автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование динамики трехмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном поле

На правах рукописи

Куликов Игорь Михайлович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ТРЁХМЕРНЫХ ГАЗОВЫХ ОБЪЕКТОВ В САМОСОГЛАСОВАННОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

004600831

004600831

Работа выполнена в Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН, Новосибирском государственном техническом университете.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор

Вшивков Виталий Андреевич

доктор физико-математических наук профессор

Киселёв Сергей Петрович

кандидат физико-математических наук Пешков Илья Михайлович

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Защита состоится «29» апреля 2010 года в 15-00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.04 при Институте математики им. С Л. Соболева Сибирского отделения РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН.

Автореферат разослан «25» марта 2010 года.

Учёный секретарь Диссертационного совета

к.ф.-м.н. В.Л. Мирошниченко

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Движение галактик в плотных скоплениях превращает столкновения между ними в важный эволюционный фактор, поскольку за хаббловское время рядовая галактика может испытать до десятка столкновений с другими галактиками своего скопления. Наблюдательное и теоретическое изучение взаимодействующих галактик — незаменимый метод исследования их свойств и эволюции. Математическое моделирование играет более чем важную роль в теоретическом исследовании астрофизических процессов. Известны модели взаимодействия галактик, основанные на решении задачи многих тел, для исследования эволюции звездного компонента. Особый интерес представляет изучение динамики газового компонента галактик, менее доступного для наблюдения, чем звездный. Динамика холодного газа доступна только для наблюдений в радиодиапазоне, которые не дают достаточно хорошего разрешения. Горячий газ доступен для наблюдений в видимом диапазоне на фронте взаимодействия, где активно происходят процессы звездообразования. В этом случае сильно затрудняет наблюдения большое количество пыли на фронте. В развитии сценария столкновения галактик газовый компонент играет определяющую роль, поэтому возникает необходимость проведения численного моделирования задачи столкновения галактик в газодинамическом приближении.

В последнее десятилетие из всего широкого диапазона газодинамических численных методов для решения нестационарных задач астрофизики в трехмерной постановке используются два основных подхода. Это лагранжев метод сглаженных частиц SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) и эйлеровы методы на адаптивных сетках AMR (Adaptive Mesh Refinement). На основе метода SPH созданы пакеты математического моделирования Hydra, Gasoline, GrapeSPH, GADGET и т.д. С помощью эйлеровых методов на адаптивных сетках AMR реализованы пакеты NIRVANA, FLASH, Pencil Code, ZEUS и т.д.

Разработка большого количества пакетов программ свидетельствует не только о крайней актуальности развития моделирования в этом направлении, но и об отсутствии универсального пути решения такого типа задач. В настоящее время

исследования еще находятся в стадии поиска наиболее эффективных подходов к построению вычислительных моделей и алгоритмов. Этот поиск осложняется большим количеством проблем вычислительного характера: сложность построения эффективных алгоритмов для комплекса взаимосвязанных задач и все проблемы, связанные с необходимостью параллельных вычислений. Несмотря на обилие программных реализаций, зачастую невозможно провести анализ правомерности их применения к конкретной задаче, определить диапазон допустимых параметров и оценить точность получаемого решения.

Проведенный в диссертации анализ имеющихся программных комплексов показывает необходимость разработки нового программного комплекса для суперЭВМ.

Постановка задач гравитационной газодинамики заключается в совместном решении газодинамических уравнений с уравнением Пуассона, описывающим изменение поля гравитации под влиянием динамики газа. Движение самогравитирующего газа является результатом взаимодействия сил гравитации и давления, поэтому гравитационная неустойчивость более характерна для рассматриваемого класса задач, чем динамика ударных волн. При изучении сложных астрофизических явлений переход к моделированию пространственных течений газа сопровождается появлением новых физических эффектов, которые в других задачах либо отсутствуют, либо проявляются лишь незначительно. В ходе численной реализации неустойчивость Джинса, как физическое свойство решения, приводит к зависимости численного решения от ориентации расчётной сетки. При численном решении астрофизических задач возникает необходимость задания областей нулевой плотности и корректного определения границ газ-вакуум. Рассматриваемые постановки астрофизических задач, характеризующиеся важностью вклада гравитационной энергии и отсутствием больших потоков через границы области, характеризуются влиянием свойства полной консервативности схемы на решение, как и некоторые задачи магнитной газовой динамики и физики разреженной плазмы.

Трехмерность и высокое разрешение современных астрофизических моделей требует больших вычислительных ресурсов. Следовательно, возникает необходимость создания

алгоритмов для численной реализации модели на многопроцессорной вычислительной технике. Использование суперкомпьютеров позволяет использовать большие объемы данных, производить ресурсоемкие расчеты на порядки повышать производительность вычислений, и как следствие, получать физически оправданные результаты для астрофизических моделей.

Таким образом, актуальными являются построение новых численных моделей и алгоритмов, создание реализующего программного комплекса для суперЭВМ и решение нестационарных трехмерных задач астрофизики в газодинамическом приближении.

Целью работы является разработка и реализация вычислительного инструментария для решения задач гравитационной газовой динамики, включающей:

■ создание новых численных моделей и алгоритмов, адекватно описывающих динамику трёхмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном поле;

■ исследование численных методов решения трёхмерных нестационарных задач гравитационной газовой динамики в декартовых координатах при наличии физической неустойчивости;

■ создание программного комплекса для суперЭВМ для численного моделирования трёхмерных астрофизических газовых объектов различной геометрии;

■ исследование на основе созданных алгоритмов и программ:

• коллапса газового облака,

• модельной задачи центрального столкновения газовых компонент галактик,

• диапазона газодинамических параметров для развития каждого из сценариев центрального столкновения галактик.

Научная новизна работы заключается в:

1. Создании нового численного метода с улучшенными вычислительными характеристиками для решения трёхмерных нестационарных задач гравитационной газовой динамики в декартовых координатах.

2. Разработке на основе созданного численного метода программного комплекса, ориентированного на суперЭВМ, для моделирования динамики трёхмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном поле.

3. Исследовании модельной задачи центрального столкновения газовых компонент галактик и определении диапазонов газодинамических параметров для развития каждого из сценариев: слияние, свободный разлёт, разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездного компонента, рассеивание газовых компонент галактик.

Научная и практическая ценность работы заключается в создании пакета программ для суперЭВМ для решения широкого класса задач гравитационной газодинамики. Созданная численная модель динамики самогравитирующего газа и реализующий её пакет программ дают специалистам в области астрофизики эффективный инструмент, который позволяет получать важные, научно обоснованные теоретические выводы, необходимые для понимания не только эволюции газовых компонент взаимодействующих галактик, но и эволюции самих галактик (см. акт о внедрении результатов диссертации института астрономии РАН). В дальнейшем разработанный программный комплекс для суперЭВМ может быть использован для исследования динамики самогравитирующих газовых объектов произвольной геометрии.

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках Интеграционного проекта СО РАН № 103, программы СО РАН по суперЭВМ, при поддержке программ Рособразования «Развитие научного потенциала ВШ» (проекты РНП.2.2.1.1.3653 и РНП.2.2.1.1.1969), грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 08-01-00615).

Автор защищает:

• разработку и реализацию нового численного метода решения нестационарных трехмерных задач гравитационной газодинамики,

• создание комплекса программ для суперЭВМ для численного моделирования трёхмерных газовых объектов различной геометрии,

• получение сценариев модельной задачи центрального столкновения газовых компонент галактик, определение диапазонов газодинамических параметров для развития каждого из сценариев по результатам численного исследования.

Достовериость результатов. Разработанный комплекс программ и используемые в работе модифицированные разностные схемы прошли полное тестирование на модельных задачах, близких по физической постановке к изучаемым явлениям и допускающим аналитическое решение. Газодинамическая часть программного комплекса была протестирована на тестах Годунова. Решение уравнения Пуассона для гравитационного потенциала тестировался на аналитических решениях с разрывной правой частью. На задачах о равновесных конфигурациях самогравитирующего газа было проведено тестирование правильности решения системы уравнений газовой динамики с учётом влияния самосогласованного гравитационного поля. В ходе численного нахождения равновесных конфигураций решение системы выходило на соответствующие автомодельные решения. Правомерность применимости предложенного подхода к численному моделированию подтверждается согласованностью полученных результатов решения задачи коллапса с результатами других авторов. Полученные диапазоны газодинамических параметров развития сценария столкновения галактик соответствуют теоретическим оценкам, основанным на анализе наблюдательных данных. Контроль правильности решения осуществляется выполнением разностных законов сохранения. Сходимость численных методов решения отдельных этапов задачи проверена на последовательности сгущающихся сеток.

Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре академика Годунова С.К. «Математика в приложениях» (ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН, ноябрь 2009), на семинаре им. К.И. Бабенко под руководством д.ф.-м.н. профессора Брушлинского К.В. (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, декабрь 2009), на семинаре «Математическое и архитектурное обеспечение параллельных вычислений» под руководством д.т.н.

