автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование нестационарной теплопроводности в задачах термообработки фазовых превращений

Академия наук Украины Ордена Ленина Институт кибернетики имени В.М.Глугакова

на правах рукописи

РШДОК ШАДШР ИВАНОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИРОВАНИЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ЗАДАЧАХ ТЕРМООБРАБОТКИ И ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ

05. 13. 16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на. соискание ученой степени кандидата фипико-математических наук

Киев 19Э1

Работа выполнена на кафедре теоретической и строительной механики Винницкого политехнического института

Научные руководители: доктор физико-математических . наук, профессор Чернышов А. Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

Ведущая организация: физико-механический институт АН Украины, г. Львов

Защта состоится 1У92 г. в

часов на заседании специализированного совета Д 016.45.01 при Институте кибернетики имени В. и. Глушкопа АН Украины по адресу:

252207 Киэв-207, проспект Гхуткова, 40

С диссертацией можно ознакомиться в научно-техническом архиве института.

доктор физико-математических наук Скопецкий В. Ь.

наук,' профессор Макаров В. Л. доктор физико-математических наук Дейнека В. В.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

СШШШЛ В. й.

иад дАРАлЧ'Е15ИаТ»1КА РАиО'Ш

Актуальность темч. Теоретическое исследование процессов тепло- и масоообмена в настоящее время в значительной степени базируется на численном моделировании с использованием Экспериментальное изучение таких процессов в лабораторные или натуральна условиях о ¡ень сложно и дорого, а в некоторых случаях просто невозможно.

В частности, к таков»/м относятся процессы термообработки и фазовых превращение однородных и неоднородных сред.

Например, важно!; составной частно технологии изготовления светоиндикаторов является их торгоебрлботка. Исследование температурного поля в индикаторах, в процессе их термическая о'работ.-ки, необходимо для. качественного териовпкуумного обозгпяивания. 1

1!п исследовашгк в последнее т?р':''.ч устройств термического разрушения наиболее рациональными Для применения г строительстве явл 'хтсч п-.аамотроны. Однако, несмотгг; на большую их э'Мэктивно-сть, внядгение плазменного оборудования в строительстве не соответствует потенциальным вое?мощностям т"к как требует значительных затрат в эыв«т>о оптнузльннх параметров плязио-роиоч.

Поетсму :»сслодорпния сути присед" процессе® -пзруиения железобетона, исслед'-.пчннц и разработал по вин методов расчета разру-пенк" с цель1? су-.ественного по;»пения >1уектчт;с-?~и рзботи бето-пора.-фуса'сних м.тлин яг"я-,т'сч лес'-мз пктугпьно'! народнохозяйственно;! задаче.I.

Дел ь _ум$УТ1Ц

- ; при-' " и унификация методов исследования и расчета, пеш иение их то шости при рвении задач •» •;р'р>о1?,.»бо?ки и -!.?:.оч»ых превращении.

Зада ж иссл?дгпания:

1. Анализ эффективности численных методов исследования и решения очного класса задач параболического типа.

2. Разработка и исследование численно-аналитического метода, позволяющего уменьшить невязку при одновременном снижении трудоемкости вычислений.

3. Построение и исследование математических моделей термообработки и фазовых превращения.

4. Реализация численных алгоритмов решения поставленных задач на ЭВМ.

Научная новизна и практическая ценность. Предложен численно-аналитический метод исследования решения задач нестационарной теплопроводности, который является обобщением обычного и улучшенного метода прямых. Метод развивается на случай линейных двухмерных задач с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности г, разрывным решением на равномерной и неравномерной сетке интервал»», интегрирования.

С целью уменьшения невязки исходного ур^нения найден алгоритм определения значения регулируемого параметра области интегрирования для каждой внутренней узловой точки.

Определены границы значений параметра для устойчивости приближенных решений первой, второй и третьей кркеюй задач теплопроводности.

