автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Численное решение задач прочности летательных аппаратов методами идентификации

Глава 2о

Глава вии для уточняемых параметров и для модели ¡[16]. В [9] задача уточнения жесткостных и массовых характеристик решается на конечно-элементной модели конструкции. Метод сохраняет характер модели, но модифицирует заданные начальные значения ^ так чтобы получить формы колебаний. сходные с экспериментальными. Используются соотношения, в соответствии с которыми при помощи разложения в ряд Тейлора выражены собственные значения и перемещения по отдельным формам колебаний системы через конструктивные параметры системы. Метод является итерационным. В [12] на первом этапе в расчетную схему закладывают определенные с использованием экспериментальных данных начальные и граничные условия. С помощью итерационной схемы проводится коррекция между экспериментальными значениями и результатами расчета .пока различие между ними не станет меньше заданной величины.

Естественно, если происходит минимизация рассогласования, то необходим какой-либо критерий минимизации. Из множества описанных в литературе критериев [17,18,19], наибольшее распространение получили : оценка по методу наименьших квадратов, минимум взвешенного среднеквадратичного значения.

Постепенно происходит повышение точности методов идентификации. Оно достигается разными путями, как с помощью улучшения самого метода, так и с помощью усовершенствования математической модели.с которой он работает. Последний подход используется в работе [10], где производится учет конструкционного демпфирования, что весьма важно,, когда имеем дело с динамической математической моделью .Метод .описанный в [10], определяет параметры линейной дискретной модели конструкции на основе результатов измерений нормальных форм колебаний. Конструкция представляется в виде сосредоточенных масс, соединенных пружинами, со скалярными характеристиками конструкционного демпфирования. Вводится понятие неполной модели, когда число измеренных форм колебаний меньше чем число точек измерений. В работе [20] описан новый метод точной идентификации нелинейных динамических систем. Он является точным по отношению к большим погрешностям в первоначально принятой модели, включая линейную модель, к малой частоте измерений, к низкой точности измерений. Метод основан на оптимальной оценке состояния и погрешностей модели при условии удовлетворения ковариационного ограничения. Оценка параметров основана на детерминистическом подходе, предполагающим использование метода наименьших квадратов и в отличие от других методов не требует итераций.

Так же для повышения точности учитывают нелинейности модели [21,20]. В качестве альтернативы обычным методам идентификации разработан и применялся (СЭМ) статистический энергетический методл [11]. СЭМ является достаточно перспективным прикладным методом для ис= следования вынужденных колебаний конструкций. Для сложных многомерных механических систем существует прием определения их отдельных параметров с помощью рассмотрения не всей системы а отдельных ее подсистем чв которые входят неизвестные параметры [22,23]. Этот прием называется декомпозицией и позволяет существенно уменьшить прядок решаемых систем уравнений

При расчете реальных конструкций как правило приходится описывать их уравнениями в частных производных. Иногда число таких уравнений велико и тогда необходимо построение математической модели с распределенными параметрами. Обзор, посвященный идентификации таких систем имеется в [24]. Решение задачи идентификации таких систем сводится к определению их передаточных функций [25,26]. Это позволяет использовать методы . разработанные для систем с распределенными параметрами.

Велика роль вычислительной техники в решении задач идентификации, особенно с использованием итерационных методов. Применение ЭВМ

3. Идентификацию, вероятно, можно производить с помощью одного из известных методов оптимизации : наименьших квадратов, наискорейшего спуска и т. п. . Эти методы достаточно просты и хорошо разработаны.

Желательно чтобы можно было производить уточнение начальных и граничных условий в ходе идентификации.

Занимаясь разработкой и применением методов идентификации исследователи сталкиваются со множеством проблем как чисто теоретического .,так и практического характера. Например, при использовании большинства методов оптимального управления учитывается лишь несколько мод. Поэтому для решения задач динамики требуется усовершенствовать методы анализа и методы тестирования. Чем лучше оцениваются динамические характеристики аналитически, тем в меньшем объеме потребуются испытания. В общем можно выделить основные трудности следующего характера:

1. Методы идентификации состояния. Современные методы определения динамических характеристик могут быть использованы только тогда, когда известны возмущающие функции, или когда возмущения скомпенсированы. Разработка методов идентификации динамических характеристик без знания возмущающих воздействий имеет очень большое значение, особенно для тестирования космических аппаратов на орбите, где невозможна компенсация изменяющихся во времени сил, обусловленных влиянием например, сил тяготения. Другой путь состоит в разработке методов, которые разделяют параметры, характеризующие поведение объекта, на составляющую, обусловленную известными возмущающими воздействиями, и остаточную составляющую, вызванную неизвестными силами.

2. Качество данных. Современные методы требуют, чтобы сбор данных выполняли во многих точках; они чувствительны к помехам измерений, вызванным влиянием соседних мод. Следует модифицировать методы с целью устранения этих недостатков и учета дополнительных характеристик (демпфирования и нелинейностей) при анализе колебаний.

3. Измерения. Решающей для тестирования космических конструкций на орбите или авиационных конструкций в полете окажется возможность проведения дистанционных измерений.

4. Процедуры коррекции моделей. Эти процедуры нужно существен» но усовершенствовать.

5. Выбор граничных условий при представлении объекта в виде отдельных узлов. Этот вопрос имеет особенно большое значение, если базовый подход заключается в тестировании элементов конструкции. Проблема в данном случае состоит в выборе ограничений и определении их количества.

6. Нелинейности. В настоящее время анализ нелинейностей выполняется каждый раз применительно к данному конкретному случаю. Нужны более общие методы.

7. Скользящие соединения. Нелинейность, обусловленная скользящими соединениями, представляет специальный случай. Этот тип крепления используют при установке полезной нагрузки, при креплении многих приборов и узлов основного назначения. Основная проблема заключается в том, как испытать и количественно оценить динамические характеристики при наличии этих соединений.

8. Предсказание влияния малых изменений конструкции без проведения повторных испытаний. В больших многокомпонентных динамических конструкциях с существенными связями между элементами очень трудно оценить влияние малых конструкционных изменений. Системы со слабым демпфированием можно регулировать, изменяя их характеристики на несколько порядков за счет небольших изменений конструкции. Это одно из важнейших направлений, которое должно уменьшить риск и гарантировать успех.

2.общие принципы установления критериев оптимизации; этого служит замена сформулированной математической модели приближенной. Это задачи второго этапа. Для механики сплошных сред, процессов термодинамики, аэродинамики наибольшее распространение получили методы конечных разностей (МКР), методы конечных элементов (МКЭ), а также методы граничных интегральных уравнений в интегрирующих матрицах. Первые два метода используют аппроксимацию искомых непрерывных функций совокупность» их значений. В МКР эти значения относятся х узловым точкам, регулярно покрывающим область определения, вплоть до ее границ. Все эти узлы увязываются в общую сетку, и поэтому метод иногда называется сеточным. В МКЭ узлы выбираются на границах заранее выделенных элементов, и по соответствующим значениям функции строится более простая непрерывная. Третий метод реализуется переходом от дифференциального уравнения в частных производных к эквивалентному интегральному. Во всех трех рассмотренных методах задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Порядок аппроксимирующей системы уравнений при моделировании сеточными методами в трехмерном пространстве высок и для сложных областей может достигать величин 10 в 8. В отличие от МКЭ метод интегрирующих матриц дает систему разрешающих уравнений существенно меньше«, 'но столь же точен.

При плохой обусловленности системы возникает проблема разработки устойчивых алгоритмов. Она является достаточно общей при итоговой замене исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений алгебраической системой уравнений. Для преодоления неустойчивости можно использовать различные регуляризирутощие алгоритмы, как итерационные так и одношаговые. Указанные методы решения краевых задач очень широко и достаточно успешно используются для реализации многих инженерных проектов. Выше рассмотренные подходы относятся к решению прямых задач, т.е. тех уравнений, где имеется полная исходная информация, необходимая для получения решений. Выбор метода решения задачи и реализация его в программе для ЭВМ и составляет содержание второго этапа моделирования. На этом пути возникает, как было отмечено, ряд чисто математических проблем относительно точности, сходимости, вания, где в силу отсутствия однозначных параметров и уравнений, описывающих связи между ними, часто закладываются основные допущения, приводящие к определенной некорректности по отношению к реальным процессам. Поскольку некоторые параметры, входящие в уравнения, принимаются с большими допущениями, их можно рассматривать как неизвестные для конкретно поставленной задачи математического моделирования.

Для их определения следует использовать, косвенную информацию: данные о решении уравнения, которые экспериментально получить значительно проще. Такие задачи можно рассматривать как обратные.

Обратные задачи этого типа формулируются на первой стадии моделирования совместными усилиями математика и технолога, которому предстоит доставить нужную косвенную информацию об объекте. В отличие от задач прямого моделирования обратные задачи относятся к классу некорректных (в математическом смысле), в частности .неустойчивых относительно погрешности входных данных. Однако современная математика обладает средствами для их решения [40], что существенно расширяет возможности математических экспериментов. Разработка специальных ре-гуляризиругощих алгоритмов для этой цели выполняется математиком на втором этапе моделирования. Пока эти методы для моделирования в ма= шиностроении и авиастроении используются мало, главным образом из-за слабого знакомства с их возможностями.

Щель работы,, Разработка единого подхода к решению вышеназван» ных обратных задач прочности с применением современных методов решения многоэкстремальных задач и современных методов регуляризации решения.

Научмаи шиши, Применение методов решения обратных задач к задачам расчета на прочность авиационных конструкций и задачам математического моделирования статического и динамического поведения разобратной задачи.

3. Использование прямого метода восстановления жесткостей тонкостенной конструкции с помощью интегральных уравнений.

4. Применение метода регуляризации по Тихонову А. Н. для повышения устойчивости решения обратных задач.

Праистмчтемм тешшгостъ, Методика, предлагаемая в данной работе, может быть использована для активного управления прочностным экспериментом в реальном масштабе времени, уточнения физико-механических параметров конструкции по данным эксперимента, то есть уточнения математической модели также в реальном масштабе времени. Она позволяет определить действующие на конструкцию силовые факторы, уточнить граничные условия, распределение жесткостей, масс, изменения модулей упругости, если известно из эксперимента напряженно-деформированное состояние летательного аппарата. Все изложенные задачи решаются численно и могут быть легко сведены в единый универсальный программный комплекс. Разработанные методики могут быть использованы для адаптивного управления экспериментом, для математического моделирования поведения конструкции в тех режимах где проведение специального эксперимента невозможно или слишком дорого.

