автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Частотные модели и методы анализа робастности динамических систем

На правах рукописи 664602507

ЧЕЧУРИН Леонид Сергеевич

ЧАСТОТНЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА РОБАСТНОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

? О Ш 2Г.З

Санкт-Петербург - 2010

004602507

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» (СПбГПУ)

Научный консультант: д. ф.-м. н. СКУБОВ Д.Ю. (СПбГПУ)

Официальные оппоненты:

засл. деятель науки и техники РФ,

лауреат Государственной премии СССР,

д. т. п., проф. ШАХТ АРИН Б.И. (МГТУ им. Н.Э.Баумана)

д. т. н., проф. ШАШИХИН В.Н. (СПбГПУ)

д. т. н., проф. ТИМОФЕЕВ A.B. (СПИИ РАН)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится 3 июня 2010 г. в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д 212.229.10 в Санкт-Петербургском государственном политехническом университете по адресу: 194251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29. Ус/- ,сЧ/&> /-2-/

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке СПбГПУ.

Автореферат разослан о^р -^л. Л- 2010 г.

Ученый секретарь }' ]

диссертационного совета, Ц Кудряшов Э.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Основные усилия в области исследований моделей динамических объектов, имеющей с 80-х годов прошлого века наименование "робастность", сосредоточены на решении следующих общих задач анализа и синтеза. Анализ: пусть построена модель, описывающая состояние некоторого объекта, и выбран показатель качества. Спрашивается, сохраняется ли выбранное качество, если параметры, описывающие объект или действующее на него возмущение, претерпевают изменения в некотором достаточно широком диапазоне? Синтез: как построить объект, гарантирующий сохранение вышевыбранного качества при изменении параметров? Обоснованный ответ на эти вопросы, очевидно, весьма интересен для практики, где неопределенность неизбежна по двум причинам. Во-первых, параметры объекта, а иногда и структура изучаемой системы могут быть подвержены изменениям, т.е. отличаться от номинальных в принятой модели. Во-вторых, любая модель в большей или меньшей степени упрощает свой физический оригинал, это отличие можно трактовать как неопределенность описания. И в том, и в другом случае заключение о робастности позволит дать определенные гарантии применимости проведенного анализа к реальному объекту.

Историю анализа поведения системы в случае различных возмущений ее описания можно отсчитывать уже с ранних работ по устойчивости колебаний. Самостоятельное имя, постановку и набор инструментов направление исследования робастности получало в течение трех последних десятков лет (отправным пунктом обычно называют работы Дж. Зеймса). С тех пор оно неизменно попадает в списки разделов важнейших международных конференций и периодики по теории динамических систем.

В этом направлении трудятся многие отечественные ученые: B.JL Харитонов, Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков, А.П.Курдюков, В.Л. Харитонов, Г.А. Леонов, Н.Е. Барабанов, А.Н. Чурилов, A.B. Тимофеев, А.Х. Гелиг, Б.И. Шахтарин, К.А. Пупков, а также зарубежные исследователи А. В.-д.-

Шафт, А. Исидори, Ж. Слотин, К. Дойл, Дж. Гловер, Б. Френсис, К. Шерер, X. Квакернаак, П. Гайие, А. Немировский и др. Многие из указанных исследований отличаются строгой постановкой задачи и используют надежный, но абстрактный формализм, который не всегда соотносится с особенностями инженерной практики и, как правило, не дает возможности вскрыть физический смысл результатов. Следствием этого является относительно слабое проникновение методов робастности в практическую деятельность. Кроме того, для известных подходов к анализу робастности характерно отсутствие общности, выражающееся в строгом разделении методов исследования для различных классов систем. Актуальна необходимость пополнения такой академичной теории единым и достаточно (хотя бы и приближенным) наглядным подходом к оценке робастности, использующим физически измеримые величины. Фундамент такого подхода логично искать в частотных математических моделях и построенных на них методах анализа динамических процессов, распространенных на нестационарные и нелинейные системы с помощью гармонического приближения (это направление сформировано работами Н.М. Крылова и H.H. Боголюбова и развито Л.С. Гольдфарбом, В.М. Поповым, Дж. Бонджиорно, Е.П. Поповым, Е.И. Хлыпало и др.). Таким образом, основная идея представляемой к защите работы связана с разработкой частотных математических моделей динамических объектов, а также с развитием качественных и приближенных частотных методов анализа робастности различных классов нестационарных и нелинейных систем.

Цель работы заключается в решении проблемы разработки частотных математических моделей и создания на этой основе общей частотной методологии оценки робастности динамических систем. Задачи, решаемые для достижения цели, состоят в: 1. развитии методов анализа и синтеза линейных робастных стационарных систем управления,

2. создании частотных моделей и методов оценки робастности в нестацио-

нарных системах,

3. создании частотных моделей и методов оценки робастности процессов в нелинейных системах.

Методы исследования. В качестве основы для разработки новых аналитических результатов использовались теория дифференциальных уравнений, теория автоматического управления, функциональный анализ, теория колебаний, метод гармонического баланса, метод стационаризации. Для проверки получаемых результатов применялся численный эксперимент.

Научная новизна заключается в развитии нового единого (частотного) подхода к анализу робастности стационарных, нестационарных и нелинейных динамических систем. Для ряда известных задач исследования робастной устойчивости получены новые решения в форме точных и приближенных частотных критериев устойчивости для достаточно широких классов нестационарных и нелинейных объектов. Предложен ряд новых постановок задач оценки робастности применительно к различным классам неопределенности нестационарных (устойчивость систем с периодическим изменением параметра, периодическим изменением структуры и др.) и нелинейных (устойчивость процессов на классах нелинейностей, амплитуд и частот входного сигнала и др.) систем и получены их решения в форме приближенных частотных критериев. Для анализа линейных объектов с распределенными параметрами предложена новая методика полупения их частотных математических моделей. Разработан новый способ частотного моделирования ряда экономических объектов.

Практическая ценность полученных результатов заключается в появившейся возможности оценки робастности широкого класса нестационарных и нелинейных систем управления по построенным или полученным из эксперимента частотным характеристикам их линейных частей. Диссертация содержит главу, специально посвященную примерам

анализа робастности применительно к различным техническим и экономическим системам. Прилагаются документы о внедрении и использовании результатов диссертации.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием достоверных исходных положений и их развитием с помощью формального математического аппарата. Все полученные таким образом результаты подтверждались численными экспериментами.

На защиту выкосятся:

1. Для линейных стационарных объектов:

- асимптотическая модификация синтеза робастного регулятора по двум уравнениям Риккати при сингулярности стандартной Н,_ задачи,

- методика получения передаточных функций объектов с распределенными параметрами,

- методика редукции робастного регулятора.

2. Методика составления частотных математических моделей для исследования робастности.

3. Частотно-алгебраические критерии робастной устойчивости нелинейных и нестационарных систем.

4. Частотные оценки робастной устойчивости нестационарных систем.

5. Частотные оценки робастности процессов в нелинейных системах.

6. Решение прикладных задач.

Апробация работы проводилась на ряде научных конференций и семинаров, из которых наиболее значимые:

• «Advanced Summer Institute - ASI», Тулуза (Франция), LA AS, 1996 г.

• «Annual Meeting of Korean Mechanical Society», Куми (Южная Корея), 1998 г.

• IASTED International Conference on Modeling, Identification and Control, Иннсбрук (Австрия), 1999 г.

• «Advanced Problem in Mechanics - АРМ», Репино, 2003 и 2005 г.г.

• «Physics and Control - PhysCon», Санкт-Петербург, 2004 и 2005 г.г.

6

• «ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers in Engineering Conference», JIac-Berac (США), 2007 г.

• Научный семинар лаборатории «Управление сложными системами» Института проблем машиноведения РАН (рук. проф. А.Л. Фрадков)

• Научный семинар кафедры «Прикладная математика и кибернетика» факультета математики и механики Санкт-Петербургского государственного университета (рук. чл.-корр. РАН Г.А. Леонов)

• Научный семинар лаборатории №7 Института проблем управления РАН (рук. проф. Б.Т. Поляк).

Диссертация содержит 255 страниц, 124 рисунка, 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Первая глава диссертации является вводной. В ней формулируются цели и задачи диссертации, вводятся определения робастности, приводится контекст диссертации в форме краткого исторического обзора исследований, связанных с этой тематикой.

Несмотря на относительную молодость самого термина «робастность», работы, либо в чистом виде относящиеся к этой теме, либо связанные с ней теснейшим образом, обнаруживаются уже среди ранних трудов по теории колебаний, теории устойчивости и математической теории динамических систем. Так, один из важнейших методов анализа динамических объектов -метод малого параметра А. Пуанкаре, основан на весьма близкой идее оценки влияния малых возмущений на решение уравнений опорной модели. В сущности, историю могут представить связанные с математическим моделированием неопределенности работы И.А. Вышнеградского, А.Н. Крылова, Ю.И. Неймарка, методы оценки устойчивости нелинейных систем A.M. Ляпунова, анализ грубости нелинейных систем A.A. Андронова и Л.С. Понтрягина, труды по абсолютной устойчивости В.Д. Якубовича, Б.Н. Наумова и Я.З. Цыпкина, М.А. Айзермана, Р. Калмана и многих других. Современную эру исследования робастности систем с обратной связью открыли работы Дж. Зеймса (1970 г.), где впервые появился сам этот термин.

