автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы решения нелинейных уравнений в частных производных и их применение в синергетике

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ им. М. В. КЕЛДЫША РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ЦЕРЦВАДЗЕ Георгий Зурабович

численные методы решения нелинейных уравнений в частных производных и их применение в синергетике

Специальность 05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Институте Вычислительной Математики имени Н. Мусхелишвили АН Грузии и в Институте Прикладной Математики имени М. В. Келдыша Российской АН.

Научные руководители: доктор физико-математических наук

Г. Г. Малинецкий

доктор физико-математических наук Г. В. Меладзе

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

А. В. Гулин

доктор физико-математических наук А. С. Дмитриев

Ведущая организация: Московский Физико-Технический Институт

Защита диссертации состоится " " (7&/С¿¿. ¿ '/'и1 1992 г. на заседании Специализированного совета К-003.91.01 при Институте Математического Моделирования Российской АН по адресу: Москва, Миусская пл. 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института Прикладной Математики им. М. В. Келдыша Российской АН.

Автореферат разослан " 50 " с С^/С^А992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физ.-мат. наук С. Р. Свирщевский

' 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие процессы, происходящие в природе, являются очень сложными объектами для непосредственного исследо-зания. Однако очень часто выделение наиболее существенных черт в «учаемом явлении позволяет перейти к более простому объекту, <оторый правильно отражает основные закономерности явления и дает зозможность получать о нем новую информацию. Такой объект называется моделью. Современные достижения науки и техники во многом )бязаны эффективным математическим моделям.

Классическая математическая физика имела дело с линейными моделями. Формально это уравнения, в которые неизвестные входят только в первой степени. Реально они описывают процессы, идущие >динаково при разных внешних воздействиях. С увеличением интен-:ивности воздействий изменения остаются количественными, новых сачеств не возникает. Область применения линейных уравнений очень цирока. Но, несмотря на это, ученым все чаще и чаще приходится шеть дело с явлениями, где более интенсивные внешние воздействия 1риводят к качественно новому поведению системы. Здесь нужны 1елинейные математические модели. Анализ таких моделей является ораздо более трудным, однако при решении многих' задач он необ-

(одим.

Появление ЭВМ дало мощный импульс исследованиям ^нелинейных моделей. Важным инструментом в их изучении стал вычислительный эксперимент - сочетание больших серий численных расчетов с раз-шчными аналитическими подходами. Быстродействие и большой объем 1ймяти современных ЭВМ дают возможность решать такие задачи, ко-■орые в недавном прошлом были бы совершенно недоступны. Подчеркам, что вычислительный эксперимент не только не отвергает тради-шонных классических методов анализа, но и, напротив, предполагает их самое активное использование. Важно отметить также, что ЭВМ не только служат гигантскими арифмометрами. Они могут помочь юлее глубоко понять окружающий нас мир, создать новые теории и федставления, привести к открытию новых явлений. •

Одним из таких явлений, обнаружению которого способствовал 1ычислительный эксперимент, можно считать самоорганизацию. Оказа-юсь, что у многих сложных систем, состоящих из взаимодействующих юдсистем, могут возникать качественные особенности, которыми ни

одна из частей не обладает. Теория самоорганизации сейчас называют синергетикой (дословно - теория совместного действия). Среди основных моделей синергетики - нелинейное уравнение теплопроводности с объемным источником, модель брюсселятора, уравнение Курамото-Цузуки и др.

Другим важным открытием стал тот факт, что динамические системы могут иметь сложные нерегулярные (хаотические) решения. Это делает принципиально невозможным предсказание поведения таких систем, хотя формально они являются детерминированными - начальные данные однозначно определяют их решение. Этот феномен получил название детерминированного хаоса. Впервые он был обнаружен в 1963 г. Э. Лоренцем в известной системе трех дифференциальных уравнений. Впоследствии оказалось, что хаотическое поведение характерно для множества моделей. Их исследование заложило основу нового направления синергетики - хаотической динамики.

Одним из необходимых условий успешного использования вычислительного эксперимента является применение эффективных численних методов. Исследованию алгоритмов численного анализа базовых моделей современной математической физики, описывающих нелинейные среды, сейчас уделяется большое внимание. Отметим, что теоретическое обоснование адекватности разностной модели ее дифференциальному аналогу является очень важной проблемой математического моделирования и вычислительной математики. Эта проблема приобретает особую актуальность, если исходная задача представляет собой систему нелинейных уравнений в частных производных. В большинстве работ анализ конечно-разностных схем для таких систем проводится на примере линеаризованной либо упрощенной системы, а работоспособность алгоритмов определяется эмпирически из вычислительного .эксперимента. Вместе с тем ясно, что наиболее полную и точную информацию о свойствах численного метода можно получить лишь в результате теоретических исследований в рамках исходных уравнений. Однако доказательство сходимости разностных схем для нелинейных уравнений математической физики сопряжено с большими труд-ногтями даже при наличии гладкого решения у исходной дифференциальной задачи. Поэтому первые исследования в этой области появились сравнительно недавно - на пороге восьмидесятых годов. И хотя в дапьнейшем методика доказательства сходимости нелинейных разностных схем была существенно развита, количество работ по этой

ематике к сегодняшнему дню остается невеликим.

Одной из базовых моделей синергетики и современной математи-1еской физики является нелинейное комплексное уравнение в частных троизводных - так называемое уравнение Курамото-Цузуки (см. <uramoto Y., Tsuzuki Т. "On the formation of dissipative itructures in reaction-diffusion systems". Progr. Theor. Phys. 975. V. 54. № 3. P. 687-699):

1) W=W+(mcJWx-(\+ic2)W\W\2,

W(x,t)=u(x,t)+iv(x,t), 0 s x < /, />0.

