автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование усиления ударных волн в пузырьковых средах

Введение

Глава 1. Физико-математическая постановка задачи динамики ударных волн в пассивных пузырьковых системах

§ 1. Основные уравнения

§2. Численные методы решения

§3. Реализация начальных и граничных условий

§4. Законы сохранения энергии

§5. Метод определения погрешности максимальной амплитуды давления в области фокусировки

Глава 2. Взаимодействие плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером

§ 1. Фокусировка ударной волны сферическим кластером

§2. Влияние исходных параметров задачи на значение максимальной амплитуды давления и размеры пятна фокусировки

§3. Энергетические оценки для области фокусировки

§4. Динамика формирования волн, излученных сферическим облаком пузырьков

§5. Взаимодействие плоской ударной волны с двумя сферическими пузырьковыми кластерами

Глава 3. Структура ударной волны, излученной тороидальным облаком пузырьков

§ 1. Особенности структуры маховского диска

§2. Маховское отражение, возникающее при схождении кольцевой ударной волны к оси симметрии

§3. Влияние геометрических характеристик тороидального пузырькового кластера на кумулятивный эффект

Проблемы получения высоких импульсных давлений в жидкостях и газах в течение многих лет привлекают внимание исследователей. Их решения достигаются в результате создания различных типов генераторов, методов кумуляции ударных волн и, наконец, поисками и исследованиями сред, способных воспринимать "закачиваемую" энергию, поглощая относительно слабую внешнюю импульсную нагрузку, концентрировать ее в некоторой локальной области и переизлучать с существенным увеличением амплитуды. К таким проблемам относится создание гидроакустических аналогов лазерных систем, разработка которых связана с анализом поведения различных химически активных или пассивных пузырьковых сред, способных к подобного рода генерации излучения. В данной работе разработана и реализована математическая технология для решения задач механики гетерогенных сред с аномальной сжимаемостью. Она включает в себя создание численных методов решения двумерных нестационарных задач волновой динамики пузырьковых сред для случая аксиально-симметричного течения. Несмотря на расширение вычислительных возможностей и углубление гидродинамического описания с привлечением более полных уравнений и отказом от ограничений, определяемых идеализацией структуры движений, моделирование динамики двухфазной жидкости представляет собой сложную задачу. Используемая в данной работе двухфазная математическая модель Иорданского - Когарко -ван Вингардена включает в себя в качестве существенного элемента систему уравнений газовой динамики. Уравнения газовой динамики нелинейны, поэтому единственным эффективным и универсальным способом их решения являются численные методы, основанные на использовании вычислительной техники. В силу их применимости к самому широкому спектру физических задач в самой общей постановке, конечно-разностные методы преобладают среди методов решения системы уравнений газовой динамики. Область применения любого метода, приспособленного для реализации некоторой модели течения, является ограниченной по причине разнообразия и сложности структуры реальных течений. В результате этого возникает необходимость в создании модифицированных версий в рамках конечно-разностного подхода. Присущие любому методу ограничения заставляют в каждом конкретном случае искать оптимальное соотношение требуемой точности, простоты реализации, устойчивости и других факторов выбора. Рассматриваемая задача динамики ударных волн в пассивных пузырьковых системах реализована с использованием явной схемы с направленными разностями и модифицированной схемы расщепления, адаптированной для рассматриваемой задачи.

В 50-70-х годах был выполнен большой цикл экспериментальных исследований механизма трансформации ударных волн при их распространении в жидкости с пузырьками газа, предложен ряд математических моделей, позволяющих анализировать как аналитически, так и численно основные особенности процесса взаимодействия ударных волн с пузырьковыми системами [1-14]. Наиболее интересные особенности этого процесса обусловлены неравновесностью давлений в жидкой и газовой фазах, сложным процессом поглощения и переизлучения энергии падающей ударной волны двухфазной средой [1-3]. Они наглядно проявляются как в случае коротких ударных волн (достаточно произвольной интенсивности), так и при исследовании длинных волн с крутым фронтом, если речь идет об относительно продолжительном релаксационном процессе, малых исходных объемных концентрациях газа в среде и существенно нелинейных пульсациях пузырьков. Под короткими волнами обычно подразумеваются волны, положительная фаза которых сравнима со временем схлопывания пузырьков.

Принципиально другие эффекты наблюдаются при распространении ударных волн в смесях с высоким (десятки процентов) газосодержанием и с малыми временами релаксации, т. е. достаточно быстрым установлением соответствия давления в пузырьках среднему давлению в жидкой фазе, а их переносной скорости — средней массовой скорости жидкости. Они наблюдаются также и при взаимодействии ударных волн большой интенсивности и длительности с пузырьками газа, включая растворение последних. Результаты экспериментальных и численных исследований волновых процессов в таких смесях [1-4] не содержат упомянутых выше особенностей взаимодействия «волна - среда», поскольку определяются в основном условиями равновесности по давлению, скорости, а иногда и по температуре обеих фаз.

Необходимо отметить, что 60—70 годы прошли под «знаком» повышенного внимания к проблемам распространения волн в пузырьковых системах, которые в России подробно исследовались В.Ф.Мининым и В.К.Кедринским в Институте гидродинамики СО РАН, В.Е.Накоряковым, Р.И.Нигматуллиным и их школами в Институте теплофизики СО РАН и Институте механики МГУ, а также Институте химической физики РАН.

Для экспериментальных работ в этой области характерны исследования по распространению слабых волн, а взрывные нагрузки рассматривались, как правило, с точки зрения возможности их демпфирования пузырьковыми завесами. Причем, в рамках последней проблемы формулировались довольно ограниченные цели: определить динамику амплитуд ударных волн в процессе их взаимодействия с завесой, эффективность снижения интенсивности ударной нагрузки и возможность управления её спектральным распределением. Но даже в такой постановке одних сведений о поглощении энергии ударной волны оказалось недостаточно для объяснения характера нагрузки, возникающей за пузырьковым экраном, эффекта усиления волн, существенного изменения её длительности и т. п.

Экспериментальные исследования показали, что процесс демпфирования падающей ударной волны носит, в основном, второстепенный характер, а наибольший интерес представляют механизм трансформации волн и переизлучение энергии, поглощенной пузырьковой средой, а также релаксационные, дисперсионные и диссипативные эффекты, сопровождающие процесс проникновения волны в пузырьковую среду.

Среди теоретических работ следует прежде всего отметить модели Иорданского, Когарко и ван Вингардена [7-10], построенные для сред, состояние которых динамически меняется в результате пульсации газовых пузырьков и описывается некоторой подсистемой, учитывающей уравнение Рэлея. Большой цикл исследований был выполнен по распространению слабых возмущений в пузырьковых системах, их результаты подробно изложены в монографиях Р. И. Нигматуллина [11] и В. Е. Накорякова, Б.Г. Покусаева, И.Р. И.Р. Шрейбера [12]. Здесь, в частности, следует отметить математические аналоги моделей Кортевега - де Вриза, Буссинеска и Бюргерса и создание на их основе подробной карты структур течений.

