автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование нелинейных процессов теплопроводности с фазовыми превращениями

На правах рукописи

Кадыров Рафаэль Фаридович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ

05 13 18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2007

003059077

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте математики и механики им Н Г Чеботарева Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Казанский государственный университет им В И Ульянова-Ленина"

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Лапин Александр Васильевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Чугунов Владимир Аркадьевич

доктор технических наук,

профессор Федяев Владимир Леонидович

Ведущая организация Институт прикладной механики

УрО РАН, г Ижевск

Защита диссертации состоится 29 мая 2007 г в_часов на заседании

диссертационного совета Д 212 079 01 в Казанском государственном техническом университете им А Н Туполева по адресу 420111, Казань, ул К Маркса, д 10

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного технического университета им А Н Туполева

Автореферат разослан 27 апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ -мат наук, профессор П Г Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Работа посвящена численному моделированию процессов плавления и затвердевания металлов, важными частными случаями которых являются непрерывная выплавка металла и электронно-лучевая сварка

Непрерывное литье стали играет важную роль в металлургии Математически процесс охлаждения и затвердевания металла описывается двухфазной задачей Стефана с предписанной конвекцией (A Fasano, М Primicerio и L Rubcnstein) Существование и единственность обобщенного решения двухфазной задачи о непрерывной выплавке были исследованы F Yi и J F Rodrigues Формулировка задачи Стефана (при отсутствии конвекции) с введением функции энтальпии и обоснование существования и единственности обобщенного решения исследовались, например, в работах О А Олейник, О А Ладыженской, В А Солонникова и Н Н Уральцевои1, Е Magenes и А М Мей-ерманова2 Исследованию сходимости конечномерной аппроксимации задачи Стефана и точности сеточных схем посвящены работы Ф П Васильева, Б М Будака, Е Н Соловьевой и А Б Успенского3, А А Самарского и Б Д Моисеенко, R Н Nochetto4, С Verdi, М Paolmi и др

Качество производимой стали существенно зависит от теплового режима при затвердевании, при этом первостепенное значение имеет поведение поверхностной температуры и фронта затвердевания Экспериментальный выбор режима охлаждения слитка является дорогостоящим и не всегда реализуемым процессом, поэтому актуальным является численное моделирование процесса охлаждения Особенно важным аргументом в пользу численного моделирования служит необходимость управления процессом охлаждения в режиме реального времени В диссертационной работе численно решается задача оптимизации процесса охлаждения в режиме реального времени, которая формулируется как задача идентификации коэффициентов и решается методами оптимального управления (J -L Lions, Т К Сиразетдинов5, А Г Бутковский)

В сварочных технологиях важную роль играют процессы с так называемыми высококонцентрированными источниками, среди которых наибольшее распространение получила электронно-лучевая сварка (ЭЛС) ЭЛС позволяет обрабатывать соединения с глубоким проплавленном и узкой зоной на1 рева при высокой скорости сварки и низком тепловложении Специфика теплового воздействия электронного луча на металл состоит в том, что радиус действия

10 А Ладыженская, В А Солсптиков, Н II Уральцева Линейные и квазилинейиые ураипеиим параболического типа — М Наука, 19G7 — 73G с

2А М Мейермаков За/дача Стефана - Новосибирск Наука, 19S6

Vi М Вудак, Е И Соловьева, А Б Успенский Разностный метод to сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана ,// ЖВМ и МФ — 1965 - Т 5 № 5 - С 828-840

4R II Nochetfo Erroi estnnates foi íwo-ph,ise Stefarx pioblems m sevciat space variables, I Lmeai boundaiy condihons // Calcólo - 1985 - V 22 - P 457-499

5T К Cv/кпетдинов Оптимизация систем с распределенными параметрами—М Наука, 1977-479 с

теплового источника много меньше характерных размеров области, при этом резкие пространственно-временные изменения температуры сосредоточены в малой окрестности траектории движения луча В то же время численное моделирование ЭЛС предполагает детальный расчет динамики температурного поля, которое формируется под действием движущегося нагревателя Актуальным является повышение точности решения тепловой задачи, которое в значительной степени определяет степень достоверности резучьтатов расчета напряженно-деформированного состояния изделия, оценки качества сварного соединения

Целями работы являются

1 Постановка и конструирование эффективных численных алгоритмов решения задачи оптимального управления процессом охлаждения слитка при выплавке стали в режиме реального времени

2 Построение сеточной схемы и итерационного алгоритма для решения стационарной и нестационарной задач электронно-лучевой сварки металлических пластин, в том числе, проведение вычислительных экспериментов

Научная новизна В диссераационной работе развиты и практически реализованы методы численного решения двух прикладных задач Первая из них — это задача оптимального управления охлаждением при выплавке стали в режиме реального времени Математически она равносильна определению коэффициентов в граничных условиях двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией Разработаны и апробированы алгоритмы численного решения этой задачи Вторая - задача описания динамики температурного поля при сварке пластин движущимся источником Предложены новые эффективные методы численного решения задачи в нестационарной и стационарной постановках, основанные на методе конечных элементов с использованием композиционной сетки со сгущением в окрестности движущегося источника

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением математических моделей механики сплошной среды и численных методов, строгими доказательствами сформулированных утверждений Достоверность числовых расчетов обосновывается совпадением результатов с известными решениями в частных случаях

Научное и практическое значение работы Предложенная постановка задачи оптимального управления охлаждением при непрерывной выплавке металла и алгоритмы ее численного решения использованы как часть автоматической системы управления процессом плавки на сталелитейном заводе "Raahe steel company", Финляндия в 2004 г Предложенный подход к построению сеточной схемы и итерационные алгоритмы решения задачи об электронно-лучевой сварке пластин применены для расчета упруго-пластических характеристик сварного шва при заданном режиме сварки при выпол-

нении работ в рамках международного проекта ШТАЭ-АпгЬиз №04-80-6951, 2006 г

На защиту выносятся следующие результаты диссертационной работы

1 Численная модель процесса охлаждения слитка при непрерывной выплавке металла в трехмерной постановке и алгоритм выбора начального приближения для итерационного процесса, основанный на методе декомпозиции области

2 Постановка задачи оптимального управления охлаждением при непрерывной выплавке металла в режиме реального времени, метод редукции многомерной задачи к последовательности одномерных

