автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование взаимодействия газа с мягкой оболочкой

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАЧКИШ НАУК

На правах, рукописи

КУЗНЕЦОВ Виктор Борисович '

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГАЗА С МЯГКОЙ ОБОЛОЧКОЙ

05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1992

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В газовой динамике существует широкий класс задач, где решение трудно или невозможно получить, опираясь лишь на чисто эйлеровы или лагранжевы численные подходы. К ним относятся, например, такие задачи, как взаимодействие мягких оболочек с газом. Легкость, прочность, способность к сильному и быстрому формоизменению, компактность упаковки, сравнительно небольшая стоимость, широта параметров и диапазонов применения выделяет мяг-кооболочечные конструкции - парашюты среди других средств спасения, торможения, стабилизации и управления спуском авиационной и космической техники.

Развитие этой области знаний диктует необходимость детального исследования динамических и•прочностных характеристик проектируемых объектов. Несмотря на кажущуюся конструктивную простоту,мяг-кооболочечнне конструкции представляют собой сложные 'аэроупругие объекты, трудно поддающиеся математическому моделированию. Для этого необходимо привлекать нелинейные уравнения аэродинамики, теории упругости и динамики полета и интегрировать их совместно.

Для решения подобных задач необходимо применять смешанные эй-лерово-лагранжавы (СЭЛ) численные методы, в которых изменение сеток «естйо не связано с движением среды. При этом возможности подхода СЭЛ переменных становятся тем больше, чем меньше ограничения на изменения сеток в два последующих .момента времени счета.

. В связи с этим создание методики и комплекса программ по решений задач взаимодействия мягких оболочек газом с возможностью расчета на изменяющихся криволивейных сетках разной топологии является актуальным.

цель» настоящей работы является моделирование процесса сильного взаимодействия газа с мягкой оболочкой при учете ее напряженно-деформированного состояния и формоизменения на основе совместного решения нелинейной системы уравнений .-азовой динамики и деформаций мягкйх оболочек с соответствующими начальными и граничными условиями.

Ноанэиа работы. Для моделирования процесса' сильного взаимодействия газа с мягкой оболочкой в широком диапазоне скоростей па-

бегающего потока '(от дозвукового до сверхзвукового) применен подход, основанный т решении системы нелинейных дифференциальных уравнений в чамнкх производных с нелинейными граничными условиями на поверхности контакта оболочки парвшюта с газом на сетках изменяемой тополог««. Использовались сетки, подстраиваемые под изменяющуюся поверхность контакта газ-оболочка. Пересчет решения на сетки изменяемой топологии проводился методом консервативной интерполяции с глобальным и локальным, сохранением интегральных значений массы, импульса и энергии. Такой подход позволил впервые рассмотреть процесс сильного взаимодействия гэга с мягкой оболочкой при больших формоизменениях и перемещениях обтекаемой конструкции.

достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью математической постановки, тщательной отработкой методики на задачах обтекания конструкций разнообразной геометрии при потоках с числами Маха от 0.05 до 3.0; исследованием практической сходимости решений как для газа, так и для мягкой оболочки; отработкой метода консервативной интерполяции на тестовых задачах; удовлетворительным совпадением результатов расчетов с аналитическими, экспериментальными и численными данными других авторов.

Практическая значимость работы., Результаты проведенного теоретического исследования процесса сильного взаимодействия газа с мягкой оболочкой могут быть использованы в качестве основы для разработки инженерных матодов проектирования перспективных парашютных систем.

внедрение результатов. Полученные результаты использованы при разработке перспективных парашютных систем в НИИ парашютсстроения (г.Москва).

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсужда-> лись на конференциях и семинарах. Среди них: Семинар академика Рв-хмвт^лина Х.А., НИИ механики МГУ, гДосква, 1984; Семинар академика Самарского А.Д. К8фвдры вычислительных методов факультета вычислительной математики а кибернетики МГУ, г.Москва, 1984; 71 Всесоюзная школа "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", г.Горький, 1986; Всесосзнвя летняя школа по теории взаимодействия упругих оболочек с кидкостью, газом и твердим деформируемым телом, г.Казань, 1986;

VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, г.Ташкент, 1986; Семинар ФИАЭ им.И.В.Курчатова под рук. д.ф.-м.н. проф.Трощиева Б.Е., г,Троицк, 1987; Семинар на фекультете аэродинамики Нанкинского авиационного института, г.Нанкин, КНР, 1990; Семинар академика Рыжова А.И., МАИ, г.Москва, 1991; Семинары'отдела механики сплошной среды КФТИ и МММ КНЦ АН СССР, 1981-1992.