Разработанный алгоритм решения задач нестационарной тепиипро годности позволяет:

- уменьшить невязку исходного уравнения на грубых сетках равномерного и неравномерного разбиении оласти интегрирование ^-¡я за;'зч с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности и раз-

рывным тепловым источником;

- получить устойчивое решети з случае осциллирующих Функций,

- решать задачи фазовых превращений под действием сильных источников тепла для однородных и неоднородных сред.

Получена оценка аппроксимации предложенного интегрального метода прямых.

"Исследованы математические модели процесса термообработки бесштенгельных индикаторов, фазового превращения неоднородной сре-/сваи/ под дейстрием источников тепла большой мощности.

Результаты исследований использованы при разработке новой технологии изготовления бесатен^ельных светоиндикаторов, выборе методики расчета и подбора основных параметров плазменного оборудования.

Работа выполнена в рамках планов научных исследовании хоздоговорных работ кафедры теоретической и строительной механики, кг.-федры архитектуры и инженерного обеспечения строительства.

Полученные результаты в виде алгоритмов и программ для решения начально-краевых задач параболического типа используются в ряда предприятий при расчете тепловых режимов и фазовых превращений элементов конструкций.

Составлены и апробированы универсальные программы исследования и расчета теплового режима для одномерных задач теплопрогодности в случае однородных и неоднородных сред. Полученные результаты могут быть развиты при исследопании и решении нэетпцио; фко-го уравнения Шредингера, уравнений колебаний отруни.

На защиту выносятся:

- модификация метода прямых, позсолт:;-лпо уменьшить неаязку для задач с кусочно-постоянным коэффнентом теплопроводности»

«

тепловым источником и осциллирующим решением на равномерной и неравномерной сетке области интегрирования;

- разработка алгоритма определения значения регулируемого параметра области интегрирование для каждой .внутренней узловой точки;

- исследование математической модели процесса термообработки светоиндикатеров и создание соответствующего математического обеспечения;

- исследование математической модели фагового превращения неоднородной среди /сваи/ под действием теплового источника большой мощности и создание соответствующего математического обеспечения;

- создание комплекса прикладных программ решения задач о нагреве и фазовом превращении однородной среды.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на областных научно-технических конференциях в Ь.ишнцкоы политехническом институте /г.Винница, 19Л-1991 г./;

- на научном семинаре Н.П. ¡(орнейчука в Институте математики АН Украины /г.Киев, 1 г./;

- на научном семинаре кащедрц численных методов математической (.панки в Киевском государственном университете им. Т.Г. Шевченко /г.Киев, г./;

- на Всесоюзном семинаре "Проблемы физико-химических взаимодействий в механике сплошных сред /г.Ужгород,ХУЛ' г./;

- на Республиканском семинаре "Проблемы и методы организации социально-благоприятной среды при развитии промышленного потенциала в нобых зкономических условиях" /г.Ужгород, 19у0 г./;

- на научной семинаре отдела тершупругости института механики АН Украины /г.Киев, 1У'Л г./

Публикации. Но теме диссертации опубликопано 6 работ.

Структура и обьем диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав,,, заключения, приложений! списка цитированной литературы из названий; изложена на 137 страницах машинописного текста, содержит Присунков, Ь таблиц.

Во Введении обоснована актуальность исследований! сформирована цель работы, определена методика исследований.и подлежащие рассмотрению вопросы. Отмечены осиовныэ результаты работы.

В первой глава рассматривается сущность предложенного метода решения задач нестационарной теплопроьодности. Приближенное решение ищется в видо квадратичного полинома п.ч "чомотричоской координате на равномерных и неравномерных сетках. Для нестационарных коэффициентов полнжжа получена система алгебраических и дифференциальных ураьнешП. Замыкается данчия система яри.помощи граничите усюглй задать, и условий яепреравнеетч потока ие границах сае-клк с-^.а^тсй,

В 1.1. Рассматривается репе*-«« первой 1ф -овс-ч зпд;г-:и теплопроводности т"да

иоданАНШ РАБОТЫ

(1)

ШиО^гН), , (3)

где £(х,1) , ^р(х) , достаточно гладкие функции.

Предполагается, что начальное и краевые условия согласованы между собоп, и а - солб£.