Глава 1о Обшщм жарапшершстшжа ©братшпыж задач ппрдочинкон етш ЛАо Ашалшз тршмшшммшгш различных моделей,,

§ 1о ©отшшиьп® ©браппшы© зад«™ ирочишости» Ашшлмз иршмотиместж различных модокейо

Постановки как прямых, так и обратных задач прочности предполагают предварительную схематизацию (моделирование) реального процесса в виде некоторой математической формы. При формулировке общих постановок и выделении основных классов обратных задач предполагаются известными постановки прямых задач, т.е. классических задач теории расчета на прочность. Каждая прямая задача в рамках принятой математической модели может быть сопоставлена с некоторым множеством обратных задач. Все постановки задач рассматриваются с точки зрения соотношений причина - следствие. При этом к причинным характеристикам процесса в теле (системе тел) в соответствии с принятой моделью отнесем граничные условия и их параметры, начальные условия, а также геометрические характеристики тела или системы. Тогда следствием будет то или иное напряженное состояние. Установление причинно-следственных связей составляет цель прямых задач. Наоборот, если по определенной информации о напряженном состоянии требуется восстановить причинные характеристики, то имеем ту или иную постановку обратной задачи прочности.

Исходя из общего назначения все обратные задачи, вне зависимости от рассматриваемого физического процесса или технической системы, можно разделить на два класса:

1. обратные задачи, возникающие при диагностике и идентификации физических процессов (известны нагрузки и напряженно-деформированное состояние (из эксперимента) и, решая обратную задачу, можно уточнить физико-механические параметры конструкции, например распределение жесткостей, масс, изменения модуля упругости или сдвига,);

2. обратные задачи, возникающие при управлении процессами и объ-ектами.(известно напряженно-деформированное состояние конструкции и решение обратной задачи имеет цель найти нагрузки, вызвавшие это напряженно»деформированное состояние.)

Обратные задачи первого класса обычно связаны с экспериментальными исследованиями, когда требуется по некоторым измеренным "выходным" следственным характеристикам восстановить входные причинные. Эти задачи первичны как по отношению к прямым задачам, так и по отношению к другим классам обратных задач, поскольку они связаны с построением математических моделей и наделением их количественной информацией. В случае управления системами роль причинных характеристик выполняют управляющие воздействия, вследствие изменения которых реализуется тот или иной эффект управления, выражающийся через состояние системы - следствие. Нужно отметить, что между задачами типа диагностики и идентификации и задачами типа проектирования и управления существует принципиальное различие. Для задач проектирования и управления расширение класса допустимых решений обычно упрощает ситуацию, так как требуется найти любое технически реализуемое решение, обеспечивающее экстремум критерия качества с заданной точностью. В то же время для задач идентификации и диагностики, чем шире класс возможных решений, тем хуже, в частности, больше могут быть погрешности определяемых причинных характеристик, что требует обязательного использования регулярных методов решения этих задач.

Для того чтобы решать как прямые .так и обратные задачи прочности! необходимо иметь математические модели для расчета разных типов конструкций. Знать их области применения, недостатки и особенности. В настоящее время выбор математической модели не представляет особых

Здесь Е модуль упругости, Р площадь продольных ребер, а и А неш= торые коэффициенты зависящие от геометрии конструкции, ё = некоторый коэффициент, зависящий от внешнего нагружения, Г = деформации, Г = пе= ремещения продольных ребер (искажение сечения). Эти уравнения позволяют рассчитывать тонкостенные конструкции односвязного и многосвязного поперечных сечений произвольной формы, состоящие из тонкой об= шивки и подкрепляющей ее сетки продольных упругих ребер и попереч= ных диафрагм (стрингеры, полки лонжеронов, нервюры). Поперечные диафрагмы конструкции (нервюры) предполагаются расположенными достаточно близко одна от другой и обладающими столь большой жесткостью в своей плоскости, что поперечные сечения конструкции при деформации сохраняют свою форму, в аксиальном же направлении, наоборот, весьма слабыми и неспособными препятствовать осевым смещениям точек сечения. Это допущение хорошо соответствует действительности и признано как достаточно точное. В методе Ю. Г. Одинокова допускаются некоторые упрощения в схеме работы отдельных панелей конструкции. Панель - часть обшивки, заключенная между двумя смежными продольными ребрами. В системе всей конструкции эта панель будет испытывать следующие деформации:

1) изгиб в плоскости наибольшей своей жесткости! с осевыми растяжением и сжатием;

2) изгиб в плоскости наименьшей своей жесткости;

3) скручивание.

Модель учитывает усилия, возникающие в панели только от деформации первого рода, предполагая, что остальные деформации вызовут в элементах панели незначительные усилия, не влияющие на общий баланс внутренних усилий конструкции. Обшивку предполагается достаточно тонкой и позволяющей считать, что осевые силы воспринимаются только продольными ребрами, а сдвиги только обшивкой. Часть обшивки, неповье^или гипотеза свободного искажения сечений, данная модель расчета дает результаты, тождественные с результатами, полученными с помощью этих гипотез. В тех же случаях, когда названные гипотезы не применимы, модель должна дать новое решение. Это будет тогда, когда имеет место, так называемое,, стесненное искажение поперечных сечений. Не задаваясь целью перечислить все подобные случаи, отметим некоторые из них, часто имеющие место в практике.

1) Проблема „заделки". Заделка может быть полной, т. е. все сечение принимается не искажаемым; может быть частичной, когда лишены возможности иметь аксиальные смещения только некоторые точки сечения, может быть упругой, когда аксиальные смещения точек сечения заделки имеют место, но вызывают упругое противодействие. (Жесткий в аксиальном направлении шпангоут, например). Следует, кроме того, отметить, что учет влияния заделки данным методом можно производить не только от кручения, но и от сдвига, и, так как полученное решение построено для сечения произвольной формы, применение его не ограничивается определенной формой сечения.

2) Расчет балок с учетом влияния изменения по длине балки величины перерезывающей силы и скручивающего момента. В практике часты случаи, когда как перерезывающая сила, так и скручивающий момент меняются весьма резко, скачками, и здесь эффект стеснения искажений поперечных сечений может быть столь же и более значительных;, чем это имеет место вблизи заделки.

3) Расчет конструкций с вырезами. В расчетной практике задача расчета конструкций, имеющих вырезы, обычное явление. Предлагаемый метод позволяет установить сложное перераспределение сил и напряжений в зоне выреза и деформации конструкции.

4) Расчет конструкций, имеющих узлы разъема.

5) Расчет тонкостенных конструкций при загрузке сосредоточенными осевыми силами.

6) Расчет усилий в конструкции при вынужденном смещении опор, например, установка конструкции на узлы с некоторым „натягом".

Во всех перечисленных случаях и во многих других = элементарный расчет недостаточен для выявления напряженного состояния конструкции, и последнее может быть определено лишь с помощью теории, учитывающей искажения поперечных сечений. Модель Одинокова дает возможность произвести расчет тонкостенных конструкций во всех приведенных и им подобных случаях.

Численное решение может быть получено для балки переменного по длине сечения произвольной формы при произвольной загрузке и краевых условиях.

§ 2о Ашшлшз чшелотных методов, ппрммшэкшыж в дштеертащшшо

В строительной механике летательных аппаратов задача определения напряженно=деформированного состояния (НДС) ряда конструкций и их элементов сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравне= ний. Это, в частности, относится к расчету лопастей вертолетов, стрингеров и поясов лонжеронов, подверженных совместному действию продольной и поперечной нагрузок. Во всех перечисленных случаях задача сводится к нахождению функций одной независимой переменной (координаты), поэтому она называется одномерной. Одномерные задачи строительной механики приводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений или систем таких уравнений. Известно, что получить точное анали= таческое решение таких уравнений можно лишь в частных случаях (например, для уравнений с постоянными коэффициентами). Специфика требований к авиационным конструкциям = обеспечение- прочности и жест= кости при минимуме веса, сложность условий их работы и другие факторы приводят к тому, что во многих случаях для дифференциальных уравнений, описывающих их поведение под действием нагрузок, точные аналитические решения не могут быть получены. В связи с этим в строительной механике летательных аппаратов много внимания уделяется приближенным способам решения.

В настоящее время, в связи о применением электронных вычислительных машин (ЭВМ) численные методы все шире используются в практике расчетов, так как операции, к котором они сводятся, операции с цифрами, полностью соответствуют принципу действия ЭВМ и поэтому выполняются на них наиболее эффективно. Для того чтобы свести любую математическую модель к системе алгебраических уравнений вида:

А]{Х}={В} надо использовать какой либо численный метод. Кратко рассмотрим преимущества и недостатки метода конечных разностей, конечных элементов, конечных сумм (интегрирующих матриц).

Метод конечных разностей (МКР) основан на приближенной численной записи производных через разности значений самой функции в заранее выбранных точках на интервале интегрирования (решения) дифференциального уравнения. Формулы получаются путем замены бесконечно малых приращений аргумента и функции в известной формуле: у' = — на конечные: у' « —.

При Ах 0 выражение в пределе дает точное значение производной, но при конечном Ах - только приближенное, что и показывает знак приближенного равенства.

Для получения конечного приращения функции Ау на интервале х, в котором задано дифференциальное уравнение, выбираются отдельные точки. Шаг Ах между этими точками может быть переменным. Значения гьуттши лу«7 и кыйпянних т(п)ч1гл¥ нячыкятотг.я пипшртними ^ияш/ртцшгопигтга г,41 лвые и правые записи и более сложные с помощью полиномов или рядов.

Достоинства метода в том, что он весьма прост и естественен. А ос= т. п. )

4х104.

РшкЕо 1ДЛ

Здесь Ааг - выражает площадь заштрихованного 1 участка (рис 1.2.1).

Так как у(х) задана в общем виде, например, в виде значений в расчетных точках, то вычислить эти интегралы непосредственно невозможно. Поэтому у(х) аппроксимируется на данном участке функцией Г(х) к=1 к=п

Численная запись интегралов приводит к большому числу однотипных операции, для которых удобно применение матриц. Они позволяют не

Глава 2о Шдоттафипшпцпш жесттоетпшыж характеристик пшшструпщшиш одшпшшшвым методом«

1= Идештгафиющмш жестишстиых характеристик югаотрующшш бал©ч1=

Известное уравнение изгибных колебаний балки имеет вид:

К1у")"+ ту = Т(х, 0 ; (2.1.1) здесь Е1 - изшбная жесткость балки; ш = погонная масса; Т(х,1) - поперечная нагрузка, меняющаяся во времени; у - перемещение оси стержня, меняющееся во времени для каждой точки и переменное по длине балки. у = у(х

§1П®1 , (2.1.3)

Подстановка (2.1.2) и (2.1.3) в уравнение (2.1.1) приводит его к виду: (Е1у")" - со 2ту = д . (2.1.4) х1 х,

1=1,2, .,,п).

Система (2.1.8) в матричной форме с использованием интегрирующих матриц [Л], [12] примет вид:

А]{у"} = {М} ? (2.1.9) где {у"} , {М} - столбцы порядка п значений соответствующих величин в расчетных сечениях 1=1,2,.п. [А] = Гш]-©2[12]2Гпф,]

ГЕ1] - диагональная матрица значений Е^ в расчетных сечениях, [I]] - интегрирующая матрица первого рода, численный аналог интеграла от 0 до XI, РУ - интегрирующая матрица второго рода, численный аналог интеграла от XI до I.

