автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы решения нелинейного уравнения Ландау-Фоккера-Планка и их приложения в задачах столкновительной плазмы

На правах рукописи_

—

Потапенко Ирина Фёдоровна

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАНДАУ-ФОККЕРА-ПЛАНКА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2006 год

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

Официальные оппонентны:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Ерохин Николай Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор Рухадзе Аари Амвросиевич

доктор физико-математических наук, профессор Фаворский Антон Павлович

Российский Научный Центр "Курчатовский Институт"

Защита состоится 1'ССИМ-^/^Л 2006 г. в_ часов на заседании диссертационного совета Д 002.024 02 в конференц-зале Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН по адресу: Москва, 125047, Миусская площадь, 4

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

Автореферат разослан ^ Н тл у^-^ 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.024.02 кандидат физико-математических наук

Г.В. Устюгова

¿у-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Настоящая работа посвящена разработке численных методов решения пространственно-однородного нелинейного кинетического уравнения (системы уравнений) типа Ландау-Фоккера-Планка (ЛФП) и исследованию на их основе ряда задач динамики разреженных газов и плазмы.

Для заряженных частиц кинетическое уравнение ЛФП является (в отсутствие пространственно неоднородных эффектов) основной матемагической моделью для описания столкновительной плазмы, и на протяжении десятилетий широко примененялось в чисто научных и прикладных задачах. Для нейтральных, газов нелинейный интеграл столкновений типа ЛФП является приближением интеграла столкновений Волъцмана в предположении, что основную роль играет рассеяние на малые утлы.

С математической точки зрения нелинейное интегро-дифференциальное кинетическое уравнение ЛФП представляет собой весьма сложный инструмент для добывания необходимой физической информации и поддаётся аналитическому решению с трудом и при существенных упрощениях. Поэтому даже в линеаризованном и линейном случаях для задач, имеющих практическое значение, используются численные методы.

Численное моделирование кинетических процессов, обусловленных кулоновскими столкновениями, занимает значительное место в приложениях, связанных с высокотемпературной плазмой, как лабораторной так и магнитосферной, полупроводниковой плазмой, плазмохимическими задачами. Однако, разработка математических моделей на основе нелинейного кинетического уравнения ЛФП, как и развитие численных алгоритмов, адекватно отражающих основные физические законы, остаётся весьма сложной проблемой.

Кроме того, кинетическое уравнение ЛФП уже может считаться одним из классических нелинейных интегро-дифференциальных уравпений математической физики Поэтому актуальность его исследования обусловлена как чисто математическим интересом в понимашши качественных свойств решений нелинейных кинетических уравнений, так и важностью проблемы количественного описания, связанного с практическими приложениями этих уравнений в теории газов и плазмы.

Таким образом, тема диссертации, связанная с разработкой численных методов и численным моделированием динамики неравновесной плазмы, а именно-формирование неравновесных функций распределения частиц, исследование влияния электромагнитных полей на нагрев и ускорение заряженных частиц в лабораторной термоядерной и магнитосферной плазме, - является весьма актуальной. Исследование неравновесных функций распределения электронов в подверженной облучению пучками быстрых ионов или э

полупроводниковой плазме,

fw&mmшmm

БИБЛИОТЕКА С.-Петербург

ОЭ 200 бкт РУЛ

представляет практический интерес для предсказания аномального повышения проводимости и эмиссионных характеристик среды.

Цель и задачи исследования

состояли в разработке математических моделей, численных методов решений и на дёжных эффективных алгоритмов для одномерных и двумерных нелинейных кинетических уравнений ЛФП и решении с их помощью прикладных задач физики столкновительной плазмы

Методы исследования.

Для исследования задач, рассмотренных в диссертации, использовались разностные методы решения уравнений в частных производных, кинетическая теория газов и плазмы, методы математического программирования.

Научная новизна

полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

• Для нелинейного многокомпонентного одномерною и двумерного в пространстве скоростей уравнения типа Ландау и Фоккера-Планка впервые построен класс полностью консервативных разностных схем, наиболее адекватно отражающих симметрию точных уравнений и выполняющих основные законы сохранения.

• На базе построенных полностью консервативных разностных схем разработаны эффективные вычислительные алгоритмы, позволяющие вести расчеты длительное время без накопления ошибок.

• На основе разработанных математических моделей и комплексов программ впервые систематически исследованы:

- задача нелинейной релаксации двухтемпературной электрон-ионной плазмы в сильно неравновесном случае;

- релаксация функции распределения и формирование высокоэнергетичного хвоста для газов частиц с далыюдействующими потенциалами взаимодействия;

- формирование квазистационарных неравновесных распределений электронов плазмы, подверженной облучению пучками быстрых ионов или электромагнитного излучения;

- нагрев и ускорение ионов альфвеновскими волнами, нейтральными пучками и генерация токов увлечения в магнитных ловушках;

- ускорение и высыпание электронов в авроральной зоне Земли, а также формирование протяженных плато в распределении частиц для магнитосферной плазмы.

Теоретическая и практическая ценность

результатов диссертации заключается в разработке эффективных численных методов решения пространственно однородного нелинейного кинетического уравнения ЛФП и

изучении общих закономерностей нелинейной динамики столкновительной плазмы.

Полученные результаты, разработанные математические модели и численные методы могут быть инкорпорированы в более сложные физические модели, а также служить для них надёжными тестами.

Основные публикации.

Всего по теме диссертации опубликовано 70 научных работ. Основное содержание диссертации отражено в статьях [1-25], описок которых приведен в конце автореферата.

Достоверность результатов диссертационной работы определяется их верификацией при разнообразном тестировании, согласием полученных результатов с данными экспериментов и теоретическими работами других авторов, четким физическим смыслом и согласованностью с современными представлениями о предмете исследования

Апробация результатов диссертации.

Результаты исследований, приведенных в диссертационной работе, были представлены и обсуждались на Всесоюзных, Всероссийских и Международных конференциях, в том числе:

о XXV International Congress on Rarefied Gas Dynamics, St.Petersburg, July, 2006 о Международный конгресс по физике плазмы - ICCP06, Киев, май, 2006 о Сессия Совета по нелинейной динамике РАН, Москва, декабрь, 2004,2005 о International Conference on Conservation Laws and Kinetic Theory, Shanghai, China, July, 2005

о Международная Конференция MCC-04, Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность, Москва, ноябрь, 2004

о International Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Alusht.a, Crimea, Ukraine, September, 2004

о Межгосударственное рабочее совещание "Плазменная электроника и новые методы ускорения", Харьков, Украина, 2000, 2003

о International Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, St.Petersburg, July, 2004

о Всесоюзные и Всероссийские конференции по физике плазмы, Звенигород, 1986, 1988, 1989, 2002, 2003

о International Topical Conference on Plasma Physics, Faro, Portugal, September, 2001 о International Topical Conference on Frontiers in Plasma Physics, ICTP, Trieste, Italy, 1997, 2000, 2006

о VIII Latin American Workshop on Plasma Physics, Tandd, Argentina, 1998 о International Conference on Computational Physics, Granada, Spain, 1998

о И Panamerican Workshop of Computational and Applied Mathematics, Gramado, Brazil, 1997

о V Latin American Workshop on Non- Linear Phenomena, Canela, RS, Brazil, 1997 о International Workshop on Astrophysics and Space Plasma, Guaruja, Brazil, June, 1995. о VI Latin American Workshop and International Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Foz do Iguacu, Brazil, 1994

о II Symposium on Plasma Dynamics. Theory and Applications Trieste, Italy, July, 1992 о XVII European Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Amsterdam, Netherlands, 1990

о Всесоюзное рабочее совещание по открытым ловушкам, Сухуми, СССР, 1990 о XVI European Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Venice, Italy, 1989 о International Symposium on Matematical Models, Analytical and Numerical Methods in Transport Theory, Minsk, USSR, 1986

Реализация и внедрение результатов работы.

Работа выполнялась в рамках научных планов Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, проектов Государственного фонда фундаментальных исследований Российской Федерации.

Научные положения диссертации и разработанные на их основе методики, алгоритмы и программные комплексы использовались для совместных исследований лабораторной, космической и полупроводниковой плазмы в следующих научных организациях: РНЦ "Курчатовский институт", ИЯФ им. Г.И.Будкера СО РАН, ННЦ ХФТИ НАН Украины, Сухумский физико-технический институт (Сухуми, СССР), Институт физики плазмы Макса Планка (Гархинг, Германия), Университеты Рио-де-Жанейро, Кампинаса, Сан Пауло (Бразилия), Карлстад (Швеция), Институт физики А. Вольта ( Павия, Италия).

Личный вклад соискателя.

В список положений, выносимых на защиту, включены результаты и выводы, в которых вклад соискателя был основным.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 160 наименований, и изложена на 250 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Кинетическое уравнение для частиц с кулоновским потенциалом взаимодействия, полученное Ландау в 1937 году, имеет вид

HI )„-£{/«"■>(£-£)'<■>'«•>}■ —•

где Г = 27ге4 A/m2, е - заряд электрона, Л так называемый кулоновский логарифм, и

= --' ., ", u = v — w, i,j = 1,2,3.

и3

Уравнение Ландау было переоткрыто через 20 лет в работе [26] в форме нелинейного уравнения Фоккера-Планка. Уравнение ЛФП для n-компонентной плазмы имеет вид

±.f?h\ 9 (< дН° . 1 9 (* М я_л

ra\dt)c~ вц I'2d«JVT9v,dvJ}' где функции

Ao = У" + —) [ dwfß(w, t) | V - W Г1

ß ™ß J

Я

9a = У2 K„ß I dwfß(w, t) I V - w I (1)

ß J

так называемые потенциалы Розенблюта (Трубникова). Здесь Г0 = Ап2а'>е4/та2, Кав = (ZaJZßf Aag, та, Za - масса и заряд.

Эти уравнения можно рассматривать как одну из двух стартовых точек для данной диссертации. Другой стартовой точкой являются известные работы А.Н Тихонова, А.А.Самарского, Ю.П.Попова, А.П.Фаворского и др., по консервативным и полностью консервативным разностным схемам (ПКРС) для уравнений математической физики.

Большую роль в развитии численных методов и применнеии их к задачам физики плазмы сыграли работы Ю.Н Днестровского, Д.П. Костомарова, J.Killeen, A.A.Mirin и других авторов. Первый шаг в построении ПКРС для кинетического уравнения ЛФП был сделан A.B. Бобылевым и В.А. Чуяновым [27] Эта работа и исследования автора диссертации были обобщены и развиты в последующих работах (В И.Волосов, М.С. Пеккер, Р Degond и др ).

Введение содержит обзор работ, относящихся к теме исследования, обосновывается актуальность темы, Обоснован выбор рассматриваемых задач, история ях формулировки. Отражается место полученных результатов среди исследований, полученных другими авторами. Сформулированы цели проведения исследований, новизна диссертации и научные положения, выносимые на защиту. В заключение приведены сведения об апробации результатов работы и структуре диссертации

В первой главе обсуждаются основные проблемы, возникающие при построении разностных схем для уравнения ЛФП. Фактически, в диссертации рассматриваются не только уравнения ЛФП для кулоновского взаимодействия, по и их обобщение на произвольные потенциалы - так называемые уравнепия типа Ландау [3]. Интеграл столкновений тина Ландау имеет вид

Здесь

а (и) = 7Г У dfia(u, ß) (1 - ß2), и =| u |,

где cos (?) - дифференциальное сечение рассеяния на угол в е [0,тг]. Ниже термин уравнение ЛФП часто используется для всего класса уравнений типа Лаядау.

Обсуждаются общие вопросы построения консервативных разностных схем для указанного класса уравнений Консервативность схемы в данном случае является обязательным требованием. В противном случае, как показывает опыт автора и других исследователей, при расчётах на большие времена происходит неустранимое накопление ошибок. Это хорошо известно также и для других нелинейных кинетических уравнений, в частности, для уравнения Больцмана [28]. Коротко говоря, ключевая проблема состоит в том, что надо удовлетворить яе одному, а нескольким законам сохранения. Схемы, удовлетворяющие этому требованию, мы называем полностью консервативными (ПКРС). Это отвечает также и формальному принципу полной консервативности, схема может быть представлена в нескольких алгебраически эквивалентных формах, имеющих вид локальных законов сохранения (A.A. Самарский, Ю.П. Попов). В задачах, рассмотренных в диссертации, речь идёт о точном выполнении двух законов сохранения: числа частиц и энергии. Как правило, в рассмотренных приложениях импульс сохраняется автоматически.

В разделе 1.1 обосновывается важность различных форм записи уравнения ЛФП для последующего использования их при конструировании разностной схемы в численном алгоритме. Отмечается роль инвариантов, имеющих непосредственный физический смысл для математической модели. Намечен в общих чертах путь конструировании консервативных разностных схем па примере уравнения Колмогорова, уравнения диффузионного типа и линеаризованного уравнения типа Ландау.

В разделе 1.2 общая идея построения ПКРС для уравнения типа ЛФП формулируется на примере изотропного уравнения для функции распределения частиц f(v,t), записанного в символической форме,

где оператор U(f\v) содержит функцию /, интегралы и производные этой функции. Уравнение записано в дивергентном виде, отражающем локальный баланс числа частиц. Из этого уравнения следует интегральный закон сохранения числа частиц d п dt

Удовлетворение подстановок в (4) обеспечивается соответствующими граничными условиями. Уравнение (3) должно также сохранять энергию Е (четвёртый момент /)

= -/ fv4v = U(f-,v) dt J о

= 0. (4)

dE dt

= — Г fv4dv = v2U - 2 / Uvdv = 0 => f dt Jо о Ja Jо

Uvdv = 0. (5)

Выполнение именно последнего равенства нетривиально при переходе к дискретному случаю. Показано, что равенство нулю последнего интеграла можно естественным образом обеспечить свойствами симметричной структуры точного уравнения и соответствующими граничными условиями

Первая форма записи U(f;v), соответствующая симметрии точного уравнения, которую мы условно называем дважды дивергентной, имеет вид

Utlfl = l£\w(f-,v)], WU;v) |~ = 0.

Эта форма записи интеграла ЛФП успешно работает в случае одномерного и двумерного уравнений, а также для системы уравнений. Здесь и ниже одномерным назывется уравнение для изотропной по скорости функции распределения, а двумерным - уравнение для функции, зависящей от модуля скорости v и полярного угла в € [0, тг].

Вторая форма записи уравнения - симметричная разность, используется для уравинеия (системы уравнений) типа ЛФП

Un[f) = lfdwQ(v,w)[Wf(w)d-M -

где Q(v, w) симметричное ядро.

Третья форма для двумерного уравнения ЛФП состоит из комбинации первой формы и антисимметричной интегральной формы:

1 Г°°

и,п[Л = u,[f] + -W, W= dwK{v, w)f(v)f(w), v Jo

где K(v,w) - антисимметричное ядро.

