автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное исследование свободноконвективных течений тепловыделяющей жидкости при моделировании тяжелых аварий на АЭС

Российская академия наук Институт проблем безопасного развития атомной энергетики

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНОКОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЯЖЕЛЫХ АВАРИЙ

ЦА АЭС

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (ядерная энергетика,

На нравах рукописи

/

АКСЕНОВА Анна Евгеньевна

защита окружающей среды и населения)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических иаук

МОСКВА 1998

Работа выполнена в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук.

Научные руководители: д.ф.-м.н., профессор Вабищевич П.Н.

к.ф.-м.н. Чуданов В.В. Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор Арделян Н.В.

к.ф.-м.н., ст.н.с. Ионкин А.А.

Ведущая организация: Институт автоматизации и проектирования Российской академии

наук.

Защита состоится "_"_ 1998 г. в __часов

на заседании диссертационного совета Д 200.43.01 при Институте проблем безопасного развития атомной энергетики по адресу: 113191, г. Москва, ул. Большая Тульская, 52, ИБРАЭ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем безопасного развития атомной энергетики.

Автореферат разослан "_"_ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Калантаров В.Е.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. В ядерных реакторах атомных электростанций сосредоточен огромный энергетический потенциал, который п случае потери контроля над протекающими реакциями может приводить к тяжелым авариям (к таковым обычно относят аварии с расплавлением активной зоны и выходом радиоактивности за пределы корпуса реактора). Для того чтобы прогнозировать и в какой-то степени избежать их, в настоящее время в условиях развитой вычислительной техники и современных численных методов строятся гипотетические модели самых нежелательных событий, которые могли бы иметь место в эксплуатации, моделируются протекающие физико-химические процессы.

Одним из направлений в исследовании поведения расплава топливосодержащих масс (кориума) для различных сценариев гипотетических тяжелых аварий на атомных станциях является изучение особенностей конвективного теплообмена тепловыделяющей жидкости с учетом фазовых превращений. Важность данного аспекта определяется тем, что в результате тяжелой аварии возможно образование достаточно больших объемов расплава кориума как непосредственно внутри активной зоны, так и в нижней части корпуса реактора после стекания туда расплава. Наличие больших масс расплава в нижней части корпуса реактора может приводить к разрушению последнего и, в то же время, при определенных режимах охлаждения возможно удержание расплавленного топлива внутри корпуса.

Большинство применяемых моделей, описывающих взаимодействие расплава топлива с корпусом реактора или не учитывали влияние конвекции в жидкой фазе на теплообмен при переходе топлива из твердого состояния в жидкое (и обратно) или, рассматривали задачи естественной конвекции тепловыделяющей жидкости в частично или полностью расплавленном кориуме и задачи теплопроводности с учетом плавления корпуса отдельно друг от друга, или включали моделирование всей совокупности процессов при тяжелой аварии в достаточно грубом приближении. Вместе с тем, процесс разогрева кориума в корпусе реакторе определяется остаточным объемным тепловыделением, которое, в свою очередь, приводит к плавлению топлива и возникновению внутри расплава интенсивного вихревого течения, обусловленного архимедовыми силами. В этом случае основные характеристики тепло- и массопере-носа в значительной степени определяются условиями при которых

протекает процесс естественной конвекции, а именно: режимами охлаждения расплава на внешних границах, наличием или отсутствием фазовых превращений, гомогенностью или гетерогенностью состава кориума. Необходимо также учитывать процессы теплопроводности в корпусе и возможное плавление последнего. Полное решение проблемы теплового взаимодействия расплава кориума с корпусом реактора требует решения согласованной задачи теплообмена, а именно задачи естественной конвекции тепловыделяющей жидкости в частично или полностью расплавленном кориуме и задачи теплопроводности с учетом плавления корпуса реактора. Существует необходимость исследование механизмов теплопередачи в кориуме на основе адекватных, тщательно проработанных математических моделей, учитывающей как естественно-конвективные течения, так и процессы плавления и затвердевания в кориуме.

Цель работы заключается в построении обоснованных моделей для описания поведения расплава топлива в реакторе и разработке численных алгоритмов их реализации, моделировании тепло-массообменных процессов при удержании расплава корпусом реактора.

