автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Влияние инерции электронов на процессы в двухжидкостной квазинейтральной плазме

На правах рукописи

Таюрский Алексей Александрович

ВЛИЯНИЕ ИНЕРЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ НА ПРОЦЕССЫ В ДВУХЖИДКОСТНОЙ КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

Специальность 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва —2014

3 О 0X1 2014

005554021

Работа выполнена в им. М.В. Келдыша РАН

ФГБУН Институт прикладной математики

Научный руководитель: Гавриков Михаил Борисович

кандидат физико-математических наук

Официальные оппоненты: Демидов Александр Сергеевич

профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры Общих проблем управления механико-математического факультета ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Пестрякова Надежда Владимировна доктор технических наук, ведущий научный сотрудник ФГБУН Институт системного анализа РАН

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук (ИПМех РАН)

Защита состоится "4" декабря 2014 года в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.024.03 при ФГБУН Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва. Миусская пл., д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБУН ИПМ им. М.В. Келдыша РАН: ЬКг>:/Ау ww.kelclysh.ru.

Автореферат разослан " " октября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Н.В. Змитренко

Общая характеристика работы Актуальность проблемы. Для исследования динамики плазмы широко применяются классические МГД-модели, в которых плазма понимается как сжимаемая среда, проводящая электрический ток и взаимодействующая с электромагнитным полем. При этом структура плазменного вещества не принимается в расчёт. В работе представлено значительно более подробное описание квазинейтральной плазмы по сравнению с одножидкостным гидродинамическим МГД-приближением. Представленная модель в полном объёме учитывает инерцию как ионов, так и электронов, что открывает возможность исследования ряда эффектов, не наблюдаемых в рамках классической МГД.

Уравнения динамики предлагаемой математической модели плазмы, называемые ниже уравнениями электромагнитной гидродинамики (ЭМГД), отличаются от уравнений классической МГД несколькими принципиальными слагаемыми, в особенности, значительно более сложной формой обобщённого закона Ома, согласно которому в случае квазистационарного магнитного поля для нахождения электрического поля Е в плазме необходимо решить краевую задачу для некоторой вырожденной эллиптической системы уравнений на компоненты поля Е. Тем самым в ЭМГД кардинально меняется характер зависимости электрического поля Е от остальных параметров плазмы, что предопределяет возникновение сильной пространственной дисперсии и ряда других важных эффектов.

Уравнения классической МГД являются предельным случаем ЭМГД-уравнений, когда характерное погонное число частиц плазмы неограниченно увеличивается или, иначе, когда Iз>с/со„, где Ь - характерный масштаб

длины, а р - плазменная частота. Формально МГД-уравнения являются нулевым, а уравнения МГД с учётом эффекта Холла - первым по параметру с/(азрЬ) <к 1 приближениями ЭМГД-уравнений.

При численном и аналитическом исследовании ЭМГД-уравнений

выявляются новые конечные эффекты, которые не могли быть получены посредством МГД-модели. К ним относятся:

1) скинирование плотности тока и других параметров плазмы вблизи границы плазменного шнура в задаче о возбуждении плазмы шнура гармонически меняющимся полным током

2) конечное отклонение потока плазмы от направления силы, вызывающей течение ("гидродинамический эффект Холла"), в задаче об установившемся течении несжимаемой замагниченной плазмы в плоском канале

3) значительное увеличение по сравнению с МГД-теорией толщины погранслоя в задаче об обтекании несжимаемой плазмой замагниченной поверхности

4) возникновение в сжимаемой плазме уединённых волн как точных решений фундаментальных уравнений и реализация дуализма волна-частица при их взаимодействии

5) сложная картина временного и пространственного затухания альфвеновских волн в диссипативной плазме, обусловленная пространственной анизотропией распространения и дисперсией альфвеновских волн в двухжидкостной плазме.

Проведённые в диссертации математическое моделирование и вычислительный эксперимент актуальны для: а) определения границ применимости различных гидродинамических моделей плазмы, б) получения подробной информации о процессах в плазме, недоступной другими теоретическими и экспериментальными методами, в) проверки гипотез о природе конкретных механизмов различных плазменных процессов, анализа имеющихся экспериментальных данных.

