автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Адаптивные численные методы для моделирования замагниченной плазмы

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Адаптивный сеточно-характеристический метод решения одномерного уравнения переноса.

1.1 Использование известного аналитического решения и кубической интерполяции.

1.2 Алгоритм одномерной адаптации пространственной сетки к градиенту численного решения.

ГЛАВА 2. Применение АСХМ к решению трехмерного 1D2V уравнения Фоккера-Планка.

2.1 Постановка физической задачи.

2.2 Метод покомпонентного расщепления для уравнения Фоккера-Планка

2.3 Модификация АСХМ для неоднородных граничных условий.

2.4 Дискретизация операторов, описывающих ускорение в электрическом поле.

2.5 Аппроксимация операторов, описывающих кулоновское рассеяние частиц.

2.6 Численное моделирование автомодельных решений кинетического уравнения с источником.

2.7 Распараллеливание вычислений на многопроцессорной ЭВМ.

ГЛАВА 3. Физические расчёты пристеночной плазмы токамаков.

3.1 Моделирование стационарных течений SOL плазмы.

3.2 Моделирование нестационарных переходных процессов в SOL токамака.

ГЛАВА 4. Математическое моделирование излучающего двумерного фронта в пристеночной плазме токамака.

4.1 Постановка модельной задачи.

4.2 Описание численного метода.

4.3 Моделирование бифуркации излучающего фронта в пристеночной плазме.

ГЛАВА 5. Адаптивные численные методы для жидкостного моделирования замагниченной плазмы.

5.1 Квазиодномерный адаптивный метод конечных объёмов на треугольных сетках.

5.2 Тестирование метода на точном аналитическом решении неоднородного нелинейного уравнения диффузии.

5.3 Аппроксимация квазилинейных уравнений на множестве несвязанных узлов. Демонстрационные расчёты.

Численное исследование самосогласованной динамики плазмы является актуальным для решения проблем управляемого термоядерного синтеза и других научно-технических приложений. В конце шестидесятых - начале семидесятых годов существенный прогресс в исследованиях на установках токамак поставил задачу детального количественного сопоставления эксперимента с теорией, требующего применения методов математического моделирования, поскольку многие величины, фигурирующие в выводах теории, непосредственно в эксперименте не наблюдаются и не измеряются. Разнообразные физические процессы в плазме могут быть описаны с помощью нелинейных уравнений в частных производных [1]. Аналитическое исследование подобных физических систем крайне ограничено. Экспериментальное изучение сложных явлений динамики плазмы часто оказывается весьма дорогостоящим, трудно осуществимым. По мере развития ЭВМ все более широкий круг задач теории плазмы исследуется путем привлечения и развития новых численных методов. В результате вычислительного эксперимента могут быть получены данные, позволяющие уточнить теоретические представления об исследуемых явлениях, а также объяснять и предсказывать натурный эксперимент. Численный эксперимент включает несколько основных этапов: построение математической модели, разработка алгоритма решения и построения разностной схемы, создание программы, реализующей построенный алгоритм, тестирование и отладка кода, проведение расчётов и анализ полученных результатов.

В настоящей работе рассмотрено численное моделирование ряда одно- и двумерных задач, встречающихся при изучении пристеночной плазмы токамака. Актуальность этой работы продиктована необходимостью решения задачи УТС в установках типа токамак в рамках программы ИТЭР [45], в частности, проблемы энергосъёма с использованием дивертора или диверторных пластин.

Токамаки имеют тороидальную симметрию, полоидальный разрез токамака с дивертором представлен на Рис. 1а. Сильное магнитное поле имеет достаточно сложную конфигурацию. Вблизи магнитной оси силовые линии магнитного поля замкнуты. В этой области температура горячей плазмы достигает 10 кэВ. По мере медленного диффузионного продвижения в направлении радиуса (при этом также быстро двигаясь вдоль магнитных силовых линий) заряженные частицы плазмы: электроны и ионы, достигают так называемой сепаратрисы, линии, отделяющей замкнутые и открытые магнитные силовые линии. Как только заряженные частицы плазмы достигают открытых линий, плазма быстро "стекает" в дивертор вдоль так называемого SOL (scrape-off layer) - тонкого пристеночного слоя в направлении сепаратрисы. Для SOL плазмы с температурой порядка 100 эВ и длины силовой линии L=10m, толщина слоя

А ~ DL/VT ~ lm2 /c l0m)/104l00eVm7c~lcm где D - есть аномальный коэффициент диффузии, VT - тепловая скорость ионов. Таким образом, scrape-off layer в математической модели можно считать квазиодномерным.

