автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное решение задач о свободных колебаниях составных осесимметричных тел

доазсод госуларглвшлЛ жззчгзгзг eseî пз.?ш??с

На правах руксгаск УДК 517.958:539.3

КССС£К ОЬГА СЕЯТОСйЕСЕНЛ

ЧКЛШЮЕ FECÎWiS ЗАДАЧ О СВОБЩШХ КОЛЬОШ СОСТАВНЫХ ОСЮШШРИЧШХ ТРЛ

Специальность CS.13.16 - пркменетиз вычислительной тзхники, математического моделирования и математических иетодов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соясканнз ученой степени кандидата фгз'.жо-штег'лтичзских наук

ЛЬВОВ - 1991

Работа сагоякона на кафедре ор^хкэдиой иатенатики Львовского государственного ук-.:ь,г;;.;г.^ата жи. Иваиа Spaimo

Науч:пй руководитель:' докт-jp физшсо-иатем&тнческих наук, профессср САВУ/А Я.Г.

0£щиа.чшне оппоненты: доктор технических наук,

ил.-кор. АН Украины ГРИГОРШО Я.М.,

доктор физико-математических наук, профессор ВОЙТОВИЧ H.H.

Ведуцов предпркятио: Киевский государственный

университет имени Т.Г.Шевченко

Зацета состоится ".4^." .....РА......1992 г. в часов на эаоедании специализированного совета К 068.26.12 во Львовском государственной университете ии. Ивана Франко (29X02, Львов, у л .Униворситетская, I, ЛГУ, е.уд. • ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Львовского государственного университета.

Аьторефорат разослан .....4?:...... Т991 г.

УченыЭ сехрстар специализированного совета

Б.А.Сстудин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В современном машиностроении, прибо-''ростроении, строительстве применяются конструкции, кмекхзо фор:«у тел вращения и содержащие тонкостенные я массивные элементы. Поскольку они как правило работают в условиях нестационарна, п::брац:-!сш-',к нагрузок, представляется важной проблема определения частот к форм их свободных колебаний. Ресение- этой проблемы дает псзмсшость получить ииформец'/п аг;е па стадии проектирования, предупредить возникновение весьма опасных с точки зрения прочности и надежности конструкций, резонансных явлений.

Задача определения частот и форм свободных колебаний упругих конструкций является достаточно сложной проблемой математдаесксй физики. Ее решение традиционными аналитический! методами связано со значительными трудностями, а зачастую и неосуществимо. Более целесообразны;,! представляется применение численных методов ч ЭК, позволяющее не только определять виброчастотные характеристики сложных конструкций, но и автоматизировать сам процесс расчета, уточнять математические модели и т.д., т.е. проводить вычислительный эксперимент.

При расчете задач о свободных колебаниях прослеживаются два подхода. В первом массивные и тонкостенные конструкции ксследуит-ся на основе уравнений трехмерной линейкой теории упругости. К' настоящему времени имеются многочисленные публикации, б которых в пространственной постановке с помощью численных методов проводятся исследования свободных колебашй упругих тел. Расчетные схемы исследования колебаний конструкций, полученные из уравнений трехмерной теории упругости, используются з работах Я.М.Григорен-ко, Е.И.Беспаловой, А.В.Китайгородского, А.И.Шинкаря, С.И.Богомолова, С.С.Луценко, С.А.Назарекко, В.Н.Кислоокого, А.Д.Легсстаева, А.С.Сахарова и др. авторов.

Достоинствами подхода, использующего трехмерные уравнения теории упругости, является его универсальность, предполагающая возможность точного описания 'тел сложной геометрии, Однако, для получения достаточно точных результатов необходимо прилегать густые сетки конечных элементов, или хе аппроксимации высоких порядков точности. Недостатком такого подхода является,то что для получения достаточно точных результатов необходимо еылолнять

большие объемы вычисления, что требует привлечения больших ресурсов ЭВМ.

