автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование физиологических систем методом нечеткой линеаризации

На правах рукописи

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ НЕЧЕТКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Специальность: 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

I

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I

I

■ Москва - 2003

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государственном университете)

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Холодов Александр Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Фаворский Антон Павлович кандидат физико-математических наук, Толстых Михаил Андреевич

Ведущая организация:

Институт математического моделирования РАН

Защита диссертации состоится « » 2003 г. в часов на заседании

диссертационного совета К 212.156.02 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: г. Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., д. 9

I

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института.

Автореферат разослан » 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета:

Федько О.С.

A

\ g ¿j ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Диссертация относится к области численных методов решения уравнений с недетерминированными параметрами (конкретнее, нечетких уравнений), и к области моделирования физиологических систем, - прежде всего, с помощью указанных методов. Актуальность темы во многом обусловлена принципиальной неопределенностью параметров физиологических моделей и отсутствием нечетких методов, способных при разумных затратах вычислительных ресурсов решать нелинейные алгебраические и дифференциальные системы высокой размерности.

Физиология человека является одной из наиболее слабо формализуемых предметных областей, где математические модели зачастую базируются на принципиально приближенных закономерностях (не только на физических законах, но и на экспертных оценках), а значения их параметров всегда имеют существенную неопределенность (обусловленную низкой точностью измерений, субъективностью оценок, вариабельностью значений у различных людей). В то же время, сложность (в частности, нелинейность) уравнений в физиологии достаточно высока, не позволяя использовать аналитические методы получения их решения и оценок его погрешности.

Поэтому в физиологии и аналогичных областях используются численные методы, работающие с недетерминированными значениями параметров и переменных. Условно их можно разделить на три класса: стохастические, интервальные и нечеткие методы. Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки; в частности, наиболее мощные и универсальные нечеткие методы (на базе многократного решения четких задач с комбинированием значений параметров) требуют неприемлемых (для физиологических моделей) вычислительных затрат, растущих экспоненциально с числом нечетких параметров. С другой стороны, высокопроизводительные алгебраические методы обладают более узкой областью применения, требуют аналитических выкладок для каждого типа задачи. Наиболее развитые из них интервальные методы дают слишком большую по величине и слишком малоинформативную по форме неопределенность результатов (что имеет смысл, как правило, только при поиске гарантированных оценок допустимых режимов безотказной работы каких-либо систем). В связи с этим, проблема сочетания в одном методе достоинств существующих подходов к численной обработке неопределенности до cía пор является актуальной.

Наряду с указанной методической проблемой, при разработке комплексных моделей

функциональных систем организма возникает также много Г|Г"°Г^""""" ччгг"

[РОС НАЦИОНАЛЬНА* j

•ШЛИОТСКА С« О*

рактера. Одна из них — проблема моделирования работы сердца и ее регуляции, встречающаяся в большинстве таких исследований — подробно изучается в данной работе. Несмотря на огромное число публикаций по этой тематике, до сих пор актуальной задачей является создание замкнутой модели кровообращения, которая была бы максимально близка к принятому в физиологии способу описания закономерностей сердечной деятельности, и поэтому имела бы минимальное число подлежащих идентификации параметров и минимальный уровень формализации (что позволило бы использовать ее не только математикам, но и специалистам предметной области).

Цель работы

В соответствии с двумя упомянутыми выше проблемами, цель диссертации имеет две тесно взаимосвязанные составляющие:

• создание высокопроизводительного, универсального и простого в реализации метода численного расчета нечетких уравнений разного типа;

• моделирование с его помощью конкретных физиологических систем, включающее анализ погрешности (нечеткости) результатов и их чувствительности к параметрам.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается, прежде всего, в разработанном методе линеаризации', а именно:

• впервые преодолена проблема быстрого (экспоненциального) роста вычислительных затрат с числом нечетких параметров задачи, которая характерна для современных неалгебраических нечетких методов;

• разработанный метод впервые среди высокопроизводительных алгебраических методов решает произвольные нелинейные дифференциальные уравнения и при этом не требует аналитических выкладок для каждого типа задачи;

• впервые вместе с расчетом погрешности (нечеткости) результатов моделирования метод решает задачу анализа чувствительности (приближенно рассчитывает коэффициенты вклада параметров в результаты);

• впервые метод позволяет единообразно рассчитывать нечеткие числа разного типа и с разной алгеброй без разложения их функций принадлежности на интервалы, а также в одном расчете получать семейство результатов, для которых нечеткости параметров отличаются по величине и форме представления.

Научная новизна содержательной части работы относится к модели сердца и заключается в уходе от физических аналогий, которые обычно приводят к большому количеству

неидентифицируемых параметров. Вместо них в модели впервые явно используются имеющиеся эмпирические зависимости и данные о насосных свойствах сердца.

Кроме того, проведенные расчеты с нечеткими параметрами обладают новизной для всех рассматриваемых моделей. Особенно это касается модели нефрона с хаотическим решением: влияние неопределенности параметров на системы со странным аттрактором до сих пор исследовано слабо.

Практическая ценность

Практическая ценность части результатов работы, связанных с методом линеаризации, обусловлена, прежде всего, его ориентацией на применение в прикладных программных пакетах для моделирования. Свойства метода позволяют существенно ускорить и упростить для пользователей таких пакетов оценку неопределенности результатов моделирования, а также оценку степени влияния на них различных параметров. Применяемый вне пакета, метод также позволяет сократить затраты на программную реализацию вычислительных моделей — за счет того, что одну и ту же реализацию метода без изменений в программном коде можно использовать совместно с реализациями относительно произвольных «четких» численных методов и произвольных нечетких чисел.

С точки зрения использования в прикладных моделях функциональных систем организма человека, основным преимуществом разработанной модели сердца является ее замкнутость, т. е. способность замыкать квазистационарные (с характерными временами не менее секунды) модели сосудистых систем, — без привлечения каких бы то ни было эмпирически необоснованных параметров (например, давлений).

Защищаемые положения

1. Разработанный численный метод позволяет решать нечеткие нелинейные алгебраические и дифференциальные уравнения (с произвольной формализацией нечеткости) ценой существенно меньших вычислительных затрат, чем существующие аналоги.

2. Устойчивость расчета «нечеткости» предложенным методом наблюдается при условиях, более слабых, чем условия устойчивости расчета соответствующего «четкого» решения. Погрешность метода является приемлемой для рассмотренных в диссертации тестовых и прикладных задач.

3. Выполненная программная реализация метода удовлетворяет требованиям прикладных пакетов моделирования в слабо формализуемых предметных областях, в частности, сочетается с произвольными «четкими» вычислительными алгоритмами и с разнообразными формами нечетких чисел с произвольной алгеброй.

4. Созданная модель сердца адекватно известным фактам рассчитывает все основные гемодинамические переменные при малом (по сравнению с аналогами) числе входных параметров.

