автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование гидродинамического взаимодействия и динамики капель составной эмульсии

На правах рукописи

ПРОНЬКИНА Татьяна Васильевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ДИНАМИКИ КАПЕЛЬ СОСТАВНОЙ ЭМУЛЬСИИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

" 7 ок' 2010

Саранск-2010

004609870

Работа выполнена на кафедре высшей математики ГОУВПО "Югорский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Мартынов Сергей Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Вельмисов Петр Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор

Дерюгин Юрий Николаевич

Ведущая организация: Ульяновский государственный

университет

Защита состоится 14 октября 2010 года в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при ГОУВПО "Мордовский государственный университет им. Н.П.Огарева" по адресу: 430005, РМ, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУВПО "Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева".

Автореферат разослан 13 сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

Л.А. Сухарев

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования.

Актуальность проблемы связана с широким представлением эмульсий в различных природных и технологических процессах. В последние годы исследования по динамике капель и эмульсий продолжаются в таких традиционных направлениях, как деформация и разрушение капель в потоках и при ударах о поверхность, стабилизация и устойчивость эмульсий (Y. Saikia, С.A. Prestidge, R.G. Horna, 2007, С.И. Мартынов, 2001). Эти исследования связаны с такими технологическими процессами, как распыление топлива в двигателях внутреннего сгорания и ракетных двигателях, нанесение лакокрасочных покрытий на поверхность, струйная печать, капельное охлаждение, обработка растений химикатами, орошение посевов, новыми технологическими процессами в пищевой и фармацевтической промышленности и многими другими. Появились и новые направления исследования: создание и изучение динамики нано-эмульсий и составных эмульсий. Под составными понимаются эмульсии, в которых капли вязкой жидкости включают в себя другие жидкие включения в виде капель. Причем количество таких включений может варьироваться от нескольких до сотен в одной капле (G .Muschiolika, 2007, R. Pal, 2008).

В эмульсии, как в любой многофазной системе (суспензии, аэрозоли), существует два принципиально разных механизма взаимодействия капель. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между каплями. Примером может служить электростатическое взаимодействие, обусловленное наличием зарядов на поверхности капель. Исследование такого рода взаимодействий в эмульсиях, и вообще двухфазных средах, проводилось в работах P.M. Adler (1983), D. Langemann (2005), N.A. Mishchuka, A. Sanfeldb, A. Steinchenb (2007) и др. Такое взаимодействие представляет интерес при исследовании устойчивости и структурирования эмульсии: в результате действия таких сил возможна коалесценция капель или образование периодической структуры (W.R. Schowalter, 1984, F. Leal-Calderona, 1999, Е. Dickinson, 2010). Изменение состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства среды в целом.

Второй механизм связан с взаимодействием капель через движение несущей фазы (жидкость, газ): распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо капли зависит от расположения других капель. Движение одной капли влияет на движение всех остальных, и наоборот. Такое взаимодействие называется гидродинамическим и влияет на все процессы, происходящие в эмульсии.

Как известно, моделирование взаимодействия и движения двух и более твердых частиц в вязкой жидкости оказалось сложной задачей: во-первых, граничные условия необходимо задавать на нескольких поверхностях, во-вторых, необходимо учесть искажения, внесенные в поток всеми частицами. В случае жидких частиц сложность возрастает, так как необходимо учитывать движение жидкости внутри самих жидких частиц. Еще более сложная задача, когда жидкие частицы имеют внутреннюю структуру, например, включают в себя еще другие жидкие частицы с отличными от основной жидкости плотностью и вязкостью. В этом случае необходимо учитывать взаимодействие внутри такой структуры между ее элементами.

Для двух жидких сфер известно точное решение (S. Haber, 1973, Е. Rushton, 1973, G. Hetsroni, 1978) осесимметричной задачи, когда частицы движутся вдоль линии центров. Полученное решение обобщает результаты исследований М. Stimson (1926), Н. Brenner (1961), Е. Bart (1968), Е. Wacholder (1974). Гидродинамические силы представлены в работе S. Haber бесконечными рядами. Эти ряды медленно сходятся и практически непригодны для численного счета, если зазор между поверхностями сфер мал. В работе А.З. Зинченко (1978) в стоксовом приближении рассматривается осесимметричная задача о движении двух жидких сфер в вязкой среде. При малой величине зазора между поверхностями сфер строится асимптотическое решение. Рассмотрен также случай, когда одна из сфер является твердой. В этой же работе строится асимптотическое решение, применимое также в случае жидких сфер, расположенных одна внутри другой, что представляет интерес, например, при изучении движения капли, содержащей газовый пузырь. Найденное решение существенно отличается от известного асимптотического решения M.D.A. Cooley (1969) для твердых сфер. В работе А.З. Зинченко (1983) в рамках квазистационарных уравнений Стокса рассматривается гидродинамическое взаимодействие двух одинаковых, свободных от внешних сил жидких сферических

частиц в линейном поле течения произвольного вида. Представлены численные результаты по расчету относительной скорости частиц и интенсивности силовых диполей на сферах. Получены дальние и ближние асимптотические разложения соответствующих гидродинамических функций, с использованием метода многократных отражений.

Медленное движение двух соприкасающихся жидких сфер вдоль их линии центров рассмотрено в работе L.D. Reed и F.A. Morrison (1964). Гидродинамическое взаимодействие двух медленно испаряющихся частиц изучено в работе H.N. Oguz, A. Prosperetti и D. Antonelli (1989). Влияние гидродинамического взаимодействия на коагуляцию (коалесценцию) двух капель описано в работах H. Wang, R.H. Davis и А.З. Зинченко (1994). Расчет эффективности гравитационной коагуляции капель с учетом их внутренней циркуляции приведен в работе А.З. Зинченко (1982).

Столь пристальное внимание к задаче о двух частицах объяснялось желанием использовать найденное решение задачи о взаимодействии двух частиц при решении другой задачи - о взаимодействии большого числа капель. Для моделирования взаимодействия твердых частиц в настоящее время развиваются такие методы, как метод стоксовой динамики (J.F. Brady, L. Durlofsky), метод решеточного уравнения Больцмана (A.J.C. Ladd, R.Verberg R.R. Nourgaliev, T.N. Dinh, T.G. Theofanous, D. Joseph), численное моделирование (H.P. Langtangen, К.-A. Masdal, R. Winther, К. Флетчер), позволяющее рассматривать дисперсные системы с большим количеством взвешенных частиц. Широко применяются методы молекулярной динамики, Монте-Карло, диссипативных частиц. Метод конечных элементов (например, работы M. Behr, Т.Е. Tezduyar, 1994, H.H. Hu, 1996) использует численное интегрирование уравнений движения жидкости, предварительно разбивая на сегменты все пространство, занятое жидкостью. Этот метод позволяет находить решения при любых числах Рейнольдса, а не только прл малых. Недостатком этого метода является очень большое количество вычислений и необходимость работать с большими объемами данных. Даже в последнее время, когда возможности вычислительной техники выросли, применение метода конечных элементов для большого числа частиц остается трудной задачей, так как требует большого объема вычислений. Существуют и другие методы построения решения для гидродинамического взаимодействия твердых частиц

(A.M. Chapman, J.J.L. Higdon, 1992, Н.Б. Урьев, И.В. Кучин, 2006). Однако, в настоящее время не существует достаточно точного и при этом несложного метода, позволяющего моделировать взаимодействие любого конечного числа твердых частиц, тем более это относится к случаю составных капель. Трудности моделирования возрастают при увеличении числа капель, взаимодействующих между собой, что сказывается на практической реализации вычислительных схем известных методов. Кроме того многообразие и сложность эффектов многофазное™ приводит к необходимости проведения все новых исследований. Поэтому получение новых аналитических и численных результатов в этой области по-прежнему остается актуальной задачей.

Диссертация посвящена математическому моделированию гидродинамического взаимодействия и динамики капель составной эмульсии. Цель и задачи исследования.

Цель работы - математическое моделирование динамики капель составной эмульсии с учетом их гидродинамического взаимодействия в потоках при малых числах Рейнольдса. В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

• разработка и программная реализация метода расчета гидродинамического взаимодействия составных капель эмульсии между собой и со своим включением в потоке вязкой несжимаемой жидкости;

• на основе разработанного метода получение аналитических выражений для сил, действующих на составные капли и на их включения;

• нахождение аналитических выражений для скоростей, приобретаемых каплями и их включениями в результате гидродинамического взаимодействия в однородном и линейном потоках вязкой жидкости;

• разработка метода расчета средней скорости осаждения составных капель эмульсии в поле силы тяжести с учетом их структуры и проведение численного моделирования динамики осаждения капель и их включений;

• разработка метода расчета эффективной вязкости составной эмульсии, с учетом гидродинамического взаимодействия капель и их структуры.

Научная новизна. Разработан аналитический метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии капель составной эмульсии, включая взаимодействие капли со своим включением.

Предложенным методом решены задачи: о гидродинамическом взаимодействии капель составной эмульсии в линейном и однородном потоках. Найдены выражения для сил, действующих на каплю и ее составляющую.

Решена задача об осаждении капель составной эмульсии в поле силы тяжести. Найдена средняя скорость осаждения капель с учетом динамики их включений. Показано, что динамика включений оказывает существенное влияние на скорость осаждения составных капель.

Определена эффективная вязкость составной эмульсии. Найдено, что при всем рассмотренных параметрах капли и включения вязкость составной эмульсии выше, чем простой.

Достоверность полученных результатов следует из того, что они получены из общих уравнений и законов движения жидкости с помощью строгих математических выводов, математическими методами исследования. Решения задач, найденные предлагаемым методом, для известных частных случаев совпадают с результатами, полученными другими методами.

Практическая значимость результатов исследования.

Полученные в диссертации результаты позволяют глубже понять механизм гидродинамического взаимодействия в эмульсии для создания новых моделей и могут быть использованы при расчетах динамики капель составной эмульсии в потоках в различных приложениях.

Основные результаты, выносимые на защиту:

• метод расчета гидродинамического взаимодействия составных капель эмульсии между собой и со своим включением в потоке вязкой несжимаемой жидкости и его программная реализация;

• аналитические выражения для сил, действующих на составные капли и их включения в результате гидродинамического взаимодействия в линейном и однородном потоках;

• аналитические выражения для скоростей, приобретаемых каплями и их включениями в результате гидродинамического взаимодействия в однородном и линейном потоках;

• метод расчета средней скорости осаждения составных капель эмульсии в поле силы тяжести с учетом их структуры и результаты численного моделирования динамики осаждения капель и их включений;

• метод расчета эффективной вязкости составной эмульсии с учетом гидродинамического взаимодействия составных капель и их структуры, а также результаты численного расчета эффективной вязкости составной эмульсии при различных значениях параметров.

Апробация результатов.