В той случае, когда конструкция состоит лишь из тонкостенных фрагментов, можно рассмотреть'второй подход. Он характеризуется тем, что расчет задач о свободных колебаниях в применении к тонкостенным телам производится на основе двумерных уравнений теории оболочек. Исследования задач о свободных колебаниях оболочек проводились в работах И.Я.Амиро, Е.И.Беспаловой, В.В.Болотина, Б.Н.Бублика, А.Т.Василенко, А,С.Воль мира, А.Л.Гольденвейзера, В.С.Гонткевича, Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, В.И.Гуляева, В.Ы.Даревского, В.А.Заруцкого, А.Б.Китайгородского, А.В.Кармишина, Ы.Ф.Копытко, Ю.П.Жигалко, В.Б.Лвдского, В.П.Мальцева, В.И.Мячен-кова, Л.М.Огибалова, О.Д.Ониашвили, Н.Д.Панкратовой, В.Н.Паймуши-на, С.Я.Петрушенко, Я.Г.Савулы, П.Е.Товстика, А.П.Филиппова, В.Фляге, А.И.Шинкаря и др.

Применение соотношешл1 теории тонких оболочек для расчета тонкостенных конструкций позволяет избежать те трудности вычислительного характера, которые возникают в случае применения численных методов непосредственно к уравнениям трехмерной теории упругости. Тем самым несколько расширяется класс конструкций, которые можно расчитать, опираясь на существующие в настоящее время вычислительные средства. Однако, надо отметить, что теория оболочек в ряде случаев неприменима для расчета конструкций, включающих в себя тонкостенные и массивные элементы. Применение ке для расчета частот и форм колебаний таких конструкций трехмерных соотношений теории упругости связано с большими вычислительными затратами, что моает быть оправдано лишь для отдельных массивных участков конструкции. Поэтому развитие подхода, в котором используются две теории одновременно, представляется актуальный. В этом случае составная конструкция разделяется на массивные фрагменты, которые описываются трехмерной теорией, и тонкостенные фрагменты, описываемые теорией оболочек. Строится комбинированная модель "упругое тело - оболочка". Ключевым для таких моделей является вопрос о сопряжении фрагментов конструкции, описываемых различными теориями. В райках МКЭ ята проблема решается рядом авторов путем введения специальных переходных элементов ( transition finite element которые представляются собой.естественное соединение тле-ментов трехмерного и оболочечного типов. В этом направлении для.

решения задач статики необходимо особо отметить работы Зигапа Кагапа 5.« С.А.Акгашша, Г.Л.Никишкова, Б.Д*Дробенко, Оао И., СИ;1р11;:1^1и К. , и др.

В работах С.А.Капустина, А.Н.Лаутова, Д.Н.Щуваева и др. коы-бинированная модель для решения задач статики записана в виде замкнутой системы дифференциальных уравнений с граничными условиями на границе области и условиями сопряжения на поверхности сопряжения.

В работах Я.Г.Савулы и А.В.Дубовика построена комбинированная модель для решения задач статики тонкостенных пространственных конструкций. Здесь записан функционал потенциальной энергии со штрафом, минимизация которого эквивалентна решению.краевой задачи комбинированной модели.

Вопросы расчета колебаний элементов механических систем на основе комбинированных моделей рассмотрены в работах О.Ф.Бориски-на, В.В.Кулибабы, О.В.Репецкого, Ф.Съярле.

Для решения задач о свободных колебаниях тел вращения эффективно применяется полуаналитический метод конечных элементов (ПМКЭ), весьма близкого к методу Л.В.Канторовича. Согласно -ШИЗ перемещения в теле представляются в виде ряда 5уръе т> полкой системе тригонометрических функций вдоль окружной переменной. Ш другим переменным применяются кусочно-полиномиальные квадратичные аппроксимации МКЭ: одномерные для теории оболочек и двумерные для теории упругости.

С помощью ГО4СЭ задача о свободных колебаниях конструкций вращения приводится к обобщенной проблеме на собственные значения для матриц больших размерностей.