3 Численная модель тепловых процессов при электронно-лучевой сварке металлических пластин в стационарной и нестационарной постановках, аппроксимация нелинейной задачи с использованием метода декомпозиции области и несогласованных по подобластям сеток, алгоритм выбора начального приближения в итерационном методе для стационарной задачи

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (КГУ), на семинарах Отделения математического моделирования Научно-исследовательского института математики и механики (НИ-ИММ) им Н Г Чеботарева КГУ, Втором российско-финском семинаре "Численные методы для задач непрерывной выплавки и смежных проблем", Казань, 11 - 15 июля 2003 г , Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач", Казань, 27 июня - 1 июля 2003 г, Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики", Казань, 27 июня - 2 июля 2004 г, XI Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, 25 августа - 3 сентября 2005 г, Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики", Казань, 26 июня - 1 июля 2006 г

Публикации Основные результаты изложены в 7 работах В совместных работах автор принимал участие на всех этапах исследования Непосредственно автору принадлежат постановка задачи оптимальною управления охлаждением в процессе непрерывной выплавки металла, метод редукции для решения этой задачи, сеточная схема для решения задачи об электроннолучевой сварке пластин, проведенные вычислительные эксперименты и анализ их результатов

Структура диссертационной работы Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы Библиография включает 61 наименование Общий объем диссертации составляет 105 страниц, включая 17 таблиц и 23 рисунка

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан обзор литературы по теме исследования, определены цели и задачи исследования, приведена структура диссертации

Первая глава содержит обзор литературы по тематике работы Приведены общая формулировка двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией и результаты о существовании, единственности и гладкости ее решения Дано новое доказательство известной теоремы о монотонной зависимости решения от граничных условий в случае, когда область является параллелепипедом со специально заданными граничными условиями

Вторая глава посвящена постановке и решению задачи оптимального управления охлаждением в процессе непрерывной выплавки стали

В п 2 1 дано описание конкретного технологического процесса, применяемого на сталелитейном заводе "Raahe steel company" (Раутарууки, Финляндия), сформулирована математическая модель процесса и предложены два численных алгоритма решения с использованием явной и неявной схем Эйлера

Исследована задача охлаждения слитка металла в так называемой вторичной зоне охлаждения

Слиток представляет собой параллелепипед в К3 с закругленными вдоль оси z углами В силу его симметрии краевая задача решается в области V = О х (О, Lz), представляющей собой четверть слитка Ее граница Г = ЗУ состоит из частей Го, Гд;, Г5 и Гд/, на которых заданы различные граничные условия Определению подлежит температурное поле Т = Т(х, у, z, t) в точках (x,y,z) € П в моменты времени t е (0,7/] (7/ - время окончания процесса выплавки)

Функции удельной энтальпии Н(Т) и температуры Кирхгоффа К(Т) задаются в виде

где р, с(Т), к(Т) и Ь — плотность, теплоемкость, коэффициент теплопроводности и скрытая теплота плавления соответственно, Т3 и 7] — температуры затвердевания и плавления

Процесс охлаждения слитка стали во время проката описывается следу-

т

т

о

о

ющсй начально-краевой задачей ЭН(Т) ЭН(Т)

дг д. Т = Т0 на Го х(0,7}],

дК (Г)

дп дК (Г)

дп дК{Т)

дп

Т (Х1 У-: 0) — в V

АК(Т) = 0 в Ух(0,7>],

+ Л(Т-Т,„) + ^(Т4-Те4) = 0 на Гдг х (0, Т/} = в на ГЛ,х(0,7>], = 0 на Г5 х (0,7>],

(1)

Здесь п — единичный вектор внешней нормали к границе Г, а > 0 — постоянная Стефана - Больцмана, е > 0 — коэффициент эмиссии, V > 0 — скорость проката стали, Н = Ь (х, у, и = С (я, 2/, — известные функции вторичного и первичного охлаждения соответственно, Т10 — Т№ (х, у, г) и Те = Те (х, у, г) — известные температуры охлаждающей жидкости и внешней среды Коэффициент теплопередачи /г зависит от расхода воды IV, эта зависимость устанавливается экспериментально и считается заданной

Задача (1) аппроксимируется сеточной схемой При аппроксимации по времени используются характеристики дифференциального оператора (дгН+ удгН)

(дг + ьдг) Н(х, у, л, Ь) « - (Н(х, у, г, г) - РН(х, у, г, £ - г)), т

где РН(х, у,г,1) = Н = у, г, €), г — [г — г>т]+ Аппроксимация по пространству осуществляется методом конечных элементов область V разбивается на множество призматических элементов с четырехугольным сечением, используются функции, полилинейные на каждом элементе В результате получается система нелинейных уравнений относительно векторов узловых параметров искомых функций

Рассматриваются неявная схема Эйлера

М

Н(Тк+1) - Н(Тк)

+ АК(Тк+1) + В(к)Тк+1 + В(Тк+1У = /*, (2)

в которой неизвестными являются значения температуры Т в узлах сетки, и явная схема Эйлера с циклом временных шагов

'ДОг 1=1 'г

71 = Нк, М

д-А+1 =

1%+\ 7' + АК(аг) + В(Л)Т(7г) + 5Т4(7г) = /г, (3)

относительно узловых значений функции энтальпии Н Временные шаги в явной схеме выбираются таким образом, чтобы их сумма совпадала с шагом т неявной схемы

Для решения системы нелинейных уравнений (2) применен итерационный метод релаксационного типа (SOR) с экспериментальным выбором оптимального параметра и> В табл 1 приведены значения из для различных сеток

Nxx Nvx Nz UJ

21 x 6 x 101 31 x 11 x 101 41 x 11 x 201 1 34 1 47 1 63

Таблица 1 Зависимость оптимального параметра ш от размерности сетки

Точность полученных численных результатов подтверждается хорошим совпадением с известным численным решением упрощенной двумерной модели процесса6, которое хорошо согласуется с результатами эксперимента Графики полученных решений на центральных линиях на поверхности и внутри слитка приведены на рис 1 хорошо видно, что формы графиков практически идентичны, их количественное отличие лежит в пределах погрешности двумерной модели

Рис 1 Температурное поле ЗО-модели (справа) вдоль центральных линий на поверхности и внутри слитка в сравнении с расчетом по 2В-модели (слева)

