автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы решения операторных уравнений в условиях неопределенности

На правах рукописи

РГй од 1 з и т

Штаркман Анатолий Абрамович

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ Б УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

05.13.18. — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук /

Челябинск 2000

Работа выполнена в Челябинском государственном университете кафедре вычислительной математики.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор В. П. Танана

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

Ведущая организация — Уральский государственный технический

университет (УПИ)

заседании диссертационного совета Д 064.19.03 по присуждению учено; степени доктора физико-математических наук в Челябинск»! государственном университете по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Е Кашириных, 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинской государственного университета.

профессор А. В. Чечкин;|

кандидат физико-математических наук,

доцент В. Г. Панов.

Защита состоится

часов н

Автореферат разослан «_» их 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук профессор

В. И. Ухоботов

^ ¿У ¿>1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К операторным уравнениям первого рода, не удовлетворяющим условиям корректности по Адамару, сводятся .многие задачи геофизики, гидродинамики, физики твердого тела, спектроскопии и других разделов естествознания.

Необходимость их решения и непригодность для этой цели традиционных численных методов, привели к созданию новых методов, использующих особенности исходной математической модели и теории некорректно поставленных задач. Теория таких методов была заложена в основополагающих трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева п член-корреспондента РАН В.К. Иванова.

На сегодняшний день эта теория достаточно хорошо развита и нашла отражение во многих монографиях.

Ввиду повышенных требовании, предъявляемых к детальности описания реальных объектов, и сложности искомых решений возникла пробела правильного и наиболее полного учета дополнительной информации о решении и создании на ее основе качественно других численных методов.

Созданию и исследованию таких численных методов посвящены работы многих математиков. К их числу следует отнести работы А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, В.Я. Арсе-нина. А.Л. Агеева, А.Б. Бакушинского, Г.М. Вайнпкко, В.В. Васина. A.C. Леонова. В.А. Морозова. В.Н. Страхова, В.П. Тананы. A.M. Федотова. А.Г. Яголы ц др.

Теория и приложения известных численных методов для определения "тонкой структуры" решения, как правило, требуют высокую точность исходных данных, которой нет во многих практических задачах физики твердого тела, т.е. реальные погрешности исходных данных в этих задачах значительно выше тех, при которых удается определить "тонкую структуру" решения известными методами.

Z

Поэтому проблема поиска новых численных методов, работающих в условиях большей неопределенности фактически осталась открытой.

Новый подход к решению этой проблемы предложен в настоящей работе. Этот подход, основанный на принципе минимальных невязок1, обобщающем известные принципы выбора решений, позволяет учесть новую дополнительную информацию о решении и за счет этого выявить "тонкую структуру" в условиях реальной неопределенности.

Цель работы. Разработка теории численных методов, использующих дополнительную априорную информацию о решении и позволяющих выявить "тонкую структуру" решения в условиях реальной неопределенности.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории некорректно поставленных задач и функционального анализа.

Научная новизна. Впервые методы конечномерной аппроксимации рассмотрены в столь общей форме. При этом найдены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций при независимом возмущении неограниченных операторов А и Ь, позволившие получить в этом направлении самые общие результаты. Проведено полное исследование принципа минимальных невязок. Доказано, что этот принцип обобщает известные принципы невязки2 и квазирешений3. Дано обоснование нового способа выбора параметра регуляризации на основе принципа минимальных

'Талана В.П., Коршунов В.А. Принцип минимальных невязок //ДАН СССР, 1978, т. 239, N 4, с. 845-848.

-Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации //Жури, вычислит, мат. и мат. фиэ., 1966, т. 6, N 1, с. 170-175.

^Иванов В.К. О линейных некорректных задача* //ДАН СССР, 1962, т. 145, N 2, с. 270-272.