Целью настоящей работы является:

- разработка нового подхода к решению задач о свободных колебаниях составных тел вращения, содержащих тонкостенные и массивные фрагменты, основанного на комбинированной модели "упругое тело -оболочка типа Тимошенко"; ,

- построение схем и алгоритмов полуаналитического метода конечных элементов для решения задач о свободных колебаниях составных тел вращения;

- создание на основе разработанного алгоритма проблемно-ориентированного комплекса программ для расчета собственных частот и форм колебании составных тел вращения;

- ь -

- проведение численных экспериментов по исследованию сходимости и точности разработанных численных методов решения задач на собственные значения;

- исследование частот и форм 'свободных колебаний ряда конструкций, имеющих важное практическое значение. •

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

- построен вариант разрешающих уравнений комбинированной модели "упругое тело - оболочка типа Тимошенко" для исследования частот и форм свободных колебаний составных тел вращения, содержащих тонкостенные и массивные фрагменты;

- построены и исследованы функционалы комбинированной модели бег штрафа и со штрафом, получены уравнения Эйлера соответствующих функционалов-;

- в осесимметричной постановке для случая массивного тела^сопря-женнсго с цилиндрической оболочкой,доказана положительная определенность оператора комбинированной модем со штрафом и сходимость решения этой ?адачи к решении комбинированной модели без штрафа;

- в рзшах комбинированной модели разработан единый подход для решения задач о свободных колебаниях составных тел Бргщзкчя;

- на тестовых примерах, имеющих решения, полученные другими методами, исследована точность и сходимость построенной схемы, получены апостериорные оценки, проведено сравнение результатов;

- составлен комплекс программ для определения частот и форм свободных колебаний составных тел вращения;

- исследованы сложные инженерные констр>Ыции вращения, содержа- • щиз тонкостенные и массивные фрагменты»

Достоверность научных результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием ислользуемых вариационных постановок для решения задач о свободных колебаниях и разработанной схемой метода конечных элементов; сравнением полученных решений для тестовых примеров с аналитическим решением, анализом приближенных решений, полученных на разных конечноэлементных сетках, сопоставлением с результатами, полученными по теории упругости и с экспериментальными данными.

фактическая ценность работы заключается в создании и реализации на ЭВМ эффективного подхода к определению частот и форм

свободных колебаний составных тонкоетек"* и уассишщх :сс::с?ру:!-:г.й ^".'"Ггг.-л слояюй гчотгатрии, создания программного обьспечэ-нил длк репеккя и аншаза рассиатргпга'згкх задач. Ддссзртецхя пелкена а разках планов иаучпнх псслздовввий, госбгДасе?ксй я хоздоговорной теыатикл кафедры прикладной нате1га.ип-с!, Республиканской комплексной научно-технической програг-саг "Цатариалоемкооть", утвержденной псстапоилсниеи Совета министров УСС? о? II.G7.Ko5r.

250. Некоторые результаты внедренн в практику пнзгнернсго проектирования ча научно-производственном объединении. "СРИИ" (г.Москва).

Созданное программное обеспечение молет применятся при расчэ-те частот и ферм свободных колебаний пнрэксго класса составных тонкостенных и массивных конструкций.

Анробаш'я работы. Основные положения и отдельные результаты . диссертационно:': работы дсхлодшзалксь я обсуэдалясь на слздуг^п: чаучных се'сжарах а конференциях: секанаре-совецаиии "Проблеха оптимизации б машиностроении" (Харьков, 1966 г.), на 3 Всессзснп семинаре-ссве-дании молодых ученых "Актуальные прсблвгы механика ■ оболочек" (Казань, 1988 г.), Всесоюзной, сколе-семинаре "Прогяаш!-псе обеспечение прочностных расчетов слсгкых маЕннострснтелыих конструкций" (Москва, 1989 г.), Школе «олодых ученых "Численныа методы механикй сплопиой среды" (Абакан, 1939 г.), конференции / "Спт1мальное проектирование неупруг:1х элементов конструкций" (Тарту-Кяэрину, 1939 г.), ХУ научной конференции молодых ученик (Киев-йийлоз, 1990 г.), ХУ1 научной конференщш молодых ученых (Киев-Кийлоз, 1991 г.), на а Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур" (Львов, 1991 г.).

