автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование распространения упругих волн в неоднородной среде

На правах рукописи

АНТОНЕНКО Максим Николаевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2004

Работа выполнена в Институте автоматизации проектирования Российской Академии Наук

Научные руководители:

академик РАН, профессор

БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ Олег Михайлович

кандидат физико-математических наук, ОПАРИН Алексей Михайлович

Официальные оппоненты:

академик РАН, профессор

НИКОЛАЕВ Алексей Всеволодович

доктор физико-математических наук, профессор

ПЕТРОВ Игорь Борисович Ведущая организация: Центральная геофизическая экспедиция

Защита состоится « ' » /¿^л 2004 года в 'Ч часов & мин. На заседании Диссертационного совета Д.212.156.02 при Московском физико-техническом институте (Государственном университете) по адресу: 141700, г. Долгопрудный, Московская обл., Институтский пер., д.9,

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского физико-технического института (Государственного университета). Автореферат разослан « » октября 2004 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д.212.156.02, доктор физико-математических наук Лобанов А.И.

2005-4 12744

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Сейсмическая разведка в настоящий момент занимает одно из ведущих мест при поиске и разведке месторождений нефти, газа и других полезных ископаемых наряду с другими методами (например, магнитными), применяемыми в геофизической разведке. Сейсморазведка -это совокупность методов исследований геологического строения земной коры, основанных на изучении распространения в ней упругих волн, возбужденных искусственно. Вызванные ударом или взрывом сейсмические волны распространяются от источника на значительную глубину, где претерпевают преломление и отражение, подобно звуковым и световым волнам, после чего частично возвращаются к поверхности земли, где колебания регистрируются специальной аппаратурой. Анализируя зарегистрированный сигнал можно определить глубину и форму тех геологических границ между отдельными средами, на которых произошло преломление и отражение волны, а также судить о составе пород, через которые прошла волна на своем пути. Сейсморазведка позволяет с высокой точностью определить углы наклона геологических слоев осадочной толщи даже при большой глубине их залегания. В связи с этим сейсмические методы находят широкое применение при решении различных структурно-геологических задач, особенно применительно к геологии нефти и газа.

Сейсморазведка как инженерно-научное направление в геологии существует далеко не один десяток лет. Методики, используемые для обработки и анализа сейсмических данных, постоянно развиваются. Однако, несмотря на видимый прогресс, большинство из них до сих пор базируются на подходах, появившихся еще в докомпьютерную эру, ориентированных в основном на аналитические выкладки на бумаге, применение логарифмической линейки или калькулятора. Другими словами, несмотря на то, что в настоящее время эти методики реализуются на современных вычислительных комплексах, они несут в себе эти атавизмы. Но методы, которые хороши для расчетов с помощью бумаги и калькулятора, как правило, очень далеки от оптимума при переложении их на современные вычислительные комплексы, особенности архитектуры которых нельзя ни учитывать.

Математические модели распространения сейсмического сигнала, используемые в данной работе, основаны на акустической системе уравнений в частных производных (одна скорость распространения слабых возмущений - скорость звука) или на системе уравнений распространения упругих колебаний (две скорости распространения возмущений - добавляется скорость распространения поперечных колебаний). Назовем последнюю модель эластической. В однородной среде эти системы линейны, но нас интересует общий случай неоднородных сред, где поля плотности и скоростей распространения волн могут испытывать разрывы.

В данной работе описываются эффективные численные методики для

моделирования как плоских,

постановок

моделирования прямой задачи распространения сейсмического сигнала. Используется принцип расщепления по пространственным переменным. Одна из используемых численных методик разработана при непосредственном участии автора - это гибридная сеточно-характеристическая явная одношаговая схема для линейных систем уравнений гиперболического типа. Она имеет второй порядок аппроксимации на гладких решениях (как по пространству, так и по времени). Данная схема устойчива для шагов по времени т,

удовлетворяющих условию и не дает нефизических осцилляций на

разрывах решения. Явность схемы позволило эффективно распараллелить программную реализацию модели.

Цель работы заключается в разработке комплекса программ для численного моделирования распространения звуковых волн в упругой среде в приближении малых деформаций, а также в детальном изучении процессов развития волновой картины в сложных неоднородных средах, в первую очередь пористых, для которых d « \ где d - размер одной инклюзии (поры), а X - длина падающей волны.

Научная новизна работы состоит в сеточно-характеристическом обобщении на системы линейных уравнений монотонной гибридной схемы Белоцерковского-Гущина-Коньшина-Щенникова, а также в определении свойств и характеристик отраженной/диффрагированной волны после взаимодействия с пористым упругим объектом (нефтяным коллектором).

Научная и практическая ценность работы. В настоящий момент успешно развиваются системы распознавания образов, искусственного интеллекта, нейронные сети, генетические алгоритмы, системы принятия решений, алгоритмы решения некорректных задач или задач с недостатком начальных данных. Успешное развитие вышеупомянутых технологий было бы невозможно без учета особенностей современных вычислительных систем при построении и реализации алгоритмов, лежащих в основе этих технологий. Это актуально для всех без исключения программных комплексов, включая различные геофизические и сейсмические системы.

Настоящая работа является попыткой объединить достаточно консервативные системы обработки и интерпретации данных, используемые в сейсмологии, с современными достижениями в области компьютерного математического моделирования.