Решение уравнения (2.1.9) дает {у"} для балки с переменными по длине параметрами. ге^-ю'^гпф,]2)^''} = {м}, (2.1.10)

Затем проведем некоторые преобразования для того чтобы из системы (2.1.10) выразить искомую величину Е1. Раскрывая скобки и перенося в правую часть известные величины, получим.

Гш1{у"} = {м}+ш2[12]2Ы[л1]2{у"}

Ге1]{у") = {в}

Теперь представим известную величину {у"} в форме диагональной матрицы, а неизвестную Е1 как обычно в виде столбца:

Гу"]{е1} = {в} . (2.1.11)

При помощи записи (2.1.11) можно проводить идентификацию Е1 по известным экспериментальным данным. Так как в решении используется интегральный метод, его зависимость от погрешностей, неизбежных в ходе реального эксперимента, ниже ,чем при численном дифференцировании.

Прямым расчетом получены значения {у") по длине конструкции, затем в них внесена случайная несбалансированная погрешность в диапазоне ±10%.

Таблмшр 2о1о1о Ржшределшм® кршмишш дто длите,, сечения Кривизна расч. Кривизна эксп. Внесенная погрешность %

1 1.16551е-05 | 1.06061е

2 б.93342е-06 6.72542е

3 2.9125е-06 2.6795е

4 5.27055е-07 4.90161е

5 -1.09536е-06 -1.04059е-06 |

6 -2.6906е-06 -2.52916е

7 -4.08863е-06 -4.00685е

8 -5.2576е-06 -5.41532е-06 =

9 -6.17358е-06 -6.35878е-06 =

10 -6.8265е-06 -6.75824е~

11 -7.2903е-06 -6.85288е

12 -7.20536е-06 -7.85384е-06 =

13 -6.16945е-06 -5.5525е

14 -4.71612е-06 -4.52748е

15 -3.33293е-06 -3.16629е

16 -2.06745е-06 -2.0261е

17 -1.04138е-06 -9.78899е

18 -4.15303е-07 -4.443 75е=07 =

19 -1.1446е-07 -1.15605е-07 =

В данном примере целесообразно привести все результаты подробно, в

Таблмшщ 2о1о2о Раетредвлшмке шгшбиюм жестдшстм те длшште, сечения Е1 исходное Е1 идент. Погрешность идентификации %

1 | 460100 505604 =9.

2 | 460100 474330 =3.

3 460100 500109 -8.

4 460100 494731 =7.

5 | 460100 484316 =5.

6 460100 489468 =6.

7 | 460100 469490 =2.

8 460100 446699 2.

9 460100 446699 2.

10 460100 464747 = 1.

11 460100 489468 =6.

12 460100 422110 8.

13 460100 511222 = 11.

14 460100 479271 =4.

15 460100 484316 -5.

16 460100 469490 =2.

17 460100 489468 =6.

18 460100 430000 6.

19 460100 455545 0. мере 1. Отличие только в том что балка имеет плавно

2.1.1. Как и

Ршс 2До1о Рашредоютшке кринвгазпп га© длшшп®.

- -EJ с I исх. идент. ' - СУ)

- \

- Л

Рис 2„1„2„ Р&шределешше шзгмбшой жесткости р© длшше» шеописанной балки при ступенчатом изменении ее жесткостных характе

-4.0x10

-6.0x

-8.0x10"

5.5x10°

5.0x10°

5x10°

4.0x10°

3.5x10°

3.0x10°

2.5x10°

2.0x10°

1.5x10°

1.0x10° Ь.

Рис 2.1.3. Рашределетгае гривши то длиие. идент --

- 4 ч х ' ' ---------Ей - ' , , I I I I I I I I

11

13

15

17 19 Сечение пунктирнои линией жесткость полученная в результате идентификации. Сплошная линия обо= значает исходную жесткость. Из представленных примеров можно заключить что предложенный метод очень устойчив к погрешностям - практически погрешности на выходе равны погрешностям измерений в эксперименте. 2„ Идентификация жетистаы! характеристик т®нк®стеии©й к®ист= рукщиио

Балочная модель не в состоянии учесть целый ряд существенных особенностей деформационного поведения тонкостенных конструкций. Наиболее точное решение задачи расчета тонкостенных конструкций дает теория Ю. Г. Одинокова.

В работах ряда авторов были получены решения на основе теории Ю. Г. Одинокова. В работе [2] была создана численная методика позволяющая проводить расчет сложных конструкций. Расчеты показали что напряжения в конструкции можно получать с не меньшей точностью чем при использовании МКЭ при значительно меньшей трудоемкости. Поэтому в данной работе используется теория Ю. Г. Одинокова. Окончательно уравнение искажений записывается в виде:

Е^Гу^Еа^+ЕАА'+с!, (2.2.1) к к ' где:

Ер! - жесткость продольных ребер на растяжение сжатие; - деформация ребра; . ' л а!к - коэффициенты, зависящие от геометрии конструкции; V ■

- коэффициенты, зависящие от конусности конструкции; сНйе - нагрузочный член; <

Рассмотрим численный метод построения разрешающей системы уравнений в матричной форме с использованием интегрирующих матриц. Для удобства алгоритм излагается по пунктам. п= число продольных ребер, иа - число панелей. г = i., где хн, ун, хк, ук - координаты начала и конца I ребра:

1 ребра да

С« "Х,)2 +(Ун "Ук)2 +(2К пр иср|/п пр г

V |0: л1,

V [О,

К> * л пМмпи\м1 где ни число панелей в поперечном сечении конструкции. Далее для

-"у

У г =(Ук\ -—Ч*/ "

Н р\ Э • порядка ни значений длин панелей $х} = [Мтп}{х};{Зу} = [Мтп]{у};

Формируготся диагональные матрицы жесткости порядка и значений жесткостей продольных ребер на растяжение сжатие [С],[С]-1.

Здесь Е1 модуль упругости материала I ребра.

Определяется диагональная матрица [В] порядка ш значений жесткости панелей на сдвиг: длина панели.

Находится строка прядка п: имн^-ый

•V М? [у] строки прядка п значений координат центра тяжести продольных ребер.

РОСС Я И С«. А а ГОСУДАРСТВЕН,

-41= "

Вычисляются матрицы [М], [М] прядка 3 х ни и 3 х п., соответственно:

2Wj 1и" и] № = Ы ш

Ж] = строка порядка ни [ панелей, [х,] = ] строки

Г] = ([МррГ) -порядка п ЛЛ1

4[

Составляется матрица [С] порядка пк из матриц жесткости порядка, и значений жесткостей Ci = Е^ продольных ребер на растяжение сжатие,.

М . . о мг ш<2х ш0у

Гс]{Р} = и2]2[Х1][Ь¥№'} +Р2]2[Х2]{Г''} - {Б} где {и} есть матрица [А4], в которой каждый коэффициент умножен нения можно решать как прямую так и обратную задачу. = {В}, ще {В} = Р2]2[Х1][11]2{Г} + [12]2[Х2]{Г'}-значения деформаций Г^ можно определить ЕР ного а), переменного б) и ступенчатого в) сечения. Значения деформаций вносилась погрешность ±10% и находилась ЕР. Вносимые погрешности этап решения. Пусть из решения прямой задачи известны некоторые значения Г. Внесем в них искусственно некоторую случайную погрешность и получим Г' эксп-, теперь вычислим [1;]2 {Р}:

Шп Р,]2{Г}эксп

-0.682 =0.678

-1.468 -1.410

-2.353 =2.182

-3.558 =3.244

-4.376 -3.962

Как и ожидалось ,во втором столбце таблицы присутствует некоторое отклонение от исходного значения, но не более чем на величину внесенной погрешности. Теперь вычислим [Х1][11]2{Р} и [Х1][11]2{£'}ЭКсп- :

Х1][Л]2{П [Х1][Л]2{Г}эксп

0.0215 =0.1159

-0.0236 -0.160

0.0746 0.366

0.1159 0.875

Отсюда наглядно видно,как влияет обусловленность матрицы [XI] на процесс решения обратной задачи. Аналогичные выкладки можно привести и для [Х2]. Для полноты картины приведем также несколько значений матрицы {В}:

В} от {Г} {В} от {Г}экеп

-628 -1907

-616 -1953

-619 -2072

-596 =2014

Фактически из за плохой обусловленности матриц [XI] [Х2] и погрешностей измерений Г' правая часть {В} выражения (2.2.3) искажается настолько, что решение обратной задачи не имеет смысла.

1 2 3 4 5

Сечение EF исходи EF идент.

1 4.9Е+006 5.15608Е+006

2 4.2Е+006 4.50607Е+006

3 3.5Е+006 4.0639 lE+006

4 2.8Е+006 3.34659Е+006

5 2.1Е+006 2.4159SE+G06

6 1.4Е+006 1.24717Е+006

4.0x10й —-- .ЕР исходи ---ЕР идент.

-

-

-

-

- \

- . .

Рис 2„2о4 Рашределешше жесткости ребер ш© длиига®,

ЕР исходи

4.9Е+006

4.9Е+006

8Е+006

2.8Е+006

ЕР идент.

21923Е+006 ю49е+006

96493Е+006

2.47708Е+006

§ Зо Эшшершмешпг ш® вдоттафшшшшщшш швгшйпюй жесттшстш бал1Ш„

Для проверки метода одношаговой идентификации, описанного в параграфе 1, был проведен эксперимент. Экспериментальная установка (рис 2.3.1), состояла из электродинамического стенда, тензостанции 8АЫ4, ншейфовош осциллографа Н-700 и кронштейна подставки, на который крепится модель-балка. Для замера деформаций в 8 сечениях по длине балки наклеены тензодатчики с базой 15 мм. Модель балки выполнена в

ЕИршеджа тфчшадстш вдштшфшжащшш жееттастных харжтершстшж с шю= мдащыкп) отбствшшмж чшстдат гал©бадмй=

Цель следующего примера показать, что собственные частоты могут быть использованы в качестве критерия правильности идентификации из-гибной жесткости. Если изшбные жесткости восстановлены верно то собственные частоты колебаний полученные расчетом должны совпадать с полученными в эксперименте.

1Г

А

V

VI рмс 2,3„4„

Характеристики балки: длина 100 мм; Ь=19 мм; Ь=5 мм; 1сеЧения=2857

I4; Ед1бт=720С мм; Ш=10123200 кгмм2

ЕЗ] матрица т=

О)

Гн]

Частота, Гц ©1 оэ2 шЗ

Без трещины 101,7 628,1 1518,7

С трещиной 101,7 601,1 1458,7

Частота, Гц ю! ©2 шЗ

Без трещины 102,7 627,1 1509,7

С трещиной 102,7 603,1 1428,7

Ега&ш Зо Решшшше ©бряпгшиьж задач! ппротшгостш ib жстре

В случае решения задачи определения нагружения мы будем рассматривать одноточечное возбуждение колебаний конструкции. Искомыми параметрами будут величина силы, точка ее приложения, частота воздействия и т. п. Совокупность этих величин называется вшвраи укираив-лдашшрж параметр©®.

