автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование многофазных сжимаемых сред с учетом гравитации на суперЭВМ

На правах рукописи

Лазарева Галина Геннадьевна

Математическое моделирование многофазных сжимаемых сред с учетом гравитации на суперЭВМ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

О 4 ОКТ 2012

Новосибирск - 2012

005052470

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН)

Научный консультант: доктор физико-математических наук

профессор Вшивков Виталий Андреевич

Официальные оппоненты:

Воеводин Анатолий Федорович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института гидродинамики им. М.А.

Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук. Жуков Виктор Тимофеевич, доктор физико-математических наук, заведующий отделом Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института прикладной математики им. М.В. Келдыша

Российской академии наук. Черных Геннадий Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится 2 октября 2012г. в 1500 час. на заседании диссертационного совета Д003.061.02 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН) по адресу: 630090, Новосибирск, просп. ак. Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института

вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан 1 августа 2012г

Ученый секретарь ^ С.Б. Сорокин

диссертационного совета '

д. ф.-м.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Математическое моделирование, как один из важнейших методов исследования, играет важную роль в исследовании динамики сжимаемых сред. Без вычислительных технологий прогресс, достигнутый во многих областях знаний, невозможен, так как аналитические методы решения ограничены рассмотрением упрощенных случаев с высокой степенью симметрии или дают приближенные оценки для нелинейных задач. В настоящее время разработано большое количество методов решения системы газодинамических уравнений, изучены их свойства и правомерность их использования в различных областях механики сжимаемой жидкости. На основе существующих и хорошо апробированных методов решения системы газодинамических уравнений разработано большое количество пакетов программ для моделирования течений с целью предсказания их характеристик и рабочих параметров современных инженерных устройств. Наиболее известны пакеты Ansys, Fluent, FlowVision, CFX, STAR-CD, Numeca, FlowER, MD Nastran используемые для моделирования различных типов течений. Несмотря на развитую теорию, большой опыт успешного применения разностных методов для решения системы уравнений газовой динамики и существование созданных на их основе готовых пакетов программ, решение задач динамики многофазных сжимаемых сред с учетом гравитации требует особого подхода. Приложения методов решения гиперболических систем уравнений к различным задачам всегда предполагают наличие определенных критериев к выбору метода и его модификации. Уравнения газовой динамики есть математическое выражение основных законов сохранения для сплошной среды: массы, импульса, полной энергии. В приложениях задач гидродинамики часто возникает необходимость рассматривать дополнительные физические факторы, такие как многофазность, самогравитация, процессы охлаждения, теплоперенос, плавление, наличие сильно изменяющихся реологических и транспортных свойств и т. д. Это приводит к необходимости введения в уравнения новых членов и включения в систему дополнительных уравнений. В результате изменяется содержательность математических моделей, их решение следует трактовать уже в новых физических терминах. Такая ситуация имеет место и для большого класса математических моделей в задачах генерации излучения пассивными пузырьковыми системами в гидроакустике, мантийных течений в геодинамике и столкновений галактик в современной теоретической астрофизике. При изучении сложных явлений переход к моделированию пространственных течений сжимаемых сред сопровождается появлением новых физических эффектов, которые в задачах меньшей размерности либо отсутствуют, либо проявляются лишь незначительно. Многомерные модели

выдвигают особые требования к используемым для их реализации численным методам. Не менее значимым фактором является возможность достаточно простой параллельной реализации метода для расчетов на суперЭВМ, так как программная реализация пространственных моделей, требующих большого числа массивов, невозможна на современных однопроцессорных компьютерах. В настоящее время возможно проведение расчетов газодинамических моделей в трехмерной постановке с хорошим разрешением (достаточно подробной сеткой либо большим количеством частиц) только на многопроцессорных вычислительных системах. Проблема использования супер-ЭВМ для решения задач динамики сжимаемых сред в первую очередь определяется сложностью адаптации алгоритмов решения задач на архитектуру многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью, доминирующим в настоящее время направлением в развитии многопроцессорных компьютеров.

Несмотря на достигнутые успехи в моделировании динамики сжимаемых сред, в частности, многофазных, многие прикладные задачи до сих пор не решены. Сложность проблемы обуславливает необходимость разработки фундаментальных основ и применения математического моделирования, численных методов и комплексов программ; комплексных исследований научных и технических проблем с применением современных технологий математического моделирования и вычислительного эксперимента; разработки новых математических методов и алгоритмов интерпретации эксперимента и наблюдений на основе математической модели. Таким образом, актуальность работы определяется потребностью разработки, обоснования и тестирования экономичных вычислительных методов решения уравнений многофазной газовой динамики с учетом гравитации с применением современных суперкомпыотерных технологий, реализации численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента и комплексного исследования научных проблем гидроакустики, астрофизики и геодинамики с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Объект исследования данной работы - нестационарные процессы в многофазных сжимаемых средах с учетом роли гравитационных сил путем построения и изучения их математических моделей, корректной конечномерной аппроксимации и создания программно-алгоритмических средств, ориентированных на использование вычислительных систем с параллельной архитектурой. Цель исследования - опираясь на современные достижения теории разностных схем для газодинамических систем уравнений, развить численные методы решения прикладных задач гидроакустики, астрофизики и геодинамики, создать на этой основе научно-

исследовательские версии программного обеспечения, ориентированные на использование современных вычислительных средств с параллельной архитектурой и провести численные эксперименты.

Научные задачи

1. Разработать метод численного моделирования взаимодействия плоской ударной волны со «свободной» пузырьковой системой заданной геометрии с применением современных суперкомпьютерных технологий. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов. Провести комплексные исследования процессов распространения ударной волны излучаемой пузырьковым кластером и ее структуры с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

2. Разработать, обосновать и протестировать экономичный численный метод расчёта трехмерных задач динамики самогравитирующих многофазных систем с сохранением свойства инвариантности решения относительно поворота. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для проведения крупномасштабных вычислительных экспериментов. Провести комплексные исследования равновесных конфигураций и коллапса самогравитирующего газа, динамики газопылевых самогравитирующих систем и развитие сценариев столкновений галактик с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

3. Разработать нестационарную математическую модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами. Разработать эффективный параллельный алгоритм нахождения гипозвуковой скорости течения. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения и провести численное моделирование мантийных течений.

Методы исследований, достоверность и обоснованность.

Разнообразие явлений, их нелинейность, нестационарность, многомасштабность требуют детального изучения, основанного на совмещении современных знаний из различных дисциплин: методов математического моделирования, вычислительной математики, теории разностных схем, теории параллельных вычислений, в том числе методы пространственной декомпозиции областей для разработки параллельных версий алгоритмов, механики сплошных сред, гидроакустики, астрофизики и геодинамики, - с широким использованием экспериментальных и наблюдательных данных. В диссертации проводится теоретическое исследование усиления ударной волны пузырьковым кластером, динамики

самогравитирующих систем и мантийных течений. Исследования выполнены методом численного моделирования, некоторые вопросы изучались аналитическими способами. Математические модели, которые использовались и развивались в работе, отличаются полнотой описания явлений, что позволило учесть целый комплекс факторов, влияющих на поведение газодинамических параметров течений в задачах гидроакустики, астрофизики и геодинамики. Методологический подход к решению поставленных задач состоит в совмещении сложных газодинамических моделей, современных представлений гидроакустики, астрофизики и геодинамики с экономичными численными методами, разработанными для суперкомпьютерных вычислений. Разработанные комплексы программ и используемые в работе модифицированные разностные схемы прошли полное тестирование на модельных задачах, близких по физической постановке к изучаемым явлениям и допускающим аналитическое решение.

Достоверность подходов к численному моделированию усиления ударной волны пузырьковым кластером подтверждается совпадением результатов, полученных по двум различным численным методам: с помощью противопотоковой схемы и схемы расщепления второго порядка точности, адаптированной к исследованию течений с сильно нелинейным уравнением состояния. Последняя из используемых схем абсолютно устойчива и аппроксимирует систему уравнений, записанную в консервативном виде, что обеспечивает разностное выполнение соответствующих законов сохранения. Сходимость численных методов проверена на последовательности измельчающихся сеток. Полученные результаты непротиворечивы, дополняют друг друга и соответствуют имеющимся экспериментальным данным по изучаемым явлениям. Процесс фокусировки ударной волны, генерируемой сферическим пузырьковым кластером, устойчив к возмущениям, заданным в виде жидкой сферы, размещенной в кластере в различных точках на оси.

Газодинамическая часть программного комплекса для моделирования самогравитирующих систем была протестирована на тестах Годунова. Сходимость численных методов решения отдельных этапов задачи проверена на последовательности измельчающихся сеток. Решение уравнения Пуассона для гравитационного потенциала тестировалось на аналитических решениях с разрывной правой частью. На задачах о равновесных конфигурациях самогравитирующего газа было проведено тестирование правильности решения системы уравнений газовой динамики с учётом влияния самосогласованного гравитационного поля. В ходе численного нахождения равновесных конфигураций решение системы выходило на соответствующие автомодельные решения. Правомерность применимости предложенного подхода к численному моделированию подтверждается согласованностью

полученных результатов решення задачи коллапса с результатами других авторов. Полученные диапазоны газодинамических параметров развития сценария столкновения галактик соответствуют теоретическим оценкам, основанным на анализе наблюдательных данных. Контроль правильности решения осуществляется выполнением разностных законов сохранения.

Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается использованием фундаментальных принципов математического моделирования механики сплошной среды, применением современных методов асимптотического и численного анализа, сравнением получаемых решений с данными натурных измерений и результатами, известными в литературе, а так же в ИГиЛ СО РАН, ИНАСАН и ИГМ СО РАН путём сопоставления результатов численного моделирования и лабораторных и натурных наблюдений.

Защищаемые научные результаты. В работе присутствуют оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ. Эти три области соответствуют трем пунктам паспорта специальности 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам.

Пункт третий (Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий):

1. Разработка эффективного конечно-разностного метода численного моделирования взаимодействия плоской ударной волны со «свободной» пузырьковой системой заданной геометрии с применением современных суперкомпьютерных технологий.

2. Разработка, обоснование и тестирование эффективного численного метода расчёта трехмерных задач динамики самогравитирующих многофазных систем с применением современных суперкомпьютерных технологий. В основе метода лежит совокупность оригинальных решений: модификация эйлерового этапа метода крупных частиц на основе операторного подхода с целью сохранения свойства решения инвариантности относительно поворота; линеаризация уравнений на эйлеровом этапе для адекватного воспроизведения ударных волн; коррекция схемных скоростей на лагранжевом этапе метода для ликвидации влияния направления координатных линий на решение.

3. Разработка, обоснование и тестирование нового экономичного вычислительного метода для моделирования динамики мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами с применением современных суперкомпьютерных технологий.

Пункт четвертый (Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента):

1. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента с целью исследования процессов распространения и структуры ударной волны излучаемой пузырьковым кластером заданной геометрии в аксиально-симметричной постановке.

2. Создание научно-исследовательского варианта параллельного программного обеспечения для численного моделирования динамики многофазных самогравитирующих систем в трехмерной декартовой системе координат, зарегистрированного в Фонде алгоритмов и программ СО РАН. В ходе реализации метода разработаны оригинальные подходы для эффективного решения ряда ключевых задач: расчет гравитационного потенциала, газовой и пылевой компонент на разных сетках, организация параллельных вычислений методом декомпозиции расчетной области с использованием библиотеки MPI.

3. Создание научно-исследовательского варианта параллельного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов для численного моделирования мантийных течений

Пункт пятый (Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента):

1. Эффект фокусировки ударной волны с градиентом давления вдоль фронта в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером; нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн, генерируемых тороидальным пузырьковым кластером; формирование в пузырьковом шнуре последовательности ударных волн затухающей амплитуды.

2. Получены равновесные конфигурации самогравитирующего газа; динамика энергий коллапса самогравитирующего газа; взаимодействие компонент газопылевых самогравитирующих систем; диапазоны параметров для развития сценариев столкновений галактик с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

3. Результаты численного моделирования процесса разогрева и вызванного им всплывания легкого вещества в результате андерплейтинга базитовой высокотемпературной магмы под основанием коры.

Научная новизна и личный вклад. В диссертации сформулированы постановки некоторых новых задач численного моделирования течений многофазных сжимаемых сред с учетом сил гравитации: усиления ударной

волны «свободной» пузырьковой системой, динамики самогравитирующих систем и мантийных течений. Созданы оригинальные экономичные численные методы и параллельные алгоритмы решения поставленных задач. Научной новизной обладают как постановки задач, так и полученные решения. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан численный метод с улучшенными вычислительными характеристиками для решения нестационарных задач механики неоднородных сред в аксиально-симметричной постановке на суперЭВМ; обнаружен эффект фокусировки ударной волны, переизлучаемой сферическим пузырьковым кластером, и нерегулярное маховское отражение, возникающее во время кумуляции кольцевой ударной волны на оси симметрии; получены зависимости максимальной амплитуды давления и размеров пятна фокусировки от параметров течения.

2. Создан эйлеров численный метод на регулярной нединамической сетке для моделирования динамики самогравитирующего газа в трехмерной декартовой системе координат со свойством сохранения инвариантности решения относительно поворота; создан научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для численного моделирования динамики многофазных самогравитирующих систем, зарегистрированный в Фонде алгоритмов и программ СО РАН; получена последовательность равновесных фигур самогравитирующего газа и диапазон параметров развития каждого из сценариев модельной задачи центрального столкновения газовых компонент галактик: слияние, рассеивание, свободный разлёт и разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездного компонента.

3. Создана нестационарная математическая модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости, разработан алгоритм численной реализации нестационарных гипозвуковых течений в мантии Земли.

Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановок задач, разработке адекватных численных алгоритмов и методов решения, создании и тестировании алгоритмов и программ, проведении расчетов, интерпретации результатов численного моделирования. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами.

Теоретическая и практическая значимость результатов. С помощью современных достижений теории разностных схем и методов параллельных вычислений диссертантом разработаны, теоретически и экспериментально обоснованы оригинальные экономичные численные методы решения прямых нестационарных двух- и трехмерных задач для многофазных сжимаемых сред с учетом сил гравитации и на этой основе созданы научно-исследовательские версии программного обеспечения, ориентированного на

использование современных вычислительных систем с параллельной архитектурой.

В рамках диссертационной работы разработаны свободно распространяемые проблемно-ориентированные программные комплексы для суперЭВМ с открытым кодом, в том числе зарегистрированные в Фонде алгоритмов и программ СО РАН. Данные комплексы используются в исследованиях гидроакустических процессов в ИГиЛ СО РАН, теоретическом анализе наблюдательных данных в ИНАСАН и изучении закономерностей мантийных течений в ИГМ СО РАН. Эффективность предложенных методов и программного обеспечения продемонстрирована на примере анализа решенных задач гидроакустики, астрофизики и геодинамики.

В ходе комплексных исследований задач динамики многофазной сжимаемой среды с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента получены новые результаты: эффект фокусировки ударной волны в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим облаком пузырьков и нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн, генерируемых тороидальным пузырьковым кластером; равновесные конфигурации и коллапс самогравитирующего газа, динамика газопылевых самогравитирующих систем и развитие сценариев столкновений галактик.

Теоретическая и практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Исследованы акустически активные системы, способные к генерации мощного излучения, изучена динамика их состояния и волновых процессов в системе распределенных в жидкости пузырьковых кластеров и механизмов их усиления, определено влияние начальных параметров смеси и динамических характеристик ударной волны на структуру ударных волн, излучаемых пузырьковым кластером, что может быть использовано при создании сазера (SASER - shock amplification by systems with energy release), акустического аналога импульсных лазерных систем. Созданная численная модель динамики ударных волн в пузырьковых средах и реализующий ее пакет программ для суперЭВМ дают разработчикам гидроакустических аналогов лазерных систем эффективный инструмент, который позволяет принимать научно обоснованные решения для постановки физических экспериментов и может послужить основой для создания генераторов акустического излучения.

2. Исследована модельная задача центрального столкновения газовых компонент галактик и определен диапазон газодинамических параметров для развития каждого из сценариев: слияние, свободный разлёт, разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездного компонента,

рассеивание газовых компонент галактик. Найден механизм возникновения новой дочерней галактики. Создан зарегистрированный в Фонде алгоритмов и программ СО РАН пакет программ для суперЭВМ для решения широкого класса задач гравитационной газодинамики, позволяющий получать важные, научно обоснованные теоретические выводы, необходимые для понимания не только эволюции газовых компонент взаимодействующих галактик, но и эволюции самих галактик. В дальнейшем разработанный программный комплекс для суперЭВМ может быть использован для исследования сценариев взаимодействия астрофизических объектов (не центрального столкновения дисковых галактик, близкого прохождения галактик и т.д.) с учетом процессов звездообразования.

3. Разработана нестационарная математическая модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости и алгоритм численной реализации нестационарных гипозвуковых течений в мантии Земли для суперЭВМ. Созданная научно-исследовательская версия программного обеспечения может быть использована для проведения крупномасштабных вычислительных экспериментов с целью получения динамических картин течений многофазных сжимаемых сред в мантии Земли с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами.

Полученные результаты, а также разработанные методы могут быть использованы специалистами в области численного моделирования многофазных сред, при решении задач усиления акустических сигналов пузырьковыми средами, при моделировании гравитационно-неустойчивых процессов в мантии Земли, в теоретической астрофизике, а также при решении различных задач прикладной математики и математической физики.

Все исследования, проводимые по теме диссертации, являются составной частью планов НИР Института, а их выполнение постоянно поддерживалось Российским фондом фундаментальных исследований в рамках проектов 02-01-00864-а «Создание эффективных параллельных алгоритмов для моделирования задач физики плазмы и астрофизики», 04-01-00850-а «Численное моделирование генерации пучков быстрых ионов при взаимодействии коротких лазерных импульсов с тонкой фольгой», 05-01-00665-а «Разработка параллельных алгоритмов для решения задач астрофизики и физики плазмы», 08-01-00615-а «Создание эффективных параллельных алгоритмов для моделирования процессов в физике плазмы и астрофизике», 08-01-00622-а «Численное моделирование развития аномальной теплопроводности при нагреве плазмы электронным пучком в установках УТС», 09-01-003 79-а «Математическое моделирование физических основ космического плазменного двигателя», 11-01-00178-а «Численное моделирование на суперЭВМ динамики ультрарелятивистских пучков заряженных частиц», РФФИ № 11-01-12075-офи-м-2011

«Гамильтонова геофизическая гидродинамика и кинетические уравнения», 12-01-00061-а «Математическое моделирование на суперЭВМ нестационарных мантийных течений в сжимаемой среде с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами», 12-01-00076-а «Вычислительные алгоритмы и технологии решения многомерных задач математической физики на квазиструктурированных сетках», 12-01-00234-а «Моделирование динамики плазмы для газодинамической много пробочной ловушки на суперЭВМ».

