функции в виде отношения квазимногочленов. Построены границы областей устойчивости и импульсные переходные функции. Получены сосредоточенные передаточные функции системы в виде квазирациональных дробей.

Показано существенное влияние количества стержней, а также масс и моментов абсолютно жестких тел, закрепленных на концах стержней, на области устойчивости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предложенной диссертации, применительно к многомерным дискретно-континуальным механическим системам изложены элементы теории устойчивости, основанные на методах теории комбинированных динамических систем [39, 41]. Сформулированы теоремы об устойчивом характеристическом квазимногочлене дискретно-континуальной системы, теоремы об устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых обобщенных передаточных функциях, а также обобщенный частотный критерий устойчивости. В частности показано, что применение обобщения известного критерия Михайлова-Эрмита позволяет выполнить исследование устойчивости ДКС на основе анализа расположения относительно небольшого числа точек частотного годографа системы вместо нахождения счетного множества корней характеристического уравнения.

Предложен эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа применительно к исследованию реакций на малые возмущения ДКС, превосходящий известные методы по точности и устойчивости вычислений. В частности, применение свертки известного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала позволяет выполнить регуляризацию процедуры численного обращения посредством указания временного отрезка, на котором необходимо восстановить искомый оригинал.

Впервые методами теории комбинированных динамических систем разработаны математические модели ДКС и соответствующие алгоритмы их численного анализа, позволяющие выполнять моделирование динамики и устойчивости ДКС без какого-либо ограничения по числу учитываемых форм колебаний.

Проведено математическое моделирование неконсервативной дискретно-континуальной системы на примере нагруженного следящей силой упруговязкого стержня с абсолютно жестким телом, возмущенного 8 функцией Дирака. Получены сосредоточенные и распределенные передаточные функции системы в виде квазирациональных дробей. Исследованы границы областей устойчивости и импульсные переходные функций, и установлено существенное влияние коэффициента внутреннего трения в стержне и параметров абсолютно жесткого тела на области устойчивости. Показано, что пренебрежение внутренним трением и высшими формами колебаний приводит к заниженному значению критической силы.

Проведено математическое моделирование системы стабилизации спутника с упруговязким стержнем типа Оеоз2. Получены сосредоточенные передаточные функции системы в виде квазирациональных дробей. В пространстве коэффициентов обратных связей системы стабилизации построены границы областей устойчивости Установлено влияние коэффициентов обратных связей на протяженность области устойчивости.

Разработана математическая модель возмущенного моментом внешних сил движения орбитальной конструкции с двумя упруговязкими стержнями и закрепленными на их концах абсолютно жесткими телами, без какого-либо ограничения по числу учитываемых форм колебаний и допускающий неоднородность граничных условий (то есть существует возможность повесить абсолютно жесткие тела на концах стержней). Построены и исследованы на устойчивость передаточные функции в виде квазирациональных дробей. Показано существенное влияние количества стержней, а также масс и моментов абсолютно жестких тел, закрепленных на концах стержней, на области устойчивости.

Применительно к анализу устойчивости и вычислению импульсных переходных и переходных функций рассматриваемых ДКС с упруговязкими стержнями, созданы соответствующие программы и исследованы их возможности.

1. Хуан Ю. Обобщение формулировки уравнений динамики Ньютона-Эйлера для нежестких манипуляторов / Ю.Хуан, Р.Ли // Современное машиностроение,-1989.- №4. -С.79-87.

2. Цзюэ B.C. Анализ динамической устойчивости двузвенного гибкого манипулятора с управлением по силе / B.C.Цзюэ, М.Шахинпур // Современное машиностроение.- 1991.- №5.- С.155-161.

3. Чжан Л.В. Моделирование манипуляторов с гибкими звеньями с помощью метода последовательного интегрирования / Л.В.Чжан, Д.Ф.Гамильтон // Современное машиностроение.- 1991.- №9.- С.43-47.

4. Чжан Л.В. Исследование кинематики роботов-манипуляторов с гибкими звеньями с помощью модели Эквивалентной системы, жестких звеньев (ЭСЖЗ) / Л.В.Чжан, Д.Ф.Гамильтон // Современное машиностроение.- 1991.- №7. -С.143-155.

