автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы итерационного уточнения квазиравновесных приближений в задачах кинетики

На правах рукописи

РГБ ОД

Татаринова Лариса Леонидовна

- 7 ФЕВ 2000

МЕТОДЫ ИТЕРАЦИОННОГО УТОЧНЕНИЯ КВАЗИРАВНОВЕСНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ КИНЕТИКИ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в физике)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 2000

Работа выполнена в Красноярском государственном университет (г. Красноярск)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор А. Н. Горбат. Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук

профессор Е. А. Новиков

Ведущая организация : Институт физики СО РАК

Защита состоится 17 февраля 2000 года в 14 часов 30 минут на за седании Диссертационного совета Д 064.54.04 при Красноярском го сударственном техническом университете по адресу: 060074, г. Крас ноярск, ул. акад. Киренского, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярской государственного технического университета.

Автореферат разослан "_"_2000 год<1.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук профессор В. В. Слабко

доктор физико-математических наук

Добронец Б

С

Р) 4 /У, Н С ;К,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка проблемы и ее актуальность.

Квазиравновесные приближения играют большую роль при исследовании кинетических систем. Так, например, в неравновесной статистической механике, вследствие чрезвычайной сложности уравнений, единственно возможный подход зачастую заключается лишь в нахождении поправок к квазиравновесному приближению. Традиционные методы, основанные на выделении в системе малого параметра и поиске решения в виде ряда по его степеням, далеко не всегда эффективны. Поэтому актуально создание и развитие методов, дающих альтернативную возможность поиска поправок к квазиравновесным приближениям в задачах кинетики. В качестве базового в диссертации был использован метод инвариантных многообразий, предложенный в работах А.Н.Горбаня и И.В.Карлина 1994 года. Этот метод не требует выделения в системе малых параметров и вместо тейлоровского ряда использует итерационную последовательность ньютоновского типа, начальным приближением которой является квазиравновесное многообразие.

Одна из задач, решаемых в данной диссертационной работе, — развитие метода инвариантных многообразий на системы с несколькими стадиями релаксации. Предложенная процедура последовательного сокращения описания основана на предположении, что на каждой стадии релаксации существенно изменяется со временем набор только нескольких переменных. Все другие (более быстрые и более медленные) сохраняют свои квазиоавновесные значения. Это позволяет вычислять олависимо поправки на каждой стадии релаксации.

Друга;! 1г,;(ч>.гн\мн, исследуемая в диссертации, получение дисси-

пативной поправки к уравнению Власова. Уравнение Власова следует из цепочки уравнений Боголюбова в квазиравновесном приближении и описывает плазму без учета столкновений. Самым известным примером учета столкновений является уравнение Ландау. Интеграл столкновений Ландау выводится из интеграла столкновений Больцмана в предположении малости изменения импульса частиц при столкновении. Однако в теории Больцмана заложено предположение исключительно о парном взаимодействии частиц, справедливость которого весьма условна для частиц с большим радиусом взаимодействия, таких как плазма.

Подход, являющийся формальным математическим аналогом идеи о периодическом перемешивании фазового ансамбля (встряхивании), позволил получить уравнение для "столкновительной" плазмы, которое имеет сходную с уравнением Ландау структуру, однако более простые спектральные характеристики.

Цель работы - разработать процедуру последовательного (поэтапного) сокращения описания кинетических систем, не требующую явного наличия малых параметров, на основе построения последовательности инвариантных многообразий итерационными методами. Получить диссипативную поправку к уравнению Власова, используя идею о периодическом перемешивании фазового ансамбля. Исследовать полученное уравнение.

Практическая значимость Предложенный в диссертации метод последовательного сокращения описания может использоваться для исследования кинетики сложных диссипативных систем. Он позволяет получать аналитические или полуаналитические решения систем нелинейных дифференциальных уравнений практически на всей временной

оси, а не только на финальной стадии релаксации. Так на его основе было выполнено моделирование лазероиндуцированного обесцвечивания ксангенового красителя в полимерной пленке. Сопоставление полученных результатов с данными экспериментов позволило сделать выводы о механизмах, протекающих в этой системе в процессе оптической записи информации.

Полученное уравнение Власова с диссипативной поправкой дает альтернативную к существующим возможность исследовать такую сложную физическую систему как плазма. Значимость этого результата состоит, во-первых, в том, что это уравнение получено на основе идей принципиально отличающихся от используемых при выводе всех известных уравнений "для плазмы со столкновениями", во-вторых, оно существенно более простое, что значительно увеличивает объем информации о системе, который из него можно извлечь.

Апробация. Основные результаты работы были представлены на: Первом Всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем" (МНС-98) (Красноярск,98). Втором Всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем" (МНС-99) (Красноярск,99). На 4-ом Китайско-Российско-Корейском симпозиуме по лазерной физике и лазерным технологиям (Харбин, 98). На семинарах кафедры квантовой электроники КГУ, и лаборатории моделирования неравновесных систем ИВМ СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, грех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 105 ^границах машинописного текста, включая 7 рисунков, 1 таблицу и

список литературы из 70 ссылок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Метод инвариантного многообразия для диссипа-тивных систем

Первая глава содержит последовательное изложение метода инвариантных многообразий. Этот метод можно отнести к методам сокращения описания. Этот метод является развитием идей теории Колмо-горова-Арнольда-Мозера на диссипативные системы, т.е. системы, для которых существует выпуклая функция Ляпунова. Эти идеи состоят в том, что медленное многообразие строится прежде, чем находятся траектории, и разложения в ряд Тейлора заменяются последовательностью итераций.