невязок, использующего дополнительную априорную информацию о решении, п, как показал численный эксперимент, позволяющий выявлять " тонкую структуру" решения в реальных условиях неопределенности. '

, 7'

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации могут* быть использованы для развития теории численных методов решения некорректно поставленных задач, конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений, а также специалистами по физике твердого тела при определении фононных II других спектров кристаллов по косвенным измерениям.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Уральского государственного университета (руководитель - член-корреспондент РАН В.К. Иванов), отделения прикладной математики Челябинского государственного университета (руководитель -доктор физико-математических наук, профессор В.П. Танана), на Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Челябинск, 1986) п на конференции по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, 1998).

Публикации. Основные результаты дпссергалинопубликованы в работах [1-5]. В работах [1-4] В.П. Танане принадлежит постановка задач , диссертанту - получите конкретных результатов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и приложения; изложена на 67 страницах. Список литературы содержит 13 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический экскурс в теорию некорректных задач и ее использование при построении численных методов.

Первая глава посвящена обобщению метода- ¿-регуляризации на

достаточно широкий класс нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах. 'Здесь докапано существование приближенного (регулярпзованного) решения, вообще говоря, не единственного, его устойчивость, т.е. Н полу непрерывность сверху относительно возмущения исходных данных {/¿.6}. Исследовано строение множества приближенных решений и в заключении доказана сходимость его к множеству точных решений уравнения

.4» = / (1)

при подходяще выбранной зависимости п = а(6).

Вторая глава посвящена обоснованию сходимости конечномерных аппроксимацпй £-регулярпзованных решений в классе линейных операторов.

Впервые необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций были опубликованы В.П. Тананой и А.Р. Данилиным4. В этой статье был рассмотрен класс линейных ограниченных операторов, а Ь - тождественный оператор. В настоящей работе операторы А и Ь, вообще говоря, неограничены. При этом найдены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций при независимом возмущении операторов А и Ь, позволившие получить в этом направлении самые общие результаты. Более подробно, обозначим через ип приближенное решение уравнения (1) при / = /, которое является единственным решением вариационной задачи:

Ы{\\Ач-7[\2+ : и е £>(£)}, а > 0, (2)

где / € Н, Н - сепарабедьное гильбертово пространство, Ь - полуограниченный снизу оператор с областью определения В{Ь) С Н

4Танана В.П., Данилил А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций регуляртованиых решений //ДАН АН СССР. 1982. т. 26-1. N Г), с. 1094-1090.

и областью значений B(L) С Я, а оператор Л будем считать инъ-ективным и ¿-ограниченным. Тогда конечномерной аппроксимацией приближенного решения ип будем называть решение üu(п) вариационной задачи (3)

mÍ{\\Anu-Jnf + a\\Lnuf:i¡eHn}, (3)

где .4„ и L„ - линейные ограниченные операторы, отображающие Я в Н такие, что для любых п и и € Я

где d\ > 0, а {Я,,} - последовательность конечномерных подпространств из Я.

Основной результат главы сформулирован в теореме 2.2. Теорема 2.2. Для того чтобы при любых значениях а > О, / 6 Я и {/„} С Я таких, что /„—>•/ выполнялись соотношения

«о (га) -» й„, Lnüa{n) —+ при п —> оо

а

ЛпгГа(п) -»

необходимо и достаточно, чтобы последовательность операторов {Z,,,.-!„} являлась (L, Л)-полнои [5], а последовательность {{L'n)~l Р'пА'п} была (¿')-1Л'-полной на всюду плотном множестве G5.

В этой теореме через А', А'п, L1, L'n, Р'п обозначены операторы, сопряженные А, Л„, L, L„ и Рп соответственно. Ап и Ln - сужения операторов А„ и Ln с Н на Я,„ а Р„ является оператором ортогонального проектирования пространства Н на Я„, относительно скалярного произведения [г/, и]„,

К "]п = (Lnu,Lnv) : и, V G Я.

5Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. - М.: Наука, 198], 113 с.

в

Третья глава посвяшеца исследованию метода конечноразност-ной аппроксимации регуляризованных решений. Здесь доказана сходимость конечноразностных аппроксимаций в методе регуляризации «-го порядка. Далее сформулирован и обоснован принцип минимальных невязок. Доказано, что такие известные принципы как невязки .и квазирешешш являются частным случаем принципа минимальных невязок. В заключении предлагается еше один способ выбора параметра регуляризации яа основе принципа минимальных невязок, успешно используемый при определении тонкой структуры решении в задачах физики твердого тела. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Обоснован метод ^регуляризации нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах.

