автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы обработки данных, основанные на сингулярно-спектральном и метрическом анализах, и их применения

На правах рукописи

УДУМЯН ДАВИД КАДЖИКОВИЧ

Численные методы обработки данных, основанные на сингулярно-спектральном и метрическом анализах, и их применения

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4849271

9 ИЮН 2011

Москва 2011

4849271

Работа выполнена в Национально Исследовательском Ядерном Университете «МИФИ»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Крянев Александр Витальевич Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Борог Владимир Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Загребаев Андрей Маркоянович

Ведущая организация: Лаборатория Информационных Технологий

Объединённого Института Ядерных Исследований (Дубна)

Защита состоится июля 2011 г. в 15 часов 00 минут

на заседании диссертационного совета Д212.130.09 в Национальном Исследовательском Ядерном. Университете "МИФИ" по адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31, тел. 324-84-98, 323-92-56

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ.

Автореферат разослан мая 2011 г.

доктор физико-математических наук, профессор

Севастьянов Леонид Антонович

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Леонов А.С.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Обработка данных в различных областях науки, техники и социальных сферах с целыо выявления из данных различного рода информации, описывающей рассматриваемую систему или процесс, является одним из основных актуальных направлений научных исследований как теоретического, так н практического характеров. Более того, в настоящее время исследуются все более сложные системы и процессы, данные о состоянии и поведении которых имеют все более сложные скрытые структуры и выявление из них интересующей исследователя информации требует создание более сложных комплексных схем, способных выявить такого рода информацию об исследуемой системе или процессе.

Одними из основных задач обработки данных являются: задачи интерполяции и восстановления значений исследуемой функциональной зависимости, в том числе, в условиях наличия в данных хаотических компонент, задачи выделение детерминированных, хаотических и аномальных компонент при восстановлении функциональных зависимостей по исходным неопределенным данным.

К настоящему времени разработано много различных методов и схем, решающих различные частные задачи интерполяции и восстановления функций одной и многих переменных и выделения из исходных данных детерминированных, хаотических и аномальных компонент [1-3].

В 1960-70 гг. как альтернатива интерполяционной схеме Лагранжа и других, основанных на пей интерполяционных схемах, были предложены и разработаны схемы сплайн - интерполяций, которые обеспечивали равномерную сходимость интерполяционных сплайн -приближений для любой непрерывной функции [4,5].

Еще одним современным направлением решения задач восстановления функциональных зависимостей, в том числе в

условиях неопределенности, является сингулярно - спектральный анализ (ББА), продолжающийся интенсивно развиваться на протяжении последнего десятилетия [0,7].

Схема представления функций в виде линейных комбинаций базисных функций, в том числе полиномов и сплайн-аппроксимаций, в принципе, могут быть обобщены на функции многих переменных, по практически такие схемы являются работоспособными только для небольшого числа переменных. Например, многомерные интерполяционные или сглаживающие сплайпы типа тонкой пластины, вводимые через их экстремальное свойство, могут быть практически построены только в случае, когда число аргументов восстанавливаемой функции не превышает 6-7. Для функций большого числа переменных эффективных общих схем интерполяции и восстановления функциональных зависимостей до сих пор нет. Имеются лишь различные приближенные схемы интерполяции типа кусочно-линейных, которые с одной стороны требуют для своей реализации большого числа данных, с другой стороны даже при большом числе данных часто не обеспечивают нужной точности. Еще одной широко распространенной схемой приближенного восстановления функциональных зависимостей, в том числе для случая многих переменных, являются нейронные сети [8,9].

В настоящее время для решения многих прикладных задач с помощью компьютерной техники имеется острая необходимость в разработке новых эффективных схем интерполяции и восстановления функций многих переменных, в том числе в условиях наличия хаотических погрешностей в известных значениях функции в точках Хх,...,Хп € Ет, по которым восстанавливаются значения функции в других точках пространства Ет, и решения с их помощью сложных прикладных задач. Примерами таких актуальных задач в ядерной области, рассмотренных в настоящей диссертации, являются: задача выявления аномалий в солнечной активности [10,11] и задача восстановления распределения энерговыделения в активной зоне (АЗ) ядерного реактора [12,13].

Целью диссертационной работы является создание методов, вычислительных алгоритмов и программ решения сложных задач обработки данных с помощью сингулярно-спектрального и метрического анализов, достижение которой включает в себя:

1. Создание новых эффективных методов нптерполяции и восстановления значений функций одной и многих переменных, основанных на метрическом анализе;

2. Разработку комплексной схемы и программы обработки неопределенных данных, включая выделение детерминированных и хаотических компонент, основанных на сингулярно - спектральном анализе и способных выявить особенности в регистрируемых излучениях солнечной активности;

3. Разработку схемы и программы высокоточного восстановления поля распределения энерговыделения в активной зоне (АЗ) ВВЭР с помощью методов, основанных на метрическом анализе.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Создать новые эффективные методы интерполяции, основанные на метрическом анализе, и их реализации в виде программ;

2. Создать новые эффективные методы восстановления, основанные на метрическом анализе, и их реализации в виде программ;

3. Обосновать сходимость интерполяционных и восстановленных значений к точным значениям функции для созданных методов;

4. Разработать и реализовать в виде программы схему выявления особенностей в солнечной активности в условиях больших уровней зашумленности в регистрируемых сигналах, на основе сингулярно - спектрального и вейвлет анализов;

5. Разработать схему и программу высокоточного восстановления поля энерговыделения в активных зонах реакторов.

Методы исследований

Сингулярно - спектральный анализ позволяет эффективно выделить из сильно зашумлегшых временных рядов трендовые составляющие;

Вейвлет - анализ позволяет после выделения трендовой составляющей обнаруживать непериодические аномальные структуры в исследуемых временных процессах;

Метрический анализ дает возможность конструировать эффективные методы интерполяции и восстановления значений функций одной и многих переменных даже при небольшом числе исходных данных.

Научная новизна

1. Созданы новые методы и программы интерполяции функций, основанные на метрическом анализе;

2. Созданы новые методы и программы восстановления функций одной и многих переменных, основанные на метрическом анализе;

3. Разработана новая комплексная схема и программа выделения скрытых аномалий в исследуемых хаотических временных процессах, основанные на сингулярно - спектральном и вейвлет анализах;

4. Разработана новая схема, основанная на метрическом анализе, и программа для восстановления распределения энерговыделения в АЗ реакторов ВВЭР с учетом показаний датчиков внутриреакторного контроля.

Практическая значимость результатов

Предложенные и разработанные в диссертации методы, схемы и программы интерполяции и восстановления функциональных

зависимостей могут применяться в различных областях для обработки экспериментальных или статистических данных, особенно при решении задач восстановления функциональных зависимостей от многих переменных, в частности многомерных временных процессов. В настоящее время разработанные в диссертации методы, схемы п программные коды используются при обработке данных состоянии литосферы и биосферы и для решения задач, связанных с восстановлением распределения эиерговыделения в A3 ядерных реакторов ВВЭР-1000. Часть диссертационной работы выполнялась в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России".

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Обоснованность полученных результатов следует из того, что при аналитических и численных исследованиях в диссертации использовались строгие и обоснованные методы: сингулярно -спектральный анализ, вейвлет - анализ, апробированные схемы метрического анализа. В то же время в диссертации проведен ряд исследований по обоснованию разработанных новых методов, в частности, доказаны теоремы сходимости для методов интерполяции и восстановления значений функций, проведены сравнения численных результатов с результатами, полученными с помощью апробированных классических методов и сравнением с реальными экспериментальными данными.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, получены автором. В работах, отражающих содержание диссертации и выполненных в соавторстве, автору принадлежит равный вклад в разработку математических моделей, методов и алгоритмов численных решений рассматриваемых задач и их программную реализацию.

Апробация работы. Полученные в диссертации результаты были доложены на: Международной конференции "Mathematical Modeling and Computational Physics 2009, Дубна, Всероссийской конференции "Фундаментальные физико - математические проблемы

и моделирование техпико - технологических систем"(2008, 2009 гг.); Всероссийской конференции по проблемам математики, ииформатики, физики и химии (2009, 2010, 2011 гг.); Научных сессиях МИФИ (2008, 2009, 2010, 2011 гг.); отраслевом научном семинаре в Курчатовском научном центре (2010 г.); научном семинаре под руководством профессора В.В. Иванова (Лаборатория Информационных Технологий Объединённого Института Ядерных Исследований); научном семинаре по математическому моделированию под руководством профессора Л. А. Севостьянова (РУДН, 2009 - 2011 гг.); научном семинаре под руководством профессора H.A. Кудряшова (МИФИ).

Публикации. Полученные в диссертации результаты представлены в 22 работах из них 5 в журналах списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений. Список цитируемой литературы содержит 96 наименований. Общий объем диссертации 122 с.

Краткое содержание работы.

Во введении дается обзор публикаций по тематике диссертации, общая характеристика работы, ее актуальность, формулируются цели диссертации, научная новизна и значимость, дано краткое изложение содержания работы.

