автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Дискретная геометрия интерактивного конструирования кинематических поверхностей на основе конечных сумм

КИ1ВСЫШЙ ДЕРЖАНИЙ ТЕХН1ЧНИЙ УН1ВЕРСИГЕТ БУД1ВНИЦТВА I АРХ1ТЕКТУРИ

РГ6 од

2 д(| _ . На правах рукопису

ГРИБОВ СерПй Мйколайович ^

ДИСКРЕТНА ГЕОМЕТР IЯ 1НГ ЕР АКТ ЯВНОГО КОШТРУКВАННЯ К1НЕМАТИЧНИХ ПОВЕРЖНЬ НА ОСНОВ1 СК1НЧЕННИХ СУМ

Спец1альн1оть: 05.01.01 - фикладна геометр1я та

1нженерна граф1ка

АВТОРЕФЕРАТ дисертацП на здобуття наукового ступени доктора техн1чних наук

Ки1в - 1994

Дисертац1ею е рукопис

Роботу виконано в Кшвському пол1техн1чному 1нститут1

Науковий консультант: ааслужений прац1вник вида! школи УкраКни,

д. т. н., проф. Павлов АнатолШ Володимирович

0ф1ц1йн1 опоненти: чден-кореспондент АН Укра1ни.

д. т. н., проф. Стоян 1Ср1й Григорович,

д. т. н., проф. Найдиш Володимир Михайлович,

д. т. н., проф. Шдкоритов Анатол1й Миколайович

Цров1два установа: .Ав1ац1йний науково-техн1чний комплекс 1м. 0. К. Антонова

Захист в1дбудеться ?0 кв1тня 1994 року о 13 годин1 на зас1данн1 спец1ал1вовано1 вне но! ради Л 068.05.03 в Швському державному техн1чному ун1верситет1 буд1вництва 1 арх!тектури •ва адресок 252037, Ки1в - 37, Пзв1трофлотський проспект, 31. аудитор!я 319.

3 дисертаЩею ыохна озйайомитися в 01бл1отец1 Ки1вського державного техн1чного ун!верситету 0уд1вництва 1 арх!тектури

Автореферат роз 1сланий " 1994 року

Вчений секретар

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

Актуальн1сть тематики дисертац!йно1 роботи визначаеться потребами подальшого розвитку геометричного моделювання поверхонь, що використовуються в практик конструювання та технологи з метою Шдвищення продуктивност1 прац1 конструктор1в 1 технолоМв в умовах комп'ютеризованого виробництва.

В наш час найб1льш перспективний напрямок розвитку виробництва пов'язаний 1з застооуванням 1нтегрованих комп'таерних технолог^, в яких об'еднуються в едине ц1ле задач1 проектування, конструювання та виробництва. Дана дисертац1йна робота в практичному план1 ор!ентована на вироби машинобудування, як1 мають склад-Hi кривол!н!йн1 поверхн1 (корпуси автомоб!л1в, поверхн1 агрегат1в л1так!в, поверхн! с1льскогосподарських знарядь тошр). 1снуе два основних п1дходи до конструювання вироб1в з кривол1н1йними по-верхнями. Перший тдх!д пов'язаний з виготовленням макета виробу. Другий п!дх1д передбачае створення поверхн1 безпосередньо на ек-ран1 комп'ютера э автоматичним формуванням математично! модел1 поверхн1. Хоча другий п!дх1д б1льш в1дпов1дае" ц1лям 1нтегрованих комп'ютерних технолоПй, в1н широко не використовуеться в кон-струюванн1 вироб1в. Це пов'язано з тим, шр 1снуюч1 методи моделювання поверхонь розв'язують задач1 апроксимацп та 1нтерполяц11 масив1в точок поверхн1, тобто ор1ентоваЯ1 саме на перший п1дх1д, 1 застосування цих метод1в для безпосереднього створення поверхн! на екран! комп'ютера призводить до складного 1нтерфейсу iHTepaK-тивного конструювання. Тому актуальною е проблема розробки метод^ геометричного моделювання, щр забезпечують саме 1нтерактив-не конструювання поверхонь.

Два п1дходи до конструювання поверхонь можна з1ставити з двома поглядами на поняття функци, як! проявилися ще у XVIII стор!чч1 у в1домому cnopi м1ж Д'Аламбером та Ейлером про струну, що звучить. Д'Аламбер п!д функц1ею розум!в дов1льний анал!тичний вираз, а Ейлер - дов1льну накреслену криву., В сучасному понятт1 функцП цим двом поглядам в1дпов!дають аналНичний та к1нематич-ний способи завдання функцП. 1сторично б1лыяий розвиток здобув анал1тичний спос1б 1 саме в1н складае основу сучасних метод1в геометричного моделювання кривих та поверхонь. Погляди Ейлера розви--вав Гаспар Мэнж i головн'а 1дея Монжа виходила не 1з статичного

сприйняття об'ект!в, а 1з руху, який м!г би утворювати ту чи 'ншу поверхню. В наш час 1деI Монжа якщр 1 використовуються, то поло-винно, тобто викориотовуетьоя к1нематичний споспб утворення по-верхн1 э тв!рними, щр задаються за допомогою анал1тичних вираз1в, а Монж поширював кшематичний принцип 1 на утворення кривих! Нао-л1дком ц1е! половинном! можна розглядати той факт, шр жоден з метод!в зображення кривих, як1 застосовуються зараз, не забезпе-чуе природного процесу керування формою криво! на екраш комп'ю-тера. Тобто керування формою криво! зд!йснюеться !з застосуванням допом1жних елемент1в (характеристично! ламано! в метод1 Без'е, дотичних в кривих Ерм1та, опорних точок В-сплайна), що не е при-родними характеристиками криво!. Щодо поверхонь, то зображення тв1рно! за допомогою аналгтичних вираз!в призводить до: а) сег-ментацП поверхн!; б) необх1дност1 розв'язання питань зшвки кус-к1в поверхн1; в) проблем в параметризац1I поверхн1.

Метою роботи е розробка теоретичних основ та вдосконалення обчислювальних алгоритм1в интерактивного моделювання кривол1н1й~ них об'ект1в для п1двищення ефективност1 автоматизацП техноло-г1чно! п1дготовки виробництва.

Основн! задач! досл!дження:

- розробити теорию комп'ютерно-ор^ентованого способу дискретного завдання кривих;

- запропонувати принципи 'та алгоритми ефективного керування формоут'воренням плоских 1 просторових обвод ¡в;

- розробити методику застосування нового способу зображення кривих (кривих ск1нченних сум) в практиц! конструювання поверхонь з метою п1двищення ефективност1 тривим!рного проектування;

- розробити принципи побудови обчислювальних алгоритм!в систем комп'ютерно! геометрП на баз1 теор!! кривих ск!нченних сум;

- реал1аувати результата досл!джень у вигляд1 конкретно! системи моделювання та в1дтворення кривол1н1йних об'ект1в ! впро-вадити II у виробництво.

Методика виконання роботи. Розв'язання поставлених у робот! з'адач виконувалось на основ1 метод 1 в нарисно!, аналтчно!, дифе-ренЩально!, обчислювально! геометр!й, тополог И, теор!! кривих та поверхонь, теор!! ряд1в, обчислювальних метод¡в, теор!! апрок-симацП та 1нтерполяц!1, теорИ САПР, теор!! програмування.

1нформац1йною та теоретичною базою дослЦжень е роботи в1т-чизняних та заруб!жних вчених:

- з теорП кривих л1н1й та поверхонь: Г. С. Гванова, С. М. Ко-вальова, 1.1.Кптова, Е е. Михайленка, В.0.Надолинного, ас. Обуховой ЕА. Осипова, А. К Павлова, 0. Л. Шдгорного, А. М. Шдкоритова, М.М.Рижова, I. А. Скидана, А. М. Тевл1на, НЕФШпова, С. А. Фролова, Е I. Якунша, К.де Бора, ИБез'е, П. Кастельлю, С. Куне а, Р. Ризен-фельда, Д. Фергюсона та 1н.;

- з обчислювально! геометрП: О.Г.Горелика, Л.М.Куценко, К М. Наддарова, Е М. Найдиша, Е С. Полозова, Е Л. Рвачова, К. 0. Сазонова, е. О. Стародетко, Ю.Г. Стояна, У. Ньюмена, ЫПратта, А. Фокса та 1н.;

- з машинно! граф1ки та розробки систем геометричного моде-лювання: Ю. I. Бадаева, Т. А. Л1нк1на, Ю. Б. Рабинського, А. О. Смоляра, А. Д. Тузова, В. П. йэпеля, Л. Аммерала, П. Вез' е, I. Гардана, Е Плоя та 1н.

Наукова новизна роботи полягае в наступному.

1. Виявлено геометричну природу ск1нченних сум. Досл1джено та систематизовано геометричн! властивост1 кривих, щр породжують-ся р1зними ск!нченними сумами.