Научная новизна.

1. Построена математическая модель двумерного естественно-конвективного течения тепловыделяющей жидкости с учетом фазовых превращений для моделирования удержания расплава корпусом реактора.

2. Разработан эффективный численный метод и создан комплекс программ для получения приближенного решения задачи конвективного теплообмена тепловыделяющей жидкости с учетом фазовых превращений, использующий переменные температура-функция тока-завихренность.

3. Исследованы основные закономерности тепло- и массоперено-са тепловыделяющей жидкости с учетом фазовых превращений и получены корреляционные зависимости для основных характеристик исследуемого процесса в широком диапазоне безразмерных параметров задачи.

Практическая ценность работы. Полученные в результате исследования естественной конвекции в тепловыделяющей жидкости зависимости основных характеристик теплопередачи от широкого набора безразмерных чисел подобия могут быть применены при

разработке упрощенных кодов для анализа отдельных стадий тяжелых аварий, при удержании расплавленных топливосодержащих масс внутри корпуса. Найденные корреляционные зависимости дают возможность получать инженерные оценки, а комплекс прикладных программ позволяет решать широкий класс прикладных задач моделирования процессов тепло- и массопереноса с учетом плавления и кристаллизации.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением строгих математических рассуждений, широким тестированием численных методов и разработанного программного продукта на последовательностях расчетных сеток, сравнением с экспериментальными и теоретическими данными, с расчетами по другим методикам.

Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались на:

Первой российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 1994),

семинарах международной рабочей группы "OECD/CSNI/NEA WORKSHOP on Large Molten Pool Heat Transfer" (Nuclear Research Center, Grenoble, France, 9th-llth March, 1994),

Международной конференции "CSARP'94 Semiannual Review Meeting" (Bethesda, Maryland, May 2-6 1994),

Международной конференции "JOINT ASME/JSME PRESSURE VESSELS&PIPING CONFERENCE" (HONOLULU, HAWAII, JULY 2327, 1995),

Международной конференции "NURETH-7: 7th International Meeting on Nuclear Reactor Thermal-Hydraulics" (Saratoga Springs, NY USA, September 10-15, 1995),

Международной конференции "ANS'95 Winter Meeting" (San Francisco, October 29-November 2, 1995), на семинарах ИБРАЭ РАН.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 14 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы из 114 наименований, из которых 77 на иностранном языке. Работа снабжена 9 таблицами и 64 рисунками и графиками. Общий объем работы 105 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается обзор литературы и современного состояния проблемы. Конкретизируются цели работы, дается краткое содержание работы и формулируются основные результаты, выносимые на защиту.

Глава I посвящена построению упрощенной модели двумерного естественно-конвективного течения тепловыделяющей жидкости с учетом фазовых превращений.

В §1.1 ставится сопряженная задача тепло- и массопереноса с учетом фазовых превращений твердое тело-жидкость, которая включает в себя уравнения Навье-Стокса в приближении Бус-синеска, описывающие естественную конвекцию в жидкой фазе и уравнение теплопроводности с соответствующими граничными условиями.

В §1.2 дается обзор численных методов применяемых к решению задач тепло- и массопереноса с учетом фазовых превращений. Рассматриваются две группы методов: с выделением границ твердое тело/жидкость и алгоритмы сквозного счета. Основное внимание уделяется наиболее оптимальному сочетанию точности, объема вычислительных затрат и охватываемому классу задач, для которых применение рассматриваемых подходов является эффективным. Использованием указанного критерия обосновывается выбор методов сквозного счета для решения данного класса задач.

Особенности применения методов сквозного счета к задачам тепло- и массопереноса с учетам фазовых превращений рассматриваются в §1.3. Дальнейшая формализация различных алгоритмов проводится на основе общего подхода к решению задач математической физики в нерегулярных областях, известного как метод фиктивных областей (МФО). В указанном методе исходная нерегулярная расчетная область погружается в некоторую расширенную регулярную область, в которой и формулируется соответствующая краевая задача, дающая приближенное решение исходной проблемы. Основным преимуществом такого подходя является технологичность вычислений, позволяющая для решения класса задач в произвольных областях использовать унифицированный вычислительный алгоритм и единое программное обеспечение.