Успехи в оптимизации с равномерно-частотной нормой (В.Д. Адамян, Д.З. Аров, М.Г. Крейн, Дж. Дойл, К. Гловер, Б. Френсис) породили множество работ с Нх-м критерием, ставшим на некоторое время синонимом робастности. Это труды К. Шерера, X. Квакернаака, A.A. Первозванского, работы, связанные с использованием линейных матричных неравенств, JIMH (П. Гайне, А. Немировского, А.Н. Чурилова и A.B. Гессена и др.).

К аспектам анализа робастности нелинейных динамических систем относятся современные работы А. Исидори, А.в.-д. Шафта, Ж. Слотина, Г.А. Леонова, А.Е. и Н.Е. Барабановых, использующие классические методы.

Отдельные ветви составляют исследования устойчивости интервальных полиномов на основе годографа Михайлова (В.Л. Харитонов, Б.Т. Поляк, С. Бхатачарья), интервальных матриц на основе анализа уравнений Лурье-Риккати (В.Н. Шашихин) и работы по определению радиуса устойчивости для возмущений матриц, в т.ч. нестационарных (Д.Хинришен и А.Притчард).

Большой востребованностью в инженерном деле отличаются методы, объединенные использованием частотного анализа и передаточных функций. При этом известный критерий устойчивости Найквиста (1932 г.) можно рассматривать как первый частотный инструмент исследования устойчивости линейных стационарных систем при непараметрическом возмущении. Важной вехой стала работа А.И.Лурье (1956г.), открывшая возможности представления нелинейных систем в форме систем с обратной связью. В развитие частотного направления внесен вклад Н.М. Крыловым, H.H. Боголюбовым, а также Л.С. Гольдфарбом, В.М. Поповым, Дж. Бонджиорно, Е.П. Поповым, Е.И. Хлыпало, E.H. Розенвассером и др.

Вторая глава посвящена анализу робастности линейных стационарных систем управления при параметрической и структурной неопределенности в описании объекта, построению частотных моделей систем с

распределенными параметрами и вопросам робастной редукции математических моделей систем управления.

В начале главы обсуждается моделирование неопределенности описания объекта управления и, когда это имеет смысл, оценка его устойчивости на классе этих возмущений. Дается краткий обзор известных подходов к оценке устойчивости объектов управления, параметры которых стационарны, но могут принадлежать некоторым интервалам (так называемые интервальные системы). Разделяются случаи возмущения матриц пространства состояний и коэффициентов (знаменателя) дробно-рациональной передаточной функции (далее - п.ф.) объекта С(р). Для первого случая перечисляются методы теории возмущений матриц и выделяется методика, использующая линейные матричные неравенства. Для второго случая излагается теоретическая основа частотного анализа, используемая для получения ряда новых результатов.

Приводится постановка задачи анализа структурных возмущений, связанных, как правило, с изменением порядка передаточной функции объекта. Возмущения номинальной (возможно, матричной) устойчивой п.ф. Со(р) обозначаются ЛС(/;) и называются в зависимости от того, как они входят в п.ф. исследуемого объекта:

- аддитивными Дл, если й(р) = (У0(р) + Ал(р),

- мультипликативными Ар, если С(р) = [1 + Аг(р)]Сп(р),

- дробио-рациональными [Ад/(р), А\(/^)], если (1п(р) = М0(р)/Ма(р),

с( ) = М„(р) + Ам(р)

где Мо(р), Ло(р), Лд/уу), Лд{/;) — устойчивые строго реализуемые дробно-рациональные п.ф. Как правило, ограничения на возмущения Д(р) задаются в форме нормы или частотно-зависимой мажоранты:

|ЛС(7<г>)|т <3 или а(А(М)<\пиа))\,

где а(а) - максимальное сингулярное собственное число матрицы а, П-Ноо -верхняя граница этого числа по частотам (или Н, норма и.ф.).

Характер разрабатываемого единого частотного подхода к анализу робастности требует получения частотных моделей объектов с распределенными параметрами. Для этого разработана методика получения их в форме п.ф., позволяющая строить приближения заданного порядка (порядок явно входит в выражение аппроксимирующей п.ф.). Во-первых, это достаточно простой способ построения частотной модели линейной части системы, необходимой, в частности, для подходов к анализу нестационарных и нелинейных систем, разрабатываемых в следующих главах. Во-вторых, это дает возможность исследовать робастность замены реального объекта с бесконечным числом степеней свободы конечномерным. Суть методики иллюстрируется простым случаем моделирования колебаний круглого вала постоянного сечения, описываемого уравнением в частных производных второго порядка. Затем она применяется к более сложной задаче построения частотной модели балки Тимошенко, описываемой следующей системой уравнений

д лд2™

дх dt

дх dt

M-V = pl^f, (1)

V = kAG<f>-kAG—,

дх

M = E1i*.

дх

где x - линейная координата оси балки, /(лу) - распределенная нагрузка, V(x,t) - перерезывающая сила, M(x,t) — перерезывающий момент, w(x,t) -прогиб, <j){x,t) - угол поворота сечения; А, /, G, р,к- параметры балки.

Определенная схема конечно-разностной аппроксимации сводит (1) к дифференциально-разностному уравнению. К нему применяются обыкновенное (по времени) и дискретное (по координате) преобразования

Лапласа с получением алгебраической системы уравнений, в данном случае легко разрешаемой.

Совершив обратное г-преобразование, получаем искомые п.ф. как явные функции номера ячейки (сечения);?:

где /*,, и„ ц VV - выражения с физическими параметрами системы. Учет граничных условий приводит к матричному выражению вида

где а,у - некоторые трансцендентные функции от п и р. При р=](о оно имеет смысл частотных характеристик при различных граничных условиях. Построение обратного 2-прсобразов;шия является сложной аналитической процедурой и не всегда возможно, это ограничивает применение метода.

Следующий раздел посвящен развитию метода синтеза обратной связи для объектов с неопределенностью. Приведены краткие обзоры истории вопроса, постановки задач и современных подходов (в большинстве своем опирающихся на ЛМН) к синтезу регулятора. Акцент сделан на постановке задачи и методах решения в частотной области, а именно: на задаче робастной фильтрации внешних возмущений неизвестного, но ограниченного по мощности спектра, и сводимой к ней задаче синтеза стабилизирующего регулятора для объекта с ограниченными аддитивными возмущениями в п.ф.

. , . .вшЬ П7)

+гА сояп \т +(г4со8П \1'+п4)-,

втИ \\>п

-2 со5П и/г +(;,со8П и'+//,)-,

аи а12 а,3 а,4 Г/и(0)| \М{п,р)

а21 а 22 а1Ъ я24 I у(0) I

«31 «32 «33 «34 ] ФФ) Ф(п,р)

«41 «42 «43 «44_|ЬК0)]

Кратко разъяснена причина возникновения сингулярности стандартной процедуры синтеза робастного регулятора в ряде постановок (например, в случае так называемой оптимизации функционала смешанной чувствительности) и предложено усовершенствование - асимптотическая модификация, корректность которой обосновывается двумя теоремами.

а)

б)

К(р)

Рис. 1. Задача синтеза робастного управления при дробно-рациональных возмущениях в объекте: а) общий вид, б) эквивалентная схема

Теорема 1

Две следующие задачи эквивалентны:

1. Максимизация запаса устойчивости при структурных возмущениях объекта (рис. 1, а)

G0(p)= Л/о>) N0(p), М(р) = \Up) + Am (р), Щр) = Щр) + Av (р).

2. Минимизация Нх нормы передаточной функции Tzi{p) в следующей системе (рис. 1,6)

у = Щ{р)и = Mf;l(p) N0(P) и, и= К(р)у, z, =^!I<l(p)u + M;)l(p)U(p)g,

V(P)

y = H0{p)u + Mj{p)V{p)Z

V(P)

Щр)

где \Щсо)\ и \ УЦа)\ - частотные мажоранты максимального сингулярного собственного числа Лд/(/л>) и Л\{/7ч), соответственно. Теорема 2

Пусть все нули знаменателя передаточной функции 1/(р)Мп'] (р) принадлежат открытой левой полуплоскости. Пусть матрицы [А, В,, С,,Ау] есть матрицы пространства состояний задачи рис. 1, 6. Тогда 12

Iim/D(£) = 0, lim y(s) = yP,

г->0 f—>0

где }{е)= maх{ур, /nie), y,Σ)\- Здесь ур обозначает нижнюю границу значений параметра у, при которых существует положительно определенное решение Руравнения

АТР + РА- Р(В2 Вг - у'2 Вх BiT)P + С,Т С, = О,

Уо(е) обозначает... (аналогично) ...решение Dуравнения

AD + DAт - D(£-1C11C2 - у'2 C\ C\)D + Я,Я,Т = О,

yfls) обозначает нижнюю границу значении параметра у , при котором выполняется неравенство

у-2 p{P(y)D(y,£)} <1 .

