автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование резонансных явлений в динамике пузырьковых жидкостей

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГб ОД

На правах рукописи

г г сен оз

ХИСМАТУЛЛИН ДАМИР БОРИСОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ В ДИНАМИКЕ ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ

05.13.1С - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени ■ кандидата физико-математических наук

Уфа - 1998

Работа выполнена в лаборатории "Нелинейная динамика многофазных систем" Института Механики УНЦ РАН.

Научный руководитель : Официальные оппоненты :

Ведущая организация :

доктор физико-математических наук, профессор Ахатов И.Ш. доктор физико-математических наук, профессор Новокшенов В.Ю. кандидат технических наук, доцент Ковалева Л.А.

Уфимский государственный нефтяной технический университет

Защита состоится

'/^е^Я&Л 1998 года в час. на заседании диссертационного совета Д-064.13.02 при Башкирском государственном университете по адресу : 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, 511 ауд.

С диссертацией, можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан " -УJ 1998 года.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью, просим высылать по указанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета Д-064.13.02 Болотнова A.M.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д-064.13.02

Болотнов A.M.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Жидкости с пузырьками газа широко представлены в природе, технике и ряде отраслей современной промышленности, таких как атомная и тепловая энергетика, нефтяная и газовая промышленность, химическая технология и т.д. Актуальность исследования резонансных явлений в пузырьковых жидкостях связана как с необходимостью расширения и углубления знаний о волновых и колебательных процессах в многофазных системах, так и с практическими приложениями результатов исследований, например, для разработки методов регулирования и повышения эффективности технологических процессов и анализа возможных аварийных ситуаций, возникающих в атомных реакторах, при добычи и транспортировки нефти.

Резонансные явления, возникающие в пузырьковых жидкостях можно разделить на два типа: 1) резонансные явления, возникающие при распространении акустических возмущений в смеси жидкости с пузырьками; 2) резонансы колебаний одиночного пузырька в жидкости.

1. На практике, любая пузырьковая жидкость подвергается внешним воздействиям. Если эти воздействия являются слабыми, то по среде будут распространяться акустические возмущения. Эти возмущения. в зависимости от частоты, могут быть ультразвуковыми, звуковыми или инфразвуковыми. В последнее время, ультразвук (высокочастотное возмущение) все чаще используется в технике, например, для более качественной передачи сигналов, для определения состава и наличия в средах примесей и т.д.

Как правило, низкочастотные возмущения распространяются в средах в виде длинных волн, а высокочастотные возмущения являются коротковолновыми. Для волн на воде,' плазмы, в молекулярной физике было показано, что длинноволновые и коротковолновые возмущения могут влияют друг на друга посредством взаимодействия длинной волны с огибающей короткой волны. Вопрос о длинно-коротковолновом взаимодействии в пузырьковой жидкости до настоящего времени не исследовался.

Первоначально слабые возмущения в процессе распространения

по среде могут существенно увеличивать свою амплитуду. Для возникновения этого эффекта, называемого волновым резонансом, необходимо, чтобы частоты и волновые числа возмущений удовлетворяли некоторым условиям, зависящим от внутренних свойств среды. Зная при каких условиях он возникает, можно оценить значения некоторых параметров среды, таких, как характерный радиус пузырьков, объемное газосодержание в пузырьковой жидкости. Все это обуславливает необходимость исследования резонансных явлений в жидкости с пузырьками, в частности, длинно-коротковолнового резонанса, возникающего при совпадении групповой, скорости короткой волны с фазовой скоростью длинной волны.

2. Известно, что при определенных условиях газовый пузырек, находящийся в замкнутом объеме сжимаемой жидкости, начинает светиться. Это явление называется сонолюминесценцией. Свечение возникает из-за того, что в пузырьке в течение короткого времени фокусируется значительная акустическая энергия, резко повышая температуру газа. Так как такая фокусировка возможна только в режиме резонансных осцилляций пузырька, то для понимания эффекта сонолюминесценции необходимо провести анализ резонансных колебаний пузырька, находящегося в центре заполненной сжимаемой жидкостью сферической колбы.

Цель работы. Целями настоящей работы являются:

• сравнительное исследование пространственно-одномерного взаимодействия длинноволновых и коротковолновых возмущений (длинных и коротких волн) в пузырьковой жидкости и плазме с выявлением специфики взаимодействия в пузырьковой жидкости.

• изучение влияния диссипации и поперечных возмущений на длинно-коротковолновое взаимодействие в пузырьковой жидкости.