Вводится сетка ДХ = 4/И ■ с узлами ОСц и границами , где к=АХ/2 и = М - число узловых точек, К - 1,П.

Приближенное решение ищется в виде полинома второй степени

Т~ к-иг. N .

Т^о

После интегрирования (I) по переменной X на интервале с учетом (4) получено И линейных обыкновенных уравнений относительно 2и коэффициентов h^ и Да

I

Для определения коэффициентов А< и Аь с учетом (4) , граничных условий (3) , условия непрерывности температуры и гзпловых потоков на смежных границах интервалов разбиения получено матричное уравнение вида

Ц = 2 , (б)

в=

К -я* 0 0 0 0 0 0 0 О

я Я* Я -я2 0 0 0 0 0 О

0 О Я я' я -к 0 О 0 0

0 0 0 О Я к' я -я* 0 0

0 О 0 0 О О 0 0 я я1

1 2Я ч гЯ 0 0 О 0 0 0

0 О 1 -1 2Я О О 0 0

0 0 0 о О О О О -1 гя

-V"-

2м

Л

Определив неизвестные коэффициенты А г и подставив их в (5) , решаем систему дифференциальных уравнений, соответствующих числу внутренних узловых точек, относительно До • Реализация схемы на тестовых примерах, в сравнении с точным решением, имеет погрешность ОШ) .

В 1.2. для улулиения приближенного решения исходное уравнение интегрируется для каждого внутреннего узла по отрезку переменно;? длины -(У * А. , Хц С/< Я регулируемой параметроу С(ц . Приводите1! методика определения Ык . основанная на прл-р"ВШ1ьании интеграла от невтзки к нулю и решения К независимых алгебраических уравнений относительно 0(к . Найдены рекуррентн л-э :-;т;улц Бьг-шсления кзл^иидентов /4< и Д е при равномерном и неравномерном разбиении области интегрирования.

Тпгс д;:П первой краевой задачи исходное уравнение (I) запи-а виде

зс^+с^Д

4-гаАи^

Хк-ЛЬ

С учетом непрерывности температуры на смежных границах интервалов разбиения найдены коэффициенты и А г. через Д о,

В итоге задача сводится К следующей системе Я дифференциальных уравнений

. « . • < • • I • • •

^ + ^й^й-^/С^САГ-г/С'Я^»..

Для решения данной системы параметры бХк определяются из требования того, чтобы приближенное решение (i) при Ь ~ О и ОС = ДГк с учетом начального условия

удовлетворяло уравнению (I) •

Ао(о)=аЦ>£х + {(х*,0), к-йп. (8)

11".еле подстановки (и) в к-о уравнение системы {'?) , наход!" алгебраическое уравнение относи1.. с:л-но СК к , при Ь =» 0.

Затем после подстановки значения Ы к в (V) , решается систе ма дифференциальных уравнений П. -го порядка с учетом найденных регулируемых параметров.

Реализация схемы сводится к решению трехдиагональной системы. Обращение матрицы, стоящей возле столбца До производится с помощью метода прогонки.

В приложении приводится универсальная программа счета на ЭВМ для любого числа узлов разбиения области интегрирования с учетом различных значений 0( при краевых условиях первого, второго и третьего рода.

Предложенная схема позволяет решать задачи и в случае куаоч-но-непрерывного теплового источника, не нарушая структуры системы дифференциальных уравнений при конкретном числе узловых точек области интегрирования.

В 1.3 исследуется возможность использования метода для решвг-ния одномерных задач в случае разрывных коэффициентов и решений.

В 1.3.1 приводится алгоритм решения задач, когда интегрируемая область является неоднородной средой и состоит из нескольких частей с разными коаффициентами теплопроводности. Например,

I а*, х*?»

о<х-< 1, х ф |, Ь > 0.

п ди.,. -а

Для численного решения вводится сетка таким образом, чтобы точка разрыва попадала в один из ее узлов. Приближенное решение задачи ищется в виде квадратичного полинома

= £ * £ [О, ]§]

¿=о

При равномерном разбиении полуобластей соответственно с таэгал |и и кг найдены рекуррентные формулы для коэффицьн-:

М А'о М -V. Л,

тов А£ и Вг

А1-

г ~ /г

¿Я?