Теоремы обосновывают искусственное введение малых шумов измерений у=С2х + eij, где s малая положительная величина, и дают возможность применять стандартные программы Matlab. Это использовано при синтезе робастного управления ротором на магнитном подвесе (глава 5).

Рассматривается задача робастной редукции. Это обусловлено естественным желанием оставить в построенной модели объекта управления лишь наиболее существенное или, зная оценку разницы между оригиналом и аппроксимацией ||A(/j)||=||G(p)-Gpca(p)||, строить робастные по отношению к ней регуляторы. Кроме того, для практического использования любых регуляторов, построенных классическими методами, необходимо постараться обоснованно снизить их порядок (регуляторы, построенные, например, методами пространства состояний, имеют высокую размерность, как минимум, равную размерности управляемого объекта). Приведена конструкция нового алгоритма синтеза робастного регулятора заданной размерности на основе JIMH, суть которого разъясняется в главе, посвященной решению прикладных задач.

Глава завершается рассмотрением задачи обеспечения робастности по показателям качества линейных стационарных управляемых систем, причем

13

в качестве показателей качества выбраны Я2- и/или Я^-нормы. Приводится краткий обзор по актуальной задаче так называемого смешанного Нг/Нт управления и подходам к ее решению. Исходя из свойств оптимального по равномерно-частотной норме регулятора и полученного опыта вычислений, сформулирован ряд рекомендаций для практиков, в частности, касающихся целесообразности использования субоптимальных решений.

Третья глава посвящена аспектам робастной устойчивости линейных нестационарных систем и открывается кратким обсуждением используемых исходных положений: это достаточный критерий устойчивости нестационарных систем Бонджиорно и метод гармонической стационаризации. Затем изложены основные результаты.

Частотно-алгебраический достаточный критерий устойчивости класса нестационарных систем. Пусть в периодически нестационарной системе с параметром a(t)

полиномы имеют вид Ы(р)=Ь„р" + +.....+Ь1Р+Ь0, М(р)=с„ V' + сп V2 +......+с#+с0.

(Эквивалентная для задачи устойчивости структурная схема приведена на рис. 2, где \У(р)=М(р)1М(р)). Пусть периодический параметр имеет вид а(/)= ап + а40, где я0 - постоянная составляющая (среднее) параметра, аМ) -ограниченная центрированная периодическая составляющая, то есть

N(p)x(t) + M(p)[a(t)x{t)]=Q,

(2)

\aXt)\<a.

W(p)

Рис. 2. Линейная автономная нестационарная система

Рассматривается полином

0(р)~-с1„р"+с1„.ф"л +... + О, (3)

комплексные коэффициенты которого имеют вид б/,=/;,1 (ло+с/соя(р^стп<р)с: и их действительные Кеб/, и мнимые \rncl, части, соответственно, ограничены интервалами [а;, Д ] и [Л,-, //, ], причем

а, = Ь, + , Р, = 6, + Л, = а, = - а.

Утверждение. Для устойчивости колебаний периодически нестационарной системы (2) достаточно робастной параметрической (интервальной) устойчивости по <р системы, описываемой характеристическим уравнением (3), устойчивость которой проверяется гурвицевостью восьми полиномов

= («о +УЛо) + (а, +т)р + (Рг Ш)Р2 + (А + (а4 +Дф4 + («5 +т)р5 + ...,

02*(р) = («о +7>о) + (Д +№)/> + (р> Ь'Я2)р2 + (ау +]Хъ)ръ + («4 +]р4)р4 + Цк +М)р5 + .... £>3>) = цк +/Л) + («I + («2 ур2)р2 + (Рз +м)р' + (А +А.)р4 + («5 +АФ5 +.. £>4» = (А) +//'о) + (Д +Д0/> + (а2 +М2)р2 + (аз +М)р3 + (Д +М)р" + (Рь +]Я5)р5 + ... , ОГ(р) = (Оо +/Л) + (Р\ )Р + (Рг +М)р2 + («з +У/'з)/>3 + («4 УЫр4 + (Д +/Л5)р5 +..., 02~(р) = (а0 ур0) + (а, + (/% +/'Л2)р2 + (/% +7>з)/>3 + («4 + (я5 +/Л5)/?5 + ....

£>з~(р) = (А) +А>) + (А +т)Р + («2 +/>2)/>2 + (аз +Дз)р3 + (Ра +]Ла)Р4 + (Д +///5)р5 + ■ • 04» = (Ра +/>/„) + («1 + (а2 +]Х2)р2 + (/% +уЯ3)р3 + (Д +у//4)р4 + (а5 +у//5)р5 + .... (4)

Критерий доказывается представлением окружности Бонджиорно через возмущения комплекснозначных интервальных коэффициентов годографа характеристического полинома В(р,<р). Устойчивость семейства возмущенных комплексных полиномов в соответствии с теоремой Харитонова определяется гурвицевостью восьми полиномов (для случая М(р)= 1 - четырех или даже, с учетом критерия Цыпкина-Поляка, одного).

Приведены примеры расчета и разъяснение природы достаточности критерия. Таким образом, получена частотная модель нестационарного объекта, на основе которой построен алгебраический критерий оценки

робастиости интервальных нестационарных систем, сводящихся к описанию вида (2).

Приближенный частотно-алгебраический критерий отсутствия т-го параметрического резонанса уточняет полученную оценку. Однако, оставаясь алгебраическим, является уже лишь приближенным. Его построение и формулировка отличаются от предыдущего тем, что вместо окружности Бонджиорно радиуса а используется другая модель, построенная на базе одночастотного гармонического приближения. Это окружность т-го параметрического резонанса (или окружность годографа стационаризованной передаточной функции параметра a(t), соответствующей т-у параметрическому резонансу), радиус которой

Так, для обычно наиболее опасного случая первого параметрического резонанса при синусоидальном изменении a(t) вместо а в коэффициентах

примеров, показывающих эффективность критерия в случае, когда закон изменения параметра далек от гармонического. Предложенный подход к оценке устойчивости, в отличие от результата Д. Бонджиорно, обобщается на случай синхронного, но не синфазного изменения нескольких параметров.

интервальных систем дает возможность оценить их устойчивость на классе функций изменения параметра. Суть подхода заключается в построении новой математической модели, полученной на основании огибающей семейства окружностей параметрического резонанса для данного класса функций изменения параметра. Проиллюстрируем подход оценкой робастиости нестационарной системы в случае, когда изменения параметра ограничены в среднем. Пусть неограниченный по величине положительный

полинома (3) следует использовать а, = — = —. Приведены несколько

2 j 2

а

Приближенный критерий робастиости нестационарных

периодический параметр имеет среднее за период постоянное значение, равное я/2. Пусть также параметр принимает за период лишь два предельных значения 0 и япшх, как показано на рис. 3, а, причем атл%=а/2у. Центр семейства окружностей (первого) параметрического резонанса (среднее значение параметра) постоянен и отстоит от начала координат на а/2. Величина первой гармоники

Т о /Т о 2 уп

Следовательно, радиус окружности первого параметрического резонанса

= _ е-уЧ = - cos 2ку = .

4л-/1 1 2^2жу 2 тгу

Максимальной величины радиус семейства окружностей в диапазоне изменения 0<у < 1 достигает при у = 0 и составляет гтах=а/2 .

Поскольку все окружности концентрические, то огибающая их есть окружность максимального радиуса

= \-e-J>).

а)

f max

а/2 О

Рис. 3. К оценке робастности нестационарной системы: а) закон изменения

параметра, б) плоскость годографа Найквиста с запрещенной (заштрихована) для обеспечения робастности областью

Окружность проходит через начало координат в плоскости обратного годографа Найквиста, то есть, на классе указанных возмущений исследуемая система робастна, если обратный годограф не попадает внутрь окружности. В плоскости прямого годографа условие робастности принимает вид Re Wijco) > -а~' (рис. 3, б).

Как следует из анализа полученной математической модели, наиболее опасным (наихудшим) с точки зрения устойчивости характером изменения параметра является импульсная модуляция, когда форма импульса приближается к (5-функции. Аналогичным образом построены приближенный критерий робастности периодически нестационарной системы для ограниченного по модулю параметра, имеющего произвольную форму изменения внутри периода, и приближенный критерий робастности периодически нестационарной системы на интервалах частот периодического параметра и статических коэффициентов усиления.

С помощью метода стационаризации разработана модель для оценки робастности объектов с периодическим изменением структуры. Рассматривался общий случай (рис. 4), когда структура меняется за период п раз скачкообразно поочередным замыканием ключей К

а)

б)

1.0

./ч

о

А

1.0

17(7

г

А

■ К'у ^_ Щр) 1.0-

К,

и

г

к„

ад

-1

к„

ь,'

Рис. 4. Система с периодической структурой: а) схема, б) характер ее изменения

Таким образом, имелась периодически нестационарная синхронная многопараметрическая система, параметры (п ключей) которой в

соответствии с диаграммой на части периода Г от /,' до принимали значение, равное единице:

я, (?) = 1 при 0 = /,'</ < г" д2(0 = 1при 1'2<К1"2

а„ (0=1 при ?;,</</;.