профессора Малышкина В.Э. (ИВМ и МГ СО РАН, октябрь 2009), на семинарах «Математическое моделирование больших задач» под руководством д.ф-м.н. профессора Вшивкова В.А. (ИВМ и МГ СО РАН), на Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, апрель 2005, апрель 2006), на Международном рабочем совещании «Происхождение и эволюция биосферы» (Новосибирск, июнь 2005), на Конференциях молодых учёных ИВМиМГ СО РАН (Новосибирск, апрель 2006, апрель 2008, апрель 2009), на V Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Санкт-Петербург, апрель 2008), на Молодёжной международной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН, август 2009), на Всероссийской конференции «Математика в приложениях» (ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН, июль 2009), на Международной конференции «Parallel Computing Technologies (РаСТ-2009)» (Новосибирск, сентябрь 2009).

Основные научные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, из которых 4 в журналах, рекомендованных ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановок задач, участии в разработке адекватных численных алгоритмов и методов решения, создании и тестировании алгоритмов и программ, проведении расчетов, участии в интерпретации результатов численного моделирования. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 134 наименований. Полный объем работы - 103 страницы, включая 43 рисунка и 6 таблиц.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, изложены основные результаты проведенных ранее исследований в области математического моделирования астрофизических задач и анализ литературы, содержится обзор проблем численного решения задач, рассматриваемых в диссертации, сформулирована цель диссертации и приведено краткое изложение полученных результатов.

Первая глава посвящена разработке математической технологии решения задач динамики самогравитирующего газа.

В п. 1.1 приводится физико-математическая постановка задачи динамики трёхмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном поле. Рассматривается переопределённая система уравнений газовой динамики, замкнутая уравнением состояния для идеального газа и дополненная уравнением Пуассона для гравитационного потенциала.

+сйу {у рк ) = (р) - р%гас1 (ф + Ф0),

^ + сПу(р£у) = -(у -1 )ре<Иу (у ) - д, + &\{рЕу) = -СЙУ (ру ) - (рЕгас1 (Ф + Фо),у)-0' р = ре(г~1)>

йы (§гав. Ф) = 4пр ■

Здесь р - плотность газа, V - вектор скорости, р - давление, Ф - гравитационный потенциал, получаемый из уравнения Пуассона, Ф0 - гравитационный потенциал от центрального тела, е - удельная

внутренняя энергия, у - показатель адиабаты, () - функция охлаждения, Е — удельная полная энергия. Система уравнений записана в безразмерном виде. Задача рассматривается в трёхмерной постановке.

В п. 1.2 описывается реализация начальных и граничных условий. Астрофизические газовые объекты и функции распределения основных газодинамических параметров (плотность, давление,

скорость) могут быть использованы в расчётной области произвольным образом.

В качестве граничных условий для уравнений газовой динамики использовались однородные краевые условия второго рода. Для задания граничного условия для уравнения Пуассона может быть использованы фундаментальное решение уравнения Лапласа или моменты инерции.

Так как задача в общем случае неустойчива и её постановка некорректна, то вопрос о достоверности решения стоит особенно остро. В этом случае для контроля правильности решения используются законы сохранения. Одни из них (масса, центр масс и импульс) сохраняются «автоматически» благодаря выбранной схеме, другие (полная энергия и момент импульса) контролируются во время вычислительного эксперимента. В п. 1.3 приведён вывод законов сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии и проведён анализ поведения полной энергии и момента импульса при измельчении сетки.

В п. 1.4 вводится коррекция дисбаланса энергий. В данной работе такая коррекция осуществляется перенормировкой схемных скоростей переноса массы, импульса и удельной энергии на лагранжевом этапе метода введением множителя:

Такая перенормировка сохраняет направление вектора скорости, корректируя его длину.

Во второй главе диссертации проведена разработка схемы для решения задач гравитационной газовой динамики.

В п.2.1 обоснован выбор метода крупных частиц в качестве базового для решения уравнений газовой динамики.

В п.2.2 приведено описание метода крупных частиц, который расщепляется на эйлеров и лагранжев этапы. Для реализации эйлерового этапа приведены две разностные схемы: схема с центральными разностями и схема, основанная на решении линеаризованной системы уравнений эйлерова этапа. На лагранжевом этапе происходит конвективный перенос газодинамических величин. Проведено исследование устойчивости метода крупных частиц. На задаче о распаде разрыва были исследованы различные подходы к аппроксимации уравнений на эйлеровом этапе.

В п.2.3 проведена верификация численного метода решения уравнений газовой динамики на тестах Годунова.

В п.2.4 изложен метод решения уравнения Пуассона для гравитационного потенциала, основанный на преобразовании Фурье. В программной реализации используется быстрое преобразование Фурье.

В п.2.5 описаны элементы операторного подхода для построения разностных схем. Традиционно разностные аналоги операторов вводятся путем непосредственной аппроксимации конечными разностями производных в покомпонентной записи уравнений в определенной ортогональной системе координат. Преимущество операторного представления разностных схем оказывается особенно ощутимым в случае необходимости использования инвариантных относительно поворота численных реализаций, при этом особую роль играют вопросы согласования свойств разностных аналогов дифференциальных операторов grad и . Разностный аналог оператора лч> действует из пространства сеточных вектор-функций, заданных в узлах, в пространство скалярных сеточных функций, определенных в ячейках пространственной сетки. Соответственно, разностный аналог оператора grad действует из пространства скалярных сеточных функций, определенных в ячейках, в пространство сеточных вектор-функций, заданных в узлах.

В п.2.6 приведены расчётные характеристики при использовании операторного подхода в задаче эволюции самогравитирующего облака. Сравнение результатов расчета показало, что введение в модель учета гравитационного поля приводит к усилению влияния неинвариантности используемых численных методов на решение. Возникающие при использовании несогласованных дискретных аналогов разностных операторов счетные особенности решения развиваются с течением времени и полностью его искажают. Использование согласованных аналогов дифференциальных операторов приводит к более точному и симметричному решению. В случае вращающегося газового диска в гравитационном поле развитие счетных особенностей становится еще более явным. На рисунке 1 приведены изолинии плотности для задачи эволюции вращающегося газового облака с тремя рукавами плотности в вакууме в самосогласованном гравитационном поле.

Рис. 1. Изолинии плотности для задачи эволюции вращающегося газового облака с тремя рукавами плотности в вакууме в самосогласованном гравитационном поле, полученные с использованием несогласованных (слева) и согласованных (справа) разностных аналогов

дифференциальных операторов с параметрами т = 0.001, / = 0.3 при /г = 0.1 (сверху) и 6 = 0.0125 (снизу)

Полученные с помощью первого способа аппроксимации операторов изолинии плотности указывают на расположение осей координат. При этом расчетная скорость распространения газа вдоль осей существенно выше, чем в диагональных направлениях.

Коррекция скоростей переноса вещества на лагранжевом этапе разработанного метода приведена в п.2.7. Система уравнений на лагранжевом этапе отвечает за конвективный перенос плотности, импульса, полной и внутренней энергий через грани ячеек с так называемой схемной скоростью. Эта скорость не соответствует искомой скорости газа, которую можно определить только после завершения лагранжева этапа системы, как результирующую итоговых значений импульса и плотности. Схемная скорость может быть получена как результат осреднения векторов скорости, расположенных в узлах (классический способ), в ячейку или исходя из точного движения границ ячеек (модифицированный способ, см. рисунок 2).

у =-И-

1+~(к-у2)

—,........... и ••

V,

Т г

Рис. 2. Схема движения границ ячейки

Для сравнения различных способов получения схемной скорости была поставлена задача разлёта газового диска в постоянном поле скоростей. На рисунке 3 приведены профили плотности, полученные в результате численного моделирования.

Рис. 3. Сравнение профилей плотности при различных способах переноса

газодинамических величин в фиксированном поле скоростей, слева классический способ определения скорости, справа - модифицированный

В п.2.8 приведены расчётные характеристики при использовании частично операторного подхода и коррекции скоростей к задаче эволюции самогравитирующего облака. Для иллюстрации модификации лагранжева этапа поставим модельную задачу о вращении газового шара со следующими параметрами ^=1.0 -

радиус шара, о(А= п(А = С - распределение плотности и

давления, « = 1.0- скорость вращения, г = 0.5- время эволюции облака, [0;6.4]3 - размер области, 2563 - расчётная сетка. Изолинии

плотности, описывающие вращение газового шара в вакууме, не имеют выраженных особенностей на осях координат при использовании модификации лагранжева этапа (см. рисунок 4, справа).

Рис. 4. Изолинии плотности в меридиональной и экваториальной плоскости для задачи эволюции вращающегося газового облака в вакууме в самосогласованном гравитационном поле, полученные с использованием модифицированного (справа) и традиционного (слева) лагранжева этапа метода крупных частиц, момент времени г = 2.4, сетка 256х 256х 256

Третья глава посвящена исследованию динамики самогравитирующих газовых систем.

