автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамика частиц в вязкой жидкости в быстропеременных полях

□03479ЕЭ30

На правах рукописи

КОНОВАЛОВА Наталья Ивановна

ДИНАМИКА ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПОЛЯХ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 онг т

Саранск - 2009

003479930

Работа выполнена на кафедре математики и теоретической механики Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Мартынов С.И.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Вельмисов П.А.

кандидат физико-математических наук, Жалнин Р.В.

Ведущая организация - Казанский государственный университет

Защита состоится 5 ноября 2009 года в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при Мордовском государственном университете имени Н.П.Огарева по адресу: 430005, г. Саранск, ул. Большевистская, 68, корп. 1, ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева.

Автореферат разослан 3 октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования.

Актуальность проблемы связана с широким представлением дисперсных систем в различных природных процессах и практической деятельности человека, в связи с чем возникает необходимость моделирования поведения таких систем в различных полях. В последние годы интенсивно развиваются методы аналитического и численного моделирования поведения таких сред при различных внешних воздействиях (электромагнитного поля, температуры, давления и т.д.). Моделирование движения таких дисперсных сред при различных внешних воздействиях - очень трудная задача, связанная с многообразием и сложностью проявлений свойств неоднофазности (взаимодействие фаз, структурирование и т.д.), что приводит к необходимости проведения все новых исследований в этой области. Одной из центральных проблем многофазных и, в частности двухфазных, сред является моделирование взаимодействия фаз.

Моделирование взаимодействия и движения двух и более частиц в вязкой жидкости очень сложная задача. В разное время предлагались разные подходы к решению этой проблемы. Метод отражений, впервые предложенный Smoluchowski [9], получивший дальнейшее развитие в работах Faxen, Kyrich, Wakia [9] заключается в последовательном вычислении отраженных полей от поверхностей всех тел, погруженных в жидкость. Метод позволил получить хорошее аналитическое решение задачи о взаимодействии двух частиц и задачи о взаимодействии одной частицы и плоской стенки. Однако процедура этого метода оказалась достаточно сложна, так что уже для трех частиц было получено решение только для частного случая их расположения.

Поскольку решение общей задачи о взаимодействии нескольких сферических частиц оказалось довольно сложной задачей, было развито несколько частных методов. Gluckman [5] развил процедуру моделирования осесиымстричного течения вокруг группы частиц, что позволило ему найти коэффициенты сопротивления для каждой из нескольких частиц при обтекании их однородным потоком, параллельным их линии центров.

В ряде работ [3,4,6] (Ganatos, Kirn, Schmitz и др.) рассматривалось решение задачи о двух частицах через нахождение матрицы подвижности. В результате описанного в этих работах метода в большинстве случаев получалась система линейных уравнений, которая затем численно решалась. Решение находилось с большой точностью. Столь пристальное внимание к задаче о двух частицах объяснялось желанием использовать найденное решение задачи о взаимодействии двух частиц при решении другой задачи - о взаимодействии многих частиц. Были предложены различные способы, как это можно сделать.

Метод стоксовой динамики, развитый в работах Bossis, Brady, Durlof-sky [1,2] с самого начала использовался как, главным образом, численный метод. Процедура расчета этим методом основана на представлении многочастичных взаимодействий суммой парных и учете результатов теории смазки с последующим вычислением сил, действующих со стороны жидкости.

В связи с интенсивным развитием компьютерных технологий прогрессирует и численное моделирование, позволяющее рассматривать дисперсные системы с большим количеством взвешенных частиц. Широко применяются методы молекулярной динамики, Монте-Карло. Метод конечных элементов использует численное интегрирование уравнений движения жидкости, предварительно разбивая на сегменты все пространство, занятое жидкостью. Однако, даже в последнее время, когда возможности вычислительной техники выросли, применение метода конечных элементов для большого числа частиц трудной задачей, так как требует большого объема вычислений. Трудности моделирования возрастают при увеличении числа частиц, взаимодействующих между собой, что сказывается на практической реализации вычислительных схем известных методов. Поэтому получение новых аналитических и численных результатов в этой области по-прежнему остается актуальной задачей.

Цель и задачи исследования. Целью работы является математическое моделирование гидродинамического взаимодействия частиц в нестационарных потоках вязкой несжимаемой жидкости. В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

• разработка математической модели, учитывающей гидродинамическое взаимодействие частиц произвольного радиуса в нестационарном потоке несжимаемой жидкости;

• получение на основе разработанной модели аналитических выражений для сил, действующих на частицы, и численного моделирования их поведения в быстропеременном потоке вязкой несжимаемой жидкости;

• изучение влияния гидродинамического взаимодействия частиц на возможность образования агрегатов в нестационарных потоках жидкости;

• изучение влияния быстропеременного магнитного поля на динамику магнитных частиц с учетом их диполь-дипольного и гидродинамического взаимодействия и возможность образования агрегатов в таких магнитных полях.

Методы исследования базируются на методах моделирования

физических процессов, аналитических и численных методах решения уравнений математической физики.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Предложена математическая модель, описывающая взаимодействие частиц в быстропеременном потоке вязкой несжимаемой жидкости.

• В рамках модели получены выражения для сил и моментов, действующих на частицы, и проведено численное моделирование поведение частиц в однородном потоке с учетом их гидродинамического взаимодействия.

• Получены результаты численного моделирования динамики частиц и влияние гидродинамического взаимодействия на возможность образования агрегатов в быстропеременном потоке вязкой несжимаемой жидкости.

• Предложена математическая модель, описывающая динамику магнитных частиц в быстропеременном внешнем магнитном поле с учетом их гидродинамического взаимодействия.

• Получены результаты численного моделирования динамики дипольных частиц в быстропеременном внешнем магнитном поле и влияние такого поля на возможность образования агрегатов из магнитных частиц.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием известных аналитических и численных методов моделирования, а также непротиворечием полученных результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными. Практическая значимость результатов исследования. Результаты работы заключаются в создании математической модели, описывающей поведение частиц в вязкой жидкости в быстропеременных полях с учетом их гидродинамического взаимодействия. Полученная модель может быть использована при расчете процессов, происходящих в дисперсных системах и связанных с динамикой частиц в жидкости во внешних полях.

Основные положения, выносимые на защиту:

• математическая модель, описывающая гидродинамическое взаимодействие частиц в быстропеременном потоке несжимаемой вязкой жидкости;

• результаты расчета сил и моментов, действующих на частицы со стороны жидкости в результате их взаимодействия;

• результаты численного исследования динамики частиц в быстропеременном потоке несжимаемой вязкой жидкости и влияния гидродинамического взаимодействия на возможность образования агрегатов из частиц;

• математическая модель, описывающая динамику дипольных частиц в быстропеременном внешнем поле;

• результаты численного исследования динамики дипольных частиц в быстропеременном внешнем поле и влияния такого поля на возможность образования агрегатов из частиц.

Апробация результатов.

Основные результаты диссертационного исследования обсуждались на семинарах Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского; VII, VIII Международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения"(г. Саранск, 2006, 2008 гг.); Четвертой международной научной школе-семинаре "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(г. Саранск, 2009 г.); XIII, XIV научных конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева (г. Саранск, 2008, 2009 гг.); 13-ой Международной плесской конференции по нанодисперсным магнитным жидкостям (Плесс, 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем работы составляет 140 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 65 рисунков, список литературы из 130 наименований.

Содержание работы

Во Введении показана актуальность темы диссертации, приведен обзор литературы, содержащей теоретические и экспериментальные результаты по теме исследования, формулируются цели и задачи исследования, кратко изложено содержание работы.

В Главе 1 приведена математическая модель нестационарного течения вязкой жидкости с частицами.

В разделе 1.1 дана постановка задачи о нестационарном обтекании двух сферических частиц вязкой жидкостью.

Рассмотрим две твердые сферические частицы А и В радиусов а и b соответственно, помещенные в неограниченную несжимаемую жидкость плотности р и вязкости r¡. Положение точки жидкости относительно

центров сфер А и П будем обозначать векторами X" и Х'. Для введенных векторов имеем соотношение: Xb = Xa-г, здесь вектор г разделяет центры двух сфер.

Пусть несжимаемая жидкость на бесконечности соприкасается с неограниченной плоской поверхностью, которая совершает гармоническое колебание с частотой и. Тогда скорость жидкости U на бесконечности есть однородная функция, зависящая от времени: Uj(l) = UQj exp(-Iuil). Здесь I - мнимая единица, то есть /2 = -1. Будем считать, что размеры частиц и частота колебаний пластины таковы, что pu¡a2 ~ r¡. В этом случае распределение скорости и и давления р в жидкости описывается линейными уравнениями, в которых можно пренебречь нелинейным слагаемым (uV)u по сравнению с членом d\i/dt\

Vu = 0, р^ = -Ур + т?Д u. (1)

ot

На поверхности частиц Ли В должны выполняться условия прилипания: Uj + Uj = V" + 17**2, I Xa |= а;

V) + UJ = К + I Xb 1= ь. (2)

Здесь векторами V", V'' обозначены абсолютные линейные скорости сфер А и В, приобретаемые ими в результате взаимодействия с потоком и между собой, Гд., - тензоры угловых скоростей сфер, U - скорость невозмущенного потока жидкости. Линейные и угловые скорости сфер являются неизвестными функциями, зависящими от вектора г, а также параметра а/г.