После того, как выявлены основные формы записи уравнения ЛФП, каждая го них может быть взята за основу для построения соответствующего класса полностью консервативных схем. В дискретной области = vt + ht+i,i = l,2,...,M,t¡i =

0,vm+i = L;tk+1 — tk + г, к = 0,1.....t° = 0} определим сеточные функции

fit klf]' /•+i/i = 0-5(/i+i 4- /г). Интегралы аппроксимируем по формуле трапеции ( /м+i и 0), тогда число частиц и энергия равны

м м

1=2 v=2

Применения интсгро-интерполяционного метода к уравнению (3) с формой U¡, получим (неявную) разностную схему

ft - /,* 1 1 Ггг тт л г, 1 ~ W-1 „ ..

^^- — = - 1^1/2 - и, 1/2J , f/,-1/2 =--Г- г-2,.М.

т vlK+x/2 v,.1/2 h,

Эта разностная схема, записанная в форме локального закона сохранения числа частиц, в результате алгебраических преобразований может быть переписана в виде локального

закона сохранения энергии и обеспечивает точное выполнение дискретных аналогов двух законов сохранения. Граничные условия Щ/2 = 0 и 1}м+1/2 = 0 обеспечивают выполнение закона сохранения (4)

т т

то дискретный аналог закона сохранения энергии (5)

и

"«+1^+1/2 ~ "г^з/а " 2 ^,+1/2^+1/2^+1

Ч2Л.+ 1/2= [^М+1/2 - ^/2] =0,

ДВ Л Л* -

Т 4=2

У] ~-Г""-Ч" ">+1/2 '

1=2

0,

выполняется в силу структуры (симметрии) формы !/;(/): {/Д^уи,+1/2^+1 г О,

поскольку = Щг = 0.

Этот пример объясняет в общих чертах идею построения схем, которая используется в диссертации.

Разработанный подход к построению конечно разностных схем в сочетании со сравнительно высокой точностью (второй порядок аппроксимации по пространству скоростей) дал возможность в ряде случаев получить асимптотические решения, проверить аналитические подходы и другие методы моделирования, решить численно важные прикладные задачи.

Уравнение ЛФП является базовым в моделях, связанных с взаимодействием волна-частица, которые используют квазилинейную теорию (формально это означает добавление к интегралу столкновений диффузиопного оператора). Диффузионный оператор и уравнение ЛФП объединяется в алгоритме расчета естественным образом.

Формальное обобщение на пространственно неоднородный случай не встречает принципиальных затруднений (схема расщепления: движение без столкновений + столкновения). Практические трудности возникают в связи с повышением размерности задач В диссертации рассматриваются только пространственно однородные задачи. Устойчивость разностных схем, их аппроксимация, монотонность, граничные условия - анализируются для конкретных задач, решению которых посвящены последующие главы Все используемые в работе схемы являются неявными и имеют второй порядок аппроксимации по пространству скоростей.

Во второй главе рассматривается релаксация к равновесию начального распределения модельного газа частиц со степенными потенциалами взаимодействия С/ = а/г", 1 < /3 < 4 на основе изотропного кинетического уравнения типа Ландау

(Н 2 V2 ду V у о I Эи дги

где симметричное ядро <3(г>, го) выглядит следующим образом-

7Г Г1

(Э(«,1о) — —■и3!!)3 I ¿ц{\ — 112)иа(и, /х), и2 = ь2+и!2 — 2т)ц, а(и,ц) = др(ц)и 8 У-1

Производная функции распределения в/а/дь = 0 при V = 0 и /„ -> 0 при V —» оо. Число частиц, средняя энергия и температура, выраженная в энергетических единицах, определяются выражениями

2 4-ктп

п = 4тг / -£ = Т =

./о

/»оо

/ ЛлУ/КО' 4>0 Jo

3 Зп

и не изменяются со временем. Единственным равновесным решением является распределение Максвелла

/м(») = п (2тг)~3^ адГ3ехр [-^5] . ^ = \/Т/т'

Решается задача Коши для начальной функции распределения /о(и) — /(г>, 0), сосредоточенной в тепловой области V ~ г^. Исследуется процесс релаксации начального распределения к равновесному распределению для различных показателей степени /3. Особое внимание уделяется формированию хвостов функции распределения.

В разделе 2.1 строятся асимптотические решения уравнения типа Ландау (6) в высокоэнергетичяой части спектра V г>(/, для времён значительно больших характерного времени столкновений Ь ¿с Построенные асимптотические решения имеют вид

тп \ 3/2

/ ТП \л

еХР

тг>2'

— 1— .... и

2Т .

то пди /т\М/¥ "Л/у' -у

Постоянная др определяется потенциалом взаимодействия. Дня кулоновского потенциала р! = 327ге*Ь/т. Функция имеет форму волны, распространяющейся в

высокоэнергетическую область,

«(М) =

и(!>, /) = Ф {| (1п У/2>

иы) = ф { V® [^](4_я%(4-я" ,

1 < /3 < 2, /3 = 2,

2 < /3 < 4,

где

V =

V — г>/(<)

Фронт волны движется по закону у/^) = [4(4 — /3)//3]"/(4 Ширина фронга существенно зависит от показателя потенциала взаимодействия 0:

ддг)

м.

2-01

Д/(4) = у^гТп^Ж,

1 < 0 < 2, /9 = 2, 2 < 0 < 4.

В разделе 2.2 конструируется ПКРС для изотропного нелинейного уравнения типа Ландау, для которой справедливы разностные аналоги законов сохранения частиц и энергии. Проанализированы граничные условия, условия корректности разностной схемы, приведён вид, удобный для численных расчетов.

Применяя интегро интерполяционный метод к уравнению (6), получим (неявную) разностную схему

/«= 1

Ч Л.+1/2

7" 7й

1+1/2 1—1/2

«г+1/2 '".+1/2

где

Л

Л п , 1 - /," +

'г+1/2 ~ / у Ц.+1/2,т+1/2 "т+1 ^-----

7П=1

/»т+1 2 / ' '

Верхний предел интегрирования заменяется значением скорости в последней точке £, интегралы аппроксимируются по формуле трапеции, а производные - центральными разностями Разностная схема записана в виде локального закона сохранения числа частиц, а аппроксимация функции должна обеспечить выполнение закона сохрапения энергии. Имеем

Дп Г^м+1/2 Туг] _ .

Г 1^+1/2 т

]=с,

2 7 2 7 М —1

^ / ,'1»+1Л+1/2

«ЛГ+1/2 %/2

Для выполнения законов сохранения необходимо выполнепеи двух условий' Зм\ 1/2 — О и ^3/2 = 0 Первое условие обеспечивается граничным условием на хвосте /л « О и легко выполпимо при правильном выборе граничного значения г = Ь Из второго уравнения получаем разностную аппроксимацию точного граничного условия для функции распределения слева. Тогда сумма У^, ?г,+1-Л+1/2 = 0 в силу структуры уравнения.

Схема имеет второй порядок аппроксимации по скорости и первый - по времени Поскольку, как правило, схемы выбраны неявными по времени, то шаг по времени т определяется лишь требуемой точностью расчета и характером распределения Дивергентные свойства схемы не меняются, если использовать другую аппроксимацию по времени, то есть можно перейти к явной схеме или схеме порядка 0(т2 + Л.2). Нелинейные разностные уравненияы решаются на каждом шаге по времени методом итераций (аналогично квазилинейному уравнению теплопроводности), а на каждой итерации методом прогонки. Прогонка корректна при условии г-1 < таХк{/к), Ь < г^/п!,.

На основе построенной разностной схемы, в разделе 2.3 проводятся численные расчёты релаксации для степенных потенциалов взаимодействия. В качестве типичною начального условия выбрано моноэнергетическое распределение }(у,0) = 6(а - 1).

Разностная аппроксимация начального распределения вида /(«„0)

/ («.+1 - гч-О, если V, = 1, , если V, ф 1

обеспечивает соответствующую нормировку плотности и энергии Ошибка в выполнении законов сохранения зависит от дальности граничного значения ута1 = Л, которое оценивается из максвелловского распределения. Плотность числа частиц сохраняется с машинной точностью (случайная ошибка) для Ь > 6. Из-за нелинейности уравнения сохранение энергии зависит от количества итераций. При точности итераций г\ = 10~3 относительная ошибка в сохранении энергии АЕ равна 10~2%, а для 77 = 10 7 ошибка равна АЕ = Ю-5 (рис.1). Такая точность особенно существенна при исследовании асимптотических решений на хвостах.

АЕ»/о АЕ»/,

и 1

Рис.1

Рис.2

На начальном этапе релаксации функция быстро размывается и затем принимает монотонную форму с масимумом в нуле при некотором моменте 1а < 1, который соответствует так называемому столкновительному времени. Это характерное время ¿0 слабо зависит от степени потенциала р. В тепловой области (0 < V < 2) функции распределения довольно близки друг к другу в течение всего процесса релаксации для разных потенциалов. Разница более существенна в надтепловой области V > 2 и на хвостах распределения. На рисунках 2-4 представлена зависимость функции д(и, 4) = /(и, (0//м<и™(г0 (ср. с функцией и(и, 4)) от скорости для различных моментов времени. Для кулоновского взаимодействия с /3 = 1 решение имеет характер волны, распространяющейся со стабильным (жестким) фронтом (рис.2). Для потенциалов с 1 < /3 < 2 релаксация хвоста идет медленнее, чем релаксация основной части распределения. Начиная с 2 < /3 < 3 эволюция хвоста происходит с расширяющимся во времени фронтом. На рис. 3 показано, что для /3 = 2 фронт волны растет медленно со временем. Для жестких потенциалов (я > 4) характерное время релаксации центральной части распределения и хвоста распределения практически не различается, то есть скорость

распространения волны и размывания фрота слабо различимы - релаксация в тепловой и сверхтепловой области происходит одновременно (рис. 4). Численные результаты находятся в хорошем согласии с асимптотическим решением.

8(v,t)

g(v,t)n

м

v/vtt

РисЗ

Рис.4

В третьей главе исследуются квазистационарные функции распределения для уравнения ЛФП при наличии источников и стоков для изотропной одпокомпонентной плазмы. В разделе 3.1 проводятся некоторые асимптотические оценки решения уравнения (6). В разделе 3 2 представлены результаты численных расчетов для стационарных источников и стоков, а в разделе 3.2 проводится сравнение с экспериментальными результатами по облучению полупроводниковой плёнки [29] Моделирование проводится на базе ПКРС, построенной во второй главе Сравнепие с асимптотическими решениями, полученными в разделах 2.1 и 3.1, подтверждают высокую точность численных расчётов.

В связи с разработкой и широким использованием мощных источников частиц и энергии в последние десятилетия постоянно возрастает интерес к неравновесным состояниям разнообразных физических систем. Нашей задачей является исследование формирования неравновесных функций распределения при наличии локализованных источников и стоков частиц и энергии. Источник и сток энергии (частиц) может обеспечиваться ионными пучками, мощным лазерным излучением, током эмиссии, потоками заряженных частиц, выделяемых при реакциях синтеза или деления, и т.п.

В разделе 3.1 рассмотрено уравнение ЛФП (6) в присутствие источников, локализованных в области высоких энергий. Если интенсивность источника S(x), где х - безразмерная кинетическая энергия, характеризуется параметром е <S 1 и типичная энергия источника имеет порядок хс ~ log(l/e), то, как показано в разделе 3.1, на временах 1 <С t <SC (е log(l/e))"1 устанавливается квазистационарное распределение вида (в подходящих безразмерных переменных)

ш.

Если, в частности, источник и сток задан функцией 5(х) = е[1+6(х — х+) — 1~5(х — х_)], то получаем

/(ж) = С е~х + еЛ(х),

где

Д(ж) = /+ {ф+ -х]+ ф - х+] е-(*-*+>} - {ф^ - х] + т,[х - .

Здесь 77(2/] -единичная функция, которая равна 1, если х > 0 и равна 0 для а; < 0.

В разделе 3.2 численно моделируется эволюция функции распределения при наличии внешней накачки и её зависимость от различных входных параметров - интенсивности источников, степени их локализации в пространстве скоростей, и т.д.

На рис. 5 представлен логарифм квазистационарной неравновесной функции распределения в зависимости от квадрата скорости. Источник интенсивности 1+ = 10_6, имеющий вид ¿-функции, расположен в точке v+ — 6 Стоков нет. Сплошной линией обозначена функция распределения для /3 = 1, точками -0 = 2, штриховой линией -/9 = 4.

1 Рис.5

В разделе 3 3 проводится сравнение с экспериментальными результатами ло облучению полупроводниковой тонкой пленки С а Аз потоком быстрых ионов Н+. Источники ) возникают из-за ионизации прямым электронным столкновением и за счет возбуждения

плазменных волн, а основные потери из образца происходят за счет ион-электронной эмиссии с поверхности пленки. Для изучаемой экспериментальной ситуации ток эмиссии отражает нестационарность источников, поскольку на каждом ионном треке электронная функция имеет достаточно времени, чтобы пройти все стадии своего формирования. Поэтому зависимость эмиссионного тока от задерживающего потенциала, наблюдаемая в эксперименте [17], является суперпозицией токов, существующих на всех временных стадиях. Из сравнения численных и экспериментальных данных сделан вывод о необходимости учета нестационарности источников, что является существенным фактором при обработке результатов эксперимента.

Квазистапионарная функция распределения, полученная в расчётах, отличается от равновесного распределения на многие порядки величины Это обстоятельство может иметь значение при создании радиоизотопных источников тока, имеющих стимулированные проводящие характеристики существенно превышающие характеристики термоэмиссионных источников тока.

В четвёртой главе подробно исследована задача о релаксации в двухтемпературной электрон-ионной плазме. Хорошо известны классические результаты для этой задачи: приближённая формула Ландау для температур электронов и ионов (1937 год) и формальпо уточняющая этот результат так называемая формула Спитцера. Задача о релаксации температуры является своего рода тестом для более сложных задач.

Наш интерес к ^той классической задаче вызван следующими причинами Это типичная задача с малым параметром (р = те/т,), что и даёт возможность получить указанные выше асимптотические формулы Возможно ли уточнить эти формулы путём численных расчётов? Ответ оказывается положительным, что свидетельствует о высоком качестве построенных в диссертации разностных схем. Именно численные расчёты показали, что для данной задачи регулярная теория возмущений по малому параметру не работает, а надо использовать сингулярную теорию возмущений (основной вклад в поправку к классическим формулам дает возмущение функции распределения электронов в малой окрестности точки ve — 0, т.е. пограничный слой). Другие интересные вопросы по этой задаче: (а) как происходит релаксация сильно неравновесных начальных условиях7 (Ь) каковы реальные условия применимости классических формул7 Ответы на эти вопросы также даны в главе 4 на основе численных расчётов и асимптотического анализа.