В первой главе рассматривается интерполяция функций одной и многих переменных с помощью схем, основанных на метрическом анализе. Предлагаются новые схемы и алгоритмы интерполяции функций одной и многих переменных на основе метрического анализа.

Рассматривается задача интерполяции функции:

Y = F{Xu...,Xm) = F{X), (1)

либо в одну точку X" либо в совокупность заданных точек, при

наличии информации о значениях этой функции в точках Х\,. ,.,Хп :

у* = х* = (Хи,..., хкт)т € Б™.

В пространстве Ет задается метрика, поражденная нормой:

т

||Х|| = (2)

¿=1

где Ш] - метрические веса, которые удовлетворяют следующим соотношениям:

тп

и)} > О, = т.

з=1

В общем случае метрические веса Шь ..., шт учитывают характер изменения исследуемой функции при изменении ее аргументов и вычисляются с учетом взаимного расположения точек ... ,Хи и значений функции У\,..., У„ в этих точках.

Вводится (п х п) матрица метрической неопределенности Ж для точки X* относительно совокупности точек Х\,... ,Хп в которых значения функции известны;

У/

(р\ХиХ')а (ХиХ2у ... (ХиХп)а \ (Х2,Х\)а р2(Х2,Х*)с; ... (Х2,Хп)я

^ (Хп,Х\)а (Хп,Х2)й ... р2(Хп, Х*)д у

(3)

где

к=1

т

№> = ^шк ■ [Х{к - Х*к) ■ (Х^ - XI), г,У = 1,..., п.

к=1

(4)

Определяется числовая характеристика а^р метрической неопределенности интерполированного значения У* в точке

X* по значениям функции в точках • • • 5 Хп с заданными интерполяционными весами г = ..., гп)т с помощью равенства:

с%0 = т*1,---Мх*)г,2). (5)

Ставится задача подбора таких значений весов г = 1 удовлетворяющих условию нормировки Zi — 1, чтобы числовое значение характеристики метрической неопределенности (5) было минимальным:

( (IVг, г) - ж?

\ (г, 1) = 1, 1 = (!,■■•,1)Г И

В случае п < т решение задачи (5) дается равенством:

Ш'Ч (И/Г~11 У)

г = ——у ={ (7)

Доказываются следующие теоремы о свойствах интерполяционных значений, полученных с помощью метрического анализа.

Теорема 1. Интерполяционное значение функции У(Х*) сходится к точному значению УI в узлах интерполяции Xк = 1,..., п, когда X* Хк.

Теорема 2. Интерполяционная функция, построенная методом метрического анализа, непрерывна.

Предлагается одна из возможных схем определения числовых значений метрических весов ш;, основанная на исследовании степени влияния каждого аргумента на изменение функции путем сравнения восстановленных значений функции в точке X* с включением аргумента и без его включения в усеченной точке Х^ = (Х[,..., Х{+1,..., Х!^)Т размерности т — 1.

Дается решение задачи (6) через собственные вектора и собственные значения матрицы метрической неопределенности IV.

Показано, что для случая п > т + 1 матрица метрической неопределенности XV вырождена и задача (6) имеет бесконечно много решений, причем а2МГ) — {у/г, г) = 0.

Доказано, что в одномерном случае т = 1, интерполяция Лагранжа является одним из частных случаев интерполяции с. помощью метрического анализа, причем выполняются равенства <йв = (МГ,г)=0, (г, 1) = 1.

Чтобы обойти сложности, связанные с вырожденностью матрицы метрической неопределенности IV, для случая п > т +1 предлагаются различные подходы, такие как:

1. Использование вместо матрицы У/ регуляризованной матрицы 1¥г = IV + аМ, где М - матрица регуляризатор, а - параметр регуляризации.

2. Поиск решения в подпространстве нулевого собственного значения матрицы IV, в рамках которого рассматривается задача на минимум метрической неопределенности:

У] щс* — тт с

п-т (8)

1) =

г=1

где [¿ц > 0 - заданные числа для фиксированной точки X*, в которой ищется интерполяционное значение, г = 1,... ,п — тп - собственные векторы матрицы Щ соответствующие ненулевым собственным значениям. Вектор интерполяционных весов и интерполяционное значение V* для точки X*, связанные с вектором с*, являющимся решением задачи (8), даются формулами:

= й, г-^еЩ^П О.

¿=1 ^ ¿=1 ^ (<Р*>!)

£

<-1 *

(9)

3. Введение вместо матрицы (3) ее модификаций, которые при п > т + 1 в общем случае невырождены.

Рассмотрены конкретные примеры интерполяции непрерывных функций и их сравнение с интеполяциями Лагранжа, одномерными

кубическими сплайнами и двумерными сплайнами класса тонкой пластины. Приведенные примеры показывают, что интерполяция методом метрического анализа обеспечивает эффективные результаты. Интерполяция методом метрического анализа, в отличие от сплайн интерполяции, не предполагает задания базисной системы функций, а к каждой точке X*, в которой ищется интерполяционное значение, применяется индивидуальным подход с учетом взаимного расположения этой точки к интерполяционным узлам. Следует отметить, что количество операций, необходимых для вычисления интерполяционных значений с помощью метрического анализа, растет пропорционально N, где N - количество точек, в которых необходимо получить интерполяционные значения.

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи сглаживания и аппроксимации функциональной зависимости

Y = F(Xu...,Xm) = F{X),

при наличии хаотических отклонений заданных значений функции от ее точных значений. Таким образом, предполагается, что заданные в точках Х\,...,Хп значения функции Y\ = F(X\),...,Yn = F(Xn) известны с погрешностями. Пусть Kf - ковариационная матрица вектора значений У = (Y\,..., Yn)T. Для произвольной точки X* восстановленное значение Y* ищем в представлении

Y' = (Z,Y), (10)

где вектор весов z находится как решение следующей задачи на минимум суммарной неопределенности:

Г (Wz, z) + a{Kfz, z) - min z а - параметр сглаживания. Сглаженное значение в произвольной точке

X" дается равенством

*т + 1,1)

Доказывается следующая теорема.

Теорема. Для точек X* = X;, при а —> +0 решение задачи (11) стремится к значению функции У*.

В ходе доказательства этой теоремы выводятся формулы, дающие сглаженные значения в точках Х\.....Х„.

Дается представление задачи (11) через собственные значения и собственные вектора матрицы IV :

(Ос, с) + а(Вс, с) — 1шпс (с,Ф) = 1, 1 = (1.....1)

Т (13)

£> = <Иад( Ах,..., А„), = (КуФг, г,] = 1,--.,п. Искомое сглаженное значение

у, ^ (ПР + аВ^ф,?) 5т ((0 + аВ)->ф,ф) '

где Р = [фх-фп], Ф = ((<?!, 1),...,(<Дп, Г))Г-

Для случая п > т, когда матрица \Ч вырождена, применяются тс же подходы, которые были описаны в главе 1.

В первом подходе производится регуляризация матрицы У/ : IV,- = \У+аМ, где М - матрица регуляризатор, а - параметр регуляризации, а вместо задачи (11) рассматривается задача с использованием регуляризованпой матрицы IУГ.

Во втором подходе действуем в подпространстве нулевого собственного значения. <Р1,... ,<рп-т - собственные вектора матрицы IV, соответствующие нулевому собственному значению Ао = 0.

п-т

г = С*Ф> ~ ($> = г^ =1,...,п-т. ¿=1

Обозначим ^о = с0 = (сь..., сп_т)Т,

Фо ~ ((<?1, Г),•••, (<Л.-т, Г))11, {В0)ч = г,} = 1, ■.. ,п — т,

), где функции Ц^х*) должны удовлетворять условию интерполяции при а = 0, т.е. определять интерполяционную функцию, сходящуюся к значениям функции в точках Х^.

Искомое сглаженное значение У*т дается формулой

4'"' ((Д, + аВа)-1фа,фо) '

В третьем подходе вместо матрицы IV вводятся модифицированные матрицы метрической неопределенности, которые при тг > т - невырождены.

При восстановления функциональной зависимости, для определения оптимального значеиня параметра сглаживания а применяется функционал невязки

М^Е^-ЪГ-г. (16)

¿=1 '

Выбирается такое значение ад, для которого ¿(ао) = 0.

Представлены примеры восстановления конкретных функциональных зависимостей с помощью метрического анализа.

Предлагается и другой подход в рамках метрического анализа в задаче сглаживания на основе информации о взаимном расположении точек ... ,Хп, использующий итерационный процесс. При таком подходе роль параметра сглаживания играет количество итераций I и, тем самым, он носит дискретный характер.

Для одномерного случая т — 1 представлено сглаживание методом сингулярно спектрального анализа (ЭБА), который также не предполагает априорного задания базисной системы функций. Сглаживание методом БЭЛ используется в главе 3 в

задаче удаления тренда для рядов вариаций интенсивности потока галактических космических лучей. Если сглаженную кривую (тренд) определять с точки зрения частотных характеристик, то для сглаженных с различными степенями сглаживания кривых можно построить периодограмму, которая является оценкой плотности спектра мощности (ПСМ), и определить частоты, на которых эта периодограмма максимальна. Это позволяет отделить низкочастотные трендовые составляющие ряда от остальных.