В соответствии с методом стационаризации каждый параметр в первом приближении представляется передаточной функцией, коэффициенты которой имеют вид

Щ(}(р\) = у. + ) = ^ _ЁмГ!_е-н*г, +*> г

Л 71

где Л, = Г^,', у, = 1 ^ ' • В обозначениях

КЛМ) = ¿г,1К(.М, КАМ) = ¿^^-^'^'ЧО®)

/=1 /=1 Л"

получено условие для (границы) возбуждения первого параметрического резонанса

\у-!()со)[\ + \У(]1(]со)] = е-"\

или, исключая (р,

\1Уь()со)\ = \\ + \У,и()со)\ .

Полученный общий критерий робастной устойчивости систем с периодически меняющейся структурой иллюстрирован несколькими часто встречающимися частными случаями замыкания ключей (например, последовательным, без пауз), а также примером расчета робастности системы переменной структуры.

Далее рассмотрен вопрос робастности вынужденных колебаний нестационарной системы

С(р)х11ЫХ(0 + Н(р)а(1)хшМ = Н(р)хкхи).

Предполагалось, что при сигнале на входе хт(1) = А1!хе1{,'*~'1') на выходе системы имелся установившийся гармонический сигнал той же частоты и некоторой фазы уг. ^„,,„(0 = Считалось также, что

рассматривается наихудший в смысле сохранения устойчивости случай, когда периодические изменения параметра синхронизированы по частоте с колебаниями в системе так, что частота изменения параметра О вдвое выше частоты со.

Поставлена и решена задача о том, при каких изменениях параметра возможен данный режим колебаний на выходе с амплитудой А„ых . Иными словами, определена робастность заданного режима вынужденных колебаний нестационарной системы на классе изменений параметра. Для случая, когда колебания параметра синхронизированы с колебаниями на выходе системы, получено условие существования вынужденных колебаний

где \\<а<р) = а0 -— е'1"1 = ап - ре, р = а! 2) и ¡ГЦю) = #(/со)/(7(/'со). Оно

(при ао=0) имеет простой графический смысл: вынужденные колебания не существуют, когда на плоскости обратной амплитудно-фазовой характеристики (щ, г'0) окружность параметрического резонанса охватывает начало координат (см. рис. 5).

= цг-1 Цф + цг^ф) )

V

Щ-<р)

\Г'Ц(о)

«о

0

Рис. 5. Графическая иллюстрация расчета условий робастности вынужденных колебаний нестационарной системы

Для более сложного случая, когда изменения параметра синхронизированы по фазе с входным сигналом (что фактически соответствует установившемуся режиму в нелинейной системе), получено условие (при ао=0)

также обладающее графической наглядностью.

Полученная новая математическая модель может использоваться для оценки робастности синхронизации на классе внешних возмущений нестационарной неавтономной системы или робастности колебаний нелинейной системы.

Далее рассмотрен вопрос робастности периодически нестационарных систем при многочастотном изменении параметра, т.е. оценка робастной устойчивости системы по отношению к гармоническим составляющим изменения параметра. Предполагается, что Г-периодический параметр а{() имеет произвольный закон изменения. Тогда он раскладывается в ряд Фурье и для каждой гармонической составляющей а'ш бш/нГ}/ + а"т со$т£Ъ, т = 0,1,2,..., представимой в свернутом виде как аш ьи^/нГК + Рт), где

я"

ат=уат+а"п ' Рт=агс1£~ш~> записывается п.ф. при искомом

ат

параметрическом резонансе. Так, при первом параметрическом резонансе имеют место соотношения

2у 2у 2]

Тогда условие невозбуждения первого параметрического резонанса на к-ой гармонике изменения параметра записывается как условие отсутствия _1 шО

решения уравнения IV (у——) = Это условие, также легко

интерпретируемое на комплексной плоскости, определяет либо границу амплитуды данной гармоники (форму сигнала), либо набор параметров

линейной части. Приведены примеры расчета и проверки полученных результатов численным экспериментом.

Наконец, рассмотрен вопрос оценки устойчивости системы с несколькими переменными параметрами

С{р)х{1) + Я, (р)[ах (/)*(/)] + Н2 {р)[а2 (/)*(/)] = 0,

где предполагается синхронность, но несинфазность их основной гармоники

о^О^Яю +0\\втЩ? - г,); я2(')~а2о + «21 — г2) •

Применением того же подхода (замена периодических параметров на эквивалентные п.ф.), составляется уравнение баланса. Уравнение оценки границы устойчивости принимает вид

где эквивалентные передаточные функции

^э(Р) = \РнК(Р)е~ЛЩ~Л0 +\р2^2Хр)е-Па1~М

КЛр)=-ш.-=-ш-

С(р) + аюН1(р) + а2ПН2(р) 1 + а10Щр) + а201Г2(р)

ъЛр)=-Мй-=-та-

С{р) + а10Н](р) + а2(1Н2(р) 1 + ашЖ1(р) + а2пЖ2(р)

выражаются через исходные 1¥\(р)=Н\(р)/С(р), Ж2(р)=Н2(р)/С(р). В данном случае уравнение баланса не имеет явного графического представления.

Четвертая глава посвящена разработке математических моделей для оценки робастности нелинейных систем. В начале главы показана связь известного достаточного критерия устойчивости процессов в нелинейных системах Наумова-Цыпкина и критерия Бонджиорно, на основании чего построен достаточный алгебраический критерий устойчивости. Пусть в нелинейной системе, описываемой уравнениями

щР)х( о + адад] = ЧрМО , (5)

N(p) и M(p) определяются так же, как в (2), а про нелинейную функцию F(x) известно лишь то, что она и ее производная не покидают интервала [-к/2, к/2]. Пусть найдено Г-периодическое движение х(1) - решение уравнения (5). Рассмотрен набор параметров, определяемых для /= 1,2, ...и по выражениям для коэффициентов (2) с заменой а0 на к!2. Таким образом, указаны верхние и нижние границы изменения переменных коэффициентов в характеристическом уравнении возмущенных движений

~dF(x)

N(p)Ax(t) + М(р)

Ддг(/) = 0, (6)

х=х(1)

с!х

полученном линеаризацией (5) на движении х(/). (Т.е., считаем, что найдена верхняя и нижняя границы изменения производной, что можно сделать, например, графически). Тогда характеристический полином (3) имеет вид

В(р)=Щр) + М(р)[а(1)}=с]пр'^,,-ф"л +... + dtp+d0 . Для устойчивости процесса х(г) в нелинейной системе (5) будет достаточно устойчивости (гурвицевости) восьми полиномов (4).

Таким образом, получен алгебраический достаточный критерий робастности (абсолютной устойчивости) на классе нелинейностей с ограниченной производной.

Далее, с использованием результатов главы 2, построен необходимый и достаточный алгебраический критерий робастности процессов в нелинейной системе в первом гармоническом приближении - для устойчивости процесса х(1) в нелинейной системе

щР)х(о+м(Р)пт]=жрш

в первом приближении необходимо и достаточно устойчивости (гурвицевости) восьми полиномов (4), в которых коэффициенты вычисляются по радиусу окружности эквивалентной п.ф. первого

Т(х)~

параметрического резонанса периодического параметра

dx

х=х{1)

Следующие результаты основаны на известной связи по первой гармонике коэффициентов гармонической линеаризации и стационаризации. А именно, колебания с частотой со нелинейной (для ясности нелинейность считается симметричной) системы

С(рМ0 + Я(Р№(0] = Л(РМ0

теряют устойчивость, если годограф 1¥{/(о)-Н{/(о)/С(]со) точкой со попадает внутрь окружности параметрического резонанса с центром и радиусом о0, Р\

<7,

2 ал 2 ал

где (А) - коэффициент гармонической линеаризации.

На основании этого построена методика получения границы области устойчивости (разрешенной области для годографа линейной части) путем построения огибающих семейства окружностей параметрического резонанса (7) при различных амплитудах А. Это позволяет решать задачу приближенной оценки робастности нелинейных процессов на классах амплитуд и частот внешних сигналов. Приведен расчет границ области робастности процессов по амплитуде входного сигнала для наиболее распространенных типов нелинейностей (в том числе, не удовлетворяющих условиям критериев Наумова-Цыпкина и Бонджиорно).