Диссертационная работа состоит из Введения, пяти глав, Заключения и Приложения, изложенных на 130 страницах

Заключение

Сформулируем новые результаты, полученные в данной работе.

1)Разработан адаптивный сеточно-характеристический метод (АСХМ) для численного решения простейшего одномерного уравнения переноса. Метод использует известное аналитическое решение и кубический сплайн с линейной коррекцией, что обеспечивает устойчивость при любом шаге по времени, высокую точность и положительную определенность решения, что было проверенно в ряде тестовых расчетов. По сравнению с традиционными, данный метод эффективно применим к резко меняющимся в пространстве функциям.

2)Предложена схема расщепления по физическим процессам и координатам для численного моделирования ЗБ (одномерного по пространству и двумерного по скорости) уравнения Фоккера-Планка, в котором метод АСХМ использован для шага, описывающего пространственный перенос с учетом неоднородных граничных условий. Расчет ведется с использованием адаптивной по пространству и неравномерной по скоростям сетки в аксиально-симметричных сферических координатах. Модель учитывает полные нелинейные электрон-электронные кулоновские столкновения, кулоновское рассеяние электронов на ионах, амбиполярное параллельное электрическое поле, самосогласованный плавающий потенциал на границе. Все члены в численной схеме тщательно тестируются относительно известных точных результатов. Метод реализован на одно- и многопроцессорной ЭВМ с использованием пространственной декомпозиции. Написаны соответствующие версии универсальной программы ALLA на языке Фортран-77.

3)Предложена кинетическая модель для изучения течения замагниченной пристеночной плазмы в scrape-off layer диверторного токамака. Проведены численные расчеты с помощью программы ALLA стационарных режимов работы двух экспериментальных установок Alcator C-Mod и TdeV. В качестве входных параметров использовались данные экспериментов. Обнаружены многочисленные кинетические эффекты, которые должны использоваться при анализе эксперимента, в транспортных моделях и при проектировании токамаков-реакторов. Показано что в SOL плазме параллельный транспорт является нелокальным, в результате чего коэффициент теплопроводности многократно превышает классический, равно как и скорости элементарных неупругих процессов с участием электронов - свои Максвелловские значения. Также установлено, что пристеночный потенциал и данные зондовых измерений температуры плазмы имеют завышенное в 2-6 раз значение. Предлагается кинетическое объяснение асимметрии электронной температуры вверх-вниз по потоку в области Х-точки при измерении экранированными ленгмюровскими зондами.

4)Численно исследуются нестационарные пристеночные (т.н. ELM) моды в SOL плазме токамака. Существующие асимптотические решения столкновительного кинетического уравнения с источником энергии и стоком частиц, используются для тестирования разностного оператора кулоновских столкновений в нестационарном режиме. Моделируется вспышка ELM и её динамика в SOL плазме рельной установки. Показано заметное усиление кинетических эффектов, характерных для стационарного течения при переходном режиме. В частности рассчитано, что пристеночный потенциал возрастает в 10 раз, что ведет к усилению бомбардировки стенки ионами, и должно учитываться при проектировании диверторов токамака-реактора типа ИТЭР.

5)Поведение излучающего фронта в диверторной области токамака изучается на примере решения двумерного нелинейного уравнения теплопроводности с сильно нелинейным стоком, соответствующим потерям на излучающей примеси в пристеночной плазме. Написана и протестирована соответствующая С++ программа. Моделируется резкий переход от режима с присоединенной плазмой к важному режиму с отошедшей плазмой (т.н. детачмент). Исследована бифуркация излучающего фронта при варьировании теплового потока. Численно получена кривая гистерезиса. Результаты могут служить объяснением наблюдаемого спонтанного отрыва излучающего фронта от пластин при переходе к детачменту в токамаках.