Для задач сглаживания и аппроксимации, при наличии больших выбросов в заданных значениях функции, представлены робастные методы на основе метрического анализа. В этом случае для значений функции У1,..., Ул в точках Х\,..., Хп вместо представления

Ъ = У8т(Хг) + УсН(Х), (17)

где Ует(Х() - сглаженное значение в точке Х{, Уск{Х^ - хаотическая компонента в точке Xиспользуется представление

Ъ = Уёт(Ъ) + П г(Хг) + УсН(Х{), (18)

где УЗГ{Х¿) - компонента, соответствующая большим выбросам.

Это представление находится с помощью итерационного процесса, сходящегося за конечное число шагов.

В третьей главе представлено решение актуальной проблемы выявления аномалий в солнечной активности с помощью разработанных в диссертации комплексных схем, основанных на БЭА и вейвлет - анализе. Требуется выделить из наблюдаемого временного ряда полезный сигнал на фоне подавляющего шума, характеристики которых априори не известны. Сигналы наблюдаются на небольших интервалах времени внутри временного ряда и представляют собой совокупность квазипериодических процессов, с изменяющимися частотными и амплитудными характеристиками.

Рассматривается в общем виде временной процесс, задаваемый в виде ряда / = (/ь ...,/лг)- Выделяется временное окно (/ь--.,/п)

и сдвигается по всему ряду с некоторым шагом Л. В результате получаем К = [(ЛГ —п)//г] +1 "коротких"рядов длины п. Для каждого такого ряда на первом этапе удаляется тренд методом вЭА, как низкочастотная составляющая. После удаления тренда к оставшейся части ряда применяется интегральное вейвлет преобразование

где а, Ь € Я, а ф 0, ф(Ь) - анализирующий вейвлет, ф*{Ь) - комплексное сопряжение ^(О-

Параметр а (параметр масштаба) определяет размер вейвлета, его аналогом в Фурье - преобразовании является период (частота) гармонического колебания. Параметр Ь (параметр сдвига) задает временную локализацию вейвлета.

Величина Е(а,Ь) = 6)|2 определяет спектральную

характеристику заданного масштаба а и параметра сдвига Ь,

является глобальным спектром энергии, которая показывает распределение энергии по масштабам в течение всего времени Т выделенного "короткого"ряда. Величина

представляет собой полную энергию в течение всего времени Т в интервале частот, соответствующую масштабному интервалу \а\, аг]. Это позволяет отфильтровать частоты, которые не представляют интерес в рассматриваемой задаче. В результате получаем полную энергию сигнала как функцию времени.

Описанный метод был применен к модельным рядам для двух случаев. В первом примере рассматривается регистрация суммы двух сигналов с различными частотными характеристиками; во втором

Е =

случае - эти же сигналы проявляются последовательно и разделены во времени. В рядах всегда присутствует белый шум, интенсивность которого изменяется в широких пределах.

Описанный метод вычисления полной энергии Е(£), как функции времени, был применен для анализа вариаций интенсивности потока галактических космических лучей (ГКЛ), который регистрируется в разных пунктах на поверхности Земли отдельными нейтронными мониторами. Применение описанного метода для анализа вариаций потока ГКЛ на орбите Земли, связанных с распространением магнитных облаков(МО) солнечного происхождения, указывает на то, что основная энергия частотных вариаций обусловлена В2 - компонентой магнитного поля внутренней структуры МО, а не изменением модуля |В| полного магнитного поля. Временное поведение энергии Е(Ь) слабо зависит от величины геомагнитного обрезания разных нейтронных мониторов. Непрерывные значения энергии Е(Ь) вариаций ГКЛ во время прохождения МО через орбиту Земли позволяют изучать его динамические характеристики с помощью установок типа нейтронных мониторов с высоким геомагнитным порогом.

Было проанализировано нескольких событий, связанных с вариацией потока ГКЛ, с целью поиска раннего предиктора до приближения солнечного возмущения к атмосфере Земли. Для большинства событий величина энергии Е(Ь), связанная с солнечным возмущением, оказывается значительно выше "шумовой"компоненты, и опережает на сутки или даже двое суток регистрацию сгустка плазмы спутником АСЕ.

На рисунке 1 показано изменение энергии во времени (12-22.09.2000 г.) для нейтронного монитора, расположенного в Ломнитски Штит (Словакия), из которого следует наличие приближающегося к Земле МО примерно за 1-2 суток до достижения им поверхности Земли.

i i i 1 1

2.5 -

2 1!! [1 и \

1.5 - и

1 >ш ilä I' ь!

0.5 п ^ЛА J j /ЧлУ1^ 1 1 1 |

0I-^—I-1-I-1--1-

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Рис. 1

В четвертой главе диссертации рассматриваются задачи восстановления распределения энерговыделения в A3 реакторов ВВЭР - 1000 на основе расчетных значений и показаний датчиков внутриреакторного контроля с помощью схем, основанных на метрическом анализе.

Рассматривается A3, состоящая из 163 тепловыделяющих сборок (TBC). В 64 TBC в центральном направляющем канале каждой такой TBC на равном расстоянии друг от друга находятся 7 датчиков прямого заряда (ДПЗ), измеряющих локальное энерговыделение.

В качестве первого приближения для распределения энерговыделения используется нейтронно-физический расчет энерговыделения в A3 163*16 (16 призм, равномерных по высоте A3). В то же время наряду с результатами нейтронно-физического расчета имеются показания 64*7 ДПЗ. Ставится задача восстановить поле энерговыделения в A3 реактора по показаниям ДПЗ и с использованием нейтронно-физического расчета.

Предлагается схема восстановления поля энерговыделения в A3 ВВЭР, использующая схемы, основанные на метрическом анализе, которые, как показали предварительные исследования, удовлетворяют современным требованиям.

В первой части четвертой главы па модельных примерах исследованы схемы восстановления распределения эперговыделснпя и получены оценки точности восстановления в зависимости от характера погрешностей в исходных расчетных значениях распределения и показаний ДПЗ.

В одномерном случае для функции, значения которой известны в точках (а, ¡11,... ,1ц, Ь) со средней относительной погрешностью 7 ~ 1 — 2% (точки, в которых измеряется эперговыделение) и в точках /г1,...,/гц; со средней относительной погрешностью р ~ 6 — 8% (в расчетных точках), восстанавливались эти значения с использованием известных погрешностей этих значений в заданных точках и восстановленные значения сравнивались с истинными значениями модельной функции. Погрешности в измеренных точках считаются случайными, а в расчетных точках они могут быть как случайными, так и систематическими. В обоих случаях, вне зависимости от того являются ли погрешности измерений в расчетных точках случайными или систематическими, результат восстановления с использованием различных генераций шумов оказывается достаточно эффективным. Числовые расчеты для конкретного примера показывают, что в измеряемых точках средняя относительная погрешность уменьшается от 2.2% до 1.0%, максимальная относительная погрешность уменьшается от 3.7% до 3.4%; в расчетных точках средняя относительная погрешность уменьшается от 6.4% до 1.3%, максимальная относительная погрешность уменьшается от 13.3% до 4.3%.

В двумерном случае в качестве модели рассматривалась функция /(х,у) = ^(ау/х2 + у2), где Л(аг) - функция Бесселя, а -константа. Функция /(х,у) задавалась в точках г =

1,..., ТУ, плоскости (х,у), где {х^у^ - координаты центров кассет, N = 163 - количество всех кассет. В тех кассетах, где стоят датчики, значения функции задавались со средней относительной погрешностью в 1% (т. к. они являются результатом восстановления функции по высоте), а в кассетах, где датчиков нет, значения функции

задавались со средней относительной погрешностью в 8% (т.к. в этих кассетах использовались расчетные значения) с помощью наложения шума датчиком случайных величин. Для двумерного случая также были получены результаты восстановления с достаточно высокой степенью точности. Числовые расчеты для конкретного примера показывают, что в кассетах, где нет датчиков, средняя относительная погрешность снижается от 7.4% до 1.8%; в тех кассетах, где стоят датчики и значения функции задавались со средней относительной погрешностью в 1%, точность восстановления остается в пределах 1%.

Во второй части четвертой главы представлена схема и результаты восстановления распределения энерговыделения на основе реальных данных для ВВЭР 1000.

Для рассматриваемой TBC в качестве показаний датчиков брались значения, полученные с помощью схемы метрической интерполяции расчетных значений энерговыделений для этой TBC в местах расположения датчиков. Затем в качестве "зашумленных"расчетных значений в рассматриваемой TBC брались расчетные значения другой TBC и с помощью схемы метрического анализа восстанавливались значения энерговыделения в расчетных точках каждой рассматриваемой TBC. В результате была получена высокая точность восстановления поля энерговыделения, а именно: средняя относительная погрешность уменьшилось с 15.8% до 3,6%, максимальная погрешность уменьшилась с 18.2% до 5.4%. На рисунках 2 и 3 для одного конкретного плоского сечения по высоте A3 представлены соответственно зашумленная и восстановленная поверхности эперговыделеиия. Восстановленная поверхность практически полностью совпадает с исходной поверхностью.