Dho называется также зависящим от времени обобщенным уравнением "инзбурга-Ландау. Уравнение (1) применимо к широкому классу ¡адач и, в частности, описывает поведение систем типа реакция-хиффузия в окрестности точки бифуркации, где пространственно->днородное стационарное решение теряет устойчивость. Обычно для чего рассматривают начально-краевую задачу

2) W(x,0)=WQ(x), 0 ±х<1,

3) W (0,t)=Wx(l,t)=0, t>0,

4ли периодическую краевую задачу с краевыми условиями

4) W(0,t)=W(l,t),

Исследованию уравнения Курамото-Цузуки посвящена обширная титература (см., например, ссылки в работе: Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. "Нестационарные :труктуры и диффузионный хаос". М.: Наука, 1992). Было выяснено, 1то задача (1)—(3) наряду с нулевым решением (W(x,t)=0) может яметь пространственно-однородное решение

5) W(x,t)=exp(-ic2t+ia), a=const, периодические по времени автомодельные решения вида ;б) Щх,/)=R(x)exp(/vt+ia(x)),

1 также квазипериодические или двухчастотные решения, которые эписываются функциями

7) W(xJ)=J?(x,i)exp[i(u0t+u1(/)+a(x,i))],

где R(x,t+T)=R(xJ), w{t+T)=u;(t), a{x,t+T)=a(x,t)+2np,

о € {0,+1,+2,...}, uQ=const. Кроме того, задача (1)—(3) может иметь и хаотические решения. Динамическая система, в которую

переходит уравнение Курамото-Цузуки при W =0, имеет единственный аттрактор - предельный цикл (5), поэтому сложные непериодические решения задачи (1)-(3) обусловлены пространственной неоднородностью. В связи с этим они получили название диффузионного хаоса.

Для изучения уравнения Курамото-Цузуки использовались как численные, так и аналитические методы. Из аналитических результатов заслуживает внимание априорные оценки для некоторых количественных характеристик (в том числе и ляпуновской размерности), которые были получены в работе: Doering С. R., Gibbon J. D., Holm D. D., Nicolaenko B. "Low-dimensional behaviour in the complex Ginzburg-Landau equation". Nonlinearity. 1988. V. 1. № 2. P. 279-309. Важным достижением в исследовании уравнения (1) было построение множества упрощенных моделей. Изучая их, удалось установить ряд качественных и количественных особенностей решений исходной задачи в частных производных. Одна из основных упрощенных моделей, называемая двухмодовой системой, получается в результате применения к задаче (1)-(3) метода Галеркина в предположении, что №'(*,/)=a0(/)+/i>0(/)+(a)(/)+ib](/))cos(itJc//). Замена переменных a0=p0cosp0. ¿>0=p0smtf>0, appjCOsp,, ipPjSin»),; c=pq. т,=р2, ¥^-^=0/2 позволяет получить следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

^=2£-2S(S+T)KT)(cos<H-c2sin<>),

(8) т)=2т>-2тХ2£+Зт)/4 )-2£jXcosd-c2si п0)-2д2т),

¿=c2(2^-T)/2)+si n«(2^+T))+c2cose(25-т))+2с,92,

где q=n/l. Функция ipQ определяется соотношением

Ф0=-с2(£+Т))+0.5T)(si nfl-c2cos<>).

При I - п^2п в большой области параметров между простейшими аттракторами динамической системы (8) и решениями исходной задачи (1)—(3) есть как качественное, так и количественное соответствие. При этом особым точкам системы (8) можно сопоставить периодические по времени автомодельные решения вида (6), а предельным циклам - двухчастотные режимы (7). Действительно, представляя функцию V в виде

(9а) №'(*,/)= £ (an{t)+ibnU))cos,(nnx/l),

п = О

(96) «п(')=Рп(0 cosVn((). 6n(/)=pn(/)sin¥>n(/). л=0,1.....

(9в) *„(<)=«>„(<)-<Р0(<). «=1.2.....

можно отметить, что в решении (6) амплитуды гармоник рп и сдвиги фаз Ф между ними стремятся к постоянным значениям, а в решении (7) функции рп при / -» со выходят на периодический режим:

(Юа) рпи+Т)=рпи). л=0,1.....

(106) Фп(<+Г)=Фл(<)+2птп, тп е {0,±1,±2,...}, л=1,2.....

Несмотря на существенные успехи в изучении уравнения Кура-мото-Цузуки, остается еще много важных вопросов, ответы на которых представляет большой интерес:

Какие качественные особенности предельных циклов двухмодовой системы будут иметь квазипериодические (двухчастотные) решения исходной задачи (1)-(3)?

Как ведут себя аттракторы уравнения Курамото-Цузуки при увеличении I вне области применимости двухмодовой системы?

Какова геометрическая структура аттракторов, соответствующих диффузионному хаосу?

Насколько хорошо могут упрощенные системы передать свойства хаотических решений исходной задачи?

Чему равны ляпуновская размерность и корреляционный показатель для типичных аттракторов, наблюдаемых в вычислительном эксперименте?

Насколько близки известные априорные оценки количественных характеристик диффузионного хаоса с их численными оценками?

В каких случаях возможно точное (аналитическое) вычисление ляпуновского спектра уравнения (1)?

Цель работы. Целью настоящей диссертации является обоснование численных алгоритмов для решения некоторых нелинейных уравнений в частных производных и их применение для исследования ряда актуальных проблем синергетики, в частности, для нахождения ответов на поставленные вопросы.

Методы исследования. В работе используются современные численные и аналитические методы исследования процессов в нелинейных :редах. Главным численным алгоритмом в проводимых расчетах явля-;тся разностная схема, предложенная и обоснованная в первой главе диссертации. При доказательстве ее сходимости используется метод энергетических неравенств. При исследовании задач синергетики широко применяются методы качественной теории дифференциальных

уравнений, теории бифуркации, теории инерциальных многообразий, теории одномерных отображений, а также асимптотические методы.

Научная новизна. Доказана сходимость разностных схем для уравнения Курамото-Цузуки и для систем типа реакция-диффузия, а также для одномерных уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных в случае идеального газа. Найдены новые, ранее не известные подклассы квазипериодических решений уравнения Курамото-Цузуки. Для классификации этих решений введена величина, названная мультииндексом, и выявлены возможные сценарии ее изменения в зависимости от параметров задачи. В изучении качественных особенностей и количественных характеристик диффузионного хаоса достигнуты существенные успехи.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах ТГУ им. И. Джавахишвили, ИВМ им. Н. Мусхелишви-ли АН Грузии, ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, ИММ РАН, на международной конференции "Mathematical modelling and applied mathematics" (Москва, 1990), на VIII конференции СНГ "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Самарканд, 1992).

Публикации. По результатам выполненной работы имеется' 11 публикаций (см. список публикаций).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав (19 параграфов), изложенных на 152 страницах. Содержит 21 страниц рисунков. 6 таблиц и библиографию из 100 названия.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАВОТЫ

Во введении дан обзор ранее полученных результатов по теме диссертации и приведены предварительные сведения, необходимые для понимания содержания работы.

Первая глава диссертации посвящена построению и обоснованию разностных схем для уравнения Курамого-Цузукн и для систем типа реакция-диффузия (2].

