автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование динамики гравитирующего диска на суперЭВМ

1 Введение

2 Обзор литературы

2.1 Обзор исследований астрофизических дисков.

2.1.1 Описание структуры галактики.

2.1.2 Основные понятия теории волн плотности.

2.1.3 Оценка влияния столкновительных процессов.

2.1.4 Оценка релятивистской поправки.

2.1.5 Протопланетные диски.

2.2 Обзор вычислительных методов.

2.2.1 Обзор методов и программ моделирования гравитирующих систем.

2.2.2 Обзор методов решения уравнения Пуассона.

2.2.3 Обзор работ по многосеточному методу.

3 Исходные уравнения

3.1 Уравнение Власова-Лиувилля.

3.2 Уравнение Пуассона.

3.3 Уравнения газовой динамики.

4 Численные методы

4.1 Решение кинетического уравнения.

4.2 Решение уравнений газовой динамики

4.2.1 Уравнения Эйлерова этапа метода крупных частиц.

4.2.2 Разностная схема для эйлерова этапа метрда крупных частиц

4.2.3 Уравнения для Лагранжева этапа метода крупных частиц

4.2.4 Решение уравнения температуры газа.

4.2.5 Тесты.

4.3 Решение уравнения Пуассона.

4.3.1 Граничные условия.

4.3.2 Переход к системе линейных алгебраических уравнений

4.3.3 Методы решения.

4.3.4 О преимуществе итерационных методов.

4.3.5 Метод блочной последовательной верхней релаксации

4.3.6 GMRES.

4.3.7 Многосеточный метод.

4.3.8 Тесты.

5 Параллельная реализация численных методов

5.1 Применение сборочной технологии.

5.2 Декомпозиция области.

5.3 Метод частиц.

5.4 Уравнение Пуассона.

5.5 Оценка времени работы программы.

6 Численные эксперименты

6.1 Устойчивость диска.

6.1.1 Инкременты неустойчивости.

6.1.2 Эволюция диска.

6.1.3 Влияние динамической температуры на устойчивость диска

6.1.4 Модифицированная скорость Тумре.

6.1.5 Разогрев диска.

6.1.6 Сравнение с наблюдениями.

6.2 Неустойчивость двухфазного диска.

6.2.1 Описание экспериментов.

6.2.2 Азимутальная неустойчивость.

6.2.3 Порог неустойчивости.

6.3 Солитоноподобные структуры.

6.3.1 Параметры расчетов

6.3.2 Влияние сетки на качество расчета.

6.3.3 Поведение солитоноподобных волн.

6.3.4 Структура солитоноподобной волны

Диски являются фундаментальным понятием астрофизики, причина этого состоит в том, что существенная часть наблюдаемого вещества находится в системах, по внешнему виду напоминающих диски [1], к ним относится большинство галактик. Но и в самих галактиках диски встречаются достаточно часто: наблюдаются протозвезды - совсем молодые, только рождающиеся звезды, окруженные дисками. Из газопылевых дисков возникают планеты, дискообразные системы имеются вокруг планет - примерами могут служить кольца Сатурна, Юпитера, Нептуна. Итак, в природе имеется целая иерархия дисков. По-видимому, впервые понятие астрофизического диска возникло в предложенной Лапласом теории образования Солнечной системы.

Физические условия в перечисленных выше системах чрезвычайно многообразны. Вещество дисков выступает в форме звезд, газовых облаков, газа, пыли; спектр температур лежит в широчайших пределах от десятков до миллионов градусов. Дискообразные объекты объединяет между собой прежде всего то, что существуют они благодаря совместному действию вращения и гравитации. Диски различаются не только пространственными масштабами (от сотен километров до сотен килопарсек), но и характерными временами процессов -от долей секунд до миллиардов лет. Несмотря па все бросающиеся в глаза различия, диски во многих случаях обнаруживают большое сходство в отношении протекающих в них физических процессов.

