автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование обтекания потоком газа жестких и деформируемых тел

о

Ь ■

| о »!д о На правах рукописи

• у 1Ш-51

ГИЛЬМАНОВ Анвар Николаевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ПОТОКОМ ГАЗА ЖЕСТКИХ И ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ

Специальность: 05.13.16 - применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико-математических наук)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена в Институте механики и машиностроения Казанского

научного центра РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

A.B. Забродин,

доктор физико-математических наук,

профессор В.А. Гасилов,

доктор физика-математических наук,

с.н.с. И.И. Липатов.

Ведущая организация: Институт математики и механики Уральского отделения РАН

Защита диссертации состоится "_" _1996 г. в

"_" часов на заседании Диссертационного совета Д 002.40.03 в Институте прикладной математики им.М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института прикладной математики им.М .В.Келдыша РАН.

Автореферат разослан "_* _1996 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета,

канд идат физико-математических наук М.П. Галанин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Источниками научного познания окружающего мира являются эксперимент, аналитические методы и математическое моделирование на основе численного эксперимента.

Экспериментальные подходы являются, как правило, наиболее надежными с точки зрения достоверности получаемой информации и адекватности воспроизведения рассматриваемых явлений. Они были и остаются той отправной точкой отсчета, которая обеспечивает правильность выбора используемой математической модели, последующих выводов, полученных на ее основе. Однако с повышением требований к режимам эксплуатации аппаратов авиационной и космической техники применение только экспериментов, способствующих улучшению характеристик разрабатываемых конструкций, становится все более дорогостоящим, а в ряде случаев и недоступным из-за условий их проведения.

Аналитические методы имеют свои области применения, в которых они обладают неоспоримыми преимуществами по сравнению с другими подходами. Однако практика ставит сложные, сильно нелинейные, часто стоящие на стыке различных разделов науки задачи, требующие создания и решения комплексных математических моделей, что представляет значительные трудности при использовании только аналитических методов.

Поэтому эффективным подходом в подобных случаях становятся методы математического моделирования, представляющие собой цепочку элементов научного исследования, которая начинается с постановки проблемы (физической, математической) и завершается получением численных результатов, их анализом. В случае необходимости, когда наблюдается заметное рассогласование с известными экспериментальными или аналитическими данными, осуществляется возврат к уточнению выбранной математической модели, методов расчета.

Особую роль математическое моделирование играет при создании новых конструкций авиационной и космической техники, работающих при значительных газодинамических нагрузках. При этом важными в практических приложениях и сложными теоретическими проблемами, требующими применение подходов математического моделирования, являются задачи аэрогидроупругости. Из-за сложности процесса взаимодействия деформируемых тел с газом, значительных деформаций п перемещений препятствий, практически полезные результаты можно получить только в нелинейной постановке, решая систему дифференциальных уравнений

-2в частных производных с нелинейными граничными условиями на поверхности контакта деформируемого твердого тела с газом.

Целью работы является:

- создание эффективной методики решения нового класса задач азро-упругости, характеризующегося большими формоизменениями деформируемых тел, находящихся в потоке газа;

- развитие созданной методики для решения задач вязкого обтекания при больших числах Рейнольдса, позволяющей исследовать явления сильного вязко-невязкого взаимодействия ударных волн с пограничным слоем;

- применение методов математического моделирования для решения актуальных прикладных задач аэродинамики.

Новизна работы состоит в:

- разработке новой методики численного решения задач взаимодействия потока газа с деформируемыми телами, позволяющей решать задачи обтекания препятствий при больших числах Маха и Рейнольдса;

- решении новых задач аэроупрутости о нелинейных колебаниях эластичной мембраны в дозвуковом потоке газе., _ ™--паоашюг?

при взаимодействии с дозвуковым и сверхзвуковым потоками газа; сл, отрывном течении газа в сверхзвуковом воздухозаборнике.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью и корректностью математической постановки, высоким уровнем обоснованности алгоритмов и методов, разносторонними тестовыми расчетами, исследованием полученных результатов на практическую сходимость, совпадани-ем результатов расчета с аналитическими, экспериментальными и численными данными других авторов.

Практическая значимость работы. Изложенные в диссертационной работе алгоритмы и методы могут найти применение при математическом моделировании широкого класса задач аэроупругости. Созданная методика численного моделирования, а также полученные результаты решения новых задач, были переданы заинтересованным организациям в виде научно-технических отчетов, которые использовались при конструировании новой техники.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на: V Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981); VII Всесоюзной конференции "Численные методы решения задач упругости и пластичности" (Миасс, 1981); Научно-технической конференции "Механика сплошных сред" (Набережные Челны, 1982); Школе-семинаре "Динамика твердых упругих тел, вза-

имодействукнцих со средой" (Киев, 1982); VIII Всесоюзной конференции "Численные методы решения задач теории упругости п пластичности" (Ужгород, 1983); VI Всесоюзной конференции "Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций" (Ленинград,

1983); VII Дальневосточной конференции по мягким оболочкам (Владивосток, 1983); Семинаре ВЦ АН СССР под рук. проф. Шмыглевского Ю.Д. (Москва,1984); Семинаре академика Рахматулпна Х.А. (Москва,

1984); Семинаре академика Самарского А.А. (Москва, 1984); Международной школе-семинаре "Математические модели, аналитические и численные методы в теории переноса" (Минск, 1986); Всесоюзной летней школе по теории взаимодействия упругих оболочек с жидкостью, газом и твердым телом (Казань, 1986); VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике, (Ташкент, 1986); Семинаре под рук. проф. Кукуджанова В.И. (Москва, 1986); XIII Научных чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С.П.Королева и других советских ученых-пионеров освоения космического пространства (Москва, 1989); Семинаре академика Сидорова А.Ф. (Свердловск, 1989); Школе-семинаре ЦАГИ "Механика жидкости и газа: Аэротермодинамика ВКС" (Жуковский, 1990); II(V) Международной конференции "Методы крупных частиц: теория и приложения" (Москва, 1994); V Всероссийском совещании "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики" (Казань, 1994); Международной школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (Арзамас, 1994); Международной конференции "Исследование гиперзвуковых течений и гиперзвуковые технологии" (Жуковский, 1994); Международной конференции "Фундаментальные исследования в азрокос-мической науке" (Жуковский, 1994); X Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Красновидово, Московской обл., 1994); I Поволжской научно-технической конференции но проблемам двойного применения (Самара, 1995); Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении. Модель-проект 95" (Казань, 1995); IV Международной конференции "Лаврентъевские чтения" (Казань, 1995); итоговых конференциях Казанского государственного университета (1989-1994 гг.); Итоговых научных конференциях Казанского физико-технического института КФ АН СССР (Казань, 1980-1995 гг.); Итоговых научных конференциях Института механики и

машиностроения КНЦ РАН (Казань, 1993-1995 гг.).

Объем н структура диссертации. Публикации. Диссертация изложена на 300 страницах машинописного текста и состоит из четырех глав и выводов. Работа содержит 2 таблицы, 214 рисунков. Список использованной литературы содержит 281 наименование. Основные результаты диссертации опубликованы в 34 работах, список которых содержится в конце автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность проблемы и ее научная новизна, определены цель и задачи исследований.