Одноточечное возбуждение.несмотря на простоту реализации имеет / недостатки. Например, можно не получить заданное напряженно-деформированного состояние, так как не хватит возможностей чтобы реализовать необходимое управление. При работе около резонансных частот надо в процессе испытаний "подстраивать" возбуждение. Недостаток многоточечного метода - чисто технический - сложно реализовать систему управления и синхронную работу исполнительных механизмов. С точки зрения расчета разница между одноточечным и многоточечным возбуждением невелика - просто увеличится количество управляющих параметров. 1о Экстремалыкам юсташвп обратных задача

Одним из перспективных направлений в решении обратных задач прочности является приведение их к экстремальным постановкам и использование численных методов теории оптимизации. При этом может быть два случая:

Решение ищется в пространстве параметров.

Задача решается в функциональном пространстве.

В первом случае экстремезируется функция конечного числа параметров - параметрическая оптимизация, во втором определяются функции, экстремёзирующие функционал от этих функций - функциональная оптимизация. В данной работе рассматривается параметрическая оптимизация с помощью итерационных методов. Под задачей синтеза технических систем вообще понимается задача построения такой системы. которая обладала бы заранее выбранными свойствами - это можно отнести и к синтезу управления. Такая задача имеет множество решений, соответствующих различным вариантам реализации структуры системы или управления. Некоторые параметры, входящие в уравнения, описывающие систему, могут свободно выбираться в некоторых допустимых пределах, они называются управляющими параметрами. За счет выбора их значений обеспечиваются заданные свойства или выполняются заданные технические требования.

Построение же наилучшего решения как правило сводится к минимизации или максимизации некоего функционала при заданных ограничениях. Эти функционалы „представляющие параметры процесса или показатели работы системыобозначим как: Ц§=1,2.ж), где 8 - номер функционала. Значения их зависят от выбора управляющих параметров. Известна допустимая область изменения каждого функционала показателя: а8<18^А3? §=1,2,.,И1, (3.1.1) где а3, А3 - нижние и верхние граничные значения функционалов 13. Задача синтеза заключается в том „чтобы найти такие значения управляющих параметров при которых все функционалы 18 при всех режимах работы удовлетворяли бы неравенству (3.1.1). Если же не выполняется хоть одно неравенство .то система считается неудовлетворительной.

Осиповнам задачш уир&шшншш (ОЗУ) традесомШо Рассмотрим управляемый процесс, описываемый системой обыкновенных дифференциальных уравнений: = /(х,/,й),<6(0,7) (3.1.2) где 1 — время; х = (хьх2,.эхп),; юьмерный вектор фазовых координат евклидова пространства Еп; и = (и13и2,.,иг) = г-мерный вектор управления евклидова пространства Ет; Т — продолжительность процесса управления; 1= (^Д^.-А)- Составляющие ИлД^.-Дп вектора f предполагаются непрерывными и непрерывно дифференцируемыми функциями по всей совокупности своих аргументов.

Пусть компоненты управления ир, (р = 1,2, г) представляют собой кусочно-непрерывные функции времени с конечным числом точек разрыва или постоянные параметры. Значения вектора и принадлежат заданной выпуклой области II, т.е. иеОсЕ1 и область и, вообще говоря, может быть функцией времени. Такие управления и будем называть допустимыми. Исходное состояние управляемого процесса задано начальными условиями: х^0)=хю, 1=1,2,.,п. (3.1.3)

Начальные условия хо = (хю,Х2о,.-Дпо)? и управление ш=е(1) в соответствии с системой (3.1.2) задают определенную фазовую траекторию нро-цесса х=х(1), 1е[0,Т].

Пусть на множестве допустимых управлений и и траекторий х определены функционалы

В дальнейшем, наряду с обозначением функционала Цхдл] будем пользоваться также обозначением Щи], имея в виду, что фазовые координаты х в силу уравнения движения (3.1.2) выражаются через управления и. Работоспособность системы полностью характеризуется совокупностью функционалов (11,12,.Дт) = 1-так, что все требования, предъявляемые к системе, сводятся к ограничениям на возможные значения этих функционалов. Обычно эти требования заключаются в указании области изменения их в виде неравенств (3.1.1) .

Задача определения управления, гарантирующая выполнение ограничений, наложенных на значения функционалов, является типичной задачей управления, которую назовем основной задачей управления [1, 2, 3]. Сформулируем ее следующим образом: среди допустимых управлений те и найти то, при котором движение динамической системы в соответствии с (3.1.2), (3.1.3) такое, что выполняется условие (3.1.1).

Надо отметить, что если ОЗУ имеет решение, то обычно имеет не единственное решение, а целое множество решений, удовлетворяющих заданным требованиям. Это является важным, так как инженера не всегда интересует только единственное решение задачи, которое практически невозможно абсолютно точно реализовать. Его интересует область значений параметров, множество решений, удовлетворяющих требованиям, предъявляемым к системе, что и дает решение ОЗУ. Любое из полученных решений ОЗУ является приемлемым. Это дает определенную свободу действий инженеру, которую он может использовать для введения некоторых изменений, возникающих в процессе проектирования или учета дополнительных требований, которые трудно формализовать. Имея свободу выбора значений параметров, т.е. неоднозначность решения основной задачи управления, можно просмотреть также различные оптимальные варианты управления, их расположение в области решений ОЗУ. А окончательное

Пусть теперь на значения фазовых координат х= х(т) в моменты времени % из некоторого отрезка [т1,12] наложены ограничения: а8<18^А8, в=1,2,.,ли, (3.1.5) те[тьт2]с[0,Т] где а8=а8(т) и А8= А8(т) - непрерывные функции времени теЦт] , Т2]. Построение траектории, удовлетворяющей неравенствам (3.1.5), назовем задачей прохождения через область (рис. 3.1.1) .

Каждая координата х8(т) в некоторый фиксированный момент времени т является функционалом, определенным на множестве фазовых траекторий х, т.е. х8(т)=18(х, т)=18Т[х], 8=1,-п; а8Т<1эт<А8Т, 8=1,2,.,п, хе[т!, т2]с[0,Т] ,у

Л с которые по виду совпадают с (3.1.1). Но теперь вместо конечного числа неравенств получили несчетное множество неравенств, зависящих от непрерывного параметра х.

При численном решении такие задачи обычно упрощаются. Вместо того, чтобы удовлетворить неравенствам (3.1.5) в каждый момент времени, рассматривают их в конечном числе дискретных моментов времени , т2, Тк и, таким образом, приходят к задаче прохождения фазовой траектории через заданные сечения (рис. 3.1.2) . В частности, задача попадания в конечную' область в момент времени. 1=1, т.е. построения так называемого терминального управления, при котором фазовые координаты удовлетворяют условиям (рис. 3.1.3) а8<х8(Т)<А8, §=1,2,.,п,

Ршс„ 3.1.3. Тракжторшш три термишаль- Рис. 3.1.4. Область ршпотшш ш©м уппрашлшмш ©шшшкю задачиш ушрашютшш

Задача прохождения через заданную область по определению совпадает с технической устойчивостью движения [4] с той разницей, что в задаче устойчивости обычно рассматривается неуправляемая система. Таким образом, задача синтеза технически устойчивой системы является частным случаем основной задачи управления и методы решения ОЗУ применимы для проектирования технически устойчивых систем.

Приведем геометрическую интерпретацию ОЗУ. Пусть вектор управляющих параметров и и веюгор-функционал I имеют по два компонента: и = (щ, иг), I = (II Дг)- Управление и принимает свое значение из выпуклой области Ц" и вектор-функционал I — из прямоугольной области А={а1<11<А1, а2<12^Аг} (рис. 3.1.4). Задаваясь всевозможными значениями и = (щ, ц2)е11 и используя уравнения процесса, получим на плоскости (I] , Ь) некоторую область В, т.е. область и при отображении переходит в область В. Пересечение областей А и В представляет область выполнения ограничений на критерии I при допустимых управлениях и е II. При заданной области!

II реализуется только область зиачеш область 11д, которая согласно уравнени Аи =А и В и =А и В. критериям системы еовной задачи управления. 1аким образом, решение основной задачи управления сводится к построению области Пд г: уЦи]г:ы+г>}=1

1Ги]я<Ая то о<г:ы,о<г:ы г г: м<1, У:ы<\

1.7)

3.1.« л.

13 (3.1. и

3.1.12 у>]<1, 8=1,2,.,2т. (3.1.13)

Суть этих преобразований в том, что двусторонние неравенства (3.1.8) заменили односторонними, функционалы 18 — безразмерными и предел изменения всех функционалов сделали одинаковым, равным еди= нице. Основная задача управления запишется в виде х = /(х,/,и), х(0)=хо, неII, Г>]<1, 8=1,2,. .,2т. Когда ограничения, наложенные на и и у8 противоречивы, эта задача •/ не имеет решения. Если же существует решение, оно не единственное.

Геометршгашкаш шшпгершретащшш ш©стр©©шиим решлютиш ОЗУо Для иллюстрации идеи метода решения ОЗУ рассмотрим ее частный случай, когда система характеризуется только двумя односторонними показателя» ми II[и], 12[и] или одним 1[и] двусторонним и имеет один скалярный управляющий параметр и, который удовлетворяет неравенству и1<и<и2, т.е. И = (щ , иг). Соответствующие зависимости У1=У1[и], у2=у2[и] и область изменения и приведены на рис. 3.1.5. Показатели у\ и у2 не должны превосходить единицу. Области значений управления, при которых выполняются условия у1<1, у2<1,определяются неравенствами (см. рис. 3.1.5):

11]<и»<и<и**<и2, (3.1.15) которые задают и область решения ОЗУ., Характерным является значение Го, которое, согласно рис. 5 соответствует у1[и] =угМ = Го при и=ио-Но, с другой стороны,

Го=ишп иаах^Дм] (3.1.16)

Для вычисления Го сначала фиксируем значение и и находим наибольшее из двух величин у] и у2. Оно равно величине у1[и] если ие(и*,ио) и УгМ если ие[ио,и**]. Далее, минимизируя эту величину по и, находим Го при и=ио. Если Го<1, то решение ОЗУ существует. При Го>1 решение ОЗУ димея каким-то значением управления м=и^ из отрез! ка. Например, зада-I [щ,

Т(1)==У1[и(1)] и У2(1)=У2[и(1)]. Если величины у(1) и у2(1) найдено одно решение ОЗУ и=и(1). Если же хотя б: ше единицы, то 11(1) не является решением ОЗУ.

Г =тах{у(1), у2(1) (2)=И(1>+811(1) меньше единицы, то

1)= ,,.г„(1)1 г1>1

0.

-) те< 0.

У(2)=Т1[и(2)] И у2(2)=у2[и(2)] и(2)=и(1)+8и(1"> и сравниваем у1(2)и у2(2) с единицей. Если величины у1 меньше единицы, то е(2)- одно из решений ОЗУ.

2) ж

1<2),Т2(2)!

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получим ys¡¥J<l, (s=l,2) или не найдем Го = inin niax ys[u] и не убедимся, что Го>1, т.е. решение ОЗУ не существует. Для утверждения того, что ОЗУ не имеет решения, следует найти абсолютный минимум Г=тах{уьу2}.