В п. 3.1 описана параллельная реализация предложенного алгоритма. Трехмерность модели и нестационарность задачи выдвигают строгие требования к экономичности используемых методов решения, как в плане использования ресурсов вычислительной системы, так и в плане некритичного ограничения на отношение шага по времени и пространству. Использование суперкомпьютеров позволяет использовать большие объемы данных,

о

2 3 4 5

0

2 3 4 5

на порядки повышать производительность вычислений, а как следствие, и точность.

В п.3.2 исследованы равновесные конфигурации вращающегося самогравитирующего газа. Такие конфигурации важны для моделирования газодинамических процессов на этапах образования нейтронных звезд или черных дыр, а также для моделирования коллапса и вспышек сверхновых. В отсутствии вращения звезда имеет сферическую форму, поверхности постоянного давления -изобарические поверхности — являются концентрическими сферами, и все газодинамические параметры обладают центральной симметрией. В этом случае равновесные конфигурации можно построить аналитически и определить газодинамические параметры в явном виде, например из системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

Здесь г - сферический радиус шара, М -вспомогательная функция. Если газ вращается вокруг фиксированной в пространстве оси с некоторой заданной угловой скоростью, то форма газового объекта становится эллипсовидной. В этом случае равновесные конфигурации звезды можно построить аналитически только при специальных ограничениях на газодинамические параметры, а в общем случае задачу приходится решать численно. На рисунке 5 приведены оценки радиусов эллипсоидов вращения, полученных в результате моделирования.

с1р рМ (/•)

с,

р = ре(у-1).

2,7-

—•—Я

1,51,2 0.9

0,5 0,в 0,7 0,8 0,9 1.0 (0

Рис. 5. Изменение формы самогравитирующего газового шара при вращении

В п.3.3 исследованы задачи о коллапсе. Процессы коллапса астрофизических объектов в настоящее время активно исследуются теоретически в связи с появлением значительного числа наблюдательных данных. Явление коллапса имеет место, как на начальной стадии звездной эволюции, так и на конечной стадии эволюции звезд. Задачи астрофизического коллапса характеризуются резким изменением плотности и давления за короткий промежуток времени. В работе показано преимущество созданного метода над методом сглаженных частиц (БРН) при моделировании областей с высоким градиентом плотности. В задаче коллапса ошибка в полной энергии (см. рисунок 6) при использовании метода крупных частиц составляет порядка 5%, что является достаточно малой величиной.

Рис. 6. Относительная погрешность полной энергии

В п.3.4 исследована модельная задача центрального столкновения газовых компонент галактик. Показано, что сценарием столкновения галактик может быть их слияние, свободный разлёт, разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездной компоненты, рассеивание газовых компонент галактик. Получены диапазоны газодинамических параметров для развития каждого из сценариев центрального столкновения галактик, неизбежных в их плотных скоплениях. Полученные результаты подтверждают существующие теоретические оценки и согласуются с данными наблюдений. Диапазоны параметров газа для получения различных сценариев столкновения приведены на рисунке 7.

Рис. 7. Диапазоны параметров газа для получения различных сценариев столкновения

В заключении представлены основные результаты, полученные в работе и выводы.

Заключение

Настоящая работа посвящена разработке вычислительных алгоритмов и программного комплекса на их основе для моделирования динамики трёхмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном поле. В работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. Для класса нестационарных задач гравитационной газовой динамики с учётом охлаждения и центрального тела, разработан новый вычислительный алгоритм на основе метода крупных частиц, позволяющий проводить вычислительные эксперименты по изучению динамики самогравитирующего газа в трёхмерной постановке в широком диапазоне параметров.

2. На основе предложенных алгоритмов создан и протестирован программный комплекс для суперЭВМ. Его функциональные возможности включают в себя: получение решения, инвариантного относительно поворота, моделирование границы газ-вакуум, оценка точности полученного решения, задания функции охлаждения, вклада в потенциал от центрального тела, минимизацию дисбаланса энергий. Программный комплекс

позволяет проводить вычислительные эксперименты, результаты которых могут быть использованы для исследования астрофизических модельных задач столкновения галактик, коллапса, получения равновесных вращающихся конфигураций. 3. Выполнен цикл вычислительных экспериментов, позволивших

• показать преимущество предложенного метода над методом сглаженных частиц (БРН) при моделировании областей с высоким градиентом плотности;

• впервые исследовать модельную задачу центрального столкновения газовых компонент галактик; показать, что сценарием столкновения галактик может быть их слияние, свободный разлёт, разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездной компоненты, рассеивание газовых компонент галактик;

• впервые получить диапазоны газодинамических параметров для развития каждого из сценариев центрального столкновения галактик, неизбежных в их плотных скоплениях. Показано, что столкновения ведут не только к появлению приливных деталей и спиралей разных искажений их формы, но и как к их разрушению, так и к образованию в некоторых случаях новых галактик из газа сталкивающихся компонент.

Полученные результаты подтверждают существующие теоретические оценки и согласуются с данными наблюдений. Разработанные численная модель и комплекс программ позволяют проводить вычислительные эксперименты динамики трёхмерных астрофизических газовых объектов различной геометрии.

Публикации

1. Куликов И.М. Численное моделирование вращения газа в гравитационном поле // Труды ХЫИ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 2005. С. 207-212.

2. Лазарева Г.Г., Киреев С.Е., Куликов И.М. Моделирование динамики газа в протопланетных дисках // Международное рабочее совещание "Происхождение и эволюция биосферы". Новосибирск, 2005. С. 130-131.

3. Куликов И.М. Трёхмерное моделирование газовой компоненты протопланетного диска // Тезисы V Всероссийской конференции молодых учёных "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии". Новосибирск, 2005. С. 54-55.

4. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Куликов И.М. Операторный подход для численного моделирования гравитационных задач газовой динамики // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11,№3. С. 27-35.

5. Куликов И.М. Численное моделирование самогравити-рующего газового облака // Труды конференции молодых учёных ИВМиМГ. Новосибирск, 2006. С. 130-137.

6. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Куликов И.М. Модификация метода крупных частиц для задач гравитационной газовой динамики // Автометрия. 2007. Т. 43, № 6. С. 56-65.

7. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Киреев С.Е., Куликов И.М. Параллельная реализация модели газовой компоненты самогравитирующего протопланетного диска на суперЭВМ // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12, № 3. С. 38-52.

8. Куликов И.М. Моделирование динамики трёхмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном поле // Сборник научных трудов НГТУ. 2007. №4 (50). С. 21-26.

9. Куликов И.М. Трёхмерное моделирование самогравитирующего газа // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информациионных технологий, механики и оптики. 2008. №47. С. 142-150.

10. Куликов И.М. Моделирование самогравитирующего газового облака на СуперЭВМ // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Математика в приложениях». Новосибирск, 2009. С. 160-161.

11. Vshivkov V., Lazareva G., Snytnikov A., Kulikov I. Supercomputer Simulation of an Astrophysical Object Collapse by the Fluids-in-Cell Method // PaCT-2009 proceedings. LNCS, Vol. 5698. 2009. P. 414-422.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел./факс (383) 346-08-57 формат 60 X 84/16 объем 1.25п.л., тираж 100 экз.. заказ № 579 подписано в печать 23.03.2010 г

Введение

Глава 1. Физико-математическая постановка задачи динамики самогравитирующего газа

1.1. Основные уравнения

1.2. Постановка начальных и граничных условий

1.3. Законы сохранения

1.4. Коррекция дисбаланса энергий

Глава 2. Разработка схемы для моделирования гравитационной газовой динамики

2.1. Численные методы решения

2.2. Метод крупных частиц Белоцерковского-Давыдова (F1IC)

2.3. Верификация метода крупных частиц для решения задач газовой динамики

2.4. Метод решения уравнения Пуассона

2.5. Некоторые элементы операторного подхода

2.6. Использование некоторых элементов операторного подхода в задаче эволюции самогравитирующего облака

2.7. Коррекция скоростей переноса вещества на лагранжевом этапе метода крупных частиц

2.8. Результат применения некоторых элементов операторного подхода и коррекции скоростей к задаче эволюции самогравитирующего облака

Глава 3. Динамика самогравитирующих газовых систем

3.1. Параллельная реализация

3.2. Равновесные конфигурации вращающегося самогравитирующего газа

3.3. Задачи о коллапсе

3.4. Развитие сценариев столкновения галактик 81 Заключение 92 Список использованных источников

Современная астрофизика - это эволюционная теория, которая изучает условия образования и устойчивости упорядоченных структур в первоначально бесструктурной материи - космическом хаосе. Феномен самоорганизации материи состоит в появлении последовательности упорядоченных во времени и пространстве событий и структур. Согласно современным представлениям галактики являются крупными структурными элементами нашей Вселенной. Движение галактик в плотных скоплениях превращает столкновения между ними в важный эволюционный фактор, поскольку за хаббловское время рядовая галактика может испытать до десятка столкновений с другими галактиками своего скопления [1]. Наблюдательное и теоретическое изучение взаимодействующих галактик - незаменимый метод исследования их свойств и эволюции. Математическое моделирование играет более чем важную роль в теоретическом исследовании астрофизических процессов. Известны модели взаимодействия галактик, основанные на решении задачи многих тел, для исследования эволюции звездного компонента. Особый интерес представляет изучение динамики газового компонента галактик, менее доступного для наблюдения, чем звездный [2]. Динамика холодного газа доступна только для наблюдений в радиодиапазоне, которые не дают достаточно хорошего разрешения. Горячий газ доступен для наблюдений в видимом диапазоне на фронте взаимодействия, где активно происходят процессы звездообразования. В этом случае сильно затрудняет наблюдения большое количество пыли на фронте. В развитии сценария столкновения галактик газовый компонент играет определяющую роль, поэтому возникает необходимость проведения численного моделирования задачи столкновения галактик в газодинамическом приближении.