5. Полученные результаты расчета нескольких нечетких физиологических моделей показывают эффективность предложенного метода и дают полезную информацию о погрешности результатов моделирования (обусловленной неопределенностью параметров), а также об их чувствительности к параметрам.

Апробация

Результаты работы докладывались:

• на научных конференциях МФТИ (Долгопрудный, 1999,2003);

• на международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003).

• на научно-практической конференции «Теоретические и практические аспекты медицинской кибернетики» (Москва, 2001).

Публикации

Научные результаты диссертации опубликованы в 8 работах общим объемом 56 стр.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Каждая глава завершается разделом «Резюме» с перечнем полученных в ней результатов и промежуточными выводами. Общий объем диссертации составляет 125 страниц, в том числе 116 страниц основного текста, включающего 43 рисунка и 5 таблиц. Список литературы включает 53 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 (Введение) включает описание актуальности темы, цели и задач работы, обоснования новизны ее результатов, а также формулировку защищаемых положений и ограничений работы (т. е. задач, которые в ней не решались, и областей применимости результатов решенных задач). Большая часть Введения отводится обзору математических методов обработки неопределенности и существующих моделей кровообращения; на основании этого обзора указывается место предложенного в работе метода и модели.

Глава 2 посвящена изложению идеи, математической и алгоритмической формулировки метода линеаризации, а также теоретическим оценкам эффективности метода, анализу его области применимости и перспективам его совершенствования.

Идея преодоления проблемы операций над зависимыми нечеткими числами состоит в том, что число должно хранить не только свое текущее значение (включающее некоторым образом формализованную погрешность), но и информацию о том, из каких исходных данных и как это число было получено. Это дополнительно дает очень полезную в приложениях возможность анализа результатов численных экспериментов на предмет того, каким образом сказались на них заданные исходные данные. Однако буквальная реализация указанной идеи приводит к неадекватным затратам памяти и времени расчетов: фактически, нечеткое число превращается из значения в формулу зависимости значения от исходных данных; причем с каждым параметром этой формулы при арифметических операциях должны производиться сложные вычисления. Поэтому в целях экономии ресурсов нечеткое число предлагается представлять в виде линейной комбинации по нечетким числам — исходным данным. Это выражается формулой

где хо, — часть числа х„ не зависящая от исходных нечетких чисел В числе х, должны храниться лишь ссылки на эти числа (или их идентификаторы у, в зависимости от языка реализации), и скалярные коэффициенты сч при них. Ниже такая конструкция называется «линеаризованной историей» числа. В отличие от отмеченного выше полного варианта хранения информации об истории, текущее значение нечеткого числа при использовании линеаризованной истории не теряет смысла и также должно храниться в числе.

В базовом варианте метода алгоритм арифметической операции над числами х\ и дтг выглядит следующим образом:

1. Определяется набор исходных данных {/}, которые должны входить в линеаризованную историю результата операции. В простейшем случае это делается объединением множеств {/'}| и {/}2, хотя число элементов множества {/'} может бьггь уменьшено путем исключения тех исходных чисел которые дают несущественный вклад в х.

2. Для каждого Уе{/}]0{/}2 рассчитываются коэффициенты линейной комбинации (для остальных у из {/}| или {/}2 расчет тривиален). В случае сложения/вычитания это можно сделать точно:

в случае умножения/деления — лишь приближенно (заменяя по очереди каждый из нечетких операндов х, на его среднее скалярное значение а,):

(1)

ЛГ = ДГ|±Х2=> С* =С^±Сгг

(2а)

X = х,х2 => с* И д с^а2 + (1 - д)с2, (26)

где вес д является одинаковым для всех ], в простейшем случае равен 1/2 и может зависеть от всех произведений с,рз_,. Выбор весовой функции д влияет на погрешность и устойчивость метода. В случае деления рекомендуется рассматривать 1/лг как элементарную функцию (см. формулу (6)), вследствие чего

х=х\1х2 с^ х-с* Iа\ . (2в)

3. Вычисляется величина поправки к погрешности, обусловленной наличием в линеаризованных историях и Х2 одних и тех же чисел Данный шаг алгоритма является единственным, который требует проведения различных аналитических выкладок для разных форм нечетких чисел. В случае гауссовских чисел эти выкладки дают для сложения/вычитания

Да2 = ±2^>; , 8* = сис2]а) (За)

1

для умножения —

Да2 =(Си%)2(аЛ)2 (36)

]

а для деления —

а2 7

где а2/ — дисперсии исходных нечетких чисел, Да2 — (аддитивная) поправка к дисперсии о2, вычисляемой на шаге 4.

4. По правилам соответствующей нечеткой алгебры проводится обычная арифметическая операция (с числами х\ и х2 как с независимыми). Например, для гауссовского числа на этом шаге вычисляется как среднее значение а, так и его дисперсия о2; для сложения/вычитания независимых чисел и хг имеем

а2 = а,2 + ог, (4а)

для умножения/деления —

о2 = а2(а,2/а,2 + а22/а22). (46)

Итоговая погрешность рассчитывается с учетом найденной на шаге 3 поправки. Следует заметить, что в стандартной нечеткой алгебре (гауссовских и большинства других нечетких чисел) отсутствует свойство дистрибутивности погрешности (ширины интервала и т. п.). В частности, если х = а (6+с), а у = а-Ь+а с, то алгебра независимых га-

уссовских чисел (см. формулы 4) дает (а/-аг2) = 2-Ьс-а2. Поправка из формулы (За), учитывающая, что оба числа а в формуле для у — это одно и то же число, возвращает свойство дистрибутивности погрешности. Однако это верно только в том случае, если нечеткие числа, содержащие в своей линеаризованной истории одно и то же исходное нечеткое число, входят в формулы аддитивно (не перемножаясь). В противном случае даже предлагаемая поправка к погрешности (см. формулу 36) не обеспечивает свойство дистрибутивности. Нарушение дистрибутивности допустимо в безытерационных алгоритмах решения алгебраических уравнений, однако в более сложных задачах оно приводит к неверному решению, — как правило, к экспоненциальному росту погрешности (со временем или с номером итерации). Поэтому вместо шагов 3-4 описанного алгоритма предлагается явно применять правила соответствующей алгебры по отношению к исходным нечетким числам. В случае гауссовских чисел этот («прямой») вариант метода дает:

а2(*,+*2)=1>,42> (5а)

1

Л 1г

а%£л)=а2»а1 +аХ2 я^МЛ, Аа)а) Д™/1=У2=У-

Эти формулы получаются напрямую путем сложения (5а) и умножения (56) чисел XI и хг в представлении (1). Хотя необходимость в таком прямом методе вызвана свойствами операции умножения, наряду с (56) необходимо также использовать формулу для сложения (5а) вместо (За,4а). Сложение (5а) требует даже меньше машинных операций, чем (За), однако умножение в прямом методе является гораздо менее экономичным: число машинных операций становится пропорциональным не длине линейной комбинации К, а