Основные результаты диссертационного исследования обсуждались на семинарах Средневолжского математического общества (г. Саранск, 2007, 2010 гг.), на Третьей международной школе-семинаре "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (г. Саранск, 2007), на научных семинарах кафедры высшей математики Югорского государственного университета (г. Ханты-Мансийск, 2008, 2009, 2010 гг.), на IX конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании" (г. Саранск, 2010 г.), на III международной конференции "Математическое моделирование социальной и экономической динамики" (MMSED-2010, г. Москва, 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, приведенных в конце автореферата, из них три из списка изданий, рекомендованных экспертным советом ВАК по управлению, вычислительной технике и информатике для публикации результатов диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 121 лист машинописного текста. Диссертация содержит 68 рисунков, 1 таблицу и список литературы из 137 наименований.

Содержание работы

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы, посвященной движению частиц в вязкой жидкости,

8

формулируются цель и задачи исследования, дается краткое описание работы.

В Главе 1 диссертации рассматривается математическая модель гидродинамического взаимодействия капель, помещенных в вязкую жидкость и содержащих внутри себя каплю другой вязкой жидкости.

В разделе 1.1 дается постановка задачи для конечного числа составных капель и для двух капель, как частный случай общего.

Одна из проблем при моделировании систем, содержащих свободные границы, это определение формы этой границы при движении системы. В случае эмульсии это связано с деформированием капель. Однако, как было установлено еще в работах для одиночной капли (S. Winnikov, 1966, G. Thorsen, 1968) стационарный режим течения характеризуется обычно коэффициентом сопротивления частицы. В диссертации рассматривается случай малых чисел Re и форма капель считается сферической, поскольку в этом случае коэффициент сопротивления совпадает или немного меньше коэффициента сопротивления твердой сферы того же радиуса. Это позволяет использовать для моделирования гидродинамического взаимодействия капель подходы и методы, развитые G.K. Batchelor (1972), G. Bossis (1985), С.И. Мартыновым (1998) для твердых сферических частиц. При этом, однако, сложность расчетов возрастает, так как необходимо учитывать движение жидкости внутри капли, в которой находится еще одна капля, взаимодействие с которой тоже необходимо брать в расчет. Таким образом, в составных эмульсиях имеется внешнее гидродинамическое взаимодействие капель между собой, и внутреннее гидродинамическое взаимодействие капель со своими составляющими.

Пусть в неограниченной несжимаемой жидкости вязкости t]l находятся N составных сферических жидких частиц. Обозначим их Ан, где h изменяется от 1 до N. Каждая капля имеет вязкость г/а и размер а , соответственно. Сами капли представляют собой сложные структуры: внутри каждой из них находится жидкая сферическая частица Bh вязкости % и

размера bh, соответственно. Размеры частиц достаточно маленькие, чтобы уравнения движения жидкости вне и внутри частиц были линейными.

Уравнения для скорости и давления в несущей жидкости и внутри каждой из частиц записываются в приближении Стокса:

V • г7 = 0, V ■ V л = 0,

здесь и, р,- скорость и давление в несущей жидкости; рна - скорость и давление внутри капли А1'; и>'', р'1 - скорость и давление внутри капли В\

Так как рассматривается случай малых чисел Рейнольдса, при которых течения описываются линейными уравнениями Стокса, то решение задачи о гидродинамическом взаимодействии большого числа частиц можно представить в виде суммы решений задач о гидродинамическом взаимодействии пар частиц, где суммирование берется по всем возможным комбинациям пар из заданной конфигурации частиц. Вместе с тем необходимо помнить, что такое представление недействительно для граничных условий на поверхности капель. Как отмечалось в работе СМ. Мартынова (1998), граничные условия являются интегральными в том смысле, что описывают суммарный вклад от взаимодействия выделенной капли со всеми остальными. Поэтому при решении задачи необходимо учитывать граничные условия на поверхностях всех капель.

Обозначим вектором х1' положение произвольной точки несущей жидкости относительно центра капли А1', а вектором у'1 - положение точки несущей жидкости относительно центра капли 5Л.

На поверхности каждой капли А1' можно записать следующие граничные условия:

1. Условие равенства скоростей жидкостей на границе капли :

щ + и^^ + У*, |**| = в\

где 0 - скорость потока несущей жидкости, невозмущенного присутствием составных капель А1', Р1' - скорость капли А1'.

2. Условие равенства касательных напряжений на поверхности жидкой частицы Л*:

1/

'д(и, + и,) | д(и] + Ц^

дх/ дх1

дх) дх.

«к.

при |хл|=ал. Здесь п' и г1' ~ единичные векторы нормали и касательной к поверхности капли 3. Условие непротекания несущей жидкости внутрь частицы

I*.

(«,+(/>* =0, |3с*| = ан.

Соответствующие граничные условия записываются и на поверхности каждой жидкой частицы Ви. На бесконечности имеем следующее граничное условие:

То есть скорость возмущения обращается в нуль при бесконечном удалении от составных капель А1'.

Требуется определить скорость и давление потока несущей жидкости, скорость и давление внутри частиц /!Л и б*. Зная их, можно определить силы, действующие на каждую из капель со стороны внешней жидкой фазы, скорости приобретаемые каплями в результате гидродинамического взаимодействия, эффективную вязкость составной эмульсии.

В разделе 1.2 дается метод решения задачи. Сущность метода заключается в представлении решений уравнений Стокса в виде мультипольного разложения с неизвестными тензорными коэффициентами. Форма записи тензорных коэффициентов определяется видом невозмущенного потока жидкости. В работах С.И. Мартынова (1996) дается алгоритм построения таких тензорных коэффициентов любого порядка. Скалярные коэффициенты, входящие в тензорные, определяются из граничных условий.

Решение первого уравнения, удовлетворяющее условию на бесконечности (1), можно записать в виде:

1/,->0,

\х -» со .

(1)

здесь, Я*, Ну, Н]]к, ... - неизвестные тензорные коэффициенты, а I,, Ц 11<к,мультиполи, вычисляемые по следующему правилу

'и'

где х — вектор, проведенный из точки жидкости, где берется значение давления к центру частицы.

При записи выражения для давления внутри капель А1' следует учитывать, что оно не должно содержать особенностей при | х' |= 0, поэтому решение может быть записано в виде:

£ =0,4(5*)!|5 +G>•jLu(xh)\xh I5 +О^ьок(х")\х" |7 +...+

Внутри капель В1' выражение для давления не должно содержать особенностей при | у1' |= 0, следовательно решение будет иметь вид

А = р +^,(з>")| / Р Г +-+

Зная решения для давления в каждой из фаз, можно записать выражения для распределения скоростей. Для скорости несущей жидкости имеем:

2 оЛ г /-йч 3 тг(|, и 4

N

№ = ЛV, + X

Л=1

Внутри капли Ан выражение для скорости записывается в виде:

ад"=ц^+¿дх*) 1р хЧ+1 ¿дзг") | |5}+

+ к^1л(х")I хЛ I5 + ... + чУ'^х")) х" I3 +<*>; V*")! х" |5 +...]-Внутри капли выражение для скорости имеет вид:

+ у |3 л"+у" 15)+

Слагаемые в выражениях для скорости, включающие тензоры Ку 5 и Рц л должны удовлетворять уравнениям Лапласа и неразрывности.

Подобный метод использовался для решения задачи о взаимодействии двух простых капель с изменяемой формой поверхности. Главное его отличие от использовавшегося ранее метода при решении подобной задачи А.З. Зинченко (1983) в том, что он позволяет обобщить его на случай большого числа частиц, например трех и более (С.И. Мартынов, 1997). Метод не требует больших вычислительных затрат (все числовые значения параметров могут быть найдены на персональном компьютере с хорошей точностью) и реализуется в любой проблемно-ориентированной системе например, МаШета^са. На его основе в работах В.Е. Баранова, С.И. Мартынова и А.О. Сыромясова разработаны и программно реализованы методы по расчету взаимодействий большого числа твердых частиц в облаке и бесконечного числа частиц в периодической решетке произвольной симметрии. Результаты работы В.Е. Баранова, С.И. Мартынова (2004) свидетельствуют, что динамика частиц в облаке имеет сложный характер. Однако средние кинематические характеристики частиц в облаке таковы, что они практически не зависят от конфигурации облака, а их зависимость от числа взаимодействующих частиц такова, что асимптотические значения достигаются уже при учете только, примерно, несколько сот взаимодействующих частиц. Это означает, что для корректного учета вклада взаимодействия частиц в выражения для средних характеристик смеси оказывается достаточным учитывать вклад не всех частиц, а только части, причем число учитываемых частиц имеет разумные для численного счета значения.

В разделах 1.3-1. б даются решения общей задачи о гидродинамическом взаимодействии капель и приведены выражения для тензорных коэффициентов. Выражения для скалярных коэффициентов получены методом разложения по малому параметру.

Так как при сделанных выше предположениях случай взаимодействия двух капель является основополагающим при моделировании динамики большого числа капель, в диссертации рассматривается случай линейного течения вязкой жидкости относительно двух капель. В силу того, что форма капель не меняется, а уравнения и граничные условия на поверхно-

стях капель линейны по скорости, решение задачи можно представить в виде суммы решений задач о гидродинамическом взаимодействии частиц собственно в линейном потоке и в однородном потоке. В последнем случае рассматривается осесимметричное течение (скорость жидкости или капель направлена вдоль прямой, соединяющей их центры) и асимметричное (скорость жидкости или капель направлена перпендикулярно прямой, соединяющей их центры). Причем такое представление справедливо и для представления гидродинамического взаимодействия капли со своей составной внутри себя.

В качестве малого параметра в задаче о внешнем гидродинамическом взаимодействии двух составных капель берется отношение радиуса составной капли к расстоянию между центрами капель. В задаче о внутреннем гидродинамическом взаимодействии - отношение расстояния между центрами капель к радиусу меньшей. Вычисления проделаны с точностью до £4, однако их можно проделать с большей точностью.

В Главе 2 диссертации на основе полученных выражений для скорости и давления вне и внутри составной капли найдены выражения для силы, действующей на капли в результате гидродинамического взаимодействия в линейном и в однородном потоке жидкости. Аналитическое решение задачи о гидродинамическом взаимодействии капель позволяет вычислить силу, действующую со стороны несущей жидкости на жидкую частицу А1, и силу, действующую внутри капли А' на частицу В1.

Для каждой из задач можно рассмотреть два предельных случая. Первый случай получается при равенстве нулю радиуса включения. При этом, полученные в диссертационной работе результаты, совпадают с полученными в работах А.З. Зинченко и С.И. Мартынова решениями задачи о взаимодействии двух жидких сферических частиц, находящихся в линейном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Второй предельный случай- случай очень большой вязкости жидкости в слое, окружающем включение. В этом случае получаем выражения для сил и скоростей, действующих на две твердые частицы в сдвиговом потоке вязкой жидкости, приведенные в работах С.В. 1еГГегу (1915), О.К.Ва1еЬе1ог (1972), Дж. Хаппеля (1976) и С.И. Мартынова (1994-1998). Выражения для сил по-

зволягот определить скорости приобретаемые каплями в результате гидродинамического взаимодействия.