На основе математических моделей, разработанных Р.И. Нигматулиным, В.Ш. Шагаловым, Н.К. Вахитовой, И.Ш. Ахатовым и др., изучались структура волн детонации [1619] (на основе работ [2, 15]), затухание и усиление ударно-волновых импульсов в пузырьковой среде [20-23], длинно-коротковолновое взаимодействие в пузырьковых жидкостях [24-29], особенности динамики волн давления в жидкости, содержащей зону жидкости с пузырьками [30-32].

В последние несколько лет, благодаря стремительному росту возможностей вычислительных машин, начались исследования динамики волновых процессов в пузырьковых средах на основе численного моделирования в пространстве с двумя независимыми координатами. Отметим работы, выполненные М.Н.Галимзяновым, И.К.Гималтдиновым, В.Ш.Шагаповым, Н.К.Вахитовой [33-34], в которых приведены результаты расчетов для задач о распространении волнового импульса в жидкости при наличии в ней пузырьковой завесы конечных размеров и об эволюции сосредоточенного на Поперечной координате волнового импульса в водовоздушной пузырьковой смеси. Расчеты проведены в двумерной лагранжёвой прямоугольной системе координат на основе системы, состоящей из уравнений масс, числа пузырьков, импульсов и давления в пузырьках в односкоростном приближении. . В. [35] с использованием метода многомасштабных разложений построена модель двумерного взаимодействия ультразвука со звуком в пузырьковой жидкости.

В.Е. Донцовым, В.Е. Накоряковым и В.В. Кузнецовым [35-36] в результате экспериментальных исследований динамики структуры импульсных возмущений в пористых средах, насыщенных пузырьками газа, подтверждено существование двух типов продольных волн — «быстрой» и «медленной». Показано, что процесс их формирования зависит от условий генерации возмущений на границе, а так же сжимаемости пористого скелета и насыщающей его жидкости (газа или газожидкостной смеси). В.Е. Донцовым, В.А. Масловым, В. Е. Накоряковым и Б.Г. Покусаевым получены эволюционные уравнения распространения слабонелинейных возмущений давления двухволновой структуры, учитывающие нелинейные колебания пузырьков, их вязкое затухание в пористой среде [3640], экспериментальные данные по скорости, структуре и затуханию волн умеренной интенсивности в суспензии жидкости с твердыми частицами и газовыми пузырьками [41-44]. Исследовано влияние коэффициента присоединенной массы жидкости на скорость распространения волны, предложена модель, описывающая слабонелинейные волны в трехфазных суспензиях, и показано, что основным механизмом их затухания является теплообмен газа в пузырьках с окружающей жидкостью. Обнаружен и объяснен механизм образования осциллирующих уединенных волн — мультисолитонов в жидкости с пузырьками газа разных размеров (В.Г. Гасенко, В.Е. Донцов, В. Е. Накоряков, В.В. Кузнецов и П.Г. Марков, [45-49]). Влияние дробления пузырьков на эволюцию волны, механизмы их разрушения, столкновение уединенных волн умеренной интенсивности экспериментально исследованы в работах [50-55].

В работах В.К. Кедринского, Ф.Н. Замараева и Ч. Мейдера [56] для описания химических процессов в газе была использована биомолекулярная модель кинетики Тодеса [57]. Процесс распространения пузырьковой детонации с данной кинетикой и уравнением состояния жидкости Тэта, учитывающим сжимаемость жидкой фазы, численно рассчитывался в лагранжевых массовых переменных для системы вода - пузырьки с водородо - кислородной смесью. Свое дальнейшее развитие модель получила в работах В.К. Кедринского [58].

Модель, предложенная в [56], использовалась далее в работах В.К. Кедринского, В.А. Вшивкова, Г.И. Дудниковой, Ю.И. Шокина для'описания взаимодействия ударных волн и волн разрежения в пассивных [59] и химически активных [60-62] пузырьковых средах в одномерной постановке. Сопоставление результатов расчетов и экспериментальных данных показало, что используемая модификация ИКВ - модели хорошо описывает волновые процессы как для пассивных, так и для химически активных пузырьковых сред. В качестве разностного метода использовалась явная схема с направленными разностями в прямолинейных, цилиндрических и сферических лагранжевых координатах. Проведено моделирование образца жидкого взрывчатого вещества, в котором обнаружена возможность инициирования волны пузырьковой детонации при взаимодействии последовательности ударных волн со свободной поверхностью образца, а также при столкновении волн разрежения, распространяющихся от его свободной границы. Данное явление объясняется наличием пульсаций за фронтом волны, которые имеют положительную фазу давления. В случае цилиндрической фокусировки ударных волн в химически активных пузырьковых средах [61] эффект их усиления возрастает, что особенно проявляется в случае коротких ударных волн, когда пузырьковая детонация возбуждается за падающей волной.

Часто проблемы создания различных типов генераторов высоких импульсных давлений не ограничиваются только требованиями кумуляции энергии, а ставят задачу о ее направленном излучении. Из всего широкого спектра публикаций в этой области упомянем исследования неодномерных ударных волн с осевой симметрией [63-76], в которых ^экспериментальные и теоретические постановки связаны с кольцевыми источниками ударных волн и коническими течениями. Внимание исследователей привлекла, в частности, работа [63], где экспериментально исследована фокусировка на ось волны давления в воздухе, возникшей в результате высоковольтного разряда на поверхности разрядника тороидальной формы. Теоретические исследования, выполненные в рамках CCW-модели (модели Честера, Чизнелла, Уизема) для газа, показали, что эффекты неограниченной кумуляции возникают также при фокусировке кольцевых и конических ударных волн [64-66]. В [66] отмечается, что скорость волны Маха (в пренебрежении диссипативными процессами) увеличивается относительно падающей волны в а'1 раз, где а - половинный угол раствора конуса.

Экспериментальный и теоретический анализ топологической перестройки неодномерного фронта ударной волны при ее кумуляции, характер возникающих при этом особенностей течения выполнен.в [67]. Экспериментальному исследованию нерегулярного отражения в газе кольцевой ударной волны от оси симметрии и от твердой стенки посвящены работы [6870]. В последней постановке [70] авторы обнаружили образование квази - сферической сходящейся ударной волны, которая приводит к усилению кумулятивного эффекта в локальной области. Нерегулярное отражение осесимметричной ударной волны в атмосфере от поверхности жидкости наблюдалось в экспериментах по моделированию поверхностного точечного взрыва [58]. Там же исследовались особенности структуры волнового поля при подводном высоковольтном взрыве, кольцевого проводника, генерирующем тороидальную ударную волну в воде, ее фокусировка и последующее взаимодействие с расширяющейся тороидальной полостью, содержащей продукты взрыва, фокусировка образующейся при этом волны разрежения и развитие зоны пузырьковой кавитации в центре тора. Подводный взрыв витков спирали из детонационного шнура, пространственные заряды в виде спиралей исследовались в [70-71]. Фокусировка ударной волны в воздухе, генерируемой бегущей по кольцу детонационной волной, а также структура поля давления, формирующегося при взрыве в воздухе "кольцевых и спираль ных зарядов, исследованы в [72-73]. Результаты численного анализа фокусировки тороидальной ударной волны при различных значениях чисел Маха и геометрических параметрах схемы приведены в [74]. В качестве другого примера фокусировки волн в осесимметричной геометрии можно указать работу [75], в которой численно исследована задача о гидродинамической ударной трубке со скачками поперечного сечения, заполненная химически активной пузырьковой смесью. Показано, что в такой постановке в результате фокусировки волны пузырьковой детонации на ось формируется маховская конфигурация, т.е. продемонстрирована возможность нерегулярного маховского отражения в таких средах.

