автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Динамика систем управления с неоднозначными нелинейностями при периодических внешних воздействиях

' } ' '' гнг.стзрстзо науки, высшей школы и технической ^'•ригПОЛИТИКИ российской федерации Ьблкстска санкт-петербургский государственный университет

ъ-лпиъмлх

На правах рукописи удк 517.925.42

ка1йчкин Александр Михайлович

динажа систем управления с неоднозначными НЕЛИНЕЕНостя4й при периодических внешних воздействиях

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1993

Работа выполнена на факультете прикладной математики -процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научные консультанты: член-корр*РАН, доктор физико-математических наук,профессор В.И.Зу'бпв ; член-корр. Академии транвпорта Роеанд , докЛ>р технических наук, профессор Р.А.Нелепин.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор

Г.И.Мельников (Санкт-Петербург)

- член-корр.РАН, доктор технических наук, профессор

A.Е.Сазонов (Санкт-Петербург)

- доктор физико-математических наук, профессор

B.Л.Харитонов (Санкт-Петербург)

Ведущая организация - Институт информатики и

автоматизации РАН (Санкт-Петербург)

Защита состоится 1993 г.

в 44.50 часов на заседании специализированного совета Д-063.57.33 по защите»диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, Васильевский остров, 10 линия, дом.83, ауд. £8-

С диссертацией можно ознакомиться в-фундаментальной библиотеке СПбГУ им.А.и.Горького /Санкт-Петербург; Унивор- . ситетская наб., д.7/9 /.

Автореферат разослан --ил^т*х. 199.3 г.

I/

Ученый секретарь ■ специализированного совета

А.ПДабко

ОБЩАЯ.ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОИ

Актуальность темы. Вопросы существования периодических режимов в нелинейных системах управления, а также проблемы точного или приближенного построения этих режимов, то есть нахождения их свойств, параметров и конфигураций в фазовом пространстве, составляют основные задачи в теории нелинейных колебаний. Параллельно с этим возникает не менее трудная задача синтеза управления в нелинейной системе, которое обеспечивает возникновение колебательных процессов с заданными свойствами. Решению этих вопросов аналитическими методами для некоторых классов нелинейных управляемых систе» содержащих гистерезисные нелинейности и периодическое внешнее возмущение, приложенное к объекту управления, и посвящена данная работа.

Рассматриваемые математические модели могут возникать при решении задачи управления пространственным движением системы твердых тел, в частности,управляемого спутника, конструктивные особенности которого позволяют рассматривать его как твердое тело, движущееся под действием релейного управления и вынуждающей силы, изменяющейся, например, по гармоническому закону. Этой же моделью можно воспользоваться при решении вопроса о том, как влияет периодическая возмущающая сила на работу автоматических систем, исследуемых на судах, если считать морское волнение идеальным источником гармонических колебаний. Сюда можно отнести модели авторулевых и успокоителей качки. Подобные же математические модели возникают при изучении взаимного влияния механизмов, генерирующих колебания, например, при изучении динамики вращающихся валов металлорежущих станков. С помощью этих моделей также можно описать функционирование упругопластичных элементов при учете в математической модели не-кёсткости конструкции. Это имеет место при проектировании систем

автоматического регулирования скорости вращения роторов паровых и газовых турбин. В рамках указанных моделей могут быть также описаны процессы в системах электропривода, построенных с использованием полупроводниковых диодов и предназначенных для регулирования скорости ротора асинхронного электродвигателя, а также в электрических иепях систем управления, использующих реле и элементы из ферромагнитных материалов.

Исследование таких математических моделей аналитическими методами было начато трудами академика А.А.Андронова, его сотрудников и учеников. К середине 70-х годов в основное закончено исследование методом точечных отображений автономных систем второго порядка. Наиболее существенный вклад здесь внесен Ю.И.Неймарном, горьков-ской школой по нелинейным колебаниям и Р.А.Нелепшшм. Для исследования многомерных автономных систем в конце 50-х, начале 60-х годов появились эффективные методв В.И.Зубова, Ю.И.Неймарка, Я.З.Цыпкина, В.А.Якубовича. Затем в конце 60-х годов и в 70-е годы появились методы Р.А.Нелепина и Г.А.Леонова, позволяющие результаты, полученные для двумерных систем, распространить на системы произвольной размйрности. Необходимо также упомянуть точный аналитический метод отыскания периодических режимов, который основан на представлении искомых периодических функций з виде полных или укороченных рядов Фурье ( А.И.Лурье, Я.З.Цупкин, И.А.Айзерман, Ф.Г. Гантмахер, ТЯыигалЛа , С, Ща^.^ . К.К.Беля и др.). Параллельно с автономными гистерезисными системами интенсивно исследовались аналитическими приближенными методами неавтономные гистерезис-ные системы. При этом в основном использовались метод малого параметра, метод усреднения, метод асимптотических равлояений (Н.И.Бо-голвбов, Н.Л.Крылов, И.Г.Галкин, Ю.А.Мтропольский, В.О.Кононенко, Н.И.Моисеев, Е.А.Гребенников,Ю.А.Рябов, И.И.Блехман:, , В.И.Бабицкий, В.Л.Крупенин, В.И.Моргунов, Ю.Н.Работнов, А.Н.Филатов и др.)

