автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование и адаптация моделей двухфазной фильтрации

УДК 532.5:519.8 IIa пропах рукописи

///.M/

M

: f ^Шь

Муспрплпепа il 1ынпр Жеиисбековма

miicjimihur 1\юд1ип11'она11пг, и адаптация моделей двухфазной филы рации

05.13.16 - применение пмчиелтельпых средсги, магматического моделиронпппя и магемашческих метод«» п научных псследонппиях

Ашореферат диссертации па соискание ученом ciciieiin кандидат ф|ппко-ма1смам!ческнх паук

Республика Казахстан Ллмапл 20001.

Работа выполнена ii;i кпфс.мре пмчнслшслыюм п прикладной мшематки Казахскою i осударс! псиного национальною упппсрси имени аль Фарабм.

Научные рукоподн1елн: докюр фтико мак-машчсскнх

наук, профессор, C'iMaiулик III. ('., капднда i фн шко ма 1ема i ичеекп. наук

МухамОсГ/капоп С. 'Г.

Официальные опноиешы:

докюр фтпко-мшемашчееких паук, профессор, llc'pOIKIIl It. ( '.,

капднда! фтнко- ма1ематчески> наук, доцент Корнплон It. С.

Недушая оргапн кщия:

Пнспму i проНж-м ylipüllJICIIIIII il iiii(l)iipi\i:i i и ich MO il II PIC

3ani,ina С0С101ПСЛ « ¿5» 2000r. масон па заседанш

диссе|чациопн«)го concia Д14А.02.15 и KataxcKOM iосударс!пенпои национальном yniinepeiiicie имени аль-Фарабн по адресу: '180012, Ajimmim ул. Масанчн 3W47, Kail У, механики мак-машчеекпн факулыет, нуд.

С диссертацией можно ознакомится в библиснске мехаппко математического факультета Kail У им. ал1>-<|)араГ)н.

Аторефераг раюелан «УУ» UiZÍ¿/f^é2(HH)i. Ученым ceiípciapi.

дпссергацнонпою concia /[&-/] С

Д14А.02.15, к.ф.-м.н., доцет ß^Pj^J внесена А. У.

BZST3, зщ.о^оз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Движение воды в пористых средах, называемое фильтрацией, издавна привлекает внимание многих ученых и имеет большое прикладное значение во многих областях науки и техники: в нефтегазодобывающей промышленности, гидравлике каналов, строительстве подземных и наземных сооружений, сельском хозяйстве и т.д. Поэтому теория фильтрации развивалась специалистами различных направлений: биологии, гидравлики, прикладной математики, сельского хозяйства и т.д. А развитие знания в этой области накапливались отрывочно и без общего подхода. Кроме того, математические описания фильтрационных процессов не имели широкого распространения из-за сложности аналитического исследования получаемых задач. Но с возникновением современных средств вычислительной техники и развитием численных методов решения дифференциальных уравнений метод изучения процессов - математическое моделирование - получил всеобщее признание.

Одной из первых работ по математическому моделированию фильтрационных процессов является модель Баклся-Леверетта, опубликованная в статье Баклея И. и Леверстта М. в 1942 году. Постулируя равенство фазовых давлений, авторы получили для насыщенности квазилинейное уравнение в частных производных, имеющее первый порядок. Применение метода характеристик позволяет написать интеграл этого уравнения. Однако, при определенных условиях решение задачи становится неоднозначным вследствие пересечения характеристик. Исследование движения скачков, аналитические и графоаналитические способы определения величины скачка явились предметом многочисленных работ Парного И. А., Бареиблатта Г. И., Ентова В. М., Рыжик В. М., Эфрос Д. А. В работах \Vetge Н. I. и Эфроса Д. А. предложен и проиллюстрирован метод определения кривых фазовых проницаемостей и функций распределения потока по результатам вытеснения нефти водой. Метод основан на , решении Баклея-Леверстта. Следует отметить, что более объективное описание фильтрационных процессов можно получить с учетом капиллярных сил. Соответствующая математическая модель носит название модели Раппопорта-Лиса. Разрешимость математический модели Раппопорта-Лиса в обобщенной постановке была подробно исследована Алексеевым Г. В. и Хуснутднновой Н. В. Поскольку решение соответствующих гидродинамических задач в точной постановке связана с преодолением весьма больших трудностей методического ' и вычислительного характера, естественны !' попытки получения приближенных решений. Проблемы вытеснения с учетом капиллярности при определенных условиях могут быть сведены к так называемым автомодельным задачам. Так, в работах Антонцева С. Н. и Монахова В. Н. проанализировано решение уравнения Раппопорта-Лиса. В этом случае

исследуемое уравнение модифицируется в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, для которого ставится краевая задача в промежутке (-оо,+оо). При этом полученное решение краевой задачи позволяет определить профиль волны, скорость ее распространения и распределение насыщенности в так называемой «стабилизированной зоне».