Основная проблема сокращения описания может быть понята как проблема построения инвариантного многообразия. Понятие инвариантного многообразия обобщает понятие траектории и встречается и большинстве динамических теорий. Грубо говоря, инвариантное мно гообразие ■— это "поверхность" в фазовом пространстве динамической системы, векторное поле которой — касательная в каждой точке многообразия. "Сокращение описания" — это построение инвариантных многообразий, "размерность" которых "много меньше" "размерности ' исходного фазового пространства задачи. В сколь-нибудь общей ситуации эффективны лишь процедуры последовательных приближений. Общая стратегия должна быть такова: выбирается некоторое начальное многообразие, затем последовательно устраняется его неинвариантность.

о

В отличие от класических методов сокращения описания и их моди->икаций метод инвариантных многообразий позволяет начинать исп-авление неинвариантности с любого физически приемлемого началь-ого многообразия. Процедура исправления сводится к последователь-ому решению линейных задач и в своей основе метод не предполагает аличие малых параметров.

В основе метода лежит требование сохранения типа динамики сис-емы. Это значит, что система сокращенного описания, как и исходная, олжна удовлетворять Я—теореме.

Пусть в фазовом пространстве .Р задана исходная система

;е /— микроскопическая (быстрая) переменная, и задано некоторое гображение

икропеременных в пространство (медленных) макропеременных. Мы лцем строить сокращение описания, то есть некоторое медленное мно-юбразие {М}, параметризованное как /(М). Выбор того или иного ногообразия, представляющего сокращенное описание, всегда неявно эедполагает, что выполнена гипотеза о разделении времен (движе-лй) в окрестности этого многообразия. Тогда условие роста энтропии ходе быстрой релаксации автоматически дает те операторы, значении которых должно быть параметризовано многообразие, и дина-ика этих макропараметров согласована с Я-теоремой. Таким образом, решения (3) /(¿) быстро "движутся" к-{М}, а затем чюсительно медленно движутся вдоль {М}. Это предполагает, что некоторого момента времени все "быстрые переменные" зависят от

где/ £

(1)

т(/) = М

(2)

времени через их зависимость от медленных: /(i) = /(M(i)).

Например, в химической кинетике: / = {q, С2, ....сп}— конечномер ный вектор, компонентами которого являют'ся концентрации всех реа гентов (быстрые переменные). Тогда M - медленные переменные, кото рыми могут быть, какие-то медленно меняющиеся концентрации, либ( балансы. Произвести сокращение описания — это значит определит! отображение }{М) т.е. выразить быстрые переменные через медлен ные. В физической кинетике : / — wn - ^-частичная вероятность, опи сываемая уравнением Лиувилля. Тогда М, - одно-, двух-, и т.д. частич ные функции распределения. Роль параметризации f(M) здесь играет условие замыкания цепочки уравнений Боголюбова.

Отправным моментом в построении отображения /(М) является построение квазиравновесного многообразия. Как правило, это делается довольно просто. Так, для диссипативных систем всегда можно написать функцию Ляпунова Я, из условия экстремума которой и определяется квзиравновесное приближение f*(M). В термодинамике, например, такими приближениями являются распределение Максвелла, приближение отсутствия корреляций.

После того, как начальное приближение f*(M) выбрано, строиться процедура его итерационного уточнения. Задается проекция исходного векторного поля ■/(/) на пространство, касательное к построенному медленному многообразию в точке начального приближения :

Pm(J) = DmJ*{M)\m omJ(f*(M)),

где Dmf*{M)— дифференциал отображения f*(M) в точке M.

Различие векторного поля исходной и редуцированной системы в точке начального приближения f*{M) определяется как

PA1oJ{f(M)-J(f(M))=ù.

S

Условие Д = 0 определяет уравнение инвариантности. Уравнение инвариантности нелинейно. Для его решения лучше всего использовать какой-либо быстросходящийся итерационный алгоритм типа метода Ньютона. Эти методы особенно подходят по двум причинам: они позволяют начинать реализацию алгоритма с практически произвольного начального приближения, и линеаризация, лежащая в их основе, не требует, вообще говоря, наличия малых параметров.

Итерационная поправка является решением уравнений

РмШм) = 0;

(1 - \!м (5}м) = (1 - Рм)Щм),

где - дифференциал в точке /м-

Если точность полученного решения все еще нас не удовлетворяет, то мы выполняем последующие итерации до тех пор, пока Д не будет мала.