Апробация результатов работы. Материалы, отражающие содержание диссертационной работы, опубликованы в работах [1-13], и докладывались на семинарах Института автоматизации проектирования РАН, а также на: VII и ИХ Российско-Японских симпозиумах по вычислительной гидродинамике (МГУ, г. Москва, Россия, 2000 г.; Sendai, Japan, 2003); XLIV научной конференции МФТИ, 2001 г.; Международной летней школы молодых ученых по математическому моделированию, Ростов-на- Дону, 2002 г.; Научно-практической конференции «Гальперинские чтения», Москва, 2002 г.; Российско-Индийская международная конференция по

суперкомпьютерным вычислениям в науке и технике, Москва, 2003 г.; Российско-Японском семинаре по турбулентности и неустойчивостям, Токио, 2003 г.; Российско-Японском международном симпозиуме "Russia-Japan International Workshop on Turbulence and Instabilities", Москва, 21-24 сентября, 2004 г..

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка цитированной литературы и дополнения. Содержание диссертации изложено на 135 страницах, включает 6 таблиц и 73 рисунка. Список литературы включает 113 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Настоящая работа состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы исследования, кратко излагается содержание диссертации, указывается ее научная новизна и формулируются основные результаты работы, а также дается обзор литературы.

В силу того, что данная работа включает несколько разделов современной науки, логично данный обзор разделить на 4 части. К первой следует отнести работы, посвященные методам численного моделирования, теории построения разностных схем, анализу свойств численных методик. Во второй части будут представлены работы, затрагивающие физику явления распространения звуковых волн в среде, а также работы, описывающие основополагающие уравнения данного явления. Третий раздел посвящен работам в области геофизики, сейсмологии и сейсморазведки. В последний раздел войдут работы по основам работы на параллельных вычислительных системах, использованию их для пространственного математического моделирования.

Первая глава посвящена математической постановке задачи распространения волн в неоднородной упругой среде. Приводятся системы уравнений в двумерной и трехмерной геометриях в обычной и векторной (матричной) записях. Приводятся также собственные числа и матрицы собственных векторов приведенных системы уравнений, применяемые для перевода системы уравнений в базис собственных векторов и обратно. Варианты граничных условий (отражение/«пропускание») и также приведены в данной главе

Вторая глава посвящена применяемым численным методам, а также программной реализации модели. Методы численного моделирования получили значительное развитие во второй половине двадцатого века не только благодаря развитию вычислительных систем, но и благодаря острой потребности считать задачи аэро- газо- динамики и ядерного взрыва. В связи с этим историческим обстоятельством львиная доля всех методов развивается и используется совместно с задачами динамики жидкости и газа, процессов горения и плазмы. Вместе с тем такая историческая «специализация» численных методов вовсе не ограничивает область их

применения только вышеупомянутым классом задач. Разработанные методики для решения систем уравнений газовой динамики с успехом могут применяться для решения других задач, процессы в которых описываются системой уравнений в частных производных гиперболического типа. Характерным примером таких задач является задача распространения звуковых волн в упругой среде.

В работе подробно описывается примененная явная монотонная гибридно-характеристическая схема второго порядка по пространству и времени. Приводятся результаты одномерных тестов данной разностной схемы и сравнение ее с другими разностными схемами. Описано расширение одномерной методики на двумерный и трехмерный векторные случаи.

Построена и запрограммирована модель для решения прямой задачи распространения волн в приближении малых деформаций. В основу одноги из алгоритмов положено сеточно-характеристическое обобщение на системы линейных уравнений монотонной гибридной схемы Белоцерковского-Гущина-Коньшина-Щенникова (успешно используемой в Институте автоматизации проектирования РАН для моделирования задач о динамике несжимаемой жидкости). Данная методика характерна тем, что при ее использовании для решения систем уравнений распространения волн в акустическом и эластическом приближениях, получаемое решение не только устойчиво, но и не возникает нефизичных высокочастотных осцилляций решения, что характерно для ряда методик, в том числе, например, для разностной схемы МсСогтпаск. Это позволяет решать достаточно жесткие задачи с перепадом свойств среды (плотности, скорости звука) в десятки раз при числе Куранта .практически равном 1. Высокое рабочее число Куранта схемы позволяет вести расчеты с шагом по времени, в полтора раза большим, чем для схемы МсСогшаск'а (~0.6, реально 0.45). Это обстоятельство способствует существенному повышению скорости расчета.

В этой же главе представлены численные тесты для решения одномерного уравнения переноса (1). Начальный отрезок [0, 1] разбивается на 1=180 ячеек (Ь=1./1, XI = 0.5Ь + (1 — 1)Ь, 1=1,..., I). Мы использовали значение скорости переноса а= 1, и периодические граничные условия для каждого периода, т е. 5 (х) = Г (х + 1).

Сначала мы тестировали численное решение с гладкими начальными

данными о ~ 5Ш(2л'->г) Заметим, что точное решение для I = 1 совпадает с начальными данными. Мы сделали 2 тестовых расчета по схеме МсСогшаск и 3 расчета по гибридной сеточно-характеристической схеме (ГСХС)

Значения ключевых переменных для вышеупомянутых расчетов приведены в таблице:

N0. Разностная схема Число шагов Шаг по Число Куранта

N времени т С = т|а|/Ь

I МсСогшаск 600 1/600 0.3

II МсСогшаск 300 1/300 0.6

III ГСХС 600 1/600 0.3

IV ГСХС 300 1/300 0.6

V ГСХС 200 1/200 0.9

Все результаты и точное решение для I = 1 представлены на Рис. 1.