Получены и выносятся на защиту:

1. Создание методики рвсчета сильного взаимодействия газа с мягкой оболочкой в дозвуковом и сверхзвуковом потояэх газа при больших перемещениях и формоизменениях'оболочки с учетом ее напря-ненно-деформированного состояния на основе совместного интегрирования нелинейной системы уравнений газовой динамики и нелинейной системы уравнений движения мягких оболочек. Методика основана на произвольном лагранжево-эйлеровом методе, эффективном алгоритме построения оптимальных конечно-разностных сеток в двумерных областях сложной геометрии и методе консервативной интерполяции.

2. Для аппробациу методики решены задачи нестационарного взаимодействия дозвукового и сверхзвукового потоке газа с непроницаемым диском, цилиндром, установленном поперек потока и шаром; нестационарного обтекания яесткого диска и части сферы сверхзвуковым потоком газа с заданным уравнением движения обтекаемых тел. Впервые решены задачи сильного взаимодействия осасимметричной мягкой оболочки со сверхзвуковым и дозвуковым потоком газэ с учетом переходных процессов.

публикации. Содержание работы отражено в 18 публикациях,

структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 265 наименований; включает 124 рисунка и 2 таблицы. Полный объем составляет 200 страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, приводится структура диссертации и кратко излагается содержание.

- б -

■ в первой главе обсуждаются существующие подходы в теории взаимодействия оболочек с газом. Отмечается, что преобладают исследования при упрощающих предположениях: Например, когда возмущения, вносимые в поток деформацией объекте, малы по сравнении с возмущениями, вызванными его движением как твердого тела.

Однако в рассматриваемых задачах имеют место большие изменения формы оболочки, перемещения объекта сравнимы с его основными линейными размерами. Решение таких задач возможно только на основе численных методов.

Существующие методы численного решения уравнений газовой динамики, такие как метод крупных частиц, метод распада разрыва, произвольный лагранжево-эйлеров метод, полностью консервативные схемы в СЭЛ переменных и ряд других, не используют разностные сетки изменяемой топологии. Это ограничивает их применение для изучения рассматриваемых процессов сильного взаимодействия.

Применение метода консервативной интерполяции дает возможность рассмотреть процессы яри больших формоизменениях и перемещениях оболочки.

Задача взаимодействия газа.с мягкой оболочкой включает:

1. Систему уравнений газовой динамики для двух пространственных переменных в СЭЛ координатах:

(рг.7) [рг(ау6-ргь) ]а+ 1рг<-ауо+е*а > 1 „=о, (ргЛ1)<+[рги(ауь-ргь)]в+|риг(-ауа>р*в))ь=

(рглг),+ [ргг(ауь-ргь) 1а+ (рг«г(-ауа+рха) )ь= = [г{рухуь-р'/ухь))а+[г{-р'1*уа+р,'уха))ь, (1)

(р^в)1+[р£г(ауь-рхь) )а+ (рЕг(-ауо+ргв) ]ь=

+ Iг(-(р"шрг"г)уа-\р»хтр^у)жа))ь У| * о, а=ц-о), р=г-а, J =д (х,у)/д (а,Ь),

в=р£ ((г(иуь-ухь) ]а+.1г(-иуа+г*а)]ь), е«=р1[(гиуь)а-(гиуа)ь-ал.