Одной из актуальных, недостаточно изученных и требующих дальнейшего исследования проблем математического моделирования эволюции звезд является построение равновесных конфигураций гравитирующих газовых тел [3]. Явления коллапса весьма распространены в области астрофизики. Они встречаются и на начальной стадии звездообразования, и на конечных стадиях, во время взрывов сверхновых, когда наблюдается коллапсирование ядра. В ряде работ, посвященных коллапсированию протозвездных облаков [4 - 8], проводился поиск ответа, каким будет распределение плотности в экваториальной плоскости облака после коллапсирования. Четкого ответа так и не было получено. Решением получался либо тор, либо диск, в зависимости от типа выбранной численной схемы. Один из вопросов, которые ставят перед собой представители химических наук - где, когда и при каких условиях появилось первичное органическое вещество, ставшее основой для всех живых организмов. Есть несколько гипотез, намечающих возможные подходы к её решению. При этом синтез «земных» органических соединений никогда не «привязывался» к процессам возникновения сгустков вещества в протопланетном облаке. Но оказывается, при определённых условиях во вращающейся околозвёздной среде возникают области интенсивного синтеза органических соединений. Одна из таких областей стала источником первичного органического вещества для Протоземли и местом её зарождения в Космосе [9].

В настоящее время разработано большое количество численных методов решения газодинамических задач, изучены свойства и правомерность их использования в различных областях механики. В монографии [10] рассмотрены проблемы численного решения гиперболических систем уравнений в частных производных, причем внимание авторов сфокусировано на приложении решений к конкретных задачам. Сделан обширный обзор работ (более тысячи наименований), посвященных таким важным областям применения гиперболических систем уравнений, как теория мелкой воды, газовая динамика, магнитная гидродинамика, динамика твердого деформируемого тела и ряду неклассических областей механики сплошной среды, характеризующихся неединственностью решения задачи о распаде произвольного разрыва. В книге подробно описаны основные подходы, которые используются для построения явных методов сквозного счета и методов с выделением разрывов для решения таких систем уравнений. Среди методов сквозного счета основное внимание уделено методам типа Годунова, в том числе методы типа Куранта-Изаксона-Риса, Роу и Ошера. Описываются различные подходы к повышению порядка точности по времени и пространству, которые включают использование обобщенного решения Римана и методов реконструкции величин на гранях вычислительных ячеек по усредненным значениям в их центрах (TVD-схемы). Рассмотрен ряд вопросов, таких как алгоритмы монотонизации численного решения, энтропийная коррекция. Исследованы условия устойчивости многомерных разностных схем типа Годунова [11, 12], которые послужили основой для методов, широко используемых в современной вычислительной астрофизике. В книге подробно разобраны подходы к численному решению астрофизических задач о взаимодействии солнечного ветра с межзвездной средой, необходимость решения которых возникает с целью интерпретации проводимых космическими аппаратами измерений. В случае решения задачи о взаимодействии солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой рассмотрены результаты численного моделирования уравнений магнитной гидродинамики в трехмерной постановке. Необходимо отметить, что число Маха в солнечном ветре на типичных расстояниях от Солнца очень велико.

В последнее десятилетие из всего широкого диапазона газодинамических численных методов для решения нестационарных задач астрофизики в трехмерной постановке используются два основных подхода. Это лагранжев метод сглаженных частиц SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) [13 - 19] и эйлеровы методы на адаптивных сетках AMR (Adaptive Mesh Refinement) [20, 21]. На основе метода SPH созданы пакеты математического моделирования Hydra [22], Gasoline [23], GrapeSPH [24], GADGET [25] и т.д. С помощью эйлеровых методов на адаптивных сетках AMR реализованы пакеты NIRVANA [26], FLASH [27], Pencil Code [28], ZEUS [29] и т.д.

Все перечисленные пакеты находятся в свободном доступе в виде исходных кодов. Для проведения вычислительного эксперимента в каждом программном пакете необходимо выбрать из предложенных, либо создать, файл начальных данных и параметров расчета. Файл со сценарием расчёта является единственным механизмом, обеспечивающим взаимодействие пользователя с пакетом при запуске. Отсутствие графического интерфейса обусловлено тем, что эти пакеты являются решателями и не включают функции пре- и постпроцессора. В таблице 1 приведены такие основные характеристики программных пакетов, как используемый численный метод решения газодинамических уравнений, существование параллельной реализации и возможности постановок задач. Наиболее востребованы у пользователей для моделирования астрофизических процессов пакеты GADGET и FLASH. Эти пакеты характеризуются широким спектром решаемых задач и возможностью совместной численной реализации газодинамических уравнений и кинетики частиц.

Программный пакет GADGET первоначально создавался для исследования формирования звёзд и галактик. В настоящее время в качестве стандартных встроены задачи столкновения галактик, адиабатический коллапс сферического газового облака, формирование галактических кластеров. При выборе соответствующей задачи жёстко устанавливаются необходимые значения параметров численного метода (искусственная вязкости, радиус сглаживания) и модели. Это приводит к тому, что фактически невозможно изменить профили начального распределения плотности, давления, задать необходимую функцию охлаждения. В этом случае можно поменять только некоторые постоянные величины, такие как скорость вращения (в случае коллапса), показатель адиабаты, количество ячеек и т.п. Стоит отметить тот факт, что изменение начальных физических параметров в силу особенностей метода SPH неизбежно ведёт к необходимости корректировки схемных параметров, что в пакете не осуществляется.

Программный пакет FLASH создавался в основном для исследования неустойчивости Джинса и образования сверхновых. В этом пакете также предусмотрены стандартные задачи газовой динамики (задачи об ударной трубе, Седова, Ошера, Вудфарда - Коллелы, адвективного переноса и т.д.), гравитационной газовой динамики (неустойчивость Джинса, задачи коллапса и Зельдовича). Как и в случае пакета GADGET в пакете FLASH жёстко заданы распределения физических параметров и варьировать можно только константы.

Для задания начальных данных в пакете GADGET и выходных данных в пакете FLASH используется иерархический формат хранения данных HDF [30]. Этот формат хранения основан на древесном представлении данных, что позволяет:

• хранить большое количество разнородных данных,

• осуществлять независимый доступ к данным,

• сохранять переносимость на любые платформы,

• иметь единый программный интерфейс для многих языков программирования.

Таблица 1. Основные характеристики программных пакетов

Название Метод решения газодинамических уравнений Наличие контроля корректности решения Параллельная реализация Функция охлаждения Возможность решения задачи столкновения галактик

GADGET-2 SPH •

Hydra SPH

Gasoline SPH

GrapeSPH SPH

NIRVANA PPM •

FLASH PPM • J •

Pencil Code MKP 6-ro порядка

ZEUS MKP

Сравнение методов SPH и эйлеровых методов с использованием AMR позволяет определить основные преимущества одного метода над другим [31]. Несомненным достоинством метода сглаженных частиц является простота программной реализации и возможность расширения метода на многомерный случай. Применение эйлеровых сеточных методов к решению задач в многомерной постановке является достаточно сложным. Лагранжев подход позволяет частицам, представляющим элементы жидкости, следовать течению, в то время, как решение, полученное эйлеровыми методами подвержено сеточным искажениям. Точность решения в итоге вычислений с помощью эйлеровых методов складывается из порядка точности самой схемы и разрешения расчетной сетки. Среди эйлеровых методов в последнее десятилетие наиболее популярны методы типа Годунова, которые не требуют введения искусственной вязкости для получения физически обоснованных решений. Прошло более двадцати лет с момента первого успешного применения эйлеровых методов к этому типу задач. Для более точного отражения структуры течения начали применяться адаптивные сетки, которые позволяют концентрировать вычислительные ресурсы в областях с низкой точностью расчетов. Методы построения адаптивных сеток можно трактовать как многосеточные техники с локальным переопределением, в которых расчетная область покрывается иерархическим множеством вложенных сеток с заданным ростом разрешения. При этом, с учетом консервативности нестационарных газодинамических уравнений, методы построения адаптивных сеток вносят дополнительные сложности в программную реализацию. Сравнение этих принципиально различных подходов к численной реализации газодинамических уравнений показывает, что оба подхода имеют свои ограничения и аспекты, требующие особого внимания.