Далеко от частиц имеет место затухание возмущений

щ —> 0, р —> ро при | X |—> оо, (3)

где ро - невозмущенное давление в жидкости, удовлетворяющее соотношению:

dUj _ дро ^ ÜL Oxj

В силу линейности задачи и граничных условий, решение уравнений (1) с граничными условиями (2), (3), можно представить в виде суммы решений двух задач: задачи о нестационарном поступательном движении сфер и задачи о вращении сфер с нестационарными угловыми скоростями.

В разделе 1.2 представлен метод решения поставленной задачи, а также получен общий вид функции, которая является решением.

Для получения решения задачи необходимо воспользуемся результатом [7]. Из первого уравнения системы (1) и структуры вектора и следует, что он может быть представлен в виде

u = rot roíW = V(VW) - AW,

(4)

s

где "УУ является решением уравнения

+ ——= 0. (5)

V

Пусть гро - решение этого уравнения. Таким образом, для того чтобы определить вид функции ЛУ нужно решить уравнение и учесть тот факт, что все частные производные от полученного выражения ч/>0 тоже есть решение уравнения (5). Исходя из всего этого: вектор может быть представлен в виде следующего ряда

И-7, = ■фйКи + + ■ф^Рич + ■фплЯи.ц + • • • (6)

Где Л/,-, N,7, - неизвестные тензорные коэффициенты линейно зависящие от скорости и вектора г5, а выражение в общем виде можно записать

следующим образом

Здесь величина <5 имеет смысл толщины вихревого слоя вокруг частицы. Если имеем две частицы, то решение должно содержать мультиполи двух типов

/а

fe,, V^i V V*e

Jb

ij-h dxh \дх, V \dxi \Xb

где Л'" и Хь расстояния от центров сфер до некоторой точки.

Подставляя выражение (7) с учетом введенных мультиполей в (6) получаем

W¿ = -1 [А^ез^Я-Х0) 4- A/?7,'ezp(/fcA')] -

-1 - IkL^Ll) + NlexP{IkXb){L\ - /¿L^)] - ... +

+(C?L«0 + CjLj) + + DhihLhh) + ... (8)

Это выражение необходимо для определения скорости возмущенного потока. Неизвестные тензорные коэффициенты, в силу линейности уравнений и граничных условий, линейно зависят от скоростей частиц и вектора г, а также безразмерных параметров £ = а/г, А = а/0.

В разделе 1.3 рассмотрен частный случай поставленной задачи - задача об обтекании двух частиц одинакового радиуса. Получены представления тензорных коэффициентов со скалярными функциями

безразмерных параметров. Тензоры линейно зависят от вектора скорости потока жидкости. Скалярные функции были найдены из граничных условий. В этом случае достаточно рассмотреть граничные условия на одной частице, на второй они выполняются автоматически в силу формы записи решения.

В разделе 1.4 решена задача о нестационарном вращении двух частиц одинакового случая. В этом случае также получены представления тензорных коэффициентов, которые линейно зависят уже от угловой скорости, которая выражается через тензор второго ранга, найдены скалярные функции из граничных условий.

В разделе 1.5 и разделе 1.6 решены подобные задачи для случая произвольных по размеру частиц.

В разделе 1.7 рассмотрена связь поставленной задачи с задачей об обтекании вязкой жидкостью произвольного числа частиц. Для представления решения о взаимодействии.« частиц в выражении (8) необходимо учитывать вклад в возмущение скорости потока от каждой частицы. Для этого необходимо использовать мультипольные разложения для каждой частицы со своими тензорными коэффициентами. Аналогично представляется решение задачи о взаимодействии двух и более частиц произвольных радиусов. Выражение (8) в этом случае запишется в виде:

^ = ¿[-¿едехр(/*Х«) - ^ЩЩ + 1кЬ'фехр{1кХ") -...+

|С?4+ВД I 1 С^ ■-...]

В Главе 2 вычисляются линейные и угловые скорости частиц и моделируется их динамика.

В разделе 2.1 получены выражения для сил и моментов, действующих на две частицы одинакового радиуса. Вычисления для задачи о поступательном движении сфер дают следующие выражения для силы и момента, действующих на частицу Л

= -бащ/^ - аЧр/= -богчМ'-- -

¿V1-

ТЛ.Ч = ^и = еф(а^гкЬ - а3ттргк/ь-^-).

Здесь /,- 0=1,..., 7) - функции безразмерных параметров. Аналитические представления для них имеют сложный вид, поэтому ниже на рис.1 они представлены в графическом виде, как функции параметров А и е. На всех рисунках сплошная линия соответствует значению А = 0.1, пунктирная -А = 0.2, штрих-пунктирная - А = 0.3. Параметр е меняется в пределах 0.01 < е < 0.35. Сила и момент, действующие на частицу В, находятся

ISO 100

0.1 0.2

а) Графики функции fi

б) Графики функции /2

0.1 0.2

в) Графики функции /з

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 "

г) Графики функции /4

0.1 o.os

-o.os -0.1

571 0Т2 о.Э— ' о.4 д) Графики функции /5

0.1 0.2 0.3 '

е) Графики функции Д

■ Л = 0.2, 3) линия

Рис. 1: 1) линия — соответствует Л = 0.1, 2) линия

А-0.3.

аналогичным образом и соответственно равны

FB ~Fa~F, T7i = — Тл = —Т.

Вычисления для задачи о вращательном движении частиц осуществляются тем же способом, что и в предыдущей задаче. Здесь имеем следующие выражения для силы и момента:

F^ = {a^Vikrkh - a37vprkf8^), Т,fM - eijk[4a\riYjkfa ~ 4

В силу свойств решения задачи для частицы В справедливы следующие соотношения:

7-В.а) .

__ _

грВ.и; _ »ji-Д.о; _ »р^

Функции ¡1 (1=7,..., 10) также являются функциями безразмерных параметров. Аналитические представления для них также имеют сложный

ВИД.

1I

M ¡A à <à <à

[,} :/Д

Рис. 2: Графики функции расстояния между частицами, центры которых лежат па прямой вдоль скорости потока: 1) линии — соответствует случаю, когда отношение радиусов В

к А равно 0.1, 2) линия----отношение радиусов В к А равно 0.2, 3) линия - • - ■ -

- отношение радиусов В к А равно 0.5.

В разделе 2.2 найдены силы и моменты, действующие на частицы произвольного радиуса. Получены выражения для скалярных коэффициентов и дана их связь с коэффициентами /',: (¡=1,..., 10).

В разделе 2.3 рассматриваются динамика сфер в результате их взаимодействия с потоком жидкости и между собой. Для этого решалась система уравнений

FA = тА

Ja

dVA dt ' JQA

dt '

FB = m в

dVB

Jb

dt, dQB dt '

0)

Где FA, FB - силы, действующие на частицы со стороны жидкости, ТА, Тв - моменты сил, тд, тц - массы частиц, ./д, Jb - моменты инерции частиц, Г2а, Г2в - угловые скорости сфер.

Так как силы и моменты представлены в виде суммы параллельных и перпендикулярных вектору г составляющих, то имеет смысл выделить два случая: первый случай, когда составляющие всех векторов направлены вдоль г, второй случай - составляющие всех векторов направлены вдоль г. Оба эти случая рассмотрены для задач о частицах одинакового радиуса и частицах различных радиусов. Результаты решения представлены на рисунках при следующих значениях параметров: р = 0.889 г/см3, т] = 0.01 Па*с, а = 0.001 см, г = 5 а см, JA = 3.85 * Ю"15 г/см2, им = 9.63 * Ю-9 г, w = 10000 сек"1.

При вычислении предполагалось, что скорость потока менялась по закону cos[aji] вдоль оси ОХ. Как видно из приведенных графиков, траектория движения частицы В существенно зависит от ее размера.

а) Частица А б) Частица В

Рис. 3: Траектория движения частиц. Отношение радиусов В к А равно 0.5.

При этом начальное положение частицы Б на характер траектории практически не влияет кроме случая, когда центры частиц лежат на прямой вдоль скорости потока. В этом случае частицы совершают колебательные движения вдоль оси ОХ. Такая сложная зависимость траектории движения частиц связана с нелинейной зависимостью сил и моментов, действующих на частицы со стороны жидкости, от их размеров. Несколько неожиданным, за исключением осесимметричного случая расположения частиц относительно скорости потока, является то, что угловая скорость частиц во всех случаях равна нулю. По видимому это связно с периодичностью движения частиц относительно друг друга: при изменении направления движения должно меняться и направление вращения частиц. Поэтому в случае быстропеременного движения жидкости при начальном покое частиц они не успевают приобретать вращательное движение за характерное время изменения скорости потока на противоположное. Результаты вычисления также показывают, что частицы удаляются друг от друга при любом их начальном положении относительно друг друга. Это кардинальным образом отличается от результатов по обтеканию частиц нестационарным потоком идеальной жидкости, в котором сближение частиц происходит при их положении перпендикулярно скорости потока в случае несжимаемой жидкости и вдоль скорости в случае сжимаемой жидкости. Такое отличие можно объяснить тем, что в рассматриваемом в диссертации случае нелинейные слагаемые в уравнениях движения жидкости малы по сравнению с вязкими (малые числа Рейнольдса) и граничные условия на поверхности частиц записываются в форме Дирихле, а для идеальной жидкости в форме Неймана.