К2. По этой

причине для грубых оценок целесообразно производить умножение нечетких чисел не по старым, а по новым коэффициентам линейной комбинации, заменяя

К2 умножений К

сложениями:

<*2(*л) = 2>,42- (56')

}

Преимуществом формул (5) по сравнению с (3-4) является отсутствие необходимости в аналитических выкладках, которые для некоторых типов нечетких чисел являются очень громоздкими, а для произвольных функций принадлежности без интервального представления вообще невозможны. Кроме того, в прямом варианте метода достаточно решить задачу один раз при каких-то одних значениях параметров, заданных в какой-либо

одной форме (можно даже при четких значениях), после чего можно много раз подставлять в найденные линейные комбинации не только другие значения нечеткости, но и нечеткие числа (с тем же средним), представленные в другой форме. Другими словами, каждый следующий расчет одной нечеткой задачи может проводиться без пересчета коэффициентов и, соответственно, без использования базовых вычислительных алгоритмов. Это существенно экономит машинное время в нечетких вычислительных экспериментах.

Предлагаемое правило изменения коэффициентов при вычислении произвольной элементарной функции над нечетким числом у = /(х) сводится к их умножению на скалярное значение производной этой функции

СУ1 (6)

Обосновать это приближенное правило можно исходя из линейной экстраполяционной формулы для_/(х) (разложения в ряд Тейлора до первого члена). Для того чтобы сумма линейной комбинации вычисленного таким образом результата функции была равна скалярному значению результата, необходимо также положить

(6')

]

Если производная /'(а) определяется численно, то формулы (6,6') можно рассматривать как экстраполяцию значения функции нечеткого аргумента по близким (четким) соседним точкам на кривой Да). Данный способ вычисления коэффициентов комбинации, не зависящий от функции Дх), позволяет определить и само нечеткое значение функции, используя только ее аналог для вещественных чисел Да). Для этого достаточно восстановить нечеткость значения функции по найденной линейной комбинации, пользуясь стандартной формулой сложения независимых нечетких чисел (см. формулу 5а для гауссовских чисел).

Таким образом, прямой вариант метода нечеткой линеаризации является простой надстройкой над произвольной алгеброй независимых нечетких чисел (его реализация не требует изменения кода операций), а также предъявляет малые требования к этой алгебре (в частности, не требует специальных алгоритмов вычисления нечетких функций).

Количество машинных операций, необходимых для одной операции над нечеткими числами, пропорционально числу элементов К во множестве {/Ь^Шг. т. е. длине линеаризованной истории результата операции: К<К\+Кг. Коэффициент пропорциональности для случая гауссовских чисел меняется в пределах от 4 до 13 (в зависимости от операции). В случае прямого метода расчета погрешности умножения (56), количество операций пропорционально К\К.2 (имеет вид 5К+((>-%)К\Кг). При этом сложение (и умножение по фор-

муле (56')) занимает всего 3К операций, а вычисление нечеткой функции методом линеаризации, — 3 К операций плюс затраты на однократное вычисление соответствующей скалярной функции и ее производной.

Основной проблемой, ограничивающей область применения предложенного метода, является эффект диссипации коэффициентов линейной комбинации, который при решении нелинейных задач (с использованием значения 1/2 параметра <7 формулы умножения (26)) может приводить к существенному (иногда в разы) уменьшению погрешности по сравнению с методами многократного решения четких задач. Перспективными представ-( ляются следующие направления борьбы с диссипацией коэффициентов:

1. Построение алгоритмов выбора оптимального весового коэффициента ¡7 в формуле ^ умножения (26), который по свойствам был бы между константным коэффициентом

9 = 1/2 (диссипативный вариант) и проанализированной в работе функцией отношения средних операндов с граничными условиями 0 и 1 (осциллирующий вариант).

2. Использование вместо линеаризованной истории «истории второго порядка» — представление нечеткого числа в виде квадратного многочлена многих переменных.

3. Хранение в «истории» не только разложения каждого числа по начальному состоянию системы, но и динамики этого состояния на протяжении нескольких операций (которые могут соответствовать одной или нескольким итерациям системы).

Глава 3 посвящена тестированию изложенного в главе 2 метода линеаризации с целью:

• иллюстрации свойств получаемых с его помощью решений;

• исследования влияния на эти свойства используемого численного метода;

• оценки реальной производительности метода;

• сравнения решений с результатами других авторов.

В этой главе рассматриваются нечеткие дифференциальные уравнения; и хотя в процессе их численного решения рассчитывались также нечеткие алгебраические уравнения, само по себе это не является предметом данной главы (см. также Главу 5). В частности, решаются колебательные уравнения 2-го порядка: нелинейное уравнение Релея

ск1А = а-у + Ь-\р-хъ^4у1А = -х и его линейный аналог - простой осциллятор <з£с/сЛ = а ■ у, ¿у/А = -х ■

Соответствующие задачи Коши имеют три общих параметра: множитель а = 0.2+0.1 и начальные условия хо = 2±0.5, уо ~ 1±0.5; параметр уравнения Релея Ь = аср.

На рис. 1А,Б показаны погрешности решений обоих уравнений, полученные при расчете на отрезке [0;80] с постоянным шагом 0.1 явным методом Рунге-Кутты 4-го порядка. На рис. 1В погрешность решения линейного уравнения сравнивается с модулем разности четких решений, полученных при значениях параметров, которые отличаются от указанных значений на оу (в обе стороны). Тот факт, что кривая погрешности нечеткого решения ограничена кривыми разностей четких решений, показывает, что предлагаемый подход дает результат, близкий к стандартной методике учета нечеткости за счет многократного расчета четких задач.

1 5

) 20 40 60 А. Уравнение Релея

20 40 60 80

В. Разности четких решений

20 40 60 80 Б. Линейный осциллятор Рис. 1. А, Б — погрешность (а) ^-компонент решений. Тип линии соответствует учитываемым нечетким параметрам: пунктир - хо, штриховая - (дго, Уо), сплошная - (а, хо, уо). В - сравнение погрешности ^-компоненты решения линейного уравнения (сплошная линия) с модулем разности решений, полученных при вариациях параметров (пунктир).

В работе исследовалась также зависимость погрешности нечеткого решения от свойств численного метода (порядка, явности) и шага интегрирования. При этом во всех случаях не обнаружено относительных различий погрешности решений, превышающих относительное различие самих (средних) решений. Это иллюстрирует тот факт, что коэффициенты линейной комбинации обрабатываются численными методами в соответствии с известными закономерностями «четкой» вычислительной математики.

Также следует обратить внимание на то, что при использованном (относительно грубом) шаге по времени, равном 0.1, скалярное решение уравнения Релея (при Ь > 10) явным методом начинает расходиться с некоторого момента времени. Однако это не мешает корректно рассчитывать нечеткость решения, так как расходимость проявляется только в свободном члене линейной комбинации, но не в ее коэффициентах.