Рассматриваются две возможности решения алгоритмами сквозного счета уравнений гидродинамики с использованием МФО метода: в естественных перемененных и в переменных функция то-ка-вихрь скорости. Обосновывается эффективность использования

для решения двумерных задач тепло- и массопереноса с фазовыми превращениями подхода, использующего переменные функция тока-вихрь скорости. Указанный подход позволяет избежать непосредственного решения уравнения неразрывности и сократить число уравнений переноса до одного, а также исключить давление.

Объясняются особенности численной реализации предлагаемого подхода, составляющего основу программного комплекса для проведения вычислительного эксперимента по изучению теплопередачи при естественной конвекции тепловыделяющей жидкости в замкнутых областях с учетом затвердевания.

Глава II посвящена численному моделированию проблем тепло- и массопереноса с фазовыми превращениями в условиях бокового нагрева. Исследование данной проблемы имеет самостоятельное научное значение, так как позволяет провести валидацию предлагаемой методики на имеющихся в распоряжении немногочисленных экспериментальных данных.

В §2.1 описана постановка двумерной задачи конвекции с фазовыми превращениями в полости квадратного сечения, чьи горизонтальные поверхности являются теплоизолированными, а вертикальные — поддерживаются при постоянных и разных температурах. После обезразмеривания параметров задачи на высоту полости, коэффициент кинематической вязкости и величину пропорциональную перепаду температур между холодной и горячей стенками, для приближенного решения уравнений в терминах функция тока-вихрь скорости с расчетом поля течения в изменяющейся области строится вычислительный алгоритм сквозного счета на основе варианта метода фиктивных областей с продолжением по младшим коэффициентам (§2.2).

В §2.3 описывается дискретизация разностной схемы по пространству. Особенностью строящейся разностной схемы является использование для конвективных слагаемых специальной аппроксимации второго порядка на основе центральных разностей, что позволяет получать высокоточные результаты на достаточно умеренных сетках.

Общим недостатком подавляющего большинства существующих алгоритмов, использующих переменные функция тока-завих-ренность является, реализация граничных условий для завихренности на твердых стенках по явным формулам, что приводит к существенному ограничению на временной шаг. Применение аддитивной схемы расщепления с неявной схемой расчета граничных усло-

вий для вихря скорости с использованием формулы Тома позволяет избавиться от указанного ограничения. При таком способе аппроксимации в уравнение для вихря скорости добавляется сеточная функция р(х), определяемая с помощью соотношения

2 о=1

О, /»о < ха < 1 - Ъа,

Ра(ха)

2_ к*

1,2,

/»а, 1-ка,

где Ла — шаги равномерной по каждому направлению сетки ы/, = ши и дин - Множество — содержит все внутренние узлы, т.е. = {х\х = (Х1,Х2),Ха = ¿оЛа,«а = 1,2,- 1,#а/»а = 1,0: = 1,2}, а дшь — граничные узлы.

§2.4 посвящен построению разностной схемы расщепления, основанной на естественной линеаризации, когда операторы конвективного переноса для вихря определяются решением на предыдущем временном слое. Для решения задачи используется чисто неявная факторизованная схема (аналог схемы Дугласа-Рэкфорда). На первом шаге рассчитывается вихрь скорости, причем конвективный перенос и граничное условие для вихря определяются с предыдущего временного слоя. На втором шаге проводится коррекция по конвективному переносу и граничному условию для вихря скорости. Схема является безусловно устойчивой, т.е. шаг по времени не зависит от шагов по пространству и определяется исключительно точностью описания рассматриваемых нелинейных процессов. Для решения сеточных эллиптических уравнений используются современные итерационные методы типа сопряженных градиентов с пре-добуславливанием, обладающие высокой точностью и широким диапазоном сходимости.