• анализ резонансных колебаний газового пузырька, находящегося в центре заполненной жидкостью сферической колбы.

Научная новизна. В работе получены следующие научные результаты:

• построена иерархия моделей пространственно-одномерного взаимодействия длинных и коротких волн в пузырьковой жидкости. Показано, что эти модели являются универсальными и описывают длинно-коротковолнозое взаимодействие в других физических системах, например в плазме.

• выявлена специфика длинно-коротковолнового взаимодействия в пузырьковой жидкости - вырождение взаимодействия, возникающее при определенной частоте короткой волны. В этом случае обнаружен класс новых моделей взаимодействия.

• с использованием численного моделирования удалось показать, что в случае, когда длинноволновое возмущение имеет меньшую амплитуду по сравнению с коротковолновым (модель с ¿,т=2, 3/2), вырожденное резонансное взаимодействие будет приводить к значительному усилению амплитуды огибающей короткой волны. При этом, огибающая короткой волны будет распространяться не в виде уединенной волны, как было в обычном резонансном случае, а в виде синусоиды. Обнаружено, что в случае, когда порядки малости длинноволновых и коротковолновых возмущений сравнимы (модель с I, т—1,1), вырожденное резонансное взаимодействие будет способствовать развитию нелинейной неустойчивости.

• исследовано влияние диссипации на взаимодействие длинных и коротких волн в пузырьковой жидкости. Выявлено, что наличие диссипации будет приводить при резонансном вырождении: 1) к исчезновению длинно-коротковолнового взаимодействия (случай то=2, 3/2); 2) к исчезновению нелинейной неустойчивости, т.е. к стабилизации процесса (случай 1,т— 1,1).

• предложены новые модели, описывающие резонансное и вырожденное пространственно-двумерные взаимодействия. Показано, что при наличии поперечных возмущений взаимодействующие

длинные и короткие волны в пузырьковой жидкости при определенном выборе параметров и начальных условий могут фокусироваться (взрывная неустойчивость к поперечным возмущениям) .

• проанализированы резонансные колебания пузырька, находящегося в центре заполненной жидкостью сферической колбы. Обнаружено, что При увеличении радиуса пузырька резонан-сы, вызванные возмущением давления на стенке колбы ("кол-бовые" резонансы), будут сглаживаться, а для очень малых пузырьков будет происходить значительное смещение "колбо-вых" резонансов, находящихся вблизи резонанса собственных колебаний пузырька.

Методы исследования. Для построения моделей взаимодействия используется метод многомасштабных разложений 1. Численное интегрирование уравнений резонансного взаимодействия проводится с использованием разностных схем Кранка-Николсона и "leap-frog" 2. Разностная схема для численного интегрирования уравнений вырожденного резонансного взаимодействия строится на основе трехслойной явной схемы для уравнения Кортевега-де Вриза с 4-м порядком

я

аппроксимации по координате .

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для разработки методов регулирования и повышения эффективности ряда технологических процессов, решения вопросов безопасности технологических установок (ядерных реакторов) и транспортировки жидкостей, содержащих пузырьки газа (нефти), защиты природных объектов и подводных сооружений от внешних воздействий, ультразвуковой диагностики пузырьковых жидкостей, разра-

1 Jeffrey A., Kawahara Т. Asymptotic methods iti nonlinear wave theory. - London: Pitman. - 1982,- 256 p.

2Akhatov I., Parlitz U., Lauterborn W. Towards a theory of self-organization phenomena in bubble-liquid mixtures // Phys. Rev. E. - 199S. - V. 54, - P. 49905003.

3БерезинЮ.А. Численное исследование нелинейных волн в разреженной плазме. - Новосибирск: Наука. - 1977. - 112 с.

ботки новых технологий с использованием эффекта сонолюминесцен-ции.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинарах кафедры механики сплошных сред математического факультета БашГУ (под руководством профессора И.Ш. Ахатова), на семинаре отдела математической физики Института математики УНЦ РАН (под руководством профессора В.Ю. Но-вокшенова), на семинаре кафедры математики УГАТУ (под руководством профессора Ю.С. Шаталова), на семинаре кафедры прикладной физики и математики физического университета БашГУ (под руководством академика АН РБ Ф.Л. Саяхова); на 1-ой научной конференции молодых ученых-физиков РБ (Уфа, 1994), на международной конференции " Современные проблемы математики и механики", посвященной 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева (Москва, 1996), на 1У-м рабочем семинаре стран СНГ "Акустика неоднородных сред" (Новосибирск, 1996), на Всероссийской школе-семинаре " Современные аналитические методы и оптимизация процессов в механики жидкости и газа" (САМГОП-98) под председательством академика РАН А.Ф. Сидорова (Уфа, 1998).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 99 наименований. Диссертация изложена на 143 страницах, содержит 29 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении показана актуальность темы исследований, сформулированы цели, отмечена практическая ценность, а также кратко изложена структура диссертации.