Проведённое в диссертации исследование затухания альфвеновских волн в

диссипативной плазме подтверждает выдвинутую в 2011г.1 гипотезу о разогреве солнечной короны в результате затухания в плазме короны альфвеновских волн, генерируемых в нижних значительно более холодных солнечных слоях.

Цели исследования. Выяснение границ применимости классической МГД на примере решения конкретных задач в рамках ЭМГД-модели и исследование новых двухжидкостных ЭМГД-эффектов, возникновение и описание которых не возможно в рамках классической МГД.

Для достижения поставленной цели в рамках ЭМГД-модели потребовалось

1. Решить следующие задачи: а) о возбуждении несжимаемой плазмы под действием периодического тока, б) о стационарном течении несжимаемой плазмы в плоском канале, в) о взаимодействии уединённых волн в сжимаемой плазме, г) о затухании альфвеновских волн (временном и пространственном) в диссипативной плазме.

2. Построить и реализовать численные и аналитические методы исследования поставленных задач.

3. Сравнить результаты, полученные в рамках ЭМГД-модели, с результатами МГД-теории.

4. Провести анализ эффектов, выявленных при помощи ЭМГД.

Методы исследования. В работе использованы методы математического

моделирования и вычислительного эксперимента.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируются строгостью используемого математического аппарата и подтверждена сравнением результатов численного моделирования с известными данными.

Научная новизна и практическая значимость. Все выносимые на

1 Scott W. Mcintosh. Bart Pe Pontien, Marts Carlsson, Viggo Hansteen, Paul Boerner & Marsel Goossens. Alfvenic waves with sufficient energy to power the quiet solar corona and fast solar wind // Nature 475,478-480 (28 July 2011)

защиту результаты являются новыми. Полученные результаты исследований имеют значение для анализа и интерпретации экспериментальных данных.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обнаружен скин-эффект в ЭМГД-модели возбуждения несжимаемой плазмы под действием периодического тока.

2. Найдены определяющие параметры течения, гидродинамический эффект Холла, конечное увеличение толщины погранслоя в ЭМГД-модели стационарного течения несжимаемой плазмы в плоском канале.

3. Численная модель взаимодействия уединённых волн в двухжидкостной плазме.

4. Численная модель затухания альфвеновской волны в диссипативной плазме, включающая в себя:

а) модель временного затухания альфвеновской волны с представленными численными и аналитическими результатами.

б) модель пространственного поглощения диссипативной плазмой альфвеновской волны, набегающей на её границу.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. XXXVII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС(Звенигород, 2010)

2. XVIII Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики", посвященная памяти К.И. Бабенко. (Абрау-Дюрсо, 2010)

3. International Conference and School on Plasma Physics and Controlled Fusion and 4-th Alushta International Workshop on the Role of Electric Fields in Plasma Confinement in Stellarators and Tokamaks (Alushta (Crimea), Ukraine, 2010)

4. XXXVIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС(Звенигород, 2011)

5. X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011)

6. XXXIX Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС(Звенигород, 2012)

7. XIX Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики", посвященная памяти К.И. Бабенко. (Абрау-Дюрсо, 2012)

8. Семинар ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (Москва, 2014)

Публикации. Основные результаты диссертационной работы

опубликованы в 13 печатных работах: 6 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, 1 препринт, 6 тезисов докладов конференций.

Личный вклад соискателя. Диссертационная работа выполнена под руководством М.Б. Гаврикова в рамках тематического плана института. Соискатель лично участвовал в разработке моделей и методов, представленных в диссертационной работе. Соискатель лично проводил все расчеты, результаты которых рассмотрены в диссертации, и наравне с другими соавторами участвовал в написании научных работ, опубликованных по теме диссертации.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 118 страницах, содержит 23 иллюстрации. Список литературы включает 59 наименований.

Исследования, представленные в диссертации, выполнены при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты №12-01-00071, № 09-01-00181, № 0801-00299).

Содержание работы

Во введении приведён обзор существующих гидродинамических моделей плазмы. Представлены двухжидкостная и одножидкостная формы ЭМГД-уравнений. Первая состоит из уравнений Брагинского, замкнутых уравнениями электродинамики Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.