Лагранжев подход, лежащий в основе метода SPH, не позволяет поддерживать одно и то же разрешение во всей расчетной области, что не подходит исследователям, изучающим свойства областей близких к вакууму. Разрешение метода вблизи разрывов течения обычно плохое в силу пропорциональности радиусу сглаживания и в большинстве реализаций моделирование ударных волн поддерживаются с помощью искусственной вязкости. В многомерном случае разрешение и устойчивость стыков разрывов течений тоже проблематично. Частицы в методе SPH могут "взаимопроникать" друг в друга, усиливая диффузионные свойства схемы и усложняя исследования со смешанными и сдвиговыми течениями.

В отличие от SPH, разрешение эйлеровых моделей определяется наименьшей используемой сеткой. В случае, если бы методы AMR не были бы изобретены, ни один эйлеров метод не позволил бы получить такое же массовое разрешение, как моделирование с использованием SPH. Тем не менее, неоднородность разрешения делает методы AMR. непригодными для изучения турбулентных течений. Грубые сетки AMR добавляют определенную сумму вихрей в модель, так как на каждой границе между сетками разного разрешения возникает препятствие для течения, что является причиной возникновения полностью ложных вихрей.

Верными считаются численные результаты, которые с измельчением сетки сходятся к решению. Эйлеров подход предполагает дублирование расчетов с различным разрешением и сравнение решений, полученных на грубых и подробных сетках. Увеличение числа частиц в методе SPH не является аналогом такого измельчения сетки. Сопоставление с шагом сетки радиуса сглаживания, который обычно указывается среди характеристик разрешения метода, является неправомерным, так как двойное убывание радиуса сглаживания требует увеличения числа соседей в 2° раз, где D - это размерность задачи. Тем не менее, большинство исследований сходимости метода осуществляется с изменением числа частиц в небольшое число раз [32].

Разработка большого количества пакетов программ свидетельствует не только о крайней актуальности развития моделирования в этом направлении, но и об отсутствии универсального пути решения такого типа задач. В настоящее время исследователи еще находятся в стадии поиска наиболее эффективных подходов к построению вычислительных моделей и алгоритмов. Этот поиск осложняется большим количеством проблем вычислительного характера: сложность построения эффективных алгоритмов для комплекса взаимосвязанных задач и все проблемы, связанные с необходимостью параллельных вычислений. Не смотря на обилие программных реализаций, зачастую невозможно провести анализ правомерности их применения к конкретной задаче, определить диапазон допустимых параметров и оценить точность получаемого решения.

В контексте иерархического формирования галактик было проведено [33] сравнение пакетов программ численного моделирования гравитационной газодинамики: пакета GADGET и двух модификаций пакета Enzo. Первая модификация Enzo/PPM основана на эйлеровом методе РРМ, как и рассмотренный выше пакет Flash, вторая модификация Enzo/ZEUS основана на конечно-разностном метде сжимаемой магнитной гидродинамики ZEUS. Оба варианта пакета Enzo реализованы с использованием адаптивных сеток AMR и отличаются лишь методами, применяемыми к решению системы газодинамических уравнений. Тестовые расчеты показали, что при получении близких значений гравитационного потенциала существует ряд отличий в полученных значениях температуры и энтропии на ранних этапах эволюции газа. Авторы связывают эти отличия с принципиальной методологической разницей методов, лежащих в основе пакетов, и состоящей в отсутствии схемной вязкости у кусочно-параболического метода РРМ в отличие от ZEUS-метода, обладающего большой схемной вязкостью. Пакет GADGET показал более высокую скорость расчетов, что объясняется тем, что метод SPH не требует изменения числа частиц во все время счета, в то время как использование адаптивных сеток предполагает рост числа узлов. Отличие результатов работы пакетов программ GADGET и Enzo было замечено в ходе моделирования доли газа в восьми типах галактических кластеров [34]. Показано, что коды, основанные на AMR методах, дают большую массовую часть газа в гало, чем основанные на методе SPH.

Таким образом, проведенный анализ имеющихся программных комплексов показывает необходимость разработки нового программного комплекса для суперЭВМ.

Постановка задач гравитационной газодинамики заключается в совместном решении газодинамических уравнений с уравнением Пуассона, описывающим изменение поля гравитации под влиянием динамики газа. Движение самогравитирующего газа является результатом взаимодействия сил гравитации и противодавления, поэтому гравитационная неустойчивость более характерна для рассматриваемого класса задач, чем динамика ударных волн. При изучении сложных астрофизических явлений переход к моделированию пространственных течений газа сопровождается появлением новых физических эффектов, которые в других задачах либо отсутствуют, либо проявляются лишь незначительно. В ходе численной реализации неустойчивость Джинса, как физическое свойство решения, приводит к зависимости численного решения от координатных линий. При численном решении астрофизических задач возникает необходимость задания областей нулевой плотности и корректного определения границ газ-вакуум. Рассматриваемые постановки астрофизических задач, характеризующиеся важностью вклада гравитационной энергии и отсутствием больших потоков через границы области, характеризуются влиянием свойства полной консервативности схемы на решение, как и некоторые задачи магнитной газовой динамики и физики разреженной плазмы.

Трехмерность и высокое разрешение современных астрофизических моделей требует больших вычислительных ресурсов. Следовательно, возникает необходимость создания алгоритмов для численной реализации модели на многопроцессорной вычислительной технике. Использование суперкомпьютеров позволяет использовать большие объемы данных, производить ресурсоемкие расчеты на порядки повышать производительность вычислений, а как следствие, получать физически оправданные результаты для астрофизических моделей.

В настоящее время существует большое число методов решения уравнения Пуассона. Оценки алгоритмической сложности и объёма памяти при N3 неизвестных величинах для основных методов приведены в таблице 2.

Таблица 2. Алгоритмическая сложность методов решения уравнения Пуассона

Алгоритм Временная сложность Объём памяти Кол-во ПЭ Временная сложность параллельной реализации

LU-разложение для плотной матрицы N9 N6 N6 N3

LU-разложение для ленточной матрицы N6 N5 N3 N3

Метод Якоби N6 N3 N3 N3

С использованием заранее заданной обратной матрицы N6 N6 N6 log (N)

Метод сопряженных градиентов N5 N3 N3 N2 log(iV)

LU-разложение для разреженной матрицы N5 N3\og(N) N3 N2

Красно-черная последовательная верхняя релаксация (SOR-BR) N5 N3 N3 N2

Быстрое преобразование Фурье (FFT) N3\og(N) N3 N3 log (N)

Многосеточный метод (MG) N3 N3 N3 log2(JV)

На практике используются три последних метода. Так как число процессоров p<s:N3, то характеристики параллельных реализаций можно представить в таблице 3.

Таблица 3. Алгоритмическая сложность основных параллельных методов решения уравнения Пуассона

Метод Алгоритмическая Количество Объём сложность сообщений сообщений

Красно-черная последовательная N5/ N2 NVB верхняя релаксация (SOR-BR) /Р /р

Быстрое преобразование Фурье N3log(N)/ 4р N3/

FFT) /Р / Р

Многосеточный метод (MG) log(/>)log(#) log(p)log(M)

Из таблицы видно, что конечный выбор метода для решения уравнения Пуассона напрямую зависит от архитектуры процессорных элементов и связи СуперЭВМ. Так на большинстве кластерных архитектур, которые наиболее распространены, в силе большой латентности необходимо уменьшать количество пересылок данных. Этот факт говорит в пользу решения уравнения Пуассона с помощью быстрого преобразования Фурье. Стоит отметить, что для этой реализации стандартной стала библиотека FFTW [35]. В случае если восстанавливается не поле потенциала, а определяются силы, действующие на частицы, то в основном используются семейства GRAPE-ускорителей [36].

В ходе эксплуатации разработанных кодов помимо численного моделирования астрофизических задач можно получить интересные результаты фундаментального характера, например, построение равновесных конфигураций гравитирующих газовых тел, которые можно получить аналитически только при условии наличия ограничений на газодинамические параметры. Такие конфигурации важны для моделирования коллапса и вспышек сверхновых, газодинамических процессов на этапах образования нейтронных звезд или черных дыр и для моделирования получения условий для появления первичного органического вещества в рамках теории астрокатализа.

Таким образом, актуальными являются построение новых численных моделей и алгоритмов, создание реализующего программного комплекса для суперЭВМ и решение нестационарных трехмерных задач астрофизики в газодинамическом приближении.

Целью работы является разработка и реализация вычислительного инструментария для решения задач гравитационной газовой динамики, включающей: создание новых численных моделей и алгоритмов, адекватно описывающих динамику трёхмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном поле; исследование численных методов решения трёхмерных нестационарных задач гравитационной газовой динамики в декартовых координатах при наличии физической неустойчивости; создание программного комплекса для суперЭВМ для численного моделирования трёхмерных астрофизических газовых объектов различной геометрии; исследование на основе созданных алгоритмов и программ:

• коллапса газового облака,

• модельной задачи центрального столкновения газовых компонент галактик,

• диапазона газодинамических параметров для развития каждого из сценариев центрального столкновения галактик.

Научная новизна работы заключается в:

1. Создании нового численного метода с улучшенными вычислительными характеристиками для решения трёхмерных нестационарных задач гравитационной газовой динамики в декартовых координатах.