Диссертационная работа в целом обсуздалась на научном се:-й-наре кафедры прикладной математики ЛГУ, проблемном семинаре факультета прикладной математики.

Публикации.Основное содержание диссертационной работы отражено в 9 статьях и тезисах докладов конференций.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из 163 страниц текста, в том числе 19 рисунков, 12 таблиц, и библиографический список, вклкчаюдий 155 наименований литературных источников советских и зарубежных авторов.

КЙМКСЕ Д^ЕРГАЩШ

Во плод«;!";;: кратко анализируется современное состсш:пз проблем расчета сестаиых тонкостенных и иассиьних конструкций врсце-нея, приводится обзор работ по тепе диссертации, обосношвается вааюсть и актуальность вопросов, состаеЛякцих предает изучения.

оснозныо научные результаты, которые выносятся на эадр!ту. Дана аннотация диссертации по главам.

В парной ггаао приведена раэрвсаизуав уравнения линейной теории сболочег типа Ткусзэгао и линейно.! теории упругости. Для них аапасака вариационные постановы! задач о свободных колебаниях для тел срс^гшш. Построена разрешавшая система комбинированной подола "упругое тало - оболочка типа Тимошенко". Пусть тело вращения заыикао? область ££ = Тогда задача о свободных коле-

баниях предлагаемой комбинированной модели включает в себя след/а-с?зо соотношв!шя: •

- соотнозения теор:га оболочек типа Тныошекко, действующие в обДас-

^сЙ!»^6^; соаМ(<,аш - о ; ( I )

«М»*^; (2)

е<° С Бс?и.и,; оС^^./о)

- соотношения трехмерной линейной теории упругости, действующе в части области £2 я и аьа.

= {г,г,г 6 обу»<а«} ;

оти>Ц.и) -о: ( 4 )

= СШ£1М; ».г.^йа; ( 5 )

^ - и^ • (6 )

однородные гракг-зшэ усяотая на частлх гранзц Г\ LL? - аГ^-О i-

, Га

( 7 ) (8 ) ( 9 ) ( 10)

- условия упругого сопряжения на поверхности сопретення

Г™ = as г = {cit,^> с. rfcw, - Va } ;

= (in

^(o^G? QlV'MoC, = G^V1»; < */■>

где

q; u.)-

i о о Ы.3 о О i О О e/3 О О -i О О

Здесь через o£t , ^ обозначена система ортогональных координат области £?.; t , "Z. , у система цилиндрических координат области ( f - окружная координата); через

обозначена толшрша ^области 52.*. , которая значительно

- неизвестная круговая , _ матрицы дифференциальных операторов; С(1) , С{а> , Mt0, М(1> - матрицы физиччсйог констант. Викторы U.tl> , , £u>, 6U> , rfw , tf w перемещений, деформаций, усилий-моментов и напряжений имеют вид

тп. оиозначена толщина иидасти меньше других размеров 52* ; со частота; , Ъ? , , Ъ? -

т 10 -

cW.fji*« £<*> с») „.CD

- ь ~vcti» » bts> J

- = ( , , ¿ , г )T ;

* U,= (T«, T«, Q1", Q't K1* M^ HU) )T;

На грашщш: Г, « íT U Г?*и Г?4 и Г, = Гаи'U U П областей íáí. и заданы соотвгтственно триедры t^. , ,

И Л , ^ , ^ ( "t-в » - нормаль к такгенци-

альная нормаль к срединной поверхности cío ='0); G,c" ,

, G1" - матрицы направляющих косинусов триедров. На по-

Г11 •

а. между ьектооаыи задана зависимость = - "Ь1. > == -, V5 = "hjN Исходя из вариационных задач теории оболочек типа Тимошенко и теории упругости, записаны вариационная, задача комбинированной модели