Из приближенных методов, наиболее приспособленных^ практическим задачам автоматического управления, следует отметить метод гармонической линеаризации и основанные на нём частотные методы исследования (Е.П.Попов, Н.П.Пальтов, А.А.Вавилов, Б.и.Наумов, В.Я.Зель-ченко и др.)-

Как известно, существует нескрлько определний гистерезиса (Максвелл, А.А.Андронов, В.В.Новожилов, А.В.Нетушил, Сен-Венан, Трека, В.А.Якубович и др.). Данные И.А.Красносельским и А.В.Покровским наиболее строгие определения понятия гистерезисной функции позволили привлечь методы нелинейного функционального анализа

,Решений ,

для решения вопросов существования и единственности* систем дифференциальных и интегральных уравнений с гистерезисом. Для многомерных гистерезисных систем с периодическим внешним воздействием А.В.Покровским разработан метод челночных итераций, позволяющий решать при условиях, что матрица линейной части - гурвицева, а система обладает свойством позитивности, вопросы существования устойчивых режимов и определять их .параметры. Следует отметить, что это наиболее сильный результат из полученных точными аналитическими методами для систем рассматриваемого вида.

В диссертации, во-первых, развивается аналитический подход к исследованию п.-верной гистерезисной системы с внешним периодическим воздействием, не связанный с вопросом о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения системы и её позитивностью, и позволяющий решать вопросы существования и единственности периодических режимов, а также определять их параметры. Во-вторых, для гистерезисных систем с одной степенью свободы и синусоидальным внешним воздействием развивается метод подвижной фазовой плоскости, основанный на предложенном для

систем с однозначными релейными характеристиками методе разделения движений.

Объект исследования и цель работы. В первых двух- главах объектом исследования является математическая модель автоматического управления следующего вида

% = IX + №) * , ё=(сл), М

где Х'Свс, ,х„У - п -мерный вектор ( ' - знак транспонирования); /1е -{а^} - л -мерная постоянная вещественная матрица;

XI, К - Л. -мерные постоян-

ные вещественные векторы; нелинейная функция Рс<2) описывает, например, пространственное.запаздывание управляющих механизмов и задана следующим образом: Р«)« гп< при ¿г ^ р&) при -С, ^¿с+л , где м4, - вещественные постоянные, причём т^т^, * . Кроме того предполагается, что выполнены условия: -(С, Дс'Вь/н^^ёг. , ~Сс,С5„гк%) Заданная скалярная функция времени РИ) . описывает внешнее Т-периодическое воздействие на объект управления, причём

+ уу ,где Р,, Рц , - вещест-

венные постоянные. Наряду с системой (I) рассматривается система вида

где л - искомая переменная; -вещественные коэффициен-

та, функция 4 (V это функция при р = 4 . Эта систе-

ма легко сводится к системе вида (I).

В третьей главе рассматривается математическая модель систем автоматического управления вида

* + / (3) .

где о1*,Лг_ - вещественные коэффициенты; нелинейная функция г^ Сх>7с, описывает нелннейнув характеристику, представ-

лявшую сочетание типовых нелннейностей (мертвая зона, насыщение, гастерезисная петля люфта); функция в данном случае это

функция Есь) при А И Ро-О.

Цели предлагаемой диссертации состоят в следующем:

- разработать точные аналитические методы исследования неавтономных систем вида (I) и (3), позволяющие по коэффициентам этих систем определять существование стационарных колебаний;

- на основании этих методов разработать алгоритмы, позволяющие определять параметры стационарных колебаний, а также точки переключения соответствующих им периодических решений в фазовом пространстве (или на фазовой плоскости);

- выделить в пространстве коэффициентов систем вида (I) область, соответствующую существованию гармонических и субгармонических режимов, и тем самым определить безопасную область выбора коэффици-' ентов, исключающую возникновение таких нежелательных с точки зрения приложений режимов как биения и страннее аттракторы;

- построить в пространстве коэффициентов систем вида (I) бифуркационные поверхности, при переходе черев которые меняется число периодических решений;

- исследовать свойства периодических решений, а также окрестностей границ бифуркационных поверхностей с точки эрения безопасного выбора коэффициентов систем автоматического управления.

Общие методы исследования. Решение указанных задач опирается на классические методы качественной теории дифференциальных уравнений, метод точечных отображений и на фундаментальные результаты А.И.Лурье, В.А.Троицкого, В.И.Зубова, Р.А.Нелепина в теории управ-ля ешх систем.

Научная новизна. -В диссертации получены следующее новые результаты:

- разработан аналитический метод исследования неавтономной системы автоматического управления с релейным гистерезисом, который позволяет лри некоторых условиях сводить вопрос о существовании перио-дически^ т, • »«?рной системы к вопросу о существовании

периодических решений одномерной системы с последующим интегрированием системы ( л-1 ) линейных неоднородных дифференциальных уравнений;

- раяработан метод исследования двумерной неавтономной системы с релейным гистереаисом, который нг?8ависимо от Знаков вещественных корней характеристического уравнения, позволяет получить условия существования стационарных колебаний;

- на основании этих методов построен алгоритм, позволяющий определять параметры стационарных колебаний и точки переключения периодических решений независимо от размерности системы;

- предложен способ выделения в пространстве коэффициентов области, гарантирующей невазпожностьвозникновения в неавтономной системе с релейным гйстеревисом нежелательных с точки зрения практики режимов, таких как неустойчивые режимы, биения и странные аттракторы;

- предложен способ введения пространства специальных параметров, получаемых ив коэффициентов исходной системы, в котором выделяются бифуркационные поверхности, переход через которые соответствует изменению числа периодических режимов исходной автоматической системы;

- получены достаточные условия того, что выбранные, периодические режимы обладают нужными для практического использования колебательной системы свойствами, в частности, получены достаточные условия асимптотической и орбитальной устойчивости периодических решений;

- предложен способ выбора коэффициентов обратной связи для неавтономной системы второго порядка с релейной гистеревисной управляющей функцией, при которых в системе возникает не более двух периодических режимов; этот способ выбора коэффициентов обратной связи при определенных условиях распространяется на подобную же систему

л -го порядка;

- получены достаточные условия того, что у неавтономной системы с

нелинейной характеристикой, содержащей нелинейности типа люфта и насыщения, возникают субгармонические режимы; эти достаточные условия позволяют определить на фазовой плоскости системы конфигурацию траектории, соответствующей этому субгармоническому режиму.