Видно, что в случае гладких начальных данных решения, полученные с помощью обоих методов, с высокой степенью точности совпадают с точным решением.

В связи с конечной целью моделирования акустических и эластических волн в неоднородных средах (где имеют место скачки плотности и/или скоростей распространения сигнала), был проведен еще один тест с негладкими начальными данными следующего вида:

, ГО, 1/ * < 0.25 ог х > 0.75, /И,„0 - ,/ о 25<х< 0.75

Рис. 2 показывает профиль Г (х, 1=1), вычисленный по схеме МасСоппаск (пункты 1 и II в предыдущей таблице). Пунктирной линией показано точное решение. Видно, что в окрестностях скачков наблюдаются нефизичные осцилляции. Амплитуда осцилляций зависит от числа Куранта. Она возрастает при приближении числа Куранта к пределам устойчивости схемы МсСогшаск (С —> 0, или С —> 2/3). Относительно низкий уровень

Рис.1. Для гладких начальных данных решения, полученные с помощью схем ГСХС и МсСогшаск с высокой точностью совпадают с точным решением

Рис.2. Схема МсСоггааск. I - через 600 шагов с числом Куранта 0,3; II - через 300 шагов с числом Куранта 0,6

Рис.3. Гибридная сеточно-характеристическая схема (ГСХС): III - через 600 шагов с чисм> j .. Л * .рез 300 l. V - через 200 шап

с числом Куранта 0.9

осцилляции (но все еще достаточно существенный, около 10 %) наблюдается и в середине устойчивого интервала чисел Куранта (С » 0.3).

Рис. 3. иллюстрирует полное отсутствие подобных осцилляций для схемы ГСХС. В то же время наклон решения в районе скачка такой же, как и для схемы McCormack. Это обусловлено вторым порядком точности схемы ГСХС. Отметим, что при С = 1 численное решение совпадет с точным.

Для повышения порядка точности решения создан солвер 3-го порядка точности по пространству с применением методики UN03 (Unconditional Non-Oscillated). Данная методика также обладает свойством не осциллировать при больших градиентах физических параметров. Повышенный порядок точности позволяет получить большую точность, не прибегая к увеличению числа узлов сетки. Кроме того, методика 3-го

порядка позволяет разрешить более высокочастотные составляющие акустического сигнала, чем 2-го при той же плотности узлов. Однако, время вычислений при этом возрастает более, чем в 2,5 раза, по сравнению с ГСХС. Оба солвера реализованы на языках высокого уровня Fortran и С.

Рис.4. Белые квадратные метки - ГСХС, черные круглые - UN03, сплошная линия - точное решение.

Созданы реализации моделей на основе разностных схем ГСХС и UN03 для эластической модели среды. Эластическая модель более полно отражает свойства среды распространять волны, нежели акустическая, что существенно влияет на правдоподобность полученных результатов. Мы применили UN03 к акустической системе уравнений. На рис.4 показаны результаты сравнения точного решения и численного для схем UN03 и ГСХС. В этой одномерной задаче начальное возмущение распадается на две симметричные волны, движущиеся в противоположных направлениях (от источника). На рис.4 показана только левая волна. В этих вычислениях число Куранта было задано 0.9 для обеих схем, и Vp = 2 km/s, р = 2.2 g/cc, Ах =0.002 km (2 m).

" , "ваны точечные и протяженные (линейные)

источники начального возмущения. Реализована возможность гибко настраивать параметры сигнала.

Создан модуль для получения и записи искусственных сейсмограмм. Модуль позволяет получать искусственные сейсмограммы, полученные в модели, с реальными сейсмическими данными, полученными в «полевых» лабораториях, для проверки предположений о структуре земной коры. Получены сейсмограммы для двухслойной модели среды с малой неоднородностью.

Еще большее повышение скорости расчета модели достигнуто за счет оптимизации исходных кодов несколькими путями:

- уменьшением числа элементарных операций, где это было возможно,

- выявлением и избежанием повторных вычислений величин, полученных ранее.

- Выявлением нулевых элементов матриц и нулевых собственных чисел для упрощения вычислений с их участием

При численном решении систем уравнений существенным является вопрос скорости получения результата. При использовании явных численных методов ограничение на число Куранта, обеспечивающего сходимость, ведет к ограничению на шаг по времени, что вынуждает делать большое количество мелких шагов. Это не позволяет существенно уменьшить вычислительное время. Если же используется неявная методика, то ограничения на шаг по времени не такие строгие, как для явных методов, но для продвижения физической системы на один шаг по времени необходимо проделать несколько, а то и несколько десятков итераций для обеспечения сходимости и заданной точности. Вопрос о преимуществах и недостатках того или иного подхода сильно зависит от характера решаемой задачи и от архитектуры вычислительной системы.