2. Разработке на основе созданного численного метода программного комплекса, ориентированного на суперЭВМ, для моделирования динамики трёхмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном поле

3. Исследовании модельной задачи центрального столкновения газовых компонент галактик и определении диапазонов газодинамических параметров для развития каждого из сценариев: слияние, свободный разлёт, разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездного компонента, рассеивание газовых компонент галактик.

Научная и практическая ценность работы заключается в создании пакета программ для суперЭВМ для решения широкого класса задач гравитационной газодинамики. Созданная численная модель динамики самогравитирующего газа и реализующий её пакет программ дают специалистам в области астрофизики эффективный инструмент, который позволяет получать важные, научно обоснованные теоретические выводы, необходимые для понимания не только эволюции газовых компонент взаимодействующих галактик, но и эволюции самих галактик (см. акт о внедрении результатов диссертации института астрономии РАН). В дальнейшем разработанный программный комплекс для суперЭВМ может быть использован для исследования динамики самогравитирующих газовых объектов произвольной геометрии.

Достоверность результатов. Разработанный комплекс программ и используемые в работе модифицированные разностные схемы прошли полное тестирование на модельных задачах, близких по физической постановке к изучаемым явлениям и допускающим аналитическое решение. Газодинамическая часть программного комплекса была протестирована на тестах Годунова. Решение уравнения Пуассона для гравитационного потенциала тестировался на аналитических решениях с разрывной правой частью. На задачах о равновесных конфигурациях самогравитирующего газа было проведено тестирование правильности решения системы уравнений газовой динамики с учётом влияния самосогласованного гравитационного поля. В ходе численного нахождения равновесных конфигураций решение системы выходило на соответствующие автомодельные решения. Правомерность применимости предложенного подхода к численному моделированию подтверждается согласованностью полученных результатов решения задачи коллапса с результатами других авторов. Полученные диапазоны газодинамических параметров развития сценария столкновения галактик соответствуют теоретическим оценкам, основанным на анализе наблюдательных данных. Контроль правильности решения осуществляется выполнением разностных законов сохранения. Сходимость численных методов решения отдельных этапов задачи проверена на последовательности измельчающихся сеток. Результаты работы достаточно полно опубликованы в рецензируемых центральных научных журналах по списку ВАК соответствующего профиля и в материалах конференций.

Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре академика Годунова С.К. «Математика в приложениях» (Новосибирск, ИМ СО РАН, 5 ноября 2009 г.), на семинаре им. К.И. Бабенко под руководством д.ф.-м.н. профессора Брушлинского К.В. (Москва, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 10 декабря 2009 г.), на семинаре «Математическое и архитектурное обеспечение параллельных вычислений» под руководством д.т.н. профессора Малышкина В.Э. (Новосибирск, ИВМиМГ СО РАН, 14 октября 2009 г.), на семинарах «Математическое моделирование больших задач» под руководством д.ф-м.н. профессора Вшивкова В.А. (Новосибирск, ИВМиМГ СО РАН), на Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 12-14 апреля

2005 г., 11-13 апреля 2006), на Международном рабочем совещании «Происхождение и эволюция биосферы» (Новосибирск, 26-29 июня 2005 г.), на Конференциях молодых учёных ИВМиМГ СО РАН (Новосибирск, 3-6 апреля 2006 г., 22-25 апреля 2008 г., 21-24 апреля 2009 г.), на V Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Санкт-Петербург, 15-18 апреля 2008 г.), на Молодёжной международной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 10-20 августа 2009 г.), на Всероссийской конференции «Математика в приложениях» (Новосибирск, 20-24 июля 2009 г.), на Международной конференции «Parallel Computing Technologies (РаСТ-2009)» (Новосибирск, 31 августа - 3 сентября 2009 г.).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 134 наименований. Полный объем работы - 103 страницы, включая 43 рисунка и 6 таблиц.

Выводы по третей главе:

В третей главе исследована динамика самогравитирующих газовых систем. Описана параллельная реализация метода, получены основные характеристики параллельной программы. Исследованы равновесные конфигурации вращающегося самогравитирующего газа и задачи о коллапсе. Показано преимущество созданного метода над методом сглаженных частиц при моделировании областей с высоким градиентом плотности. Впервые исследована модельная задача центрального столкновения газовых компонент галактик. Показано, что сценарием столкновения галактик может быть их слияние, свободный разлёт, разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездной компоненты, рассеивание газовых компонент галактик. Впервые получены диапазоны газодинамических параметров для развития каждого из сценариев центрального столкновения галактик, неизбежных в их плотных скоплениях. Показано, что столкновения ведут не только к появлению приливных деталей и спиралей разных искажений их формы, но и как к их разрушению, так и к образованию в некоторых случаях новых галактик из газа сталкивающихся компонент.

Заключение

Настоящая работа посвящена разработке вычислительных алгоритмов и программного комплекса на их основе для моделирования динамики трёхмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном поле. В работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. Для класса нестационарных задач гравитационной газовой динамики с учётом охлаждения и центрального тела, разработан новый вычислительный алгоритм на основе метода крупных частиц, позволяющий проводить вычислительные эксперименты по изучению динамики самогравитирующего газа в трёхмерной постановке в широком диапазоне параметров.

2. На основе предложенных алгоритмов создан и протестирован программный комплекс для суперЭВМ. Его функциональные возможности включают в себя: получение решения, инвариантного относительно поворота, моделирование границы газ-вакуум, оценку точности полученного решения, задание функции охлаждения, вклада в потенциал от центрального тела, минимизацию дисбаланса энергий. Программный комплекс позволяет проводить вычислительные эксперименты, результаты которых могут быть использованы для исследования астрофизических модельных задач столкновения галактик, коллапса, получения равновесных вращающихся конфигураций.

3. Выполнен цикл вычислительных экспериментов, позволивших

• показать преимущество предложенного метода над методом сглаженных частиц (SPH) при моделировании областей с высоким градиентом плотности;

• впервые исследовать модельную задачу центрального столкновения газовых компонент галактик; показать, что сценарием столкновения галактик может быть их слияние, свободный разлёт, разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездной компоненты, рассеивание газовых компонент галактик;

• впервые получить диапазоны газодинамических параметров для развития каждого из сценариев центрального столкновения галактик, неизбежных в их плотных скоплениях. Показано, что столкновения ведут не только к появлению приливных деталей и спиралей разных искажений их формы, но и как к их разрушению, так и к образованию в некоторых случаях новых галактик из газа сталкивающихся компонент.

Полученные результаты подтверждают существующие теоретические оценки и согласуются с данными наблюдений. Разработанные численная модель и комплекс программ позволяют проводить вычислительные эксперименты динамики трёхмерных астрофизических газовых объектов различной геометрии.

1. Тутуков А.В. Роль внешних факторов в эволюции галактик // Астрономический журнал, 2006, т. 83, № 6. с. 496-508

2. R. Feldmann, С. М. Carollo, L. Mayer et al. The Evolution of Central Group Galaxies in Hydrodynamical Simulations, astro-ph/0906.3022

3. Барская И.С., Мухин С.И., Чечеткин B.M. Математическое моделирование равновесных конфигураций самогравитирующего газа. // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН № 41, Москва, 2006

4. Boss А.Р. Collapseand equilibrium of Rotating, Adiabting Clouds // Astrophysical Journal, 1980, v. 242, pp. 699-709

5. Black D.C., Bodenheimer P. Evolution of rotating interstellar clouds // I-Numerical techniques. Astrophysical Journal, 1975. v. 199, p. 619

6. Bodenheimer P., Tscharnuter W. A comparison of two independent calculations of the axisymmetric collapse of a rotating protostar // A&A, 1979, v. 74, pp. 288-293

7. Ardeljan N.V., Bisnovatyi-Kogan G.S., Moiseenko S.G., et al. An implicit Lagrangian code for the treatment of nonstationary problems in rotating astrophysical bodies // Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 1996. v. 115, pp. 573-594

8. H.B. Арделян, Г.С. Бисноватый-Коган, С.Г. Моисеенко. Механизмы взрыва сверхновых: магниторотационный механизм. // Успехи физ. наук, 1998, т. 168, с. 1128-113

9. Снытников В.Н. Абиогенный допланетный синтез пребиотического вещества. // Вестник РАН, т. 77, № 3, 2007, с. 218 226

10. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений // М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2001. 608 с.

11. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики.// Математический сборник, №47, вып. 3, 1959. стр. 271-306

12. Годунов С.К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики \\ М: Наука, 1976.