7

Вторая получается из первой математическим преобразованием при переходе к новым гидродинамическим неизвестным р = р++р_, и = (р+у++р_у_)/р -суммарная плотность и массовая скорость плазмы. Здесь и ниже индексы "±" относятся к параметрам электронов и ионов. Указано отличие ЭМГД-уравнений от классической и холловской МГД: 1) появляется добавка ГГ в тензоре плотности потока импульса; 2) термодинамика плазмы

становится трёхпараметрической - определяется тремя параметрами р, р+, р \ 3) кардинально усложняется обобщённый закон Ома. Последнее отличие принципиальное. В ЭМГД электрическое поле в каждой точке пространства зависит от значений остальных параметров плазмы не в сколь угодно малой окрестности этой точки, как это имеет место в классической и холловской МГД, а во всей области, занятой течением. Математически это выражается в том, что для нахождения поля Е в ЭМГД надо поставить краевую задачу для некоторой вырожденной эллиптической системы уравнений на компоненты Е. Наконец, указан предельный переход от ЭМГД-теории к уравнениям классической и холловской МГД. Он состоит в стремлении 2;-»0, где

с сХ"2А."2

безразмерное число подобия £ =-= —¡73—г?—, а <а - плазменная частота,

2п Ро А)

/,„, р0 - характерный масштаб длины и плотности, Х±=т±/е±, т± - массы

О 532 -106

электронов и ионов, е± — их заряды. В тоже время ^ = —- и, таким

образом, обратно пропорционален корню из характерного погонного числа электронов пе1}0.

В конце введения представлены уравнения ЭМГД-теории для несжимаемой плазмы, позволяющие для квазинейтральных течений учесть ещё и ток смещения. Также сформулированы цель и задачи исследования. Приведено содержание работы.

Главы 1 и 2 посвящены исследованию задач течения несжимаемой плазмы

посредством ЭМГД-модели. В первой главе рассмотрена задача о возбуждении плазмы под действием периодического тока. В разделе 1.1 приведена постановка задачи о возбуждении плазмы в цилиндрическом канале. Считается, что ток меняется по времени гармонически с частотой со, а неизвестные величины являются периодическими по времени функциями с той же частотой и неизвестными амплитудами (модами):

{и„ Е:, Н,,].) = (и:{г), Е:(г), Н^г),1(г)У"1

В разделе 1.2 для поиска амплитуд колебаний получена система ОДУ, решение которой удалось найти аналитически. Это решение полностью определяется корнями кубического характеристического многочлена. В разделе 1.3 предложен метод численного исследования корней характеристического уравнения с комплексными коэффициентами, зависящим от со, как от параметра. В разделе 1.4 проведено сравнение полученных результатов с классической МГД-теорией. Определяющим становится безразмерный

рг0 1

параметр а---— —

+Х \| а

— + — I, а МГД-предел получается условием Ц.

а~>+ со, где а — проводимость плазмы, ц± — гидродинамические вязкости электронов и ионов, гд — радиус шнура, р — плотность плазмы. На Рис.1 приведены профили плотности тока у'Д/*) в зависимости от значений

параметра а для частоты со = 0.

В разделе 1.5 приведены профили найденных амплитуд и показано, что с ростом частоты ю наблюдается (Рис.2) скинирование плотности и других параметров плазмы вблизи границы плазменного шнура. В разделе 1.6 подведён итог проделанной работы.

Во второй главе решена задача о стационарном течении несжимаемой плазмы в плоском канале ширины 2С. В МГД-модели решением будет профиль Гартмана. В разделе 2.1 приведена ЭМГД-модель установившегося течения плазмы в плоском канале, сводящаяся к краевой задаче на отрезке [-£,£] для

системы ОДУ высокого (14-го!) порядка. В разделе 2.2 проведена комплексифнкация полученной системы ОДУ с целью понижения порядка системы, в результате чего порядок краевой задачи понизился до 4-го.