В первой главе приводится обзор работ, посвященный распространению слабых возмущений в пузырьковой жидкости и взаимо-

действию длинных и коротких волн (§1.1); для описания движения пузырьковой жидкости предлагается система уравнений, основанная на методах механики многофазных систем, и рассматриваются уравнения движения плазмы в магнитогидродинамическом приближении (§1.2); проводится анализ дисперсионных соотношений представленных в §1.2 моделей движения (§1.3) и описывается метод многомасштабных разложений, использующийся для вывода уравнений взаимодействия длинных и коротких волн (§1.4).

В ряде нелинейных волновых систем возможен обмен энергией между модами, которые принадлежат различным резонансным группам. Одним из примеров такого обмена является взаимодействие между длинной волной и огибающей короткой волны (длинно-коротковолновое взаимодействие). Это взаимодействие допускает существование особого рода резонанса - длинно-коротковолнового резонанса Бенни-Захарова 4, возникающего при совпадении групповой скорости короткой волны сд[кя) = <1ш,1с1к, с фазовой скоростью длинной волны ср(А;г) = иц/к^

Большинство волновых систем, допускающих длинно-коротковолновой резонанс, имеют дисперсионную кривую с двумя ветвями. Это справедливо также для уравнений, описывающих динамику пространственно-одномерных возмущений в пузырьковой жидкости и плазме. Анализ дисперсионных соотношений этих физических систем, проведенный в §1.2, доказывает возможность существования в них длинно-коротковолнового резонанса.

В качестве пузырьковой жидкости рассматривается разреженная монодисперсная смесь слабосжимаемой жидкости с политропическими газовыми пузырьками в условиях, когда можно пренебречь внешними силами, взаимодействиями между пузырьками и капиллярными эффектами, а диссипативные эффекты учитывать в рамках схемы с эффективной вязкостью 5. Если пренебречь членами порядка объемного газосодержания и учитывать две пространственные координаты, то в обезразмеренном виде уравнения на возмущения в

4Benney D.J. A general theory for interactions between short and long waves // Stud. Appl. Math. - 1977. - V. 56. - P. 81-94

5Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. T.l. - М.: Наука. - 1987. - 464

с.

такой пузырьковой жидкости можно записать в виде 6:

О2 р д2р д2р _ W ~ дх2 ~ ду2 ~ '

д2а i 3 (да\2 i \i* да м _

р - 1 - ь2р + (1 + а)3 = 0, Ь= ^РоС[-2/{рюад0).

Здесь р,р,а- возмущения плотности и давления смеси, радиуса пузырька; ¡1*,к - безразмерный коэффициент эффективной вязкости и показатель политропы газа в пузырьке; ро, рю, адо ~ невозмущенные давление в смеси, истинная плотность жидкости и объемное газосодержание, С; - скорость звука в чистой жидкости.

В целях выявления специфики длинно-коротковолнового взаимодействия в пузырьковой жидкости проводится сравнение рассмотренной модели с магнитогидродинамичесхой моделью движения плазмы, включающей в себя уравнения на возмущения плотности ионов и электронов щ, пе, скорости нового и электронного облак V*, Уе, электростатического потенциала 7.

Уравнения взаимодействия длинных и коротких волн выводятся с использованием метода многомасштабных разложений, в соответствии с которым для вектора решений рассматриваемых систем уравнений и операторов дифференцирования используется следующее разложение:

«>1 n>ls>l

д д чг^™^ д д <9 ^ п &

д^' + ¿г'/ дуп'

п>1 тг> 1 ГС>1

Здесь е - параметр, характеризующий малость возмущений 1 и т - числа, определяющие степень малости и г^; (¿о, жо) = х)

6ГумеровН.А. О квазимонохроматических слабонелинейных волнах в пузырьковой среде с малой диссипацией // ПММ. - 1992. - Т. 56, вып. X. - С. 58-67

'Ichikawa Y.H. Topics on solitons in plasmas // Physica Scripta. - 1979. - V. 56. - P. 297-305

- быстрые переменные, (1п,хп,уп) = еп(1,х,у) - медленные переменные; 0 = квхо — шЛо - фаза короткой волны; с.с. означает комплексное сопряжение. Предполагается, что все ^ у = 0,1, ...,,= 1,2,... зависят только от медленных переменных. Считается, что короткая волна является плоской (отсутствие быстрой координаты по второй пространственной переменкой однако ее амплитуда может зависеть от медленных переменных уп, п = 1,2,.... Последнее условие означает, что мы рассматриваем зависимость от второй пространственной переменной как поперечное возмущение пространственно-одномерной задачи.