Представленные в диссертации результаты получены в процессе исследований по междисциплинарным ИП СО РАН №22 «Волновые процессы в многофазных средах», № 148 «Самоорганизация, катализ и процессы химической эволюции в гравитационно и термодинамически неустойчивых системах, моделирующих ранние этапы формирования Земли», № 40 «Термодинамически согласованные модели сплошных сред и их вычислительное моделирование: вычислительные модели, алгоритмы и их программная реализация; новые критерии устойчивости движения, позволяющие указывать допуски на определяющие параметры», № ИЗ «Разработка вычислительных методов, алгоритмов и аппаратурно-программного инструментария параллельного моделирования природных процессов», № 26 «Математические модели, численные методы и параллельные алгоритмы для решения больших задач СО РАН и их реализация на многопроцессорных суперЭВМ», № 2 «Тепломассоперенос в континентальной коре в условиях гравитационной неустойчивости: геологический анализ и многопроцессорное моделирование», № 103 «Законы сохранения, инварианты, точные и приближенные решения для уравнений гидродинамического типа и интегральных уравнений», № 105 «Плазменная ловушка - мишень для получения мощных атомарных пучков для термоядерных установок (разработка, изготовление, запуск и исследования)», № 12 «Математическое моделирование восходящего движения магм в литосфере», Голландско-Российскому Проекту Ы\¥0-Р1а5та (контракт ЯРВ8 047.016.018), программе фундаментальных исследований Отделения физических наук РАН ОФН-17 «Протяжённые объекты во Вселенной», проектам Программы Президиума Российской академии наук № 4 «Происхождение и эволюция звезд и галактик», № 18-2 «Происхождение и эволюция биосферы», № 25-2 «Эволюция гео-биологических систем», № 4 «Происхождение и эволюция звезд и галактик», программы СО РАН по супер-ЭВМ, фонда «Ведущие научные школы» (грант 2073.2003.1), программы Рособразования "Развитие научного потенциала ВШ" (проект РНП.2.2.1.1.3653 и проект РНП.2.2.1.1.1969).

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры

инновационной России" на 2009 - 2013 годы (государственные контракты 111246, 16.740.11.0573, 14.740.11.0350) и Федеральной целевой программы "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы" (государственный контракт 07.514.11.4016). Результаты разработок использованы в НИР студентов ММФ НГУ «Модели и алгоритмы высокопроизводительных вычислительных систем для решения больших задач физики» и поддержаны проектом «Подготовка и переподготовка профильных специалистов на базе центров образования и разработок в сфере информационных технологий» Комиссии при Президенте Российской Федерации по модернизации и технологическому развитию экономики России.

Апробация, публикации, объем и структура диссертации. Результаты диссертационной работы известны научной общественности. Всего по теме диссертации автором лично и в соавторстве опубликовано более 60 работ, в том числе 27 статей, из которых 18 - в ведущих рецензируемых научных журналах из перечня ВАК. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных научных конференциях в России и за рубежом: на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), XVI сессии Российского акустического общества (Москва, 2005), IV школе-семинаре «Физика взрыва и применение взрыва в физ. эксперименте» (Новосибирск, 2003), V Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Новосибирск, 2010), 17 Международном конгрессе по акустике (Италия, 2001), Международном рабочем совещании «Происхождение и эволюция биосферы» (Новосибирск, 2005), Всероссийских конференциях «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2007), «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2009), «Математика в приложениях» (Новосибирск, 2009), Всероссийских конференциях по вычислительной математике КВМ (Новосибирск, 2009, 2011), Международных конференциях РаСТ (Новосибирск, 2006, 2009), «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» (Москва, 2009), «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008), «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (Новосибирск, 2010), "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика" (Новосибирск, 2011), "Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики" (Новосибирск, 2011), Международной конференции по математическим методам в геофизике «ММГ-2008» (Новосибирск, 2008), 5 Международной конференции "Inverse

Problems: Modeling and Simulation" (IP:M&S) (Турция, 2010), Международной Суперкомпьютерной конференции «Научный сервис в сети Интернет» (Новороссийск, 2010), «Параллельные вычислительные технологии» (Новосибирск, 2012), обсуждались на семинарах в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Институте вычислительных технологий СО РАН, Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Институте теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Институте астрономии АН (ИНАСАН) и Институте космических исследований РАН.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Содержит 312 страниц, в том числе 140 рисунков, 25 таблиц. Библиография содержит 335 наименований.

Благодарности. Успешному проведению исследования способствовала поддержка академиков РАН А.Н. Коновалова и Б.Г. Михайленко, оказавших большое влияние на формирование научных взглядов соискателя. Автор глубоко благодарна своему руководителю и соавтору профессору д.ф.-м.н. В.А. Вшивкову за содержательные и плодотворные обсуждения, помощь при выполнении работы. Автор ценит всестороннюю поддержку, постоянное внимание к работе и благодарит всех сотрудников лаборатории параллельных алгоритмов решения больших задач ИВМиМГ СО РАН и сотрудников кафедры Математического моделирования ММФ НГУ во главе с заведующим кафедрой профессором д.ф.-м.н. В.М. Ковеней. Особую признательность автор выражает д.ф.-м.н. Г.И. Дудниковой и профессору д.ф.-м.н. В.К. Кедринскому, которые оказали определяющее влияние на профессиональные приоритеты соискателя. Огромное влияние на содержательную часть работы по моделированию астрофизических задач оказал сотрудник ИНАСАН (г. Москва) профессор д.ф.-м.н. A.B. Тутутков. Автор благодарна сотрудникам лаборатории метаморфизма и метасоматоза Института геологии и минералогии СО РАН академику РАН В.В. Ревердатто и д.г.-м.н. О.П. Полянскому за постановку задачи и всестороннюю поддержку при создании новой модели мантийных течений.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, цель и задачи исследования, приводится краткий обзор современного состояния исследований по теме диссертации и приведено краткое изложение полученных результатов.

Глава 1. Первая серия исследований и численных экспериментов направлена на изучение проблемы кумуляции энергии ударной волны пассивной пузырьковой средой.

В первом разделе приводится физико-математическая постановка задачи о взаимодействии плоской ударной волны с акустически активными системами. Рассматривается двухфазная модель Иорданского - Когарко - ван Вингардена (ИКВ - модель), которая включает в себя законы сохранения массы и импульса для средних значений давления р. плотности р, скорости й = (и,,иг) и подсистему, определяющую состояние среды:

Система уравнений не замкнута: в уравнении состояния для жидкого компонента вводится новая переменная к - удельная доля газовой фазы в кластере, содержащая переменную ß = R/R„ - относительный радиус пузырьков, динамика которой описывается уравнением Релея. Здесь с„ -скорость звука в жидкости, к„ - начальная объемная концентрация газовой фазы, сг - коэффициент поверхностного натяжения. Система уравнений записана в безразмерном виде, где р0- начальное давление в жидкости , р0 -начальная плотность жидкости , R0 - начальный радиус пузырьков в кластере, ^рп/р0 - характерная скорость, i^^J]^ - характерное время -

константы, по которым система уравнений приведена к безразмерному виду. Расчеты проводились при показателе адиабаты п = 7.15 для диапазонов параметров: к„ = 0.001 - 0.1, R0 = 0.01 - 0.4 см.

Особенность данной модели состоит в том, что она позволяет игнорировать наличие пузырьков и считать среду однородной с особыми свойствами состояния, описываемого уравнением Релея. Расчет ведется по схемам сквозного счета (без выделения особенностей). Для расчета течения как в чистой жидкости, так и в пузырьковой среде, используется одно уравнение состояния р(р), в которое входит удельная доля газовой фазы, имеющая свое значения для каждой среды. Контактный разрыв на границе пузырьковая среда - жидкость задается в начальный момент времени через задание плотности: р, = 1, р2=\-к0, где р{ - плотность в жидкости, р - в

пузырьковой среде. Задача решена в аксиально-симметричной постановке, 0 .< z < Zmax, 0 < г < г<тх ■ Для расчетов принято гтм=15 см, zmax = 40см.

Численные методы решения. Решение исходной системы уравнений разбито на два этапа: газодинамический и кинетический. Для реализации первого этапа приведены две разностные схемы: явная схема с

^■+div(jm) = 0, —+ w(V5) = --V/?,

dt

направленными разностями и схема расщепления, адаптированные для расчета двумерных уравнений газовой динамики в цилиндрических координатах. Для реализации второго этапа, состоящего в решении подсистемы уравнений, описывающих состояние пузырьковой среды, рассмотрена схема Рунге - Кутта - Мерсона 4-го порядка. Приведены результаты тестирования используемых разностных схем и сравнение методов решения газодинамических уравнений на тестовом примере о распространении плоской ударной волны в жидкости.

Условия на границе г = 0 описывают ударную волну с постоянной амплитудой путём задания осевой компоненты скорости в предположении равенства нулю ее радиальной компоненты. Давление и скорость связаны через соотношение на разрыве. В расчетах амплитуда падающей волны изменялась в диапазоне 10 - 120 атм. Чтобы возмущения могли свободно выходить из области, не отражаясь от границы г = 0, используется граничное условие: и = и0, давление задается для р,и2> 0 р = р0> иначе р_ = о • На границе /• = о задаются граничные условия симметрии. На границах г = гтк и г = г задаются «мягкие» граничные условия: равенство нулю нормальных

производных. Исследованы эффекты взаимодействия граничных условий на входе и выходе волны из расчетной области.

Полученное уравнение полной энергии системы с учетом эффекта поглощения энергии пузырьковым кластером позволяет согласовывать граничные условия, проводить контроль правильности решения и используется в построении метода определения максимальной амплитуды давления в области фокусировки.

Метод определения максимальной амплитуды давления в области фокусировки на основе оценки величины изменения энергии волны переизлучения состоит в построении конуса, отражающего предполагаемое в предельном случае линейное распределение давления. Применение метода к результатам расчетов позволяет найти значения амплитуды давления в пятне фокусировки с точностью не менее 2%.

Во втором разделе приводится параллельная версия алгоритма. Особенность задачи состоит в том, что область моделирования состоит из подобласти, занятой чистой жидкостью и пространства пузырькового кластера. В каждой из подобластей уравнение состояния вычисляется особым образом, следовательно, изменяется количество операций. Такая постановка задачи требует особого подхода к декомпозиции области для обеспечения равномерной загрузки процессоров. Предложенный подход к декомпозиции пузырькового пространства является универсальным, не зависящим от размеров и конфигурации кластера. Топология вычислительной системы определяется структурой данных. Данные в алгоритме разрезаны на полосы,

и обмен данными во время счета производятся только между соседними полосами. Поэтому топология вычислительной системы - "линейка" достаточна для решения задачи. Для выявления свойств параллельного алгоритма найдены его характеристики для разных размеров вычислительной системы, разных размеров кластера и разных размеров задачи. Подробный анализ показал, что размеры пузырьковой зоны существенно влияют на общее время вычислений задачи. Экспериментально получены важные характеристики параллельного алгоритма данной задачи, такие как ускорение, эффективность, влияние неоднородности на время вычислений, которые позволяют оценить его качество и возможности получения значимых результатов.

Результаты численного моделирования приведены в третьем разделе. Приведена физико-математическая постановка задачи о взаимодействии плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером. В ударной трубке радиуса гтах, заполненной жидкостью, расположено сферическое облако пузырьков с объемной концентрацией газовой фазы к„. Пузырьки газа в кластере имеют один и тот же радиус Ударная волна, распространяясь от левого торца ударной трубки, взаимодействует с облаком пузырьков, огибает его и в зоне контакта фронта преломляется в кластер.

а б в г д

О 10 0 10 0 10 20 0 10 20 0 10 20 30 40 г Рис. 1 Динамика изобар. Схема иллюстрирует расположение сферического

пузырькового кластера (меридиальное сечение заштриховано) и распределение изобар при к0 = 0.01, psh = 30 атм, R„ = 0.01 см, Rcl = 5 см, ld = 10 см для t = 60 мкс (б), t = 120 мкс (<?), t= 180 мкс (г), t = 250 мкс (д).

При обтекании кластера падающей ударной волной его возбуждение в различных точках поверхности происходит с запаздыванием. В результате переизлучения поглошенной пузырьками преломленной волны в кластере формируется ударная волна (рис. 1). Отмечена такая особенность волнового процесса, как "неклассический" тип фокусировки, которая сопровождается поглощением ударной волны в кластере пузырьками газа и их последующим переизлучением. При этом наблюдается большой градиент давления вдоль фронта ударной волны. Приведены расчетные характеристики излученной

сферическим кластером ударной волны в пятне фокусировки. Объемная концентрация газовой фазы в кластере играет определяющую роль в эффекте усиления. Рис. 2 иллюстрирует сдвиг пятна фокусировки к центру кластера одновременно с ростом максимальной амплитуды давления в этом пятне с ростом удельной доли газовой фазы.

Рис.2 Распределение давления в пятне фокусировки на оси 7 для различных значений удельной доли газовой фазы. 1 -к0 = 0.04, 2-¿„ = 0.02, 3-£„ = 0.01,4-¿„ = 0.005, 5-¿„ = 0.0025.

Анализ расчетов показал, что амплитуда давления в фокусе зависит от амплитуды падающей волны, объемной концентрации газовой фазы, радиуса кластера и пузырьков. Получены соотношения, аппроксимирующие эти зависимости. Усиление эффекта фокусировки является следствием увеличения концентрации пузырьков в кластере и объема сферического облака. Совсем иной характер носит усиление эффекта фокусировки с ростом амплитуды падающей волны. Резкий рост давления в момент фокусировки с ростом амплитуды падающей волны до 40 атм сменяется асимптотическим поведением распределения давления при больших значениях р,Л. С ростом радиуса пузырьков в кластере амплитуда давления в момент фокусировки падает. На работу, совершаемую ударной волной над облаком пузырьков (увеличение внутренней энергии газа в пузырьках, создание радиальных потоков жидкости в процессе схлопывания), затрачивается ощутимая часть переносимой волной энергии. Приведенные энергетические оценки показывают, какая доля затраченной части энергии переизлучается пузырьковым кластером с усилением амплитуды в зависимости от объемной концентрации пузырьков, радиусов пузырьков и пузырькового кластера. Показано, что при оптимальном наборе параметров доля переизлученной энергии превышает 50%. Показано, что пульсация пузырьков в кластере приводит к возникновению последовательности волн сжатия и разрежения, которые затем распространяются по расчетной области.

В результате расчетов задачи о взаимодействии плоской ударной волны с двумя последовательно расположенными сферическими пузырьковыми кластерами показано, что с ростом объемной концентрации газовой фазы растет как максимальная амплитуда давления в первом и втором кластерах, так и эффект усиления. Максимальная амплитуда давления во втором

кластере выше максимума давления в первом на 5-9% и растет по мере уменьшения расстояния между кластерами. В предельном случае плотно сдвинутых кластеров эффект усиления максимален. Полученные результаты позволяют говорить о росте амплитуды ударной волны при ее прохождении через последовательность кластеров.

Приведены результаты численного анализа структуры волнового поля в окрестности оси симметрии при формировании сходящейся стационарной осциллирующей ударной волны. В данной постановке пузырьковый кластер имеет форму тора (радиус тора /?,ог, радиус сечения /?С1ГС), расположенного в плоскости, перпендикулярной оси ударной трубки. Взаимодействие преломленной волны с пузырьковой системой приводит к ее фокусировке внутри кластера и усилению, уровень которого определяется параметрами системы и радиусом сечения тора. Усиленная кластером ударная волна переизлучается в окружающую жидкость. Показано, что отражение волны от оси носит нерегулярный характер (см. рис.3 а). Для подобного типа волн ширина (на оси г) зоны осесимметричного нерегулярного отражения (маховского диска) конечна и занимает около 3 см, при этом в диске четко выделяется зона высокого давления (ограниченная системой замкнутых изобар), которую можно определить как ядро диска Маха. Результаты численного анализа динамики роста радиуса ядра маховского диска по мере удаления от плоскости тора показывают, что по мере удаления от плоскости тора и с ростом угла падения ударной волны на ось радиус ядра маховского диска монотонно растет для всего рассмотренного диапазона значений объемной доли газовой фазы в кластере.

Анализ структуры волнового поля показал, что по мере распространения маховского диска вдоль оси распределение давления на оси имеет четкий максимум, величина которого тем больше, чем выше концентрация газовой фазы. По мере удаления от плоскости тора, в его ближней зоне, наблюдается резкий рост давления в ядре диска Маха с усилением амплитуды волны в 6-7 раз. Характер последующего поведения давления указывает на тенденцию к асимптотике, при которой давления в ядрах маховского диска на расстоянии 20 см от тора практически выравниваются и все еще заметно превышают (в 2 - 2.5 раза) амплитуду взаимодействующей с тором волны. Показано, что

г

б

» - о шт яш. ж

15 20 -30 ") 15 20 25

Рис.3 Поля давлений в виде системы изобар для ка = 0.01

генерируемая тороидом в жидкости ударная волна имеет осциллирующий профиль, характерный для пузырькового источника, с затухающими по амплитуде максимумами; фокусировка такой ударной волны приводит к последовательному формированию на оси цепочки маховских дисков (см. рис.3 б). Как показывает расчет, процесс кумуляции тороидальной волны во внутренней области тора носит классический характер: начальное затухание вблизи поверхности тора и последующий рост амплитуды по мере приближения волны к оси с максимумом в точке контакта с осью. Основные закономерности кумуляции переизлученной тороидальной волны согласуются с экспериментальными данными для кольцевых ударных волн в гомогенных средах и с известными характеристиками кумуляции цилиндрической волны. Исследовано влияние геометрических параметров тороидального пузырькового кластера на кумулятивный эффект и распределение давления в ядре маховского диска. Показано, что при фиксированных параметрах среды изменение объема тора за счет роста радиуса его сечения приводит к существенному увеличению амплитуды волны в области ядра диска Маха. Топология течения при этом практически не меняется. В случае же, когда радиус сечения равен радиусу тора и внутренняя граница тора смыкается на оси в точку, динамика поля давления в жидкости существенно меняется. Фронт излученной ударной волны, сходящейся к оси, при такой конфигурации источника представляет собой вогнутую поверхность с градиентом давления, направленным от оси симметрии. Несмотря на то, что давление в окрестности оси на сходящемся фронте минимально, кумуляция течения, в конечном итоге, приводит к формированию в ближней зоне источника мощной уединенной ударной волны с амплитудой, превышающей амплитуду взаимодействующей с тором волны почти в 30 раз. Расчеты показали, что усиления кумулятивного эффекта можно достичь, увеличивая радиус сечения и уменьшая радиус тора, таким образом, сохраняя объем пузырькового кластера. Усиление кумулятивного эффекта является следствием не только увеличения объема, но и зависит от формы тора.

Проведен вычислительный эксперимент для получения динамики поля давления при взаимодействии плоской ударной волны с пузырьковым шнуром, помещенным на ось симметрии гидродинамической ударной трубки. Показано, что в пузырьковой зоне формируется последовательность ударных волн затухающей амплитуды. Амплитуда первой ударной волны на оси симметрии характеризуется резким первоначальным ростом и последующим плавным возрастанием при всех параметрах задачи. Распределение амплитуды результирующей ударной волны определяется аналогичными зависимостями от параметров пузырьковой среды и

геометрических параметров задачи, что и в случае сферического пузырькового кластера.

Глава 2. Вторая серия исследований и численных экспериментов направлена на изучение динамики самогравитирующих систем.

В первом разделе приводится обширный обзор работ в рассматриваемой области и физико-математическая постановка задачи динамики трёхмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном ноле. В рассмотрение включены численные реализации трехмерных моделей, описывающие гравитационную газодинамику, в том числе большое число пакетов, находящихся в свободном доступе. Наиболее популярными методами решения в настоящее время являются лагранжев бессеточный метод сглаженных частиц (SPH) и эйлеровы методы с использованием адаптивных сеток (AMR). Перечислены различные свойства этих подходов и их влияние на решение. Рассматривается система уравнений газовой динамики, замкнутая уравнением состояния для идеального газа и дополненная уравнением Пуассона для гравитационного потенциала.