Рис. 1. Предельный профиль _/'. (г) в единицах Jt¡|(лг02) при а —> 0 для различных значений параметра а : 1 - а = 0.5954,2- а = 5.954,3- а = 59.54

О 0.4 0.8 г

Рис.2. Скинирование плотности тока Уг(/") в единицах и массовой скорости

1]г (г) в единицах (2лг03р2У0) при со —► +<ю. Даны профили для четырёх характерных частот: 1 - (со = 109 Гц), 2 - (со = 1010 Гц), 3 - (ю = 1011 Гц), 4 - (ю = 1012 Гц)

В классической МГД определяющим параметром задачи о течении несжимаемой плазмы в плоском канале является число Гартмана На. В разделены 2.3 приведены определяющие параметры этой задачи в ЭМГД-теории. Оказалось, что их два: число Гартмана На, а также новый безразмерный параметр Г, содержащий плотность:

На = Г = ^

с \ СР

где А,,. = + . Здесь же изучено качественное поведение

течения в зависимости от определяющих параметров На, Г. В частности, исследован МГД-предел, отвечающий стремлению Г-»0. Показано, что при Г—>0 продольная скорость сходится равномерно на к профилю

Гартмана

сЬНа —сЬНах/1^

Не & I

\х\<£

Hash На )

Но даже при Г <к 1 профиль Гартмана £/мгд(х) не может реализоваться в чистом виде, а состоит из мелких зазубрин с пространственной частотой

На f

со, = — И

liL

-0.05

-0.15 -

к 1 -0.5 0 0.5 х 1

Рис.3. Г = 10"2 -жирная сплошная; Г = 5 -пунктирная; Г = 20 -штриховая; Г = 50 штрих-пунктирная; Г = 200 -тонкая сплошная кривые. 11

В разделе 2.3 описан гидродинамический "эффект Холла"'. В МГД плазма под действием перепада давления течёт вдоль антиградиента давления, т.е. туда, куда её толкает вызывающая течение сила. В ЭМГД согласно полученным результатам течение плазмы отклоняется от направления перепада давления. Для средней по сечению канала скорости предельный угол отклонения в сильно

замагниченной плазме Н0 равен а^ = агОД

Для изотермической

'л/цГ + ТЙГ

плазмы а^=-п/Л, для сильно неизотермической плазмы, Те^>Тп в

общем случае | аш |< я/4.

В разделе 2.5 выписано решение для случая подвижных и замагниченных стенок канала. В разделе 2.6 решена задача об обтекании несжимаемой плазмой замагниченной поверхности и определена толщина погранслоя

А£ = тах

Нп

—^,гдеЛ(П=_1. 1 + '-ЛоГ±У1 + 2,-Л0Г-Г Яе/±(Г) " Л.Г 2

}

Л. = )1/2 /цЕ, Л0 = - ц+ )/ц1 Полученное значение А£ для толщины погранслоя при Г—»0 переходит в

с /д

известное выражение Д('мгд =—. — для классической МГД. Для конечных Г

Я0 V с

учёт двухжидкостной структуры плазмы приводит к значительному увеличению толщины погранслоя Д^мгд/Д£, как это следует из Рис.4.

0 20 40 Г

Рис.4. Зависимость отношения А£мгд/А£ от Г 12

В разделе 2.7 обсуждаются полученные результаты. В частности, отмечено, что условие Г з> 1 обычно выполняется для газовой плазмы, а противоположное условие Г <к 1 — для плазмы жидких металлов. Приведены типичные значения Г для некоторых видов газовой плазмы. Отмечено, что локальное отклонение течения плазмы от антиградиента давления в конкретных точках может достигать 90 градусов (Рис.3).

В главах 3 и 4 рассмотрены ЭМГД-модели сжимаемой плазмы. В третьей главе исследуется взаимодействие уединённых волн в сжимаемой электрон-ионной бездиссипативной плазме на базе фундаментальных законов сохранения массы, импульса, энергии и законов электродинамики, а не модельных уравнений, как это обычно принято в теории плазмы. В разделе 3.1 приведены ЭМГД-уравнения для сжимаемой квазинейтральной плазмы с уравнениями энергии, записанными относительно давлений. Электроны и ионы для простоты считаются идеальными политропными газами с общим показателем адиабаты у. В разделе 3.2 показано, что в случае холодной плазмы решения ЭМГД-уравнений типа плоских бегущих волн, то есть зависящих от (, г в комбинации 0 = гк-М, где к- единичный вектор, определяющий направление распространения волны, а — константа (фазовая скорость), удовлетворяют системе: и2 8я

( ЯП„ С\К <*( ЛО сНи* 1 \ Г, ¿н±1 ' (1)

и--^ Н,--'-¡-и— и-+—к,-- +я = 0

4лУJ 1 4ть/ с^еV. ¿9 ) ' е> ¿6 ]

где Н^ - поперечное магнитное поле. и=С/ц-а; Jф 0, 0>0, Н{{, q_Lk-произвольные константы.