Во второй главе с использованием предложенного в §1.4 метода многомасштабных разложений выводятся уравнения нерсзонансного и резонансного взаимодействий пространственно-одномерных длинных и коротких волн в недиссипативной пузырьковой жидкости и плазме (§2.1); выявляется специфика взаимодействия в пузырьковой жидкости - обращение в нуль коэффициентов взаимодействия при определенной частоте короткой волны (вырождение взаимодействия) , в случае вырождения выводятся новые модели нерсзонансного и резонансного взаимодействий в пузырьковой жидкости (§2.2); в §2.3 проводится анализ устойчивости пространственно-однородных решений выведенных в §§2.1, 2.2 уравнений; в §2.4 численно исследуются резонансное и вырожденное резонансное взаимодействия длинных и коротких волн.

Для обеих рассматриваемых систем условие длинно-коротковолнового резонанса в случае очень длинных волн сводится к виду

сд{к8)~се, (3)

где се - равновесная скорость звука в среде. Если предполагать, что условие (4) не выполняется, то при выборе (£, т)=(2,1) и подстановке разложения (2) в уравнения (1), в которых ц* = 0, можно получить следующие уравнения нерезонансного взаимодействия пространственно-одномерных длинных и коротких волн (в порядках е4 для профиля длинной волны Ь = р^0' или , £3 для огибающей

а (1)" (1)\

короткой волны Ь = р\ ' или пг1'):

L =, Lo(m) + Ыт) + = -2-r-rl5!2-

сд се

{TF + ßW + '7,5,25 = *Ф5' (4)

Здесь La~ начальное распределение длинной волны;

Щ = х1- Ceti, Щ = Х1+ Cetlt £ — Х\ Cgti, г = t2.

При выводе предполагалось, что S ф const.

Когда Lo = 0, то в нерезонансном случае длинная волна будет порождаться немонохроматичностью коротковолнового сигнала и будет в точности следовать за огибающей короткой волны (эффект безинерционности длинной волны).

Последняя система уравнений легко сводится к известному нелинейному уравнению Шредингера на огибающую короткой волны 5:

4| + ,0 + 7WS= О, (Ч

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) описывает распространение огибающих волновых пакетов во многих устойчивых дисперсионных физических системах, в которых не происходит рассеяния. Это уравнение возникает при исследовании гравитационных волн на поверхности жидкости, ленгмюровских колебаний в плазме, стационарного светового пучка в среде с нелинейным показателем предлом-ления. Это уравнение интегрируется методом обратной задачи рассеяния, а значит имеет солитонное решение. Солитон (уединенная волна) нелинейного уравнения Шредингера, представляющий собой колокообразное распределение огибающей, возникает при выполнении критерия неустойчивости Бенджамина-Фейра 8: /З7' > 0. Особенность солитона НУШ состоит в том, что при ряде начальных условий он может быть неподвижным в пространстве.

8Benjairiin T.B., Feir J.E. The disintegration of wave trains in deep water //J. Fluid Mech. - 1967. - V. 27. - P. 417-430.

При выполнении условия резонанса (3) и в случае а, (5 ф 0 коэффициент 7; в (4) становится сингулярным. Физически это означает, что при резонансе будет значительно увеличиваться амплитуда длинной волны. Это обстоятельство приводит к необходимости изменить соотношение между степенями малости длинноволновых и коротковолновых возмущений. Выбрав (I, т)=(2,3/2) и подставив разложение (2) в уравнения (1), можно получить в порядках £5 для профиля длинной волны Ь — р^0' или п\1\ е7!2 для огибающей короткой волны 5 = р^ или п^ и в предположении, что Ь, 5 являются функциями переменных £ = хх — Cgtl, г = ¿2 следующие уравнения резонансного взаимодействия длинных и коротких волн

ОЬ а 5|5|2 п .дБ В28 £тс

Эти уравнения часто называют уравнениями Захарова 9. Из них следует, что при распространении немонохроматичного коротковолнового сигнала будет появляться длинноволновое возмущение. В отличие от нерезонансного случая длинная волна не будет безинерцион-ной.