В области £}=((х,/): лсе[0, í|, /е[0. Г]} рассмотрим следующую систему уравнений:

(11а)

(11G)

ди

at

dv

at

де /^ц.о^'Н'^+^Х"-^), 12(и,ь)=и-(и2+и2)(с2и+и). Эта

:истема эквивалентна уравнению Курамото-Цузуки, если положить, 1то и(х,/)=1?е и(х,/)=1т Щх^). Поставим соответствующие

раничные и начальные условия:

12а)

126) и(х,0)=Ие и(0,/)=1ш Ч?0(х).

Рассмотрим в области Я сетку £>Л т=ь>Ахйт:

ын={х=1Н, (=0,1.....N. N>1=1],

йт={</=/т, /=0.1.....Ыу Ы?=Т}.

Учитывая, что граничные условия (12а) можно переписать в виде

^о-с^о-с^ин-йчин».

тпроксимируем исходную задачу (11), (12) на сетке иЛ т разност-юй схемой

(о-,) (<г,> <о-3.о-) 13а) 0.5Нии0-и^0+с^0=0.5М^0 .

(С.) (<Г„) (О-,,(Г.)

136) и.,.-и 1 +С.а 2 =/,.3, 4, (=1,2.....ЛМ,

ПХХ,1 пхх,1

(О-,) «Г,) (О'з-О'д) 13в) 0.5/ш +и 1 2 =0.5Л/1Л „ .

кх.Ы пх,Ы

(с) (сг) (<гго-4) 13г) 0.5каы,о-С,«Л;г!о-иЛ, 0=°-5^2/,!О '

((г ) (о- ) {сг о- )

13*> VГ5."А- Л- • м'2.....

л*дг,1 пхх,1

(сг ) «г ) (о-,. (г.)

13е) 0.5А„ +С]и 1 +» 2 =0.5А/2Л» \

пдг.Л' лх.Лг

13ж) "°,.="0('/1)' 0аГ°о('а)' ,=0Л.....

(<г (г ) ((г ) ((г)

-де / А 4=/ (и. ,4), л=1,2, (=0,1.....Л', 0-о\—1,

Ь=1.....4.

Легко проверить, что если решение задачи (11), (12) принадлежит классу С4,2{П}, то тогда порядок аппроксимации разностной

о

:хемы (13) в каждом узле сетки составляет 0{х+Н ).

Для оценки погрешности метода введем обозначения

u'.=u'h-u(ih,iT), yj=ü¿rü(</i,/T). Справедлива следующая лемма [2]:

Лемма. Пусть решение задачи (11), (12) таково, что u,ueC4,2{fi}, т=Л2+с (с>0) и на /'-м слое (Os/sJVj-l) выполняется оценка:

max {ilullc, ПиН^/Л

где 0<а<1. Тогда существует постоянная hj>0, которая зависит от а, с и максимальных и минимальных значений и и v в П, такая, что при /i-/ij справедливо следующее: разностная схема (13) на (/+1)-м слое имеет решение uh, v которое удовлетворяет неравенствам

(14) llufcllcsS+l, lluJI^S+1, S=max {sup|u|, sup|u|}.

Это решение единственно в том смысле, что любые два решения, удовлетворяющие (14), совпадают.

С помощью этой леммы и метода энергетических неравенств доказывается следующая теорема сходимости [2]:

4 2 2+С

Теорема. Пусть решение задачи (11), (12) u,vec■ {П}, т=h (с>0), 0<а<1 и 0.5£ff <1, 0.5so"2<1, 0=scr3<l, Oso^l. Тогда существует постоянная Ло>0, такая, что при /is/iQ выполняются следующие утверждения:

1) Решение разностной схемы (13) на интервале [О, Т] существует и единственно (в смысле выполнения неравенств (14));

2) Разностное решение сходится к решению задачи (11), (12) в

3/2

сеточной норме ¿2 со скоростью 0(Л ) и в равномерной метрике со скоростью 0(Л).

Следует отметить, что если рассмотреть первую краевую задачу или периодическую задачу Коши для уравнений (11) и повторить наши рассуждения, без труда можно доказать сходимость аналогичной разностной схемы к решению исходной задачи. При этом скорость сходимости оказывается равной 0(Л2) в сеточной норме ¿2 и 0(Л3/2) -в равномерной метрике.

Оказывается, что полученные результаты можно перенести на системы уравнений более общего вида, чем (11). Рассмотрим следующую систему уравнений:

(15а) - - =F{U.V),

at " дх2 12 дх\ 1

(156) JpL - - o22-ff- =F2(U,V),

dt л дх2 22 дхг 1

15в) 0.

15г) Щх,0)=ио(х), У(0,1)=У0(х), хе[а, 6],

■де £)„, (',/=1,2, - действительные постоянные, и - функции, удовлетворяющие условию Липшица (с некоторой константой) относительно своих аргументов. В частности, при £>^>0, £>22>0, 0]2=В2]=0 система (15) переходит в систему типа реакция-диффузия, которая )писывает широкий класс нелинейных процессов и является одной из зазовых моделей синергетики. Рассматривая для (15) разностную :хему, аналогичную (13), и требуя выполнения условий

V о, д22>о, д12=-о21,

можно легко убедиться в том, что все результаты, полученные для шдачи (11), (12), будут справедливы и для (15). Выкладки совер-иенно аналогичны. Более тонкий анализ показывает, что вместо 012=-£>21 достаточно потребовать выполнения следующего условия:

£>]2=£21=0 или 012Д2]< 0.

Тестовые расчеты показали, что разностные схемы из семейства 13) обладают хорошими вычислительными свойствами. В численных расчетах в главах 3,4 настоящей диссертации будет применяться разностная схема (13) с весовыми параметрами о-1=о'2=о'3=<г4=0.5, порядок аппроксимации которой составляет 0(т2+Л2).

Вторая глава диссертации посвящена доказательству сходимости эдной разностной схемы для одномерных уравнений газовой динамики з эйлеровых переменных [1], [5], [7], [8]. Эта схема принадлежит :емейству полностью консервативных разностных схем, предложенных в работе: Колдоба А. В., Повещенко Ю. П., Попов Ю. П. "Двухтонные полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики, в переменных Эйлера". Ж. вычисл. матем. и матем. £из. 1987. Т. 27. № 5. С. 779-784. Главная трудность при доказательстве состоит в получении основного энергетического неравенства, в преодолении которой важную роль играет специфический выбор :калярных мультипликаторов (см. [1], [8]).