Рассматриваются методы решения уравнений газовой динамики применительно к задачам взаимодействия газа с деформируемыми твердыми телами. В последнее время интенсивно развиваются так называемые смешанные лагранжево-эйлеровы методы. Они объединяют положительные качества эйлерова и лагранжева подходов: наряду с тем, что допускаются сильные искажения среды, можно следить за контактными подвижными поверхностями. Поэтому именно смешанные лагранжево-эйлеровы численные методы находят все большее приложение в задачах аэроупругости.

Отмечается, что учет вязкостных свойств газа для рассматриваемых классов задач приводит к сильно неоднородному течению, характеризующемуся разномасштабной структурой потока. При больших числах Рейнольдса и Маха эти различия могут достигать нескольких порядков. Указанные физические свойства исследуемых явлений предъявляют в ряде случаев достаточно жесткие требования к численным методам. Прежде всего при необходимости использования малых пространственных шагов сетки, возникающей, в частности, в случае больших чисел Рейнольдса, становится желательным применение динамически адаптивных сеток, позволяющих локально улучшать решение. Наряду с этим важным является применение схем повышенного порядка точности, не приводящих к осцилляциям решения на скачках.

Приводится краткий обзор, посвященный динамически адаптивным сеткам и схемам повышенного порядка точности.

Во второй главе дается математическая постановка задачи взаимодействия. В качестве препятствий, с которыми взаимодействует поток газа, могут быть жесткие тела произвольной конфигурации, тела, изменяющие свою форму по заданному закону, а также деформируемые под

действием аэродинамического напора. Деформируемые препятствия могут быть объемными или представляться в виде поверхностей, которые описываются теорией тонких оболочек.

В задачах аэроупругости удобнее пользоваться криволинейными координатами, которые в общем случае должны изменяться во времени. Они могут быть заданы следующими соотношениями:

т = £=Ф,х,у), г} = т){1,х,у).

Это преобразование отображает физическую плоскость (х,у) на вычислительную (£,17). Система уравнений Навье-Стокса, записанная относительно криволинейных координат (£, г>), имеет следующий вид:

дЕ_ 8Р _ 1 дт + Зс + дц ~ Яе

№ дН_

д£ + дщ

J

тт _ Чв,

%) и щ) и

Здесь <2 - вектор состояния течения; Е, Р - векторы невязкого газодинамического потока; О, Н - векторы вязкого потока

р ри ри

Я = ри ри2 +р риу п

ру рии ру

е (е + р)и (е + р)г

'гу

итхв + У7ху - q~

, Е{Я) =

'ху ТУУ

ПТху + «Г,

УУ

Ь

Закон Фурье для переноса энергии за счет теплопроводности представляется в виде

дт _ ат

Здесь £ - время; р - плотность; и,у - проекции вектора скорости на осп Ох и Оу соответственно; е = р- [е+ (и2 + и2)/2] - полная энергия, отнесенная к единице объема; р - давление; е - удельная внутренняя энергия; Т -

О

темперагура; ц - коэффициент динамической вязкости; к - коэффициент теплопроводности, тхх - компоненты тензора вязких напряжений.

Уравнение состояния замыкает систему уравнений газовой динамики

Р=РЯГ,

где R - газовая постоянная.

Зависимость коэффициентов вязкости и теплопроводности от термодинамических величин имеет следующий вид:

грЗ/2

где Ci, С2 - постоянные для данного газа. Для определения коэффициента теплопроводности по известному коэффициенту динамической вязкости (i используется число Прандтля

Производные r¡x - метрические коэффициенты 6 = -6: -Хт-^-Уг, ^ - J ' У17, = - J '

T)t = -Jfc -Хт-Щг уг, Г}х = -J • щ = J ■ х(,

J = 1/(у„3£ - в,у£),

где J = д((,т])/д(х,у) - якобиан преобразования, уг - компоненты скорости подвижной системы координат.

При рассмотрении задач обтекания одним из краевых условий является задание невозмущенного потока

= р — Pea Р -Рос-

На поверхности обтекаемого препятствия, когда границей является непроницаемая подвижная стенка, выполняется условие прилипания, состоящее в равенстве скоростей стенки и газа

~tt =

где и,и - скорость стенки. Для температуры обычно принимают либо условие изотермической стенки

Т = ГШ,

либо условие отсутствия теплопередачи

дТ/дп = 0.

Здесь Tw - температура стенки, ~п - единичный вектор нормали к поверхности стенки.

При решении нестационарных задач начальные условия представляют собой задание вектора состояния

= [ро,ро«о,ро»о,ео]г.

В качестве упругой части используются уравнения движения осе-симметричяого парашюта, полученные на основе известных гипотез X. А .Рахматулина1:

d2xw д „. 2тг 7-^г = g^{Tcos9) + —Дрх^агпв,

7 ^ = -¿(Т3!'пб) + ~Apxwcoa9,

где - координаты срединной поверхности оболочки, Ар - перепад

давления на поверхности контакта оболочки с газом, в - угол между касательной к срединной поверхности оболочки и осью Ох, 7(з) = у(зо)/М - масса единицы длины ленты каркаса и прилегающей к ней ткани, 7(50) = 7о + 2тг/хо5о /iV, Т = -Ep(Ai — 1) - усилие в меридиональном направлении, Ер - приведенный модуль упругости, N - число строп, .?о,7о,Мо ~ соответственно элемент длины оболочки, масса единицы длины каркаса, масса ед иницы поверхности ткали в недеформированном состоянии. При решении конкретных задач считается, что стропы также растяжимы.

В задачах взаимодействия газа с деформируемыми телами на контактных поверхностях необходимо выполнять кинематические и динамические граничные условия. Ввиду сложности решения комплексной задачи аэроулругостл, в качестве уравнений газовой динамики принимается модель идеального нетеплопроводного газа. Для идеального газа кинематическим условием на непроницаемых границах является условие непротекания

(1? - drZ/dt) ■ n* = 0.

'Ражмиуетг X.A. Теория эсесгмметркчзого тралит. (Часть I) Ц Научные труды Института мехадвхж МГУ.- М.: МГУ, 1975, N 35, 35 с.

Динамические граничные условия представляют собой нагрузки, в виде распределения давлений, действующих на поверхности оболочки со стороны газа

Ар = рг -р~.

Здесь г£ = - вектор срединной поверхности оболочки, р+,р~ -

давление с двух сторон поверхности оболочки.

В работе излагаются проблемы численного решения задач взаимодействия. Дается описание состава и структуры методики. Приводятся конечно-разностные формулы произвольного лагранжево-эйлерова метода. Обсуждается проблема построения конечно-разностных сеток при произвольных формоизменениях оболочки и численная реализация граничных условий на контактных поверхностях.