В физике дисков существует несколько нерешенных проблем, в частности:

• проблема формирования планет из газопылевого протопланетного диска, в особенности газовых гигантов [2]

• проблема эволюции вещества в галактиках [3]

• проблема происхождения спиралыюго узора в галактических дисках [4]

Для решения этих проблем необходимо численное моделирование [5].

Вышеперечисленные проблемы имеют общую особенность: в дисках галактик, также как и в протопланетных дисках, можно выделить две фазы вещества. В протопланетном диске это газ и твердые тела размером порядка метра, в галактическом диске - газ и звезды. В динамике газовой фазы существенную роль играют столкновения. Другая фаза, состоящая из звезд либо твердых тел, которая будут далее условно называться фазой частиц, является практически бесстолкновительной. Таким образом, актуальным является моделирование двухфазного диска с гравитацией.

Задача динамики диска является нестационарной и существенно трехмерной. Как показано в [1], при наличии центрального тела, масса которого более чем в 5 раз превышает массу диска, диск, содержащий газовую фазу и фазу частиц, может рассматриваться как двумерный. Для решения этой задачи была создана гибридная модель [6, 7], состоящая из расчета бесстолкновительного движения частиц путем решения уравнения Власова-Лиувилля и решения уравнений газовой динамики в гравитационном поле. Гравитационное поле в этой модели складывается из двух частей: самосогласованное поле диска, которое определяется из уравнения Пуассона и поле центрального тела.

Сложность этой модели заключается в принципиальной пространственной трехмерности уравнения Пуассона и необходимостью проследить за индивидуальным движением большого числа частиц. Количество модельных частиц определяет точность восстановления функции распределения по скоростям и по координатам, содержащейся в уравнении Власова—Лиувилля. Для персональных ЭВМ число отслеживаемых частиц достигает миллионов во всей области с приблизительно 104 ячейками, что обеспечивает в среднем сотни частиц в ячейках и уровень флуктуаций, к примеру, плотности до десяти процентов, так как флуктуации зависят от числа частиц как N-1/2. Для снижения уровня флуктуаций макроскопических параметров хотя бы к 0,1% количество частиц в расчетной области необходимо увеличивать на четыре порядка. Таким образом, для проведения расчетов необходимо использование суперЭВМ.

Цель работы заключается в создании параллельного алгоритма для моделирования двухфазных дисковых гравитирующих систем и численной реализации этого алгоритма. Для этого необходимы:

• разработка быстрых параллельных методов решения уравнения Пуассона;

• параллельная реализация метода частиц в ячейках;

• модификация метода крупных частиц для корректного учета границы газ-вакуум;

• исследование численной модели;

• проведение вычислительных экспериментов на суперЭВМ.

Двухфазный диск с гравитационным полем может считаться двумерным лишь в определенном диапазоне физических параметров (прежде всего - массивное центральное тело) [1]. Расчеты за пределами этого диапазона проводятся с целью исследования свойств самой численной модели.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• создание параллельного алгоритма для моделирования двухфазных дисковых гравитирующих систем и его численная реализация;

• построение метода решения уравнения Пуассона, оптимизированного для решения нестационарной задачи. Основной особенностью предложенного метода являются возможность ускорения счета за счет использования потенциала, полученного на предыдущем временном шаге;

• разработка существенно параллельного метода решения уравнения Пуассона на основе преобразования Фурье;

• увеличение ускорения параллельной программы в результате применения многосеточного метода;

• обнаружение в вычислительных экспериментах неустойчивости, обусловленной взаимным влиянием двух фаз в диске.

Научная ценность работы заключается в создании комплекса программ для моделирования двухфазных дисковых гравитирующих систем на суперЭВМ, исследовании свойств численной модели и изучении устойчивости двухфазных дисковых гравитирующих систем при различных значениях физических параметров. Расчеты динамики двухфазного диска в двумерной постановке могут быть полезны как необходимый фактический материал при переходе к трехмерной постановке задачи, существенно расширяющей возможности численного моделирования. Полученная реализация численной модели двухфазных дисковых гравитирующих систем на суперЭВМ может быть использована при моделировании протопланетных или галактических дисков.