Известно, что с помощью модели Баклея-Леверетта нельзя прогнозировать такую технологическую характеристику процесса заводнения как время прорыва, или время безводной нефтеотдачи. Имеющиеся экспериментальные данные не вполне соответствуют уровню возможностей математического моделирования в задачах фильтрации многофазной несжимаемой жидкости.

В последнее время интенсивно развивается применения метода фиктивных областей. С помощью этого метода отыскание решения исходной задачи сводится к отысканию решения некоторой вспомогательной задачи, но в стандартной области. Обоснование указанного метода можно найти в работах Коновалова А. Н., Саульева В. К., Смагулова Ш. С., Коробицыной Ж. Л. и Утегенова К. У.

Дальнейшее развитие задач фильтрации двухфазной жидкости с учетом капиллярных сил привело к нелинейной системе дифференциальных уравнений второго порядка смешанного типа. Одно из этих уравнений равномерно эллиптическое, другое - параболическое, вырождающееся при предельных значениях фазовой насыщенности. Полные исследования по разрешимости нелинейных систем дифференциальных уравнений можно найти в работах Антонцева С. Н., Кажихова А. В., Монахова В. Н., Бочарова О. Б. Создание вычислительных алгоритмов в указанных задачах фильтрации требует модификацию известных стандартных методов. Более полные сведения можно найти в работах Коновалова А. Н., Полубариновой - Кочиной П. Я. и в цитированной там литературе.

В то время как исследование разрешимости задач фильтрации проведено в достаточно хорошей степени, вопросы теоретического обоснования разностных схем, применяемых прн численном решении, остаются открытыми. Это связано с некоторыми специфическими особенностями, присущими задачам теории фильтрации. Главной особенностью предстает вырождение уравнения и краевых условий при достижении искомой функцией продельных значений. Вследствие чего имеет место так называемый «концевой эффект» заключающийся в бесконечном росте градиента насыщенности в точках максимальной и минимальной насыщенности жидкости.

Даже самая удачная математическая модель, допускающая численную реализацию, с помощью эффективных и экономичных вычислительных алгоритмов, не может отражать все свойства и точно воспроизводить процесс. Невозможно образовать адекватную модель без адаптации ее к

J

реальному процессу. Для этого в основном выполняется уточнение параметров модели, характеризующих геофизически? или химические свойства процесса по геолого-промысловой информации, поступающей в процессе эксплуатации нефтяного месторождения. D результате чего' создается рабочая модель объекта, с помощью которой можно прогнозировать поведение изучаемого физического явления.

По существующей на сегодняшний день литературе по теории фильтрации можно указать два направления определения фильтрационных параметров нефтяного пласта:

1. По данным кернов определяют параметры пласта, непосредственно прилегающей к стволу скважины;

2. Решение обратных коэффициентных задач для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы фильтрации. " Коэффициенты этих уравнений язляются осредненнымн фильтрационными характеристиками и определяются на основе математического моделирования.

Обратные коэффициентные задачи относятся к некорректно поставленным в классическом смысле, т.е. незначительным изменения;.! п исходных данных могут соответствовать большие изменения в решении. Решение некорректно поставленных задач становится устойчивым, если наложить на множество допустимых решений некоторые дополнительные t ограничения. Поэтому при идентификации фильтрационных параметров нефтяного пласта важным моментом является выделение подходящего класса допустимых решений из основе некоторой дополнительной априорной информации. Методы и приемы приведения некорректных задач к условно корректным в математическом плане изложены в работах Тихонова Л. Н., Морозова В. А., Арсенииа В. Я. и других.

Методы идентификации параметров модели исследуются в работах Закироза С. Н., Васильева В. И., Гутникова А. И., Коршуновой Л. Г., Колбикова С. В., Абуталиева Ф. Б., ВеликиноП Г. М., Морозова В. A. ,Frind О., Pinder G., Джаныбехоа Ч., Хайруллина М. X., Садовннкова Р. В., а также в работах Джаманбаева М. Д.

В работах Абуталиева Ф. Б. и Мавлюдова С. Н., Всликиной Г. М. используется методы решения задач идентификации парйг.-тров, основанные на конечно-разностных уравнениях в балансовой форме. Главная трудность заключается в правильном учете балгнсовых составляющих, от чего зависит точность и достоверность результатов. В работе Зиновьева Н. П. с помощью метода конечных элементов искомая функция аппроксимируется базисными полиномами относительно координатных переменных, что уменьшает погрешность вычисления производной. Трудность такого подхода заключается » до лтгжени;: критерия физического правдоподобия, так как критерий зависит от узловых значений параметров, от количества узлов, от точности математической

ь

модели. Приближенно-аналитический метод, основанный на разложении решения начально-краевой задачи по линейно-независимым инвариантным решениям уравнения исследуется в работах Джаныбекова Ч. и Джаманбаена М. Д. Здесь базисные функции находятся с помощью аппарата группоиого анализа.