Практическая ценность. Полученные в диссертаций результаты позволяют на начальной стадии проектирования систем автоматического управления, подвергающихся внешнему периодическому воздействию с известными параметрами, обосновать выбор параметров системы, указать промежутки изменения этих параметров при решении задачи выбора безопасных устойчивых периодических режимов, что позволяет автоматизировать процесс моделирования систем и повышает их надежность^

• Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на I семинаре по моделированию и исследованию устойчивости физически: процессов ( Киев, 1990), на республиканской конференции по современным методам качественной теории дифференциальных уравнений (Воронеж, 1990), на I Всесоюзной конференции по математическому моделированию в машиностроении (Самара, 1990), на УП Всесоюзной конференции по управлению в механических системах (Свердловск, 1990), на Всесоюзном научно-технической конференции по надежности машин, математическому и машинному моделированию задач динамики (Кишинев,

1991), на Всесоюзной научно-техническом совещании по автоматизаци! процессов обеспечения безопасности водного транспорта (Санкт-Петербург, 1991), на П Международном коллоквиуме по дифференциальны» уравнениям (НРБ,Пловдив, 1991), на Общегородском семинаре по дифференциальным уравнениям (Санкт-Петербург, РГПУ им.А.И.Герцена,

1992), на Международной конференции по моделированию и исследованию устойчивости процессов (Киев, 1992).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в шестнадцати работах.

Сгрунтура и объем раооты. Диссертация изложена на 250 страница! машинописного текста и состоит из введения,четырех глав.заключения и списка литературы,включающего 134 наименования. Первая Лшва совтоит из шеста параграфов,вторая-из шести параграфов .третья- аз четырех параграфов,а последняя содержит.трв параграфа.

СОДЬЕМШй ДИССЬРТАиЩ Во введении обосновывается постановка задачи.дается обзор исследований по указанной тематике,в том числе точными аналитическими методами,излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена вопросам существования гармонических и субгармонических режимов системы {1}.когда матрица А0имеех вещественные собственные числа.Она состоит из шести параграфов / 3$ 1-6 /.

В § I подробно описаны математические модели систем автоматического управления,которые исследуются в первых двух главах.Изложен подход к доказательству еуществования периодических режимов, системы (I)»основанный на построении системы трансцендентных уравнений относительно моментов и точек пересечения переодических решений с гиперплоскостями вида , (сд) = .(1 = 4,2.) , »которые определяют разбиение'-функции на линейные участка,

Ъ

¿<-(с, [Е- ^ г V" I е^МаЪ

* В0 Р(ёсг)У± К. Ягт)] с/т |) ^

' а

Г,

где период вынужденных колебаний Т^ - т*. • Система (4) -ато система трансцендентных алгебраических уравнений для определения величин г, и ть . В общем случае решить такую систему аналитически невозможно, поэтому для упрощения этой системы в случае различных вещественных корней характеристического уравнения системы (I) используется преобразование А.И.Лурье исходной системы автоматического управления, которое приводит эту систему к каноническому виду

X -- М+ ВРСё) + К Г(+) , ГЛХ),

где X» I /4 ~ диагональная матрица С ,

К - некоторый л-мерный вектор, вектор и

при этом _ *

^ ^(ЪЬ^ЕСЛГА;) , (¿-и), Ю

где Аг - корни уравнения 0(р)= сЫ^-В-^о , Э'(р) = с$£>Ср) /с!р ,

- компоненты вектора С , =2 , где -

алгебраическое дополнение элемента с индексами Л',к) определителя Х>Ср) . Если среди корней уравнения есть кратные, то

используется преобразование В.А.Троицкого У= ВХ- » которое, например, в случае двойного корня Л^-Л* при условии, что все остальные корни простые, приводит систему (I) к каноническому вид;

Г ^ = А^йТр + 4 /те?) + ^ , Гр'^ич),

I хл = аг*-, + + РСё) + ,

где Г=Р'с.

Пусть далее в случае системы (5) корня уравнения 3>ср)-С

Л.

совпадают с корнями уравнения ¿Гекл4О;>=0 . тогда/л-;

величин» , определяемых формулами (6), обращается в нуль, тогда функция определяется и» системы дифференциальных ура

нений второго порядка, а остальные переменные определяются и линейных неоднородных уравнений первого порядка. Если матрица /

(Z*2 ) матрица, то функция б'щ определяется из уравнения первого порядка.

Точно также в случае системы (7) можно положить, что ¡fi-o (i - Y,üw) , тогда функция e'f-tj определяется из последнего

уравнения системы (7), а остальные переменные x¿ определяются последовательным интегрированием Сич) неоднородных линейных диф-. ференциальных уравнений.

Следовательно, с помощью этих преобразований задача о решении системы трансцендентных уравнений (4) для л. -мерной системы (4) сводится к решению системы трансцендентных уравнений для одномерной системы.