Глава 2. Последовательная итерационная процедура построения системы медленных мод в задачах кинетики

В реальных физических системах далеко не всегда наблюдается жесткое разделение переменных на "медленные" и "быстрые". Существует большой набор разнообразных систем, в которых на пути к равновесию система проходит несколько стадий релаксации. В данной главе на основе метода инвариантных многообразий предлагается процедура последовательного (поэтапного) сокращения описания.

Пусть в системе наблюдается несколько стадий релаксации. Тогда будет естественным построение не одного, а последовательности вложенных медленных многообразий. Однако, следуя формально схеме метода инвариантных многообразий, мы должны либо каждый раз заново проектировать фазовое пространство на каждое многообразие,

либо выделить одно наиболее медленное многообразие и осуществить проектирование только на него. Но первый путь для сложных кинетических систем является чересчур громоздким, а последний приводит к потере информации на начальных стадиях релаксации.

В качестве компромисса между этими путями в диссертации предложен метод последовательного (поэтапного) проектирования. Поэтапное сокращение описания состоит в том, что отдельно задается проекция каждого г-того многообразия на последующее г — 1-ое более медленное многообразие меньшей размерности. Такой подход удобен еще и тем, что если начальная параметризация одного из многообразий определена менее удачно, чем других, то достаточно выполнить дополнительные итерации только для данного многообразия, вместо того, чтобы решать систему уравнений инвариантности для всего набора переменных.

Единственным аргументом против такого подхода может служить накопление погрешности при "последовательным спуске" от наиболее быстрого многообразия к самому медленному. Этот вопрос был подробно исследован, и в диссертации показано, чтпо поправки, вычисленные для одного многообразия прямо и последовательно, для линейных систем совпадают, а в общем случае их разность составляет величину, порядка ошибки линеаризации.

В качестве примера, демонстрирующего возможности метода, рассмотрено две модели процесса лазероиндуцированного обесцвечивания красителя в полимерной матрице. Эта задача была предложена кафедрой квантовой электроники КГУ, группой, занимающейся проблемой оптической записи информации в форме самодифракционпых решеток.

Процесс обесцвечивания в системе "краситель + полимерная матрица" разделяется на фотофизическую и фотохимическую стадии и моделируется следующей системой уравнений.

:1(0) = 1, с,(0)(г >1) =0, где введены обозначения: с\, С2, с3 - нормированная концентрация красителя в основном синглетном, возбужденном синглетном и триплетном состояниях. С4 - концентрация анион-радикальной, С5-.иротонированной и С5 - лейко-формы красителя. фоизведение интенсивности лазерного излучения на коэффициент мо-1ярной экстинкции. к{ (г > 1) - скорости флуоресценции, фосфоресцен-1ии и процессов фотовосстановления. '

Благодаря контрасту времен, в системе была выделена последовательность стадий релаксации, которой была сопоставлена последовательность вложенных медленных многообразий. В нулевом приближе-ши аналитически найдены траектории системы на каждом многооб-)азии. Поскольку ряд коэффициентов скоростей реакций известен не |,остоверно, то решения исследовались при различных их значениях, ¡ависимость от времени единственной экспериментально наблюдаемой еличины С\ представлена на рисунке 1. Кривая 2 отражает степенной акон релаксации, а 1 и 3 - экспоненциальный В качестве дополнения была исследована еще одна модель светоин-

¿1 = -&1С1 + к2с2 + к3с3 + к7с1,

со = кгс\ - (к2 + к4)с2,

с3 = кАс2 - (к5 + к3)с3}

с/[ = к5с3 - к&с4,

с5 = ¿бс4 - 2к7с\,

¿6 =

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Рис.1: Зависимость С] от времени. 1- Рис. 2: Зависимость С| от времени. 1-

без учета процессов восстановления, первая модель, 2 - вторая.

2 - К7=104с , 3- К7=10'3с"'.

Аудированной химической реакции. Ее математическое отличие от исследованной состоит в замене уравнений (7), (8) на

\

¿5 = ¿6С5 — 2кус1 — ¿8С5,

с'с = ¿8с5 + к^с.

Различие решений первой и второй моделей продемонстрировано на рисунке 2.

Показано, что в данной системе автоколебания наблюдаться не могут. Как на фотофизической, так и на фотохимической стадиях найдены соотношения коэффициентов скоростей реакций, при которых и системе наблюдается немонотонная релаксация. Наибольший интерес в этом отношении представляет фотохимическая, более медленная п экспериментально наблюдаемая стадия. Для нее область существования затухающих колебаний определена неравенством :

(** ~ КЪУ Л- ШъЬЬ* - VКьк7Ь'\к6 + Къ) <0. (9!

Если соотношение констант таково, что точка (кц+К^, к^—К^, 2\/К^Ь* къ + К5) попадает внутрь конуса (9), то в системе наблюдаются затухающие колебания с условным периодом Т = где

и = - Къу + 4Кьк7Ь* - 4¿ЩъЪ>(кб + К&),

где Ь*— квазиравновесная концентрация красителя, а декремент затухания :

к6 + Къ + 2у/К6к7Ь*'

Полученные решения были уточнены посредством последовательной итерационной процедуры, и результаты были сопоставлены с результатами прямого проектирования. Из физических соображений были сделаны оценки скоростей реакций, при этом численные значения поправок, вычисленных прямо и последовательно совпали, а величина погрешности в целом показала, что уже точность нулевого приближения достаточна для сопоставления полученных решений с данными экспериментов. Такое сопоставление было осуществлено сотрудниками кафедры квантовой электроники КГУ, что позволило сделать выводы о том, какие именно физические и химические процессы имеют место в данной системе.