В разделе 3.2 и ниже исследуются уединённые волны специального типа, являющихся решением системы (1) для произвольного магнитного поля Нп = 0 вида Нх(8) = Н(0)ео, где е0 ±к- единичный вектор, q = qe0. Иными словами, рассматриваются только бегущие волны, в которых вектор магнитного поля Н

меняется только по величине, имея при этом фиксированное направление в поперечной плоскости. Для таких волн, согласно системе (1), функции //(0), и(9) ищутся из уравнений Н1

871 (2) „ с%Хк с! ( с1НЛ

Ни--'—^и— и- +<7 = °

Лти М с1Ъ)

где У * 0, 0>0, д — произвольные константы.

В разделе 3.3 выписаны решения системы уравнений (2) типа уединённой

волны для покоящейся плазмы:

1 Н(Я-1) " |

Данное неявное выражение задаёт профиль уединённой волны Н(8). Далее это решение используется в качестве начального условия при численном исследовании взаимодействия уединённых волн (Рис.5).

Рис.5. Зависимость Я(0) для различной фазовой скорости а

Также найдена оценка зависимости ширины уединённой волны от фазовой скорости. В разделе 3.4 приведена методика численного моделирования взаимодействия уединённых волн. Рассмотрены следующие задачи:

1. Движение двух уединённых волн одинаковой амплитуды навстречу друг

другу;

2. Движение двух уединённых волн разной амплитуды навстречу друг другу;

3. Набегание уединённой волны с большей амплитудой на уединённую волну с меньшей амплитудой в предположении, что волны двигаются в одну сторону;

4. Распад начального возмущения, локализованного в пространстве, в частности, может ли начальное возмущение порождать пакет уединённых волн.

Результаты в этих задачах получаются численным решение ЭМГД-уравнений в частных производных:

др,

й дх

+ о д1 дх '8п

(3)

с д1 дх

^ с у. д2ву ихнг с\\ д ( тл

у 4лр дх1 с 4лр йт^ ' дх ) Численный метод решения системы (3) включает двухшаговый метод Лакса-Вендроффа для гидродинамической части системы (3) с решением на каждом шаге уравнений, полученных разностной аппроксимации обобщённого закона Ома, методом прогонки.

В разделе 3.5 приведены результаты расчётов. Решение задачи о столкновении двух уединённых волн разной амплитуды, движущихся навстречу друг другу, представлено на Рис.6.

В четвёртой главе исследован процесс затухания альфвеновских волн в сжимаемой ЭМГД-плазме вследствие диссипаций. Для простоты электроны и ионы считаются идеальными политропными газами с общим показателем адиабаты у. В разделе 4.1 приведены ЭМГД-уравнения с учётом основных

диссипативных факторов (магнитная и гидродинамические вязкости и теплопроводности электронов и ионов) и процесса релаксации температур электронов и ионов. Альфвеновские волны в двухжидкостной плазме это плоские поперечные колебания плазмы, бегущие вдоль магнитного поля, являющиеся точным решением ЭМГД-уравнений при нулевых диссипациях, отсутствии релаксации температур и имеющие вид в неподвижной плазме:

UL = u(t)eKx, HL = h(t)e'*\ El = e(t)e,a, T± = const, p=const, U, = 0 (4)

Здесь использованы комплексные обозначения UL=UV + iUz, HL = Hv + iHz, El= Ev+ iEz, причём Hf = const.

Рис.6. Волны с разными амплитудами и фазовыми скоростями: а = 1.5 и а = — 1.1 , движущиеся навстречу друг другу

В разделе 4.2 показано, что функции (4) являются решением ЭМГД-уравнений в случае плоской симметрии, если

«(О = С.е'"*1 + С2е"°-', /7(0' (47ф) 2 {Ср^ + С2со еш (5)

, г =

со

КС

р

4пр

кх

В частности, альфвеновская волна есть суперпозиция бегущих волн вдоль и против магнитного поля, волн с разными частотами со+ и фазовыми скоростями. В МГД-пределе г «С 1 такие волны переходят в классические альфвеновские волны.