В области 0={{х,1): хе(-га,+оо), /е[0, Г]} рассмотрим задачу Коши для системы уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных с учетом источников и стоков в случае идеального газа:

(16a) -|f- + =/](x,/.p.m,c).

dm , д , rr?

(166) -gf- + + p)=/j(*./.p.m.e).

(16в) -typ- + + р-д|-(-^)=/з(х.#.р.т.е).

p=(y-l)pe, jf=const>l,

(16r) p(x,0)=p0(x), m(x,0)=mQ(x), c(x,0)=c0(x),

где p - плотность, m - импульс, с - внутренняя энергия, р - давление, /j, /2, - функции, выражающие, соответственно, источники или стоки массы, импульса и энергии, а р0, m0, cQ - достаточно гладкие периодические функции с периодом L. Будем предполагать, что:

(А1) Функции р(x,t), m(x,t), c(x,t) принадлежат классу C3,3{Q}, а также существует такая константа ц>0, что p(jc, <)-JJL, с(х,1)£ц, p(x,t)-ii при (x,t)etL Пусть также выполнены условия, которые гарантируют существование периодического (с периодом L по переменной х) решения задачи (16);

(А2) Функции f2 и /3 удовлетворяют условию Липшица относительно своих аргументов р, т и с с постоянной К>0.

Для задачи (16) рассмотрим следующую полностью консервативную двухслойную разностную схему:

(17а) Р^Нг

ПХ

<"«> vK'i-^-i^r:»5'-'-

(17г) рл(/Л.О)=р0((Л), mh(ih.O)=m0(ih),

ch(ih,0)=c0(ih), /=0,+1,12.....

где p^(y-l)P(ieh, 3^5л(рл)=(рл)1/2/((рА),/2+р'/2), а сеточные функции pfpJih.jT), mh=mh(ih,jx), cfc^ih.jr), Ph=Ph(ih,jT), /л^/п(<Л.(/+0.5)т.р{105».т{105).с<05»), «=1,2,3 определены в области Dh=o>hxu>T, b>h={ih, j'=0,±l,+2,...}, от={/т, /=0,1.....NJ.

Здесь Ы1г=Ц Л^т=7\ N и N1 - натуральные числа.

Нетрудно проверить, что если решение задачи (16) принадлежит

классу С3,3^}, то погрешность аппроксимации разностной схемы

' 2 2

(17) в каждом узле сетки составляет 0(т +Л ).

Введем обозначения для функций погрешности

р=рл~р, т=т^-т, а=тЛ/рЛ-т/р=(т-рт/р)/(р+р),

е=еЛ-е, р=рЛ-р=(аг-1)(ре+(р+р)ё). Справедлива следующая лемма [8]:

Лемма. Пусть для задачи (16) выполнены условия (А1), (А2), т=Л1+а (ооО) и на /-м слое (05/<Л^-1) имеет место следующая оценка:

шах {11рПс, 11т11с, 11е11с, НрП^Л.

Тогда существует постоянная /^>0, зависящая от а, (1, К и максимальных и минимальных значений р, т и с в П, такая, что при справедливы следующие утверждения:

1) Разностная схема (17) на (/+1)-м слое имеет решение рЛ> тЛ> еЛ, рЛ, которое удовлетворяет неравенствам

ц/4£ры^+Зц/4, (=0,±1,+2.....

где 5=тах {эир|р|, 5ир|т|, Бир|р|}. Это решение единственно в том £2 £2 £2 смысле, что любые два решения, удовлетворяющие (18), совпадают;

2) Для погрешности на (/'+1)-м слое имеет место оценка

тах {11рНс, Нт11с, НрП^МЛ.

где постоянная М не зависит от Л.

После получения основного энергетического неравенства для оценки погрешности метода при помощи этой леммы доказывается следующая теорема сходимости [8]:

Теорема. Пусть для задачи (16) выполнены условия (А1), (А2) и т=Л1+а (а>0). Тогда существует постоянная Л0>0, зависящая от а, ц, К и максимальных и минимальных значений р, т и с в П, такая, что при Л5Лд выполняются следующие утверждения:

1) Решение разностной схемы (17) на интервале [О, Т] существует. Оно единственно в том смысле, что любые два решения, удовлетворяющие (18), совпадают;

2) Разностное решение сходится к решению исходной задачи (16)

о

в сеточной норме со скоростью 0(Л ) и в равномерной метрике со

3/2

скоростью 0(Л ).

Аналогичная теорема сходимости имеет место и для случая изотермического газа [5], [7].

В этой же главе приводится пример тестового численного расчета разностной схемы в изотермическом случае. Он подтверждает, что на практике при /¡£0.05, т=Л2 скорость сходимости (при наличии гладких решений у исходной задачи) в сеточной норме ¿„ на самом деле равна 0(А ).

Третья глава диссертации посвящена изучению квазипериодических (двухчастотных) решений уравнения Курамото-Цузуки [3], [4J, [10], [11]. Как отмечалось, эти решения являются аналогами предельных циклов в двухмодовой системе (8).

В правые чзсти уравнений (8) угол 0 не входит в явном виде, а входят только функции, зависящие от sin© и cosO. Поэтому среди решений системы (8) могут существовать предельные циклы двух типов: предельные циклы первого рода - для них Q(t+T)=<){t), и предельные циклы второго рода, для которых 0{t+T)='d{t)+2nm, m=±l,+2,.... Индекс m является их важной характеристикой. Другая характеристика предельных циклов л - это число оборотов на плоскости {£, т)}, сделанных проекцией точки, определяющей состояние двухмодовой системы, за время Т. Исходя из этого, для предельных циклов используется обозначение S^.

Из формулы (106) следует,что предельные циклы второго рода могут существовать и в исходной задаче (1)-(3). Однако в этом случае есть не одна циклическая переменная 0, а бесконечно много

л=1,2..... Для характеристики таких циклов нужен мультииндекс

3II=(m],m2,...) - бесконечная последовательность целых чисел mn, которые определяются из соотношений

(19а) рп«+7>рп(0, л=0,1.....

(196) Ф n(<+7>*n(/)+ilmn, п=1,2.....

Очевидно, что если задача (1)-(3) имеет решение вида (10), то все числа mn, л=1,2,... являются четными. В случае предельных циклов первого рода 5П=(0,0,...). Такой цикл наблюдался, например, при Cpl.5, с2=-3.0, /=п. Выясним, каковы могут быть другие последовательности, определяющие мультииндекс.