Известно, что значительное влияние на эффективность релаксационных методов оказывает начальное приближение В диссертации предложен новый способ выбора начального приближения исходная область разбивается на подобласти с перекрытием, в каждой из которых задача решается отдельно, комбинация полученных численных решений затем используется в качестве

bR Daufou, R Kodyrov, E La/fmen, A Lapin, J Pieska, V Toiuonen Oil 3D dynamic contlol of secondary cooling 111 continuous casting process // Lobdchcvbkn J Math — 2003 — V 13 — P 3-13 (http //Ijm ksu iu/vo!13/dac htm)

начального приближения для исходного итерационного процесса во всей области Эффективность предложенною выбора начального приближения для метода SOR демонстрирует табл 2, в которой приведено суммарное количество итераций, эквивалентных одной итерации метода SOR для различных схем выбора начального приближения Символ D^J означает разбиение области на N подобластей с перекрытием в М точек сетки Из таблицы видно, что при декомпозиции с перекрытиием в одно сечение (столбцы D\ и D\) эффективность метода SOR повышается на всех временных слоях, ширина перекрытия не важна, поэтому лучше использовать перекрытие в одно сечение ввиду меньшей вычислительной сложности, выигрыш по количеству итераций возрастает с увеличением количества подобластей

Nx х Ny х Nz = 17 х 9 х 257

t щ Di Di Di Di SOR

1 19 24 14 12 12 20

3 14 11 11 8 8 15

5 9 7 8 7 7 15

7 8 21 8 8 8 15

10 8 20 6 8 8 14

15 8 5 7 5 5 14

20 3 4 3 4 3 5

Таблица 2 Суммарное количество итераций, эквивалентных одной итерации SOR при различных способах построения начального приближения

В п. 2 2 сформулирована задача оптимального управления охлаждением в процессе выплавки металла и предложены три алгоритма се численного решения Первые два — это градиентные методы минимизации многомерной функции при аппроксимации задачи состояния явной и неявной схемами Эйлера Третий — алгоритм редукции многомерной задачи минимизации к последовательности одномерных задач, в котором не требуется вычисления i радиента целевой функции

Режим охлаждения в математической постановке задачи определяется векторным параметром h в граничном условии В диссертации решается задача идентификации h методами оптимального управления

Считается, что граница Гдг разбита на М непересекающихся частей Гг, г = 1,М, функция h принимает постоянные значения ht на каждом Гг и вектор-функция h = {h\, /¿2, , Ьм) выбирается в качестве параметра управления Технологические ограничения приводят к следующему допустимому множеству управлений

U = {h е Шм Ашш <£ А ■С hmax}, (4)

где вектора Ашш и Ашах являются минимальными и максимальными технологически реализуемыми параметрами охлаждения в соответствующих зонах

Ставится задана найти пару (Т*, к*), такую, что

/(Г,А*)=тш/№,Ч (5)

д

где Т = Т(К) является решением задачи состояния (2) или (3), функционал цели /(Т, /г) задается формулой

/(Г,Л) = | IСТ(К)-Г)Чх,

Га,

а минимум берется по всем элементам /г е V, Т* — заданная температура на границе Г// Оптимизационная задача решается на каждом временном интервале [£, £ + г], что позволяет осуществлять управление охлаждением в режиме реального времени

Для решения задачи минимизации используется метод скорейшею спуска, для вычисления градиента целевого функционала строится сопряженная задача

В случае, ко!да исходное состояние определяется неявной схемой (2), сопряженное состояние Л — это решение следующей системы линейных алгебраических уравнений

-Н'М'Х + К'А* А + В* (Л) А + 4Т3В*\ = -3' т

Здесь производная г/ вектора V означает диагональную матрицу dlag(г/)

В случае, когда исходное состояние определяется явной схемой (3), сопряженное состояние А есть решение системы линейных алгебраических уравнений с треугольной матрицей

ЛЛ'т+1

--+ 3'{Т)Т'Н = о,

тмт

< ^ _ + (Т%К'(Тк)А*Хк+1 + (Тк)'нВ*{Н)Хк+1 +

П 7>+1

+4(Тк)'н(Тк)3В*Хк+1 = 0, к = Лтт — 1, ,1

ч

На рис 2 изображены графики расчетных зависимостей коэффициентов управления от времени для явной (слева) и неявной (справа) схем Видно, что средние значения оптимальных параметров охлаждения в каждой зоне, наиденных этими схемами, практически совпадают

На рис 3 приведены графики целевой температуры (пунктирная линия) и температуры при оптимальном охлаждении, полученной явной (слева) и нявнои (справа) схемами, вдоль центральной линии на поверхности слитка (сплошная линия) Видно, что температура при оптимальных коэффициентах охлаждения у обеих схем совпадает с точностью, сравнимой с критериями выхода из соответствующих итерационных процессов

11, кВт/^К

1800 1600 1400 1200 1000 800 600

11, кВт/м2*

500

1000

1500

2000 1, с

Рис 2 Зависимость параметров управления от времени

т. к

10 15 20 25 30 35 г, м

10 15 20 25 30 35 г, м

Рис 3 Решение явной (слева) и неявной (справа) схем и целевая температура

Метод редукции многомерной задачи минимизации (4) к последовательности одномерных задач основан на следующем свойстве рассматриваемого физического процесса Пусть /г* = (/г^,^, — оптимальное управле-

ние на интервале (£,£4-г] Тогда температурное поле на Гг в момент времени £ + т определяется, в основном, температурными полями в зонах Уо, , в предыдущий £ и текущий £ + т моменты времени и пренебрежимо мало зависит от температуры в правой части слитка Математически это означает, что диффузией вдоль оси г на границе Г/у можно пренебречь

Вместо многомерной задачи (5) решается последовательность одномерных задач определяются оптимальные значения координат И* вектора /г* последовательно от первой зоны охлаждения к последней по направлению движения (конвекции) V Для минимизации целевой функции одного скалярного параметра используются быстрые методы, не требующие вычисления градиента этой функции Сравнение эффективности использованных методов приведено в табл 3, где указано среднее время расчета на одном временном слое при параметре т = 5 с Из таблицы видно, что использование метода редукции предпочтительнее, чем решение многомерной задачи минимизации, однако любой из алгоритмов может быть применен для управления процессом в режиме реального времени

время, мс

неявная схема

явная схема

метод редукции

максимальное среднее

минимальное

15 4672 152

80 3244 356

10 691 445

Таблица 3 Время расчета (в миллисекундах)