Обработка сейсмических сигналов в целом, и, в частности, численное моделирование прямой задачи распространения сейсмических сигналов

Рис.5. Кадры распространения Рис.6. Кадры распространения упругих

акустических волн в модели с прямым волн в 2-слойной модели

являются яркими примерами таких проблем, которые требуют суперкомпьютерных вычислений. Время диктует необходимость перехода от двумерных постановок к трехмерным. Развитие

суперкомпьютеров позволяет достаточно успешно решать задачи в

3-х мерной постановке уже сегодня. Проведенная универсализация кодов позволяет быстро настраивать солверы для решения задач в пространствах с любым числом измерений от 1 до 3.

В работе описываются особенности численного моделирования задачи распространения упругих волн с применением вычислительных комплексов с параллельной архитектурой.

В третьей главе приводится информация о классических случаях распространения волн в упругой неоднородной среде, такие как поведение

волны при пересечении границы раздела двух сред, полное отражение волны (падение под углом полного отражения).

Ряд тестовых расчетов выполнен для двухслойной геометрии с различными свойствами слоев, а также для геометрии типа «уголок». Для иллюстрации явления дифракции проведен расчет распространения волн в двухслойной среде, содержащей облако микронеоднородностей.

Рис. 7 Развитие волнового поля во времени ¿/Я=/0

Рис. 8 Картина волнового поля при последовательном укрупнении масштаба для I = 36 мс для расчета с источником 1000 Гц

Основная часть третьей главы посвящена применению построенной модели для изучения акустических свойств пористого объекта (модели

нефтяного коллектора) в прозрачной с волновой точки зрения среде. Описано устройство нефтяного коллектора.

На рис. 7 приведен результат расчета рассеяния плоской волны на пористом объекте эллиптической формы. Приведены картины волнового воля для вертикальной компоненты скорости смещения среды

Ь / Л. = 1 (ЮОНг) I. / А.= 3 (ЗООНг) 11Х= 10 (ЮООНг)

Рис. 9 Сравнение искусственных сейсмограмм для различных частот падающего сигнала (различных отношений I. / А.)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Проведено сеточно-характеристическое обобщение на систему линейных уравнений гибридной схемы Белоцерковского-Гущина-Коньшина-Щенникова применительно к системе волновых уравнений в приближении малых деформаций в двухмерном и трехмерном случае (упругий случай).

2. На основании этой методики был создан и протестирован программный комплекс для численного моделирования распространения волн в неоднородной среде в 2-х и 3-х мерных геометриях. Создана и отлажена параллельная версия 3-х мерного программного кода. Проведено тестирование кода.

3. Пористые зоны при взаимодействии со звуковой волной формируют пакет рассеянных волн. Амплитуда такого пакета, дошедшего до дневной поверхности, по энергетическому уровню превышает волновой фон монолитной породы, вмещающей эти волны. При этом в рассеянной волне происходит перераспределение энергии по спектру относительно спектра падающей волны.

4. При резком ступенеобразном нарастании концентрации микронеоднородностей внутри пористого объекта в отраженном сигнале доминируют продольные РР и поперечные (обменные) PS волны. Волны, образованные более сложными отражениями и рассеянием имеют гораздо меньшую амплитуду и играют второстепенную роль в формировании волновой картины. Миграционное преобразование и процедуры специальной обработки сейсмических данных позволяют яснее увидеть волны, обусловленные зонами диффузной трещиноватости. Вызванные ими энергетические аномалии могут рассматриваться как поисковый признак для выделения коллекторских (пористых) зон в кристаллических породах.

5. Наметился вывод о возможности генерации дифрагированных волн от отдельных ассоциаций (совокупностей) микронеоднородностей, расположенных внутри макрозоны их развития и равных примерно С= '3 -X длины волны.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. М.Н.Антоненко, А.В.Конюхов, М.В.Мещеряков, Р.М.Смирнов, С.В.Утюжников, Применение высокопроизводительных вычислительных комплексов для численного моделирования крупномасштабных пожаров// сборник научных статей «Моделирование управления и обработки информации», Москва, 1999 г., с. 5 - 9;

2. O.M.Belotserkovskii, M.N.Antonenko, A.V.Konyukhov, L.M.Kraginskii, A.M.Oparin x'"merical modeling of spatial atmospheric flows induced by large-scale conflagration or explosion by means of parallel computation technology// Proceedings of 4,h international conférence "Forest and steppe fires: initiation, spread, suppressing and ecological conséquences", Tomsk-Irkutsk, 2001, September, 25 - 29, p. 191

3. М.Н.Антоненко, Моделирование прямой задачи сейсмологии: распространение акустических и эластических волн в неоднородной среде// Тезисы докладов XLIV научной конференции Московского физико-технического института, посвященная 50-летию создания МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, Москва-Долгопрудный, 22-30 ноября, 2001, с. 5;

4. М.Н.Антоненко, Л.М.Крагинский, А.М.Опарин, Моделирование прямой задачи сейсмологии: распространение эластических волн в неоднородном 2Х и ЗХ мерном пространстве// Лекции приглашенных лекторов и тезисы докладов молодых ученых под ред. Дж. Голуб (Gene Golub) и Л.А.Крукиера,. Международная летняя школа молодых ученых, Ростов-на-Дону, 2-9 Июня, 2002 г., с. 471;

5. M.N.Antonenko, A.V.Konychov, L.M.Kraginskii, M.V.Meshcheryakov, S.V.Utyuzhnikov, Numerical modeling of intensive convective flows in atmosphere, induced by large-scale fire// Computational Fluid Dynamics JOURNAL, Date: Vol.l 1, #2, June 2002, pp. 151 - 154;