6)Предложен эффективный квази-одномерный метод построения неструктурированной двумерной треугольной сетки с использованием АСХМ. Сетка адаптируется к градиентам в обоих пространственных направлениях, а одна грань треугольной ячейки автоматически оказывается параллельной магнитному полю. Это свойство важно для точного моделирования анизотропного транспорта в замагниченной плазме. Предложен оригинальный метод построения консервативной схемы на треугольных адаптивных сетках, который иллюстрируется на примере нелинейного уравнения диффузии с источником. Написана соответствующая программа на языке Фортран-90. Для целей тестирования получены точные аналитические решения нелинейного уравнения теплопроводности со стоком, которые имеют резкие клиновидные фронты резкого изменения температуры. Показано, что для достижения той же точности расчета для задач с У-образными фронтами, метод адаптивной сетки требует в 10-100 раз меньше пространственных узлов, чем метод с фиксированной сеткой.

7)Сделана попытка использовать разработанный ранее бессеточный метод для моделирования распространения тепла в пристеночной плазме токамака. Решены две модельные квазилинейные задачи: в прямоугольной области и в реальной геометрии первой стенки и дивертора установки АкаШг С-Мос1. Показано, что метод позволяет эффективно находить решение в областях сложной формы при наличии сильной анизотропии плазменных параметров. Поскольку метод не консервативный, но быстрый, предлагается использовать его с целью получения начального решения, которое затем уточняется медленными жидкостными транспортными кодами.

1. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков.-М.: АтомиздатД979.

2. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме,-В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып 1. -М.: Атомиздат, 1963, с.183-272.

3. Трубников Б. А. Столкновения частиц в полностью ионизированной плазме,-В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып1. -М.: Атомиздат, 1963, с.98-182.

4. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат, 1956.

5. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы-М.: Наука, 1982.

6. МарчукГ. И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1980.

7. Марчук Г. И. Методы расщепления. -М: Наука, 1988.

8. Магомедов K.M., Холодов A.C. Сеточно-характеристические численные методы. -М: Наука, 1988.

9. Холодов А. С., Математическое моделирование , т.З, с. 104, 1991.

10. Ландау Е.М. Лифшиц Л.Д. Физическая кинетика. т. 10 -М.: Наука, 1976.

11. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. -М.: Наука, 1985.

12. Самарский A.A. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1977. 13 Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточныхуравнений. -М, Наука, 1977.

13. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. -М.: Мир, 1975.

14. Сигов Ю.С. В сб.: Численное моделирование коллективныхпроцессов в плазме, (под редакцией М.В. Масленникова) -М.:131

15. Издательство ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980.

16. R.Chodura, Contrib. Plasma Phys. 32, с. 219, 1992.

17. R.J.Procassini, C.K.Birdsall, and B.I.Cohen, Nucl. Fusion 30, 2329 (1990).

18. M.M.Shoucri and G.Gagne, J. Сотр. Phys. 27, c. 315, 1978.

19. S.I.Krasheninnikov, Contrib. Plasma Phys. 34, c. 151, 1994.

20. H.Zohm, F.Wagner, M.Endler, J.Germhardt,E.Holzhauser, W Kerner, and V.Mertens, Nucl. Fusion, 32, c. 489, 1992.

21. Сборник серии 'Вычислительные методы в физике' (под редакцией Дж. Киллина) Управляемый термоядерный синтез -М.: Мир, 1980.

22. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. -М, Наука, 1976.

23. Недоспасов А.В., Токарь М.З. Пристеночная плазма в токамаках, в Сб. научных статей 'Вопросы теории плазмы ' (под редакцией Б.Б. Кадомцева) Выпуск 18. -М, Энергоиздат, 1990.

24. J.A. Albritton, Е.А. Williams, I.B. Bernstein, and К.Р. Swartz, Physics Rev. Letters 57,1887, 1986.

25. S.A.Khan and T.D.Rognlien, Phys. Fluids 24, 1442 (1981).

26. R.H.Cohen and T.D.Rognlien, Contrib. Plasma Phys. 34,198, 1994.

27. F. Wising , D.A.Knoll, S.I.Krasheninnikov, T.D.Rognlien, D.J.Sigmar, Contrib. Plasma Phys. 36(2/3), 136, 1996.

28. Cray MPP Reference Manual, SR-2504 6.2, Cray Research, Inc.132

29. Крашенинников С.И., ЖЭТФ, т.67, с. 2483, 1988.