Если среди корней уравнения £>cp)=J есть комплексные ¿Pj

(hW, ' то ■?ля преобразования исходной системы (I) будем

использовать вещественное неособенное линейное преобразование матрицы Ао , при котором она преобразуется в матрицу, у которой

{/V \

на главной диагонали стоят матрицы второго порядка вида J

V /7 /*

В § 2 в связи со сведением задачи о решении системы трансцендентных уравнений (4) для л- -мерной системы (I) к решению системы двух трансцендентных уравнений вида (4) рассматривается также система автоматического управления, описываемая уравнением (2). Система (2) может быть легко сведена в случае вещественных корней к случаям систем (5) и (7) второго порядка. В этом параграфе для случая двух различных вещзственных корней А, и уравнения

используется преобразование А.И.Лурье и строится система трансцендентных уравнений относительно т, и t¿ вида (4), которую можно использовать для выбора параметров ¿¿ ,m¿,c¿ (i=1,a.) управляющей функции ¿t = Fcé) , обеспечивающих существование периодических решений уравнения (2) при условии, что времена переходов иэобоажающей точки по фазовой плоскости с одной прямой пе-

реключения на другую сц-Цт;ц„, <¿,-/,5,3(¿=1,3.) при этом период вынужденных колебаний ю^Хум^ , гле , что

соответствует существованию субгармонического режима системы Система трансцендентных уравнения получена при условии, что параметры с, и ег удовлетворяют одному и» равенств ^ = -^Сг. или с,--Лг.Сг. , т.к. системе (2) соответствует случай двумерного вектора С- СС,,Сг.)'.

В § 3 покагано, что вопрос о существовании и единственности периодического решения системы (2) может быть сведен при сделанных в § 2 предположениях к вопросу о существовании и единственности неподвижной точки линейного точечного преобразования прямой в прямую. Это позволило сформулировать достаточные условия существования Т% -периодических решений системы (2) при положительных и отрицательных значениях корней и ^

Теорема . . Пусть характеристическое уравнение имеет два вещественных корня А, и Аг , А^о } =

■•- и+<£) , где вещественные параметры ¡0 и к известные положительные числа, Т=<з*$.я - период внешней возмущающей силы,

выполняется условие с.ц = -А(с-)_ , с.а_>о » если ПРИ

» где числа к< для ^ иТг могут

быть неравными, выполняются равенства

№

е

+

определяющие значения параметров пь£ я 11Л)(м,<гнг.,

управляющей функция и.= , которые, в свою очередь, удов-

летворяют неравенствам

О „ 'И* ^

+с, ^ > ^

4 +сг ^ - ^^ ^ 0

илн неравенствам

+ Лг о 2 Уа1+И* - >0,

4 * еа «а. -

то система (2) имеет 7} -периодическое решение (субгармонический реяим), где период вынужденных колебаний Т{ =х,,+ тг,= & Т ( 1 « п - целое число).

Теорема 3.2. Пусть характеристическое уравнение А^^А+^^рО имеет два вещественных корня А„ и Аг (А,^,,) , А1>о1 предположение о функции £ Ю как в теореме 3.1 выполняется условие с,=-а(с1 , сг<о » если при т, и т,. таких

же, как в т.3.1, выполняются равенства (8) и (9), определяющие значения параметров пь\ и ¿- (1^1,2) управ-

лявшей функции и= , которнв, в свою очередь, удовлетворяют

неравенствам

, «аз

( +Сг ^ + 8г.) >0 , №)

•то система (2) имеет Т^ -периодическое решение (субгармонический режим), где период вынужденных колебаний %= т,+ тг = «.Т ( 2. п, - целое число).

Под субгармоническим решением адесь понимаются сложные периодические колебания частоты и]{ = со/п. ,где и) - частота внешнего вовдействия. При этом нигде не предполагается, что при система (2) имеет периодическое решение

В § 4 выполнены последовательно преобразования и операции, ко-, торые необходимо совершить с системой (2) для выбора параметров

(1-1,2.) управляющей функции, которая обеспечивает существование -периодического решения системы (2) согласно теорем З.Г и 3.£. Кроме того, показано, как найти точки переключения периодического решения на прямых (¿=1,а) > что позволяет выяснить конфигурацию проекции периодического решения системы (2) на фазовой плоскости. Далее на основании свойств точечного отображения, полученного в § 3, сформулированы достаточные условия того, что периодическое решение является единственным асимптотическим устойчивым % -периодическим решением.

Теорема 4.I. Пусть для системы (2) выполняются условия теоремы 3.1, тогда единственному субгармоническому режиму этой системы при Л,<с> отвечает единственное асимптотически устойчивое %-'периодическое решение, если же >о , тогда единственное Т4 -периодическое решение является неустойчивым.

Теорема 4.2. Пусть для системы (2) выполняются условия теоремы 3,2, тогда единственному субгармоническому режиму этой системы при Д, <о, • отвечает единственное асимптотически устойчивое

% териодическое решение, если же ^ >о , то тогда единственное Т4 -периодическое решение является неустойчивым.

Отиетим, что для определения точек переключения' перирдического решения нет необходимости строить итерационную процедуру. Одна из координат такой точки становится иввестной после применения преобразования А.И.Лурье к системе (2)_, а вторая - результат пересечения двух известных прямых. В заключении- этого параграфа рассматривается вопрос о том, как изменится общая система трансцендентных уравнений для нахождения величин Тг (1-1,2.) , когда внешняя возмущающая сила, приложенная к объекту управления, задается формулой

{.♦Х^А-О«*+ > где ($= £»)., Г>/7к)

вещественные постоянные. Из вида полученной при этом сис/гемы трансцендентных уравнений вытекает, что план исследований для неё может быть сохранён, но технические трудности при этом возрастают.

В § 5 сначала рассматривается случай, когда характеристическое уравнение системы (2) имеет кратный корень, и она при-

водится к виду (7), а функция + . План исследований

сохранен, каи в §§ 2-4. Для этого случая сформулированы достаточные условия существования периодического решения и того, что это решение является единственным асимптотически устойчивым " -периодическим решением или же неустойчивым решением. Приведём одт' из тес-рем.