Успехи гидродинамики в течение четырех последних десятилетий обязаны прежде всего развитию средств и методов вычислений. Становление вычислительной гидродинамики происходило на основе существовавшей к началу 60-х годов сравнительно небольшой группы методов и элементов теории разностной аппроксимации. Углубление гидродинамического описания с привлечением более полных уравнений и отказ от ограничений, определяемых идеализацией структуры движений, приводит к тому, что численное моделирование акустически активных систем представляет собой сложную задачу. Рассматриваемая постановка задачи динамики ударных волн в пассивных пузырьковых системах включает в себя в качестве существенного элемента систему уравнений газовой динамики. Уравнения газовой динамики нелинейны, поэтому одним из эффективных и универсальных способов их решения являются численные методы, основанные на использовании вычислительной техники. Среди методов решения системы уравнений газовой динамики доминируют конечно-разностные методы. Это объясняется их применимостью к самому широкому спектру физических задач в самой общей постановке. Вместе с тем, почти каждая задача требует модификации общего подхода, и разностные методы могут оптимизироваться для различных задач. Это выражается, например, в возможности построения неявных разностных схем [76]. В приложении к рассматриваемой задаче такое свойство неявной реализации, как неудовлетворительная локализация разрывов, является очень существенным. Для компенсации этого свойства пространственный шаг сетки требуется измельчить примерно в четыре раза по сравнению с явной реализацией, что для двумерной постановки задачи приводит к невозможности применения неявной схемы. Возможность увеличения временного шага сетки является несущественным фактором выбора метода решения рассматриваемой нестационарной задачи, так как для получения качественных характеристик изучаемого физического процесса требуются результаты расчета через небольшие промежутки времени.

Одной из первых разностных схем, примененных к расчету газодинамических течений, была схема Лакса [77]. Она проста в реализации, монотонна, но обладает сильной диссипацией, что ведет к сильному размазыванию скачков. Наиболее популярными среди схем первого порядка аппроксимации являются схемы Годунова [78] и Русанова [79]. Расчеты газодинамических течений по схемам распада разрыва производится более аккуратно, чем по схеме Лакса, применимы к широкому классу задач газовой динамики, но характеризуются большим объемом вычислений на каждом временном шаге.

При численном решении нестационарных задач уместно использовать разностные схемы, имеющие согласованный порядок аппроксимации как по пространственной координате, так и по времени. Примером такой схемы второго порядка может являться схема Лакса -Вендроффа [80]. Реализация модели в аксиально-симметричной системе координат подразумевает инвариантность используемой разностной схемы. Существует сильная зависимость решения, полученного по схеме Лакса-Вендроффа, от выбора системы координат [81]. Отсутствие свойства монотонности приводит к сильным осцилляциям решения в области локальных экстремумов и разрывов. Существование предвестников ударной волны в пузырьковой среде налагает такое обязательное требование к выбору разностного метода, как отсутствие счетных осцилляций. Иначе возникнет неразрешимый вопрос об отделении счетных осцилляций от осцилляций решения, имеющих физический смысл.

Другие схемы второго порядка аппроксимации, например, метод конечных объемов [82], схема Абарбанеля и Цваса, схема фон Неймана - Рихтмайера [83], консервативный метод с перешагиванием и метод квазивторого порядка точности [84], так же порождают осцилляции решения.

Наиболее удобными для газодинамических расчетов считаются двухшаговые разностные схемы (схема Рихтмайера, схема Цваса [81]), использующие девятиточечный шаблон, что требует дополнительных краевых условий. Самой популярной из семиточечных разностных схем является схема Мак - Кормака [83].

Для реализации системы уравнений газовой динамики могут быть использованы разностные схемы повышенного порядка аппроксимации, как, например, схема Русанова третьего порядка, схема Балакина, Абарбанела - Готтлиба, Крайсса - Олигера, Тушевой [81, 85-89]. Но повышение точности схемы увеличивает трудоемкость её реализации, уменьшает устойчивость, требует дополнительных краевых условий, что существенно усложняет постановку разностной краевой задачи.

В последнее время в области конструирования .нелинейных адаптивных конечно-разностных методов выделяется построенная А. Хартеном [90] теория TVD схем, открывшая путь к конструированию и строгому обоснованию высокоточных схем, сохраняющих монотонность численных решений и равномерно сходящихся к решению исходной дифференциальной задачи. Схемы TVD [91] по сравнению с другими при одинаковом объёме вычислений обеспечивают более высокую точность расчета и обычно не подвержены вычислительной неустойчивости. Сложность их реализации приводит не только к увеличению объема памяти и времени расчета, но и к потере явной взаимосвязи между составляющими потоков и ограничителями с их физическим смыслом. Сложная структура решения в изучаемой модели, обусловленная особенностями распространения ударных волн - в пузырьковой среде, требует особенного контроля работы различных составляющих разностной схемы. Еще задолго до появления теории TVD схем Борисом и Буком [92] был разработан метод коррекции потоков (FCT метод), в основу которого положена схема ■ предиктор - корректор. Метод коррекции потоков позволяет с хорошим качеством рассчитывать разрывные решения без появления новых ложных локальных экстремумов и уничтожает цуг дисперсионной ряби, обычно сопровождающий решение в виде единственного пика, возвышающегося над более или менее однородным полем. Однако высота максимумов в результате коррекции потоков может стать слишком малой — до 30 — 40% в случае узких пиков. В рассматриваемой задаче значение максимальной амплитуды давления является одним из важнейших искомых параметров течения.