Третья глава посвящена численному моделированию динамики температурного поля при электронно-лучевой сварке металлических пластин Специфика теплового воздействия электронного луча на металл состоит в том, что радиус действия теплового источника мною меньше характерных размеров области, при этом резкие пространственно-временные изменения температуры сосредоточены в малой окрестности траектории движения луча Поэтому расчетная сетка должна быть достаточно подробной в этой окрестности Применение мелкой сетки во всей области расчета практически невозможно из-за чрезмерно большой размерности возникающей дискретной задачи, поэтому производится локальное сгущение сетки в окрестности движущегося источника

В п. 3 1 описаны процесс сварки и две его математические модели стационарная и нестационарная Исходная нестационарная модель формулируется в системе координат, связанной со средой Стационарная модель формально определяется в бесконечной области в системе координат, связанной с движущимся источником

Рассматривается процесс электронно-лучевой сварки пластины из алюминиевого сплава, которая имеет форму параллелепипеда со сторонами Ьх, Ь2 в направлении осей х, у и 2 соответственно Электронный луч действует под углом а к верхней I рани и движется с постоянной скоростью V В каждый момент времени тепловая мощность, выделяемая электронным лучом, неравномерно распределена вдоль линии его действия Сам луч при этом направлен перпендикулярно вектору скорости вглубь пластины Таким образом, в течение всего процесса тепловая мощность источника сосредоточена в плоскости, которая пересекает нижнюю грань пластины вдоль линии (см РИС 4) {х = Х0, ■>< = Л ^ <= 'П Т. П П - Т, И.ягЛ

Рис 4 Схематическое изображение процесса сварки

Распределение погонной мощности источника в каждый момент времени Ь задается функцией <7(2/), где у — расстояние от верхней грани до луча (см рис 5) Поступательное движение линейного источника тепла описывается координатами

х*(у) = х0 + у/Ь§а (6)

д, МВт/м

5 1 15 у, мм

Рис 5 Погонная мощность источника д(у) в зависимости от расстояния до верхней грани

Математически удельная мощность С}{х,у,г, ¿) Вт/м3, выделяющаяся на линии движущегося луча, может быть записана с помощью произведения ¿-функций Дирака

(3{х, у, г, £) = я(у)5{х - х*{у)\5[г - 2»(<)],

где координаты х« и г* заданы формулами (6) При проведении расчетов использовалась следующая аппроксимация ¿-функций

¿(0 =

(¿С08( I о,

> г,

где г - радиус регуляризации

Температурное поле Т(х, у, z, ¿) в пластине, представленной параллелепипедом V = (О, Ьх) х (0, Ьу) х (0, Ьг) с границей Г, описывается начально-краевой задачей

дН(Т)

дЬ дК(Т)

дп

Т = Т°(х,у,2), 4 = 0

- АК{Т) = <Э(®, у, г, г), (х, у,г)еУ,<> О, = 0, (х,у,г)£ Г,

(7)

Математическая формулировка (7) называется нестационарной задачей В ней среда (металл свариваемого изделия) покоится, а источник (электронный луч) движется

Альтернативный подход к математическому описанию изучаемою процесса состоит во введении системы координат, связанной с движущимся нагревателем В этом случае источник тепла становится неподвижным, а холодный металл набегает на него со скоростью сварки v При v — const краевая задача имеет вид

дН

v—-&K(T) = Q(x,y,z,t), {x,y,z)sV, Т(х) = Т0, (х, у, z) € ГD, дК(Т)

(8)

дп

= 0, (ж, у, z) е IV

В постановке (8), которую будем называть стационарной задачей, Гд = {(х, у,г) € Г г — Ь,} и Г^ = Г\Го, время £ в правой части уравнения является параметром и служит лишь для вычисления положения источника по формулам (6)

После пространственной дискретизации задачи (7) или (8) получается система нелинейных алгебраических уравнений относительно узловых значений температуры Т,, г — 1, ./V, которая решается итерационным методом релаксационного типа Применение итерационного метода предполагает задание начального приближения В п 3 2 рассматривается вспомогательная линейная задача, решение которой является хорошим начальным приближением для (8)

Уравнение (8) с постоянными коэффициентами кис становится линейным АдТ/дг — АТ = /, где Л = урс/к, / = С2/к Показано, что решение этого уравнения представимо в виде

Т{х) = и(х)е?*, /3 = Л/2, где функция и удовлетворяет краевой задаче Л2

(9)

4

ди

дп ди

дп

г - Ди = / = е""*/, {х ,y,z)GV,

+ /3и = 0, (х, у, z) е Гь

(10)

0, (х,у,2г)бГя\Г1,

и(х) = e~'3zTo, (x:y,z)eTD,

где Г1 = {{х,у,г) € Гдг с = 0} Для решения сеточной аппроксимации задачи (10) применен метод сопряженных градиентов После тою, как функция и найдена, по формуле (9) восстанавливается температурное поле Т, которое и используется в качестве начального приближения в методе релаксации для нелинейной задачи (8)

В ч. 3,3 построены сеточная схема и МКЭ аппроксимация приведенных задач. На рис. С и 7 показана композиционная сетка из призматических элементов с четырехугольными сечениями, сгущающаяся в окрестности действия источника; на первом рисунке изображена триангуляция в сечении ху, на втором — в плоскости хг.

Рис. 6: Композиционная сетка в сечении ху (справа увеличенный фрагмент)

Рис. 7: Композиционная сетка в сечении хг (справа увеличенный фрагмент)

Конечноэлементная аппроксимация на композиционной сетке для стационарной п нестационарной задач, а также для вспомогательной -задачи (10) проведена по единой методике. Вначале записываются сеточные уравнения на каждой из сеток. Затем уравнения на грубой сетке, покрывающей всю область расчета, видоизменяются так, чтобы в узлах, совпадающих с узлами подробной сетки (в окрестности сварного шва), решение совпадало с решением, полученным на мелкой сетке. Искомая функция в узлах мелкой сетки, лежащих на границе раздела подобластей, определяется как полилинейная интерполяция соответствующей функции с крупной сетки.

Проведенные вычислительные эксперименты при различных размерностях сеток, параметрах сгущения, размерах окрестности сварного шва показали сходимость полученных тепловых полей к решению, расчитанному

на единой подробной сетке во всей области при помощи стандартной схемы МКЭ.