2. Найдены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций ¿-регуляризованных решений при независимом возмущении операторов А п L.

3. Доказана сходимость конечноразностных аппроксимаций в методе регуляризации п-г'о порядка.

4. Дано обоснование принципа минимальных невязок.

5. Основные результаты работы использованы в численном эксперименте при определении "тонкой структуры'' фононных спектров по термодинамическим функциям кристалла.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Танана В.П., Коршунов В.А., Штаркман A.A. Принцип минимальных невязок при решении некорректных задач //В кн.: Исследования по функциональному анализу. Свердловск, Изд-во Урал, ун-та, 1978, с. 78-91.

2. Танана В.П., Штаркман A.A. Конечномерная аппроксимация регуляризованных решений //MB и ССО. Урал. ун-т. Сведловск, 1981. Деп. в ВИНИТИ N 2284-81 Деп.

Ч

3. Танина В.П.. Штаркман A.A. Конечномерные аппроксимации метода регуляризации в /^-пространствах //В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах. Челябинск, 1986.

4. Танана В.П., Штаркман A.A. Об ¿-регуляризации нелинейных операторных уравнений //Известия Челябинского научного центра. Выпуск 1(6) 2000 г. с. 1-6.

5. Штаркман A.A. О регуляризации нелинейных операторных уравнений с- приближенно заданным оператором. Изв. вузов. Математика. 1982. N 4. с. 72-77

ъ

Введение.

Глава 1. L-регуляризация нелинейных операторных уравнений.

1.1. Основные определения.

1.2. Метод L-регуляризации.

1.3. Об устойчивости L-регуляризованного решения.

При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходящих в природе и обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяющими требованиям корректности Адамара [73], т.е. существования решения, его единственности и устойчивости. Следствием этого является непригодность для их исследования традиционных численных методов. Для создания новых методов, использующих особенности исходной математической модели, необходимо привлечение теории некорректно поставленных задач.

Теория таких методов была заложена в основополагающих трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корреспондента РАН В.К. Иванова. Развитие этой теории происходило в математических школах, созданных и возглавляемых этими выдающимися математиками. В развитии теории некорректно поставленных задач серьезный научный вклад был сделан в работах следующих математиков: В.Я. Арсенина, A.J1. Агеева, А.Б. Бакушинс-кого, A.J1. Бухгейма, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, Ю.Л. Гапоненко, А.В. Гончарского, В.Б. Глас-ко, A.M. Денисова, В.И. Дмитриева, П.Н. Заикина, В.В. Иванова, А.С. Ильинского, А.С. Леонова, О.А. Лисковца, В.А. Морозова, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, A.M. Федотова, А.В. Чечкина, А.Г. Яголы и других математиков.

К настоящему времени накоплен значительный теоретический и практический материал, который частично отражен в известных монографиях М.М. Лаврентьева [32], А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [67], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [27], В.А. Морозова [42], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова и С.П. Шишатского [34], О.А. Лисковца [37], В.П. Тананы [51], А.Б. Бакушинского и

A.В. Гончарского [5], A.M. Федотова [69], А.Н. Тихонова, А.С. Леонова, А.Г. Яголы [68], В.В. Васина и А.Л. Агеева [12] и многих других, что является несомненным признаком зрелости соответствующего раздела прикладной математики.

В теории некорректно поставленных задач можно выделить три основных направления.

I. Теория регуляризуемости. В ней решается проблема существования хотя бы одного регуляризующего алгоритма. Общая проблематика этого направления связана с исследованиями В.А. Винокурова [14-16], Л.Д. Менихеса [41] и других математиков.

II. Сравнение методов по точности и исследование их на оптимальность — второе фундаментальное направление.

При сравнительном анализе методов возникает необходимость получения точных оценок погрешности методов, а также построения оптимальных или близких к ним методов для решения данного класса задач.