2. Розроблено метод кривих ск1нченних сум, який визначае по-будову простих дуг дискретно заданих кривих для ц!лей комп'ютер-но! геометрП.

3. Розроблено метод трансформаШ! криво! ск!нченно! суми, цо визначае нов1 принципи 1нтерактивного керування формою кривих та поверхонь.

4. Розроблено та досл1джено вар!анти моделювання гладких складених кривол!н1йних обвод1в за допомогою кривих ск!нченних сум.

5. Виконано узагальнення плоских кривих ск1нченних сум, що призводить до побудови просторових дискретно заданих кривих.

6. Розроблено теор!ю 1нтерактивного конструювання к!нематич-них поверхонь. Зроблено спробу систематизац!I вимог до математич-ного методу моделювання поверхонь, як1 враховують психолог1чя1 аспекти в процес1 1нтерактивного тривим1рного проектування.

7. Розроблено нов1 принципи орган1зацП 1нтерактивних гра-Ф1чних систем комп'ютерно! геометр!5, як! реал!эують метод кривих ск1нченних сум.

Практичне значения роботи полягае в запропонуванн! ново! технолог!! 1нтерактивного конструювання плоских 1 просторових .кривол1н!йних об'ект1в, яка розширюе можливост! реал!зацП твор-

чих задум1в конзтруктора, спрошуе взаемодИо конструктора з ком-п'ютером, охоплюе широке коло геометричних задач (конструювання крйвих на площин1, кривюс на поверхн1, к1нематичних поверхонь, спряжения поверхонь).

Реал1зац1я роботи. Bei теоретичн1 положения роботи були пере-BipeHl на комп'ютер1. Численн1 приклади конструювання кривих та поверхонь, наведен1 в робот 1, п1дтверджують в1рог!дн1сть теоре-тичних результат1в. На ochobI теорП кривих ск1нченних сум було розроблено б1бл1отеку функц1й мови С1, шр реал1зуе анал!тичний апарат плоских кривих ск1нченних сум. Шрдо поверхонь, то теоре-тичн! результати диоертац1йно! роботи комплексно реал1зован1 в граф1чн1й систем1 1нтерактивного конструювання к1нематичних поверхонь. За мету при розробц1 системи було поставлено використан-ня п як розширення (додатка) 1снуючих систем геометричного моде-лювання. В ход! роботи було розроблено також допом!жну граф1чну систему розв'язання геометричних задач, яка використовувалася як '1нструментальний зас1б при досл1дженнях.

Розроблен! граф1чн1 системи були передан1 до АНГК 1м.O.K.Антонова для включения Ix до набору засоб1в геометричного моделю-вання агрегат1в л1так1в, щр використовуються в ц1й установ1 (основою цих засоб!в е система СИГМА, розроблена спец1ал1стами АНТК п1д кер1вництвом КХ В. Рабинського). Граф1чна система 1нтерактивно-го конструювання к1нематичних поверхонь була випробувана для конструювання складних поверхонь типу зал1з1в 1 зак1нц1вок.

До захисту пропонуеться:

1. Теор1я дискретно заданих кривих (теор1я кривих ск1нченних сум).

2. Теор1я 1нтерактивного конструювання к1нематичних поверхонь на ochobI кривих ск1нченних сум.

3. Граф1чн1 комп'ютерн1 технологи на ochobI кривих ск1нчен-них сум.

АпробаЩя роботи. OchobhI положения дисертац1йно! роботи до-Пов1далися на X Всесоюзному науково-методичному сем1нар1 "Инженерная к машинная графика" (Шлтава, 1991 р.), на м1янародн1й на-уково-техн1чн1й конференцП "Проблемы графической технологии" (Севастополь, 1991 р.). на Всеукра1нськ1й науково-методичн1й кон-ференц1I "Перспективы развития машинной графики в преподавании графических дисциплин" (Одеса, 1992 р.), на ВсеукраГнськ1й науко-во-методичн1й конфёренцП "Геометричне моделювання. 1нженерна та

комп'ютерна граф1ка" (Харк1в, 1993 р.). У в1дц1л1 ыатематичного моделювання 1нституту проблем машинобудування АН Укра!ни (Харк!в, 1993 р.), на наукових сем1нарах кафедри нарийно! геометр И, 1нжв-нерно! та комп' югерно! граф!ки Ки1вського пол1техи1чного 1нетиту-ту (1993 р.), кафедри нарисно! геометрИ, !нженерно! та машинно! граф1ки Ки1вського державного техн1чного ун1верситету 0уд1вництва 1 арх1тектури (с1чень 1994 р.), на м!жвуз1вському сем!нар1 науко-вого напряму "Прикладна геометр1я, 1нженерна та комп'ютерна гра-ф1ка" загальнотехн1чного в!дд1лення Академ1! наук вищо! школи Укра1ни (березень 1994 р.).

Публ1кацП. Реэультати досл1джень викладен1 в 39 роботах 1 монографП.

Структура та обсяг роботи. Диоертац1я складаеться з вступу, шести глав, загальних висновк1в, викладених на 183 стор1нках машинописного тексту, списку лИератури з 207 найменувань, двох до-датк!в. Робота мЮтить в соб1 88 рисунк1в, 6 таблиць.

ОСНОБНИЙ 3MICT РОБОТИ

У вступ! обгрунтовуеться актуальность досл1джувано! проблемы, приводиться загальний огляд публ1кац!й, пов'язаних з темою дисертацП, -наводиться перел1к основних задач дссл1дкення, зм1ст наукових положень, як! складають новизну та практичну ц!нн1сть роботи, та деяк1 питания реал1эац11 науково-техн1чних результата роботи. Робиться висновок про актуальн!сть постановки в дисер-тад1йн1й робот! тако! загально! задач!: розробити математичну те-ор!ю кривих та на П оенов1 теор1ю 1нтерактивного конструювання поверхонь, що ор1ентован1 на дискретний характер комп'ютера та пристроив в1дтворення 1 враховують психолог1чн1 оспектив 1нтерак-тивному формоутворенн1 поверхонь, з метою Шдвищеиня ефективносИ розв'язання задач1 1нтеграцП проектування та технолог!чно! п1д-готовки виробництва.

В перш!й глав! закладаються основи теорП кривих ск1нченних сум. Вих1дною точкою досл1дження можна розглядати положения тополог!!, щр стосуеться тривим1рних многостатностей (тобто кривих та поверхонь евкл!довогсз простору): на будь-як!й тополоПчн1й мно-гостатност1 М вим1рност1 п < 3 можна ввести як гладку, так 1 кус-ково-л!н!йну структуру. 1ншми словами, будь-яка тривим1рна мно-гостатн!сть е кусково-л!н1йною, тобто мае комб!наторн! тр!ангу-

ляц!ï, але ц! тр1ангуляц1! вибран1 наст1льки др!бними, ею симплек-си не розр^энюються неозброеним оком i многостатшсть, крива або поверхня здаються гладкими.

Виходячи з положень тополог 1ï пропонуеться геометрична модель криво! ск1нченно! суми (СС). Крива ск1нченно! суми розгля-даеться як ламана з великою к1льк1стю ланок однаково! довжини. Припускаеться також, щр крива СС е оиметричною ф!гурою. Геометрична модель криво! СС реал1зуе монотонн1сть зм!нювання довжин прое(сц!й на в1оь X, яка проходить через точки А та В (рис. 1,а), для непарно! к1лькост1 точок п криво! таким чином:

(L- к о)* (е- (к-1) а) *...* (е-2 а)*(е-а)' (i)

де: О - н'ев1домий параметр, який визначае властив1сть монотоннос-т1 дискретно задано! криво!,' шр П моделюють.

3 виразу (1) знайдемо параметр а 1 запишемо його таким чином: / - /.

В знаменнику виразу (2) присутня ск1нченна сума член1в нату-. рального ряду (це i обумовило назву кривих), тобто CCt » 1*2* ■■■* к = к (к*1)/2

На ochobI параметра а зг1дно з геометричною моделлю (рис. 1,а для непарного п, рис. 1,6 парного п) обчислюються рекурентно, тобто посл1довно точка за точкою,, координати точок криво! ск1нченно! суми. На рис.2,а зображено множину кривих ск1нченно! суми СС.,. Bel крив1 ц1е! множини машь однакову довжину 1 р1зняться в1дстан-ню м1ж к1нцевими точками.

За допомогою побудовано! модел! виявлено геометричну природу натурального ряду чисел. Вона виявляеться в тому, шр для заданих довжини L криво!, в1дстан1 L< м1ж к1нцевими точками, к1лькост1 п точок однозначно визначаеться форма дискретно задано! криво!. Цей результат розглядаеться як найб1льш важливий науковий результат дисертац1йно! роботи. 3 натуральних чисел починався розвиток математики. В дан!й робот 1 виявлено нову, геометричну властив1сть су-купност1 член1в натурального ряду. Це стало можливим т1льки на сучасному етап! розвитку науки 1 техн1ки завдяки застосуванню об-числювальНо! техн1ки з розвиненими засобами в1зуал1зацП.