Следует отметить, что высокая точность восстановленных значений энерговыделения частично обеспечена высокой точностью показаний датчиков внутри реакторного контроля. Предлагаемая схема коррекции расчетных значений энерговыделения на базе учета показаний датчиков внутри реакторного контроля в расчетных точках оптимальным образом "усредняет"расчетные значения и значения

на основе показаний датчиков. Поэтому точность восстановленных "усредненных"значений "подтягивается "к точности показаний датчиков, становясь более точными по сравнению с расчетными значениями.

Рис.2. Зашумленная поверхность энерговыделения

-150 -гм

Рис. 3. Восстановленная поверхность энерговыделения

В приложении 1 приведен анализ дополнительных нескольких событий, связанных с вариацией потока ГКЛ на 10 - суточных

отрезках времени непрерывных измерений с целью поиска раннего предиктора, возникающего до приближения солнечного возмущения к орбите Земли. Для части событий величина энергии Е{Ь) оказывается значительно выше "шумовой"компоненты, и опережает на сутки или даже двое суток регистрацию сгустка плазмы спутником АСЕ. Однако, такой предиктор требует более тщательной проверки на гораздо большем статистическом материале.

В приложении 2 показана устойчивость восстановления поля энерговыделения методом метрического анализа.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные выводы и результаты

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Созданы новые методы и программы интериоляции и восстановления функций одной и многих переменных, основанные на метрическом анализе;

2. Доказаны теоремы сходимости полученных интерполяционных и восстановленных значений к точным значениям функции;

3. Разработаны и реализованы метод и программа выделения полезного сигнала в сильно зашумленных временных процессах. Разработанные метод и программа позволяет выделять из регистрируемого сигнала компоненту, связанную с солнечной активностью, при превышении шума над полезным сигналом в 3-4 раза;

4. Разработан метод, основанный на метрическом анализе, и программа для высокоточного восстановления распределения энерговыделения в АЗ ВВЭР.

Основные публикации по теме диссертации:

Статьи в научных изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Loran V., Akopyan, Man'ko V. I., Udumyan D.K. Bcll-typu inequalities and tomographic entropies of multiqudit states. Journal of Russian Laser Research, V. 31 № 1, 2008, pp. Gl-69.

2. Крянсв А.В., Лукин Г.В., Удумян Д.К. Схемы прогнозирования временных процессов и их применение к анализу динамики макроэкономических показателей. Вестник Университета (Государственный Университет Управления), 2009, № 2, с. 270-272.

3. A.V.Kryanev, G.V.Lukin, D.K.Udumyan. Metric Analysis and Applications. Numerical Methods and Programming, v. 10, 2009, pp. 408-414.

4. Крянев А.В., Удумян Д.К Интерполяция функций одной и многих переменных с помощью схем, основанных па метрическом анализе, и их применение в ядерной физике. Ядерная физика и инжиниринг, т. 1, №6, 2010, с. 512-522.

5. В.В. Борог, А.В. Крянев, Д.К. Удумян. Комбинированный метод выявления скрытых аномалий в вариациях галактических космических лучей. Геомагнетизм и аэрономия, т. 51, №4, 2011, с. 1-8.

Научные публикации в других изданиях

1. Иванов В.В., Крянев А.В., Лукин Г.В., Удумян Д.К. Нелинейные робастные схемы прогнозирования временных процессов. "Фундаментальные физико - математические проблемы и моделирование технико - технологических систем". Ежегодный сборник научных трудов. Выпуск 12, т.2, 2009, с.547-552.

2. Борог В.В., Крянев А.В., Удумян Д.К. Комбинированный метод выявления скрытых аномалий в хаотических временных процессах. "Фундаментальные физико - математические проблемы и моделирование техпико - технологических систем". Ежегодный сборник научных трудов. Выпуск 12, т.2, 2009, с. 536-54G.

3. Ворог В.В., Крянев A.B., Удумян Д.К. Комбинированный метод выявления скрытых аномалий в одномерных и многомерных хаотических временных процессах. Препринт МИФИ, 001-2008.

4. Рынок НАНО: от нанотехнологий - к нанопродуктам / Г.Л.Азоев, А.В.Крянев, Д.К.Удумян и др.; под ред. проф. Г.Л.Азоева. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010, 398 с.

5. В. П. Верезиев, А.Н. Васильева, В.В. Иванов, С.Г. Корзенева, А.В.Крянев, Г.В. Лукин, А.Н. Панферова, И.А. Рябошапка, С.А. Сгасюкалов, Д.К. Удумян, Т.В. Шемякина. Выделение детерминированных компонент из неопределенных данных. Труды 46 Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, 2010, с.139-141.

6. A.B. Крянев, Г.В. Лукин, Д.К. Удумян. A.B. Васильева. А.Н. Панферова. Применение метрического анализа для экстраполяции и прогнозирования функциональных зависимостей. Труды 46 Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, 2010, с. 124-126.

7. A.B. Крянев, А.Ю. Курченков, Д.К. Удумян. Восстановление распределения тепловыделения в A3 ВВЭР-1000 с помощью метрического анализа. Труды научной сессии НИЯУ МИФИ-2010. т.З, с.152-154.

8. В. П. Бсрезнев, А.Н. Васильева, В.В. Иванов, С.Г. Климанов, С.Г. Корзенева, А.В.Крянев, Г.В. Лукин, А.Н. Панферова, И.А. Рябошапка, С.А. Сюсюкалов, Д.К. Удумян, Т.В. Шемякина. Выделение детерминированных компонент из зашумленных данных. Труды научной сессии НИЯУ МИФИ-2010. т.З, с. 155-158.

9. A.B. Крянев, А.Н. Панферова, Н.С. Ростовский, Д.К. Удумян, В.В. Харитонов. Применение авторегрессионных моделей для прогнозирования рынка урана. Труды научной сессии НИЯУ МИФИ-2010. т.6, с.61-64.

10. A.V. Kryanev, G.V. Lukin, D.K.Udumyan. Metrie Analysis and Applications. Book of Abstracts of the International Conference Mathematical Modeling and Computational Physics, Dubna, July 7-11, 2009, p

11. B.B. Иванов, A.B. Крянев, Г.В. Лукин, Д.К. Удумян. Схемы прогнозирования временных рядов и их применение к анализу динамики макроэкономических показателей. XLIV Всероссийская конференция но проблемам математики, информатики, физики и химии, Тезисы Докладов, РУДН 2008, с. 64-65.

12. В.В. Ворог, A.B. Крянев, Д.К. Удумян. Комбинированный метод выявления скрытых аномалий в одномерных н многомерных хаотических временных процессах. XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Тезисы Докладов, РУДН 2008, с. 61-63.

13. A.B. Крянев, Г.В. Лукин, Д.К. Удумян. Математическое моделирование задач прогнозирования с помощью метрического анализа. XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Тезисы Докладов, РУДН 2008, с. 2930.

14. H.A. Кудряшов, A.B. Крянев, С.Г. Климанов, Е.В. Ивапчикова, С.Г. Корзенева, Д.К. Удумян. Кластеризация семейства генетических последовательностей с помощью спектрального анализа. Науч. сессия МИФИ-2009: Сб. пауч. тр. М.: МИФИ, 2009. т. 2. с. 132.

15. A.B. Крянев, Г.В. Лукин, Д.К. Удумян, A.B. Васильева, А.Н. Панферова, Т.В. Шемякина. Интерполяция и прогнозирование функций одной и многих переменных с помощью метрического анализа. Науч. сессия МИФИ-2009: Сб. науч. тр. М.: МИФИ, 2009. т. 2. с. 133.

16. Крянев А. В., Климанов С. Г., Удумян Д. К., Берсзиев В. П., Рябошапка И. А., Сюсюкалов С. А. Робастиые схемы выделения многомерных детерминированных компонент из зашумленных данных. Науч. сессия МИФИ - 2011.

17. Крянев А. В., Курченков А. Ю., Удумян Д. К. Схема восстановления распределения энерговыделеиня в активной зоне реактора с помощью метрического анализа. М.: РУДН, Информационно-телекоммуникационные технологии и

математическое моделирование высокотехнологичных систем, 2011, с. 313-315.

Общий объем публикаций автора по теме диссертации составляет около 4 п.л

Цитируемая литература

1. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. M.: Гостехиздат, 1954.

2. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979.

3. Кряпев А. В., Лукин Г. В. Метрический анализ и обработка данных. М.: Физматлит, 2010.

4. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1987.

5. Стечкни С. В., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 197С. 248 с.

6. Главные компоненты временных рядов: метод "Гусеница". В сб. под ред. Д.Данилова и А.А.Жиглявского. - СПб.: СПбГУ, 1997.