Глава 3. Коррекция квазиравновесного приближения в статистической механике

Третья глава диссертации полностью посвящена неравновесной статистической механике. В вводной части этой главы дан обзор некоторых методов замыкания цепочки уравнений Боголюбова. Более подробно излагается теория уравнения Власова, получающегося из цепочки в квазиравновесном приближении, и описывающего плазму без

к:

учета столкновений. Обсуждается уравнение Ландау для "столкнови-тельной" плазмы.

Используя в качестве начального приближения квазиравновесное

приближение отсутствия корреляций

n

}п{х ь-ЖлО = П/1(ж0> 1

где Х{— набор шести переменных {г,р}, методом инвариантных многообразий было получено уравнение, связывающее Ы— частичную поправку с точной двухчастичной функцией распределения.

Однако все квазиравновесные многообразия обладают свойством сохранения типа динамики. Таким образом, если исходная система консервативна (в данном случае, уравнение Лиувилля), то в квазиравновесном приближении мы также получим консервативное уравнение (уравнение Власова). Кроме того, метод инвариантных многообразий сохраняет тип динамики системы, и полученная на его основе поправка также является консервативной. Следовательно, получить диссипацию, которая является основным свойством всех термодинамических систем, таким путем не удастся. Чтобы получить "правильную" систему была использована классическая идея П. и Т. Эренфестов (1911 год) о периодическом перемешивании фазового ансамбля и приближение короткой памяти.

Отправной точкой для нас по-прежнему служило квазиравновесное многообразие. С него система начинает движение по истинной траектории, потом в некоторый момент времени (обозначим его к ) происходит "встряхивание", (возвращение системы на квазиравновесное многообразие). Это означает, что происходит забывание микроскопических деталей системы с сохранением.значения макропеременных.

Поправка к квазиравновесному приближению, найденная таким об-

разом, в общем случае имеет вид

Л = т{У;{М)3{Г{М)))-т{У1{т)Ум{М)т^{Г{М)))) = (Щ = тУ;{М) [1 - Ум(М)т] </(/'(М)), где УДМ) = !/.(„,, Ум(М) = Дд,/*(М) \м

- дифференциалы матрицы Якоби. Для линейных векторных полей J{f) = Ь} оператор Л приобретает более простой вид:

Я(М) = Ь'Г(М),

где оператор Ь* задается формулой :

V = тЬ2 - (тЬ)Уц{тЬ).

Исходя из уравнения Лиувилля, получаем

#(*.*) + рЭ/(*,г) _ ^^М г 0Ф(\г-г'\) =

с/й т дг др ' От '

_ 9 /¿»/(¿.г) , У?-и{и

где и = ¡рр/(1,х)(1р,

21

> о

Левая часть уравнения (11) является известным уравнением Власова, а в правой части стоит полученный нами интеграл столкновений.

Уравнение (11) как и уравнение Ландау можно отнести к фоккер-планковскому типу. Однако оно существенно более простое, что видно, например, из его линеаризации в приближении слабой неравновесности

д/ Рад/ р,,О/0_ 0/(01 рр , 15

где

■Ооа —

В отличие от уравнения Ландау, второй интеграл на верхнем пределе не расходится. Кроме того, удается извлечь практически полную информацию о спектре этого уравнения и получить его решение в виде ряда по полиномам Эрмита.

Для системы (12) получено дисперсионное уравнение

1

771 \3/2 г— ¡(2 — и2тп2

квТ) г \ 2тпк2квТ

изгп (¿Йг) - ¿С05 Ы£т) + [шЬ)+ Ы£т)

где ( = /{тквТ). Уравнение (13) можно представить в стандартном виде

J(a,b) + iI{a,b) = Г(а),

где

2 т ,2 С2 1 \ ^ 1

о тп

1 +

ПВТ\

/сН-дГ' к2тквГ ' ш^а2'

и решить численно.

При условии малости 1(а) (когда затухание мало, и колебания могут распространятся), точки пересечения функций ,/, У на рисунке 3 дают приближенное решение уравнения (13).

Разделяя в и> вещественную и мнимую части ш[к) = Г2(к) — г"/(к), в пределе коротких воли получаем

- 1 ' 1 \

0 12 3

Рис. 3: Зависимость ], I, Уь У2 от а, Ь=1, У2=0,01 У,.

откуда следует, что = О,

"к>(квт)У* | с

ШрТп^^у/^п т'

Первое слагаемое соответствует бесстолкновительному затуханию Ландау, второе же - 'возникает за счет столкновений и в сделанном приближении не зависит от к. Для длинных волн имеем :

П-.-Л .,

-к1 = О,

! _ "А _

П2 П4 т

_ С_ _ + _^_квТк2 = о

т и2 т О2ш2 • Здесь в разложении мы опустили члены, пропорциональные 72/П2, и (2/П2. Откуда видно, что

( ЗквТк2 П ~ 1 + --? + ...