13. Gingold R.A., Monaghan J.J., Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars // Mon. Not. R. Astron. Soc., 1977, v. 181, pp. 375389

14. Luci L.B., A numerical approach to the testing of the fission hypothesis // Astrophys. J., v. 82, № 12, 1977. pp. 1013-1024

15. Attwood R.E., Goodwin S.P., Whitworth A.P. Adaptive Smoothing Length in SPH, astro-ph/0701909

16. Helly J.C., Cole S., Frenk C.S., et al. A Comparison of gas dynamics in SPH and semi-analitic models of galaxy formation, astro-ph/0202485

17. Springel V., Hernquist L. Cosmological SPH Simulations: The Entropy Equation // Mon. Not. R. Astron. Soc., v. 333, 2002, p. 649

18. Marri S., White D.M., Smoothed Particle Hydrodynamics for Galaxy Formation Simulations: Improved Treatments of Multiphase Gas, of Star Formation and of Supernovae Feedback, astro-ph/0207448

19. Sijacki D., Springel V. Physical Viscosity in Smoothed Particle Hydrodynamics Simulations of Galaxy Clusters, astro-ph/0605301

20. Collela P., Woodward P.R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations // J. Сотр. Phys., 1984, v. 54, p. 174-201

21. Norman M.L. The Impact of AMR in Numerical Astrophysics and Cosmology // Lecture Notes Comput. Sci. Engng. 2005. V. 41. P. 413-430.

22. Couchman H.M.P., Pearce F.R., Thomas P. A. Hydra Code Release, astro-ph/9603116

23. Wadsley J.W., Stadel J., Quinn T. Gasoline: a flexible, parallel implementation of TreeSPH // New Astronomy, v.9, i.2, 2004. pp. 137-158

24. Matthias S. GRAPESPH: cosmological smoothed particle hydrodynamics simulations with the special-purpose hardware GRAPE // MNRAS, v.278, i.4, 1996, pp. 1005-1017

25. Springel V. The cosmological simulation code GADGET-2 // MNRAS, v.364, i.4, 2005. pp. 1105-1134

26. Ziegler U. Self-gravitational adaptive mesh magnetohydrodynamics with the NIRVANA code // A&A, v. 435, 2005. p.385

27. Mignone A., Plewa Т., Bodo G. The Piecewise Parabolic Method for Multidimensional Relativistic Fluid Dynamics // ApJ, v. 160, 2005. p.99

28. Brandenburg A. Computational aspects of astrophysical MHD and turbulence, astro-ph/0109497

29. Hayes J., Norman M., Fiedler R., Bordner J., Shing Li P., Clark S. et al. Simulating Radiating and Magnetized Flows in Multiple Dimensions with ZEUS-MP // ApJS, v.165, 2006. pp. 188-228

30. URL: http://www.hdfgroup.org/

31. Лазарева Г.Г, Современные численные модели гравитационной газовой динамики //ВестникНГУ. Серия: математика, механика, информатика, № 1. 2009

32. Plewa Т, Numerical Hydrodynamics: SPH vs AMR // The Formation of Binary Stars, ASP Conference Series. 2000. v.3. p.563

33. O'Shea В., Nagamine K., Springel V., et al. Comparing AMR and SPH Cosmological Simulations: I. Dark Matter and Adiabatic Simulations // ApJS, v. 160, i.l, 2005. pp.l-27

34. Kravtsov A., Nagai D., Vikhlinin A. Effects of Cooling and Star Formation on the Baryon Fractions in Clusters // ApJ, v.625, 2005. p. 588-59835. URL: http://fftw.org/

35. URL: http://grape-dr.adm.s.u-tokyo.ac.jp/system-en.html

36. Снытников B.H., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Никитин С.А., Пармон В.Н., Снытников А.В. Численное моделирование гравитационных систем многих тел с газом//Вычислительные технологии. 2002. т. 7., № 3. стр. 72-84.

37. Riazi N., Bordbar M.R. Generalized Lane-Emden Equation and the Structure of Galactic Dark Matter // International Journal of Theoretical Physics, v.45, №3, 2006. pp. 483-498

38. Kireev S., Kuksheva E., Snytnikov A., Snytnikov N., Vshivkov V. Strategies for Development of a Parallel Program for Protoplanetary Disc Simulation // In: Parallel Computing Technologies, Proc. PaCT-2007, Springer, LNCS 4671, pp. 128-139, 2007.

39. Поляченко В.JI., Фридман А.М. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем // М.:Наука,1976.

40. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики // М.:Наука, 1981. с.368

41. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики // М.:Наука, 1975, с. 352

42. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике // М.:Наука, 1968

43. Inaba S., Barge P. et al. A two-phase code for protoplanetary disks // A&A. № 431, 2005. p.365

44. Calder A.C., Fryxell В., Plewa Т., etal. On validating an astrophysical simulation code //ApJS. №143.2002. p.201

45. Того Е. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics // Springer-Verlag. Second Edition, 1999

46. Courant R., Isaacson E., Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite difference // Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 5, № 3,1952. pp. 243-255

47. Roe P. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes // Journal of Computational Physics archive, vol. 135 , issue 2, 1997. pp. 250-258

48. Engquist В., Osher S.J. One-sided difference approximations for nonlinear conservation laws //Mathematics of Computation, vol. 36, № 154, 1981. pp. 321-351

49. Harten A., Lax P.D., van Leer B. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // Society for Industrial and Applied Mathematics Review, vol. 25, № 1, 1983. pp. 35-61

50. Einfeld B. On Godunov-type methods for gas dynamics // Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Numerical Analysis, vol. 25, № 2, 1988. pp.294-318

51. Batten P., Clarke N., Lambert C., Causon D.M. On the Coice of Savespeeds for the HLLC Riemann Solver // Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Computing, vol. 18, № 6, 1997. pp. 1553-1570

52. Того E.F., Spruce M., Speares S. Restoration of the Contact Surface in the HLL Riemann Solver // Shock Waves, vol. 4, № 1, 1994. pp. 25-34

53. Сафронов A.B. Разностный метод решения нестационарных уравнений газодинамики на основе соотношений на разрывах // Космонавтика и ракетостроение, вып. 2, № 43, 2006. стр. 152-158

54. Прокопов Г.П. О приближенных реализациях метода Годунова // Препринт ИПМ № 14, Москва, 2007

55. Прокопов Г.П. Контроль энтропии в алгоритмах и расчетах газодинамических течений // Препринт ИПМ № 84, Москва, 2006

56. Галанин М.П., Грищенко Е.В., Савенков Е.Б., Токарева С. А. Применение RKDG метода для численного решения задач газовой динамики // Препринт ИПМ № 52, Москва, 2006

57. Крюков А. А. Численный метод решения систем гиперболических уравнений в частных производных // Препринт № 84, ИПМ, Москва, 2007

58. Семенов А.Ю. Характеристический метод построения гибридных разностных схем. Приложения к газовой динамике // Препринт ИОФ № 32, Москва, 1988

59. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике // М. :Наука, 1982

60. Вшивков В.А., Григорьев Ю.Н. Численные методы «частицы-в-ячейках» // Учебное пособие / НГУ. Н.:1996.148с.

61. Куликов И.М. Трехмерное моделирование самогравитирующего газа // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2008. № 47. стр. 142-150.

62. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике // Наука: Москва, 1970г.

63. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Куликов И.М. Операторный подход для численного моделирования гравитационных задач газовой динамики // Вычислительные технологии. 2006. т. 11., № 3. стр. 27-35.

64. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики // М.: Наука, 1992. 424 с.

65. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Киреев С.Е., Куликов И.М. Параллельная реализация модели газовой компоненты самогравитирующего протопланетного диска на суперЭВМ. //Вычислительные технологии. 2007. т. 12., № 3. стр. 38-52

66. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Куликов И.М. Модификация метода крупных частиц для задач гравитационной газовой динамики. // Автометрия. 2007. т. 43., № 6. стр. 56-65

67. Попов М.В., Устюгов С.Д., Чечеткин В.М. Численное моделирование крупномасштабной неустойчивости при взрыве сверхновой II типа // Математическое моделирование: Проблемы и результаты. М.: Наука, 2003, стр. 95-122

68. Четверушкин Б.Н., Тишкин В.Ф. Применение высокопроизводительных многопроцессорных вычислений в газовой динамике // Математическое моделирование: Проблемы и результаты. М.: Наука, 2003, с. 123-168

69. Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованные схемы в газовой динамике // М.: Изд-воМГУ, 1999.