7. Голяндина Н.Э. Метод Гусеница - SSA: анализ временных рядов. Санкт-Петербургский государственный университет, 2004.

8. Ежов A.A., Шумский С.А. Нейрокомпьютинг и его применения. М.: 2000.

9. Аксенов C.B., Новосельцев В.Б. Организация и использование нейронных сетей. Томск, НТЛ, 2006.

10. Белоносова О.В., Ворог В.В., Симаков П.О. Методика регистрации форбуш-эффекта в томографическом режиме. Изв РАН, сер. физ., т.67, №4, 2003, с. 515-518.

11. Борог В.В., Белоносова О.В., Орлова Т.А. Патрулирование солнечной погоды с помощью наземного мюонного годоскопа -томографа. Изв РАН, сер. физ., т.70, №10, 2003, с. 1549-1552.

12. Митин В.И., Семчепков Ю.М., Калинушкин А.Е. "Развитие системы внутри реакторного контроля ВВЭР". Атомная энергия, т. 106, вып. 5, 2009, с. 278-285.

13. Загребаев A.M., Прохорова И.В., Овсянникова Н.В. Информационный подход при решении задач контроля поля эперговыделения в ядерном реакторе. Изв. высш. учеб. завед., №1, 2010, с.13-19.

Удумян Давид Каджикович (Россия)

Численные методы обработки данных, основанные на сингулярно-спектральном и метрическом анализах, и их применения

В работе разработаны численные методы и программы решения задач обработки данных использующих сингулярно-спектральный и метрический анализ. Разработаны схема и программа численного решения задачи выявления аномалий в космическом излучении, связанном с солнечной активностью. Разработаны методы интерполяции и восстановления функций одной и многих переменных, основанные на метрическом анализе. Проведены исследования по обоснованию разработанных новых методов и доказаны теоремы сходимости для методов интерполяции и восстановления значений функций. Предложена схема и создана программа восстановления распределения энерговыделения в активных зонах реакторов с учетом показаний датчиков внутри реакторного контроля.

Udumyan David Kadjikovich (Russia)

Numerical methods of data processing based on singular-spectral and metric analysis and their applications

In vvork numerical methods and computer programs of the problems solution of data processing using the singular-spectral and metric analysis are developed. The scheme and program of the numerical solution of a problem of anomalies revealing in the space radiation connected with solar activity are developed. Methods of interpolation and reconstruction of functions of one and many variables, based on the metric analysis are

developed. Researches on a substantiation of the developed new methods are carried out and proved theorems of convergence for methods of interpolation and reconstruction of values of functions. The scheme and program of reconstruction of distribution energy-release in active zones of reactors taking into account indications of the inside reactor control detectors are offered.

Подписано в печать:

25.05.2011

Заказ № 5628 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

1 Интерполяция функций одной и многих переменных с помощью схем, основанных на метрическом анализе

1.1 Интерполяция функций одной и многих переменных с помощью схем, основанных на метрическом анализе.

1.2 Вырожденный случай.

1.3 Примеры одномерной интерполяции

1.4 Примеры многомерной интерполяции.

2 Сглаживание и восстановление функций одной и многих переменных на основе метрического анализа

2.1 Схемы сглаживания и восстановления методом метрического анализа

2.2 Выделение детерминированной компоненты методом сингулярно -спектрального анализа.

2.3 Робастное сглаживание методом метрического анализа.

3 Выявление аномалий в солнечной активности на основе комплексных схем

3.1 Анализ модельных рядов.

3.2 Анализ вариаций потока ГКЛ.

4 Восстановление распределения энерговыделения в АЗ реакторов ВВЭР - 1000 с помощью схем, основанных на метрическом анализе

4.1 Восстановление распределения энсрговыделепия на примере модельных функций.

4.1.1 Восстановление энерговыделения по высоте.

4.1.2 Восстановление энерговыделения в плоскости.

4.2 Восстановление распределения энерговыделения для реальных данных

4.2.1 Восстановление энерговыделения по высоте.

4.2.2 Восстановление энерговыделения в плоскости.

Обзор работ по тематике диссертации. Актуальность темы.

Обработка данных в различных областях науки, техники и социальных сферах с целью выявления из данных различного рода информации, описывающей рассматриваемую систему или процесс, является одним из основных актуальных направлений научных исследований как теоретического, так и практического характеров. Более того, в настоящее время исследуются все более сложные системы и процессы, данные о состоянии и поведении которых имеют сложные скрытые структуры и выявление из них интересующей исследователя информации требует создание более сложных комплексных схем, способных выявить такого рода информацию об исследуемой системе или процессе.

Одними из основных задач обработки данных являются: задачи интерполяции и восстановления значений исследуемой функциональной зависимости, в том числе, в условиях наличия в данных хаотических компонент; задачи выделение детерминированных, хаотических и аномальных компонент при восстановлении функциональных зависимостей но исходным неопределенным данным; задачи экстраполяции и прогнозирования значений исследуемых функциональных зависимостей.

К настоящему времени разработано много различных методов и схем, решающих различные частные задачи интерполяции и восстановления функций одной и многих переменных, а также выделения из исходных данных детерминированных, хаотических и аномальных компонент.

Задачи интерполяции и восстановления значений функций являются одними из основных задач математики, в том числе и особенно, для решения различных прикладных задач. Задачи интерполяции функций одной переменной ставились и решались со времен Лагранжа и к настоящему времени здесь получены достаточно завершенные результаты по разработке различных методов интерполяции и выявления свойств интерполяционных значений, включая проблемы погрешностей и сходимости интерполяционных значений к точным значениям. Необходимость приближенного представления функций - часто встречаемые задачи при решении прикладных проблем. Причинами появления такого рода задач являются, во-первых, необходимость замены сложной по своей структуре функции с трудно вычислимыми значениями, которую целесообразно заменить более простой, в том числе и по затратам на вычисления значений, функцией, проиграв, возможно, в точности, но выиграв в вычислительных затратах. Во-вторых, как правило, количество исходных заданных значений функции конечно, а в поставленной задаче требуется восстановление значений исследуемой функциональной зависимости потенциально в любой точке задаваемой области их изменения.

Классическая схема интерполяции основана на представлении исследуемой функции у(х) в виде линейной комбинации: где ^(ж), ] = 0,., т - система базисных функций, - искомые параметры.

Необходимо определить коэффициенты с3 так, чтобы ЬГ1(х) в заданных точках ж;. г — 1,., п принимала известные значения У^.

В схеме Лагранжа и ее модификациях в качестве базисной системы в (0.1) берутся полиномы.

Кроме полиномиальных приближений в работах К. Вейерштрасса, П. Л. Чебышева, С. Н. Бернштейна была развита теория дробно-рациональных приближений. Однако аппарат такого рода классических приближений часто не подходит для аппроксимации функций с небольшой гладкостью, а такие функции чаще всего и встречаются при обработке данных и решении прикладных задач.

Выяснилось, например, что интерполяция Лагранжа обеспечивает равномерную сходимость интерполяционных полиномов к исследуемой функции лишь для определённого класса гладких функций, например, бесконечно-дифференцируемых.

Доказано, что для любого варианта сгущения точек интерполяции а^, г = 1,., п можно найти такую непрерывную функцию у(х), принимающую значения в точках Хг, г = 1,., п что при п —> оо не стремится к у(х) равномерно [1].

Кроме этого, С.Н. Бернштейн доказал, что последовательность интерполяционных полиномов Лагранжа Ьп(х) для функции у = |ж|, построенных на равномерной сетке г = —l + i■hi = 0,. ,п, к = "у, расходится в любой точке

Причиной расходимости является наличие у рассматриваемой функции угловой точки, в которой первая производная терпит разрыв. В частности, пример Бернштейна показывает, что даже наличие одной угловой точки может привести к расходимости последовательности интерполяционных полиномов на всем рассматриваемом промежутке.

В 1960-70 гг. как альтернатива интерполяционной схеме Лагранжа и других, основанных на ней интерполяционных схемах, были предложены и разработаны

0.1) з=о хф -1,0,1. схемы сплайн - интерполяций, которые обеспечивали равномерную сходимость интерполяционных сплайн - приближений для любой непрерывной функции [2,3]. Аппроксимация сплайнами в ее современном виде впервые появилась в статье Шенберга [2]. В настоящее время теория сплайнов и сплайн - аппроксимаций играет важную роль в теории и практики приближения функций. Кроме решения задач интерполирования и сглаживания функций сплайны используются для численного дифференцирования, численного интегрирования и численного решения дифференциальных уравнений. Следует отметить, что впервые основы сплайн функций были заложены в методе ломаных Эйлера для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближения сплайнами появились также при построении квадратурных формул. После 1946 г. Шенберг и некоторые его ученики продолжили изучение сплайнов. В частности, Шенберг и Уитни [4] впервые получили условия существования некоторых интерполяционных сплайнов. К вопросу существования сплайнов нечетной степени с интерполяцией в точках соединения возможен теперь более простой подход, разработанный Албергом, Нильсоном, Уолшем [3, 5-7). Следует отметить, что сплайн - аппроксимации использовал П. П. Корнейчук в связи с приближением дифференцируемых функций [8]. Из других пионерских работ по сплайн-аппроксимациям следует отметить работы В.М. Тихомирова [9] и Ю. П. Субботина [10-14].