Рис. 1. Предельный цикл второго рода в задаче (1)-(3) при значениях параметров £¡,=5.0, с2=-10.0, /=л; а) видовая проекция

функции /И"2+и2)'/21 <*) проекция аттрактора на плоскость

(р0, р,); в) графики функций ОД-*^). ВД-^О-

Представим решение задачи. (1)-(3) в виде (9). Предполагая, что краевые условия в начальный момент выполнены и соответствующие ряды сходятся, и проведя замену переменных ап=рпсо$<рп,

Ьп=рп$'т<рп, *п=Уп-(Ро' "=0.1..... можно убедиться, что функции

р (<) и Ф (/) будут связаны соотношениями:

(20а) Ро^о-

(206) Р „=/,. р= 1,2.....

(20в) р ВР Р= 1.2.....

где /0. 'Р• ёР ~ некоторые функции.

висящие от р0, рп, собФп,

БтФ^ п=1,2,..., причем функции содержат члены, в которые

Р2р входят в знаменателях (см. [3], [11]). Функция <р0 определяется решением системы (20).

Введем векторные обозначения:

Я=(р0,р,....)г, ецф,,^,...)7", г=(/0./г/я.....

Тогда систему (20) можно записать в векторном виде:

<21> ^[в)=р[е)

Справедливо следующее утверждение [3], [4], [11]:

Теорема. Пусть в решении задачи (1)-(3) рп(/)*0 для любого

0, л=0,1..... Если туГПу... - нечетные числа, а -

четные (число 0 тоже считаем четным), то тогда

р[е+и=р[е)-

Т т

где Я1 =(тут2,...) , Р - правая часть уравнения (21).

Отметим важность этой теоремы. Из нее следует, что если задача (1)-(3) имеет решение (19), то его мультииндекс ®=(т),т2,...), кроме случая, когда все нндексы в нем четные, может иметь вид, в котором т2к ] - нечетные, а т2к - четные числа, к=1,2..... Возможность существования решений с такими мультииндексами до доказательства этой теоремы была совсем не очевидна.

Проведенные численные расчеты показали, что решения вида (19) действительно существуют. Например, мультииндекс предельного цикла, изображенного на рис. 1, равен (-1,-2,-1,-2,...). То есть это именно то решение, которое было предсказано выше. Заметим, что для исключения переходного процесса во всех приводимых численных примерах исследовались решения при <2Г0, где 5057"0<70.

Таблица 1. Мультииндексы устойчивых предельных циклов для уравнения Курамото-Цузуки на линии с.=5.0, /=я.

С2 5" г -т, -т2 -т3 -т4 -т5 -т6

-12.0 51 0.88 1 0 1 0 1 2

-11.5 51 0.90 1 0 1 0 1 2

-11.0 51 0.93 1 0 1 2 1 2

-10.5 5' 0.95 1 2 1 2 1 2

-10.0 5' 0.98 1 2 1 2 1 2

-9.7 Я2 2.00 2 4 2 4 2 4

-9.5 Б2 2.02 2 4 2 4 2 4

-9.0 52 2.08 2 2 2 4 2 4

-8.5 Я2 2.14 2 2 2 4 2 4

-8.3 Я2 2.17 2 2 2 4 2 4

-8.0 Я4 4.44 4 4 4 8 4 8

-7.8 ¿4 4.52 4 4 4 6 4 8

-7.7 Я4 4.57 4 4 4 6 4 8

-7.56 Я8 9.26 8 8 8 1 2 8 1 6

Выясним возможные сценарии изменения мультииндекса в зависимости от параметров задачи. Из таблицы 1 видно, как может меняться мультииндекс предельного цикла:

1) При увеличении с2 от -10.0 до -9.7, от -8.3 до -8.0 и от -7.7 до -7.56 происходит бифуркация удвоения периода. В ходе бифуркации удвоения периода мультииндекс удваивается, а период цикла возрастает в два раза.

2) В некоторых промежутках изменения с2 наблюдается увеличение или уменьшение одного из четных членов (т. е. индексов, стоящих на четных местах) мультииндекса, а не всех его членов одновременно. При этом период цикла существенно не меняется. Например, это происходит при изменении с2 от -11.5 до —11.0 и от -9.5 до -9.0.

Итак, возможно изменение четных членов мультииндекса на 2 без значительного увеличения периода.

Рассмотрим более подробно второй сценарий изменения мультииндекса. Проведенные расчеты для задачи (1)-(3) показали (см. рис. 2а), что в этом случае вблизи точки изменения мультииндекса

Рис. 2. Типичная картина в случае второго сценария изменения мультииндекса; а) проекция предельного цикла на плоскость {Р0, р2) при значениях параметров с,=5.0, с2=-10.7, 1= л; б) изменение приращения фазы в модельной системе (23).

(при с2=с*2) функция р2 практически проходит через нуль и Ф2 -» со. При этом для с2<с* должен был бы наблюдаться цикл с одним мультииндексом, для с2>с* - с другим. Однако в расчетах переменная Ф2 за период увеличивается или уменьшается на л нерегулярным образом. Это обусловлено вычислительными трудностями, связанными с применением стандартных численных алгоритмов для изучения таких "нестандартных" решений [3], [11]. Поэтому при анализе

предельного цикла на участке, где р^ очень мало, а Ф^ очень велико (именно с поведением динамической системы на этом участке и связано изменение мультииндекса), надо воспользоваться асимптотическими методами.

Объяснение этого сценария изменения мультииндекса дает простая модельная система, чья структура аналогична (20):

(22а) р=—соэФ,

(226) 5'пФ-

Она имеет интеграл движения рэтфн/^сопз! и следующее решение:

р^мг,»)".

где у - постоянная интегрирования. В декартовых координатах х=рсозФ, у=р5\пУ система (22) принимает вид

(23) х=-\, у=0.

Ее решением является х(<)=У-Л у(0=Р- Рис- 26 иллюстрирует переход функции р через нуль со скачком фазы и полностью проясняет его. Если (3=0, то сначала фаза Ф=0 (или 2л), а затем Ф^л. Т. е. в момент времени, когда р=0, Ф претерпевает скачок и изменяется на л. При /3>0 фаза возрастает от 0 до л, а при /3<0 она убывает от 2л до л при / со. Следовательно, при прохождении постоянной ¡3 через нуль изменение приращения фазы Ф на интервале — вк(<со составляет в точности 2л.

Таким образом, предельно упрощенная система (23) позволяет понять, как происходит в этом случае изменение мультииндекса предельного цикла в исходной задаче в частных производных.