Геометрична модель криво! ск1нченно! суми СС< була узагальне-на на 1нш1 ск1нченн1 суми. В робот! додатково до СС, розглянуто ще 8 ск1нченних сум, побудовано !хн1 геометричн1 модел!, наведено, зображення кривих. Для б1льш грунтовного досл!дження геометричних

- g -

L - добжина криЬо'С

5)

Рис. 1

властивостей кривих СС обчислювалися !хн! 1нтегральн1 суми. В робот 1 наведен! отриман1 графой 1нтегральних сум. На основ! анализу множин кривих ск!нченних сум, íxhíx геометричних моделей, гра-ф1к1в 1нтегральних сум сформульовано властивост1 кривих ск!нчен-них сум:

1. Крив1, як1 визначаються розглянутими 9 ск!нченними сумами, под1ляшься на чотири групи (або класи). НалежнЮть криво! до того чи 1ншого класу визначаеться степеней член1в ск!нченно! суми. Характерними кривими, цр належать до чотирьох клас!в кривих ckíh-ченних сум, е крив!, що визначаються ск1нченними сумами СС(, СС2, СС3, СО* (рис.2).

2. НалежнЮть криво! скшченно! суми до певного класу збер1-гаеться на вс!й област1 визначення (д1апазон! зм1ни параметра L,).

3. Для кожно! криво! СС з1 зб1лыаенням дискретност1 (к1ль-кост! точок п) досягаеться незалежн1сть форми криво! в1д к1ль-кост! точок, тобто при зб!льшенн1 к1лькост1 точок п дискретно задано! криво! до дея'кого значения п', подальше зб1льшення к1лькост1 точок не впливае на форму криво!.

4. 31 зб1льшенням класу криво! СС П область визначення зву-жуеться. Це видно на рис. 2.

5. При L,— L(ma*- L 1нтегральн! суми кривих ус i х клас1в практично зб1гаються.

Розроблено анал!тичний апарат плоских кривих ск1нченних сум. В1н встановлюе взаемозв'язок mí* параметрами, шр показан! на рис.3. Це довжина L криво! СС, в!дстань L, м1ж к!нцевими точками А 1 В криво! .(хорда); кут нахилу d м!ж дотичною до криво! (за Дотичну приймаеться перша ланка ламано!) 1 хордою. Наведемо формули, шр складають анал!тичний апарат, в загальному вигляд1 для непарного

L.- кi'1

L - —-—-. ( U)

- (CCJ) (1- cosd) 1

L (k>'< - (CCj)-(i-cosd)) . .

Í1' ' W

де: j-1,2,3,4. В табл.1 формули (3), (4), (5) та в1дпов1дн1 формули для парного п конкретизован! для ск1нченних сум СС,, СС2, CCj, СС,,.

В подайших главах роботи використовуються плоск1 крив1 ckíh-ченних сум. Проте, в перш!й глав! розглядаються п!дходи до побу-

Таблица 1

^Ларом. coset — 6 L и

ce, с: ш X с 2K(Í-L,) 2L,K L(2K-(K*I)(I-6))

L(KH) 2K-(K*4)«-6) 2к

п-пад (2K'0(L-L) L<(2*.*0 L(2K4-(K*I)(Í-6))

L(K*I) 2к*<

ссг е: ■ с 6K'(L-L,) GL,K* L(6K'-(k4)(2K4)(1-Í))

L(K4)(2K*Q G к*- (к*0(2кч)«-6) 6кг

о. 0 с 1 с 3K(L-L<) 5L,K L(3K-(K*Ù0-B))

¿(K *0 Зк - ÍK*iX(-b) Зк

CCj с « X 1 с H,к*

1 L(KH)* 4*'.- ск*4)г«-1) кк*

а 0 с 1 с 2k(Zk+Í)(L-1) 2L<K(2K4)

L (к+.0г 2K(2K*<)-(K*№-6) 2к (2к*0

CCí, с W X 1 с . t'ÏL-L,) . Lk* L(k*-(cc¿(Ч-è))

' L (cc„) к' - (ссл0-6) к*

1 1 с L<K42K*0 L(K«(2K4)-2(cctX/-e))

a (сс„у k*(2k*ù-2(cc¿)(<-í) К"(2К*0

дови симетричних та несиметричних просторових кривих СС. Шбудо-вано геометричн1 модел1 цих кривих, наведен! приклади просторових кривих СС, розроблений в1дпов!дний анал1тичний апарат.

Завершуеться перша глава розглядом питань комп'ютерно! гене-рацп кривих СС. Повн1стю анал1тичний апарат плоских кривих СС реал1зовано у вигляд1 б1бл1отеки функц1й мови 01, яку 6м1щено в додатку 1. В перш1й глав1 наведено головну програму з ц1е! 61Сл1-отеки (програма КБК), пр реал1зуе обчислення кривих ск1нченних сум СС4, ССг, СС}, СС(,, розглядаються основн1 блоки прогреми.

Таким чином в перш1й глав1 введено новий клас геометричних об'ект1в - крив! ск1нченних сум, шр е дискретно заданими кривими.' Анал1тичний апарат цих кривих базуеться на природн!й характе-ристиц1 криво! - довжин1, шр обумовлюе мо*лив1сть забезпечення природного процесу 1нтерактивного формоутворення кривих 1 повер-хонь.

В дрэтчй глав! розробляються принципи 1нтерактивного констру-ювання складених обвод1в з кривих ск1нченних сум як основа формоутворення к1нематичних поверхонь. Задача конструхшання складених обвод1в з кривих ск!нченних сум розглядаеться у найб!льш загаль-н1й тополог1чн1й постанову, тобто як задача 1нтерактивно1 побу-дови з кривих ск1нченних сум дов1льного шляху м1ж двома точками на площин!.

В робот! розробляються два методи побудови геометричного об'екту з двох кривих ск!нченних сум: метод трансформацП та метод суперпозицП.

Задача трансформацП формулюеться таким чином: для задано! вих1дно! криво! ск1нченно! суми довжиною Ь побудувати складену криву з двох кривих ск1нченних сум, шр задовольняе умови:

1) перша крива складено! криво! визначаеться величинами та <!<, де: 0 < Ц а <1, в1дпов1дае област1 визначення криво! скученно! суми довжиною ¿,;

2) складаюч1 крив1 трансформовано"! криво! в точц1 стику К мають сп! льну дотичну.

Величини Ц I,, с!, названо параметрами трансформацП. Постановку задач1 трансформацП криво! СС зроблено у загальному виг-ляд!. Вона не дае способу однозначного знаходження точки К стику кривих в складен!й крив1й. Однозначне визначення ц1е! точки ре-ал1зуеться конкретною процедурою трансформацП. В друт!й глав1 розглянуто процедури трансформацП криво! СС без збереження довжи-

- 14 -

ни та 1з збереженням довжини вих1дно! криво!.

Спочатку на основ1 анал1тичного апарату плоских кривих СС ■ елементарно Судуеться процедура трансформацП без збереження довжини. Нехай крива, шр проходить ы1ж точками А 1 В,'мае довжину Ь. Треба побудувати складену криву з двох кривих СС, шр проходить м!ж точками А 1 В, якшр в1дом! параметри та <1, першо! криво! СС в складен1й крив1й. Задача полягае в знаходженн1 координат точки К стику двох кривих в складен1й крив1й. Обчислюватимемо координа-ти точки К таким чином:

хк • д, соз (с/.ук - ^^¿пО*-«*,) (6)

де: - кут, щр обчислюеться за формулою (3) на п1дстав1 довжини криво! Ь та в1дстан! м1ж точками А 1 В; кут, щр обчислюеться за формулою (3) на п!дстав! параметра 2,та с11.

Геометричний зм1ст такого обчислення координат точки К полягае в тому,' щр таким чинрм визначаеться положения першо! криво! в скла-ден1й крив1й, при якому вих1дна крива довжиною Ь та крива з параметрами £,. <!< мають сп!льну дотичну в точц1 А. Знаходження точки К однозначно визначае другу криву СС в складен1й крив1й, тобто дозволяв обчислити параметри 1г, с12 друго! криво! СС. Д1йсно, с12 до'р1внюватиме в1дстан1 м!ж точками К та К Умова забезпечення сп1льно! дотично! м1ж двома кривими СС в складен1й крив!й дозво-ляе обчислити довжину £г друго! криво! за формулою (4). В загаль-ному випадку довжина траноформовано! криво! не буде дор1внювати довжин 1 вих1дно! криво!, тобто £, + £л I» I. Саме тому цю процедуру названо трансформаЩею без збереження довжини.