Это направление, возникшее в работах В.К. Иванова [26],

B.Н. Страхова [50], нашло свое развитие в работах многих математиков, см [27, 37, 51, 12, 53]. В рамках этих исследований было замечено, что при численном решении конкретных задач, оптимальные методы не всегда дают желаемый результат.

Причины этого кроются в неоправданной сложности оптимального метода или недостаточном учете исходной информации задачи.

Кроме того, неудачная аппроксимация задачи может существенно снизить реальную точность метода. Эта проблематика связана с третьим основным направлением.

III. Построение специальных численных методов решения некорректных задач.

Отправной точкой этого направления являются работы А.Н. Тихонова [61], В.К. Иванова [22] и М.М. Лаврентьева [32]. В основу этого направления было положено численное решение конкретных задач математической физики. Особо здесь следует отметить класс задач, в которых искомое решение имеет сложную структуру, а также задач на определение "тонкой структуры" решения, играющих важную роль в физике твердого тела, см. [36, 29, 30]. К этому направлению примыкают исследования настоящей работы. В ней решаются два основных вопроса. Первый из них связан с обоснованием достаточно широкого класса методов, конечномерной и конеч-норазностной аппроксимации, второй — с выбором параметра регуляризации, позволяющим выявлять "тонкую структуру" решения.

Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Во введении дан краткий исторический экскурс в теорию некорректных задач и ее использование при построении численных методов.

Первая глава посвящена обобщению метода L-регуляризации на достаточно широкий класс нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах.

Первые работы в этом направлении принадлежали А.Н. Тихонову [61], в них был предложен метод регуляризации n-го порядка для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Затем В.А. Морозовым и Н.Н. Кирсановой в [44] метод регуляризации n-го порядка был обобщен на класс линейных неограниченных операторов, удовлетворяющих условию дополнительности. Это обобщение было названо //-регуляризацией и в дальнейших исследованиях широко использовалось в работах многих авторов, см. [37, 41,51].

В настоящей работе сделана попытка обобщить этот метод и идею L-регуляризации на класс нелинейных операторов. Для этого понятие дополнительности было заменено более общим понятием Х-полузамкнутости сверху оператора А, которое позволило перенести известные в линейном случае результаты на достаточно широкий класс нелинейных задач.

Одна из таких задач приведена в первой главе. Кроме того в разделе 1.3 подробно исследуются вопросы устойчивости L-регуля-ризованных решений.

Вторая глава посвящена обоснованию сходимости конечномерных аппроксимаций L-регуляризованных решений в классе линейных операторов.

Впервые необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций были опубликованы В.П. Тананой и А.Р. Данилиным в [54]. В этой статье был рассмотрен класс линейных ограниченных операторов, a L — тождественный оператор. В настоящей работе операторы А и L, вообще говоря, неограниче-ны. При этом найдены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций при независимом возмущении операторов А и L, позволившие получить в этом направлении самые общие результаты.

Достигнутая в этой главе общность позволила перейти к обоснованию сходимости конечноразностных аппроксимаций в методе регуляризации п-го порядка. Решению этого вопроса посвящена следующая глава.

Третья глава посвящена исследованию метода конечноразност-ной аппроксимации регуляризованных решений. Основным здесь является тот факт, что метод регуляризации рассмотрен в общем виде, т.е. n-го порядка. Исследуемая конечноразностная аппроксимация, заимствована из работы А.Н. Тихонова [60].

Здесь доказана сходимость конечноразностных аппроксимаций к регуляризованному решению и это является одним из основных результатов главы.

В следующих параграфах формулируется принцип минимальных невязок [55]. Затем доказывается, что остальные принципы такие, как невязки и квазирешений являются частным случаем принципа минимальных невязок. В заключении предлагается еще один способ выбора параметра регуляризации на основе принципа минимальных невязок, успешно используемый при определении "тонкой структуры" решений в задачах физики твердого тела [51, 30, 28].

В главе 4 результаты предыдущих глав использованы для определения "тонкой структуры" энергетического спектра бозе-системы по термодинамическим функциям.