*=х(а ,Ь,С) у=у(а,Ь,г)

Здесь р.р - плотность и давление, х,е - удельные внутренняя и полная энергии, и,у- к- и у-компононты вектора скорости частиц газа ы, и,о- х- и у-компоненты воктора скорости подвижной систем:! координат й, з- якобиан преобразования от ОЗЛ переменных (а,ь) к переменным (ж,у), р", р1" и т.д. -компоненты тензора напряжений, X, ц -коэффициенты вязкости. Кроме того {^^{/да означает частную производную по пространственной координате, а е%=де/дг - по времени, гь дивергенции скорости. Следует отметить, что вязкостные члены используются в методике в качестве искусственной вязкости. Поэтому значения коэффициентов ,\,ц выбираются для повышения эффективности численного реиения разрывных задач и не соответствуют какой-либо реальной физической среде. Уравнение состояния задается в видо р=(7-1)рг, где 7-показатель адиабаты.

хг. Систему уравнений, описываодув движение мягкой' оболочки. В качестве модели оболочки выбрана модель осесимметричного парашюта Х.&. Рахнатулина:

ТЙ_|=^(г сое9)-^4рх-з^9, тЧ=--(Т )Др*-со<?6.

Зс Ьз а Эгг дз и

2%

7(я)=т(в0)/(Не), 7) =Т0+Й0 ~ V г=£е> где 7(8)-масса единицы длины лэнты каркаса и прилегающей к ней ткани, г-усилие в меридиональном направлении, м-число строп, в0, 70,Несоответственно элемент длины оболочки, масса единицы длины каркаса, масса единицы поверхности ткани в недерформиронанном состоянии, е-относительное удлинение, Б-приведенний модуль упругости.

111. Граничные условия на контактных поверхностях оболочки и теза. На поверхности контакте газа с непроницеемой оболочкой выпо-лпяптся кинематические (й-й8)-п=0 и динамичэские 4р=р*-р" граничные условия. Здесь р', р"-давление с двух сторон оболочки, п-вдинвчанй вектор нормали к поверхности оболочки, "^-скорость оболочка.

В конце главы дается краткое описание методики сильного взаимодействия. Блок-схема алгоритма представлена на рис.1.

вторая глава посвящена обсукдению оболочки,' как объекта исследования. Из анализа работ других авторов делается вывод, что используемая в методике упрощенная модель, основанн-ая на гипотезах Х.А.Р-хматулина, дает правильное описание процесса формообразования и позволяет достаточно точно определять такие интегральные характеристики, как время раскрытия и лобовое сопротивление. Приводятся математическая постановка задачи и разностные уравнения. Не-яный метод их решения позволяет выбирать один и тот хе шаг по времени как для оболочки, так и для газа.

Апробация численной схемы проводится на задачах' волновой динамики гибких нитей. Сравненио с точным решением задач о распространении продольных и продольно-поперечных волн из нелинейно упру-

гого материала позволяет сделать вывод схемы.

I

[пуск]

¿зг

установка аачальн.знач■

явные лагранжевы вычио.

неявные лагранжевы выч.

расчет оболочки

определ. структ. сетки

догг^<отруктура изменилась?» [Интерпол,ПДЭ|

2

[Интерпол.

да

Ш]

нет

расчет закончен? >

да

(останов!

Рис.1. Блок-схема алгоритма Г* = ££,+<?, при (Л^-Дв^)>0, Т* = ЕЕ, при (ЬЗ^-ЬЗ*)^

о правильности построенной

Приведенные численные исследования показали, что в области больших градиентов усилий за фронтом волны возникают осцилляции. Они полностью обусловлены разностной схемой и не имеют отношения к реие-вию исходной задачи. По аналогии с подходами к решению гидродинамических задач, вводится механизм искусственной вязкост? я. Это осуществляется ' заменой в исходных уравнениях параметра т на величину т'-т+ч, так что

где м-чисдо элементов, на которое делится нить при ее разбиении.

- ю -

По результатам исследования моано сделать следующие выводы: введение искусственной вязкости успешно гасит паразитические осцилляции при значениях Х(=0.5, Хг=2.0: размазывание фронта волны происходит не 4-5 элементов; сохраняется скорость распространения волны, и не происходит размазывания ее формы с течением времени.