п-1

л* - АТ-гАо* Ас

А" -(га^бъШо^гаЛ^ЗагШогаМ&'д-ВУ ?

(О.А^ОД,)

п. _ алмло-АУ)'(баЛг*2агШо*(заЛг.*2а1^)Ы &м= Вом"У/32 -bHifa+ifo ло

В итоге задача сводится к решению матричного ди'[феринц"-(ль-иого уравнения Л + М -го порядка

С ,D , Е i ф - переменные матрицы по £ .

Дальнейшее построение методики решения аналогично при кед ной ранее. Здесь *.е рассматривается случай решения задачи с учетом неравномерного разбиения подобластей; найдены рскурреНтчке формулы для к03фьицч«нт013

, Кг , В, и 82. .

Приводится пример решении одной задачч и орошение полу т?х результатов с методом сплайя-коллочациЯ.

В т.3,2 численный алгоритм обоб-петаа тлч оздач с разрыанн-мч решениями. /то чаются коэффициента f\i , bi л случае равномерного разбиения к гоЪф^шненты /1« , Л г. . и $гпрч центральном и нецентратчюм ¡лзбиении полуоблпстей [0, и

3 1.4 реализован принцип г.уперпо-ш»'« в чочетяти с пред.чо-яеннни методом. Jig тестером примере, а случяч большой прдкост;? пре дполагаемого решения, прч центрзлыюм и нецентральном разби

области интегрирования показано преимущество предлагаемого . метода в сравнении с обычным и улучшенным методой прямых.

В 1.5 приводится алгоритм решения для нелинейных краэшх задач.

В 1.6 предлагаемый метод решения обобщается для двухмерных задач нестационарной теплопроводности в случае равномерного и не -равномерного разбиения области. Приводятся тестовые примеры.

В 1.7 исоледуетоя устойчивость и аппроксимация предлагаемого метода. Найдены значения регулируемых параметров для устойчивости решения одномерной задачи о учетом граничных условий первого, второго и третьего рода. Определена погрешность аппроксимации предложенного метода при различных значениях параметра . ■

Во второй главе рассматриваются задачи о термообработке индикатора и фазовом превращении неоднородной среды /сваи/ под действием плазмотрона. Строится математические модели этих задач. Приводится способ их решения основанный на интегральном методе прямых.

В '¿Л обсуждается физическая постановка и методика численного моделирования задачи термообработки индикаторов.

В рассматривается вопрос 'меленного моделирования процесса плавления двухслойных сред под действием'тепловых потоков большой мощности. Приведен обзор литературы по этой теме.

Ыатематпчзское описание процесса нагрева и плавлеимя включает нестационарное уравнение теплопроводности •

Ж д1

Эх£

а,,

аг , < х 4

уравнение баланса энергии на границе фазового превращения

= 0, и <иЛЛ, 4г>0' и >и«л,

с15

~ сН

где Ипл - температура плавления.

Адиабатическое граничное условие на внешней стороне х=Ег

начальное условие

о» с - ч.

Условия сопряжения на граница двух сред записываем в следующем виде

Решение задачи по предложенному методу произведено в дгд этапа: нагрев поверхности до температуры плаляения и П( цезо плавления.

Полученные результаты при нагреве явл;,ится начальная! условиям! решения задачи о прсплавленлп дгп'хс/юлнои среды.

Задача вначале сводилась к решению пятидиагональной сиотеш« которая после соответствующих преобразопши:«, етаног.псч трех -диагональной.

1-1

Найдены рекуррентные формулы для коэффиц.онтов приближенного решения задачи с учетом продвижения фронта плавления."

Апробация методики решения задачи проплавления двухслойных сред была проведена на решении задачи о' фазовом превращении неоднородной среды /сваи/ под действием плазменнод горелки.

В третьей главе характеризуются программы реализации построенных алгоритмов на ЭВМ.