5. Чжан Л.В. Динамика роботов-манипуляторов с гибкими звеньями / Л.В.Чжан, Д.Ф.Гамильтон // Современное машиностроение.- 1991.- №7.- С. 155161.

6. Петрока Р.П. Экспериментальное подтверждение адекватности динамической модели (эквивалентная система с жесткими звеньями) на примере однозвенного гибкого манипулятора / Р.П.Петрока, Л.В.Чан // Современное машиностроение.- 1990.-№9.-С. 1-8.

7. Мулен X. Точность отслеживания траектории выходной точки гибкой руки, полученной путем решения обратной задачи нерегулярным методом / Х.Мулен, Е.Байо // Современное машиностроение.- 1991.- №10.- С.33-37.

8. Спектор В.А. Моделирование и расчет несовмещенных систем управления гибкими конструкциями / В.А.Спектор, Х.Флешнер // Современное машиностроение.- 1990.- №12.- С. 11-19.

9. Кастелацо И.А. Нелинейная компенсация для упругих манипуляторов / И.А.Кастелацо, X. Ли // Современное машиностроение. 1990. - №9. - С.31-38.

10. Голубев Ю.Ф. Управление вращением упругого стержня на плоскости без возбуждения упругих колебаний / Ю.Ф.Голубев, А.Е.Дитковский // Робототехника. 2001. - №1. - С. 160-175.

11. Бербедюк В.Е. Об управляемом движении упругого манипулятора с распределенными параметрами / В.Е.Бербедюк, М.В.Демидюк // Механика твердого тела. -1984. №2.- С.59-67.

12. Бенати М. Динамика цепи упругих звеньев / М.Бенати, А.Морро // Современное машиностроение. -1989.- №7. -С.51-56.

13. Асада X. Обратная динамика гибкой руки робота (модельное представление и расчет траекторного управления) / Х.Асада., З.Д.Ма., Х.Токумару // Современное машиностроение. -1990. №12. С. 1-10.

14. Черноусько Ф.Л. Манипуляционные роботы / Ф.Л.Черноусько, Н.Н.Болотник, В.Г.Градецкий. -М.: Наука, 1989. 389с.: ил.

15. Чен Дж.Ч. Требования к точности расчетных динамических моделей конструкций / Дж.Ч.Чен // Аэрокосмическая техника. 1985. - №6. - С.43-51.

16. Гуляев В.И Динамика орбитальных станций с протяженной фермой / В.И.Гуляев, И.С.Ефремов, А.Г.Чернявский и др. // Космические исследования. 1994. - Т.32. - Вып.2. - С.61-69.

17. Агафонов С.А. Устойчивость неконсервативных систем и оценка области притяжения / С.А.Агафонов // Прикладная математика и механика. -2003. Т.67. - №2. - С.239-243.

18. Литвинов Н.Д. Формирование математических моделей космического аппарата с учетом процесса деформиции его конструкций / Н.Д.Литвинов // Системы управления движущимися объектами. 2002. - №6. - С. 158-174.

19. Бучанан Г.Дж. Орбитальный эксперимент для исследования динамики и управления больших конструкций / Г.Дж.Бучанан, Р.У.Шок, Г.Б.Уайтес // Аэрокосмическая техника. 1985. - №6. - С. 147-157.

20. Шехтер Д.Б. Эксперимент по управлению нежесткой конструкцией / Д.Б.Шехтер, Д.Б. Элдред // Аэрокосмическая техника. 1985. - №6. - С. 158-168.

21. Рутковский В.Ю. Управление угловым движением деформируемого спутника с распределенными массами 1 / В.Ю.Рутковский, В.М.Суханов // Космические исследования. 1970. - Т.8.- Вып.1 - С.71-79.

22. Злочевский С.И. О влиянии колебаний упругих элементов с распределенными массами на ориентацию спутника / С.И.Злочевский, Е.П.Кубышкин // Космические исследования. 1987. - Т.25. - Вып.4. - С.537-545.

23. Моррис К.А. Сравнение различных моделей колебаний стержней с точки зрения проектирования системы управления / К.А.Моррис, М.Видьясагар // Современное машиностроение. Сер.Б. - 1991. -№ 2. - С.8-16.