Далее эта методика развита для анализа робастности явления синхронизации колебаний нелинейной системы с внешним гармоническим сигналом для определенной нелинейности на диапазоне амплитуд и частот этого сигнала. Сначала рассмотрена известная задача захватывания колебаний. Пусть дана система с внешним сигналом

С(р)х + Н(р)Р(х) = Н(р)хвх(1), для которой в автономном случае имеют место автоколебания, т.е. найдено решение частотного уравнения

ад*(/) + яо№(0] = о

в виде амплитуды Аа и частоты соа автоколебаний. Если на систему действует внешнее возмущение амплитудой Ат и частотой со, причем условие 24

4ш-ё-*в = 1У-1иа>) + \Ух(А) (8)

А

выполнено, то можно говорить о синхронизации автоколебаний с внешним сигналом или о навязывании колебаний нелинейной системе, захватывании. Для фиксированной частоты минимальную величину амплитуды внешнего входного сигнала, при которой имеет место захватывание, называют порогом захватывания. Будем интересоваться робастностью явления захватывания по амплитуде входного сигнала в первом частотном приближении. На рис. 6 представлена иллюстрация выполнения условия (8) в частотной плоскости, где для наглядности коэффициент гармонической линеаризации нелинейного элемента 1У{(А) принят вещественным. Минимальный радиус окружности, касающейся вещественной оси, определяет некоторую величину А и порог захватывания Из рисунка следуют весьма простые условия,

определяющие порог захватывания:

К(со)|=|1т>Гг/0(ю)=Ке1Г|(/'со)=-Ж1(Л) .

Таким образом, вынужденные колебания определенной частоты и амплитуды робастны на диапазоне изменения амплитуды входного сигнала в пределах от/1„Л-,™п до, теоретически, бесконечно большой.

При значительном (в несколько раз) отличии частоты внешнего сигнала от частоты автоколебаний соа до возникновения эффекта захватывания может произойти так называемая синхронизация автоколебаний на кратных частотах, при которой входные колебания и

колебания системы оказываются кратными по частоте и синфазными. Нахождение условий кратной синхронизации вызывает наибольший интерес и определенные трудности, поскольку в основе ее лежат комбинационные колебания двух и более частот. Разработаны математические модели нелинейных неавтономных систем, на основе которых предложена методика расчета в первом приближении порогов синхронизации и оценка робастноети этих эффектов по амплитуде и частоте синхронизирующего сигнала. Приведены имеющие ясную графическую интерпретацию заключения о диапазонах робастности для:

- низкочастотной синхронизации, когда на автоколебательную систему подан низкочастотный входной периодический сигнал с (от<о\,, включающую случаи синхронизации на гармониках входного сигнала (вынуждающей силы) или на гармониках вынужденных колебаний;

- высокочастотной синхронизации, на основном результате для которой поясним суть методики. Пусть в нелинейной автоколебательной системе в результате синхронизации на частоте входного сигнала псо\, и=3,5,... установились колебания частоты со\, близкой к частоте автоколебаний со\хоа . По существу, речь идет теперь о двухчастотном колебании

С(р)(х, + х„) + Я(рЩх, + х„) = Н(р)хт( 0.

Опуская выкладки, в которых учтена малость высокочастотной составляющей и выражения для коэффициентов гармонической линеаризации по первой и и-ой гармоникам, а также коэффициенты связи между ними, приведем полученную оценку порога синхронизации

^ = . (9)

Здесь О = (/Ту,) + (Л)] - порог захватывания, указанный на рис.7, а коэффициенты разложения периодической производной я(„_,)/2 находятся как

Ч- 4 2 ' 2 <Ы

Рис. 7. Графическая иллюстрация расчета высокочастотной синхронизации

Таким образом, по заданной частоте о)\, близкой к частоте автоколебаний, и амплитуде А, определенной по порогу захватывания на этой частоте, выражение (9) позволяет оценить порог высокочастотной синхронизации, т.е. робастность явления по амплитуде синхронизирующего сигнала. На основании (9) получена также оценка диапазона частот синхронизации при заданной амплитуде синхронизирующего сигнала, т.е. оценка робастности высокочастотной синхронизации.

В главе поставлена и решена принципиально новая задача робастной синхронизации нелинейной системы с периодически изменяющимся параметром, который управляется внешним гармоническим сигналом -параметрической синхронизации. Один из примеров реализации такой схемы приведен на рис. 8.

Рис. 8. Схема параметрической синхронизации

На основании этого эффекта возможно решение новой задачи параметрической стабилизации динамических объектов, что зафиксировано заявкой и положительным решением на выдачу патента РФ. Для такой структуры получена оценка минимально необходимой для возникновения синхронизации амплитуды синхронизирующего сигнала:

Пятая глава содержит примеры приложений в различных областях. Рассмотрены:

- математическое моделирование (объекта и неопределенностей), построение робастного регулятора, анализ его свойств и понижение размерности для линейной системы активного магнитного подвеса ротора с неизвестной скоростью вращения,

- математическое моделирование нелинейное системы электромашинного преобразователя с учетом нестационарности взаимной индукции ротора-статора и распределенности электрической нагрузки, линеаризация на периодическом движении, получение частотной модели длинной электрической линии и нахождение областей неустойчивости (возбуждения параметрического резонанса),

- математическое моделирование динамики экономической системы с учетом нестационарности ее параметров и получением условий неустойчивости в форме параметрического резонанса,

- математическое моделирование инновационных циклов в форме уравнений Лотки-Вольтерра и гармонический анализ этих уравнений.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На основании полученных в работе частотных математических моделей динамических линейных стационарных, нестационарных и нелинейных объектов сформулированы следующие результаты:

1. Асимптотическая модификация синтеза робастного регулятора с помощью уравнений Лурье-Риккати в случае сингулярной постановки для линейных стационарных объектов.

2. Достаточный алгебраический критерий робастности класса нестационарных систем.

3. Достаточный алгебраический критерий робастности процессов в нелинейных неавтономных системах на классе ограниченных в секторе.

4. Алгебраический критерий робастности в первом гармоническом приближении для класса нестационарных систем.

5. Алгебраический критерий робастности процессов в первом гармоническом приближении для нелинейных неавтономных систем на классе ограниченных в секторе нелинейностей.

6. Приближенные критерии робастности периодически нестационарных объектов, в том числе:

а) на классе изменений параметра, ограниченных по амплитуде;

б) на классе изменений параметра, ограниченных в среднем;

в) на отрезках частот изменения параметра и статического коэффициента усиления стационарной части;

г) на классе периодических изменений структуры;

д) на классах многочастотных изменений параметра;

е) на классах синхронных несинфазных изменений нескольких параметров;

ж) критерии робастности синхронизации с внешним сигналом на классах их частот и амплитуд при вынужденных колебаниях.

7. Приближенные оценки робастности процессов в нелинейных системах:

а) синхронизации на классе амплитуд и частот внешнего сигнала при захватывании колебаний, низкочастотной синхронизации, высокочастотной синхронизации;

б) параметрической синхронизации нелинейной автономной системы на классе амплитуд и частот изменений параметра.

8. Методика построения приближенных частотных моделей отдельных объектов с распределенными параметрами.

9. Получены новые решения ряда технических задач:

- моделирование (объекта и неопределенностей) и построение робастного регулятора системы активного магнитного подвеса ротора;

- моделирование системы электромашинного преобразователя с учетом нестационарности взаимной индукции ротора-статора и распределенности электрической нагрузки и нахождение областей неустойчивости (возбуждения параметрического резонанса);

- моделирование динамики экономической системы с учетом нестационарности ее параметров с получением условий неустойчивости в форме параметрического резонанса.

Список публикаций основных результатов

Монографии

1. Чечурин Л.С. Первозванский A.A., КимД.Х., ЧойХ. Робастное управление в линейных системах (англ.). - СПб.: СПбГПУ, 1998 -174 с.

2. Чечурин СЛ., Чечурин Л.С. Физические основы теории колебаний. - СПб.: СПбГПУ, 2005. - 258 с.

Учебники и учебные пособия

1. Рыккн O.P., Чечурин Л.С. Теория автоматического управления. Лабораторный практикум. 4.1, 4.2. - СПб.: СПбГПУ, 2004. 83 с.

2. Чечурин СЛ., Чечурин Л.С. Основы автоматического управления. Дистанционный курс. - СПб. 2004. http://chechurin.com/book_tau/

Статьи в изданиях из перечня ВАК

1. Первозванский A.A., Чечурин Л.С. Синтез обратной связи по критерию робастности с помощью уравнений Риккати // Автоматика и Телемеханика. -1997. -№11. -С.152 - 158.

2. Чечурин Л.С. Робастность нестационарных и нелинейных систем управления // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2006. - №5-1. -С.111 - 117.

3. Чечурин Л.С. Устойчивость нестационарных систем управления с периодически изменяющимися коэффициентами // Известия вузов. Приборостроение. - 2007. - Т. 50. - № 10. - С.23 - 25.

4. Чечурин Л.С. Алгебраические критерии устойчивости периодически нестационарных и нелинейных систем управления // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - №4(62). - 2008. - С.92 - 95.

5. Чечурин Л.С. Метод гармонической стационаризации и оценка робастности периодически нестационарных систем управления // Управление большими системами: Сб. науч. тр. - Выпуск 22. - М.: ИПУ РАН, 2008. -С.70 - 85.

6. Чечурин Л.С. Алгебраическое достаточное условие устойчивости колебаний периодически нестационарных систем управления // Управление большими системами. Сб. науч. тр. - Выпуск 23. - М.: ИПУ РАН, 2008. -С.24-38.