В созданной методике, предназначенной для решения задач взаимодействия потока газа с подвижными или деформируемыми препятствиями, используется подход, включающий в себя положительные свойства смешанных эйлерово-лаграяжевых методов и возможность использования в расчетах независимых разностных сеток. Он основан на произвольном лагранжево-эйлеровом методе (ПЛЭ), методе консервативной интерполяции (МКй) и алгоритме построения конечно-разностных сеток в зависимости от принятой препятствием формы. Эта методика позволяет исследовать нестационарные процессы взаимодействия потока газа с деформируемыми телами в рамках модели невязкого газа и мягких изотропных оболочек. Однако при рассмотрении некоторых задач этого класса необходимо учитывать реальные вязкостные свойства газа. При этом процесс раскрытия купола парашюта характеризуется большими числами Рейнольдса. Дальнейшее развитие методики состояло в учете вязкостных свойств газа. Решение уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса является сложной проблемой, поэтому для развития и отработки методики деформируемые тела заменялись неподвижными, жесткими телами, то есть рассматривались задачи аэродинамики.

Одной из важных фундаментальных проблем, возникающих при обтекании препятствий сверхзвуковым потоком вязкого газа, является проблема взаимодействия ударных волн с пограничными слоями, часто отрывающимися от поверхности. При этом имеют место воздействия чрезвычайно сильных положительных градиентов давления на вязкие слои. Как правило, в высокоскоростных течениях около ракет, самолетов, возвращаемых космических аппаратов, элементов турбомашин практически невозможно избежать подобных воздействий ударных волн, последствия

которых могут быть различными: от допустимых до катастрофических.

Несмотря на фундаментальное значение отрыва, его полное аналитическое или экспериментальное описание при больших числах Рейнольдса остается одной из важных проблем механики жидкости.

Необходимость получения численного решения уравнений газовой динамики с заданной степенью точности и воспроизведения основных тонких структур газового потока (ударные волны, контактные разрывы, пограничные слои) всегда являлась актуальной и ограничивалась главным образом возможностями вычислительной техники. Для конструкций сложных геометрий многократные взаимодействия скачков приводят к сложной структуре течения, что затрудняет получение достаточно точных решений с помощью классических подходов без больших компьютерных затрат, так как для адекватного разрешения особенностей потока требуется разбиение расчетной области на большое число ячеек.

Одними из наиболее эффективных подходов для повышения точности численного решения в расчетных областях с несколькими пространственными и временными масштабами, отражающими неоднородную структуру потока, являются методы динамически адаптивных сеток. Основная идея этих методов состоит в уменьшении размеров ячеек в зонах с большими изменениями газодинамических переменных.

В настоящей работе в качестве динамически адаптивных сеток используются адаптивно-подвижные и адаптивно-встраивающиеся сетки. Адаптивно-подвижные сетки состоят из фиксированного числа узлов, которые перераспределяются из своего начального положения, собираясь в зонах больших градиентов газодинамических переменных. Эти методы привлекают своей простотой и возможностью их использования практически любой существующей программой расчета уравнений газовой динамики при ее незначительных изменениях. Недостатком методов подвижных сеток является "конкурентная борьба" различных зон за "приобретение" дополнительных ячеек из фиксированного набора ячеек, что часто приводит к большим искажениям конечно-разностных сеток в некоторых зонах и к потере в этих зонах точности решения.

При построении конечно-разностной сетки, адаптирующейся к особенностям физического решения, используется подход, который, по существу, основан на идее "эквираспределения": произведение шага сетки в физическом пространстве и некоторым образом выбранной весовой функции должно оставаться постоянным.

Пусть имеется исходная криволинейная сетка (г*,/,^), в узлах кото-

Рис. 1

рой задана функция fkj- Используемый способ построения адаптивных сеток состоит в перемещении координат узлов вдоль одного (0£), а затем другого (От?) направления. В качестве подхода, управляющего перемещением узлов, применяется принцип разбиения кривой f(zk,h Ук})\ы0 или f(xk,t,ykj)\k=k, на отрезки равной длины. Рассмотрим график функции fk,ia, представленный на рис. 1, в зависимости от длины душ вдоль криволинейной координаты Длина дуги кривой рассматриваемой функции будет равна

= AS^l + U's)\

где f's = df/dSj - производная вдоль этой кривой. Условие постоянства отрезков душ ASp = const означает, что в зонах с большими градиентами шаг Д5£ уменьшается. При f's > 1 получим условие на шаг

AS{ ■ f's = const.

Для управления сгущением сетки использовался параметр растяжения

Р ,_

ASt\fl + /?2(Я)2 = const.

Видно, что увеличение /? приводит к растяжению графика функции / и большей концентрации узлов сетки в зонах значительных градиентов. Адаптация в двумерном случае осуществляется последовательным применением изложенного подхода в направлениях £, т].

Для иллюстрации описанного подхода на рис. 2-3 приведены сетки, полученные для задачи о падении наклонной ударной волны на плоскую стенку. При решении этой задачи в рамках модели идеального газа

образуются две ударные волны. Результаты построения сетки для параметра /? = 5,10 приведены на рис. 2-3 соответственно. В качестве функции, по которой осуществлялась адаптация, бралась плотность р(х,у). Это решение предварительно было получено на равномерной сетке. При решении задачи о взаимодействии наклонной ударной волны с пограничным слоем при больших числах Рейнольдса такие сетки не годятся из-за недостаточного сеточного разрешения около поверхности: размеры ячеек в вертикальном направлении превосходят толщину ногранслоя. В этом случае необходимо изменить данную сетку, осуществив сгущение ее узлов к поверхности. На рис.4 приведена такая сетка, полученная с помощью небольшой модификации исходной функции р(х, у) в ячейках, прилегающих к твердой границе:

>У'^о) = > Иц»)(1 + А/з), 1 < к < К,

где для приведенного рисунка Ар — 1; к - нумерация ячеек сетки в горизонтальном направлении, 1о - номера ячеек,прилегающих к поверхности пластины.

Методы адаптивно-встраивающихся сеток предполагают "встраивание" дополнительных ячеек в те зоны расчетной области, где наблюдаются значительные изменения переменных газового потока. Рассматриваемый подход позволяет покрыть расчетную область такой сеткой,

которая приводит к равномерному распределению градиентов газового потока (можно условно говорить о равномерной ошибке) во всей расчетной области. В отличие от методов подвижных сеток, методы встраивающихся сеток несравненно более сложны с точки зрения алгоритмизации и программирования, так как структура сеток уже не является однородной. Ячейки начальной сетки называются ячейками 1-го уровня. Дополнительные ячейки 2-го уровня создаются путем разбиения исходной ячейки, в которой требуется повысить точность, на четыре более мелкие. Над вновь созданными могут быть построены ячейки еще более высокого 3-го уровня и так далее.