Г( U.) — nain. при условии ^ U.T M U dSÔ = 1,( 13 )

Ru.) U.(°)TEoC^D" uí'Míí?,. f ^(ь'^ц'^С^В^'Чйг на множестве векторов

удовлетворяющих соотношениям (8), (10), (II), а также вариационная задача комбинированной модели со штрафов

Fo^U.^—nxln. при условии И ixdiô = i,( 14 )

Petite) =P(ae)4

на множестве векторов *U.(t)£L HW(ííí?t}J5. LLu)g[H(0(Q2)],J удовлетворяющих лишь условиям (8), (IOi.

Получены уравнения Эйлера функционалов (13), (14). Показано, что задача о свободных колебаниях эквивалентна вариационной зада-

че (13) ¡три дополнителы-зк условиях на повер;жостя сопряжения, с также эквивалентна вариационной задаче (14) при допояитс-та'.с?.: условии стремления к нулю параметра штрафа Ö

Рассмотрен частный случай задачи о свободных колебаниях массивного уела, сопряженного с цилиндрической оболочкой, в эсесим-кетричной постановке. СформулироЕэны вариационные постановки комбинированной модели со аграфом

F0(uebmln.,u0e.v прЯ (Ма0,= i, 0^0,0>о, ( is ) .Pa (u.o) = ( A0LU, u.e)- (A UQ, ue) + (A(,)ue,аe), -(Aucu.oM A(V?, ) + {А< V?, ), . (Mllö,u-o) - (m'VJ, (Mwa1?, *<?). V-{ue-(a?fu.1?):

. ЙбЕН^ЙЛ', s[Hw(<№, USq-О, . uSU -о',

= t OioCiit}, = < W,z];

и без штрафа • '

F(a») — mir., u»€V* , (Mu„ii,)sl, (16).

u^u^vOS). iL^iu'J.a«),

= W^Vo) „«. Га1'} }.; - Va s сС, й Va .

В (15)-(16) под 52ц, понимается срединная поверхность цилиндрической оболочки радиуса R , длины . -

толщина оболочки, А14 , АС - матрицы дифференциалы'шх операторов теории оболочек типа Тимошенко и теории упругости.

- нграфкое слагаемое; М^ , Мь - матрица фа-зкчьских констант, граница прямолинейна. Обозначим

через СО а » - иинниальные значения функционалов ПЛИо) ,

Г (и.*).

Имеют место следующие теореш.

Лемма. Операторы комбинированной математической модели Д.© и М _ симметричны

(Ава,а) = (а. Аеа), Уй еу , (МаД)»(и,Ма).

Теорема I. Операторы комбинированной модели А б и М положительно определены

(Агва,и.) > с^йайЦ , (Ми., и.) > сЦ|иХ>й ,

где

я u. = £(uf+ <) dffi, 4- $(uf+ W«^«* ) doC»

Теорема 2. Решение задачи о свободных колебаниях комбинированной модели со штрафом сходится к решению (О** комбинированной модели без штрафа

( О* - — о- , 0 —0

Теорема 3. Для любого к -го собственного числа опвратора комбинированной модели со штрафом <0*в имеет место-неравенство

^ «кв ,

где - к -ое собственное число оператора комбинирован-

ной модели без штрафа.

Вторая глава посЕящена разработке единого подхода к-построению схемы ШКЭ в рамках комбинированной подели для решения задач о свободных колебаниях составных тел вращения. Согласно ПШЭ перемещения в теле представляются в виде ряда Фурье по полной системе тригонометрических функций вдоль окружной переменной. Но другим переменный применяются кусочно-полиномиальные аппроксимации ЫКЗ.