М©т©д ммгеграшшпшга. Чтобы получить представление об устройстве большинства методов прямого поиска, предназначенных для решения многомерных задач, достаточно познакомиться с одним характерным методом этого семейства. В качестве такового здесь кратко описан метод многогранника. Чаще его называют симплексным методом, но мы во избежание путаницы с широко распространенным методом линейного программирования дали ему другое название.

Рассматриваемый метод оперирует набором из п+1 точек хь X2, . хп+ь упорядочиваемых таким образом, чтобы для соответствующих значений функции выполнялись неравенства Fn+i>Fn>.>F2>Fi. Эти точки можно интерпретировать как вершины некоторого многогранника в п-мерном пространстве. Отсюда и название метода. На каждой итерации текущий многогранник заменяется новым: «худшая» вершина xn+i (т. е, точка с наибольшим значением функции) отбрасывается и вместо нее в набор вводится некая «более подходящая» точка.

Обозначим через с центр тяжести п лучших вершин xi, Х2, . xn+i, очередной итерации, определяемый по формуле:

1А с --Ух . и>=1

Расчеты, относящиеся к этой итерации, начинаются с построения пробной точки xr=e+a(e~xn+i), где а>0, и вычисления в ней значения Fr минимизируемой функции. Говорят, что хг получается отражением точки хп+ь а число а называют коэффициентом отражения-, Возможны три случая:

1. Если р1<рг<рп (т. е. хг будет не худшей и не лучшей точкой в новом наборе), то хп+1 заменяется на хг, после чего выполняется следующая итерация.

2. Если РГ<Р] т.е. хг оказывается новой лучшей точкой, то направление отражения признается «удачным» и делается попытка растянуть многогранник в этом направлении. Для этого рассчитывается продвинутая точка хе=с+Ь(хг -с), где Ь (Ь>1) - коэффициент растяжения. Если Ре<Ег, растяжение увенчалось успехом, и тогда хп+1 заменяется на х^-В противном слу- у чае хп+1 заменяется на хг.

3. Если РГ>РП .делается заключение о том, что многогранник слишком велик и его надо сжать. Это осуществляется введением точки: хс=с+у(х„+1-с), если Рг>Рп+1; хс=с+у(хг=с), если Рг<Рп+1,"" где у (0<у<1) - коэффициент сжатия. Если Рс<1тт{Рг, Рп+1} э считается, что цель сжатия достигнута, и тогда хп+1 заменяется на Хс« В противном случае выполняется еще один шаг сжатия и т.д. ния вершин, возникающую в результате нескольких последовательных растяжений. При таких восстановлениях сохраняются только две лучшие вершины последнего многогранника. Расстояние между ними становится длиной каждой стороны вновь генерируемой правильной фигуры. Шаг восстановления можно использовать также в правиле останова метода,,В данном случае в качестве длины сторон новой фигуры берется ||х1=хп.1||, а в качестве ее центра = точка хь Если после 2т итераций эта точка остается непревзойденной, ее и считают подходящим решением,

Если РГ>РП, то в качестве претендента на замену хп+] испытывается точка:

Хс=Х1 +у(х„+1- Х1), если Рг>Рп+1; хс=х1+у(хг- Х1), если Рг<Р„-ц; I причем перемещения производятся именно том порядке, в котором пере- 7' числены вершины.

Изложенный выше метод многогранника представляет собой вариант алгоритма Спендли, Хекста и Химсворта. Иные модификации можно найти в работе Паркинсона и Хатчинсона (1972). я 2-к г 1,2 /х=(> 2 2 л 2 » у а-г2'^*' 4 4 у^2'^' 5 р

С, = 61„ ~гтом геометрических краевых условии при х= х=0 + < х=0 ' х=0 { Л^ I ' и> х=0 х<.

2«7

ГЕ1 - (В2[ 12 ]2 и 11, ]2+ ©2 [12 ]2 Гт 1г01 5 ]| Р2]2{ЯхоУ}-С1^т+С2т+С1{х};

ГЕ1||^|-ш2[12]2Ы[11]2|^ +ш2[12]2ГтГг02 ][!,]{ и2 ]2 кхо2) - Сзт + С4 Щ + С4 М; - Гб1р - ®2 [12 ]Гт Гг01 |[1, ]2- ю2 [12 ]Гт 1г02 ]21~| + ю2Р2]РПР1]2{^} = пр2]{Р}-с5Ш Для получения замкнутой системы уравнений добавим к системе ю2п1 кЬ

• + г

0) I й П Л А^ о'

Здеесь - последняя строка матрицы [1]]. ГЕ121э ГЕ1у]э {т}, Гго11, ГбЛ"Д = диагональные матрицы значений соответствующих парамет

V ах у

Г Л 2,

Запишем замкнутую систему алгебраических уравнении в виде

С3,С4,С5}

11 12 /а-13 ^21 ^22 ^23

81 82 83

48 ^28 к Е к

Е, о

Ч2

А,з =®2[j2frmJr01J[j1];

46-Í21=

47-и, Л18

A„ = ГЕЛ|-Ю2|

I2

Гт] ш ill

02 -1 w l

4 26

2T -ra

J,FmJrnJ JJ

A32 = -©"P2II niJr02 ,¡r j j , a„ =tgjj+©2|u2j|, jz

01 -|iiw 1 л > 2

Л34-"» A35=0; A36=0;

A3 7=0;

A38=M; lkb

A43 = ©2mkbXm¿cosa|ji1)J; mkbí"

43 = mkbArn

X^j^J-kli o) i) n J»

55

A57={0; Ajg=0;

A61 = « 2mkb (Zm [j^0 J + г cosßZm

A62 = ю2П1кЬ J - ksinyY v63 = -©2mkb^2L^I)J;

Ay, = o2mkb(|j® J + rcosß[j®J) m-1 i75=í i82 = eo2ma([j^

O)

A83 = ®2mkb^sina|j[11} J;

1 - b»2J V4xoy. f2 =[J2]2(qX0Z] f3=^2

4=F5=F6=F7=F8=0;

As г

Решение системы (3.2.6) получим путем обращения матрицы [А] или методом Гаусса. Определив значение вектора X и следовательно ; зная на= пряженно=деформированное состояние конструкции, сформируем функционал , характеризующий нормальные напряжения при изшбно= крутильных колебаниях балки: Мюг = Значения касатель= ных напряжений и вытекающие из них величины Мкруч могут использоватся для контроля напряженно-деформированного состояния общивки.

Обозначим его через Gs(p), где s = номер функционала по сечениям по длине конструкции. имелись данные натурного эксперимента с одноточечным возбуждением.

Для расчета взята хвостовая балка вертолета Ми8 с присущими ей геометната; с - угол между вектором Р и осью г;

Шкь - масса концевой балки и макета рулевого винта.

Требуется найти такое состояние вектора управляющих параметров и, чтобы расчетные значения изгибающих и крутящих моментов, полученных из уравнений (3.2.1), были близки к значениям измеренным в полете.

Пример просчитывался для конструкции у которой центр жесткости и центр тяжести сечений совпадают т.е.: Го1=Го2=0; Е12=Е1У.

Заданные значения суммарного изгибающего момента в трех сечениях конструкции (обозначены Мр): сечения 1 2 3 х, см 20 300 470

Мр, Ы см 386500 208500 83500

Мс, Н см 350060 196390 91286

Сечение

Ршс 3.2.3. Нагрузка трвжедяшщаж через задашшньш корщддар зшачеишй.

Этшершмешптадьш©© вдоотрмзведети© требуемых иереметшых шштрмж©= шишй им м©д@лш„

Возможности теоретического метода, изложенного в предыдущих разделах, проверяется на экспериментальной установке (рис 2.3.1), состоящей из электродинамического стенда, тензостанции 8АН4, шлейфово-го осциллографа Н-700 и кронштейна подставки, на который крепится модель-балка. Для замера деформаций в 8 сечениях по длине балки наклеены тензодатчики с базой 15 мм.

Модель балки выполнена в виде дюралевой полосы длиной 0.41м; толщиной 0.002 м;' шириной 0.03м.

По показаниям тензодатчиков восстанавливаем значения переменных изгибающих моментов М1=0.22 10"2 кгм, М2=0.1 10"2 кгм, Мз=0.05 10~2 кгм. Коридор отклонений ±5%. Координаты сечений при начале отсчета в заделке соответственно были Х1=0.05м, х2=0.2м, х3=О.Збм.

Величина массы на свободном конце равнялась 0.006 кг. частота колебаний 25 Гц или 157 рД Колебания в балке создавались с помощью электродинамического вибратора, соединенного с ней специальным держателем, способным перемещаться вдоль полосы и не защемляющим ее при колебаниях.

Полученным значениям изгибающих моментов соответствовало расстояние точки приложения силы = 0.193 м от заделки. Величина силы = 0.01 кгс. При теоретическом решении величина силы изменялась от 0.005кгс до 0.015кгс. частота изменялась от 10 до 30 Гц. масса от 0.003 до 0.008 кг.

В результате теоретического решения возможно получить в эксперименте напряженно-деформированное состояние балки при Р=0.012кгс, ахр=0.18м, маесрй = 0.0055 кг. и частоте колебаний 149, что говорит о прак- ¡/

Аттической пригодности метода поиска нужных возмущающих факторов.

Необходимо заметить, что полученное решение неединственное, то же напряженно=деформированное состояние можно получить и при каком либо другом нагружении.

2.1.10):

Гш]-а)а[^ГГп4л1Г){у"} = {М}

Пусть в качестве исходной информации о колебаниях идентифицируемой системы, как и ранее ^ служат значения деформаций, измеренных в отдельных сечениях ~ у" . Так как в большинстве случаев удается измерить только часть величин, входящих в уравнения (2.1.10), считаем, что в ре~ зультате решения "задачи продолжения" [3] мы можем определить напряженно-деформированное состояние (НДС) и на остальных участках конст

Идштифшп&ашщш изгибной жесткости хвостовой башки,,

В качестве расчетной модели используем уравнение колебаний хвостовой балки вертолета (3.2.1):

2 с12Г ,

Если имеются результаты измерений V или V", то можно решать уравнения по отдельности. При этом .если рассматривать колебания только в одной плоскости .закручивание отсутствует.

Хвостовая балка вертолета имеет плавно меняющуюся по длине из-шбную жесткость. Поэтому жесткость варьировалась в трех сечениях (рис 3.2.1). В остальных сечениях она находилась путем интерполяции. Критерий оптимизации, что и в предыдущем примере (3.1.1). Результат представлен на рис 3.1.2.

Имеются следующие значения кривизн в сечениях:

Сечение ¥расч ,см"'. Узкоп см"1

1. 0.000062 0.000070

2. =0.000091 -0.000098

3 0.000058 0.000064

Исщдры© даганы©: Ракета состоящая из 4 ступеней в пределах кото= рых жесткость и погонная масса одинакова (рис 3.1.4). Погонная масса и изгибная жесткость первой ступени принята за единицу, остальные пара= метры взяты относительно нее.