Теорема 5..?.. Пусть характеристическое уравнение системы (2) имеет кратный корень X <0 , которому отвечает ящик Яордана, и ?(-0 -= и , вещественные параметры со и к - извест-

ные положительные числа, Т=и>А5.я - период внешней воемушающей силы, выполняется условие ^ = ,сл>о *, . если

(¿=Ы\ , где числа для т^ и т2 могут быть неравными, выполняются равенства (8) и (9), определяющие значения параметров пь-^ та ■£. управляющей

функции к= РСё) '.'которые, в свою очередь, удовлетворяют неравенствам (10) или неравенствам (II), то система (2) имеет единст-

го-

венное асимптотически устойчивое Т^ -периодическое решение, где период вынужденных колебаний Тк = т, + - п-Т ( д - целое чис ло).

Далее заключительная чэсть § 5 посвящена переформулированию ре зультатов §§ 2-4 и этого параграфа на случай несимметричного сину' соидальне^о внешнего воздействия, то есть, когда i ц) - Ре +

+ V) •

В § 6 рассматривается более общий случай, чем в предыдущих параграфах, а именно, теперь период вынужденных колебаний Т^^п-Т (н - <],2,з,...) , где Т - период внешнего синусоидального воздействия, а величины т, и тг могут быть некратными чвеличи-не Г . Таким образом, рассматривается в том числе и случай, когда частота вынужденных колебаний совпадает с частотой внешней нагрузки. При условиях, что характеристическое уравнение имеет вещественные различные корни Л, Юг. п с1 (или с, = -¿¿С;, ), система трансцендентных уравнений (4) для системы автоматического управления (2) приводится к виду

4 < о - = А'^ - еАЛ * - ^ +

(14)

Вопрос о разрешимости этой системы относительно т, и Тг.« при заданном значении цТ может быть сведен к вопросу о разрешимости квадратного алгебраического уравнения

А 7

це ^ - е ' , а коэффициенты определяются формулами1;

« - - » + " ¿Л) - & е Л -

. т» ^ у-

+ А + е 2 ' - - 6 ' '/ Мг-Ы

Л -л ^ „ О АгТ, /э^Ъ

I А«. А* Л

Теорема 6.1. Пусть исходная система автоматического управле-яя (I) (илн(2)) приведена неособенным-линеЛным преобразованием к иду системы (5), где матрица й- (о л^) » вектор 8 = (4,4)',

= -<- , при этом , где

п = ({*, и о , то есть с,=-д4сА если при

зловии уравнение (15) разрешено относительно вели-

ким т,>о при заданном значении % .(и = 4,2,3,.. .) , где

Т ~ период функции {Ц) , то исходная система автоматиче-кого управления.имеет хотя бы одно -периодическое решение.

Аналогичная теорема сформулирована для случая, когда матрица ? = Л , вектор В — (4,0)' , вектор (у,,{"Л , где

, то есть — —Ас^ . Следовательно н в этом случае воп-ос свёлся к разрешимости относительно некоторого квад-

атного уравнения вида (15).

Вторая глава в основном посвящена рассмотрению строения окрест-

ностей особых прямых с, = - Аг с2 (¿-1,2) на плоскости коаффициентов обратно! связж для системы (I) второго порядка (илн системы (2) ) я изучению свойств периодических решений системы в связи с выбором параметров ос(1-{,2) управляющей функции а •= РСё) .

•Эта глава состоит ив шести параграфов (§§ 7-12).

В § 7 получены достаточные условия того, что при непрерывном преобразовании пряных переключения (ГХ)=^.1 С1'^2) в некоторые возмущенные прямые переключения Г^О^ > ^У,

^ = -а,^-А<Г'дс2. ,/1 = а*-* , где А С - пара-

метр, Т-с - периодическое решение системы (I), где Ъ = +Тг_ )

■ непрерывным образом преобразуется в так же Т{ -периодическое решение, причём , где время перехода изображающей точки с одной прямой переключения на другую -¿^лСг.) есть непрерывно дифференцируемая функция и -¿,[о). Отсюда, в частности, вытекает, что в случае позитивной системы (1)(или (2)) аснм! тотически устойчивое Т - периодическое решение преобразуется в также асимптотически устойчивое Т -периодическое решение.

Б § 8 решается вопрос о том, как выбрать параметры управляющей функции /^¿,с£ (1=1,2) , чтобы обеспечить существование периодического решения .системы (2) с периодом % =кТ(п-1,2.,1,..!) , где 7 ■ период внешнего воздействия, ¿Ю-к-Щю! + при условии, что остальные параметры системы (2), в том числе параметры внешнего периодического воздействия, известны. В качестве средства для реш<

■ ния этого вопроса использована система трансцендентных уравнений (14) относительно тА и т^ , которая уже использовалась в § 6, Во-первых, показано при каких решениях т4 и (при заданно! значении % ) не гарантируется непрерывное преобразование Т( -периодического решения при непрерывном возмущении прямых переключения.

Теорема 8.1. Пусть система трансцендентных уравнений (14) имеет некоторое решение «г, ,-тогда при некотором достаточно малом значении |дсг\^=о система уравнений (4) при С-Г4„ /\е=А, Вь = В, = К также имеет решение -¿4 , если решение которое определяется по формуле

г у - л + - ^ СЮ

где №

^ - целое число (наименьший номер выбирается так, что-

бы соответствующее ему значение т^д^) >о) } и удовлетворяет равенству

+(м1-м,)е * кйСМа*) (1- е )• .