В Гпаве 3 диссертации рассматривается влияние взаимодействия капель на динамику эмульсии.

В разделе 3.1 решается осесимметричная задача об осаждении составных капель. Для определения закона относительного движения капель решалось дифференциальное уравнение первого порядка. В силу громоздкости выражений, входящих в него, уравнение решалось численным способом при различных начальных условиях. Ниже приведены графики зависимости изменения величины г от времени ( при различных значениях параметров а/Ь, ц,1т]а, р,/ра, щ!т1а, рь/ра.

ч

2 3 4 5

Рис.1. Относительного движения капли В

Как видно из графиков, изображенных на рис.1, в зависимости от значений параметров возможны различные варианты движения капли В1 внутри капли А1 - на частицу она может как "всплывать" (случай отрицательных значений /•), так и "тонуть" (положительные значения г).

В разделе 3.2 рассматривается асимметричная задача об осаждении составных капель. Пусть скорость невозмущенного потока жидкости £7 = 0, а радиус-вектор г , разделяющий центры капель А' и В' перпендикулярен вектору ускорения свободного падения Найдены уравнение

траектории относительного движения капли В1. Начало координат выбрано в центре капли Ах. Направление оси Одг, совпадает с направлением вектора £.

На рис.2 изображены траектории движения центра капли В1 относительно центра капли А1 при следующих значениях параметров: а/6 = 5, 7]t/i]a-l.2, Pi / ра = 1.5, т]ь / rja -1.5. Значение параметра pb I ра меняется. Здесь и далее сплошной линией изображена траектория движения при рь!Ра =5, пунктирной - при ph /ра ~ 2.2, штрихпунктнрной - при рь/ ра = 0.5. Из рисунка видно, что при данных значениях параметров частица В1 относительно центра частицы А1 медленно осаждается по направлению силы тяжести для случая, когда плотность частицы В' больше плотности частицы А] в 5 раз, в остальных случаях она всплывает, даже когда рь/ ра = 2.2. При этом сама частица А1 тоже всплывает.

у.

\ \ 0.1002 \ Х

\ 0.10015

\ \ ^ \ 0.1001

\ \

. 0.10005

. \

_________

-0.4 -0.3 -0.2 -0.Г I1 *'

Рис.2. Траектории относительного движения капли В].

На рис.3 изображены траектории движения капли В1 относительно центра капли А' при alb-5, r]t/г]а =0.5, р//ра=0.7, rjhh7Й=1.5. Значение параметра ph /ра снова изменяется. Здесь во всех случаях капля В1

осаждается и удаляется от центра частицы А' в сторону увеличения координаты х2.

На рис.4 изображены траектории абсолютного движения центра капли А1 при тех же значениях параметров, что и для рис.2. Во всех случаях капля Л1 всплывает, и тех случаях, когда рь!ра>\, по горизонтали смещается в сторону противоположную перемещению частицы В1, а при Рь! Р„ = 0.5 в ту же сторону.

Рис.3. Траектории относительного движения капли В1.

Численное моделирование показывает, что учет взаимодействия дает сложную картину динамики составной капли эмульсии при осаждении под действием силы тяжести. При этом зависимость скорости и траектории каждой капли от параметров, характеризующих свойства каждой фазы, имеет нелинейный характер. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании осаждения большого числа составных капель эмульсии на основе разработанных ранее подходов и методов расчета.

Практический интерес представляет вопрос о скорости седиментации капель в вязкой жидкости под действием силы тяжести. Эта скорость зависит от многих факторов: вязкости каждой из фаз дисперсной системы, размеров и структуры включений и т.д. В разделе 3.3 решена задача об определении средней скорости осаждения капель составной эмульсии. Учитывается гидродинамическое взаимодействие капли с ее составляющей. Распределение капель в эмульсии предполагается случайным с однородной средней числовой плотностью. Распределение включений также предпола-

гается случайным. Для определения средней скорости использовался подход, разработанный G.K. Batchelor (1972) для суспензии.

Средние от различных величин, характеризующих течение, определяются по отношению к ансамблю реализаций эмульсии при заданных условиях на границе дисперсной среды. Значение средней скорости может быть вычислено по следующей формуле

(V)= ¡Va-p(r,0df2 а

здесь Г2 - пространство всех векторов г, разделяющих центры жидких сферических частиц А1' и В1'. Для функции плотности вероятности p(r,t) получено дифференциальное уравнение. Уравнение решалось численным способом при различных начальных условиях. В таблице 1. приводятся значения средней скорости осаждения капли А1' при различных значениях параметров ц( / pt / ра, r/h / ца и phf ра. Отношение радиусов частиц остается постоянным а/Ь=15. Отрицательное значение средней скорости капли А1' означает, что последняя всплывает.

Таблица 1. Средняя скорость осаждеиия капель в однородном потоке жидкости

Средняя скорость осаждения составной капли Средняя скорость осаждения одиночной капли Pi1 Ра Пь'Па Рь> Ра

1.328127 1.322118 0.2 0.5 0.5 0.2

-0.558248 -0.563100 0.5 1.5 2.5 0.2

0.211054 0.208090 1.5 0.5 2.5 0.02

0.568344 0.562567 0.5 0.5 2.5 2.2

-0.251878 -0.254599 1.2 1.5 2.5 2.2

0.211099 0.208358 1.5 0.5 2.5 2.2

0.567999 0.561900 0.5 0.5 2.5 0.2

-0.252445 -0.254750 1.2 1.5 0.5 1.2

-0.558541 -0.562767 0.5 1.5 0.5 1.2

0.257111 0.254509 1.2 0.5 0.05 1.2

1.329090 1.322902 0.2 0.5 2.5 1.2

-0.252540 -0.254826 1.2 1.5 0.5 0.7

-0.558733 -0.562933 0.5 1.5 0.5 0.7

0.257094 0.254434 1.2 0.5 0.05 0.7

1.328410 1.32251 0.2 0.5 0.5 0.7

В разделе 3.4 предложена модель расчета вязкости составной эмульсии. Известная математическая модель, в которой определяется связь между вязкостью смеси и размерами капель, вязкостью жидкости в каплях дает следующее выражение

П'=1Ь{\ + Ко9), = (2)

201а+ П/)

Здесь г{ - вязкость смеси, - вязкость несущей жидкости, ца -вязкость жидкости в каплях, (р - объемная концентрация капель. Если имеются капли разных жидкостей, с вязкостью т\а,г\ьи объемной концентрацией <ра и (рь соответственно, то формула (2) примет вид

Ща+лд 2 (щ+щ)

Рассмотрим смесь, в которой капли жидкости вязкости г)а содержат в себе капли жидкости вязкости т]ь. Радиус внешней оболочки такой составных капель одинаковый и равен а, радиус внутренних капель тоже одинаковый и равен Ь. Для вычисления эффективной вязкости такой смеси необходимо решить задачу об обтекании составных капель сдвиговым потоком жидкости вязкости г][. При решении задачи необходимо учитывать движение жидкости в каждой из оболочек внутри капли. Такая задача с соответствующими граничными условиями была решена в приближении Стокса в Главе 1 диссертационной работы.

В результате проведенных расчетов было получено следующее выражение для эффективной вязкости:

'1* =77/0 + Кф)> (4)

К = ((6а2 Ь6 + 4аЬ7+ 7Ъъ )(/;„ - % )(25;/„ -16) + (2д8 + 4а1 Ь + 6а V )(па + + %Х25% +1б77,) + ЗЛ,5(50/?а2 -25^-1Аш) + Ъс?Ь\Ы1}1 + + 25ПаП„ +16?]Л-24ЧьП1) + 30а*Ь\п1 ~8Ш))/(5((12а2Ь6+8аЬ1 + 4//)(% --Пь)(%-Л,) + Ы + Ма1Ь+\2а%2)(11и + Ъ)(т1а+,11) + 6а*Ь\2П1-гт) + + За3Ь\4?1]-Зчм -2гга(Пь + '>/)) + За563(4//а2-Зад, + 2/?„(% +?//)))).

Сравним вязкость такой смеси с вязкостью смеси, когда капли каждой жидкости не смешаны (3). В этом случае выражение (3) может быть преобразовано к виду (2) с коэффициентом

' (а/А)3

На рис.5 построен график зависимости коэффициентов К, АГ, от х = а!Ь при следующих значениях параметров: ц11т\а= 5, ца /^,,=0. Последнее отношение означает, что внутри капли находится твердое тело радиуса Ь. В этом случае получаем А'а =1,25, Л"Л=2,5. Здесь сплошной линией изображен график зависимости коэффициента К от а/Ь, а пунктирной - коэффициента АГ,.

6 8 10

Рис.5. Коэффициенты К и К{.

Как видно из приведенного графика вязкость смеси с составными каплями всегда больше вязкости смеси, в которой капли не смешаны между собой. Этот вывод подтверждается вычислениями для любых соотношений вязкости несущей жидкости и вязкости жидкости внутри капли. Поскольку в реальных технологических процессах происходит перемешивание смеси, то можно предполагать, что в результате образуются капли не чистой жидкости, а составные, рассмотренные выше. Поскольку вязкость такой смеси очень важная характеристика, необходимая для расчета транспортировки ее по различным каналам, то можно сделать вывод, что более корректную оценку вязкости эмульсий следует проводить по формуле (4), а не по формуле (3).

В заключении формулируются основные результаты работы.

Основные результаты

Основные результаты работы таковы:

Разработан метод, позволяющий рассчитывать гидродинамическое взаимодействие капель составной эмульсии в потоке вязкой несжимаемой жидкости. Учитывается как внутреннее, так и внешнее гидродинамическое взаимодействие.

С использованием предложенного метода получены выражения для сил, действующих на капли и их включения, определены скорости капель, приобретаемые ими в результате гидродинамического взаимодействия между собой и своими включениями.

Проведено численное моделирование динамики осаждения капель с помощью программы, разработанной в системе МаКтапаи'са. Найдены траектории движения как самой капли, так и ее включений. Рассчитана средняя скорость осаждения капель составной эмульсии в поле силы тяжести с учетом относительного движения ее включения. Показано, что динамика включений оказывает существенное влияние на скорость осаждения составных капель.

Разработана процедура расчета эффективной вязкости составной эмульсии с учетом гидродинамического взаимодействия составных капель. Получено выражение для эффективной вязкости составной эмульсии. Проведен анализ численных значений найденной эффективной вязкости при различных значениях параметров. Найдено, что во всех рассмотренных случаях наличие включений в каплях приводят к увеличению вязкости эмульсии по сравнению со случаем однородных капель.

Публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях из списка ВАК

Мартынов С.И. Численное моделирование осаждения составных капель эмульсии. / С.И.Мартынов, Т.В. Пронькина// Системы управления и информационные технологии. - Москва-Воронеж, 2009.- N3.2(37).-С. 267-271.

2. Мартынов С.И. Моделирование взаимодействия капель в линейном потоке и вязкость эмульсии. / С.И. Мартынов, Т.В. Пронькина // Информационные системы и технологии. - Орел, 2010. -Ы 3. - С. 86-90.

3. Мартынов С.И. Составная капля эмульсии в однородном потоке вязкой жидкости. / С.И.Мартынов, Т.В. Пронькина// Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. Математика. - Пенза, 2010. - N 2. - С. 85-93.

Публикации в других изданиях

4. Пронькина Т.В. О влиянии включений в каплях на вязкость эмульсий. / Т.В. Пронькина// Образование, наука и техника: XXI век: сб. науч. ст. Югорский гос. ун-т. - Ханты-Мансийск, 2007. - Вып. 5 - С. 136-139.

5. Пронькина Т.В. Вязкость составной эмульсии. / Т.В. Пронькина// Труды Средневолжского математического общества. - Саранск, 2007. -N9(2).-С. 136-139.

6. Пронькина Т.В. Взаимодействие составных капель эмульсии в линейном потоке. / Т.В. Пронькина // Образование, наука и техника: XXI век: сб. науч. ст. Югорский гос. ун-т. - Ханты-Мансийск, 2008. - Вып. 6. -С. 141-143.

7. Пронькина Т.В. Обтекание составной капли эмульсии линейным потоком вязкой жидкости. / Т.В.Пронькина// Вестник Югорского государственного университета. - Ханты-Мансийск, 2009. - Вып. 2(13) - С. 7779.

8. Пронькина Т.В. Осесимметричная задача об осаждении взаимодействующих капель./ Т.В. Пронькина// Образование, наука и техника: XXI век: сб. науч. ст. Югорский гос. ун-т. - Ханты-Мансийск, 2009. -Вып. 7. - С. 67-68.

9. Пронькина Т.В. Средняя скорость осаждения составных капель эмульсии / Т.В. Пронькина // Математическое моделирование социальных процессов и современные образовательные технологии: Труды секции 3-й Международной конференции Математическое моделирование социальной и экономической динамики (ММ8ЕЭ-2010). - Москва, 2010. -С.38-39.

Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16. Гарнитура Тайме. Печать способом ризографии. Усл. печ. л. 1,6. Уч.- изд. л. 0,86. Тираж 100 экз. Заказ № 66 от 9.09.2010 г.

Отпечатано с оригинала-макета заказчика в ООО «Референт». 430000, г. Саранск, пр. Ленина, 21. Тел. (8342) 48-25-33.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СОСТАВНЫХ КАПЕЛЬ В ВЯЗКОЙ

ЖИДКОСТИ.

1.1. Постановка задачи для N составных капель.

1.2. Метод решения задачи.

1.3. Взаимодействие составных капель в линейном потоке.

1.4. Составные капли в однородном потоке.

1.5. Осесимметричное обтекание составных капель.

1.6. Асимметричная задача о движении составных капель в вязкой жидкости.

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА КАПЕЛЬ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

2.1. Гидродинамическая сила, действующая на составную каплю в линейном потоке.

2.2. Гидродинамическая сила, действующая на составную каплю в однородном потоке.

2.3. Скорость составной капли в результате гидродинамического взаимодействия.

ГЛАВА 3. ВЛИЯНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КАПЕЛЬ НА ДИНАМИКУ ЭМУЛЬСИИ.

3.1. Осесимметричная задача об осаждении составных капель.

3.2. Асимметричная задача осаждения составных капель.

3.3. Средняя скорость осаждения составных капель в эмульсии.

3.4. Вязкость составной эмульсии.

Актуальность темы исследования. Исследования по динамике капель и эмульсий в таких традиционных направлениях, как деформация и разрутиение капель в потоках и при ударах о поверхность, стабилизация и устойчивость эмульсий [35,39,41,69,75,84—87,90,117] связаны с такими технологическими процессами, как распыление топлива в двигателях внутреннего сгорания и ракетных двигателях, нанесение лакокрасочных покрытий на поверхность, струйная печать, капельное охлаждение, обработка растений химикатами, орошение посевов, технологическими процессами в пищевой и фармацевтической промышленности и многими другими. Вместе с тем в последние годы появились и новые направления исследования, связанные с созданием материалов, обладающих заданными характеристиками: нано-эмульсии и составные эмульсии [80,81]. Под составными понимаются эмульсии, в которых капли вязкой жидкости включают в себя другие жидкие включения в виде капель. Причем количество таких включений может варьироваться от нескольких до сотен в одной капле [64, 68]. Наличие структуры в каплях эмульсии усложняет моделирование и прогнозирование свойств таких систем.

Кроме того, свойства реальных жидких дисперсных систем, в том числе и эмульсий, могут существенно отличаться от модельных представлений. Наличие примесей в жидкости способно в ряде случаев существенно изменять свойства течения таких систем. Примеси могут добавляться к жидкости специально с целью управления динамикой капель, а могут присутствовать в жидкости естественным образом, как, например, в случае нефтяных эмульсий. Эффективность управления динамикой жидкостей с добавками примесей определяется уровнем понимания закономерностей, оперирующих в таких системах.

В эмульсии, как в-любой многофазной системе (суспензии, аэрозоли), существует два принципиально разных механизма взаимодействия капель.

Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между каплями. Примером может служить электростатическое взаимодействие, обусловленное наличием зарядов на поверхности капель. Причем такое взаимодействие может быть как во внешнем электрическом поле, так и существовать в отсутствии его. Исследование такого рода взаимодействий в эмульсиях, и вообще двухфазных средах, проводилось в многочисленных работах [2,36,37,42,45-47,56,64,65]. Такое взаимодействие представляет интерес при исследовании устойчивости и структурирования эмульсии: в результате действия таких сил возможна коалесценция капель или образование периодической структуры [33,58,77]. Изменение состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства среды в целом [60,61,72].

Второй механизм (связан с взаимодействием капель через движение несущей фазы (жидкость, газ): распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо капли зависит от расположения других капель. Движение одной капли влияет на движение всех остальных, и наоборот. Такое взаимодействие называется гидродинамическим и влияет на все процессы, происходящие в -жидких дисперсных системах, в том числе и эмульсии [4,5,9,12-14,25,30,32,49,53,59,63,71,78,95,105,126,127].

Как известно, моделирование взаимодействия и движения двух и более твердых частиц в вязкой жидкости оказалось сложной задачей: во-первых, граничные условия необходимо задавать на нескольких поверхностях, во-вторых, необходимо учесть искажения, внесенные в поток всеми частицами. В случае жидких частиц сложность возрастает, так как необходимо учитывать движение внутри самих жидких частиц. Еще более сложная задача, когда жидкие частицы имеют внутреннюю структуру, например, включают в себя еще другие жидкие частицы с отличными от основной жидкости плотностью и вязкостью. В этом случае необходимо учитывать взаимодействие внутри такой структуры между ее элементами и динамику изменения самой структуры в результате такого взаимодействия.

Для двух жидких сфер известно точное решение [43, 48, 73] осесим-метричной задачи, когда частицы движутся вдоль линии центров. В работе [107] строится точное решение для асимметричного случая, когда капли имеют скорости, перпендикулярные линии центров. Представлены численные результаты по расчету гидродинамических сил. В силу линейности задачи предлагаемое в [107] вместе с результатами [43,73] позволяет рассчитывать взаимодействие произвольно движущихся капель. В работе [108] в стоксо-вом приближении рассматривается осесимметричная задача о движении двух сферических капель в вязкой среде. Строится асимптотическое решение задачи, применимое при малой величине зазора между поверхностями сфер.

В работе [110] в рамках квазистационарных уравнений Стокса рассматривается гидродинамическое взаимодействие двух одинаковых, свободных от внешних сил жидких сферических частиц в линейном поле течения произвольного вида. Представлены численные результаты по расчету относительной скорости частиц, и интенсивности силовых диполей на сферах. Получены дальние и ближние асимптотические разложения соответствующих гидродинамических функций, с использованием метода многократных отражений.

Осесимметричная задача о медленном движении двух сферических капель в вязкой среде решена в работе [43]. Решение [43] обобщает результаты исследований [3,22,82,94]. Гидродинамические силы представлены в [43] бесконечными рядами. Эти ряды медленно сходятся и практически непригодны для численного счета, если зазор между поверхностями сфер мал. В работе [Юб] в стоксовом,приближении рассматривается осесимметричная задача о движении двух жидких сфер в вязкой среде. При малой величине зазора между поверхностями сфер строится асимптотическое решение. Рассмотрен также случай, когда одна из сфер является твердой. В [106] строится асимптотическое решение, применимое также в случае жидких сфер, расположенных одна внутри другой, что представляет интерес, например, при изучении движения капли, содержащей газовый пузырь. Найденное в [106] решение существенно отличается от известного асимптотического решения [31] для твердых сфер. В рассмотренных работах использовалась бисферическая система координат, что предполагает невозможным использование данного подхода для большого числа частиц.

Медленное движение двух соприкасающихся жидких сфер вдоль их линии центров рассмотрено в работе [70]. Гидродинамическое взаимодействие двух медленно испаряющихся частиц изучено в работе [67]. Влияние гидродинамического взаимодействия на коагуляцию (коалесценцию) двух капель описано в [96,99]. Расчет эффективности гравитационной коагуляции капель с учетом их внутренней циркуляции приведен в [109]. Влияние взаимодействия частиц на, реологические свойства (вязкость суспензии) дисперсных сред, содержащих твердые или жидкие частицы, изучалось в работах [1,6,8-10,14,16,17,19-21,23,24,26,27,29,38,40,50,76,91-93].