\ 2 771

совпадает с известным результатом для бесстолкновителыюй плазмы. Из второго уравнения получим 7 — (/т.

Чтобы оценить влияние "столкновений" на действительную составляющую диэлектрической проницаемости, сохраним члены порядка С2. В нулевом порядке по к

7 = П = ±\!

т. '

2

т

Исходя из решения линеаризованного кинетического уравнения (12), по процедуре метода Чепмена-Энскога получены значения коэффициентов переноса.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Результаты, выносимые на защиту :

1. Построена процедура последовательного сокращения описания диссипативных систем с иерархией времен релаксации и поэтапного вычисления поправок к квазиравновесному приближению на каждой стадии. Показано, что различие поправок, вычисленных прямо и последовательно, составляет величину порядка погрешности линеаризации.

2. В качестве примера, демонстрирующего работу метода, рассмотрено две модели процесса светоиндуцированного обесцвечивания красителя. На основе выделения стадий релаксации получены и сопоставлены аналитические решения, описывающие кинетику процесса. В пространстве констант скоростей реакций определены области монотонной и немонотонной релаксации красителя в бесцветную форму.

3. На основе идеи о периодическом перемешивании фазового ансамбля получена диссипативная поправка к уравнению Власова.

4. Выполнено исследование полученного уравнения, найден его спектр и набор собственных функций. Исследована дисперсия, вычислены значения коэффициентов переноса.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Татаринова JI.JL, Поэтапное описание систем с иерархией скоростей релаксации. // Первый всероссийский семинар "Моделирование неравновесных систем -98", Красноярск: изд-во КГТУ. -1998. -С.122-123.

2. Сизых А.Г., Тараканова Е.А., Татаринова JI.JL, Моделирование механизма лазероиндуцированого восстановления красителя в полимерной матрице. // Первый всероссийский семинар "Моделирование неравновесных систем -98", Красноярск: изд-во КГТУ. -1998. -С.117-118.

3. Tatarinova L.L. Multistep method of invariant manifolds for description of kinetics of laser-induced processes. // Proceedings of the 4-th China-Russia-Korean Symposium on Laser Physics and Laser Technology, Harbin, China. Dec. 20-25. 1998. pp. 141-142

4. Sizykh A.G. Tarakanova E.A. Tatarinova L.L. Laser-induced reduction of dye in polymeric matrix. // Proceedings of the 4-th Chino-Russian-Korean Symposium on Laser Physics and Laser Technology, Harbin, China. Dec. 20-25. 1998. pp. 139-14U.

5. Татринова JI.JI. "Термостатированное" уравнение Власова. // Второй всероссийский семинар "Моделирование неравновесных систем -99", Красноярск: изд-во КГТУ. -1999. с118-119.

6. Сизых А.Г. Тараканова Е.А. Татаринова Л.Л. Лазероиндуциро-

ванное обесцвечивание красителя, растворенного в полимере, с высоким выходом интеркомбинационной конверсии. // Квантовая электроника. 1, 2000.

Соискатель:

Введение

I Метод инвариантных многообразий для диссипативных систем

1 Математический формализм

1.1 Построение медленных многообразий.

1.2 Итерационные методы решения уравнения инвариантности

2 Геометрическая интерпретация

3 Физическая интерпретация

II Последовательная итерационная процедура построения системы медленных мод для кинетических уравнений

4 Построение последовательности многообразий и последовательной итерационной процедуры

5 Исследование кинетики лазероиндуцированных процессов посредством выделения ступеней релаксации

5.1 Постановка задами. Нахождение траекторий в нулевом приближении.

5.2 Итерационное уточнения кинетики системы "Краситель + полимерная матрица"

5.3 Еще одна модель фотообесцвечивания

III Коррекция квазиравновесного приближения в статистической механике

6 Ведение

7 Цепочка уравнений Боголюбова для кинетических функций распределения и варианты ее обрыва

7.1 Уравнение Власова.

7.2 Уравнение Ландау.

7.3 Вычисление поправки к уравнению Власова в первом приближении метода инвариантных многообразий.

8 Вычисление поправки к уравнению Власова в приближении короткой памяти

8.1 Аналитическое описание модели "встряхиваний".

8.2 "Термостатированное" уравнение Власова.

8.3 Свойства и решения полученного уравнения.

8.4 Диэдектрическая проницаемость и дисперсия.

8.5 Коэффициенты переноса

Постановка проблемы и ее актуальность.

Квазиравновесные приближения играют большую роль при исследовании кинетических систем. Так, например, в неравновесной статистической механике, вследствие чрезвычайной сложности уравнений единственно возможный подход зачастую заключается лишь в нахождении поправок к квазиравновесному приближению. Традиционные методы, основанные на выделении в системе малого параметра и поиске решения в виде ряда по его степеням, далеко не всегда эффективны.