Друга крива СС в складен1й крив1й визначатиме положения прямо!, щр проходить через точку В 1 е дотичною до друго! криво!. В свою чергу, ця пряма визначатиме криву СС довжиною С, щр проходить м1ж точками В 1 А. Таким чином-, процедура трансформацП виконуе в1дображення параметр1в трансформацП, тобто

^ — С.и.бх

Було досл!джено зворотн!сть трансформацП. При цьому одержано нов1 геометричн! результати.

ЛЕМА про замкнену криву ск1нченних сум: дов1льна пряма на площин1 та в1др1зок, хоча б одна гранична точка якого розташована на прям1й, визначають замкнену криву, складену з двох кривих ск1н-ченних сум.

Доведения Ще! леми базуеться на теоретичних положениях, роз-

глянутих в глав1 1. На рис.4 показано дв1 замкнен1 крив1. Крива 1 визначаеться прямою а та в1др1зком АВ, крива 2 - прямою Ь та в1д-р1зком ВА.

Для досл1дження зворотност1 трансформац! I було побудовано б1льш загальну процедуру обчислення складено! криво! з двох кри-вих ск1нченних сум шляхом встановлення в!дпав1дност! м1ж точками прямих, щр визначають замкнен1 крив1 ск1нченних сум. Геометричний зм1ст встановлення ц1е! в1дпов1дност1 полягае в знаходженн1 на прямих а 1 Ь (рис.4) точок, як1 е центрами к1л. шр дотикаються 1 проходять в1дпов1дно через точки А 1 В. Знайдено анал1тичн1 вира-зи, щр реал!зують розглянуту геометричну 1нтерпретац1ю в!дпов1д-'

них точок:

1 ■ ( чг + ¿< • с05 о( - кг ■ с05 + " 1

(8) (9)

гг * 1,-со$р -

де: - в!дстань м1ж точками А 1 К

В!дпов1дн1сть, шр визначаеться виразами (8) та (9) у загаль-ному випадку не е взаемно однозначною. Д1йсно, на рис.4 точц1 1 в!дпов1дае кр1м точки 2 ще одна точка - точка 2! Для того, шрб побудована в1дпов!дн1сть була взаемно однозначною, тобто б1ектив-ним воображениям, прям!, що визначають замкнен1 крив! СС розгля-даються як проективн1 прям1. На проективн1й прям1й визначаеться точка, яка розд!ляе пряму на два в1др!зки. Наприклад, на рис.4 точка Б розд1ляе пряму а на два в1др1зки - АЛ та А~0. Вважатиме-мо, що в1др1зки проективно! прямо! визначають крив1 ск1нченних сум, як! складають замкнену криву. На рис. 4 крива, щр розтагована над в1др!зком АВ 1 входить в криву 1, визначаеться в1др!эком А~0, друга частина криво! 1 - в1др1зком АЛ. В1дпов1дн1 частини криво! 2 визначаються в1др1зками ВС та ВС проективно! прямо! Ь.

ТВЕРДКЕННЯ про б1ективне в1дображення в!др1зк!в проективних прямих: для будь-яких двох в1др1зк1в проективних прямих а та Ь, шр проходять в!дпов1дно через точки А та В ! визаачають замкнен1 крив1 ск!нченних сум, вирази (8) та (9) визначають б1ективне в!дображення Б1др1зк1в. на п1дстав! чого мохе бути однозначно розрахована складена крива ск1нченних сум.

В робот1 роэглянуто вс! чотири випадки розташування в1дпов!д-них точок та складених кривих, щр визначаються кожною парою в1д-р!зк!в проективних прямих а та Ь. В ход! досл!дження зворотност!

KDußo 1

крипа 2

Рис. 4

трансформацП встановлено шр:

1) задача трансформащ1 криво! ск1нченко! суми е оборотного;

2) розглянута процедура трансформащI криво! ск1нченно! суми без збереження довжини не охоплюе вс1х розв'язк1в задач1 транс-формацП (для вир1шення ц1е! проблеми в глав1 4 вводиться поняття в1дносних значень параметр1в трансформации

На основ1 твердхення про б1ективне в1дображення в1др1зк1в проективних прямих та анал1зу складених кривих СС, як1 одержу-ються на основ1 цього твердження, сформульовано наступн1 висновки.

ВИСНОВОК 1. Точки А та В 1 в1дпов1дн1 дв1 точки в1др1зк1в проективних прямих можуть розглядатися як вершини ламано! л1н11, щр визначае складену криву ск!нченних сум. Ламану л1н1ю можна розглядати за характеристичну ламану складено! криво! СС, а про саму складену криву говорити як про криву у стил1 Без'е.

ВИСНОВОК 2. Якщо розглядати так! дв1 пари в!др!зк1в проективних ирямих, щоб в кожн1й пар! був один в1др1зок, який мае нев-ласну точку, то точки' А та В 1 дв! пари в1дпов1дних точок визна-чають характеристичну ламану замкнено! криво!.

Другим методом побудови геометричного об'екту з двох кривих ск1нчённих сум е метод суперпозицП.

ОЗНАЧЕНИЯ Шд суперпознЩею двох плоских кривих ск1нченних сум будемо розуШти криву, координатна модель яко! будуеться на основ1 геометричних моделей вих1дних кривих ск!нченних сум.

Гншими словами, в метод1 суперпозицП виконуеться "зм1шуван-ня" геометричних моделей вих1дних кривих СС, в той час, як в метод! трансформащ I вих1дн1 крив1 стикуються м1ж собою.

ТВЕРДЖЕННЯ про суперпозиЩю двох плоских кривих ск1нченних сум: для будь-яких двох р1зних точок та п!впрямих, шр виходять з цих точок, моке бути однозначно побудовано суперпозиц1ю двох плоских кривих ск1нченних сум.

Плоск1 крив1 СС, що розглянут1 в глав1 1, е симетричними кри-вими. В результат! суперпозицП одержуюгься в.тд !.--симетричн1 дискретно задан! крив1. До множини кривих, шр одержуються, входять 1. крив1 з точками перегину, як1 здобуваються при пе'вних положениях п1впрямих.

В загальному випадку суперпозиЩя двох плоских кривих СС ви- -значае просторову дискретно задану криву. Нехай в систем! координат Охуг задано дв1 точки А 1 В та п1впрям! а та Ь, що з них виходять. Швпряма а та в!др!зок АВ в систем! координат Охуг виз-

начатимуть плотину, в як1й розташовуе;ться перша вих1дна крива СС, а Швпряма Ь та в1др1зок ВА - площину друго! вих!дно! криво!. В!д-р1зки пряыих, щр сполучають в1дпов1дн! точки координатних моделей вих1дних кривих, е тв1рними поверхн1, на як1й розташована просто-рова крива суперпозицП. Координати точок ц1е! криво! визначаеться таким чином:

Х,1 - Хк+ а- хц)/(п-1),

Ун' Уй + (¿-<) (уи-у^/сл-о, 0°)

га • а-о-(2* -г^/Сп^Х де: (хи. Ук . 2(1). (х21. у21 . г21) ~ координатн1 модел! вих!д-них кривих СС, п - к1льк1сть точок.

В робот1 розглянуто можливост1 керування формою криво! в метод! суперпозицП кривих ск!нченних сум.

Б1льш важлива роль в робот 1 выводиться трансформацП кривих СС. |>ан1ше було розглянуто побудову складено! криво! з двох кривих СС. Якщр другу .криву в складен1й крив 1 й розглядати за вих1дну (базову) криву наступного крону трансформацП 1 задати параметри 1г, йг першо! криво! в складен 1й крив1й при друг!й трансформацП, то в результат! двох посл1довних процедур трансформац!! в параметрами трансформацП Ц е1, <14, , а, ми эдобудемо складену криву, щр складаеться г трьох кривих ск1нченних сум.

Розглянуто можливост1 керування формою криво! за допомогою параметр1в трансформацП. Докладно розглядаеться вплив параметр1в Ц а,, £:, с!] на форму складено! криво!.

ОЗНАЧЕНИЯ. 1Ъсл!довне застосування процедур трансформацП називатимемо рекурентною посл1довн1стю процедур трансформац!!. Криву Тп. шр здобуваеться в результат! цього будемо символ1чно по-эначати таким чином:

тп-а, 1иби1х, <о («)

Рекурентна посл!довн1сть процедур трансформацП забезпечуе конструювання складених обвод1в з кривих ск1нченних сум як побудову дов1льно! криво!, щр проходить м1ж двома точками.

Трансформац! я, кривих ск!нченних сум визначае нов1 принципи Интерактивного керування формою криво!. Новизна п1дходу полягае в наступному:

1. В процес1 1нтерактивного конструювання складеного обводу ва екран1 комп'ютера повинна в1дображатися м1н1мальна граф1чна 1нформац1я додатково до зображення криво!, щр П конструюють. А саме, повинна зображатися т!льки базова крива. Така ситуац!я

збер1гаеться незалежно в!д складност1 криво!, пр робить процес конотруювання наочним, а екран дисплея не переобтяжуеться граф1ч-ною 1нформац1ею.