В разделе 4.1 описана математическая модель и дана постановка задачи для системы двух уравнений ЛФП для электронов и однозарядных ионов в изотропном по скоростям случае. Затем проводится обезразмеривание и изучается задача для безразмерных функций распределения f(x, t) (электроны) и F(x,t) (ионы), нормированных условием

/*оо РОО лао *оо

! dxyfxf{x,t)= I dxy/xF(x,t) = 1, / dxx3/2f(x,t) = / dxx3/zF(x,t) = 1, J 0 J о J о Jo

где х- безразмерная энергия. Безразмерные температуры <?(t) (электроны) и T(t) (ионы) удовлетворяют уравнениям в + Т = 2,

= I Г dxF{x,t){T Г dy^f(Ey,t.) - О^Д f °°dyf(y,t)} о J О J О Jcx

Проведён асимптотический анализ уравнений ЛФП и показано, что при е —> 0 мы получаем

e3/2ôt и ~4=А(е)(Т - 9), А(е) ~ 1 — 2.9е2'3 (7)

Зу7Г

Отсюда ясно, что фактическим условием применимости классической формулы с А(е) = 1 является неравенство е{€) = -С 1.

В разделах 4.2-4.3 проводится детальное численное исследование этой задачи и сравнение результатов с асимптотическими формулами Все расчёты проделаны на основе ПКС для системы уравнений ЛФП, построенных в разделе 4.2. Для построения ПКРС уравнение ЛФП приводится к форме 1*7

те оЬ V2 т {V от J I ^

- У) —Му, 0 *) - Ра(з/, <)] I г/2йг/, = Г" мУ, 1)уау, а,р = е, ¿. р 1 Л

Производная функции распределения дfa/дv ограничена при V = 0 и }а -» 0 при V —> оо. Применяя интегро-интерполяционный метод получаем систему разностных уравнений

Отс VI% [«и-1/з Л.+1 «.-1/2 Ы ] 2

с

^ = (/" - Я) ^ - - ^ *. * = 2,3, ..Ж

(3 Ь=2 е е >

Граничное значение на хвостах функции распределения ¡а(Ьа) = 0 на практике зависит от сорта, ионов и выбирается достаточно далеким, чтобы было близким к

машинному нулю. Значение /£ в точке А; = 1 не входит в уравнение (г^ = 0), IV" = 0 и, кроме того, Ж? = 0, поэтому левое граничное условие получается естественным образом.

В разделе 4.3 проведены расчеты задачи о релаксации температур для различных начальных условий. Результаты представлены таблицами и графиками. В частности, на рис 6 показана величина Л в сравнении с формулой Спитцера А,(е)

»*>-<■«>"■ «'> = 51

и приближенной формулой

отвечающей асимптотике (7) (кривые 1-3 даны для начальных условий типа <5-функции, кривая 4 - для начальных максвелловских распределений). Численные расчёты показывают, что формула (8) с А = Аа(е) вполне удовлетворительно описывают релаксацию температуры при значениях е < 0 2. В этом же разделе подробно изучены отклонения функций распределения от максвелловских при различных значениях

НАЦИОНАЛЬНАЯ 17 БИБЛИОТЕКА

(¡.-Петербург __ ОЭ 200£кт??С2>

параметра е и описана полная картина релаксации сильно неравновесных начальных условий с е(0) — 1 Такие условия отвечают, например, нейтральной инжекции плазмы в магнитной ловушке, когда начальные скорости электронов и ионов равны). Таким образом, глава 4 проясняет и дополняет, на основе численных и асимптотических методов, классическую задачу о релаксации в двухтемпературной плазме.

е

рис. 6

Пятая глава посвящена численным методам для неизотропного уравнения ЛФП с аксиальной симметрией (кулоновское взаимодействие).

В разделе 5.1 строится полностью консервативная разностная схема для этого уравнения. Функция распределения f(v,/j,,t) зависит от модуля скорости v, угловой переменной (i = cos в, в 6 [0,7г] и времени t > 0. Потенциалы Розенблюта обозначают через h(v,n,t) и g(v, ц, €). Тогда уравнение ЛФП можно записать вследующей дивергентной форме (ар1умент t для краткости опущен)-

у(/.„ д) = fiziif^ + 1дд _ Ôf + _СЙ_ /«Д_ dhft

' ' \ v2 d[i2 vdv v2 dp J dfj, dvdp \vJ dv dp '

где Г = const и

f oo pi p2 it

g{vt4.)= dv'va / ф'/Км') / <1ф |v-v'|, J 0 J-1 Jo

pOO /»I /»27Г

h(v,fi) = 2 dv'v12 d/i'fivd<t>\v-V\ ■/o J-i jo

/

Потенциалы Розенблюта можно выразить через полные эллиптические интегралы второго я первого рода'

/•2« Г/г\1/21 Г2* , 4 Г/тЛ1/2"

у Оф | V - V |= 4рЕ (М , J ¿ф\чг-ч'\~1 =

Здесь приняты следующие обозначения

p = v2 + v'2- - [(1 - м2)(1 - ¿0]1/2}>

д = и2 + ^ - 2ш>'[(1 - й2)(1 - р/2)]1'2,

г = 4то'[(1-м2)(1 -/0]'/2

Предполагается, что функция распределения убывает достаточно быстро / —» 0 с ростом скорости V —► оо и ограничена при V = 0 и при ^ = ±1. Следует добавить начальное условие /(и, ц, 0) = /о(г>, ц). Законы сохранения для двумерцого случая в безразмерных переменных имеют вид

(¿П

^ /.оо />1 ¿Ев, Г™ Г1

= а™2 у <*/*/(«,/*,<) = о, — = dvv■iJ = о.

Если функция распределения принимается симметричной относительно /х = 0, то интегрирование по /г заменяется на интегрирование в пределах от^х = 0до/х = 1и в этом случае импульс равен нулю.

Используя идеи, изложенные выше, мы преобразуем в разделе 5 1 уравнение к форме удобной для составления ПКРС При этом используем свойства функций д и Ь: Ад = Н, ЛИ = —87г/. Оказывается, что подхоящая форма записи уравнения имеет вид

21 at

(9)

где

Щ/;й) = « ^ - V/- [(1 - м )_ (-)] - „ -/1,

д2 &ид(1

У(/; V, /л) определено выше. Введя обозначения

перепишем !/(/: и, д) в форме

в«

(10)

Из уравнения получим следующие соотношения для закона сохранения числа частиц

(¿га

= £ <1ц [гГ1^ (/;м)] " + £ <*к [(1 - ц2)/»)] ^ = 0

и энергии -

ае

Л

= У* ф [«!/(/; V, м)] о°° + л™2 [(1 - М2) 11, м)] ^ +

/ОО /»1

Постановкой соответствующих граничных условий в дискретном случае, определенных из требования выполнения законов сохранения аналогично изотропному случаю, мы без труда обеспечим выполнение закона сохранения числа частиц Тогда и для энергии первый и второй интегралы равны нулю. Сложность для выполнения закона сохранения энергии заключаться будет во последнем интеграле. Первое слагаемое в имеет дивергентный вид и трудностей не представляет Однако заметим, что во втором слагаемом Н может быть представлено как

Я(г>, ц) = ЛУ2/^', ц', 4) У ¿¿(¿{у, V'),

где

/>2.7

<Э(У, V') = 2(«2 - к'2) / ^^ - у'Г3 J о

антисимметричное ядро. Тогда в силу выбранпой формы представления можно видеть,

что

/ «¿г> I ¿ци(}\ V, ц) — I с1[1С(ь, ц) + Jo J-\ J-1 '«=о

/Ч» />1 /»ОО /»1

/ (¿г/г/2 / ф'Ди',//, / ¿то2 / (М(г>,/М)<2(у, V') = О Уо Jо У-1

в силу антисимметричности интегральной формы с ядром

4 /г^Ч ре ^

Р )

а = У2 + г.'2 - 2гп/{№' + [(1 - /х2)(1 - ^й)]1/2}.

Теперь остаётся аппроксимировать указанную форму уравнения ЛФП конечными разностями подобно тому, как это делалось в главе 1 для изотропного случая. Для краткости мы не приводим здесь довольно громоздкие явные формулы для разностной схемы.

В разделе 5.2. обсуждается важный вопрос о приближенном вычислсшш потенциалов Розенблюта. Естественно представить их в форме рядов по полиномама Лежаццра. Показано, что при замене рядов на конечные суммы, наш подход приводит к ПКРС (закон сохранения импульса, выполняется автоматически для четных по ц функций распределения). Особенно важным для рассматриваемого класса задач является приближение изотропных потенциалов Розенблюта (т.е., каждая из функций Я(и,м) и заменяется своей изотропной частью) Соответствующая ПКРС строится и

подробно обсуждается в разделе 5 2. По ней проведены все расчёты неизотропных задач в диссертации, в частности, задача о релаксации моноэнергетического анизотропного пучка ионов В этом случае электроны предполагаются максвелловскими с зависящей от времени температурой. Некоторые результаты расчёта проиллюстрированы на рис 8, где представлена зависимость ото в //, ионной функции распределения /, и её отклонения от локального максвелловского распределения Ф для двух моментов времени (за единицу принято время ион-ионного столкновения). Начальное распределение ионов имеет вид /, = 6(у - 1)6{(1), р = 10~3,е(0) = рГ,(0)/Те(0) = 1. Слева, в момент I = 0.04 температуры от начального отношения в 1000 изменились до Т,/Т, = 4.4. Справа, для ь = 0.2 и т,/тс = 2 сохраняется анизотропия функции распределения, достигающая значительной величины на хвосте распределения.

Другие анизотропные задачи рассматриваются в главе 6, в том же приближении изотропных потенциалов Розецблюта. Насколько законно это приближение?

Частичный ответ на этот вопрос дает материал раздела 5 3, где проведено сравнение с результатами, полученными методом Монте-Карло для системы частиц с кулоновским взаимодействием (этот метод, предложенный в 2000г. в [29] является, по-видимому, самым быстрым го существующих методов решения многомерных задач для уравнения ЛФП) Для сравнения была выбрана классическая задача о релаксации продольной и поперечной температур (иногда её называют задачей о релаксации импульса). Начальная функция распределения представляет собой анизотропное распределение Максвелла (Гаусса) с двумя температурами: продольной Т\\ и перпендикулярной Т; Графики решения для Т]|(4) и Т1(4), полученного методом Монте-Карло, сравниваются на рис.9 с результатами, полученными по нашим схемам для изотропных потенциалов Розенблюта (пунктирная линия для Т. = Т)|). Как видно из графиков, это приближение

V

Рис.8

оказывается вполне удовлетворительным. Метод Монте-Карло, в свою очередь, может быть оптимизирован на основе сравнения с практически точными изотропными решениями, полученными по ПКРС, описанной в главе 2 Такая работа была недавно проделана, ее результаты частично отражены в разделе 5.3. Это ещё одно приложение методов, развитых в диссертации.

В шестой главе описаны основные для данной диссертации приложения развитых в работе численных методов к конкретным задачам столкновительной плазмы, находящейся во внешнем электромагнитном поле. Рассматривается ускорение и нагрев частиц в магнитных ловушках: открытых (пробочные, или зеркальные ловушки и магнитосфера планет) и замкнутых (токамаках) Глава 6 является самой большой по объёму, причём основное место в ней уделено приложениям, а используемые численные методы уже были описаны в предыдущих главах.

В разделе 6.1 моделируется распад и заполнение плазмы в открытой магнитной ловушке при нейтральной инжекции. Рассматривается двумерное уравнение 1ФП для ионов, электроны предполагаются максвелловскими. Для магнитного поля берётся приближение магнитной ямы, когда поле постоянно по всей длине ловушки а меняется резко на её концах. Тогда при аксиальной симметрии задачи магнитное поле входит лишь в граничные условия для функции распределения в пространстве скоростей. Характерным параметром задачи является пробочное отношение Я = Вт/Во, где Вт и Во величина магнитного поля на конце и в центре ловушки. В качестве источника частиц выбирается моноэнергетический пучок, а стоки моделируются уходом через пробки частиц с большой продольной скоростью. Здесь важно отметить важность ПКРС для длительных расчётов, поскольку не накапливаются ошибки. Эта модель может быть полезна и в задачах, связанных с магнитосферной плазмой, где есть пробочные конфигурации, и в применении к токамакам.

°"Ь 02 04 06 08 1 12 14 16

Tj-Tj-M

time

Рис. 9

Раздел 6.2 посвящён исследованию нагрева и ускорению электронов при воздействии статического и высокочастотного электрических полой. В этом разделе вводится основная для этой главы математическая модель: анизотропное (осесиммегричное) уравнение ЛФП для электронной функции распределения /(г>,д, {) (у =| V = сов в) с учётом постоянного внешнего электрического поля Е и квазилинейной диффузии. Ось симметрии направлена в этом случае по направлению электрического поля и уравнение в безразмерной форме имеет вид

3«/= £>/ + £/+ /«*,/,

где последний член есть интеграл столкновений ЛФП. Оператор Е/ = 79„№/ моделирует влияние внешнего электрического поля. Мы рассматриваем поглощение энергии волны за счет затухания Ландау в рамках стандартной квазилинейной теории взаимодействия волна-частица со стандартным коэффициентом квазилинейной диффузии £),;. Квазилинейный оператор Т)} = дvt(Dítдщf) моделирует электронное затухание Ландау любой плазменной моды' кинетической альфвеновской волны, свистов, нижнегибридной волны. Коэффициент диффузии Д,| постоянен внутри фазового резонанса «ц € \игъ, — Акри, + Дг/рл] и равен пулю вне этого интервала. В сферических координатах эти операторы имеют вид

£>/ = ( 1/-и2) [а, (а«» а,/) + + ди 3„/) + д„(а1ща^)],

где

а„, = и2/х2£>,г(г», ц), аг(1 = а^ = vfJ.( 1 - ¿¿2)Д,;(и, ц), ада = (1 - /¿).

Проведена серия вычислений для максвелловских начальных условий при различных параметрах задачи. Детально изучается структура функции распределения, ток, индуцированный волнами, качественные и количественные аспекты явления убегания, влившие квазилинейной диффузии на убегание электронов, а также возможности использования в рамках единого алгоритма двух систем координат сферической и цилиндрической.

Описанная модель применяется в разделе 6.3 к конкретной физической задаче о нагреве плазмы альфвеновскими волнами и создании токов увлечения в токамаке. Зависимость от модуля скорости отклонения функции распределения от максвелловской <5/ для разных коэффициентов Од1 и параметра 7 = 0.01 представлены ниже = 0 6) На рис.10 пунктиром обозначена кривая для £>,( = 0.1, сплошной линией - Ц,| = 1.8. Верхняя, средняя и нижняя кривые соответствуют, соответственно, направлениям (I =

-1,0,1. На рис 11 отклонение функции распределения 5f дано при учете запертых частип (пунктир) и при их отсутствии (сплошная линия) Угол захвата электронов соответствует параметру тороидалыюсти: А)1 = 0 2 ~ ? = = 0 04. Запертые

частицы существенно снижают анизотропию функции распределения и, следовательно, величину альфвеновского тока увлечения.