3) Существует еще одна возможность изменения мультииндекса, не отраженная в таблице 1. Ранее в двухмодовой системе наблюдался переход от цикла к который был связан с неограниченным ростом периода цикла: Т{с„) ■* а при с, -* с'. Аналогичное явление

0 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 Б.О 7.0 8.0

Рис. 3. Пространственно-симметричное квазипериодическое решение задачи (1) при значениях параметров с,=4.0, с2=-4.0, 1=2.6л;

а) видовая проекция функции б) проекция

аттрактора на плоскость {р„, р2), в) линии уровня функции и(х,0. построенные через равные промежутки ее изменения.

имеет место и в уравнении Курамото-Цузуки. При этом мультииндекс меняется следующим образом: (0,-2,*,*,...) -> (-1,-2,*,*,...). Как и в случае двухмодовой системы, для задачи (1)-(3) функция Г=Г(с2) имеет логарифмическую особенность при сг=с2: 7*alog(l/|c2-c*|) (см. [3], [4], [11]).

Другие способы изменения мультииндекса при проведенных численных расчетах выявлены не были.

В этой же главе обнаружен факт наличия устойчивых симметричных квазипериодических решений у рассматриваемой задачи (1)-(3). Вообще говоря, уравнение Курамото-Цузуки имеет бесконечно много пространственно-симметричных решений при одних и тех же значениях Су с2 и /. Однако обычно они неустойчивы. Тем не менее, ранее была обнаружена область параметров, в которой именно четные (относительно середины отрезка) автомодельные решения вида (6) (аналоги особых точек в фазовом пространстве Ф^}) определяют асимптотику. Однако более сложные симметричные аттракторы, описывающие, например, квазипериодические режимы, до сих пор найдены не были. Проведенные нами расчеты позволили обнаружить такие аттракторы при ^=4.0, -4.0sc2s-3.9, /=2.6л. Они симметричны относительно середины отрезка. Выход на них происходит с начальных данных общего вида, не обладающих какой-либо симметрией, что говорит об устойчивости этих решений. Подчеркнем отличие этого результата от других исследований (см., например, Keefe L. "Properties of Ginzburg-Landau attractors associated with their Lyapunov vectors and spectra". Phys. Lett. A. 1989. V. 140. № 6. P. 317-322), где были рассмотрены различные четные решения, выход на которые происходил с четных начальных данных.

На рис. 3 представлен пример пространственно-симметричного квазипериодического решения. Его симметрия особенно отчетливо видна на рис. Зв, где показаны линии уровня функции u(x,t). Амплитуды всех нечетных гармоник при t -» га не превышают 10 , что сравнимо с точностью расчета.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию , качественных особенностей и количественных характеристик диффузионного хаоса [6], [9].

Наиболее простыми примерами диффузионного хаоса являются хаотические решения задачи (1)-(3), для которых амплитуды нескольких первых Фурье-гармоник значительно превосходят амплитуды

Рис. 4. Маломодовое хаотическое решение задачи (1)-(3) при значениях параметров с^7.0, с2=-6.0, /=я; а) 3-мерная проекция аттрактора на пространство (р^п1^, р^оэФ^ р,); б) проекция на плоскость {Р0,

Рис. 5. Хаотическое решение двухмодовой системы (8) при значениях параметров ^=7.0, с2=-6.0, 1= п, а) 3-мерная проекция аттрактора на пространстю {^¡пв, ^соэв, т?}; б) проекция на плоскость ч).

остальных. Они обычно наблюдаются в случае малых областей. Аттрактор одного из таких решений (при с=1.0, с2=-6.0, /=л) представлен на рис. 4. О его хаотичности свидетельствует наличие положительного ляпуновского показателя (см. таблицу 2). Для него амплитуды первых двух гармоник оказываются существенно больше, чем всех остальных [6]. Это наводит на мысль сравнить данное решение со странным аттрактором двухмодовой системы с теми же значениями параметров.

Результаты сравнительного анализа показывают, что сопоставляемые решения обладают многими сходными качественными особенностями. Похожи друг на друга проекции их аттракторов (ср. рис. 4 и 5) и автокорреляционные функции. Весьма близкими оказываются также их количественные характеристики. Ляпуновские показатели системы (8) с рассматриваемыми значениями параметров равны АрО.23, А2=0, А3=-4.39, а ляпуновская размерность (которая вычисляется по формуле Каплана- Йорке) ^-2.05. С учетом "исключенной" частоты ¿£~3.05. Причина уменьшения ляпуновской размерности на единицу объяснена в [6]. Сравнение этих числовых значений со значениями аналогичных характеристик задачи (1)-(3) из 13-ой строки табл. 2 убеждает нас в том, что они практически совпадают. В пределях точности расчета равны и значения корреляционных показателей. В самом деле, для двухмодовой системы корреляционный показатель был вычислен ранее: 1)^=2.035+0.019, а для решения задачи (1)—(3) в проведенных нами расчетах были получены следующие значения: для функции а0(1) - v^a рЗ.03+0.1, а для функции р0(/)

V. =2.04+0.1. Величины V. . и V. . отличаются на единицу, что (Р0) <ао'

и соответствует исключению частоты. Как видим, значение V

(Р0)

очень близко к значению корреляционного показателя системы (8).

Вместе с тем между сравниваемыми аттракторами существуют и тонкие качественные отличия. Их можно обнаружить с помощью одномерных отображений, построенных по методу, предложенного Э. Лоренцем. Однако этих различий немного, и поэтому мы можем заключить, что существует область параметров {с^ с2, /}, для которой наблюдается хорошее качественное и количественное соответствие между хаотическими решениями исходной задачи (1)-(3) и странными аттракторами двухмодовой системы (8). Этот факт означает. что многие свойства диффузионного хаоса могут быть с успехом

Таблица 2. Ляпуновские показатели и ляпуновская размерность решений уравнения Курамото-Цузуки (задачи (1)-(3)).