Меридиональные сечения S2im и Sàtn областей и

разбиваются соответственно на одномерные и двумерное квадратичные КЭ QjMi. Искомые вектора перемещений на ffi 1И1 и

12МГЯ ЕВД

и? - г: ФГЬГЛ

т*о у

<5> - V М<а)лЮ

' ГГЦ,

лю л» ^

где . С^т!, - столбцы неизвестных узловых значений компонен-

тов векторов и ; ф^ и Ф^ - матрицы, составлен-

ные из тригонометричесюк функций, которые составляют на промежутка Г0,25:] полную ортогональную систем функций; , Ы1*'-блочно-диагональные матрицы слпроксимациог.ных полиномов.-

Благодаря введению условий упругого сопряжения (II), (12), схема Е.КЭ комбинированной модели свободна от. необходимости использования переходных элементов. Сопряжение мезду телом 5?!а и оболочкой 1 осуществляется путем стыковки конечных элементов и в узлах, геометрические координаты которых созпедавт.

Для минимизации функционала со штрафом (14) поверхность сопряжения разбивается на поверхностные КЭ, на которых вектор . перемещений в узлах сопряжения представляется в виде

= ф™ N ч/Г .

Учитывая (18), штрафное слагаемое функционала (14) представляется в виде квадратичной формы

где (ч'м - матрица размерности [ 14x14] • (^'т?Я-'п!)" вект0Р угловых неизвестных на границе сопряжения. • .

Минимизируя функционал (14) с учетом ортогональности базисных функций на промежутке [ О, , приходим к- Ь обобщенным проблемам на собственные значения

Ком ^«п - "в Мо^; » 0 , пг=0,1,...,ь , ( 19 )

которые решаются методом итераций в подпространстве.

Здесь Кет и Мет" матрицы жесткости и масс, .

На тестовых примерах, имэганри аналитическое решение, проведено детальное исследование точности и сходимости построенной, схемы. Приведено сравнение частот, полученных по теории оболочек

типа Тимошенко и линейной теории упругости с аналитическим решением; получены апостериорные сценки.

На примере расчета е-плошного цилиндра, сопряженного с польм ¡¡илиадром (рисЛ) исследуется зависимость собственных, частот

0ü>o/2iX от параметра штрафа Р . Для этого из-примера приведено сравнение решений, получении* по комбинированной модели со ¡играном и по теории упругости -i.у (табл.1).

В третьей глазе описаны оснсвные характеристики программного комплекса. COMB .ориентированного ьа решбиие задач о свободных колебаниях составных тел вращения и реализация их основных этапов на основе схем П?Ш. Приводятся некоторые характеристики и описываются возможности программных мод-лей. Все модули записаны ка алгоритмическом языке Фортран. Работа комплекса организована в рамках операционной систеш ОС для ЭКЛ серии ВС.

Для всех конструкций, приведенных в глазах 2 и 3, об'^ем входной информации сведен к- минимуму и определяется полностью инженерной документацией длч рассматриваемых объектов.

Основные общие этапы вычислений на основе исьользозанил полуаналитического метода конечных элементов при решении рассмотренных задач представлены на структурной схеме программного комплект са COMB (рис.2).

В этой же главе рассмотрены задачи сб определении частот и форм свободных колебаний сложных составных оболочек вращения, встречающихся в инженерной практике. Исследована зависимость ре-пения .'от сгущения сетки КЗ.

Построенная комбинированная модель используется для расчета сложной конструкции вращения (рис.3), которая содержит одновременно массивный и тонкостенные фрагменты. В табл.2 приведены значения частотного параметра X к для различных способов зак-_ репления массивного участка конструкции. Это решение получалось при разбиении данной конструкции на 28 двумерных и 27 одномерных квадратичных КЗ, система уравнений включает 605 степеней свободы. Общее время использования центрального процессора ЭВМ ВС 1045 для получения решения задачи по комбинированной математической модели составило II минут времени работы центрального процессора.