6. O.M.Belotserkovskii, M.N.Antonenko, A.V.Konyukhov, L.M.Kraginskii, A.M.Oparin, S.V.Fortova, Universal technology of parallel computations for the problems described by systems of the equations of hyperbolic type. A step to supersolver// Abstracts of "Russia-Japan International Workshop on Actual Problems of Computational Mechanics", St.Petersburg, Russia, August 5-10, 2002,

7. М.Н.Антоненко, Метод расчета сейсмических волновых полей в сложных средах и его применение в ВСП// «Гальперинские чтения-2002» Материалы научно-практической конференции: «ВСП, ГИС и наземная сейсморазведка - совместные наблюдения, обработка и интерпретация», Москва, 28 - 30 октября, 2002 г., с. 25 - 30

8. O.M.Belotserkovskii, M.N.Antonenko, A.V.Konyukhov, L.M.Kraginsky, A.M.Oparin, S.V.Fortova, U niversal T echnology о f P arallel С omputations for the Problems Described by Systems of the Equations of Hyperbolic Type. A Step to Supersolver// Computational Fluid Dynamics JOURNAL, Vol.11, #4, January 2003

9. M.N.Antonenko, V.B.Levyant, Numerical modeling of interaction of plane seismic wave with oil collector in crystalline base// Abstracts of "Russian-Indian International Workshop on High Performance Computing is Science and Engineering" (HPC-2003), Moscow, Russia, June, 2003

I O.M.N. Antonenko, V.B.Levyant, Modeling of interaction of seismic wave and

oil collector in crystalline base using parallel computers// Abstracts of "The Eighth J apan-Russia Joint Symposium on С omputational Fluid Dynamics. New Evolution of CFD for Advanced Science and Engineering", September, 24-26, 2003, Sendai, Japan, pp.97 - 99

II .M.N.Antonenko, V.B.Levyant, Modeling of interaction of seismic wave and oil collector in crystalline base using parallel computers// Extended abstracts of "Japan-Russia Seminar on Turbulence and Instabilities", Tokyo, Institute of Technology, Tokyo, Japan, September, 29-30

12.В.Б.Левянт, М.Н.Антоненко, И.Ю.Антонова, Исследование методами численного моделирования сейсмического поля, обусловленного рассеиванием на зонах диффузной кавернозности и трещиноватости// Журнал «Геофизика», №2, 2004, с. 8 - 20

13.M.N.Antonenko, A.M.Oparin, I.S.Popov, Seismic Wave Field Computation in Medium with Complex Random Inhomogeneous Geometry// Abstracts of Russia-Japan International Workshop on Turbulence and Instabilities, Moscow, September, 21-24, 2004.

АНТОНЕНКО Максим Николаевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Подписано в печать 04.10.2004 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

усл. печ. л. 1,0. Тираж 70 экз. Заказ № ^ <293

Московский физико-технический институт (Государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

$18 6 9 8

РНБ Русский фонд

2005-4 12744

Введение

Глава 1. Постановка задачи распространения волн в неоднородной среде

1.1. Постановка задачи в двумерном случае

1.1.1 .Аналитическая форма основной системы уравнений

1.1.2. Акустический случай (одна скорость распространения волн)

1.1.3 .Упругий случай (две скорости распространения волн)

1.2. Постановка задачи в упругом трехмерном случае

1.3. Граничные условия

Глава 2. Методика численного решения и программная реализация модели

2.1. Гибридная сеточно-характеристическая схема

2.2. Сравнительные тесты схем ГСХС и McCormack

2.3. Разностная схема UN03 для уравнения переноса

2.4. Сравнительные тесты схемы ГСХС и UN

2.5. Обобщение схемы ГСХС на одномерную систему уравнений гиперболического типа

2.6. Обобщение схемы UN03 на одномерную систему уравнений гиперболического типа

Глава 3. Тесты модели и результаты расчетов

3.1. Тесты для модели в акустическом и упругом случаях

3.2. Применение моделирования для изучения акустических свойств пористого нефтяного коллектора в кристаллическом фундаменте

3.2.1. Сведения о структуре и физических свойствах реальных сред-прототипов модели

3.2.2. Характеристика моделей зон «диффузной» трещиноватости и условий распространения и регистрации сейсмических колебаний

3.2.3. Обоснование и характеристика базовой модели геометрии среды

3.2.4. Характеристика моделей с различными размерами макрозоны

3.2.5. Характеристика рассчитанных сейсмических волновых полей и зарегистрированных на поверхности колебаний (прямая задача)

3.2.6.Анализ природы модельных волновых полей

3.2.7. Сравнение результатов моделирования с реально наблюдаемыми аномалиями поля рассеянной компоненты

Настоящая работа посвящена исследованию методами численного моделирования процессов распространения звуковых волн £ в сложных гетерогенных средах, а также в случайно-неоднородных пористых средах. В качестве базовой системы уравнений, описывающих процесс распространения звуковых волн взято упрощенное волновое уравнение в приближении малых деформаций (смещений), хорошо описывающее распространение волн в среде. Полученная система гиперболических уравнений решается численно с применением параллельных вычислительных комплексов. В качестве базы для разработанного в рамках диссертационной работы численного метода используется сеточно-характеристическое обобщение на системы линейных уравнений монотонной гибридной схемы Белоцерковского-Гущина-Коныпина-Щенникова. Реализованы численные методы на база других известных разностных схем. С помощью программной реализации данной математической модели проведены расчеты тестовых задач в классической постановке (прохождение волн через границу раздела двух различных при различных геометриях задачи и свойствах сред). Проведены серии # расчетов по изучению рассеивающих свойств пористых геологических объектов (модель нефтяного коллектора в кристаллическом . фундаменте). Предложены критерии идентификации пористых геологических объектов по характеру отклика на искусственное сейсмическое воздействие.