Эта работа была первоначально сделана для строящегося в СФТИ токамака. В дальнейшем продолжение этой работы связано с токамаком ТСА/ВГ1. Эффекты влияния хвостовых электронов важны для при экспериментальных измерениях дисперсии альфвеповских волн, которые, в свою очередь, определяют так называемую альфвеновскую диагностику эффективной массы атомов или д-рго/Ие в больших токамаках.

В разделе 6.4 изучается ускорение электронов алъфвеновской волной с переменной фазовой скоростью и поведение хоров во время суббури. Рассматривается турбулентность, составленная из гидродинамических волн, которые предполагаются распространяющимися, в основном, вдоль магнитного поля. Динамика таких процессов обычно рассматривается и оценивается при условии, что фазовая скорость волн постоянна. Предполагаем, что фазовая скорость урк & Г2 / возрастает со временем. Это возможно из-за повышения частоты П (в лабораторных экспериментах или в хорах) или изменения параллельной магнитному полю компонентны волнового вектора из-за градиента плотности частиц вдоль линий магнитного поля В данной части работы продемонстрировано, что из-за изменения фазовой скорости, которое бегущая волпа (например, альфвеновская) видит при прохождении неоднородного магнитного поля, неиндуктивный ток, возбуждаемой этой волной, может существенно превышать ток, для случая, когда область фазового резонанса постоянна. Положим сд(4) = сл(0) + где ьс - скорость, с которой фазовая волна (и область фазового резонанса) смещаются во времени При сравнении со стационарным случаем обнаружим, что поглощаемая

энергия растёт из-за модификации функции распределения со временем, поскольку электроны всё время абсорбируют энергию волны в новых резонвнсных областях. Электроны ускоряются, так как более холодные частицы сгребаются волной в область надтепловых скоростей (рис. 12,13)

(■Л яшЬ)

Рис.12

Рис.13

Хорошо известно, что электроны ответственны за более яркие и высоко структурирование формы авроральных сияний. В пространстве скоростей наблюдаются плато по плотностям размерами от нескольких сотен электрон-вольт до 30кеУ. Интерпретация ориентированных вдоль поля высыпаний ускоренных частиц как результат затухания Ландау с постоянной фазовой скоростью в целом не может объяснить столь длинного колена параллельной компоненты в наблюдаемом распределении частиц по энергиям. Наше довольно простое рассмотрение может быть полезно при объяснении волнового спектра в магнитосфере Земли, так же как и в солнечном ветре.

Эта модель, в сочетании с моделью магнитной ловушки раздела 6.1, может так же быть использована при объяснении явлений высыпания ускоренных электронов во время суббурь в земной магнитосфере Значительное число наблюдаемых данных по высыпаниям электронов связаны с хорами. Магнитосфера рассматривается как альфвеновский мазер и характерное время электронных потерь из открытой ловушки Тс связано с пробочным отношением следующим образом: Тс = \/Я я» 10. Закон движения фазовой резонансной области вдоль параллельной составляющей скорости следет данным, полученным из наблюдений. Характерное время одной пульсации разделено на два неравных периода. В течение периода = 0.9 резонансная область остаётся стабильной с фазовой скоростью ьрь = 1.5 и шириной пакета Аьрн = 0 5. Затем за период Д^ = 0.1, соответствующий высыпаниям хоров, резонансная область расширяется до значения = 2 5. Волновой пакет не изменяет свой ширины. Такой процесс происходит повторяясь последовательно в течение ~ 0.5 — 1 часа.

В течение относительно короткой начальной стадии максвелловское распределение принимает форму конуса, затем устанавливается квазистационарное состоянии с оттоком частиц и энергии. На рис.14 показана средня энергия электронов, высыпающихся в конус, и электронов, остающихся запертыми в ловушке. Видно, что средняя энергия высыпающихся электронов удваивается за рассматриваемый период I ~ Ь,

500 1000 1500 2000

time (sec)

os ) 15 time (sec) x ю'

Рис.14

В последнем разделе 6.4 исследуется аномальное высыпание электронов около земной авроральной зоны, индуцированное волнами. Используется двумерная математическая модель которая учитывает кулоновские столкновения, квазилинейную диффузию, внешнее электромагнитное поле и гиперболоид потерь. Эффект аномального высыпания электронов в авроральной зоне Земли обсуждался во многих работах. Недавние исследования показали, что высыпания электронов, относящееся к пульсирующей авроре, могут быть индуцированы взаимодействием волна-частица около мяпгатосферной экваториальной плоскости. Обычно, земная магнитосфера может рассматриваться, как гигантская зеркальная ловушка (открытая магнитная ловушка). Электромагнитные волны, такие как альфвеновские, заключены в магнихные трубки магнитосферы между полюсами Земли Частицы с большими параллельными скоростями в магнигосферной экваториальной плоскости теряются из радиационных поясов из-за взаимодействия волна^частица или из-за столкновений. Благодаря высыпанию электронов квазинейтральность плазмы может нарушаться, в результате чего может появиться квазистационарное электрическое поле - амбиполярный потенциал <р (возможно, что подобное падение потенциала вдоль линий поля появляется из-за иного физического механизма, который в любом случае модифицирует конус потерь). Такое поле может изменить характер области потерь, которая будет иметь вид гиперболоида, ограниченного поверхностями ftc2(v) = 1 — Л_1(1 — v^/v2), где V > Ver. Здесь, критическая скорость = 2еф/те есть полюс гиперболоида.

Электроны, чья скорость в середине магнитной ловушки удовлетворяет следующим двум условиям > fií и и > v„, могут быть рассеяны в гиперболоид потерь и появиться в авроральной зоне. Плотность плазмы в зоне авроры достаточна велика на высотах около тысячи километров из-за ионизационного процесса и благодаря подкачке электрическим и магнитным полем i орячих частиц из ионосферы. Необходимо описать корректно тонкий слой между захваченными и высыпающимися частицами около конуса потерь в пространстве скоростей, где электронная плотность падает до нуля. Для этого случая столкновения могут играть фундаментальную роль. Чтобы корректно решить граничную, в пространстве скоростей, задачу, включено влияние столкновений с помощью кинетического оператора Ландау-Фоккера-Планка. Динамика процесса исследуется в режиме распада плазмы.

На рис.15 представлена зависимость функции распределения электронов по скоростям для Va- = 2.05, vph = 1.8,AvPh = 0.2, R = 4, и (l)/¿i = 0.92, (2)¿i2 = 0.96, (3) цз = 1.0. Слева Dq¡ = 0, справа A,i = 3.0. Функция нормирована на своё значение при v = 0.0.

f(v,n)

V V

Рис.15

В случае пульсирующей авроры, основная часть потока энергии высыпающихся элетронов в максимумах пульсации переносится электронами с энергиями между 5 и 25 кеУ. Распределения по энергиям электронов приблизительно максвелловские с характерной энергией в районе 4-12 кеУ. Модель, используемая нами, достаточно проста. Однако наблюдаемые данные, взятые из спутниковых измерений, могут быть объяснены с помощью результатов численного моделирования и имеют хорошее качественное согласие. Результаты моделирования могут быть использованы для более сложной физической модели.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ перечислены основные результаты диссертации

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Полностью консервативные разностные схемы для системы одномерных и двумерных в пространстве скоростей нелинейных кинетических уравнений типа Ландау-Фоккера-Планка и численные алгоритмы, разработанные на их основе [1-7].

2. Изотропная релаксация к равновесию в модельном газе частиц с дальнодействуютцими степенными потенциалами взаимодействия [3, 6-9].

- детальное исследование эволюции функции распределения частиц во всём диапазоне энергий;

- формирование высокоэнергетических хвостов функции распределения.

3. Пространственно однородная релаксация электрон-ионной плазмы для сильно неравновесных начальных условий [1, 10-13]:

- изучен немонотонный характер приближения электронной функции распределения к равновесию;

- показано, что возмущение электроппой функции распределения носит характер пограничного слоя в холодной части спектра;

- получена новая корректирующая формула для обмена температур и установлена (существенно расширена) область ее применимости в электрон-ионной плазме.

4 Формирование квазистационарной неравновесной функции распределения заряженных частиц при наличии источников (стоков) частиц и энергии [9, 14-18]:

исследование формировния локального стационарного распределения, существующего внутри интервала скоростей между источником и стоком частиц (энергии),

- численное моделирование функции неравновесных электронов, формирующихся в плазме полупроводников.

5. Результаты численного моделирования задач динамики столкновительной плазмы, находящейся во внешнем электромагнитном поле [1, 19-25]:

- исследование процесса нагрева и ускорения электронов под действием постоянного электрического ноля я поля альфвеновских волн; формирование токов увлечения;

- моделирование распада плазмы в открытой ловушке; исследование аномального высыпания электронов в авроральной зоне земли, индуцированном взаимодействием волна-частица;

- результаты моделирования процесса нагрева и ускорения электронов МГД волнами с изменяющейся во времени фазовой скоростью, объясняющие появление протяженных плато в структуре электронной функции распределения в наблюдаемых данных в магнитосферной плазме и поведение хоров во время суббури.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. И.Ф. Потапенко, В.А. Чуянов. О полностью консервативных разностных схемах для системы уравнений Ландау // Ж вычисл. матем. и мат. физ. 1979, т. 19, с. 458-463.

2. Потапенко И Ф., Чуянов В.А. Полностью консервативная разностная схема для двумерного уравнения Ландау // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1980, т. 20, с. 513-526

3 Бобылев А В , Потапенко И.Ф , Чуянов В А Кинетические уравнения типа Ландау как модель уравнения Больцмана и полностью консервативпые разностные схемы // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1980, т. 20, с. 993-1004.

4 Бобылев А.В., Потапенко И.Ф., Чуянов В.А Законы сохранения и полностью консервативные разностные схемы для кинетических уравнений типа Ландау-Фоккера-Планка // ДАН СССР. 1980, т.255, с. 1348-1352

5. Потапенко И.Ф., Чуянов В.А. Полностью консервативная схема для двумерного уравнения Ландау (анизотропные потенциалы Розенблюта). Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1982, т. 22, с. 751-756.

6. Потапенко И.Ф. Численное моделирование столкиовительных процессов на основе нелинейного уравнения ФоккерагПланка в задачах физики плазмы. Дискретпое моделирование плазмы. //Сборник трудов под ред. Ю.С.Сигова ИПМ им. М.В Келдыша АН СССР, Москва, с. 197-223, 1990.

7 Potapenko I.F., Azevedo С.А. The completely conservative difference schemes for the nonlinear Fokker-Planck equations // J. of Comput. and Appl. Mathem. 1999, v.103, p.115-123

8. Potapenko I.F., Bobylev A.V., Azevedo C.A., Assis A.S. Evolution of the distribution function tails for the power law interaction potentials // Phys. Rev E 1997, v.56, p. 7159-7166.

9. Potapenko I.F , Bornatici M., Karas V.I Quasi steady-state distributions for particles with power-law interaction potentials // J. of Plasma Physics. 2005, v. , p.

10. Бобылев A.B., Потапенко И Ф. Релаксация в двухтемпературной плазме. В сб. Современные методы магнитного удержания, нагрева и диагностики плазмы. Харьков: ХФТИ, 1982, т.2, с.124-126.

11. Bobylev А.V., Potapenko I.F., Sakanaka Р.Н. Relaxation of two-temperature plasma // Phys. Rev. E. 1997, v.56, p. 2081-2093.

12. Potapenko I.F, Bobylev A.V., Azevedo C.A., Assis A.S. Temperature relaxation in collisional non equilibrium plasmas // Physica A. 1998, v.257, p.483-487.

13. Potapenko IF., Bobylev A.V., Azevedo C.A., Sakanaka P.H., Assis A.S. On the relaxation of cold electrons and hot ions // Phys. of Plasmas. 1998, v.5, p.36-44.

14 Karas VI, Karas I.V., Potapenko I.F. Formation of steady-state noncquilibrium distributions of the Coulomb interacting particles// Physica Scripta. 2002, T98. p.141 - 142.

15. Карась В.И., Потапенко И Ф. Числашое моделирование формирования неравновесных стационарных распределений частиц со степенными потенциалами взаимодействия // Физика плазмы 2002, т.28, с. 837-846.

16 Карась В.И., Потапенко И Ф. Формирование стационарных неравновесных распределений кулоновски взаимодействующих частиц // Вопросы атомной науки и техники. Серия "Плазменная электроника и новые методы ускорения". 2003, 4(3), с. 137142 .

17 Кононенко С.И.,Балебанов В.М , Журенко В П., Калантарьян О.В., Карась В.И., Колесник В.Т., Муратов В И, Новиков В.Е., Потапенко И.Ф, Сагдеев РЗ. Неравновесные функции распределения электронов в плазме полупроводника, облучаемого быстрыми ионами // Физика плазмы. 2004, т.30. с. 687-704.

18 Карась В.И , Потапенко И.Ф. Квазистационарные функции распределений частиц для уравнения типа Ландау-ФоккерагПлаика при наличии источников // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 2006, т.46, с. 307-317.

19 Елфимов А Г, Потапенко И.Ф., Сидоров В.П Функция распределения электронов и токи увлечения в статическом электрическом и высокочастошом полях в квазилинейном приближении // Физика плазмы. 1989, т.15, с. 1180-118G

20. Потапенко ИФ., Чуркина ГП, Чуянов В.А. Численное моделирование нагрева электронов в лазерной плазме // Математическое моделирование. 1994, т.6, с

21. Potapenko I.F., Assis A S , Azevedo С A Electron acceleration due to the synergetic effect of DC electric field and waves // Physica Scripta. 1998, V.T75, p. 142-144.

22. Potapenko I.F., Azevedo С A. Numerical simulation of heating problems for a weakly collisional plasma // Computer Pliys Communications. 1999, v.121-122, p.274-277.

23. Potapenko I.F. , Elfimov A.G., Assis A S., Azevedo C.A. Anamalous electron precipitation near the Earth's auroral zone unduced by the wave-pai tide mteraction // Phys. of Plasmas. 1997, v.4, p. 2269-2275.

24. Potapenko I.F., Azevedo C.A , Sakanaka P.H. Electron heating and acceleration by Alfvdn waves with varying phase velocity // Physica Scripta 2000, v.62, p.486-490

25. Потапенко И.Ф., Карась В.И. Нагрев и ускорение электронов при изменении фазовой скорости волн в магнитосфере Земли // Вопросы атомной науки и техники. Серия "Плазменная электроника и новые методы ускорения". 2006, 5(4), с 181-189

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

26. Rosenbluth М., MacDonald W., and Judd D. Fokker-Planck equation for inverse-sqare force. Phys. Rev. 1957,107, p.1-6.

27 Бобылев A.B., Чуянов B.A. О численном решении кинетического уравнения Ландау //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1976, т. 16, с. 407-416.