В разделе 4.3 обсужден вопрос о преобразовании энергий в альфвеновской волне и установлено появление дополнительного слагаемого в балансе полной энергии, равного кинетической энергии относительного движения электронов, которое отсутствует в МГД-теории.

В разделе 4.4 поставлена задача о временном затухании альфвеновской волны, которая математически состоит в поиске решений ЭМГД-уравнений в случае плоской симметрии вида

Эта задача редуцируется к нахождению амплитуд u(í), h(t) , e(t), T(t) из некоторой системы ОДУ. В разделе 4.5 полученная система ОДУ на амплитуды аналитически решена в частном случае затухания альфвеновской волны в незамагниченной невязкой плазме. В разделе 4.6 рассмотрен вопрос о релаксации температур и поглощении альфвеновской волны в общем случае. Как показало численное исследование, поглощение альфвеновской волны распадается на два этапа. На первом происходит быстрое преобразование магнитной и в значительной мере кинетической энергий альфвеновской волны в тепловую энергию преимущественно электронов, на втором — в основном медленная релаксация температур, при этом остатки кинетической энергии волны переходят в тепловую энергию (Рис.7).

В разделе 4.7 обсужден вопрос о качественных закономерностях временного затухания альфвеновских волн и релаксации температур на больших временах, /—>+«>. Математически задача сводится к нахождению особых точек и исследованию поведения интегральных кривых системы ОДУ

UL = и(1)еы, HL = h(t)e'a, EL = e(t)eia, T±=T±(t), U, =0,ps const

на амплитуды в их окрестности. В данном случае система ОДУ для амплитуд имеет единственную особую точку н = 0, /г = 0, Т = Т0> где Т0 - температура релаксации. Применение теоремы Гробмана-Хартмана позволяет свести изучение поведения интегральных кривых в окрестности особой точки к исследованию поведения интегральных кривых линеаризованной в особой точке системы в окрестности нуля.

с, 1в-

е-

о-у о

0.50.01

О 400 800 ' „

Рис.7. Зависимость от времени тепловой энергии электронов (/) и ионов (2) в альфвеновской волне (а), магнитной энергии альфвеновской волны (б) и кинетической энергии альфвеновской волны (в)

В разделе 4.8 проведено сравнение с линейной теорией и показано, что в линейной теории нельзя исследовать релаксацию температур, а затухание электромагнитных параметров происходит медленнее, чем по экспоненте.

Наряду с временным затуханием исследован процесс пространственного поглощения альфвеновской волны. В разделе 4.9 приведена постановка задачи о набегании альфвеновской волны на границу диссипативной плазмы,

подчинённая ЭМГД-уравнениям в случае плоской симметрии. 100

50

0

-50

"10° 0 5 10 15 20 25 30 35 х 40

Рис.8. График напряжённости электрического поля в различные моменты времени: сплошная 1=0.1; пунктирная 1=0.3; штриховая 1=0.5; штрих-пунктирная 1=0.7 кривые

Te(t,x)

0.35 -

0 05 -1-1-1-1-1-1-1-

0 10 20 30 40 50 60 70 х 80

Рис.9. График температуры электронов в различные моменты времени: сплошная t=0.1; пунктирная t=0.3; штриховая t=0.5; штрих-пунктирная t=0.7 кривые

В разделе 4.10 предложен метод численного исследования ЭМГД-системы с определёнными начальными и граничными условиями. Проведена

дискретизация задачи, выписана разностная схема, условие устойчивости и последовательность вычислений. В разделе 4.11 приведены результаты расчётов (Рис.8, Рис.9) и сделан ряд важных выводов. В частности, как следует из расчётов, процесс поглощения альфвеновской волны происходит на длинах порядка скиновых, поэтому МГД-теория, применимая на длинах много больших скиновых, для исследования этого процесса в принципе не пригодна.

В заключении подытожены полученные в диссертации основные результаты и выводы. Отмечены новые конечные эффекты двухжидкостной плазмы.