Представленные в диссертации исследования проводились в соответствии с планами ИВМиМГ СО РАН по программе суперЭВМ, в рамках программы 25-2 Президиума РАН "Происхождение и эволюция биосферы", при поддержке интеграционного проекта СО РАН номер 148 и федеральной целевой программы "Интеграция"; поддерживались Российским Фондом Фундаментальных Исследований (проект 02-01-00804, 05-01-00665), а также при частичной поддержке НАСА, грант JURRISS NAG 5-8717.

Достоверность результатов подтверждается тестированием, которое заключается в следующем. По отдельности метод решения уравнения Пуассона и газодинамическая схема были протестированы на стационарных задачах, имеющих аналитическое решение. Сходимость численных методов проверена на последовательности измельчающихся сеток. Дополнительно правильность расчета контролируется с помощью проверки выполнения законов сохранения энергии, массы, момента импульса. Также было произведено тестирование на модельных задачах, близких по физической постановке к изучаемым явлениям и допускающим аналитическое решение. Результаты вычислительных экспериментов по моделированию устойчивости звездной подсистемы сравнивались с аналитическим критерием Тумре [8]. Решение уравнений газовой динамики проверено на задаче о распаде разрыва и истечении газа в вакуум.

Вычислительная часть диссертационной работы отдельно опубликована в центральных реферируемых журналах из списка ВАК и доложена на ряде конференций. Результаты проведенного исследования докладывались на различных (в том числе и международных) конференциях и семинарах отдельно по организации и по проведению расчетов (обоснование расчетной части работы) и отдельно по анализу полученных физических результатов. Результаты работы достаточно полно опубликованы в рецензируемых центральных научных журналах по списку ВАК соответствующего профиля.

Автор защищает:

• параллельный алгоритм для моделирования двухфазных дисковых гравитирующих систем и его численную реализацию;

• параллельный метод решения уравнения Пуассона;

• метод решения уравнения Пуассона, оптимизированный для решения нестационарной задачи;

• модификацию метода крупных частиц решения задач газовой динамики.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 107 страницах, включает библиографический список из 110 наименований работ. Рисунки, формулы, таблицы и библиографические ссылки имеют сквозную нумерацию по всей работе.

7 Заключение

Создан параллельный алгоритм для моделирования двухфазных дисковых гравитирующих систем и его численная реализация. Построен существенно параллельный метод решения уравнения Пуассона. Этот результат получен за счет использования быстрого преобразования Фурье по угловой координате. При этом вследствие линейной независимости гармоник удается полностью избежать межпроцессорных коммуникаций на стадии вычисления фурье-образа гравитационного потенциала. В силу того, что диск считается бесконечно тонким, для расчета движения пылевых частиц и газа необходимы значения потенциала только в плоскости диска. Таким образом, в пересылке участвует лишь один слой трехмерной матрицы потенциала. В результате объем пересылок при решении уравнения Пуассона не превышает 1 % времени.

Разработан метод решения уравнения Пуассона, оптимизированный для решения нестационарной задачи. Трудности, связанные с необходимостью решения трехмерного уравнения Пуассона преодолены за счет использования итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Показано, что использование итерационных методов решения СЛАУ дает серьезные преимущества при решении нестационарной задачи по сравнению с прямыми методами. Приведены сравнительные расчеты, показавшие, что многосеточный метод является наиболее быстрым для плохо обусловленной СЛАУ большой размерности.

Построена модификация метода крупных частиц решения задач газовой динамики, которая заключается в том, что в стандартную схему метода добавлена коррекция газодинамических величин на границе "газ-вакуум", а также перерасчет значений полной энергии газа с учетом температуры, что приводит к снижению количества ошибок в полной энергии. Корректность расчета газовой динамики подтверждена результатами расчетов.