Столь пристальное внимание к задаче о двух частицах объяснялось желанием использовать найденное решение задачи о взаимодействии двух частиц при решении другой задачи - о взаимодействии большого числа капель. Для моделирования взаимодействия твердых частиц в настоящее время развиваются такие методы, как метод стоксовой динамики (J.F. Brady, G. Bossis, L.J. Durlofsky [17,18,34]), метод решеточного уравнения Больцмана (A.J.C. Ladd, R. Verberg [54,55] и R.R. Nourgaliev, T.N. Dinh, T.G. Theofanous, D. Joseph [66]), численное моделирование [57,136], позволяющее рассматривать дисперсные системы с большим количеством взвешенных частиц. Широко применяются методы молекулярной динамики, Монте-Карло, диссипа-тивных частиц. Метод конечных элементов (например, работы H.H. Ни [51], М. Behr [15]) использует численное интегрирование уравнений движения жидкости, предварительно разбивая на сегменты все пространство, занятое жидкостью. Этот метод позволяет находить решения при любых числах Рей-нольдса, а не только при малых. Недостатком этого метода является очень большое количество вычислений и необходимость работать с большими объемами данных. Даже в последнее время, когда возможности вычислительной техники выросли, применение метода конечных элементов для большого числа частиц является трудной задачей, так как требует большого объема вычислений. Существуют и другие методы построения решения для гидродинамического взаимодействия твердых частиц [28,100,104,135]. Однако, в настоящее время не существует достаточно точного и при этом несложного метода, позволяющего моделировать взаимодействие любого конечного числа твердых частиц, тем более это относится к случаю составных капель. Трудности моделирования возрастают при увеличении числа капель, взаимодействующих между собой, что сказывается на практической реализации вычислительных схем известных методов. Поэтому получение новых аналитических и численных результатов в этой области по-прежнему остается актуальной задачей.

Таким образом, несмотря на интенсивные исследования и современное развитие информационных технологий создание методов, позволяющих моделировать динамику ансамбля капель с учетом их структуры и взаимодействий как между собой, так и с несущим потоком жидкости, остается актуальной задачей.

Диссертация посвящена математическому моделированию гидродинамического взаимодействия и динамики капель составной эмульсии.

Объектом'исследования является составная эмульсия, представляющая собой дисперсную систему, в которой жидкие сферические частицы содержат твердые, жидкие или газообразные включения. Считается, что размеры частиц много больше, чем молекулы несущей жидкости, так что их броуновским движением можно пренебречь. Жидкости каждой из фаз несжимаемые и имеют постоянные вязкости и плотности. Рассматривается случай, когда число Рейнольдса меньше единицы, что позволяет для описания составной эмульсии использовать линейные уравнения Стокса.

Цель и задачи исследования. Цель работы - математическое моделирование динамики капель составной эмульсии с учетом их гидродинамического взаимодействия в потоках при малых числах Рейнольдса. В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

• разработка и программная реализация метода расчета гидродинамического взаимодействия составных капель эмульсии между собой и со своим включением в потоке вязкой несжимаемой жидкости;

• на основе разработанного метода получение аналитических выражений для сил, действующих на составные капли и на их включения;

• нахождение аналитических выражений для скоростей, приобретаемых каплями и их включениями в результате гидродинамического взаимодействия в однородном и линейном потоках вязкой жидкости;

• разработка метода'расчета средней скорости осаждения составных капель эмульсии в поле силы тяжести с учетом их структуры и проведение численного моделирования динамики осаждения капель и их включений;

• разработка метода'расчета эффективной вязкости составной эмульсии, с учетом гидродинамического взаимодействия капель и их структуры.

Методы исследования базируются на методах моделирования физических процессов, аналитических и численных методах решения уравнений математической физики. Решения уравнений Стокса записываются в виде мультипольного разложения с неизвестными тензорными коэффициентами, для нахождения которых используется метод разложения по малому параI метру. Аналитические решения систем линейных уравнений получены методом Гаусса. Для численного решения систем дифференциальных уравнений используется метод Рунге-Кутта.

В Главе 1 диссертации рассмотрена задача о гидродинамическом взаимодействии капель, помещенных в вязкую жидкость и содержащих внутри себя каплю другой вязкой жидкости. Одна из проблем при моделировании систем, содержащих свободные границы, это определение формы этой границы при движении системы. В случае эмульсии это связано с деформированием капель. Как было установлено еще в работах для одиночной капли [88,98], стационарный режим течения характеризуется обычно коэффициентом сопротивления частицы. Можно выделить три режима течения в зависимости от числа Рейнольдса Ле: (ползущее течение) - капля мало деформирована, почти сфера. С увеличением числа Ие — форма капли эллипсоидная, с увеличением П,е растет ее несимметричность - лобовая сторона более плоская, чем кормовая. В области умеренных чисел Яе начинаются колебания поверхности капли, что приводит к резкому возрастанию коэффициента сопротивления. При дальнейшем росте числа Ие возможна потеря устойчивости прямолинейного движения частиц, их колебания, а в дальнейшем переход на спиралевидную траекторию и в отдельных случаях даже их разрушение [79,89,97]. В диссертации рассматривается случай малых чисел Ее и форма капель считается сферической, поскольку в этом случае коэффициент сопротивления совпадает или немного меньше коэффициента сопротивления твердой сферы того же радиуса. Это позволяет использовать для моделирования гидродинамического взаимодействия капель подходы и методы, развитые О.К. Batchelor [11], О. Вобз1з [17], С.И. Мартыновым [114] для твердых сферических частиц. При этом, однако, сложность расчетов возрастает, так как необходимо учитывать движение жидкости внутри капли, в которой находится еще одна капля, взаимодействие с которой тоже необходимо брать в расчет. Таким образом, в составных эмульсиях имеется гидродинамическое взаимодействие капель между собой, которое в дальнейшем в работе называется внешним, и гидродинамическое взаимодействие капель со своими включениями, названное в работе внутренним.

В разделе 1.1 диссертации дается постановка задачи об обтекании произвольного конечного числа одинаковых капель составной эмульсии потоком вязкой жидкости и для двух капель, как частный случай общего. Так как рассматривается случай малых чисел Рейнольдса, при которых течения.описываются линейными уравнениями Стокса, то решение задачи о гидродинамическом взаимодействии большого числа частиц можно представить в виде суммы решений задач о гидродинамическом взаимодействии пар частиц, где суммирование берется по всем возможным комбинациям пар из заданной конфигурации частиц. Вместе с тем необходимо помнить, что такое представление недействительно для граничных условий на поверхности капель. Как отмечалось в работе [113], граничные условия являются интегральными в том смысле, что описывают суммарный вклад от взаимодействия выделенной капли со всеми остальными. Поэтому при решении задачи необходимо учитывать граничные условия на поверхностях всех капель. Так как при сделанных предположениях случай взаимодействия двух капель является основополагающим при моделировании динамики большого числа капель, в диссертации рассматривается случай линейного течения вязкой жидкости относительно двух капель. В силу того, что форма капель не меняется, а уравнения и граничные условия на поверхностях капель линейны по скорости, решение задачи можно представить в виде суммы решений задач о гидродинамическом взаимодействии частиц собственно в линейном потоке и в однородном потоке. В последнем случае рассматривается осесимметричное течение (скорость жидкости или капель направлена вдоль прямой, соединяющей их центры) и асимметричное (скорость жидкости или капель направлена перпендикулярно прямой, соединяющей их центры). Причем такое представление справедливо и для представления гидродинамического взаимодействия капли со своей составной внутри себя.

В разделе 1.2 дается метод решения задачи. Сущность метода заключается в представлении решений уравнений Стокса в виде мультиполыго-го разложения с неизвестными тензорными коэффициентами. Форма записи тензорных коэффициентов определяется видом невозмущенного потока жидкости. В работах [113-115] дается алгоритм построения таких тензорных коэффициентов любого порядка. Скалярные коэффициенты, входящие в тензорные, определяются из граничных условий. Подобный метод использовался для решения задачи о взаимодействии двух простых капель с изменяемой формой поверхности [117]. Главное его отличие от использовавшегося ранее метода при решении подобной задачи [110] в том, что он позволяет обобщить его на случай большого числа частиц, например трех и более [119]. Метод не требует больших вычислительных затрат (все числовые значения параметров могут быть найдены на персональном компьютере с хорошей точностью) и реализуется в любой проблемно-ориентированной системе например, МаЛетаМса. На его основе в работах [102, 122] разработаны и программно реализованы методы по расчету взаимодействий большого числа твердых частиц в облаке и бесконечного числа частиц в периодическойфешетке произвольной симметрии. Результаты работы [102] свидетельствуют, что динамика частиц в облаке имеет сложный характер: скорость частиц внутри облака больше, чем на его краю. Это приводит к относительному движению частиц внутри облака и его деформации в результате гидродинамического взаимодействия. Однако средние кинематические характеристики частиц в облаке таковы, что они практически не зависят от конфигурации облака, а их зависимость от числа взаимодействующих частиц такова, что асимптотаз ческие значения достигаются уже при учете только, примерно, несколько сот взаимодействующих частиц. Это означает, что для корректного учета вклада взаимодействия частиц в выражения для средних характеристик смеси оказывается достаточным учитывать вклад не всех частиц, а только части, причем число учитываемых частиц имеет разумные для численного счета значения.

В разделах 1.3-1.6 даются решения, соответствующие приведенному выше разбиению общей задачи о гидродинамическом взаимодействии капель, и приведены выражения для тензорных коэффициентов. Выражения для скалярных коэффициентов получены методом разложения по малому параметру. В качестве малого параметра в задаче о внешнем гидродинамическом взаимодействии двух составных капель берется отношение радиуса составной капли к расстоянию между центрами капель. В задаче о внутреннем гидродинамическом взаимодействии - отношение расстояния между центрами капель к радиусу меньшей. Вычисления проделаны с точностью до г4, однако их можно проделать с большей точностью.

Одна из важнейших задач при моделировании динамики многофаз

I» ных сред вообще и эмульсии в частности состоит в определении сил, действующих на каждую из фаз. Для одиночной капли Л. Нас1атагс1 [44] и ЯуЬсгупзк! [74] нашли аналитическое решение. Они показали, что в этом случае капля является сферой, внутри которой образуется вихрь, а внешний поток антисимметричен относительно экваториальной плоскости капли, перпендикулярной скорости потока далеко'от частицы. Ими же был вычислен коэффициент сопротивления капли.

В работах А.З. Зинченко [106], О. Н^вют [43] находилась сила, действующая на каплю в результате гидродинамического взаимодействия при малых числах Ле. При Не > 1 получить точное аналитическое решение даже для сферической капли невозможно, поэтому для построения численного решения используются численные методы [57,136]. В Главе 2 диссертации на основе полученных выражений для скорости и давления вне и внутри составной капли найдены выражения для силы, действующей на капли в результате гидродинамического взаимодействия. Силы найдены с точностью до слагаемых е4.

Для каждой из задач можно рассмотреть два предельных случая. Первый случай получается при равенстве нулю радиуса включения. При этом, полученные в диссертационной работе результаты, совпадают с полученными в [106-108,110,114,116,117] решениями задачи о взаимодействии двух жидких сферических частиц, находящихся в линейном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Второй предельный случай - случай очень большой вязкости жидкости в слое, окружающем включение. В этом случае получаем выражения для сил и скоростей, действующих на две твердые частицы в сдвиговом потоке вязкой жидкости, приведенные в [11,52,62,113,118-121,137].