Экстремальное свойство кубических сплайнов позволило на его основе разработать большое число схем, которые в зависимости от конкретных требований прикладной задачи вводили соответствующий функционал, аналогичный функционалу потенциальной энергии, минимум которого и обеспечивал подходящее решение задачи восстановления функциональной зависимости. Экстремальное свойство сплайн функций позволило, в частности, разработать схемы сглаживания (выделения детерминированных компонент), когда в вариационном функционале кроме функционала энергии добавляли функционал суммы квадратов невязок между заданными и восстанавливаемыми значениями с весами, обратными дисперсиям хаотической компоненты задаваемых значений функции.

В работе М. Атья [15] было дано обобщение сплайна как элемента абстрактного гильбертова пространства, доказаны теоремы существования и единственности сплайнов, даны алгоритмы для построения сплайнов. В дальнейшем (В.М. Морозов [16-18]) стала очевидной связь между теорией сплайнов и теорией регуляризации некорректных задач развиваемой школой советских математиков во главе с А. Н. Тихоновым [19].

В дальнейшем теория сплайнов развивалась в нескольких направлениях. Особенно важны обобщения на многие переменные. Первый шаг был сделан Биркгофом и Гарабедяном [20] затем удачное обобщение получил Де Бур [21), доказавший как существование, так и единственность определенных бикубических-интерполяционных сплайнов. Позднее Алберг, Нильсон, Уолш [3,5-7] обобщили экстремальное свойство одномерных кубических сплайнов на сплайны нескольких переменных. Для многомерных сплайнов были доказаны существование, единственность, свойство минимальной нормы и свойство наилучшего приближения. Вопросы сходимости можно свести к аналогичным вопросам для одномерных сплайнов, решения для которых известны [8-10,13,15,22-28].

Еще одним современным направлением решения задач восстановления функциональных зависимостей, в том числе в условиях неопределенности, является сингулярно - спектральный анализ (БЭЛ), продолжающийся интенсивно развиваться на протяжении последнего десятилетия [29-35]. ЭБА также основан на представлении восстанавливаемой функций в виде линейных комбинаций базисных функций, но в отличие от классических методов восстановления, включая сплайн - аппроксимации, ЭБА не фиксирует априори класс базисных функций, а строит его на основе заданных значений функции, учитывая специфические особенности исследуемой функции.

Схема представления функций в виде линейных комбинаций базисных функций, в том числе полиномов и сплайн-аппроксимаций, в принципе, могут быть обобщены на функции многих переменных, но практически такие схемы являются работоспособными только для небольшого числа переменных. Например, многомерные интерполяционные или сглаживающие сплайны типа тонкой пластины, вводимые через их экстремальное свойство могут быть практически построены только в случае, когда число аргументов восстанавливаемой функции не превышает 5-7. Для функций большого числа переменных эффективных общих схем интерполяции и прогнозирования до сих пор нет. Имеются лишь различные приближенные схемы интерполяции типа линейно-кусочных, которые с одной стороны требуют для своей реализации большого числа данных, с другой стороны даже при большом числе данных часто не обеспечивают нужной точности [3641]. Примером таких схем являются также нейронные сети, с помощью которых производится интерполирование функций многих неременных [42,43].

Нейронные сети в принципе позволяют с любой точностью вычислять значения произвольной непрерывной функции /(ху,., хп). Имеется много демонстраций возможностей искусственных нейронных сетей: сеть может превращать текст в фонетическое представление, которое затем с помощью уже иных методов превращается в речь; другая сеть может распознавать рукописные буквы; сконструированы системы сжатия изображений, основанные на нейронных сетях. Большинство из них использует алгоритм обратного распространения - один из наиболее эффективных современных алгоритмов обучения нейронных сетей. Однако у нейронных сетей имеются ряд недостатков, не позволяющих эффективно использовать их для решения ряда задач интерполяции, восстановления функции многих переменных, а также решению задач экстраполяции и прогнозирования. По своей сути нейронная сеть является универсальным апнроксиматором. Это означает, что в процессе настройки она не вычисляет искомую функцию, а лишь подбирает внутренний набор функций, при сложении которых образуется функция, выдающая на выходе ряд значений, напоминающий исходный ряд, предъявленный ей в процессе обучения (наподобие аппроксимационному нолиному). Отсюда следует вывод, что выходные данные работающей нейронной сети всегда будут содержать ошибку, причем величина этой ошибки никогда заранее не известна. Известно только, что в процессе обучения данная ошибка, возможно, будет уменьшена до некоторого приемлемого уровня. Текущая точка нейросетевой схемы в процессе обучения изменяет свое положение по направлению к глобальному минимуму целевой функции. Причем сеть может застрять в локальном минимуме часто очень далеко от глобального. Если наклон в районе локального минимума достаточно большой, а шаг обучения слишком мал, чтобы рабочая точка вышла на его край, наступает состояние, называемое параличом сети, при котором сеть на обучающей выборке дает недостаточно точные результаты, а обучение при этом все равно останавливается.

В настоящее время для решения многих прикладных задач с помощью компьютерной техники имеется острая необходимость в разработке универсального метода интерполяции и восстановления функций многих переменных у = Р(Х) в том числе в условиях наличия хаотических погрешностей в известных значениях функции для точек Х1,.,Хп £ Ет, по коюрым восстанавливаются значения функции в других точках пространства Ет.

Одной из целей настоящей работы является разработка комплексных схем, позволяющего эффективно с помощью компьютерной техники решать задачи интерполяции, экстраполяции и восстановления функций одной и многих переменных без фиксации априори вида функциональной зависимости от аргументов, а используя, как правило, только информацию, имеющуюся в реализованных значениях функции У\,.,Уп в точках Х\,., Хп, в том числе и в условиях наличия хаотических погрешностей в значениях У\,. ,Уп.

Целью диссертационной работы является создание методов, вычислительных алгоритмов и программ решения сложных задач обработки данных с помощью сингулярно-спектрального и метрического анализов, достижение которой включает в себя:

1. Создание новых эффективных методов интерполяции и восстановления значений функций одной и многих переменных, основанных на метрическом анализе;

2. Разработку комплексной схемы и программы обработки неопределенных данных, включая выделение детерминированных и хаотических компонент, основанных на сингулярно - спектральном анализе и способных выявить особенности в регистрируемых излучениях солнечной активности;

3. Разработку схемы и программы высокоточного восстановления поля распределения энерговыделения в активной зоне (АЗ) ВВЭР с помощью методов, основанных на метрическом анализе.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Создать новые эффективные методы интерполяции, основанные на метрическом анализе, и их реализации в виде программ;

2. Создать новые эффективные методы восстановления, основанные на метрическом анализе, и их реализации в виде программ;

3. Обосновать сходимость интерполяционных и восстановленных значений к точным значениям функции для созданных методов;

4. Разработать и реализовать в виде программы схему выявления особенностей в солнечной активности в условиях больших уровней зашумленности в регистрируемых сигналах, на основе сингулярно - спектрального и всйвлет анализов;

5. Разработать схему и программу высокоточного восстановления поля энерговыделения в активных зонах реакторов.

Методы исследований

Сингулярно - спектральный анализ позволяет эффективно выделить из сильно зашумленных временных рядов трендовые составляющие;

Всйвлет - анализ позволяет после выделения трендовой составляющей обнаруживать непериодические аномальные структуры в исследуемых временных процессах;

Метрический анализ дает возможность конструировать эффективные методы интерполяции и восстановления значений функций одной и многих переменных даже при небольшом числе исходных данных.

Научная новизна

1. Созданы новые методы и программы интерполяции функций, основанные на метрическом анализе;

2. Созданы новые методы и программы восстановления функций одной и многих переменных, основанные на метрическом анализе;

3. Разработана новая комплексная схема и программа выделения скрытых аномалий в исследуемых хаотических временных процессах, основанные на сингулярно - спектральном и вейвлет анализах;

4. Разработана новая схема, основанная на метрическом анализе, и программа для восстановления распределения энерговыделения в A3 реакторов ВВЭР с учетом показаний датчиков внутриреакторного контроля.

Практическая значимость результатов

Предложенные и разработанные в диссертации методы, схемы и программы интерполяции и восстановления функциональных зависимостей могут применяться в различных областях для обработки экспериментальных или статистических данных, особенно при решении задач восстановления функциональных зависимостей от многих переменных, в частности многомерных временных процессов. В настоящее время разработанные в диссертации методы, схемы и программные коды используются ири обработке данных состояний литосферы и биосферы и для решения задач, связанных с восстановлением распределения энерговыделения в A3 ядерных реакторов ВВЭР-1000. Часть диссертационной работы выполнялась в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России".