В последнее время широкое распространение принимают градиентные методы. Достоинством метода является гибкость и универсальность. Искомые параметры могут восстанавливаться как через прямую, тик и через косвенную информацию и допускают меньшие погрешности. Данному методу посвящены работы Закирова С. Н., Васильева В. И., Гушикова Л. И., Коршуновой Л. Г., Колбикова С. В. Морозова В. А., Хайруллина М. X., Садовннковз Р. В.

Обобщения результатов применения ПЭВМ для решения прикладных задач при анализе, регулировании и оптимизации процессов разработки нефтегазовых месторождений, а также создание методов пот роения комплексной адаптирующейся геолого-математической модели, позволяющие прогнозировать изменения всех технологических и экономических показателей являются актуальными на сегодняшний день при создании информационных технологий в нефтегазодобывающей промышленности.

Цель работы. Адаптация' геолого-математической модели нефтяного месторождения, численное моделирование и обоснование используемых вычислительных алгоритмов для модели процесса вытеснения нефги водой при плановой фильтрации и для первой краевой задачи уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости, вырождающегося при двух значениях искомой функции.

Научная новизна-исследований связана со следующими основными результатами:

решена задача идентификации фильтрационных параметров для одномерной нелинейной и двумерной линейной задачи нестационарного процесса фильтрации жидкости в нефтяном пласте. Предложена методика использования уточненных данных для качественного прогноза технологических показателей;

- проведено обоснование разностных схем для первой краевой задачи уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости, вырождающегося при двух значениях искомой функции. Доказана ограниченность разностной производной искомой функции внутри области и на границе;

- на основе методов численного моделирования получены качественные и количественные характеристики фильтрационных процессов, происходящие в реальном нефтяном пласте при плановой фильтрации и предложен эффективный вычислительный алгоритм.

Практическая значимость результатов. Результаты диссертационной работы могут быть применены для решения практически значимых задач, а именно, для анализа, контроля и прогнозирования процесса нефтедобычи при проектировании и эксплуатации нефтяных месторождений. Полученные результаты исследований по теме диссертационной работы использовались в отчете бюджетных тем Инженерной академии РК «Новые информационные технологии и нефтегазодобывающей промышленности и оценка экологической обстановки в регионе с сыдачей пакета прикладных программ, карт и предложений по технологиям и природоохранным мероприятиям» (1999 г., per. № 0299PK00Q09). Предложенная методика нашла дальнейшее совершенствование в автоматизированной системе технологическими процессами (АСУТП) «ЛУКСАД» нефтяном месторождении Кумколь.

Что выносится на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Разработка и обоснование разностной схемы для первой краевой заяачл одномерной фильтрации двухфазной жидкости, вырождающейся а уравнение первого порядка при двух значениях искомой функции.

2. Построение математической модели для описания характеристики фильтрационных процессов и создание соответствующего вычислительного алгоритма в случае плановой фильтрации.

• 3. Создание рабочей модели, адаптация гсоторой проводится посредством идентификации коэффициентов уравнения. Рекомендации для использования получепных результатов при прогнозе и контроле разработки нефтегазовых месторождений.

Апробация работы. Результаты рзботы докладывались на следующих конференциях: казахстанско-российской научно-практической конференции «Математическое моделирование нручно-технологическнх и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности» (16-17 октября 1997 г., Алматы); на международной научно-методической конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке», посвященной 70- летаю АГУ им. Абая (21-22 мая 1998 г., Алматы); на И-оП казахстанско-российской научно-практической конференции «Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности» (24-25 сентября 1998 г., Алматы); на российской научно-практ>пеской конференции «Математическое моделирование и новые информационные технологии», Новосибирск, (1998 г., Новосибирск); на международной научно-практической конференции «Проблемы вычислительной математики и информационных технологий» (25-26 марта 1999 г., Алматы); на казахстанско-американской научно-практической конференции "The informative Technologies an-i Control" (6-10 Dec. 1999, Алматы); на городских научных семинарах под руководством чл.-корр. АН РК

М. О. Отелбаева и Г. И. Бижановой (сентябрь 1997); проф. М. О. Орынбасарова, чл.-корр. АН РК М. О. Отелбаева и К. Ж. Наурызбаева (декабрь 1999); проф., академика ИА РК Ш. С. Смагулова и академика АН РК У. М. Султангазина (март 2000 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах /1 /-/11/.

Структура н объем работы. Диссертационная работа изложена на 130 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух разделов, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 70 наименований. Иллюстративный материал в диссертации представлен рисунками, графиками (их общее количество 46), а также 6 таблицами.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приведены некоторые этапы в истории исследований задач теории фильтрации многофазной несжимаемой жидкости и дано обоснование актуальности темы диссертации, цель работы, научная новизна, и методика исследования.

1. Разработка вычислительных алгоритмов о задачах изотермической фильтрации двухфазной жидкости.