24. Голубев Ю.Ф., Дитковский А.Е. Управление вращением упругого стержня на плоскости без возбуждения упругих колебаний / Ю.Ф.Голубев, А.Е.Дитковский // Робототехника. 2001. - №1. - С. 160-165.

25. Детинко Ф.М. Следящая нагрузка и устойчивость плоской формы изгиба стержня / Ф.М.Детинко // Механика твердого тела. 2002. - №5. - С. 137-144.

26. Малышев А.П. Построение модели частотно-независимого демпфирования по амплитудной характеристике коэффициента поглощения /

27. A.П. Малышев // Прикладная математика и механика. 2003. - Т.67. - Вып.1. - С.134-141/.

28. Морозов В.М., Рубановский В.Н. Некоторые задачи об устойчивости стационарных движений твердого тела с деформируемыми элементами /

29. B.М.Морозов, В.Н.Рубановский; Некоторые вопросы управления и устойчивости механических систем: Науч. тр. Института механики МГУ. -№22. М.: Изд-во МГУ. - 1973. - С. 109-161.

30. Морозов В.М. Механика и прикладная математика / В.М.Морозов, В.Н.Рубановский. М.: Наука. - 1983. - 328с.: ил.

31. Morris К. A., Vidyasagar M. A comparison of different models for beam vibrations form the standpoint of control design// Dynamics Systems, Measurement, and Control. 1990. - V.l 12. - №3. - P.394-356.

32. Nurre G.S., Ryan R.S., Scofield H.N., Sims J.L. Dynamics and Control of Large Space Structures// Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1984. -V.7.-№5.-P.514-526.

33. Злочевский С.И. О стабилизации спутника с гибкими стержнями / С.И.Злочевский, Е.П. Кубышкин // Космические исследования. 1991. - Т.29. -Вып.6. - С.828-839.

34. Кобельков Г.М. К решению нестационарной задачи Стокса / Г.М.Кобельков // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. - Т.40. - № 12.-С. 1838-1841.

35. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / А.В. Бицадзе. М.: Наука. - 1969. - 239 с.

36. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука. - 1987. - 688 с.

37. Иванов В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А.Иванов, В.С.Медведев, Б.К.Чемоданов и др./ Под ред. Б.К.Чемоданова: М.: Высш. шк. - 1977. - 366с.

38. Крылов В.И. Методы численного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа / В.И. Крылов, Н.С. Скобля. М.: Наука, 1974.-223 с.

39. Тарасов Р.П. Вычисление функций в алгебре треугольных теплицевых матриц и численное обращение интегрального преобразования Лапласа/ Р.П.Тарасов. // Журнал вычислительная математика и математическая физика. 1990.-Т. 30.-№ 12. - С.1827-1833.

40. Андрейченко К.П. Динамическое моделирование линейных дискретно-континуальных систем / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко, А.Б.Смарунь // Прикладная математика и механика. 2000. - Т. 64. - Вып. 2. -С.183-195.

41. Andreichenko K.P., Andreichenko D.K., Smarun A.B. Dynamical modelling of linear discrete-continious systems // J. Appl. Maths Mesh. 2000. -Vol.64.-№2-P. 177-188.

42. Андрейченко К.П. К теории комбинированных динамических систем / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. - № 3. - С. 54-69.

43. Андрейченко К.П. Динамическое моделирование манипулятора с гибкой рукой / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко / Проблемы машиностроения и надежности машин. 1996. - № 3. - С.94-100.

44. Андрейченко К.П. Динамическое моделирование гироскопической системы угловой стабилизации упругой ракеты / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко // Доклады академии военных наук. 1999. - № 1. - С. 5-13.

45. Андрейченко К.П. Моделирование систем с деформируемыми объектами управления / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко. Деп. в ВИНИТИ 05.07.95, №2013-В95.- 16с.

46. Андрейченко К.П. Математическое моделирование комбинированных динамических систем / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко. -Деп. в ВИНИТИ 21.02.97, № 557-В97. .12 с.

47. Андрейченко К.П. Комбинированные динамические системы / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко; Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Материалы межд. конф. РАН. -Саратов, 1997.-с. 104-106.