Система нелинейных уравнений во всех случаях решалась методом верхней релаксации с итерационным параметром ш — 16. Численное решение стационарной задачи проводилось при двух разных положениях источника: гц = ¿г/4, £:/2. На рис. 8 и 9 изображены изотермы на верхней грани и в плоскости действия источника, построенные по результатам решения нестационарной и стационарной задач. Картина температурного поля качественно согласуется с решением нестационарной -задачи (7) полученным на неравномерной сетке гри моделировании в сертифицированном инженерном пакете прикладных программе МЭС.Магс: Наибольшее отличие наблюдается в окрестности действия источника (кривая 1 рис. 10 - стационарная модель, 2 нестационарная модель, 3 — решение МЭСлМагс) и составляет около 120 К.

МО 400 500 600 700 800 900 300 " 'КО 500 600 700 800 900

Рис. 8; Температурное поле на верхней грани при г* — ¿г/2 в нестационарной (слева) и стационарной (справа) постановках

Рис. 9: Температурное поле в плоскости действия источника при г* = Ь,/'2 в нестационарной (слева) и стационарной (справа) постановках

Т, К т, к

Рис 10 Температурные кривые вдоль траектории движения источника при при г* = Ьг/А (слева) и при = 2 (справа)

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Разработана модификация итерационного метода релаксационного типа для расчета температурного поля в процессе непрерывной выплавки стали Построен эффективный алгоритм выбора начального приближения

2 Поставлена и решена задача оптимального управления охлаждением в процессе непрерывной выплавки металла Построены эффективные алгоритмы численного решения для управления процессом в режиме реального времени

3 Разработаны эффективные алгоритмы численного решения нелинейных тепловых задач электронно-лучевой сварки на сгущающихся композиционных сетках в нестационарной и стационарной постановках

4 Проведен сравнительный анализ эффективности построенных методов установлена большая по времени эффективность алгоритма решения стационарной задачи конвективной теплопроводности со специальным выбором начального приближения Показано, что решение стационарной задачи с достаточной точностью описывает динамику температурного ноля, когда электронный луч расположен на достаточном удалении от границ пластины

Автор считает приятным долгом выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А В Лапину за поддержку и постоянное внимание при выполнении работы, научному консультанту профессору А Б Мазо за ценные идеи по разработке и практической реализации численных алгоритмов, профессору Р 3 Даутову за полезные советы при обсуждении результатов диссертации, директору НИИММ профессору А М Елизарову, за понимание и поддержку в период выполнения работы, а также сотрудникам Отделения математического моделирования НИИММ за помощь в период оформления работы

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 РФ Кадыров, А В Лапин Применение явных разностных схем при решении задачи о непрерывной выплавке стали // Тр Матсм центра им H И Лобачевского — Казань Изд-во Казан матсм об-ва, 2003 -Т 20 - С 140-150

2 R F Kadyrov, Е Laitinen, А V Lapm Using explicit schemes for control problems m continuous casting process // Lobachevskn J Math — 2003 — V 13 -P 21-38 (http//ljmksuru/voll3/kll htm)

3 R Dautov, R Kadyrov, E Laitmen, A Lapm, J Pieska, V Toivonen On 3D dynamic control of secondary cooling incontmuous casting process // Lobachevskn J Math - 2003 - V 13 - P 3-13

(http //ljm ksu ru/voll3/dac htm)

4 РФ Кадыров, А Б Мазо Расчет тепловых полей при сварке пластин движущимся источником // Тр XI Всероссийской шк -семинара "Современные проблемы математического моделирования—Ростов-на-Дону Изд-во Ростовского ун-та, 2005 - Т XI - С 242-260

5 РФ Кадыров, А В Лапин Математическая модель и численное решение задачи фильтрации двух несмешивающихся жидкостей // Ученые записки Казанского государственного университета Серия физико-математические науки — Казань Казан ун-т, 2006 — Т 148 Кн 2 — С 65-76

6 MA Игнатьева, Р Ф Кадыров, А Б Мазо Алгоритмы расчета темпе-ратурно1 о поля при электронно-лучевой сварке пластин // Ученые записки Казанского государственного университета Серия физико-математические науки --Казань Казан ун-т, 2007 — Т 149 Кн 1 —С 6072

7 Р Ф Кадыров Метод редукции в задаче оптимального управления выплавкой металла // Вестник Казан Гос Тсхн ун-та им А H Туполева - Казань Казан Гос Техн ун-т, 2007 — № 1 — С 44-46

Отпечатано в ООО «Печатный двор» г Казань, ул Журналистов, 1/16, оф 207

Тел 272-74-59, 541-76-41, 541-76-51 Лицензия ПД №7-0215 от 01 11 2001 г Выдана Поволжским межрегиональны м территориальным управлением МПТР РФ Подписано в печать 26 04 2007г Уел п л 1,0 Заказ Ли К-6376 Тираж 110 экз Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать - ртография

Введение б

1 Задача Стефана

1.1 Классическая постановка.

1.2 Обобщенная постановка.

1.3 Теорема сравнения.;.

2 Задача о непрерывной выплавке стали

2.1 Прямая задача.

2.1.1 Поточечная формулировка.

2.1.2 Дискретизация по времени.

2.1.3 МКЭ-аппроксимация.

2.1.4 Неявная схема Эйлера.

2.1.5 Выбор начального приближения.

2.1.6 Явная схема Эйлера с переменными шагами но времени

2.1.7 Численные результаты.

2.2 Задача оптимального управления

2.2.1 Общая постановка задачи оптимального управления

2.2.2 Оптимальное управление процессом выплавки стали

2.2.3 Получение градиентной информации. Сопряженное состояние.

2.2.4 Метод наискорейшего спуска.

2.2.5 Метод редукции

2.2.6 Численные результаты.

3 Расчет теплового поля при электронно-лучевой сварке пластин

3.1 Постановка задачи.

3.2 Вспомогательная задача.

3.3 МКЭ аппроксимация.

3.3.1 Слабая постановка.

3.3.2 Триангуляция области.

3.3.3 Дискретизация уравнений.

3.3.4 Регуляризация стационарной задачи.

3.4 Численные результаты.

При выплавке металла, сварке и резке плавлением, термоупрочнени-ии в металлургии, ряде других производств и технологий осуществляется горячая обработка металлов. Она сопровождается поверхностным и объемным воздействием мощных источников энергии, вызывающих нагрев и плавление обрабатываемого материала с последующим охлаждением и кристаллизацией. Происходящие при этом структурные и фазовые превращения, а также остаточные напряжения определяют технологические свойства изделия.