Основными целями диссертации являются: разработка комплекса программ для численного моделирования распространения звуковых волн в упругой среде в приближении малых деформаций, а также в детальном изучении процессов развития волновой картины в сложных неоднородных средах, в первую очередь пористых, для которых d « X, где d - размер одной инклюзии (поры), а X - длина падающей волны.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

Заключение

Полученные результаты решения методом численного моделирования прямой задачи распространения сейсмических волн в массивных породах, содержащих зону диффузной трещиноватости (кавернозности), позволяют отметить следующее:

1. Проведено сеточно-характеристическое обобщение на систему линейных уравнений гибридной схемы Белоцерковского-Гущина-Конынина-Щенникова применительно к системе волновых уравнений в приближении малых деформаций в двухмерном и трехмерном случае (упругий случай).

2. На основании этой методики был создан и протестирован программный комплекс для численного моделирования распространения волн в неоднородной среде в 2-х и 3-х мерных геометриях. Создана и отлажена параллельная версия 3-х мерного программного кода. Проведено тестирование кода

3. Пористые зоны при взаимодействии со звуковой волной формируют пакет рассеянных волн. Амплитуда такого пакета, дошедшего до дневной поверхности, по энергетическому уровню превышает волновой фон монолитной породы, вмещающей эти волны. При этом в рассеянной волне происходит перераспределение энергии по спектру относительно спектра падающей волны.

4. При резком ступенеобразном нарастании концентрации микронеоднородностей внутри пористого объекта в отраженном сигнале доминируют продольные РР и поперечные (обменные) PS волны. Волны, образованные более сложными отражениями и рассеянием имеют гораздо меньшую амплитуду и играют второстепенную роль в формировании волновой картины. Миграционное преобразование и процедуры специальной обработки сейсмических данных позволяют яснее увидеть волны, обусловленные зонами диффузной трещиноватости. Вызванные ими энергетические аномалии могут рассматриваться как поисковый признак для выделения коллекторских (пористых) зон в кристаллических породах.

5. Наметился вывод о возможности генерации дифрагированных волн от отдельных ассоциаций (совокупностей) микронеоднородностей, расположенных внутри макрозоны их развития и равных примерно £=УЪ -X длины волны.

1. Белоцерковский О.М., Численное моделирование в механике сплошных сред - М., Физматлит, 1994

2. Richardson L.F., The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam // Trans. Roy. Soc. London, ser. A, vol. 210

3. Phillips H., Wiener N., Nets and the Dirichlet program // Journal of Mathematics and Physics, vol. 2, 1923

4. Frankel S.P., Convergence rates of iterative treatment of partial differential equations // Mathematical Tables and Other Aids to Computation, vol.4, 1950

5. Курант P., Фридрихе Л.О., Леви X., О разностных уравнениях математической физики // Успехи математических наук, вып. 8,1940

6. Charney J.G., Fjortoft R., von Neuman J., Numerical integration of the barotropic vorticity equation // Tellus, vol. 2, № 4, 1950

7. Рихтмайер Р.Д., Разностные методы решения краевых задач М., Иностранная Литература, 1960

8. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю., Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений -М., Физматлит, 2001

9. Оран Э., Борис Дж., Численное моделирование реагирующих потоков М., Мир, 1990

10. Ю.Панов Ю.Д., Численное решение квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных М., Гостехиздат, 195711 .Самарский А.А., Теория разностных схем М., Наука, 1977

11. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н., Системы квазилинейных уравнений М., Наука, 1978

12. Fromm J.E., Lagrangian difference approximations for fluid dynamics // Los Alamos Scientific Laboratory Report № 2535, Los Alamos, New Mexico, 1961

13. Магомедов K.M., Холодов A.C., Сеточно-характеристические численные методы М., Наука, 1988.15.0ден Дж., Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред М, Мир, 1976

14. Лисковец О.А., Методы прямых // Дифференциальные уравнения, том 1, стр. 1662-1678,1965

15. Белоцерковский О.М., Чушкин П.И., Численный метод интегральных соотношений // ЖВМ и МФ, том 2, № 5, 1962

16. Leonard A., Vortex methods for flow simulation // Journal of Computational Physics, vol. 37, 1980

17. Харлоу Ф.Х., Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные методы в гидродинамике М., Мир, 1967

18. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М., Метод крупных частиц в газовой динамике М., Наука, 198221 .Marder В.М., GAP a PIC-type fluid code // Math. Сотр., vol. 24,1975

19. Harlow F.H., Welch J.F., Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids, vol. 8,1965

20. Соболь И.М., Численные методы Монте-Карло М., Наука, 1973

21. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е., Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа // ЖВМ и МФ, том 15, №5, №6, 1975