28. Бёрд Дж. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1976.

29. Bobylev A.V., Nanbu К. Theory of collision algorithms for gases and plasmas based on the Boltzmann equation and the Landau-Fokker-Planck equation. Phys. Rev. E, 2000, 61 p.4576-4586.

»17777

\

И. П. M. 3 а к а з N> 75. Тираж 100 экз.

ВВЕДЕНИЕ

I. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ПОЛНОСТЬЮ КОНСЕРВАТИВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ЛАНДАУ И ФОККЕРА-ПЛАНКА

1.1 -Общие закономерности при конструировании консервативных разностных схем

1.2- Формы записи интеграла столкновений Ландау-Фоккера-Планка и полностью консервативная разностная схема

И. РЕЛАКСАЦИЯ К РАВНОВЕСИЮ НАЧАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЗА ЧАСТИЦ С ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИМИ СТЕПЕННЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [7 ~ г/

2.1 -Асимптотическое решение уравнения типа Ландау в высокоэнергетичной части распределения

2.2-Полностью консервативная разностная схема для изотропного уравнения типа Ландау

2.3- Релаксация начального распределения к равновесию для частиц со степенными потенциалами взаимодействия U ~ г"'

III. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ЛАНДАУ (ФОККЕРА - ПЛАНКА) ПРИ НАЛИЧИИ ИСТОЧНИКОВ

3.1-Асимптотическое решение уравнения типа Ландау-Фоккера-Планка с источниками, локализованными в высокоэнергетичной области

3.2-Эволюция функции распределения при наличии внешней накачки

3.3 -Сравнение с экспериментальными результатами по облучению полупроводниковой плёнки

IV. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛАНДАУ-ФОККЕРА-ПЛАНКА. РЕЛАКСАЦИЯ ДВУХТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ

4.1- Релаксация двухтемпературной плазмы. Асимптотические оценки

4.2-Полностью консервативная разностная схема для системы изотропных уравнений Фоккера-Планка

4.3- Численный расчёт процесса релаксации ионов и электронов для начальных условий далёких от равновесия

4.4-Выводы

V. ДВУМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАНДАУ - ФОККЕРА - ПЛАНКА. РЕЛАКСАЦИЯ ИМПУЛЬСА

5.1 -Полностью консервативная разностная схема для двумерного уравнения Фоккера-Планка

5.2- Уравнение Фоккера-Планка для изотропных потенциалов Розенблюта-Трубникова

5.3-Релаксация моноэнергетического анизотропного пучка ионов

5.4г Сравнение с результатами дискретного статистического моделирования

VI. ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ, НАХОДЯЩЕЙСЯ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

6.1- Распад и заполнение плазмы в открытой магнитной ловушке

6.2- Нагрев и ускорение электронов при воздействии статического и высокочастотного электромагнитных полей

6.3- Электронная функция распределения при алъфвеновском нагреве в токомаке и токи увлечения

6.4- Ускорение электронов алъфвеновской волной с переменной фазовой скоростью и поведение хоров во время суббури

6.5- Аномальное высыпание электронов в авроралъной зоне Земли

Кинетическими уравнениями описывается динамика систем, состоящих из большого числа слабо взаимодействующих частиц. Типичными примерами служат разреженные нейтральные газы и плазма. Наиболее известное кинетическое уравнение - это нелинейное кинетическое уравнение Больцмана [1-3], которое описывает систему многих частиц, взаимодействующих по законам классической механики и является основным уравнением в моделях динамики разреженного газа. В общем виде уравнение для функции распределения частиц /, зависящей от пространственной координаты г, скорости V и времени £ > О может быть представлено следующим образом

Здесь т - масса частиц, Г -внешняя сила, 5 - источники (стоки) частиц и энергии. В правой части уравнения стоит так называемый оператор (интеграл) столкновений

Дифференциальное сечение рассеяния а(и, ц) задаётся как функция модуля относительной скорости ад =| V — лу | > 0 и косинуса угла рассеяния ц — совв £

Кроме других классических примеров, таких как уравнение Ландау [4,5] в физике плазмы, или как его ещё называют в литературе, уравнение Фоккераг Планка [6], кинетические уравнения играют важную роль в моделировании гранулированных газов, заряженных частиц в полупроводниках, переносе

-М]. нейтронов, динамике народонаселения и во многих других областях (см., например, [7-10]).

Самый общий подход к численному решению полного кинетического уравнения основан на его расщеплении по физическим параметрам. Решение на одном шаге по времени Д£ состоит из последовательности двух этапов. Вначале, на этапе столкновений. интегрируется пространственно однородное уравнение (внешняя сила и источники отсутствуют) для всех пространственных переменных с шагом по времени Д£:

ДЛ/Ь /(г)V)0) — /о(г,V). Затем интегрируется уравнение переноса (левая часть полного уравнения) для того же шага Д£, используя функцию распределения, полученную на предыдущем шаге в качестве начального условия: = /(г,у,0) = /(г,у,Д*).

По окончании этих двух этапов процесс может итерироваться для получения численного решеиия в последующие временные шаги. Первый этап действует только на скорость V, в то время как на втором этапе действие оказывается лишь на пространственную переменную г.

Хотя реализация этой идеи остаётся достаточно нелёгкой задачей, тем не менее, методологически она обладает определённым преимуществом из-за распараллеливания схемы расчёта [9,11-13].

Настоящая работа посвящена разработке численных методов решения пространственно-однородного нелинейного кинетического уравнения (системы уравнений) типа Лаидау-ФоккерагПланка (ЛФП) и исследованию на их основе ряда задач динамики разреженных газов и плазмы. Основное внимание уделяется конструированию численной схемы, которая обладает физическими особенностями исходного уравнения: законы сохранения, положительность функции распределения, //-теорема, поскольку все эти свойства существенно зависят от моделирования именно столкновительного шага.

Нелинейный интеграл столкновений типа ЛФП является приближением интеграла столкновений Больцмана при учёте рассеяния на малые углы. Кинетическое уравнение ЛФП лежит в основе всех математических моделей, описывающих динамику столкновительной плазмы, и на протяжении десятилетий имеет самое широкое применение в чисто научных и прикладных задачах.

Это уравнение, широко используемое в приложениях, является предельным случаем уравнения Больцмана для экранированного кулоновского взаимодействия [4-6,14]. Модели кинетических процессов, обусловленных кулоновскими столкновениями, занимают значительное место в практических приложениях, связанных с высокотемпературной плазмой, как лабораторной так и магнитосферной, полупроводниковой плазмой, а также в плазмохимических задачах [15 - 21].

В кулоновских столкновениях рассеяние на малые углы вносит основной вклад в столкновительный член. Интеграл столкновений для заряженных частиц впервые был получен Ландау [4] из уравнения Больцмана с учетом эффекта малости передаваемого при кулоновских столкновениях импульса и эффекта экранирования заряда частицы вне сферы дебаевского радиуса другими частицами. Столкновительный член в уравнении Ландау явялется интегродифференциальным оператором и имеет симметричную форму, схожую с формой интеграла столкновений Больцмана:

2) где Г = 27ге4 Ь/т2, относительная скорость и = V — мг, Ь - так называемый кулоновский логарифм и симметричное ядро Щ определено как (иЧг] - щи,) . .123 ил

Грубым условием применимости уравнения (2) служит неравенство е2п1/3 < Т, означающее, что средняя энергия кулоновскго взаимодействия мала по сравнению со средней кинетической энергией (п - плотность числа частиц, Т - температура, выраженная в энергетических единицах).

Уравнение Ландау (2) было переоткрыто через 20 лет в работе [6] в форме нелинейного уравнения Фоккера-Планка. Другая форма записи того же самого уравнения оказалась очень полезной для численных расчётов, связанных с физикой горячей плазмы. Это уравнение часто называют в литературе уравнением Лапдау-Фоккера-Планка (ЛФП), мы используем ту же терминологию. Уравнение ЛФП для п-компонентной плазмы имеет вид дЩ д Г дЬ. 1 1 д / д*9а ^ а)/3 = 1!.)П) (3) где функции ha = ,y Kaß( 1 + —) f dwfß(w, t) I V - w I-1 mß J и д = ^Ка0 / dwfß(w, t) | v - w | (4) J

- так называемые потенциалы Розенблюта-Трубникова [5,6]. Здесь Га = 47гZQ4/mQ2, Кaß = (ZQ/Zßf haß, mQ, Za - масса и заряд.

Симметричная форма уравнения, полученная Ландау ближе по характеру к оператору столкновений Больцмана. Однако, в этом операторе содержится симметричное ядро Щ (неотрицательная симметричная матрица), требующее при численной реализации большой объем компьютерной памяти даже для двумерного случая. В частности, возможно поэтому форма Фоккера-Планка была более употребительна в численных расчетах. Кроме того, разделение столкновительного интеграла на две части (трение и диффузия) иногда облегчает анализ конкретной математической модели, связанной с физической задачей.

Позже классическое уравнение Ландау было обобщено на случай произвольных потенциалов взаимодействия [22,23]. Подробнее об этой модели будет сказано в главе I.

В отсутствие источников и стоков частиц и энергии для уравнения (2-4) справедливы три закона сохранения: плотности числа частиц, импульса (средней скорости), энергии (температуры): п = [ fdv, V = - [ fvdv, Т = [ /(v - v)2dv.

Ум з п7мз SkenJ^

Для интеграла столкновений справедлива Я—теорема Больцмана. Если определить Я-функцию как я(/) = [ к3 то

Я-функция монотонно убывает, достигая своего минимума на распределении Максвелла т3/2 / т\ V — V |2\

--2ЙГ~)

Я—теорема Больцмана означает, что любая равновесная функция распределения, т.е., любая функция, для которой интеграл столкновений = 0, </(/, /) = 0, имеет форму локального максвелловского распределения.

С математической точки зрения кинетическое уравнение ЛФП представляет собой весьма сложный инструмент для добывания необходимой физической информации и поддаётся аналитическому решению с трудом и при существенных упрощениях. Поэтому даже в линеаризованном и линейном случаях для задач, имеющих практическое значение, используются численные методы решения уравнения ЛФП.

Численные модели кинетических процессов, обусловленных кулоновскими столкновениями, занимают значительное место в приложениях. Существует обширная литература, посвященная этой теме (см., например, [16,17]) . Однако следует отметить, разработка математических моделей на основе нелинейного кинетического уравнения ЛФП, как и развитие численных алгоритмов, адекватно отражающих основные физические законы, остаётся весьма сложной проблемой.

Необходимо добавить, что нелинейное кинетическое уравнение ЛФП содержит в себе многие основные особенности уравнений физической кинетики. Поэтому актуальность его исследования обусловлена как чисто математическим интересом в пониманиии качественных свойств решений нелинейных кинетических уравнений, так и важностью проблемы количественного описания, связанного с практическими приложениями этих уравнений в теории газов и плазмы.

Классической проблемой теории разностных схем является исследование асимптотических свойств схемы при неограниченном измельчении пространственно-временной сетки. Однако, значительное внимание уделяется аспектам теории, связанным со свойствами схемы, обеспечивающей заданную точность на реальных грубых сетках. Кроме того, практические задачи физики в большинстве своём очень сложные и не покрываются доказанными теоремами. При проведении практических расчётов приходится сочетать физическую интуицию с соображениями здравого смысла, поскольку зачастую трудно найти аналитические тесты для реальных задач. Численное моделирование всё более обращается к комплексным задачам и результаты его трактуются как численный эксперимент, при этом проверкой корректности расчёта служит сравнение с результатами физического эксперимента. Такой подход конечно же не может рассматриваться в качестве надёжной верификации модели. В связи с этим численное решение уравнения, максимально приближенное по своим основным свойствам к решению точного уравнения, является важнейшим тестом для более сложных моделей. Именно это является одной из целей настоящей работы: решение некоторых базовых моделей и как результат создание своего рода набора тестовых задач (бенчмарк).

Важность корректного решения оператора ЛФП заключается, в частности, в том, что для пространственно неоднородного уравнения зачастую необходимо включать эффект столкновений. В этом случае используются упрощённые модели интегралов столкновений, поскольку полновесное описание столкновительных эффектов слишком сложно и дорого в вычислительном смысле. Тогда применяется, например, модель БГК [24] и проверяется её надёжность. Если рассматривается поглощение (затухание) волн, то этой моделью можно пользоваться в случае, когда надо модифицировать экстремальные эффекты пространственой неоднородности функции распределения в разреженной космической плазме и если специально аккуратно проверять используемые скорости релаксации. Для высоких же моментов функции распределения (выше второго), или реалистического описания хвостовой части распределения эта модель не годится. Надёжность этой модели можно сверить с полным оператором ЛФП (для расчета температуры) и упростить расчет пространственно-неоднородной задачи [25].

При решении физических задач естественно рассматривать разностную схему как дискретную математическую модель реального физического процесса. При этом необходимо потребовать, чтобы модель правильно отражала принципиальные стороны исследуемого процесса. В физике такими базовыми сторонами являются в первую очередь фундаментальные законы сохранения -массы, энергии, импульса. Разностные схемы, обладающие аналогами законов сохранения, называются консервативными [26-28].

Принцип консервативности как один из основных принципов построения разностных схем был выдвинут в [29,30]. Интегро-интерполяционный метод конструирования консервативных схем широко применяется в настоящее время. Там же был указан пример расходимости неконсервативной схемы в классе разрывных коэффициентов. При численном расчёте практических задач предпочтение отдается консервативным разностным схемам.

Далее принцип консервативности был усилен и сформулирован принцип полной консервативности [31,32]. С физической точки зрения необходимость такого усиления связана с тем, что помимо законов сохранения, могут оказаться важными некоторые балансные соотношения (например, между различными видами энергии - внутренней и кинетической). Дисбаланс вносят фиктивные источники, причина появления которых состоит в несогласованности системы разностных уравнений. В [33] сформулировано следующее правило отбора: разностная схема должна одновременно аппроксимировать различные виды записи исходной системы дифференциальных уравнений, имеющие непосредственный физический смысл. В [34] полная консервативность для уравнений магнитной гидродинамики в двумерном случае была достигнута в результате применения вариационного метода.

Ясно, что сама проблема построения консервативных и полностью консервативных схем связана с тем, что эквивалентные формы записи дифференциального уравнения (системы) приводят, вообще говоря, к неэквивалентным разностным схемам. Даже из приведенных выше уравнений (2) и (3) видно, что записать уравнение можно в разных формах - это будет по сути одно и то же уравнение. При переходе к дискретному случаю и построению разностных схем мы должны выбрать для аппроксимации конкретный вид уравнения. Как оказывается, это зачастую является атрибутивным условием при наложении определенных требований на модель. В частности, если мы требуем от численной модели таких же макроскопических зависимостей (сохранения инвариантов), что и от точной модели. Именно эта сторона понятия полной консервативности является главной для уравнения типа ЛФП.