Затраты машинного времени при использовании метода линеаризации оказались значительно меньше затрат на многократное решение четкой задачи (условия сравнения

затрат см. ниже). В частности, расчет уравнения Релея с одним нечетким а требует 0.71 с, с 2-мя нечеткими (xo^o) — 0.81 с, с 3-мя нечеткими (ал^о) — 1.01 с; в то время как один четкий расчет занимает 0.25 с, а его 5, 25 и 125-кратные повторения занимают, соответственно, 0.86 с, 3.8 с и 19 с, что в 1.21,4.7, и 19 раз больше.

Далее метод линеаризации сравнивается с методом многократного решения четких задач на примере нечеткой задачи из области теории массового обслуживания. Эта задача и соответствующий метод изложены в [*]. После загрузки экскаватором за время 1/ц N грузовиков отвозят грунт, а спустя время 1N встают снова в очередь к экскаватору. Нечеткие вероятности возникновения очереди из к грузовиков (обозначаемые через pift), к = 0,1,..АО определяются из следующей системы дифференциальных уравнений:

>о(0 = -М-ро(0 + №1>

рк{t) = (N -к +1 )ур*_,(Г)-(ц+ (N-k)v)pk(<)+№jt+1 СО, * = l..iV-l,

PN = vPw-l '

В расчетах 1/ц принимается равным нечеткому числу с «треугольной» функцией принадлежности с основанием [2;б], al/v — [9;11].В начальный момент времени состояние системы полностью определено: р»(0) = 1, а для к = 0,1,. JV—1 piff)) = 0.

На рис. 2 для случая N = 3 сопоставляются результаты решения данной задачи в интервальных числах (на базе алгебры, позволяющей интерпретировать среднее значение интервалов как четкое решение). Как видно, характерная неопределенность решения методом линеаризации меньше неопределенности, вычисленной по минимаксному критерию (но имеет качественно близкую динамику, включая эффект минимума погрешности в окрестности f = 5 с). Характерная погрешность, полученная методом многократного расчета четких задач, в диссертации также сравнивается с результатами применения метода линеаризации к различным алгебрам (гауссовская, несколько вариантов интервальной).

При решении задачи обслуживания N= 3 грузовиков методом нечеткой линеаризации с гауссовскими числами затраты машинного времени (за 400 шагов явного метода Рунге-Купы 4-го порядка) составляют 1.0 с. При использовании интервальной алгебры с представлением нечетких чисел в виде 1 и 4 интервалов эти затраты увеличиваются. В случае стандартной интервальной алгебры они составляют 1.5 и 2.5 с, соответственно.

Oberguggenberger M, Pittschmann S. Differential equations with fuzzy parameters. II Mathematical and Computer Modeling of Dynamical Systems, 5:181-202,1999. http://techmath.uibk.ac.at/numbau/publications/98-2.ps

13

Рис. 2. Сравнение методов при Лг= 3: вероятность очереди из двух грузовиков/>г(0

Для оценки аналогичных временных затрат при многократных расчетах четкой задачи предполагается, что каждый нечеткий параметр может быть принят равным одному из М =5 четких значений (это минимум, необходимый даже для приближенного анализа). Соответственно, К нечетких параметров в силу их независимости дают А/* комбинаций четких значений, два параметра данной задачи — А/ = 25. Для каждой такой комбинации нужно проводить свой расчет, не говоря уже о дополнительном и-кратном увеличении числа расчетов при аппроксимации функции принадлежности п интервалами. В (*] число п варьировалось от 4 до 8; здесь при оценках затрат п равнялось 1 (при этом нечеткая задача заменяется на интервальную). Даже в этом случае 25-кратный расчет задачи занимает 3.7 с машинного времени, что в 2.5 раз больше, чем расчет методом линеаризации в интервальных числах (с л = 1), и в 3.7 раз больше, чем в гауссовских.

Глава 4 описывает разработанную модель кровообращения (поскольку новизна модели сосредоточена в способе формализации ею сердечной деятельности, ниже она называется моделью сердца). Модель является квазистационарной, то есть в ней рассчитываются средние равновесные значения давлений и скоростей. Под равновесными значениями здесь понимаются те, которые устанавливаются в кровеносной системе спустя некоторое время после какого-либо изменения её входных данных (это время имеет порядок 1 сек), а под средними значениями - осреднённые по периоду сердечного цикла (также около 1 сек); пульсации параметров явно не учитываются. Модель является замкнутой в том смысле, что не содержит в качестве исходных данных гемодинамические переменные (давления или скорости кровотока) ни в одной точке кровеносной системы.

Свойства сердца принято сводить к 3-м эмпирическим диаграммам «давление-объём»:

1. кривая пассивного растяжения — зависимость давления в расслабленном желудочке (в диастоле) Ра от его объёма У<1;

2. кривая изоволюметрических максимумов — соотношение между начальным объёмом желудочка У4 и максимальным давлением Рт, которое он может развить в систоле при данном (постоянном) объёме;

3. кривая изотонических максимумов — соотношение между начальным давлением в желудочке Р11 и минимальным объёмом Ут, до которого он может сократиться при данном (постоянном) давлении.

На основе этого система уравнений для левого желудочка формируется таким образом:

1. Рт = Р• /г^УаIт) — кривая изоволюметрических максимумов (р — коэффициент, инотропного (усиливающего) влияния вегетативной нервной системы; у — индивидуальный коэффициент отличия объёма сердца от среднестатистического значения). 2- V* - 7' /з ) — кривая изотонических максимумов.

3. У^ = у • /, (Р^ ) — кривая пассивного растяжения.

4. Реальное сокращение сердца, с момента открытия аортального и легочного клапанов, происходит по ауксотоническому закону, то есть по некоторому промежуточному закону между изоволюметрическим и изотоническим. На диаграмме работы сердца (см. рис. 3) в первом приближении этот факт можно описать наклонным отрезком прямой

Р5-Ра=К-АУ,где ДУ = У<1-У3 — (7)

ударный объем сердца, К-жёсткость желудочка.

5. В момент перехода от систолы к диастоле этот отрезок достигает кривой сокращений с постнагрузкой, которая с достаточной точностью может быть приближена прямой

р Рт~Р<! у Р<У<1 -Рт^т

_у у _у ' (*>

У<! *т Г<1 %

где индексом 5 обозначены систолические значения давления и объёма.

6. Помимо ударного объёма Д У, систолическое давление зависит от диастолическо-го давления в аорте Ра, которое противодействует открытию аортального клапана, тем самым определяя начало периода изгнания. Эти две величины связываются соотношением, которое получается интегрированием дифференциального уравнения, описывающего процесс релаксации давления в системе сосудов:

где Рош — давление на выходе соответствующего круга кровообращения, а длительность диастолы т^ равна разности между периодом сердечного цикла г (г-У/, где / — частота пульса) и приблизительно постоянной продолжительностью систолы т^.