22. Courant R., Isaacon Е., Rees М., On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Comm. Pure and Applied Mathematics, vol. 5, 1952

23. Neuman J. von, Richtmayer R.D., A method for numerical calculation of hydrodynamic shocks // Journal of Applied Physics, vol. 21, № 1,1950

24. Lax P.D., Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations // Comm. Pure and Applied Mathematics, vol. 7, 1954

25. Lax P.D., Wendroff В., Systems of conservation laws // Comm. Pure and Applied Mathematics, vol. 13, 1960

26. Richtmyer R.D., A survey of difference methods for nonsteady fluid dynamics // NCAR Technical Note 63-2 Colorado, Boulder, 1963

27. MacCormack R.W., The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering // AIAA Paper № 69-354, 1969

28. Charney J.G., Fjortoft R., von Neuman J., Numerical integration of the barotropic vorticity equation // Tellus, vol. 2, № 4,1950

29. Lax P.D., Richtmyer R.D., Survey of the stability of linear finite difference equations // Comm. Pure and Applied Mathematics, vol. 9, 1956

30. Рихтмайер P., Мортон К., Разностные методы решения краевых задач М., Мир, 1972

31. Годунов С.К., Разностный метод численного расчета разрывных решений гидромеханики // Математический сборник, том 47, вып. 3, 1959

32. Годунов С.К., О неединственном "размазывании" разрывов в решениях квазилинейных систем // Доклады Академии Наук СССР, том 136, №2,1961

33. Годунов С.К., Элементы механики сплошных сред М., Наука, 197837,Osher S., Riemann solvers, the entropy condition and difference approximations // SLAM Journal of Numerical Analysis, vol. 21, 1984

34. McNamara W., FLAME computer code for the axisymmetric interaction of a blast wave with a shock layer on a blast body // Journal of Spacecraftand Rockets, vol. 4, 1967

35. Glimm J. // Comm. Pure and Applied Mathematics, vol. 18, 1965

36. Yamamoto S., Daiguji H. // Computers and Fluids, vol.22, 1993

37. Магомедов K.M., Холодов A.C., О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений // ЖВМ и МФ, том 9, № 2, 1969

38. Roe P.L., Approximate Riemann solvers, parameter vectors and difference schemes // Journal of Computational Physics, vol. 43, 1981

39. Roe P .L., Characteristic-based schemes for the Euler equations // Ann. Rev. Fluid Mechanics, vol. 18 , 1986

40. Engquist В., Osher S., One-sided difference approximations for nonlinearconservation laws // Math. Comput., vol. 36,198153.van Leer В., Flux-vector splitting for the Euler equations // Lecture Notes in Physics, vol. 170, 1982

41. Steger J.L., Warming R.F., Flux vector splitting of the inviscid gasdynamic equations with application to finite difference methods // Journal of Computational Physics, vol. 40, № 2,1981

42. Yee H.C., Warming R.F., Harten A., Application of TVD schemes for the Euler equations of gas dynamics // Lectures in Applied Mathematics, vol. 22, 1985

43. Harten A., The method of artificial compression // CIMS Report COO-3077-50 New York, Courant Institute, NYU, 1974

44. Harten A., Zwas G., Self-adjusting hybrid schemes for shock computations // Journal of Computational Physics, vol. 6, 1972

45. Beam R., Warming R.F., An implicit finite-difference algorithm for hyperbolic systems in conservation-law-form // Journal of Computational Physics, vol. 22, 1976

46. Boris J.P., Book D.L., Flux-corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works // Journal of Computational Physics, vol.11, 1973

47. Boris J.P., Book D.L., Hain K., Flux-corrected transport. II. Generalizations of the method // Journal of Computational Physics, vol. 18, 1975

48. Boris J.P., Book D.L., Flux-corrected transport. III. Minimal-error FCT algorithms // Journal of Computational Physics, vol. 20,1976

49. Белоцерковский O.M., Гущин B.A., Конынин B.H., Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью // ЖВМ и МФ, том 27, 1987

50. Harten A., On a class of high resolution total-variation-stable finite-difference schemes // NYU Report New York, NYU, 1982

51. Harten A., High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // Journal of Computational Physics, vol. 49, № 2,1983

52. Harten A., The artificial compression method for computation of shocks and contact discontinuities: III. Self-adjusting hybrid schemes // Math. Comput., vol. 32, 1978

53. Chakravarthy S.R., Osher S., Computing with high-resolution upwind schemes for hyperbolic equations // Lectures in Applied Mathematics,vol. 22, 1985

54. Yamamoto S., Daiguji H. // Computers and Fluids, vol.22, 1993

55. Harten A., EngquistB., Osher S., Chakravarthy S.R., Uniformly h igh-order accurate essentially non-oscillatory schemes. Ill // Journal of Computational Physics, vol. 71,1987

56. Harten A., Osher S., Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes. I // SIAM Journal of Numerical Analysis, vol. 24, 1987

57. Седов Л.И. Механика сплошной среды, Москва

58. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика, Том VII, «Теория упругости», Наука, 1987.

59. Лурье.А.И. Теория упругости, Наука, Москва, 1970.

60. Лурье.А.И. Нелинейная теория упругости, Наука, Москва, 1980.