30. Hill D. N., J. Nucl. Mat., 241-243,182,1997.

31. Epperlein E. M., Phys. Rev. Letters, 69, 1765, 1992.

32. I.H.Hutchinson et al., Physics of Plasmas 1, 1511 , 1994.

33. A.A.Batishcheva, M.M.Shoucri, O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, I.P.Shkarofsky,

34. Fokker-Planck Simulation of Electron Transport in Scrape-of Layer" 1995 International Fusion Theory Conference, April 3-5, Incline Village, Nevada, lcl2, 1995

35. A.Batishcheva, O.Batishchev, S.Krasheninnikov, B.LaBombard, B.Lipschultz, D.Sigmar,"Kinetic Simulation of Electron Transport in C-Mod SOL Plasmas with Fokker-Planck ALLA Code", Bull APS 40 (11) 3P33, 1702, 1995

36. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, PJ.Catto, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar," 1D+2V Fokker-Planck Code ALLA", Bull. APS 40 (11) 9R12, 1880, 1995

37. P.Helander et al., J. Nucl. Mat., 241-243, p.279, 1997.

38. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, M.M.Shoucri, S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto, I.P.Shkarofsky, DJ.Sigmar, "A Kinetic Model of Transient Effects in Tokamak Edge Plasmas"P/ry.s7C.s' of Plasmas 3 (5), p. 1634, May 1996.

39. D.J.Sigmar, A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, P.J.Catto"Kinetic Models of ELMs burst", Contrib. Plasma Phys. 36 (2/3) 230, 1996.

40. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, M.M.Shoucri, I.P.Shkarofsky,"Fokker-Planck Simulation of ElectronTransport in SOL Plasmas with ALLA Code", Contrib. Plasma Phys. 36 (2/3) 235, 1996.

41. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, S.I.Krasheninnikov, DJ.Sigmar, A.E.Koniges, G.G.Craddock, V.Djorjevic,"Massively Parallel Fokker-Planck Code ALLA", Contrib. Plasma Phys. {36} (2/3) 414, 1996

42. Petrie T.W. et al., Journal of Nuclear Materials, v. 196-198, p. 848, 1992

43. ITER Conseptual Design Activity Final Report, No. 16, IAEA, Vienna, 1991.

44. D.A.Knoll, G.Lapenta, J.U.Brackbill 1998 In: Proceedings of the 16th International Conference on Numerical Simulation of Plasmas , Santa Barbara, CA, 10-12 February 1998, p.134

45. R.Marchand, F.Meo, M.Simard, B.Stansfield, E.Haddad, G.Abel, J.L.Lachambre, D.Pinsonneaut, N.Richard 1998 In: Proceedings of the 13th International Plasma Surface Interaction Conference, San Diego, CA, 18-22 May 1998, p. 3P-27 .

46. Zanino R., Contrib. Plasma Phys. 36, p. 407,1996.

47. Zanino R., Subba F., Contrib. Plasma Phys. 38, p. 355, 1998.

48. Baliga B.R., Patankar S.V., Numer. Heat Transfer 6, p.245, 1983.

49. G.D.Porter et al., Phys. Plasmas 3, 1967 (1996), D.E.Post et al., Power Balance in thr ITER Plasma and Divertor, Contrib. Plasma Phys. 36, 240 (1996).

50. B.Lipschultz et al., J.Nucl. Materials 145/147, 15 (1987).

51. Krasheninnikov S.I., "Two dimentional Effects in Plasma Radiation Fronts and Radiation Front Jumps in Tokamak Divertor Plasmas", Report Plasma Science and Fusion Center MIT, PSFC/JA-97-3, 1997.

52. Krasheninnikov S.I., Batishcheva A.A., Sigmar D.J. "On Structural Stability of Impurity Radiation Front", Proceedings of the EPS-97, 1997.

53. Krasheninnikov S.I., "Two dimentional Effects in Plasma Radiation Fronts .", Phys. Plasmas 4(11), 1997.

54. Krasheninnikov S.I., Batishcheva A.A., Simakov A.N.,

55. Radiation Fronts in Tokamak Divertor Plasmas", Phys.Plasmas., 5, p.2297, 1998.

56. V.Batishchev et al., S.I. Krasheninnikov, D.J. Sigmar, Yu.S. Sigov, and T.K. Soboleva,Contrib. Plasma Phys. 34, 436 ,1994.