Для проведения расчетов на адаптивно-встраивающихся сетках требуется специальная организация структуры данных. Так, для ячейки (fc,i) надо знать газодинамические характеристики в виде компонент вектора Q в прилегающих ячейках, составляющих шаблон конечно-разностной схемы. Здесь приведен шаблон схемы TVD. Для обычной регулярной сетки ячейки располагаются упорядоченно с простыми отношениями связи, позволяющими легко организовать выборку необходимой информации из любой ячейки шаблона. Для адаптивно-встраивающихся сеток, которые уже не являются регулярными, отношения связи между ячейками становятся более сложными: каждая из сторон рассматриваемой ячейки может граничить с различным числом ячеек разных уровней. И более того, в нестационарных задачах это окружение может меняться: ячейки могут то уничтожаться, то создаваться в соответствии с выбранным критерием. В настоящем алгоритме используются следующие дополнительные указатели для каждой ячейки i с номером уровня п; (рис. 5а):

a) il,ir,ib,it - указатели на соседние ячейки своего уровня п,-, расположенные соответственно слева, справа, снизу и сверху,

b) il, ¿2, ¿3, ¿4 - указатели на ячейки более высокого уровня (п,- + 1), созданные над данной ячейкой;

c) ix - указатель на ячейку более низкого уровня (nt- — 1), в которой находится рассматриваемая ячейка;

d) п,- - номер уровня данной ячейки.

Так как схема TVD использует шаблон, состоящий из девяти ячеек, то при создании новых ячеек для каждой из них формируется соответствующее окружение, то есть с каждой ячейкой любого уровня связывается шаблон, состоящий из 9-ти ячеек. Не все ячейки, составляющие шаблон, являются расчетными. Некоторые из них используются как вспомога-

Адаптявио-встрьявсиадигсл сетки

¿4 а

и и

А

и

/Л

1

1 1"'

1

Гч-1 ч-г

4

Рис. 5

тельные ("фиктивные"). На рис. 5Ь "фиктивные" ячейки, расположенные в ячейках низших уровней, заштрихованы. Такие ячейки необходимы для обеспечения сквозного счета без выделения приграничных. В "фиктивных" ячейках газодинамические переменные определяются из следующих соотношений:

Рх - Ре, « I- = и с, е{ = ег.

Здесь индексом "с" отмечены переменные той ячейки, в которой находится ¿-тая. В представленном алгоритме над каждой ячейкой может создаваться только по четыре ячейки более высокого уровня. Уничтожаться (объединяться) могут также только группы из четырех ячеек, лежащих над одной из ячеек низшего уровня, при условии, что каждая из них может быть уничтожена исходя из выбранного критерия. При создании группы 4-х ячеек переменные в них определяются с помощью простейшей интерполяции

/>; = Рь, "й*; = й\г, е< = е;г, 1 < г < 4,

где гх - номер ячейки, которая делится на указанные 4 новые. При уничтожении группы 4-х ячеек, лежащих над одной из ячеек низшего уровня гх, переменные в ней находятся из соотношений

А* = Е(р$).-/$», ^ь = ЕОэй^УО^)*,, е.-, =

«=1 ¿=1 ¿=1

где - площадь ¿-той ячейки, =

На рис. 5Ь рассматриваемая ячейка снизу и слева граничит с ячейками своего уровня п,-, сверху - с ячейкой (п,- — 1)—го, справа - с ячейкой (п,- -

2)-го уровня. На рис.5с приведена адаптивно-встраивающаяся сетка 4-го уровня для задачи обтекания угла сжатия сверхзвуковым потоком невязкого газа.

Алгоритм построен таким образом, что расчет каждого уровня сетки осуществляется независимо от других уровней. Это представляет большие возможности использования данной методики на параллельных ЭВМ, которые в последнее время интенсивно развиваются.

Дальнейшее развитие методики предполагает учет вязкостных свойств газа. Так как рассматриваемые режимы обтекания характеризуются большими числами Рейнольдса, методика была дополнена схемой второго порядка точности менее диффузионной по сравнению со схемой ПЛЭ метода. В рассматриваемой работе используется конечно-разностная схема ТУБ 2-го порядка точности 2. Эти схемы обладают несомненными преимуществами по сравнению со многими традиционными схемами с "искусственной" вязкостью. Во-первых, они имеют высокие разрешающие свойства, то есть зоны перехода в области скачков узки и составляют не более 2-4 ячеек. И второе достоинство этих схем состоит в том, что они не допускают появления нефизических осцилляций в областях разрывов.

Методика решения задач обтекания препятствий сверхзвуковым потоком невязкого или вязкого газа представляет собой комбинацию метода второго порядка точности в областях непрерывного изменения газодинамических переменных и методов динамически адаптивно-подвижных или адаптивно-встраивающихся сеток. Алгоритм построен таким образом, что при решении задачи могут использоваться либо подвижные, либо встраивающиеся сетки. Однако, если известна предварительная информация о структуре потока, то можно, построив адаптивно-подвижную сетку, дальнейшие расчеты осуществлять на адаптивно-встраивающейся сетке. Например, при исследовании задач обтекания препятствий потоком вязкого газа при больших числах Рейнольдса исходя из того, что тонкие пограничные слои всегда располагаются вдоль твердых поверхностей, в этих областях сетка сжималась с помощью алгоритма адаптивно-подвижных сеток в соответствии с информацией о толщине погранслоя. В дальнейшем расчет осуществлялся на адаптивно-встраивающихся сетках. Сетка первого уровня оставалась неподвижной.

В третьей главе для отработки методики приводятся решения за-

3Уее Н.С., ЮорГег С.Н., МспЛа^пе ,1.Ь. ШдЬ Неаокйоп 5Коск-Сар4.1Пй§ всЬетеа Гаг Ьтаа<1 ап<1 УЬаЗ

Нурегзоик Иска - Л. Сотр. РКуа., 1690, уо1.88, N 1, р.31-61.

дач обтекания недеформируемых неподвижных и подвижных препятствий. Рассматриваются задачи раскрытия купола парашюта в дозвуковом и сверхзвуковом потоках газа. В отличие от задачи взаимодействия потока газа с эластичной мембраной, которую удалось решить без перехода на разностную сетку с измененной структурой, в задачах раскрытия парашюта в потоке газа для получения решения необходимо привлекать дополнительные процедуры, переводящие решение с одной сетки, которую нежелательно пли невозможно использовать в дальнейших расчетах, на другую сетку, имеющую лучшие характеристики качества. Существенным здесь является использование метода консервативной интерполяции3.

В работе дается решение задачи о нелинейных колебаниях круговой эластичной мембраны, закрепленной по внешнему контуру с дозвуковым потоком газа (рис. 6а). Представление о характере нестационарного взаимодействия мембраны в течение одного полупериода колебаний можно получить из рис. 6Ъ, где построены направления и величины скорости газа в узлах разностной сетки. Для передачи особенностей движения оболочки использовалась подвижная система координат, одна из координатных поверхностей которой совпадала с поверхностью препятствия в каждый момент времени. В соответствии с алгоритмом методика, решение задачи взаимодействия осуществлялось последовательным продвижением оболочки и газа на новый временной слой.

Прогибы, скорость и усилие Т] в центральной точке мембраны в зависимости от времени приведены на рис. 6с, (I, е. Штрнхпунктирная линия представляет траекторию той же точки мембраны, перемещающейся под действием мгновенно приложенного постоянного перепада давления, равного давлению торможения набегающего потока Аро = На

рис. 6{ показана динамика изменения полной энергии оболочки. Газ, раздувая мембрану, совершает работу, которая идет на увеличение ее энергии. При обратном движении оболочки эта энергия возвращается в газ и так далее. Колебания являются нелинейными - острая верхняя и сильно растянутая нижняя часть кривой. Физически это означает, что процессы перекачки энергии от газа к оболочке и обратно протекают быстрее, по сравнению со временем, в течение которого она находится в состоянии, близком к недеформированному.