В этой связи является чрезвычайно важным создание и развитие методов, дающих альтернативную возможность поиска поправок к квазиравновесным приближениям в задачах кинетики. В качестве базового в диссертации был использован метод инвариантных многообразий, предложенный в работах А.Н.Горбаня и И.В.Карлина 1994 года. Этот метод не требует выделения в системе малых параметров и вместо тейлоровского ряда использует итерационную последовательность ньютоновского типа, начальным приближением которой является квазиравновесное многообразие.

Одна из задач, решаемых в данной диссертационной работе, — развитие метода инвариантных многообразий на системы с несколькими стадиями релаксации. Предложенная процедура последовательного сокращения описания основана на предположении, что на каждой стадии релаксации существенно изменяется со временем набор только нескольких переменных. Более медленные переменные сохраняют свои значения, а более быстрые следуют за основными переменными стадии, сохраняя свою квазиравновесную зависимость от них. Это позволяет вычислять независимо поправки на каждой стадии релаксации.

Другая проблема, исследуемая в диссертации, — получение диссипативной поправки к уравнению Власова. Уравнение Власова следует из цепочки уравнений Боголюбова в квазиравновесном приближении и описывает Плазму без учета столкновений. Самым известным примером учета столкновений является уравнение Ландау. Интеграл столкновений Ландау выводится из интеграла столкновений Больцмана в предположении малости изменения импульса частиц при столкновении. Однако в теории Больцмана заложено предположение исключительно о парном взаимодействии частиц, справедливость которого весьма условна для частиц с большим радиусом взаимодействия, таких заряженные частицы в плазме.

Подход, являющийся формальным математическим аналогом идеи П. и Т. Эрен-фестов о периодическом перемешивании фазового ансамбля (встряхивании), позволил получить уравнение для "столкновительной" плазмы, которое имеет сходную с уравнением Ландау структуру, однако более простые спектральные характеристики.

Цель работы - разработать процедуру последовательного (поэтапного) сокращения описания кинетических систем, не требующую явного наличия малых параметров, на основе построения последовательности инвариантных многообразий итерационными методами. Получить диссипативную поправку к уравнению Власова, используя идею о периодическом перемешивании фазового ансамбля. Исследовать полученное уравнение.

Практическая значимость Предложенный в диссертации метод последовательного сокращения описания может использоваться для исследования кинетики сложных диссипативных систем. Он позволяет получать аналитические или полуаналитические решения систем нелинейных дифференциальных уравнений практически на всей временной оси, а не только на финальной стадии релаксации. Так на его основе было выполнено моделирование лазероиндуцированного обесцвечивания ксантенового красителя в полимерной пленке. Сопоставление полученных результатов с данными экспериментов позволило сделать выводы о механизмах, протекающих в этой системе в процессе оптической записи информации.

Полученное уравнение статистической механики дает альтернативную к существующим возможность исследовать такую сложную физическую систему как плазма. Значимость этого результата состоит, во-первых, в том, что это уравнение получено на основе идей принципиально отличающихся от используемых при выводе всех известных уравнений "для плазмы со столкновениями", во-вторых, оно существенно более простое, что значительно увеличивает объем информации о системе, который можно извлечь.

Апробация. Основные результаты работы были представлены на: Первом Всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем" (МНС-98) (Красноярск,98). Втором Всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем" (МНС-99) (Красноярск,99). На 4-ом Китайско-Российско-Корейском симпозиуме по лазерной физике и лазерным технологиям (Харбин, 98). На семинарах кафедры квантовой электроники КГУ, и лаборатории моделирования неравновесных систем ИВМ СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 105 страницах машинописного текста, включая 7 рисунков, 1 таблицу и список литературы из 70 ссылок.

Заключение

Данная диссертационная работа основана на двух подходах к коррекции квазиравновесных приближений в задачах кинетики. Один из них — метод инвариантных многообразий. Он основан на представлении о релаксации системы к некоторому медленному многообразию и последующем движении вдоль этого многообразия. Второй — математическая формализация идеи Эренфестов о периодическом перемешивании фазовых ячеек. Система изначально находится на квазиравновесном многообразии, "убегает" с него по истинной траектории и возвращается (проецируется) на него в момент "встряхивания".

На основе первого метода коррекции квазиравновесных приближений в диссертации получены следующие основные результаты :

1. Построена процедура последовательного сокращения описания диссипативных систем и поэтапного вычисления поправок к квазиравновесному приближению для случая, когда в системе возникает несколько стадий релаксации. Показано, что различие поправок, вычисленных прямо и последовательно, составляет величину порядка погрешности линеаризации.

2. В качестве примера, демонстрирующего работу метода, рассмотрено две модели процесса светоиндуцированного обесцвечивания красителя.

А. Определены соотношения между константами скоростей реакций, разделяющие области существования в системе затухающих колебаний и монотонной релаксации. Б. Благодаря различию скоростей процессов, выделены этапы (ступени) релаксации. Получены аналитические решения, описывающие кинетику переменных на каждой из ступеней.

В .Приводится временная зависимость концентрации молекул в основном состоянии для различных скоростей дисмутации. Результаты исследования данной системы сопоставляются с моделью, не учитывающей процессы восстановления и с экспериментом.