Уравнения Захарова также являются универсальными. В частности, эти уравнения были получены для волн на воде, для плазмы, для модели молекулярной цепи в виде а-спирали. Эта система также интегрируется методом обратной задачи рассеяния и имеет солитон-ное решение. Солитон Захарова по внешнему виду напоминает соли-тон нелинейного уравнения Шредингера, но в отличие от последнего возникает при любых начальных условиях и всегда смещается по пространству.

Анализ коэффициентов взаимодействия а и 8 в уравнениях (4) и (6) показывает, что в пузырьковой жидкости при частоте короткой волны

ы, = 3\/к (к + 1) (7)

эти коэффициенты будут обращаться в нуль. В плазме же коэффициенты а и 5 никогда не зануляются. Таким образом, в пузырьковой

9Додд Р., Эйлбек Дж.. Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. - М.: Мир. - 1988. - 694 с.

жидкости при условии (?) будет происходит "вырождение взаимодействия" - в определенном масштабе времен и расстояний, степени малости возмущений длинная волна не будет взаимодействовать с огибающей короткой волны.

В случае вырождения нерезонансное взаимодействие между длинной волной и огибающей короткой волны появляется, если предположить, что = 0. В этом случае профилем длинной волны является г (о)

величина Ь\ = р2 , а уравнения взаимодействия примут вид:

. Л fas* _dS\ .OS J2S te,.2„ „

где Л всегда отличен от нуля.

Из уравнений видно, что длинная волна по-прежнему будет бези-нерционной, в точности следуя за огибающей короткой волны, однако не будет обратного влияния длинной волны на короткую.

Второе уравнение этой системы является обычным нелинейным уравнением Шредингера. Анализ коэффициентов показывает, что при вырождении коэффициент -у является отрицательным, поэтому для этого НУП1 не выполняется критерий неустойчивости Бенджамина-Фейра (см. выше) и значит нет солитонных решений. Однако, при выборе краевых условий вида:

Sl^-oo = А, 5|{_юо = О, А = const

это уравнение имеет так называемое "кинковое" решение, представляющее собой сглаженную ударную волну.

В случае вырожденного резонансного взаимодействия уравнения Захарова (б) становятся линейными несвязанными уравнениями:

£=о. С)

из которых следует постоянство профиля длинной волны во времени т и дисперсионное расплывание пакета коротких волн. В общем виде решение этой системы можно представить следующим образом:

1 Г+сс

£ = Хо(0. Ф (K)exp{i(KZ-0K2T)}dK,

где

r+OO

/+оо

¿(0« pi-iKiK

-СХР

- фурье-преобразование начального распределения огибающей короткой волны 5|г=о = Ф(0-

Для учета взаимодействия необходимо учесть члены следующего порядка по г, что приводит к системе уравнений:

3L Г d3L dL

2

525 „5-5*

-S

ае2 ае2

= о,

Численное интегрирование этой системы уравнений, при выборе периодических краевых условий и начального условия вида:

L = L0[l + bL{l--cae(KZ))], S = 50, (10)

показывает, что благодаря длинно-коротковолновому взаимодействию формируется синусоидальное распределение малой интенсивности для модуля огибающей короткой волны |5|, которое в процессе своего распространения значительно увеличивается по амплитуде (фиг. 1). Таким образом, в отличие от невырожденного резонансного случая, когда огибающая короткой волны распространяется в виде солитона, при резонансном вырождении будет формироваться синусоидальный профиль.

Аналогичная динамика наблюдается при выборе начальных условий

L = L0[l + Ai(l - соs{K£))}, $ = 5о[1 + AS(1 -соs(KQ)}.

Важно заметить, что происходящие при этом процессы существенно зависят от членов взаимодействия и если мы ограничимся линейным уравнением Шредингера для 5, то мы получим совсем другую картину: 1) синусоидальное возмущение огибающей короткой волны не увеличивается по амплитуде; 2) максимум возмущения не смещается по пространству (фиг. 2).

ООО V^Te 2.7

0.9 1.8 2.7 х.м

1 -t = 4.75 мс, 2 - t = 40.35 мс, 3 - t = 75.95 ыс

Фиг. 1 Возрастание амплитуды коротковолнового возмущения |Д,| = e3/2poS под воздействием длинноволнового возмущения в воде с воздушными пузырьками радиуса ао = 10 мкм при начальном давлении ро — 0.1 МПа в случае вырождения резонансного взаимодействия (е = Ю-1, L0 - 5 кПа, S0 = 15.8 кПа, iT = 1.74 • 10~2 м-1, аз0 = 3.02 - Ю-4, \s = 0.369 м, к = 1.4).