В заключении сформулированы основные результаты и приведены некоторые выводы:

I. Исходя из соотношений линейной теории оболочек типа Тимо-

W Й ß

^ m

Pu С. S.

a ~г

Pue. 3.

m. теория упругости КМ Q = i-i0*14 Лк КН 9=1* 10"1Ь JU КМ e« i-io'u ■ X*

• 0 0.6419 I04 0.7449 I04 0.3551 Ю5 0.5457 Ю5 0.6420 I04 0.7443 I04 0.3551 Ю5 0.5448 Ю5 0.6421 гФ 0.7444 I04 0.3551 Ю5 0.5449 Ю5 0.6544 I04 0.7444 IOjf 0.3551 IO5 0.5449 IO5

i 0.7036 I03 0.7805 I04 0.2II5.I05 0.40II Ю5 0.7С23 I03 0.7790 Ю4 0.2109 Ю5 0.3996 Ю5 0.7024 Ю3 0.7790 Ю4 0.2109 Ю5 0.3996 Ю5 0.7092 IO3 0.7799 IO4 0.2II0 I05 0.4001 IO5

2 0.9655 IÖ1 0.1979 I05 0.3342 I05 0.4852 I05 0.9617 I04 0.1964 I05 0.3307 I05 0.4792 I05 0.9618 I04 0.1964 I05 0.3308 Ю5 0.479Ö 105 0.9643 IO4 0.1973 IO5 0.3324 IO5 0.4818 IO5

Табл.2

m KM жесткое защемление по AB KM Xк жесткое защемление по DfT км Xk жесткое защемление по CT) .

0 0.3994 IO4 0.5222 IO4 0.1006 IO5 0.1209 IO5 0.5944 IO4 0.1060 IO5 0.1207 IO5 0.2816 IO5 O.iOIl IO5 0.1208 IO5 0.3158 10® 0.4536 IO5

i 0.I4I5 IÖ1 0.3691 IO4 0.7547 ICf4 0.9693 IO4 0.1433 IO4 0.8929 TO4 0.1120 IO5 0.2221 IO5 0.1456 IO4 0.9591 IO4 0.2262 IO5 0.2790 IO5

2 0.5583 IO4 Ö.I872 IO5 0.2159 IO5 °.2352 IO5 0.1982 IO5 0.2159 IO5 0.2417 IO5 0.2899 IO5 0.2159 IO5 0.2416 0.2919 IO5 0.3420 IO5

шенко и линейной трехмерной теории упругости выполнена постановка задачи о свободных колебаниях комбинированной математической модели. Записаны функционалы комбинированной модели без штрафа и со штрафом, для которых получены уравнения Эйлера. Показано, что задача о свободных колебаниях эквивалентна вариационной задаче без штрафа с дополнительными х^раничными условиями на'поверхности сопряжения. Здесь же показано, что задача о свободных колебаниях •эквивалентна вариационной задаче со штрафом при дополнительном условии стремления к нулю параметра штрафа.

2. Для случая массивного тела, сопряженного с цилиндрической оболочкой в сзесимметричной постановке-доказана положительная определенность оператора комбинированной модели со штрафом, а также доказана сходимость решения комбинированной модели со штрафом

к решению комбинированной модели без штрафа при параметре штрафа, стремящемся к нулю. Для этого же случая показано, что собственные числа оператора комбинированной модели со штрафом не превышают собственных чисел оператора комбинированно!* модели без штрафа.

3. Разработана и реализована в виде комплекса программ для ЕС ЭВМ схема полуаналитического метода конечных элементов решения' задач о свободных колебаниях пространственных составных тонкостенных и массивных конструкций вращения на основе комбинированной математической модели "упругое тело - оболочка типа Тимошенко".

4. На тестовых примерах{ для которых известны аналитические решения, показана хорошая сходимость и высокая эффективность ехд-

шэ.

5. На модельной задаче о свободных колебаниях сплошного ци-' линдра, сопряженного с полым, подтверждена правильность функционирования разработанного программного комплекса, а также исследовано влияние величины параметра штрафа на решение. Приведено сравнение результатов, полученных по теории упругости,с результатами, полученными по комбинированной модели. Из этого сравнения следует, что комбинированная модель позволяет получить результаты•требуемой точности при существенно меньших .затратах ресурсов ЭВМ в сравнении с затратами, требуемыми для решения трехмерной задачи теории упругости.