В Главе 3 строится математическая модель движения магнитных частиц в вязкой жидкости в переменном магнитном поле.

В разделе 3.1 описывается специфика взаимодействия частиц и процессы агрегации в магнитной жидкости. Одним из результатов

воздействия магнитного поля, является образование структур в магнитной жидкости, что приводит к изменению ее физических свойств (вязкость, магнитную восприимчивость и т.п.). Механизмом, отвечающим за такое структурирование, является магнитное взаимодействие частиц. Например, взаимодействие частиц обладающих постоянным магнитным моментом. Поэтому с теоретической и практической точки зрения представляет интерес рассмотреть случай быстропеременного внешнего поля и моделировать динамику частиц с целью изучения возможности их агрегирования в таких полях с учетом гидродинамического взаимодействия.

В разделе 3.2 дана постановка задачи о движении частиц в вязкой жидкости в переменном магнитном поле.

Пусть две сферические частицы А и В одинакового радиуса а находятся в жидкости с вязкостью г), постоянной магнитной проницаемостью //. Будем считать, что частицы обладают вмороженными магнитными моментами тА и тц.

Энергия взаимодействия частиц, обладающих такими моментами, известна [8] и из нее определяются силы и моменты, действующие на частицы. Сила, действующая на частицу Л, равна

3 15

РА = -т-[(шАг)тв + (твг)тА 4- (тАтв)г] - ^-(тАг)(твг)г.

Сила, действующая на частицу В, определяется как

рА = -Гв.

Моменты сил, действующие на частицы равны

3 1

= —(швг)(тА х г) 4- -г(шв х тА),

г' Г°

3 1

N° - — (тАг)(тв х г) 4- х тв).

На систему действует внешнее однородное, переменное магнитное поле Н: Н(/,) = Навхр[— ¡шЬ]. Считается, что это среднее поле и рассматриваемые две частицы не искажают его. Со стороны внешнего магнитного поля на каждую частицу действует момент равный

= (тА х Н), N° = (тв х Н).

Таким образом, суммарные магнитные моменты равны NA = NA + N2", N° = Ц3 + ^.

Под действием внешнего магнитного поля магнитные моменты частиц меняют свою ориентацию, что приводит к изменению положения и самих частиц в результате диполь-дипольного взаимодействия: они вращаются

и двигаются поступательно. Это, в свою очередь, приводит в движение вязкую жидкость и появлению сил и моментов, действующих со стороны жидкости на частицы. Для определения движения частиц необходимо составить следующую систему уравнений

<;~ = Fa + Fa'm, = FB + FB,h.d

at at

= ^ + + Jb^ = Nb + Nb + Tb. (10)

Здесь FA,hid, FB-hid - силы, TA, TB - моменты сил, действующие на частицы со стороны жидкости, дл, ди - массы частиц, J_\, Jb - моменты инерции частиц, ПА, Г2В - угловые скорости сфер.

Для определения векторов магнитных моментов частиц вводились следующие величины: <^2 - углы, образованные проекциями векторов тА и тв на плоскость XOY и положительным направлением оси ОХ, 0lt в2 - углы между векторами магнитных моментов и положительным направлением оси OZ. Ниже представлены решения для двух случаев внешнего магнитного поля.

/. Одномерное внешнее магнитное поле

В этом случае, магнитное поле изменяется вдоль одного направления по закону cosjwi] и имеет следующие координаты H[t) ■--- //o(cos[wl];0; 0). Аналогичные результаты получаются и при изменении магнитного поля по закону sinful].

г' г*

а) Одномерное магнитное поле б) Вращающееся магнитное поле

Рис. 4: 1) линия — соответствует о — 0.001, 2) линия ----а = 0.005, 3) линия------а = 0.009.

Как видно из приведенных графиков, частицы стремятся удалиться друг от друга в этом случае.

2. Вращающееся внешнее магнитное поле

.05 0.15 0.25 0.35 а) Одномерное магнитное поле

0.05 0.15 0.25 0.35 б) Вращающееся магнитное поле

Рис. 5: 1) линия — соответствует а = 0.001, 2) линия----а = 0.005, 3) линия------а = 0.009.

а) Одномерное магнитное поле

6) Вращающееся магнитное поле

Рис. 6: 1) линия — соответствует а = 0.001, 2) линия----а ■■- 0.005, 3) линия------а ^ 0.009.

В этом случае магнитное поле меняется в двух направлениях и имеет следующие координаты: Н^] = 7/о(соь{и;^]; 0). И в этом случае

частицы в результате взаимодействия удаляются друг от друга.

Результаты вычислений показывают, что подбором частоты магнитного поля можно исследовать магнитные жидкости без образования агрегатов в них частицами определенного размера. Чем больше размер частиц, тем меньше частота поля. В реальной жидкости мы имеем полидисперсные частицы. Поэтому необходимо определять характерный размер частиц в жидкости и по ним определять частоту для предотвращения их агрегации.

Заключение содержит краткий обзор основных результатов, полученных в ходе диссертационного исследования.

В Приложении А приведены значения скалярных коэффициентов для задачи о нестационарном обтекании двух частиц различного радиуса в случае взаимодействия порядка г4.

В Приложении В приведены графики безразмерных функций,

полученных в выражениях для сил и моментов в задаче о динамике двух частиц различных радиусов.

Основные результаты

Основные результаты работы таковы:

• Построена математическая модель, описывающая взаимодействие частиц в нестационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Учитываются нестационарные члены в уравнениях движения жидкости и частиц. В рамках модели получены выражения для сил и моментов, действующих на частицы со стороны жидкости.

• Проведено численное моделирование динамики частиц в нестационарном однородном потоке с учетом их гидродинамического взаимодействия. Обнаружено, что у частиц отсутствует вращение и траектории их движения существенно зависят от отношения их радиусов. Показано, что в нестационарном потоке в результате гидродинамического взаимодействия частицы удаляются друг от друга. Такой результат отличается от результатов по обтеканию частиц нестационарным потоком идеальной жидкости, в котором возможно сближение частиц.

• Предложена математическая модель, описывающая динамику магнитно - дипольных частиц в быстропеременном внешнем магнитном поле с учетом их гидродинамического взаимодействия. На основе этой модели получены результаты численного моделирования динамики дипольных частиц во внешнем магнитном поле. Рассматривались случаи одномерного и плоского (вращающегося) магнитного поля. Во всех этих случаях найдено, что частицы не могут сблизиться и образовать агрегаты в результате взаимодействия. Это позволяет предположить, что можно исследовать магнитные жидкости в магнитном поле, частота которого такова, что не способствует образованию агрегатов.

Список литературы

1. Bossis G. Dynamic simulation of sheared suspensions. I. General Method / Bossis G., Brady J.F. // Journal of Chemical Physics. - 1984. - V. 80. - P. 5141-5154.

2. Brady J.F. The rheology of concentrated suspensions of spheres in simple shear flow by numerical simulation /Brady J.F., Bossis G. // Journal of Fluid Mechanics. - 1985. - V. 155. - P. 105-129.

3. Felderhof B.U. Mobility matrix for two spherical particles with hydro-dynamic interaction / Schmitz R., Felderhof B.U. // Physica. - 1982. -V. 116Л. - P. 163.

4. Ganatos P. A numerical-solution technique for three-dimensional Stokes flow, with application to the motion of strongly interacting spheres in a plane / Ganatos P., Pfeifer R., Wrinbaum S. // Journal of Fluid Mechanics. - 1978. - V. 84. - P. 79-111.

5. Gluckman M.J. A new technique for treating multiparticle slow viscous flow: axisymmetric flow past spheres and spheroids /Gluckman M.J., Pfeifer R„ Weinbaum S. // Journal of Fluid Mechanics. - 1971. - V. 50.

- P. 705-740.

6. Kim S. The resistance and mobility [unctions of two equal spheres in low Reynolds-number flow / Kim S., Mifflin R.T. // Physics of Fluids. - 1985.

- V. 28. - P. 2033-2045.

7. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - 3-е изд., перераб. - М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1986. - 736 с.

8. Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М. : Наука, 1982. - 620 с.

9. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. - М. : Мир, 1976. - 632 с.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

Публикации в ведущих рецензируемых журналах, рекомендуемых

ВАК РФ

1. Коновалова Н.И. Обтекание двух сфер нестационарным потоком вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Нелинейная динамика. - 2008. - Т. 4, N 4. - С. 467-481.

Другие публикации

2. Борискина И.П. Обтекание двух сфер нестационарным потоком вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, И.П. Борискина // Труды Средневолжского математического общества. - Саранск, 2006. - Т. 8, N 2. - С. 88-94.