В Главе 3 диссертации рассматривается влияние взаимодействия капель на динамику эмульсии.

В разделе 3.1 решается осесимметричная задача, а в разделе 3.2 - асимметричная задача об осаждении составных капель.

Практический интерес представляет вопрос о скорости седиментации капель в вязкой жидкости под действием силы тяжести. Эта скорость зависит от многих факторов: вязкости каждой из фаз дисперсной системы, размеров и структуры включений и т.д. В разделе 3.3 решена задача об определении средней скорости осаждения капель составной эмульсии. Учитывается гидродинамическое взаимодействие капли с ее составляющей. Распределение капель в эмульсии предполагается случайным с однородной средней числовой плотностью. Распределение включений также предполагается случайным. Для определения средней скорости использовался подход, разработанный в.К. Batchelor [7] для суспензии.

Важной чертой метода является то, что в нем учитывается неоднородность плотности вероятности вектора, разделяющего центры двух сфер. Дифференциальное уравнение для функции плотности вероятности можно найти способом, предложенным для течения сдвига.

В разделе 3.4 предложена модель расчета вязкости составной эмульсии. При решении задачи необходимо учитывать движение жидкости в каждой из оболочек внутри капли. Такая задача с соответствующими граничными условиями была решена в приближении Стокса в Главе 1 диссертации. На основе предложенной математической модели рассчитано, что во всех рассмотренных случаях наличие включений в каплях приводят к увеличению вязкости эмульсии по сравнению со случаем чистых капель.

В заключении приводятся основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Разработан аналитический метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии капель составной эмульсии, включая взаимодействие капли со своим включением.

Предложенным методом решены задачи: о гидродинамическом взаимодействии капель составной эмульсии в линейном и однородном потоках. Найдены выражения для сил, действующих на каплю и ее составляющую.

Решена задача об осаждении капель составной эмульсии в поле силы тяжести. Найдена средняя скорость осаждения капель с учетом динамики их включений. Показано, что динамика включений оказывает существенное влияние на скорость осаждения составных капель.

Определена эффективная вязкость составной эмульсии. Найдено, что при всех рассмотренных параметрах капли и включения вязкость составной эмульсии выше, чем простой.

Достоверность полученных результатов следует из того, что они получены из общих уравнений и законов движения жидкости с помощью строгих математических выводов, математическими методами исследования. Решения задач, найденные предлагаемым методом, для известных частных случаев совпадают с результатами, полученными другими методами.

Практическая значимость результатов исследования. Полученные в диссертации результаты позволяют глубже понять механизм гидродинамического взаимодействия в эмульсии для создания новых моделей и могут быть использованы при расчетах динамики капель составной эмульсии в потоках в различных приложениях.

Основные результаты, выносимые на защиту:

• метод расчета гидродинамического взаимодействия составных капель эмульсии между собой и со своим включением в потоке вязкой несжимаемой жидкости и его программная реализация;

• аналитические выражения для сил, действующих на составные капли и их включения в результате гидродинамического взаимодействия в линейном и однородном потоках;

• аналитические выражения для скоростей, приобретаемых каплями и их включениями в результате гидродинамического взаимодействия в однородном и линейном потоках; I

• метод расчета средней скорости осаждения составных капель эмульсии в поле силы тяжести с учетом их структуры и результаты численного моделирования динамики осаждения капель и их включений;

• метод расчета эффективной вязкости составной эмульсии с учетом гидродинамического взаимодействия составных капель и их структуры, а также результаты численного расчета эффективной вязкости составной эмульсии при различных значениях параметров.

Апробация результатов.

Основные результаты диссертационного исследования обсуждались на семинарах Средневолжского математического общества (г. Саранск, 2007, 2010 гг.), на Третьей международной школе-семинаре "Математическое моде-лированрте, численные методы и комплексы программ "(г. Саранск, 2007 г.), на научном семинаре кафедры высшей математики Югорского государственно» го университета (г. Ханты-Мансийск, 2008, 2009, 2010 гг.), на IX конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании" (г. Саранск, 2010 г.), на III международной конференции "Математическое моделирование социальной и экономической динамики"(ММЗЕБ-2010, г. Москва, 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них три из списка изданий, рекомендованных экспертным советом ВАК по управлению, вычислительной технике и информатике для публикации результатов диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Общий объем работы составляет 121 лист машинописного текста. Диссертация содержит 68 рисунков, 1 таблицу и список литературы из 137 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрена задача моделирования взаимодействия и динамики составных капель эмульсии в стационарном потоке вязкой жидкости. Основные результаты работы следующие:

• Разработан метод, позволяющий рассчитывать гидродинамическое взаимодействие капель составной эмульсии в потоке вязкой несжимаемой жидкости. Учитывается как внутреннее, так и внетпнее гидродинамическое взаимодействие.

• С использованием предложенного метода получены выражения для сил, действующих на капли и их включения, определены скорости капель, приобретаемых ими в результате гидродинамического взаимодействия между собой и своими включениями.

• Проведено численное моделирование динамики осаждения капель с помощью программы, разработанной в системе Ма^ета^са. Найдены траектории движения как самой капли, так и ее включений. Рассчитана средняя скорость осаждения капель составной эмульсии в поле силы тяжести с учетом относительного движения ее включения.

• Разработана процедура расчета эффективной вязкости составной эмульсии с учетом гидродинамического взаимодействия составных капель. Получено выражение для эффективной вязкости составной эмульсии. Проведен анализ численных значений найденной эффективной вязкости при различных значениях параметров. Найдено, что во всех рассмотренных случаях наличие включений в каплях приводят к увеличению вязкости эмульсии по сравнению со случаем однородных капель.

1. Acrivos A. The rheological properties of suspensions of rigid particles / A. Acrivos, D.J. Jeffrey // AIChE Journal. 1976. - V. 22, N 3. P. 417432.

2. Adler P.M. Influence of colloidal forces on a closely-fitting sphere in a fluid-filled tube / P.M. Adler // Phys. Chem. Hydrod. 1983. - V. 4, N 1. -P. 1-10.

3. Bart E. The slow unsteady settling of a fluid sphere toward a flat fluid interface / E. Bart // Chem. Engng Sci. 1968. - V.23, N 3. - P. 193-210.

4. Bartok W. Partical motions in sheared suspensions. VII. Internal Circulation in Fluid Droplets / W. Bartok, S.G. Mason // J. Colloid Sci.1958. V. 13. - P. 293-307.

5. Bartok W. The behaviour of suspended particles in laminar shear / W. Bartok, S.G. Mason // Rheology of disperse systems.- Pergamon Press.1959. P. 16-48.

6. Batchelor G.K. The stress system in a suspension of forsce free particles / G.K. Batchelor // Journal of Fluid Mechanics. 1970. - V. 41, pt. 2. -P. 545-570.

7. Batchelor G.K. Sedimentation in dilute dispersion of spheres / G.K. Batchelor // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 52, pt. 2 -P. 245-268.

8. Batchelor G.K. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles to order c2 / G.K. Batchelor, J.T. Green // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 56, pt. 3. - P. 401-427.

9. Batchelor G. К. Brownian Diffusion of Particles with Hydrodynamic Interaction / G.K. Batchelor // Journal of Fluid Mechanics. 1976. -V. 74, pt. 1. - P. 1-29.

10. Batchelor G.K. The effect of brownian motion on the bulk stress in a suspension of spherical particles / G.K. Batchelor // Journal of Fluid Mechanics. 1977. - V. 83, pt. 1. - P. 97-117.

11. Batchelor G.K. Sedimentation in dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 1. General theory / G.K. Batchelor // Journal of Fluid Mechanics. 1982. - V. 119. - P. 379-408.

12. Batchelor G.K. Sedimentation in dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 2. Numerical results / Batchelor G.K., Wen C.S. // Journal of Fluid Mechanics. 1982. - V. 124. - P. 495-528.

13. Batchelor G.K. Diffusion in a dilute polydisperse system of interacting spheres / G.K. Batchelor, C.S. Wen // Journal of Fluid Mechanics. 1983. -V. 131. - P. 155-178.

14. Behr M. Finite element solution strategies for large-scale flow simulations / M. Behr, Т.Е. Tezduyar // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1994. - V. 112. - P. 3-24.i

15. Bird R.B. Kinetic theory and rheology of dumbbel suspensions with brownian motion / R.B. Bird, H.R. Warner, Jr., D.C. Evans // Adv. Polymer Sci. 1971. - V. 8. - P. 1-90.

16. Brady J.F. The rheology of concentrated suspensions of spheres in simple shear flow by numerical simulation / J.F. Brady, G. Bossis // Journal of Fluid Mechanics. 1985. - V. 155. - P. 105-129.

17. Brady J.F. The sedimentation rate of disordered suspensions / J.F. Brady, L.J. Durlofsky // Phys. Fluid. 1988. - V. 31. - P. 717-727.

18. Brenner H. Rheology of Dilute Suspension of dipolar sperical particles in an external field / H. Brener //J. Colloid Interface Sci. 1970. - V. 32, N 1. -P. 141-156.

19. Brenner H. Suspension rheology / H. Brener // Progressiv heat and mass transfer. Pergamon Press. - 1972. — V. 5.

20. Brenner H. On the Stokes resistance of multiparticle systems in a linear shear field / H. Brenner, M.E. Neill // Chem. Engng Sci. 1972. - V. 27. -P. 1421.

21. Brenner H. The slow motion of a sphere through a viscous fluid towards a plane wall / H. Brenner // Chem. Engng Sci. 1961. - V. 16, N 3/4. -P. 242-251.

22. Casson N. A flow equation for pigment-oil suspensions of the printing ink type / N. Casson // Rheology of disperse systems. Pergamon Press. -1959. -P. 84-103.

23. Chan D. Rheology of suspensions of spherical particles in Newtonian and non-Newtonian fluid / D. Chan, R.L. Powell // J. of Non-Newtonian Fluid Mech. 1984. - V. 15. - P. 165-179.

24. Chanamai R. Dependence of creaming and rheology of monodisperse oil-in-water emulsions on droplet size and concentration / R. Chanamai,

25. D.J. McClements // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 2000. - V. 172, Issue 1-3. - P. 79-86.

26. Chang C. Dynamic simulation of bimodal suspensions of hydrodynamically interacting spherical particles / C. Chang, R. Powell // Journal of Fluid Mechanics. 1992. - V. 253. - P. 1-25.

27. Chang C. The rheology of bimodal hard-spheres dispersions / C. Chang, R. Powell // Phys. Fluids. -1994. V. 6. - P. 1628-1636.

28. Chapman A.M. Oscillatory Stokes flow in periodic porous media / A.M. Chapman and J.J.L. Higdon // Physics of Fluids A. 1992. - V. 4, N 10. - P. 2099-2116.