7. Наконец, поток через желудочек Q связан с ударным объёмом:

(ю)

т

8. Произвольная модель сосудов каждого круга кровообращения (ниже параметры большого круга помечаются индексом 1, легочного - индексом 2) с точки зрения модели центрального кровообращения характеризуется всего одним простым законом

Р -Р

■RQ,

(П)

где Я — интегральное гемодинамическое сопротивление круга.

9. Для правого желудочка (для которого неизвестны количественные характеристики кривых «давление-объем»), предлагается использовать уравнение типа (11) с отрицательным сопротивлением (Л»).

Полученная таким образом нелинейная алгебраическая система уравнений с 10-ю параметрами (в их числе частота пульса, свойства сосудов, нервные влияния) частично разрешается аналитически, так что с точки зрения численного решения система имеет только три неизвестных. Однако на выходе модель дает 9 переменных, включая системный кровоток <2, ударный объем АУ, верхнее Ру, нижнее Ра и среднее Р\т артериальные давления. Предложенный итерационный алгоритм расчета системы подобен процессу приспособления сердца к изменениям параметров, что гарантирует сходимость итераций.

□ 0 25 0 50 0 75 0 100 0 125 0 150 0 175 0 200 0 225 ( Рис. 3. Приспособление PV-диаграммы работы сердца к эмоциональному возбуждению На рис. 3 этот процесс иллюстрируется для случая повышения симпатического и понижения парасимпатического тонуса, что приводит к увеличению частоты пульса (хроно-

16

тропный эффект) и подъему кривой изоволюметрических максимумов (инотропиый эффект). Различным оттенкам серого на рисунке соответствуют номера итераций: нормальное состояние (с давлением 120/80 мм.рт.ст.) показано светло-серым, а равновесное возбужденное состояние - черным. Аналогично исследовалось приспособление сердца к изменению жесткости и сопротивления сосудов. В диссертации также построены параметрические кривые, две из которых приведены на рис. 4 - зависимости основных результатов модели от частоты пульса и возраста (определяющего жесткость артерий).

Возраст.лет Частота сердечных сокращений, уд/млн

Рис. 4. Влияние параметров модели сердца на артериальные давления и кровоток

Глава 5 посвящена использованию изложенного в главе 2 метода линеаризации для расчета (с нечеткими параметрами) описанной в главе 4 алгебраической модели сердца.

' Кроме того, в качестве более интересной по математическим свойствам физиологической

модели в данной главе используется модель нефрона, сводящаяся к системе обыкновен-

V них дифференциальных уравнений. Все параметры моделей задавались с погрешностью,

которая формализовывалась в виде гауссовских нечетких чисел.

1

На рис. 5 показаны «вклады» различных нечетких параметров в важнейшие результаты модели сердца (они пропорциональны неопределенности результатов). Параметр Р определяет инотропное (усиливающее) влияние на сердце вегетативной нервной системы, у - размер сердца, возраст (age) - жесткость системных артерий (£), К/Е - жесткость желудочка; параметр /-это частота пульса, R\ — сопротивление большого круга, R„. - правого желудочка. Приведенные результаты анализа чувствительности модели к исходным данным согласуются с физиологическими фактами и представлениями. В частности, возраст (повышение жесткости артерий и желудочка) существенно увеличивает верхнее артериальное давление и уменьшает значения всех остальных переменных; наибольший (положительный) вклад в

нижнее артериальное давление вносит Я|, в верхнее артериальное давление — параметр ЮЕ, а в системный кровоток — частота пульса / (стоит отметить, что вклад этого параметра в 3.5 раза превышает вклад ближайшего «конкурента» по влиянию на кровоток — инотропного коэффициента р). Важным результатом является относительно слабая зависимость основных переменных от неточно известного параметра Я,: коэффициенты при нем на порядок меньше коэффициентов при других основных параметрах, а из-за малого среднего значения его вклад меньше других на два порядка.

Рис. 5. Нормированные на единицу коэффициенты влияния параметров на результаты

(IV О Ре Ра Р1т

Рис. 6. Относительные погрешности результатов в расчетах с различными наборами нечетких параметров Представленные на рис. 4 относительные погрешности результатов в большинстве случаев оказались меньше погрешностей каждого из нечетких параметров. Особенно важно, что это касается основных переменных модели сердца — Q, Ра' при погрешности всех 10-и параметров в 15% эти показатели имеют неопределенность всего 5-10%. И напротив, максимальной неопределенностью обладают наименее значимые результаты: так, относительная погрешность систолического и диастолического объемов достигает 40%.

Вторая модель, исследованная в Главе 5 с помощью метода линеаризации, описывает транспортные и гемодинамические процессы в нефроне, является системой 7 дифференциальных уравнений с хаотическими режимами и содержит 22 параметра [fJ. Она определяет давления и потоки в системе «приносящая артериола — клубочек — проксимальный извитой каналец — петля Генле — дистальный извитой каналец» и учитывает при этом обратные связи миогенного характера (авторегуляция артериолы) и рецепторно-го происхождения (влияние рецепторов дистального извитого канальца — tubuloglomerular feedback), а также осмотическое равновесие. В диссертации проанализирован вопрос о наиболее неопределенных и наиболее влиятельных параметрах модели нефрона. Из них подробно исследовались параметры, значения которых определяются лишь косвенно (из экспертных оценок): время запаздывания механизма обратной связи, коэффициент, определяющий ее величину, частота колебательного уравнения для радиуса артериолы, а также сопротивление петли Генле (параметр, известный из эксперимента).

На рис. 7 представлена динамика погрешности основных переменных модели нефрона - давления в проксимальном извитом канальце Р,, кровяного давления в клубочке Pg, радиуса клубочковой артериолы г (в данном расчете все 22 параметра имели погрешность 10%). Абсолютная погрешность Р, осциллирует значительно меньше, чем погрешность «клубочковых» переменных Pg и г; это соответствует тому факту, что параметры колебательного уравнения для радиуса артериолы сильнее влияют на «клубочковые», нежели на

Рис. 7. Динамика абсолютных (А) и относительных (Б) погрешностей в модели нефрона

f E. Mosekilde, M. Barfred, N.-H. Holstein-Rathlou. Bifurcation analysis of nephron pressure and flow regulation // Chaos, 1996 - Vol. 6 - P. 280-287.

19

Глава 6 - «Программная реализация и внедрение метода» - посвящена особенностям программной реализации разработанного метода, а также реализованным в нем требованиям программных пакетов для моделирования в слабо формализуемых предметных областях. В настоящее время метод внедрен в такой пакет (разрабатываемый автором диссертации) и позволил удовлетворить перечисленным ниже требованиям пользователя.

1. Исходные параметры одной модели могут иметь различное происхождение (результаты эксперимента, статистические данные, экспертные оценки) и различную форму представления неопределенности своих значений: среднеквадратичные отклонения, интервалы (гарантированные или для набора доверительных вероятностей) и т. д.