Проведены вычислительные эксперименты по моделированию динамики двухфазной дисковой гравитирующей системы на суперЭВМ.

Получена неустойчивость, обусловленная взаимным влиянием двух фаз в диске. Показано, что при возникновении этой неустойчивости по отдельности и пылевая компонента диска, и газовая являются устойчивыми. Это позволяет утверждать, что азимутальная гравитационная неустойчивость в двухфазном диске возникает именно вследствие взаимодействия газовой фазы и фазы частиц.

Исследованы свойства солитоноподобных волн в двухфазном диске с гравитационным полем. Приведены различные варианты солитоноподобных волн, полученные в вычислительных экспериментах. Показаны эффекты, связанные с такими волнами: поглощение уединенной волны плотности и полная неподвижность солитоноподобной волны в потоке вещества. Подробно рассмотрены физические параметры среды в окрестности солитоноподобной волны. В частности, плотности пыли и газа в солитоноподобной волне оказывается на несколько порядков больше, чем в окружающем диске.

1. Морозов А.Г., Хоперсков А.В. Физика Дисков, http://www.astronet.ru:8101/db/msg/1169400

2. Boss A.P. Protostars and protoplanetary disks. //Astrophysics and Space Science 255: 15-23, 1998.

3. Bertin G. Dynamics of Galaxies. //Cambridge University Press, 2000.

4. Ефремов Ю.Н., Корчагин В. И., Марочник JI.C., Сучков А. А. // УФН. 1989. Т. 157. С. 599.

5. Пармон В.Н., Снытников В.Н. Жизнь создает планеты? //"Наука из первых рук", январь 2004.

6. Snytnikov V.N., Vshivkov V.A., Parmon V.N. Solar Nebula as a Global Reactor for synthesis of Prebiotic Molecules// in 111Л Int. Conf. on the Origin of Life, p.65, Orleans, Prance, July 5-12, 1996.

7. Снытников B.H., Вшивков B.A., Дудникова Г.И., Никитин С.А., Пармон В.Н., Снытников А.В. Численное моделирование гравитационных систем многих тел с газом. //Вычислительные технологии. Том, № 3, 2002, с. 73-84.

8. Toomre A. On the gravitational stabilty of a disc of stars. //Astrophys. J. 1964. V. 139. P. 1217.

9. Григорьев Ю.Н., Вшивков В.А. "Численные методы "частицы-в-ячейках".// Новосибирск: "Наука", 2000.

10. Boris J.P. Relativistic plasma simulation optimization of a hybrid code. //Proc. Fourth Conf. Num. Sim. Plasmas, Washington, P. 3-67, 1970.

11. Вшивков В.А., Кукшева Э.А., Никитин C.A., Снытников А.В., Снытников В.Н. О параллельной реализации численной модели физики гравитирующих систем. //Автометрия, том. 39, номер 3, 2003, с. 115-123.

12. Вшивков В.А., Малышкин В.Э., Снытников А.В., Снытников В.Н. Численное моделирование гравитационной динамики многих тел методом частиц в ячейках: параллельная реализация. // СибЖВМ, том 6, номер 1, 2003, с. 25-36.

13. Snytnikov A.V. A Parallel Program for Simulation of Disc-Shaped Self-Gravitating Systems.// Bull.Nov.Comp.Center, Сотр.Science. Vol. 19. (2003). 73-81.

14. Kuksheva E.A., Malyshkin V.E., Nikitin S.A., Snytnikov A.V., Snytnikov V.N., Vshivkov V.A.: Numerical Simulation of Self-Organisation in Gravita-tionally Unstable Media on Supercomputers.// PaCT-2003 proceedings. LNCS 2763. (2003). pp.354-368.

15. Snytnikov V.N., Vshivkov V.A., Neupokoev E.V., Nikitin S.A., Parmon V.N., Snytnikov A.V. Three-Dimensional Numerical Simulation of a Nonstationary Gravitating N-Body System with Gas.// Astronomy Letters, vol. 30, no. 2. (2004). 124-138.