3. Коновалова Н.И. Взаимодействие двух сфер в нестационарном потоке вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Труды Средневолжского математического общества. - Саранск, 2007. - Т. 9, N 2. - С. 120-125.

4. Коновалова Н.И. Метод расчета гидродинамического взаимодействия сферических частиц в нестационарном потоке вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Прикладная математика и механика: Сб. научных трудов Ульяновского госуд. технич. ун-та. -Ульяновск, 2007. - С. 159-164.

5. Коновалова Н.И. Движение двух сфер в нестационарном потоке вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Труды Средневолжского математического общества. - Саранск, 2008. - Т. 10, N 1. - С. 157-167.

6. Коновалова Н.И. Динамика магнитных частиц в потоке вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Труды 13-й междунарародной плесской конференции по нанодисперсным магнитным жидкостям. -Плес, 2008. - С. 81-86.

7. Коновалова Н.И. Нестационарное вращение двух сфер в вязкой жидкости // Материалы XIII Научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов МГУ им. Н.П. Огарева.: в 2 ч. Ч. 2: Естественные и технические науки. - Саранск, 2008. - С. 124-126.

8. Коновалова Н.И. Силы и моменты, действующие на две сферические частицы в вязкой жидкости при нестационарном вращении // Материалы XIII Научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов МГУ им. Н.П. Огарева.: в 2 ч. Ч. 2: Естественные и технические науки. - Саранск, 2009,- С. 112-114.

9. Коновалова Н.И. Динамика дипольных частиц в нестационарных полях /Коновалова Н.И., Мартынов С.И. // Образование, наука и техника: XXI век. Сб. науч. ст. Выпуск. 7. Югорский гос. ун-т, г. Ханты-Мансийск, 2009 - С. 66-67.

Подписано в печать 28.09.2009. Объем 1,0 п. л. Тираж 120 экз. Заказ № 1235. Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С ЧАСТИЦАМИ.

1.1. Постановка задачи о нестационарном течении вязкой жидкости с частицами.

1.2. Метод решения.

1.3. Обтекание двух частиц одинакового радиуса нестационарным однородным потоком вязкой жидкости.

1.4. Нестационарное вращение двух частиц одинакового радиуса в вязкой жидкости.

1.5. Обтекание двух частиц произвольного радиуса нестационарным однородным потоком вязкой жидкости.

1.6. Нестационарное вращение двух частиц различных радиусов в вязкой жидкости

1.7. Общее решение для произвольного числа частиц.

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ

ЖИДКОСТИ.

2.1. Силы и моменты, действующие на две частицы одинакового радиуса.

2.2. Силы и моменты, действующие на частицы произвольного радиуса

2.3. Динамика частиц в нестационарном потоке.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ПЕРЕМЕННОМ

МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

3.1. Взаимодействие частиц и процессы агрегации в магнитной жидкости.

3.2. Постановка задачи о движении частиц в вязкой жидкости в переменном магнитном поле.

3.3. Динамика частиц в переменном магнитном поле.

В последние годы все больший интерес представляет моделирование динамики системы жидкость-частицы. Это связано как с многочисленными приложениями, в которых требуется применение таких моделей, так и с возросшими возможностями компьютерных технологий, позволяющими дальше развивать численные методы моделирования. Одна из задач, возникающих при моделировании, таких сред, это определение сил и моментов, действующих на частицы со стороны жидкости.

Как известно, рассмотрение движения» одиночной частицы в неограниченной жидкости было выполнено еще Стоксом [104]. В дальнейшем были решены задачи обтекания частиц различными потоками [26], задачи движения несферических частиц [3,24,45,73,75].

Моделирование взаимодействия и движения двух и более частиц в вязкой жидкости оказалось более сложной1 задачей. В разное время предлагались разные подходы к этой задаче. Метод отражений, впервые предложенный Smoluchowski [130], получивший дальнейшее развитие в работах Faxen [25]', Kynch [50], Wakia [73], заключается в последовательном вычислении отраженных полей от поверхностей всех тел, погруженных в жидкость. Метод отражений позволил получить хорошее аналитическое решение задачи о взаимодействии двух частиц и задачи о < взаимодействии одной частицы и плоской стенки. Однако процедура этого метода оказалась достаточно сложна, так что уже для трех частиц было получено решение только для частного случая их расположения.

Поскольку решение общей задачи о взаимодействии нескольких сферических частиц оказалось довольно сложной задачей, было развито несколько частных методов. Stimson и Jeffrey [69], используя биполярные координаты, получили точное решение для двух частиц, движущихся вдоль их линии центров. Gluckman [30, 31] развил процедуру моделирования осесимметричного течения вокруг группы частиц, что позволило ему найти коэффициенты сопротивления для каждой из нескольких частиц при обтекании их однородным потоком, параллельным их линии центров. Leichtberg и др. [68] рассматривали проблемы устойчивости соосного движения группы частиц.

В ряде работ [23, 27, 28, 42, 44, 46] (Ganatos, Kim, Schmitz и др.) рассматривалось решение задачи о двух частицах через нахождение матрицы подвижности. В -результате описанного в этих работах метода в большинстве случаев получалась система линейных уравнений, которая затем численно решалась. Решение находилось с большой точностью. Были найдены некоторые особенности решения, например, Batchelor [5] определил, при каком расстоянии между центрами двух одинаковых частиц достигается минимум сопротивления при-движении этих частиц перпендикулярно линии центров.

Столь пристальное внимание к задаче о двух частицах объяснялось желанием использовать найденное решение задачи о взаимодействии двух частиц при решении другой задачи - о взаимодействии многих частиц. > Были предложены различные способы, как это можно сделать [22, 29, 34, 61, 67, 70-72]. Hocking [35] смог объяснить многие наблюдаемые эффекты, например, периодичность.движения четырех частиц, расположенных в виде квадрата, что достаточно удивительно, особенно если учесть то, что он использовал достаточно слабую вычислительную базу и, как. следствие, был вынужден сделать явные упрощения. Batchelor с помощью статистических методов активно развивал метод парных взаимодействий" [4, 7, 8], что позволило ему определять средние свойства суспензии, в которой случайно распределены частицы. Этот метод непосредственно . использует решение задачи о взаимодействии двух частиц и целиком основан на предположении о маловероятности события, что три и более частицы окажутся поблизости друг от друга. Вследствие этого предположения его результаты оказались применимы только для слабоконцентрированных суспензий.

Метод стоксовой динамики, развитый в работах Bossis, Brady, Durlof-sky [10-20] с самого начала использовался как, главным образом, численный метод. Процедура расчета этим методом основана на представлении многочастичных взаимодействий суммой парных и учете результатов теории смазки с последующим вычислением сил, действующих со стороны жидкости. Метод стоксовой динамики продолжает развивается и в настоящее время.

Одним из интенсивно развивающихся является метод решеточного уравнения Больцмана, используемый в работах Ladd, Verberg [51, 52] и Nourgaliev, Dinh, Theofanous, Joseph [54]. В1 нем предполагается, что жидкость состоит из микрочастиц (их размер превышает размеры молекул, но меньше размеров частиц взвеси), расположенных в узлах некоторой правильной решетки и образующих решеточный газ. Для описания динамики решеточного газа используется кинетическое уравнение Больцмана [77]. Это довольно общий метод, позволяющий кроме описания течения жидкости при малых числах Рейнольдса описывать процессы переноса тепла, описывать обтекание тел со сложной геометрией. Минусом этого метода является его сложность.

В связи с интенсивным развитием компьютерных -технологий большое значение- имеет численное моделирование [53, 129], позволяющее рассматривать дисперсные системы с большим количеством взвешенных частиц. Широко применяются методы молекулярной динамики, Монте-Карло, диссипативных частиц (см., например, обзор Урьева и Кучина [128]). Метод конечных элементов (например, работы Ни [39], Behr [9]) использует численное интегрирование уравнений движения жидкости, предварительно разбивая на сегменты все пространство, занятое жидкостью. Этот метод позволяет находить решения при любых числах Рейнольдса, а не только при малых. Недостатком этого метода является очень большое количество вычислений и необходимость работать с большими объемами данных. Даже в последнее время, когда возможности вычислительной техники выросли, применение метода конечных элементов для большого числа частиц трудной задачей, так как требует большого объема вычислений.

В некоторых работах уравнения Стокса переформулируются, и дифференциальные соотношения заменяются интегральными [48, 86]. Это позволяет построить гладкое решение уравнений и снизить вычислительные затраты.

Для учета гидродинамического взаимодействия применяются также различные варианты метода точечных (или индуцированных) сил (Mazur, van Saarlos [61], Saffman [63]), в которых частицы заменяются точечными силами, действующими в их центрах. Различия могут заключаться в виде граничных условий и форме представления точечных сил.

Иногда численные методы применяются вместе с известными аналитическими решениями более простых модельных задач. Например, использование решения Ламба сочетается с методом коллокации.