Дело в том, что для нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана и ЛФП возникает нетривиальная ситуация, когда для одного уравнения справедливы несколько законов сохранения. Разностные схемы для кинетического уравнения, допускающие аналогичные ему эквивалентные представления, будем называть полностью консервативными схемами.

В [11] обсуждается проблема построения консервативного вычислительного алгоритма для кинетического уравнения Больцмана. При решении и других проблем сейчас общепринято использовать модели, сохраняющие инварианты системы при численном расчёте. Симметрии дифференциальных уравнений математической физики являются их неотъемлимым свойством и, следовательно, должны учитываться при построении дискретных аналогов (см.,например, [35,36]).

Наиболее распространенный метод для численного моделирования уравнения

ЛФП - это метод конечных разностей. Существует другой подход к решению уравнений больцмановского типа [37-39], описывающих столкновительные и излунательные процессы в разреженном газе и плазме, ставящие в соответствие системе уравнений математической физики систему стохастических дифференциальных уравнений для скачкообразных марковских процессов. Система уравнений так называемого физико-вероятностного аналога решается численно (см.,например, [40-42]). Однако эффективность (быстродействие) этих методов остаётся не очень высокой.

Для описания дальнодействующих потенциалов взаимодействия применение методов расчёта типа Монте-Карло, в отличие от газов больцмановского типа, обладают существенными трудностями. Лишь недавно появился алгоритм, позволяющий эффективно моделировать статистически уравнение типа ЛФП [43,44]. Пример прямого статистического моделирования уравнения ЛФП будет рассмотрен ниже в диссертации. Методы типа Монте Карло обладают тем преимуществом, что позволяют рассчитывать трёхмерные задачи и в принципе могут объединяться естественно алгоритмически с PIC (particle in cell) методом расчёта бесстолкновительного уравнения Власова. Следует отметить, что методы типа Монте Карло хорошо работают, когда нужно знать лишь несколько первых моментов функции распределения. Для высоких моментов функции распределения и при приближении к стационарному состоянию эти методы дают сильные статистические флуктуации. В частности, хвосты распределения считаются с помощью этих методов плохо. Так что при выборе метода расчёта надо исходить из требований конкретной физической задачи.

Уравнения Ландау и Фоккера-Планка можно рассматривать как одну из двух стартовых точек для данной диссертации. Другой стартовой точкой являются известные работы А.Н.Тихонова, A.A.Самарского, Ю.П.Попова, А.П.Фаворского и др., по консервативным и полностью консервативным разностным схемам (ПКРС) для уравнений математической физики.

Большую роль в развитии численных методов и применении их к задачам физики плазмы сыграли работы Ю.Н. Днестровского, Д.П. Костомарова, J.Killeen, A.A.Mirin и других авторов. Первый шаг в построении ПКРС для кинетического уравнения ЛФП был сделан A.B. Бобылевым и В.А. Чуяновым [45]. Эта работа и исследования автора диссертации были обобщены и развиты в последующих работах ([46-50]).

В диссертации обсуждаются основные проблемы, возникающие при построении разностных схем для уравнения ЛФП (2,3). Фактически, в диссертации рассматриваются не только уравнения ЛФП для кулоновского взаимодействия, но и их обобщение на произвольные потенциалы - так называемые уравнения типа Ландау [22, 23]. Обосновывается важность различных форм записи уравнения ЛФП для последующего использования их при конструировании разностной схемы в численном алгоритме. Отмечается роль инвариантов, имеющих непосредственный физический смысл для математической модели. Разработан подход к построению конечно разностных схем в сочетании со сравнительно высокой точностью (второй порядок аппроксимации по пространству скоростей) дал возможность в ряде случаев получить асимптотические решения, проверить аналитические подходы и другие методы моделирования, решить численно важные прикладные задачи. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22,44,51-91].

В отсутствие источников и стоков уравнение ЛФП описывает процесс релаксации начального распределения к равновесному максвелловскому распределению. Задача релаксации - классическая задача кинетической теории газов и плазмы, решение которой является стартовой точки любой столкновительной модели [92-95]. Для нелинейного уравнения ЛФП эта задача не может быть численно решена корректно без использования полностью консервативных разностных схем. Она также является естественным тестом для любой более сложной численной модели кулоновских столкновений и рассматривается подробно в диссертации. Во второй главе рассматривается релаксация к равновесию начального распределения модельного газа частиц со степенными потенциалами взаимодействия II — а/г^) 1 < /3 < 4 на основе изотропного кинетического уравнения типа Ландау.

В связи с разработкой и широким использованием мощных источников частиц и энергии в последние десятилетия постоянно возрастает интерес к неравновесным состояниям разнообразных физических систем. Источник и сток энергии (частиц) может обеспечиваться ионными пучками, мощным лазерным излучением, током эмиссии, потоками заряженных частиц, выделяемых при реакциях синтеза или деления, и т.п. [96-101]. В работах [102-107] найдены степенные стационарные решения кинетического уравнения Больцмана, описывающие распределение частиц с потоком от источника к стоку. Показано, что при кулоновском взаимодействии распределение с постоянным потоком энергии является локальным. Найдены точные степенные решения, обращающие в нуль интеграл столкновений Больцмана. Эти решения аналогичны колмогоровским спектрам в инерционном интервале [108,109]. Однако это формальная, методическая общность. Найденные, в том числе и в данной работе, решения устанавливаются в результате прямого взаимодействия (столкновений) частиц. В третьей главе исследуются квазистационарные функции распределения для уравнения ЛФП при наличии источников и стоков для изотропной однокомпонентной плазмы. Проводится сравнение с экспериментальными результатами по облучению полупроводниковой плёнки.

В четвёртой главе подробно исследована задача о релаксации в двухтемпературной электрон-ионной плазме. Хорошо известны классические результаты для этой задачи: приближённая формула Ландау для температур электронов и ионов и формально уточняющая этот результат так называемая формула Спитцера [110]. Возможно ли уточнить эти формулы путём численных расчётов? Ответ оказывается положительным, что свидетельствует о высоком качестве построенных в диссертации разностных схем. Задача о релаксации температуры электронов и ионов является тестом для более сложных задач.

Пятая глава посвящена численным методам для пеизотропного уравнения ЛФП с аксиальной симметрией (кулоновское взаимодействие). Обсуждается важный вопрос о приближенном вычислении потенциалов Розенблюта. Насколько законно это приближение? Частичный ответ на этот вопрос даёт сравнение с результатами, полученными методом Монте-Карло для системы частиц с кулоновским взаимодействием. Этот метод, предложенный в 2000 году в [43] является, по-видимому, самым быстрым из существующих методов решения трёхмерных задач для уравнения ЛФП. Для сравнения была выбрана классическая задача о релаксации продольной и поперечной температур (иногда её называют задачей о релаксации импульса).

В шестой главе описаны основные для данной диссертации приложения развитых в работе численных методов к конкретным задачам столкновительной плазмы, находящейся во внешнем электромагнитном поле. Рассматривается ускорение и нагрев частиц в магнитных ловушках: открытых (пробочные, или зеркальные ловушки и магнитосфера планет) и замкнутых (токамаках). Глава 6 является самой большой по объёму, причём основное место в ней уделено приложениям, а используемые численные методы уже были описаны в предыдущих главах.

В предыдущих главах уравнение ЛФП для функции распределения ¡(у, ц, рассматривались в полном пространстве скоростей 0<и<оо,—1</х<1. При численном моделировании поведения плазмы в открытой магнитной ловушке (классическом пробкотроне Будкера-Поста [111-114]) появляется область потерь, где частицы отсутствуют.

Поскольку в простом пробкотроне даже при больших пробочных отношениях нельзя добиться больших коэффициентов мощности, в разное время был предложен ряд усовершенствованных вариантов простого пробкотрона: центробежные ловушки, многопробочные и другие соленоидальные системы. Открытая магнитная ловушка является полезным инструментом для изучения общефизических свойств плазмы. Кроме того, на их основе можно создать высокопоточный генератор "термоядерных" (14 МэВ) нейтронов для материаловедческих и других исследований [115-120].

В диссертации задача рассматривается в постановке [16,18,113,114], когда для магнитного поля берётся приближение магнитной ямы. Тогда при аксиальной симметрии задачи магнитное поле входит лишь в граничные условия для функции распределения в пространстве скоростей. Характерным параметром задачи является пробочное отношение Я — Вт/Во, где Вт и Во величина магнитного поля на конце и в центре ловушки. В качестве источника частиц выбирается моноэнергетический пучок, а стоки моделируются уходом через пробки частиц с большой продольной скоростью. Здесь важно отметить важность используемых ПКРС, поскольку при длительных расчётах не накапливаются ошибки, искажающие решение. Эта простая модель может быть полезна как базовая и в задачах, связанных с магнитосферной плазмой, где есть пробочные конфигурации, и в применении к токамакам (например, для расчёта влияния захваченных частиц).

Поскольку статическое электрическое поле и МГД волны могут генерироваться и сосуществовать одновременно как в космической, так и в лабораторной плазме, их совместной действие остаётся открытой проблемой и объектом изучения, благодаря широкому приложению . Задача ускорения потока частиц и появления убегания электронов за счет воздействия МГД волны и прямого электрического поля, или за счет воздействия нескольких пакетов МГД волн изучалась многими авторами (см., например, [121-132]). Понимание структуры функции распределения - важный вопрос как с точки зрения объяснения наблюдаемых явлений, так и понимания основных плазменных процессов. В данной работе нагрев и ускорение электронов при воздействии статического и высокочастотного электрических полей рассматривается во втором разделе главы 6. Вводится основная для этой главы математическая модель: анизотропное (осесимметричное) уравнение ЛФП для электронной функции распределения f(v,fi,t) (v v |, pL — cos в) с учётом постоянного внешнего электрического поля Е и квазилинейной диффузии dtf = /[/,/] + Df + Ef.

Операторы Df и Ef моделируют поглощение ВЧ поля и влияние постоянного электрического поля, соответственно. Принимая за выделенное направление электрическое поле Е: Ец — Ez, в цилиндрических координатах имеем = 7V, 7 = v2c = 1.5/7.

Ejc Ctg

Здесь Ес - так называемое поле Драйсера, vc - соответствующая ему критическая скорость, vth - тепловая скорость, te - время электрон-электронных соударений. Величина 7 1, например, для параметров солнечных факелов (flares) она равна 7 = 0.1-0.2 [133-135].

Уравнение ЛФП является в диссертации базовым уравнением в моделях, связанных с взаимодействием волна-частица, которые используют квазилинейную теорию (формально это означает добавление к интегралу столкновений диффузионного оператора). Диффузионный оператор и уравнение ЛФП объединяется в алгоритме расчета естественным образом. Зачастую оператор столкновений играет роль регуляризирующей добавки. Механизм поглощения волн за счёт электронного затухания Ландау рассматривается в рамках стандартной квазилинейной теории взаимодействия волна-частица [136138]. Проведена серия вычислений для максвелловских начальных условий при различных параметрах задачи. Детально изучается структура функции распределения, ток, индуцированный волнами, качественные и количественные аспекты явления убегания, влияние квазилинейной диффузии на убегание электронов, а также возможности использования в рамках единого алгоритма двух систем координат: сферической и цилиндрической. Рассмотренная задача, которая носит в значительной степени методический характер, далее применяется к конкретной физической задаче о нагреве плазмы альфвеновскими волнами и создании токов увлечения в токамаке. Эта задача имеет долгую историю в литературе [139-145]. Исследование генерации тока увлечения в диссертации проведено на базе дрейфово-кинетического уравнения с интегралом ЛФП. Эта работа была первоначально сделана для строящегося в СФТИ токамака. В дальнейшем продолжение этой работы связано с токамаком ТСЛ/В11. Эффекты влияния хвостовых электронов важны для при экспериментальных измерениях дисперсии альфвеновских волн, которые, в свою очередь, определяют так называемую альфвеновскую диагностику эффективной массы атомов или д-рго/г/е в больших токамаках.

Известно, что высыпание электронов во время суббури связано с взаимодействием волна-частица в магнитосферной экваториальной плоскости [146,147]. Эти волны могут генерироваться в магнитосфере Земли благодаря мазер-эффекту [148]. Динамика процесса высыпания обычно оценивается при условии, что фазовая скорость свистов постоянна во времени. В следующем разделе изучается ускорение электронов гидродинамическими волнами с переменной фазовой скоростью, при этом типичные параметры динамики хоров взяты из наблюдаемых данных [149,150].

В последнем разделе исследуется аномальное высыпание электронов около земной авроральной зоны, индуцированное волнами [151-160]. Математическая модель, используемая нами, базируется на модели достаточно проста. Однако наблюдаемые данные, взятые из спутниковых измерений, могут быть объяснены с помощью результатов численного моделирования и имеют хорошее качественное согласие. Результаты моделирования могут быть использованы для более сложной физической модели.

Основные результаты, полученные в диссертации состоят в следующем:

• Для нелинейного многокомпонентного одномерного и двумерного в пространстве скоростей уравнения типа Ландау и Фоккера-Планка впервые построен класс полностью консервативных разностных схем, наиболее адекватно отражающих симметрию точных уравнений и выполняющих основные законы сохранения.

• На базе построенных полностью консервативных разностных схем разработаны эффективные вычислительные алгоритмы, позволяющие вести расчеты длительное время без накопления ошибок.

• На основе разработанных математических моделей и комплексов программ впервые и систематически исследованы:

- задача нелинейной релаксации двухтемпературной электрон-ионной плазмы в сильно неравновесном случае;

- релаксация функции распределения и формирование высокоэнергетичного хвоста для газов частиц с дальнодействующими потенциалами взаимодействия; формирование квазистационарных неравновесных распределений электронов плазмы, подверженной облучению пучками быстрых ионов или электромагнитного излучения;

- нагрев и ускорение ионов альфвеновскими волнами, нейтральными пучками и генерация токов увлечения в магнитных ловушках;

- ускорение и высыпание электронов в авроральной зоне Земли, а также формирование протяженных плато в распределении частиц для магнитосферной плазмы.

Теоретическая и практическая ценность результатов диссертации заключается в разработке эффективных численных методов решения пространственно однородного нелинейного кинетического уравнения ЛФП и изучении общих закономерностей нелинейной динамики слабо столкновительной плазмы.

Исследованы конкретные прикладные физические задачи. Полученные результаты, разработанные математические модели и численные методы могут быть инкорпорированы в более сложные физические модели, а также служить для них надёжными тестами.

Работа выполнялась в рамках научных планов Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, проектов Государственного фонда фундаментальных исследований Российской Федерации.

Создано достаточно обширное программное хозяйство, отлаженное и оттестированное, которое может быть рекомендовано в научных учреждениях, проводящих исследования в области разреженного газа и плазмы. Научные положения диссертации и разработанные на их основе методики, алгоритмы и программные комплексы использовались для совместных исследований лабораторной, космической и полупроводниковой плазмы в следующих научных организациях: РНЦ "Курчатовский институт", ИЯФ им. Г.И.Будкера СО РАН, ННЦ ХФТИ HAH Украины, Сухумский физико-технический институт (Сухуми, СССР), Институт физики плазмы Макса Планка (Гархинг, Германия), Университеты Рио-де-Жанейро, Кампинаса, Сан Пауло (Бразилия), Институт физики А. Вольта ( Павия, Италия).