2. Керування формою криво! виконуеться за допомогою пара-метр!в, безпосередньо пов'язаних з кривою, щр конструюеться. Па-раметри трансформацН забезпечують прост1 та наочн! засоби керування формою криво!.

3. Можлива побудова ск1льки завгодно складного складеного обводу при м1н1мальн1й к1лькост! вих1дно! 1нформацП.

4. Весь процес конструювання складеного обводу може бути за-безпечений засобами кривих ск!нченних сум.

Завершуеться друга глава розглядом трансформац1! криво! СС 1з збереженням довжини. Ця задача трансформацН не мае однозначного розв'язання, тому використання П в 1нтерактивному конструю-ванн1 обмежене.

В трет!й глав! завершуеться розробка теорП кривих ск!нчен-них сум. Б!льш!сть 1з Чснуючих метод1в моделювання кривих лШй розв'язують задач! !нтерполяц!1 або апроксимацП набор!в точок. Для б1льш повного виявлення можливостей використання кривих ск!нченних сум в комп'ютерн1й геометр!! було досл1джено застосу-вання !х для 1нтерполяц!1 точкових каркаю ¡в на площин1 та у простор!.

Задача !нтерполяц!! точкового каркаса на площин1 в загально-му вигляд1 формулюеться таким чином: м1ж точками А та В на пло-шин! провести гладку складену криву з сегмент!в кривих ск!нченних сум, що проходить через упорядкований наб1р точок площини, як1 розташован! м!к точками А та В 1 е вувловими точками складеноI криво'!.

За допомогою кривих ск1нченних сум може виконуватися 1нтер-поляшя то'псового каркаса на площин 1 за одною або за двома крайо-вими уновэми. Шд завданням крайово! умови маеться на уваз1 зав-дання деяко! прямо! в точц! А або В при одн1й крайов1й умов1 чи в обох точках при двох крайових умовах. Завдання крайово! умови може бути забезпечено за допомогою криво! СС. Наприклад, крайову умову в точц1 А можна задати, задавши довжину I криво! СС, що проходить через точки А ! В. Таке завдання несуперечливе, оск1льки зм!на Ь в межах област1 визначення криво! СС, яка проходить через точки А 1 В, з урахуванням напряму криво! вичерпуе вс1 можлив1 положения прямо! в1дносно точки А.

На основ1 анал1тичного апарату кривих СС та б1ективного воображения' в1др1зк1в проективних прямих побудовано обчислюваль-ний метод 1нтерполяц1I каркаса точок на площин1 за одною крайовою умовою, який названо двопрох1дною 1нтерактивною "1нтерполяц1ею. Крива, що одержуеться за цим методом, символ1чно позначаеться таким чином:

1п* Я"' ^'<1 ^гг, "и, ■■■ I ^гп. *ап) 02)

де: Ь - параметр, шр задае крайову умову 1 визначае криву першого проходу;

¿21. 1ц, ■•■ ,1т - параметри, щр задають множини кривих другого проходу;

■3« >Ки • ... , , Игл " параметри локального керуваЯ-

ня формою сегмент1в складено! криво! на основ1 б!ективно-го воображения в1др1зк!в проективних прямих. В робот1 • на конкретних прикладах розглянуто можливост1 керування формою складено! криво! при двопрох!дн1й !нтерактивн!й 1нтерпо-ЛЯЦ11.

На основ 1 аналНичного апарату кривих СС та суперпозицП кривих СС побудовано обчислювальний метод 1нтерполяц11 каркаса точок на площин 1 за двома крайовими умоваш. Крива, що одержуеться'за цим методом,символ1чно позначаеться таким чином:

• (Ш, а2, ±К4, ±К2.....- К п) («)

де: ЬЦ, - параметри, що задають крайов1 умови (вони визначають дв1 складен1 1нтерполююч1 крив1 з сегмент1в кривих СС, в1 дносно яких виконуеться суперпозиШя;

*к1(*к2, ... , ± кп - параметри локального керування формою сегмент!в складено! криво! (абсолютне значения параметр1в к1 визначае к!льк1сть посл1довних крок!в суперпозицП, а знак перед параметрами - область, в як1й виконуеться суперпозиШя). Розглянуто 1нтерполяц!ю просторового точкового каркаса. 1нтерполяц1я за одною крайовою умовою призводить до одержання кусково-плоско! просторово'! криво!, а за двома крайовими умовами (1з застосуванням суперпозицП) - суто просторово! криво'!.

Для забезпечення можливост! побудови складених кривих шляхом керування кривиною було дослГджено кривину кривих ск1нченних сум. Розроблено аналНичний апарат, пр встановлюе взаемозв'язок м1ж рад1усом кривини в початков1й (к1нцев1й) точц1 криво!, довжиною криво! та в1дстанню м1ж к!нцевими точками криво!. Цей анал!тичний апарат е розширенням анал!тичного апарату, розробленого в глав! 1.

Його також реал1зовано в б!бл1отец1 функц1й мови С1, шр вм!щено в додатку 1. Наведемо формули, шр складають анал1тичний апарат кри-вини, для непарного п: ^

¡_ , ¿(к-х- (СО))

К

к21 -2-к'(к-1)' соьоа-л * (к-1)"

де: 1-1,2,3,4;

о( - кут нахилу першо! ланки ламано! криво! СС;

£ - в1дпов1дний кут для друго! ланки ламано!. Анал1тичну залежн1сть ЦЦ. Ю не одержано 1 обчиолення Ь за та К виконуеться 1терац1йним способом, проте однозначн1сть Ь за-безпечуе швидку зб1жнЮть 1терац1йного процесу. '

Завершуеться третя глава 1 побудова теорП кривих ск1нченних сум в ц1й робот 1 узагальненням плоских кривих ск1нченних сум.

ТЕОРЕМА 3.1. Кожн1 дв! р1зн1 плоск1 крив1 ск!нченних сум СО,, СС2, ССЭ, СС^, шр проходять м1ж точками А та В на площин1 та виз-начаються п1впрямою а(Аеа), яка складае з в1др1зком АВ кут с<, при с* > о визначають неск!нченну множину координатних моделей кривих, що обумовлюються геометричними моделями вих1дних кривих ск!нченних сум.

На основ 1 ц!е! теореми виконуеться побудова узагальненого сегмента криво! ск1нченно! суш. Геометричний зм1ст узагальненого сегмента полягае в "зм1шуванн1" кривих СС. Але, якшр в розгля-нут!й ран1ше суперпозицП кривих СС "зм1шуються" крив1 однакових ск1нченних сум, то в узагальненому сегменИ кривих СС "зм1шуються" крив1 р!зних ск!нченних сум.

В четверт!й глав! розробляеться теор!я 1нтерактивного кон- ' стругаання поверхонь за допомогою кривих ск1нченних сум. Розробц1 ц1е! теорП передув анал1з психолог1чних проблем 1нтерактивного конструювання просторових об'ект1в. На основ1 анал1зу можливостей зорового сприйняття простору людиною вироблений п1дх1д до 1нтер-активного комп'ютерного конструювання поверхонь. Головними скла-довими елементами цього п1дходу е:

1) к1нематичний спос1б утворення поверхн1;

2) використання за тв!рн1 к1нематично! поьерхн! плоских кривих;

- гг -

3) параметричне зображення поверхн1.

Теор1я 1нтерактивного конструювання поверхонь, розроблювана в дан1й робот1, базуеться на використанн1 параметричннх кривих. 3t.ncT IX використання полягае в эображени1 на площин1 графШв зм1ни параметра (координат точок, дискрим1нант1в, ваги точок, значень пох1дних тощр), як1 визначають форму поверхн1, та наступ-но! обробки цих граф1к1в для ц1леспрямованого формування геомет-ричних властивостей поверхн1. В дан1й робот1 головну роль вШгра-вггь параметричн1 крив1, як1 будуигься на основ 1 параметр 1в трансформацП криво! ск1нченно! суми.

Виконано геометричну постановку эадач1 1нтерактивного конструювання К1нематичних поверхонь за допомогою кривих СС (рис.53. Ця задача формулюеться таким чином: шляхом 1нтерактивно1 взаемо-дП з комп'ютером за допомогою програмних засоб1в, до забезпечу-гаь керування дискретним каркасом та автоматичне формування непе-рервно! поверхн1 з досягненням потр1бно'1 форми та геометричних характеристик поверхн1, сформувати визначник кШематично! по-верхн1.

В робот1 детально розглянуто складов1 частини визначника к1-нематично! поверхн1 1нтерактивного конструювання. Крив1, як! скла-дають геометричну частину визначника поверхн!, под!ляються на дв1 групи.