57. O.V.Batishchev et al., X.Q. Xu, J.A. Byers, R.H. Cohen, S.I. Krasheninnikov, T.D. Rognlien, and D.J. Sigmar, Phys. Plasmas 3 (9) p.3386 ,1996.

58. J.P.Matte and J.Virmont, Phys. Rev. Lett. 49, 281, 1982.135

59. L.M.Montierth et al., R.L.Morse, and W.A.Newman, Phys. Fluids 1, 1911, 1989.

60. O.Batishchev, A.Batishcheva, S.Krasheninnikov, B.LaBombard, B.Lipschultz, D.Sigmar, J.Terry"Kinetic Effects in the Alcator C-Mod Scrape-off Layer", Bull APS 41 (7) 7R26, 1552, 1996.

61. M.M.Shoucri, I.P.Shkarofsky, B.L.Stansfield, O.V.Batishchev,

62. A.A.Batishcheva, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar,"Kinetic Modeling of Parallel Electron Transport in TdeV", Bull APS 41 (7) 7R33, 1553, 1996.

63. M.Shoucri, I.Shkarofsky, B.Stansfield, C.Boucher, G.Pacher,

64. B.LaBombard, B.Lipschultz, D.J.Sigmar, "Kinetic Simulation of Parallel

65. Transport and ELM Propagation in the Alcator C-Mod Tokamak", Journal of Nuclear Materials 241-243,374, 1997.

66. M.Shoucri, I.Shkarofsky, B.Stansfield, C.Boucher, G.Pacher, R.Decoste, O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar"Fokker-Planck Simulation of Parallel Electron Transport in the TdeV Tokamak"PET-6 workshop abstracts, 1.04,14, 1997.

67. O.Batishchev, D.Knoll, T.Rognlien, S.Krasheninnikov, M.Rensink, A.Batishcheva "Adaptive Grid Approaches and Multilevel Iterative Methods for SOL Transport Codes", PET-6 workshop abstracts, 11.03, 40, 1997.

68. A.Batishcheva, M.Shoucri, I.Shkarofsky, H.Pacher, O.Batishchev, S.Krasheninnikov, D.Sigmar, "Simulation of Plasma SOL Kinetic Effects with a 2D Fokker-Planck Code", Bull APS vol.42, No.10,1981, 1997.

69. A.A.Batishcheva, A.S.Kholodov, O.V.Batishchev "Application of a grid-free characteristic method to the SOL plasma simulation" Bull APS vol.42, No. 10, 2072, 1997.

70. O.Batishchev, B.Braams, D.Knoll, T.Rognlien, M.Rensink, S.Krasheninnikov, A. A.Batishcheva" Assessment of Adaptive Mesh Algorithms for SOL Plasmas Modeling" Bull APS vol.42, No. 10, 2072, 1997.

71. O.Batishchev, D.Knoll, T.Rognlien, S.Krasheninnikov, M.Rensink, A.Batishcheva"Adaptive Grid Approaches and Multilevel Iterative Methods for SOL Transport Codes",

72. Contrib. Plas. Phys. 38 (1/2), 361, 1998.

73. M.Shoucri, I.Shkarofsky, B.Stansfield, C.Boucher, G.Pacher, R.Decoste, O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar"Fokker-Planck Simulation of Parallel Electron Transport in the TdeV Tokamak"

74. Contrib. Plas. Phys. 38 (1/2), 225, 1998.

75. O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, A.S.Kholodov, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar"Unstructured Adaptive Grids and Grid-Free Methods for the EDGE Plasmas", Proc.l6th Int. Conf. on the Num. Sim. of Plasmas, Feb. 10-12, Santa-Barbara, CA, 248, 1998.

76. A.Batishcheva, O.Batishchev, "Multispecies Kinetic Model of Detached Plasmas", 1998 Int. Sherwood Fusion Theory Conference, March 23-25, Atlanta, Georgia, 1D07, 1998.

77. O.Batishchev, A.Batishcheva, D.J.Sigmar, "Adaptive Unstructured Grid Approach to SOL Modeling", 1998 Int. Sherwood Fusion Theory Conference, March 23-25, Atlanta, Georgia, 1D19, 1998.