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Обоснованность полученных результатов следует из того, что при аналитических и численных исследованиях в диссертации использовались строгие и обоснованные методы: сингулярно - спектральный анализ, вейвлет - анализ, апробированные схемы метрического анализа. В то же время в диссертации проведен ряд исследований по обоснованию разработанных новых методов, в частности, доказаны теоремы сходимости для методов интерполяции и восстановления значений функций, проведены сравнения численных результатов с результатами, полученными с помощью апробированных классических методов и сравнением с реальными экспериментальными данными.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, получены автором. В работах, отражающих содержание диссертации и выполненных в соавторстве, автору принадлежит равный вклад в разработку математических моделей, методов и алгоритмов численных решений рассматриваемых задач и их программную реализацию.

Апробация работы. Полученные в диссертации результаты были доложены на: Международной конференции "Mathematical Modeling and Computational Physics 2009, Дубна, Всероссийской конференции "Фундаментальные физико -математические проблемы и моделирование технико - технологических систем" (2008, 2009 гг.); Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (2009, 2010, 2011 гг.); Научных сессиях МИФИ (2008, 2009, 2010, 2011 гг.); отраслевом научном семинаре в Курчатовском научном центре (2010 г.); научном семинаре под руководством профессора В.В. Иванова (Лаборатория Информационных Технологий Объединённого Института Ядерных Исследований); научном семинаре по математическому моделированию под руководством профессора Л. А. Севостьянова (РУДН, 2009 - 2011 гг.); научном семинаре под руководством профессора H.A. Кудряшова (МИФИ).

Публикации. Полученные в диссертации результаты представлены в 22 работах из них 5 в журналах списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений. Список цитируемой литературы содержит 96 наименований. Общий объем диссертации 122 с.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Созданы новые методы и программы интерполяции и восстановления функций одной и многих переменных, основанные на метрическом анализе;

2. Доказаны теоремы сходимости полученных интерполяционных и восстановленных значений к точным значениям функции;

3. Разработаны и реализованы метод и программа выделения полезного сигнала в сильно зашумленных временных процессах. Разработанные метод и программа позволяет выделять из регистрируемого сигнала компоненту, связанную с солнечной активностью, при превышении шума иад полезным сигналом в 34 раза;

4. Разработан метод, основанный на метрическом анализе, и программа для высокоточного восстановления распределения энерговыделения в АЗ ВВЭР.

Заключение

Как видно из приведенных в главе 1 примеров, интерполяция методом метрического анализа обеспечивает эффективные результаты. Интерполяция методом метрического анализа, в отличие от сплайн интерполяции, не предполагает задания базисной системы функций, а к каждой точке, в которой ищется интерполяционное значение, применяется индивидуальным подход с учетом взаимного расположения этой точки по отношению к интерполяционным узлам.Отметим, что количество арифметических операций для реализации интерполяции растет пропорционально М,где М- количество точек, в которых необходимо получить интерполяционные значения.

Предложенные во второй главе диссертации схемы, основанные на метрическом анализе позволяют эффективно с использованием всей имеющейся информации детерминированного и стохастического характеров восстанавливать значения функции с учетом погрешностей в заданных значениях функции и с учетом расположения точки, в которой восстанавливается функция, по отношению к совокупности точек, в которых значения функции известны.

Предложенная в главе 3 диссертации комплексная схема, основанная на сингулярно - спектральном и вейвлет анализах, позволяет выявлять аномальные явления в сильно зашумленных временных процессах. С помощью э гой комплексной схемы удается выявить

Применение схем восстановления значений функции одной и многих переменных, основанных на метрическом анализе, к восстановлению распределения энерговыделения в АЗ ВВЭР - 1000, как показали численные результаты, приведенные в главе 4 диссертации, позволяют в несколько раз увеличить точность восстановленных значений по сравнению с расчетными значениями.

1. Гончаров В. JI. Теория интерполирования и приближения функций.— М.: Гостехиздат, 1954.

2. Schoenberg I. J. Contribution to problem of approximation of equidistant data by analytic functions // Qurt. Appl. Math. — 1946. — Vol. 4. — P. 45-99.

3. Alberg J. H., Nilson E. N. Convergence properties of the spline fit. // Notices Am. Math. Soc. — 1961,— P. 61-219.

4. Schoenberg I. J. On trigonometric spline interpolation // J. Math. Mech. — 1964. — Vol. 13. P. 795-825.

5. Alberg J. H., Nilson E. N. Orthogonality properties of the spline functions // J. Math. Anal. Appl. 1965. - P. 321-337.

6. Alberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. Fundamental properties of generalized splines // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1964. — Vol. 52. - P. 1412-1419.

7. Alberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. Extremal, orthogonality, and convergence properties of multi-dimensional splines //J. Mat. Anal Appl.— 1965.— Vol. 11.— P. 27-48.

8. Корнейчук H. П. Сплайны в теории приближений. — М.: Наука, 1984.

9. Тихомиров В. М. Наилучшие методы приближения и интерполирования дифференцируемых функций в пространстве с(-1,1) // Матем. сб. — 1969. — Т. 80(122), № 2,- С. 290-304.

10. Стечкин С. В., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Наука, 1976.

11. Субботин Ю. Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Труды Матем. ин-та АН СССР. — 1965. — Т. 78.— С. 24-42.

12. Субботин Ю. Н. Об одном линейном методе приближения дифференцируемых функций // Матем. заметки. — 1970. — Т. 7, № 4. — С. 423-430.

13. Субботин Ю. H., Черных H. И. Порядок наилучших сплайн приближений некоторых классов функций // Матем. заметки. — 1970. — Т. 7, № 1. — С. 31-42.

14. Субботин Ю. Н. Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей производной // Труды Матем. ин-та АН СССР. — 1967. — Т. 88.

15. Atteia M. Generalisation de la definition et des propriétés des "spline funcion-// Compt. Rend. 1965. - Vol. 260. — P. 3550-3553.

16. Морозов В. A. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченного оператора // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1971. - Т. И, j\« 3. - С. 545-548.

17. Морозов В. А. О приближенном решении операторных уравнений методом сплайнов // ДАН СССР. - 1971. — Т. 200, № 1. - С. 35-39.

18. Морозов В. А. О выборе параметра при решении функциональных уравнений методом регуляризации // ДАН СССР. - 1967.- Т. 175, № 6. — С. 1225-1228.

19. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректных задач.— М.: Наука, 1987.

20. Birkhoff G., Garabedian H. Smooth surface interpolation // J. Math. Pys. — 1960. — Vol. 13. P. 258-268.

21. De Boor С. Best approximation properties of spline funcions of odd degree // J. Math. Mech. 1964. - Vol. 13. — P. 827-835.

22. Василенко В. А. Сходимость сплайнов в гильбертовом пространстве // Числ. лгетоды механики сплош. среды, Новосибирск. — 1972. — Т. 3, № 3. — С. 18-23.

23. Великий В. Л. О наилучшем приближении сплайн-функциями на классах непрерывных функций // Матем. заметки.— 1970.— Т. 8, № 1.— С. 41-46.

24. Галкин П. В. О разрешимости задачи периодической сплайн интерполяции // Матем. заметки. — 1970. — Т. 8, № 5.

25. Завьялов Ю. С. Экстремальное свойство кубических многозвенников (сплайнов) и задача сглаживания // Вычислительные системы, Новосибирск. — 1970. — Т. № 42. - С. 89-108.

26. Завьялов 10. С., Имамов А. Алгоритмы с расщеплением решения задачи сглаживания сплайн-функциями многих переменных // Числ. методы механики сплош. среды, Новосибирск. — 1976. — Т. 7 № 6. — С. 52-61.

27. Имамов А. О некоторых экстремальных свойствах сплайнов многих пременных // Вычислительные системы, Новосибирск.— 1975.— Т. № 65. С. 68-73.

28. Мирошниченко В. Л. Об интерполировании кубическими сплайнами // Вычислительные системы, Новосибирск. — 1973. — Т. № 56. — С. 18-22.

29. Под ред. Данилова Д. Л. и Жиглявского А. А. Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница», — СПб.: СПбГУ, 1997.

30. Голяндина Н. Э. Метод Гусеница SSA: анализ временных рядов. — Санкт-Петербургский государственный университет, 2004.

31. Доронин Г. Я. К вопросу о формулах механических квадратур // Сборник научных трудов Днепропетр. иною.-стр. ин-та. — 1955. — Т. N2 1-2. — С. 210.

32. Eisner J. В., Tsonin A. A. Singular spectrum Analysis. New Tool in Time Series Analysis. — N. Y.: Plenum Press, 1996.

33. Jolliffe I. T. Principal Component Analysis. Springer Series in Statistics.— N. Y.: Springer-Ver lag, 1986.

34. Singular system analysis with application to dynamical systems / D. S. Broomhead, R. Jones, G. P. King, E. R. Pike. — In: Chaos, Noise and Fractals, ed. by E. R. Pike and L. A. Lugaito. - Bristol: IOP Publishing, 1987.