148)

-X Д /у> .о-*)

причем имеет место непрерывно дифференцируемая и однозначная зависимость íf - ^ас*,) , при которой

Значения коэффициентов.исходной системы (2), отвечающие значе-. ниям корней т„ и , удовлетворяющих равенствам (16) и

(18), принадлежат одной ив бифуркационных поверхностей в пространстве коэффициентов системы (2) - А,*, У. Далее рассматривается не это одиннадцатимерное пространство, & вводятся специальные параметры: Е , £ - по формуле (17), 0.', , где. . (Написанный случай соответствует условию с^-л^^ )• В заключительно* части этого параграфа в. пространстве параметров ( В, 8 , 5 )

-Z1-

при условии, что' f + выделены бифуркационные поверхности,

при переходе чере« которые происходит изменение числа периодических режимов системы (2).

В § 9 на Основании рассмотрений, проделанных в § 8, при условии, что , в пространстве параметров О-гЧ^^*.) строят-

ся бифуркационные поверхности,- при переходе чере» которые меняется число периодических режимов системы (2) в случае А^Р , если = • Условия принадлежности коэффициентов исходной системы

(2) одной из'областей в пространстве параметров (Е£*.) выражены в виде достаточных условий,'представляющих собой неравенства, связывающие параметры <2,^-+ и величину 7* = 7 (теоремы 9.1 - 9.3, Э.5 - ЗЛО). Кроме того, получены достаточные условия существования % -периодических решений системы (2) при 71 = 0,-Т » причём %>Т и показано каким способом можно найти условие существования л* 7 - периодических решений системы (2). В заключение сформулированы достаточные условия отсутствия п-Т- периодических режимов.

В § 10 сохранён план исследований, проделанных в § 9, но при условии, что А^ >о . Точно так же, как в § 9, строятся бифуркационные поверхности в пространстве параметров [Е3 & , В заключении § 10 показано, что результаты §§ 8-10 можно перенестй на случай несимметричного синусоидального возбуждения.

В § II рассматривается случай, когда корни характеристического уравнения системы (2) являются комплексными. Для нахождения т„ и *гг2 времен "переходов с одной прямой переключения на другую здесь также используется система трансцендентных уравнений относительно чг„ и «гг при заданном значении Tg . Путём преобразования исходной системы (2) упрощается система трансцендентных уравнений, что позволяет получить достаточные условия существования пержид*-ческих решений.

Теорема 11.1. Пусть система автоматического управления,(2),. имеющая корни \г= (»>о) харектеристического уравнения,

приведена к виду (5) (с матрицей Д = и векторами 8=$,,4)>

К ) неособенным линейным преобразованием с матрицей

Р , удовлетворяющей условию (С,РХ) = (ГЛ) > где вектор причём . Тогда система автоматического управления (2)

при Тн) = имеет хотя бы одно 7} -периодическое решение,

где Т, = ¿-Т , Т - период внешнего возмущающего воз-

действия, причём тЦ*=сс, + Тх. ( т, и т2 - моменты пересечения периодического решения с прямыми переключения), если.параметры управляющей функции ¿1 , (1=1,2) удовлетворяют системе уравнений

•о> л

о г \о „ I

= [е. са^у+ I ^ р1ки(ну V- г) •

я

' ^ + ц, +$)] 1- - г)

Т

"V

+ ^ слУ/Т« -Т)]о1Т -V ^ | Х1(Те"Г\ч,^С71 - V я Лт

а величины 7<, т, и ^ удовлетворяют одновременно условиям:

Следует отметить, что в отличие от результатов, полученных для вещественных корней характеристического уравнения, эдесь накладываются дополнительные условия на комплексные корни характеристического уравнения. Далее сформулированы достаточные условия сущест-

-гз-

вования % -периодических решений, имеющих точка переключен«! на воацущениых пряных переключены.

В § 12 исследуются свойства периодических решений, достаточные условия существования которых получены в предыдущих параграфах.

Теорема Ig.I. "Пусть система автоматического управления приведена неособенным линейным преобразованием к виду (5), где матрица А=(олt) • ве*т°Р 5 ЕМ = + ^ ^ функция F Cé)

описывает релейный гистере«ис, при этом ГJ) i где вектор МЫ>У и f4-o , то есть с4 ^-AtCb , тогда, если уравнение (15) имеет при «аданинх вначениях Т( единственное решение Т4>о и А« <0 » то исходная система автоматического управления имеет единственное асимптотически устойчивое % - периодическое решение, где = + 1,2,3,...) > Т - период функции Ffé).

Затем, устанавливаются, во-первых, достаточные условия существования единственного неустойчивого 7J -периодического решения, а, во-вторых, достаточные условия существования единственного асимптотически устойчивого Т{ - периодического решения в случае, когда матрица й =

Теорема 12.3. Пусть система автоматического управления (5) удовлетворяет условиям теоремы I2Л, тогда система (5) с ио»мущен-яыми прямыми переключения (¿-1,2-) при достаточно малом

вначении параметра ¡¿с*! имеет орбитально асимптотически устойчивое Т{ - периодическое решение,, точки переключения которого находятся на прямых^ переключения (Г',%) ( ¿=1,2) и расположены в достаточно малых окрестностях соответствующих точек переключения асимптотически устойяивнх - периодических решений системы (5) с прямыми переключения (r,t)=li ( с =

Далее для случая комплексных корней характеристического уравнения системы (2), то есть для случаев, рассмотренных в § II, полу-

чены достаточные условия существования орбитально устойчивых % -периодических решений как в случае невозмущенных, так и в случае возмущённых прямых переключения. В заключение § 12 показано, как распространить на ¡г -мерные системы вида (I) результаты, полученные для системы (2), которая, в свою очередь, легко сводится к двумерной системе. Если система'(I) такова, что колебательный характер функции можно определить с помощью системы двух трансцендентных уравнений относительно т„ и ч~2 , построенной для одномерной системы (I), то каждая из (*-() переменных а>1 (1= 4~7%-Т) ищется как решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, зависящего от уже известной функции .