Прямым расчетом получены формы колебаний для трех частот, трех разных тонов колебаний (рис 3.1.3). значения Е1 и четыре значения на, независимо от общего количества расчетных сечений (23 сечения). Всего 8 параметров.

При идентификации было поставлено условие того чтоб расхождение между расчетными значениями кривизн и значениями, полученными в результате численного эксперимента, было не более 3%. Что и было получено, (рис 3.1.4) сплошной линией обозначены исходные характеристики, а пунктиром - полученные. 4о Идштшфшшшрш жестшпстей шшр»

Влияние упругости опор на свободные и вынужденные колебания балок изучалось в ряде работ. Например, в [1] для различных случаев закрепления концов приведены многочисленные примеры, свидетельствующие о необходимости учета податливости опор при нахождении частот и форм колебаний. Отмеченная особенность поведения балок является актуальной при проведении стендовых усталостных испытаний конструкций, так как в процессе эксперимента происходит накопление повреждений не только в испытуемой конструкции, но и в приспособлениях , обеспечивающих граничные условия и нагружение. А если учесть, что многие опорные устройства, например, реальный фюзеляж, используемые в качестве естественного закрепления, изначально не являются абсолютно жесткими, то исследование влияния податливости опор является безусловно необходимым этапом теоретической подготовки испытаний.

В настоящей работе делается попытка учесть при возбуждении колебаний в тонкостенной балке, находящейся на стендовых испытаниях, упругость опор балки. Конструктивная реализация различных граничных условий не рассматривается.

В главе 1 было представлено уравнение колебаний балки для установившихся колебаний:

Е1у")" - ш2ту = д (3.4.1) x .2. х=0 20^0 > { Лъг I е х=0

40? 20 изгиоающи:

2,, 1 1 х х л2„ й1у г ^2 - ^ х 0 0 0 хх

Теперь для применения численного метода на отрезке 0 < х < £ выби= менены конечно-суммарными с использованием интегрирующих матриц и е (3.4.4) примет вид:

ГЕ1]-©2[л2]2Гт][л1]2|{у"| -®2уо[«И2]2Гт][л1]{е} -®2у0[л2]2Гт]{е} = {м} (3.4.5)

Здесь ГЕ1Д ГшД Гщ] - диагональные матрицы значений соответст

1 . 1

1 V ' 2 V

10 К20 о „ чо Уо''У° = ~ к20к V

1 0 . 0 1 -1 i 0 . 0 1 -1 [22] =

1 0 . 0 1 -1

3.4.

ГЕ^-ю'И'Гпф^у -ю2А1Е10[Л2]Тш|л1|71]{у"}-ю2А2[Л2]2ГтЛ помощи уравнения (3.4.7) можно решать ныв колебания с учетом податливости заделки. Для того же, чтобы произ= быть экспериментальные данные, например кривизны или собственные у эксп. и .у расчет. сдвиг и поворот. С помощью уравнения (3.4.7) можно проводить иденти

Идентшфшпощиш жестшэстей шпор пп© шбствешиым чтст©там„ полученного уравнения. Возьмем консольную балку длиной /=1, погонно! массой И1=1, погонной жесткостью Е1=1 (то есть параметры безразмерные) ш ш2 ю„-о.

ЕЦршмер 1. Для случая жесткой заделки известны первые три собст 3.515, 22.03, 61.67. В результате а —1 л 1п-4 а —1 л 1 л-4

4, А>=1.0 10"4. частоты: и, на ли

Пример 3. Если же взять упругий шарнир то, имея значения собственных частот: 0, 17.6, 56,4, также можно получить значения податливо»

А1=1.0 10, А2=1

-4 б) в)

Ршкс 3„4„1 Три таппшых вида грашютшыж уелшшйо ставить в уравнения и получить 2-3 следующих значени тот. Если полученные значения частот совпадают с ственных час-м,значит

Идентшфшжакдшш ж©стпшет©ш «дар пп© формам иыиуждеипшыж влебашишо

Для идентификации заделки по формам вынужденных колебаний возьмем реальную конструкцию - лопасть вертолета на торсионе. Считаем между экспериментально, измеренными и теоретическими кривизнами в контрольных сечениях.

Получаем минимальное значение А при податливостях А]=0.00011, А2=0.00036.5. Точные значения, известные для реального торсиона А1=0.000109489, А2=0.000400505. ■'-.■-<. А < ^ Г

Сразу заметим, что податливости торсионов определяются непосредственно измерением их, и автор взял лопасть на торсионе лишь как удоб= ный пример для проверки теории.

Таким образом, в работе с помощью единого алгоритма оптимизации уточняются граничные условия (жесткосшые характеристики опор). §„ Ошределешш© юешшнишх шлшвыж фактор©® дом теигаотиых шшструщгайо

Рассмотрим пример восстановления нагружения по заданному на= пряженно-деформированному состоянию для четырехпоясного слабоконического кессона, уже описанного в предыдущих разделах.

3 4

Решение задачи определения напряженно=деформированного со= стояния ведется численным методом, и для нахождения управляющих силовых параметров используем опять метод выпуклого многогранника.

Матричная запись уравнения осевых перемещений ребер тонкостей-ных конструкций:

Гс]{Г'} = [^[ХЩ,]2 {Г} +[12]2[Х2]{Р} - {Б} (3.5.1)

Столбец {О} элементарно находится из (3.5.1) если известна геометрия конструкции и замерены деформации ребер f. В свою очередь,столбец {D} есть матрица [Х4], в которой каждый коэффициент умножен на соответствующее значение внешней нагрузки:

D1=dMz*Mz+dQX*Qx+dQy*Qy; (3.5.2)

Величины коэффициентов cImz, dqx, dqy, из которых состоит матрица [Х4] также известны и зависят от геометрии конструкции. Тогда в каждом сечении будет свой вектор управляющих параметров щ={ Mzi,Q>Xi,Qyi};

Требуется найти такое состояние вектора управляющих параметров иъ в каждом i сечении, чтобы расчетные значения Bj из уравнения (3.5.2), были близки к значениям Bi3Kcn, вычисленным на основе измерений деформаций в полете.

Если варьировать Mz,Qx,Qy во всех сечениях сразу, то ни к чему хорошему это не приведет. Во первых число варьируемых параметров будет 3*кол-во сечений. Для данного примера это уже 3*7 = 21 параметр. Во" вторых, Mz,Qx,Qy обладают взаимным влиянием, и сходимость может ухудшится или вовсе прекратится.

Поэтому предлагается следующий подход к решению. Сначала надо добиться минимальной разницы между В|Экш и Bi в самом "дальнем" сечении i=n, затем двигаться в сторону заделки i=m=l, п=2 и т. д.

В примере, приведенном здесь,Mz,Qx равны нулю для простоты. Необходимо восстановить Qy^ имея данные о деформациях ребер, представленные на рис 3.5.1. задан ппрочшгостшо

11о Регулмризащшш ршшшшш ш© Тшзшшмуо

§1=1 0®з©р литературный

Во введении к диссертации были рассмотрены общие понятия идентификации и математического моделирования, указаны основные проблемы в этих направлениях, сформулированные различными исследователями. Эта же глава носит вспомогательный характер и посвящена уже непосредственно методам решения обратных задач. В ней дается и описание метода регуляризации, которым воспользовался автор работы. Теоретические аспекты, касающиеся постановок, анализа корректности, методов и алшрит-мов решения обратных задач, идентификации и диагностики можно найти в [1-4].

Если сделать небольшой экскурс в историю развития методов решений обратных задач, то можно заметить, что математически строгие алгоритмы стали использоваться после появления метода регуляризации А. Н. Тихонова в 1963 году. Но до широкого распространения на практике этого метода прошло еще несколько лет. А если судить по конкретным результатам , то математически осознанный подход к решению конкретных обратных задач в различных областях науки и техники стал применятся с 1968= 70 годов. Соответствующие публикации стали широко распространятся с начала середины 70 годов, причем количество их быстро возрастало. "Старые" методы решения обратных задач постепенно подвергались математическому переосмыслению и обоснованию. Например, это замечание и» 00 ^ еь* относится к так называемой естественной шаговой регуляризации (саморегуляризации)" и к усечению степенных рядов при решении граничных обратных задач теплопроводности.

Коэффициентные обратные задачи исследовали Алифанов О. М., Клибаиов М. В. [5], Вабищевич П. Н., Денисенко А. Ю. [10], Денисов А. М. и другие. Методы численного решения коэффициентных обратных задач в связи с их приложениями разрабатывали Абасов М. Т., Азимов Э. X.,Ибрагимов Т. М. [41], Евдокимов Ю. К. [14], Искендеров А. Д. [16], Хайрулдин М. X. [35,36], Цирельман Н. М. [37], Данилаев П. Г. [42]и другие.

Коэффициентные обратные задачи являются условно-корректными и требуют специальных методов исследования. К ним относятся методы регуляризации [33],[34],[27],[28], метод квазирешений [15], метод квазиобращения (как разновидность метода регуляризации) [25]. В настоящее время известна обширная литература по методам решения условно-корректных задач [9],[21],[22],[23],[24],[26].

Однако хотя использование методов регуляризации и позволяет в рамках определения корректности по Тихонову А. Н. получить устойчивое решение, но не гарантирует его единственности. Единственность решений условно-корректных задач исследовали Лаврентьев М. М., Романов В. Г. и другие. В работах [21],[29],[38] рассмотрен широкий круг условно-корректных задач математической физики, имеющих практическое приложение. Особенность данной работы в том, что в основу исследуемых постановок коэффициентных обратных задач положены результаты, полученные Клибановым М. В. [17-20],[8] при доказательстве соответствующих теорем единственности. Их суть - в необходимости рассматривать исследуемые уравнения совместно с переопределенным набором краевых условий. В качестве метода решения выбран метод квазиобращения, разработанный М. М. Лаврентевым и Ж. Л. Лионсом. Вопросы развития и обоснования метода квазиобращения рассматривались в [31], [11-13]. Прикладному использованию методов посвящены монографии [3,4].

Самостоятельный интерес представляет исследование коэффициентной устойчивости решения дифференциальных уравнений, примеры [32],[30].

Организация вычислительного эксперимента по изучению коэффициентной устойчивости заключается в следующем. Либо следует решить пример, имеющий точное решение (что и всегда делалось в данной работе), либо в процессе расчета различные способы вычисления интегралов, входящих в коэффициенты, сравнивая каждый раз результаты. Если решение обладает ко-устойчивоетьго то результаты не должны сильно отличатся.

В случае плохой обусловленности можно применять например алгоритм сингулярного разложения матрицы [39]. Этот алгоритм обладает повышенной надежностью и заодно вычисляет обусловленность исходной матрицы. Даже простое нормирование матрицы иногда дает удовлетворительные результаты. Очень хорошие результаты дает также метод наименьших квадратов [40]. Решение способом наименьших квадратов полностью избавляет нас от исследования совместности заданной системы, так как мы примирились с тем фактом, что мы не получаем точного решения нашей задачи, а только наилучшее решение, возможное при данных обстоятельствах. Если заданная система совместна, то остаточный вектор, полученный методом наименьших квадратов само собой окажется нулем, подтверждая тем самым, что система совместна.