С1 с2 1 Л1 л2 >3 Л4 Л5 Л6 «1

0 0 -4.0 п 0 0 -1 01 -1 98 -3 .00 г3 99 -5 98 1

0 5 -1.0 тг 0 0 -0 70 -1 98 -3 .32 -3 98 -5 99 1

0 6 0.0 и 0 0 -1 22 -1 98 -2 .80 -4 99 -4 99 1

1 5 0.0 л 0 0 -2 00 -2 00 -2 .00 -4 96 -4 96 1

1 5 -2.0 тг 0 0 -0 53 -0 53 -3 .59 -4 37 -4 37 1

1 5 -8.0 1.571 0 0 0 0 0 0 -0 .02 -1 22 -2 74 3

1 5 -8.0 и 0 32 0 0 0 0 -1 .04 -3 61 -4 14 3.31

1 5 -8.0 2п 0 55 0 25 0 0 0 .0 -0 06 -1 04 5.71

4 0 -4.0 п 0 11 0 0 0 0 -4 25 -4 26 -4 37 3.03

4 0 -4.0 п/0.51 0 0 0 0 0 0 -0 .15 -1 17 -1 18 3

4 0 -4.0 Зтг 0 36 0 18 0 03 0 .0 0 0 -0 68 5.84

5 0 -10.0 71 0 0 0 0 -0 07 -2 .35 -3 39 -3 39 2

7 0 -6.0 7Г 0 27 0 0 0 0 4.23 -4 24 -4 50 3.06

7 0 -6.0 271 0 0 0 0 0 0 -0 .11 -1 13 -1 13 3

7 0 -6.0 371 0 39 0 10 0 0 0 .0 -0 48 -0 97 5.01

предсказаны с помощью упрощенных систем, состоящих из нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений. То есть, наблюдая качественные особенности и количественные эффекты в упрощенных системах, можно искать их аналоги в исходной задаче примерно в той же области параметров.

Сказанное подтверждает и исследование другого маломодового хаотического решения задачи (1)-(3) при значениях параметров с|=1.5. с2=-8.0, /=п. Аттрактор этого решения имеет более сложный вид, чем предыдущий, но тем не менее все его основные свойства правильно передается трехмодовой системой (см. [6]).

При увеличении длины области в задаче (1)-(3) при некоторых значениях параметров наблюдается гиперхаос - т. е. такой хаотический режим, для которого по крайней мере два ляпуновских пока-

зателя оказываются положительными. Такое решение существует, например, при Cpl.5, с2=-8.0, 1=2п (см. таблицу 2 и рис. 6).

Как видно из рис. 6а, проекция аттрактора на плоскость (р0> Pj} имеет очень сложный и запутанный вид. Рассматриваемое хаотическое решение уже не является маломодовым. Действительно, рис. 66 показывает, что число активных степеней свободы здесь достаточно велико (29).

Очень интересной представляется зависимость корреляционного интеграла С(е) от log2 с (см. рис. 6в). Как видим из таблицы 2, ляпуновская размерность рассматриваемого аттрактора сравнительно невелика: ¿^=5.71. Но v~dL, согласно утверждению из работы: Grassberger P., Procaccia 1. "Measuring the strangeness of strange attractors". Physica D. 1983. V. 9. № 1-2. P. 189-208. To есть, корреляционный показатель тоже должен быть небольшим. Тем не менее, попытка определения его значения наталкивается на неудачу. В самом деле,' в идеальном случае, когда мы имеем дело с хаотическим аттрактором и обрабатываем достаточно длинную выборку, наблюдаемая картина должна быть такова: пока i>, значение d(log С(с))

5 = -d( log с)- 113 линейном участке примерно равно р, а затем,

при p>v, оно выходит на постоянную величину, которая дает значение корреляционного показателя. Как видно из рис. 6в, при р=5 кривая log2 C(e)=/(log2e) имеет линейный участок с S~5, но далее с увеличением р этот участок совсем исчезает. В таких случаях вычисление корреляционного показателя исследуемого аттрактора не представляется возможным.

В диссертации обсуждаются возможные причины этой ситуации (см. [6]) и дано следующее заключение. По-видимому, во многих случаях для достоверной оценки корреляционного показателя и других аналогичных характеристик хаотических аттракторов (даже когда их ляпуновская размерность невелика) требуется получение и анализ очень больших выборок, недоступных для современных вычислительных машин. Такую ситуацию можно назвать вычислительным кризисом.

В исследованиях этой главы активно используются и аналитические методы. С их помощью удалось вычислить точный ляпуновский спектр уравнения Курамото-Цузуки в частном случае

(24) (с2+1)(тт//)2+2(1+с1с2)>0.

Когда справедливо это неравенство, задача (1)-(3) имеет устой-

Рис. 6. Хаотическое решение задачи (1)-(3) при с,=1.5, с2=-8.0, /=2л (гиперхаос); а) проекция на плоскость {р0, р,}; 6) изменение амплитуд первых 9 Фурье-гармоник на аттракторе; в) графики корреляционного интеграла и наклона для функции р_; А/=20000.

чнвое пространственно-однородное решение (5). Точные значения ляпуновских показателей в этом случае следующие (см. [9]): {А^"', А^"'}, л=0,1..... упорядоченные в порядке убывания, где

(25а) А<°)=0. А<°>=-2,

(256) А(,п)=-1-<7 +/zT , А<п)=-1-<? -ЛГ , если

v ' 1 п 2 ^п п '

Dn=i-2cMn-fä >0■

(25в) A(,n>=A|n)=-l-<7n, если D* 0,

В таблице 2 приведены приближенные значения первых 6 ляпуновских показателей задачи (1)-(3) для различных {Cj, с2> /}, полученные нами в численных расчетах. Как видно из строк 1-4 табл. 2, в области параметров, где выполнено условие (24), аналитические (по формулам (25)) и численные значения ляпуновских показателей совпадают с друг другом с высокой точностью. Например,

при Cj=0.5, с2=-1.0, /=гс формула (25) дает: АрО, A2=-2WT~/2,

А.=-2, 7 /2, Ас=-4 и А,=-6, что почти не отличаются от

J 4 DO

значений, полученных в расчетах (см. вторую строку таблицы 2). '

Рассматривая таблицу 2, можно видеть, что во всех строках

этой таблицы, кроме строк 1-5, представлены по крайней мере два

нулевых ляпуновских показателя (в пределах точности расчета).

Оказывается (см. [9]), что этот эмпирический факт на самом деле

является следствием следующей теоремы, которую можно считать

обобщением известного утверждения из работы: Haken Н. "At least

one Lyapunov exponent vanishes if the trajectory of an attractor

does not contain a fixed point". Phys. Lett. A. 1983. V. 94. M 2.

P. 71-72.

Теорема. Пусть дана динамическая система (26) W(/) = F(W(/)),

где F - нелинейная дифференцируемая вектор-функция вектора W, которая имеет конечное число нулей (соответствующих особым точкам дифференциального уравнения (26)). Будем считать, что траектория этой системы Wд(1) остается в ограниченной области при / -» ю и не

стремится к особой точке. Пусть WQ a CWQ, С*0, где С не зависит от t. Допустим также, что существует такое гладкое отображение а -» /.(а), что ¿(a)WQ тоже является решением данной системы и /.(a)WQ •-» WQ при а -> 0. Тогда по крайней мере два ляпуновских

показателя системы (26) равны нулю.