~ + 'liv (v/'v) = -grad (р) - pgrad (Ф + Ф„).

+ div(pEv) = -div(pv) - (pgrad (Ф + Ф0), v) - Q >

р = ps(y-\), div(grad<&) = 4Kp. Здесь р - плотность газа, v - вектор скорости, р - давление, Ф -гравитационный потенциал, получаемый из уравнения Пуассона, ф() -

гравитационный потенциал от центрального тела, е - удельная внутренняя энергия, у - показатель адиабаты, О - функция охлаждения, Е - удельная

полная энергия. Система уравнений записана в безразмерном виде. Задача рассматривается в трёхмерной постановке.

Приведено описание метода крупных частиц и разработанных модификаций. Для реализации эйлерового этапа приведены две разностные схемы: схема с центральными разностями и схема, основанная на решении линеаризованной системы уравнений эйлерова этапа. На лагранжевом этапе происходит конвективный перенос газодинамических величин. Проведено исследование устойчивости метода крупных частиц. На задаче о распаде разрыва были исследованы различные подходы к аппроксимации уравнений на эйлеровом этапе. Проведена верификация численного метода решения уравнений газовой динамики на тестах Годунова.

Численная модель облака твердых частиц в упрощенном виде сводится к задаче взаимодействия N-тел, движущихся под действием гравитационных сил. Задачи этого типа при астрофизическом моделировании обычно решаются методом частиц-в-ячейках (Particle-Mesh) с использованием «древесного алгоритма» (Treecode), что позволяет использовать в расчете большое число частиц. Модель движения самогравитирующего вещества описывается системой, состоящей из бесстолкновительного кинетического уравнения Власова-Лиувилля и уравнения Пуассона. Рассмотрено совместное решение системы уравнений для частиц и системы уравнений газовой динамики с учетом сил гравитации:

^ + div(pgv) = О, + div (vpgv) = -grad p + Fg + F*p,

d-^ + div{vpgE) = Qmp-div{pv)-{Fg+F*p,v), E = £ + V—, E = yz[> P = PgT> ^ + div(pv) = (y-l)[Qmp-pdivv],

Pr{tj)=\f{t,?,u)dii, 8t dr m ou J

FP = -Ppgrad Ф, Fg = -pggrad Ф,

Ф = Ф,+ Ф2, p = pp + pg, АФ2 = 4тгр.

Здесь f{t,r,u) - зависящая от времени t одночастичная функция

распределения по координатам и скоростям, ? = - координаты частиц,

й = {и ,и ,и} ~ скорости частиц, F = -«¡УФ - гравитационная сила,

действующая на частицу массы m, p[t,r) = jf(t,r,u)du ~ распределение

плотности частиц в пространстве и времени, Ф = ф, + Ф2 - гравитационный потенциал, в котором происходит движение, состоящий двух частей: первая часть потенциала Ф, представляет собой потенциал неподвижной центральной массы (галактической черной дыры, протозвезды), а вторая часть Ф2 зависит от совокупного распределения движущихся частиц и удовлетворяет уравнению Пуассона. Введена сила трения между газовой и

пылевой компонентами: F^ = kmppppg {u-v), Fnpip = kmppppg (v - м).

Изложен метод решения уравнения Пуассона для гравитационного потенциала, основанный на преобразовании Фурье. В программной реализации используется быстрое преобразование Фурье. Рассматриваемая математическая модель оптимальна на классе задач без ограничений на функции распределения газодинамических параметров (плотность, давление,

скорость). В качестве граничных условий для уравнений газовой динамики использовались однородные краевые условия второго рода. Для задания граничного условия для уравнения Пуассона может быть использованы фундаментальное решение уравнения Лапласа или моменты инерции.

Практика расчетов показывает, что неинвариантность разностных схем относительно группы преобразований, допускаемых исходной системой дифференциальных уравнений, приводит к нежелательным счетным эффектам, существенно искажающим картину изучаемого физического явления. Во втором разделе рассмотрена проблема сохранения конечно-разностными схемами свойства решения инвариантности относительно поворота и пути к ее решению. Проведен сравнительный анализ результатов расчета задачи о распространении газового шара в вакуум с использованием различных конечно-разностных схем, показано преимущество использования инвариантной схемы, построенной на основе метода дифференциального приближения.

Описаны элементы операторного подхода для построения разностных схем. Преимущество операторного представления разностных схем оказывается особенно ощутимым в случае необходимости использования инвариантных относительно поворота численных реализаций, при этом особую роль играют вопросы согласования свойств разностных аналогов дифференциальных операторов и с1п.

Рис. 4 Изолинии плотности без (1) и с использованием (2) операторного подхода

Приведены расчётные характеристики при использовании операторного подхода в задаче эволюции самогравитирующего облака (см. рис. 4). Использование согласованных аналогов дифференциальных операторов приводит к более точному и симметричному решению.

Приведена коррекция скоростей переноса вещества на лагранжевом этапе разработанного метода. Система уравнений на лагранжевом этапе отвечает за конвективный перенос плотности, импульса, полной и внутренней энергий через грани ячеек с так называемой схемной скоростью. Эта скорость не соответствует искомой скорости газа, которую можно определить только после завершения лагранжева этапа системы, как результирующую итоговых

значений импульса и плотности. Схемная скорость может быть получена как результат осреднения векторов скорости, расположенных в узлах (классический способ), в ячейку или исходя из точного движения границ ячеек (модифицированный способ).

В третьем разделе приводится обзор современных пакетов программ для моделирования задач астрофизики на суперЭВМ и параллельная версия алгоритма. Целью параллельной реализации являлась возможность решать большие задачи за приемлемое время.

Алгоритм, реализующий метод крупных частиц, обладает высокой степенью внутреннего параллелизма, т.к. имеет место только локальное взаимодействие между соседними элементами, и для вычисления потенциала в слое сетки требуются значения не более чем в двух соседних слоях. Тем самым выполнено условие линейности алгоритма, необходимое для его реализации на мультикомггьютерах. Несмотря на это, метод является сложным для эффективной параллельной реализации. Одним из главных вопросов - это правильное распределение массивов сеточных переменных между процессорными элементами. Для распараллеливания алгоритма рассматриваемой задачи применён метод геометрической декомпозиции.

Рассматриваемая задача >1-тел является затратной по памяти и вычислительным ресурсам. Для типичной трехмерной задачи размер расчетной сетки составляет 400*400*400 ячеек, а соответствующий размер сетки для решенггя уравнения Пуассона - порядка 1024*1024*1024 ячеек. Чтобы уровень шумов был приемлемым, необходимо не менее 100 частиц на ячейку расчетной области. Таким образом, получаем 6.4 млрд. частиц. Итоговый объем оперативной памяти составляет 311.3 Гб. Очевидно, что такая задача требует распараллеливания. Принципиальную трудность может составлять необходимость расположения частиц и узлов сетки из одной области пространства моделирования в одном процессоре. Рассмотрено три способа распараллеливания. Важно отметить, что распараллеливание проведено не только для того, чтобы уменьшить время счета. Основная задача заключается в том, чтобы путем увеличения числа частиц добиться снижения уровня численных флуктуации.

Проведен анализ параллельного алгоритма решения задачи самогравитирующего вещества, состоящего из газа и частиц. Параллельное быстрое преобразование Фурье при решении уравнения Пуассона выполняется с помощью свободно распространяемой библиотеки РРТ\¥ [\v\vw.fftw.org\, которая сама задает способ декомпозиции. Таким образом, имеются две вложенные сетки, которьге по-разному распределены между процессорами: малая сетка для движения вещества и большая сетка для решения уравнения Пуассона. Поэтому на каждом шаге по времени необходимо дважды делать перераспределение сеточных значений между

процессорами: перераспределение значений плотности вещества перед решением уравнения Пуассона и значений гравитационного потенциала после него. Комплекс параллельных программ был реализован на языке Fortran. Для межпроцессорного взаимодействия использовалась библиотека MPI. Для оценки эффективности созданного параллельного кода была проведена серия тестов для расчетов отдельно звездной и газовой компонент. Таким образом, реализованный трехмерный код позволяет выполнять расчеты на сетках порядка 500*500*500 ячеек и использовать 1 млрд. модельных частиц. При увеличении числа используемых процессоров имеет место ускорение счета.

Четвертая часть посвящена исследованию динамики самогравитирующих газовых систем. Исследованы равновесные конфигурации вращающегося самогравитирующего газа. Такие конфигурации важны для моделирования газодинамических процессов на этапах образования нейтронных звезд или черных дыр, а также для моделирования коллапса и вспышек сверхновых. В отсутствии вращения звезда имеет сферическую форму, поверхности постоянного давления - изобарические поверхности - являются концентрическими сферами, и все газодинамические параметры обладают центральной симметрией. В этом случае равновесные конфигурации можно построить аналитически и определить газодинамические параметры в явном виде. Если газ вращается вокруг фиксированной в пространстве оси с некоторой заданной угловой скоростью, то форма газового объекта становится эллипсовидной. В этом случае равновесные конфигурации звезды можно построить аналитически только при специальных ограничениях на газодинамические параметры, а в общем случае задачу приходится решать численно. Угловая скорость со должна удовлетворять условию [Барская

И.С., 2006]:

2 г» 2 „

увеличением угловой

2

скорости 90% самогравитирующего газа принимает форму эллипсоида вращения, полуоси которого можно аппроксимировать функциями :

г» = 2.35.10- ехр(>% 15736) + 1.18171, г, И = 2.52-1<Г3ехр(%. 1768б) +1 03146"

Проведен сравнительный анализ результатов численного моделирования коллапса самогравитирующего газа. Процессы коллапса астрофизических объектов в настоящее время активно исследуются теоретически в связи с появлением значительного числа наблюдательных данных. Явление коллапса имеет место, как на начальной стадии звездной эволюции, так и на конечной стадии эволюции звезд. Задачи астрофизического коллапса характеризуются резким изменением плотности и давления за короткий промежуток времени. В работе показано преимущество созданного метода над методом сглаженных частиц (БРН) при моделировании областей с высоким

градиентом плотности. Основным результатом в данной задаче является поведение энергий, поведение энергий качественно, а до момента коллапса количественно совпадают с результатами других авторов. В задаче коллапса ошибка в полной энергии при использовании метода крупных частиц составляет порядка 5%.

Реализована математическая модель динамики газопылевых само-гравитирующих систем. В центре области находится самогравитирующий газопылевой шар с гидростатически равновесным распределением газа и аналогичным распределением частиц. В случае нулевой силы трения газовая и пылевая фазы взаимодействуют только через гравитационное поле. При отсутствии пыли на достаточно больших временах счета сохраняется равновесная конфигурация газа в системе. Введение пылевого компонента приводит к разлету газа с сохранением в центре области высокой плотности. Разлет газа обусловлен его взаимодействием с пылевым компонентом системы. Частицы, двигающиеся по произвольным круговым орбитам, вносят изменения в силы гравитации, которые нарушают неустойчивое равновесное состояние газового шара. Введение учета силы трения приводит к достаточно быстрому разлету газа, который формирует равновесную конфигурацию невысокой плотности. Такие результаты обусловлены усилением взаимодействия компонент системы: частицы, двигающиеся по произвольным круговым орбитам, более активно увлекают за собой газ, неподвижно находящийся в неустойчивом равновесном состоянии. На фоне разлета газа происходит коллапс пылевого облака, причем именно введение силы трения приводит к сжатию пылевого облака, так как без сил трения область, заполненная пылью, постепенно расширяется.

Рис. 5 Распределение плотности при образовании третей галактики, лишённой звездной компоненты. Начало столкновения (1), начало разлёта галактик со звездным компонентом (2), окончательное формирование третей галактики (3)

Исследована модельная задача центрального столкновения газовых компонент галактик. Показано, что сценарием столкновения галактик может быть их слияние, свободный разлёт, разлёт с образованием новой галактики,

лишённой звездной компоненты (см. рис. 5), рассеивание газовых компонент галактик. Получены диапазоны газодинамических параметров для развития каждого из сценариев центрального столкновения галактик, неизбежных в их плотных скоплениях. Полученные результаты подтверждают существующие теоретические оценки и согласуются с данными наблюдений.

Глава 3. Заключительная серия исследований и численных экспериментов направлена на описание процесса разогрева и вызванного им всплывания легкого вещества в результате андерпчейтинга базитовой магмы в основании континентальной коры.

В первом разделе приводится обзор современных математических моделей мантийных течений и физико-математическая постановка задачи динамики мантийных течений с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами. Рассматривается система уравнений, описывающую динамику слабосжимаемой жидкости, замкнутую уравнением состояния:

94 ! Т1\ 1 Г7

-+ (уУ)У =--Vр +---77

дГ У > р рдхк

дхк 3 ,к8хя;

-Xе г

С1

Уравнение состояния является прямым следствием выражения для плотности Р = Ру=0(\-аТ + /3(р-ру=и)У р = ру__,1+(р1р^ + аТ-\)/р, где р - плотность, V = |уг,у^! - скорость, Т- температура, р- давление, Г) - вязкость, g -

ускорение свободного падения, к - температуропроводность. В уравнении состояния использованы параметры а- = 3-10~51/С",/? = 10~"1/Яа. Характерные значения переменных задачи: характерная длина ^ = ю*м,р0 = 2.8-10'кг/,и\ = Для определения вязкости

в модели использовано уравнение Аррениуса: // = ,/ехр (£//?« 7'), где

/1 = 1.2-10", £ = 1.34-105, « = 2.6 - экспериментальные данные, Я универсальная газовая постоянная, Т - температура. В рассматриваемой постановке задачи значения коэффициента вязкости находятся в диапазоне % = 1014 -ИО28Пахе. Следовательно, число Прандтля и число Рэлея:

Рг = т/о/Мо = З.б-Ю16 ^-З.б-Ю30, Яа^а8р0ве0/г10к0 = 1(И -ИО10,

где в - характерный перепад температуры. В модели рассматривается нормальная кора с экспоненциальным распределением радиоактивных

источников тепла. Введение учета процессов плавления осуществляется на основе экспериментальных данных о температурной зависимости давления и вязкости среды в твердом состоянии и в состоянии расплава [Оегуа Т. V., 2007]. Выбор модели слабосжимаемой жидкости определяется, как желанием использовать более полную модель процесса с учетом скачков плотности, вызванных фазовыми переходами при плавлении, так и возможностью создания численной технологии решения с привлечением хорошо апробированных конечно-разностных схем. Известен [Андреев В. К., 2008] критерий Пухначева применимости классической модели Обербека-Буссинеска для описания тепловой гравитационной конвекции. Если параметр ^-gI]0pa|vk имеет порядок меньший или равный единице, то

модель Обербека-Буссинеска не применима. Величина Е, характеризует относительный вклад факторов плавучести и объемного расширения жидкости в формирование поля скоростей. В рассматриваемом классе задач значение коэффициента вязкости может варьироваться в диапазоне

^ -К)14 -=-1 О28 Па/с, параметр Е, принимает значения от 105 до 1СГ .

При небольших характерных скоростях геодинамических процессов для такого типа задач характерна высокая скорость звука и малое число Маха: с _ ^др/др = 104 <у/ , М=у0/с = 10-13. Геодинамика рассматривает очень

медленные течения, поэтому в теории ранее не использовалось число Маха, в отличие от сейсмологии и других разделов геофизики. Формально вычислив число Маха, можно обратиться к опыту вычислений в области существенно дозвуковых течений. Для улучшения счетных характеристик численной модели поле давлений разделяется на сумму постоянного давления массовых сил, которое учитывается при задании начальных данных, и переменного давления, которое определяется из уравнения состояния. Численная модель реализована на регулярной прямоугольной сетке в декартовой системе координат. Система уравнений движения (внутренний цикл) реализована неявным конечно-разностным методом стабилизирующей поправки первого порядка по времени и пространству. Во внутреннем цикле итерации по фиктивному времени осуществляются до достижения точности £. Во внешнем цикле по реальному времени для реализации уравнения неразрывности и уравнения температуры используется метод стабилизирующей поправки. Система уравнений решается для отклонения давления от гидростатического, начальное распределение плотности находится методом Рунге-Кутта 4 порядка точности.

Во втором разделе приводится параллельная версия алгоритма. Для распараллеливания алгоритма рассматриваемой задачи выбрана вычислительная система с общей памятью с учетом специфики численной

модели, характеризующейся большим числом векторных прогонок и не требующей более десятка процессоров при распараллеливании. Алгоритм реализован на языке Фортран с использованием программных средств распараллеливания алгоритмов над общим полем памяти - ОрепМР. Распараллеливание алгоритма заключается в выделении частей (подобластей) расчетной области и распределении этих подобластей по потокам (в качестве задания работ) для вычислений каждым потоком в назначенной ей подобласти. Расчетная область условно "разрезается" на полосы вдоль координаты X или У, которые (в данной программе) статически распределяются средствами ОрепМР по потокам для вычислений. Заметим, что точки соседних полос, необходимые при вычислении по шаблону "крест", доступны всем потокам, поскольку все данные находятся в общей памяти. Параметры (плотность, температура, давление), вычисляемые по явным схемам с расщеплением по пространственным направлениям, рассчитываются полосами вдоль одной из координат. Параметры скоростей рассчитываются во внутреннем цикле программы по неявной схеме методом прогонки и расчет осуществляется вдоль обеих координат. Массивы для хранения прогоночных коэффициентов задаются в локальной памяти каждого потока, что позволяет потокам осуществлять обратный проход (в алгоритме прогонки) для каждой строки или столбца вычисляемой ими полосы. На ускорение и эффективность параллельного алгоритма рассматриваемой задачи основное влияние оказывает размер сеточного пространства, точность расчета скоростей Б оказывает крайне слабое влияние. Детальный анализ параллельного алгоритма показал, что возможно получать для сеточных пространств среднего размера (5000x1000) близкое к линейному ускорение, не смотря на использование векторной прогонки. Разработаны подходы к построению параллельных алгоритмов для вычислений над распределенной памятью на основе решения уравнения движения для гипозвуковых течений в интегральном виде.

Результаты численного моделирования приведены в третьем разделе. Рассматривается прямоугольная область земной коры глубиной 30км и шириной 60км. На верхней границе области задана свободная поверхность с постоянным нулевым значением температуры, заданы плотность 2.8-103/сг/л/3и давление 105Па. Боковые границы области изолированы для передачи тепла и выхода вещества. На нижней границе задана область, шириной 20км, постоянно прогреваемая до температуры 1200°С, т.е. рассматривается процесс андерплэйтинга. На остальной части нижней границы задана температура 550"С. Для согласования граничных условий температура на нижней границе изменяется по экспоненциальному закону. В ходе расчета скорости в области нагрева задаются согласованно в соответствии с исходными уравнениями, что позволяет получать гладкие

значения скоростей. Давление на нижней границе в начальный времени задается равное 10я Па ■

момент

Рис. 6 Распределения значений температуры, полученные в результате расчетов с использованием подхода МДТТ (слева) и модели слабосжимаемой жидкости (справа).