Таким образом, не существует достаточно точного и при этом несложного метода, позволяющего моделировать взаимодействие любого конечного числа частиц. Трудности моделирования возрастают при увеличении числа частиц, взаимодействующих между собой, что сказывается на практической реализации вычислительных схем известных методов. Поэтому получение новых аналитических и численных результатов в этой области по-прежнему остается актуальной задачей.

Интерес к этой тематике связан и с теоретическими проблемами построения моделей на основе получения зависимости средних параметров системы, в том числе сил и моментов, действующих со стороны жидкости на частицы, от объемной концентрации частиц в степени выше первой [38,41].

Вопрос о том, можно ли получить выражения для такого рода сил путем усреднения выражений, полученных из решения задач о двух или нескольких взаимодействующих частиц как в стационарных, так и нестационарных потоках, один из актуальных в проблеме построения моделей многофазных сред. Так известно [127], что для стационарных течений в приближении Стокса и Озеена скорость затухает на бесконечности как Х~ъ, где X — расстояние от центра частицы до точки, в которой определяется скорость. Для стационарного течения Навье-Стокса оценки дают асимптотику в виде Х~к, где к < 2. Таким образом, из этих оценок видно, что простое суммирование возмущений от каждой частицы приводит к расходящимся рядам для большого число частиц и получить средние выражения для сил не представляется возможным. В-работах [109,111] показано, что решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц в принципе нельзя свести к сумме решений задач о парных взаимодействиях этих частиц. Это связано с тем, что хотя уравнения и граничные условия линейные, однако, граничные условия для,скорости жидкости на поверхности каждой частицы являются интегральными в том смысле, что описывают суммарный вклад от гидродинамического взаимодействия выделенной частицы со всеми остальными. Это означает, что для получения общего решения необходимо ^ учитывать вклад каждой частицы. С учетом того, что для реальных систем жидкость-частицы таких, как, например, суспензии, число частиц в единице t i объема смеси имеет порядок 1012 - 1018, то возникает принципиальный г вопрос о возможности получить как решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц, так и усредненные уравнения движения системы жидкость-частицы.

Для стационарных и квазистационарных потоков в работах [109, 111, 112] развит метод, позволяющий учитывать гидродинамическое к i взаимодействие произвольного конечного числа частиц в потоках, скорость которых далеко от частиц есть полином произвольной .степени от координат, г Метод основан на представлении решения задачи в виде мультипольного разложения с тензорными коэффициентами. Метод не требует больших вычислительных затрат (все числовые значения параметров могут быть найдены на персональном компьютере с хорошей точностью) и реализуется в любой проблемно-ориентированной системе например, Ма^ета^са. На его основе в работах [76, 116] разработаны и программно реализованы методы по расчету взаимодействий большого числа частиц в облаке и бесконечного числа частиц в периодической решетке произвольной симметрии. Результаты работы [76] свидетельствуют, что динамика частиц в облаке имеет сложный характер: скорость частиц внутри облака больше, чем не его краю. Это приводит к относительному движению частиц внутри облака и его деформации в результате гидродинамического взаимодействия. Однако средние кинематические характеристики частиц, в облаке таковы, что они практически не зависят от конфигурации облака, а их зависимость от числа взаимодействующих частиц такова, что асимптотические значения достигаются уже при учете только, примерно, несколько сот взаимодействующих частиц. Это означает, что для корректного учета вклада взаимодействия частиц в выражения для средних характеристик смеси оказывается достаточным учитывать вклад не всех частиц, а только части, причем учитываемых число частиц имеет разумные для численного счета значения. В работе [116] найдены усредненные по объему смеси уравнения движения смеси, нелинейно зависящие от объемной концентрации частиц.

Другой проблемой, активно изучаемой в моделировании дисперсных систем, является образование структур из частиц. Как известно, в суспензии существует два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между частицами. Примером таких сил могут служить электрические силы, обусловленные наличием зарядов на частицах. Такое взаимодействие представляет интерес при исследовании столкновений и миграции частиц в жидкости. В результате действия сил притяжения между частицами возможна коагуляция с образованием более крупных агрегатов, с последующим выпадением их в осадок или образованием структуры в суспензии. Изменение агрегативного состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства суспензии, что важно для практических приложений.

Нестационарные процессы играют важную роль в динамике системы жидкость-частицы [87,123]. В случае идеальной жидкости моделирование взаимодействия частиц проводилось в работах [78, 103]. В этом случае граничные условия на поверхности частиц удовлетворяют условиям непротекания жидкости внутрь частиц (условия в форме Неймана). При моделировании взаимодействия в вязкой жидкости необходимо учитывать нестационарные слагаемые в уравнениях движения вязкой жидкости и условия прилипания жидкости на поверхности частиц (условия в форме Дирихле). Для. одиночной сферы решение задачи в приближении малых чисел Рейнольдса приведено в [104]. Осциллирующее движение плоскости или полуплоскости относительно неподвижной плоскости рассмотрено в работах [117, 118]. В двумерном случае движение одной поверхности относительно другой рассмотрено в работе [88]. Учет гидродинамического взаимодействия п частиц значительно усложняет задачу. Имеются различные подходы к решению такого рода задач [1,21,66], в которых, в том числе, рассматривается влияние нестационарности на коэффициенты в выражениях для присоединенных масс, сил вязкого сопротивления и Бассэ для эмульсии.

Между тем, подход аналогичный тому, что использован в работах [109,111,112] может быть применен и для решения задачи нестационарного обтекания большого числа частиц в приближении малых чисел Рейнольдса. При этом, в силу линейности уравнений, решение задачи об обтекании п частиц так же, как и в стационарном случае можно представить, как сумму возмущений от каждой частицы при наличие остальных, где суммирование берется по всем частицам из заданной конфигурации.

В силу сказанного выше представляет интерес рассмотреть задачу о взаимодействии двух частиц в нестационарном потоке и исследовать влияние гидродинамического взаимодействия как па асимптотику возмущений вдали от частиц, так и на динамику самих частиц в результате взаимодействия в потоке и возможности образования устойчивой структуры из частиц. Решение задачи позволяет найти силы и моменты, действующие на частицы со стороны жидкости, и провести анализ возможности получения прямым усредненных выражений для сил и моментов, действующих в системе жидкость-частицы, с точностью до слагаемых по объемной концентрации частиц в степени выше первой. Кроме того, решение этой задачи дает способ представления решения задачи для случая произвольного конечного числа частиц. Ниже дается- постановка задачи и асимптотическое решение для частиц одинакового радиуса.

В третьей главе диссертации рассмотрена математическая модель взаимодействия- частиц, обладающих дипольным моментом и помещенных в вязкую жидкость, во внешнем магнитном или электрическом поле. Примером двухфазной среды, имеющей сильное взаимодействие с магнитным полем, служит магнитная жидкость. Так как магнитные свойства несущей и диспергированной фаз, вообще говоря, различны, то взаимодействие каждой фазы-с магнитным полем происходит различным образом.

Одна из важнейших задач при моделировании поведения таких сред состоит в определении сил, действующих со стороны магнитного поля на каждую из фаз. В работах [33, 83-85, 106, 119-122] находилась сила, действующая на несущую и диспергированную фазы со стороны магнитного поля. Учитывалась зависимость магнитной проницаемости всей смеси от концентрации частиц или магнитной проницаемости несущей фазы от температуры. Основой для таких вычислений служила задача о взаимодействии с магнитным полем одной частицы, помещенной в жидкость носитель. Средняя сила, действующая на единицу объема диспергированной фазы, считалась равной произведению этой силы на число частиц в единице объема смеси. Магнитное взаимодействие частиц при этом не учитывалось. Однако такое взаимодействие частиц приводит к изменению силы, действующей на каждую частицу в объеме, и, следовательно, к изменению средней силы, действующей на единицу объема диспергированной фазы. Кроме того, одним из эффектов взаимодействия с магнитным полем, является структурирование в магнитной жидкости, что приводит к изменению ее свойств [55-60, 82, 107, 108, 110, 126]. Механизмом, отвечающим за такое структурирование, является магнитное взаимодействие частиц. Например, взаимодействие частиц обладающих постоянным магнитным моментом. Такое взаимодействие называется диполь-дипольным. Известно выражение для энергии взаимодействия двух частиц, обладающих дипольным моментом [105]. Влияние внешнего магнитного поля при этом сводится к изменению ориентации вектора магнитного момента каждой частицы, и, следовательно, к изменению сил и моментов, действующих меду частицами. Аналогичное взаимодействие существует между поляризованными частицами в электрическом поле. При изучении агрегации частиц в магнитной жидкости и используются различные методы [89-94], но все они учитывают только магнитное взаимодействие. Влияние гидродинамического взаимодействия в стационарном и квазистационарном внешнем магнитным полем рассмотрено в работе [79]. В диссертации решена задача о динамике двух магнитных частиц во внешнем переменном однородном магнитном, помещенных в неограниченный объем вязкой жидкости. Учитывается как гидродинамическое так и магнитное взаимодействие частиц. Получены, что в быстропеременном однородном магнитном поле происходит удаление частиц- друг от друга при любых их ориентациях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены задачи моделирования взаимодействия частиц в нестационарном потоке вязкой жидкости. Основные результаты работы таковы:

• Построена математическая модель, описывающая взаимодействие частиц в нестационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Учитываются нестационарные члены в уравнениях движения жидкости и частиц. В рамках модели получены выражения для сил и моментов, действующих на частицы со стороны жидкости.