2. Погрешность результатов моделирования, независимо от формы неопределенности исходных данных, также должна представляться в различных формах.

3. Необходимость явного представления степени влияния конкретных входных параметров на результаты моделирования с целью облегчения (особенно для не специалистов в области математики и моделирования) работы по идентификации параметров.

4. Произвольность (возможность ввода пользователем) численных методов и даже математического класса решаемых уравнений; т. е. возможность обработки произвольных алгоритмов (вводимых в графической форме) в дополнение к предопределенным методам решения уравнений (которые требуют сильной формализации задачи в виде вектор-функций, что неприемлемо для многих специалистов-предметников).

5. Возможность работы с нечеткими моделями с помощью тех же вычислительных алгоритмов, что и с детерминированными.

Несмотря на основное назначение метода линеаризации — применение в прикладных пакетах моделирования, — он существенно облегчает и ускоряет разработку нечетких моделей и без использования какого-либо пакета. Это стало возможным благодаря тому, что метод хорошо согласуется с концепциями объектно-ориентированного программирования; в частности, соответствующий программный код легко расширяется и повторно используется. В разделе 6.2 диссертации это утверждение иллюстрируется при описании объектно-ориентированной реализации метода. Там в независимом от языка программирования формате (иМЦ представляются разработанные программные единицы (классы), которые связаны с понятиями нечетких чисел, функций и с особенностями метода линеаризации. Такая реализация описывается в рамках общей концепции автора по применению объектно-ориентированного подхода в вычислительной математике [5] и имитационном моделировании [4].

В Заключении приводятся основные результаты и выводы диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основными результатами работы являются следующие:

1. Разработан метод линеаризации, применимый для расчета неопределенности решений алгебраических и дифференциальных уравнений, которая обусловлена нечеткими исходными данными. Теоретически проанализировано несколько вариантов метода, среди которых выбран оптимальный с точки зрения производительности, универсальности и удобства реализации вариант.

2. Выполнена программная реализация метода линеаризации, удовлетворяющая таким требованиям как использование произвольных алгебр нечетких чисел и произвольных «четких» численных методов.

3. Проведено тестирование метода линеаризации на известных задачах с целью иллюстрации его эффективности и свойств решений, получаемых с его помощью; с целью анализа влияния на эти свойства «четкого» численного метода и с целью сравнения решений с результатами других авторов. Сравнение показало хорошее согласие между нечеткими решениями при существенно меньших затратах машинного времени в случае использования предложенного метода.

4. Создана замкнутая модель сердечной деятельности, в явном виде использующая эмпирически обоснованные физиологические зависимости вместо общепринятой физической аналогии между сердечно-сосудистой системой и электрической цепью с нелинейными элементами. В имитационных экспериментах с моделью исследовано комплексное влияние на кровообращение нескольких факторов (вегетативное возбуждение, патологии сосудов) с расчетом основных клинически значимых показателей.

5. Осуществлены расчеты с нечеткими параметрами разработанной алгебраической модели сердца и модели гемодинамических и транспортных процессов в нефроне; проведена интерпретация и оценка результатов с физиологической точки зрения. При исследовании системы дифференциальных уравнений с бифуркацией (в модели нефро-на) показано, что хаотические свойства системы сохраняются при переходе от «четких» значений переменной к характеристикам ее нечеткости.

Таким образом, предложенные в работе метод линеаризации и модель сердца обладают рядом преимуществ по сравнению с существующими аналогами. Расчеты с помощью данного метода неопределенности результатов моделирования и их чувствительности к параметрам показывают эффективность метода, а также пригодность модели для практического использования.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Евдокимов A.B. Метод нечеткой линеаризации для численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений // Электронный журнал "Исследовано в России", 168,2003 - С. 2042-2058. http://zhurnal.ape.relarn ru/articles/2003/168.pdf

2. Евдокимов A.B., Холодов А.С Квазистационарная пространственно распределенная модель замкнутого кровообращения организма человека // В кн.: Компьютерные модели и прогресс медицины. - М.: Наука, 2001. - С. 164-193.

3. Белоцерковский О М., Холодов АС., Петров И Б., Лобанов А.И., Евдокимов А.В Вычислительные модели в физиологии человека. // Теоретические и практические аспекты медицинской кибернетики: Материалы научно-практической конференции - М.: ГВКГ им. Бурденко, 2001 - С. 26-28

4. Бурыкин А А, Евдокимов А В. О применении объектно-ориентированного анализа при создании сложных компьютерных моделей в физиологии. // Тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ, часть I - Долгопрудный, 1999 - С 50.

5. Евдокимов A.B. Объектно-ориентированный подход в математическом и имитационном моделировании. // Тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ, часть II - Долгопрудный, 1999 - С. 85

6. Евдокимов А В. Метод нечеткой линеаризации для численного решения дифференциальных уравнений с погрешностью параметров. // Сборник научных трудов XLVI научной конференции МФТИ - Долгопрудный, 2003 - 2 с.

7. Евдокимов А В, Аболина А В Применение метода линеаризации к расчету нечетких физиологических моделей. // Сборник научных трудов XLVI научной конференции МФТИ - Долгопрудный, 2003 - 2 с.

8. Евдокимов A.B. Численное решение нечетких дифференциальных уравнений методом линеаризации. // Тезисы IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям - ИВМ СО РАН, Красноярск, 2003 -1 с. (http://www.ict.nsc.ru/ws/show_abstract.dhtml?m+83+6080)

it I

. I I

1

i

)

\

I

! {

»18455

(М55-

I-

\

I

I

(

Евдокимов Алексей Витальевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

МЕТОДОМ НЕЧЕТКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ I

Подписано в печать 22.10.2003. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. |

Усл. печ. л. 1,2. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 70 экз. Заказ № ¿08 у

1

Московский физико-технический институт 1

(государственный университет) ^ I

Отдел автоматизированных издательских систем |

"ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ" [

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 (

Глава 1. Введение и обзор.

1.1. Цель работы и ее актуальность.

1.2. Решаемые задачи и научная новизна работы.

1.3. Практическая значимость и использование результатов работы

1.4. Обзор математических методов обработки неопределенности.

1.5. Обзор моделей кровообращения.

1.6. Ограничения работы.

1.7. Положения, выносимые на защиту.

Глава 2. Метод линеаризации для численного решения нечетких уравнений.

2.1. Анализ существующих нечетких методов и идея метода линеаризации.

2.2. Метод линеаризации как метод учета зависимостей чисел.

2.3. Прямой вариант метода линеаризации.

2.4. Экономичность метода линеаризации.

2.5. Ограничения метода и перспективы его развития.

2.6. Резюме.

Глава 3. Результаты решения тестовых систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом линеаризации.

3.1. Простейшее дифференциальное уравнение.

3.2. Колебательные системы: линейный осциллятор, уравнения Ван-дер-Поля и Релея.