В данной работе применяются методы итерационные и одношаговые. Первые основаны на решении серий прямых задач с разными исходными данными. Второй позволяет сразу найти неизвестные параметры из системы уравнений. У каждого есть свои преимущества и недостатки. Методы итерационные не могут варьировать слишком большое количество параметров, но зато они являются методами естественной регуляризации. Одношаговые методы не требуют итераций, но возникает проблема единственности решения и выражения искомых параметров из уравнений мат. модели. А это порой затруднительно. В данной работе использовался итерационный метод "выпуклого многогранника" и одношаговый А. Н. Тихонова. Методы, реализующие идеи вариационного счисления, есть в работах [6],[7]. Еще можно сказать, что итерационные методы требуют промежуточного запоминания больших массивов информации о результатах предыдущих приближений.

§ 1о2 Шошштш® пшррешпмет™ ш® Тмжошшву,,

В литературе при анализе корректности обратных задач теплообмена было установлено, что их решение может не обладать свойством устойчивости, то же самое можно сказать и об обратных задачах прочности. С этой особенностью обратных задач связаны основные трудности построения эффективных вычислительных алгоритмов. Если не изменить исходную постановку неустойчивой задачи, то методы, разработанные для решения хорошо поставленных задач, далеко не всегда оказываются пригодными применительно к обратной задаче. Причем нельзя быть уверенным в малости ошибок решения обратной задачи при сколь угодно малых погрешностях входных данных.

Главный вывод анализа состоит в том, что для обратной задачи должна быть сформулирована иная - корректная по А. Н. Тихонову постановка задачи. Математическая теория предлагает два возможных подхода к разрешению этой ситуации. Первый основывается на изменении классического понятия корректности и переходе к условно-корректной постановке задачи (корректной по Тихонову ). Второй подход связан с аппроксимацией обратного оператора А"1, который не является непрерывным, семейством непрерывных операторов.

В первой главе было показано что все рассматриваемые обратные задачи сводятся к решению системы алгебраических уравнений. Возникают трудности ^связанные с тем, что матрица такой системы часто "плохо обу-словлена'^т. е. имеет определшгелцблизкий к нулю. Тогда задача о реше- у/ нии системы (например,восстановления ЕР по известным из эксперимента деформациям ребер) оказывается неустойчивой по самой постановке. Для преодоления неустойчивости можно использовать различные регуляри-зугощие алгоритмы. В данной работе общим математическим методом решения некорректно поставленных задач является метод регуляризации А. Ы. Тихонова.

Рассмотрим кратко этот метод. Переходя к общей постановке, обозначим через Z метрическое пространство искомых в обратной задаче характеристик объекта или процесса, а через Р = пространство характеристик наблюдаемого явления (косвенных характеристик объекта). Пусть каждому ъе.Ъ с помощью известного оператора А ставятся в соответствие реР: Р = Ах. Тогда обратная задача формулируется в виде уравнения:

Аг = р (4.1.1)

Эта естественная постановка задачи некорректна по следующим причинам.

1. По определению р свойства его элементов (р = Ах) определяются свойствами Ъ и заданным оператором А,.Погрешности, вносимые, например, измерениями, неуправляемы, так что возмущенный элемент р может и не принадлежать Р. В этом случае уравнение Аг = р, с которым приходится иметь дело на практике, попросту не имеет решений и носит чисто условный характер.

2. В обратных задачах оператор А носит «интегральный» характер. Это значит, что его значения Аг слабо чувствительны к возмущениям величины ъ. Поэтому, даже в условиях разрешимости уравнения, малым воз

Полученные решения системы (4.1.1) могут быть сильно различаю» щимися. Применение же регуляризации будет давать равномерные по р, А приближения ? к решению ъ уравнения (4.1.1) то есть: г - ?|| < £■, если \р -/?|| < 8, \А и параметр 8 достаточно мал: 8 < 80(е,г,А).

Рассмотрим квадратичную форму по I. Сглаживающий функционал: / ^1\z,p,A\a\ = \Лz-pf +сЦ1], (4.1.2) ^ щ?] = ш2 где р, А - произвольные вектор и матрица, а = параметр регуляризации (а>0), 0[?]= регуляризирующий функционал, определяющий класс решений.

Пусть можно выделить подпространство М, на котором определен неотрицательный функционал П[?] такой, что условие 0[?]<С выделяет компактное множество Мс. В таком случае нахождение регуляризованного решения сводится к минимизации функционала (4.1.2) на М.

Представим квадратичную форму (4.1.2) в виде: п м[?,р, А; а] = (апх, + апх2 +.+а1пхп - р)2 + + х2 +'х32 ] (4.1.3)

1 ь

Из (4.1.3) видно, что представляет собой сумму квадратов невязок уравнений заданной системы. Величина Л; а] является квадратичной формой аргументов Х1,Х2,ХП . В работе Тихонова показывается, что существует один и только один вектор 1(а) = (х^а),х2(а),.,хп(а)), завися» щий от параметра а и реализующий минимум Вектор

1{а) может быть определен. если применить к М^х ,р,А-,а\ какой либо ми

Из этой системы при любом заданном а можно найти вектор неизвестных 1(а) = (х, (а), х2 (а), хп (а)), зависящий от параметра а и реализующий минимум. Алгоритм построения и решения такой системы уравнений легко реализуется для ЭВМ. Использование этого алгоритма заведомо обеспечивает получение устойчивого решения плохо обусловленных системы уравнений в рамках определения условий корректности (по Тихонову).

Построение и решение системы вида (4.1.4) для обратных задач, рассматриваемых в данной работе не представляет сложности. Единственное неудобство такого способа = это необходимость подбора параметра а, от которого зависит решение системы (4.1.4). Фактически подбирать а приходится методом последовательных приближений см. рисунок:

Поэтому "наилучшее" а может быть подобрано методом касательных или методом золотого сечения или методом деления пополам за 3-5 итераций. Это конечно требует дополнительного времени.

4 3

Рис 4.1.1 Раотетаам сшипомя схема участка фюзеляжа шлагаера. Обшивка везде постоянной толщины 0.8 мм выполнена из материала

Д16АТ, продольный набор постоянного по длине сечения из того же мате= риала и имеет характеристики:

Таблица 4.1.1. ребра Модуль упр. Е кг/мм2 Площадь, мм ЕР ребра, кг

1 7.0е+3 52 364000

2 7.0е+3 59 413000

3 7.0е+3 100 700000

4 7.0е+3 100 700000

5 7.0е+3 59 413000

Согласно программе испытаний планер был закреплен в области крыльев (7=8 шпангоут), к хвостовому оперению был пршгожен ;]футящий ^ момент М2=150, и вертикальная сила 0>у = 1000. Длина отсека от закрепле- / ния до хвостового оперения 3,6 метра.

В главе 2 параграф 2 приведены уравнения Ю. Г. Одинокова, при помощи которых производится расчет тонкостенных конструкций. Они ис= пользовались для решения данного примера. Сначала была решена прямая задача. Получены значения Р - погонных усилий в ребрах и /' деформаций ребер.

Рвпс 4,1„2„ Усиипиш в ребражо

0.0006 г

0.0004 0.0002 о

-0.0002

-0.0006 -0.0008 -0.001 -0.0012

1 2 3 4 5

В данном случае нас интересуют /' так как именно эти величины могут быть замерены в эксперименте. Как и в предыдущих примерах, где рассматривался четырехпоясный кессон, в полученные расчетом значения /' была внесена случайная несбалансированная погрешность в диапазоне

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .; —

---------- 1 --

-

-

111! . . .

Рш<£ 4о1о5о Результат шдштшфпжащшш с регулмрюапцикШо

Видно что результат не соответствует реальной картине и вообще не имеет практической ценности. На рис 4.1.5 то же самое восстановление ЕР, но с применением метода регуляризации. Наилучший параметр а=3.317е-6.

Как видно, метод помогает "выправить" некорректность решения. Полученный результат имеет погрешность в диапазоне ±15-20%, что неплохо при погрешности задания исходных данных /' ±10%.

Во втором параграфе главы 2 показывается, как влияет обусловленность матриц [XI], [Х2] на корректность решения обратной задачи. Из результатов видно, что для рассматриваемой конструкции планера эти матрицы получаются "очень плохие" и без применения метода А. Н. Тихонова получить приемлемые результаты невозможно.

Таким образом, введение задачи в класс корректности может служить одним из методов решения обратных задач. Недостаток этого подхода для практики состоит в том, что для его использования требуется: «удачное» задание априорных количественных ограничений на искомое решение.

-10241

§ 2о Задача шродфлжтшш шлишых и©л©ш„

Численная модель во многих случаях не может учесть все существенно влияющие особенности исследуемой конструкции. В этих условиях определение действительного напряженного состояния натурных конструкций или их моделей возможно только с помощью экспериментальных методов. Современные экспериментальные методы позволяют определять действительные величины деформаций, а также регистрировать силовые, температурные и другие воздействия в условиях натурного или модельного эксперимента. Данные^получаемые при экспериментальных исследованиях, к требуют несколько этапов обработки. Основными из них независимо от вида и характера конкретного эксперимента являются следующие: первичная обработка, которая включает в себя нормировку результатов измерений, статистическую обработку, учет систематических искажений, фильтрацию и т.д., и интерпретация результатов эксперимента с целью получения искомых параметров напряженного состояния как в местах, в которых непосредственно проводятся измерения, так и в зонах, недоступных для прямых измерений. Первичная обработка экспериментальных данных и определение параметров напряженного состояния для зон непосредственных измерений представляет собой традиционную и хорошо разработанную задачу. Вопросы же, связанные с интерпретацией результатов эксперимента для мест, в которых прямые измерения невозможны или трудно ю '' осуществимы, составляет сравнительно новое направление в экспериментальной механике. В практике экспериментальных исследований возможны две ситуации, характеризующиеся тем, что в одном случае удается провести измерения на всей поверхности изучаемого объекта, в то время как в другом по тем или иным причинам измерения возможны лишь на части поверхности. Эти ситуации с точки зрения интерпретации эксперименталь= ных данных имеют принципиальное различие. В первом случае имеющаяся информация о напряженно=деформированыом состоянии всей поверхности позволяет полностью решить вопрос о напряженности исследуемого тела во всех точках его объема. Роль эксперимента в этом случае заключается в формировании граничных условий, которые используются для численного анализа искомых полей в объеме тела путем решения соответствующих краевых задач. Во втором случае, который, как правило, возникает при экспериментальных исследованиях натурных объектов в условиях эксплуа= тации, проведение измерений лишь на части поверхности не позволяет, ос= повышаясь только на данных измерений, сформировать граничные условия и делает невозможным непосредственную постановку и решение соответ= ствующей краевой задачи для определения полей деформаций и напряже= ний в объеме исследуемой детали машины или конструкции. В подавляю» щем числе случаев в силу конструктивных, эксплуатационных или других условий провести измерения на всей поверхности не представляется воз= можным. Обычно ограничиваются детальным изучением напряженного состояния доступных для размещения измерительных средств участков по= верхности, выбранных с учетом предварительного анализа работы конструкции. Однако часто места, доступные для измерений, не являются опре= деляющими для оценки прочности и долговечности, и требуется знание распределений напряжений на недоступных для измерений участках поверхности (в сечениях, по площадкам силового контакта, в некотором за= данном объеме элемента конструкции и т.п.). Как правило, данные измере= ний несут в себе значительно более широкую информацию о напряженно» деформированном состоянии объекта, чем только информация о зонах непосредственных измерений. В связи с этим представляется весьма важным разработка таких расчешо-экспериментальных методов, которые позволядачпш, в которых неизвестные величины восстанавливаются по их проявле= применении методов регуляризации, позволяющих эффективно и матема

Т1 ного состояния возможны лишь на части поверхности исследуемого объеки а/ ния, прогибы и т.п).