На рис. 6 показаны результаты расчетов в форме меняющегося температурного поля в разные моменты геологического времени (1 млн лет =3.15*1013сек) при переменном коэффициенте вязкости. Показано сравнение результатов расчетов двух подходов: левая колонка представляет результаты с использованием МДТТ подхода, правая - с применением механики жидкости при переменном коэффициенте вязкости. Показаны поля температуры в теле диапира, различия в моделях заключаются в скорости подъема и форме диапира. В ходе расчета высота прогретой области растет, затем верхняя часть разогретого участка среды начинает расширяться и принимает характерную форму плюма с закрученными краями, вызванными процессом тепловой конвекции. При заданном законе вязкости скорость всплывания оказалась 0.02 м/год, такая оценка хорошо согласуется с геологическими наблюдениями.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертации сформулированы постановки новых двух- и трехмерных задач математического моделирования течений многофазных сжимаемых сред с учетом гравитационных сил: усиления ударной волны «свободной» пузырьковой системой, динамики самогравитирующих систем и мантийных течений. Созданы оригинальные экономичные численные методы, параллельные алгоритмы и научно-исследовательские варианты параллельного проблемно-ориентированного программного обеспечения, в том числе зарегистрированные в Фонде алгоритмов и программ СО РАН. Разработан метод численного моделирования взаимодействия плоской ударной волны со «свободной» пузырьковой системой заданной геометрии с применением современных суперкомпьютерных технологий. Разработан и обоснован численный метод для расчёта динамики самогравитирующих

многофазных систем с сохранением свойства инвариантности решения относительно поворота. Разработана новая нестационарная математическая модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами. В ходе комплексных исследований задач динамики многофазной сжимаемой среды с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента получены новые результаты: эффект фокусировки ударной волны в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим облаком пузырьков и нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн, генерируемых тороидальным пузырьковым кластером; равновесные конфигурации и коллапс самогравитирующего газа, динамика газопылевых самогравитирующих систем и развитие сценариев столкновений галактик.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Всего по теме диссертации автором лично и в соавторстве опубликовано более 60 работ, в том числе 27 статей, из которых 18 - в ведущих рецензируемых научных журналах из перечня ВАК:

1. Кедринский В.К., Шокпн Ю.И., Вшивков В.А., Дудникова ПИ., Лазарева Г.Г. Генерация ударных волн в жидкости сферическими пузырьковыми кластерами//Докл. РАН. 2001. Т. 381. №6. С. 773-776.

2. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г. Численное моделирование динамики ударных волн в пузырьковых системах // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. №5. С. 24-39.

3. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И., Лазарева Г.Г. Фокусировка осциллирующей ударной волны, излученной тороидальным облаком пузырьков //ЖЭТФ. 2004. Т. 125. вып.6. С. 1302-1310.

4. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Лазарева Г.Г. Формирование и усиление ударных волн в пузырьковом «шнуре» // ПМТФ. 2005. Т. 46. №5. С.46-52.

5. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Куликов И.М. Операторный подход для численного моделирования гравитационных задач газовой динамики // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11. №3. С. 27-35.

6. Вшивков В.А., Г.Г. Лазарева, Киреев С.Е., Куликов И.М. Параллельная реализация на суперЭВМ модели газовой компоненты самогравитирующего протопланетного диска // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12. № 3. С. 38-52.

7. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Корнеев В.Д. Численное моделирование усиления ударных волн в пузырьковом шнуре на суперЭВМ // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. С. 225-232.

8. Вшивков В.А., Г.Г. Лазарева, Куликов И.М. Модификация метода крупных частиц для задач гравитационной газовой динамики // Автометрия. 2007. Т. 43. №6. С. 46-58.

9. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Снытников A.B. Адаптивное изменение массы модельных частиц при моделировании тлеющего ВЧ-разряда в силановой плазме // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. №1. С. 22-30.

10. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Снытников A.B. Эффективный параллельный алгоритм для численного моделирования процессов в моносилановой плазме тлеющего разряда // Автометрия. 2008. Т. 44. №5. С. 112-122.

11. Лазарева Г.Г. Современные методы решения многомерных уравнений гравитационной газовой динамики и их программные реализации для суперЭВМ // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10. вып. 1.С. 40-64.

12. Гутуков A.B., Лазарева Г.Г., Куликов И.М. Газодинамика центрального столкновения двух галактик: слияние, разрушение, пролет, образование новой галактики // Астрономический журнал. 2011. Т. 88. №9. С. 837-851.

13. Лазарева Г.Г., Полянский О.П., Федорук М.П., Бабичев A.B., Вшивков В.А., Ревердатто В.В. Нестационарная модель конвективных мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости // Вычислительные технологии. 2011. Т. 16. №5. С. 67-79.

14. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Киреев С.Е., Куликов И.М. Численное решение трехмерных задач динамики самогравитирующих многофазных систем // Научный вестник НГТУ. 2011. №3 (44). С. 69-80.

15. Лазарева Г.Г., Куликов И.М., Вшивков В.А., Кошкарева Е.А., Берендеев Е.А., Горр М.Б., Антонова М.С. Параллельная реализация численной модели столкновения галактик // Вестник НГУ. Серия: Информационные технологии. 2011. Т.9. вып. 4. С. 71-79.

16. Vshivkov V., Lazareva G., Snytnikov A., Kulikov 1., Tutukov A. Hydrodynamical code for numerical simulation of the gas components of colliding galaxies // The Astrophysical Journal Supplement Series. 2011. V.194. 47. P. 1-12.

17. Vshivkov V., Lazareva G., Snytnikov A., Kulikov I., Tutukov A. Computational methods for ill-posed problems of gravitational gasodynamics // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2011. V. 19.1. 1. P. 151-166.

18. Лазарева Г.Г. Комплекс параллельных программ для моделирования динамики ударных волн в пузырьковых системах // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2012. Т. 11. вып. 2. С. 41-55.

Подписано в печать 04.07.2012г. Формат 60x84 1\16 Усл. печ. л. 2 Объем 32 стр. Тираж 120 экз. Заказ № 120 Отпечатано ООО «Омега Принт» 630090, г. Новосибирск, пр. Ак.Лаврентьева,6

Введение

Глава 1. Численное моделирование динамики ударных волн в пассивных пузырьковых системах

1.1 Физико-математическая постановка задачи

1.1.1 Основные уравнения

1.1.2 Численные методы решения

1.1.3 Реализация начальных и граничных условий

1.1.4 Выбор геометрии пузырькового кластера

1.1.5 Законы сохранения энергии

1.1.6 Метод определения погрешности максимальной амплитуды давления в области фокусировки

1.2 Параллельная версия алгоритма

1.2.1 Распараллеливание алгоритма задачи

1.2.2 Выбор метода декомпозиции

1.2.3 Ускорение и эффективность параллельного алгоритма

1.2.4 Влияние размеров пузырькового кластера на ускоренней эффективность параллельного алгоритма

1.3 Формирование и усиление ударных волн в ходе взаимодействия плоской ударной волны с пузырьковым кластером

1.3.1 Влияние исходных параметров задачи на значение максимальной амплитуды давления и размеры пятна фокусировки ударной волны сферическим кластером

1.3.2 Взаимодействие плоской ударной волны с двумя сферическими пузырьковыми кластерами

1.3.3 Структура ударной волны, излученной тороидальным облаком пузырьков

1.3.4 Формирование волнового поля в пузырьковом шнуре и окружающей жидкости 106 Выводы по первой главе

Глава 2. Численное решение трехмерных задач динамики самогравитирующих систем

2.1 Физико-математическая постановка задачи

2.1.1 Современные численные модели гравитационной газовой динамики

2.1.2 Основные уравнения

2.1.3 Модификация метода крупных частиц для задач гравитационной газовой динамики

2.1.4 Численная модель звездного компонента на основе метода частиц

2.1.5 Реализация решения уравнения Пуассона

2.1.6 Реализация начальных и граничных условий

2.1.7 Выполнение законов сохранения энергии и контроль дисбаланса энергии

2.2 Сохранение конечно-разностными схемами свойства решения инвариантности относительно поворота

2.2.1 Сравнительный анализ результатов расчета задачи о распространении газового шара в вакуум с использованием различных конечно-разностных схем

2.2.2 Операторный подход для задач гравитационной газодинамики

2.2.3 Коррекция скоростей переноса вещества на лагранжевом этапе метода крупных частиц

2.3 Параллельная реализация на суперЭВМ

2.3.1 Обзор современных пакетов программ для моделирования задач астрофизики на суперЭВМ

2.3.2 Распараллеливание алгоритма задачи динамики самогравитирующего газа

2.3.3 Параллельная реализация алгоритма задачи N-тел

2.3.4 Оценка эффективности параллельной реализации комплексной задачи

2.4 Динамика самогравитирующих систем

2.4.1 Равновесные конфигурации самогравитирующего газа

2.4.2 Сравнительный анализ результатов численного моделирования 226 коллапса самогравитирующего газа

2.4.3 Динамика газопылевых самогравитирующих систем

2.4.4 Взаимодействие самогравитирующих газовых объектов. Сценарии столкновений галактик в газодинамическом приближении 235 Выводы по второй главе

Глава 3. Численное моделирование мантийных течений с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами

3.1 Физико-математическая постановка задачи

3.1.1 Современные математические модели мантийных течений

3.1.2 Основные уравнения

3.1.3 Реализация начальных и граничных условий

3.1.4 Численные методы решения

3.2 Параллельная версия алгоритма

3.2.1 Распараллеливание алгоритма задачи

3.2.2 Подходы к построению параллельных алгоритмов для вычислений над распределенной памятью

3.3 Численное моделирование динамики нестационарных мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости 276 3.3.1 Динамика всплывания легкого вещества в результате андерплейтинга базитовой высокотемпературной магмы под основанием коры

Выводы по третьей главе

Актуальность исследований. Математическое моделирование, как один из важнейших методов исследования, играет важную роль в исследовании динамики сжимаемых сред. Без вычислительных технологий прогресс, достигнутый во многих областях знаний, невозможен, так как аналитические методы решения ограничены рассмотрением упрощенных случаев с высокой степенью симметрии или дают приближенные оценки для нелинейных задач. В настоящее время разработано большое количество методов решения системы газодинамических уравнений, изучены их свойства и правомерность их использования в различных областях механики сжимаемой жидкости. На основе существующих и хорошо апробированных методов решения системы газодинамических уравнений разработано большое количество пакетов программ для моделирования течений с целью предсказания их характеристик и рабочих параметров современных инженерных устройств. Наиболее известны пакеты Ansys, Fluent, FlowVision, CFX, STAR-CD, Numeca, FlowER, MD Nastran используемые для моделирования различных типов течений. Несмотря на развитую теорию, большой опыт успешного применения разностных методов для решения системы уравнений газовой динамики и существование созданных на их основе готовых пакетов программ, решение задач динамики многофазных сжимаемых сред с учетом гравитации требует особого подхода. Приложения методов решения гиперболических систем уравнений к различным задачам всегда предполагают наличие определенных критериев к выбору метода и его модификации. Уравнения газовой динамики есть математическое выражение основных законов сохранения для сплошной среды: массы, импульса, полной энергии. В приложениях задач гидродинамики часто возникает необходимость рассматривать дополнительные физические факторы, такие как многофазность, самогравитация, процессы охлаждения, теплоперенос, плавление, наличие сильно изменяющихся реологических и транспортных свойств и т. д. Это приводит к необходимости введения в уравнения новых членов и включения в систему дополнительных уравнений. В результате изменяется содержательность математических моделей, их решение следует трактовать уже в новых физических терминах. Такая ситуация имеет место и для большого класса математических моделей в задачах генерации излучения пассивными пузырьковыми системами в гидроакустике, мантийных течений в геодинамике и столкновений галактик в современной теоретической астрофизике. При изучении сложных явлений переход к моделированию пространственных течений сжимаемых сред сопровождается появлением новых физических эффектов, которые в задачах меньшей размерности либо отсутствуют, либо проявляются лишь незначительно. Многомерные модели выдвигают особые требования к используемым для их реализации численным методам. Не менее значимым фактором является возможность достаточно простой параллельной реализации метода для расчетов на суперЭВМ, так как программная реализация пространственных моделей, требующих большого числа массивов, невозможна на современных однопроцессорных компьютерах. В настоящее время возможно проведение расчетов газодинамических моделей в трехмерной постановке с хорошим разрешением (достаточно подробной сеткой либо большим количеством частиц) только на многопроцессорных вычислительных системах. Проблема использования супер-ЭВМ для решения задач динамики сжимаемых сред в первую очередь определяется сложностью адаптации алгоритмов решения задач на архитектуру многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью, доминирующим в настоящее время направлением в развитии многопроцессорных компьютеров.

Несмотря на достигнутые успехи в моделировании динамики сжимаемых сред, в частности, многофазных, многие прикладные задачи до сих пор не решены. Сложность проблемы обуславливает необходимость разработки фундаментальных основ и применения математического моделирования, численных методов и комплексов программ; комплексных исследований научных и технических проблем с применением современных технологий математического моделирования и вычислительного эксперимента; разработки новых математических методов и алгоритмов интерпретации эксперимента и наблюдений на основе математической модели.

Таким образом, актуальность работы определяется потребностью разработки, обоснования и тестирования экономичных вычислительных методов решения уравнений многофазной газовой динамики с учетом гравитации с применением современных суперкомпьютерных технологий, реализации численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента и комплексного исследования научных проблем гидроакустики, астрофизики и геодинамики с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Объект исследования данной работы - нестационарные процессы в многофазных сжимаемых средах с учетом роли гравитационных сил путем построения и изучения их математических моделей, корректной конечномерной аппроксимации и создания программно-алгоритмических средств, ориентированных на использование вычислительных систем с параллельной архитектурой.

Цель исследования - опираясь на современные достижения теории разностных схем для газодинамических систем уравнений, развить численные методы решения прикладных задач гидроакустики, астрофизики и геодинамики, создать на этой основе научно-исследовательские версии программного обеспечения, ориентированные на использование современных вычислительных средств с параллельной архитектурой и провести численные эксперименты.

Научные задачи

1. Разработать метод численного моделирования взаимодействия плоской ударной волны со «свободной» пузырьковой системой заданной геометрии с применением современных суперкомпьютерных технологий. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов. Провести комплексные исследования процессов распространения ударной волны излучаемой пузырьковым кластером и ее структуры с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

2. Разработать, обосновать и протестировать экономичный численный метод расчёта трехмерных задач динамики самогравитирующих многофазных систем с сохранением свойства инвариантности решения относительно поворота. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для проведения крупномасштабных вычислительных экспериментов. Провести комплексные исследования равновесных конфигураций и коллапса самогравитирующего газа, динамики газопылевых самогравитирующих систем и развитие сценариев столкновений галактик с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

3. Разработать новую нестационарную математическую модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами. Разработать эффективный параллельный алгоритм нахождения гипозвуковой скорости течения. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения и провести численное моделирование мантийных течений.

Методы исследований, достоверность и обоснованность. Разнообразие явлений, их нелинейность, нестационарность, многомасштабность требуют детального изучения, основанного на совмещении современных знаний из различных дисциплин: методов математического моделирования, вычислительной математики, теории разностных схем, теории параллельных вычислений, в том числе методы пространственной декомпозиции областей для разработки параллельных версий алгоритмов, механики сплошных сред, гидроакустики, астрофизики и геодинамики, - с широким использованием экспериментальных и наблюдательных данных. В диссертации проводится теоретическое исследование усиления ударной волны пузырьковым кластером, динамики самогравитирующих систем и мантийных течений. Исследования выполнены методом численного моделирования, некоторые вопросы изучались аналитическими способами. Математические модели, которые использовались и развивались в работе, отличаются полнотой описания явлений, что позволило учесть целый комплекс факторов, влияющих на поведение газодинамических параметров течений в задачах гидроакустики, астрофизики и геодинамики. Методологический подход к решению поставленных задач состоит в совмещении сложных газодинамических моделей, современных представлений гидроакустики, астрофизики и геодинамики с экономичными численными методами, разработанными для суперкомпьютерных вычислений. Разработанные комплексы программ и используемые в работе модифицированные разностные схемы прошли полное тестирование на модельных задачах, близких по физической постановке к изучаемым явлениям и допускающим аналитическое решение.

Достоверность подходов к численному моделированию усиления ударной волны пузырьковым кластером подтверждается совпадением результатов, полученных по двум различным численным методам: с помощью противопотоковой схемы и схемы расщепления второго порядка точности, адаптированной к исследованию течений с сильно нелинейным уравнением состояния. Последняя из используемых схем абсолютно устойчива и аппроксимирует систему уравнений, записанную в консервативном виде, что обеспечивает разностное выполнение соответствующих законов сохранения. Сходимость численных методов проверена на последовательности измельчающихся сеток. Полученные результаты непротиворечивы, дополняют друг друга и соответствуют имеющимся экспериментальным данным по изучаемым явлениям. Процесс фокусировки ударной волны, генерируемой сферическим пузырьковым кластером, устойчив к возмущениям, заданным в виде жидкой сферы, размещенной в кластере в различных точках на оси.

Газодинамическая часть программного комплекса для моделирования самогравитирующих систем была протестирована на тестах Годунова. Сходимость численных методов решения отдельных этапов задачи проверена на последовательности измельчающихся сеток. Решение уравнения Пуассона для гравитационного потенциала тестировалось на аналитических решениях с разрывной правой частью. На задачах о равновесных конфигурациях самогравитирующего газа было проведено тестирование правильности решения системы уравнений газовой динамики с учётом влияния самосогласованного гравитационного поля. В ходе численного нахождения равновесных конфигураций решение системы выходило на соответствующие автомодельные решения. Правомерность применимости предложенного подхода к численному моделированию подтверждается согласованностью полученных результатов решения задачи коллапса с результатами других авторов. Полученные диапазоны газодинамических параметров развития сценария столкновения галактик соответствуют теоретическим оценкам, основанным на анализе наблюдательных данных. Контроль правильности решения осуществляется выполнением разностных законов сохранения.

Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается использованием фундаментальных принципов математического моделирования механики сплошной среды, применением современных методов асимптотического и численного анализа, сравнением получаемых решений с данными натурных измерений и результатами, известными в литературе, а так же в ИГиЛ СО РАН, ИНАСАН и ИГМ СО РАН путём сопоставления результатов численного моделирования и лабораторных и натурных наблюдений.

Защищаемые научные результаты. В работе присутствуют оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ. Эти три области соответствуют трем пунктам паспорта специальности 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам.

Пункт третий (Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий):

1. Разработка эффективного конечно-разностного метода численного моделирования взаимодействия плоской ударной волны со «свободной» пузырьковой системой заданной геометрии с применением современных суперкомпьютерных технологий.

2. Разработка, обоснование и тестирование эффективного численного метода расчёта трехмерных задач динамики самогравитирующих многофазных систем с применением современных суперкомпьютерных технологий. В основе метода лежит совокупность оригинальных решений: модификация эйлерового этапа метода крупных частиц на основе операторного подхода с целью сохранения свойства решения инвариантности относительно поворота; линеаризация уравнений на эйлеровом этапе для адекватного воспроизведения ударных волн; коррекция схемных скоростей на лагранжевом этапе метода для ликвидации влияния направления координатных линий на решение.

3. Разработка, обоснование и тестирование нового экономичного вычислительного метода для моделирования динамики мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами с применением современных суперкомпьютерных технологий.

Пункт четвертый (Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента):

1. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента для исследования процессов распространения и структуры ударной волны излучаемой пузырьковым кластером заданной геометрии в аксиально-симметричной постановке.