16. Kuksheva E.A., Malyshkin V.E., Nikitin S.A., Snytnikov A.V., Snytnikov V.N., Vshivkov V.A. Supercomputer Simulation of Self-Gravitating Media. //Future Generation Computer Systems, vol. 21. (2005). pp. 749-757.

17. Snytnikov A.V., Vshivkov V.A.: A Multigrid Parallel Program for Protoplan-etary Disc Simulation. //PaCT-2005 proceedings. LNCS 3606. (2005). pp. 457-467.

18. Snytnikov A.V., Vshivkov V.A. Analysis of solitons in protoplanetary disc with MVS-1000M. //Bull.Nov.Comp.Center, Comp.Science. Vol. 22 (2005). pp. 95-107.

19. A.B.Снытников. Параллельная програма для решения больших задач звездной динамики.// Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск, 2002, с. 145-148.

20. А.В.Снытников. Решение задач гравитационной динамики на многопроцессорных вычислительных системах. //Тезисы международного научно-практического семинара "Высокопроизводительные вычисления на кластерных системах", Нижний Новгород, 2002. с. 268-274.

21. А.В.Снытников. Комбинированный параллельный алгоритм для решения задач гравитационной динамики. //Избранные материалы 2-й школы-семинара "Распределенные и кластерные вычисления", Красноярск, 2002, с. 209-215.

22. Lindblad В. // Stockholm Obs. Ann. 1963. V. 22. P. 3.

23. Lin C.C., Shu F.H. //Astrophys. J. 1964. V. 140. P. 646.

24. Михайловский А.Б. // Теория плазменных неустойчивостей, том 1. М: "Атомиздат", 1976.

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Теория поля. М: "Наука", 1976.

26. Курт В.Г. Физика Космоса: маленькая энциклопедия. 1986.

27. Boss А.P. Temperatures in Protoplanetary Disks. //Annual Reviews of Earth and Planetary Sciences, 26, pp. 53-80.

28. Boss A.P. The Origin of Protoplanetary Disks. //In Origins, eds. С. E. Woodward, J. M. Shull, and H. A. Thronson, Jr., (San Francisco: ASP), ASP Conference Series, Vol. 148, pp. 314-326.

29. Russell S.S., Boss A.P. Protostars and Planets //Science, 281, 932-933.

30. Krauss O., Wurm G. Photophoresis and the Pile-up of Dust in Young Cir-cumstellar Disks. //2005, accepted to Astrophysical Journal. ApJ preprint doi:10.1086/'432087".

31. Willerding E. Evolutionary processes in protoplanetary accretion disks. //Planet. Space Sci., Vol.43, No. 3/4, pp.283-287, 1995.

32. Willerding E. Evolutionary processes in-protoplanetary accretion disks: the propagation of axisymmetric shock waves. //Planet. Space Sci., Vol.46, No. 11/12, pp.1641-1658, 1998.

33. Willerding E. Wave propagation in protoplanetary disks: Formation of twin planets by 'disc-brown dwarf' collisions? // Planet. Space Sci., Vol.50, pp.235246, 2002.

34. Willacy K., Klahr H.H., Millar T.J., Henning Th. Gas and grain chemistry in a protoplanetary disk. //Astronomy and Astrophysics 338, pp. 995-1005, 1998.

35. Thi W.-F., van Zadelhoff G.-J., van Dishoeck E.F. Organic molecules in protoplanetary disks around T Tauri and Herbig Ae stars. //Astronomy and Astrophysics, v.425, p.955-972 (2004).

36. Snytnikov V.N., Dudnikova G.I., Gleaves J.T., Nikitin S.A., Parmon V.N. , Stoyanovsky V.O., Vshivkov V.A., Yablonsky G.S., Zakharenko V.S. //Adv. Space Res. (2002). Vol. 30, no. 6, pp. 1461-1467.