• Проведено численное моделирование динамики частиц в нестационарном однородном потоке с учетом их гидродинамического взаимодействия. Обнаружено, что у частиц отсутствует вращение-и траектории их движения существенно зависят от отношения их радиусов. Показано, что в нестационарном потоке в результате гидродинамического взаимодействия частицы удаляются друг от друга. Такой результат отличается от результатов по обтеканию частиц нестационарным потоком идеальной жидкости, в котором возможно сближение частиц.

• Предложена математическая модель, описывающая динамику магнито-дипольных частиц в быстропеременном внешнем магнитном поле

I с учетом их гидродинамического взаимодействия. На основе этой модели получены результаты численного моделирования динамики дипольных частиц во внешнем магнитном поле. Рассматривались случаи одномерного и плоского (вращающегося) магнитного поля. Во всех этих случаях найдено, что частицы не могут сблизиться и образовать агрегаты в результате взаимодействия. Это позволяет предположить, что можно исследовать магнитные жидкости в магнитном поле, частота которого такова, что не способствует образованию агрегатов.

1. Analysis of drag and virtual mass forces in bubblly suspensions using an implicit formulation of the lattice Boltzmann method / K. Sankeranarayanan, X. Shan, I.G. Kevrekidis, S. Sundaresan // Journal of Fluid Mechanics. -2002. V. 452. - P. 61-96.

2. Batchelor G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 1967. - 631 p.

3. Batchelor G.K. Slender-body theory for particles of arbitrary cross-section in Stokes flow / Batchelor G.K. // Journal of Fluid Mechanics-1970. -V. 44. P. 419-440.

4. Batchelor G.K. Sedimentation in Dilute Dispersion of Spheres / Batchelor G.K. // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 52, pt. 2 - P. 245-268.

5. Batchelor G.K. The hydrodynamic interaction of two small freely-moving spheres in a linear flow field / G.K. Batchelor, J.T. Green // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 56, pt. 2. - P. 375-400.

6. Batchelor G.K. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles to order c2 / G.K. Batchelor, J.T. Green // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 56, pt. 3. - P. 401-427.

7. Batchelor G.K. Sedimentation in Dilute Polydisperse System of Interacting Spheres. Part 1. General theory // Journal of Fluid Mechanics. 1982. -V. 119. - P. 379-408.

8. Batchelor G.K. Sedimentation in dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 2. Numerical results / Batchelor G.K., Wen C.S. // Journal of Fluid Mechanics. 1982. - V. 124. - P. 495-528.

9. Behr M. Finite element solution strategies for large-scale flow simulations / M. Behr, T. E. Tezduyar // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1994. -V. 112. - P. 3-24.

10. Bossis G. Dynamic simulation of sheared suspensions. I. General Method / Bossis G., Brady J.F. // Journal of Chemical Physics. 1984. - V. 80. -P. 5141-5154.

11. Bossis G. Self-diffusion of Brownian particles in concentrated suspensions under shear / Bossis G., Brady J.F. // Journal of Chemical Physics. 1987. - V. 87. - P. 5437-5448.

12. Bossis G. Dynamic simulation of hydrodynamically interacting particles / L. Durlofsky, J.F. Brady and G. Bossis // Journal of Fluid Mechanics. -1987. V. 180. - P. 20-49.

13. Bossis G. Shear-induced structures in colloidal suspensions. I. Numerical simulation / Bossis G., Brady J.F., Mathis C. // Journal of Colloidal Interface Science. 1988. - V. 126. - P. 1-15.

14. Bossis G. Stokesian dynamics / J.F. Brady, G. Bossis // Annual Review of Fluid Mechanics 1988. - V. 20. - P. 111-157.

15. Bossis G. The rheology of Brownian suspensions / Bossis G., Brady J.F. // Journal of Chemical Physics. 1989. - Vol. 91. - P. 1866-1874.

16. Bossis G. Diffusion and rheology in concentrated suspensions by Stokesian dynamics /Bossis G., Brady J.F. // Hydrodynamics of Dispersed Media. -Elsevier, 1990.

17. Bossis G. Hydrodynamic stress on fractal aggregates of spheres / Bossis G., Meunier A., Brady J.F. // Journal of Chemical Physics. 1991. - V. 94. -P. 5064-5070.

18. Brady J.F. The rheology of concentrated suspensions of spheres in simple shear flow by numerical simulation /Brady J.F., Bossis G. // Journal of Fluid Mechanics. 1985. - V. 155. - P. 105-129.

19. Brady J.F. The sedimentation rate of disordered suspensions /Brady J.F., Durlofsky L.J. // Physics of Fluids. 1988. - V. 31. - P. 717-727.

20. Brady J.F. Dynamic simulation of hydrodynamically interacting suspensions / Brady J.F., Phillips R.J., Lester J.C. // Journal of Fluid Mechanics.- 1988. V. 195. - P. 257-280.

21. Chang C.-C. Potential flow and forces for incompressible viscous flow / Chien-Cheng Chang // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences. 1992. - V. 437, N 1901. - P. 517-525.

22. Chwang A.T. Hydromechanics of low Reynolds-number flow. Part 2. Singularity method for Stokes flows / Chwang A.T., Wu Y.T. // Journal of Fluid Mechanics. 1976. - V. 67(4). - P. 787-815.

23. Cichocki B. Hydrodynamic interactions between two spherical particles / Ci-chocki B., Felderhof B.U., Schmitz R. // Physico Chemical Hydrodynamics.- 1988. V. 10. - N 3.

24. Cox R.G. The steady motion of a particle of arbitrary shape at small Reynolds numbers /Cox R.G. // Journal of Fluid Mechanics. 1965. -V. 23. - P. 625-643.

25. Faxen H. Gegenseitige Einwirkung zweier Kugelen, die in einer zàhen fliissigkeit fallen /Faxen H. /Arkiv for Matematik, Astronomi och Itysik.- 1925. V. 19. - P. 1-8.

26. Felderhof B.U. Creeping flow about a spherical particle / Felderhof B.U., Schmitz R. // Physica. 1982. - V. 113A. - P. 90.

27. Felderhof B.U. Mobility matrix for two spherical particles with hydrodynam-ic interaction / Schmitz R., Felderhof B.U. // Physica. 1982. - V. 116A.- P. 163.

28. Ganatos P. A numerical-solution technique for three-dimensional Stokes flow, with application to the motion of strongly interacting spheres in a plane / Ganatos P., Pfeffer R., Wrinbaum S. // Journal of Fluid Mechanics.- 1978. V. 84. - P. 79-111.

29. Glowinski R. Distributed Lagrange multiplier methods for incompressible viscous flow around moving rigid bodies / Glowinski R., Pan T. W., Peri-aux J.// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1998. -V. 151. - P. 181-194.

30. Gluckman M.J. A new technique for treating multiparticle slow viscous flow: axisymmetric flow past spheres and spheroids /Gluckman M.J., Pfeffer R., Weinbaum S. // Journal of Fluid Mechanics. 1971. - V. 50. - P. 705-740.

31. Gluckman M.J. Axisymmetric slow viscous flow past an arbitrary convex body of revolution /Gluckman M.J., Weinbaum S., Pfeffer R. // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 55. - Part 4. - P. 677-709.

32. Gogocov V.V. Hydrodynamics of dispersive magnetizable media including Brown motion / Gogocov V.V., Naletova V.A., Shaposhnikova G.A. // IEEE Tnans, Mag. 1980.- V. 16, N 2. - P. 301-308.

33. Gogocov V.V. New phenomena in barbotage and sedimentation in magnetic fluid / Gogocov V.V., Naletova V.A., Shaposhnikova G.A. // IEEE Tnans, Mag. 1980.- V. 16, N 2. - P. 226-232.

34. Hassonjee Q. Behavior of multiple spheres in shear and poiseuille flow fields at low Reynolds number / Hassonjee Q., Pfeffer R., Ganatos P. // International Journal of Multiphase Flow. 1992. - V. 18. - N 3. - P. 353-370.

35. Hocking L.M. The behaviour of clusters of spheres falling in a viscous fluid. Part 2. Slow motion theory / Hocking L.M. // Journal of Fluid Mechanics. 1964. - V. 20. - P. 129-139.

36. Hoffman R.L. Discontinuous and Dilatant Viscosity Behavior in Concentrated Suspensions. I. Observation of a Flow Instability / R.L. Hoffman // Transactions of the Society of Rheology. 1972. - V. 16, N 1. - P. 155-173.

37. Hoffman R.L. Discontinuous and Dilatant Viscosity Behavior in Concentrated Suspensions. II. Theory and Experimental Tests / R.L. Hoffman // Journal of Colloid and Interface Science. 1974. - V. 46, N 3. - P. 491-506.