В 3.1 излагается функциональная организация и краткое огаса-чиб программы исследования теплового процесса в однородных средах.

У 3.2 излагается функциональная организация и краткое описание программы численного решения задачи фазового превращения неоднородных сред.

В приложении к диссертации приводятся тексты и блок-схемы программ, реализующих предложенный численно-аналитический метод.

ощш выводы

I. Разработан и исследован численно-аналитический метод, которцн является обобщением метода прямых. Метод позволяет строить схемы, не отличающиеся по сложности реализации от метода прямых или метода сплаин-коллонации.

Преимущество полученных схем обусловливается:

- возможностью получения более точного приближенного решения в случае кусочно-непрерывных коэффициентов температуропроводности и теплового источника без увеличения раи:..ернооти сетки.

- ьозможностыо получения, по предлагаемой методике, устойчи вого решения в случае осциллирующих функций;

- отсутствием необходимости аппроксимации краевых условий при построении разностных схем;

- тем, что алгоритм позволяет поручить ре1-:-нич соотаетстг-у-вцие конкретному значению регулируемого параметра области интегрирования по одной и той же разностной схеме.

2. Построены и исследованы математические модели процесса термообработки бееттенгельных индикаторов, фазового пр^вращени.-' неоднородной среди /сваи/ под действием источников большой мощности.

Результаты исследований использоганы при разработке новой технологии изготовления индикаторов, выборе методики расчета и подбора основных параметров плазменного оборудования.

3. Численные алгоритмы решения поставленичх задач реализованы на ЭБМ в виде прогрягм на языке дАЖ . Программы счета позволяют производить исследование температурного процесса при любом числе разбиения области интегрирования с учетом конкретных 'значений регулируемого параметра СХ . В программах предусмотрено фор-мирсгоние н преобразование систем дифференциальных уравнений при заданном числе узловых точек.

4. Исследования-по выбору временных параметров теруообработ-ки индикаторов посполили поеысить их надежность и долгопечность с учетом нст'ои технологии изготовления.

5. Результаты зяс^ериг.'енталъних исследования по определение интенсивности разрешения .т.елесобетонп подтвердили адекватность принятой модели и реалм'ого прсизссо, а ?з:гче корректность принятых допущении при теоретических исследо'-счиях. Модель толст быть ',:спзльзо«ч«а дая знали?э проектирования плазм?!?'«;« о оборудования для сбрт5гтч" материалов.

Основные результаты диссертации н.елот^.чм в с'?еду?>".гх статьях:

I. Рьштзк В.И., Черншов А.Д. Об одним приближением методе

решения уравнени!; теплопроводности // Ред. Инг..-физ.журн. -

- Минск,' 19Ы2. - 15 с. - Деп. в ШШ1ТИ 21.I2.B2, » 6259.

2. Рындак В.И., Чернышов А.Д. Об улучшении интегрального метода прямых для решения уравнения телопроводности // Ред. Инж,-физ. жури. - Минск, !9с34. - 14 с. Деп. в ВИНИТИ Ю.07.В4, № 4897.

3. Рынд'ок В.И., Чернигов А.Д. Применение улучшенного метода прямых к ретаним краевых" задач телопроводности // Инн.-физ. журн.

- 19У7. - Т.52, ;=2. - С. 297-ЗОи.

4. Рын,";ок В.Я. Аппроксимация и устой шсость улучшенного интегрального метода прямых // Вишшцк. политехи. ин-т - Винница, ЬЧЗУ. - 12 с, - Деп. и УКРНИИНТИ 15.09.137, 2540 - У к 06.

5. Рындпк В.И. Применение улучшенного интегрального метода прямых к решению задач теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом, /'/ Ред. -физ.журн. Иигок, 1Уй9. - 9 с. Деп. в ВИНИТИ 3u.03.b9, .,» ЕОбУ-В

6. Рыццик в.И. Решение задачи Сте;:ша интегральным методом прчмых в случае двухслойных сред // Тезисы докля"ов рсспуб. семинара, Киев, 1990. - С.54.