Всего по теме диссертации опубликовано около 70 научных работ. Результаты исследований, приведенных в диссертационной работе, были представлены и обсуждались на Всесоюзных, Всероссийских и Международных конференциях, в том числе: о XXV International Congress on Rarefied Gas Dynamics, St.Petersburg, July, 2006 о Международный конгресс по физике плазмы - ICCP06, Киев, май, 2006 о Сессия Совета по нелинейной динамике РАН, Москва, декабрь, 2004,2005 о International Conference on Conservation Laws and Kinetic Theory, Shanghai, China, July, 2005 о Международная Конференция MCC-04, Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность, Москва, ноябрь, 2004 о International Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Alushta, Crimea, Ukraine, September, 2004 о Межгосударственное рабочее совещание "Плазменная электроника и новые методы ускорения", Харьков, Украина, 2000, 2003 о International Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, St.Petersburg, July, 2004 о Всесоюзные и Всероссийские конференции по физике плазмы, Звенигород, 1986, 1988, 1989, 2002, 2003 о International Topical Conference on Plasma Physics, Faro, Portugal, September, 2001 о International Topical Conference on Frontiers in Plasma Physics, ICTP, Trieste, Italy, 1997, 2000, 2006 о VIII Latin American Workshop on Plasma Physics, Tandil, Argentina, 1998 о International Conference on Computational Physics, Granada, Spain, 1998 о II Panamerican Workshop of Computational and Applied Mathematics, Gramado, Brazil, 1997 о V Latin American Workshop on Non- Linear Phenomena, Canela, RS, Brazil, 1997 о International Workshop on Astrophysics and Space Plasma, Guaruja, Brazil, June, 1995. о VI Latin American Workshop and International Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Foz do Iguacu, Brazil, 1994 о II Symposium on Plasma Dynamics. Theory and Applications. Trieste, Italy, July, 1992 о XVII European Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Amsterdam, Netherlands, 1990 о Всесоюзное рабочее совещание по открытым ловушкам, Сухуми, СССР, 1990 о XVI European Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Venice, Italy, 1989 о International Symposium on Matematical Models, Analytical and Numerical Methods in Transport Theory, Minsk, USSR, 1986

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном разделе формулируются основные положения, выносимые на защиту, перечисляются положения, характеризующие достоверность результатов, и выносится благодарность.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Полностью консервативные разностные схемы для системы одномерных и двумерных в пространстве скоростей нелинейных кинетических уравнений типа Ландау и Фоккера-Планка и численные алгоритмы, разработанные на их основе.

• Изотропная релаксация к равновесию газов частиц с дальнодействующими степенными потенциалами взаимодействия:

- детальное исследование эволюции функции распределения частиц для дальнодействующих степенных потенциалов взаимодействия во всём диапазоне энергий.

• Пространственно однородная релаксация электрон-ионной плазмы для сильно неравновесных параметров:

- изучен немонотонный характер приближения электронной функции распределения к равновесию;

- показано, что возмущение электронной функции распределения носит характер пограничного слоя в холодной части спектра;

- получена новая корректирующая формула для обмена температур и установлена (существенно расширена) область ее применимости в электронионной плазме.

• Формирование квазистационарной неравновесной функции распределения частиц, взаимодействующих с дальнодействующим потенциалом отталкивания при наличии источников (стоков) частиц и/или энергии:

- исследование эволюции функции распределения при наличии внешней накачки и локального стационарного распределения, существующего внутри интервала скоростей между источником и стоком частиц (энергии);

- результаты численного моделирования функции неравновесных электронов, формирующихся в твердотельной плазме полупроводников.

• Результаты численного моделирования задач динамики столкновительной плазмы, находящейся во внешнем электромагнитном поле:

- исследование процесса нагрева и ускорения электронов за счет нелинейного взаимодействия постоянного электрического поля и поля альфвеновских волн и формирования токов увлечения;

- резльтаты моделирования распада плазмы в открытой ловушке, исследование аномального высыпания электронов в авроральной зоне земли, индуцированном взаимодействием волна-частица;

- результаты моделирования процесса нагрева и ускорения электронов МГД волнами с изменяющейся во времени фазовой скоростью, объясняющие появление протяженных плато в структуре электронной функции распределения в наблюдаемых данных в магнитосферной плазме и поведение хоров во время суббури.

Достоверность результатов диссертационной работы определяется их верификацией при разнообразном тестировании (сравнение с точными решениями, с асимптотическими решениями, с результатами других численных методов, проверка сходимости при сгущении сеток), согласием полученных результатов с данными экспериментов и теоретическими работами других авторов, четким физическим смыслом и согласованностью с современными представлениями о предмете исследования.

БЛАГОДАРНОСТЬ

Эта работа является свидетельством и знаком глубокой благодарности за предоставленную мне в жизни бесценную возможность жить и работать рядом и вместе с моими близкими, друзьями, единомышленниками, сотрудниками, учителями: А.В.Бобылевым, И.А.Бобылевой, К.В.Брушлинским,

A.Г.Елфимовым, Г.Г.Зукакишвили, А.А.Ивановым, В.И. Карасем, Н.В.Каржавых, Л.В.Крупновой, М.Г.Кузьминой, М.В.Масленниковым, Е.А.Минервиной, Ю.Н.Орловым, Т.С.Повещенко, Ю.П.Поповым, А.А.Самарским, В.П.Силиным,

B.А.Чуяновым, А.С.Агеуеск», Ь.К^епАо и светлой памяти В.Я.Арсениным, Т.А.Гермогеновой, Ф.И.Каржавых, Б-Рии.

1. Больцман J1. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат, 1956

2. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978

3. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974

4. Ландау Л.Д. Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия, ЖЭТФ,1937,т.7,с.203

5. Б.А.Трубников В сб.: Вопросы теории плазмы. Вып.1, М.:- Госатомиздат, 1963,с.98

6. М. Rosenbluth, W. MacDonald and D. Judd. Phys. Rev., 107, 1 (1957).

7. S. Jin, L.Pareschi, G.Toscani, Diffusive relaxation schemes for multiscale transport equations, SIAM J.Numer.Anal.38 (2000), 913-936

8. P.A.Markowich, C.Pareschi, C.Schmeiser Semiconductor equations. SpringerVerlag, Wien-New York, 1989

9. Degond P., Pareschi L. and J.Russo Modelling and computational methods for kinetic equations, Series: Modeling and simulation inScience, engineering and technology, Birkhauser, Boston 2004

10. Bobylev A.V., Carillo J.A., Gamba I.M. On some properties of kinetic and hydrodynamics equations for inealstic interactions, J. of Stat. Phys. 2000, v.98,p.743-773.

11. Аристов В.В., Черемисин В.А. ЖВМиМФ, 1979, т.19, с.185

12. В.В.Аристов, Ф.Г.Черемисин, Прямое численное решение кинетического уравнения Больцмана, ВЦ РАН,М.,1992

13. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981

14. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971

15. Вычислительные методы в физике плазмы. М.: Мир, 1974.

16. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы, Наука, 1982

17. Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез. -М.: Мир, 1980

18. J.Killeen,A.A.Mirin, M.E.Rensink, Controlled Fusion, v.16 of Methods in Computational Physics (Academic, New York, 1976), p.389

19. V. Yu. Bychenkov, J. Myatt, W. Rozmus, and V. T. Tikhonchuk, Phys. Review E 52, 6759 (1995).

20. Параил В.В., О.П. Погуце. Ускоренные электроны в токамаке. В сб. Вопросы теории плазмы, вып.11. М.: Энергоиздат, 1982, с.5-55

21. Бобылев A.B., Потапенко И.Ф., Чуянов В.А. Кинетические уравнения типа Ландау как модель уравнения Больцмана и полностью консервативные разностные схемы // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1980, т. 20, с. 993-1004.

22. Бобылев A.B. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: Труды ИПМ АН СССР, 1987. 251 с.

23. P.I.Bhatnagar, E.P.Gross, M.Krook, A model for collision process in gases.1. Phys.Rev. 94, 1954,p.511.

24. S.Livi, E.Marsch, Comparison of the BGK approximation with the exact Coulomb collision operator Phys.Rev A, 1986,v.34, n.l, p.533-540.

25. Самарский A.A. Теория разностных схем. M.: Наука, 1977

26. Яненко Н.Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Наука, СО, 1967

27. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. Наука, 1977

28. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативная разностная схема дискретных ординат для решения кинетических уравнений методом расщепления // Чис. методы в динамике разреж. газов. М.: ВЦ АН СССР, 1977

29. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. ДАН, 1959,т.124, с.529

30. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. ЖВМиМФ, 1961, т.1,с.5

31. Попов Ю.П., Самарский А.А. ЖВМиМФ, 1969, т.9, с.953

32. Попов Ю.П., Самарский А.А. ЖВМиМФ, 1970, т.Ю, с.990

33. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1970

34. Головизнин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. ДАН, 1979, т.246, с. 1083

35. D.Greenspan, Conservative motion of discrete, tetrahedral tops and gyroscopes, Applied Mathem.Modelling, 22,1998, p.57-68, Conservative difference formulations of Carogero and Toda Hamiltonian systems, Computers Math. Applic., v.l9,n2,pp.91-95,1990

36. B.A. Дородницин, Конечно-разностный аналог теоремы Нётер, ДАН,т.328,1993, б, с.678-682

37. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М., Мир, 1986 -528с.

38. Арсеньев A.A. О приближении уравнения Больцмана решениями стохастических дифференциальных уравнений Ито // ЖВМиМФ 1986. т.27, с.560-567

39. Арсеньев A.A. О приближении уравнения Больцмана стохастическими уравнениями // ЖВМиМФ 1988. т.29, с.400-410

40. Змиевская Г.И.,Пярнпуу A.A., Шематович В.И. ДАН СССР, 1979, т.258,4, 815-820

41. Змиевская Г.И.,Пярнпуу A.A., Шематович В.И. ДАН СССР, 1982, т.266, 3,573-576

42. Артемьев С.С., Аверина Т.А. Новое семейство численных методов решения СДУ. ДАН СССР, 1986, т.288,4, 777-780

43. A.V. Bobylev and К. Nanbu, Phys. Rev E., 61, 4576-4586 (2000)

44. A.V. Bobylev, E. Mossberg, I.F. Potapenko In Proceed. 25 Int. Conf. on Rarefied Gas Dynamics, St.Pitersburg, Russian Federation, July, 2006

45. A.B. Бобылев, B.A. Чуянов О численном решении кинетического уравнения Ландау, ЖВМиМФ, 1976, т.16, с.407-416

46. Волосов В.И., Пеккер М.С. В сб. Численные методы механики сплошной среду. Новосибирск, Наука,1979,т.10,с.45

47. Волосов В.И., Пеккер М.С. О методах решения двумерной задачи для уравнения Фоккера-Планка. ЖВМиМФ, 1980, т.20, с. 1341

48. Пеккер М.С. Продольное удержание в магнитной ловушке с вращающейся плазмой (численный эксперимент). Диссертация на соискание уч.ст. канд. физмат. наук. Новосибирск, 1983, ИЯФ СО АН СССР

49. Дагман Г.Э., Пеккер М.С. Препринт ИЯФ 81-81, 1981, ИЯФ СО АН СССР

50. Degond P. and В. Lucquin-Desreux An entropy scheme for the Fokker-Planck collision operator of plasma kinetic theory, Numer.Math. 1994, v.68 p.239-262.

51. И.Ф. Потапенко, B.A. Чуянов. О полностью консервативных разностных схемах для системы уравнений Ландау // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1979, т. 19, с. 458-463.

52. Потапенко И.Ф., Чуянов В.А. Полностью консервативная разностная схема для двумерного уравнения Ландау // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1980, т. 20, с. 513-526.

53. Бобылев A.B., Потапенко И.Ф., Чуянов В.А. Кинетические уравнения типа Ландау как модель уравнения Больцмана и полностью консервативные разностные схемы // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1980, т. 20, с. 993-1004.

54. Бобылев A.B., Потапенко И.Ф., Чуянов В.А. Законы сохранения и полностью консервативные разностные схемы для кинетических уравнений типа Ландау-ФоккерагПланка // ДАН СССР. 1980, т.255, с. 1348-1352.

55. Потапенко И.Ф., Чуянов В.А. Полностью консервативная схема для двумерного уравнения Ландау (анизотропные потенциалы Розенблюта). Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1982, т. 22, с. 751-756.

56. Потапенко И.Ф. Численное моделирование столкновительных процессов на основе нелинейного уравнения Фоккера-Планка в задачах физики плазмы.

57. Дискретное моделирование плазмы. //Сборник трудов под ред. Ю.С.Сигова ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, Москва, с. 197-223, 1990.

58. Potapenko I.F., Azevedo С.А. The completely conservative difference schemes for the nonlinear Fokker-Planck equations // J. of Comput. and Appl. Mathem. 1999, v.103, p.115-123

59. Potapenko I.F., Bobylev A.V., Azevedo C.A., Assis A.S. Evolution of the distribution function tails for the power law interaction potentials // Phys. Rev. E. 1997, v.56, p. 7159-7166.

60. Potapenko I.F., Bornatici M., Karas V.I. Quasi steady-state distributions for particles with power-law interaction potentials // J. of Plasma Physics. 2005, v.71, p.859-875.

61. Бобылев A.B., Потапенко И.Ф. Релаксация в двухтемпературной плазме. В сб. Современные методы магнитного удержания, нагрева и диагностики плазмы. Харьков: ХФТИ, 1982, т.2, с.124-126.

62. Bobylev A.V., Potapenko I.F., Sakanaka Р.Н. Relaxation of two-temperature plasma // Phys. Rev. E. 1997, v.56, p. 2081-2093.

63. Potapenko I.F., Bobylev A.V., Azevedo C.A., Assis A.S. Temperature relaxation in collisional non equilibrium plasmas // Physica A. 1998, v.257, p.483-487.

64. Potapenko I.F., Bobylev A.V., Azevedo C.A., Sakanaka P.H., Assis A.S. On the relaxation of cold electrons and hot ions // Phys. of Plasmas. 1998, v.5, p.36-44.

65. Karas V.I., Karas I.V., Potapenko I.F. Formation of steady-state nonequilibrium distributions of the Coulomb interacting particles// Physica Scripta. 2002, T98. p.141 -142.

66. Карась В.И., Потапенко И.Ф. Численное моделирование формирования неравновесных стационарных распределений частиц со степенными потенциалами взаимодействия // Физика плазмы. 2002, т.28, с. 837-846.