7.ЛиЁ.К., Чечурин Л.С. Оценка границ возбуждения параметрического резонанса в системах электромеханического преобразования с распределенной нагрузкой // Научно-технические ведомости СПбГПУ. -№6(69).-2008.-С. 104- 108.

8. Lee Y.K., Chechurin L.S. Conditions of Parametric Resonance in Periodically Time-Variant Systems With Distributed Parameters // ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. -2009. - Vol. 131. - Issue 3. - P.68 - 79.

9. Мандрик А.В., Чечурин Л.С., Чечурин С.Л. Способ стабилизации выходного сигнала колебательного объекта. Заявка 2009122999. Положительное решение о выдаче патента РФ от 03.02.2010.

Некоторые другие значимые научные публикации

1. Chechurin, L.S., Merkoulov, A.I. Robustness and describing function method // Proc. of the IEEE International Conference Physics and Control. - St.Petersburg, 2005. P. 393-398.

2. Ли Ё. К., Чечурин Л. С. Параметрический резонанс в системах электромеханического преобразования // Exponenta Pro: Математика в приложениях. -2003. - №3. - С. 46 - 51.

3. Chechurin, S.L., Chechurin, L.S. Elements of physical oscillation and control theory. Physics and Control, 2003 // Proc. of the IEEE International Conference Physics and Control. - St.Petersburg, 2003. - Vol.2. - P. 589 - 594.

4. Chechurin L.S., Shin, D. Robust control of magnetic bearing system: Mixed sensitivity problem with direct weighting functions assignment // Control and Intelligent Systems. - 2001. - Vol. 29. - №3, P. 84 - 90.

5. Leonid S. Chechurin, Dongwon Shin. Design of 11, Controller for Magnetic Bearing System: Regularized State Space Approach // Proc. of the IASTED International Conference on Modeling, Identification and Control. - Innsbruck, 1999.-P. 126- 129.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 19.04.2010. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 100. Заказ 5826Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812) 550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

Список сокращений и обозначений

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Постановка задачи, обзор, основные результаты

1.1. Постановка задачи, определения, обзор

1.2. Линейные стационарные системы: основные результаты

1.3. Критерии робастности нестационарных систем

1.4. Критерии робастной устойчивости процессов в нелинейных системах. Приложения

ГЛАВА 2. Робастность линейных стационарных систем

2.1. Робастность при параметрической неопределенности

2.2. Робастность при структурной неопределенности. Робастность систем с распределенными параметрами

2.3. Робастность в системах с обратной связью

2.4. Робастная редукция

2.5. Робастное качество

ГЛАВА 3. Робастность линейных нестационарных систем

3.1. Исходные положения

3.2. Достаточный критерий робастности нестационарных систем

3.3. Приближенная оценка робастности нестационарных систем

3.4. Робастность на классе функций изменения параметра

3.5. Робастные по структуре периодически нестационарные системы

3.6. Робастность неавтономных нестационарных систем

3.7 Робастность периодически нестационарных систем при многочастотном изменении параметра

3.8 Системы с синхронными периодическими параметрами

ГЛАВА 4. Робастность нелинейных систем

4.1. Робастность на классе нелинейностей

4.2. Робастность в первом гармоническом приближении

4.3. Синхронизация колебательных систем

ГЛАВА 5. Применение частотных моделей в прикладных задачах исследования робастности

5.1. Синтез робастного регулятора для системы магнитного подвеса

5.2. Исследование устойчивости электромашинного преобразователя с переменной индуктивностью

5.3. Исследование робастности моделей экономической динамики

Основные научные результаты диссертации

Цель предлагаемого исследования заключалась в решении проблемы разработки частотных математических моделей и создании на этой основе общей частотной методологии оценки робастности динамических систем. Для этого в работе развиваются методы анализа и синтеза линейных робастных стационарных систем управления, создаются новые частотные модели и методы оценки робастности в нестационарных и нелинейных системах.

В качестве основы для разработки новых аналитических результатов использовались теория дифференциальных уравнений, теория автоматического управления, функциональный анализ, теория колебаний, метод гармонического баланса, метод стационаризации. Для проверки результатов применялся численный эксперимент.

Научная новизна заключается в развитии нового единого (частотного) подхода к анализу робастности стационарных, нестационарных и нелинейных динамических систем. Для ряда известных задач исследования робастной устойчивости получены новые решения в форме точных и приближенных частотных критериев устойчивости для достаточно широких классов нестационарных и нелинейных объектов. Предложен ряд новых постановок задач оценки робастности применительно к различным классам неопределенности нестационарных (устойчивость систем с периодическим изменением параметра, периодическим изменением структуры и др.) и нелинейных (устойчивость процессов на классах нелинейностей, амплитуд и частот входного сигнала и др.) систем и получены их решения в форме приближенных частотных критериев. Для анализа линейных объектов с распределенными параметрами предложена новая методика получения их частотных математических моделей. Проведено моделирование и частотный анализ устойчивости некоторых экономических объектов.

Практическая ценность полученных результатов заключается в появившейся возможности оценки робастности широкого класса нестационарных и нелинейных систем управления по построенным или полученным из эксперимента частотным характеристикам их линейных частей. Диссертация содержит главу, специально посвященную примерам анализа робастности применительно к различным техническим и экономическим системам.

Основными выносимыми на защиту результатами являются:

1. Для линейных стационарных объектов

- асимптотическая модификация синтеза робастного регулятора с помощью двух уравнений Риккати в случае сингулярности задачи,

- методика получения передаточных функций объектов с распределенными параметрами,

- методика редукции робастного регулятора.

2. Методика составления частотных математических моделей для исследования робастности.

3. Частотно-алгебраические критерии робастной устойчивости нелинейных и нестационарных систем.

4. Частотные оценки робастной устойчивости нестационарных систем.

5. Частотные оценки робастности процессов в нелинейных системах.

6. Решение прикладных задач.

Результаты были апробированы на ряде научных конференций, среди которых IASTED International Conference on Modeling, Identification and Control, Иннсбрук, 1999, «Physics and Control - PhysCon», Санкт-Петербург,

2004 и 2005 г.г., «Advanced Problem in Mechanics - АРМ», Репино, 2003 и

2005 г.г., и др. Работа представлялась в ведущих российских научных школах по теории управления, в частности, семинарах лаборатории «Управление сложными системами» Института проблем машиноведения

РАН (рук. проф. А.Л. Фрадков), кафедры «Прикладная математика и кибернетика» факультета математики и механики Санкт-Петербургского государственного университета (рук. чл.-корр. РАН Г.А. Леонов), лаборатории №7 Института проблем управления РАН (рук. проф. Б.Т. Поляк). Все полученные результаты публиковались в рецензируемых изданиях и монографиях.

Диссертация построена следующим образом: в первой главе даются определения, приводится исторический обзор исследований, связанных с робастностью, приводится краткое изложение основных результатов по главам. Вторая глава посвящена анализу и синтезу линейных стационарных систем. В третьей разрабатываются точные и приближенные частотные критерии робастности нестационарных систем. В четвертой приводятся частотные методы оценки робастности процессов в нелинейных системах. Наконец, в пятой главе собраны примеры применения разработанных методов для решения задач анализа и синтеза ряда робастных технических систем.

Выводы по пятой главе

В главе рассмотрены применение разработанных методов оценки робастности и построения робастных систем для ряда прикладных задач. Получены новые решения технических задач:

- моделирование (объекта и неопределенностей) и построение робастного регулятора системы активного магнитного подвеса ротора,

- моделирование системы электромашинного преобразователя с учетом нестационарности взаимной индукции ротора-статора и распределенности электрической нагрузки и нахождение областей неустойчивости (возбуждения параметрического резонанса),

- моделирование динамики экономической системы с учетом нестационарности ее параметров с получением условий неустойчивости в форме параметрического резонанса.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

На основании полученных в диссертационной работе частотных математических моделей динамических линейных стационарных, нестационарных и нелинейных объектов сформулированы следующие научные результаты:

Асимптотическая модификация синтеза робастного регулятора с помощью уравнений Лурье-Риккати в случае сингулярной постановки для линейных стационарных объектов,

2. Достаточный алгебраический критерий робастности класса нестационарных интервальных систем,

3. Достаточный алгебраический критерий робастности процессов в нелинейных неавтономных системах на классе ограниченных в секторе нелинейностей,

4. Приближенный алгебраический критерий робастности класса нестационарных интервальных систем,

5. Приближенный алгебраический критерий робастности процессов в нелинейных неавтономных системах на классе ограниченных в секторе нелинейностей,

6. Приближенные критерии робастности периодически нестационарных объектов, в том числе а) на классе изменений параметра, ограниченных по амплитуде б) на классе изменений параметра, ограниченных в среднем в) на отрезках частот изменения параметра и статического коэффициента усиления стационарной части г) на классе периодических изменений структуры д) на классах многочастотных изменений параметра е) на классах синхронных несинфазных изменений нескольких параметров ж) на различных классах изменений параметра при вынужденных колебаниях,

7. Приближенные оценки робастности процессов в нелинейных системах: а) синхронизации на классе амплитуд и частот внешнего сигнала при захватывании колебаний, низкочастотной синхронизации, высокочастотной синхронизации б) параметрической синхронизации нелинейной автономной системы на классе амплитуд и частот изменений параметра,

8. Методика построения приближенных частотных моделей отдельных объектов с распределенными параметрами,

9. Получены новые решения ряда технических задач:

- моделирование (объекта и неопределенностей) и построение робастного регулятора системы активного магнитного подвеса ротора,

- моделирование системы электромашинного преобразователя с учетом нестационарности взаимной индукции ротора-статора и распределенности электрической нагрузки и нахождение областей неустойчивости (возбуждения параметрического резонанса),

- моделирование динамики экономической системы с учетом нестационарности ее параметров с получением условий неустойчивости в форме параметрического резонанса.