3.3. Влияние численного метода решения ОДУ на нечеткое решение уравнения Релея методом линеаризации.

3.4. Сопоставление результатов в задаче массового обслуживания. Экономичность метода. Влияние способа описания нечеткости.

3.5. Резюме.

Глава 4. Квазистационарная модель сердца.

4.1. Рассматриваемые физиологические проблемы и эффекты.

4.2. Алгебраическая модель сердца.

4.3. Численная реализация модели.

4.4. Результаты численных расчетов модели и их верификация.

4.5. Резюме.

Глава 5. Применение метода линеаризации к физиологическим моделям с нечеткими параметрами.

5.1. Результаты нечетких расчетов алгебраической модели сердца.

5.2. Чувствительность модели сердца к исходным данным.

5.3. Модель гемодинамики и транспортных процессов в нефроне.

5.4. Нечеткие результаты модели нефрона и ее чувствительность к исходным данным.

5.5. Резюме.

Глава 6. Программная реализация и внедрение метода.

6.1. Требования к методу с точки зрения использующего его прикладного пакета.

6.2. Объектно-ориентированная реализация нечетких расчетов методом линеаризации.

1.1. Цель работы и ее актуальность

Целью данной работы является расчет погрешности результатов численного моделирования некоторых физиологических систем, обусловленной неопределенностью их параметров, с помощью разработанного метода.

Физиология человека является одной из наиболее слабо формализуемых предметных областей, где математические модели зачастую базируются на принципиально приближенных закономерностях (не только на физических законах, но и на экспертных оценках), а значения их параметров всегда имеют существенную неопределенность (обусловленную низкой точностью измерений, субъективностью оценок, вариабельностью значений у различных людей). В то же время, сложность (в частности, нелинейность) уравнений в физиологии достаточно высока, не позволяя использовать аналитические методы получения их решения и оценок его погрешности. Поэтому в этой области особенно актуальной является проблема расчета неопределенности результатов численного моделирования.

Для решения этой проблемы при моделировании в физиологии и других областях давно используются разнообразные численные методы, учитывающие неопределенность параметров моделей. Условно их можно разделить на три класса: стохастические, интервальные и нечеткие методы. Каждый из них имеет свои достоинства, недостатки и область применения, которые перечисляются ниже в разделе 1.4. Наиболее гибкими и интенсивно развивающимися в настоящее время являются численные методы, представляющие неопределенность в форме нечетких чисел с произвольной функцией принадлежности. Однако реализация наиболее точных нечетких методов требует слишком больших вычислительных ресурсов, экспоненциально увеличивающихся с ростом числа нечетких параметров. С другой стороны, высокопроизводительные и математически строгие алгебраические методы интервальных вычислений дают слишком большую по величине и слишком мапоинформативную по форме неопределенность результатов, которая имеет смысл далеко не во всех прикладных задачах. В связи с этим, проблема сочетания в одном методе достоинств существующих подходов к численной обработке неопределенности до сих пор является актуальной.

К настоящему времени математическая физиология накопила достаточно много знаний и моделей на их основе, чтобы переходить от описания частных явлений к комплексному моделированию функциональных систем и даже организма в целом. По мнению части исследователей, именно такие модели в состоянии преодолеть барьер, который отделяет физиологическую кибернетику от практического применения (прежде всего, медицинского), и обусловлен интенсивными системными взаимодействиями в организме. При создании комплексных моделей организма учет неопределенности параметров играет большую роль (хотя бы по причине их большого количества), однако существующие численные методы, как правило, не отвечают требованиям таких моделей. В частности, комплексные физиологические модели почти всегда являются весьма разнородными с математической точки зрения: они могут одновременно содержать подсистемы с сосредоточенными параметрами (алгебраические и дифференциальные) и пространственно распределенные части, описываемые уравнениями в частных производных на ветвящейся одномерной, двумерной или трехмерной геометриях.

Поэтому, помимо упомянутых выше требований высокой производительности метода и не слишком большой неопределенности его результатов, для таких моделей важна универсальность численного метода в смысле его пригодности к расчету широкого класса математических типов уравнений. Также метод должен быть универсальным в смысле произвольности способа формализации неопределенных параметров: параметры комплексных моделей могут быть как экспериментального происхождения (со статистической неопределенностью измерений), так и экспертными оценками, взятыми из разных источников и плохо сопоставимых между собой. Обе трактовки универсальности метода становятся особенно важными, когда речь идет о его реализации в рамках некоторого прикладного программного пакета широкого назначения, т. е. когда заранее неизвестно, какие неопределенные данные будут вводиться в модель, к каким типам уравнений она сведется и даже какие вычислительные алгоритмы будут использованы для ее расчетов.

При разработке комплексных моделей функциональных систем организма, наряду с недостаточностью существующих методов обработки неопределенности, возникает также много проблем содержательного характера. Одна из них — проблема моделирования работы сердца и ее регуляции, встречающаяся в большинстве таких исследований — подробно исследуется в данной работе. Несмотря на огромное число публикаций по этой тематике (см. раздел 1.5), до сих пор является актуальной задачей создание замкнутой модели кровообращения, которая была бы максимально близка к принятому в физиологии способу описания закономерностей сердечной деятельности, и поэтому имела бы минимальное число подлежащих идентификации параметров и минимальный уровень формализации (что позволило бы использовать ее не только математикам, но и специалистам предметной области).

Таким образом, цель диссертации имеет две тесно взаимосвязанные составляющие: во-первых, создание высокопроизводительного, универсального и простого в реализации инструмента численного расчета нечетких уравнений; во-вторых, моделирование с его помощью конкретных физиологических систем, включающее анализ погрешности (нечеткости) результатов и их чувствительности к исходным данным.

Заключение

В работе предложен высокопроизводительный метод проведения алгебраических операций с зависимыми нечеткими числами на основе хранения линеаризованной истории операций. Универсальность метода позволяет реа-лизовывать расчеты с нечеткими числами без привязки к конкретным классам задач (алгебраических или дифференциальных) и к конкретным вычислительным алгоритмам, предназначенным для решения этих задач в вещественных числах. Кроме того, метод позволяет анализировать погрешности результатов расчетов на предмет их чувствительности к конкретным параметрам, а также максимально экономичным образом проводить серию однотипных расчетов, в которых нечеткости параметров отличаются по величине и форме представления. Метод внедрен в программном пакете для моделирования версии 2.1, находящейся в настоящее время в стадии альфа-тестирования.

Содержательным результатом диссертации является замкнутая модель кровообращения человека с минимальным числом подлежащих идентификации параметров и минимальным уровнем формализации закономерностей сердечной деятельности. Адекватность модели подтверждается сопоставлением с известными статистическими данными, а также явным использованием в модели эмпирических диаграмм работы сердца.