35. Golyandina N., Nekrutkin V., Zhigljavsky A. Analysis of Time Series Structure. SSA and Related Techniques. — Chapman & Hall / CRS, 2001.

36. Брудный Ю. А., Гопенгауз И. E. Приближение кусочно-полиномиальными функциями // Изв. АН СССР, сер. матем.— 1963. — Т. 27, № 4. С. 723-743.

37. Василенко В. А., Ковалков А. В., Зюзин М. В. Библиотека программ для аппроксимации функций и обработки данных, вариант алгол бэсм-6 // Препринт № 270. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР.— 1981.

38. Логинов А. С. Приближение непрерывных функций ломаными // Матем. заметки. — 1969. — Т. № 2. — С. 149-160.

39. Мирошниченко В. Л. Интерполяция функций с большими градиентами // В кн.: Методы аппроксимации и интерполяции. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. — 1981.- С. с. 27-35.

40. Малоземелов В. Н. Об отклонении ломаных // Матем. заметки. — 1967. — Т. 1, № 5. С. 537-540.

41. Петерсон И. О кусочно-полиномиальньной аппроксимации // Изв. АН Эст. ССР., сер. физ.-матем. и техп.— 1962.— Т. 1.

42. Горбань А. Н., Дунии-Варковский В. Л. Кирдин А. Н., и др. Нейроинформатика. — Новосибирск: Наука. Сибирское предприятие РАН, 1998.

43. Ежов А. А., А. Ш. С. Нейрокомпьютинг и его применения. — М.:, 2000.

44. Крянев А. В., Лукин Г. В. Метрический анализ для интерполяции и прогнозирования функций многих переменных // М.: Препринт МИФИ, 0032005.

45. Крянев А. В., Лукин Г. В. Метрический анализ и обработка данных.— М.: Физматлит, 2010.

46. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.

47. Ашкеназы В. О. Сплайн-поверхности: Основы теории и вычислительные алгоритмы. Учебное пособие. — Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003.

48. Meinguet J. Multivariate interpolation at arbitrary points made simple // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). — 1979. — Vol. 30.

49. Kryanev A. V., Lukin G. V., Udumyan D. K. Metric analysis and applications // Numerical Methods and Programming. — 2009. — Vol. V. 10. — P. P. 408 414.

50. Крянев А. В., Лукин Г. В., Удумян Д. К. Схемы прогнозирования временных процессов и их применение к анализу динамики макроэкономических показателей / / Вестник Университета (Государственный Университет Управления). 2009. - Т. № 2. — С. С. 270 - 272.

51. Применение авторегрессионных моделей для прогнозирования рынка урана / А. В. Крянев, А. Н. Панферова, Н. С. Ростовский и др. // Труды научной сессии НИЯУ МИФИ. т. 6, с. 61 64.- 2010.

52. Интерполяция и прогнозирование функций одной и многих переменных с помощью метрического анализа. / А. В. Крянев, Г. В. Лукин, Д. К. Удумян и др. // Науч. сессия МИФИ-2009: Сб. науч. тр. М.: МИФИ. — 2009.— Т. 2.— С. 133.

53. Витязев В. В. Спектрально-корреляционный анализ равномерных временных рядов. Учебное пособие.— СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001.

54. Крянев А. В., Лукин Г. В. Математические методы обработки неопределенных данных. — М.: Физматлит, 2003.

55. Арсенин В. Я., Крянев А. В., Цупко-Ситников М. В. Применение робастных методов при решении некорректных задач // ЖВММФ. — 1989. — Т. 29, № 5. — С. 653-661.

56. Крянев А. В., Черный А. И. Робастные линейные сглаживающие сплайны и их применения // Препринт 006 97. - М.: МИФИ. — 1997.

57. Выделение детерминированных компонент из неопределенных данных / В. П. Березнев, А. Н. Васильева, В. В. Иванов и др. // Труды 46 Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, с. 139 141.-2010.

58. Выделение детерминированных компонент из зашемленных данных / В. П. Березнев, А. Н. Васильева, В. В. Иванов и др. // Труды научной сессии НИЯУ МИФИ. т.З, с. 155 158. - 2010.

59. Робастные схемы выделения многомерных детерминированных компонент из зашумленных данных / А. В. Крянев, С. Г. Климанов, Д. К. Удумян и др. // Науч. сессия МИФИ 2011.

60. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов.— М.: Мир, 1982.

61. Витязев В. В. Вейвлет анализ временных рядов. Учебное пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001.

62. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

63. Короновский А. А., Храмов А. Е. Непрерывный вейвлет анализ и его приложения.--М.: Физматлит, 2003.

64. Hernander Е., Weiss G. A First Course of Wavelets.--CRS press, 1996.

65. Daubechies I. Ten lectures on wavelets.--SIAM, 1992.

66. Keizer G. A. A Friendly Guide to Wavelets. — Birk, 1995.

67. Debnath L. Wavelet Transforms and Their Applications. — Hardcover Edition, 2002.70. http://www.astronautix.com/craft/ace.htm.

68. Черток И. M. Корональные выбросы массы и их роль в космической погоде // Солнечно-земная физика. Иркутск. — 2002. — Т. Вып.2(115). — С. 7- 9.

69. Борог В. В., Баскин А. Г., Симаков П. О. Методика ранней диагностики солнечных ударных волн на орбите земли // Научная сессия МИФИ-2001, Сб. научн. трудов, т. 7. с. 18-19.— 2001.

70. Борог В. В. Мюонная томография новый метод дистанционного мониторинга гелиосферы и атмосферы земли // Сб. Трудов III Всерос. научн. конфер. "Физические проблемы экологии". М. МГУ. т. 7. с. 5-14.— 2001.

71. Belonosova О. V., Borog V. V., Simakov Р. О. The technique of registration of forbuch-decrease in tomography mode // 18th European Cosmic Ray Symposium. Moscow. Abstracts. SH22P. — 2002. Jule 8-12.

72. Белоносова О. В., Борог В. В., Симаков П. О. Методика регистрации форбуш-эффекта в томографическом режиме // Изв. РАН. сер. физ. — 2003. — Т. т.67. № 4. С. 515-518.

73. The technique of forbush decrease registration in tomography mode / О. V. Belonosova, V. V. Borog, A. A. Petrukhin, P. O. Simakov // Proc. 28th ICRC. Tsukuba. p. 3627-3630. — 2003.

74. Борог В. В., Белоносова О. В., Орлова Т. А. Патрулирование солнечной погоды с помощью наземного мюонного годоскопа-томографа // Изв. PAII. сер. физ. — 2006,- Т. 70. № 10. С. 1549-1552.

75. Lepping R. P., Burlaga L. Р., Jones J. A. Magnetic field structure of interplanetary magnetic clouds // at 1 AU. J. Geophys. Res.— 1990.— Vol. № 95.— P. 11.95711.965.

76. Bothmer V., Schwenn R. The structure and origin of magnetic clouds in the solar wind // Ann. Geophys. — 1998. —Vol. 16. — P. 1-24.

77. Борог, в. в. and крянев, a. в. and удумян, д. к. комбинированный метод выявления скрытых аномалий в одномерных и многомерных хаотических временных процессах, препринт мнфи, 001 2008.

78. Борог В. В., Крянев А. В., Удумян Д. К. Комбинированный метод выявления скрытых аномалий в вариациях галактических космических лучей // Геомагнетизм и аэродиномия. — 2011. — Т. №4. — С. 1-8.

79. Загребаев А. М., Овсянникова Н. В., Розанова M. Н. Исследование информативности системы датчиков внутриреакторного контроля // Научная сессия МИФИ: Сб. науч. трудов, т. 8, Ядерная энергетика. — 2006,— С. 84-85.

80. Загребаев А. М., Прохорова И. В., Овсянникова Н. В. Информационный подход при решении задач контроля поля энерговыделения в ядерном реакторе // Изв.высш. учеб. завед. — 2010. — Т. №1. — С. 13-19.

81. Митин В. И., Семченков Ю. М., Калинушкин А. Е. Развитие системы виутриреакториого контроля ввэр // Атомная энергия. — 2009. — Т. 106, вып. 5. С. 278-285.

82. Крянев A. В., Удумян Д. К. Интерполяция функций одной и многих переменных с помощью схем, основанных на метрическом анализе, и их применение в ядерной физике // Ядерная физика и инжиниринг. — 2010. — Т. 1, №6.

83. Крянев А. В., Курченков А. Ю., Удумян Д. К. Восстановление распределения тепловыделения в аз ввэр 1000 с помощью метрического анализа / / Труды научной сессии НИЯУ МИФИ. т.З, с. 152 - 154. — 2010.

84. N (в %) Ма (в %) аг восст-я Мет восст-яв %) (в%)1 0.1744 5.62452 1.0851 0.83653 1.2161 0.78034 1.2463 1.3568 1.2129 1.97445 1.5844 0.77486 1.9616 0.48417 2.2299 4.1075