Разнообразие и сложная структура реальных течений ведет к тому, что сфера приложений любого метода, приспособленного для реализации некоторой модели течения, неизбежно оказывается ограниченной. Результатом этого является создание различных аппроксимационных конструкций, версий и модификаций в рамках конечно-разностного подхода. Ограничения, присущие любому методу, заставляют в каждом конкретном случае искать компромисс между требуемой точностью, простотой реализации, устойчивостью и другими факторами выбора. Двухфазная математическая модель Иорданского — Когарко — ван Вингардена реализована с использованием явной схемы с направленными разностями [76]. Выбор явной схемы с направленными разностями обусловлен ее надежностью, простотой и удобством контроля численных результатов. Одним из способов построения экономичных разностных схем является применение метода расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям [93-94]. Введение расщепления операторов позволяет свести решение разностных уравнений к скалярным прогонкам или бегущему счету. Но при расчетах существенно пространственных течений, имеющих сложную структуру, эффективность схем расщепления (точность расчетов и скорость сходимости) понижается, что вызвано влиянием приближенной факторизации исходного многомерного оператора. Альтернативой этому является применение нефакторизованных схем. Но их реализация сводится к матричным прогонкам или итерациям на каждом временном слое, что приводит к понижению эффективности алгоритмов. В настоящей работе использована модифицированная схема расщепления [95], адаптированная для рассматриваемой задачи. Модификация метода расщепления включает в себя расщепление по пространственным направлениям и состоит из предиктора, являющегося абсолютно устойчивым и обеспечивающего устойчивость всей схемы, и корректора, возвращающего схеме свойство консервативности и второй порядок аппроксимации. Используемая схема расщепления обладает абсолютной устойчивостью, реализуется скалярными прогонками, но влияние приближенной факторизации минимально.

Заметим, что если для рассматриваемой задачи целесообразна своя модификация выбранных методов численной реализации, то верно и то, что эта задача может быть успешно решена и другими методами или их сочетанием [96].

Таким образом, пузырьковые среды в качестве источника мощного излучения в жидкости представляют несомненный интерес.

В связи с изложенным представляется актуальным:

- разработка численной модели, адекватно описывающей динамику взаимодействующей с расположенным в жидкости пузырьковым кластером ударной волны;

- верификация этой модели по экспериментальным данным;

- проведение качественного анализа задачи о структуре ударной волны в жидкой среде, содержащей пузырьковый кластер, с учетом неравновесных давлений и единых скоростей компонентов;

- численное исследование фокусировки ударной волны с криволинейным фронтом и градиентом давления вдоль него, формирующейся в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером; численное исследование фокусировки стационарной осциллирующей ударной волны, возбужденной тороидальным пузырьковым кластером, и структуры результирующего волнового поля в ближней зоне кластера;

Цель работы.

Разработка и реализация вычислительной технологии для решения задач механики неоднородных сред, включающей: создание численных моделей, адекватно описывающих нестационарные волновые процессы в неоднородных средах;

- модификацию численных методов решения двумерных нестационарных задач волновой динамики пузырьковых сред в аксиально-симметричной постановке с использованием наиболее точных на данный момент моделей динамики пузырьковой среды;

- создание комплекса программ для численного моделирования процессов взаимодействия плоских ударных волн с пассивной пузырьковой системой в двумерной аксиально-симметричной постановке; исследование на основе созданных алгоритмов и программ: процесс взаимодействия плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером; кумуляции осциллирующей ударной волны, генерируемой тороидальным облаком пузырьков; структуры результирующего волнового поля в ближней зоне тороидального кластера и характер отражения сходящихся кольцевых волн.

Научная новизна работы заключается в:

1. Разработке численного метода с улучшенными вычислительными характеристиками для решения нестационарных задач механики неоднородных сред в аксиально-симметричной постановке.

2. Анализе структуры ударных волн в пузырьковой среде, численных исследованиях процессов взаимодействия плоской ударной волны с облаком пузырьков и распространения ударной волны излучаемой пузырьковым кластером.

3. Обнаружении эффекта фокусировки ударной волны, переизлучаемой сферическим пузырьковым кластером, получении зависимостей максимальной амплитуды давления и размеров пятна фокусировки от параметров течения.

Определении особенностей структуры и фокусировки тороидальной ударной волны, излучаемой пузырьковым кластером, в том числе и нерегулярного маховского отражения, возникающего во время кумуляции кольцевой ударной волны на оси симметрии.

Научная -и практическая ценность работы заключается в исследовании акустически активных систем, способных к генерации мощного излучения, исследования динамики их состояния и волновых процессов, в изучении поведения ударных волн в системе распределенных в жидкости пузырьковых кластеров и механизмов их усиления, в определении влияния начальных параметров смеси и динамических характеристик ударной волны на структуру ударных волн, излучаемых пузырьковым кластером, что может быть использовано при создании "сазера" (SASER - shock amplification by systems with energy release), акустического аналога импульсных лазерных систем. Созданная численная модель динамики ударных волн в пузырьковых средах и реализующий ее пакет программ дают разработчикам гидроакустических аналогов лазерных систем эффективный инструмент, который позволяет принимать научно обоснованные решения для постановки физических экспериментов и может послужить основой для создания генераторов акустического излучения. Расчеты динамики взаимодействия плоской ударной волны с пассивным пузырьковым кластером в двумерной аксиально-симметричной постановке могут быть полезны как необходимый фактический материал при переходе к трехмерной постановке задачи, существенно расширяющей возможности численной оптимизации. В дальнейшем^ разработанный комплекс программ может быть включен в качестве блока в пакет программ, моделирующих динамику химически активной пузырьковой среды.

Представленные в диссертации исследования проводились в соответствии с планами ИВТ СО РАН по темам «Математическое моделирование и вычислительные технологии в задачах гидродинамики, физики плазмы, микроэлектроники и экологии» (номер государственной регистрации 01.99.0010291); в рамках Интеграционного проекта СО РАН №22 «Волновые процессы в многофазных средах»; поддерживались грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 00-02-18004а).

Достоверность результатов. "

Разработанный комплекс программ и используемые в работе модифицированные разностные схемы прошли полное тестирование на модельных задачах, близких по физической постановке к изучаемым явлениям и допускающим аналитическое решение. Вычислительная часть диссертационной работы отдельно опубликована в центральном реферируемом журнале из списка ВАК и доложена на ряде конференций. Достоверность подходов к предложенному численному моделированию подтверждается совпадением результатов, полученных по двум различным численным методам: с помощью явной схемы первого порядка с направленными разностями и схемы расщепления второго порядка точности," адаптированной к исследованию течений с сильно нелинейным уравнением состояния. Последняя из используемых схем аппроксимирует систему уравнений, записанную в консервативном виде, что обеспечивает разностное выполнение соответствующих законов сохранения. Сходимость численных методов проверена на последовательности измельчающихся сеток. В диссертационной работе представлены результаты проведенных тестов.

Полученные результаты непротиворечивы, дополняют друг друга и соответствуют имеющимся экспериментальным данным по изучаемым явлениям. Процесс фокусировки ударной волны, генерируемой сферическим пузырьковым кластером, устойчив к возмущениям, заданным в виде жидкой сферы, размещенной в кластере в различных точках на оси. Результаты проведенного исследования докладывались на различных (в том числе и международных) конференциях, конгрессах и семинарах отдельно по организации и по проведению расчетов (обоснование расчетной части работы) и отдельно по анализу полученных физических результатов. Результаты работы достаточно полно опубликованы в рецензируемых центральных научных журналах по списку ВАК соответствующего профиля.