Использование найденных из эксперимента численных значений скоростей процессов позволяет сделать вывод, что уже нулевое приближение явилось достаточно удачным, и его уточнения внесли лишь незначительную коррекцию в полученное решение.

3. На основе идеи Эренфестов о периодическом перемешивании ("встряхивании") фазового ансамбля найдена диссипативная поправка к уравнению Власова. Полученное уравнение имеет структуру уравнения Фоккера-Планка, описывающего диффузию в импульсном пространстве, характерную для ряда уравнений для "столкнови-тельной плазмы". В нашем случае коэффициент диффузии не эмпирический параметр, а определенная с точностью до постоянного множителя функция потенциала взаимодействия и одночастичной функции распределения.

4. В приближении слабой неравновесности плазмы найдены спектр и собственные функции линеаризованного "термостатированного" уравнения Власова. Исследована дисперсия полученного уравнения. Здесь наряду с затуханием Ландау возникает затухание, связанное со столкновениями, и его скорость пропорциональна интенсивности взаимодействия. Частоты собственных колебаний плазмы меняются только в следующем неисчезающем порядке разложения по интенсивности столкновений.

5. В приближении слабой неравновесности и пространственной однородности плазмы найдены значения коэффициентов переноса: электрическая проводимость, коэффициент теплопроводности, термоэлектрический коэффициент. В этом приближении вычисленные коэффициенты совпадают со значениями, получающимися для уравнения Власова с релаксационным членом вместо интеграла столкновений, где параметр, определяющий скорость релаксации, — минимальное отличное от нуля собственное значение линеаризованного "термостатированного" уравнения.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителю — профессору Александру Николаевичу Горбаню.

Автор глубоко признателен Ph.D. И.В.Карлину за внимание, подробные замечания и комментарии.

Автор также благодарен профессору А.Г.Сизых и к.ф.-м.н. Е.А.Таракановой за сотрудничество и доброжелательное отношение.

1. Gorban А. N. and Karlin I. V. Method of invariant manifolds and regularization of acoustic spectra, Transport Theory and Stat. Phys. 23, 559-632 (1994).Gorban A.N. Karlin I.V. & Stat. phys.

2. Gorban A. N. and Karlin I. V. Thermodynamic parameterization, Physica A 190, 393-404 (1992).

3. Gorban A. N. and Karlin I. V. New Nethods for Solving the Bolnzmann Equation, AMSE Transaction, Scientific Siberian, Ser A (Physical Kinetics), 10, AMSE Press, Tassin, France, 1993

4. Gorban A. N. and Karlin I. V. Short-wave limit of hydrodynamics : A soluble example, Phys. Rev. Lett. 77, 282-285 (1996).

5. Gorban A. N. and Karlin I. V. Zmievskii V.B., Nonnenmacher T.F. Relaxational Trajectories: Global Approximations, Physica A, 231, 648-672 (1996).

6. Gorban A. N. and Karlin I. V. Zmievskii V.B. The Initial Layer Problem for Dissipative Systems. I., Modelling, Measurement and Control, A, 61(1), 29-43 (1995).

7. Gorban A. N. and Karlin I. V. Zmievskii V.B. The Initial Layer Problem for Dissipative Systems. II., Modelling, Measurement and Control, A, 60(4), 39-64 (1995).

8. Gorban A. N. and Karlin I. V. Zmievskii V.B. Two-step Approximation of Homogeneous Relaxation for the Boltzmann Equation, Adv. Model, and Analysis, A, 28(2), 17-42 (1995).

9. Zmievskii V. B. Karlin I. V. and Deville M. The universal limit in dynamics of dilute polymeric solutions, Physica A 275(1-2), 152-177 (1999).

10. Gorban A. N. and Karlin I. V. Zmievskii V.B. and Dymova S. V. Reduced description in reaction kinetics, Physica A 275(3-4), 349-367 (1999).

11. Bykov V. I. , Gorban A. N. Dymova S. V. Method of invariant manifolds for the reduction of kinetic description, ACH-Model in Chemistry 134 (1), pp 83-95 (1997)

12. Колмогоров A.H. ДАН СССР, 98, 527 (1954)

13. Арнольд В.И. Усп.мат.наук, 18,13 (1963) Moser J. Nachr.Acad.Wiss. Gottingen, N1 (1962)

14. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Пер. С англ. ; Под ред. А.А.Абрамова. М. : Наука. Гл. Ред. Физ.-мат. Лит., 1986. -288 с.

15. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М. : "Мир", 1975. -560.

16. Беклкмишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. -336 с.

17. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М. : Наука, 1984.-272с.

18. Горбань А.Н. Обход равновесия. Уравнения химической кинетики и их термди-намический анализ. Новосибирск: Наука, 1984.(Klit26)

19. Горбань А.Н. Быков В.И., Квазитермодинамичность реакций без взаимодействия различных веществ. Журнал физической химии. 1983,т.57, с 12.

20. Окунев Л.Я., Высшая алгебра, М:, Просвещение 1966г.