В главе Ш объектом исследования являются системы автоматического управления, описываемые моделью (3), для которой определяются достаточные условия существования субгармонических режимов, под которыми понижаются любые периодические решения, частота которых <¿■1 не совпадает с частотой внешнего воздействия, но составляет 4/л, часть этой частоты, где ц - целое положительное число. Эта глава состоит из четырех параграфов ( §§ 13-16).

В § 13 обосновывается выбор метода разделения движений, при котором движения системы второго порядка с синусоидальным входным сигналом разделяются на движение изображающей точки по эллипсу и движение центра эллипса по фазовой плоскости. Ня примере исследования системы (3) при ■ $4 = ^2.-0 и при симметричном релейном гистерезисе рассматриваются особенности применения этого метода к системам с гистерезисом. В качестве примера взята система автоматической стабилизации спутниковой системы и получены достаточные условия отсутствия стационарных режимов и выделены соответствующие области в пространстве коэффициентов этой системы. В последующих пв-раграфах указанный метод применяется к системам*нерелейным гисте-

резисом.

В § 14 рассматривается фазовая плоскость системы (3) в связи с особенностями применения метода разделения движений к системам с нерелейным гистерезисом, поскольку вопрос о движении центра, зл-липса связан с характером разбиения фазовой плоскости автономной системы на траектории. В связи' с этим обсуждаются различные типы разбиения фазовой плоскости на листы многолистной фазовой плоскос обусловленные видом нелинейной характеристики 2

В § 15 рассматриваются частные случаи системы (3) без периодич ского внешнего воздействия,'для которых в следующем параграфе уст навливаются достаточные условия принудительной синхронизации на субгармониках. В связи с этим, во-первых, выбираются те случаи со четания коэффициентов автономной системы, при которых^имеет автоколебания с нелинейной характеристикой г , определяемой выраже ниями

Г иос - их.е «^.в при к*о и •

г= -I C0H.it при 12 кхс тл к^г^/;^; (М)

[_ нЯ^^рпх- П|>и ¡х1>-Я1 + ссе ;

где К, - положительные вещественные постоянные-

Во-вторвых, рассматриваются случаи, при которых возникают полутон чивые и неустойчивые предельные циклы , в связи с тен, что под пр нудительной синхронизацией в данной работе понимается процесс подавления не только автоколебаний, но и других периодических режимов автономной системы.

В § 16 для системы вида (5) с нелинейной характеристикой' г определяемой выражениями (19), то есть содержаще! нелинейности типа люфта и насыщения, получены достаточные условия возникновен! вынужденных периодических режимов. Иными слогами аналитическим м< ходом получены достаточные условия возникновения в системе (8)

субгармонических режимов.

Пусть период внешней вынуждающей силы Т4Н = иГ*1 л . При нелинейной характеристике г вида (19) границами листов многолистной фавовой плоскости являются следующие полупрямые: по^прямая В = -1-х. >0, х + } , - Л> <0, эс= - Хг} , — Я =

= { Х< О, Х- — Н - {¿¿>0 ; X .

Обозначим соответственно , Ь времена перехода

изображающей точки в силу автономной система, то есть при А - о * /-.,, с одной полупрямой переключения на другую при движении по аамкиу-той траектории и пусть при этом

Т= ЪЧЛ^Ч. = , С20)

где Пг, и Пгг - целые положительные числа. Пусть далее амплитуда А внешней воямущащей силы удовлетворяет условиям:

+ С ял < при УЬ е и^гСЫ*)) ¿,3,:••);

С{+Сле** СИ)

при £ [о,^Сот/ц-] ( в неравенствах (21),(22) константы

и С4, С2 .определяются соответственно для листов //В. и ВХ> ив условия пересечения предельным циклом полупрямой В )•,

С, + ^ из)

е Ус,тН + С^нИ) + С^ ии{иЬ) < - :г£ СМ)

при V £ е /"о, м-ул/О] (в неравенствах (23), (24) константы С/ , ^ и ^ , С2 определены соответственно для листов 8Т> ия условия пересечения предельным циклом полупрямой Х>~) ;

константы С,, С„ в неравенстве(22) совпадают с такими константами в неравенстве(23),где = а^Уя-, ;

Пусть,кроме того,выполняется условие

где ^ - ордината образа точки (к^х^с) при -г на X) у ^ - ордината точки пересечения предельным циклом полупрямой]) Неравенства' (21)- (25) ,с учетом симметричности предельное цикла автономной системы,обеспечивают условия,при которых уход изображающей точки неавтономной системы с полупрямых В3Ь, Р и И, а так же ее попадание на эти полупрямые происходит без повторны; пересечений фазовых траекторий с указанными полупрямыми.Сформулируем первую часть теоремы 16.1 -

Теорема 16.1. Пусть коэффициенты системы (3) удовлетворяют условиям $-±>0, ¿1>0, --¡^ к)1-' ¿/¿¿к при этом

-с/,^ , н = ; то тогда,если V , амп-

литуда А вешней возмущающей силы удовлетворяет условиям С Я 1)~ (ЯЯ); период Т предельного цикла системы (3) при Й=о удовлетворяет условию (20) ,то неавтономная система (3) имеет Т- периодическое решение с амплитудой > £1г+х£ .