2. Создание научно-исследовательского варианта параллельного программного обеспечения для численного моделирования динамики многофазных самогравитирующих систем в трехмерной декартовой системе координат, зарегистрированного в Фонде алгоритмов и программ СО РАН. В ходе реализации метода разработаны оригинальные подходы для эффективного решения ряда ключевых задач: расчет гравитационного потенциала, газовой и пылевой компонент на разных сетках, организация параллельных вычислений методом декомпозиции расчетной области с использованием библиотеки MPI.

3. Разработка нового эффективного параллельного алгоритма нахождения гипозвуковой скорости течения на основе решения системы уравнений в интегральной форме. Создание научно-исследовательского варианта параллельного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов для численного моделирования мантийных течений

Пункт пятый (Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента):

1. Обнаружен эффект фокусировки ударной волны с градиентом давления вдоль фронта в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером; нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн, генерируемыхй тороидальным пузырьковым кластером; формирование в пузырьковом шнуре последовательности ударных волн затухающей амплитуды.

2. Получены равновесные конфигурации самогравитирующего газа; динамика энергий коллапса самогравитирующего газа; взаимодействие компонент газопылевых самогравитирующих систем; диапазоны параметров для развития сценариев столкновений галактик с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

3. Результаты численного моделирования процесса разогрева и вызванного им всплывания легкого вещества в результате андерплейтинга базитовой высокотемпературной магмы под основанием коры.

Научная новизна и личный вклад. В диссертации сформулированы постановки некоторых новых задач численного моделирования течений многофазных сжимаемых сред с учетом сил гравитации: усиления ударной волны «свободной» пузырьковой системой, динамики самогравитирующих систем и мантийных течений. Созданы оригинальные экономичные численные методы и параллельные алгоритмы решения поставленных задач. Научной новизной обладают как постановки задач, так и полученные решения. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан численный метод с улучшенными вычислительными характеристиками для решения нестационарных задач механики неоднородных сред в аксиально-симметричной постановке на суперЭВМ; обнаружен эффект фокусировки ударной волны, переизлучаемой сферическим пузырьковым кластером, и нерегулярное маховское отражение, возникающее во время кумуляции кольцевой ударной волны на оси симметрии; получены зависимости максимальной амплитуды давления и размеров пятна фокусировки от параметров течения.

2. Создан эйлеров численный метод на регулярной нединамической сетке для моделирования динамики самогравитирующего газа в трехмерной декартовой системе координат со свойством сохранения инвариантности решения относительно поворота; создан научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для численного моделирования динамики многофазных самогравитирующих систем, зарегистрированный в Фонде алгоритмов и программ СО РАН; получена последовательность равновесных фигур самогравитирующего газа и диапазон параметров развития каждого из сценариев модельной задачи центрального столкновения газовых компонент галактик: слияние, рассеивание, свободный разлёт и разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездного компонента.

3. Создана новая нестационарная математическая модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости, разработан алгоритм численной реализации нестационарных гипозвуковых течений в мантии Земли.

Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановок задач, разработке адекватных численных алгоритмов и методов решения, создании и тестировании алгоритмов и программ, проведении расчетов, интерпретации результатов численного моделирования. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами.

Теоретическая и практическая значимость результатов. С помощью современных достижений теории разностных схем и методов параллельных вычислений диссертантом разработаны, теоретически и экспериментально обоснованы оригинальные экономичные численные методы решения прямых нестационарных двух- и трехмерных задач для многофазных сжимаемых сред с учетом сил гравитации и на этой основе созданы научно-исследовательские версии программного обеспечения, ориентированного на использование современных вычислительных систем с параллельной архитектурой.

В рамках диссертационной работы разработаны свободно распространяемые проблемно-ориентированные программные комплексы для суперЭВМ с открытым кодом, в том числе зарегистрированные в Фонде алгоритмов и программ СО РАН. Данные комплексы используются в исследованиях гидроакустических процессов в ИГиЛ СО РАН, теретическом анализе наблюдательных данных в ИНАСАН и изучении закономерностей мантийных течений в ИГМ СО РАН. Эффективность предложенных методов и программного обеспечения продемонстрирована на примере анализа решенных задач гидроакустики, астрофизики и геодинамики.

В ходе комплексных исследований задач динамики многофазной сжимаемой среды с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента получены новые результаты: эффект фокусировки ударной волны в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим облаком пузырьков и нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн, генерируемых тороидальным пузырьковым кластером; равновесные конфигурации и коллапс самогравитирующего газа, динамика газопылевых самогравитирующих систем и развитие сценариев столкновений галактик.

Теоретическая и практическая ценность работы заключается в следующем: 1. Исследованы акустически активные системы, способные к генерации мощного излучения, изучена динамика их состояния и волновых процессов в системе распределенных в жидкости пузырьковых кластеров и механизмов их усиления, определено влияние начальных параметров смеси и динамических характеристик ударной волны на структуру ударных волн, излучаемых пузырьковым кластером, что может быть использовано при создании сазера (SASER - shock amplification by systems with energy release), акустического аналога импульсных лазерных систем. Созданная численная модель динамики ударных волн в пузырьковых средах и реализующий ее пакет программ для суперЭВМ дают разработчикам гидроакустических аналогов лазерных систем эффективный инструмент, который позволяет принимать научно обоснованные решения для постановки физических экспериментов и может послужить основой для создания генераторов акустического излучения.

2. Исследована модельная задача центрального столкновения газовых компонент галактик и определен диапазон газодинамических параметров для развития каждого из сценариев: слияние, свободный разлёт, разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездного компонента, рассеивание газовых компонент галактик. Найден механизм возникновения новой дочерней галактики. Создан зарегистрированный в Фонде алгоритмов и программ СО РАН пакет программ для суперЭВМ для решения широкого класса задач гравитационной газодинамики, позволяющий получать важные, научно обоснованные теоретические выводы, необходимые для понимания не только эволюции газовых компонент взаимодействующих галактик, но и эволюции самих галактик. В дальнейшем разработанный программный комплекс для суперЭВМ может быть использован для исследования сценариев взаимодействия астрофизических объектов (не центрального столкновения дисковых галактик, близкого прохождения галактик и т.д.) с учетом процессов звездообразования.

3. Разработана нестационарная математическая модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости и алгоритм численной реализации нестационарных гипозвуковых течений в мантии Земли для суперЭВМ. Созданная научно-исследовательская версия программного обеспечения может быть использована для проведения крупномасштабных вычислительных экспериментов с целью получения динамических картин течений многофазных сжимаемых сред в мантии Земли с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами.

Полученные результаты, а также разработанные методы могут быть использованы специалистами в области численного моделирования многофазных сред, при решении задач усиления акустических сигналов пузырьковыми средами, при моделировании гравитационно-неустойчивых процессов в мантии Земли, в теоретической астрофизике, а также при решении различных задач прикладной математики и математической физики.

Все исследования, проводимые по теме диссертации, являются составной частью планов НИР Института, а их выполнение постоянно поддерживалось Российским фондом фундаментальных исследований в рамках проектов 02-01-00864-а «Создание эффективных параллельных алгоритмов для моделирования задач физики плазмы и астрофизики», 04-01 -00850-а «Численное моделирование генерации пучков быстрых ионов при взаимодействии коротких лазерных импульсов с тонкой фольгой», 05-01-00665-а «Разработка параллельных алгоритмов для решения задач астрофизики и физики плазмы», 08-01-00615-а «Создание эффективных параллельных алгоритмов для моделирования процессов в физике плазмы и астрофизике», 08-01-00622-а «Численное моделирование развития аномальной теплопроводности при нагреве плазмы электронным пучком в установках УТС», 09-01-00379-а «Математическое моделирование физических основ космического плазменного двигателя», 11-01-00178-а «Численное моделирование на суперЭВМ динамики ультрарелятивистских пучков заряженных частиц», РФФИ №11-01-12075-офи-м-2011 «Гамильтонова геофизическая гидродинамика и кинетические уравнения», 12-01-00061-а «Математическое моделирование на суперЭВМ нестационарных мантийных течений в сжимаемой среде с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами», 12-01-00076-а «Вычислительные алгоритмы и технологии решения многомерных задач математической физики на квазиструктурированных сетках», 12-01-00234-а «Моделирование динамики плазмы для газодинамической многопробочной ловушки на суперЭВМ».

Представленные в диссертации результаты получены в процессе исследований по междисциплинарным ИП СО РАН №22 «Волновые процессы в многофазных средах», № 148 «Самоорганизация, катализ и процессы химической эволюции в гравитационно и термодинамически неустойчивых системах, моделирующих ранние этапы формирования Земли», № 40 «Термодинамически согласованные модели сплошных сред и их вычислительное моделирование: вычислительные модели, алгоритмы и их программная реализация; новые критерии устойчивости движения, позволяющие указывать допуски на определяющие параметры», № 113 «Разработка вычислительных методов, алгоритмов и аппаратурно-программного инструментария параллельного моделирования природных процессов», № 26 «Математические модели, численные методы и параллельные алгоритмы для решения больших задач СО РАН и их реализация на многопроцессорных суперЭВМ», № 2 «Тепломассоперенос в континентальной коре в условиях гравитационной неустойчивости: геологический анализ и многопроцессорное моделирование», № 103 «Законы сохранения, инварианты, точные и приближенные решения для уравнений гидродинамического типа и интегральных уравнений», № 105 «Плазменная ловушка - мишень для получения мощных атомарных пучков для термоядерных установок (разработка, изготовление, запуск и исследования)», № 12 «Математическое моделирование восходящего движения магм в литосфере», Голландско

Российскому Проекту NWO-Plasma (контракт NOW-RFBS 047.016.018), программе фундаментальных исследований Отделения физических наук РАН ОФН-17 «Протяжённые объекты во Вселенной», проектам Программы Президиума Российской академии наук № 4 «Происхождение и эволюция звезд и галактик», № 18-2 «Происхождение и эволюция биосферы», № 25-2 «Эволюция гео-биологических систем», № 4 «Происхождение и эволюция звезд и галактик», программы СО РАН по супер-ЭВМ, фонда «Ведущие научные школы» (грант 2073.2003.1), программы Рособразования "Развитие научного потенциала ВШ" (проект РНП.2.2.1.1.3653 и проект РНП.2.2.1.1.1969). Представленные в диссертации исследования проводились в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 -2013 годы (государственные контракты П1246, 16.740.11.0573, 14.740.11.0350) и Федеральной целевой программы "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы" (государственный контракт 07.514.11.4016). Результаты разработок использованы в НИР студентов ММФ НГУ «Модели и алгоритмы высокопроизводительных вычислительных систем для решения больших задач физики» и поддержаны проектом «Подготовка и переподготовка профильных специалистов на базе центров образования и разработок в сфере информационных технологий» Комиссии при Президенте Российской Федерации по модернизации и технологическому развитию экономики России.

Апробация, публикации, объем и структура диссертации. Результаты диссертационной работы известны научной общественности. Всего по теме диссертации автором лично и в соавторстве опубликовано 55 работ, в том числе 25 статей, из которых 15 - в ведущих рецензируемых научных журналах из перечня ВАК. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных научных конференциях в России и за рубежом: на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), XVI сессии Российского акустического общества (Москва, 2005), IV школе-семинаре «Физика взрыва и применение взрыва в физ. эксперименте» (Новосибирск, 2003), V Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Новосибирск, 2010), 17 Международном конгрессе по акустике (Италия, 2001), Международном рабочем совещании «Происхождение и эволюция биосферы» (Новосибирск, 2005), Всероссийских конференциях «Проблемы механикики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2007), «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2009), «Математика в приложениях» (Новосибирск, 2009), Всероссийскоих конференциях по вычислительной математике КВМ (Новосибирск, 2009,

2011), Международных конференциях РаСТ (Новосибирск, 2006, 2009), «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» (Москва, 2009), «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008), «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (Новосибирск, 2010), "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика" (Новосибирск, 2011), "Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики" (Новосибирск, 2011), Международной конференции по математическим методам в геофизике «ММГ-2008» (Новосибирск, 2008), 5 Международной конференции "Inverse Problems: Modeling and Simulation" (IP:M&S) (Турция, 2010), Международной Суперкомпьютерной конференции «Научный сервис в сети Интернет» (Новороссийск, 2010), «Параллельные вычислительные технологии» (Новосибирск, 2012), обсуждались на семинарах в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Институте вычислительных технологий СО РАН, Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Институте теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Институте астрономии АН (ИНАСАН) и Институте космических исследований РАН.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Содержит 312 страниц, в том числе 140 рисунков, 25 таблиц. Библиография содержит 335 наименований.

Выводы по третьей главе:

Заключительная серия исследований и численных экспериментов направлена на описание процесса плавления и вызванного им всплывания легкого вещества в результате андерплейтинга базитовой магмы в основании континентальной коры. Сделан обзор современных математических моделей мантийных течений и физико-математическая постановка задачи динамики мантийных течений с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами. Рассматривается нестационарная математическая модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с переменным значением коэффициента вязкости в диапазоне г}0 = 1014 -г 1028Па*с.

Особенностью модели является большое значение числа Прандтля Рг = 3.6-1016 -ьЗ.6-1030 и малое число Маха М = 10"п. Выбор модели слабосжимаемой жидкости определяется как желанием использовать более полную модель процесса с учетом скачков плотности, вызванных фазовыми переходами при плавлении, так и возможностью создания численной технологии решения с привлечением хорошо апробированных конечно-разностных схем.

Для улучшения счетных характеристик численной модели поле давлений разделяется на сумму постоянного давления массовых сил, которое учитывается при задании начальных данных, и переменного давления, которое определяется из уравнения состояния. Численная модель реализована на регулярной прямоугольной сетке в декартовой системе координат. Система уравнений движения (внутренний цикл) реализована неявным конечно-разностным методом стабилизирующей поправки первого порядка по времени и пространству. Во внутреннем цикле итерации по фиктивному времени осуществляются до достижения точности е. Во внешнем цикле по реальному времени для реализации уравнения неразрывности и уравнения температуры используется метод стабилизирующей поправки. Система уравнений решается для отклонения давления от гидростатического, начальное распределение плотности находится методом Рунге-Кутта 4 порядка точности.

Для распараллеливания алгоритма рассматриваемой задачи выбрана вычислительная система с общей памятью с учетом специфики численной модели, характеризующейся большим числом векторных прогонок и не требующей более десятка процессоров при распараллеливании. Алгоритм реализован на языке Фортран с использованием программных средств распараллеливания алгоритмов над общим полем памяти - ОрепМР. На ускорение и эффективность параллельного алгоритма рассматриваемой задачи основное влияние оказывает размер сеточного пространства, точность расчета скоростей е оказывает крайне слабое влияние. Детальный анализ параллельного алгоритма показал, что возможно получать для сеточных пространств среднего размера (5000x1000) близкое к линейному ускорение, не смотря на использование векторной прогонки. Разработаны подходы к построению параллельных алгоритмов для вычислений над распределенной памятью на основе решения уравнения движения для гипозвуковых течений в интегральном виде.

Приведены результаты численного моделирования процесса плавления и вызванного им всплывания легкого вещества в результате андерплейтинга базитовой высокотемпературной магмы под основанием коры. Проведено сравнение результатов расчетов двух подходов: с использованием МДТТ подхода и с применением механики жидкости при переменном коэффициенте вязкости. Различия в моделях заключаются в скорости подъема и форме диапира. При заданном законе вязкости скорость всплывания оказалась 0.02 м/год, такая оценка хорошо согласуется с геологическими наблюдениями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации сформулированы постановки новых двух- и трехмерных задач математического моделирования течений многофазных сжимаемых сред с учетом гравитационных сил: усиления ударной волны «свободной» пузырьковой системой, динамики самогравитирующих систем и мантийных течений. Созданы оригинальные экономичные численные методы, параллельные алгоритмы и научно-исследовательские варианты параллельного проблемно-ориентированного программного обеспечения, в том числе зарегистрированные в Фонде алгоритмов и программ СО РАН. Разработан метод численного моделирования взаимодействия плоской ударной волны со «свободной» пузырьковой системой заданной геометрии с применением современных суперкомпьютерных технологий. Разработан и обоснован численный метод для расчёта динамики самогравитирующих многофазных систем с сохранением свойства инвариантности решения относительно поворота. Разработана новая нестационарная математическая модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами. В ходе комплексных исследований задач динамики многофазной сжимаемой среды с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента получены новые результаты: эффект фокусировки ударной волны в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим облаком пузырьков и нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн, генерируемых тороидальным пузырьковым кластером; равновесные конфигурации и коллапс самогравитирующего газа, динамика газопылевых самогравитирующих систем и развитие сценариев столкновений галактик.

1. Всего по теме диссертации автором лично и в соавторстве опубликовано более 60 работ, в том числе 27 статей, из которых 18 в ведущих рецензируемых научных журналах из перечня ВАК:

2. Кедринский В.К., Шокин Ю.И., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Лазарева Г.Г. Генерация ударных волн в жидкости сферическими пузырьковыми кластерами // Докл. РАН, Т. 381, № 6, 2001, С. 773-776.

3. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г. Численное моделирование динамики ударных волн в пузырьковых системах // Вычислительные технологии, Т 8, №5, 2003, С. 24-39.

4. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И., Лазарева Г.Г. Фокусировка осциллирующей ударной волны, излученной тороидальным облаком пузырьков //ЖЭТФ. 2004. Т. 125. вып. 6. С.1302-1310.

5. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Лазарева Г.Г. Формирование и усиление ударных волн в пузырьковом «шнуре» // ПМТФ. 2005. Т. 46, №5. С.46-52.

6. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Куликов И.М. Операторный подход для численного моделирования гравитационных задач газовой динамики // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11., N 3. С. 27-35.

7. Вшивков В.А., Г.Г. Лазарева, Киреев С.Е., Куликов И.М. Параллельная реализация на суперЭВМ модели газовой компоненты самогравитирующего протопланетного диска // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12., N 3. С. 38-52.

8. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Корнеев В.Д. Численное моделирование усиления ударных волн в пузырьковом шнуре на суперЭВМ // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. С. 225-232.

9. Вшивков В.А., Г.Г. Лазарева, Куликов И.М. Модификация метода крупных частиц для задач гравитационной газовой динамики // Автометрия 2007. Т. 43. N 6. С. 46-58.

10. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Снытников A.B. Адаптивное изменение массы модельных частиц при моделировании тлеющего ВЧ-разряда в силановой плазме // Вычислительные технологии, т. 13, № 1, сс. 22-30, 2008.

11. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Снытников A.B. Эффективный параллельный алгоритм для численного моделирования процессов в моносилановой плазме тлеющего разряда // Автометрия, т. 44, № 5, сс. 112-122, 2008.

12. Лазарева Г.Г. Современные методы решения многомерных уравнений гравитационной газовой динамики и их программные реализации для суперЭВМ //

13. Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. - Том 10, Вып. 1. - С. 40-64.

14. Тутуков A.B., Лазарева Г.Г., Куликов И.М. Газодинамика центрального столкновения двух галактик: слияние, разрушение, пролет, образование новой галактики // Астрономический журнал. 2011. - Т. 88, № 9. - С. 837-851.

15. Лазарева Г.Г., Полянский О.П., Федорук М.П., Бабичев A.B., Вшивков В.А., Ревердатто В.В. Нестационарная модель конвективных мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости // Вычислительные технологии. 2011. - Т. 16, № 5. - С. 67-79.

16. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Киреев С.Е., Куликов И.М. Численное решение трехмерных задач динамики самогравитирующих многофазных систем // Научный вестник НГТУ. -2011. № 3 (44). - С. 69-80.

17. Лазарева Г.Г., Куликов И.М., Вшивков В.А., Кошкарева Е.А., Берендеев Е.А., Горр М.Б., Антонова М.С. Параллельная реализация численной модели столкновения галактик // Вестник НГУ. Серия: Информационные технологии. -2011. Т.9, вып. 4. - С. 71-79.

18. Vshivkov V., Lazareva G., Snytnikov A., Kulikov I., Tutukov A. Hydrodynamical code for numerical simulation of the gas components of colliding galaxies // The Astrophysical Journal Supplement Series. 2011. - V. 194, 47.-P. 1-12.

19. Vshivkov V., Lazareva G., Snytnikov A., Kulikov I., Tutukov A. Computational methods for ill-posed problems of gravitational gasodynamics // Journal of Inverse and Ill-posed Problems.-201 l.-V. 19, I. l.-P. 151-166.

20. Лазарева Г.Г. Комплекс параллельных программ для моделирования динамики ударных волн в пузырьковых системах // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2012. - Том 11, Вып. 2. С. 41-54.1. Библиография

21. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.И. О некоторых задачах гравитационной газовой динамики // Математическое моделирование. Т. 12. №3. 2000. с. 110-120.

22. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Исследование равновесных конфигураций газового облака вблизи гравитирующего центра // препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН №33. 1995.

23. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. М.: Мир, 1990.

24. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. 319с.

25. Андреев В. К., Гапоненко Ю. А., Гончарова О. Н., Пухначев В. В. Современные математические модели конвекции. М: Физматлит. 2008г. 368 с.

26. Ахатов И.Ш., Белютин C.B., Калякина O.JL, Хисматуллин Д.Б., Хуснутдинова К.Р.Одно- и двумерные модели взаимодействия нелинейных волн в пузырьковой среде // Динам, сплош. среды. 1997. N 112. с. 24-28.

27. Ахатов И.Ш., Хисматуллин Д.Б. Длинно-коротковолновое взаимодействие в пузырьковых жидкостях // Прикл. мат. и мех. Москва, 1999. Т. 63. N 6. с. 980-990.

28. Ахатов И.Ш., Хисматуллин Д.Б. Влияние диссипации на взаимодействие длинных и коротких волн в пузырьковых жидкостях // Изв. РАН. Мех. жидкости и газа. 2000. N 4. с. 126-138.

29. Ахатов И.Ш., Хисматуллин Д.Б. Двумерные механизмы взаимодействия ультразвука со звуком в пузырьковых жидкостях. Уравнения взаимодействия // Акустический журнал. Т.47. №1. 2001. с. 15-21.

30. Бабий Д.П., Годунов С.К., Жуков В.Т., Феодоритова О.Б. О разностных аппроксимациях переопределённых гиперболических уравнений классической математической физики. // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 47. № 3. 2007. с. 445 459

31. Балакин В.Б. О методах типа Рунге-Кутта для уравнений газовой динамики // Журнал вычисл. математики и мат. физики. Т.10. N6. 1970. с. 1512-1519.

32. Барская И.С., Мухин С.И., Чечеткин В.М. Математическое моделирование равновесных конфигураций самогравитирующего газа. // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 2006.

33. Бархударов Э.М., Коссый И.А., Мдивнишвили М.О., Соколов И.В., Тактакишвили М.И. Неодномерные сходящиеся ударные волны // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. 1988. №2. с.164-170.

34. Бархударов Э.М., Мдивнишвили М.О., Соколов И.В. и др. Образование кумулятивной квазисферической сходящейся ударной волны при отражении кольцевой ударной волны от твердой поверхности // Письма в ЖЭТФ. 1990. Т.52. Вып.7. с. 990-993.

35. Бархударов Э.М., Мдивнишвили М.О., Соколов И.В., Тактакишвили М.И., Терехин В.Е. Нерегулярное отражение кольцевой ударной волны от оси симметрии // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. 1990. №5. с. 183-186. (2)

36. Бахрах С.М., Спиридонов В.Ф. Некоторые вопросы построения полностью консервативных разностных схем для расчета двумерных осесимметричных газодинамических течений // Вопр. атом, науки и техн. Сер. Мат. моделир. физ. процессов. 1987. Вып.2. с.11-19

37. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. 293 с.

38. Бердников B.C., Кирдяшкин А.Г. Структура свободно-конвективных течений в горизонтальном слое жидкости при различных граничных условиях // Структура пристенного пограничного слоя . Новосибирск: ИТФ СО АН СССР. 1978. с. 5-48.

39. Бережецкая Н.К., Большаков Е.Ф., Голубев С.К. и др. Газодинамические явления, сопутствующие кольцевому поверхностному разряду // ЖЭТФ. 1984. Т.87. Вып.6(12). с. 1926-1931.

40. Березин Ю.А., Вшивков В.А. О критических параметрах ударной волны в плазме // ПМТФ. № 2. 1976. с. 100-106.

41. Березин Ю.А., Жуков В.П. О влиянии вращения на конвективную устойчивость крупномасштабных возмущений в турбулентной жидкости // Механика жидкости и газа. 1989. №4. с. 3-9.

42. Берковский Б.М., Ноготов Е.Ф. Разностные методы исследования задач теплообмена. Минск: Наука и техника, 1976. 144с.

43. Берковский Б.М., Полевиков B.K. Вычислительный эксперимент в конвекции. Минск: Университетское, 1988.

44. Борисов A.A., Гельфанд Б.Е., Нигматулин Р.И., Рахматулин X. А., Тимофеев Е.И. Усиление ударных волн в жидкости с пузырьками пара и растворяющегося газа // ДАН СССР. 1982. Т. 263. № 3. с. 594-598.

45. Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости // Некоторые вопросы прикл. и вычисл. математики. Новосибирск. 1966. с. 186-192.

46. Воеводин А.Ф., Остапенко В.В., Пивоваров Ю.В., Шугрин С.М. Проблемы вычислительной математики. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1995. 154с.

47. Вшивков В.А., Григорьев Ю.Н. Численные методы «частицы-в-ячейках». Учебное пособие // Новосиб.ун-т. Н.:1996.148с.

48. Галимзянов М.Н., Гималтдинов И.К., Шагапов В.Ш. Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьки // МЖГ. 2002. №2. с. 139-147.

49. Гасенко В.Г., Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. Осциллирующие уединенные волны в жидкости с пузырьками газа // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. н. 1987. N21/6. с. 43-45.

50. Гельфанд Б.Е., Степанов В.В., Тимофеев Е.И., Цыганов С.А. Усиление ударных волн в неравновесной системе жидкость пузырьки растворяющегося газа // ДАН СССР. 1978. Т. 239. № 1. с. 71-73.

51. Гималтдинов И.К., Нигматулин Р.И, Шагапов В.Ш. Эволюция волн давления в жидкости, содержащей зону жидкости с пузырьками // Изв. РАН. Мех. жидкости и газа 2001. N 3. с. 133-142.

52. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. 1976. 400 с.

53. Годунов С.К., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. //Журнал вычисл. математики и мат. физики. 1961. Т. 1. №6. с. 1020-1050.

54. Годунов С.К., Разностный метод численного расчёта разрывных решений гидродинамики // Матем. сб. 1959. Т. 47. 89. с. 271-306.

55. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. (Введение в теорию.) М.: Наука, 1973.

56. Григорьев Ю.Н., Вшивков В.А., Федорук М.П. Численное моделирование методами частицы-в-ячейках. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. 360 с.

57. Добрецов H.J1. Глобальная геодинамическая эволюция Земли и глобальные геодинамические модели // Геология и геофизика, 2010, т. 51(6), с. 761-787.

58. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. Волны давления в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа 1987. N 4. с. 85-92.

59. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Марков П.Г., Накоряков В.Е. Эволюция волны давления умеренной интенсивности в жидкости с пузырьками газа // Акустический журнал. 1987. Т. 33. N 6. с. 1041-1044. (2)

60. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. Распространение волн давления в пористой среде, насыщенной жидкостью // ПМТФ. 1988. N 1. с. 120-130.

61. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Марков П.Г., Накоряков В.Е. Распространение волн давления в жидкости с пузырьками газа разных размеров // Акустический журнал. 1989. Т. 35. N I.e. 157-159.

62. Донцов В.Е. , Марков П.Г. Исследование дробления пузырьков газа и его влияния на структуру уединенных волн давления умеренной интенсивности в жидкости с пузырьками газа // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1991. N 1. с. 45-49.

63. Донцов В.Е. , Марков П.Г. Экспериментальное исследование взаимодействия волн давления умеренной интенсивности в жидкости с пузырьками газа // Прикл. мех. и техн. физ. 1991. N5. с. 83-87. (2)

64. Донцов В.Е. Структура и динамика возмущений давления конечной амплитуды в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа // Изв. РАН. Мех. жидкости и газа. 1992. N 1. с. 80-85.

65. Донцов В.Е., Маслов В.А. Структура и динамика «медленной» волны давления в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа // ПМТФ 1994. Т.35. N 1. с. 95-98.

66. Донцов В.Е., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Распространение волн давления в газонасыщенной пористой среде // Акустический журнал. 1994. Т.40. N 4. с. 683-685. (2)

67. Донцов В.Е., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Волны давления в суспензии жидкости с твердыми частицами и газовыми пузырьками // Прикл. мех. и техн. физ. 1995. Т. 36. N 1. с. 32-40.

68. Донцов В.Е. Отражение волн давления умеренной интенсивности от твердой стенки в жидкости с пузырьками легкорастворимого газа // ПМТФ. 1998. №5. с. 19-24.

69. Дубошин Г.Н. Теория притяжения // М. Гос. Изд-во физ.-мат. Лит-ры, 1961, 288 с.

70. Дьяченко В.Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными // Ж. вычисл. матем. И матем. Физ., 1965. Т. 5. №4. с. 680-688.

71. Евреинов Э.В., Косарев Ю.Г. Однородные универсальные вычислительные системы высокой производительности. Новосибирск: Наука, 1966. 308 с.

72. Замараев Ф.Н., Кедринский В.К., Мейдер Ч. Волны в химически активной пузырьковой среде // ПМТФ. № 2. 1990. с. 20-26.

73. Зельдович Я.Б., Блинников С.И., Шакура Н.И. Физические основы строения и эволюции звезд. М.: Изд-во Моск. у-та, 1981.

74. Иорданский C.B. Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа // ПМТФ. №3. 1960. с. 102.

75. Кедринский В.К. Распространение ударных волн в жидкости, содержащей пузырьки газа // ПМТФ. 1968. №4. с.29-34.

76. Кедринский В.К. Распространение возмущений в жидкости, содержащей пузырьки газа: Дис. Канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1968. (2)

77. Кедринский В.К. Особенности структуры ударных волн при подводных взрывах спиральных зарядов // ПМТФ. 1980. № 5. с. 70.

78. Кедринский В.К. Ударные волны в жидкости с пузырьками газа // Физика горения и взрыва. 1980. №5. с. 14-25.

79. Кедринский В.К. Гидродинамика взрыва// ФГВ. 1987. №4. с.23-48.

80. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И. Взаимодействие волн в химически активных пузырьковых средах // Докл. РАН. Т.349. № 2. 1996. с. 185188.

81. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И. Роль кавитационных эффектов в механизмах разрушения и в крупномасштабных взрывных процессах. // Вычислительные технологии. 1997. Т. 2. N. 2. с. 63-77.

82. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И. Усиление ударных волн при столкновении и фокусировке в пузырьковых средах. Доклады РАН. 1998. Т. 361. № I.e. 41-44.

83. Кедринский B.K. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. Издательство СО РАН, Новосибирск, 2000.

84. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И. Взаимодействие и усиление волн пузырьковыми системами // Тез. докл. V Междунар. конф. Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. 2000. с. 63. (2)

85. Кедринский В.К., Маслов И.В., Таратута С.П. Структура волнового поля в активных пузырьковых системах в ударных трубах со "скачками" течений // ПМТФ. Т.43. №2. 2002. с. 101-109.

86. Кирдяшкин A.A., Добрецов Н.Л., Кирдяшкин А.Г., Гладков И.Н., Сурков Н.В.} Гидродинамические процессы при подъеме мантийного плюма и условия формирования канала излияния // Геология и геофизика. 2005. Т.46(9). 891-907.

87. Киреев С.Е. Параллельная реализация метода частиц в ячейках для моделирования задач гравитационной космодинамики // Автометрия, 2006. Т. 42. № 3. с. 32 39.

88. Киреев, Э. А. Кукшева, А. В. Снытников, Н.В. Снытников, В. А. Вшивков // Ргос. Ninth Intern. Conf. on Parallel Computing Technologies, PaCT 2007. Lect. Notes in Comput. Sei., Springer-Verlag. V. 4671. P. 128-139.

89. Киреев С.Е. Параллельный программный комплекс для моделирования гравитирующих газопылевых систем // Труды конференции молодых ученых. -Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2008, с.50-57.

90. Киреев С.Е. Параллельная реализация на суперЭВМ модели гравитирующей газопылевой системы // Пятая Сиб. Конф. по параллельным и высокопроизводительным вычислениям. Под ред. проф. A.B. Старченко. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2010, с. 51-55.

91. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики // Новосибирск: Наука. 1981. 304с.

92. Ковеня В.М., Черный С.Г. Метод решения стационарных упрощенных уравнений вязкого газа // Препринт ИТПМ СО АН СССР. 1981. N 42. 51с. (2)

93. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука, 1990.

94. Ковеня В.М. Некоторые тенденции развития математического моделирования // Вычислительные технологии. Т. 7. №2. 1992. с. 59-71.

95. Ковеня В.М., Лебедев A.C. Модификации метода расщепления для построения экономичных разностных схем. // Журнал вычисл. математики и мат. физики. Т.34. N6. 1994. с. 886-897.

96. Когарко Б.С. Об одной модели кавитирующей жидкости // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137. №6. с. 1331 1333.

97. Когарко Б.С. Одномерное неустановившееся движение жидкости с возникновением и развитием кавитации // Докл. АН СССР, 1964, Т. 155, №4. с. 779 772.

98. Корнеев В.Д. Система и методы программирования мультикомпьютеров на примере вычислительного комплекса PowrXplorer. Новосибирск, 1998. 56 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. ИВМиМГ; 1123)

99. Кочин К.Е., Кибель H.A., Розе М.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматлит, 1963. 583 с.

100. Куликов И.М. Трехмерное моделирование самогравитирующего газа // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского гос. Ун-та информационных технологий, механики и оптики. 2008. № 47. С. 142-150.

101. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. 608с.

102. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736с.

103. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа // М.: Наука, 1982. 312с.

104. Лапин Ю.В., Нехамкина O.A., Поспелов В.А, Стрелец М.Х., Шур М.Л. Численное моделирование внутренних течений вязких химически реагирующих газовых смесей // Механика жидкости и газа. Т.19. -М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники). 1985. С.86-185.

105. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989. 368 с.

106. Лебедев A.C., ЧерныйС.Г. Практикум по численному решению уравнений в частных производных. Учебное пособие. Новосиб. госуд. ун-т, Новосибирск, 2000.

107. Лебедев A.C., Лисейкин В.Д., Хакимзянов Г.С. Разработка методов построения адаптивных сеток // Вычисл. технол. 2002. Т. 7. N 3. с. 29-43.

108. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736с.

109. Ляхов Г.М. Ударные волны в многокомпонентных средах // Изв. Ан СССР, сер. механика и маш. №1. 1959. с. 239 248.

110. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 264с.

111. Масевич А.Г., Тутуков A.B. Эволюция звезд: теория и наблюдения. М.:Наука, 1988. -280с.

112. Миренков H.H. Параллельное программирование для многомодульных вычислительных систем. М.: Радио и связь, 1989. 320 с.

113. Молородов Ю.И., Хакимзянов Г.С. Построение и оценка качества регулярных сеток для двумерных областей // ВАНТ, сер. Математическое моделирование физических процессов. 1998. вып. 1. с. 19-27.

114. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Т. 1. Спб.: Гидрометеоиздат, 1992. 264с.

115. Мошкин Н.П., Рычкова Е.В., Тычков С.А., Черных Г.Г. Тестирование некоторых численных моделей конвективных течений применительно к задачам геодинамики // Вычислительные технологии. 1995. Т. 4. № 13. с. 224-231.

116. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП Раско, 1992.

117. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. , Марков П.Г. Исследование поведения газовых пузырьков в волне давления умеренной интенсивности // Докл. АН СССР. 1989. Т. 309. N 4. с. 818-820.

118. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатомиздат, 1990.

119. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. , Марков П.Г. Взаимодействие уединенных волн давления умеренной интенсивности в жидкости с пузырьками газа // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313. N 5. 1074-1077. (2)

120. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. Волны давления конечной амплитуды в нелинейной упругой пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа // Докл. АН СССР -1992. Т. 322. N3. с. 481-483.

121. Накоряков В.Е., Вассерман Е.С., Покусаев Б.Г., Прибатурин H.A. Усиление амплитуды волн давления в парожидкостной среде пузырьковой структуры // ТВТ. 1994. Т. 32. № 3. с. 411-417.

122. Накоряков, В. Е. Взаимодействие ударной волны со сферическим пузырьковым кластером в жидкости / В. Е. Накоряков, В. Е. Донцов // Доклады Академии наук. 2003. Т. 391, N2. С. 199-202

123. Насиров Ш.Х., Федотова З.И. Вычисление дифференциальных приближений разностных схем газовой динамики с помощью ЭВМ // Числ. анал. и пакеты прикл. прогр. Красноярск, 1986. с. 127-135

124. Нехамкина O.A., Никулин Д.А., Стрелец М.Х. Об иерархии моделей тепловойестественной конвекции совершенного газа // Теплофизика высоких температур. 1989. Т. 27. №6. с. 1115-1125.

125. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1987.

126. Нигматулин Р.И. Затухание и усиление ударно-волновых импульсов в пузырьковых жидкостях, суспензиях и насыщенных пористых средах // Пробл. нелинейн. акуст. Симп. IUPAP-IUTAM по нелинейн. акуст. Ч. 1 Нососибирск. 1987. с. 113-119. (2)

127. Нигматулин Р.И., Шагапов В.Ш., Вахитова Н.К. Проявление сжимаемости несущей фазы при распространении волн в пузырьковой среде // Докл. АН СССР 1989. Т. 304. N 5. с. 1077-1081.

128. Нигматулин Р.И. Затухание и усиление ударных волн в жидкости с пузырьками газа и пара // 7 Всес. съезд по теор. и прикл. мех.: Аннот. докл. М., 1991. с. 264.

129. Нигматулин Р.И, Ахатов И.Ш. Динамика одиночных пузырьков и пузырьковых кластеров // Всерос. конф. Мат. пробл. мех. Новосибирск, 1999. с. 38.

130. Нигматулин Р.И., Губайцдуллин A.A., Берегова О.Ш. Метод сверхсильного резонансного сжатия пузырьковой жидкости умеренным непериодическим воздействием // Докл. РАН 2000. Т. 374. N 4. с. 489-492

131. Нигматулин Р.И., Шагапов В.Ш., Гималтдинов И.К., Галимзянов М.Н. Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьковые зоны // Докл. РАН Т. 378. №6. 2001. с. 763-768.

132. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики // М.:Наука, 1981. с.368

133. Отани Э., Дапэн Чжао. Роль воды в глубинных процессах в верхней мантии и переходном слое: дегидратация стагнирующих субдукционных плит и ее значение для "большого мантийного клина" // Геология и геофизика, 2009, т. 50(12), с. 1385-1392.

134. Павленко О.Н., Литвиненко H.A. Моделирование трехмерного течения газа методом частиц на адаптивно-встраиваемой сетке. Расчет задачи о точечном взрыве. \\ Вопр. Атом. Науки и техн. Сер. Мат. Моделир. Физ. Процессов. 2003. №4. с. 61-67.

135. Паркин Б.П., Гилмор Ф.Р., Броуд Г.Л. Ударные волны в воде с пузырьками воздуха. Подводные и подземные взрывы. М.: Мир, 1974. с. 152-258.

136. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М: Наука. 1984. 285с.

137. Пинаев A.B., Сычев А.И. Обнаружение и исследование самоподдерживающихся режимов детонации в системах жидкое горючее пузырьки окислителя // Докл. АН СССР. 1986. Т. 290. № 3. с. 611-615.

138. Пинаев A.B., Сычев А.И. Влияние физико-химических свойств газа и жидкости на параметры и условия возникновения детонационных волн в системах «жидкость -газовые пузырьки» // ФГВ. 1987. Т. 23. № 6. с. 76-84.

139. Пинаев A.B., Кедринский В.К., Кузавов В.Т. Структура ударных волн в ближней зоне при взрыве пространственных зарядов в воздухе // ПМТФ. 2000. т.41. № 5. с.81-90.

140. Пинаев A.B., Кедринский В.К., Кузавов В.Т. О фокусировке ударных волн при взрыве кольцевых зарядов в воздухе // ФГВ. 2001. т.37. № 4. с. 106-103

141. Пирсон К.Е. Численный метод для задач вязкого потока // Механика. 1965. № 6. с. 65-77.

142. Полежаев В.И. Численное решение системы двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа в замкнутой области. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, №2, с. 103-111.

143. Полежаев В.И., Бунэ A.B., Верезуб H.A. и др. Математическое моделирование тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 271с.

144. Полежаев В.И., Соболева Е.Б. Нестационарные эффекты тепловой гравитационной конвекции околокритической жидкости при боковом нагреве и охлаждении // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2002. № 1. с. 81-93.

145. Полянский О.П., Коробейников С.Н., Бабичев A.B., Ревердатто В.В. Формирование и подъем мантийных диапиров через литосферу кратонов на основе численного термомеханического моделирования // Петрология. 2011. Т. 20. № 2. с. 136 -155.

146. Поляченко В.Л., Фридман A.M. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем, М.: Наука, 1976.

147. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. Москва: Мир, 1975. 392с.

148. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.М.: Мир, 1972.418 с.

149. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике // М.:Наука, 1968.

150. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М: Мир, 1980. 612с.

151. Русанов В.В. Расчет взаимодействия ударных волн с препятствиями // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 1961. Т.1. №2. с. 267-279.

152. Русанов В.В. Разностная схема третьего порядка точности для сквозного расчета разрывных решений //Докл. АН СССР 1968. Т.180. №2. с. 1303-1305.

153. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

154. Самарский A.A., Попов Ю.П., Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975. 352 с.

155. Самарский A.A., Избранные труды А.А.Самарского. М.: МАКС Пресс, 2004.

156. Снытников В.Н., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Никитин С.А., Пармон В.Н., Снытников A.B. Численное моделирование гравитационных систем многих тел с газом // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. № 3. с. 72-84.

157. Соколов И.В. Поведение осесимметричной ударной волны вблизи точки кумуляции// ЖТФ. 1986. Т.91. Вып.4(10). с. 1331-1335.

158. Соколов И.В. Коническая ударная волна // Теплофиз. высоких температур. 1988. Т.26. №3. с. 560-566.

159. Соколов И.В. Высокоскоростные кумулятивные газовые струи // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ. Т.4. 1989. с. 148-152.

160. Стрелец М.Х. О численном моделировании существенно дозвуковых течений газов и газовых смесей при наличии значительных изменений плотности // В сб. Динамика неоднородных и сжимаемых сред. Л: Изд-во ГУ. 1984. с. 70-83.

161. Стрелец М.Х., Шур M.JI. Метод масштабирования сжимаемости для расчета стационарных течений вязкого газа при произвольных числах Маха// ЖВМ и МФ. 1988. Т. 28. с. 254-266.

162. Сурдин В.Г. Рождение звёзд. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 232 с.

163. Сычев А.И., Пинаев A.B. Самоподдерживающаяся детонация в жидкостях с пузырьками активного газа// ПМТФ. 1986. № 1. с. 133- 138.

164. Тарнавский Г.А., Аульченко С.М., Вшивков В.А. Математическое моделирование нестационарных трехмерных процессов в космической газодинамике // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т. 4. №2. с. 127-155.

165. Тарунин E.J1. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та, 1990. 228с.

166. Тассуль Ж.Л. Теория вращающихся звезд // М.: Наука, 1982. 472с.

167. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Мир, 1983. -768 с.

168. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Об однородных разностных схемах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. I.e. 5-63.

169. Трубицын В.П., Баранов A.A., Евсеев А.Н., Трубицын А.П. Точные аналитические решения уравнения Стокса для тестирования уравнений мантийной конвекции с переменной вязкостью // Физика Земли. 2006. № 7. с. 3-11.

170. Тушева J1.A., Шокин Ю.И., Яненко H.H. О построении разностных схем повышенного порядка аппроксимации на основе дифференциальных следствий // Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1975. с.184-195.

171. Управляемый термоядерный синтез, (под ред. Дж. Киллина) М.: Мир, 1980, 480с.

172. Федотова З.И. Инвариантные разностные схемы типа предиктор-корректор для одномерных уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах // Тр. IV Всесоюз. Семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск. 1975. ч. II. с. 160-176.

173. Федотова З.И. Исследование аппроксимационной вязкости разностных схем для двумерных уравнений газовой динамики // Числ. методы механики сплошн. среды. 1975. Т. 6. №5. с. 112-126.

174. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: Пер. с англ. М.: Мир, 1987.-640 с.

175. Червов В.В. Моделирование трехмерной конвекции в мантии Земли с применением неявного метода слабой сжимаемости // Вычислительные технологии. 2009. Т. 14. № 3. с. 86-92.

176. Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованные схемы в газовой динамике. М.: Изд-во МГУ, 1999.-232с.

177. Четверушкин Б.Н., Тишкин В.Ф. Применение высокопроизводительных многопроцессорных вычислений в газовой динамике // Математическое моделирование: Проблемы и результаты. М.: Наука, 2003. с. 123-168.

178. Чирков Д.В., Черный С.Г. Сравнение точности и сходимости некоторых TVD-схем // Вычислительные технологии. Т. 5. №5. 2000. с. 86-107.

179. Чирков Д.В. Моделирование гипозвуковых течений с использованием предобусловленных уравнений Эйлера и Навье Стокса // Вычисл. Технологии. 2003. т. 8. Региональный вестник Востока № 3. Ч. 3. с. 262 - 271.

180. Чой Д., Меркл Ч.,Л. Применение метода установления для расчета низкоскоростных течений// Аэрокосмическая техника. 1986. N 7. с. 29 37.

181. Шагапов В.Ш., Вахитова Н.К.Волны в пузырьковой жидкости при наличии химических реакций в газовой среде // Пробл. нелинейн. акуст. Сб. тр. Симп. IUPAP-IUTAM, Новосибирск, 1987. Ч. 2. с. 56-58.

182. Шагапов В.Ш., Вахитова Н.К. Волны в пузырьковой системе при наличии химических реакций в газовой фазе // Физ. горения и взрыва. 1989. Т. 25. N 6. с. 14-22.

183. Шагапов В.Ш., Абдрашитов Д.В. Структура уединенных детонационных волн в химически активной пузырьковой жидкости // Газодинам, взрыв, и удар, волн, детонацион. и сверхзвуков, горения: Тез. докл. Всес. симп. Новосибирск, 1991. с. 126.

184. Шагапов В.Ш., Абдрашитов Д.В. Структура волн детонации в пузырьковой жидкости // Физ. горения и взрыва. 1992. Т. 28. N 6. с. 89-96.

185. Шагапов В.Ш., Гималтдинов И.К. Об эволюции линейных волн в жидкости при наличии пузырьковой завесы // Инж.-физ. ж. 1998. Т. 71. N 6. с. 987-992.

186. Шагапов В.Ш., Гималтдинов И.К., Галимзянов М.Н. Двумерные эффекты при распространении волн конечной длительности в пузырьковой жидкости // Динам, сплош. среды. 2001. N 117. с. 51-55.

187. Шильников Е.В., Шумков М.А. Моделирование трехмерных нестационарных течений газа на МВС с распределенной памятью // Мат. Моделирование. 2001. Т. 13. №4. с. 35-46.

188. Шокин Ю.И. Необходимое и достаточное условие инвариантности разностных схем в терминах первого дифференциального приближения // Числ. методы механики сплошн. среды. 1974. Т.5. №5. с. 120-122.

189. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985. 358 с.

190. Шокин Ю.И., Урусов А.И., Федотова З.И. Дифференциальное представление и исследование устойчивости разностных схем // Моделир. в мех. 1991. Т. 5. N 2. с. 138-157.

191. Яненко H. Н., Шокин Ю. И. О групповой классификации разностных схем для системы уравнений газовой динамики // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1973. Т. 122. с. 85-97.

192. Abarbanel S., Gottlieb D. A note on the "leap-frog" scheme in two and three dimensions //J. Comput. Phys. 1976. v.21. p.351-355.

193. Ardeljan N.V., Bisnovatyi-Kogan G.S., Moiseenko S.G., et al. An implicit Lagrangian code for the treatment of nonstationary problems in rotating astrophysical bodies // Astronomy and Astrophysics Supplement Series. 1996. V.l 15. P.573-594.

194. Ardeljan N.V., Bisnovatyi-Kogan G.S., S.G.Moiseenko Magnetorotational Supernovae // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2005. V.359. P.333-344.

195. Attwood R.E., Goodwin S.P., Whitworth A.P. Adaptive Smoothing Length in SPH // Astron. Astrophys. 2007. V.464. P. 447-450.

196. Bagla J.S. Cosmological N-Body simulation: Techniques, Scope and Status // Current Science. 2005. Vol. 88. N. 7. P. 1088 1100.

197. Barhudarov E.M., Mdinishvili M.O., Sokolov I.V. et al. Reflection of a ring shock wave from a rigid wall // Shock Waves. 1994. Vol.3. N4. P. 273-278.

198. Barnes J.E. Gas Dynamics in Galaxy Mergers // Gas and Galaxy Evolution? ASP Conference Series, 2000.

199. Benz W. Smooth particle hydrodynamics: A review // The numerical modelling of nonlinear stellar pulsations / Ed. by J. R. Buchler. Boston: Kluwer. 1990. P. 269-288.

200. Bertini G. Dynamics of Galaxies. Cambridge University Press, 2000.

201. Beylich A. E., Gulhan A. Waves in reactive bubble liquids // Proc. IUTAM Symp. on Adiabatic Waves in Liquid-Vapor Systems Gettingcn, FRG. 1989. P. 39-48.

202. Bisikalo D.V., Boyarchuk A.A., Chechetkin V. M., et al. 3D numerical simulation of gaseous flows structure in semidetached binaries // Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 1998. V.300. No.l. P.39.

203. Bisikalo D.V., Boyarchuk A.A., Kilpio E.Yu., et al. A Study of an Outburst in the Classical Symbiotic Star Z And in a Colliding-Wind Model // Astron.Rep. 2006. V.80. P.722-732.

204. Bittner D., Schmeling H. Numerical modelling of melting processes and induced diapirism in the lower crust // Geophys. J. Int. 1995. V.123. P.59-70.

205. Bode P.W., Xu G., Cen R. A parallel cosmological hydrodynamics code // Proceedings of the 1996 ACM/IEEE conference on Supercomputing. 1996. Pittsburgh, Pennsylvania, United States. P. 12.

206. Book D., Lohner R. Quatre foil instability of imploding cylindrical shock // Proc. Intern. Workshop on Shock Wave Focusing K. Takayama (Ed.). Sendai, Japan, 1989. P. 193-206.

207. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport. 1.SHASTA, a fluid transport algorifm that works // J. Comput. Phys. 1973. V.l 1. N.I. P.38-69.

208. Boyarchuk A.A., Bisikalo D.V., Kuznetsov O.A., et al. Mass Transfer in Close Binary Stars // Taylor & Francis, London, 2002.

209. Brandenburg A., Dobler W. Hydromagnetic turbulence in computer simulations // Comp. Phys. Comm. 2002. V.147. P.471-475.

210. Bromm V., Coppi P.S., Larson R.B. Forming the first stars in the universe: The fragmentation of primordial gas // Astrophys. J. 1999. V.527. P. L5-L8.

211. Bryan G. L., Norman M. L., Stone J. M., et al. A piecewise parabolic method for cosmological hydrodynamics // Comput. Phys. Comm. 1995. V. 89. P. 149.

212. Bryan G.L., Norman M.L. A Hybrid AMR Application for Cosmology and Astrophysics // in Workshop on Structured Adaptive Mesh Refinement Grid Methods. 1997. ed. N. Chrisochoides.

213. Calder A.C., Fryxell B., Plewa T., etal. On validating an astrophysical simulation code // ApJS. №143. 2002. p.201.

214. Calder A.C., Fryxell B., Plewa T., et al. Validating Astrophysical Simulation Codes // Comp. Sci. Engr. 2004. V.6 P. 10.

215. Campbell I.J., Pitcher A.S. Shock waves in a liquid containing gas bubbles // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1958. V.243. Nol235. P. 534-545.

216. Cen R. A hydrodynamic approach to cosmology Methodology // Ap J S. 1992. V.78. P.341.

217. Chakrabarti S.K., Molteni D. Smoothed Particle. Hydrodynamics Confronts Theory: Formation of Standing Shocks in Accretion Disks and Winds Around Black Holes // Astrophys. J. 1993. V.417. P.671.

218. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems// J. of Comp. Physics. 1967. Vol.2. P. 12-26.

219. Christodoulou D. and Kazanas D. Exact solutions of the isothermal Lane-Emdeen equations with rotation and implications for the formation of planets and satellites // arXiv: astro-ph/ 0706.3205.

220. Collela P., Woodward P. R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations //J. Comput. Phys. 1984. V. 54. P. 174-201.

221. Couchman H.M.P., Thomas P.A., Pearce F.R. Hydra: An Adaptive Mesh Implementation of PPPM-SPH // Astrophys. J. 1995. V. 452. P. 797-813.

222. Davis R.T. Numerical solution of the hypersonic viscous shock-layer equation // AIAA Journal. 1970. V.8. N5. P.843-851.

223. Demmig F. et al. Experiments and model computation of cylindrical shock waves with time-resolved deformation and fragmentation // In: R. Bran, L.Z. Dumitrescu (eds.) Proc. 19th Intern. Symp. On Shock Waves, Vol. 4. P. 87-92.

224. Dobler W., Stix M., Brandenburg A. Convection and magnetic field generation in fully convective spheres // Astrophys. J. 2006. V.638. P.336-347.

225. Dongarra J., Otto S. W., Snir M., and Walker D., An Introduction to the MPI Standard // Technical report CS-95-274. University of Tennessee, 1995.

226. Evrard A.E. Beyond N-body 3D cosmological gas dynamics // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. 1988. Vol. 235. P. 911.

227. Farnetani C.G., Richards M.A. Numerical investigations of the mantle plume initiation model for flood basalt events // J. Geophys. Res. 1994. v. 99. p. 13813-13833.

228. Frenk C.S., White S.D.M., Bode P., et al. The Santa Barbara Cluster Comparison Project: A Comparison of Cosmological Hydrodynamics Solutions // Astrophys.J. 1999. V. 525. Iss. 2. P. 554-582.

229. Fromang S., J. Papaloizou Dust settling in local simulations of turbulent planetary disks // Astron. Astrophys. 2006. V.452. P.751.

230. Fryxell B., Olson K., Ricker P., et al. FLASH: An Adaptive-Mesh Hydrodynamics Code for Modeling Astrophysical Thermonuclear Flashes // Ap. J. S. 2000. V.131. P.273.

231. Fujiwara K. et al. New methods for generation cylindrical imploding shock // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves. France, 1993. V. 4. P. 81-86.

232. Fullsack P. An arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation for creeping flows and its application in tectonic models // Geophys. J. Int. 1995. V.120. P.1-23.

233. Gerya T., Yuen D.A. Characteristics-based marker-in-cell method with conservative finite-differences schemes for modeling geological flows with strongly variable transport properties // Phys. Earth Planet. Inter. 2003. V.140. P.293-318.

234. Gingold R.A., Monaghan J.J., SPH: theory and application to non-spherical stars, Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. 1977. Vol. 181. P. 375-389.

235. Gnedin N. Y. Softened lagrangian hydrodynamics for cosmology // Astrophys. J. 1995. V. 97. P. 231.

236. Gronig H. Past, present and future of shock focusing research // Proc. Intern. Workshop on Shock Wave Focusing K. Takayama (Ed.). Sendai, Japan, 1989. P. 1-38.

237. Harten A/ High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // J. Comput. Flows. AIAA J. V.23. 1983. P.357-393.th

238. Hasegawa T., Fujiwara T. Detonation in oxyhydrogen bubbled liquids // Proc. 19 Intern. Symp. on Combustion. USA, 1982.

239. Helly J.C., Cole S., Frenk C.S., et al A comparison of gas dynamics in smooth particle hydrodynamics and semi-analytic models of galaxy formation // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2003. V. 338. Iss. 4 P. 913-925.

240. Hernquist L. and Katz N. TREESPH: a unification of SPH with the hierarchical tree method // The Astrophysical J. Supp. Ser. 1989. V. 70. P.419-446.

241. Hernquist L., Katz N., Weinberg D.H., et al. The Lyman-Alpha forest in the cold dark matter model // Astrophys.J. 1996. V.457. P.L51.

242. Hiroe T. et al. A numerical study of explosive-driven cylindrical imploding shock in solids // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves. France, 1993. V. 3. P. 347-350.

243. Inaba S., Barge P. et al. A two-phase code for protoplanetary disks // A&A. №431. 2005. p.365.

244. Isuzukawa K., Horiuchi M. Experimental and numerical studies of blast wave focusing in water // Proc. 19,h Intern. Symp. on Shock Waves. France, 1993. V. 3. P. 347-350.

245. Itoh S. et al. Converging underwater shock waves for metal processing // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves. France, 1993. V. 3. P. 288-294.

246. Jenkins A., Frenk C.S., Pearse F.R., et al. Evolution of structure in cold dark matter universes // Astrophys.J. 1998 V.499. P.20.

247. Jenkins A., Frenk C.S., White S.D.M., et al. The mass function of dark matter halos // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2001. V. 21. P. 372.

248. Jiang Z., Takayama K. Reflection and focusing of toroidal shock waves from coaxial annular shock tubes // Computer and Fluids. 1998. Vol.27. No. 5-6. P. 553-562.

249. Kang H., Cen R., Ostriker J. P., Ryu D. Hot Gas in the CDM Scenario: X-ray Clusters from a High Resolution Numerical Simulation // Astrophys. J. 1994. V.428. P.1-16.