Численное моделирование задачи конвекции с фазовыми превращениями при условии бокового нагрева описано в §2.5. Представленные результаты расчетов стационарного решения получены методом установления в полости квадратного сечения на последовательности равномерных сеток. Вычислительные эксперименты показывают, что с увеличением числа Релея увеличивается размазывание доли твердой фазы и увеличивается область, занимаемая жидкой фазой, причем скорость проплавления наиболее интенсивна

х

в верхней части рассматриваемой области. Нестационарное решение представлено для задачи плавления галлия в прямоугольной полости, являющейся стандартным тестом для проверки численных методик по расчету фазовых превращений. Сопоставление с экспериментальными данными показывает, что с помощью развитой методики можно получать надежные численные результаты для рассматриваемого класса задач.

Глава III посвящена численному моделированию естественной конвекции тепловыделяющей жидкости с учетом фазового перехода. Эта проблема является актуальной с точки зрения изучения особенностей теплопередачи в тепловыделяющей жидкости при наличии фазовых превращений и использования полученных корреляционных зависимостей при анализе проблемы удержания расплава кориума в корпусе реактора.

Большинство проводимых ранее численных и экспериментальных исследований были посвящены изучению естественной конвекции тепловыделяющей жидкости без учета фазовых превращений, где основные характеристики теплопереноса определялись в зави-

, . ßgqH5Ч

симости от модифицированного числа Релея (На =-—), Пран-

i/ Н ^

дтля (Рг = —) и аспектного отношения (Asp = —).

X L Здесь ß — коэффициент объемного расширения, д — ускорение свободного падения, q — мощность однородного теплового источника, Н — высота полости, х —--коэффициент температуроп-

рс

роводности, к — коэффициент теплопроводности, р — плотность, с — коэффициент теплоемкости, v — кинематическая вязкость, L —■ ширина полости.

В рамках моделирования тяжелых аварий, в случае образования большого количества твердой фазы кориума, важно учитывать зависимость теплопередачи (среднее число Нуссельта) не только

от числа Релея, но и от числа Остроградского (Os = -¡-т=—=-г,

— Jw)

где q — мощность однородного теплового источника). Последнее может быть определено как отношение среднего тепловыделения в объеме к среднему потоку в твердой фазе, а обратная величина — Os-1 может рассматриваться как безразмерная температура фазового перехода.

Важное место в задаче удержания расплава кориума в корпусе реактора занимает влияние на тепловые характеристики граничных

г, ЛЯ ,

условий, которые характеризуются числом Био (Н1 = " — ко"

эффициент теплопередачи).

В §3.1 описывается математическая формулировка задачи естественной конвекции тепловыделяющей жидкости с учетом фазового перехода. После проведенного обезразмеривания приводятся результаты тестирования методики на экспериментальных данных для задачи конвекции тепловыделяющей жидкости без учета фазовых превращений (§3.2), демонстрирующие качественное и количественное совпадение.

Результаты численного моделирования конвекции тепловыделяющей жидкости с фазовыми превращениями в диапазонах чисел Релея, Остроградского, Био, характерных для реакторного случая представлены в §3.3.

Соотношение объемов твердой и жидкой фаз может оказывать существенное влияние на интенсивность выноса тепла к границам корпуса реактора. В области со значительным количеством твердой фазы кориума интенсивность выноса тепла к границам корпуса заметно уменьшается, что соответствует удержанию расплава внутри корпуса и увеличению "продолжительности жизни" последнего. Проведенное исследование влияние чисел Остроградского и Релея на изменение доли жидкой фазы в диапазоне числа Остроградского 16 < Оэ < 1000 для различных значений числа Релея показывает, что малым значениям числа Остроградского (16 < Оэ < 40) соответствуют большие объемы твердой фазы. Режим теплопередачи* в указанной области носит преимущественно теплопро-водностный характер. При значениях числа Остроградского выше 1000 определяющее значение в характере режима теплопередачи начинают играть конвективные процессы. В рамках моделирования естественной конвекции тепловыделяющей жидкости с фазовыми превращениями наибольший интерес для исследования представляет область со смешанным кондуктивно-конвективным режимом теплопередачи. Эта область определяется диапазоном изменения числа Остроградского от 40 до 1000, и характеризуется сильно нелинейным изменением объемов твердой фазы. Влияние числа Релея на изменение соотношения твердой и жидкой фаз в рассматриваемой области не является столь существенным, как влияние числа Остроградского. Отмечена тенденция увеличения доли твердой

фазы с ростом числа Релея в диапазоне изменения 40 < Оя < 1000.