37. Finocchi F., Gail H.-P. Chemical reactions in protoplanetary accretion disks. III. The role of ionisation processes. //Astronomy and Astrophysics, v.327, p.825-844

38. Schilke P. The Chemistry of Interstellar Hydrogen Cyanide: Observations and Theory. //PhD Thesis, Max-Planck-Institut fur Radioastronomie, Bonn, Germany, 1992.

39. Aikawa Y., Herbst E. Molecular evolution in protoplanetary disks. Two-dimensional distributions and column densities of gaseous molecules. //Astronomy and Astrophysics, v.351, p.233-246 (1999)

40. Aikawa Y., Umebayashi Т., Nakano Т., Miyama S.M., Evolution of Molecular Abundances in Protoplanetary Disks with Accretion Flow. //The Astrophys-ical Journal, Volume 519, Issue 2, pp. 705-725.

41. Nejad L.A.M., Wagenblast R. Time dependent chemical models of spherical dark clouds. //Astronomy and Astrophysics, v.350, p.204-229 (1999).

42. Manweiler J.W. Coagulation Rates in the Protoplanetary Nebula: The effect of asymmetric dust grain charging. //Ph.D. Thesis. University of Kansas, 1997.

43. Pechernikova G.V., Safronov V.S., Zvyagina E.V. Mass distribution of protoplanetary bodies. II. Numerical solution of generalized coagulation equation. //Soviet Astronomy, Vol. 20, p.346, 1976.

44. Dullemond C.P., Dominik C. Dust coagulation in protoplanetary disks: A rapid depletion of small grains. //Astronomy and Astrophysics, 434, 971-986 (2005).

45. Kessler J.E., Blake G.A., Qi C., Brown J. OVRO observations and models of CN, HCN and HNC in protoplanetary disks. //American Astronomical Society, 201st AAS Meeting, Bulletin of the American Astronomical Society, Vol. 34, p.1319.

46. Bujarrabal V., Alcolea J., Sanchez Contreras C., Sahai R. HST observations of the protoplanetary nebula OH 231.8+4.2: The structure of the jets and shocks. //Astronomy and Astrophysics, v.389, p.271-285 (2002)

47. Bujarrabal V., Alcolea J., Neri R., Grewing M. The mass and temperature distribution in the protoplanetary nebula M 1-92: 13CO interferometric observations. // Astronomy and Astrophysics, v.320, p.540-552.

48. Sahai R., Bujarrabal V., Castro-Carrizo A., Zijstra A. The structure and momentum of multiple collimated outflows in the protoplanetary nebula Frosty Leo. //Astronomy and Astrophysics 360, pp. L9-L12, 2000.

49. Guilloteau S., Dutrey A. Physical parameters of the Keperian protoplanetary disk of DM Tauri. //Astronomy and Astrophysics 339, pp. 467-476, 1998.

50. Alves J., Lada C., Lada E. Towards the frequences and evolutionary timescale of protoplanetary disc. //Astrophysics and Space Science 272, pp.213-216, 2000.

51. Mejia A.C., Durisen R.H., Pickett M.K. The Thermal Regulation of Gravitational INstabilities in Protoplanetary Disks. II. Extended Simulations with Varied Cooling Rates. //The Astrophysical Journal, 619, pp. 1098-1113, 2005.

52. Pickett B.K., Durisen R.H., Davis G.A.: The Dynamic Stability of Rotating Protostars and Protostellar Disks. I. The Effects of Angular Momentum Distribution. //Astrophysical Journal. 458. (1996). 714-738.

53. Pickett B.K., Mejia A.C., Durisen R.H., Cassen P.M., Berry D.K., Link R.P. The Thermal Regulation of Gravitational Instabilities in Protoplanetary Disks. //The Astrophysical Journal, Volume 590, Issue 2, pp. 1060-1080.

54. Glassgold A.E., Najita J., Igea J. Heating Protoplanetary Disk Atmospheres. //The Astrophysical Journal, Volume 615, Issue 2, pp. 972-990.