Первый раздел посвящен исследованию моделей Маскета-Леверетта, описывающие процесс фильтрации двухфазной жидкости в пористой среде. В первом подразделе рассматривается одномерная модель Маскета-Леверетта, именуемая также моделью Раппопорта-Лиса, во втором подразделе рассматривается двумерная модель Маскета-Леверетта, ..описывающая процесс фильтрации двухфазной жидкости в заданной системе скважин. С помощью специального выбора искомых функций исходные уравнения преобразуются к удобному для исследования виду, и проводится обоснование разностных схем, разработка вычислительных алгоритмов и численное моделирование исследуемых процессов. 4 Как известно задачи фильтрации обладают целым рядом специфических особенностей, затрудняющих применение стандартных численных методов. В подразделу 1.1 речь пойдет о следующем «вычислительном недостатке»: при достижении предельных фазовых насыщенностей происходит вырождение как краевых условий, так и самих уравнений. Исследованы вопросы устойчивости и сходимости разностной схемы для первой краевой задачи одномерной фильтрации двухфазной жидкости, вырождающейся в уравнение первого порядка при двух значениях искомой функции.

В пункте 1 подраздела 1.1 приведены постановка задачи, основные обозначения, определения и формулировки используемых теорем и лемм.

Приведем постановку' задачи. Одномерное нестационарное течение двух несмсшивающихся жидкостей (например, воды и нефти) п пористой среде описывается уравнением:

% = (1)

ut Ох дх

где J - водонасмщенность, а коэффициенты a(s), c(s) определены при s. < s <* /(О < s, < s' < 1), причем a(s.) = a(s') = 0, a(i) > 0, c(s) > 0, cs >0, когда 5, <x <s'. Таким образом, параболическое уравнение (1) вырождается в уравнение первого порядка при î = s,, s -s .

Рассмотрим уравнение ( 1 ) в прямоугольнике R = {О ¿ l s Т, 0 5 .т S !} при краевых условиях

д(0, х) = í0(x), j(í,0) = /, j(/,l) = j. ' (2)

t

Заменой V(x,/) = ja(r)dr уравнение (Î) было преобразовано к виду

где = В(У) = с,(5(П).

Краевые усчовня для задачи (3) имеют следующий вид

У(0,х) = У°(х), У«,0) = У0, У(1,1) = 0 (4)

В пункте, 1.1.2 рассматриваемую область заменяем сеточно;! обаастью и в полученной области изучаем следующую разностную задачу:

У^А(Г)У-я-00)В(У)У- (5)

»"(*). и(г,0) = г0,Г(/,1)» о (б)

Построим монотонно возрастающую последовательность гладких функций У°(х), сходящуюся равномерно к Г°(д:), такую что | К, (где К - некоторая положительная постоянная) и

0 S Гмв(х) S K0 - I = F» = Vm, FB°(1) = 0.

m

Построим далее монотонно убывающие последовательности и

обладающие свойствами:

I Г, |< к,-1- < С < vm, С(0)==i

N И

В сеточной области рассмотрим регуляризованную разностную задачу

(7)

Для уравнения (7) имеем начально-краевые условия

• = = = (3)

п

Далее для решения разностной задачи (7), (8) доказывается равномерная ограниченность первой разностной производной на границе области и внутри ее и другие равномерные априорные оценки, на основе которых доказывается единственность и устойчивость используемой разностной схемы. Также доказывается монотонность последовательности Утг1, т. е. решения Vnn разностной задачи (7)-{8) образуют монотонно убывающую по п и монотонно возрастающую по т последовательность. Па основе полученных результатов доказывается сходимость решения разностной задачи (7), (S) при Л, г -» 0 и т,п —»<ю к решению задачи (3), (4).

В пункте 1.1,3 проведена численная реализация предлагаемою метода для задачи (5),(6) выполнен численный анализ, и указаны недостатки и достоинства предлагаемой методики. Так основным недостатком данной методики является потеря точности при воспроизведении предельного значения насыщенности на нагнетательной скважине. Так как основной интерес представляет процесс в призабонной зоне добывающей скважины, то сей недостаток можно отнести к малосущественным. Па добывающей скважине точность воспроизведения значения искомой функции в 10 раз выше чем при использовании стандартного подхода и следовательно разработанная модель может более точно воспроизводить процесс фильтрации жидкостей. Итак, данный подход обладает не только хорошей теоретической обоснованностью, но и позволяет на практике получать удовлетворительные результаты.

Дальнейшее исследование одномерной нелинейной модели фильтрации продолжено в подразделе 2 второго раздела данной диссертационной работы.

Второй подраздел раздела 1 посвящен численному моделированию двумерной модели Маскета-Леверетга, описывающей процесс вытеснения нефш водой при плановой фильтрации. В пункте 1.2.1 приведен вывод математической модели п постсновка задачи.

Рассматривается двумерная плановая фильтрация двухфазной жидкости. Пусть П с Л'2 - область .эксплуатационного сб?гсета с зонной системой нагнетательных и эксплуатационных скважип. В силу малости радиуса скважин по сравнению с размерами области О, будт моделировать скважины точками. Это допущение вполне оправдан^, если принять со внимание, что при моделировании мы будем пслыоекться гипоте ;ой сплошной среды для макроскопического описания процесса.