Требуется определить значения £(х) в остальных сечениях. Типичный экстраполяция, интерполяция и т.п.). Эти способы широко применяются. сти. Таким образом метод,.применяемый для решения "задачи продолже=

С точки зрения автора всем этим требованиям удовлетворяет метод наименьших квадратов. избавляет нас от исследования совместности заданной системы, так как мы примирились с тем фактом, что не получим точного решения нашей задачи, а только наилучшее решение, возможное при данных обстоятельствах. Если заданная система совместна, то остаточный вектор, полученный ме=

А]{х}={Ь} где [А] ~ не квадратная матрица, а матрица, содержащая гораз= ное состояние балки Тимошенко. Обозначения: ~ перемещения,

0 = 0;

2 = ВЛ¥+— ) )=Е1=Е^/12,

Сх-В

С, сг-в

I X [. ж О x х+С<"+—1Д о

1ГПЛ - ГУх=1 - -

А]{Х}={В} (4.2.1)

Из не© можно получить II, ц/. Они находятся в столбце неизвестных.

Исходные данные. ь 1000 см ч 1.0кг/см

Е 7.2 105 кг/см2

О 2.7 105 кг/см2

Сечение Ь=Ь 15 см

Число расчетных сечений 10. системы (4.2.1) . Кривая ШПереопр., получено решением переопределенной системы уравнений за счет того, что часть значений Ш! были взяты из точного предыдущего решения. Как и ожидалось ^ивые совпали. :/

X, см

Ршс 4.2Х Задача ппродшпжшшш шлшвыж шюлквй« Этот пример показывает что при недостаточном количестве точек где проводились измерения можно вычислить остальные значения методом наименьших квадратов, переопределив систему уравнений с учетом замеров. Видно.что метод устойчив к погрешностям;что и следовало ожидать на основании приведенной выше теории.

Лшпгер&иурао

Введши©

1. Балакирев В. С. Дудников Е. Г. Цирлин А. М. Экспериментальное определение динамических характеристик промышленных объектов управления. =М. Энергия 1967 - 232 с

2. Бикей Г. А. Идентификация систем - введение и обзор. - Механика 1972 №3 с 3-30

3. Гельфандбейн А. Я. методы кибернетической диагностики систем. - Рига. Зинатне 1967 - 542

4. Гроп Д. Методы идентификации систем - М Миз 1979 - 302 с. ю. Ракетная техника и космонавтика 1971 №8 Теория неполных динамических моделей конструкций.

11. Ракетная техника и космонавтика 1988 №11 Оптимальная аппрок= симация для остаточной жесткости при идентификации линейных систем.

15. Ракетная техника и космонавтика 1988 №8 ст 66. Непрерывный метод идентификации гибких конструкций. К. Й. Ли, С. А. Хос= сейн.

16. Сиразетдинов Т. К. методы решения многокритериальных задач синтеза технических систем. М. Машиностроение, 1988. 158 с.

17. Пухов Г. Е. Хатинашвили Д. С. Критерии и методы идентификации объектов. -Киев Наук, думка 1979 190 с.

18. Цыпкин Я. 3. Оптимальные критерии качества в задачах идентификации. -Автомаика и телемеханика 1982 №11 с 5-24

19. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М. Мир тификация нелинейных динамических систем. Дж. Мук.

22. Петров В. Д. Идентификация сложных систем на основе анализа подсистем. В книге. Динамика и прочность упругих и гидроупругих систем. М.Наука 1975 с. 12-17

23. Редько С. Ф. к вопросу об идентификации жесткостей и параметров демпфирования механических систем. В книге Нагруженность и динамические качества механических систем. = киев Наук, думка 1981 с. 165=169.

24. Поулис Гудсон Идентификация параметров систем с распределенными параметраметрами. Общ. обзор. ТИИЭРб 1976, №1, с. 56-80.

25. Александровский H. М. Егоров С. В. Кузин Р. Е. адаптивные сис= темы автоматического управления сложными технологическими процессами M Энергия 1973 272 с.

26. Sanathanan С. К. On the synthesis of spase dependent transfer functions. IEEE Trans. Automat. Contr. 1966 -AC-14, №4, p. 724-729.

27. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотех= нике M Сов. радио 1971 326 с.

28. Голд Б. Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М. Сов. радио 1973 368 с.

29. Раминскас В. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям. Вильнюс. Мокслсас 1982 244с.

30. Крементуло Ю. В. Яковлев В. П. Идентификация динамических объектов по дискретным данным с применением методов теории чувствительности. - В книге Теория инвариантности и теория чувствительности автоматических систем. Киев КВИАВУ, 1971 ч. 3 с. 707=716. зл.Рабинер Л. Голуд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М. Мир. 1978 848 с.

32. Цыпкиы Я. 3. Теория импульсных систем. М. Фмзматшз. 1958 724 с.

33. Ralman R. Е. Design of self = Optimizing Control System. Trans. ASME. 80 №2 1958 p. 468 =478.

34. Яковлев В. П., Вирабян Г. Б. Разностный аналог модальных моделей в задаче идентификации механических систем. В книге дис= кретные и эргатические системы управления. Киев Ин~т киберне= тики АН УССР, 1983, с. 59=66.

35. Димментберг М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М. Наука 1980 388с.

36. Кононенко В. О., Плахтиенко Н. П. Методы идентификации нели= нейных механических колебательных систем. Киев Накова думка 1976 116с

37. Плахтиенко Н. П. Резонансный метод идентификации нелинейных механических колебательных систем. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1982 №2 с31=37

38. Туманов Ю. А., Лавров В. ГО., Макаров Я. Г. К вопросу иденти= фикации нелинейных механических систем. Прикл. механика 1981, №9 с 106=110

39. Stalford Н. L. The ЕВМ system identification technique and its application to hight a/b modeling of aircraft. AIAA Atoms. Flight. Mech. Corf. Mass. 1981 p. 619=625

40. Тихонов А. Н.,Арсенин В. Я. методы решения некорректных задач. М Наука, 1979 =285с.

Глаша !»

1. Одинокое Ю. Г. Расчет тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа и оперения самолетов. Труды КАИ 1946г. с. 39

1. Богомолов А. И., Сиразетдинов Т. К., Решение основной задачи управления методом градиентного спуска. // Изв. Вузов Авиационная техника,№ 1, 1974 г. с. 5-12.

2. Богомолов А. И., Сиразетдинов Т. К., К решению основной задачи управления динамическими объектами. //Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. M Наука 1975 г. с. 62-66.

3. Богомолов А. И., Сиразетдинов Т. К, Дягтерев Г. Л. Аналитическое проектирование динамических систем. Казань, изд КАИ, 1978 г. 80 с.

4. Мартынкж А. А. Техническая устойчивость в динамике. Киев. Техника, 1973 г. 188 с.

4. Алифанов О. M., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М. Наука. 1988. 288 с.

1129.

7. Артюхин Е. А. Восстановление температурной зависимости коэффициента теплопроводности из решения обратной задачи. ТВТ 1981 т19 с963-967.

8. Бугхейм А. Л., Клибанов М. В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач. Док. АН СССР. 1981 Т.260 №2 с.269.

9. Бугхейм А. Л. Ведение в теорию обратных задач. Новосибирск. Наука, 1988. 183 с.

10. Вабищевич П. Н., Денисенко А. Ю. Численные методы решения коэффициентных обратных задач. В сб. "Методы мат. моделирования и вычислительной диагностики" М Изд. Московского института. 1990. с 35

11. Вабищевич П. Н. Метод квазиобращения для приближенного решения обратных задач теплообмена. М. 1991 (Препринт ИБРАЭ АН СССР, №11).

-11512. Вабищевич П. Н. Метод квазиобращения для эволюционных уравнений второго порядка. М. 1991 (Препринт ВЦММ АН СССР, №26).

13. Вабищевич П. Н. Разностные схемы метода квазиобращения для волюционных уравнений второго порядка. М. 1991 (Препринт ВЦММ АН СССР, №25).

14. Евдокимов Ю. К. Распределенные измерительные среды. Дисс. Казань, ЮГТУ 1995.

15. Иванов В. К., Васин В. В.Данана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М Наука 1978. 206с.

16. Искандеров А. Д. Обратные краевые задачи для определения параметров фильтрующихся сред. Известия АН АзССР. 1971 №2 сЗО.

17. Клибанов М. В. Единственность решения двух обратных задач для системы Максвелла. ЖВМ и МФ. 1984. Т26 №7 с. 1063

18. Клибанов М. В. Обратные задачи в "целом" и карлемановские оценки. Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20 №6 с. 1035 ния. 1984. Т.20 №11 с. 1947

20. Клибанов М. В., Данилаев П. Г. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобращения. Док. АН СССР 1990. Т310 №3 с 528

21. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М Наука 1980 286с

22. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск. Наука 1982 88с

23. Лаврентьев М. М.,Васильев В. Г.,Романов В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск. Наука 1969 67с

МГУ. 1987 216с.

28. Морозов В. А. Регулярные алгоритмы решения некорректно поставленных задач. М. Наука. 1987 240с.

29. Романов В.Г., Обратные задачи математической физики. М. Наука 1984 263с.

30. Самарский А. А. Теория разностных схем. М. Наука 1977. -655с.

31. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Разностные методы решения мах. ЖВМ и МФ. 1961 Т1 №1 с5-63.

33. Тихонов А. Н.,Арсенин В. Я. методы решения некорректных задач. М Наука, 1979 -285с.

34. Тихонов А. Н.,Гончаровский А. В. Степанов В. В. Ягола А. Г. Ре-гуляризуюшие алгоритмы и априорная информация. М. Наука, 1983. 200с. и МФ. 1986 Т26 №5 с.780.

36. Хайруллин М. X. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации. Док. АН СССР 1988 Т299 №5 с. 11081111.

41. Абасов М. Т., Азимов Э. X.,Ибрагимов Т. М. Об одном решении нестационарной обратной задачи при нестационарной фильтрации нефти и газа в пласте. Док. АН СССР 1991 ТЗ18 №3 с566

42. Данилаев П. Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. Казань: Изд. Казанского математического общества, Изд. УНИПРЕСС, 1998. 127с.