О 0.9 1.8- 2.7 -Г. и 0 0 9 1.8 2.7 *.«

Фиг. 2 Сравнение амплитуд коротковолнового возмущения | Д,| = е3/2Ро|5|, распространяющегося в согласии с полной моделью (сплошная кривая) и линейз!ым уравнением Шредингера (точечная кривая) в воде с воздушными пузырьками радиуса ао = 1 мм при начальном давлении ро — 0.1 МПа в случае вырождения резонансного взаимодействия (е = Ю-1, L0 = 5 кПа, 50 = 15.8 кПа, К = 1.74 • 10~2m-1, адо = 3.02 ■ 10~4, А, = 0.369 м, к = 1.4).

При вырождении резонансное взаимодействие может описываться другими моделями взаимодействия. В частности, при выборе (/, т) = (1,1), т.е. в случае равенства порядков малостей длинноволнового и коротковолнового возмущений, вырожденное резонансное взаимодействие описывается моделью:

дь дь2 Г д3Ь дЬ3 дЬ\Б\2 .. /^Б*

^ - "уЗ2Б* = щьЩ + + ЫЗ. (И)

Без учета членов порядка е первое уравнение (11) будет представлять собой уравнение Хопфа

дЬ дЬ2 п

описывающего образование ударной волны из первоначально гладкого профиля. По мере укручнения волны значительно возрастают производные Ь и Б по £ и они начинают влиять на процесс, будучи первоначально очень малыми. Следовательно, для получения более реальной картины взаимодействия длинноволновых и коротковолновых возмущений давления нам необходимо использовать модель (11).

Численное интегрирование системы (11) при периодических краевых условиях и начальном условии (10) показывает, что благодаря длинно-коротковолновому взаимодействию происходит разрушение профиля длинной волны (жирная сплошная кривая (е = Ю-1) и тонкая сплошная кривая (е = Ю-2) на фиг. 3). Если 5о = 0 (нет короткой волны), то длинная волна будет распространяться в виде устойчивой уединенной волны (точечная кривая на фиг. 3). Так как расматрива-емая модель является устойчивой, то это разрушение есть следствие нелинейной неустойчивости, реализуемой в системе при обмене энергией между длинной и короткой волнами.

<.4б

/ \

V

ж/2 в

Фиг. 3 Разрушение уединенной длинной волны при генерации монохроматического коротковолнового сигнала (£0 = 50 = 5, АЬ = 0.05, к = 1.4).

Б третьей главе рассматривается пространственно-одномерное взаимодействие длинных и коротких волн в диссипативной пузырьковой жидкости, численно яслледуется влияние диссипации на резонансное и вырожденное резонансное взаимодействия длинных и коротких волн (§3.1); исследуется влияние поперечных возмущений на распространение взаимодействующих длинных и коротких волн в пузырьковой жидкости как в нерезонансном случае, так и при резонансе и вырождении (§3.2);

В различных пузырьковых жидкостях коэффициент эффективной вязкости /г* может различаться на несколько порядков. Поэтому рас-смотриваются 4 случая диссипации: -1) сильная, д* = /х; 2) средняя, р.* — од 3) слабая, ¡1* = ещ 4) очень слабая, ц* = е/л (ц ~ 1). Нетривиальное взаимодействие возникает только для случая слабой и очень слабой диссипации. Так, при учете слабой вязкости уравнения Захарова (6) примут вид:

дЬ а. дт + 2с1

0,

дт д£,"

(Г - положительный коэффициент), откуда непосредственно следует, что при вырождении взаимодействие между длинной и короткой

волнами не будет возникать даже в последующих временных масштабах, так как благодаря диссипативному члену в уравнении на 5 амплитуда коротковолнового возмущения будет затухать уже во времени т.

С учетом слабой диссипации система уравнений (11) модифицируется следующим образом:

»■ (12)

Как показывает численное моделирование этой модели, слабая диссипация будет приводить к стабилизации процесса, т.е. не будет развиваться нелинейная неустойчивость.