В работе приведены результаты расчетов (предложенным методом) алгебраической модели сердца и разнообразных дифференциальных систем в гауссовских и интервальных нечетких числах с помощью нескольких стандартных вычислительных алгоритмов. Проведено сопоставление полученных погрешностей решения с их оценками через многократное решение соответствующих четких задач, а также с результатами других авторов, пользующихся основанной на этом методикой решения нечетких дифференциальных уравнений. Сопоставление показало хорошее качественное, а иногда и количественное согласие между решениями при существенно меньших затратах машинного времени в случае использования предложенного метода.

1. Алтунин А. Е., Семухин М. В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: монография - Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. - 352 с.

2. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа Новосибирск: Наука, 1986. - 222 с.

3. Абрамович Ф.П., Вагенкнехт М.А., Хургин Я. И. Решение нечетких систем линейных алгебраических уравнений Lß-типа // Методы и системы принятия решений: сб. статей. Рига: РПИ, 1987. - С. 35-47

4. Захаров A.B.у Шокин Ю.И. Алгебраическое интервальное решение систем линейных интервальных уравнений Ax = bnAx + d = b: Препринт / ВЦ СО АН СССР. -Красноярск, 1987. -№5 -17 с.

5. Семухин М.В. Разрешимость нечетких и интервальных уравнений. Вестник Тюменского государственного университета. Тюмень: ТюмГУ, 1998. -Вып. 2 - С. 23-26.

6. АленфельдГ., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления М: Мир, 1987. - 360 с.

7. Кейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. -М: Наука, 1985. 248 с.

8. БазаровМ.Б., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. О построении конечно-разностных интервальных методов для обыкновенных дифференциальных уравнений // Вопросы вычислительной и прикладной математики: сб. статей. ИК АН УзССР, 1984. - Вып. 71. - С. 131-144.

9. Маланин В.В., Полосков И.Е. Случайные процессы в нелинейных динамических системах. Аналитические и численные методы исследования. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.160 с.

10. Стратонович P. JI. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966. - 209 с.

11. Казаков И. Е., Мальчиков С. В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. М.: Наука, 1983. - 384 с.

12. Синщын В. И. Методы статистической линеаризации (обзор) // АиТ., 1974- №5 С. 3-36.

13. Крендалл С. Случайные колебания с нелинейными восстанавливающими силами. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1961. - 144 с.

14. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971- 328 с.

15. Neumaier A. Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1990.

16. Fortran 95 Interval Arithmetic Programming Reference (Forte Developer 6 update 2). http://docs.sun.com/db/doc/806-7994.pdf

17. Kutscher S., Schulze J. Some Aspects of Uncertain Modeling Experiences in Applying Interval Mathematics to Practical Problems // Bandemer H. (editor). Modelling Uncertain Data. Akademie Verlag, Berlin, 1993 - P. 62-68.

18. MoorR.E. A survey of interval methods for differential equations // Proc. 23rd IEEE Conf. Decis. and Contr., Las Vegas, Nev., 1984. Vol.3 - P. 1529-1535.

19. Kaufmann A., Gupta M.M. Introduction to Fuzzy Arithmetic: Theory and Applications. Van Nostrand Reinhold Company, New York, 1985.

20. Walley P. Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities. Chapman & Hall, London, 1991.

21. Isukapalli S.S. Uncertainty Analysis of Transport-Transformation Models: PhD thesis. Rutgers, The State University of New Jersey, 1999.http: / /www. ccl. rutge rs. edu/ ~ss i/thes is/thes is. html.

22. Adomian G. Applied stochastic processes // Adomian G. (editor). Stochastic System Analysis. Academic Press, New York, 1980. - P. 1-17.

23. Пугачев B.C., Синицын И.М. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985. - 560 с.

24. Bischof С. Н., Khademi Р., Mauer A., Carle A. ADIFOR 2.0 automatic differentiation of Fortran 77 programs // IEEE Computational Science & Engineering., 1996. - Vol. 3, N3- P. 18-32.

25. Гущин В.А., Онуфриева И.П. Численное исследование течения жидкости в сосуде с локальными изменениями поперечного сечения. // Медицинская биомеханика. Рига, 1986 - Т. 2 - С. 53-59.

26. Холодов А. С. Некоторые динамические модели внешнего дыхания и кровообращения с учетом их связности и переноса веществ // Компьютерные модели и прогресс медицины. М.: Наука, 2001. - С. 127-163.

27. Евдокимов A.B., Холодов A.C. Квазистационарная пространственно распределенная модель замкнутого кровообращения организма человека // Компьютерные модели и прогресс медицины. М.: Наука, 2001. -С. 164-193.

28. Абакумов M.В., Гаврилюк К.В., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Лукшин A.B., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы // Дифференциальные уравнения, 1997. Т.33(7) - С. 892-898.

29. Абакумов М. В., Есикова Н. Б., Мухин С. И., Соснин Н. В., Тишкин В. Ф., Фаворский А.П. Разностная схема решения задач гемодинамики на графе: Препринт / М., Диалог-МГУ, 1998.

30. Солодянников Ю.В. Элементы математического моделирования и идентификации системы кровообращения. Самара: ЗАО Самара-Диалог, 2003.

31. Гродинс Ф. Теория регулирования и биологические системы. М., Мир, 1966.

32. AI. Шумаков В.К, Зимин Н.К., Иткин Г.П. Искусственное сердце. М.: Наука,1988.

33. Гайтон А. Минутный объём сердца и его регуляция. М.: Мир, 1969. -472 с.

34. Аносов Н.М., Палец Б.Л., Агапов Б.Т., Ермакова И.И., Лябах Е.Г., Пацкина С.А., Соловьев В. П. Теоретическое исследование физиологических систем. Математическое моделирование. К.: Наукова думка, 1977. - 245 с.

35. ЛищукВ. А. Математическая теория кровообращения. -М.: Медицина, 1991.

36. Лигай В. В. Применение нечетких и интервальных алгебр для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений: магистерская диссертация МФТИ, 2003. - 38 с.

37. Физиология человека. В 3-х томах. Т. 2. Под ред. Шмидта Р. и Тевса Г. -М. Мир, 1996. 313 с.

38. Аболина А. В. Моделирование транспортных процессов в нефроне: выпускная квалификационная работа на степень бакалавра. МФТИ, 2003.

39. E. Mosekilde, M. Barfred, N.-H. Holstein-Rathlou. Bifurcation analysis of nephron pressure and flow regulation // Chaos, 1996 Vol. 6 - P. 280-287.

40. БурыкинАА., Евдокимов А. В. О применении объектно-ориентированного анализа при создании сложных компьютерных моделей в физиологии. // Тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ Долгопрудный, 1999 - с. 50

41. Евдокимов А. В. Объектно-ориентированный подход в математическом и имитационном моделировании. // Тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ Долгопрудный, 1999 - С. 85

42. Евдокимов А. В. Объектно-ориентированный подход в вычислительной математике и имитационном моделировании. Магистерская диссертация. Долгопрудный, МФТИ, 2000.