78. M.Shoucri, I.P.Shkarofsky, G.Pacher, R.Decoste, O.Batishchev, A.Batishcheva,"Fokker-Planck Modeling of Transient Effects in the

79. EDGE Plasma of TdeV",1998 Int. Sherwood Fusion Theory Conference, March 23-25, Atlanta, Georgia, 2C08, 1998.

80. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, D.J.Sigmar,"Kinetic Effects During Elm Bursts in Tokamaks",13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 1P9, 1998.

81. A.S.Kholodov, A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, "Grid-Free and Adaptive Methods for SOL Plasma Simulations", 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 2P30, 1998.

82. A.S.Kukushkin and A.M.Runov, Contrib. Plasma Phys., 34 , p.204, 1994.

83. M.Shoucri, I.Shkarofsky, PJacquet, G.W.Pacher, R.Decoste, O.Batishchev, A.Batishcheva, 'Kinetic Modelling of the Transport in the Scrape-Off Layer of TdeV During L-H Current Drive", 13th Int. PSI Conf., May 18-22, San Diego, 3P41, 1998.

84. Yu.L.Igitkhanov and A.M.Runov, Contrib. Plasma Phys 34, p.221, 1994.

85. T.D. Rognlien et al„ Contrib. Plasma Phys 36, p. 105,1996.

86. O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, A.S.Kholodov, S.I.Krasheninnikov, D.J.Sigmar, "Unstructured adaptive meshes and grid-free methods for edge plasma fluid simulations", Report MIT, PSFC/JA-98-21, June 1998.

87. A.S. Kukushkin et al., Contrib. Plasma Phys., 38, 20,1998.

88. A.A.Batishcheva, O.V.Batishchev, "Kinetic Simulation of Recombining

89. Divertor Plasmas", Bull. APS vol.43, No.8, 1755, 1998.

90. M.Shoucri, O.Batishchev, B. Stansfield, A.Batishcheva, I.Shkarofsky,"Kinetic Simulation of Coupled Plasmas and Neutral

91. Particles in the Scrape-off Layer (SOL) of TdeV and in Linear Plasmas Experiments", Bull APS, vol.44, Part.I, 360, 1999.

92. O.V.Batishchev, M.M.Shoucri, A.A.Batishcheva, I.P.Shkarofsky, "Fully kinetic simulation of coupled plasma and neutral particles in scrape-off layer plasmas of fusion devices", /. Plasma Phys., 61, part II, 347, 1999.

93. M.Shoucri, I.Shkarofsky, P.Jacquet, G.W.Pacher, R.Decoste, O.Batishchev, A.Batishcheva,"Kinetic Modelling of the Transport in the Scrape-Off Layer of TdeV During L-H Current Drive and ELM Bursts", J. Nucl. Mat. 266-269, p.1202,1999.

94. O.V.Batishchev, A.A.Batishcheva, A.S.Kholodov "Unstructured adaptive grid and grid-free methods for magnetized plasma fluid simulations", J. Plasma Phys., 61, part III, 701, 1999.

95. C.F. Karney and N.J.Fisch, Phys. Fluids 22 (9) 1817 ,1979.

96. Z.Abou-Assaleh et al., R Marchand, J.P. Matte, T.W. Johnston,K.J. Parbhakar, Contrib. Plasma Phys., 30, p.37-43, 1990.

97. O.Sauter et al., R.W. Harvey, and F.L. Hinton, Contrib. Plasma Phys., 34, 169, 1994.

98. K. Kupfer et al., R.W. Harvey, O. Sauter,M.J. Schaffer, and G.M. Staebler, Phys. Plasmas, 3 (10), p.3644,1996.

99. Y.Saad, Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems,Manchester Univ. Press, 1992.

100. S. Pissanetzky, Sparse Matrix Technology, Academic Press, London, 1984

101. O. Osterby, Z.Zlatev, Lecture Notes in Computer Science, SpringerVerlag, Berlin, 1983.

102. I.S.Duff, A.M.Erisman, J.K.Reid, Direct Methods for Sparse Matrices, Clarendon Press, Oxford, 1986.140

103. NAG Fortran Library Manual, NAG Central Office, Oxford, 1985.

104. D.A.H.Jacobs, ed., The State of the Art in Numerical Analysis, Academic Press, London, 1977.