70. Шильников Е.В., Шумков М.А. Моделирование трехмерных нестационарных течений газа на МВС с распределенной памятью // Мат. Моделирование, 2001, т. 13, № 4, стр. 35-46

71. Balls G.T., Baden S.B., Colella P. SCALLOP: A Highly Scalable Parallel Poisson Solver in Three Dimensions // Supercomputing, 2003

72. Nipoti C. Dissipationless collapse, weak homology and central cores of elliptical galaxies, astro-ph/0605260

73. Shirokov A., Bertschinger E. GRACOS: Scalable and Load Balanced P3M Cosmological N-body Code, astro-ph/0505087

74. Genovese L., Deutsch Т., Neelov A., Goedecker S., Beylkin G. Efficient solution of Poisson's equation with free boundary conditions, cond-mat/0605371

75. Четверушкин Б.Н. Проблемы эффективного использования многопроцессорных вычислительных систем // Информац. технологии и вычисл. системы, 2000, № 2, стр. 22-34

76. Kochevsky A.N. Possibilities for simulation of fluid flows using the modern CFD software tools, physics/0409104

77. Frenk C.S. et al. The Santa Barbara Cluster Comparison Project: A Comparison of Cosmological Hydrodynamics Solutions // The Astrophysical Journal, Volume 525, Issue 2, pp. 554-582

78. Kraeva M.A., Malyshkin V.E. Assembly technology for parallel realization of numerical models on MBVED-multicomputers // Future Generation Сотр. Syst., № 17 v. 6, 2001. pp.755-765

79. Snytnikov N., Vshivkov V., Snytnikov V. Study of 3D Dynamics of Gravitating Systems Using Supercomputers: Methods and Applications // LNCS, v. 4671, 2007. pp. 162 173

80. Snytnikov A., Vshivkov V. A multigrid parallel program for protoplanetary disc simulation//LNCS, v. 3606, 2005. pp. 457-468

81. Абакумов M.B., Мухин С.И., Попов Ю.П. О некоторых задачах гравитационной газовой динамики // Мат. моделирование, т. 12, №3, 2000, с. 110-120

82. Тассуль Ж.Л. Теория вращающихся звезд // М. Наука, 1982. 472с.

83. Зельдович Я.Б., Блинников С.И., Шакура Н.И. Физические основы строения и эволюции звезд // М.: Изд-во МГУ, 1981.

84. Сурдин В.Г. Рождение звёзд //М.: Эдиториал УРСС, 1999. 232 с.

85. В. Rybakin, N. Shider. Computer modeling of multidimensional problems of gravitational gas dynamics on multiprocessor computers // Computer Science Journal of Moldova, vol.17, no. 1(49), 2009. pp. 3-13

86. Hubble E. P. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 15, pp. 168-173, 1929

87. E. Hubble. The Realm of the Nebulae. New Haven, Conn.: Yale University Press, 1936

88. Yu J., Peebles P. Superclusters of Galaxies? // ApJ, v. 158, 1969. p 103

89. H. Shapley, Harward obs. Bull., 896, 3 (1934)

90. Ch. J. Conselice. The Assembly History of Massive Galaxies: What Do We Know? astro-ph/0706.3482

91. C. Rodriguez, G. B. Taylor, R. T. Zavala, Y. M. Pihlstrom, A. B. Peck. HI Observations of the Supermassive Binary Black Hole System in 0402+379, astro-ph/0902.4444

92. T. Naab, J.P. Ostriker. Are Disk Galaxies the Progenitors of Giant Ellipticals // ApJ, v. 690,1. 2, 2009. p. 1452-1462

93. D. Gadotti, G. Kaufmann. The growth of supermassive black holes in pseudo-bulges, classical bulges and elliptical galaxies, astro-ph/0811.1219

94. G. Foreman, M. Volonteri, M. Dotti. Double quasars: probes of black hole scaling relationships and merger scenarios, astro-ph/0812.1569

95. F. Schweizer. Merger-Induced Starbursts, astro-ph/0502111

96. M. Sol Alonso, D. Lambas, P. Tissera, G. Coldwell. Active galactic nuclei and galaxy interactions//MNRAS, v. 375,1. 3, 2007, p. 1017-1024

97. F. Hartwick. Merger-Induced Globular Cluster Formation and Galaxy Evolution // ApJ, v. 691,1. 2, 2009. p. 1248-1253

98. S. Kaviraj, S. Peirani, S. Khochfar, J. Silk, S. Kay. The role of minor mergers in the recent star formation history of early-type galaxies, astro-ph/0711.1493

99. M. Faundez-Abaus, V. Reshetnikov, M. de Oliveira-Abaus. UGC 7388: a galaxy with two tidal loops, astro-ph/0902.0128

100. I. Ferreras, T. Lisker, A Pasquali et al. On the formation of massive galaxies: A simultaneous study of number density, size and intrinsic colour evolution in GOODS, astro-ph/0901.4555

101. F. Hammer. The elaboration of spiral galaxies: morpho-kinematics analyses of their progenitors with IMAGES, astro-ph/0902.0361

102. Тутуков А.В., Федорова А.В. Роль близких прохождений галактик и ассиметрии их темного гало в формировании спирального узора // Астр. Ж., 2006, т. 83, № 9, с. 1-18

103. Т. R. Lauer, S. М. Faber, К. Gebhardt et al. The Centers of Early-Type Galaxies with Hubble Space Telescope. V. New WFPC2 Photometry // The Astronomical Journal, v. 129, № 5, 2005. pp. 2138-2185

104. P. Saracco, M. Longhetty, S. Andreon, The population of early-type galaxies at l<z<2 New clues on their formation and evolution, astro-ph/0810.2795

105. A. van der Wei, B. Holden, A. Zizm et al. Recent Structural Evolution of Early-Type Galaxies: Size Growth from z=l to z=0, astro-ph /0808.0077

106. I. Karachentsev, V. Karachentseva, W. Huchtmeier, D. Makarov. A Catalog of Neighboring Galaxies // The Astronomical Journal, v. 127, № 4, 2004. pp. 2031-2068

107. J. Feldmeier, J. Mihos, H. Morrison et al. Deep CCD Surface Photometry of Galaxy Clusters. II. Searching for Intracluster Starlight in Non-cD clusters // ApJ, v. 609, № 2, 2004. pp. 617-637

108. K. Tran, P. van Dokkum, M. Franx et al. Spectroscopic Confirmation of Multiple Red Galaxy-Galaxy Mergers in MS 1054-03 (z = 0.83) // ApJ, v. 627, №> 1, 2005. pp. L25-L28

109. T. Kaufmann, L. Mayer, B. Moore et al. High resolution SPH simulations of disk formation in CDM halos; resolution tests, astro-ph/0412348

110. H. Newberg, B. Yanny. The Halo of the Milky Way, astro-ph/0502386

111. C. Conselice. Galaxy Mergers and Interactions at High Redshift, astro-ph/0610662

112. S. Jogee, S. Miller, K. Penner, et al. History of Galaxy Interactions and their Impact on Star Formation over the Last 7 Gyr from GEMS, astro-ph/0903.3700

113. D. Bizyaev, A. Moiseev, E. Vorobyov. Propagating Star Formation in the Collisional Ring Galaxy Arp 10 // ApJ, v. 662, № 1, 2007. pp. 304-321

114. C. Brook, S. Richard, D. Kawata et al. Two Disk Components from a Gas-Rich Disk-Disk Merger // ApJ, v. 658, № 1, 2007. pp. 60-64

115. C. Struck. Galaxy Collisions Dawn of a New Era, astro-ph/0511335

116. T. Saitoh, H. Daisaka, E. Kokubo et. al. Toward First-Principle Simulations of Galaxy Formation: II. Shock-Induced Starburst at a Collision Interface During the First Encounter of Interacting Galaxies, astro-ph/0805.0167

117. P. Lagos, E. Telles, C. Munoz-Tunon et. al. On the compact НП galaxy UM 408 as seen by GMOS-IFU: Physical conditions, astro-ph/0904.1966

118. P. Temi, F. Brighenti, W. Mathews. Evidence of Star Formation in Local SO Galaxies: Spitzer Observations of the Sauron Sample // ApJ, v. 695, № l, 2009. p. 1-11

119. D. Block, F. Bournan. F. Combles et. al. An almost head-on collision as the origin of two off-centre rings in the Andromeda galaxy, astro-ph/0610543

120. C. Lagos, N. Padilla, S. Cora. Cosmic queuing: galaxy satellites, building blocks and the hierarchical clustering paradigm, astro-ph/0901.1879

121. S. Tonessen, G. Bryan. Gas Stripping in Simulated Galaxies with a Multiphase ISM, astro-ph/0901.2115

122. Iben I., Tutukov A.V. Cooling of low-mass carbon-oxigen dwarfs from the planetary nucleus stage through the cristallization stage // ApJ, v.282, 1984. p. 615-630

123. K. Stewart, J. Bullock, E. Barton et al. Galaxy Mergers and Dark Matter Halo Mergers in LCDM: Mass, Redshift, and Mass-Ratio Dependence, astro-ph/0811.1218

124. T. Oosterloo, J. van Gorkom. A large H I cloud near the centre of the Virgo cluster // A&A, v. 437, L 19, 2005

125. K. Bekki, B. Koribalski, V. Kilborn. Dark galaxies or tidal debris ? Kinematical clues to the origin of massive isolated HI clouds // MNRAS, v. 363, 2005. L21

126. M. Girardi, M. Mezzetti. Evolution of the Internal Dynamics of Galaxy Clusters // ApJ, v. 548, № 1, 2001. pp. 79-96

127. M. Branchesi, I. Gioia, C. Fanti et al. High redshift X-ray galaxy clusters. П. The LX-T relationship revisited, astro-ph/0706.3277

128. S. Sasaki. A New Method to Estimate Cosmological Parameters Using Baryon Fraction of Clusters of Galaxies, astro-ph/9611.033

129. R. Sutherland, M. Dopita. Cooling functions for low-density astrophysical plasmas // ApJSS, v. 88, 1993. pp. 253-327