На примерах раскрытия непроницаемых парашютов, имеющих разные раскройные формы (плоский круг в раскрое; комбинированный парвпю?, состоящий из трех основных элементов: плоского круга, цилиндрической и конической поверхности), проведено исследование процесса при законах нагружения, приближенно описывающих воздействие потока. '

Аэродинамическая нагрузка на купол парашюта принималась постоянной ар=рюг£/2 и в виде функции от скорости оболочки и газа Ар=0.5 р<0(г„-га)гзгдп(гп-1га). Здесь рц,,^-плотность и скорость подтока на бесконечности, г - проекция скорости оболочки на нормаль.

Работоспособность алгоритма иллюстрируется на примерах динамики раскрытия осесимметричных парашютов разной раскройной формы, но с одинаковой площадью купола. Полученные результаты показали, что при моделировании сверхзвуковой нагрузки, вне зависимости от Еыбранного закона, динамика парапета типа плоский круг в раскрое более плавная, чем для комбинированного парашюта. Кроме того, в этом случао не наблюдается установления. Купол совершает некоторый колебательный процесс относительно равновесной формы. При дозвуковой нагрузке для парашюта типа плоский круг в раскрое наблюдается режим установления.

в третьей глазо рассматривается моделирование течения газа возле оболочки. Обсуждаются существующие методы решения уравнений газовой динамика в подвижной системе координат в широком диапазоне скоростей набегающвгоо потока.

Развитию методов численного интегрирования уравнений газовой динамики, разностных схем посвящено большое количество рвбот. Анализ известных методов поквзал, что использование СЭЛ переменных наиболее подходит для описания процессов с сильными формоизменениями оболочки. Отмечается их преимущество по сравнению с эйлеровыми и лагранжевыми подходами.

»■•0.1« í-ш

Ш*р

Рио.7

f -ftíífí t+6.00U)t

nemttmuoAmat oStntK.

\ч (реечет)

W /-

— О - - О--О-*

Экспсрцмеия!

30 «0 90 fC0 'Í0

ri~3 о.а

Rio. 8

ph h't.00 t»9.s0

-4 "

n

»l И-1.00 Г«м.ог

Шар

Jч

f .*£> *>$ a * t ti

['ИС. 9

Рйе.1'0

■ В методике решение системы (1) получается в результате выполнения последовательности шагов, на каждом из которых учитывается влияние лишь отдельных членов рассматриваемых уравнений.

Большая формоизменяемость мягкой оболочки во время ее взаимодействия с газом обуславливает необходимость классификации различных положений оболочки с целью проведения однообразных вычислений. Многообразие положоний оболочки сведено в работе к шаблонам (типа диска, "Г"-образный, незамкнутый контур и замкнутый контур). Такая классификация позволила разбить вычислительную область на простые зоны. Вычислительная область разбивается на две большие подобласти - область больших искажений (на рис.2 выделена сплошной линией) и область расширения. Области больших искажений в соответствии с приведенной классификацией разбивается на ряд простых зон.

Построение конечно-разностной сетки внутри зоны осуществляв ется алгоритмом, основанным на вариационных принципах. Вводится понятие глобальной гладкости отображения 1в, мера отклонения от ортогональности координатных линий г0 и функционал, регулирующий площади ячеек сетки 1у. Искомая сетка получается в результате минимизации суммы этих трех интегралов, взятых со • своими весовыми коэффициентами. Таким образом, путем задания определенных значений коэффициентов можно менять свойства получаемых сеток

1=хв*\ухг*010.

г,= | |(?£)г+(?т))2]<*«1у, х0= 1у= ^ахау,

где х> - область интегрирования в физической области, л- якобиан преобразования, й=д(х,у)/да,1) ¿■»г^-х^.

Для минимизации интеграла I надо решить уравнения Эйлера. На рис. 2 приведены примеры .построения таких сеток.