Автор защищает:

- разработку и реализацию численного метода решения задач механики неоднородных сред;

- модификацию численных методов решения двумерных нестационарных задач волновой динамики пузырьковых сред в аксиально-симметричной постановке с использованием наиболее точных на данный момент аналитических моделей;

- создание комплекса программ для численного моделирования процессов взаимодействия плоских ударных волн с пассивной пузырьковой системой в двумерной аксиально-симметричной постановке;

- получение эффекта фокусировки ударной волны с градиентом давления вдоль фронта; результаты численного исследования фокусировки осциллирующей ударной волны, генерируемой тороидальным пузырьковым кластером, структуры результирующего волнового поля в ближней зоне кластера, нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 102 страницах, включает библиографический список из 129 наименований работ. Рисунки, формулы и таблицы нумеруются по главам. Библиографические ссылки имеют сквозную нумерацию по всей работе. В ссылках [1-14,58] указаны монографии, посвященные гидродинамике, механике сплошных и гетерогенных сред, используемые в качестве первоисточников.

Выводы по третьей главе.

В данной главе представлены результаты созданной и реализованной численной модели динамики поля давления для аксиально-симметричной постановки задачи о взаимодействии плоской ударной волны с тороидальным пузырьковым кластером, помещенным на ось симметрии гидродинамической ударной трубки. В результате численного моделирования задачи о взаимодействии ударной волны с такой "свободной" пузырьковой системой показано, что:

- процесс схождения переизлученной пузырьковым кластером тороидальной волны к центру симметрии носит кумулятивный характер;

- отражение от оси симметрии оказывается нерегулярным, возникает диск Маха конечной толщины с характерным ядром, в котором давление максимально:

- генерируемая тороидом в жидкости ударная волна имеет осциллирующий профиль, характерный для пузырькового источника, с затухающими по амплитуде максимумами;

- фокусировка такой ударной волны приводит к последовательному формированию на оси цепочки маховских дисков.

Заключение

В работе создана и реализована численная модель динамики поля давления для двумерной аксиально-симметричной задачи о взаимодействии плоской ударной волны со "свободной" пузырьковой системой. Создание численной модели состоит в адаптации явной схемы с направленными разностями и схемы расщепления к решаемой задаче. Показано, что использование предложенных разностных схем для реализации численной модели позволяет вполне адекватно описывать динамику волнового поля в кластере, параметры и распределение его излучения. Приведены сравнительные расчеты по этим разностным схемам, показавшие, что явная схема более производительна. Показана взаимозависимость граничных условий для входа и выхода плоской ударной волны в расчетной области. Предложена модификация граничного условия для входа ударной волны на основе соотношения на разрыве. Создан метод определения максимума амплитуды давления в области фокусировки на основе оценки величины изменения энергии волны переизлучения.

Решена задача о взаимодействии падающей ударной волны со сферическим облаком пузырьков. Получен эффект фокусировки сферическим пузырьковым кластером в двумерной осесимметричной постановке. Показано, что амплитуда давления в фокусе зависит от ряда параметров (амплитуды падающей волны, объемной концентрации газовой фазы, радиуса кластера и пузырьков). Получены соотношения, аппроксимирующие эти зависимости. Полученные в ходе расчетов энергетические оценки позволили определить долю энергии, излучаемую пузырьковым кластером в момент фокусировки. Проведен качественный анализ динамики формирования волн, излученных сферическим облаком пузырьков. Описан ряд закономерностей характерных для распространения в пространстве последовательности волн сжатия и разрежения, возникающих в результате пульсации пузырьков в кластере. Численно реализована задача о взаимодействии плоской ударной волны с двумя последовательно расположенными сферическими пузырьковыми кластерами. Проведен качественный анализ зависимости максимальной амплитуды давления в момент фокусировки во втором кластере от объемной концентрации газовой фазы в кластерах и от геометрических параметров задачи.

С точки зрения принципов создания источников мощного акустического импульса, можно заключить, что пассивный сферический пузырьковый кластер, возбуждаемый ударной волной, является активной средой, способной поглощать, усиливать и переизлучать внешнее возмущение в виде мощного акустического сигнала. Расположение точки фокуса относительно границы кластер - жидкость и, следовательно, возможность практически исключить поглощение кластером им самим же генерируемой волны могут регулироваться выбором объемной концентрации газовой фазы.

Создана и реализована аксиально-симметричная численная модель динамики поля давления, возникающего при взаимодействии плоской ударной волны с тороидальным пузырьковым кластером, помещенным на ось симметрии гидродинамической ударной трубки. В результате численного моделирования взаимодействия ударной волны с такой "свободной" пузырьковой системой показано, что:

- процесс схождения переизлученной пузырьковым кластером тороидальной волны к центру симметрии носит кумулятивный характер;

- отражение от оси симметрии оказывается нерегулярным, возникает диск Маха конечной толщины с характерным ядром, в котором давление максимально;

- генерируемая тороидом в жидкости ударная волна имеет осциллирующий профиль, характерный для пузырькового источника, с затухающими по амплитуде максимумами;

- фокусировка такой ударной волны приводит к последовательному формированию на оси цепочки маховских дисков.

Таким образом, разработанная численная технология для решения задачи о взаимодействии плоской ударной волны со "свободной" пузырьковой системой в аксиально-симметричной постановке позволяет оптимизировать набор параметров течения для генерации направленного излучения заданной интенсивности.

1. Кедринский В.К. Распространение ударных волн в жидкости, содержащей пузырьки газа // ПМТФ, 1968, №4, С.29-34.

2. Кедринский В.К. Ударные волны в жидкости с пузырьками газа // Физика горения и взрыва, 1980, №5, С.14-25.

3. Кедринский В.К. Распространение возмущений в жидкости, содержащей пузырьки газа: Дис. Канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1968.

4. Campbell I.J., Pitcher A.S. Shock waves in a liquid containing gas bubbles // Proc. Roy. Soc. Ser. A., 1958, V.243, Nol235, P. 534-545.

5. Ляхов Г.М. Ударные волны в многокомпонентных средах // Изв. Ан СССР, сер. механика и маш., №1, 1959.

6. Паркин Б.П., Гилмор Ф.Р., Броуд Г.Л. Ударные волны в воде с пузырьками воздуха. Подводные и подземные взрывы. М.: Мир, 1974, С. 152-258.

7. Иорданский С.В. Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа //ПМТФ, №3, 1960.

8. Когарко Б.С. Об одной модели кавитирующей жидкости // Докл. АН СССР, 1961, Т. 137, №6.

9. Когарко Б.С. Одномерное неустановившееся движение жидкости с возникновением и развитием кавитации // Докл. АН СССР, 1964, Т. 155, №4.