61. Н.И.Безухов, Теория упругости и пластичности, Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва, 1953

62. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированных сред, Издательство МФТИ, Москва, 2001.

63. Кондауров В.И., (1982b) О законах сохранения упруговязкопластической среды с конечными деформациями// Известия АН СССР «Механика твердого тела», №6,100 111.

64. Кондауров В.И., (1982с) Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями// Журнал прикладной механики и технической физики, №4, 133- 139.

65. Кондауров В.И., Конюхов А.В., Ломов И.Н., Корытник С.А., Иванов В.Д., Петров И.Б. Ударно-волновые явления и разрушение в массивах геоматериалов // Информационный бюллетень РФФИ, 7 (1999), 5 (январь), 286

66. Петров И.Б. Волновые и откольные явления в слоистых оболочках конечной толщины// Механика твердого тела, №4, 1986

67. Петров И.Б., Тормасов А.Г. О численном исследовании трехмерных задач обтекания волнами сжатия препятствия или полости в упругопластическом полупространстве // Доклады Академии наук СССР, Т. 314, №4,1990.

68. Петров И.Б., Тормасов А.Г., Холодов А.С. О численном изучении нестационарных процессов и деформируемых средах многослойнойструктуры //Механика твердого тела, № 4, 1989 82. Григорян С.С. ПММ, Т. 24,1960

69. И.Б. Есипов, А.В. Акользин, О.М. Зозуля, К.И. Матвеев, М.А. Миронов, О.Б. Овчинников, П.А. Пятаков Распространение волн конечной амплитуды в вязкоупругой среде // Информационный бюллетень РФФИ, 5 , 2 (январь), 386, 1997

70. В.И.Кляцкин, Распространение электромагнитных волн в случайно-неоднородной среде как задача статистической математической физики// Успехи физических наук, т. 174, №2, февраль 2004

71. В.И.Кляцкин, Стохастические уравнения глазами физика, Москва, Физматлит, 2001

72. И.И.Гурвич, Сейсмическая разведка, Гостоптехиздат, Москва, 1960

73. Аки К., Ричарде П., Количественная сейсмология М., Мир, 1983

74. Караев Н.А., Анисимов А.А., Кашкевич В.И., Травинская Т.И. Сейсмическая гетерогенность земной коры и ее отображение в полерассеянных волн// Геофизика, № 2, 1998.

75. Проблемы геотомографии, под ред. член-корр. РАН А.В.Николаев, к.ф.-м.н. И.НГалкин, к.ф.-м.н. И.А.Санина, Москва, Наука, 1997

76. French W.S., Computer migration of oblique seismic reflection profiles // Geophysics, vol. 40, 1975

77. Stolt R.H., Migration by Fourier transform // Geophysics, vol.43, 1978

78. Biondi В., Palacharla G., 3-D prestack migration of common-azimuth data//Geophysics, vol. 61,1996

79. Leslie H.D., Randall C.J. Eccentric dipole sources in fluid-filled boreholes: Numerical and experimental results // Journal of Acoustic Society of America, 87 (6), June 1990

80. Suhas Phadke, Dheeeraj Bhardwaj, S.K.Dey, An explicit predictor-corrector solver with application to seismic wave modeling // Computers and Geosciences, 26,2000

81. Кондауров В.И., Никитин Jl.B. Теоретические основы реологии геоматериалов, Наука, Москва, 1990.

82. Кошляк В.А. Гранитные коллекторы нефти и газа// Уфа. Тау., 2002.

83. Белоцерковский О.М., Математическое моделирование на суперкомпьютерах (опыт и тенденции) // ЖВМ и МФ, том 40, № 40, 2000

84. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В., Параллельные вычисления БХВ-Петербург, 200299,Ортега Дж., Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем М., Мир, 1991

85. Saad Y., Iterative methods for sparse linear systems PWS Publishing Co., Int. Thompson Publ. Co, 1995

86. Van der Vorst H., Parallel iterative solution methods for linear systems arising from discretized PDE's // Special course on parallel computing in CFD, AGARD-R-807 France, Neuily-sur-Seine, AGARD, Workshop Lecture Notes, 1995

87. Glowinsti R., Domain decomposition methods for partial differential equations, Proceeding of the 1st International symposium Philadelphia, SIAM, 1988

88. Keyes D.E., Domain decomposition: a bridge between nature and parallel computers // ICASE Report № 92-44, 1992

89. Roose D., Driessche R.V., Parallel computers and parallel algorithms for CFD: an introduction // AGARD-R-807, 1995

90. M.Kraginsky, A.M.Oparin, S.V.Fortova, Universal Technology of Parallel Computations for the Problems Described by Systems of the Equations of Hyperbolic Type. A Step to Supersolver// Computational Fluid Dynamics JOURNAL, Vol. 11, #4, January 2003

91. M.N.Antonenko, V.B.Levyant, Modeling of interaction of seismic wave and oil collector in crystalline base using parallel computers//

92. Extended abstracts of "Japan-Russia Seminar on Turbulence and Instabilities", Tokyo, Institute of Technology, Tokyo, Japan, September, 29-30

93. В.Б.Левянт, М.Н.Антоненко, И.Ю.Антонова, Исследование методами численного моделирования сейсмического поля, обусловленного рассеиванием на зонах диффузной кавернозности и трещиноватости// Журнал «Геофизика», №2, 2004, с. 8 20