Разработка новых технологий горячей обработки металлов, а также средств автоматического управления технологическими процессами, предполагает создание средств прогноза и оптимизации натурных экспериментов, результаты которых в значительной степени определяются динамикой температурного поля. Поэтому математическое моделирование тепловых процессов в металлах, составляющее предмет работы, является актуальным.

Реальные объекты технологических операций зачастую представляют собой трехмерные тела сложной формы, состоящие, как правило, из нескольких элементов с различными теплофизическими свойствами. Теплопроводность и теплоемкость металлов зависят от температуры. Наличие нагревателей вызывает структурные и фазовые изменения материала. Учет изменения энергии при плавлении-кристаллизации в математических моделях приводит к нелинейным задачам Стефана с неизвестной границей раздела фаз.

Непрерывное литье стали играет важную роль в металлургии. Математически процесс охлаждения и затвердевания металла описывается двухфазной задачей Стефана с предписанной конвекцией (см. J. Rulla [55], М. Makela, Т. Mannikko и Н. Schramm [48], S. Louhenkilpi, Е. Laitinen и R. Nieminen [45], A. Fasano, М. Primicerio и L. Rubenstein [38]).

Существование и единственность слабого решения задачи Стефана исследованы в работах A. Visintin [58], J. Rulla [55], F. Yi и Y. Qiu [61]. Формулировка задачи Стефана (при отсутствии конвекции) с введением функции энтальпии и обоснование существования и единственности обобщенного решения исследовались, например, в работах О. А. Олей-ник [11], О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и Н. Н. Уральцевой [3], Е. Magenes [47] и А. М. Мейерманова [20]. Существование и единственность обобщенного решения двухфазной задачи о непрерывной выплавке были исследованы F. Yi и J. F. Rodrigues [53, 54, 60]. Исследованию сходимости конечномерной аппроксимации задачи Стефана и точности сеточных схем посвящены работы Ф. П. Васильева [12], Б. М. Будака, Е. Н. Соловьевой и А. Б. Успенского [2], А. А. Самарского и Б. Д. Моисеенко [G], Р. П. Федоренко [16], Е. Magenes [47], R. Е. White [59], R. Н. Nochetto [50], С. М. Eliott [35], R. Н. Nochetto и С. Verdi [51], М. Paolini, G. Sacchi и С. Verdi [52], С. Verdi [57]. В этих работах, в частности, исследованы неявные сеточные схемы как для исходной задачи, т. е. без введения функции энтальпии, [57, 59], так и для задачи Стефана в энтальпийной постановке с использованием регуляризации разрывной функции энтальпии [2, 16, 50, 51].

Традиционно используемые методы решения задачи Стефана с предписанной конвекцией основаны на применении классического МКЭ по пространственным переменным. Аппроксимации задачи непрерывной выплавки посвящены работы Z. Chen [29], Z. Chen и L. Jiang[30], А. Лапина, Е. Laitinen и J. Pieska [39]. Для аппроксимации конвективного члена и производной по времени используются следующие схемы: аппроксимации с использованием характеристик дифференциального оператора [29, 34], полуявные схемы, в которых значение конвективного члена берется с предыдущего временного слоя [30], и неявные сеточные аппроксимации [39]. Эти схемы безусловно устойчивы, но при их использовании возникают системы нелинейных уравнений, численное решение которых проводится методами типа верхней релаксации. Эти итерационные методы имеют небольшую скорость сходимости при достаточно подробных сетках. Их ускорение достигается методами декомпозиции области [31, 40] и/или использованием многосеточных процедур [32]. Но в любом случае, даже использование этих подходов приводит к возникновению систем нелинейных уравнений, решение которых по-прежнему проводится итерационными методами типа метода верхней релаксации. С другой стороны вычислительная сложность одного шага явной схемы совпадает со сложностью одной итерации метода типа верхней релаксации. Хорошо известно, что явные схемы с постоянным шагом по времени обладают лишь условной устойчивостью, это существенно сужает область их применения в прикладных задачах. В то же время в работах [23, 41, 42] построены эффективные алгоритмы на основе явных разностных схем с переменными шагами по времени для решения как линейных, так и нелинейных нестационарных задач.

Качество производимой стали существенно зависит от теплового режима при затвердевании, при этом первостепенное значение имеет поведение поверхностной температуры и фронта затвердевания. Экспериментальный выбор режима охлаждения слитка является дорогостоящим и не всегда реализуемым процессом, поэтому актуальным является численное моделирование процесса охлаждения. Особенно важным аргументом в пользу численного моделирования служит необходимость управления процессом охлаждения в режиме реального времени. В диссертационной работе численно решается задача оптимизации процесса охлаждения в режиме реального времени, которая формулируется как задача идентификации коэффициентов и решается методами оптимального управления (J.-L. Lions [14], Т. К. Сиразетдинов [18], А. Г. Бутковский [13], К. А. Лурье [17]). В работе представлены алгоритмы решения задачи оптимального управления охлаждением с использованием как явных, так и неявных разностных схем.

В сварочных технологиях важную роль играют процессы с так называемыми высококонцентрированными источниками, среди которых наибольшее распространение получила электронно-лучевая сварка (ЭЛС). ЭЛС позволяет обрабатывать соединения с глубоким проплавлением и узкой зоной нагрева при высокой скорости сварки и низком тепловло-жении (см. А. Б. Мазо [22]). Специфика теплового воздействия электронного луча на металл состоит в том, что радиус действия теплового источника много меньше характерных размеров области, при этом резкие пространственно-временные изменения температуры сосредоточены в малой окрестности траектории движения луча. В то же время численное моделирование ЭЛС предполагает детальный расчет динамики температурного поля, которое формируется под действием движущегося нагревателя. Актуальным является повышение точности решения тепловой задачи, которое в значительной степени определяет степень достоверности результатов расчета напряженно-деформированного состояния изделия, оценки качества сварного соединения.

Целями работы являются:

1. Постановка задачи оптимального управления процессом охлаждения слитка при выплавке стали и конструирование эффективных численных алгоритмов ее решения в режиме реального времени.

2. Построение сеточной схемы и итерационного алгоритма для решения стационарной и нестационарной задач электронно-лучевой сварки металлических пластин, проведение вычислительных экспериментов.