Пусть {(.т,, >'()},..1 координаты нагнетательных екпажнн, а

{(*,,.>•)},4| д) -координаты эксплуатационныхекптянн.Обозначим

I •• • « 1 в

через »(гД') пористость среды, К0(х,у) проницаемость пористоС; среды, т-толщина пласта, V, скорость фильтрации /-ой жидкости, где / = 1,2. Индекс / = 1, будет о носиться к соде, а индекс ¡~2~к нефти, ^-расходы > скважин, / = + М2.

Используя при выводе математической модели неоднородной двухфазной фильтрации несмешнзггощнхся жидкостей в несжимаемой пористой среде следующие уравнения: 1) уравнение неразрывности; 2) ?акон Дарен; 3) уравнения состояния; 1) уравнения капиллярных давлений, получили систему чз четырех уравнений относительно четырех неизвестных функций г„52,р„рг:

(Л 1-1

(9)

- с!п'(КгтргЪрг ) = - £,У,)

С ? (-ЛГ.+1

(:о)

1 — Л'ю —

10

(11)

5, = I,

где К, Кйки, кы = ——.

/'<

Далее для удобства исследования после некоторых преобразований свели систему (9)-{10 к эллнптнко-параболнческой системе уравнений:

тп — - + + /0)]=О, (12)

+ (13)

где

в^ыМ*,^!)- 2ЛЛ И).

/-1 /-.V1+1

А

„(,),-*Й1*82.ЁР£.,

Л Зя

р~р,- - приведенное давление.

; й? к

Дня замыкания модели,добавим следующие начальные и фаничные услдиня:

^.=0; 5(*,лО) = в0(х,у) (14)

р\гРт> гДе Рп> - пластовое давление. (15)

В пункте 2 подраздела 1.2 система уравнений (12)-{15) приведена к безразмерному виду. Затем предложено два вычислительных алгоритма для решения данной задачи Маскета-Леверетга. При реализации первого алгоритма использовали схему стабилизирующей поправки для решения уравнения (12) относительно водонасыщенности и модифицированный чсбышевский метод для определения давления из уравнения (13). При реализации второго алгоритма для системы уравнений (12)-(13) использовали метод матричной прогонки для неявной относительно искомых, функций схемы. Тут же рассмотрены вопросы вычислительной устойчивости и устойчивости относительно входных данных используемых разностных схем.

В пункте 1.2.3 выполнена численная реализация, проведен сравнительный анализ методов, предложен комбинированный метод, использующий преимущества двух указанных алгоритмов. В результате был получен более эффективный вычислительный алгоритм.

На нескольких примерах численного эксперимента показано, как при численном исследовании данной модели можно детально исследовать процессы, происходящие в модели, и получать результаты количественного и качественно характера, имеющего немалое значение для решения задач технологии добычи нефти. Наличие подобных результатов может существенно помочь при руководстве процессом разработки нефтяного пласта реального месторождения. Анализируя при численном моделировании влияния на процесс добычи темпов закачки, размещения скважин, режима работы и т. п., можно решить проблему повышения нефтеотдачи пласта. 1

2. Создание алгоритма адаптации геолого-математнческой модели

месторождения

При моделировании реального фильтрационного процесса необходим комплексный подход. Корректной математической модели, Допускающей численную реализацию, и эффективного вычислительного алгоритма недостаточно. Большое практическое значение .'меет адаптация математической модели к реальному фильтрационному процессу.

Второй раздел посвящен проблеме адаптации геолого-математической модели месторождения, посредством идентификации параметров модели. Как известно процесс разработки нефтяного пласта проводится несколькими этапами. На первоначальном этапе добыча происходит фонтанным способом и процесс характеризуется изменением распределения давления в пласте. На втором этапе при закачивании воды или других вытесняющих химикатов необходимо иметь информацию об изменении насыщенности двухфазной жидкости. В первом подразделе второго раздела исследуется линейная двумерная модель плановой фильтрации в заданной системе скважин (изменение насыщенности жидкости не учитывается). В качестве управляющей переменной при решении обратной задачи выступает давление жидкости. Во втором подразделе исследуется нелинейная модель Раппопорта-Лиса, описывающая процесс фильтрации двухфазной жидкости и горизонтальном пласте, с учетом капиллярных сил. Управляющей переменной при решении обратной задачи выступает насыщенность нефтяной фазы.