38. Hofman J.M.A. Effective viscosity of dense colloidal crystals / J.M.A. Hof-man, H.J.H. Clercx, P.P.J.M. Schram // Physical Review E. 2000. -V. 62, N 6. - P. 8212-8233.

39. Hu H.H. Direct simulation of flows of solid-liquid mixtures / Hu H.H. // International Journal of Multiphase Flow. 1996. - V. 22. - N 2. - P. 335352.

40. Hynninen A.-P. Effect of triplet interactions on the phase diagram of suspensions of charged colloids / Antti-Pekka Hynninen, Marjolein Dijkstra and Rene van Roij // Journal of Physics: Condensed Matter. 2003. - V. 15, N 48. - P. S3549-S3556.

41. Hynninen A.-P. Effect of three-body interactions on the phase behavior of charge-stabilized colloidal suspensions / A.-P. Hynninen, M. Dijkstra and R. van Roij // Physical Review E. 2004. - V. 69. - P. 061407-1-061407-8.

42. Jeffrey D.J. Calculation of the resistance and mobility functions for two unequal rigid spheres in low-Reynolds-number flow /Jeffrey D.J., Onishi Y. // Journal of Fluid Mechanics. 1984. - V. 139. - P. 261.

43. Jeffrey D.J. The Theological properties of suspensions of rigid particles / D.J. Jeffrey, A. Acrivos // AlChe Journal. 1976.- V.22, N 3. - P.417-432.

44. Jones R.B. Mobility matrix for arbitrary spherical particles in solution /Jones R.B., Schmitz R. // Physica. 1988. - V. 149A. - P. 373.

45. Juárez L.H. Numerical simulation of sedimentation of a tripole-like body in an incompressible viscous fluid / L.H. Juárez, R. Glowinski, B.M. Pettitt // Applied Mathematics Letter. 2002. - V. 15, N 3. - P. 743-747.

46. Kim S. The resistance and mobility functions of two equal spheres in low Reynolds-number flow / Kim S., Mifflin R.T. // Physics of Fluids. 1985. - V. 28. - P. 2033-2045.

47. Kim S. Sedimemtation of two arbitrarily oriented spheroids in a viscous fluid / Sangtae Kim // International Journal of Multiphase Flow. 1985. -V. 11, N 5. - P. 699-712.

48. Kim S. Towards ab Initio Simulations of Concentrated Suspensions / Sangtae Kim, Yuris O. Fuentes and Seppo J. Karilla // Journal of Statistical Physics. 1991. - V. 62, N 5/6. - P. 1197-1223.

49. Kim S. Three dimensional flow over two spheres placed side by side / Kim S., Elghobashi S, Sirignano W.A. // Journal of Fluid Mechanics. 1993. -V. 246. - P. 465-488.

50. Kynch G.L. The slow motion of two or spheres through a viscous fluid / Kynch G.L. // Journal of Fluid Mechanics. 1959. - V. 5. - P. 193-208.

51. Ladd A.J.С. Numerical Simulations of Particulate Suspensions via a Dis-cretized Boltzmann Equation. Part II. Numerical results / Anthony J.C. Ladd // Journal of Fluid Mechanics. 1994. - V. 271. - P. 311-339.

52. Ladd A. J.C. Lattice-Boltzmann Simulations of Particle-Fluid Suspensions / A.J.C. Ladd and R. Verberg // Journal of Statistical Physics. 2001. -V. 104, N 5/6. - P. 1191-1251.

53. Langtangen H.P. Numerical methods for incompressible viscous flow / Hans Peter Langtangen, Kent-Andre Masdal, Ragnar Winther // Advances in Water Resources. 2002. - V. 25. - P. 1125-1146.

54. The lattice Boltzmann equation method: theoretical interpretation, numerics and implications / R.R. Nourgaliev, T.N. Dinh, T.G. Theofanous, D. Joseph // International Journal of Multiphase Flow. 2003: - V. 29. -P. 117-169.

55. Magnetic and elastic properties of a structured magnetic fluid / Naleto-va V.A., Kiryushin V.V., Turkov V.A., Shkel Y.M., Klinberberg D.J. // Magnetohydrodynamics. 2001. - V. 37, N 1-2. - P. 206-211.

56. Martinov S.I. Influence of interaction between perticles on the viscosity of a suspension / Martinov S.I. Preprint Series, Institute of Mathematics, University of Oslo. - 1989. - N 4. - 7 p.

57. Martinov S.I. Viscosity of suspension: some aspects of the problem / Martinov S.I. Preprint Series, Institute of Mathematics, University of Oslo. -1990. - N 1. - 7 p.

58. Martinov S.I. Dependendence of viscosity of a suspension on the farmation and destruction of aggregate in it / Martinov S.I. // Volume of Abstracts lsi Liquid Matter Conference Lion, France, 1990. - V 14. - A28.

59. Model of magnetizable elastic material / Naletova V.A., Turkov V.A., Shkel Y.M., Klinberberg D.J. // Journal of Magnetism and Madnetic Materials. 1999. - V. 202. - P. 570-573.

60. Saarloos W. van. Many-sphere hydrodynamic interactions II. Mobilities at finite frequencies / W. Van Saarloos and P. Mazur // Physica. 1983. -V. 120A. - P. 77-102.

61. Saffman P.G. The lift on a small sphere in a shear flow. // Journal of Fluid Mechanics. 1965. - V. 22. - Pt. 2. - P. 385-400.

62. Saffman P.G. On the Settling Speed of Free and Fixed Suspensions / P.G. Saffman // Studies in Applied Mathematics. 1973. - V. 52, N 2. -P. 115-127.

63. Sangani A.S. Effective viscosity of an ordered suspension of small drops / Ashok S. Sangani, Wenqiang Lu // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 1987. - V. 38. - P. 557-572.

64. Sangani A.S. Sedimentation in ordered emulsions of drops at low Reynolds numbers / Ashok S. Sangani // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 1987. - V. 38. - P. 542-556.

65. Sangani A.S. The add mass, Basset, and viscous drag coefficients in nondilute bubbly liquids undergoing small-amplitude oscillatory motion /

66. A.S. Sagani, D.Z. Zhang, A. Prosperetti // Physics of Fluids. 1991. -V. A3. - P. 29551^-2970.

67. Sarrate J. Arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation for fluid-rigid body interaction /Sarrate J., Huerta A., Donea J. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2001. - V. 190. - N 24-25. - P. 3171-3188.

68. Stimson M. The motion of two spheres in a viscous fluid / Stimson M., Jeffrey G.B. // Proc. Roy. Soc. 1926. - V. Alll. - P. 110.

69. Takanashi T. Existence of strong solutions for tyhe problem of a rigid-fluid system / Takanashi T. // Comptes-Rendus Mecanique. 2003. - V. 336. -N 5. - P. 453-458.

70. Tornberg A.-K. Simulating the dynamics and intercations of flexible fibers in Stokes flows / Tornberg A.-K, Shelley M.J. // Journal of Computational Physics 2004. - V. 196. - N 1. - P. 8-40.

71. Tran-Cong T. Stokes problems of multiparticle systems: a numerical method for arbitrary flows / Tran-Cong T., Phan-Thien N. // Physics of Fluids. -1989. V. Al. - P. 453-461.

72. Wakia S. Slow motion in shear flow of a doublet of two spheres in contact / Wakia S. // Journal of the Physical Society of Japan. 1971. - Vol. 31. -P. 1581-1587.

73. Wang W. Interaction between micro-particles in Oseen flows by the method of fundamental solutions / W. Wang, P.H Wen // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2008. - V. 32, N 4. - P. 318-327.

74. Youngren G.K. Stokes flow past a particle of arbitrary shape: a numerical method of solution / Youngren G.K., Acrivos A. // Journal of Fluid Mechanics. 1975. - V. 69. - P. 377-403.

75. Баранов B.E. Влияние гидродинамического взаимодействия на скорость осаждения большого числа частиц в вязкой жидкости / В.Е. Баранов, С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004. -N 1. - С. 84-91.

76. Больцман JI. Лекции по теории газов / JI. Больцман ; пер. с нем. под ред. Б.И. Давыдова. М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1953. -555 с. - (Классики естествознания).

77. Борискина И.П. Влияние гидродинамического взаимодействия на движение частиц в идеальной жидкости /И.П. Борискина, С.И. Мартынов // Труды Средневолжского математического общества. -2003. Т. 5, N 1. - С. 93-97.

78. Борискина И.П. Взаимодействие частиц в неоднородном магнитном поле / И.П. Борискина // Вестник МГУ -Саранск: МГУ, 2003. е 4 -С. 20-23.

79. Борискина И.П. Моделирование процессов взаимодействия двух частиц в идеальной несжимаемой жидкости / Н.И. Коновалова, И.П. Борискина // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2006. - Т. 8, N 2. - С. 88-94.

80. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. М. : Мир, 1973. - 760 с.

81. Варламов Ю.Д. Исследование процессов структурообразования в магнитных жидкостях / Варламов Ю.Д., Каплун A.B. // Магнитная гидродинамика. 1983. - N 1. - С. 33-39.