29. Cindino B. On the non-Newtonian behaviour of suspensions / B. Cindino, L. Nicodemo, P. Masi // Rheologica Acta. 1987. - V. 26. - P. 100-101.

30. Chunga C. Numerical study on the dynamics of droplet passing through a cylinder obstruction in confined microchannel flow / C. Chunga, K.H. Ahn and S.J. Leea // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 2009. -V. 162, Issue 1-3. - P. 38-44.

31. Cooley M.D.A. On the slow motion of two spheres in contact along their line of centres through a viscous fluid / M.D.A. Cooley, M.E. O'Neill // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1969. - V. 66, N 2. - P. 407-415.

32. Devarakonda V. Effect of inter-particle interactions on evaporation of droplets in a linear array / V. Devarakonda and A.K. Ray // Journal of Aerosol Science. 2003. - V. 34, Issue 7. - P. 837-857.

33. Dickinson E. Structured emulsions / E. Dickinson // Current Opinion in Colloid and Interface Science. 2010. - V. 15, Is. 1-2. - P. 40-49.

34. Durlofsky L. Dynamic simulation of hydrodynamically interacting particles / L. Durlofsky, J.F. Brady and G. Bossis // Journal of Fluid Mechanics. 1987. - V. 180. - P. 20-49.

35. Engel O.G. Damage produced by high-speed liquid-drop impacts / O.G. Engel //J. Appl. Phys. 1973. - V. 44, N 2. - P. 692-704.

36. Fingas M. Water-in-oil emulsions results of formation studies and applicability to oil spill modelling / M. Fingas, Y. Okub, T. Ogiharab and H. Takudaa // International Journal of Multiphase Flow. 1999. - V. 5, Is. 1. - P. 81-91.

37. Goldman A.I. Investigations in low Reynolds number fluid-particle dynamics / A.I. Goldman //J. Fluid Mech. 1966. - V. 32. - P. 705720.i

38. Goldsmith H.L. The microrheology of dispersions / H.L. Goldsmith, S.G. Mason // Rheology. 1979. - V. 5. - P. 85.

39. Gordon G.D. Mechanism and speed of breakup of drops / G.D. Gordon // J. Appl. Phys. 1959. - V. 30, N 11. - P. 1759-1761.

40. Goren S.L. The normal force exerted by creeping flow on a small sphere touching a plane / S.L. Goren //J. Fluid Mech. 1970. - V. 41,Pt. 3. -P. 619-625.

41. Grace J.R. Shapes and velocities of single drops and bubbles moving freely through immiscible liquids / J. R. Grace, T. Wairegi, T.H. Nguyen // Trans. Inst. Chem. Eng. 1976. -V. 54, N 3. - P. 167-173.

42. Guobiao M. A method for computing Stokes flow interacting among spherical objects and its application to suspensions of drops and porousparticlcs / M. Guobiao, A.S. Sangani //J. Phys. Fluids. 1994. - V. 6. -P. 1637-1652.

43. Haber S. On the low Reynolds number motion of two droplets / S. Haber, G. Hetsroni, A. Solan // J. Multiphase Flow. 1973. - V. 1. - P. 57-71.

44. Hadamard J. Movement permanent lent d'une sphere liquide et visqueuse dans un liquide visqueux / J. Hadamard // Acad. sci. 1911. - V. 152, N 25. - P. 1735-1741.

45. Hamielec A.E. Numerical solution of the Navier-Stokes equation for flow past spheres: Part 1. Viscous flow around spheres with and without efflux / A.E. Hamielec, T.W. Hoffman, L.L. Ross // AIChE Journal. 1967. -V. 13, N 2. - P. 212-219.

46. Hamielec A.E. Numerical solution of the Navier-Stokes equation for flow past spheres: Part 2. Viscous flow around circulating spheres of low viscosity / A.E. Hamielec, T.W. Hoffman, L.L. Ross // AIChE Journal. -1967. V. 13, N 2. L P. 220-224.

47. Happer J.F. The motion of bubbles and drops through liquids / J.F. Happer // Adv. Appl. Mech. 1972 - V. 12. - P. 59-129.

48. Hetsroni G. Low Reynolds number motion of two drops submerged in an unbounded arbitrary velocity field / G. Hetsroni // Internat. J. Multiphase Flow. 1978. - V. 4, N 1. - P. 1-17.

49. Hetsroni G. The flow feilds in and around a droplet moving axially within in tube / G. Hetsroni, S. Haber, A. Wacholder // J. Fluid Mech. 1970. -V. 41. - P. 689-705.

50. Hinch E.J. The primary electroviscous effect in a suspension of spheres with thin double layers / E.J. Hinch, J.D. Sherwood //J. Fluid Mech. 1983. -V. 132. - P. 337-347.

51. Hu H.H. Direct simulation of flows of solid-liquid mixtures / H.H. Hu // International Journal of Multiphase Flow. 1996. - V. 22, N 2. - P. 335-352.

52. Jeffery G.B. On the steady rotation of a solid of revolution in a viscous fluid / G.B. Jeffery // Proc. London Math. Soc. Ser.2. 1915. - V. 14, N 1242. - P. 327-338.

53. Kleinstreuer C. Fluid dynamics and heat transfer with phase change of multiple sperical droplets in a laminar axisymmetric gas stream /

54. C. Kleinstreuer, J.K. Comera and H. Chiang // International Journal of Heat and Fluid Flow. 1993. - V. 14, Is. 3. - P. 292-300.

55. Ladd A.J.C. Numerical Simulations of Particulate Suspensions via a Discretized Boltzmann Equation. Part II. Numerical results / A.J.C. Ladd // Journal of Fluid Mechanics. 1994. - V. 271. - P. 311339.

56. Ladd A.J.C. Lattice-Boltzmarm Simulations of Particle-Fluid Suspensions / A.J.C. Ladd, R. Verberg // Journal of Statistical Physics. 2001. - V. 104, N 5/6. - P. 1191-1251.

57. Langemann D. Modelling a droplet moving in an electric field /

58. D. Langemann // Mathematics and Computers in Simulation. 2005. -V. 68, Is. 2. - P. 157-169.

59. Langtangen H.P. Numerical methods for incompressible viscous flow / H.P. Langtangen, K.-A. Masdal, R. Winther // Advances in Water Resources. 2002. - V. 25. - P. 1125-1146.

60. Leal-Calderona F. Structured emulsions / F. Leal-Caldcrona, F. Thivilliersb, V. Schmittb // Current Opinion in Colloid and Interface Science. 1999. -V. 4, Is. 3. - P. 231-238.

61. Lorenzoa G. Modeling rheological properties of low-in-fat o/w emulsions stabilized with xanthan/guar mixtures / G. Lorenzoa, N. Zaritzkya, A. Califanoa // Food Research International. 2008. - V. 41, Is. 5. - P. 487494.

62. Martynov S.I. Influence of interaction between perticles on the viscosity of a suspension / Martynov S.I. Preprint Series, Institute of Mathematics, University of Oslo. - 1989. - N 4. - 7 p.

63. Martynov S.I. Viscosity of suspension: some aspects of the problem / Martynov S.I. Preprint Series, Institute of Mathematics, University of Oslo. - 1990. - N 1. - 7 p.

64. Martynov S.I. The hydrodinamic interaction of two spherical particles in viscous fluid / S.I. Martynov // 7th Israeli-Norwegian Symposium "Fluid Mechanics of Heterogeneous Systems". Trondheim, Norway. - 1994. -P. 67-69.

65. Masona T.G. New fundamental concepts in emulsion rheology / T.G. Masona // Current Opinion in Colloid and Interface Science. 2007. -V. 12, Is. 4-5. - P. 206-212.

66. Muschiolika G. Multiple emulsions for food use / G. Muschiolika // Current Opinion in Colloid and Interface Science. 2007. - V. 12, Is. 4-5. - P. 213220.

67. Mishchuka N.A. Interparticle interactions in concentrate water-oil emulsions / N.A. Mishchuka, A. Sanfeldb, A. Steinchenb // Advances in Colloid and Interface Science. 2004. - V. 112, Is. 1-3. - P. 129-157.

68. The lattice Boltzmann equation method: theoretical interpretation, numerics and implications / R.R. Nourgaliev, T.N. Dinh, T.G. Theofanous, D. Joseph // International Journal of Multiphase Flow. 2003. - V. 29. -P. 117-169.

69. Oguz H.N. The hydrodynamic interaction of two slowly evaporating spheres / H.N. Oguz, A. Prosperetti, D. Antonelli // Phys. Fluids A. -1989. V. 1, N 10. - P. 1656-1665.

70. Pal R. Viscosity models for multiple emulsions / R. Pal // Food Hydrocolloidse. 2008. - V. 22, Is. 3. - P. 428-438.

71. Rallison J.M. A numerical study of the deformation and burst of a viscous drop in an extensional flow / J.M. Rallison, A. Acrivos //J. Fluid Mech. -1978. V. 89, N 1. - P. 191-200.

72. Reed L.D. The slow motion of two touching fluid spheres along their line of centers / L.D. Reed, F.A. Morrison // Int J. Multiphase Flow. 1974. -V. 1, N 4. - P. 573-584.

73. Reis N.C. Parametric study of liquid droplets impinging on porousisurfaces / N.C. Reis, R.F. Griffithsb, J.M. Santosa // Applied Mathematical Modelling. 2008. - V. 32, Is. 3. - P. 341-361.

74. Robins M.M. Emulsions creaming and rheology / M.M. Robins, A.D. Watson and P.J. Wilde // Current Opinion in Colloid and Interface Science. - 2002. - V. 7, Is. 5-6. - P. 419-425.

75. Rushton E. The slow unsteady settling of two fluid spheres along their line of centres / E. Rushton, G.A. Davies // Appl. Sci. Res. 1973. - V. 28, N 1/2. - P. 37-61.

76. Rybczynski W. Uber die fortschreitende Bewegung einer flüssigen Kugel in einem zähen Medium / W. Rybczynski // Bull. Int. Acad. Sei. Cracovia. -1911. Ser. A, N 1. - P. 40-46.

77. Saikia Y. Effects of droplet deformability on emulsion rheology / Y. Saikia, C.A. Prestidge, R.G. Horna // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engincering Aspects. 2007. - V. 299, Is.s 1-3. - P. 65-72.

78. Sasmi Selim M. Brownian diffusion of hard spheres at finite concentrations / M. Sasmi Selim, M.A. Al-Naafa, M.C. Jones // AIChE J. 1993. - V. 39, N 1. - P. 3-16.

79. Schowalter W.R. Stability and coagulation of colloids in shear fields / W.R. Schowalter // A. Rev. Fluid Mech. 1984. - V. 16. - P. 245-261.

80. Shapira M. Low Reynolds number motion of a droplet in shear flow including wall effects / M. Shapira, S. Haberaa // International Journal of Multiphase Flow. 1990. - V. 16, Is.s 2. - P. 305-321.