Для качественной и количественной оценки решения динамики взаимодействия газа с мягкой оболочкой рассматриваются задачи обтекания недеформируемого диска набегающим потоком в интервале чисел Маха 0.1£мт<3.0. Некоторые результаты решения представлены на рис.3. Результаты решения задач обтекания цилиндра, установленного пеперек потока при м^-2.0, гг^^О.-1 й шара при мш=0.5, «^=1.0 представлены на рис.4-10. Сравнение их с известными теоретическими и экспериментальными, данными показало удовлетворительное согласо-

-оллллллдл

ар 8

О

WWIMA,

-ЛЛДЛАЛЛЛ^ЛЛЛ^^

г 1 djjcK

.р.. \>ШЛ УС рчро

•é

2 4 ' 6 Рис.12

Рис .1V

/8 О

I . 4 Рис.13

Рио.Н

ванне как но интегральным характеристикам, так а по некоторый локальным. Можно сделать вывод, что газодинамическая часть иетодики правильно передает процессы, протекающие в задачах обтеквния тел сложной геометрии.

Исследование нестационарного обтекания жесткого диска в части сферы з сверхзвуковом потоке газа с заданным уравнением их движения при использовании ц газодинамической части методики метода консервативной интерполяции показало правомерность такого подхода. Полученные результаты при выходе на стационар хорошо согласуются с экспериментальными данными. Часть их представлена на рис.И-14.

четвертая гаава посвящена анализу процессе сильного взаимодействия газа с мягкой оболочкой. Принимаются иш=0.1 и на=3.0. Рассматривается изменение топологии конечно-разностных сеток, связанных с деформируемой оболочкой. Приводится обзор по данной проблеме.

Предлагается метод решения задачи консервативной интерполяции интегральны* параметров ячеек произвольных сеток как задачи об отыскании "массы" ячеек новой сетки по известной "массе" старой сетки. Эта задача разбивается на две: 1) определение функции "плотности" в ячейках старой сетки по известной "массе"; 2) определение "массы" ячеек новой сетки на основе полученной функции "плотности". Подробно, этот алгоритм рассмотрен в работе [21. Проводится оценка его эффективности на модельных задачах.

По результатам проведенных исследований делаются следующие выводы: 1) сетки, участвующие в интерполяции, могут отличаться друг от друга произвольным образом как по количеству и положению узлов, так и по их нумерации; 2) при интерполяции выполняется рр-ное для приложений свойство сохранения интерполируемых величин (массы, импульса, анергии) как локально, так и для всей области в целом; 3) погрешности, вносимые интерполяцией в решение газодинамических задач в гладких областях, близки к погрешностям при использовании лагранжевых подходов; 4) точность интерполяции не ниже точности СЭЛ методов в разрывных областях.

Открывается возможность использования несогласованных ксвач-но-разиостных сеток, что позволяет проводить решение задач со сдо-вной геометрией, и упрощает постановку граничных условий,

и

)

\

[

^ о

u5

. Далее приводится исследование процессов сильного взаимодействия газа с мягкой оболочкой на примере задвч о раскрытии осесим-матричного парашюта модели Х.А.Рахматулина в дозвуковом »„=0.1 и сверхзвуковом ию=3.0 потоке газа.

Проводится сравнение полученного решения по некоторым количественным характеристикам с решением, где нагрузка на оболочку моделируется различными приближенными законами. На Рис.15-18 (М(в=3.0) и Рис.19-21 (нм=0.1) представлены кинограммы полей скорости и изолиний давления в газовой среде, временные зависимости суммарной силы, и усилия в различных точках оболочки. Делается вывод, что моделирование воздействия среды с помощью приближенных законов нагружения вместо решения полной задачи взаимодействия может привести к существенному изменению динамики взаимодействия кгк по характеру изменения параметров, так и по их величине.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана методика' расчета динамики сильного взаимодействия Г8за с мягкой оболочкой в дозвуковом и сверхзвуковом потоке газа. Она включает в себя построение конечно-разностных сеток в двумерных областях сложной геометрии и метод консервативной интерполяции интегральных параметров произвольных сеток с учетом изменения их топологии. Метод консервативной интерполяции позволяет переводить решение с одной сетки на другую, независимую от первой как по количеству узлов, тек и по их местонахождению и порядку нумерации. Метод удовлетворяет важному требованию: глобальному и локальному выполнению законов сохранения интерполируемых величин,. (

2. При отработке методики исследованы задачи нестационарного обтекания дозвуковым и сверхзвуковым потоком газа непроницаемых диска, цилиндра, установленного поперек потока, и пара. Исследовано изменение коэффициента сопротивления во времени при различных режимах обтекания, а также картины обтекания в целом. Сравнение полученных результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными показали удовлетворительное согласование как по интегральным характеристикам, так и по некоторым локальным. Мо-

sho сделать вывод, что газодинамическая часть методики правильно передает процессы, протекавшие при обтекании недеформируемых тел.