82. Вислович А.Н. Взаимдействие твердых тел, взвешенных в магнитной жидкости, в однородном поле / Вислович А.Н., Лобко С.И., Лобко Г.С. // Магнитная гидродинамика. 1986. - N 4. - С. 43-51.

83. Вислович А.Н. Силы, действующие на пластину в магнитной жидкости в магнитном поле с экспоненциальной неоднородностью /Вислович А.Н., Сухоцкий A.B. // Извстия РАН. Механика жидкости и газа. 2001. - N 6. - С. 3-14.

84. Вислович А.Н. Внешнее и внутреннее взаимодействие сферических тел магнитной жидкости / Вислович А.Н., Гаранин В.Н., Бирич В.В. // Труды 10-й международной конференции по магнитным жидкостям. -Плес, 2002. С. 215-220.

85. Воинов О.В. Общие методы представления решений уравнений Стокса и метод расчета течений вязкой жидкости / О.В. Воинов // Доклады РАН. 2005. - Т. 405, N 5. - С. 625-629.

86. Волньг в жидкостях с пузырьками / A.A. Губайдулин, А.И. Ивандаев, Р.И. Нигматулин, Н.С. Хабеев // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. ВИНИТИ. -1982.- Т. 17. С. 160-249.

87. Выпов Г.П. Нестационарное движение вязкой несжимаемой' жидкости между близко расположенными движущимися поверностями / Г.П. Выпов // Известия высших учебных заведений. Математика. -1958. N 3(4).- С. 41-49.

88. Голубятников А.Н. Модельные возможности структурирования магнитных жидкостей / Голубятников А.Н. / / Труды 10-ймеждунарародной конференции по магнитным жидкостям. -Плес, 2002. С. 227-230.

89. Елфимова Е.А. Эффективная магнитная проницаемость агрегированной феррожидкости: влияние фрактальных агрегатов / Елфимова Е.А. // Труды 10-й междунарародной конференции по магнитным жидкостям.- Плес, 2002. С. 142-147.

90. Иванов А.О. Ориентационное упорядочение в феррожидкостях: приближение плотности функционала энергии и теория среднего поля // Труды 10-й междунарародной конференции по магнитным жидкостям. Плес. 2002. - С. 156-161.

91. Канторович С.С. Структуры цепочечных агрегатов в полидисперсных феррожидкостях / Канторович С.С. // Труды 10-й междунарародной конференции по магнитным жидкостям. -Плес, 2002. С. 51-55.

92. Кашевский Б.Э. Когерентные дисперсные структуры в магнитных суспензиях / Кашевский Б.Э. // Колл. журнал. 2003. - Т. 65, N 3. - С. 352-355.

93. Кашевский С.Б. Структурная самоорганизация монослоя частиц ферросуспензии в высокочастотном эллиптически поляризованном поле / Кашевский С.Б. // Колл. журнал. 2006. - Т. 68, N1.-0. 1-7.

94. Коновалова Н.И. Взаимодействие двух сфер в нестационарном потоке вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2007. - Т. 9, N 2.-0. 120-125.

95. Коновалова Н.И. Движение двух сфер в нестационарном потоке вязкой жидкости / Н.И.' Коновалова, С.И. Мартынов // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2008. - Т. 10, N 1. - С. 157-167.

96. Коновалова Н.И. Обтекание двух сфер нестационарным потоком вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Нелинейная динамика.- 2008. Т. 4, N 4. - С. 467-481.

97. Коновалова Н.И. Динамика магнитных частиц в потоке вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Труды 13-й междунарародной плесской конференции по нанодисперсным магнитным жидкостям. -Плес, 2008. С. 81-86.

98. Коновалова Н.И. Нестационарное вращение двух сфер в вязкой жидкости // Материалы XIII Научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов МГУ им. Н.П. Огарева.: в 2 ч. Ч. 2: Естественные и технические науки. Саранск, 2008. - С. 124-126.

99. Коновалова Н.И. Динамика магнитных частиц в вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009.- N 3(11). С. 2-10.

100. Коновалова Н.И. Динамика дипольных частиц в нестационарных полях /Коновалова Н.И., Мартынов С.И. // Образование, наука и техника: XXI век. Сб. науч. ст. Выпуск. 7. Югорский гос. ун-т, г. Ханты-Мансийск, 2009 С. 66-67.

101. Дамб Г. Гидродинамика / Г. Ламб ; пер. с 6-го англ. изд. A.B. Гермогенова, В.А. Кудрявцева ; под ред. проф. H.A. Слезкина. М. ; Л. : ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1947. - 929 с.

102. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. 3-е изд., перераб. - М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1986. - 736 с.

103. Ландау ЛД. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М. : Наука, 1982. - 620 с.

104. Мартынов С.И. Движение частицы в неоднородно нагретой намагничивающейся или поляризующейся жидкости / Мартынов С.И., Налетова В.А., Тимонин Г.А. // Современные проблемы электродинамики. М., МГУ, 1984. - С. 133-144.

105. Мартынов С.И. О вязкости магнитной жидкости / С.И. Мартынов // Тезисы докладов 5-ой Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям. -Плес, 1983. С. 48-49.

106. Мартынов С.И. Влияние образования и разрушения агрегатов на вязкость магнитной жидкости / С.И. Мартынов // Магнитная гидродинамика. 1989. - N 1. - С. 47-52.

107. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие частиц / С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. -1998. N 2. - С. 112-119.

108. Мартынов С.И. Агрегирование частиц и вязкость суспензии / С.И. Мартынов // Инженерно-физический журнал. 1998. - Т. 71, N 4. - С. 691-697.

109. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в суспензии / С.И. Мартынов. -Казань : Изд-во Казан, матем. о-ва, 1998. 135 с.

110. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости / С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2000. - N 1. - С. 84-91.

111. Мартынов С.И. Течение вязкой жидкости через периодическую решетку сфер / С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2002. - N 6. - С. 48-54.

112. Мартынов С.И. Периодическая решетка твердых сфер в линейном потоке вязкой жидкости / С.И. Мартынов, А.О. Сыромясов // Прикладная математика и механика : сб. науч. тр. Ульяновск, 2004.- С. 172-176.

113. Мартынов С.И. Вязкость суспензии с кубической решеткой сфер в сдвиговом потоке / С.И. Мартынов, А.О. Сыромясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. - N 4. - С. 3-14.

114. Мартынов С.И. Симметрия периодической решетки частиц и потока вязкой жидкости в приближении Стокса / С.И. Мартынов, А.О. Сыромясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2007.- N 3. С. 7-20.

115. Матвеев С.К. Нестационарное течение тонкого слоя вязкой жидкости между колеблющимися параллельными плоскостями / С.К. Матвеев, О.Г. Завьялов // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2007.- N 3.- С. 65-69.

116. Морозкин Н.Д. Расчет течения вязкой несжимаемой жидкости в области с подвижной границей / Н.Д. Морозкин, В.В. Чудинов,

117. A.Ю. Гшщв // Вестник Башкирского университета. Математика, математическое моделирование и механика. 2006. - N-2.- С. 12-16.

118. Налетова В.А. Левитация магнита в магнитной жидкости в сферическом сосуде /Налетова В.А., Моисеева JI.A., Турков В.А. // Вестник МГУ. Математика. Механика. 1997. - N 4. - С. 32-34.

119. Налетова В.А. Вынужденные колебания магнита в намагничивающейся жидкости в вибрирующем сосуде / Налетова В.А., Турков В.А. // Труды МИРАН. 1998. - N 223. - С. 233-237.

120. Квитанцев A.C. Моделирование движения магнитов и магнитных тел в ограниченных объемах магнитной жидкости /Квитанцев A.C., Налетова В.А., Турков В.А. // Труды института прикладной математики и механики HAH Украины. 2001. - N 6. - С. 90-91.

121. Квитанцев A.C. Левитация магнитов и тел из магнитомягких материалов в сосудах, заполненных магнитной жидкостью / Квитанцев A.C., Налетова В.А., Турков В.А. // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2002. - N 3. - С. 12-20.

122. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. В 2 т. Т. 1,2 / Р.И. Нигматулин. -М. : Наука, 1987.

123. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И. Нигматулин. -М. : Наука, 1978, 336 с.

124. Покровский В.Н. Статистическая механика разбавленных суспензий /

125. B.Н. Покровский. М. : Наука, 1978. - 136 с.

126. Соколов В.В. Моделирование влияния магнитного поля на упругие свойства композитов / Соколов В.В., Турков В.А. //В сборнике 11 Математические модели в образовании, науке и промышленности".

127. Международная академия наук высшей школы, С.-Петербург. 2003. -С. 197-201.

128. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости / Дж. Серрин., М. : Иностранная литература, 1963, -256 с.

129. Урьев Н.Б. Моделирование динамического состояния дисперсных систем / Н.Б. Урьев, И.В. Кучин // Успехи химии. 2006. - Т. 75, N 1.-0. 36-63.

130. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2 т. Т. 2. Методы расчета различных течений / К. Флетчер ; пер. с англ. В.Ф. Каменецкого ; под ред. Л.И. Турчака. М. : Мир, 1991. - 552 с.

131. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. М. : Мир, 1976. - 632 с.