1. Агафонов П. А., Честнов В. Н. Одновременное обеспечение запасов устойчивости на входе и выходе многомерного объекта на основе подхода. Автоматика и телемеханика. 2004. №9. С. 110-119.

2. Адамян В., Аров Д., Крейн М. «Аналитические свойства пар Шмидта для оператора Ганкеля и обобщенная задача Шура-Тагаки». Математический сборник СССР, №15, стр. 31-73

3. Андронов A.A., Понтрягин JI.C. «Грубые системы» Доклады Академии Наук СССР, №14 (1937)

4. Балберин В.В., Мироновский JI.A., Петровский А. Б. Понижение порядка моделей: учебное пособие. ЛИАП Ленинград. 1989. 43с

5. Барабанов А.Е., Первозванский A.A. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н^ теория). Автоматика и телемеханика. 1995. №9. С. 3-32

6. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов. СПбГУ, 1996

7. Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез робастных линейных регуляторов при параметрической неопределенности модели объекта. Автоматика и телемеханика. 2001. №1. С. 118-130.

8. Управление мехатронными вибрационными установками. / под ред. И.И.Блехмана и А.Л.Фрадкова. СПб.: Наука, 2001 278 с.

9. Брусин В. А. Существование и предельные возможности центральных регуляторов в задачах с //^-критериями. Автоматика и телемеханика. 2002. №5. С. 97-107.

10. Важнов А.И. Электрические машины. Л-д: "Энергия", 1969. - 768 с.

11. Воловодов С.К., Розенвассер E.H. О применении обобщённых коэффициентов гармонической линеаризации для определения параметров автоколебаний // Автоматика и телемеханика. №4. - С. 26-30.

12. Вышнеградский И.А. О регуляторах прямого действия. В сб. Д.К.Максвелл, И.А. Вышнеградский, А.Стодола. Теория автоматического управления, Изд-во АН СССР, Москва, 1949

13. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., .Ятсубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия. Москва: Наука, 1978

14. Грязина E.H., Поляк Б.Т., Требма A.A. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Н-бескоыечность: параметрический подход. Автоматика и телемеханика, №3, 2007, с 94-105

15. Григорьев Е.М., Чечурин JI.C. «Моделирование динамики численности популяций с помощью теории игр» Сборник трудов СПбГПУ "Инновации в науке, образовании и производстве" СПбГПУ, 2005 г

16. ЗангВ.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ.—Москва: Мир, 1999.— 335 е.: ил.

17. Киселев О.М., Поляк Б.Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Н-бесконечность и по критерию максимально робастности. Автоматика и телемеханика, №3, 1999, С. 119-130

18. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.- 399с

19. Левинштейн М.Л. Явление параметрического резонанса при работе синхронной машины на емкостную нагрузку// Труды ЛПИ им.Калинина. -1948. -№3.- С. 13-41.

20. Леонов Г. А. Частотные методы в теории колебаний.— СПб.: Изд-во СПбГУ, 1992 . В 2ч.

21. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2004. - 144 с

22. Ли Ён Кван. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. СПбГПУ, 2004 г.

23. Ли Ё.К., Чечурин Л.С. Оценка границ возбуждения параметрического резонанса в системах электромеханического преобразования с распределенной нагрузкой. Научно-технические ведомости СПбГПУ, №6(69) 2008. С. 104-108

24. Лурье А.И., Постников В.Н. О теории устойчивости систем управления. Прикладная математика и механика, 8(3), 1944

25. Лю Ч.Ч., Чечурин С.Л. Цифроаналоговые модели динамических систем управления. СПб., 1993.

26. Лю Шухуань, Л.С. Чечурин. Синтез робастного управления ротором на магнитном подвесе. Инноватика в науке, образовании и производстве, Труды СПбГПУ. 2004. №492. С. 136-146.

27. Лю Шухуань. Синтез робастного управления ротором на магнитном подвесе. Диссертация на соискание ученого звания кандидата технических наук. Санкт-Петербург: СПбГПУ, 2005.

28. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр.соч. М. Изд-во АН СССР, 1956, т.2, 271с.

29. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем.-М., 1972.

30. Неймарк Ю.И. «Структура пространства полиномов и диаграммы Вышнеградского» Докл.АН СССР, нов.сер., 1948, т.59 №5 стр.853- 856

31. Островский М.Я., Чечурин С.Л. Стационарные модели систем автоматического управления.- Л., Энергоатомиздат, 1989

32. Пасуманский М.А., Первозванский A.A. «Предельная точность линейных систем управления и асимптотическое поведение их Н2 и Н,0 норм» Автоматика и телемеханика, 1995, No.7, с.24-32

33. Первозванский A.A., Чечурин Л.С. Синтез обратной связи по критерию робастности с помощью уравнений Риккати. Автоматика и Телемеханика. 1997, ноябрь стр.152-158

34. Первозванский A.A., Чечурин JI.C. Компромиссное Н21Н^ управление. Труды СПбГТУ: каф. Механики и процессов управления. 1997, стр.27-29

35. Первозванский A.A., Чечурин Л.С. Ким Д.Х., Чой Д. Робастность линейных систем управления (на англ). СПб.: СПбГТУ, 1998

36. Первозванский A.A., Солонина Н. Конечномерный субоптимальный регулятор для объекта с распределенными параметрами. Автоматика и телемеханика. 1984. №4 (часть I) и №7 (часть II)

37. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A. Опыт математического моделирования экономики. Москва, Энергоатомиздат, 1996

38. Позняк А. С. Основы робастного управления (Д„-теория): Учебное пособие. МФТИ. Москва. 1991. 128с.

39. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.3. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем управления. Автоматика и телемеханика. 1999. №9. С. 45-54

40. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.-303 с.

41. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах.-М., 1973

42. Пуанкаре А. Избранные труды: в 3 т., М.: Наука, 1971

43. Нестационарные системы автоматического управления: анализ, синтез и оптимизация/ под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. Москва. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 631 с

44. Розенвассер E.H., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. М. Наука, 1981.464с.

45. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ, М.: Наука, 1978

46. Зотов Ю.К., Тимофеев A.B. Управляемость и робастная стабилизация программных движений летательных аппаратов с нелинейной динамикой -Труды СПИИ РАН. Вып. 3, т. 2. СПб.: Наука, 2006

47. Форрестер Дж. Основы кибернетики предприятия: (Индустриальная динамика).-Москва: Прогресс, 1971.—340с.

48. Харитонов B.JI. «Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений» Дифференциальные уравнения 1978, Т. 14, No.; 11, с.2086-2088

49. Хлыпало Е.И. Расчет и проектирование нелинейных корректирующих устройств о автоматических системах. Ленинград: Энергоиздат, 1982 .

50. Честнов В. М. Синтез робастных регуляторов многомерных систем при параметрической неопределенности на основе круговых частотных неравенств. Автоматика и Телемеханика. 1999. №3. С. 229-238

51. Чечурин Л.С. Исследование свойств управления с равномерно-частотной нормой. Дипломная работа. СПбГТУ, 1993

52. Чечурин Л.С. Исследование робастных систем управления. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. СПбГТУ, Ю97

53. Чечурин С.Л. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения.-Л., 1983

54. Чечурин С. Л., Чечурин Л. С. Физические основы теории колебаний. СПб.: СПбГПУ, 2005 258 С.

55. Чечурин Л.С., Шахов И.М., Михайлов А.Н. «Периодически нестационарные модели экономической динамики». Сборник трудов СПбГПУ по тематике "Инновации в науке, образовании и производстве" СПбГПУ, 2004 г. стр.87-101

56. Шахтарин Б. И. Синхронизация в радиосвязи и радионавигации. Гелиос АРВ, 2007. 256 с.

57. Шашихин В.Н. Интервальные динамические системы. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. 214 с.

58. Якубович В.А. S-процедура в нелинейной теории регулирования. Вестник ЛГУ, Сер. 1., 1971 №1, С.62-77

59. Источники на иностранных языках

60. Ackermann J. Robust Control. Parameter space approach. London: Springer, 2002

61. Bhattacharyya S.P., Chapellat H., Keel L.H. Robust Control: the Parametric Approach. Upper Saddle River: Prentice Hall PTR, 1995. - 625 p.