В пространственно-двумерном случае, т.е. при наличии поперечных возмущений уравнения длинно-коротковолнового взаимодействия в недиссипативной пузырьковой жидкости принимают вид (при выборе (¿,т)=(2,1)):

Эти уравнения, которые часто называют системой уравнений Деви-Стюардсона 20, при выполнении условия /3-у' > О, j' = 7 — aSf (с2 —

9 \

се) могут иметь решения, обращающиеся в бесконечность за конечное время (эффект сингулярной фукусировки или взрывной неустойчивости). Интересно, что при наличии поперечных возмущений не требуется выбирать иные значения чисел I, m при выполнении условия резонанса (3). Следовательно, из-за поперечных возмущений амплитуда длинной волны не должна существенно возрастать при достижении резонанса.

10Davey A., StewartsonK. On three-dimensional packets of surface waves // Proc.

R. Soc. Lond. A, - 1974. - V. 338. - P. 101-110.

d4 2Ô2L _ д215|2

зе Ce эе ее '

d2S

Вырождение взаимодействия не будет приводить при учете поперечных. возмущений к качественно новым эффектам, так как в предположении р^ = 0 уравнения взаимодействия будут иметь вид

, _ 2 дЧг 2д2Ьх _ д2 ( д£Г дв\ ^ Се) С'де~ д? У3 д£ д£)'

^г^еЦ^Ш^^8^- (13)

Из этих уравнений следует, что распространение длинноволновых и коротковолновых возмущений полностью определяется самовоздействием огибающей короткой волны в двумерном нелинейном уравнении Шредингера (второе уравнение в (13)).

В четвертой главе приводится обзор работ, посвященный вопросам слабых колебаний одиночного пузырька, находящегося в сферическом объеме жидкости, выводится система уравнений, описывающая колебания пузырька в сферической колбе с учетом отражающихся от стенок колбы волн давления (§4.1) и проводится анализ резонансных колебаний пузырька с построением амплитудно-частотной характеристики (§4.2).

Радиальные пульсации адиабатического газового пузырька, находящегося в центре заполненной сжимаемой жидкостью сферической колбы в длинноволновом приближении при малых числах Маха и в пренебрежении диссипативными эффектами могут быть описаны следующей системой дифференциально-разностных уравнений 11:

'а

3 /4а\2 _ ра(а) (ра{а)

А2 2\м) Ро С<И\ ро

/ Л\ ( Я\ 2До?рд 2а а . .. ^

^ [* + с)=Ре< у~с)+ ~с-¿Г ' (14)

Ра {а) = Рд(а) - 2 Е/а, рд(а) = (р0 + 2Е/а0) (а/а0)-37.

иНигматулин Р.И., Ахатов И.Ш., Вахитова Н.К. О сжимаемости жидкости в динамике газового пузырька // Докл. РАН. - 1996. - Т. 348. - С. 768-771

Здесь а, К - радиусы пузырька и колбы; ре} - некоторое эффективное давление (в отсутствии пузырька совпадает с давлением в центре колбы), рд - давление на стенке колбы; Рд ~ давление газа в пузырьке; ра - давление жидкости на стенке пузырька; Е - коэффициент поверхностного натяжения жидкости; С - скорость звука в жидкости; 7 - показатель адиабаты; Ро,Ро^Оо ~ начальные значения давления в жидкости, плотности жидкости и радиуса пузырька. Разностное уравнение (второе уравнение в (14)) возникает при учете отражающихся от стенок колбы волн давления.

С целью исследования резонансных колебаний пузырька строится амплитудно-частотная характеристика радиальных пульсаций пузырька. Для этого проводится линеаризация системы уравнений (14) с введением синусоидальных возмущений (о> - частота)

Да = аоАехрш^, А рд = роТ'к охр Дре/ = Ро-Ре/ ехР , которая приводит к следующим амплитудно-частотным функциям:

Г~2(1 + е2х2)

Л1 = \AfPef | = Аг = \Ре}1Рц\ =

е2х2 + {1-Ее2х2)2\ ' х2[е2х2 + (1-Ее2х2)2}

[(1- Ее2 х2) вш х+Ее3 х3 сов ж]'Ч в2 х2 (1 - Ее2 г2) зш2

А3={А/Рп\ =

Т-2х2(1 + £2Х2)

где

[(1-Ее2х2) ятх + Ее3х3 созж] +е2х2(1-Ее2х2) зш2

Т^+^-1), В-»*

(15)

(16)

С К р0а0 р0Г

Из (15) следует, что резонансные колебания пузырька будут возникать при частотах Шк — ктгС/11, к — 0,1, 2,... ("колбовые" резонан-сы) и при частоте собственных колебаний пузырька