Интенсивность теплопередачи во всей области определяется, главным образом, средними тепловыми потоками, приходящимися на границу области. Анализ последних при разных значениях числа Остроградского демонстрирует, что интенсивность выноса тепла к границам области определяется, в основном, температурой среды, а именно, отношением разностей средней температуры в жидкой фазе и температуры фазового перехода к средней температуре всей системы и температуры на границе области.

Оценка влияния числа Остроградского на соотношение интенсивности выноса тепла на границу твердой и жидкой фаз к интенсивности теплопередачи во всей области показывает, что при наличии корок (при малых числа Остроградского) интенсивность выноса тепла в жидкой фазе всегда выше интенсивности во всей системе. Когда же доля твердой фазы стремится к нулю, происходит выравнивание интенсивностей выноса тепла на границу раздела фаз и на границу всей области. С увеличением числа Остроградского доля твердой фазы уменьшается до нуля, в результате чего происходит выравнивание интенсивностей выноса тепла к границам раздела фаз и на границу всей системы.

Исследование влияния числа Остроградского на отношение средней безразмерной температуры рассматриваемой области к безразмерной температуре фазового перехода указывает, что с увеличением числа Остроградского доля жидкости возрастает и средняя температура области начинает значительно превосходить температуру фазового перехода. Причем, указанная тенденция усиливается с уменьшением числа Релея. Отношение средней температуры расплава к температуре фазового перехода стремится к единице при увеличении числа Релея, что соответствует тенденции изменения средней температуры по закону близкому к 1/Об.

Влияния числа Остроградского на изменение среднего числа Нуссельта на границах рассматриваемой области проявляется в том, что при возрастании величины Оз наблюдается увеличение интенсивности теплопередачи на границу области. Первоначально указанный процесс развивается по линейному закону, но с ростом числа Остроградского наблюдается переход к пологому участку. Начало указанного участка не может быть определено однозначно, поскольку с ростом числа Релея происходит смещение левой границы пологого участка в сторону увеличения числа Остроградского. Другими словами, граница перехода в чисто конвективный режим

смещается в сторону увеличения Он с ростом значения числа Релея.

Поскольку практически половина всего выделяемого в объеме тепла отводится на боковые стенки рассматриваемой области важно исследовать отношение локального максимального числа Нус-сельта на боковой поверхности к его среднему значению, Результаты расчетов показывают, что в диапазоне изменения числа Остроградского от 16 до 400 наблюдается увеличение величины максимального безразмерного теплового потока по сравнению с его средним значением. С увеличением значения числа Остроградского выше 400 наблюдается сначала плавное, а затем более интенсивное снижение величины максимального локального числа Нус-сельта на боковой поверхности и дальнейшее выполаживание этих кривых.

В результате параметрических исследований естественной конвекции тепловыделяющей жидкости с фазовыми превращениями получен ряд корреляционных соотношений, которые имеют вид степенных зависимостей. Эти соотношения связывают основные числа подобия задачи естественной конвекции, число Релея и число Остроградского, с такими характеристиками процесса как интенсивность теплопередачи (число N11) на боковые, верхнюю и нижнюю грани рассматриваемой области.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построена математическая модель двумерного естественно-конвективного течения тепловыделяющей жидкости с учетом фазовых превращений для моделирования удержания расплава корпусом реактора.

2. Разработан эффективный численный метод и создан комплекс программ для получения приближенного решения задачи конвективного теплообмена тепловыделяющей жидкости с учетом фазовых превращений, использующий переменные температура-функция тока-завихренность.

3. Исследованы основные закономерности тепло- и массоперено-са тепловыделяющей жидкости с учетом фазовых превращений и получены корреляционные зависимости для основных характеристик исследуемого процесса в широком диапазоне безразмерных параметров задачи.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Аксенова А.Е., Вабищевич П.Н., Чуланов В.В., Чурбанов А.Г., Численное моделирование проблем тепло- и массо-переноса с фазовыми превращениями. Препринт № NSI-04-94, Москва, 1994. 20 с.