3Лгал1Н А.А., Кузнецов В.Б. Метод жоЕсерватквноК жжгерголягшп игегральных параметров ячеек прогзволышх сетож // Детамиа. оболочек в лотохе. Труды с«мяяа.ра.- Каэаяь: Казолск. фнз,- техн. ЕЖСТ., 1985, Вып.18, с. 144-160.

скорости числом«* п«а,1 вреп* т»5,о

II, 4 1 |

1 I Л (

1 / I и

\ 1 ч

<,0 10 ПО 160 *

С)

ш

и А-

/1 № I

1 А и

«Л;

Су? , - (#1 ✓"Л л к ' »

'Ч /

е)

Анализ результатов счета показал, что напряженно-деформированное состояние оболочки, находящейся в потоке газа, и оболочки, перемещающейся в поле постоянного перепада давления, существенно отличаются, то есть пренебрежение эффектами взаимодействия приводит к качественно другим результатам.

Важным этапом при функционировании парашютных систем является наполнение купола. 3 процессе его наполнения, перед заметным снижением скорости спуска, наблюдаются максимальные нагрузки. Основными подходами при конструировании парашютов являлись модельные и натурные эксперименты. Для теоретического описания либо использовались расчеты на прочностные свойства парашютных систем без учета эффектов взаимодействия, либо рассматривалось обтекание недеформи-руемых препятствий заданной формы для получения информации об аэродинамических качествах парашютных систем.

Важность учета взаимодействия между потоком газа и куполом па-

/t>0

J-0

■Л—

Рис. 7

рашюта к настоящему времени можно считать признанной, о чем свидетельствуют появившиеся исследования,посвященные раскрытию купола парашюта на основе совместного решения уравнений газовой динамики и упругого деформируемого тела.

При численном изучении раскрытия парашюта в газе в данной работе предполагается, что в начальный момент времени i=0 парашют имеет форму, приведенную на рис. 7, п мгновенно вносится в сверхзвуковой поток. В результате этого происходит сильный газодинамический удар, ведущий к резким изменениям параметров оболочки, ее формы, что в свою очередь оказывает влияние на характеристики потока газа.

Из анализа расчетных данных видно, что взаимодействие купола парашюта со сверхзвуковым потоком во время раскрытия представляет собой довольно сложный процесс, сопровождающийся сильно нелинейными изменениями характеристик и большими перемещениями оболочки.

На рис. 8а, Ь, с приведены для сверхзвукового режима течения газа (Мю = 3) соответственно поля скоростей, линии равных плотностей и связанные с поверхностью купола парашюта сетки в указанные моменты времени. Значительные формоизменения оболочки ведут к сильному изменению разностных сеток во время счета. Если для момента времени t = 0.25 под куполом вдоль оси Ох было расположено 3 ячейки, то при t = 2.80 их становится в 2 раза больше. Ясно, что использование структуры первой сетки в дальнейших расчетах привело бы к значительному искажению полученных результатов. Своевременное изменение структуры сетки в зависимости от изменения геометрии полотнища дает, как видно из рис. 8, приемлемые сеткн на протяжении всего расчета.

Данные численного эксперимента показали, что в отличие от раскрытия парашюта при сверхзвуковом потоке газа, когда имеет место установление, при дозвуковом режиме обтекания наблюдаются автоколебания купола парашюта. Проведенный сравнительный анализ данных задачи взаимодействия с результатами раскрытия парашюта при заданных законах нагруження показал, что различия по ряду параметров могут

Т-ОЛО

МЫ'О.З» МЛ1- 3 70 ¿-ЗА} "-2Ч Щ Ш Т.1Г

а) _

Ь)

с)

МГЛГ'Й23 ПАХ 1-0.21 НЛ16

Рис. 8

быть значительными. Следовательно, для получения достоверной и точной информации о происходящих процессах необходимо решать задачу взаимодействия.

В четвертой главе рассматривается приложение методики к исследованию нестационарных процессов в каналах сложной формы. В настоящей работе для исследования нестационарных газодинамических процессов в камере ракетного двигателя на твердом топливе используется методика, описанная во второй главе. На рис. 9 показаны расчетная область камеры ракетного двигателя, покрытая криволинейной разностной сеткой, и результаты численного эксперимента в виде полей скорости и давления в выбранные моменты времени. Численные расчеты нестационарных процессов в каналах ракетных двигателей позволили получить низкочастотные продольные и высокочастотные радиальные колебания давления, которые со временем затухают. Составлена картина нестационарных переходных процессов в камере РДТТ с момента его "включения" и до выхода на расчетный режим.

Применительно к задачам обтекания препятствий сверхзвуковыми потоками невязкого и вязкого газов рассматривается модификация методики, представляющая собой сочетание схемы ТУБ второго порядка точности и динамически адаптивных сеток.

я

о «?

I

h-l из

Для проверки работоспособности методики были решены следующие тестовые задачи: взаимодействие ударной волны с контактным разрывом и твердой стенкой; стационарный скачок в системе координат, связанной с фронтом ударной волны; столкновение двух ударных волн равной интенсивности; взаимодействие взрывных волн разной интенсивности, поведение стационарной ударной волны на подвижной сетке; нелинейные вынужденные колебания газа в трубе. Во всех рассматриваемых задачах были получены вполне удовлетворительные результаты, согласующиеся с известными решениями.

Двумерные схемы TVD получены распространением одномерных скалярных схем на пространственный случай. Известно, что одномерные скалярные схемы имеют второй порядок точности аппроксимации на гладких решениях н первый в экстремальных точках. Что касается скачков, то ва разрывах оценить аналитически точность аппроксимации не представляется возможным. С целью оценки точности аппроксимации двумерной схемы TVD на разрывах было проведено численное исследование: рассматривалось поведение выбранного параметра, характеризующего решение задачи со скачками, в зависимости от изменения шага разностной сетки, покрывающей расчетную область.

Решалась задача обтекания угла сжатия сверхзвуковым потоком невязкого газа. В качестве параметра задачи был выбран угол наклона касательной к графику изменения давления в окрестности ударной волны. Расчет осуществлялся на пяти сетках, образованных из начальной сетки 14 х 3 с последовательным увеличением числа ячеек в четыре раза при переходе от одной сетки к следующей. Последняя, пятая сетка имела 224 х 48 ячеек. Расчеты были проведены как для схемы TVD второго порядка точности, так и для схемы "upwind" первого порядка.

Анализ расчетных данных показал, что на скачках, представляющих собой стационарные ударные волны, схема TVD "второго" порядка имеет точность аппроксимации меньшую, чем единица, и близка к О (Л08), а схема "upwind" "первого" порядка - O(h0-7).

Аналогичные расчеты были проведены для оценки точности аппроксимации разностного решения схем TVD на волне разрежения. Если в предыдущем разделе решения уравнений газовой динамики были разрывными, то в данном случае они являются непрерывными, с разрывами производных на переднем и заднем фронтах волны разрежения. Рассчитанные оценки для схем TVD "второго" порядка и "upwind" "первого" порядка составили соответственно (?(Л0 5) и O(/i0-3).