Утверждение,подобное сформулированному,имеет место при ^ -. Достаточные условия,подобные сформулированным в тео-реме!£Л,для других сочетаний коэффициентов системы (3} составляют содержание последуюшях теорем 16.2-16.4 .Далее показано каким образом на фазовой плоскости неавтономной системы можно на ти замкнутую траекторию,соответствующую субгармоническому режиму Это оказалось возможным в силу того,что автономная система (3) при любом счетании коэффициентов может быть исчерпывающим оора-зом исследована методом точечных отображении.

*)Р.А.Нелепин.Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем.-д.Судостроение,1967;а также Г13Т из списка работ автора. 1

В главе 4 (§§ 17-1^рассматривается применение результатов длссег ртации к исследованию динамики систем судовой автоматики.

В заключении сформулированы рьзультаты.которыь могут быть использованы при проектировании нелинейных систем автоматического управления с периодическим внешним воздействием.

Основные результаты автора по теме диссертации, опубликованы в следующих работах:

1.Камачкин А.м.,Нелепин Р.А. Об устойчивости и пространстве параметров одного класса автоматических систем с типовыми нелинейное тяии/Автоиатизация технических средств морских судов:сб.ВНТО ил.акад.А.h.Крылова,вып.¿Ь7,- Л..Судостроение,J.9V7,с.х09-х17. ¿.ламачкин A.M. 06 автоколебаниях одного типа нелинейных корабельных автоматических систем с гистерезисом./Методы прикладной и вычислительной математики в судостроении:Труды ЛКИ,-Л., изд-во ЛКИ,19Ь0 - с. Ь6-71. З.Камачкин A.M. Возмущение периодического решения системы дифференциальных уравнений с гистерезисом./Методы математического анализа управляемых процессов: Вопросы механики и процессов управления: вып. 4 /Под ред.Н.^.Кирина, - Л.изд-во ЛГУ, 1981,-с.49-53.

1.Камачкин A.m. Орбитальная устойчивость периодического решения системы автоматического регулирования с задаздовашем управляющих механизмов ./Прикладная и вычислительная математика в судостроении: Труды ЛКИ /под ред.А.ы.шеоалова.-Л.изд-во ЛИа. 1981, с. 94-98.

.Кшачкин A.ivi.0 существовании периодических режимов одной нелиней ной системы автоматического регулирования .^(вопросы проектирования судовых систем:Труды ЛКЙ.- Л.,изд-во лКИ ,1983,- с.141-144.

6. Камачкин A.M. Об устойчивости одного типа нелинейных систем автоматического регулирования.//Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением: Меквуз.сб.науч.тр - Саранск, изд-во Морд.ГУ, 1983, - с.68-72.

7. Камачкин A.M. Качественное исследование одной нелинейной системы управления с двойным гистерезисом./Анализ и синтез систе управления: Вопросы механики и процессов управления; вып.Ю/ш ред.Р.А.Нелепина и В.С.Новосёлова. - Л., изд-во ЛГУ, 1987,«

с.53-58.

8. Камачкин A.M., Нелепин P.A. Влияние нелинейности насыщения на динамику одного класса автоматических систей.//Динамика'систем управления: Вопросы механики и процессов управления; вып.Ii/под ред. В.И.Зубова. - Л., изд-во ЛГУ, 1989, - с.II-14.

9. Кама.чкин A.M. О явлении захватывания частоты в гистерезиснои системе управления с синусоидальным внешний воздействием // Компьютер в помощь ученому и учителю: Меквуз.сб.науч.тр. / Куйбышевск.ГПИ им.В.В.Куйбышева, - К., 1939, - с.144-148.

10. Камачкин A.J. К вопросу о существовании субгармонических колебаний гистерезиснои системы с периодическим внешним воздействием/Академик В.В.Новожилов - ученый, педагог, гражданин: Вопросы механики и процессов управления, вып.18/под ред.В.И.Зубова, - Л., изд-во ЛГУ, 1990, - с.220-224.

11. Камачкин A.M. Динамика одного класса систем автоматического управления с неоднозначной нелинейностью и внеиним воздействием //Автоматизация на судах и в судостроении: вып.506, ВНТО им.

акад.А.Н.Крылова /под ред.Р.А.Нелепина, - Л., Судостроение, 1990, с.25-29.

12. Камачкин A.M. Ыетод разделения движений для исследования динамики гистерезисных систем с периодическим внешним воздействием

//Математические методы в задачах управления и обработки данных:

Межвуз.сб.научн.тр. - Ркзань, изд-во Ряз.радиотех.^н-та, 1990, -

с. 39-44.

13. йамачкин A.M., Нелепин P.A., Туркин И.И., Шамберов В.Н. Алгоритмический синтез нелинейных систем управления. - Л.,

изд-во ЛГУ, :ээо.

14. Камачкин A.J. Лецкая H.A. Динамическое поведение корабельных систем автоматического регулирования на регулярном волнении Автоматизация на судах и в судостроении: вып.527, ВНТО им.акад. А.Н.Крылова /под ред-.Р.А.Нелепина. - Спб, Судостроение, 1992, -с.4-10.

15. Камачкин A.'i. Сечения пространства параметров гистерезисной системы с периодическим внешним воздействием../Дифференциальные уравнения с частными производными: Межвуз.сб.науч.тр. /под ред. Н.М.Матвеева. - Спб, изд-во РГПУ им.А.И.Герцена, 1992, - C.IS5-139.

16. Камачкин A.M., В.Н.Шамберов. Существенно нелинейные автоматические системы. - Спб, изд-во СПб Морского техн.ун-та, 1992.

Подписано к печати 05.03.93 Заказ ¿79 тираж 100 Объём 1,82 п.д. Бесплатно ГШ АОКй Санкт-Петербург