81. Schroeder R.R. Oscillations of drops falling in a liquid field / R.R. Schroeder, R.C. Kintner // AIChE Journal. 1965. - V.ll, N 1. - P. 5-8.

82. Nano-emulsions / C. Solans, P. Izquierdo, J. Nolla, N. Azemar, M.J. Garcia-Celma // Current Opinion in Colloid and Interface Sciencc. 2005. - V. 10, Is.s 3-4. - P. 102-110.

83. Somasundaran P. Silicone emulsions / P. Somasundaran, S.C. Mehtaa, P. Purohita // Current Opinion in Colloid and Interface Science. 2006. -V. 128-130. - P. 103-109.

84. Stimson M. The motion of two spheres in a viscous fluid / M. Stimson, G.B. Jeffrey // Proc. Roy. Soc. 1926. - V. Alll. - P. 110.

85. Tana Y. Monodispersed microfluidic droplet generation by shear focusing microfluidic device / Y. Tana, V. Cristinia, A.P. Leea // Sensors and Actuators B: Chemical. 2006. - V. 114, Is. 1. - P. 350-356.

86. Taylor G.I. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes / G.I. Taylor // Proc. R. Soc. Lond. 1950. -V. 201, N 1065. - P. 192-196.

87. Taylor G.I. The formation of emulsions in definable fields of flow / G.I. Taylor // Proc. R. Soc. Lond. 1934, - V. 146, N 858. - P. 501-523.

88. Taylor T.D., Acrivos A. On the deformation and drag of a falling viscous drop at low Reynolds number / T.D. Taylor, A. Acrivos //J. Fluid Mech. -1964. -V. 18, N 3. P. 466-476.

89. Temkin S. Droplet motion included by weak shock waves / S. Temkin, S.S. Kim // J. Fluid Mech. 1980. - V. 96, pt. 1. - P. 133-157.

90. Thorsen G. On the terminal velocity of circulating and oscillating liquid drops / G. Thorsen, R.M. Stordalen, S.G. Terjesen // Chem. Eng. Sci. -1968. V. 23, N 5. - P. 413-427.

91. Ultimate velocity of drops in stationary liquid media / M. Warshay, E. Bogusz, A.I. Johnson, R.C. Kintner // Can. J. Chem. Eng. 1959. -V. 37, N 1. - P. 29-36.

92. Valentine R.S. The motion of drops in viscous media / R.S. Valentine, W.F. Sather, W.I. Heideger // Chem. Eng. Sci. 1965. - V. 20. - P. 719-728.

93. Van De Ven T.G. Interactions between colloidal particles in simple shear flow / T.G. Van De Ven // Adv. Colloid Interface Sci. 1982. - V. 17. -P. 105-127.

94. Wacholder E. Slow motion of a fluid sphere in the vicinity of another sphere or a plane boundary / E. Wacholder, D. Weihs // Chem. Engng Sci. -1972. V. 27, N 10. - P. 1817-1828.

95. Wacholder E. The hydrodynamic interaction of two unequal spheres moving under gravity through quiescent fluid / E. Wacholder, N.F. Sather //J. Fluid. Mech. 1974. - V. 65. - P. 417-437.

96. Wang H. The collision rate of small drops in linear flow fields / H. Wang, A.Z. Zinchenko, R.H. Davis //J. Fluid Mech. 1994. - V. 265. - P. 161188.

97. Wellek R.M. Shape of liquid drops moving in liquid media / R.M. Wellek, A.K. Agrawal, A.H.P. Skelland // AIChE Journal. 1966. -V. 12, N 5. P. 854-862.

98. Winnikov S. Droplet motion in purified system / S.Winnikov, B.T. Chao // Phys. Fluids 1966. - N 1. - P. 50-61.

99. Zinchenko A.Z. Gravity-induced coalescence of drops at arbitrary Peclet numbers / A.Z. Zinchenko, R.H. Davis // J. Fluid Mech. 1994. - V. 280. -P. 119-148.

100. Yoon B.J. A boundary collocation method for the motion of two spheroids in Stokes flow: hydrodynamic and colloidal interactions /B.J. Yoon, S. Kim // J. Multiphase Flow. 1990. - V. 16, N. 4. - P. 639-649.

101. Баранов B.E. Осаждение большого числа частиц в вязкой жидкости /

102. B.Е. Баранов, И.П. Борискина, С.И. Мартынов // Тез. докл. Международной летней научной школы, 16-22 июня 2002, Чебоксары. Казан, матем. общ. - 2002. - С. 34-35.

103. Баранов В.Е. Влияние гидродинамического взаимодействия на скорость осаждения большого числа частиц в вязкой жидкости / В.Е. Баранов,

104. C.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004. -N 1. - С. 84-91.

105. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. М. : Мир, 1973. - 760 с.

106. Воинов О.В. Общие методы представления решений уравнений Стокса и метод расчета течений вязкой жидкости / О.В. Воинов // Доклады РАН. 2005. - Т. 405, N 5. - С. 625-629.

107. Волны в жидкостях с пузырьками / A.A. Губайдулин, А.И. Ивандаев, Р.И. Нигматулин, Н.С. Хабеев // Итоги пауки и техники. Механика жидкости и газа. ВИНИТИ. 1982. - Т. 17. - С. 160-249.

108. Зинченко А.З. К расчету гидродинамического взаимодействия капель при малых числах Рейнольдса / А.З. Зинченко // Прикладная математика и механика. 1978. - Вып. 5. - С. 955-959.

109. Зинченко А.З. Медленное асимметричное движение двух капель в вязкой среде / А.З. Зинченко // Прикладная математика и механика. -1980. Т. 44, Вып. 1. - С. 49-59.

110. Зиттченко А.З. Расчет близкого взаимодействия капель с учетом внутренней циркуляции и эффектов скольжения / А.З. Зинченко // Прикладная математика и механика. 1981. - Вып. 4. - С. 759-763.

111. Зинченко А.З. Расчет эффективности гравитационной коагуляции капель с учетом их внутренней циркуляции / А.З. Зинченко // Прикладная математика и механика. 1982. - Т. 46, Вып. 1. - С. 72-82.

112. Зинченко А.З. Гидродинамическое взаимодействие двух одинаковых жидких сфер в линейном поле течения / А.З. Зинченко // Прикладная математика и механика. 1983. - Т. 47, Вып. 1. - С. 759-763.

113. Ламб Г. Гидродинамика / Г. Ламб ; пер. с 6-го англ. изд. A.B. Гермо-генова, В.А. Кудрявцева ; под ред. проф. H.A. Слезкина. М. ; Л. : ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1947. - 929 с.

114. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. 3-е изд., перераб. - М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1986. - 736 с.

115. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие частиц / С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1998. - N 2. -С. 112-119.

116. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в суспензии / С.И. Мартынов. -Казань : Изд-во Казан, матем. о-ва, 1998. 135 с.

117. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости / С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2000. - N 1. - С. 84-91.

118. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие двух капель в вязкой несжимаемой жидкости / С.И. Мартынов // Тезисы докладов 2ой Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 1996. - С. 91.

119. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие и деформация капель / С.И. Мартынов // Инж.-физ. ж. 2001. - Т 74, N 3. - С. 155-160.

120. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие трех сферических частиц в вязкой несжимаемой жидкости / С.И. Мартынов // Тезисы докладов 2-ой Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск. - 1996. - С.92.

121. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие трех сферических частиц в вязкой несжимаемой жидкости / С.И. Мартынов // Мат. мо-дел. 1997. - Т. 9, N 10. - С. 16.

122. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие частиц в вязкой жидкости / С.И. Мартынов // Тезисы докладов школы "Современные проблемы механики и прикладной математики". Воронеж. - 1998. -С. 172.

123. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скоростей / С.И. Мартынов // Тезисы докладов 3-й Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск. - 1998. - С. 152.

124. Мартынов С.И. Симметрия периодической решетки частиц и потока вязкой жидкости в,приближении Стокса / С.И. Мартынов, А.О. Сыро-мясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2007. - N 3. -С. 7-20.

125. Мартынов С.И. Численное моделирование осаждения составных капель эмульсии / С.И. Мартынов, Т.В. Пронькина // Системы управленияи информационные технологии. Москва-Воронеж, 2009.-N 3.2(37). -С. 267-271.

126. Мартынов С.И. Моделирование взаимодействия капель в линейном потоке и вязкость эмульсии / С.И. Мартынов, Т.В. Пронькина // Информационные системы и технологии. Орел, 2010.-N 3. - С. 86-90.

127. Мартынов С.И. Составная капля эмульсии в однородном потоке вязкой жидкости / С.И. Мартынов, Т.В. Пронькина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. Математика. Пенза, 2010. - N 2. - С. 85-93.

128. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И. Нигмату-лин. М. : Наука, 1978. - 336 с.

129. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. В 2 т. Т. 1,2 / Р.И. Нигматулин. М. : Наука, 1987.

130. Пронькина ТВ. О влиянии включений в каплях на вязкость эмульсий / Т.В. Пронькина // Образование, наука и техника: XXI век: сб. науч. ст. Югорский гос. ун-т. Ханты-Мансийск, 2007. - Вып. 5. - С. 136-139.

131. Пронькина Т.В. Вязкость составной эмульсии / Т.В. Пронькина // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2007. -Т.9, N 2. - С. 136-139.

132. Пронькина Т.В. Взаимодействие составных капель эмульсии в линейном потоке / Т.В. Пронькина // Образование, наука и техника: XXI век: сб. науч. ст. Югорский гос. ун-т. Ханты-Мансийск, 2008. - Вып. 6. -С. 141-143.

133. Пронькина Т.В. Обтекание составной капли эмульсии линейным потоком вязкой жидкости / Т.В. Пронькина // Вестник Югорского государственного университета. Ханты-Мансийск, 2009. - Вып. 2(13). -С. 77-79.

134. Пронькина Т.В. Осесимметричная задача об осаждении взаимодействующих капель / Т.В. Пронькина // Образование, наука и техника: XXI век: сб. науч. ст. Югорский гос. ун-т. Ханты-Мансийск, 2009. -Вып. 7. - С. 67-68.

135. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости / Дж. Серрин., М. : Иностранная литература, 1963. 256 с.

136. Урьев Н.Б. Моделирование динамического состояния дисперсных систем / Н.Б. Урьев, И.В. Кучин // Успехи химии. 2006. - Т. 75, N 1. -С. 36-63.

137. Флегчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2 т. Т. 2. Методы расчета различных течений / К. Флетчер ; пер. с англ. В.Ф. Ка-менецкого ; под ред. Л.И. Турчака. М. : Мир, 1991. - 552 с.

138. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хап-пель, Г. Бреннер. М. : Мир, 1976. - 632 с.