10. Van Vijngaarden L. On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles // J. Fluid Mech., 1968, V.33, P.465-474.

11. И. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1987.

12. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатомиздат, 1990.

13. Nordzii L. Shock waves in bubble-liquid mixtures // Phys. Communications, 1971, V.3, No.l, (Twente Institute of Technology, Enschede, Netherlands).

14. Nordzii L., Van Vijngaarden L. Relaxation effects caused by relative of motion on shock waves in gas-bubble/liquid mixture // J. Fluid Mech., 1974, V.66, Pt. 1.

15. Hasegawa Т., Fujiwara Т. Detonation in oxyhydrogen bubbled liquids // Proc. 19th Intern. Symp. on Combustion, Haifa, Pittsburg, USA, 1982.

16. Шагалов В.Ш., Вахитова Н.К.Волны в пузырьковой жидкости при наличии химических реакций в газовой среде // Пробл. нелинейн. акуст. Сб. тр. Симп. IUPAP-IUTAM, Новосибирск, 24-28 авг., 1987. Ч. 2 Новосибирск, 1987. - 56-58.

17. Шагапов В.Ш., Вахитова Н.К.Волны в пузырьковой системе при наличии химических реакций в газовой фазе // Физ. горения и взрыва 1989. - Т. 25. - N 6. - 14-22.

18. Шагапов В.Ш., Абдрашитов Д.В. Структура волн детонации в пузырьковой жидкости // Физ. горения и взрыва 1992. - Т. 28. - N 6. - 89-96

19. Нигматулин Р.И. Затухание и усиление ударно-волновых импульсов в пузырьковых жидкостях, суспензиях if-насыщенных пористых средах // Пробл. нелинейн. акуст. Симп. IUPAP-IUTAM по нелинейн. акуст. Ч. 1 Нососибирск, 1987.- 113-119.

20. Нигматулин Р.И. Затухание и усиление ударных волн в жидкости с пузырьками газа и пара // 7 Всес. съезд по теор. и прикл. мех., Москва, 15-21 авг., 1991: Аннот. докл. М., 1991.- 264.

21. Шагапов В.Ш., Гималтдинов И.К. Об эволюции линейных волн в жидкости при наличии пузырьковой завесы // Инж.-физ. ж. 1998. - Т. 71. - N 6. - 987-992

22. Нигматулин Р.И., Губайцдуллин А.А., Берегова О.Ш. Метод сверхсильного резонансного сжатия пузырьковой жидкости умеренным непериодическим воздействием // Докл. РАН 2000. - Т. 374. - N 4. - 489-492

23. Ахатов И.Ш., Белютин С.В., Калякина O.JI., Хисматуллин Д.Б., Хуснутдинова К.Р.Одно- и двумерные модели взаимодействия нелинейных волн в пузырьковой среде //Динам, сплош. среды 1997. - N 112. - 24-28.

24. Ахатов И.Ш., Белютин С.В., Калякина О.Л., Хисматуллин Д.Б., Хуснутдинова К.Р. Одно- и двумерные модели взаимодействия нелинейных волн в пузырьковой среде // Динам, сплош. среды 1997. - N 112. - 24-28

25. Ахатов И.Ш., Хисматуллин Д.Б. Длинно-коротковолновое взаимодействие в пузырьковых жидкостях // Прикл. мат. и мех. Москва, 1999. - Т. 63. - N 6. - 980990.

26. Ахатов И.Ш., Хисматуллин Д.Б. Влияние диссипации на взаимодействие длинных и коротких волн в пузырьковых жидкостях // Изв. РАН. Мех. жидкости и газа-2000,-N4.- 126-138.

27. Ахатов И.Ш., Хисматуллин Д.Б. Двумерные механизмы взаимодействия ультразвука со звуком в пузырьковых жидкостях. Уравнения взаимодействия // Акуст. ж.-2001.-Т. 47.-N 1.-15-21.

28. Нигматулин Р.И., Шагапов В.Ш., Вахитова Н.К, Проявление сжимаемости несущей фазы при распространении волн в пузырьковой среде // Докл. АН СССР 1989.-Т. 304.-N5.- 1077-1081

29. Нигматулин Р.И, Ахатов И.Ш. Динамика одиночных пузырьков и пузырьковых кластеров // Всерос. конф. 'Мат. пробл. мех.', Новосибирск, 19-22 апр., 1999 -Новосибирск, 1999. 3 8.

30. Гималтдинов И.К., Нигматулин Р.И, Шагапов В.Ш. Эволюция волн давления в жидкости, содержащей зону жидкости с пузырьками // Изв. РАН. Мех. жидкости и газа-2001.-N 3.- 133-142.

31. Нигматулин Р.И., Шагапов В.Ш., Гималтдинов И.К., Галимзянов М.Н. Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьковые зоны // Докл. РАН, Т. 378, №6,2001, 763-768.

32. Галимзянов М.Н., Гималтдинов И.К., Шагапов В.Ш. Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьки // МЖГ, №2,2002,139-147.

33. Ахатов И.Ш., Хисматуллин Д.Б. Двумерные механизмы взаимодействия ультразвука со звуком в пузырьковых жидкостях. Уравнения взаимодействия // Акустический журнал, Т.47, №1, 2001, 15-21.

34. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. Распространение волн давления в пористой среде, насыщенной жидкостью //ПМТФ. 1988. - N 1. - 120-130.

35. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. Волны давления в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа- 1987.-N4.-85-92.

36. Донцов В.Е. Структура и динамика возмущений давления конечной амплитуды в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа // Изв. РАН. Мех. жидкости и газа 1992. - N 1. - 80-85.

37. Донцов В.Е., Маслов В.А. Структура и динамика «медленной» волны давления в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа // ПМТФ 1994. -T.35-N 1.-95-98.

38. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. Волны давления конечной амплитуды в нелинейной упругой пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа // Докл. АН СССР 1992.-Т. 322.-N 3.-481-483.

39. Донцов В.Е., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Распространение волн давления в газонасыщенной пористой среде // Акустический журнал 1994 - Т.40 - N 4. -683-685.

40. Nakoryakov V.E., Dontsov V.E., Pokusaev B.G. The propagation of pressure waves in liquid with solid particles and gas bubbles // Russian J. Eng. Thermophisics. 1994. V.4, N2. P.173-188.

41. Nakoryakov V.E., Dontsov V.E., Pokusaev B.G. Pressure waves in liquid with solid particles and gas bubbles // Proc. 2nd Int. Conf. Multiphase Flow, Kyoto, Japan, 1995. PH2-11-PH2-17.

42. Донцов В.E., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Волны давления в суспензии жидкости с твердыми частицами и газовыми пузырьками // Прикл. мех. и техн. физ. 1995. - Т. 36. - N L - 32-40.

43. Nakoryakov V.E., Dontsov V.E., Pokusaev B.G. Pressure waves in liquid suspension with solid particles and gas bubbles // Int. J. Multiphase Flow, 1996. V.22, N3. P.417-429.