В першу групу входять крив1 а1,с11,с1з (рис.б). Вони визначають вих1дн1 дан1 1нтерактивного конструювання. Щ крив1.вважакяь-ся дискретно заданими. Також вважатимемо в1домими довжини цих кривих С заф1ксованим таке призначення кривих с!,,^,^:

1) крива визначае положения початку системи координат (точки 0^, що зв'язана з площиною тв1рно1, та положения початко-во! точки тв1рно1;

2) крива йг визначае положения точки , яка задае напрям ос1 0^1 системи координат площини тв1рно! та положения к1нцево'1 точки тв!рно1;

3) крива <33 визначае положения точки Тг, яка задае додатний напрям ос1 площни тв!рно1.

Таким чином, три в1дпов1дн1 точки кривих ,с1г,с15 визначають деяку

площину Р1 тв1рно1. Взаемно однозначну в1дпов!дн1сть точок кривих

(1(,с12,с13 будемо встановлювати за допомогою параметра и на основ 1

таких в1дношень: . . . -!и_ //7ч

и Ld, Ld3

де: и - максимальне значения параметра и (м!н!мальне дор1внюе 0); ?ог в1дотань в1д точки 01 на крив!й <3, до початку криво!, яка в!дкладаеться вздовк криво!; в1дпов1дна в1дстань для точки на крив1й с1а; 1т1~. в1дпов1дна в1дстань для точки Т( на крив1й Другу групу кривих, щр входять до геометрично! частини виз-начника поверхн1, складають крив1 ... ,еп. Вони утворюють

диокретний каркас поверхн1 1 формукггься в процео1 !нтерактивного

конструювання. Дискретному каркасу е,.....еп в1дпов1датиме

диокретний ряд параметр1в и,.и2.....и„. За крив1 розглядають-

ся складен1 крив1, як1 одержуються за допомогою рекурентно! пос-л1довност1 процедур трансформацП. Побудова складених кривих тв1р-них каркаса э кривих ск1нченних сум дозволяе легко встановити вза-емно однозначну в1дпов1дн1сть точок дискретного каркаса. Для кривих ^ вона встановлюеться за допомогою параметра V на основ 1 таких в1дношень: I/ р,. , ч

ЧГ * I V /-д1

де: V - максимальне значения параметра V (мШмальне дор1внюе .0); в1дстань в1д точки ^ на крив!й до початку криво! (до точки 00, яка в1дкладаеться вздовж криво!; ■ 1дг довжина криво! еЕ. Алгоритм1чна частина визначника поверхн1 реал1зуе одержання однопараметрично! множини кривих на основ1 кривих ^ та забезпе-чуе параметричне зображення поверхн!. Параметричне зображення припускав взаемно однозначне в1дображення точок поверхн! на прямо-кутну область в площин1 декартово! системи координат Оиу (рис.6). Застосування кривих ск1нченних сум для побудови тв1рних поверхн! автоматично забезпечуе можлив1сть параметричного зображення поверхн!, оск!льки складена крива, побудована за допомогою рекурентно! поспЦовност! процедур трансформацП криво! СС, в!добра-жаеться на в1др1зок прямо!. Апарат кривих СС дае можлив1сть пра-цювати з довжиною кривих. Це, в свою чергу, дозволяе легко встановити взаемно однозначну в1дпов1дн1сть м1ж точками кривих дискретного каркаса за допомогою вираз!в (18). На ц!й основ! в робот! розроблен1 два способи побудови алгоритм!чно! частини визначника поверхн1, як1 реал1зують:

1) побудову неперервно! поверхн1 за дискретним каркасом у вигляд1 множини У-л1н1й;

- 25 -

2) аналог1чну побудову поверхн! у вигляд1 множини и-лМ1й. 3 практичного погляду кожний з двох способ!в забезпечуе одержання неперервно! поверхн1 за дискретним каркасом та можлив1сть пара-метричного зображення поверхн!. Проте, з теоретичного погляду 1н-терактивного формоутворення вони призводять до р1зних просторових задач. Кожний спос1б побудови неперервно! поверхн! оперуе 1э сво!м набором параметричних кривих. Розв'язання в площин1 параметричних кривих задач1 побудови складено1 криво! як дов1льного шляху м1ж двома точками на площин1 породжуе р1зн! просторов1 задач!. Так, при формуванн1 неперервно! поверхн! у вигляд1 множини У-л1н1й ми приходимо до задач1 1нтерактивного керування формою просторово! криво!, а при формуванн1 неперервно! поверхн! у виг-ляд! и-л!н1й - до задач! !нтерактивного керування формою поверх-н1 як просторового аналогу плоско! задач1 побудови складено! криво! за допомогою рекурентно! посл1довност1 процедур трансформацП криво! ск1нченно! суми. \

В найб1льш загальних рисах процес побудови неперервно! поверхн! за допомогою параметричних кривих можна зобразити таким чином . Дискретний каркас забезпечуе одержання дискретних значень параметричних кривих. Побудова неперервно! поверхн1 зводиться до побудови неперервних параметричних кривих, щр виконуеться за допомогою 1нтерполяц!1 та апроксимаЩ! дискретних значень параметричних кривих. Для апроксимацП дискретних значень виксристо-вуеться математичний апарат В-сплайн1в.

В робот! детально розглянуто два способи побудови неперервно! поверхн1 за дискретним каркасом.

Запропоновано класиф!кац!ю к1нематичних поверхонь 1нтерак-тивного конструювання за допомогою кривих ск1нченних суй. В основу класиф1кацП покладено поняття спряжения поверхонь. Геометрич-ний зм1ст побудови спрягаючо! поверхн1 розкриваеться шляхом роз- • гляду допом1жно! задач1 (рис.6). Доводяться дв1 теореми.

ТЕОРЕМА 4. '1. Для побудови спрягаючо! поверхн1 необх!дно 1 достатньо завдання 4-х р!зних в1др1зк1в прямих.

ТЕОРЕМА 4.2. Для будь-яких 4-х р1зних в!др1зк1в прямих мож-лива побудова спрягаючо! поверхн1.

Роэглянут1 теореми узагальншгься на випадок 4-х р!зних дис- • кретно заданих кривих.

■ Побудова спрягаючо! поверхн1 базуеться на метод1 суперпо-звд1! кривих ск!нченних сум. На рис.6 тв!рн! спрягаючо! поверхн!

Рис. 6

здобуваються в результат! суперпозицП в1дпов1дних тв1рних пойер-хонь А та Е

Класиф!кац!ю к!нематичних поверхонь 1нтерактивного конструю-вання наведено на рис.7. Праворуч на рисунку схематично зображен1 параметри керування формою поверхн1. Для спрягаючих поверхонь ке-рування параметром Ь (довжиною базово! криво!') е недоступним, ос-к1льки I* обчислюеться виходячи з умов спряжения з 1шпими поверх-нями. Для спрягаючих поверхонь за двома кривими с1 ч, с12 керування формою поверхн1 зд1йснюеться шляхом керування формою допом1жних поверхонь з плоскими тв1рними. В результат! суперпозицП в!дпов1д-них тв1рних допом1жних поверхонь здобуваються просторов1 тв!рн1 спрягаючо'! поверхн1. Приклади р1зних поверхонь 1з запропоновано! класиф1кац1! наведено на рис.8.

Завершуеться четверта глава розглядом у эагальному вигляд1 п1дход!в до !нтерактивного конструювання к1неыатично1' поверхн!, задано! невпорядкованим точковим каркасом, та перезавдання поверхонь !нших метод1в моделювання.

Глави 5 та 6 об' еднушься навюло практичних задач розробки нових граф1чних технолог!й, го базуються на теорП кривих ск1нчен-них сум.

В п'ят!й глав! розробляються алгоритми 1нтерактивного конструювання кривих л1н!й. Шрдо тематики дис8ртац1йно! роботи, то ц1 алгоритми можуть застосовуватися для формування вих!дних даних !н-терактивного конструювання, тобто напрямних л1н1й к1нематичних поверхонь.

1нтерактивне конструювання кривих л1н1й на площин1 базуеться на наступн1й теорем1.

ТЕОРЕМА 5.1. Для виконання 1нтерактивного конструювання кривих на площин1 за допомогою кривих ск1нченних сум на основ! вико-ристанкя в1дносних значань параметр1в форми цих кривих (довжини криво! та в1дстан! м1ж граничними точками) необх1дно 1 достатньо завдання початково! точки конструювання та початкового напряму, щр задаеться деякою прямою.

Поняття в 1дносних значень параметр1в трансформаЩI введено в глав1 4. Зм1ст цього поняття полягае в обчисленн1 параметр!в вс1х кривих ск1нченних сум в складен1й крив1й в1дносно одн1е! величини з метою одержання множини под1бних кривих. За таку величину (м!ру) в глав1 4 використовуеться в1дстань м1ж граничними точками тв1р-но! к!нематично! поверхн!, тобто в!дстань м!ж точками на напрям-

KlHEMATMMHi ПОВЕРХУ

СПРЯГАЮЧ! за

одною крибою

СПРЯГАЮЧ1 за одною криВою á2

СПРЯГАЮШ за

дЬона крибими d^cjj

t\,à\, t'i.dï,... t", d,, ti, di,...