Основные выводы и результаты работы

Проведённые численные и аналитические исследования применительно к различным задачам динамики плазмы в диссертации показывают важность учёта инерции электронов. Выявлен ряд новых конечных эффектов, обусловленных двухжидкостной природой плазмы и отсутствующих в МГД-теории. К ним относятся:

1. В задаче о возбуждении несжимаемой плазмы в круглой трубе периодическим током - скинирование параметров плазмы при больших частотах тока и конечное отличие профилей плотности тока в МГД и ЭМГД

2. В задаче об установившемся течении несжимаемой плазмы в плоском канале - гидродинамический "эффект Холла", двухпараметричность течения, выражающая значительное различие результатов ЭМГД- и МГД-теорий плоского канала для газовой плазмы.

3. В задаче об обтекании несжимаемой плазмой замагниченной поверхности — значительное увеличение по сравнению с МГД-теорией толщины погранслоя.

4. Наличие уединённых волн в двухжидкостной плазме и корпускулярный характер их взаимодействия с сохранением после взаимодействия своих амплитуд, скоростей и других характеристик.

5. Наличие в двухжидкостной плазме альфвеновских волн и их поглощение

диссипативной плазмой на длинах порядка скиновых. В диссертации разработаны математические и численные модели взаимодействия уединённых волн и временного и пространственного поглощения альфвеновских волн с использованием созданных методик. Определены основные закономерности затухания альфвеновских волн в диссипативной плазме.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Гавриков М.Б., Таюрский A.A. Вынужденные колебания вязкой несжимемой плазмы с учётом инерции электронов в круглой трубе // Изв. РАН. МЖГ. 2010. №1. С. 176-192

2. Гавриков М.Б., Савельев В.В., Таюрский A.A. Взаимодействие солитонов в двухжидкостной магнитной гидродинамике с учётом инерции электронов // Труды XXXVI1 Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС, 2010. С. 207

3. Гавриков М.Б., Таюрский A.A. Вынужденные колебания вязкой несжимемой плазмы с учётом инерции электронов в круглой трубе // Тезисы докладов XVIII Всероссийской конференции ''Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики", памяти К.И. Бабенко. М.:ИПМ им. М.В.Келдыша, 2010. С. 21

4. M.B. Gavrikov, V.V. Savelyev, A.A. Tayurskiy Solitons in two-fluid MHD // Book of Abstracts. Alushta-2010. ННЦ "ХФТИ", 2010. C. 84

5. Гавриков М.Б., Савельев B.B., Таюрский A.A Солитоны в двухжидкостной магнитной гидродинамике с учетом инерции электронов. // Изв. Вузов Прикладная нелинейная динамика. Т.18. №4. С.132-147

6. Гавриков М.Б., Таюрский A.A. О возможном механизме генерации

сильного электрического поля в перетяжках Z-пинчей // Труды XXXVIII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. 2011. С. 160

7. Гавриков М.Б., Таюрский A.A. Электромагнитная гидродинамика двухжидкостной плазмы. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), С. 694-696

8. М.Б. Гавриков, A.A. Таюрский Нелинейное поглощение альфвеновской волны в диссипативной плазме. // Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, 2011, № 68. 28 с.

9. Гавриков М.Б., Таюрский А.А Нелинейное поглощение альфвеновской волны в диссипативной плазме // Тезисы докладов XXXIX Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС, 2012. С. 173

10.М.Б. Гавриков, A.A. Таюрский Численное и аналитическое исследование поглощения альфвеновской волны в диссипативной плазме // Тезисы докладов XIX Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики", памяти К.И. Бабенко. Абрау-Дюрсо, 2012. С. 26-27

11.Гавриков М.Б,, Таюрский A.A. Влияние инерции электронов на течение несжимаемой плазмы в плоском канале. // Математическое моделирование. № 9, 2012. С. 79-96

12.Гавриков М.Б., Таюрский A.A. Нелинейное поглощение альфвеновской волны диссипативной плазмой. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки", 2012, № 4. С. 63-81

13.Гавриков М.Б,, Таюрский A.A. Пространственное нелинейное затухание альфвеновских волн в диссипативной плазме. // Математическое моделирование. № 8, 2013. С. 65-79

Подписано в печать 14.10.2014. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ П-60. ИПМ им.М.В.Келдыша РАН. 125047, Москва, Миусская пл., 4