44. Гасенко В.Г., Донцов B.E., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. Осциллирующие уединенные волны в жидкости с пузырьками газа// Изв. СО АН СССР. Сер. техн. н.- 1987.-N21/6.-43-45.

45. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Марков П.Г., Накоряков В.Е. Эволюция волны давления умеренной интенсивности в жидкости с пузырьками газа // Акустический журнал 1987. -Т. 33. -N 6. - 1041-1044.

46. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Марков П.Г., Накоряков В.Е. Распространение волн давления в жидкости с пузырьками газа разных размеров // Акустический журнал 1989.-Т. 35.-N 1.- 157-159.

47. Nakoryakov V.E., Kuznetsov V.V., Dontsov V.E., Markov P.G. Pressure waves of moderate intensity in liquid with gas bubbles // Int. J. Multiphase Flow, 1990. V.16, N5. P.741-749.

48. Nakoryakov V.E., Dontsov V.E., Markov P.G. Moderate pressure waves in a liquid with gas bubbles // Russian J. Eng. Thermophisics. 1991. V.l, N1. P.291-305.

49. Накоряков B.E., Донцов В.Е. , Марков П.Г. Исследование поведения газовых пузырьков в волне давления умеренной интенсивности // Докл. АН СССР 1989. -Т. 309.-N4.- 818-820.

50. Донцов В.Е., Марков П.Г. Исследование дробления пузырьков газа и его влияния на структуру уединенных волн давления умеренной интенсивности в жидкости с пузырьками газа//Ж. прикл. мех. и техн. физ. -1991. -N 1. -45-49.

51. Nakoryakov V.E., Dontsov V.E. Pressure waves interaction in liquid with gas bubbles and bubble fragmentation // Proc. Int. Symp. Two-Phase Flow Modeling and Experimentation, Rom, Italy, 1995. V.2, N3. P.951-958.

52. Накоряков B.E., Донцов B.£*. , Марков П.Г. Взаимодействие уединенных волн давления умеренной интенсивности в жидкости с пузырьками, газа // Докл. АН СССР 1990. - Т. 313. - N 5. - 1074-1077.

53. Донцов В.Е. , Марков П.Г. Экспериментальное исследование взаимодействия волн давления умеренной интенсивности в жидкости с пузырьками газа // Прикл. мех. и техн. физ. -1991. -N 5. 83-87.

54. Замараев Ф.Н., Кедринский В.К., Мейдер Ч. Волны в химически активной пузырьковой среде // ПМТФ, № 2, 1990,20-26.

55. Todes О.М. Adiabatic term explosion // J. Phys. Chem. 1933. V.4, N1. P.71.

56. Кедринский B.K. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. Издательство СО РАН, Новосибирск, 2000.

57. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И. Роль кавитационных эффектов в механизмах разрушения и в крупномасштабных взрывных процессах. // Вычислительные технологии, т. 2, N. 2, с. 63-77, 1997.

58. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И. Взаимодействие волн в химически активных пузырьковых средах // Докл. РАН, Т.349, № 2, 1996, 185-188.

59. Кедринский .В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И. Усиление ударных волн при столкновении и фокусировке в пузырьковых средах. Доклады РАН, т. 361, № 1, с. 41-44, 1998.

60. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И. Взаимодействие и усиление волн пузырьковыми системами // V Междунар. конф. "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (18-22 сент. 2000). Тезисы докладов.-2000.-С. 63.

61. Бережецкая Н.К., Большаков Е.Ф., Голубев С.К. и др. Газодинамические явления, сопутствующие кольцевому поверхностному разряду // ЖЭТФ, 1984, Т.87, Вып.6(12), С. 1926-1931.

62. Соколов И.В. Поведение осесимметричной ударной волны вблизи точки кумуляции// ЖТФ, 1986,Т.91,Вып.4(10), 1331-1335.

63. Соколов И.В. Коническая ударная волна // Теплофиз. высоких температур, 1988, Т.26, №3,560-566.

64. Соколов И.В. Высокоскоростные кумулятивные газовые струи // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, Т.4, 1989, 148-152.

65. Бархударов Э.М., Коссый И.А., Мдивнишвили М.О., Соколов И.В., Тактакишвили М.И. Неодномерные сходящиеся ударные волны // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, 1988, №2, С. 164-170.

66. Бархударов Э.М., Мдивнишвили М.О., Соколов И.В. и др. Образование кумулятивной квазисферической сходящейся ударной волны при отражении кольцевой ударной волны от твердой поверхности // Письма в ЖЭТФ, 1990, Т.52,. Вып.7, С. 990-993.

67. Бархударов Э.М., Мдивнишвили М.О., Соколов И.В., Тактакишвили М.И., Терехин В.Е. Нерегулярное отражение кольцевой ударной волны от оси симметрии // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, 1990, №5, С. 183-186.

68. Barhudarov E.M., Mdinishvili M.O., Sokolov I.V. et al. Reflection of a ring shock wave from a rigid wall // Shock Waves, 1994, Vol.3, N4, P. 273-278.

69. Кедринский В.К. Особенности структуры ударных волн при подводных взрывах спиральных зарядов // ПМТФ, 1980, № 5, с.

70. Пинаев А.В., Кедринский В.К., Кузавов В.Т. О фокусировке ударных волн при взрыве кольцевых зарядов в воздухе // ФГВ, 2001, т.37, № 4, с. 106-103

71. Пинаев А.В., Кедринский В.К., Кузавов В.Т. Структура ударных волн в ближней зоне при взрыве пространственных зарядов в воздухе // ПМТФ,2000, т.41, № 5, с.81-90.

72. Jiang Z., Takayama К. Reflection and focusing of toroidal shock waves from coaxial annular shock tubes // Computer and Fluids, 1998, Vol.27, No. 5-6, P. 553-562.

73. Кедринский B.K., Маслов И.В., Таратута С.П. Структура волнового поля в активных пузырьковых системах в ударных трубах со "скачками" течений // ПМТФ, Т.43,№ 2,2002, 101-109.

74. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

75. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. (Введение в теорию.) М.: Наука, 1973.

76. Годунов С.К., Забродин А.В., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. // Журнал вычисл. математики и мат. физики, 1961, Т. 1, №6, С. 1020-1050.

77. Русанов В.В. Расчет взаимодействия ударных волн с препятствиями // Журнал вычисл. математики и мат. физики, 1961, Т. 1, №2, С. 267-279.

78. Лебедев А.С., ЧерныйС.Г. Практикум по численному решению уравнений в частных производных. Учебное пособие. Новосиб. госуд. ун-т, Новосибирск, 2000.

79. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. -Новосибирск: Наука, 1985.

80. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Москва: Мир, 1990.

81. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. Москва: Мир, 1980, 616 с.

82. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. Москва: Мир, 1975, 392с.