Так как уравнение Курамото-Цузуки инвариантно относительно преобразования V/ №ем, а=сопз1, причем №е'а -» № при а -* 0, из этой теоремы вытекает следующее утверждение:

Следствие. Пусть задача (1)-(3) имеет решение, которое не выходит из ограниченной области при ( -> а. Допустим, что оно не является ни .особой точкой, ни автомодельным решением вида (6) (или его частным случаем - решением (5)). Тогда по крайней мере два его ляпуновских показателя равны нулю.

Строки 1-5 таблицы 2, в которых только один ляпуновский показатель равен нулю, в полном соответствии доказанной теоремы отвечают решениям задачи (1)-(3) вида (5) и (6).

Кроме того, в этой главе проводится анализ известных априорных оценок для некоторых количественных характеристик задачи (1)-(2), (4) (Ооег^ С. Р. и др.). Они перенесены для задачи (1)-(3). Однако, к сожалению, оказывается, что эти оценки во много раз превосходят значения количественных характеристик, получаемые из вычислительного эксперимента [9].

В последнем, 19-м параграфе диссертации обсуждается методика проведенных численных расчетов.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1) Построено семейство неявных разностных схем для уравнения Курамото-Цузуки и для систем типа реакция-диффузия. Доказана их сходимость к решению исходной задачи и получены оценки ее скорости.

2) Доказана сходимость полностью консервативной разностной схемы для уравнений газово.й динамики с учетом источников и стоков в эйлеровых переменных при условии гладкости решений исходной периодической задачи Коши. Доказанная теорема сходимости справедлива как для изотермического, так и для идеального газа.

3) Исследованы свойства квазипериодических (двухчастотных) решений уравнения Курамото-Цузуки. Введена величина, названная мультииндексом, которая классифицирует их, и выяснены возможные сценарии ее изменения в зависимости от параметров задачи. Найдены новые подклассы этих решений.

4) Изучены качественные особенности диффузионного хаоса. Установлено, что существуют области параметров, в • которых наблюдается хорошее качественное и количественное соответствие между хаотическими решениями исходной задачи в частных производных и странными аттракторами упрощенных систем из нескольких обыкновенных дифференциальнх уравнений. Обнаружено явление вычислительного кризиса: в ряде случаев из-за вычислительных причин невозможно надежно оценить корреляционный показатель для аттракторов, описывающих диффузионный хаос, даже если их ляпуносская размерность невелика.

5) Проведен анализ некоторых количестьенных характеристик уравнения Курамото-Цузуки. Показано, что их известные априорные оценки во много раз превосходят значения этих характеристик, полученные в вычислительном эксперименте. Аналитически вычислен ляпуновский спектр рассматриваемого уравнения в некоторых частных случаях. Доказана теорема о том, что динамическая система при определенных условиях имеет два нулевых ляпуновских показателей.

Практическая ценность. Полученные результаты предстявляют как прикладкой, так и математический интерес. Они используются в ТГУ им. И. Джавахишвнли, ИВМ им. Н. Мусхелишвили АН Грузии, ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, на факультете прикладной математики Российского Открытого Университета, могут быть использованы в ряде других организаций. Численные алгоритмы, обоснованные в диссертации, могут быть применены для анализа ряда конкретных моделей. Результаты исследования квазипериодических и хаотических решений уравнения Курамото-Цузуки будут полезны при изучении других открытых нелинейных систем. Обнаружение и исследование вычислительного кризиса позволяет понять причины неудач многих численных экспериментов по определению размерности странных аттракторов.

ПУБЛИКАЦИИ по теме диссертации

1. Меладзе Г. В., Церцвадзе Г. 3. О сходимости дифференциально-

разностных схем газовой динамики в эйлеровых переменных// Тр.

Тбнлисск. гос. ун-та км. И. Джавахишвнли. 1990. Т. 298. № 12.

С. 10-25.

2. Церцвадзе Г. 3. О сходимости разностных схем для уравнения

зо

Курамото-Цузуки и для систем типа реакция-диффузия//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. № 5. С. 698-707.

3. Ахромеева Т. С., Малннецкий Г. Г., Потапов А. Б., Церцвадзе Г. 3. Периодические и симметричные решения уравнения Курамото-Цузуки: Препринт № 87. М.: ИПМатем. АН СССР, 1991.

4. Ахромеева Т. С., Малннецкий Г. Г., Потапов А. Б., Церцвадзе Г. 3. Новые свойства квазипериодических решений уравнения Курамото-Цузуки//Докл. АН СССР. 1991. Т. 321. № 5. С. 941-950.

5. Tsertsvadze G. Z. Convergence of the completely conservative difference scheme for the equations of gas dynamics in Euler variables//Mathematical modelling and applied mathematics. Proceedings of the international IMACS conference, June 18-23, 1990, Moscow. Amsterdam: Elsevier Science Publishers

B. V., 1992. P. 415-424.

6. Малннецкий Г. Г., Потапов А. Б., Церцвадзе Г. 3. К исследованию диффузионного хаоса: Препринт № 46. М: ИПМатем. РАН, 1992.

7. Церцвадзе Г. 3. Сходимость полностью консервативной разностной схемы для уравнений газовой динамики в эйлеровых пере-менных//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. № 7.

C. 1080-1092.

8. Церцвадзе Г. 3. Сходимость полностью консервативной разностной схемы газовой динамики в эйлеровых переменных в случае идеального газа: Препринт № 71. М.: ИПМатем. РАН, 1992.

9. Малннецкий Г". Г., Церцвадзе Г. 3. Об оценках ляпуновских показателей и некоторых других количественных характеристик уравнения Курамото-Цузуки: Препринт № 74. М.: ИПМатем. РАН, 1992.

10. Ахромеева Т. С., Малннецкий Г. Г., Потапов А. В., Церцвадзе Г. 3. Новые свойства квазипериодических решений уравнения Курамото-Цузуки//Тезисы докладов VIII конференции СНГ "Качественная теория дифференциальных уравнений". Узбекистан, г. Самарканд, 5-10 сентября 1992 г. С. 17.

И. Akhromeyeva Т. S., Malinetskii G. G., Potapov А. В., Tsertsvadze G. Z. New properties of quasiperiodic solutions of the complex Ginzburg-Landau equation//Bifurc. and Chaos in Appl. Sci. and Engin. 1992 (published in September).

6-uO?