В пункте 2.1.1 приг едена постановка задачи, которую впоследствии будем называть задачей А, и используемые обозначения. Пусть дат многосвязная область сг ограниченная замкнутым несамопересекающимся контуром der и контурами-окружностями dtJj с радиусами г(. Уравнение

n

для давления при упругом режиме фильтрации в двумерном случае может быть записано:

(16) (!■)

(18) (19)

где Х(Х>У) ~ /;———- коэффициент пьсзопроводности, В-

коэффициент сжимаемости пласта, /Л - вязкость, //-толщина нефтяного пласта, ка(х,у)~ проницаемость, ч,-дебит скважин, М = /т, +п2, /;,-количество нагнетательных скважин, пг- количество эксплуатационных дР дР

скважин, -нормальная и касательная производные соответственно.

Далее сформулируем обратную задачу. Пусть известны фактические значения давления, замеренные на скважинах с координатами в

момент времени

Коэффициент проницаемости уточняется исходя нз условия минимизации. следующего функционала:

)]Ч (21)

О У-1

где Р(х,,у,,1,) - решение прямой задачи на у-ой скважине с координатами =

Для минимизации функционала (21) в пункте 2.1.2 раздела 2 был приведем вывод функциональных производных используемых в методе градиентного спуска. Имеем следующее выражение для вариации функционала У:

дг

эр _

\Ьх{х,у)~с1ЫЧ1{ 0,7 = 1, Л/,

На

дР дР

— = 0, прп{х,у)еда, —

СП от

Р(х,у,0) = Ро(х,у),

= 0

л/ = - Г

6х(х,у)(1(т

Рекуррентная формула для определения коэффициента проницаемости имеет следующий вид:

х'-«>'со• = сом!,а * 0,1,2.....

'¡X

Л.1 т где - =

Сопряженная функция Ч-'(х,у,1) является решением следующей задачи:

д1

дЧ'

дп Х(х-У)

= 0,

дп тгг„

[Р; (') - Р(Х, >>,/)] при (х,у) 6 дет]

Итерационный параметр о)0 выбирается таким образом, чтобы приращение на первом итерационном шаге не превышало некоторой заданной относительной погрешности и предлагается следующая расчетная формула:

гттх°(.х,у)

со° = -

шах

'■У

где у - заданная относительная погрешность, допустимая для величины

Г-

В пункте 2.1.3 описана детальная поэтапная численная реалнззция алгоритма уточнения параметра уравнения. Подробный численный анализ приведен в пункте 2.1.4. Здесь с помощью тестовых примеров тщательно исследованы положительные и отрицательные стороны используемого метода, рассмотрены вопросы выбора итерационных параметров и влияние данного выбора па характер минимизации функционала, на количество

итераций и точность уточнения параметра уравнения. Проведена численная реализация алгоритма адаптации для конкретного нефтяного месторождения на период эксплуатации 3 года. Сопоставляются графики изменения расчетных, фактических и уточненных значений давления в различных скважинах. В расчетах использовались геолого- промысловые данные пз истории разработки нефтяного месторождения Кгражанбас. Экстраполируя полученные уточненные значения проницаемости по времени были проведены прогнозные расчеты и полученный результат сопоставлялся с имеющимися фактическими данными, анализируя полученные результаты можно иметь информацию о характере и темпах изменения геофизических свойств пласта, и даже регулировать эти характеристики, управляя объемом расходов, частотой колебания и т.п. Таким образом, в данном пункте получена соответствующая действительности расчетная модель, позволяющая достичь приемлемого совпадения расчетных и фактических значений давления по скважинам и по которой можно выполнять требуемые прогнозные расчеты.

В пункте 5 подраздела 2.1.5 задача (16)-(19) сведена к эквивалентной математической модели, где граничные условия (17) моделировались с помощью мгновенных точечных источников следующим образом:

И'вМх-ХпУ-У,), (22)

С/ 1.1

дР

—- = 0, прн(х,у)едег, (23)

дп

Р(х,у,0) = Р0(х,у), (24)

Это привело к возможности использования более экономичных однородных разностных методов сквозного счета. Задачу (22)-(24) с дополнительными условиями (20) будем называть задачей В и дальнейшее исследование; данной задачи соответствовало методике изложенной в пунктах 2.1.2 и 2.1.3. В пункте 2.1.6 проведен сравнительный анализ решений задачи в различных постановках, исследованы вопросы оптимального соотношения между шагом сетки и радиусом скважины, влияние измельчение шага сетки на решение задач, качество прогнозирования и точность уточнения параметров уравнения при использовании различных численных моделей одного и того же физического процесса и многое другое. Таким образом выполнен количественный и качественный акшшз алгоритма уточнения переменной проницаемости в постановках задач Л и В и приведены рекомендации по использованию данных ; математических моделей. Результаты проиллюстрированы рисунками и таблицами.