55. Nelson A.F., Benz W., Ruzmaikina T.V. Dynamics of Circumstellar Disks. II. Heating and Cooling. The Astrophysical Journal, Volume 529, Issue 1, pp. 357-390.

56. Ellis R. Galaxy Formation and Evolution: Recent Progress, //2001, in "Lectures in the Xlth Canary Islands Winter School on Astrophysics"

57. Miller R.H. Validity of Disk Galaxy Simulations // J. of Сотр. Phys. 1976, V.21, p.400.

58. Хокни P., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. Пер. с англ.// Москва:"Мир", 1987.

59. Griv Е., Gedalin М., Liverts Е., Eichler D., Kimhi Ye., Chi Yuan. Particle modeling of disk-shaped galaxies of stars on nowadays concurrent supercomputers // NATO ASI "The Restless Universe", http://xxx.lanl.gov/astro-ph/0011445, 2000.

60. Miocchi P., Capuzzo-Dolcetta R. An efficient parallel tree-code for the simulation of self-gravitating systems // A&A, http://xxx.lanl.gov/astro-ph/0104152, 2001.

61. Caretti E., Messina A.: Dynamic Work Dustribution for PM Algorithm. http://xxx.lanl.gov/astro-ph/0005512, (2000).

62. MacFarland Т., Couchman H.M.P., Pearce F.R., Pilchmeier J.: A New Parallel P3M Code for Very Large-Scale Cosmological Simulations. New Astronomy, http://xxx.lanl.gov/astro-ph/9805096. (1998).

63. Bode P., Ostriker J., Xu G.: The Tree-Particle-Mesh N-body Gravity Solver. //ApJS, http://xxx.lanl.gov/astro-ph/9912541. (1999).

64. Springel V. The cosmological simulation code GADGET-2. //Mon.Not.R.Astron.Soc. 000. (2005).

65. Morisset C. Stasinska G., Репа M. Modelling of aspherical nebulae. I. A quick pseudo-3D photoionization code. //Mon.Not.R.Astron.Soc. 000. (2005).

66. Lanzoni В., Guiderdoni В., Mamon G.A., Devriendt J., Hatton J. GALICS VI. Modelling Hierarchical Galaxy Formation in Clusters. //Mon.Not.R.Astron.Soc. 000. 1-17 (2005).

67. Bureau M., Athanassoula E. Bar Diagnostics in Edge-On Spiral Galaxies. III. N-body Simulations of Disks. //Astrophysical Journal, 626:159-173, 2005.

68. Sellwood J. Galaxy dynamics by N-body simulation. //Rutgers University preprint, 1996.

69. Demmel J.W.: Applied Numerical Linear Algebra.// SIAM. (1997).

70. Stuben K. A review of algebraic multigrid. //Jounal of Computational and Applied Mathematics. 128 (2001), pp. 281-309.

71. Wesseling P., Oosterlee C.W. Geometric multgrid with application to computational fluid dynamics. //Jounal of Computational and Applied Mathematics. 128 (2001), pp. 311-334.

72. Zhang J. Multi-level minimal residul smoothing: a family of general purpose multigrid acceleration techniques. //Journal of Computational and Applied Mathematics 100 (1998), pp. 41-51.

73. Zhang J. Two-grid analysis of minimal residul smoothing: as a multigrid acceleration technique. //Applied Mathematics and Computation 96 (1998), pp. 27-45.

74. Kang K.S., Kwak D.Y. Convergence Estimates for Multigrid Algorithms. //Computers Math. Applic. Vol. 34, No.9, pp. 15-22, 1997.

75. Ramage A. A multirid preconditioner for sabilised discretisations of advection-diffusion problems. //Journal of Computational and Applied Mathematics 110 (1999), pp. 187-203.