шй = — а о

ЗтРо

Ро

х

(резонанс Миннаерта). "Колбовые" резонансы соответствуют резо-нансам колебаний давления жидкости в центре колбы в отсутствии пузырька 12. Исследование амплитудно-частотных функций Ао (15) и Аз (16) показывает, что 1) при уменьшении радиуса пузырька минимумы функций отклика Л 2, А3 будут возрастать; 2) при увеличении радиуса пузырька " колбовые'1 резонансы будут сглаживаться; 3) чем меньше пузырек, тем сильнее смещаются "колбовые" резонансы, находящиеся вблизи резонанса Миннаерта (последний факт можно объяснить тем, что для возбуждения маленького пузырька достаточно небольшого возмущения давления на стенке колбы). Результаты исследований резонансного колебания пузырька могут быть использованы для понимания явления сонолюминесценции (свечения газа в пузырьке).

В заключении кратко суммируются основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.

В приложении описаны численные методы решения уравнений резонансного и вырожденного резонансного взаимодействий длинных и коротких волн.

Автор искренне благодарит своего научного руководителя д.ф.-м.н., проф. Ахатова И.Ш. за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также д.ф.-м.н., проф. Байкова В.А. и к.ф.-м.н., доц. Вахитову Н.К. за полезные обсуждения.

12Ландау Л.Д., Лифшиц В.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. -М.: Наука. - 1986. - 736 с.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ:

1. Хисматуллин Д.Б., Хуснутдинова K.P. О резонансе Бенни в пузырьковой среде // Тезисы 1-ой научной конференции молодых ученых-физиков РБ. - Уфа: БашГУ. - 1994. - С. 32.

2. Ахатов И.Ш., Белютин C.B., Хисматуллин Д.Б., Хуснутдинова K.P. О взаимодействии длинных и коротких волн в пузырьковых системах // Сб-к статей и тезисов научной конференции по науч.-техн. программам Госкомвуза России. - Уфа: БашГУ.

- 1996. - С. 154-156.

3. Ахатов И.Ш., Белютин C.B., Хисматуллин Д.Б., Хуснутдинова K.P. Модели нелинейного взаимодействия длинных и коротких волн в пузырьковых системах // Материалы международной конференции и чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева. Т.1. - М.: Изд-во мех.-мат. фак. МГУ. - 1996. - С. 34-37.

4. Ахатов И.Ш., Белютин C.B., Калякина О.П., Хисматуллин Д.Б., Хуснутдинова K.P. Одно- и двумерные модели взаимодействия нелинейных волн в пузырьковой среде // Сборник трудов 4-го научного семинара СНГ "Акустика неоднородных сред". - Новосибирск: ИГ СО РАН. - 1997. - вып. 112. - С. 24-28.

5. Ахатов И.Ш., Вахитова Н.К., Нигматулин Р.И., Хисматуллин Д.Б. О слабых колебаниях газового пузырька в сферической колбе // Сборник трудов 4-го научного семинара СНГ "Акустика неоднородных сред". - Новосибирск: ИГ СО РАН. - 1997.

- вып. 112. - С. 29-33.

6. Ахатов И.Ш., Вахитова Н.К., Галеева Г.Я., Нигматулин Р.И., Хисматуллин Д.Б. О слабых колебаниях газового пузырька в сферическом объеме сжимаемой жидкости // ПММ. - 1997. - Т. 61, вып. 6. - С. 952-962. (I.Sh. Akhatov, N.K. Vakhitova, G.Ya. Galeyeva, R.I. Nigmatulin, D.B. Khidmatullin. Weak Oscillations of a Gas Bubble in a Spherical Volume of Compressible Liquid / / J. Appl. Maths Mechs. - 1997. - Vol. 61, No. 6. - P. 921-930.)

7. I.Sh. Akliatov, R.I. Nigmatulin, D.B. Khismatullin, K.R. Khusnut-dinova. Resonant interaction of long and short pressure waves in bubbly liquids // Proceedings of the Third International Conference on Multiphase Flow (ICMF'98). - Lyon. - 1998. - 8 p.

Хисматуллин Дамир Борисович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ В ДИНАМИКЕ ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия № 0225 от 10.06.97 г.

Подписано в печать 10.08.98 г. Формат 60x84/16. Бумага типографская № 1. Компьютерный набор. Отпечатано на ризографе. Усл.печ.л. 1,16. Уч.-изд.д. 1,22. Тираж 100 экз. Заказ 382.

Редакционно-издательский центр Башкирского университета Множительный участок Башкирского университета 450074. Уфа, ул.Фрунзе, 32. Тел.: (3472)236-710