Рис.7

Рис.8

них поверхШ. При 1нтерактивному конетруюванн1 кривих на площин1 за м!ру викориотовуеться абстрактна величина (довжина деякого в1др1зка), в1дносно яко! задаються довжини кривих СС та в1дстан1 м1ж граничними точками.

1нтерактивне конструювання кривих у простор1 базуеться на наступи 1й теорем1.

ТЕОРЕМА 5.2. 1нтерактивне конструювання просторово! криво! е повнЮтю алгоритм1чно визначеною задачею в клас1 кривих ск1нчен-них сум.

В робот 1 повн1стю розроблено алгоритм конструювання просторово! криво! за допомогою кривих СО, але практичне застосування його потребуе досл1джень та розробки 1нтерфейсу користувача.

Завершуеться п'ята глава розглядом в загальному вигляд1 задач! конструювання криво! на поверхн1. Розв'язання ц1е! задач1 в майбутн1х досл1дженнях забезпечить можлив1сть локально! зм!ни • частини поверхн1, що обмежена'кривол1н1йним контуром.

В шост1й глав! розглядаютьея , дв1 граф!чн1 системи. Перша система розроблялась як Уструментальний зас1б автоматнзац1I гео-метричних досл!джень. За 11 допомогою досл1джувалися вс! обчислю-вальн1 алгоритми теорП кривих скшченних сум. Друга система е граф1чною системою 1нтерактивного конструювання к!нематичних по-верхонь, в як1й реал1зовано основн! теоретичн! результати дисер-таЩйно! роботи. Два фрагмента з роботи ц1е! системи наведено на рис. 9. На верхньому зображенн! показано початковий етап роботи, коли користувачем встановлюеться тип поверхн1 у в1дпов!дност1 з класиф1кац1ею, шр було розглянуто. На нижньому зображенн1 показано етап забезпечення як1сних геометричних характеристик поверхн1 шляхом згладжування параметричних кривих.

В додатках наведено:

1. Б1бл1отеку функц1й мови С1 (тдпрогр&м), що реал1зуе ана-л!тичний апарат плоских кривих ск!нченних сум.

2. Граф1ки натуральних координат кривих СС (за М. Я. Громовим). 0ц1нки похибок нагромадження при обчисленн! кривих СС.

Esc - выход I tux. \ яд*л«ммП I а-сплиЪТ"] jiun по>мГ1 | »rprar^l

; развод" HAÏ додели;

.кгй

™YURFl 1 SURFÎ

осГ

|!"i!. иаолмроа ; по<ёр*в .,^¡¡1

Ррпр.тран « )

РР PU

~~: пег

fllt4d

ЙЦ»Р ~ ICI

ftit*k - кои,точи

1" EM 2»*Сор у За tip»*; jUHTtfrn,.} 5кит»рп.З 6c*«nHt.t jj 7pÇcTtH'j; Вадм<<! Зеидш lOawplHl

Esc - мэссц [ттиоадль] I tux. I ¿дж^има") r''B»yiiijï»iit«!;i [тип по»-м| | %7

1X2 2jtkCop. l| 4uMir»pri ,3 5mueprc,3 Cctaam.y 7&¿c.tah;í Cafla/viчем Юдкрм

Рис.9

и

0СН0ВН1 РЕЗУЛЬТАТИ I ВИСНОВКИ

При проведенн1 геометричних досл1джень, в ц!лому Шдпорядко-ваних мет1 конструювання поверхонь э використанням обчислювально! техн1ки, були одержан1 результати за такими напрямками:

1) з теорП кривих л1н!й;

2) з теорП поверхонь;

3) з розробки систем геометричного моделювання.

Ревультати з теорП кривих л! н!й.

1. Одержано геометричну модель дискретно задано! криво! на основ! використання ск1нченно! суми.

2. Одержано множину кривих ск1нченних сум. Цим виявлено геометричну природу ск1нченних сум, яка виявляеться в ыножин! форм кривих, що !х визначають р1зн1 ск1нченн1 суми.

3. Розроблено основний анал1тичний апарат кривих ск1нченних сум, який встановлюе взаемозв'язок довжини криво'!, в1дстан! м1ж граничними точками та кута нахилу дотично! до криво! в граничних точках.

4. Досл1джено кривину кривих ск1нченних сум. На ц1й основ! розроблено додатковий анал!тичний апарат, який встановлюе взаемозв' язок довжини криво1, в1дстан1 м1ж граничними точками та рад1у-са кривини в граничних точках.

Б. Сформульовано 1 розв'язано задачу трансформац!\ криво! ск1нченно1 суш як основу для побудови ново! граф!чно! технолог!! керування формою к1нематично! поверхн!.

6. Розроблено теоретичн1 основи та в1дпов1дний аналптичний апарат побудови просторових кривих на основ! ск1нченних сум.

Результати з теорП поверхонь.

1. Сформульовано вимоги до математичного методу !нтерактивно-го конструювання поверхн1 з урахуванням психолог1чних аспект1в конструювання просторових об'екПв.

2. Розроблено теор1ю 1нтерактивного конструювання к1нематич-них поверхонь з використанням за тв!рн! складених кривих !з сег-мент1в кривих ск1нченних сум.

3. Розроблено нову граф!чну технолог1ю керування формою к1-нематично! поверхн1 шляхом керування формою тв!рних дискретного каркаса

4. Запропоновано класиф!кац1ю поверхонь 1нтерактивного конструювання.

Результата з розробки систем геометричног'о моделювання.

1. Розроблено граф1чну систему розв'язання геометричних задач, яка може використовуватися як 1нструментальний зас1б при проведена досл1джень в галуз! геометрП-.

2. Розроблено б1бл1отеку функц1й мови С1, шр реал!зуе основ-ний та додатковий анал1тичний апарат плоских кривих ск1нченних сум.

3. Розроблено граф1чну систему 1нтерактивного конструювання к!нематичних поверхонь, яка е комплексною реал!зац1ею теоретичних положень дисертац1йно! роботи.

Загальним висновком за результатами досл1джень дисертац1йно! роботи е той, шр повн!стю розв'язано задач у, яку було поставлено в робот1, тобто розроблено теор1ю кривих 1 на П основ! теор1ю конструювання поверхонь, як1 ор!енгован1 на дискретний характер комп'ютера та пристро!в в1дтворення 1 враховують психолог1чн1 особливост1 конструювання прооторових об'ект!в.

Проблематика дано! дисертаЩйяо! роботи може розвиватися в подальших досл1дженнях за такими напрямками:

1. Встановлення числових характеристик зв'язку аналНичного зображення кривих 1з зображенням IX за допомогою кривих ск1нчен-них сум. - .

2. Грунтовна роэробка питань 1нтерактивного конструювання просторових кривих.

3. Розширення можливостей локального вар1ювання форми поверх-н1- в процес1 1нтерактивного конструювання.

4. Розробка метод1в обчислення та анал!зу диференШальних характеристик поверхонь 1нтерактивного конструювання на основ 1 ск1нченних сум.

5. Доел1дження питань, пов'язаних з внутр1шньою геометр!ею поверхонь 1нтерактивного конструювання, эокрема побудови геоде-зичних л1н1й на поверхн1, с1ток з потр1бними метричними характеристиками.

6. Моделювання дискретними методами деформац1й матер1 ал 1в.

7. Досл!дження 1нтерактивно! ' 1нтерполяц11 та апроксимацП дискретних-каркас!в еле.мент1в р!зно! природи.

OCHOBHI ПУБЛ1КАЦП "ПО TEMI" ДИСЕРТАЩI

1. Грибов С.Е Машинный алгоритм определения линии пересечения сложных криволинейных поверхностей// Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Буд1вельник, 1985. - Вып.39. - С.72-73.

2. Грибов С. Е Машнные алгоритмы геометрического анализа для целей контроля математических моделей криволинейных поверхностей// Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Буд1вельник,

' 1985. - ВЫП. 40. - С. 78-80.

3. Грибов С. Е Создание математической модели криволинейной поверхности по ее макету с помощью контрольно-измерительной машины// Прикл. геометрия и инж. графика - К: Буд1вельник,

1986. - ВЫП. 41. - С. 81-82.

4. Грибов С. Е , Дорошенко Ю. А. Моделирование, геометрический расчет и воспроизведение самолетных обводов// Геометрическое моделирование 'в авиационном проектировании. - К : КНИГА,

1987. - С. 6-8.

5. Технологические рекомендации. Система инженерно-геометрических расчетов в технологической подготовке производства пла-зово-шаблонной и обводообразуидей оснастки/ А. Е Павлов, КИИ.Бадаев, ЕВ.Белицкая, С.ЕГрибов и др. - ТР. 1.4.1640-86. 'М.: НИАТ, 1087. - 340 с. .