Рис. 10

Расчеты задач обтекания на двумерных динамически адаптивно-встраивающихся сетках приведены для задач стационарного обтекания препятствий сверхзвуковым потоком невязкого газа.

На рис. 10 показаны встраивающаяся сетка 4-го уровня и полученные на ней изобары при обтекании угла сжатия. Для оценки эффективности адаптивной методики эта задача была решена на регулярной сетке с числом ячеек 112 х 24, которые по размерам соответствовали ячейкам 4-го уровня (рис. 10). Результаты сравниваемых расчетов практически совпали. Было установлено, что применение адаптивного подхода позволило более чем в 5 раз сократить процессорное время по сравнению с расчетами на регулярной сетке в том случае, когда ячейки встраивающейся сетки могли свободно создаваться с самого начала расчета вплоть до максимального для данной задачи 4-го уровня. Изменение стратегии вычислений, когда ячейки следующего уровня по отношению к текущему создавались только после достижения на этом уровне установившегося решения, позволило сократить время счета более чем в 20 раз.

Результаты по обтеканию тупого угла сверхзхвуковым потоком газа приведены на рис, 11. Эта задача характеризуется тем, что возмущения, распространяющиеся в область, формируются в точке излома. Поэтому точность решения в целом определяется точностью вычислений в этой точке. Приведенные на рис. 11 результаты расчета были получены соответственно на сетках 1-го, 4-го и 8-го уровней, причем ячейки самых высоких уровней располагались в окрестности точки излома. Общее число расчетных ячеек в этой задаче составило 5742. Для того, чтобы получить решение подобной задачи с такой же точностью, потребовалось бы 688128 ячеек регулярной разностной сетки.

На рис. 12 приведены результаты расчета обтекания односкачкового сверхзвукового воздухозаборника потоком газа с Мтс = 5. Приведенные на рис. 12 изобары получены соответственно на сетках 1-го, 2-го, 3-го и 4-го уровней. Здесь же дана сетка 4-го уровня. Видно, что по мере перехода к сетке более высокого уровня происходит уменьшение зо-

Рис. 11

ны размазывания скачков примерно в два раза. Рассматриваемая задача характеризуется сложным взаимодействием ударной волны с волной разрежения и твердыми стенками. Тем не менее здесь, как и в предыдущих задачах, рассчитанные величины газодинамических переменных хорошо согласуются с точными значениями. При этом такое решение удается получить при значительном сокращении процессорного времени по сравнению с регулярными сетками, обеспечивающими такую же точность.

Класс задач обтекания препятствий сверхзвуковым потоком вязкого газа при больших числах Рейнольдса характеризуется разномасштабной структурой потока и поэтому относится к труднорешаемым. Основные сложности обусловлены ограниченностью вычислительной техники. Разработанная методика, объединяющая схемы второго порядка точности и методы динамически адаптивных сеток, предназначена для исследования указанного класса задач при умеренных ресурсах компьютерной техники.

Для сравнения численных данных используются решения, полученные приближенными методами рядом авторов (Буземан, Карман, Цянь, Дородницын, Ханцш и Вендт, Крокко), которые обобщены и приведены в монографиях 4 > 5.

4Коч2Е Н.Е., Кжбель H.A., Pose Н.В. Теорем-чесги гвдромехалжка-- М.: Госуда-рствеЕюе кзда-тель-ство фкзжво-иа.текагжчес£ой литературы, 1963, часть 2, 728 с.

'Шлжхтгжг Г. Теория иогракжчкого слоя,- М.: Науха, 1974, 712 с.

^^^»»^данрЭй »».за

Рис. 12

Были решены задачи обтекания плоской пластины сверхзвуковым потоком вязкого газа. Пластина являлась либо теплоизолированной (дТ/дп)№ = 0, либо изотермической Тт = Г«,. Число Рейнольдса в рассматриваемых задачах Де^ = 103. На рис. 13 приведены зависимости температуры Т/Тт и продольной скорости и/и^ как функции автомодельной переменной г) = (у/х)^/Яех вдоль нормали к поверхности пластины, где оо- Левая колонка графиков представляет результаты решения задачи для изотермической пластины, правая - адиабатической. Большими звездочками отмечено решение, приведенное в /4,5/, штриховой линией - решение, полученное на адалтивно-встраивагощейся сетке 2-го уровня, сплошной - 3-го уровня.

Сопоставление расчетных данных с известными решениями обтекания пластины сверхзвуковым потоком вязкого газа показывает их удовлетворительное совпадение.

Получено решение сложной и типичной задачи отрыва погранслоя под действием наклонной ударной волны. На пограничный слой, образованный при обтекании пластины потеком вязкого газа, падает ударная волна (рис. 14). При достаточной интенсивности падающей ударной волны возникает отрыв пограничного слоя. Это приводит к образованию характерной системы из трех скачков уплотнения и волны разрежения (рис. 14).

V '

•ул. î Рис. 13

Для рассматриваемой задачи имеются экспериментальные 6 и многочисленные расчетные данные, полученные с применением различных численных методов 7> 8. Число Рейнольдса определяется по параметрам невозмущенного потока газа и расстоянию от передней кромки пластины до точки пересечения скачка с ее поверхностью Rei = 2.96 • 105.

Для таких чисел Рейнольдса толщина пограничного слоя S ~ Re1/2 является очень малой по отношению к характерным геометрическим размерам задачи. Поэтому очевидно, что в подобных задачах необходимо использовать адаптивные сетки.

Расчет был проведен на сетке 60 х 30 с применением к ней процедуры адаптивно-подвижных сеток таким образом, чтобы в пограничном слое размещалось не менее трех- пяти ячеек. Дальнейший расчет осуществлялся по алгоритму адаптивно-встраивающихся сеток. Изолинии плотности для установившегося решения приведены на рис. 15. Так как плотность поперек пограничного слоя меняется, то по изолиниям плотно-

'НаШлек R.J., Greber I., Trilling L., АЬагЬале! S. ТЬ.е Interaction of ал. Oblique Shock Wave with a. Laminar Boundary Layer.- NASA Memo 2-18-5SW, 1959, p.1-15.

'Толстых А.И. Кошактвые разгостше схеиы и их ираложежжя к проблемах аэропдроджаамяхж.-M.: H&yxa, 1980, 230 с.

'Коггеп В. Upwind Discretization oil the Steady Naviei-Stokes Equations - Int. J. Nuxaer. Meth. in Fluids., 1990, vol.11, p.99-1 IT.

Рис. 15

сти около плоскости можно составить представление о толщине погран-слоя. Отчетливо выделяются все описанные ранее газодинамические особенности: ударные волны, волна разрежения и пограничный слой. Общее количество расчетных ячеек для сетки 4-го уровня равно 12200. На рис. 16 приведен фрагмент расчетной области в месте расположения отрывной зоны в виде направлений векторов скоростей в ячейках сетки. Здесь видно, что в пограничном слое располагается достаточно большое число ячеек разностной сетки.