Научная новизна. В диссертационной работе развиты и практически реализованы методы численного решения двух прикладных задач. Первая из них — это задача оптимального управления охлаждением при выплавке стали в режиме реального времени. Математически она равносильна определению коэффициентов в граничных условиях двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией. Разработаны и апробированы алгоритмы численного решения этой задачи. Вторая — задача описания динамики температурного поля при сварке пластин движущимся источником. Предложены новые эффективные методы численного решения задачи в нестационарной и стационарной постановках, основанные на методе конечных элементов с использованием композиционной сетки со сгущением в окрестности движущегося источника.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением математических моделей механики сплошной среды и численных методов, строгими доказательствами сформулированных утверждений. Достоверность числовых расчетов обосновывается совпадением результатов с известными решениями в частных случаях.

Научное и практическое значение работы. Предложенная постановка задачи оптимального управления охлаждением при непрерывной выплавке металла и алгоритмы ее численного решения использованы как часть автоматической системы управления процессом плавки на сталелитейном заводе "Raahe steel company", Финляндия в 2004 г. Предложенный подход к построению сеточной схемы и итерационные алгоритмы решения задачи об электронно-лучевой сварке пластин применены для расчета упруго-пластических характеристик сварного шва при заданном режиме сварки при выполнении работ в рамках международного проекта INTAS-Airbus №04-80-6951, 2006 г.

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

Основные выводы и результаты работы

1. Разработана модификация итерационного метода релаксационного типа для расчета температурного поля в процессе непрерывной выплавки стали. Построен эффективный алгоритм выбора начального приближения.

2. Поставлена и решена задача оптимального управления охлаждением в процессе непрерывной выплавки металла. Построены эффективные алгоритмы численного решения для управления процессом в режиме реального времени.

3. Разработаны эффективные алгоритмы численного решения нелинейных тепловых задач электронно-лучевой сварки на сгущающихся композиционных сетках в нестационарной и стационарной постановках.

4. Проведен сравнительный анализ эффективности построенных методов: установлена большая по времени эффективность алгоритма решения стационарной задачи конвективной теплопроводности со специальным выбором начального приближения. Показано, что решение стационарной задачи с достаточной точностью описывает динамику температурного поля, когда электронный луч расположен на достаточном удалении от границ пластины.

1. Баранов П. А. Расчет колебаний цилиндрического маятника в наполненной вязкой жидкостью полости с использованием скользящих многоблочных сеток / П. А. Баранов, С. А. Исаев, Н. А. Кудрявцев, В. Б. Харченко // ИФЖ.-V. 76.

2. Будак Б. М. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана / Б. М. Будак, Е. Н. Соловьева, А. Б. Успенский // ЖВМ и МФ. 1965. - Т. 5, № 5. - С. 828-840.

3. Ладыо1сенская 0. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — М.: Наука, 1967. — 736 с.

4. Рутес В. С. Непрерывная разливка стали. / В. С. Рутес, Б. Н. Ка-томин. — Москва: Трудрезервиздат, 1957. — С. 221.

5. Самарский А. А. Экономичная схема сквозного счёта для многомерной задачи Стефана / А. А. Самарский, Б. Д. Моисеенко // ЖВМ и МФ. 1965. - Т. 5, № 5. - С. 816-827.

6. Журавлев В. А. Теплофизика формирования непрерывного слитка. / В. А. Журавлев, Е. М. Китаев— Москва: Металлургия, 1974. — С. 215.

7. Фогель Г. Н. Непрерывное производство изделий из жидкого металла. / Г. Н. Фогель. — Москва: Госпланиздат, 1940. — С. 90.

8. Бойченко М. С. Непрерывная разливка стали. / М. С. Бойченко. — Москва: Металлургиздат, 1957. — С. 236.

9. Олейник О. А. О б одном методе решения общей задачи Стефана / О. А. Олейник // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 135, № 5. - С. 10541057.

10. Васильев Ф. П. Разностный метод решения задач типа Стефана для квазилинейного параболического уравнения с разрывными коэффициентами / Ф. П. Васильев // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157, № 6. - С. 1280-1283.

11. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. — Москва: Наука, 1965. С. 474.

12. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. — Москва: Мир, 1972.-С. 480.

13. Мейрманов А. М. Пример несуществования классического решения задачи Стефана. / А. М. Мейрманов // Докл. АН СССР. 1974. — Т. 258, № 3. — С. 547-559.

14. Федоренко Р. П. Разностная схема для задачи Стефана / Р. П. Фе-доренко // ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 5. - С. 1339-1344.

15. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики / К. А. Лурье. — Москва: Наука, 1975. — С. 480.

16. Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. / Т. К. Сиразетдинов. — Москва: Наука, 1977. — С. 479.

17. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. / Ф. П. Васильев. Москва: Наука, 1980. - С. 504.

18. Мейермапов А. М. Задача Стефана / А. М. Мейерманов. — Новосибирск: Наука, 1986.

19. Лапин А. В. Методы типа релаксации для суммы квадратичного и выпуклого функционалов / А. В. Лапин //Язе ВУЗов. Математика. 1993. - Т. 15, № 8. - С. 30-39.

20. Мазо А. Б. Математическое моделирование процессов горячей обработки металлов / А. Б. Мазо. — Казань: Казанский фонд "Математика", 1996. С. 209.

21. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. / В. И. Лебедев. Москва: Наука, 2000. - С. 290.

22. Агошков В. И. Методы разделения области в задачах математической физики / В. И. Агошков // Вычислительные процессы и системы. 1991. - № 8. - С. 4-51.

23. Friedman A. One dimensional stefan problem with nonmonotone free boundary. / A. Friedman// Trans. Amer. Math. Soc.— 1968.— V. 177.-P. 89-114.

24. Bangerth W. Adaptive finite element methods for differential equations. Lectures in Mathematics / W. Bangerth, R. Rannacher. — Ztirich. Basel: Birkhauser.: ETH.-P. 207.

25. Brent R. P. Algorithms for Minimization without Derivatives / R. P. Brent. — Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1973. -P. 195.

26. Cannon J. R. Continuous differentiability of the free boundary for weak solution of the stefan problem. / J. R. Cannon, D. B. Henry, D. B. Kot-lov // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. - V. 80. - P. 45-48.