21. Sizykh A.G.,Tarakanova Е.А., Zholobova N.N. Investigation of formation kinetics of light-induced photochemical gratin in "dye-polimer" system. Repot of the third russian-chinese symposium on laser physics and laser technology. 1996.

22. Быков В.И. Моделирование критических явлений в химической кинетике. М. : Наука, 1988.-263с.

23. Математическая энциклопедия, т.1

24. Теренин А.Н. Фотоника молекул красителей. Л. :Наука, 1967

25. Степанов Б.И. Введение в химию и технологию органических красителей. М. : Химия, 1984.

26. Sizykh A.G., Tarakanova E.A., Tatarinova L.L. Laser-induced reduction of dye in polimeric matrix. Proceedings of the 4-th Chino-Russian-Korean Symposium on Laser Physics and Laser Technology, Harbin, China. Dec. 20-25. 1998. pp. 139-140.

27. Квасников И,А. Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. -М. : Изд-во МГУ, 1987. -559с.

28. Шелест A.B. метод боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. -М. : Наука. Гл.ред.физ.-мат. лит., 1990.-160с.

29. Боголюбов H.H. избранные труды. -Киев: Наук.думка, 1970.- Т.2. -С.99.

30. Yvon J. Theorie Statistique des Fluides et l'Equation d'Etat // Actes sientigfique et industrie. -1935. No.203. -Paris :Hermann

31. Born M., Green H.S. A general kinetic theory of liquids. -Camb.Univ.Press. 1949

32. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика: пер. с англ. М. : Мир. 1964.

33. Власов A.A. // УФН.-1967. -Т93, вып. 3. -С.444.

34. Ландау Л.Д. Собрание трудов. -М. : Наука, 1969. Т.1. -С.199.

35. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т.1. -М. : Мир. 1978. -405с.

36. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т.2. -М.: Мир. 1978. -399с.

37. Неравновесные явления: уравнение Больдмана. Под ред. Дж.Л.Либовица. М. : Мир. 1986

38. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М. : Наука, 1974.-432с.

39. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. -М.: Изд-во МГУ, 1991. -800с.

40. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистическй физике // Избранные труды по статистической физике.-М. : МГУ, 1979.-С. 5-114.

41. Гуров К.П. Основания кинетической теории.-М. : Наука, 1966.-351 c.(Klit5)

42. Born M., Green H.S. Proc. Roy. Soc., A188, 10.

43. Kirkwood J.G. J. Chem. Phys., 3, 300.

44. Levesque D. Physica, 32, 1985.

45. Adler В. J., Wainwright T. J. Chem. Phys., 27, 1209.

46. Wood W.W., Jacobson J.D. J. Chem. Phys., 27, 1207.

47. Salpeter E.E. Ann. Phys., 5, 183.

48. Meeron E. J. Chem. Phys., 27, 1238.

49. Rice S.A., Lekner J. J. Chem. Phys., 42, 3559.

50. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М. Мир. 1978

51. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. 1947

52. Candrasekhar S. Noise and Stochastic Processes, ed. N.Wax. New York. 1954.

53. Кудрявцев B.C. ЖЭТФ 34. 1558. 1958.

54. Рудяк В.Я. Статистическая теория диссипативных процессов в газах и жидкостях. Новосибирск: Наука, 1987.

55. Rice S.A., Allnatt A. On the kinetic theory of dense fluids. VI. Singlet distribution function for rigid spheres with an attractive potential// J. Chem. Phys.-1961.-V.34,N6.-P.2144-2155.

56. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. -М. : Изд-во иностр. лит., 1960. -510с.

57. Rice S.A., Gray P. The statistical mechanics of simple liquids.-N.Y. :Interscience, 1965.-585p.

58. Rpigogine I., Nicolis G., Misguich J. Local equilibrium approach to transport processes in dense media //J. Chem. Phys. -1965.-V.43,N 12. -P.4516-4521.

59. Misguich J.H., Nicolis G. Generalized Rice-Allnatt theory for transport in liquids// Mol.Phys. -1972. -V.24, N 2. -P.309-334.

60. Davis H.T. Kinetic theory of dense fluids and liquids revisited // Adv Chem. Phys. -1973. -V.24.-P.257-343.

61. Davis H.T. Kinetic theory of dense fluids //J. Stat.Phys. -1973. -V.7, N 3. -P.225-241.

62. Theodosopulu M., Kin-Wan Li, Dahler J.S. Kinetic equation for dense fluid // Mol. Phys. -1976. -V. 32, N 3. -P.599-612.

63. Дубровский Г.В., Богданов А.В. К выводу обобщенного кинетического уравнения больцмановского типа // Вестн. ЛГУ. -1976.-N13. С. 66-76.

64. Богданов А.В., Дубровский Г.В. К выводу кинетических уравнений в рамках приближния Т-матрицы // Теорет. и мат. физика. -1976. -Т.28. N1. -С. 80-91.

65. Дубровский Г.В., Богданов А.В. Кинетическое уравнение квазичастичного типа для плотного газа. I // ЖТФ-1979. -Т.49, N 7.-С. 1386-1396.

66. Резибуа П. Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М.: Мир, 1980. -425с.