Сравнения полученных расчетных данных с известными экспериментальными данными и расчетными результатами других авторов приведены рис. 17а,Ъ в виде графиков изменения давления и коэффициента трения вдоль поверхности пластины. Цифрой 1 отмечены результаты настоящей работы, а 7-8 - ранее цитируемых работ других авторов /78/. Кривая 9 представляет распределение давления, полученное при использовании схемы первого порядка точности /8/. Экспериментальные данные работы /6/ приведены в виде темных кружков. Сопоставление приведенных графиков показывает, что расчетные данные близки к из-

1-50 ^ р

1 00

6 <? //','• 1

з оо зге

г во «оо

¿.00 ¿.¿О Л О 3.60 3.1

Рис. 17

Рес. 18

вестным и правильно отражают исследуемое явление.

Течение вязкого газа в сверхзвуковом воздухозаборнике является более сложной задачей. Если в предыдущем примере имело место единичное взаимодействие пограничного слоя с ударной волной, то здесь решение сильно осложняется из-за многократного взаимодействия ударных волн с пограничным слоем, волнами разрежения. Для наглядности реальные размеры изменены. В вертикальном направлении здесь и далее картины воздухозаборника растянуты в три раза. На рис. 18 приведена разностная сетка, на которой получено рассматриваемое решение. На рис. 19-20 приведены решения рассматриваемой задачи соответственно в виде линий равных плотностей и давлений. Анализ этих результатов и их сопоставление с невязким решением показывает, что между сравниваемыми течениями имеются принципиальные различия. Это видно

при рассмотрении рис. 21а, на котором приведены графики изменения давления вдоль нижней поверхности воздухозаборника для невязкого (штриховые кривые) и вязкого режима течения. Распределения давлений различаются не только количественно, но и качественно: для вязкого обтекания отсутствует провал в окрестности формирования волны разрежения, характерный в невязком случае, что обусловлено диффузией волн сжатия в дозвуковой зоне пограничного слоя. На рис. 21Ь приведен фрагмент расчетной области в окрестности точки излома нижней поверхности в виде векторов скорости в ячейках разностной сетки. Здесь располагается зона возвратного течения, образованная в результате отрыва пограничного слоя.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Разработана методика для численного решения нового класса задач обтекания потоком газа жестких или деформируемых препятствий. В состав методики входят:

- разностная схема произвольного лагралжево-эйлерова метода (ПЛЭ);

- разностная схема метода ТУБ второго порядка точности на гладких решениях;

- геометрически адаптивные сетки;

- динамически адаптивные сетки.

В зависимости от класса решаемых задач используются различные сочетания приведенных элементов методики. В задачах взаимодействия мягких оболочек с потоком газа применяются схема ПЛЭ и геометрически адаптивные сетки. Для численного исследования сложных задач обтекания препятствий сверхзвуковым потоком невязкого и вязкого газа с неоднородной структурой потока, масштабы которого могут различаться на несколько порядков, используется схема ТУБ и динамически адаптивные сетки, которые могут быть либо адаптивно-подвижными, либо адаптивно-встраивающимися. Установлено, что созданная методика при локальной адаптации позволяет сокращать от пяти до двадцати раз время счета без потери точности получаемых результатов по сравнению с методами, использующими регулярные конечно-разностные сетки.

2. На основе рассматриваемой методики:

- решена задача о нелинейных колебаниях эластичной мембраны в дозвуковом потоке газа. Анализ результатов счета показал, что напряженно-деформированные состояния оболочки, находящейся в потоке газа, и оболочки, перемещающейся под действием постоянного перепада давления, существенно различаются. Это показывает, что пренебрежение эффектами взаимодействия приводит к другому решеншо, отличающемуся не только по количественным, но и по качественным характеристикам как потока газа, так и напряженно-деформированного состояния оболочки;

- получено решение задач о нестационарном раскрытии осесимметрич-ного парашюта в дозвуковом и сверхзвуковом потоках газа. Данные численного эксперимента показали, что в отличие от раскрытия парашюта на сверхзвуковом режиме обтекания, когда процесс выходит на установление, при дозвуковом режиме наблюдаются автоколебания купола парашюта. Проведенный сравнительный анализ данных задачи взаимодействия с результатами раскрытия парашюта при заданных законах на-гружения показал, что отличия по различным параметрам могут быть

значительными. Таким образом, для получения достоверной и точной информации о происходящих динамических процессах в газе и оболочке необходимо решать задачу взаимодействия во всей ее полноте;

- исследованы нестационарные эффекты, протекающие в камере ракетного двигателя на твердом топливе. Получены расчетным путем низкочастотные продольные колебания газа. Установлено, что используемая модель зависимости скорости горения заряда от давления не позволяет получить нелинейные колебания газа, известные как "вибрационное горение", даже при инициировании в камере сильных возмущений давления;

- решена сложная тестовая задача об отрыве пограничного слоя под действием наклонной ударной волны. Сравнение с экспериментальными данными подтверждает высокую точность используемой методики и достоверность получаемых на ее основе численных данных;

- получено и проанализировано решение задачи о течении вязкого газа в сверхзвуковом воздухозаборнике. Выявлена сложная структура течения с отрывами пограничного слоя в окрестности излома контура воздухозаборника. Сопоставление полученного решения с решением в невязкой постановке показывает их принципиальное различие и указывает на чрезвычайную важность учета вязкостных свойств газа;

- проведены численные эксперименты по определению точности аппроксимации TVD схемы 2-го порядка на ударной волне и волне разрежения. Анализ результатов счета показал, что на скачках точность аппроксимации падает до 0(h0 3), а на волнах разрежения до O(h0 b). Для схемы "upwind" 1-го порядка аппроксимации аналогичные оценки составили O(h0,r) и 0(h°-3) соответственно.

В заключение автор выражает глубокую благодарность Ильгамову Марату Аксановичу за постоянное внимание и поддержку, оказанную при работе над диссертацией. Особую признательность автор хотел бы выразить Аганину Александру Алексеевичу за постоянный интерес и обсуждение элементов этой работы на разных этапах ее выполнения, Кулачковой Нине Алексеевне, она сделала много для того, чтобы появилась эта работа, Сахабутдинову Ж ал дату Мирсаяповичу, с которым автор начинал представленную диссертационную работу.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Гильманов А.Н. Динамика ударного взаимодействия мягкой сфе-

рической оболочки //Нелинейныепроблемыаэрогидроупрутости. Труда семинара. /Казанск. физ.-техн. ин-т. 1979, N 11. С.98-114.

2. Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Динамика упругих мем брал из несжимаемого материала Сб."Нелинейная теория оболочек ] пластин.- Тез.докл.Казань, 1980г.

3. Гильманов А.Н. Удар мягкой сферической оболочки, заполнен ной газом, о жесткую поверхность // Колебания упругих конструкций жидкостью. М: ЦНТИ "Волна", 1980, С.77-81.

4. Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Численное решение зада чи динамики мягкой оболочки в потоке газа // Препринт, Новосибирск ИТПМ СО АН СССР, 1980, N47. С.4-6.

5. Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Произвольный лагранж« во-эйлеров метод в нелинейных задачах взаимодействия упругого тела потоком газа // Взаимодействие оболочек с жидкостью. Труды семинар / Казанск. физ.-тех. ин-т. 1981, N 14. С.127-145.

6. Гильманов А.Н., Ильгамов М.А., Сахабутдинов Ж.М. ВзаимодеЁ ствие мягких оболочек со сжимаемой жидкостью / /Пятый Всесоюзны съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотация докладо! Алма-Ата: Наука, 1981, С.111.

7. Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Задачи динамики ynpj гих мембран из несжимаемого материала Сб."Взаимодействие оболоче с жидкостью" .-Казань: КФТИ КФАН СССР, вып. 14,1981г.

8. Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Произвольный лагранжев< эйлеров метод в нелинейных задачах азрогидроупругости.- Сб.ЧММСС Новосибирск, т.12, N6, 1981

9. Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Нестационарное взаимоде* ствие мягкой оболочки с потоком газа.- Сб." Механика сплошных сред" тез .докл.-Наб.Челны, 1982г.

10. Гильманов А.Н. Нелинейные колебания эластичной мембраны дозвуковом потоке газа // Гидроупругость оболочек. Труды семинар /Казанск. физ.-тех. ин-т. 1983, N 16. С.53-69.

Н.Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б., Сахабутдинов Р.М.Нестациона] ное взаимодействие осесимметричного парашюта с потоком газа.- C6.V] Дальневосточная конф. по мягким оболочкам.- Владивосток, 1983г.

12.Гильманов А.Н., Сахабутдинов P.M. Динамика раскрытия купол парашюта при известных законах нагружения Сб.VII Дальневосточна конф. по мягким оболочкам.- Владивосток, 1983г.

13. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное модел]

рование процесса раскрытия парашюта // Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотация докладов. Ташкент: Наука, 1985, С. 16.

14. Гильманов А.Н., Аганин A.A. Изучение неотражающих усло-вий на искусственных границах расчетной области // Динамика оболочек в потоке. Труды семинара / Казанск. физ.-тех. ин-т. 1985, N 18. С.77-87.

15. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование взаимодействия газовых потоков с подвижными телами изменяемой геометрии // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1986, т. 17, N 6. С.3-11.

16. Аганин A.A., Гильманов А.Н., Кузнецов В.Б. Численное моделирование взаимодействия парашюта с газом // VIII Дальневосточная конф. по мягким оболочкам - Владивосток, 1987, с.96-99.

17. Аганин A.A., Гильманов А.Н, Кузнецов В.Б. Численное моделирование сильного взаимодействия мягких оболочс«.__. произвольного лагранжево-эйлерова метода и метода консервативной интерполяции // Взаимодействие оболочек со средой.Труды семинара / Казанск. физ.-тех. ин-т. 1987, N 20. С.51-69.

18. Гильманов А.Н., Ильгамов М.А., Илюшин A.A. Численное мо-

птпыва потока на тт nw—л-------------- . •• ~ криволинейной

образующей / / Шаимодьястзпе оболочек со средой. Труды семинара j Казанск. физ.-тех. ин-т. 1987, N 20. С.91-98.

19. Гильманов А.Н., Ильгамов М.А., Илюшин A.A. Численное моделирование отрыва потока при взаимодействии с мягкой сферической оболочкой, заполненной газом // VIII Дальневосточная конф. по мягким оболочкам - Владивосток, 1987, с.66-69.

20. Гильманов А.Н., Илюшин A.A. Исследование отрыва сверхзвукового потока газа при поперечном обтекании цилиндра / / Моделирование в механике. Новосибирск, 1988, т.2, N1. С.26-34.

21. Гильманов А.Н., Губайдуллин A.B., Екимцов С.А., Кулачкова H.A. Численное моделирование нестационарного течения газа в РДТТ// Моделирование рабочих процессов в РДТТ. Труды семинара / Казанск. физ.-тех. ин-т. 1989, N 23. С.68-75.

22. Гильманов А.Н., Губайдуллин A.B. Численное моделирование одномерных течений газа со скачками методом "минимизации полной вариации" (TVD) // Моделирование в механике. Новосибирск, 1993, т.7, N1. С.29-41.

23. Gilmanov A.N., Kulachkova N.A. Numerical simulation of high- speed

flows //Abstracts of the second International Workshop " Anaiitical Methods and Process Optimization, in Fluid and Gas Mechanics". Arzamas, Russia. 10-15 September 1994, P.52.

24. Gilmanov A.N., Kulachkova N.A. On an approach to calculating hypersonic inlets //Abstracts of TsAGI's Workshop-school "Research in Hypersonic Flows and Hypersonic Technologies". Zhukovsky, Russia. 19- 21 September.

1994, Section 5. P.6-8.

25. Gilmanov A.N., Kulachkova N.A. Investigation of strong viscous/in-viscid shock-boundaxy layer interaction in hypersonic inlet //Abstracts ol the International Conference "Fundamental Research in Aerospace Science". Zhukovsky, Russia. 22-24 September 1994, Section 4. P.18-20.

26. Агалин A.A., Гильманов A.H., Кузнецов В.Б. Численное моделирование сильного взаимодействия мягких оболочек с потоком газа// Материалы 1-й Поволжской научно-технической конференции.-Самара

1995.- с.55-56.

27. Гильманов А.Н., Кулачкова Н.А. Об одном подходе численного исследования обтекания воздухозаборников сверхзвуковым потоком газа при больших числах Рейнольдса// Материалы 1-й Поволжской научно-технической конференции.-Самара 1995.- с.56-57.

28. Гильманов А.Н., Губайдуллин А.В., Кулачкова Н.А. Исследование нестационарных процессов в камере ракетного двигателя на твердом// Материалы 1-й Поволжской научно-технической конференции.-Самара 1995 - с.65-66.

29. Gilmanov A.N., Kulachkova N.A. Numerical Investigation of boundary layer separation in hypersonic inlets// Международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении.- Казань 1995.-с.33-35.

30. Gilmanov A.N., Gubaidullin A.V., Kulachkova N.A. Numerical investigation of unsteady processes in an engine of solid- propellant rockets/ / Международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении.- Казань 1995.- с.62-63.

31. Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Численное решение задач аэроупругости J J Обзоры исследований по механике сплошной среды. Труды семинара / Институт механики и машиностроения КНД РАН. 1995, С.131-145.

32. Гильманов А.Н., КулачковаН.А. Численное исследование двумер-

ых течений газа со скачками методом TVD на физически адаптивных !тках// Математическое моделирование, 1995, т.7, N.3, с.97-106.

33. Gilmanov A.N., Kulachkova N.A. Numerical investigation of super-inic flows by TVD-method on adaptive grids //Abstracts of the Interna-onal Conference "Advanced Mathematics, Computations and Applications", ovosibirsk, Russia, 20-24 June 1995, P.124.

34. Гильманов A.H., Кулачкова H.A. Метод TVD на адаптивно-:траивающихся сетках в задачах сверхзвуковой газовой динамики// Во-[>осы атомной науки и техники. Сер.: Математическое моделирование изических процессов, 1995, Вып.1-2, с.72-79.