• 6. Бадаев Iû И., Грибов С. Е , Коваль Г. Ы., Уставщиков В. Г. Разработка и-внедрение инвариантной системы автоматизированного проектирования и изготовления технологической оснастки агрегатов криволинейной формы/ Всесоюзная конф. "Автоматизация проектирования средств технологического оснащения в машиностроении и приборостроении": Тез. докладов. - Рига: РПИ,

1988. - С.26-27.

7. Павлов А. Е , Грибов С. Е Инвариантный метод машинного реше-■ ния задач пересечения геометрических объектов и его применение. . - К. : КПИ, 1988. - 12 с. - Деп. в УкрНИИНГИ 17.08.88, 2008 - Ук88.

8. Лейчик Е И., Грибов С. Е Инвариантное моделирование и воспроизведение криволинейных технических объектов/ Республиканская межвузовская конф. "Автоматизация технологической подготовки производства в машиностроении и приборостроении": Тез. докл. - Ворошиловград: ВМСИ, 1989. - С. 91.

9. Грибов С. н Машинный алгоритм подготовки оптимальной геометрической информации при моделировании и расчете пересекающихся поверхностей// Прикл. • геометрия и инж. графика. - К.: Буд1вельник, 1989. - Вып. 48. - С. 98-100.

10. Бадаев КХ-И., Стрельченко 0. А., Грибов С. Н. Моделирование Процессов формообразования криволинейных поверхностей на станках с ЧЛУ: Методические указания для слушателей 4ПК и студентов. - К.: КПИ, 1990. - 43 с.

11. Городецкий Е. М., Уставщиков В. Г.. Грибов С. а Моделирование и расчет геометрических объектов сложной формы: Методические указания для слушателей ФПК. - К.: КПИ, 1990. - 48 с.

12. Бадаев Ю. И., Грибов С. Е Моделирование геометрических объектов сложной составной формы в системах автоматизированного проектирования/ X Всесоюзн. "научно-методический семинар "Инженерная и машинная графика": 'Тез. докл.-Полтава, 1991.-С. 98.

13. Бадаев XI И.,' Грибов С..Е, Джакашев А.З. Политканевые локально-топологические соответствия. - к: КПИ, 1991. - 11 с. -Деп. В УкрНИИНТИ 09.09.91, 1263 - УК91.

14. Бадаев Ю. И., Грибов С. Н., Лейчик Е И., Васильков В. А. Конструирование и моделирование геометрических объектов сложной формы на ПЭВМ/ Международная научно-техн. конф. "Проблемы графической технологии": Тез. докл.' - Севастополь: СВВМИУ, 1991. - С. 57.

15. Бадаев КХЛ, Дорошенко Ю. А., Грибов С. Е, Гриценко И. А. Конструирование и технологическая подготовка производства криволинейных объектов сложной формы на ПЭВМ/ Всесоюзн. конф. "Компьютерная геометрия и графика в инженерном образовании": Тез. докл. - Нижний Новгород, 1991. - С. 151-152.

16. Грибов С.Е, Бадаев Ю. И. Диалоговая инструментальная система для решения геометрических задач/ Международная научно-техн. конф. "Проблемы графической технологии": Тез. докл. -Севастополь: СВВМИУ, 1991. - С. 13-14.

17. Грибов С. Е , Джакашев А. 3. Пакеты прикладных программ для решения сложных геометрических задач/ Автоматизированное проектирование ГПС многономенклатурного производства: Тез. докл. конф. - Киев, 1991. - С. 10.

18. Джакашев А. 3., Грибов С. М., Бадаев ЮЛ. ДеформаЩя и-У простору на поверхн! з метою розрахунку листових заготовок // Прикл. геометр!я та 1нж. граф!ка. - К.: Буд1вельник,1991.

- Вип. 52. - С. 31-34. .

19. Грибов С. Н. Организация данных и эффективность решения геометрических задач// Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Буд1вельник, 1992. - Вып. 53. - С. 102-104.

20. Грибов С.Е,.Бадаев Ю.И. Геометрическое моделирование криволинейных обводов в подготовке специалистов САПР/ Всеукра-инская научно-методическая конф. "Перспективы развития машинной графики в преподавании графических дисциплин": Тез. докл. - Одесса: ОПИ, 1992. - С. 14.

21. Грибов С. Е Геометрическая модель дискретно заданной кривой. Понятие кривой конечной суммы. - К: КПИ, 1993. - 8 с. - Деп. в УкрИНГЭИ 01.03. 93, 316 - Ук93.

22. Грибов С. Е Семейство кривых конечных сумм и их геометрические свойства. - К.: КПИ, 1993. - 14 с. - Деп. в УкрИНГЭИ 01.03.93, 316 - Ук93.

23. Грибов С. Е Аналитический аппарат кривых конечных сумм. - К.: КПИ, 1993. - 6 с.' Деп. в УкрИНТЭИ 01.03.93, 317 - Ук93.

24. Грибов С. Е Пространственные кривые конечных сумм. - К: КПИ, 1993. - 13 с. - Деп. В УкрИНГЭИ 24.03.93, 651 - Ук93.

25. Грибов С. Е Шстановка задачи трансформации сегмента кривой конечной суммы. Трансформация кривой без сохранения длины. К.: КПИ, 1993. - 8 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 24.03.93, 652 - Ук93.

26. Грибов С. Е Построение составной кривой из сегментов кривых конечных суш на основе биективного отображения отрезков проективных прямых. - К.: КПИ. 1993. - 13 с. - Деп. в ГНТБ Украины 19.05.93, 916 - УкЭЗ.

27. Грибов С. Е Суперпозиция плоских кривых конечных сумм. - К.: КПИ, 1993. - 10 с. - Деп. в ГНТБ Украины 19.05. 93, 917 - Ук93.

28. Грибов С. Е Управление формой составной кривой с помощью параметров трансформации кривой конечной суммы. - К.: КПИ, 1993.

- 8 С. - Деп. . В ГНТБ Украины 19. 05. 93, 918 - УкЭЗ.

29. Грибов С. Е Интерполяция плоских и пространственных точечных каркасов с помощью кривых конечных суш. - К.: КПИ, 1993. -14 с. - Деп. в ГНГБ Украины 14.07.93, 1493 - УкЭЗ.

30. Грибов С. Е Обобщение плоских кривых конечных сумм. - К.: КПИ, 1993. - 14 с. - Деп. в ГНТБ Украины 14. 07. 93,1495-УкЭЗ.

31. Грибов С. Е Исследование кривизны кривых конечных сумм,- К.: КПИ, 1993. - 15 с. - Деп. в ГНТБ Украины 14. 07. 93,1494-УкЭЗ.

32. Грибов С. М. Розв'язання геометричних задач на ПЕОМ// Прикл.

- 37 -

геометр1я та 1нж. граф1ка. - К.: К1Б1, 1993. - Вип. 54.

- С. 59-61.

33. Грибов С. Е , Павлов А. Е Кривые конечных суш в интерактивном конструировании кинематических поверхностей/ Всеукра'1н-ська науково-методична конф. "Геометричне моделювання. 1нже-' нерна та комп'юггерна граф1ка": Тез. доп. - Харк1в, ХП1, 1993.

- С. 53.

34. Павлов А. В., Грибов С. Е , Ванин Е Е Параметризация линейных обводов и примеры ее применения в конструировании поверхностей// Прикл. геометрия и инж. графика. - Е: КИСИ, 1993.

- Вып. 55. - С. 10-14.

35. Грибов С. Е Постановка задачи интерактивного конструирования поверхности с помощью кривых конечных сумм. - К.: КПИ, 1994. - 17 с. - Деп. в ГНТБ Украины 22.02.94 . 371 - Ук94.

36. Грибов С. Е Интерактивное конструирование кинематической поверхности, заданной минимальным количеством исходной информации. - К.: КПИ, 1994. - 28 с. - Деп. в ГНГБ Украины 22.02. 94, 372 - Ук94.

37. Грибов С. Е Интерактивное сопряжение поверхностей. Классификация поверхностей интерактивного конструирования. - К: КПИ, 1994. - 16 с. - Деп. в ГНГБ Украины 22.02.94, 373-УК94.

38. Грибов С. Е Алгоритмы интерактивного конструирования плоских и пространственных кривых на основе кривых конечных сумм.

- К: КПИ, 1994. - 20 с. - Деп. в ГНГБ Украины 22.02.94, 374 - Ук94.

39. Павлов А. В., Грибов С. М. Комп'ютерне конструювання к1нема-тичних поверхонь за допомогою кривих ск1нченних сум// Прикл. геометр1я та 1нж. граф1ка. - К.: КДТУБА, 1994. - Вип. 56.-С. 7-10.

40. Грибов С. М. Дискретн1 методи в 1нтерактивному формоутворен-н1 кривих та поверхонь. - К.: КПИ, 1994. - 245 с. - Деп. в ДНТБ Укра1ни 22.02.94, 375 - Ук94.