67. Карась В.И., Потапенко И.Ф. Формирование стационарных неравновесных распределений кулоновски взаимодействующих частиц // Вопросы атомной науки и техники. Серия "Плазменная электроника и новые методы ускорения". 2003, 4(3), с. 137-142 .

68. Карась В.И., Потапенко И.Ф. Квазистационарные функции распределений частиц для уравнения типа Ландау-Фоккера-Планка при наличии источников // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 2006, т.46, с. 307-317.

69. Елфимов А.Г., Потапенко И.Ф., Сидоров В.П. Функция распределения электронов и токи увлечения в статическом электрическом и высокочастотном полях в квазилинейном приближении // Физика плазмы. 1989, т.15, с. 1180-1186.

70. Потапенко И.Ф., Чуркина Г.П., Чуянов В.А. Численное моделирование нагрева электронов в лазерной плазме // Математическое моделирование. 1994, т.6, с.49-62.

71. Potapenko I.F., Assis A.S., Azevedo С.А. Electron acceleration due to the syn-ergetic effect of DC electric field and waves // Physica Scripta. 1998, v.T75, p. 142-144.

72. Potapenko I.F., Azevedo C.A. Numerical simulation of heating problems for aweakly collisional plasma // Computer Phys. Communications. 1999, v. 121-122, p.274-277.

73. Potapenko I.F. , Elfimov A.G., Assis A.S., Azevedo C.A. Anamalous electron precipitation near the Earth's auroral zone unduced by the wave-particle interaction // Phys. of Plasmas. 1997, v.4, p. 2269-2275.

74. Potapenko I.F., Azevedo C.A., Sakanaka P.H. Electron heating and acceleration by Alfvén waves with varying phase velocity // Physica Scripta. 2000, v.62, p.486-490.

75. Потапенко И.Ф. Нагрев и ускорение электронов при изменении фазовой скорости волн в магнитосфере Земли // Вопросы атомной науки и техники. Серия "Плазменная электроника и новые методы ускорения". 2006, 5, с. 163-170. .

76. А.Г.Елфимов, И.Ф.Потапенко. Численное моделирование влияния запертых частиц на альфвеновский ток увлечения в присутствии электрического поля. М.:-ИПМ АН СССР, N 197,1988

77. А.Г.Елфимов, И.Ф.Потапенко, Г.П.Чуркина. Численное моделирование генерации альфвеновского тока увлечения пролётными частицами. М.:- ИПМ АН СССР, N 128, 1991

78. И.Ф.Потапенко. Функция распределения убегающих электронов. М.:- ИПМ АН СССР, N 67, 1986

79. Елфимов А.Г., Потапенко И.Ф., Сидоров В.П. Функция распределения электронов и генерация тока увлечения в статическом электрическом поле. М.:-ИПМ АН СССР, N 164, 1987

80. Бобылев А.В., Потапенко И.Ф. Асимптотические решения кинетического уравнения типа Ландау. М.:- ИПМ АН СССР, N 5, 1985

81. F.Potapenko, C.A. de Azevedo. Numerical simulation of heating problems for a weakly collisional plasma // Computer Physics Communications, 1999. v. 121-122, pp.274-277.

82. A.G.Elfimov, A.S.de Assis, C.A. de Azevedo, N.I.Grishanov , F.M.Nekrasov, I.F.Potapenko, V.S.Tsypin. Alfven wave heating and current drive analysis in magnetized plasma structures. //Brazilian Journal of Physics, 1995, v.24, p.224 70.

83. Garina S.M., I.F.Potapenko, Grishanov N.I., Elfimov A.G. RF- heating of plasma in gas-dynamic trap. // Proc. of the Workshop on Open Traps, Moscow, USSR, 1989, pp.82-90

84. I.F.Potapenko, de Assis A.S., A.G. Elfimov, de Azevedo C.A. A study on auroral electron precipitation. //In: Proc. of VII Latin American Workshop on Plasma Physics 1997, January, Caracas, Venezuela.

85. Elfimov A.G., I.F.Potapenko, Churkina G.P., Dmitrieva M.V. Spectral and Impedance Plasma Properties in Helical Magnetic Field. //In: Proceed, of 18 European Confer. CONTROLLED FUSION AND PLASMA PHYSICS. Berlin, June 1991, v.III, p.2.

86. Garina S.M., Grishanov N.I., Elfimov A.G.,I.F.Potapenko. RF plasma Heating in the Gas-Dynamics Mirror Trap.// //In: Proceed, of 17 Europ.Confer. CONTROLLED FUSION AND PLASMA PHYSICS. Amsterdam, June 1990, v.III,p.1064

87. Elfimov A.G., I.F.Potapenko, Sidorov V.P. Electrical field effect on Alfven driving currents// In: Proceed, of 15th European Confer. CONTROLLED FUSION AND PLASMA PHYSICS. Dubrovnik, May 1988, part 3, p.1019.

88. Коган В.И. О скорости выравнивания температур заряженных частиц в плазме. В сб. Физика плазмы и проблема упр.терм. реакций, т.1 М.: Изд. АН СССР, 1958, с.130-137

89. Маслова Н.Б., Чубенко Р.П. Релаксация в одноатомном пространственно-одномерном газе. Вестник ЛГУ, 1976 вып. 13, с.90-97

90. Григорьев Ю.Н., Михалицын А.Н. Численное исследование изотропнойрелаксации в газе с максвелловским взаимодействием // ЖВМ и МФ, т.25, N 5, с. 742-756

91. B.R.Beck, J.Fajans, J.H.Malmberg. Temperature and anisotropic-temperature relaxation measurements in cold, pure-electron plasmas //Phys.Plasmas 3(4),1996,c.1250-1258.

92. Карась В. И. // Письма в ЖЭТФ. 1975. - Т. 1. С. 1020.

93. Асеевская А. С., Ивкин Е. В., Коломиец Б. Г.// Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 2. С. 305.

94. P.M. Platzmann, Р.А. Wolf. Waves and interactions in solid state plasmas, Academic Press, New York and London, 1973.

95. Анисимов С. И., Имас Я. А., Романов Г. С., Ходыко Ю. В. Действие излучения большой мощности на металлы. М.: Наука, 1970. 272 с. 8.

96. R.A. Baragiola, С.А. Dukes, P. Riccardi Plasmon excitation in ion-solid interactions Nucl. Instr. and Meth. B182, 73 (2001).

97. Karas'V. I., Moiseev S. S., Novikov V. E. Nonequilibrium power disribution functions of particles and their application. // Proc. XV Int. Conf. on phenomena in ionized Gases, 14-18 July 1981, Minsk. 1981. V. 1. P. 73.

98. Кац А. В., Конторович В. M., Моисеев С. С., Новиков В. Е. // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 21. С. 13.

99. Карась В. И., Моисеев С. С., Новиков В. Е. Механизм образования "быстрых электронов"эмиссии из металла, индуцированной лазером // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 21. С. 525.

100. Карась В. И., Моисеев С. С., Новиков В. Е. Неравновесные стационарныераспределения частиц в твердотельной плазме // ЖЭТФ. 1976. - Т. 71. С. 14

101. Карась В. И., Моисеев С. С., Шуклин А. П. // УФЖ. 1980. Т. 25. С. 820.

102. Кац A.B., Конторович В.М., Моисеев С.С., Новиков В.Е. Точные степенные решения кинетических уравнений для частиц, 1976, ЖЭТФ, т.71, 1, 177-192

103. Журенко В.П., Кононенко С.И., Карась В.И. и др. Диссипация энергии быстрой заряженной частицей в твердотельной плазме // Физика плазмы. 2003, т. 29, №2, с. 1-7.

104. Колмогоров А. Н. // ДАН СССР. 1941. Т. 30. С. 299.

105. Захаров В.Е. // ЖПМТФ. 1965. N 4. С. 35.

106. L. Spitzer, Physics of fully ionized gases, Interscience, Wiley, New York 1962.

107. Будкер Г.И. Термоядерные реакции в системе с магнитными пробками. К вопросу о непосредственном преобразовании ядерной энергии в электрическую. -В сб. "Физика плазмы и проблема упр.терм.реакций",т.1. М.: Изд.АН СССР,1958.

108. Post R.F., Fowler Т.К., Killeen J., Mirin A.A. Phys. Rev. Lett.,1973, v.31, n 5, p.280

109. J. Killeen, Nuclear Fusion v. 16, p. 841, 1976.

110. В.П. Пастухов В сб.: Вопросы теории плазмы. Вып.15, М.:- Госатомиздат,1983,с. 160

111. В.В. Мирнов, В.П.Нагорный, Д.Д.Рютов Газодинамическая ловушка с двухкомпонентной плазмой. Препринт ИЯС СО АН СССР 84-40, Новосибирск,

112. В.В. Мирнов, Д.Д.Рютов Газодинамическая ловушка. Препринт ИЯС СО

113. АН СССР 88-70, Новосибирск, 1988.

114. Димов Г.И. Препринт ИЯС СО АН СССР 77-46, Новосибирск, 1977

115. A tandem mirror technology demonstration facility. Preprint UCID-19328, Livermore, 1983

116. Zukakishvili G.G., Ryzhkov V.N., Salukvadze R.G., Tikhanov Eh.K., et al. In.: Proc. of the X Int/ Conference on Plasma Physics and Controleed Nuclear Fusion Research (London, 1984). Vienna, IAEA, 1985, v.2, p. 359.

117. Велихов Е.П., Карташев К.Б. В сб.: Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 1986, вып.1, с.З.

118. Cordey, J.A., J. Eldington, D.F.H. Start, 1982 Plasma Physics 24, p.73

119. Benz A.O. and Smith D.F. Sol. Phys. 107,p.299, 1987

120. R.O. Dendy, B.M. Harvey, M.O. O'Brien, R.Bingham. JGR, 100, 21973 (1995).

121. Hasegawa A. & Mima K., 1978; JGR 96,3533

122. Hasegawa A. and T.Sato, 1989; Space Plasma Physics.

123. Kaplan & Tsytovich 1973; Plasma Astrophysics. Pergamon, Oxford

124. Kulsrud R.M., Sun Y-C., Winsor N.K., Fallon H.A., 1973; Phys. Rev. Lett 31,690

125. Kundu, M. R., and Vlahos, L. 1982, Space Sci. Rev., 32, 405.

126. Melrose D.B., 1980; Plasma Astrophysics, Vols.l & 2. Gordan and Breach, New York

127. Melrose D.B., 1989; Instabilities in Space and in Laboratory Plasmas. Cambridge University Press, Cambridge

128. Melrose D.B., 1993; Turbulent Acceleration in Solar Flares, Invited Paper, IAU

129. Colloq. No. 142, University of Maryland, USA

130. Ubertoi, C., Vedenov, A.A., 1967; in: Leontovich M.A. (ed) Reviews of Plasma Physics, Vol. 3. Consultants Bureau, New York

131. Dreicer, H. (1960). Electron and ion runaway in fully ionized gas. II, Phys. Rev. 117, 329.

132. Yu.N. Dnestrovskij, D.P. Kostomarov, A.P. Smirnov Nuclear Fusion, 17, 433 (1977).

133. Moghaddam-Taaheri, E,, and Goerts, С. K., Acceleration of runaway electrons in solar flares// The Astrophysical Journal, 352, p.361, 1990.

134. Веденов A.A., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. Ядерный синтез, т.1, с.82,1961.

135. Рудаков Л.И., Сагдеев Р.З. В сб. "Физика плазмы и проблема упр.терм.реакций", т.З, с.268 М.: Изд.АН СССР, 1958.

136. Веденов А.А. В сб.: Вопросы теории плазмы. Вып.1, М.:- Госатомиздат, 1963.

137. Б.Н.Брейзман, Я.Вейланд. О вычислении коэффициента квазилинейной диффузии. Препринт ИЯС СО АН СССР 83-32, Новосибирск, 1983.

138. Колесниченко Я.И, Параил В.В., Переверзев Г.В. Генерация неиндуктивного тока в токамаке. Вопросы теории плазмы. Вып.17, М.:-Госатомиздат, с.3-156, 1989.

139. Yu.N. Dnestrovskij, V.V. Parail, D.P. Kostomarov, et al. // 12th Europ. Conf. on Contr. Fusion and Plasma Phys. Budapesht, 1985. Contrib. Papers. P.II, p.200.

140. Гуревич А.В., Димант Я.С., Днестровский Ю.Н., Смирнов А.П., Физика плазмы, 1979, т.5, с.777

141. Fisch N.J., C.F.F.Karney. Current generation with frequency waves // Phys.1. Fluids, v.24, p.27, 1981

142. Yu.N. Dnestrovskij, D.P. Kostomarov, et al. Toroidal and electric field effects on current drive in tokamaks by lower hybrid and electron cyclotron waves // Nuclear Fusion, v.28, p.267, 1988.

143. Yoshioka K., Antonsen T.M. Neoclassical effects on RF current drive in toka-mak // Nuclear Fusion, v.24 p.27, 1984

144. Elfimov A.G., Puri S. Current drive via Landau damping of kinetic Alfven wave in toroidal geometry // Nuclear Fusion, v.30, p.1215, 1990

145. Lundin R., G. Gustafsson, A.I. Eriksson, and G. Marklund, On the importance of high- altitude low-frequency electric fluctuations for the escape of ionospheric ions, J. Geophys. Res., 95, 5905, 1990.

146. Ungstrup , E., A.Bahnsen, H.K. Wong, M. Andr'e, and L. Matson, J. Geophys. Res., 95, p.5973, 1990.

147. Trakhtengerts, V.Yu., Alfven masers in active experiments in space, Eur. Space Agency Spec. Publ., ESA SP-195, 67, 1983.

148. П.А. Беспалов, В.Ю.Трахтенгерц. Альфвеновские лазеры. Горький: ИПФ АН СССР, 1986

149. T.G.Rosenberg, J.C.Siren, D.L.Matthews, et al., J.Geophys. Res., 86, p.5819-5832, 1981.

150. Davidson G.T., Space Sci. Rev., 53, 45, 1990.

151. Villalon E., W. J. Burke, P.L.Rothwell, M. B. Silevitch, J. Geophys. Res., 94, 15243, 1989.

152. Alpert, Ya.L. The Near Earth and Interplanetary Plasma, 1, Cambridge University Press, 1976.

153. Knudsen, D.J., M.C. Kelley, J.F. Vickrey, J. Geophys. Res., 95, p.5905, 1990.

154. Smith, M.J.,D.A.Bryant,and T.Edwards, J. Atmos. Terr. Phys., 42, p. 167,1980.

155. Lindqvist, P.-A. and G.T. Marklund, J. Geophys. Res., 95, 5867, (1990).

156. Mozer F.S., C.A. Cattell, M.K. Hudson, R.L. Lysak, M.Temerin, and R.B. Torbert, Space Science Reviews, 27, p. 155, 1980.

157. Ionson, J. A., Resonant absorption of Alfvinic surface waves and the heating of solar coronal loops, The Astrophys. Journal, 226, p.650, 1978.