62. Bongiorno, J.J., Jr. "An extention of the Nyquist-Barkhausen stability criterion to linear lumped parameter systems with time-varying elements", IEEE Trans., 1963, AC-8, pp. 166-172

63. Brian D. O. Anderson, Yi Liu. Controller reduction : Concepts and Approaches. IEEE Trans on Automat Control. 1989. Vol.34. №8. pp: 802-812

64. Doyle J.C, Glover K., Khargonekar P.P., Fransis B. «State-space Solutions to Standard H2 and H^ Control Problems» IEEE Trans. Automat. Control., 1989 Vol. AC-34 No. 8 pp.831-847

65. Doyle J.C, Glover K, Zhou K, Bodenheimer B. Mixed H2 and performance objectives II: Optimal control. IEEE Trans, on Automat Control. 1994. Vol.39. №8.pp: 1575-1587

66. Doyle J. C, Packard A, Zhou K. Review of LFTs LMIs and ¡л . Proc IEEE conf. on Decision and Control. 1991. pp: 1227-1232

67. Fujita M, Hatake K, Matsumura F. Loop shaping based robust control of a magnetic bearing. IEEE Control Systems. 1993. Vol.13. №4. pp: 57-65

68. Gahinet P. «А new parametrization of H2/Hm suboptimal controllers» Int.J.Contr, 1994, Vol. 59, No.4, pp.1031-1051

69. Gahinet P, Apkarian P. A linear matrix inequality appro aclh to Hx control Int J. Robust Nonlinear Control. 1994. Vol.4. №3. pp: 421-448

70. Gahinet P. Explicit control formulas for LMI-based synthesis Automatic. 1996. Vol.32. №7. pp: 1007-1014

71. Glover K. «All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their Lco-error bounds» Int.J.Contr, 1984, Vol.39 ]SIo.6, pp.11151193

72. Lei Guo, Chun Bo, Feng. A Linear Matrix Inequality based design method of reduced order controllers for singular Ha} control problems. China. Control theory and applications. 1996. Vol.13. №6. pp: 709-716.

73. Lei Guo, Chun Bo, Feng. The LMI based reduced order controllers for mixed //o///rjo control problems: continuous-time case. ACTA Antomatica sinica 1998. Vol.24. №3. pp: 294-300

74. Lei Guo, Chun Bo, Feng. A Linear Matrix Inequality based design method of reduced order controllers for general control problems. Science in China(E) 1997. Vol.27. №4. pp: 353-361

75. Haddad W.M., Bernstein D.S. «Combined Li/H» model reduction» Int.J.Contr, 1989, Vol. 49, No.5, pp. 1523-153 5

76. Isidori A. Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag, 1989

77. Isidori A., Kang W, " Hm control via measurement feedback for general systems" IEEE Trans. Automat. Control., 1995 Vol. AC-40 pp.466-472

78. Kanev. S, Schutter D. B, Verhaegen M. An ellipsoid algorithm for probabilistic robust controller design. Systems & Control Letters. 2003. №49 pp: 365-375

79. Knospe C. R, Tamer S. M. Experiments in Robust Control of Rotor Unbalance Response using Magnetic Bearings. Mechanics. 1997. Vol.7. №3. pp-217-229

80. Khargonekar P. P., Rotea M. A., Mixed /:/2/Я,, control: A convex optimization approach. IEEE Trans, on Automat Control. 1991. Vol.36. №7. pp: 824-837

81. Kwakernaak H. «Minimax frequency domain performance and robustness optimization of linear feedback systems» IEEE Trans. Automat. Control. Oct. 1985. Vol. AC-30. pp.994-1004

82. Kwakernaak H. «Robust Control and H,» Optimization Tutorial Paper» Automatica, 1993. Vol. 29. No. 2 pp.255-273

83. Lee Y.K., Chechurin L.S. Conditions of Parametric Resonance in Periodically Time-Variant Systems With Distributed Parameters. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. March, 2009 Vol. 131, p. 1-1083. www.lmsintl.com

84. Li Yu, Robust control- Method LMI. Beijing. Tsing hua university. 2002

85. Matsumutra F, Fujita. M, Hatake. K, et. al. Elimination of unbalance vibration in AMB systems using gain scheduled H «> robust controller. Proc. of the Forth Int. Sym. on Magnetic Bearings. 1994. ETH Zurich, pp: 113-118

86. Mehran M. On the rank minimization problem and its control applications. Systems & Control Letters. 1998. Vol.33. №2. pp: 31-36

87. Mehran M, Papavassilopoulos G.P. On the rank minimization problem over a positive semidefine linear matrix inequality. IEEE Trans, on Automatic Control. 1997. Vol.42. №2. pp: 239-243

88. Moore B.C. «Principal Component Analysis in Linear Systems: Controllability, Observability and Model Reduction» IEEE Trans. Automat. Control., 1981 Vol.AC-26 No.l pp.17-29

89. Namerikawa T, Hagiwara K, Fujita M, Matsumutra F. Experimental Evaluation of Gain Scheduled H ю robust controller to a magnetic bearing. Proc. of the Fifth Int. Sym. on Magnetic Bearings. 1996. Kanazava. Japan, pp: 137142

90. Nemirovski A.A. Several NP hard problems arising in robust stability analysis. Math. Contois, Signals, Systems. 1994. V. 6 P.99-105

91. H. Nyquist. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, vol.11, pp. 126-147, 1932

92. Palhares R. M, Peres P. L. D. LMI approach to the mixed H2lHa filtering design for discrete-time uncertain systems. IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems. 2001. Vol.37. №1. pp: 292-296

93. A.A. Pervozvanski. «Sensitivity, Robustness and Efficiency of Adaptation», Intern. Journ. Of Adaptive Contr. And Signal Processing, 1992, Vol.6, pp. 183191

94. Popov V. M. Criterii de stabilitate pentru sistemele neliniare de reglare automame bazate pe utilirea trasformatei Laplace // Studii si cerctari de energetica. Academia R. P. R. 1959. Anel IX. nr. 1.

95. Roger L. F, Knospe C. R. Rotor compliance minimization Via //-control of active magnetic bearings. IEEE Transactions on control systems technology. 2002. Vol.10. №2. pp:239-249

96. Arjan van der Schaft. L2-Gain and Passivity Techniques in Nonlinear Control (Communications and Control Engineering). Springer, 2000

97. Dongwon Shin. Dynamic performance improvement of magnetic bearing supported rotor systems using the centralized controller. Ph.D. dissertation. Seoul National University. 1996

98. Skelton R.E., Yousuff A. «Component cost analysis of large scale systems» IntJ.Contr, 1983, Vol.37 No.2, pp.285-304

99. Stoorvogel A, The H OT Control Problem a state space approach. Prentice Hall, 1992

100. Scherer C, Gahinet P, Chilali M. Multi-objective output-feedback control via LMI optimization. IEEE Trans on Automat Control. 1997. Vol.42. №7. pp: 896-911

101. Slotin J.E., Li W. Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, 1991

102. C. Scherer «Mixed H2IHoo Control» in issue Progress in Control Theory, 1995

103. Thomas E. P. Algorithms for reduced order robust H« control design. CDC99-REG0575. Stanford University, 1999

104. Torn A, Shinji. H. A unified approach to LMI-based reduced order self scheduling control synthesis. Systems & Control Letters. 1999. №36. pp: 75-86.

105. Wilson D.A. «Optimum solution of model-reduction problem» Proc. IEE 117 (Pt.D), No.6, pp. 1161 -1165, June 1970

106. Wu H, Fei Y, Mixed H2IHro robust output feedback control for uncertain linear systems. Control theory and application. 2000. Vol.17. №3. pp: 367-373

107. Xin Xin. Reduced-order controllers for the HU control problem with unstable invariant zeros. Automatica. 2004. №40. pp: 319-326.

108. Yamashita K, Allaire P.E, Knospe C. R. Rotor Disturbance AttenuationUsing an //„ Controller for Active Magnetic Bearings. Proc. Of the Fifth Int. Sym. On Magnetic Bearings. 1996. Kanazava. Japan, pp: 227-232

109. Zames G. «Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms and approximate inverses» IEEE Trans. On Automat. Contr., AC-26, 1, pp.301-320, February 1981

110. Zames G., Francis B. «Feedback, minimax sensitivity and optimal robustness» IEEE Trans. Automat. Control. 1983 Vol. AC-28. No. 5 pp. 585-601

111. Zhou K, Doyle J. C. Essentials of Robust Control. Pentice Hall. 1998

112. T. Zhou, Fujita M, Matsumura F. Robust control of a two-axis, magnetic suspension, flexible-beam system based on H-infinity optimization theory. International Journal of Robust and Nonlinear Control. Vol.2. №3. pp: 165-182

113. D. I-Iinrichsen and A. J. Pritchard, Mathematical systems theory. I. Modelling, state space analysis, stability and robustness. Texts in Applied Mathematics 48, Springer-Verlag, Berlin, 2005.