27. Chen Z. Numerical Methods for Free Boundary Problems (International Series of Numerical Mathematics 99) / Z. Chen // Numerical solutions of a two-phase continuous casting problem / Ed. by P. Neittaanmaki. — Basel: Birkhauser, 1991.- P. 103-121.

28. Chen Z. Approximation of a two phase continuous casting problem / Z. Chen, L. Jiang // J. Pari. Diff. Equations. 1998. - V. 11. - P. 5972.

29. Comparison of domain decomposition methods for solving continuous casting problem / E. Laitinen, J. Saranen, J. Pieska, L. A. // Domain Decomposition Methods DDM. 2002. - No. 13. - P. 411 - 418.

30. Domain decomposition methods in science and engineering / A. Quar-teroni, J. Periaux, Yu. Kuznetsov, 0. Widlund // AMS. — 1994.

31. Eliott С. M. Error analysis of the enthalpy method for the Stefan problem / С. M. Eliott // IMA J. Numer. Anal. 1987. - V. 7. - P. 61-71.

32. Ewing R. Local refinement techniques in the finite element and finite difference methods / R. Ewing, R. Lazarov // Proc. International Conf. of Num. Methods and Applications. — Sofia: Sofia, 1989.

33. Rodrigues J. F. On a two-phase continuous casting stefan problem with nonlinear flux. / J. F. Rodrigues, F. Yi // Euro. Jnl of App. Math.— 1990.-V. l.-P. 259-278.

34. Fasano A. A model for heat conduction with a free boundary in a concentrated capacity / A. Fasano, M. Primicerio, L. Rubenstein //J. Inst. Math. Appl. 1980. - V. 26. - P. 327-347.

35. Laitinen E. Mesh approximation and iterative solution of the continuous casting problem / E. Laitinen, A. Lapin, J. Pieska // ENUMATH 99 / Ed. by P. Neittaanmaki, T. Tiihonean, P. Tarvainen. — Singapore: World Scientific, 2000. P. 601-617.

36. Laitinen E. Asinchronous domain decomposition methods for solving continuous casting problem / E. Laitinen, A. Lapin, J. Pieska // J. of Сотр. and Appl. Math. 2003. - V. 154. - P. 393 - 413.

37. Lebedev V. Explicit difference schemes for solving stiff systems of ODEs and PDEs with complex spectrum / V. Lebedev // Russ. J. Nurner. Anal. Math. Modelling. 1998. - V. 13, No. 2. - P. 107 - 116.

38. Lebedev V. Explicid difference schemes for solving stiff schemes with complex or partitioned spectrum / V. Lebedev // JNM and MP.— 2000. V. 40, No. 12. - P. 1801 - 1812.

39. Louhenkilpi S. On the simulation and control of the continues casting process. / S. Louhenkilpi, E. Laitinen, R. Nieminen // Univ. of Jyvasky-la, Dep. of Math. 1989. - V. 43. - P. 112.

40. Louhenkilpi S. Real-time simulation of heat transfer in continuous casting. / S. Louhenkilpi, E. Laitinen, R. Nieminen. — Jyvaskyla: Univ. of Jyvaskyla, Dep. of Math., Rep. 43, 1989.- P. 112.

41. Louhenkilpi S. Real-time simulation of heat transfer in continuous casting / S. Louhenkilpi, E. Laitinen, R. Nieminen // Metallurgical Trans. B. 1996. - V. 24B. - P. 685-693.

42. Lu. Z. Investigation of lagrangian and eulerian finite element methods for modelling the laser forming process / Z. Lu., P. Michaleris // Finite elements in analysis and design. — 2004. — V. 40. — P. 383-405.

43. Magenes E. Problemi di Stefan bifase in piu variabili speziali / E. Ma-genes // 'V.S.A.F.A. Catania, Le Matematichle. — 1981.- V. 36.-P. 65-108.

44. Makela M. Applications of nonsmooth optimization methods to continuous casting of steel: Rep. 421 / M. Makela, T. Mannikko, H. Schramm: Math.Ins., Univ. Bayreuth., 1993.

45. MSC.Sowtware Corp. Msc.marc: Theory and user information: Users-guide / MSC.Sowtware Corp. — MSC.Software Corp.: printed in USA, 2005.

46. Nochetto R. H. Error estimates for two-phase Stefan problems in several space variables, I: Linear boundary conditions / R. H. Nochetto // Calcolo. 1985. - V. 22. - P. 457-499.

47. Nochetto R. H. Approximation of degenerate parabolic problems using numerical integration: Publ. 505 / R. H. Nochetto, C. Verdi. — Pavia: I.A.N., 1986.

48. Paolini M. Finite element approximations of singular parabolic problems: Publ. 565 / M. Paolini, G. Sacchi, C. Verdi. Pavia: I.A.N., 1987.

49. Rodrigues J. F. Variational methods in the Stefan problem / J. F. Ro-drigues // Lect. notes in math. — Springer Verlag, 1994. — P. 149-212.

50. Rodrigues J. F. On a two-phase continuous casting Stefan problem with nonlinear flux / J. F. Rodrigues, F. Yi // Euro. J. Appl. Math. — 1990. — No. l.-P. 259-278.

51. Rulla J. Weak solutions to Stefan problems with prescribed convection / J. Rulla // SIAM J. Math. Anal. 1987. - V. 18. - P. 1784-1800.

52. Shanghvi J. Thermo-elasto-plastic finite element analysis of quasi-state processes in eulerian reference frames / J. Shanghvi, P. Michaleris // Int. Journal for Numerical Methods in Engineering. — 2002. — V. 53. — P. 1533-1566.

53. Verdi C. Optimal error estimates for an approximation of degenerate parabolic problems / C. Verdi // Numer. Funct. Anal. Optirn. — 1987. — V. 9. P. 657-670.

54. Visintin A. General free boundary evolution problems in several space dimensions / A. Visintin Ц J. Math. Anal. Appl— 1983.— V. 95.— P. 117-143.

55. White R. E. An enthalpy formulation of the Stefan problem / R. E. White // SI AM J. Numer. Anal 1982.- V. 19.- P. 11291157.

56. Yi F. An evolutionary continuous casting problem of two-phase and its periodic behaviour / F. Yi // J. Part. Diff. Eq.- 1989.- V. 2.-P. 7-22.

57. Yi F. On Stefan problem with prescribed convection / F. Yi, Y. Qiu // Mathematica Acta Scientia. 1992. - V. 2, No. 14. - P. 153-166.