76. Shapira Y. Note on the multigrid W-cycle. //Journal of Computational and Applied Mathematics 85 (1997), pp. 351-353.

77. Roberts A.J. Simple and fast multigrid solution of Poisson's equation using diagonally oriented grids. //ANZIAM Journal 43 (E), pp. E1-E36, 2001.

78. Gaspar C. An iterative and Multigrid Solution of Boundary Integral Equations. //Computers Math. Applic. Vol. 29, No.7, pp. 89-101, 1995.

79. Carre G., Fournier L., Lanteri S. Parallel linear multigrid algorithms for the acceleration of compressible flow calculations. //Comput. Methods Ap-pl.Mech.Engrg. 184 (2000), pp. 427-448.

80. M.Griebel, G.Zumbusch. Parallel multigrid in an adaptive PDE solver based on hashing and space-filling curves. //Parallel Computing 25 (1999), pp. 827843.

81. Wesseling P. An Introduction to Multigrid Methods. //John Wiley & Sons. 1992.

82. Шайдуров B.B. Многосеточные методы конечных элементов. //Москва: Наука, 1989.

83. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений// ЖВММФ. 1961. Том 1, номер 5, С.922-927.

84. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор. // ЖВММФ, том б, номер 5, 1966, с.861.

85. Коновалов А.Н. Об одном способе построения итерационных процессов. //Известия СО АН СССР, серия техн. наук, № 13, вып. 3, с. 105-108.

86. Chan T.F., Wan W.L. Robust multigrid methods for nonsmooth coefficient elliptic linear systems// Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. Vol.123. P. 323-352.

87. Гилева Jl.B., Шайдуров B.B. Два многосеточных итерационных алгоритма для дискретного аналога бигармонического уравнения. //СибЖВМ, том 7, номер 3, с.213-228, 2004.

88. Гилева JI.B., Шайдуров В.В. Каскадный многосеточный алгоритм в методе конечных элементов для трехмерной задачи Дирихле в области с криволинейной границей. //СибЖВМ, том 5, номер 2, с.127-147, 2002.

89. Березин Ю.Б., Вшивков В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы.// -Н: Наука, 1980

90. Берд Г.А. Молекулярная газовая динамика.// М.:Мир, 1981.

91. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1995.

92. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения).// М: "Высшая школа", 2000.

93. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов многомерных задач математической физики.// Наука:СО,Н-ск,1967г.

94. Barrett R., Berry M., Chan T. F., Demmel J., Donato J., Dongarra J., Eijkhout V., Pozo R., Romine C., Van der Vorst H. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd Edition. // SIAM, Philadelphia, PA,1994.

95. Saad Y. Krylov subspace methods for solving large unsymmetric linear systems, //Math.Comput., 1981, V.37, pp.106-126.

96. Ильин В. П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. //М.: Наука, 1995.

97. Краева M.A., Малышкин В.Э. Динамическая балансировка загрузки в реализации PIC метода на MIMD мультикомпьютерах // Программирование, № 1, 1999.

98. Kraeva М.А., Malyshkin V.E. Implementation of PIC Method on MIMD Multicomputers with Assembly Technology. // In Proceed, of HPCN Europe 1997, LNCS, Vol.1255, Springer Verlag, 1997. pp. 541-549

99. Поляченко B.JI., Фридман A.M. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем, //М: "Наука", 1976.

100. Fuchs В. Density waves in the shearing sheet III. Disc heating. //Mon. Not. R. Astron. Soc, Vol. 1-6, 2001.

101. Abraham R.G., van den Bergh S. Observations of Disk Galaxy Evolution, //in the procedings of "Disks of Galaxies: Kinematics, Dynamics and Perturbations", Vol. iii, 2002.

102. Арцимович JI.A., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. //Атомиздат. 1979.

103. Nikitin S.A., Snytnikov V.N., Vshivkov V.A. Ion-acoustic type instability in protoplanetary disk // Plasma in the Laboratory and in the Universe. AIP Conf. Proc., Vol. 703, pp. 280-283, 2004.