48. Андрейченко Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа / Д.К.Андрейченко // Журнал вычислительная математика и математическая физика. 2000. - Т.40. - № 7. -С. 1030-1044.

49. Andreichenko D.K. An Efficient Algorithm for Numerical Inversion of the Laplace Transform // Computational Mathematics and Mathematical Physics. Vol.40. №7. - 2000. - P. 987-999.

50. Петрова Т.Ю. Об одном классе алгоритмов численного обращения интегрального преобразования Лапласа / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко, Т.Ю.Петрова // Доклады академии военных наук. 2000. - № 5. - С.5-23.

51. Петрова Т.Ю. Новый класс методов численного обращения интегрального преобразования Лапласа / Д.К.Андрейченко, Т.Ю.Петрова; проблемы управления и связи: Материалы межд. конф. Сарат. гос. техн. ун-т.- Саратов: СГТУ, 2000. с.82-86.

52. Андрейченко Д.К. Математическое моделирование дискретно-континуальных механических систем / Д.К.Андрейченко; Сарат. гос. техн. ун-т.- Саратов: СГТУ, 2001. 320 с.

53. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем / А.С.Вольмир. М.: Физматиздат, 1963. - 880с.

54. Лавровский Э.К. О стабилизации углового положения упругого стержня / Э.К.Лавровский, А.М.Формальский // Техническая кибернетика. 1989. - №6. -С.115-123.

55. Лавровский Э.К. Стабилизация заданной позиции упругого стержня / Э.К.Лавровский, А.М.Формальский // Прикладная математика и механика. -1989. Т.53 - №5. - С.752-760.

56. Лавровский Э.К. Управление упругим звеном манипулятора при помощи обратной связи по положению и скорости груза / Э.К.Лавровский, А.М.Формальский // Прикладная математика и механика. 1993. - Т.57 - №6. С.51-60.

57. Петрова Т.Ю. Динамическое моделирование неконсервативной дискретно-континуальной системы / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко, Т.Ю.Петрова// Вестник СГТУ. -2003. № 1.-С.6-15.

58. Петрова Т.Ю. Динамическое моделирование неконсервативной дисретно-континуальной системы / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко, Т.Ю.Петрова // Прикладная математика и механика. 2004. - Т.68. - Вып.5. -С.776-783.

59. Балинский А.И., Подлевский Б.М. Связь между методами Эрмита, Шура и Ляпунова в теории устойчивости многочленов // Журнал вычислительная математика и математическая физика. 2002. - Т.42. - № 9. - С. 1283-1289.

60. Постников М.М. Устойчивые многочлены / М.М.Постников. М.: Наука, 1981.-98с.

61. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д.Кудрявцев М: Наука, 1989. 267с.

62. Нурр Г.С. Динамика больших космических конструкций и управление ими / Г.С.Нурр, Р.С.Райан, Х.Н.Скофилд. и др. // Аэрокосмическая техника. -1985. №3 - С. 129-147.

63. Андрейченко Д.К. Математическое моделирование дискретноконтинуальных механических систем: Автореф. дис.д-ра. физ-мат. наук.1. М., 2002.-36 с.

64. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости / М. Ван-Дайк. -М.:Мир, 1967.-310 с.

65. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик М.: Наука, 1962. - 1100 с.

66. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды / М.В. Федорюк. М.: Наука, 1987.-544 с.

67. Николаи E.JI. Труды по механике / Е.Л. Николаи,- М.:Гостехиздат. 1955.

68. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости /

69. B.В. Болотин. М.: Физматизд, 1961. - 339с.

70. Болотин В.В. О влиянии демпфирующих сил на послекритическое поведение существенно непотенциальных систем / В.В.Болотин, А.А.Гришко, А.П.Петровский // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. - №2 - С. 158-167.

71. Агафонов С. А. Стабилизация параметрическим возбуждением упруговязкого стержня, находящегося под действием следящей силы/

72. C.А.Агафонов // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996. - №2. - С. 138-141.

73. Злочевский С.И. О стабилизация углового положения спутника с гибкими стержнями 1 / С.И. Злочевский, Е.П. Кубышкин // Космические исследования. 1989. - Т.27. - №5.