83. Русанов В.В. Разностная схема третьего порядка точности для сквозного расчета разрывных решений //Докл. АН СССР, 1968, Т.180, №2, С. 1303-1305.

84. Тушева Л.А., Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. О построении разностных схем повышенного порядка аппроксимации на основе дифференциальных следствий // Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1975, С.184-195.

85. Балакин В.Б. О методах типа Рунге-Кутта для уравнений газовой динамики // Журнал вычисл. математики и мат. физики, Т. 10, N6, 1970, 1512-1519.

86. Abarbanel S., Gottlieb D. A note on the "leap-frog" scheme in two and three dimensions // J. Comput. Phys., 1976, v.21, p.351-355.

87. Kreis H.-O., Oliger J. Comparison of accurate methods for the integration of hyperbolic equations // Tellus, 1972, V.24, p.199-215.

88. Harten AJ High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // J. Comput. Flows. AIAA J., V.23, 1983, P.357-393.

89. Чирков Д.В., Черный С.Г. Сравнение точности и сходимости некоторых TVD-схем // Вычислительные технологии, Т. 5, №5, 2000, 86-107.

90. Управляемый термоядерный синтез, (под ред. Дж. Киллина) Москва: Мир, 1980, 480с.

91. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука, 1990.

92. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.

93. Ковеня В.М., Лебедев А.С. Модификации метода расщепления для построения экономичных разностных схем. // Журнал вычисл. математики и мат. физики, Т.34, N6,1994,886-897.

94. Ковеня В.М. Некоторые тенденции развития математического моделирования // Вычислительные технологии, Т. 7, №2, 1992, 59-71.

95. Кедринский В.К., Шокин Ю.И., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Лазарева Г.Г. Генерация ударных волн в жидкости сферическими пузырьковыми кластерами // Докл. РАН, Т. 381, № 6,2001, 773-776.

96. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И., Лазарева Г.Г. Фокусировка осциллирующей ударной волны, излученной тороидальным облаком пузырьков // ЖЭТФ, 2003 (в печати).

97. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г. Численное моделирование динамики ударных волн в пузырьковых системах // Вычислительные технологии, Т 8, №5,2003.

98. Kedrinski V.K., Vshivkov V.a., Dudnikova G.I., Shokin Y.I., Lazareva G.G. Shock Applification by Bubbly Systems with .Energy Release (SABSER) // Proc. of 17 Int. Congress on Acoustics, Rome, Italy, 2001, Sept. 2-7.

99. Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Лазарева Г.Г., Шокин Ю.И. Усиление ударных волн пассивными и реактивными пузырьковыми системами //• Аннотации докладов Восьмого всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001. С. 168-169.

100. Лазарева Г.Г. Ударные волны в активной пузырьковой системе // Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН, Новосибирск 25-26 декабря 2001 г., Т. 2, Математическое моделирование, 92-94.

101. Самарский А., Попов Ю. Разностные схемы в газовой динамике. — Наука, М., 1975.

102. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП "Раско", 1992.

103. Березин Ю.А., Вшивков В.А. О критических параметрах ударной волны в плазме // ПМТФ, № 2, 1976, 100-106.

104. Gronig Н. Past, present and future of shock focusing research // Proc. Intern. Workshop on Shock Wave Focusing / K. Takayama (Ed.). Sendai, Japan, 1989. P. 138.

105. Stertevant B. The physics of shock wave focusing in the context of extracorporeal shock wave lithotripsy // Ibid. P. 39-64.

106. Book D., Lohner R. Quatre foil instability of imploding cylindrical shock // Proc. Intern. Workshop on Shock Wave Focusing / K. Takayama (Ed.). Sendai, Japan. 1989. P. 193-206.

107. Takayama K. High pressure generation by shock wave focusing in ellipsoidal cavity // Proc. Intern. Workshop on Shock Wave Focusing / K. Takayama (Ed.). Sendai, Japan, 1989. P. 217-226.

108. Stuka C. et al. Nonlinear transmission of focused shock waves in nondegassed water//Ibid. P. 445-448.

109. Kuwahara M. et al. The problems of focused shock waves effect on biological tissues //Proc. 18th Intern. Symp. on Shock Waves. Sendai, Japan, 21-26 July, 1991. V. 1. P. 41-48.

110. Isuzukawa K., Horiuchi M. Experimental and numerical studies of blast wave focusing in water// Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves. Marseille, France, 26-30 July, 1993. V. 3. P. 347-350.

111. Fujiwara K. et al. New methods for generation cylindrical imploding shock // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves. Marseille, France, 26-30 July, 1993. V. 4. P. 8186.

112. Demmig F. et al. Experiments and model computation of cylindrical shock waves with time-resolved deformation and fragmentation // Ibid. P. 87-92.

113. Hiroe T. et al. A numerical study of explosive-driven cylindrical imploding shock in solids // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves. Marseille, France, 26-30 July, 1993. V. 3. P. 347-350.

114. Itoh S. et al. Converging underwater shock waves for metal processing // Ibid. P. 288-294.

115. Neemeh R. Propagation and stability of converging cylindrical shock in narrow cylindrical chamber// Proc. 18th Intern. Symp. on Shock Waves. Sendai, Japan, 21-26 July, 1991. V. 1. P. 273-278.

116. Kedrinskii V.K. The role of cavitation effects in the mechanisms of destruction and explosive processes // J. Shock Waves. 1997. V. 7, N 2. P. 63-76.

117. Сычев А.И., Пинаев A.B. Самоподдерживающаяся детонация в жидкостях с пузырьками активного газа//ПМТФ. 1986. № 1.

118. Пинаев А.В., Сычев А.И. Обнаружение и исследование самоподдерживающихся режимов детонации в системах жидкое горючее -пузырьки окислителя //Докл. АН СССР. 1986. Т. 290, № 3. С. 611-615.

119. Пинаев А.В., Сычев А.И. Влияние физико-химических свойств газа и жидкости на параметры и условия возникновения детонационных волн в системах «жидкость газовые пузырьки» // ФГВ. 1987. Т. 23, № 6. С. 76-84.

120. Кедринский В.К. Гидродинамика взрыва//ФГВ, 1987, №4, С.23-48.

121. Beylich А. Е., Gulhan A. Waves in reactive bubble liquids // Proc. IUTAM Symp. on Adiabatic Waves in Liquid-Vapor Systems Gettingen, FRG, 1989. P. 39-48.

122. Scarinci Т., Bassin X., Lee J., Frost D. Propagation of a reactive wave in a bubble liquid // Proc. 18th ISSW/ K. Takayama (Ed.). V. 1. 1989. P. 481-484.

123. Kedrinskii V.K. Bubble cavitation in intense rarefaction waves and its effects //th

124. Proc. 20 Intern. Symp. on Shock Waves. Springer-Verlag, New-York, 1996.

125. Volkov I.V., Zavtrak S.T., Kuten I.S. // Rev. E. 1997. V. 56, N 1. P. 1097-1101.