Основным предметом исследования по уточнению коэффициентов уравнения в подразделе 2.2 являлась одномерная нелинейная задача

Раппопорта-Лиса. Одной из первых работ по моделированию процесса совместного движения несмешивающихся жидкостей в пористой среде является статья Баклея-Леверетта. Авторами статьи было получено для насыщенности квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка при допущении равенства фазовых давлений. Ясно, что данная схема не может качественно описать процессы, для которых капиллярные эффекты играют достаточно серьезную роль. Вывод математической модели . одномерного течения двухфазной жидкости с учетом капиллярного давления при заданной суммарной скорости фильтрации V — Ух + был впервые.сделан в работе Раппопорта Л. и "иса В. в 1953 году:

К(о+

дх

1 + М)

Ш

8$ 'а

(25)

Так как наш практический интерес заключался в уточнении коэффициента проницаемости для уравнения (25), то уравнение предварительно было сведено к безразмерному виду и преобразовано таким образом, чтобы применить к этому уравнению используемую нами методику:

54

(26),

где

1 *,(*)*,(')/'(*).

(Ь

Ш

к2($) + р0к}(х)

со =

1 (*)/(*)

В

Офпк^'

и, в результате получены следующие граничные условия при £ = 0 :

а» _ Вцй | №

/Ь) #

при £ -1. г < г':

_ „(а* = в _ Ш Ш> /•<*)*,(*) /у) #

при £ = 1, г £ г':

Здесь г = г'-время прорыва воды па эксплуатационной скважине. В качестве начального условия задается распределение насыщенности в момент времени г = 0, которое для простоты считается постоянным.

*(£,<)) = Л

Пусть на нагнетательной и эксплуатационной скважинах из истории разработки известны фактические значения насыщенности - = 0,1,

замеренные в различные моменты времени, где у = 0 - соответствует нагнетательной скважине, а у = 1 - добывающей скважине. Далее проводится дискретизация уравнения по времени и следующий функционал минимизируется для каждого фиксированного момента времени:

^ = -*(!)]' (27)

Далее для вариации функционала (27) в пункте 2.2.2 получено следующее выражение

Пункт 2"2.3 посвящен построению разностных схем для прямой и сопряженной задачи. В пункте 2.2.4, применяя градиентный метод для решения сформулированной обратной задачи, проведены численные эксперименты по уточнению проницаемости, проанализирован характер зависимости основных технологических показателей от вида изменения проницаемости в пласте. Интересным оказался тот факт, что при применении алгоритма уточнения уточняются значения насыщенности по всей длине пласта, т, е. и между скважинами. Модельная задача исследована а широком диапазоне изменения входных данных. Также проанализированы возможности прогнозирования основных геолого- промысловых показателей разработки нефтяного яласта. Полученные результаты проиллюстрированы графическими и цифровыми материалами.

Заключение

Диссертационная работа посвящена исследованию задач террии изотермической фильтрации жидкости в пористой среде. Для практического применения математических моделей предложены вычислительные алгоритмы и метод адаптации математических моделей теории фильтрации для конкретных нефтегазовых месторождений. Обсуждаются вопросы комплексного подхода в решении задач теории фильтрации, заключающиеся в необходимости следующей цепочки: моделирование явления—> построение вычислительного алгоритма-» обоснование применяемых разностных схем -> численный эксперимент, анализ результатоз-> адаптация модели, посредством уточнения параметров для обеспечения приемлемого совпадения результата с фактическими натурными измерениями.

Основные выводы и результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

J. Разработана и обоснована разностная схема для первой краевой задачи уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости, вырождающегося при двух значениях искомой функции..

2, Для описания характеристики фильтрационных процессов построена математическая модель и создан соответствующий вычислительный алгоритм в случае плановой фильтрации.

3. Создана рабочая модель, адаптация которой проводится посредством идентификации коэффициентов уравнения. Рассмотрены различные тестовые примеры. Предложены рекомендации для использования полученных результатов при прогнозе и контроле разработки нефтегазовых месторождений.

Как известно, добыча нефти изначально проводится фонтанным способом, затем существенная доля нефти извлекается вторичными методами (например, вытеснение нефти из пласта водой). Поэтому исследуемые в диссертации модели: линейная модель, искомым решением которого является давление P(x,y,t), одномерная нелинейная модель, искомым решением которого является насыщенность s(x,t) и двумерная нелинейная модель искомым решением которого является давление Р(х,у,1) и насыщенность s{x,y,t) описывают последовательные стадии единого физического процесса фильтрации жидкостей в пористой среде. Для тех или иных нужд прикладного характера каждая из этих мо;»'лей представляет самостоятельный интерес.

Многие автоматизированные системы используемые на нефтяных месторождениях, например система RS-3 (Fisher-Rosemount), система «СКАТ» (Авитрон-Ойл), «Юниор-Интротест»(НПО Интротест), «Луксйд» (ПКБ АСУ Нефть) обладают свойством открытости. Так как для блока

математических моделей, рассматриваемых в данной диссертации, создан пакет прикладных профамм на объектно-ориентированном языке Delphi, то он может быть рекомендован для интеграции с автоматизированными системами используемыми на нефтяных месторождениях. С этой целью начата работа по внедрению полученных результатов на конкретных нефтяных месторождениях Западного региона Республики Казахстан.