2. Аксенова А.Е., Вабищевич П.Н., Чуданов В.В., Численное моделирование свободноконвективной тепловыделяющей жидкости с фазовыми превращениями. Препринт Jf* NSI-07-94, Москва, 1994. 20 с.

3. Aksenova А.Е., Chudanov V.V., Churbanov A.G., Popkov A.G., Strizhov V.F., Vabishchevich P.N., Molten Pool Behavior in the Lower Head. In Proceedings of the OECD/CSNI/NEA WORKSHOP on Large Molten Pool Seat Transfer, Nuclear Research Center, Grenoble, France, Ш-llth March, 19Ц, pp. 321-344.

4. Aksenova A.E., Arutyunyan R.V., Bolshov L.A., Chudanov V.V., Churbanov A.G., Popkov A.G., Strizhov V.F., Vabishchevich P.N., Numerical models of natural convection of heat-generating fluid in nuclear reactor safety problem. Nuclear Science Journal, 32 (2), Taiwan, 1995, pp.134-139.

5. Аксенова A.E., Вабищевич П.Н., Чуданов B.B., Параметрическое численное исследование теплообмена тепловыделяющей жидкости с учетом плавления и затвердевания в зависимости от чисел Остроградского и Релея. Препринт ИБРАЭ-95-01, Москва, 1995. 25 с.

6. Аксенова А.Е., Вабищевич П.Н., Чуданов В.В., Численное исследование некоторых особенностей поведения тепловыделяющей жидкости с учетом затвердевания. Препринт ИБРАЭ-95-04, Москва, 1995. 21 с.

7. Аксенова А.Е., Вабищевич П.Н., Чуданов В.В., Численное исследование некоторых особенностей поведения тепловыделяющей жидкости с учетом затвердевания при различных режимах охлаждения на границах. Препринт ИБРАЭ-95-06, Москва, 1995. 21 с.

8. Аксенова А.Е., Вабищевич ПЛ., Чуданов В.В., Численное исследование некоторых особенностей поведения тепловыделяющей жидкости с учетом затвердевания при различных режимах охлаждения на границах. Часть II. Препринт ИБРАЭ-95-09, Москва, 1995. 16 с.

9. Аксенова А.Е., Вабищевич П.Н., Чуданов В.В., Чурбанов А.Г., Численное моделирование процессов затвердевания в задачах диффузии/конвекции. Препринт ИБРАЭ-95-11, Москва, 1995. 30 с.

10. Аксенова А.Е., Вабищевич П.Н., Чуданов В.В., Естественно-конвективный теплообмен тепловыделяющей затвердевающей жидкости при различных режимах охлаждения. Препринт ИБРАЭ-95-13, Москва, 1995. 22 с.

11. Аксенова А.Е., Чуданов В.В., Параметрическое численное исследование естественной конвекции тепловыделяющей жидкости с фазовыми превращениями. Известил Академик Наук, J4» 3, Москва, 1995, С.83-105.

12. Aksenova А.Е., Bolshov L.A., Chudanov V.V., Strizhov V.F., Vabishchevich P.N., Some Aspects of Parametric Model of Molten Corium Behaviour. In Proceedings of the 1995 JOINT ASME/JSME PRESSURE VESSELS & PIPING CONFERENCE, HONOLULU, HAWAII, JULY 23-27, 1995, pp. 169-175.

13. Aksenova A.E., Bolshov L.A., Chudanov V.V., Strizhov V.F., Vabishchevich P.N., Parametric Numerical Investigation of Natural Convection in a Heat-generating Fluid with Phase Transitions. In Proceedings of the 7th International Meeting on Nuclear Reactor Thermal-Hydraulics (NURETH-7), Saratoga Springs, NY USA, September 10-15, 1995 .

14. Аксенова A.E., Вабищевич П.Н., Чуданов B.B., Чурбанов А.Г. Численные подходы к моделированию задачи диффузии/конвекции с учетом плавления. Препринт ИБРАЭ-97-08, Москва, 1997. 25 с.