6. Предложенная методика представляет возможность' успешно решать задачи о свободных колебаниях для многосвязных оболочечных конструкций. Проведены расчеты частот и форм свободных колебаний

сложных инженерных приборов, а также исследована зависимость решения от сетки КЭ.

7. Расчет состазной конструкции Еращения, содержащей тонкостенные и массивные фрагменты демонстрирует эффективность применения комбинированной модели. Результаты расчета этой конструкции хорошо согласуются с инженерными оценками. Проведено исследование завчсимо'сти частот и форм свободных колебаний от способа закрепления массивного фрагмента.

Ь приложении'представлены документы, подтверждающие .внедрение научных разработок в инженерную практику.

ОСНОВНОЕ ЮЛОЖЕНЖ И РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЩХ РАБОТАХ АВТСРА:

1. Дыяк И.И., Коссак О.С. Многокритериальная оптимизация термоупругих напряжений в объектах сложной геометрии // Тез.докл. конф. "Оптимальное проектирование неупругих элементов конструкций". - Тарту-¡Сяэрику, I9Ö9. - С. 26-27.

2. Дыяк И.И., Коссак О.С., Савула Я.Г., Шиькаренко Г.А. Расчет и оптимизация термонапряжекий в паянных силовых полупроводниковых приборах // Теоретическая электротехника. Межведомственный республиканский научно-технический сб. IS90. '- № 48. - С. 24-29.

3. Копытко М.Ф., Коссак О.С. Исследование .динамических характеристик составных оболочек методом конечных эчементов // Актуальные Ьроблемы механики оболочек: Тез. докл. :Ш Воесоюзн. совещания-семинара молодых ученых. - Казань: КИСИ, 1988. - С. 29.

4. Коссак О.С, Численное решение задач о свободных колебаниях составных оболочек вращения / Львов., ун-т. - Львов, 1989. -23 с. - Деп. в УкрНИИНГИ 1.03.89, № 644-Ук89.

5. Коссак О.С. Численный анализ условий сопряжения составных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью // Вест. Львов, ун-та. Сер. мех.-мат. - 1990. - Вып. 33. - С. 31-37. На укр. яз.

6. Коссак О.С. Численное решение задач о свободных колебаниях осесимметричных тел на основе моделей теории оболочек типа-Тимошенко и теории упругости // Тр. ХУ науч. конф. мол. ученых Ин-та механики АН УССР, Киев, 29 мая - I июня 1990. 4.1 /

АН УССР. Ин-т механики. - Киев, 1990.

Кссоад О.С., Царбаtu'J П.В. Згзлздоаагш» дгзгяйгачеегтнх пus coorasK« и&ожочох zpszpsw гахугиалгтячвсяса кзтедоа ко-нслсвс -».ггггкзэтез // Тез. донг, еж оды иол. ученых "Чпгленшэ азтеда механики сгогошой среды". - Абакан, I9S9. - С. 8I-S2.

, Савула Я.Г., К ос сак О.С. Анализ собственных часто? кевгбжнро-заяноЯ модем // Вестник Львов, ун-т®. Сор. ыех.-ыа*. - IS9I.-Вил. 35. - С. 90-96. На у:-ср. яз.

, Савуда Я.Г., Коссак О.С., Щербатый Н.В., Дыяк И.И. Иссладовапза свободных колебаний конструкций на основе комбинированной модели // Тез. долл. а Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур". - Львов, 1991. - С. 294.

Полл, я печати /л з/, формат 60х8Ч1/16 Букага тиисграф. Й 2. Офс. пвч. Усл.печ. л У Усл.крас.-отт. 1 . Учвтио-изд. д (¡«

_Тираж /00 акз, Зак. Бесплатно

_Л [И ¿90646 Львов-» 3. Цирз. 12_

• Участок оперэгдвноИ печати опытного завода ЛГИ Львов, ул. 1-го Кая, 236