250. Kang H., Ostriker J.P., Cen R., et al. A Comparison of Cosmological Hydrodynamic Codes // Astrophys. J. 1994. V.430. P.83-100.

251. Käsen, Daniel; Plewa, Tomasz, Spectral Signatures of Gravitationally Confined Thermonuclear Supernova Explosions, The Astrophysical Journal. 2005. Volume 622. Iss. 1. P. L41-L44.

252. Kedrinskii V.K. Bubble cavitation in intense rarefaction waves and its effects // Proc. 20lh Intern. Symp. on Shock Waves. Springer-Verlag, New-York, 1996.

253. Kedrinskii V.K. The role of cavitation effects in the mechanisms of destruction and explosive processes // J. Shock Waves. 1997. V. 7, N 2. P. 63-76.

254. Kennet B.L.N., Engdahl E.R., Buland R. Constraints on seismic velocities in the Earth from travel times // Geophys. J. Int. 1995. v. 122. P. 108-124.

255. Kifonidis K., Plewa T., Janka H.-Th., Müller E. Nucleosynthesis and clump formation in a core collapse supernova// Astrophys. J. 2000. V. 531 P. 123.

256. Klypin A. A., Kates R. E., Khohlov A. Galaxy formation with gravitation, hydrodynamics and active star formation // Lect. Not. in Phys. 1992. V. 408. P. 157.

257. Kochevsky A. N. Computation of Internal Fluid Flows in Channels Using the CFD Software Tool FlowVision // Bulletin of Sumy State University. 2004. No. 2 (61). P. 25-36.

258. Kraeva M.A., Malyshkin V.E. Assembly technology for parallel realization of numerical models on MIMD-multicomputers // Future Generation Comp. Syst. 17 (6) (2001). P.755-765.

259. Kravtsov A.V., Klypin A., Hoffman Y. Constrained Simulations of the Real Universe: II. Observational Signatures of Intergalactic Gas in the Local Supercluster Region // Astrophys. J. 2002. Vol. 571. iss. 2. P. 563 575.

260. Kravtsov A.V., Nagai D., Vikhlinin A.A., Effects of Cooling and Star Formation on the Baryon Fractions in Clusters // Astrophys. J. 2005. V.625. P. 588-598.

261. Kreis H.-O., Öliger J. Comparison of accurate methods for the integration of hyperbolic equations //Tellus. 1972. V.24. P. 199-215.

262. Kuksheva E.A., Malyshkin V.E., Nikitin S.A., Snytnikov A.V., Snytnikov V.N., Vshivkov V.A. Numerical Simulation of Self-Organisation in Gravitationally Unstable Media on Supercomputers // PaCT-2003 proceedings. LNCS 2763. 2003. P. 354 368.

263. Kuwahara M. et al. The problems of focused shock waves effect on biological tissues // Proc. 18th Intern. Symp. on Shock Waves. Japan, 1991. V. 1. P. 41-48.

264. Lauterborn W., Vogel A. Modern Optical Techniques in Fluid Mechanics // Ann. Rev. Fluid Mech. 1984. Vol. 16. P. 223-244.

265. Londrillo P. Adaptive grid-based gas-dynamics and Poisson solvers for gravitating systems // Mem. S. A. It. Suppl. 2004. V.4. P.69.

266. Luci L.B. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis // Astrophys. J., 1977, Vol. 82 (12). P. 1013 1024.

267. Makita M., Miyawaki K., Matsuda T. Two and Three Dimensional Numerical Simulations of Accretion Discs in a Close Binary System // Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 2000. V.316. P.906.

268. Marri S., White D.M., Smoothed Particle Hydrodynamics for Galaxy Formation Simulations: Improved Treatments of Multiphase Gas, of Star Formation and of Supernovae Feedback // Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 2003. V. 345. P. 561.

269. McKenzie D.P., Weiss N.O. Speculations on the thermal and tectonics history of the Earth// Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1975. V. 48. P. 131-174.

270. Merlin E., Chiosi, C. Simulating the formation and evolution of galaxies: multi-phase description of the interstellar medium, star formation, and energy feedback // Astronomy and Astrophysics. V. 473. Iss. 3. 2007. P.733-745.

271. Michel-Dansac L., Wozniak H. Photometric and dynamic evolution of an isolated disk galaxy simulation // Astronomy and astrophysics. 2004. V. 421. № 3. P. 863 876.

272. Mignone A., Plewa T., Bodo G. The Piecewise Parabolic Method for Multidimensional Relativistic Fluid Dynamics // Astrophys. J. 2005. V. 160. P. 99.

273. Miniati F., Colella P. J. A modified higher order Godunov's scheme for stiff source conservative hydrodynamics // J. Comput. Phys. 2006. V. 224. iss. 2. P. 519-538.

274. Miniati F., Colella Ph. Block Structured Adaptive Mesh and Time Refinement for Hybrid, Hyperbolic + N-body Systems // Journal of Computational Physics. 2007. V. 227. Iss. 1. P. 400-430.

275. Mohr J.J., Evrard A.E. An X-ray Size-Temperature Relation for Galaxy Clusters: Observation and Simulation // Astrophys. J. 1997. V.491. P.38.

276. Moiseenko S.G., Bisnovatyi-Kogan G.S., Ardeljan N.V. Magnetorotational core collapse model with jets. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2006. V.370. P.501-512.

277. Molteni D., Lanzafame G., Chakrabarti S.K. Simulation of Thick Accretion Disks with Standing Shocks by Smoothed Particle Hydrodynamics // Astrophys. J. 1994. V.425. P. 161.

278. Molteni D., Ryu D., Chakrabarti S.K. Numerical Simulations of Standing Shocks in Accretion Flows around Black Holes: A Comparative Study // Astrophys. J. 1996. V.470. P.460-469.

279. Monaghan J.J., Gingold R.A. Shock simulation by the particle method SPH // J. Comput. Phys. 1983. V. 52. P. 374-389.

280. Monaghan J.J. Smoothed particle hydrodynamics // Ann. Rev. Astron. Astrophys. 1992. Vol. 30. P. 543 574.

281. Moore D.R., Weiss N.O. Two-dimentional Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. 1973. V. 58. Part 2. P. 289-312

282. Nagamine K., Cen R., Hernquist L., et al. Massive galaxies in cosmological simulations: UV-selected sample at z=2 // Astrophys. J. 2005. V.618. P.23.

283. Nagamine K., Cen R., Hernquist L., et al. Massive galaxies & EROs at z=l-3 in Cosmological Hydrodynamic Simulations: Near-IR Properties // Astrophys. J. 2005. V.627. P.608.(2)

284. Nagoya H. et al. Underwater shock wave propagation and focusing in inhomogeneous media tube // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves. France, 1993. V. 3. P. 439-444.

285. Nakoryakov V.E., Kuznetsov V.V., Dontsov V.E., Markov P.G. Pressure waves of moderate intensity in liquid with gas bubbles // Int. J. Multiphase Flow. 1990. V.16. N5. P.741-749.

286. Nakoryakov V.E., Dontsov V.E., Markov P.G. Moderate pressure waves in a liquid with gas bubbles // Russian J. Eng. Thermophisics. 1991. V.l. N1. P.291-305.

287. Nakoryakov V.E., Dontsov V.E., Pokusaev B.G. The propagation of pressure waves in liquid with solid particles and gas bubbles // Russian J. Eng. Thermophisics. 1994. V.4. N2. P.173-188.

288. Nakoryakov V.E., Dontsov V.E., Pokusaev B.G. Pressure waves in liquid with solid particles and gas bubbles // Proc. 2nd Int. Conf. Multiphase Flow, Kyoto, Japan, 1995. PH2 11 -PH2 - 17.

289. Nakoryakov V.E., Dontsov V.E. Pressure waves interaction in liquid with gas bubbles and bubble fragmentation // Proc. Int. Symp. Two-Phase Flow Modeling and Experimentation. Italy, 1995. V.2. N3. P.951-958. (2)

290. Nakoryakov V.E., Dontsov V.E., Pokusaev B.G. Pressure waves in liquid suspension with solid particles and gas bubbles // Int. J. Multiphase Flow. 1996. V.22. N3. P.417-429.

291. Navarro J.F., White S.D.M. Simulations of Dissipative Galaxy Formation in Hierarchical Clustering Universes I: Tests of the Code // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1993. V. 267. P. 401.

292. Neemeh R. Propagation and stability of converging cylindrical shock in narrow cylindrical chamber // Proc. 18th Intern. Symp. on Shock Waves. Japan, 1991. V. 1. P. 273-278.

293. Nordzii L. Shock waves in bubble-liquid mixtures // Phys. Communications. 1971. V.3. No.l.P.ll.

294. Nordzii L., Van Vijngaarden L. Relaxation effects caused by relative of motion on shock waves in gas-bubble/liquid mixture // J. Fluid Mech., 1974, V.66, P.l 15.

295. Norman M. L. Introducing ZEUS-MP: A 3D, Parallel, Multiphysics Code for Astrophysical Fluid Dynamics // astro-ph/0005109

296. Norman M.L. The Impact of AMR in Numerical Astrophysics and Cosmology // Lecture Notes Comput. Sei. Engng. 2005. V. 41. P. 413-430.

297. O'Shea B. W. et al. Introducing Enzo, an AMR Cosmology Application // Adaptive Mesh Refinement Theory And Applications, the Proc. 2003 University of Chicago AMR Workshop.

298. O'Shea B., Bryan G., Bordner J., et al. Introducing Enzo, an AMR Cosmology Application // Adaptive mesh refinement: theory and applications. Springer Lecture Notes Comput. Sei. Engng. 2004. P. 134 142.

299. O'Shea B.W., Nagamine K., Springel V., et al. Comparing AMR and SPH Cosmological Simulations: I. Dark Matter and Adiabatic Simulations // ApJS. 2005. V.160. P.l.

300. Owen J.M., Villumsen J.V., Shapiro P.R., Martel H. Adaptive Smoothed Particle Hydrodynamics: Methodology II // ApJS. 1998. V. 116. P. 155.

301. Paolucci S. On the filtering of sound from the Navier-Stokes equations // Sandia Nat. Lab. Rep. SAND 82-8257. December 1982. 54 p.

302. Pen U.-L. A linear moving adaptive particle-mesh N-body algorithm // Astrophys. J. 1995. V. 100. P. 269.

303. Pen U.-L. A high-resolution adaptive moving mesh hydrodynamic algorithm // Astrophys. J. 1998. V. 115. P. 19.

304. Plewa T. Numerical Hydrodynamics: SPH vs. AMR // Proc. of the IAU Symp. The Formation of Binary Stars, ASP Conf. Series. 2001. V.3. P. 563-566.

305. Poli F., Menci N., Giallongo E. et al., The Evolution of the Luminosity Function in Deep Fields: A Comparison with Cold Dark Matter Models // Astrophys.J. 2001. V.551. P.L45-L48.

306. Ryu D., Ostriker J. P., Kang H., Cen R. A cosmological hydrodynamic code based on the total variation dimishing scheme // Astrophys. J. 1993. V. 414, iss. 11. P. 464-470.

307. Ryu D., Brown G.L., Ostriker J.P., Loeb A. Stable and Unstable Accretion Flows with Angular Momentum near a Point Mass // Astrophys. J. 1995. V.452. P.364.

308. Sales L.V., Navarro J.F., Abadi M.G., Steinmetz M. Cosmic menage a trois: the origin of satellite galaxies on extreme orbits // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2007. Vol. 379 (4). P. 1475 -1483.

309. Sanders R. H., Prendergast K. H. The Possible Relation of the 3-Kiloparsec Arm to Explosions in the Galactic Nucleus // Astrophys.J. 1974. V. 188. P.489-500.

310. Scarinci T., Bassin X., Lee J., Frost D. Propagation of a reactive wave in a bubble liquid // Proc. 18th ISSW K. Takayama (Ed.). V. 1. 1989. P. 481-484.

311. Schubert G., Turcotte D.L. Phase changes and mantle convection // J. Geophys. Res. 1971. V. 76. P. 1424.

312. Sijacki D., Springel V. Physical Viscosity in Smoothed Particle Hydrodynamics Simulations of Galaxy Clusters // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2006. V. 371 P. 1025-1046.

313. Snir M., Otto S. W., Huss-Lederman S., Walker D., Dongarra J. MPI: The Complete Reference. MIT Press. Boston, 1996.

314. Snytnikov A.V., Vshivkov V.A. A Multigrid Parallel Program for Protoplanetary Disc Simulation // PaCT-2005 proc. LNCS 3606. 2005. P. 457 467.

315. Sornborger A., Brandenberger R., Fryxell B., et al. The Structure of Cosmic String Wakes // Astrophys. J. 1997. V.482. P. 22-32.

316. Springel V., Yoshida N., White S. GADGET: A Code for Collisionless and Gasdynamical Cosmological Simulations // New Astron. 2001. V.6. P.79.

317. Springel V., Hernquist L. Cosmological SPH Simulations: The Entropy Equation // Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 2002. V. 333. P. 649.

318. Springel V. The Cosmological Simulation Code GADGET-2 // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. 2006. V. 364. iss. 4. P. 1105-1134.

319. Steinmetz M. GRAPESPH: Cosmological SPH simulations with the special purpose hardware GRAPE // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1996. V. 278. P. 1005(S96).

320. Stertevant B. The physics of shock wave focusing in the context of extracorporeal shock wave lithotripsy // Proc. Intern. Workshop on Shock Wave Focusing K. Takayama (Ed.). Japan, 1989. P. 39-64.

321. Stone J.M., Norman M.L. ZEUS-2D: A Radiation Magnetohydrodynamics Code for Astrophysical Flows in Two Space Dimensions: II. The Magnetohydrodynamic Algorithms and Tests. // Ap. J. Suppl. 1992. V.80. P.791.

322. Stuka C. et al. Nonlinear transmission of focused shock waves in nondegassed water // In: R. Brun, L.Z. Dumitrescu (eds.) Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves. 1995. vol. 4. P. 445-448.

323. Takayama K. High pressure generation by shock wave focusing in ellipsoidal cavity // Proc. Intern. Workshop on Shock Wave Focusing K. Takayama (Ed.). Japan, 1989. P. 217-226.

324. Teissier R. Cosmological hydrodynamics with adaptive mesh refinement. A new high resolution code called RAMSES // Astronom. and Astrophys. 2002. V. 385. P. 337-364.

325. Tepper W. Experimental Investigation of the Propagation of Shock Waves in Bubbly Liquid- Vapour Mixtures // Proc. of 14th Int. Symp. . Shock Tubes and Shock Waves. 1983. P. 397.

326. Thacker R.J., Tittley E.R., Pearce F.R., Couchman H.M.P., Thomas P.A. Smoothed Particle Hydrodynamics in Cosmology: a Comparative Study of Implementation // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1998. P. 1-30.

327. Theuns T., Leonard A., Efstathiou G. P., Pearce F. R., Thomas P. A., Hydra: an adaptive-mesh implementation of SPH // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1998. V.301. P. 478-502.

328. Timmes F. X., Zingale M., Olson K., et al. On The Cellular Structure of Carbon Detonations // Astrophys. J. 2000. V.543. P. 938.

329. Todes O.M. Adiabatic term explosion//J. Phys. Chem. 1933. V.4,N1. P.71.

330. Tomita Y., Shima A. High- Speed Photografic Observations of Laser Indeced Cavitation Bubbles in Water // Acustica. 1990. Vol. 71. P. 161-171.

331. Tormen G. Hydrodynamic Simulations of Galaxy Formation // Proc. of the XXXIst Rencontres de Moriond Dark Matter in Cosmology, Quantum Measurements, Experimental Gravitation. 1996.

332. Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. SpringerVerlag. Second Edition, 1999.

333. Toro E.F. A linearised Riemann Solver for the time dependent Euler equations of gas dynamics // Proc. Ray Soc. London, Vol. A434, 1991, P. 683 693.

334. Turcotte D.L., Torrance K.E., Hsui A.T. Convection in the Earth's Mantle in Methods // Bolt BA (ed.) Computational Physics. 1973. V.13. P.431-454.

335. Turkel E. Preconditioned Methods for Solving the Incompressible and Low Speed Compressible Equations//J. of Comp. Physics. 1987. Vol.72. P. 277 298.

336. Van Albada G.D., B. van Leer, Roberts W.W. A Comparative Study of Computational Methods in Cosmic Gas Dynamics // Astron. Astrophys. 1982. V.108. P. 76-84.

337. Van Keken P. Evolution of starting mantle plumes: a comparison between numerical and laboratory models // Earth and Planetary Science Letters. 1997. V.148. P.1-11.

338. Van Leer B. Flux-vector splitting for the euler equations // Technical Report 82-30, ICASE. 1982. IN Int. Conf. on Num. Meth. in Fluid Dynamics, 8th. West Germany, 1982. Proc. (A84-35301 16-34). Berlin, Springer-Verlag. 1982. P. 507-512.

339. Van Vijngaarden L. On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles // J. Fluid Mech. 1968. V.33. P.465-474.

340. Viel M., Haehnelt M.G., Springel V. Testing the Accuracy of The Hydro-PM approximation in numerical Simulations of the Lyman-alpha forest // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2006. V. 367. P. 1655.

341. Volkov I.V., Zavtrak S.T., Kuten I.S. // Rev. E. 1997. V. 56, N 1. P. 1097-1101.

342. Wadsley J.W., Bond J.R. SPH P3MG Simulations of the Lyman-alpha Forest // Proc. 12th Kingston Conf. Halifax. 1996. 332. ed. D. Clarke & M. West (PASP).

343. Wadsley J.W., Stadel J., Quinn T. Gasoline: An Adaptable Implementation of TreeSPH // New Astronomy. 2004. Vol. 9. P. 137.

344. Walder R., Folini D. Radiative cooling instability in ID colliding flows // Astronomy and Astrophysics. 1996. V.315. P. 265-283.

345. Walder R., Folini D. Complex wind dynamics and ionization structure in symbiotic binaries // Thermal and Ionization Aspects of Flows from Hot Stars: Observations and Theory, ASP Conf. Series. 2000.

346. Watanabe M. et al. Shock wave focusing in a vertical annular shock tube // Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves. France, 1993. V. 4. P. 99-104.

347. Weiss J.M., Smith W.A. Precondition applied to variable and constant density flows // AIAA Journal. 1995. V.33. N.l 1. P.2050-2057.

348. Williams J.C. Viscous compressible and incompressible flow in slender channels // AIAA Journal. 1963. V.l. №1. P.l86-195.

349. Yepes G., Kates R. E., Klypin A., et al. Mapping, measuring, and modelling the universe // Proc. of the UIPM-ECN Conf. Astronomical Society of the Pacific Conference Series, V. 94, 1996. Ed. by Coles P., Martinez V., Pons-Borderia M.-J. P. 125.

350. Ziegler U. NIRVANA+: An adaptive mesh refinement code for gas dynamics and MHD //Comp. Phys. Comm. 1998. V.l09. P.l 11.

351. Ziegler U. The NIRVANA code: Parallel computational MHD with adaptive mesh refinement // CPC. 2008. V. 179. P. 227.

352. Zingale M., Dursi L.J., ZuHone J., et al. Mapping Initial Hydrostatic Models in Godunov Codes // Ap. J. S. 2002. V.143. P.539.1. РШ0007

353. Программный комплекс для моделированиядинамики трехмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном поле1. Разработчики

354. Куликов Игорь Михайлович Вшивков Виталий Андреевич Лазарева Галина Геннадьевна