Исследование нестационарного сверхзвукового 'обтекания жесткого диска и части сферы с заданным уравнением их движения показало правомерность .такого подхода. Результаты, полученные при выходе процесса на стационар, хорошо согласуются с экспериментальными данными. Для этих задач установлены зависимости изменения локальных и интегральных, характеристик течения во времени в ходе взаимодействия, а также всей картины обтекания в целом.

3. При анализе динамики мягкой оболочки используется модель осесимметричного парашюта, основанная на гипотезах Х.А.Рахматули-на. Исследованы некоторые модельные задачи (продольный и продольно-поперечный удар по струне). На их основе отработан механизм гашения численных осциляциб. Выбраны оптимальные коэффициенты линейной и квадратичной искусственной вязкости. Приведены примеры, иллюстрирующие динамику раскрытия парашюта разных раскройных форм при законах, нагружения, заданных в вида ступенчатого перепада давления и в виде простой зависимости'от скорости оболочки и газа.

4. Рассмотрены закономерности динамики сильного взаимодействия газа с мягкой оболочкой на примере раскрытия осесимметричного непроницаемого парашюта в сверхзвуковом и дозвуковом потоке газа. Результаты расчетов сравниваются с данными моделирования процессов при заданных законах нагружения. Сравнение показывает, что применение заданных законов нагружения ведет к изменению как качественных, так и количественных характеристик динамики раскрытия. Поэтому, для получения достоверной информации о происходящих процессах необходимо решать задачу взаимодействия во всей ее полноте.

Основные результат диссертации достаточно полно отражены в следующих публикациях:

1. Гильианов А.Н., Кузнецов В.Б., Сахабутдинов P.M. Нестационарное взаимодействие осесимметричного парашюта с потоком газа // Сб. 7 Дальнев. конф. по мягк. обол..-Владивосток: 1983.-С.164-167.

г. Аганин А.А., Кузнецов В.Б. Метод консервативной интерполяции интегральных параметров ячеек произвольных сеток //Сб. Динамика оболочек в потоке.-Казань:ИИ,- 1985.-ВНП.18, -с.144-160.

- 19 -

3. Аганин A.A., Кузнецов В.Б. Динамика раскрытия парашюта при заданных законах нагружения //Сб. материалов конференции молодых ученых КФТИ КФ АН СССР.-Казань. 1986.-С.66-63.

4. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.В. Численное моде-лировавание взаимодействия газовых потоков с подвижными телами изменяемой геометрии //Сб. Численные методы механики сплошной среды.-Новосибирск: 1986- т.17, N6.-С.3-11.

5. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование сильного взаимодействия мягких оболочек с газом на основе произвольного лагранжево-эйлеровв метода и метода консервативной интерполяции //Сб. Взаимодействие оболочек со средой.-Казань:1987.- Вып.XX.-С.51-69.

е. Дгэннн A.A., Гяльманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование взаимодействия парашюта с газом //Сб.8 - Дальнев. конф.по мягким оболочкам. -Владивосток: 1987.-С.96-99.

7. Аганин A.A., Кузнецов В.Б. Алгоритм рвсчвта газодинамических задач не произвольно изменяющихся сетках //Сб. Численные граничные условия. -Казань: 1990.-Вып.26.-С.85-98.

в. Агвнин A.A., Кузнецов В.Б. Реализация граничных условий на контактных поверхностях в задачах обтекания тел сложной геометрии //Сб. Численные граничные условия.-Каз8нь:1990.-Вып.26.-С.99-118.

9. Аганин A.A., Кузнецов В.Б. Построение расчетных сеток в задачах внешнего обтекания тел сложной изменяемей геометрии//Сб. Численные граничные условия. -Казань: 1990.-Вып.26.-С.119-130.