Список опубликованных работ но теме диссертации

1. Мусиралиева Ш. Ж., Рысбайулы Б. Оценки устойчивости разностной схемы для первой краевой задачи уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости. // Материалы казахстанско-росснйской научно-практической конференции «Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности».- Алматы.-1997.- с. 103.

2. Мусиралиева Ш. Ж., Рысбайулы Б. Оценки устойчивости разностной схемы для первой краевой задачи уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости. // Вестник КазГУ. Сер. физ.-матем.-1998.-№11.- с. 141-150.

3. Мусиралиева 111. Ж. Численное решение задачи двухфазной плановой фильтрации с заданной системой скважин. // Вестник КазГУ. Сер. физ.-матем.-1998.-№13.-с. 74-82.

4. Мусиралиева Ш. Ж. Численное моделирование задачи плоской двухфазной фильтрации с учетом влияния скважин. // Материалы международной научно-методической конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке»-Алыать:.-1998.- с. 30.

5.. Мусиралиева Ш. Ж., Габбасов М. Б.. Математическое моделирование и численное решение,задач двухфазной плановой фильтрации с заданной, системой скважин. И Материалы российской научно-практической; конференции «Математическое моделирование и новые информационные' технологии».-Новосибирск.-1998.-с. 67.

6.' Мусиралиева Ш. Ж. О свойствах решения одной задачи нензогермнческой фильтрации несмешивающнхся жидкостей с переменными остаточными насыщенностями.// Материалы П-ой казахстанско-росснйской научно-практической конференции «Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности».- Адматы.-1998.- с. 134.

7. Мусиралиева Ш. Ж. Об определении переменной проницаемости нефтяного пласта по фактическим данным. //Нефть и газ,-1999.- №3.- с. 5566. *

8. Musiralieva S.G., Muhambetzhanov S. T. About definition of a variable permeability of oil bed on actual data // Proceeding of the Second ^jVorld Conference "The informative Technologies and'. Control", Материалы казахстапско-америкакской научно-практической конференции.- Алматы,-1999.-с. 112-115.

9. Мусиралнева Ш. Ж. Идентификация параметров нефтяного пласта и их численная реализация на ПЭВМ.// Материалы международной научно- , практической конференции «Проблемы вычислительной 'математики и информационных технологий».-Алматы.-1999.-с. 277.

10. А. Айдарбаев, Ш. Ж. Муснралиева. О совершенствовании автоматизированной системы «ЛУКСАД» //Неф-ft. и газ.-2000.- №1, с. 47-50. П. Мусиралнева Ш. Ж. Об одном методе определения переменной проницаемости нефтедобычи в системе скважин// Вестннк КазГУ. Сер. физ.-матем.-2000.-№2(21).-с. 136-142.

РЕЗЮМЕ Муарелиева Шынар Жсщсбеккязы

ЕК1 ФАЗАЛЫК. СУЗГШЕНУ ТЕОРИЯСЫНЬЩ МОДЕЛДЕР1Н САНДЫК, МОДЕЛДЕУ ЖЭНЕ ПЕЙ1МДЕУ

Диссертациялык жумыс мунай кдтпарындагы сузгаену процсссш сипатгайтын моделдерд! зертгеуге ариалган. Бул "жумыста кдрастырылган математнкалык модеддер ушш сандык тосшдер жонс пакты деректер бойынша ортаньщ етшпштк нараметрш аиыктау тесш усынылады.

Диссертацшща келеа нэтижелер алынган:

1) мунай кдтпарындагы сузплену процесш сипаттайтын б1р елшеищ сызыктык емес жэне ей елшсмд! сызыктык тендеудщ фнльтрацнялык параметрлерш аныктайтын алгоритм зсрттслген;

2) ¡зделпцц функцияныц ею айырыкша маш бар б1р олшскцц ею фазалык суйыктардыц сузгшену тсвдеулсрше сэйкес б1р1шш шектис есеп ушш аЙырымдык схемалардыц орныктылыгы мен жннактылыгы долелденген;

3) накты мунай кдбатындагы сузплену процесш!« сандык жене сапалыц мшездемелер1 сандык мэделдеу одютер1 иепздершде алынган.

RF.St IMF Musiralieva Shinnr Zhenisbekovna

N1IMFRICAI. MOI'F.I.ING AND ADAPTA TION MODFI SOF TWO-PI IASI- FIL TRA TION

Disseitation woik is devoted (o lite investigation of the problems llic theory of I tit ration in porous media. In this wink for mathematical models is offered numerical methods and (he method of identification of variable permeability of oil bed 011 actual data.

In this dissertation the follows resliltx is obtained:

1) the method of identilicntion the filtration parameters for the one dimensional nonlinear and two dimensional linear problems of unsteady filtration of the liquid in oil bed;

2) the proof of stability and convergence of differently schemes is conducted lor the first marginal problem for the process filtration of two-phase liquid, degenerating under two values ofsought functions;

3) on the base of methods numerical modeling received qualitative and quantitative features of nitration processes, occurring in the real oil layer under planned filtration;